ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH
DAT
ftp://ftp.muni.cz/pub/muni.cz/physics/education
František Šťastný
Kat. obec. fyziky PřF MU
Kotlářská 2, Brno
1997
ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT
František Šťastný, 1997
Obsah
1 Jevy a pravděpodobnost 4
2 Náhodná veličina 4
3 Vybrané typy rozdělení 6
3.1 Normální rozdělění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Studentovo rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Poissonovo rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Rovnoměrné neboli rektangulární rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Náhodné vektory 9
4.1 Popis rozložení náhodného vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Diskrétní náhodný vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Spojitý náhodný vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Chyby 11
5.1 Klasifikace chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Zavedení pojmu chyba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3 Chyba v ČSN normách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4 Rozlišení systematické a nahodilé složky chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Výběrový rozptyl 14
7 Chyba nepřímo měřené veličiny 15
7.1 Metoda Taylorova rozvoje funkce - zákon přenosu chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.1.1 Taylorův rozvoj funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.1.2 Zákon přenosu chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.1.3 Obecnější odvození zákona přenosu chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.2 Využití zákona přenosu chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 Určení chyby aritmetického průměru 18
8.1 Směrodatná odchylka aritmetického průměru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.2 Interval spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9 Metoda nejmenších čtverců 20
10 Lineární a nelineární regrese 22
11 Interpolace a aproximace 23
11.1 Klasické interpolační postupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11.1.1 Lagrangeoava a Newtonova interpolační formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11.1.2 Hermiteovská interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11.1.3 Racionální interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11.2 Spline interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11.3 Přehled vzorců pro lineární regresi s jednou nezávislou proměnnou . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.3.1 Předpoklady, které by měly být v regresním modelu splněny. . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.3.2 Přímka procházející počátkem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
11.3.3 Přímka procházející daným bodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
11.3.4 (Obecná) regresní přímka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
12 Popisné statistiky. 28
12.1 Základní termíny z popisné statistiky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12.2 Charakteristiky polohy, variability, šikmosti a špičatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12.2.1 Charakteristiky polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12.2.2 Charakteristiky variability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
12.2.3 Charakteristiky šikmosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
12.2.4 Charakteristiky špičatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
13 Určování chyb měřicích přístrojů 31
13.1 Mezní hodnota chyb a třída přesnosti přístroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
13.2 Zařazení přístroje do třídy přesnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
13.3 Zaokrouhlování chyby výsledku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
13.4 Příklady určování chyby přístrojů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
13.4.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
13.4.2 Způsoby uvádění chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
13.4.3 Ručkové přístroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
13.4.4 Multimetr METEX M - 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
13.4.5 Multimetr PROTEK 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
13.4.6 Multimetr METEX M 4650 CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
13.4.7 Voltmetr M1T 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
13.4.8 Multimetr M1T 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
13.4.9 Měřič RLCG BM 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
14 Měření elektrických veličin 35
14.1 Problémy při současném měření proudu a napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
14.1.1 Metoda A - voltmetr je zapojen paralelně přímo k měřenému prvku . . . . . . . . . . . . 36
14.1.2 Metoda B - ampérmetr je zapojen do série s měřeným prvkem . . . . . . . . . . . . . . . 36
14.2 Změna rozsahu přístrojů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
14.2.1 Změna rozsahu ampérmetrů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
14.2.2 Změna rozsahu voltmetru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
14.3 Ručkové měřicí přístroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
14.3.1 Měřící systém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
14.3.2 Poloha stupnice při čtení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
14.3.3 Značka druhu proudu (napětí) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
14.3.4 Izolační napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
14.3.5 Třída přesnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
14.3.6 Vnitřní (svorkový) odpor přístroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
14.4 Číslicový voltmetr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
14.4.1 Analogově-číslicové převodníky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
14.4.2 Parametry analogově číslicového převodníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
14.4.3 Rušení u číslicových měřících přístrojů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
14.4.4 Příklad uvádění parametrů voltmetrů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
14.4.5 Příklad uvádění parametrů A/D převodníků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
15 Senzory 50
15.1 Rozdělení senzorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
15.2 Technické parametry senzorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
15.2.1 Statické vlastnosti senzorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
15.2.2 Dynamické vlastnosti senzorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
15.3 Metody zmenšení chyb senzorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
16 Chyba při vážení na analytických vahách 52
17 Využití systému FAMULUS 3.5 53
17.1 Vytvořené modely ve Famulovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
17.2 Dostupné knihovny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
17.2.1 Knihovna INTERP.FML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
17.2.2 Knihovna STAT.FML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
17.2.3 Knihovna STAT1.FML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
17.2.4 Knihovna MARQ.FML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3
1 Jevy a pravděpodobnost
Základní předpoklad: Každému jevu pozorovaném při daném náhodném pokusu náleží pravděpodobnost p
z intervalu 0 ≤ p ≤ 1. Jistý jev má pravděpodobnost 1, nemožný 0.
Opačný jev k jevu A nastává tehdy a jen tehdy, jestliže jev A nenastal.
VĚTA: Pravděpodobnost opačného jevu:
Má-li daný jev pravděpodobnost p, pak pravděpodobnost opačného jevu je 1-p.
VĚTA: Pravidlo o sčítání pravděpodobností:
Pravděpodobnost P, že nastane alespoň jeden z konečně mnoha vzájemně se vylučujících jevů o pravděpodobnostech
p1, p2, . . . je rovna součtu těchto pravděpodobností,
P = p1 + p2 + . . .
Poznámka: Pravidlo pro sčítání pravděpodobností je základem tzv. klasické definice pravděpodobnosti:
Předpokládejme, že se opakovaně a za stejných podmínek provádí náhodný pokus, jehož výsledkem může být
jistý náhodný jev. Připusťme, že bylo provedeno n pokusů a jev nastal m krát. Za pravděpodobnost považujeme
takové číslo P, pro které platí, že poměr m/n se blíží tím víc k číslu P, čím je n větší.
VĚTA: Pravidlo pro násobení pravděpodobností
Pravděpodobnost P, že zároveň nastane n nezávislých jevů o pravděpodobnostech p1, p2, . . . , pn je
P = p1p2 . . . pn.
2 Náhodná veličina
DEFINICE: Zákon rozdělení náhodné veličiny x je zákon, který udává pravděpodobnosti jevů, které lze
touto veličinou popsat, např. jevů x = xa nebo xa ≤ x ≤ xb atd.
DEFINICE: Diskrétní náhodné veličiny jsou veličiny, které nabývají jen konečně nebo spočetně mnoha
hodnot např. 0,1,2,... Jejich zákon rozdělení,
který také nazýváme diskrétním, je zcela popsán pravděpodobnostmi jednotlivých hodnot
pa = P{x = xa}.
DEFINICE: Spojité náhodné veličiny jsou veličiny, které mají tzv. spojitý zákon rozdělení, který je zcela
popsán hustotou pravděpodobnosti nebo stručně jen hustotou f(x) ≥ 0, jejíž integrací dostaneme pravděpodobnost,
že náhodná veličina padne do intervalu xa, xb :
P{xa ≤ x ≤ xb} =
xb
xa
f(x) dx. (1)
Je-li f(x) spojitá vyjadřuje f(x) dx pravděpodobnost, že náhodná veličina padne do intervalu x, x + dx .
DEFINICE:
Distribuční funkce F(xb) náhodné veličiny x je funkcí, která udává pro každé xb pravděpodobnost nerovnosti
x < xb. Pro diskrétní náhodné veličiny je F(xb) =
xa<xb
pa, kde pa = P{x = xa}, −∞ < xb < +∞.
Pro spojité náhodné veličiny je F(xb) =
xb
−∞
f(x) dx. Pro spojité náhodné veličiny tedy platí d
dx F(x) = f(x).
DEFINICE: Střední hodnota µ = E(x) = (x) = ¯x diskrétní náhodné veličiny x je definována takto:
µ =
a
xa pa. (2)
Pro spojité náhodné veličiny :
µ =
+∞
−∞
x f(x)dx (3)
4
Obrázek 1: Graf rozdělení pravděpodobnosti pro diskrétní náhodnou veličinu
Obrázek 2: Graf distribuční funkce pro diskrétní náhodnou veličinu z předcházejícího obrázku
DEFINICE: Rozptyl diskrétní náhodné veličiny je definován :
D(x) =
a
(xa − µ)2
pa =
a
x2
apa − µ2
(4)
Pro spojité náhodné veličiny
D(x) =
+∞
−∞
(x − µ)2
f(x) dx =
+∞
−∞
x2
f(x) dx − µ2
, (5)
kde µ je střední hodnota.
Příklad: Dokažte předcházející vztah:
+∞
−∞
(x − µ)2
f(x) dx =
+∞
−∞
x2
f(x) dx − 2µ
+∞
−∞
x f(x) dx + µ2
+∞
−∞
f(x) dx =
+∞
−∞
x2
f(x) dx − 2 µ2
+ µ2
=
=
+∞
−∞
x2
f(x) dx − µ2
.
+∞
−∞
f(x) dx = 1;
+∞
−∞
x f(x) dx = µ
Věta: Lineární funkce a x + b náhodné veličiny x má tuto střední hodnotu a rozptyl:
E(a x + b) = a E(x) + b; D(a x + b) = a2
D(x) (6)
Poznámka: Při analýze funkce náhodných veličin je třeba mít na paměti, že každá nelineární transformace
náhodné veličiny zkreslí její rozdělení a změní i závislost rozptylu na střední hodnotě. I v případě, že má měřená
5
veličina x konstantní rozptyl D(x) výsledky analýzy y = F(x) má již rozptyl nekonstantní, pro který přibližně
platí
σ2
(y) =
dF(x)
dx
2
σ2
(x) (7)
Navíc platí, že střední hodnotu ¯y nelze určit přímo dosazením ¯x do funkce F(x),
¯y = F(¯x) (8)
Obrázek 3: Hustota pravděpodobnosti pro spojitou náhodnou veličinu
Obrázek 4: Distribuční funkce pro spojitou náhodnou veličinu z předcházejícího obrázku
3 Vybrané typy rozdělení
3.1 Normální rozdělění
Normální rozdělení (Gaussovo rozdělení) je nejznámější model rozdělení spojité náhodné veličiny, používaný
v technické praxi. Při opakovaném měření téže veličiny za stejných podmínek způsobují náhodné, nekontrolovatelné
vlivy odchylky od skutečné měřené veličiny
DEFINICE: Normovaným normálním rozdělením nazýváme normální rozdělení, které má střední hodnotu 0
a rozptyl 1. Jeho hustota ϕ(x) a distribuční funkce φ(x) jsou
ϕ(x) =
1
√
2π
e−x2
/2
φ(x) =
1
√
2π
x
−∞
e−t2
/2
dt. (9)
DEFINICE: Obecným normálním rozdělením, stručně normálním rozdělením N(µ, σ2
), nazýváme normální
rozdělení se střední hodnotou µ, rozptylem σ2
, hustotou
f(x) =
1
σ
√
2π
e−(x−µ)2
/2σ2
=
1
σ
ϕ(
x − µ
σ
) (10)
6
Obrázek 5: Graf normálního rozdělení pro různé hodnoty σ
a distribuční funkci
F(x) =
1
σ
√
2π
x
−∞
e−(t−µ)2
/2σ2
dt = φ (
x − µ
σ
) (11)
σ je tzv. směrodatná odchylka.
Má-li náhodná veličina normální rozdělení se známou střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ. Pak
µ ± σ určuje interval, ve kterém leží 68% měřených hodnot (základ pro zavedení střední kvadratické chyby
měření), µ ± 3 σ určuje interval, ve které leží 99% měřených hodnot (základ pro určení krajní chyby měření).
Poznámka: Dostupné modely v systému FAMULUS 3.5
NORM1.FM: graf hustoty a distribuční funkce normálního rozdělení
NORM2.FM: kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty směrodatné odchylky
MORM3.FM:kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty střední hodnoty
NORM4.FM:zobrazuje interval spolehlivosti pro normální rozdělení
3.2 Studentovo rozdělení
DEFINICE: GAMA funkce Γ(a) =
∞
0
xa−1
e−x
dx, kde a > 0.
DEFINICE: STUDENTOVO rozdělení tn má hustotu
tn(x) =
Γ(n+1
2 )
√
nπ Γ(n
2 )
(1 +
x2
n
)
− n+1
2
(12)
Věta: Nechť x1, ..., xn je výběr z normálního rozdělení N(µ, σ2
). Pak náhodná veličina
T =
ˆx − µ
ˆs
(13)
má Studentovo rozdělení tn−1.
7
Obrázek 6: Graf Studentova rozdělení
Poznámka: Dostupné modely v systému FAMULUS 3.5
GAMA.FM: Graf gama funkce pro x > 0
GAMA1.FM: Graf gama funkce pro kladné i záporné hodnoty x
STUDENT.FM: Srovnání Studentova rozdělení s normálním rozdělením
STUDB.FM: Interval spolehlivosti pro Studentovo rozdělení
3.3 Poissonovo rozdělení
Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti má náhodná veličina, která vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobných,
řídkých jevů v určitém časovém, resp. objemovém intervalu.
Například počet pulsů registrovaných GM-trubicí za zvolený časový interval.
Pravděpodobnostní funkce p(x) je definována vztahem:
p(x, λ) =
λx
e−λ
x!
, (14)
kde x diskrétní náhodná veličina, nabývající pouze celočíselných hodnot 0, 1, ....., k a λ je parametr. Snadno
lze dokázat, že střední hodnota E(x) = λ a také rozptyl D(x) = λ. Parametr λ charakterizuje jak polohu, tak
i rozptýlení
3.4 Rovnoměrné neboli rektangulární rozdělení
Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení, jestliže má hustotu pravděpodobnosti
p(x) =
1
b − a
pro x ∈ (a, b), p(x) = 0 pro ostatní x (15)
E(X) =
a + b
2
, D(X) =
(b − a)2
12
. (16)
8
Obrázek 7: Srovnání normálního rozdělení (plná čára) se Studentovým rozdělením: trojúhelníky v=2; hvězdičky
v=10; body v=20
T
E
T
c
p(x)
1
b−a
xa b
4 Náhodné vektory
Další podrobnosti o nahodných vektorech naleznete například v [14]. Zde uvedeme jen základní definice.
4.1 Popis rozložení náhodného vektoru
Nechť X1, . . . , Xn jsou náhodné veličiny, Φ1, . . . , Φn jejich distribuční funkce (resp. ϕ1, . . . , ϕn hustoty pravděpodobnosti
ve spojitém případě resp. π1, . . . πn pravděpodobnostní funkce v diskrétním případě).
Náhodný vektor je uspořádaná n-tice X = (X1, . . . , Xn). Jeho distribuční funkci definujeme vztahem:
∀ (x1, . . . , xn) ∈ Rn
: Φ(x1, . . . , xn) = P(X1 ≤ x1 ∩ . . . ∩ Xn ≤ xn). (17)
Φ(x1, . . . , xn) má anlogické vlastnosti jako distribuční funkce skalární náhodné veličiny: speciálně je neklesající
a zprava spojitá vzhledem ke každé jednotlivé proměnné, dale
lim
x1→∞,...,xn→∞
Φ1(x1, . . . , xn) = 1 (18)
9
Obrázek 8: Poissonovo rozdělení
∀ i ∈ (1, . . . , n) : lim
xi→−∞
Φ1(x1, . . . , xn) = 0 (19)
∀ i ∈ (1, . . . , n) : lim
x1→∞,...,xi−1→∞,xi+1→∞,...,xn→∞
Φ1(x1, . . . , xn) = Φi(xi) (20)
Φi(xi) se v této souvislosti nazývá marginální distribuční funkce náhodné veličiny Xi a Φ(x1, . . . , xn) se
nazývá simultánní distribuční funkce náhodné vekoru X.
4.2 Diskrétní náhodný vektor
Náhodný vektor X = (X1, . . . , Xn) se nazývá diskrétní, právě když existuje funkce π(x1, . . . , xn), která je nulová
v Rn
s výjimkou nejméně jednoho a nejvýše spočetně mnoha bodů, kde je kladná
(pro všechna (x1, . . . , xn) ∈ Rn
: π(x1, . . . , xn) ≥ 0), je normovaná
(
∞
x1=−∞
. . .
∞
xn=−∞
π(x1, . . . , xn) = 1) a platí pro ni:
∀ (x1, . . . , xn) ∈ Rn
: Φ(x1, . . . , xn) =
t1≤x1
. . .
tn≤xn
π(t1, . . . , tn). (21)
Funkce π(x1, . . . , xn) se nazývá pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru X.
Pro pravděpodobnostní funkci dále platí:
∀ (x1, . . . , xn) ∈ Rn
: π(x1, . . . , xn) = P(X1 = x1 ∧ . . . ∧ Xn = xn) (22)
∀ i ∈ (1, . . . , n) :
x1∈R
. . .
xi−1∈R xi+1∈R
. . .
xn∈R
π(xi, . . . , xn) = πi(xi). (23)
πi(xi) se nazývá marginální pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Xi a π(x1, . . . , xn) simultánní
pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru X.
Pravděpodobnost, že náhodný vektor X = (X1, . . . , Xn) se bude realizovat v oblasti B ⊆ Rn
, se vypočte
podle vzorce
P(X ∈ B) =
(x1,...,xb)
...
∈ B
π(x1, . . . , xn). (24)
10
4.3 Spojitý náhodný vektor
Náhodný vektor X = (X1, . . . , Xn) se nazývá spojitý, právě když existuje po částech spojitá nezáporná funkce
ϕ(x1, . . . xn) (vlastnost S1: pro všechna (x1, . . . xn) ∈ Rn
: ϕ(x1, . . . , xn) ≥ 0), která je normovaná
(vlastnost S2:
∞
−∞
. . .
∞
−∞
ϕ(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn = 1)
a platí pro ni
∀ (x1, . . . , xn) ∈ Rn
: Φ(x1, . . . , xn) =
x1
−∞
. . .
xn
−∞
ϕ(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn. (25)
Funkce ϕ(x1, . . . , xn) se nazývá hustota pravděpodobnosti spojitého náhodného vektoru X.
Pro hustotu pravděpodobnosti dále platí:
ϕ(x1, . . . , xn) =
∂Φ(x1, . . . , xn)
∂x1 . . . ∂xn
(26)
ve všech bodech spojitosti funkce ϕ(x1, . . . , xn).
∀ i ∈ (1, . . . , n) :
∞
−∞
. . .
∞
−∞
∞
−∞
. . .
∞
−∞
ϕ(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxi−1dxi+1 . . . dxn = ϕi(xi). (27)
ϕi(xi) se nazývá marginální hustota náhodné veličiny Xi a ϕ(x1, . . . , xn) simultánní hustota náhodného
vektoru X.
Pravděpodobnost, že náhodný vektor X = ((X1, . . . , Xn) se bude ralizovat v oblasti B ⊆ Rn
, se vypočte
podle vzorce
P(X ∈) =
B
. . . ϕ(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn, (28)
pokud integrál vpravo existuje.
Příklad: Nezávisle na sobě hodíme dvěma kostkami. Náhodná veličina X1 udává počet ok, která padla na první
kostce a náhodná veličina X2 udává maximum z počtu ok, která padla na obou kostkách. Najděte simultánní
pravděpodobnostní funkci π(x1, x2) a obě marginální pravděpodobnostní funkce π1(x1) a π2(x2).
π(1, 1) = 1/36 π(1, 2) = 1/36 π(1, 3) = 1/36 π(1, 4) = 1/36 π(1, 5) = 1/36 π(1, 6) = 1/36 π1(1) = 1/6
π(2, 1) = 0 π(2, 2) = 2/36 π(2, 3) = 1/36 π(2, 4) = 1/36 π(2, 5) = 1/36 π(2, 6) = 1/36 π1(2) = 1/6
π(3, 1) = 0 π(3, 2) = 0 π(3, 3) = 3/36 π(3, 4) = 1/36 π(3, 5) = 1/36 π(3, 6) = 1/36 π1(3) = 1/6
π(4, 1) = 0 π(4, 2) = 0 π(4, 3) = 0 π(4, 4) = 4/36 π(4, 5) = 1/36 π(4, 6) = 1/36 π1(4) = 1/6
π(5, 1) = 0 π(5, 2) = 0 π(5, 3) = 0 π(5, 4) = 0 π(5, 5) = 5/36 π(5, 6) = 1/36 π1(5) = 1/6
π(6, 1) = 0 π(6, 2) = 0 π(6, 3) = 0 π(6, 4) = 0 π(6, 5) = 0 π(6, 6) = 6/36 π1(6) = 1/6
π2(1) = 1/36 π2(2) = 3/36 π2(3) = 5/36 π2(4) = 7/36 π2(5) = 9/36 π2(6) = 11/36
Příklad Nechť je dán systém složený ze dvou bloků. Pravděpodobnost, že i-tý blok správně funguje je θi,
0 < θi < 1 pro i = 1, 2 a pravděpodobnost, že správně fungují oba bloky je θ12, 0 < θ12 < 1. Nechť náhodná
veličina Xi je ukazatel fungování i-tého bloku, i=1,2. Vyjádřete pravděpodobnostní funkci π(x1, x2) náhodněho
vektoru (X1, X2) a obě marginální pravděpodobnostní funkce π1(x1) a π2(x2).
π(0, 0) = 1 − θ1 − θ2 + θ12 π(0, 1) = θ2 − θ12 π1(0) = 1 − θ1
π(1, 0) = 1 − θ1 − θ12 π(1, 1) = θ12 π1(1) = θ1
π2(0) = 1 − θ2 π2(1) = θ2
5 Chyby
5.1 Klasifikace chyb
Chyby měření podle místa vzniku dělíme do čtyř základních skupin:
1. Instrumentální chyby
Jsou způsobeny konstrukcí měřícího přístroje a určují jeho kvalitu. U řady přístrojů jsou známy a garantovány
výrobcem.
11
2. Metodické chyby
Souvisejí s použitou metodikou stanovení výsledků měření, jako je odečítání dat, organizace měření, eliminace
vnějších vlivů atd.
3. Teoretické chyby
Souvisí s použitým postupem měření. Jde zejména o principy měření, fyzikální modely měření, použité
parametry atd.
4. Chyby zpracování dat
Jde o chyby numerické metody a chyby způsobené užitím nevhodných metod statistického vyhodnocení.
Podle původu (příčiny vzniku) můžeme chyby měření rozdělit do tří skupin.
1. Chyby hrubé - omyly
Vznikají buď přehlédnutím při měření nebo použitím vadného měřícího přístroje. Kontrolou se dají poměrně
snadno odhalit a jejich vliv na měření je možné vyloučit.
2. Chyby soustavné - systematické
Jsou způsobeny neustále stejnou příčinou. Navenek se většinou projevují tak, že při mnohonásobném opakování
téhož měření je naměřená hodnota soustavně vyšší nebo nižší, než skutečná hodnota. Systematické
chyby je možné zdokonalením měřící metody a použitím nezávislých měřících metod zcela omezit. Lze je
rozdělit do 4 skupin.
• chyby metody
• chyby metody vyhodnocení
• chybné stanovení podmínek měření
• chyby přístrojů
Systematické chyby měřících přístrojů se dělí na aditivní (chyba nastavení nulové hodnoty) a multiplikativní
(chyba citlivosti). Typ a velikost chyby přístroje bývají garantovány výrobcem.
3. Chyby nahodilé
Nejeví známky pravidelnosti, nedaří se objevit jejich příčiny, ani odstranit jejich vliv na měření. Přestože
tyto chyby není možné odstranit, je možné je metodami matematické statistiky popsat a určit jejich vliv
na přesnost měřeních. Působením nahodilých chyb se samotná měřená veličina stává nahodilou veličinou.
Výsledkem opakovaného měření této veličiny je řada hodnot x1, x2, . . . , xn. Takto získané hodnoty jsou
náhodným výběrem z tak zvaného základního souboru.
5.2 Zavedení pojmu chyba
V literatuře se setkáme s různým způsobem zavedením pojmu chyba měření, což začátečníkům komplikuje
orientaci v problematice. Často se chyba měření δ(x) definuje jako odchylka výsledku měření x od skutečné
hodnoty měřené veličiny x tj. δ(x) = x−x . Definice je sice názorná, ale přesně vzato, je takováto chyba v praxi
použitelná jen v případě, že provádíme měření na standardu a známe, skutečnou hodnotu měřené veličiny.
V [6] je chyba zavedena takto: Výsledkem každého měření je náhodná veličina, která obsahuje kromě informace
také šum, tj. chyby měření. Velikost chyby měření je kritériem kvality procesu měření nebo měřícího
přístroje.
Častěji se setkáváme se ”statistickou definicí” chyby měření Je-li x’ výsledek měření a δ(x) je chyba tohoto
měření odpovídající míře jistoty p, pak skutečná hodnota měřené veličiny leží s pravděpodobností p v intervalu
x’ ± δ(x).
Ve fyzice bývá zvykem volit buď p = 0, 68 a pak mluvíme o střední kvadratické chybě nebo p = 0, 99 a pak
mluvíme o krajní chybě měření.
V technické praxi se často setkáme s tím, že z manuálu přístroje není zřejmé jaké hodnotě p, uvedená chyba
odpovídá. Většinou však má výrobce na mysli chybu krajní. V praxi je také velice obtížné rozlišit systematickou
a nahodilou složku chyb přístrojů.
12
5.3 Chyba v ČSN normách
Například v ČSN 35 6505 ze dne 9.4. 1975 je uvedeno:
Chyba - číselně vyjádřený rozdíl mezi údajem přístroje a skutečnou hodnotou měřené veličiny. U přístrojů,
které jsou zdrojem elektrické veličiny, je chyba rozdíl mezi skutečnou a jmenovitou, indikovanou a nastavenou
hodnotou.
Poznámka:
1. Skutečná hodnota je hodnota, která se zjistí při měření bez chyb.
2. Protože se v praxi skutečná hodnota nedá určit měřením, používá se místo skutečné hodnoty smluvená skutečná
hodnota, která se skutečné hodnotě blíží (s ohledem na chybu, která se má určovat). Tuto hodnotu lze
získat navázáním na národní etalon.
Absolutní chyba - chyba vyjádřená číselně v jednotkách měřené nebo vytvářené veličiny.
Poměrná chyba (relativní) - poměr absolutní chyby ke skutečné hodnotě měřené veličiny.
Chyba vyjádřená v procentech - poměr absolutní chyby ke skutečné hodnotě, vyjádřené v procentech.
Vztažná hodnota - hodnota, ke které se vztahuje chyba vyjádřená v procentech.
Základní chyba - chyba stanovená v referenčních podmínkách.
Přídavná chyba - chyba stanovená v podmínkách, kdy jedna z ovlivňujících veličin zaujímá libovolnou hodnotu
v mezích jmenovitého rozsahu používání, přičemž všechny ostatní ovlivňující veličiny se nacházejí v referenčních
podmínkách.
Poznámky:
1. Při udávání přídavné chyby se základní chyba neuvažuje
2. Použije-li se pro vyjádření přídavné chyby tohoto výrazu ve jmenovitých poracovních podmínkách, zahrnuje
se do této chyby i základní chyba.
Chyba stálosti (stabilita) - chyba v indikované hodnotě nebo hodnotě vytvářené přístrojem během stanovené
doby, přičemž ostatní podmínky se nemění.
Meze chyb - maximální hodnoty chyb uvedené výrobcem pro jakýkoliv parametr přístroje ve stanovených
podmínkách (referenčních, jmenovitých, pracovních apod.)
Naměřená hodnota - údaj odečtený na přístroji; je uváděn jako součin číselné hodnoty a jednotky měřené
veličiny.
Referenční podmínky - souhrn podmínek nebo rozsahů pro parametry a ovlivňující veličiny, při kterých údaj
přístroje splňuje ustanovení o dovolených chybách, při kterých se u přístroje ověřuje základní chyba nebo se
přístroje nastavují.
Jmenovitý rozsah použití - rozsah hodnot ovlivňujících veličin, ve kterém přístroj splňuje požadavky na
chyby ve jmenovitých pracovních podmínkách.
Jmenovité pracovní podmínky - souhrn pracovních hodnot, rozsahů, parametrů a ovlivňujících veličin, v jejíchž
rozmezí jsou udány technické vlastnosti přístroje.
Doba náběhu přístroje - doba po zapnutí přístroje potřebná k tomu, aby přístroj dosáhl vlastností udávaných
výrobcem.
Chyby měření se uvádějí číselnými hodnotami:
• a) meze základní chyby
• b) meze chyb ve jmenovitých pracovních podmínkách, včetně chyb způsobených vlivy a variacemi podle
úvahy výrobce. (Nejsou-li uvedeny chyby ve jmenovitých pracovních podmínkách, jsou rovny základní
chybě.)
• c) meze chyb měření. Tyto lze udávat i při libovolných velikostech ovlivňujících veličin v mezích jmenovitého
rozsahu používání.
Vyjadřování chyb
Chyba přístroje se musí vyjádřit jedním z těchto způsobů:
• a) v procentech nebo poměrných hodnotách vztažených ke skutečné hodnotě měřené veličiny (pro přístroje
s přímým odečítání)
13
• b) v procentech nejvyšší hodnoty pracovní části stupnice (pro přístroje s jednostrannou stupnicí a stupnicí
bez nuly)
• c) v procentech součtu absolutních nejvyšších hodnot pracovní části stupnice (pro přístroje s dvoustrannou
stupnicí)
• d) v procentech délkového rozdílu mezi nejvyšší a nejnižší hodnotou pracovního úseku stupnice (pro
přístroje s logaritmickou a hyperbolickou stupnicí a s exponenciální stupnicí s exponentem větším než 3)
• e) jako součet dvou hodnot, z nichž jedna závisí na měřené veličině a druhá má stálou hodnotu.
• f) v absolutních hodnotách měřené veličiny pro přístroje s přímým čtením (ve stupních, watech, hertzech
apod.)
• g) v logaritmických jednotkách
Poznámka:
1. Chyba měření číslicových přístrojů se vyjadřuje jedním z výše uvedených způsobů s přičtením chyby číslicového
údaje v absolutní hodnotě nebo v jednotkách nejnižšího řádu údaje.
2. Meze chyb u přístrojů s víc rozsahy nebo stupnicemi mohou být pro různé rozsahy nebo nejvyšší hodnoty
pracovní části každé stupnice různé.
5.4 Rozlišení systematické a nahodilé složky chyb
Pokud provádíme měření na standardu se známou hodnotou µ, je možné při každém opakovaném měření
xi, i = 1, ..., n stanovit celkovou chybu měření podle vztahu ∆i = xi − µ. Pokud nejsou v datech hrubé chyby,
je průměrná hodnota chyby měření ¯∆ = 1
n
n
i=1
∆i odhadem její systematické složky a rozdíl ¯∆ − ∆i je odhadem
náhodné složky chyby měření. Kromě průměrné chyby ˆ∆ se používá střední kvadratická chyba definovaná vztahem
σ∆ = 1
n−1
n
i=1
∆2
i . Pokud je ¯∆
.
= 0, považuje se σ∆ za průměrnou náhodnou chybu měření. Systematické
a náhodné chyby souvisejí s pojmy přesnost a správnost měřících přístrojů:
Přesnost přístroje je definována jako rozmezí statistické nejistoty výsledků. Souvisí s náhodnými chybami
a odpovídá reprodukovatelnosti měření. Vyjadřuje se jako rozptyl kolem střední hodnoty n-tice naměřených
výsledků.
Správnost přístrojů udává průměrnou vzdálenost výsledků měření od skutečné hodnoty a souvisí se
systematickými chybami. Odpovídá odchýlení průměrné hodnoty výsledku měření od teoretické hodnoty.
Zatímco přesnost lze odhadnout na základě statistické analýzy opakovaných měření, správnost je nutno
stavovat s využitím standardů nebo více přístrojů. Názorně je to vidět na následujícím obrázku:
a)
b)
c)
d)
w w w w www wwww
w w w wwwwwww ww
w ww ww w w w w ww
w w w wwww w w w w
ˆx
ˆx
ˆx
µ
µ
µ
µ
ˆx
správná a dosti přesná
spravná, ale málo přesná
dosti přesná, ale nesprávná
málo přesná a nesprávná
Posouzení opakovaných měření
6 Výběrový rozptyl
V praxi většinou neznáme rozdělení náhodné veličiny, kterou zkoumáme. V jednodušších případech známe
alespoň typ rozdělení a zbývá určit jen parametry, které je charakterizují. Například při zkoumání nahodilých
chyb ve fyzice většinou předpokládáme, že zkoumaná veličina má normální rozdělení a provádíme statistický
14
odhad střední hodnoty a rozptylu. Při tom postupujeme tak, že opakovaným měřením za týchž podmínek
získáme náhodný výběr hodnot x1, x2, ..., xn z možných výsledků měření.
Aritmetický průměr:
ˆx =
n
i=1
xi
n
(29)
Výběrový rozptyl okolo střední hodnoty:
D =
n
i=1
( (x) − xi)2
n
(30)
Určení rozptylu D (vyloučení střední hodnoty, kterou neznáme):
Protože neznáme (x) postupujeme takto: označíme i = xi − (x) a ∆i = xi − ˆx.
Vzájemným odečtením obou posledních rovnic dostaneme i − ∆i = ˆx − (x).
Sečtením přes všechna i dostaneme
n
i=1
i −
n
i=1
∆i = n(ˆx − (x))
Protože platí
n
i=1
∆i = 0 je možné poslední rovnici upravit takto
∆k = k −
1
n
n
i=1
i
Umocněním poslední rovnice a sečtením přes všechna k dostaneme
n
k=1
∆2
k =
n
k=1
2
k −
1
n
(
n
k=1
2
k + 2
n
i>k
i k)
Zanedbáme-li v závorce výraz s i k, v němž sčítáme jak kladná, tak záporná čísla, dostaneme vztah pro výběrový
rozptyl
D =
n
i=1
(ˆx − xi)2
n − 1
(31)
Častěji než rozptyl se používá standardní (směrodatná) odchylka s jednoho měření
s =
√
D =
n
i=1
(ˆx − xi)2
n − 1
(32)
7 Chyba nepřímo měřené veličiny
Při vlastním měření přestavuje měřená veličina xi zřídka požadovaný výsledek měření. Většinou je nutno naměřit
veličiny x1, x2, ..., xm a výslednou veličinu y vypočítat ze vztahu y = f(x1, x2, ....xm). K odhadu střední
hodnoty hledané veličiny a rozptylu lze použít:
• metody Taylorova rozvoje funkce y = f(x1, x2, ...., xm)
• metody dvoubodové aproximace
• metody simulačního výpočtu Monte Carlo
Při běžných měřeních ve fyzice se nejvíce používá metoda Taylorova rozvoje. Metoda dvoubodové aproximace
je založena na náhradě rozdělení pravděpodobnosti funkce y = f(x1, x2, ....xm) dvoubodovým rozdělením se
stejnou střední hodnotou a rozptylem [6].
ˆy =
m
i=1
f(ˆxi + ˆsxi
) + f(ˆxi − ˆsxi
)
2 m
; s2
y =
m
i=1
[f(ˆxi + ˆsxi
) − f(ˆxi − ˆsxi
)]2
4 m
(33)
Metoda Monte Carlo je počítačově orientovaná metoda vycházející z techniky simulace experimentů metodou
Monte Carlo [6].
15
7.1 Metoda Taylorova rozvoje funkce - zákon přenosu chyb
7.1.1 Taylorův rozvoj funkce
Podle Taylorovy věty [1] platí
f(x + h) = f(x) +
f (x)
1!
h +
f (x)
2!
h2
+ . . . +
f(n)
(x)
n!
hn
+ Rn+1(x) (34)
Například:
ex
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .
Obdobně lze rozvést v řadu v okolí nějaké hodnoty i funkce více proměnných
f(x1 + h1, x2 + h2 + . . . + xm + hm) = f(x1 + x2 + . . . + xm) +
m
i=1
hi
∂f
∂xi
1!
+ . . . +
m
i=1
hn
i
∂n
f
∂xi
n!
+ Rn+1
7.1.2 Zákon přenosu chyb
Například v [3] najdeme následující jednoduché odvození zákona přenosu chyb. Mějme aritmetické průměry
ˆx1, ˆx2, ..., ˆxm m přímo měřených veličin
Odhad střední hodnoty hledané veličiny y vypočteme ze vztahu
ˆy
.
= f(ˆx1, ˆx2, ...., ˆxm) (35)
Změnu y vyjádříme diferenciálem
dy = (
∂f
∂x1
)x2,...,xm
dx1 + ..... + (
∂f
∂xm
)x1,....,xm−1
dxm (36)
Předpokládáme i platnost pro konečné odchylky
ˆy − yi = (
∂f
∂x1
)(ˆx1 − x1i) + ..... + (
∂f
∂xm
)(ˆxm − xmi)
Předpokládejme, že každá z veličin x1, ..., xm byla změřena n-krát. Umocněním poslední rovnice a sečtením přes
všechna i dostaneme
n
i=1
(ˆy − yi)2
n − 1
= (
∂f
∂x1
)2
n
i=1
(ˆx1 − x1i)2
n − 1
+ .... + (
∂f
∂xm
)2
n
i=1
(ˆxm − xmi)2
n − 1
Po odmocnění dostaneme zákon přenosu (hromadění) chyb
ˆsy = (
∂f
∂x1
)2 ˆs2
x1
+ .... + (
∂f
∂xm
)2 ˆs2
xm
(37)
7.1.3 Obecnější odvození zákona přenosu chyb
Výše popsaný způsob odvození vyhovuje pro většinu případů určování chyb měření ve fyzice, kdy se dá předpokládat,
že měřené veličiny jsou na sobě nezávislé, směrodatná odchylka je malá ve srovnání se střední hodnotou.
Přesnější odvození nalezneme například v [6]. Postupuje se zde tak, že funkce y = f(x1, x2, . . . , xm) se v okolí
střední hodnoty ¯x = (¯x1, . . . ¯xm) se rozvine v Taylorovu řadu a vypočteme střední hodnotu a rozptyl. Složitost
výpočtu záleží na počtu členů řady, které musíme vzít v úvahu pro dosažení požadované přesnosti výpočtu. Pro
většinu běžných případ vystačíme pro rozptyl se vztahem
s2
(y)
.
=
m
i=1
∂f
∂xj
2
s2
(xi) + 2
m−1
i=1
m
j=i+1
∂f
xi
2 ∂f
xj
2
cov(xi, xj), (38)
kde cov(xi, xj) kovariance mezi veličinami xi a xj, která udává závislost mezi náhodnými veličinami xi a xj.
Platí cov(xi, xj) = E[(xi − ¯xi) (xj − ¯xj)].
Pro případ vzájemně nezávislých veličin jsou kovariance rovny nule a dostaneme výše odvozený zákon šíření
chyb. S případů, kdy není možno kovarianci veličin je možné připomenou například prokládaní přímky, popřípadě
polynomu experimentálními body metodou nejmenších čtverců. Počítáme-li chybu bodů y = k ∗ x + q, je nutné
uvažovat korelaci veličin k a q.
16
7.2 Využití zákona přenosu chyb
Použijeme následující značení:
δ(x) - chyba vyjádřená absolutně
δr(x) - chyba vyjádřená relativně (δr(x) = δ(x)
x ). Ze zákona přenosu chyb snadno odvodíme následující vztahy:
y = x1 ± x2 ± . . . ± xk =⇒ δ(y) = δ2(x1) + δ2(x2) + . . . + δ2(xk) (39)
y = k x =⇒ δ(y) = k δ(x) (40)
y = x1 x2 . . . xk =⇒ δr(y) = δ2
r (x1) + . . . + δ2
r (xk) (41)
y =
x1
x2
=⇒ δr(y) = δ2
r (x1) + δ2
r (x2) (42)
y = xn
=⇒ δr(y) = n δr(x) (43)
Příklad: y = x1 − x2. Na základě zákona přenosu chyb odvoďte vztah pro určení chyby δ(y), znáte-li chyby
δ(x1) a δ(x2).
∂y
∂x1
= 1;
∂y
∂x2
= −1; δ(y) = (
∂y
∂x1
)2 δ2(x1) + (
∂y
∂x2
)2 δ2(x2) = δ2(x1) + δ2(x2)
Příklad: y = x1 x2. Na základě zákona přenosu chyb odvoďte vztah pro určení relativní chyby δr(y), znáte-li
relativní chyby δr(x1) a δr(x2).
∂y
∂x1
= x2;
∂y
∂x2
= x1; δ(y) = (
∂y
∂x1
)2 δ2(x1) + (
∂y
∂x2
)2 δ2(x2) = δ2(x1) x2
2 + δ2(x2) x2
1
δr(y) =
δ(y)
y
=
δ(y)
x1 x2
=
δ2(x1)
x2
1
+
δ2(x2)
x2
2
= δ2
r (x1) + δ2
r (x2)
Příklad: Pro měření teploty v elektrickém kalorimetru používáme teploměr, který měří teplotu t s chybou
δ(t) = 0, 2 ◦
C. O kolik musí vzrůst teplot v kalorimetru, abychom změnu teploty dokázali změřit s relativní
chybou 1%?
Označme ∆t = t2 − t1. Chyba δ(∆t) = δ2(t2) + δ2(t1) = δ2(t) + δ2(t) =
√
2 δ(t) = 0.28 ◦
C.
Relativní chyba δr(∆t) = δ(∆t)/∆t = 0, 28/∆t = 0, 02. Z této rovnice vyplývá, že ∆t = 14 ◦
C.
Příklad: Měření vlhkosti vzduchu [2]: Vzduch se nasává přes U trubici s hygroskopickou látkou. Vážením
trubice na analytických vahách dostaneme hmotnost trubice před měřením m1 a hmotnost trubice po měření
m2. Objem nasátého vzduchu V určíme z množství prokapané vody (hmotnosti M1 a M2). V = (M2 − M1)/ .
je měrná hmotnost vody.
ϕ =
(m2 − m1)
M2 − M1
; δr(ϕ) = δ2
r (m2 − m1) + δ2
r (M2 − M1) + δ2
r ( )
δr(m2 − m1) =
δ2(m2) + δ2(m1)
m2 − m1
; δr(M2 − M1) =
δ2(M2) + δ2(M1)
M2 − M1
Pro vážení na analytických vahách obvykle platí: δ(m1) = δ(m2) = κ(n)
c , kde κ(n) je krajní chyba čtení na
stupnici vah, c je citlivost vah.
17
8 Určení chyby aritmetického průměru
8.1 Směrodatná odchylka aritmetického průměru
Pro aritmetický průměr ˆx =
n
i=1
xi
n platí ˆsx = ( 1
n )2 s2
x1
+ ..... + ( 1
n )2 s2
xn
.
Protože měření je prováděno za stejných podmínek je sx1
= sx2
= ...... = sx.
ˆsx =
sx
√
n
(44)
ˆsx =
n
i=1
(ˆx − xi)2
n(n − 1)
=
n
i=1
x2
i − 1
n (
n
i=1
xi)2
n(n − 1)
(45)
POZNÁMKA: Většina kalkulaček má zabudovanou i statistiku, to znamená, že umožňuje výpočet aritmetického
průměru a směrodatné odchylky jednoho měření, která bývá často značena jako σ. Podělíme-li směrodatnou
odchylku jednoho měření odmocninou z počtu měření, dostaneme směrodatnou odchylku aritmetického průměru.
Je však nutno dát pozor na to, že často kalkulačka umožňuje určit i veličinu většinou označenou S < σ, ze které
směrodatnou odchylku aritmetického průměru získáme tak, že ji podělíme
√
n − 1.
8.2 Interval spolehlivosti
Má-li měřená veličina normální rozdělení můžeme k výpočtu intervalu spolehlivosti využít následující věty.
Věta: Nechť x1, ..., xn je výběr z normálního rozdělení N(µ, σ2
). Pak náhodná veličina
T =
ˆx − µ
ˆs
(46)
má Studentovo rozdělení tn−1. Velikost intervalu spolehlivosti je určena součinem směrodatné odchylky aritmetického
průměru ˆs a Studentova koeficientu tp n−1, kde n je počet měření a p je míra jistoty. (Je-li například
p = 0, 68, pak existuje 68% pravděpodobnost, že skutečná hodnota měřené veličiny leží v určeném intervalu).
x = (ˆx ± tp n−1 ˆs), (47)
kde
p =
tp n−1
−tp n−1
tn−1(z) dz. (48)
tp n−1 je Studentův koeficient, tn−1(z) je Studentovo rozdělení pro n − 1 stupňů volnosti.
18
Tabulka Studentových koeficientů:
P 0.050 0.100 0.200 0.500 0.683 0.900 0.954 0.980 0.990
v
1 0.079 0.158 0.325 1.000 1.839 6.314 13.815 31.821 63.657
2 0.071 0.142 0.289 0.816 1.322 2.920 4.500 6.965 9.925
3 0.068 0.137 0.277 0.765 1.198 2.353 3.292 4.541 5.841
4 0.067 0.134 0.271 0.741 1.142 2.132 2.858 3.747 4.604
5 0.066 0.132 0.267 0.727 1.111 2.015 2.640 3.365 4.032
6 0.065 0.131 0.265 0.718 1.091 1.943 2.508 3.143 3.707
7 0.065 0.130 0.263 0.711 1.077 1.895 2.421 2.998 3.499
8 0.065 0.130 0.262 0.706 1.067 1.860 2.359 2.896 3.355
9 0.064 0.129 0.261 0.703 1.059 1.833 2.313 2.821 3.250
10 0.064 0.129 0.260 0.700 1.053 1.812 2.277 2.764 3.169
11 0.064 0.129 0.260 0.697 1.048 1.796 2.249 2.718 3.106
12 0.064 0.128 0.259 0.695 1.044 1.782 2.225 2.681 3.055
13 0.064 0.128 0.259 0.694 1.041 1.771 2.206 2.650 3.012
14 0.064 0.128 0.258 0.692 1.038 1.761 2.189 2.624 2.977
15 0.064 0.128 0.258 0.691 1.035 1.753 2.175 2.602 2.947
16 0.064 0.128 0.258 0.690 1.033 1.746 2.163 2.583 2.921
17 0.064 0.128 0.257 0.689 1.031 1.740 2.153 2.567 2.898
18 0.064 0.127 0.257 0.688 1.029 1.734 2.143 2.552 2.878
19 0.064 0.127 0.257 0.688 1.028 1.729 2.135 2.539 2.861
20 0.063 0.127 0.257 0.687 1.026 1.725 2.128 2.528 2.845
21 0.063 0.127 0.257 0.686 1.025 1.721 2.121 2.518 2.831
22 0.063 0.127 0.256 0.686 1.024 1.717 2.115 2.508 2.819
23 0.063 0.127 0.256 0.685 1.023 1.714 2.109 2.500 2.807
24 0.063 0.127 0.256 0.685 1.022 1.711 2.104 2.492 2.797
25 0.063 0.127 0.256 0.684 1.021 1.708 2.100 2.485 2.787
26 0.063 0.127 0.256 0.684 1.020 1.706 2.096 2.479 2.779
27 0.063 0.127 0.256 0.684 1.020 1.703 2.092 2.473 2.771
28 0.063 0.127 0.256 0.683 1.019 1.701 2.088 2.467 2.763
29 0.063 0.127 0.256 0.683 1.018 1.699 2.085 2.462 2.756
30 0.063 0.127 0.256 0.683 1.018 1.697 2.082 2.457 2.750
31 0.063 0.127 0.256 0.682 1.017 1.696 2.079 2.453 2.744
32 0.063 0.127 0.255 0.682 1.017 1.694 2.076 2.449 2.738
33 0.063 0.127 0.255 0.682 1.016 1.692 2.074 2.445 2.733
34 0.063 0.127 0.255 0.682 1.016 1.691 2.071 2.441 2.728
35 0.063 0.127 0.255 0.682 1.015 1.690 2.069 2.438 2.724
36 0.063 0.127 0.255 0.681 1.015 1.688 2.067 2.434 2.719
37 0.063 0.127 0.255 0.681 1.014 1.687 2.065 2.431 2.715
38 0.063 0.127 0.255 0.681 1.014 1.686 2.063 2.429 2.712
39 0.063 0.126 0.255 0.681 1.014 1.685 2.061 2.426 2.708
40 0.063 0.126 0.255 0.681 1.013 1.684 2.059 2.423 2.704
41 0.063 0.126 0.255 0.681 1.013 1.683 2.058 2.421 2.701
42 0.063 0.126 0.255 0.680 1.013 1.682 2.056 2.418 2.698
43 0.063 0.126 0.255 0.680 1.012 1.681 2.055 2.416 2.695
44 0.063 0.126 0.255 0.680 1.012 1.680 2.053 2.414 2.692
45 0.063 0.126 0.255 0.680 1.012 1.679 2.052 2.412 2.690
46 0.063 0.126 0.255 0.680 1.012 1.679 2.051 2.410 2.687
47 0.063 0.126 0.255 0.680 1.011 1.678 2.050 2.408 2.685
48 0.063 0.126 0.255 0.680 1.011 1.677 2.049 2.407 2.682
49 0.063 0.126 0.255 0.680 1.011 1.677 2.047 2.405 2.680
50 0.063 0.126 0.255 0.679 1.011 1.676 2.046 2.403 2.678
Poznámka: Tabulka Studentových koeficientů byla vytvořena programem STUSTAB.FM v systému FAMULUS
3.5. Program využívá knihovnu STAT1.FML, která obsahuje funkci Tstud(1-p,v), která počítá Studentovy
koeficienty. K určení Studentových koeficientů je možné využít také program EXCEL 5. Ten obsahuje funkci
TINV (1 − p; v), která umožňuje počítat Studentovy koeficienty.
19
Příklad: Ukázka výpočtu chyby aritmetického průměru pro 10 měření výšky válečku:
Výška v odchylka ∆ ∆2
mm mm mm2
4,6 -0,11 0,0121
4,5 -0,01 0,0001
4,7 -0,21 0,0441
4,4 0,09 0,0081
4,5 -0,01 0,0001
4,6 -0,11 0,0121
4,4 0,09 0,0081
4,4 0,09 0,0081
4,3 0,19 0,0361
4,5 -0,01 0,0001
44,9 0,129
ˆv =
n
i=1
vi
n = 4, 49; mm ∆ = ˆv − vi; ˆs =
n
i=1
(ˆv−vi)2
n(n−1) = 0, 038 mm; t0,68 9 = 1, 059
v = (4.49 ± 0.04)mm
Příklad: Délka byla měřena 6 krát a výsledek měření je uveden takto: d = (12.5 ± 0.3) mm. S úrovní
spolehlivosti 0,980. Zapište výsledek měření pro úroveň spolehlivosti 0,683.
p = 0, 983, n − 1 = 5, 0, 3 = tp n−1 ˆs(d). Protože tp n−1 = 3.365 je ˆs(d) = 0, 3/3.365 = 0.089 mm.
Pro p = 0.683 je Studentův koeficient t0.683 5 = 1, 111.
Výsledek je možno napsat ve tvaru d = (12, 5 ± 0, 1) mm.
9 Metoda nejmenších čtverců
Obrázek 9: Proložení přímky metodou nejmenších čtverců
Mějme naměřenou závislost, tj. soubor dvojic x1 , y1 ; x2 , y2 ; . . . ; xn , yn
Těmito body proložíme funkci y = f(x, b1, b2, . . . , bp), přičemž b1, b2, . . . , bp jsou její parametry, jejichž
statistické odhady ˆb1, ˆb2, . . . , ˆbp hledáme.
20
Kritérium: Součet S čtverců odchylek empirických hodnot yi od vyrovnaných hodnot
y = f(xi, b1, . . . , bp) je minimální, tj.
S =
n
i=1
(yi − f(xi, b1, . . . , bp))2
= min. (49)
Nutnou podmínkou existence minima funkce S je
∂S
∂bj
= 0 (50)
pro j = 1, 2, . . . , p.
Dále omezíme tvar funkce f na lineární regresní funkci
y = b1f1(x) + b2f2(x) + . . . + bpfp(x) (51)
Podmínka pro minimum má tvar
S =
n
i=1
(yi − b1f1(xi) − . . . − bjfj(xi) − . . . − bpfp(xi))2
= min (52)
Konkrétně pro parametr bj obdržíme
n
i=1
fj(xi)f1(xi)b1 + . . . +
n
i=1
fj(xi)fp(xi)bp =
n
i=1
yifj(xi) (53)
Označme
n
i=1
fj(xi) fh(xi) = ajh
n
i=1
yifj(xi) = aj (54)
Získáme tak soustavu rovnic:
a11b1 + a12b2 + . . . + a1pbp = a1
a21b1 + a22b2 + . . . + a2pbp = a2
...
ap1b1 + ap2b2 + . . . + appbp = ap
Řešením této soustavy tzv. normálních rovnic obdržíme hledané odhady ˆb1, ˆb2, . . . , ˆbp
Pro polynom m tého stupně y = b0 + b1 x + b2 x2
+ ... + bm xm
mají rovnice tvar
n bo +
n
i=1
xib1 + . . . +
n
i=1
xm
i bm =
n
i=1
yi
n
i=1
xibo +
n
i=1
x2
i b1 + . . . +
n
i=1
xm+1
i bm =
n
i=1
xiyi
...
n
i=1
xm
i bo +
n
i=1
xm+1
i b1 + . . . +
n
i=1
x2m
i bm =
n
i=1
xm
i yi
Pro příklad prokládání přímky y = k x + q dostaneme toto řešení
ˆk =
n
n
i=1
xiyi −
n
i=1
yi
n
i=1
xi
W
; ˆq =
n
i=1
yi
n
i=1
x2
i −
n
i=1
xi
n
i=1
xiyi
W
(55)
kde
W = n
n
i=1
x2
i − (
n
i=1
xi)2
; So =
n
i=1
(yi − ˆq − ˆkxi)2
(56)
21
Pro směrodatné odchylky platí
ˆsq =
n
i=1
x2
i
W
So
n − 2
; ˆsk =
n
W
So
n − 2
(57)
Z obecných statistických úvah pro standardní odchylku parametru bj plyne
ˆsbj
=
√
ajj
S0
n − p
, (58)
kde n je počet měření, p je počet určovaných parametrů, S0 je zbytkový (reziduální) součet čtverců odchylek
S0 =
n
i=1
yi − ˆb1f1(xi) − ... − ˆbpfp(xi)
2
. (59)
ajj je j - tý diagonální prvek matice inverzní k matici soustavy normálních rovnic.
Funkce y = f(xi, b1, . . . , bp) se nazývá teoretická regresní funkce a její znázornění se nazývá teoretická
regresní křivka. Regresní funkce y = f(ˆb1, ˆb2, . . . , ˆbp) v níž jsou neznámé parametry b nahrazeny odhady ˆb
se nazývá empirická regresní funkce a její grafické znázornění se nazývá empirická regresní křivka.
Poznámka: Dostupné modely v systému FAMULUS 3.5
PRIMKA.FM : Proložení přímky metodou nejmenších čtverců
PRIMKAP.FM: Předcházející program doplněný o analýzu dat
Obrázek 10: Proložení přímky metodou nejmenších čtverců s vyznačením intervalu spolehlivosti
10 Lineární a nelineární regrese
Pojmem lineární regresní model se označuje model y = f(x, b1, . . . , bp), který je lineární kombinací modelových
parametrů. Pro lineární regresní modely platí podmínka
gj =
∂f(x, b1, . . . , bp)
∂bj
= konst. j = 1, . . . , p (60)
Pokud je alespoň pro jeden parametr bj parciální derivace gj jeho funkcí, jde o nelineární regresní model.
22
Obrázek 11: Proložení polynomu metodou nejmenších čtverců s vyznačením intervalu spolehlivosti
11 Interpolace a aproximace
Interpolace a aproximace funkcí nebo experimentálních dat zahrnuje řadu technik. Obecně se provádí náhradou
funkce f(x), zadané hodnotami [xi, yi], i = 1, 2, ....., n vhodnou aproximující funkcí g(x). Za aproximující funkci
f(x) se často volí lineární kombinace elementárních funkcí gj(x).
g(x) =
m
j=1
cj gj(x). (61)
Příkladem elementárních funkcí gj(x) jsou polynomy xj−1
racionální funkce, podíly polynomů, trigonometrické
funkce, exponenciální funkce atd. Aproximující funkce souvisí se zadáním dané úlohy a ovlivňují stupeň aproximace.
Ten se obyčejně vyjadřuje jako vzdálenost mezi aproximující funkcí g(x) a aproximovanou funkci f(x),
resp. diskrétními hodnotami yi.
Zvláštním případem aproximace je interpolace: při interpolaci závislostí se sestrojuje funkce g(x) tak, aby
procházela zadanými body [xi, yi], i = 1, 2, ....., n, a splňovala přitom podmínky týkající se jejího tvaru.
Při interpolaci funkcí musí být v definovaných bodech ξi i = 1, 2, ..., n nazvaných uzlové body interpolace,
funkce f(x) a g(x) spojité ve funkčních hodnotách a hodnotách zvolených derivací
f(j)
(ξi) = g(j)
(ξi) i = 1, 2, .....n, j = 0, ...., ri (62)
Zde f(j)
označuje j-tou derivaci a ri je maximální derivací v i-tém uzlu, ve které jsou totožné obě, aproximovaná
a aproximující funkce.
Interpolace se v technické praxi využívá pro
• Zespojitění tabelárních údajů
• Náhradu složitých funkcí f(x) nebo funkcí, které nelze přímo vyčíslit
• Numerickou derivaci a integraci
• Kreslení grafů závislostí zadaných tabulkou
Při aproximaci závislostí se předpokládá aditivní působení chyb typu
yi = g(xi) + i (63)
23
Pokud je druh funkce g(x) předem znám, přechází úloha aproximace na úlohu lineární nebo nelineární regrese.
Pokud se volí g(x) ve tvaru lineární kombinace elementárních funkcí, jde o úlohu lineární regrese.
Aproximace se v technické praxi používá k:
• Vyhlazování závislostí, tj. k eliminaci náhodných chyb i
• Náhrada rozsáhlých souborů dat hladkými křivkami.
• Numerické derivování a integraci
• Tvorbě speciálních empirických modelů regresního typu jako je splineregrese.
11.1 Klasické interpolační postupy
Mezi nejznámější postupy patří polynomická interpolace, která hledá polynom g(x) nejmenšího možného stupně,
splňující podmínku (62) Tato úloha má právě jedno řešení a hledaný polynom je stupně nejvýše:
m =
n
i=1
ri + n − 1. (64)
Pokud je požadavkem shoda pouze ve funkčních hodnotách, jsou ri = 0, i = 1, ....., n, a n-tice bodů je interpolována
jednoznačně polynomem (n - 1)ního stupně. Z podmínek (62) se sestaví m lineárních rovnic, ze kterých
se vypočtou odpovídající koeficienty cj. Pro větší počty uzlových bodů je výpočet koeficientů interpolačního
polynomu výše uvedenou metodou nepohodlný. Užívá se proto rozličných interpolačních vzorců.
11.1.1 Lagrangeoava a Newtonova interpolační formule
Formule se užívají pro případ ri = 0, kdy se konstruuje polynom stupně nejvýše m = n − 1, interpolující n
uzlových bodů, a kdy platí yi = f(xi) = g(xi). Interpolační polynom splňující tyto podmínky lze vyjádřit jako
lineární kombinaci všech y-ových hodnot
Lm(x) =
n
i=1
yi gj(x), (65)
kde gj(x) jsou polynomy stupně (n - 1) takové, že pro všechna j různá od i platí
gj(xi) = 0, gj(xj) = 1 (66)
Lagrangeův interpolační polynom má tvar:
Lm(x) =
n
j=1
yj
n
i=1,i=j
x − xi
xi − xj
. (67)
Další podrobnosti je možné nalézt například v [6].
Nevýhodou tradičního vyjádření interpolačního polynomu v Lagrangerově tvaru je nutnost opětovného přepočítání
všech členů při přidání dalšího bodu xn+1, yn+1. Z tohoto hlediska je při postupném přidávání uzlů
výhodnější Newtonova interpolační formule
Pm(x) =
n
j=1
aj
j−1
k=1
(x − xk). (68)
Přidání bodu xn+1, yn+1 pak vede k interpolačnímu polynomu
Pm+1(x) = Pm(x) + an+1
n
k=1
(x − xk). (69)
Podrobný návod k výpočtu koeficientů aj naleznete například v [6].
11.1.2 Hermiteovská interpolace
Při této interpolaci se požaduje, aby interpolační polynom Hm se svou první derivací souhlasil ve všech uzlových
bodech s danou funkcí a její první derivací. To znamená, že ri = 1, i = 1, ..., n a interpolační polynom je stupně
(2n − 1). Podrobnosti naleznete opět v [6].
24
11.1.3 Racionální interpolace
Při této aproximaci je interpolující funkce Rm,l(x) definována jako podíl polynomu stupně m (v čitateli) a polynomu
stupně l (ve jmenovateli).
Rm,l =
Pm(x)
Pl(x)
(70)
Tato aproximace nahrazuje klasickou polynomickou interpolaci stupně (m + 1). Podrobnosti jsou například
v [6].
11.2 Spline interpolace
Obrázek 12: Ukázka nevhodného použití interpolace polynomem (křížky), zadané body zobrazeny kroužky,
spojitě nakreslen skutečný průběh funkce
Užívání polynomiálních interpolačních formulí má řadu nevýhod. Jsou totiž složeny z elementárních funkcí
definovaných na celé reálné ose, což vede u interpolačních formulí vyšších řádů ke vzniku řady lokálních minim,
maxim a inflexních bodů, které neodpovídají průběhu funkce f(x) či tabelované závislosti [xi, yi], i = 1, ....n.
Při interpolaci fyzikálních závislostí se stává, že chování v jistém intervalu se výrazně liší od jejich chování
v intervalech sousedních. Jde o závislost tzv. neasociativní povahy. Z těchto úvah plyne, že pro účely interpolace,
ale i aproximace bude výhodnější volit lokálně definované funkce, které budou v místech vzájemného styku, tj.
v uzlech, spojité ve funkčních hodnotách a v hodnotách zadaných derivací.
Vhodné interpolační funkce tohoto typu jsou složeny z polynomických úseků a platí pro ně, že jsou ze
třídy Cm
[a, b]. Obecně jsou funkce třídy Cm
[a, b] na intervalu [a, b] spojité v prvních m derivacích a funkčních
hodnotách.
S využitím uvedených vlastností funkcí ze třídy Cm
[a, b] můžeme definovat obecně polynomický spline Sm(x)
s uzly a = ξ1 < ξ2 < ..... < ξn = b. Tento spline je na každém úseku [ξj, ξj+1], j = 1, ...., n − 1, reprezentován
polynomem maximálně m-tého stupně. Pokud je v nějakém bodě xi některá derivace S(1)
(ξi) nespojitá, jde
o defektní spline.
Vlastnosti spline Sm(ξi) závisí na:
• řádu polynomu m, přičemž se obvykle volí kubický spline (m = 3)
• počtu a polohách uzlů ξ1 < ξ2 < ..... < ξn
• defektech v uzlových bodech
25
Obrázek 13: Ukázka použití spline interpolace (spojitá křivka), zadané body zobrazeny kroužky, průběh označený
křížky ukazuje pro srovnaní interpolaci polynomem
11.3 Přehled vzorců pro lineární regresi s jednou nezávislou proměnnou
11.3.1 Předpoklady, které by měly být v regresním modelu splněny.
Formulace problému: K hodnotám x1, x2, . . . , xn nezávisle proměnné získáme měřením odpovídající hodnoty
závisle proměnné y1, y2, . . . , yn. Tyto hodnoty nesplňují regresní model přesně, ale jsou zatíženy chybami. Například
pro lineární regresy je možno psát: yi = a + b xi + ei, kde ei jsou chyby.
Musí být splněny následující předpoklady:
• Chyby mají nulovou střední hodnotu.
• Chyby jsou vzájemně nezávislé.
• Chyby mají normální rozdělení.
• Chyby mají stejný (neznámý) rozptyl.
• Nezávislé proměnné jsou lineárně nezávislé, žádnou tedy není možné nahradit lineární kombinací zbýva-
jících.
• Na regresní koeficienty již nejsou kladena žádná další omezení (například nezápornost regresních koeficientů
atd.)
• Nezávisle proměnné (často se užívá i název vysvětlující proměnné) jsou nenáhodné, tzn. nejsou výsledkem
žádného experimentu.
Lineární model splňující tyto předpoklady patří do třídy klasických lineárních modelů. Nejdůležitější jsou
první tři předpoklady. Nesplnění posledních tří předpokladů se řeší zavedením zobecněného modelu lineární
regrese
Dále použijeme následující označení:
p - hladina spolehlivosti (je-li například p = 0, 68, pak existuje 68 % pravděpodobnost, že hodnota veličiny leží
ve vymezeném intervalu).
tn p - Studentův koeficient odpovídající n stupňů volnosti a pravděpodobnosti p.
26
11.3.2 Přímka procházející počátkem
MODEL: yi = a xi + ei
Odhad regresního koeficientu ˆa a odhad rozptylu s:
ˆa =
n
i=1
xiyi
n
i=1
x2
i
; s2
=
n
i=1
y2
i − ˆa
n
i=1
xiyi
n − 1
(71)
Interval spolehlivosti pro regresní koeficient:
ˆa ± tn−1 p s
n
i=1
x2
i (72)
Interval spolehlivosti pro vyrovnávanou hodnotu:
ˆa x ± tn−1 p s
n
i=1
x2
i (73)
11.3.3 Přímka procházející daným bodem
MODEL: yi = y0 + b (xi − x0) + ei
Odhad regresního koeficientu ˆb a odhad rozptylu s:
ˆb =
n
i=1
(xi − x0)(yi − y0)
n
i=1
(xi − x0)2
; s2
=
n
i=1
(yi − y0)2
−
(
n
i=1
(xi−x0)(yi−y0))2
n
i=1
(xi−xo)2
n − 1
(74)
Interval spolehlivosti pro regresní koeficient:
ˆb ± tn−1 p s
1
n
i=1
x2
i
(75)
Interval spolehlivosti pro vyrovnávanou hodnotu:
y0 + ˆb (x − x0) ± tn−1 p s
1
n
i=1
(xi − x0)2
(76)
11.3.4 (Obecná) regresní přímka
MODEL: yi = a + b xi + ei
Odhad regresních koeficientů:
ˆa = ¯y − ˆb¯x; ˆb =
n
i=1
(xi − ¯x) yi
n
i=1
(xi − ¯x)2
(77)
Odhad rozptylu:
s2
=
1
n(n − 2)



n
n
i=1
y2
i − (
n
i=1
yi)2
−
n
n
i=1
xiyi −
n
i=1
xi
n
i=1
yi
n
n
i=1
x2
i − (
n
i=1
xi)2



 (78)
27
Interval spolehlivosti pro regresní koeficienty:
ˆa ± tn−2 p s
1
n
+
¯x2
n
i=1
x2
i − n ¯x2
; ˆb ± tn−2 p s
1
n
i=1
x2
i − n¯x2
(79)
Interval spolehlivosti pro vyrovnávanou hodnotu:
ˆa + ˆb x ± tn−2 p s
1
n
+
(x − ¯x)2
n
i=1
x2
i − n¯x2
(80)
12 Popisné statistiky.
12.1 Základní termíny z popisné statistiky.
Obrázek 14: Histogramy pro různé typy rozdělení
Předmětem statistického zkoumání jsou hromadné jevy, to znamená, že zkoumáme vlastnosti u velkého
počtu prvků.
Základní soubor sdružuje tyto prvky.
Počet prvků základního souboru se nazývá rozsah souboru.
Údaje (vlastnosti) uvedené pro prvky základního nazýváme (statistické) proměnné nebo též znaky.
Většinou je nákladné, nesnadné a nebo dokonce nemožné zjišťovat hodnoty statistických proměnných pro
každý prvek základního souboru. V takovém případě pracujeme s vhodně zvoleným výběrem (vzorkem) ze
základního souboru. Pokud je výběr vytvořen statisticky správně, například náhodným výběrem, dá se na
jeho základě získat určitá představa o základním souboru.
Při statistických zkoumáních se zaměřujeme na charakterizování a popis rozdělení četnosti proměnné
(znaku), a to jak v základním souboru, tak i ve výběru. Pod těmito slovy si můžeme představit tabulku, která
v jednom řádku obsahuje hodnoty proměnných a ve druhém odpovídající četnosti (tj. kolikrát byla tato hodnota
obsažena v souboru). U spojitých veličin se výpisu do tabulky samozřejmě četnost v určitých zvolených mezích
(intervalu). Četnost v tomto případě nepřísluší hodnotám, ale intervalům. Intervalové rozdělení četnosti se často
znázorňuje graficky pomocí histogramu nebo polygonu četnosti.
Při kreslení histogramu vynášíme na osou x intervaly a na osu y četnosti v těchto intervalech. Obdélníčky se
stranami odpovídajícími intervalu hodnot a dosažené četnosti vytvoří histogram. Pospojováním středů horních
stran obdélníčků získáme polygon.
Optimální počet intervalů k obvykle volíme podle Stugersova pravidla.
k = 1 + 3, 3 log10(n), (81)
kde n je počet prvků, které máme k dispozici.
Často četnosti nevyjadřujeme absolutně, ale relativně, tj. jako poměrnou část z celkového rozsahu souboru
n (absolutní četnost dělíme n). Mluvíme pak o relativním rozdělení četnosti.
12.2 Charakteristiky polohy, variability, šikmosti a špičatosti
12.2.1 Charakteristiky polohy
Udávají střed celé skupiny údajů, kolem kterého všechny hodnoty kolísají (analogie těžiště).
Výběrový (aritmetický průměr) je definován známým vzorcem
¯x =
1
n
n
i=1
xi (82)
Medián je definován jako prostřední hodnota výběru, a to prostřední v pořadí hodnot uspořádaných podle
velikosti. Jinak řečeno polovina hodnot výběru je menší nebo rovna mediánu a polovina hodnot je větší nebo
rovna mediánu. Pokud prostřední hodnota není určena jednoznačně (například pro sudý rozsah výběru) je za
medián brán průměr dvou prostředních hodnot.
28
Obrázek 15: Popisné statistiky dat z histogramu: ukázka možností procedury Statistiky knihovny STAT.FML
Modus je nejčetnější hodnota znaku.
Kvantil xp (označovaný někdy jako p-procentní kvantil) je hodnota znaku, pro který platí, že nejméně pprocent
prvků má hodnotu menší nebo rovnu xp a (100 − p) procent prvků je větších nebo rovno xp.
Používají se tyto kvantily:
medián x50
dolní kvartil x25
horní kvartil x75
decily x1, x2, ..., x90
percentily x1, x2, ..., x99
Příklad: Jak počítat kvantily si ukážeme na jednoduchém příkladu.
Mějme dána následující čísla: 1, 3, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 5, 1, 2, 3.
Čísla uspořádáme vzestupně:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 2 2 2 2 3 3 4 4 5
Protože hodnot proměnných je 12, je medián roven aritmetickému průměru šesté a sedmé hodnoty:
x50 = (2 + 2)/2 = 2
Dolní kvartil je roven třetí hodnotě (12.25/100 = 3). x25 = 2
Horní kvartil je roven deváté hodnotě (12.75/100 = 9). x75 = 3.
Modus je roven 2.
12.2.2 Charakteristiky variability
Charakteristiky variability udávají koncentraci nebo rozptýlení (variabilitu) hodnot kolem zvoleného středu
skupiny.
Rozpětí R je definováno jako rozdíl největší (maximální) a nejmenší (minimální) hodnoty.
Mezikvartilové rozpětí je definováno jako rozdíl horního a dolního kvartilu (je tedy rovno x75 − x25).
Rozptyl s2
je definován jako součet kvadratických odchylek od průměru, děleným rozsahem výběru zmenšeným
29
o 1.
s2
=
1
n − 1
n
i=1
(xi − ¯x)2
(83)
Směrodatná odchylka s je definována jako odmocnina z rozptylu.
(Průměrná) absolutní odchylka d je definována jako průměr absolutních odchylek od průměru.
d =
1
n
n
i=1
|xi − ¯x|. (84)
V porovnání se směrodatnou odchylkou se tolik nezvětšuje při výskytu extrémních hodnot.
Variační koeficient c slouží k měření relativní variability. Je definován jako podíl směrodatné odchylky a prů-
měru.
c =
s
¯x
. (85)
Využívá se jej také pro porovnání variabilních znaků měřených v odlišných jednotkách.
12.2.3 Charakteristiky šikmosti
Charakteristiky šikmosti udávají, jsou-li hodnoty kolem zvoleného středu rozloženy souměrně nebo je-li rozdělení
hodnot zešikmeno na na jednu stranu. Všechny charakteristiky šikmosti nějakým způsobem využívají vztahů
mezi průměrem ¯x, mediánem ˜x a modem ˆx.
• Pro záporně sešikmené rozdělení je ¯x < ˜x < ˆx
• Pro symetrické rozdělení je ¯x = ˜x = ˆx
• Pro kladně sešikmené rozdělení je ¯x > ˜x > ˆx
(Momentový) koeficient šikmosti Sm je definován vztahem:
Sm =
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)3
s3
(86)
Kvantilový koeficient šikmosti Sp je definován jako
Sp =
(x100−p − x50) − (x50 − xp)
x100−p − xp
, (87)
kde p < 50
12.2.4 Charakteristiky špičatosti
Charakteristiky špičatosti udávají, jaký průběh má rozdělení hodnot kolem zvoleného středu (rozdělení). Čím je
rozdělení špičatější, tím víc jsou hodnoty soustředěny kolem daného středu rozdělení. Na druhé straně, rozdělení
s nízkou špičatost často obsahuje hodnoty velmi vzdálené od středu rozdělení.
(Momentový) koeficient špičatosti Km je definován vztahem
Km =
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)4
s4
. (88)
Někdy se jako charakteristika špičatosti používá veličina Km − 3. Je to proto, že normované normální rozdělení
má Kp = 3. Při porovnávání zda Km > 0 ( nebo původně > 3) zjišťujeme, zda je rozdělení špičatější (strmější)
než normované normální rozdělení.
Kvantilový koeficient špičatosti Kp je definován
Kp =
xmax − xmin
x100−p − xp
, (89)
kde p < 50. xp je odpovídající kvantil (např. dolní kvartil x25, nebo první decil x10 atd.)
Vztah mezi kvantilovým a momentovým koeficientem šikmosti (špičatosti) je podobný vztahu průměru
a mediánu, či rozptylu a kvantilových rozpětí. Obecně je možno říct, že kvantilové charakteristiky jsou většinou
30
méně citlivé na velké změny (chyby) v datech (nejsou jimi tolik ovlivňovány). Tato vlastnost v sobě však může
nést i jistou nevýhodu.
Popisné statistiky umožňuje provádět i program EXCEL. Možnosti ukazuje následující tabulka:
Data Název Hodnota
4,7 střední hodnota 4,49
4,4 chyba střední hodnoty 0,0379
4,5 medián 4,5
4,6 modus 4,5
4,4 směrodatná odchylka 0,1197
4,4 rozptyl výběru 0,0143
4,3 špičatost -0,369
4,5 šikmost 0,233
4,6 rozdíl max-min 0,4
4,5 minimum 4,3
maximum 4,7
součet 44,9
počet 10
věrohodnost (95 %) 0,0742
13 Určování chyb měřicích přístrojů
13.1 Mezní hodnota chyb a třída přesnosti přístroje
Mezní chyba ∆0 měřicího přístroje je jeho nejvyšší přípustná chyba, kterou ostatní odchylky přístroje za
daných podmínek nepřekročí. Redukovaná mezní chyba δ0,R měřicího přístroje pro určitou hodnotu hodnotu
měřené veličiny xi a stanovené podmínky je dána poměrem mezní chyby ∆0 a měřicího rozsahu R, δ0,R =
∆0/R. Často se redukovaná mezní chyba udává v procentech měřicího rozsahu R, δ0,R = 100∆0/R. Měřicí
rozsah R je algebraický rozdíl krajních hodnot stupnice, R = xmax − xmin.
Třída přesnosti měřicího přístroje je klasifikačním znakem přesnosti v celém měřicím rozsahu přístroje.
Třída přesnosti se vyjadřuje kladným bezrozměrným číslem ze stanovené číselné řady. Toto číslo je vždy větší,
nebo nanejvýš stejné, jako největší absolutní hodnota z redukovaných mezních chyb, zjištěných za daných
podmínek v celém měřicím rozsahu přístroje.
1. V případě čistě aditivních chyb měření se užívá redukovaná relativní odchylka (zde rovna třídě přesnosti
přístroje)
δ0 = 100
∆0
xmax − xmin
= 100
∆0
R
, (90)
kde R je rozmezí stupnice. U přístrojů, kde působí chyby měření aditivně, klesá relativní odchylka δ
hyperbolicky s hodnotou x.
Aditivní chyby měřicího přístroje omezují rozsah použití přístroje v oblasti malých hodnot vstupní veličiny
x.
2. V případě čistě multiplikativních chyb měření je relativní chyba citlivosti (zde přímo třída přenosti
přístroje)
δS = 100
∆0
x
(91)
konstantní. To obvykle platí jenom v omezeném intervalu, uváděném na přístroji výrobcem.
3. U kombinovaný chyb měření lze celkovou chybu rozepsat jako součet aditivní ∆0 a multiplikativní δS x
složky podle rovnice
∆ = ∆0 + δS x. (92)
Celková redukovaná relativní chyba
δR = δ0 + δs
x
R
(93)
pak monotónně roste s růstem x.
K vyjádření třídy přesnosti δK se v těchto případech užívají dva údaje: redukovaná relativní chyba δ0
a chyba vzniklá na horní hranici měřicího rozsahu δS.
δK = δ0 + δs. (94)
31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  y
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  y
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  y
x
∆
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ∆
x
∆
x
D
D
D
D
D
D
D
DD
T
c
T
c
∆0
δ0 = 0
δsx1 T
T
c
c
δsx1
δ0
x1x1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
  











&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&&











5
5
5
5
5
5
5
5
55
ADITIVNÍ MODEL: MULTIPLIKATIVNÍ MODEL: KOMBINOVANÝ MODEL:
ynorn
ynorn
ynorn
13.2 Zařazení přístroje do třídy přesnosti
Pro zařazení měřicího přístroje do některé z tříd přesnosti je rozhodující největší hodnota redukované mezní
chyby zjištěná v celém měřicím rozsahu. Největší mezní chyba nesmí překročit při zvolené třídě přesnosti p
hodnotu R p/100. Třída přesnosti se neoznačuje znaménkem, protože redukovaná mezní chyba může být se
stejnou pravděpodobností kladná či záporná. Skutečná hodnota měřené veličiny µ bude potom ležet v intervalu
µ = xi ±
R p
100
. (95)
Přístroje se podle třídy přesnosti třídí do řady 6 %, 4 %, 2.5 %, 1.5 %, 1.0 %, 0.5 %, 0.2 %, 0.1 %, 0.05 %, 0.02
%, 0.01 %, 0.005 %, 0.002 %, 0.001 %, doplněné o značku typu chyby δS (multiplikativní), δ0 (aditivní) nebo
δK/δ0 kombinované podle následujícího schématu:
1. Pro čistě aditivní chyby je třída přesnosti vyjádřena redukovanou relativní chybou δ0, kde R je maximum
stupnice, např. δ0 = 1.5% se zapíše 1.5.
2. U přístrojů se silně nerovnoměrnou stupnicí se uvádí třída přesnosti formou zatrženého čísla a rozsahem
stupnice R.
3. Pro čistě multiplikativní chyby je třída přesnosti vyjádřena chybou citlivosti δS a udává se číslem v kroužku,
například δS = 1.5% se zapíše


1.5
4. Pro případ simultánního působení aditivních a multiplikativních chyb se třída přesnosti uvádí ve tvaru
zlomku δK/δ0. Zápis 1.5/1 tedy vyjadřuje δK = 1.5% a δ0 = 1%.
32
Druh chyby Označení Rozsah Relativní Absolutní
třídy přesnosti stupnice R chyba δ (%) chyba ∆
Aditivní p xmax (xmin = 0) p xmax
x p xmax
100
d
d
p
DD
xmax − xmin p xmax−xmin
x p xmax−xmin
100
Multiplikativní 

p
xmax (xmin = 0) p p x
100
Smíšené p1/p2 xmax (xmin = 0) p1 + p2(xmax
x − 1) p1x+p2(xmax−x)
100
13.3 Zaokrouhlování chyby výsledku
Při výpočtech mezní chyby měřícího přístroje se podle [6] užívá následujícího zaokrouhlování:
• Pokud je první významná číslice jednička nebo dvojka, vyjadřuje se chyba měření prvními dvěma významnými
číslicemi
• Pokud je první významná číslice trojka nebo vyšší, užívá se pouze tato číslice
Výsledek měření se zaokrouhluje na stejný počet desetinných míst, jako má absolutní mezní chyba přístroje.
102 ± 3 mV
101, 7 ± 2, 5 mV
13.4 Příklady určování chyby přístrojů
13.4.1 Základní pojmy
ppm - jedna miliontina
MH - měřená hodnota
MHMR - maximální hodnota měřícího rozsahu (většinou odpovídá délce stupnice)
dig - číslice
13.4.2 Způsoby uvádění chyb
• u ručkových přístrojů je uvedena třída přesnosti (například: 0,5 )
• 0,001 % MH + 0,01 % MHMR
• 50 ppm MH + 20 ppm MHMR
• 5 % MH + 20 dig
• 5 % + 20 dig
• 1 % + 0,003
• 2 % č.h + 1 dig
• 0,05 % of Reading + 0,02 % Full Scale
• 0.1 % of rdg + 5 dgt
• 0.0020 % of reading + 0.0006 % of range
Výpočtem získáme krajní chybu. To znamená, že výsledkem měření je interval, ve kterém s 99,7 % pravděpodobností
leží skutečná hodnota měřené veličiny.
33
Obrázek 16: Závislost velikosti relativní chyby na velikosti měřeného napětí pro voltmetr M1T 330 (od 300 mV
do 3 V) a multimetr M1T 380 (od 150 mV do 1.5 V)
13.4.3 Ručkové přístroje
Ampérmetr má třídu přesnosti 0,5
Zvolený rozsah je 1,2 A
Ručička ukazuje 0.845A
Chyba je 0, 5 . 1, 2/100 = 0, 006A tj. 0,7 %
I = (0, 845 ± 0, 006) A
13.4.4 Multimetr METEX M - 3850
Na rozsahu 4 V je chyba 0.3 % č.h. + 1 dig.
Přístroj ukazuje 3,912 V
Chyba je 0, 3 . 3, 912/100 + 0, 001 = 0, 013 V
U = (3, 912 ± 0, 013) V
13.4.5 Multimetr PROTEK 506
Na rozsahu 4 V je chyba 0.5 % č.h. + 2 dig.
Přístroj ukazuje 3,912 V
Chyba je 0, 5 . 3, 912/100 + 0, 002 = 0, 022 V
U = (3, 912 ± 0, 022) V
13.4.6 Multimetr METEX M 4650 CR
Na rozsahu 2 V je chyba 0.1 % č.h. + 5 dig.
Přístroj ukazuje 1,9123 V
Chyba je 0, 1 . 1, 9123/100 + 0, 0005 = 0, 0024 V
U = (1, 9123 ± 0, 0024) V
34
13.4.7 Voltmetr M1T 330
Na rozsahu 300 mV je chyba 0,01 % MH + 0,01 % MHMR
Přístroj ukazuje 284,56 mV
Chyba je 0, 01 . 284, 56/100 + 0.01 . 300/100 = 0, 06 mV, což je 0,021 %. Stejná hodnota chyby v % se zobrazí
na displeji po stlačení tlačítka CHYBA na voltmetru.
U = (284, 56 ± 0, 06) mV
13.4.8 Multimetr M1T 380
Pro měření stejnosměrného napětí je uvedena chyba: 50 ppm MH + 20 ppm MHMR
Rozsah je 15 V
Přístroj ukazuje 14,2338 V
Chyba je 10−6
. 50 . 14, 2338 + 10−6
. 20 . 15 = 0, 0010 V
U = (14, 2338 ± 0, 0010) V
13.4.9 Měřič RLCG BM 595
Při měření kapacity kondenzátoru ukazuje přístroj hodnotu C = 67,82 nF
Zvolený rozsah je 100 nF
Chyba přístroje uvedená v manuálu je 0, 1% + 2dig
Chyba měřené hodnoty je 0, 1 . 67, 82/100 + 0, 02 = 0, 09 nF
C = (67, 82 ± 0, 09) nF.
14 Měření elektrických veličin
Měření elektrických veličin nabývá v současné době na významu. Automatizace měřícího procesu totiž vyžaduje,
aby se i neelektrické veličiny převedly pomocí čidel na elektrické. Většinou se převádí měřená veličina na stejnosměrné
napětí. Setkávám se však i z převodem neelektrických veličin na proud, na odpor nebo na ”frekvenci”
(například na napětí obdélníkového průběhu, jehož frekvenci je možné měřit počítáním pulzů za zvolený časový
interval pomocí čítače). Dále se budeme podrobněji zabývat měřením stejnosměrného napětí. Rozlišujeme dva
základní typ voltmetrů:
• Analogové měřicí přístroje ukazují výsledek měření pomocí ručky (ručkové měřicí přístroje)
• Číslicové (digitální) přístroje dávají výsledné napětí v číslicové podobě. Rozlišujeme dva základní typy
číslicových měřicích přístrojů
– zobrazení jen na displeji, bez možnosti připojení k počítači
– s možností připojení na počítač
14.1 Problémy při současném měření proudu a napětí
K základním elektrickým měření patří současné měření proudu procházejícího určitým elektronickým prvkem
a tomuto proudu odpovídajícího napětí na tomto prvku. S tímto měřením se setkáváme například při měření
voltampérových charakteristik. K měřenému prvku je nutno současně připojit voltmetr i ampérmetr, což může
způsobit určité problémy, protože tyto přístroje se pak mohou nepříznivě ovlivňovat.
V zasadě jsou možné dva způsoby připojení. Pro každou konkrétní situaci je nutné zvolit nejvhodnější
metodu, aby chyba měření byla co nejmenší.
35
"!
#
"!
#
EE
c
V
A
R
Iv
e
e
Ir
Ia s
s
&%
'$
&%
'$
e
e
E
c
s
s
A
V R
Ia
Ir
METODA B:
Uv
METODA A:
14.1.1 Metoda A - voltmetr je zapojen paralelně přímo k měřenému prvku
V tomto případě proud tekoucí voltmetrem způsobuje, že ampérmetr neměří proud tekoucí odporem, ale proud
větší o proud tekoucí voltmetrem. Názorně to ukazuje následujíc obrázek, který ukazuje schéma na obrázku pro
případ měření odporu R.
Označíme-li napětí na odporu R jako Ur a proud tekoucí odporem jako Ir, pak R = Ur/Ir.
Napětí na svorkách voltmetru označme Uv, proud tekoucí ampérmetrem označme Ia.
Je-li vnitřní odpor voltmetru Rv, pak proud tekoucí voltmetrem Iv = Uv/Rv.
K určení odpor R je nutno změřit Ur a Ir, protože R = Ur/Ir.
Měříme však Uv a Ia.
Platí Ur = Uv, ale Ia = Ir
Ia = Ir + Iv = Ir + Uv/Rv ⇒ Ir = Ia − Iv = Ia − Uv
Rv
Ampérmetr měří větší proud o proud tekoucí voltmetrem, voltmetr měří přímo napětí Ur.
R =
Ur
Ir
=
Ur
Ia − Iv
=
Uv
Ia − Uv
Rv
(96)
Tato metoda je vhodná pro případy, kdy svorkový odpor voltmetru Rv je větší jak měřený odpor R. Zcela
nevhodna je pro případy, kdy odpor Rv je několikrát menší, než měřený odpor R. Pak i po opravách na vliv
voltmetru je chyba měření odporu velká. Používá se například při měření V/A charakteristiky usměrňovací
diody v propustném směru, ale je zcela nevhodná pro případ měření V/A charakteristiky této diody v závěrném
směru.
Velikost vlivu voltmetru při vlastním měření můžeme snadno posoudit tak, na chvíli odpojíme jeden přívod
voltmetru. Proud ampérmetrem poklesne o proud tekoucí voltmetrem.
14.1.2 Metoda B - ampérmetr je zapojen do série s měřeným prvkem
Schéma zapojení pro případ měření velikosti odporu R ukazuje obrázek. V tomto případě ampérmetr měří přímo
proud procházející odporem R, ale voltmetr měří součet napětí na odporu R a voltmetru. Opět označme napětí
na odporu R jako Ur a proud tekoucí odporem jako Ir, pak R = Ur/Ir.
Napětí na svorkách voltmetru označme Uv, proud tekoucí ampérmetrem označme Ia.
Je-li vnitřní odpor ampérmetru Ra, pak úbytek napětí na ampérmetru je Ua = Ra Ia.
Platí Ir = Ia, ale
Ur = Uv, protože Uv = Ua + Ur = Ra Ia + Ur
R =
Ur
Ir
=
Uv − Ua
Ia
=
Uv − Ra Ia
Ia
(97)
Poznámka: V případě že měření provádíme v obvodu střídavého proudu, je nutné navíc počítat s fázovými
posuvy [2]. Pro ideální kondenzátor při měření pro napětí o frekvenci 50 Hz je fázový 90 stupňů, jak to názorně
36
ukazuje obrázek.
c
E
t
t
t
t
t
t
t
t
t”
e
e
e
e
e
e
e
e…
E
c
METODA A: METODA B:
Ic = I2
a − I2
v Uc = U2
v − U2
a
Iv
IaIc
Ua
Uc
Uv
Příklad: Určete chyby při měření odporu oběma metodami (zanedbejte chyby Rv a Ra).
Metoda A (viz rovnice (96)):
R =
Uv
Ia − Uv
Rv
⇒
∂R
∂Uv
=
Ia R2
v
(Uv − Ia Rv)2
;
∂R
∂Ia
=
−Uv R2
v
(Uv − Ia Rv)2
.
δ(R) =
R2
v
(Uv − Ia Rv)2
I2
aδ2(Uv) + U2
vδ2(Ia)
Metoda B (viz rovnice (97)):
R =
Uv − Ra Ia
Ia
=
Uv
Ia
− Ra ⇒
∂R
∂Ia
= −
Uv
I2
a
;
∂R
∂Uv
=
1
Ia
δ(R) =
1
Ia
δ2(Uv) + (
Uv
Ia
)2 δ2(Ia)
Situaci graficky znázorníme pro následující případ:
Obrázek 17: Závislost relativní chyby odporu vyjádřené v procentech na napětí použitém při měření. Křížky
pro metodu A, kroužky pro metodu B.
Měříme odporu R = 60000 Ω. Použijeme voltmetr o rozsahu 24 V, vnitřním odporu Rv = 120000 Ω a třídě
37
přesnosti 1 a ampérmetr o rozsahu 0,6 µA, vnitřním odporu Ra = 1500 Ω a třídě přesnosti 1,5. Z obrázku je
zřejmé, že metoda B je o něco přesnější. Nejdůležitější je však použít vhodné měřící přístroje a správně zvolit
rozsahy, aby bylo možné jak proud, tak napětí měřit v druhé polovině stupnice.
14.2 Změna rozsahu přístrojů
Poměrně snadno se zvětšují rozsahy ampérmetrů a voltmetrů. U ampérmetru můžeme zvětšit rozsah pomocí
bočníku, u voltmetru pomocí předřadného rezistoru zapojeného do série s voltmetrem. Je však také možné
”zmenšit” rozsah přístroje tak, že použijeme měřící zesilovač (vytvořený většinou z operačních zesilovačů).
Měřicí zesilovače se používají jak u analogových, tak číslicových měřicích přístrojů. Měřicí zesilovače však
mohou plnit i celou řadu jiných funkcí například změnu polarity měřeného napětí, převod proudu na napětí,
zvětšují vstupní odpor přístroje atd.
38
14.2.1 Změna rozsahu ampérmetrů
&%
'$




uu
T
E
T
MP 80
Rb
Ra
Ib
In
Ia
Ia - základní rozsah přístroje
In - nový rozsah
Rb - odpor bočníku
Ra - odpor přístroje na základním rozsahu
Rn - svorkový odpor na novém rozsahu
In = Ia + Ib
IbRb = IaRa
1
Rn
= 1
Ra
+ 1
Rb
Z rovnic uvedených na obrázku vyplývá pro velikost bočníku následující vztah
Rb =
Ra
In
Ia
− 1
(98)
14.2.2 Změna rozsahu voltmetru


"!
#
MP 80
Rp
Rv
TI
Uv - základní rozsah přístroje
Un - nový rozsah
Rp - predřadný odpor
Rv - odpor přístroje na základním rozsahu
Rn - Odpor na novém rozsahu
Un = I Rp + Uv
Uv = Rv I
Rn = Rv + Rp
Z rovnic uvedených v obrázku vyplývá, že velikost předřadného odporu určíme ze vztahu.
Rp = Rv(
Un
Uv
− 1). (99)
Poznámka Musíme si uvědomit, že na základním rozsahu je rozlišování mezi voltmetrem a ampérmetrem
u ručkových přístroje jen formální. Například mikroampérmetr MP 180 z rozsahem 100 µA má svorkový odpor
2000 Ω a teče-li jím proud 100 µA, je na jeho svorkách úbytek napětí 200 mV. Můžeme jej proto pokládat i za
voltmetr s rozsahem 200 mV.
Úkol: Z mikroampérmetru s rozsahem 100 µA se svorkovým odporem 2000 Ω vytvořte voltmetr s rozsahem
10 V.
Řešení: Do série s mikroampérmetrem je nutno zapojit odpor o velikosti Rp = 2000(10/0.2 − 1) = 2000 ∗ 49 =
980000 Ω.
39
14.3 Ručkové měřicí přístroje
14.3.1 Měřící systém
Jednotlivé typy přístrojů poznáme podle podle následujících značek:
Magnetoelektrické měřící přístroje (přístroje s otočnou cívkou)
Elektromagnetické přístroje (přístroje s pevnou cívkou)
q
q
Elektrodynamické přístroje
Magnetoelektrické měřící přístroje (přístroje s otočnou cívkou)
Měření u ručkových přístrojů se provádí na principu vzájemného silového působení pevné a pohyblivé části.
U magnetoelektrického měřícího přístroje je realizováno silovým působením permanentního magnetu na vodiče
cívky, kterou prochází elektrický proud. Cívka je otočně umístěna ve vzduchové mezeře pólovitého nástavce
silného permanentního magnetu. V nulové poloze poloze drží cívku dvojice spirálovitých pružin, které současně
slouží k přívodu proudu do cívky. Měří jen stejnosměrná napětí a proudy. Pro měření střídavých napětí a proudů
je nutno použít převodníku střídavé veličiny na stejnosměrnou. To můžeme provést jednocestným nebo dvoucestným
usměrněním proudu polovodičovou diodou a nebo pomocí aktivního převodníku s operačními zesilovači.
Elektromagnetické přístroje (přístroje s pevnou cívkou)
Měřící ústrojí se sestává z cívky, kterou protéká měřený proud a z feromagnetických plíšků plíšků tvořících
otočnou část. U starší provedení tohoto přístroje se do cívky vtahovalo feromagnetické jádro. U novějšího
provedení tohoto typu přístroje se odpuzují dva shodně zmagnetované plíšky tj. pevný a otočný (spojený s ručkou
přístroje). Výchylka přístroje je úměrná druhé mocnině efektivní hodnoty proudu tekoucího cívkou.
Elektrodynamické přístroje (watmetry)
Pracují na principu vzájemného silového působení magnetického pole pevné a magnetického pole otočné cívky
umístěné v dutině první cívky. Protože výchylka je úměrná součinu dvou veličin, používají se nejčastěji k měření
výkonu a jak stejnosměrného proudu, tak proudu střídavého. Pevnou cívkou prochází proud do spotřebiče,
pohyblivou proud úměrný napětí na spotřebiči
14.3.2 Poloha stupnice při čtení
Vodorovná
Svislá
Šikmá s udáním úhlu 5
5
5
60◦
14.3.3 Značka druhu proudu (napětí)
Stejnosměrný −
Střídavý ∼
Stejnosměrný i střídavý
14.3.4 Izolační napětí
Izolační napětí udává zkušební bezpečnostní napětí. Udává se pomocí čísla v pěticípé hvězdičce. Je-li například
v hvězdičce číslo 2, je bezpečnostní napětí 2 kV.
14.3.5 Třída přesnosti
Třída přesnosti je uvedena číslem nad značkou druhu měřeného proudu nebo napětí. Umožňuje určit chybu
při měření. Má-li například přístroj třídu přesnosti 1, tak výrobce zaručuje, ze změřená hodnota se neliší od
skutečné hodnoty o více, jak 1 procento ze zvoleného rozsahu.
40
14.3.6 Vnitřní (svorkový) odpor přístroje
Při vlastním měření s voltmetrem i ampérmetrem prochází vždy přístrojem proud I a na svorkách přístroje je
úbytek napětí U. Vnitřní odpor R přístroje určíme z Ohmova zákona: R = U/I. Na základě Ohmova zákona
můžeme také vnitřní odpor měřicího přístroje změřit. U většiny přístrojů bývá vnitřní odpor uveden v manuálu
nebo i přímo na měřicím přístroji.
• U voltmetrů bývá uváděn pomocný údaj v Ω/V , ze kterého vnitřní odpor vypočítáme tak, že tento údaj
vynásobíme zvoleným rozsahem.
Je-li například na voltmetru uvedeno 5 000 Ω/V a je zvolen rozsah 24 V, tak vnitřní odpor voltmetru je
5000 . 24 = 120 000 Ω.
• U ampérmetrů se většinou uvádí úbytek napětí Ua na svorkách přístroje, prochází-li přístrojem proud Ir
rovný zvolenému rozsahu. Svorkový odpor ampérmetru Ra = Ua/Ir. Například u Avometu je Ua = 0.9 V.
Na rozsahu 60 mA je pak vnitřní odpor 0,9/0,06= 15 Ω.
Snahou výrobce je vždy zkonstruovat voltmetr tak, aby jeho svorkový odpor byl co možná největší a ampérmetr
tak, aby jeho svorkový odpor byl co nejmenší.
Je nutné si uvědomit, že vnitřní odpor ampérmetru a voltmetru závisí jen na zvoleném rozsahu. Na celém
měřicím rozsahu je konstantní.
14.4 Číslicový voltmetr
Základní částí číslicových přístrojů je analogově číslicový (analogově/digitální zkráceně A/D) převodník. Číslicové
voltmetry je možné rozdělit na přístroje komunikující s počítačem a na přístroje, které mají výstup pouze
na zobrazovač. Číslicové voltmetry, které umožňuje přímou komunikaci s počítačem se vyrábí ve dvou základních
provedeních
• A/D převodník je na měřící kartě, která komunikuje s počítač pomocí paralelních portů počítače. Měřicí
karta bývá často zasunuta přímo v počítači PC. Takovéto A/D převodníky jsou určeny pro rychlá měření.
Běžně se dosahuje doba převodu kolem 12 µs a přenos dat mezi převodníkem a pamětí počítačem se
děje pomocí DMA (přímý přístup do paměti bez účasti mikroprocesoru počítače). Nejběžnější jsou 12
bitové A/D převodníky. Výsledkem převodu jsou v tomto případě celá čísla v rozmezí 0 až 4095. Před
A/D převodníkem většinou bývá multiplexer, který umožňuje přepínat na vstup A/D převodníku napětí
z několika kanálů. Používají se jak multiplexery unipolární, tak bipolární (diferenční).
• A/D převodník je mimo vlastní počítač a komunikuje s počítačem pomocí standardního rozhraní RS 232C
nebo HPIB. V tomto případě se komunikace mezi měřicím přístrojem a počítačem děje tak, že se informace
přenáší ve formě řetězců (přenáší se ASCII kódy písmen a číslic).
Pro měřený rychlých časových průběhů napětí slouží digitální osciloskopy. V tomto případě se výsledky analogově
číslicového převodu ukládají do pamětí osciloskopu a z této paměti se po měření zobrazí na obrazovce nebo
přenesou do počítače. Některé typy přístrojů (například i u nás vyráběný voltmetr M1T 330 a multimetr M1T
380 z Metry Blansko) jsou sami řízeny mikroprocesory zabudovanými v přístrojích, které zajišťují automatickou
kalibraci a testování správné funkce přístroje. Mají zabudovaný napěťový normál a přístroj dokáže sám korigovat
vliv teplotních změn a změny parametrů součástek v děličích vlivem stárnutí.
Poznámka: Z hlediska teorie chyb je jasné, ze A/D převodníky určené pro rychlá měření měří napětí s menší
přesnosti, než A/D převodníky určené pro pomalá měření. Například u voltmetru M1T 330 se napětí měří tak,
že po příchodu příkazu k měření voltmetr počká, až síťové napětí prochází 0 a doba A/D převodu je rovna 1
periodě síťového napětí. Tím se vyloučí rušení měření síťovým napětím.
14.4.1 Analogově-číslicové převodníky
V praxi se používá celá řada analogově číslicových převodů. Podle [10] nejběžnější jsou následující způsoby
převodu:
• komparační metody
• kompenzační metody
• integrační metody
41
Komparační metody převodu vychází z porovnávání měřeného napětí s kvantovaným referenčním napětí.
Porovnávání se může uskutečnit se všemi možnými úrovněmi převodu najednou a nebo postupně. Podle toho
rozlišujeme paralelní a postupné komparační převodníky. Nejtypičtějším příkladem je paralelní komparační převodník,
protože je velice rychlý. Doba převodu je dána jen zpožděním komparátoru a proto se doba převodu
může pohybovat kolem 10 ns. Nevýhodou je složitost převodníku, který musí obsahovat tolik komparátorů, kolik
je převáděných úrovní. Proto se takovýto převodník používá maximálně pro 8-bitové převodníky.
Kompenzační metody jsou založeny na kompenzaci měřeného napětí napětím vytvořeným vhodným způsobem.
Podle způsobu jakým se mění kompenzační napětí dělíme převodníky na převodníky s konstantním
přírůstkem a na převodníky s odstupňovaným přírůstkem. Nejznámější je metoda postupné aproximace, je to
metoda s odstupňovaným přírůstkem. Přírůstky kompenzačního napětí jsou odstupňovány podle vah bitů číslicového
slova. Doba převodu bývá řádově µs. Blokové schéma převodníku s postupnou aproximací ukazuje obrázek.
Obvod se skládá z číslicově analogového převodníku, komparátoru, aproximačního registru a generátoru hodinového
kmitočtu o frekvenci f0. Převodník postupně srovnává měřené napětí s napětími odpovídajícími vahám
jednotlivým bitů. Začne se od nejvyššího bitu (Moust significant bit MSB) a postupně se přidávají jednotlivá
váhová napětí a podle reakce komparátoru se na danou pozici dosadí buď logická 1 nebo logická 0. Výsledek měření
tedy vždy dostaneme u n-bitového převodníku po n taktech. Na výstupu TP převodník signalizuje počítači
konec převodu a počítač přečte data D1 až Dn.
i
i
dd
  
  dd
Aproximační registr
'
f0
'
T
'
Ur
Um měřené napětí
D/A převodník
————————
¨
¨¨¨
¨¨¨¨




&
&
&
&&
Komparátor
START
TP
D1 ... Dn
Up
Up - vystupní napětí D/A převodníku
Ur - referenční napětí pro D/A převodník
Obr.: Převodník s postupnou aproximací
42
g






˜
˜
˜
˜
˜
˜˜
h h
w w
w
w
€€
Ur
Um
R
C
S1
S2
K
ZobrazovačČítačHradlof0

’’
Blok řízení - ovládá i S1 a S2
cN P
T
c
Integrátor
f
Komparátor
OZ
Ui
(
(
(
(
(
(
(
(
(( d
d
dd
E' E
Ui
Průbeh napětí na integrátoru
T1 T2
E
T
t'
frrr
f
Obr.: Integrační převodník
Integrační metody jsou založeny na integraci měřeného napětí a mezipřevodu na časový interval nebo
frekvenci. Důležitou vlastností této metody je filtrace rušivých signálů vyšších frekvencí. Doba integrace se
totiž volí jako násobek periody rušivého signálu. Nevýhodou je dlouhý čas převodu (desítky a stovky ms).
Integrační metoda má celou řadu modifikaci. Nejpoužívanější je však převodník s dvojitou (dvoutaktní) integraci,
dvojnásobným pilovitým průběhem) [10]. Blokové schéma převodníku ukazuje obrázek. Po zadanou dobu T1
(první takt) se integruje měřené napětí Um. Hodnotě naintegrované v druhém taktu je pak úměrný číselný údaj
převodníku. Přesnost převodu je dána stabilitou zdroje referenčního napětí Ur a v podstatě nezávisí na časové
stálosti rezistoru R, kapacitoru C a zesílení operačního zesilovače OZ, protože doba jednoho převodu je rovna
zlomku sekundy a po tuto dobu je možné udržet vlastnosti těchto součástek stálé.
Před začátkem měření je sepnut spínač S2 a tím vybit kapacitor C. V okamžiku začátku měření se rozpojí
spínač S2 a spínač S1 připojí na integrátor měřené napětí Um. Výstupní napětí integrátoru Ui lineárně roste.
Současně se sepnutím spínače S1 se se otevře hradlo a čítač počítá impulzy o kmitočtu f0. Jakmile se čítač
naplní, vydá impulz P (naplnění trvá dobu T1), obvod řízení přepne spínač S1 na referenční napětí Ur, jehož
polarita je opačná než Um. Současně s tím se znovu plní čítač a to po tzv. přetečení na konci intervalu T1,
protože hradlo zůstává otevřeno. Výstupní napětí integrátoru klesá k nule. V okamžiku, kdy dosáhne nuly,
zareaguje napěťový komparátor K a obvod řízení uzavře hradlo. Tím končí druhý takt T2. Nový obsah čítače je
přes dekodér přenesen na zobrazovač a ukazuje změřené napětí. Poté je čítač vynulován signálem N a je vybit
kapacitor C sepnutím spínače S2 a celý cyklus se může opakovat.
Počet impulzů v čítači při vybíjení referenčním napětím je N = f0 T2. Pro vlastní integrátor platí:
Um
R C
T1 =
Ur
R C
T2,
neboť po nabití kapacitoru v době T1 klesne napětí na něm za dobu T2 na nulu, takže:
Um =
Ur
T1
T2 (100)
Počet impulzů v čítači po druhé integraci je přímo úměrný měřenému napětí.
Pracuje-li převodník pro obě polarity napětí musí se měnit i polarita referenčního napětí.
Rychlost analogově číslicového převodníku s dvojitou integraci můžeme zvýšit, rozdělíme-li čas, ve kterém
integrujeme referenční napětí na dva časové úseky, přičemž strmost výstupního napětí z integračního obvodu
v prvním úseku je větší než ve druhém úseku. Mluvíme pak o třítaktní integrační metodě se snižováním náboje
již v prvním taktu. Na tomto principu pracuje i převodník v multimetru M1T 380 z Metry Blansko.
V praxi se setkáme i s jinými způsoby dělení analogově číslicových převodníků. Například v [11] se setkáme
s následujícím rozdělením.
43
• Převodníky bez zpětné vazby, které bezprostředně porovnávají vstupní analogové napětí s referenčním
napětím. Výsledkem porovnání je výstupní slovo analogově číslicového převodníku
• Převodníky se zpětnou vazbou, které porovnávají v porovnávacím obvodu vstupní analogové napětí
s analogovým napětím odvozeným z postupně generovaného výstupního slova. Převod je ukončen
v okamžiku rovnosti obou porovnávaných napětí.
Převodníky je možné rozdělit i na:
• Synchronní - převod probíhá v určitém počtu kroků synchronně s hodinovými impulzy.
• Asynchronní - převod se též může uskutečnit v několika krocích, ale doba trvání jednotlivých kroků
závisí výhradně na časové odezvě dílčích obvodů převodníku, resp. na jejich zpoždění.
Jiné rozlišení převodníků je na
• Přímé - převádí vstupní analogové napětí přímo na výstupní slovo
• Nepřímé - převádí nejprve určitým obvodem vstupní analogové napětí na jinou analogovou veličinu
(například na dobu trvání impulzu, kmitočet sledu impulzů) a dalším obvodem získanou (odvozenou)
analogovou veličinu převádějí na číslicový tvar.
14.4.2 Parametry analogově číslicového převodníku
Při volbě analogově číslicového převodníku jsou z hlediska teorie chyb nejdůležitější následující parametry:
• rychlost převodu
• nelinearitu převodu (integrální i diferenciální)
• rozlišovací schopnost (počet bitů ve výstupním slovu)
• chyba způsobenou dobou vzorkování
• teplotní stabilitu
• vstupní impedanci
• šum (resp. jeho vliv na přesnost měření)
Rychlost převodu
Opakovací kmitočet vzorkování musí být dostatečně vysoký vzhledem k nejvyšší složce měřeného vstupního
napětí. Na druhé straně vysoký opakovací kmitočet klade vysoké nároky na technické vybavení. Nejnižší přípustný
opakovací kmitočet vzorkování je určen Shanonovým-Kotelnikovým vzorkovacím teorémem, který říká,
že pro nezkreslený přenos je nezbytné přenést alespoň dva body amplitudy nejvyšší kmitočtové složky analogového
signálu. Kmitočet vzorkování musí tedy být vyšší, jak dvojnásobek nejvyšší kmitočtové složky spektra
analogového signálu
Rozlišovací schopnost
Je určena počtem úrovní, do kterého jsme rozdělili rozsah vstupního analogového napětí. Jelikož výstupní slovo
analogově číslicového převodníku se obvykle vyjadřuje v přirozeném dvojkovém kódu, je často rozlišovací schopnost
vyjádřena počtem bitů ve výstupní slovu.
Počet bitů Rozsah výstupního slova Rozlišovací schopnost
n 0 až 2n
− 1 1/(2n
− 1)
8 0 až 255 1/255
10 0 až 1023 1/1023
12 0 až 4095 1/4095
16 0 až 65535 1/65535
Kvantizační chyba a nelinearita Výstupní napětí může nabývat libovolnou diskrétní hodnotu v mezích
vstupního rozsahu. Například u 12bitové převodníku jsou výsledkem měření celá čísla v rozmezí 0 až 4095.
Tímto procesem vzniká chyba, kterou nazýváme kvantizační chybou. Kvantizační chyba může dosáhnout
maximálně hodnoty, která odpovídá ±1
2 nejnižšího bitu výstupního slova převodníku. Kvantizační chybu je
možné zmenšit použitím více bitů ve výstupním slovu převodníku.
Možné chyby převodníku ukazuje následující obrázek, který pro přehlednost ukazuje tříbitový převodník, jehož
výstupní slovo obsahuje 3 bity
44
Dekadicky 0 1 2 3 4 5 6 7
Binárně 000 001 010 011 100 101 110 111
Výstup 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8
E
T
000
001
010
011
100
101
110
111
b
b
b
b
b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
b
b
0 1/8 2/8 3/8 5/8 6/8 7/84/8 Uvstup
Výstupní slovo
a
T
cs
a) Ideální charakteristika
E
T
000
001
010
011
100
101
110
111
b
b
b
b
b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
b
b
0 1/8 2/8 3/8 5/8 6/8 7/84/8 Uvstup
b
b
b
b
b
b
b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Skutečná charakteristika
Ideální charakteristika
b) Napětový posun
Výstupní slovo
' E
E
T
000
001
010
011
100
101
110
111
b
b
b
b
b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
b
b
0 1/8 2/8 3/8 5/8 6/8 7/84/8 Uvstup

















b
b
b
b
b
b
b
Ideální charakteristika
Skutečná
charakteristika
Výstupni slovo
c) Chyba zisku převodníku
E
T
000
001
010
011
100
101
110
111
0 1/8 2/8 3/8 5/8 6/8 7/84/8 Uvstup
Výstupní slovo
d) Nelinearita převodníku
U převodníku se první přechod z jedné úrovně na druhou nemusí vykonat přesně na úrovni 1/2 hodnoty odpovídající
nejbližšímu bitu ve výstupním slovu. Vzniká chyba způsobená napěťovým posunem ( obrázek b) ).
Dalšími možnými chybami je změna měřítka (chyba zisku - obrázek c) ) a nelinearita (obrázek c)).
Integrální a diferenciální nelinearita
Na obrázku a) jsme spojili středy kvantizačních úrovní spojnicí a. Je-li tato spojnice přímkou, je převod lineární.
Integrální nelinearitu Nint definujeme rozdílem mezi maximální a minimální strmostí spojnice,
Nint =
kmax − kmin
kstřední
, (101)
kde kmax je maximální strmost spojnice a, kmin minimální strmost spojnice, kstřední je střední strmost spojnice,
přičemž strmost k je definována vztahem
k =
dUvýst
dUvstup
.
Typická integrální nelinearita desetibitového analogově číslicového převodníku s postupnou aproximací je větší
než ±10−3
.
U ideálního analogově číslicového převodníku jsou rozdíly mezi jednotlivými dílčími úrovněmi stejně velké.
Velikost těchto rozdílů jsme na obrázku a) označili symbolem s. Jsou-li tyto rozdíly různě velké, vyskytuje se
45
u příslušného převodníku diferenciální nelinearita. Diferenciální nelinearita
Ndif =
smax − smin
sstřední
, (102)
kde smax je maximální, smin minimální a sstedn střední hodnota rozdílů dílčích úrovní. Například u 10 bitového
převodníku s postupnou aproximací bývá diferenciální nelinearita větší než ±10−2
.
Chyba způsobená dobou vzorkování
Dobou převodu rozumíme časový interval, za který analogově číslicový převodník převede analogové napětí do
digitální podoby. Pro rychle měnící se měřené signály je vhodné zařadit před vlastní převodník vzorkovací obvod
s analogovou pamětí. Tento obvod odebere rychle vzorek analogového napětí během doby tvzor a hodnotu si
zapamatuje alespoň pod dobu tpev.
Například pro převod sinusového napětí u(t) = Um sin ωt nastane největší chyba vlivem doby vzorkování
zahájíme-li vzorkování při průchodu sinusového napětí nulou, protože v tomto okamžiku má sinusový průběh
maximální strmost.du
dt = Umω cos ωt ⇒ du(0)
dt = Umω = Um2πf. Aproximujeme-li kolem bodu t = 0 sinusové
napětí přímkou u = Um2π f t, pak za dobu převodu ∆t nastane změna sinusového napětí ∆u = Um2πf∆t. Pro
sinusové napětí jde o maximální možnou chybu. Z předcházejícího vztahu je možné určit maximální kmitočet
sinusového napětí pro zvolenou přípustnou chybu způsobenou dobou převodu tpev (nebo dobou vzorkování).
f ≤
∆u
2πUmtpřev
. (103)
Porovní přenosti měření různých A/D převodníků je nutné provádět opatrně, abychom porovnávali srovnatelné.
Obrázek 18: Porovnání měření 12bitovým A/D převodníkem karty IP-Coach a METEXu M 3850
Nazorně to objasňuje následující obrázek, který porovnává reprodukovatelnost měření napětí pro multimetr METEX
M 3850 a 12bitového A/D převodníku školního systému IP-Coach. Bylo provedeno 300 měření a výsledek
byl znárorněn graficky. Začátečník by usoudil, že multimetr METEX M 3850 měří jasně přesněji. Měřící karta
IP-Coach je však schopna provest více jak 10 000 měření za sekundu naproti tomu METEX provede maximalně
10 měření za sekundu a hodí se jen pro měření pomalu se měnících napětí. Měříme-li takovéto napětí pomocí
46
Obrázek 19: Obdoba předcházejícího obrázku, jen šum karty IP-Coach je odstraněn mnohonásobným opakování
měření
IP-Coach je možné za 0.1s provést až 1000 měření a šum odstranit tak, že z naměřených hodnot vypočteme
aritmetický průměr. Jak je vidět z následujícho obrázku šum se dá v tomto případě výrazně zmenšit. Větší problémem
jsou systematické chyby měření. Pro měřená napětí jsou chyby udavaná výrobci obou zařízení kolem 2
mV.
14.4.3 Rušení u číslicových měřících přístrojů
t
Zi
Ziz
Voltmetre
e
H
L


Um
t
Zi
Ziz
Voltmetre
e
H
L


Um


t
UCM
Rp
a) Souhlasné rušení


USM
b) Sériové rušení
cICM
Měření mohou ovlivnit stejnosměrná nebo střídavá rušivá napětí superponovaná na měřený signál. Podle [10]
rozlišujeme rušení souhlasné UCM (Common Mode) a sériové USM (Series Mode).
Souhlasné rušivé napětí UCM působí ve stejné fázi na vstupních svorkách H a L číslicového voltmetru
a způsobuje rušivý proud ICM , který vytváří na rezistoru nevyvážených přívodů chybové napětí. Sériové rušivé
47
napětí USM se přičítá přímo k měřenému napětí Um.
Zdrojem stejnosměrného rušivého napětí jsou v provozu nejčastěji termoelektrická napětí ve vstupním obvodu
voltmetru a zbytková napětí přepínače na vstupu voltmetru.
Zdrojem střídavého rušivého napětí je často napětí indukované do vstupních obvodů multimetru elektromagnetickým
polem síťových vodičů, nebo zvlněním napětí napájecího zdroje.
Schopnost číslicového voltmetru potlačit souhlasné rušení je charakterizována činitelem potlačení součtového
rušení
CMRR = 20 log
UCM
∆U
[dB] (104)
Schopnost číslicového voltmetru potlačit sériové rušení je charakterizována činitelem potlačení sériového
rušení
SMRR = 20 log
UNM
∆U
[dB], (105)
kde ∆U je chyba údaje měřidla způsobená rušením. Nejčastěji se uvádí CMRR pro Rp = 1 k Ω nebo pro
Rp = 100 Ω (údaj je větší o 20 dB)
Čím větší bude impedance Ziz, tím menší bude ICM. Velké izolační impedance Ziz dosáhneme plovoucím
vstupem číslicového voltmetru (obě vstupní svorky L, H jsou izolovaně odděleny od kostry přístroje).
Sériové rušení účinně potlačíme u stejnosměrného měřeného napětí, jestliže rušivý signál má střídavý periodický
průběh. K potlačení používáme filtrace pasivními a aktivními filtry nebo výše popsanou integraci měřeného
napětí. Potlačení sériového rušení pomocí filtrů však zmenšuje rychlost měření.
Voltmetry a multimetry určené k přesnému měření napětí mívají pro připojení napětí 3 vstupní zdířky
označené G, L a H. Svorky G a L bývají propojeny. Zasuneme-li banánek do svorky G dojde k rozpojení těchto
svorek. Jsou možné dva základní způsoby připojení měřeného napětí:
• Třívodičové zapojení má vyšší činitel potlačení souhlasného ss a st napětí ve srovnání s dvouvodičovým
zapojením. Napětí přivedeme pomocí vodičů L a H, které jsou stíněny vodičem připojeným do svorky
G. Je nutno dbát na to, aby svorky Lm a L byly propojeny vodičem s co nejmenším odporem, aby se
potlačilo rušení souhlasným napětím.
• Dvouvodičové zapojení zapojení využívá jen svorek L a H. Svorka G je uvnitř přístroje propojena se
svorkou G. K přivedení napětí je nejvýhodnější použít koaxiální kabel, jehož stínění se připojí do svorky
L. Činitel potlačení souhlasných napětí je nižší, než u třívodičového zapojení.
Situaci pro multimetr M1T 380 názorně ukazuje následující obrázek:
d
d
d
e




t
Um
Us
Ri RV HHm
Lm
RV L
RV G
H
L
G
VSTUP
G - L
EXT
M1T380
Třívodičové připojení
d
d
d
d
e




t
Um
Us
Ri RV HHm
Lm
RV L
H
L
G
VSTUP
G - L
M1T380
Dvouvodičové připojení
=
∼=
=
∼= c
cc
c¢¢
d
48
14.4.4 Příklad uvádění parametrů voltmetrů
M1T 330 M1T 380
Rozsah Citlivost Vstupní odpor Rozsah C1 C2 Vstupní odpor
300 mV 10 µ V > 109
Ω 150 mV 1 µ V 100 nV > 1000MΩ
3 V 100 µ V > 109
Ω 1,5 V 10 µ V 1 µV > 1000MΩ
30 V 1 mV > 109
Ω 15 V 100 µ V 10 µV > 1000MΩ
300 V 10 mV 10 MΩ ± 1% 150 V 1 mV 100 µV > 1000MΩ
C1 je citlivost pro integrační dobu 20 ms a 200 ms. C2 je citlivost pro integrační dobu 2 s.
MH - měřená hodnota, MHMR - zvolený rozsah
Základní chyba M1T 330 Základní chyba M1T 380
0,01 % MH + 0,01 % MHMR 100 ppm MH + 20 ppm MHMR + chyba vnějšího normálu
Přídavná teplotní chyba M1T 330 Přídavná teplotní chyba M1T 380
(0,002 % MH + 0.002 % MHMR)/K (20 ppm MH + 10 ppm MHMR)/K
Potlačení souhlasného napětí při rozvážení 1 kΩ M1T 330 M1T 380
ss napětí > 120 dB > 120 dB
st napětí síťového kmitočtu > 140 dB > 140 dB
Potlačení sériového rušivého napětí síťového kmitočtu M1T 330 Doba integrace M1T 380
> 60 dB 200 ms > 65 dB
20 ms > 45 dB
2 s > 80 dB
14.4.5 Příklad uvádění parametrů A/D převodníků
U měřící karty PCL -818L uvádí pro analogové vstupy výrobce následující parametry:
Anglicky Česky
Channels: 16 singel-endes or 8 differential Kanály: 16 unipolárních nebo 8 bipolárních
Resolution: 12 bits Rozlišení: 12 bitů
Conversion type: Successive approximation Typ převodníku: s postupnou aproximaci
Conversion rate: 40 kHz max Frekvence vzorkování: do 40 kHz
Accuracy: ±(0.01% of reading) ±1 bit Přesnost: ±(0, 01% měřené hodnoty) ±1 bit
Linearity: ±1 bit Linearita: ±1 bit
Data transfer: Program, Přenos dat: programově,
interrupt or DMA pomocí přerušení nebo DMA
Poznámka: Karta PCL 818L je výrobkem firmy ADVANTECH, obdobnou kartu s označením DAS-16 vyrábí
i firma KEITHLEY a pod označením AX 5411 ji vyrábí i firma AXIOM. Tato karta of firmy AXIOM je součástí
školního měřicího systému ISES Profesionál.
Pro měřící kartu AXIOM uvádí výrobce následujíc parametry:
Anglicky Česky
Number of inputs 16 single-ended Počet vstupů 16
Resolutino 12 bits Rozlišení 12 bitů
Sampling Rate 60 kHz max. Vzorkovací frekvence 60 KHz max.
A/D Conversion Time 15 µs max. Doba převodu 15 µs max.
Channel Acquisition Time 5 µs max. 5 µs max.
System Accuracy ±0.03% FSR ±0.03% MHMR
Nonlinearity ±1 LSB Nelinearita ±1 LSB
Differential Nonlinerity ±1 LSB Diferenciální nelinearita ±1 LSB
Inherent Quantizing Error ±1 LSB Kvantizační chyba ±1 LSB
Zero Drift: Bipolar 17 ppm of FSR/C 17 ppm MHMR/K
Gain Drift 30 ppm of FSR/C 30 ppm MHMR/K
Anglická zkratka FSR se česky překládá jako MHMR tj. maximální hodnota měřícího rozsahu
49
15 Senzory
Senzor [20] je funkční prvek tvořící vstupní blok měřicího řetězce, který je v přímém styku s měřeným prostředím.
Pojem senzor je ekvivalentní pojmu snímač, převodník nebo detektor. Citlivá část senzoru se občas označuje
jako čidlo. Senzor jako primární zdroj informace snímá sledovanou fyzikální, chemickou nebo biologickou veličinu
a dle určitého definovaného principu ji transformuje na měřicí veličinu - nejčastěji na veličinu elektrickou.
15.1 Rozdělení senzorů
• Dle měřené veličiny:
senzory teploty, tlaku, průtoku, radiačních veličin, mechanických veličin (posunutí, polohy, rychlosti atd.),
senzory elektrických a magnetických veličin atd.
• Dle fyzikálního principu:
senzory odporové, indukčnostní, indukční, kapacitní, magnetické, piezoelektrické, optoelektronické, optické
vláknové,chemické, biologické aj.
• Dle styku senzoru s měřeným prostředím: bezdotykové, dotykové.
• Dle transformace signálu: aktivní, pasivní.
Aktivní senzor je senzor, který se působením snímané veličiny chová jako zdroj elektrické energie.
Pasivní senzor je senzor, u kterého je nutné elektrickou veličinu (odpor, indukčnost, kapacitu atd.) dále
transformovat na analogový napěťový nebo proudový signál. U pasivních senzorů je na rozdíl od aktivních
senzorů nezbytné napájení.
• Dle výrobní technologie:
elektromechanické, mechanické, pneumatické, elektrické, elektronické, elektrochemické, polovodičové, mikroelektronikcé,
optoelektroniké aj.
15.2 Technické parametry senzorů
Statické parametry Dynamické parametry
citlivost parametry časové odezvy
práh citlivosti časová konstanta
dynamický rozsah šíře frekvenčního pásma
reprodukovatelnost frekvenční rozsah
rozlišitelnost rychlost číslicového převodu
aditivní a multiplikativní chyby parametry šumu
linearita
parametry výstupu
15.2.1 Statické vlastnosti senzorů
Statická převodní charakteristika senzoru je dána funkční závislosti y = f(x) mezi vstupní veličinou x a výstupní
veličinou y v časově ustáleném stavu.
Tuto závislost lze velmi často popsat polynomem y = a0 +a1x+a2x2
+. . .+anxn
. Ideální statická charakteristika
je dána vztahem y = K x, kde K je citlivost senzoru a současně konstanta přenosové funkce. Pro obecnou
funkční závislost je citlivost K definována K = df(x)
dx . Vzhledem k působení parazitních veličin je lepší definovat
citlivost takto: K = (∂f(x)
∂x )z1,...zn=konst., kde z1, . . . zn jsou parazitní veličiny.
Práh citlivosti senzoru je dán hodnotou snímané veličiny, při níž je na výstupu senzoru signál odpovídající
střední kvadratické odchylce šumu senzoru. Například pro napěťový signál je práh citlivosti uy = u2
s
Dynamický rozsah senzoru je dán intervalem přípustných hodnot snímané fyzikální veličiny, ohraničený práhem
citlivosti a maximální hodnotou měřené veličiny.
Reprodukovatelnost senzoru je dána odchylkou naměřených hodnot při krátkodobém časovém sledu měření
neměnné vstupní veličiny a neměnných rušivých vlivů okolí.
Rozlišitelnost senzoru je nejmenší změna snímané veličiny odpovídající absolutní nebo relativní chybě senzoru.
Při analogové transforamci signálu je rozlišitelnost dána vztahem
ra =
1
ymax−ymin
2(∆y)max
+ 1
.
= 2δs, (106)
50
kde (∆y)max je maximální hodnota absolutní chyby měření v rozsahu měření, δs je relativní chyba senzoru.
Relativní chyba senzoru je dána vztahem δs = (∆y)max
ymax−ymin
.
Poznámka: U senzorů se chyby často udávají vztažené ke vstupní veličině, tj. δs = (∆x)max
xmax−xmin
.
Aditivní a multiplikativní chyby viz. ....
Spolehlivost senzoru (přístroje)
Spolehlivost je podle ČSN IEC 50 (191) chápána jako souhrnný termín pro popis pohotovosti a činitelů, kteří
ovlivňují: bezporuchovost, udržovatelnost a zajištěnost údržby. Pro měřicí přístroje je pak pro takto obecně
chápanou spolehlivost nejvýznamnější dílčí vlastností bezporuchovost, která je definována jako schopnost
objektu plnit požadovanou funkci v daných podmínkách a v daném časovém období. Ukazatelé bezporuchovosti
obecně popisují pravděpodobnost chování náhodné velčiny ”doba do poruchy” (při stanovení kritéria poruchy).
U přístrojů chápaných jako neopravované objekty jsou pak nejčastěji používány tyto:
• pravděpodobnost bezporuchového provozu R(τ)
• pravděpodobnost poruchy F(τ)
• hustota pravděpodobnosti poruch f(τ)
• intenzita poruch λ(τ)
• střední doba mezi poruchami (MIBF) ∆τ
U přístrojů, které lze opravovat je používána následující charakteristika:
• střední doba do první poruchy (MITFF) τ
Pravděpodobnost poruchy F(τ) vyjadřuje, že během intervalu (0, τ) vznikne porucha u N(τ) přístrojů
z celkového sledovaného počtu N0 na začátku zkoušky, což lze vzjádřit vztahem F(τ) = N(τ)
N0
. Je zřejmé, že
R(τ) = 1 − F(τ).
Hustota pravděpodobnosti poruch f(τ) = df(τ)
dτ .
Intenzita poruch λ(τ) vyjadřuje rychlost vzniku poruch v souboru sledovaných přístrojů N(τ), u kterých
ještě nenastala porucha. λ(τ) = f(τ)
R(τ)
V případě konstantní intenzity poruch λ(τ) = λ, tj. pro rozdělení náhodné veličiny ”doba do poruchy” platí
exponenciální zákon, bude pravděpodobnost bezporuchového provozu R(τ) dána výrazem R(τ) = e−λτ
Většinou intenzita poruch klesá až do časového okamžiku τ1 (období častých poruch). Pak až do doby τ2 bývá
intenzita poruch většinou konstantní. Od časového okamžiku τ2 opět začíná závislost stoupat, protože se začíná
projevovat opotřebení atd.
Střední doba do poruchy τ se zavádí u přístrojů, které se při poruše neopravují; vyjadřuje aritmetický
růměr dob bezporuchového provozu τi všech n přístrojů zkoumaného souboru do vzniku první poruchy, tedy
τ = 1
n
n
i=1
τi.
Střední doba mezi poruchami ∆τ vyjadřuje aritmetický průměr všech dob bezporuchového provozu τi
přístroje mezi dvěma za sebou následujícími poruchami, tedy ∆τ = 1
nF
i=1
τi, kde nF je celkový počet poruch
jednoho přístroje. Určuje se u přístroje, které se po poruše opravují, tj. obnovuje se jejich provozuschopnost.
15.2.2 Dynamické vlastnosti senzorů
Měřená hodnota fyzikální nebo jiné veličiny se neustále mění s časem. Senzory zařazené v regulačních smyčkách
nebo indikující mezní stavy procesu musí být navrženy tak, aby výstupní signál y(t) sledoval s minimálním
zkreslením vstupní signál x(t). V dalším budeme vycházet z předpokladu, že dynamické chování senzoru lze
popsat lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty. Pokud rovnice neni lineární, je nutné ji po
úsecích linearizovat a dynamické chování sledovat v daných úsecích. Podrobný matematický popis problematiky
je možné nalézt v [20] a [22]. Graficky se zobrazují dynamické vlastnosti dynamickými charakteristikami:
• Přechodová charakteristika - odezva na skokovou změnu vstupní veličiny; popisuje ji přechodová funkce
• Rychlostní charakteristika - odezva na vstupní veličinu měnící se konstantní rychlostí; popisuje ji
rychlostní funkce
51
• Impulsní charakteristika - odezva na změnu vstupní veličiny ve formě impulsu; popisuji ji impulsní
funkce
• Frekvenční charakteristika - vyjádření chování přístroje při harmonické změně vstupní veličiny; popisuje
ji frekvenční přenosová funkce.
Průběh libovolné dynamické charakteristiky lze určit experimentálně, nebo výpočtem.
15.3 Metody zmenšení chyb senzorů
Z hlediska chyb je nutné kromě systematických a nahodilých chyb jednotlivých funkčních bloků senzoru uvažovat
zapojení senzoru do systémum tj. musí se respektovat vazba senozoru s ostatními částmi systému a parazitní
vazby uvnitř senzoru. Mezi rušivé veličiny prostředí patří například teplota, tlak, vlhkost, radiace, pole (elektrické,
magnetické, elektromagnetické) aj. Zpětný vliv senzoru na měřený proces má za následek, že hodnota
měřené veličiny se změní vlivem senzoru (například dotykový teploměr sníží teplotu měřeného místa). Jako
zpětný vliv rozhraní, přístroje a jiného zařízení připojeného k senzoru lze uvést zatěžovací impedance, rušivé
signály vedení nebo parazitními zemními smyčkami aj. Vnitřní rušení uvnitř senzoru a případného elektronického
řetězce je působeno oteplením, parazitními kapacitami nebo jinými vazbami aj.
V praxi se můžeme setkat s celou řadou metod, které zmenšují chybu senzorů. Podrobný popis metod je možné
nalézt například v [22]. Zde uvádíme jen přehled nejpoužívanejších metod:
• Metoda kompenzačního senozoru
• Metoda diferenčního senzoru
• Metoda zpětnovazebního senzoru
• Metoda sériového zapojení linearizačního členu
• Metoda linearizace při číslicovém zpracování signálu
• Metoda automatické kalibrace
• Metoda filtrace
• Metoda posunu spektra
• Metoda korekce dynamických chyb senzoru
16 Chyba při vážení na analytických vahách
1. Přibližnou hmotnost určíme na předvážkách.
2. Určíme nulovou polohu no1.
3. Váhy zaaretujeme, na levou misku dáme předmět a na pravou závaží o hmotnosti zjištěné při předvážení.
4. Váhy odaretujeme a závaží dokorigujeme tak, aby rovnovážná poloha n1 byla vpravo od nulové polohy
no1. Této poloze odpovídající závaží označme Z1.
5. Pomocí jezdce nebo na pravou misku přidáme přívažek ∆Z takový, aby rovnovážná poloha n2 = n1 +∆n
ležela na stupnici vlevo od no1.
6. Vypočítáme citlivost vah c = ∆n/∆Z.
Udává změnu rovnovážné polohy, která odpovídá jednotkovému přívažku.
7. Určíme nulovou polohu no2 po vážení. Výsledná nulová poloha je no = (no1 + no2)/2.
8. Hmotnost tělesa určíme ze vztahu
m = Z1 + |no−n1
c |.
9. Střední kvadratická chyba váženi je δ(m) = κ(n)/c, kde κ(n) je krajní chyba jednoho čtení na stupnici
vah.
10. V případě, že |n0 − n1| je větší než κ(n) vypočteme chybu z tohoto rozdílu tj. δ(m) = |(n0 − n1)/c|.
52
17 Využití systému FAMULUS 3.5
17.1 Vytvořené modely ve Famulovi
V systému FAMULUS je k dispozici celá řada knihoven pro zpracování experimentálních dat.
Knihovny STAT.FML a INTERP.FML jsou dodávány přímo se systémem. Knihovny STAT1.FML, MARQ.FML
a BSPL.FML je možné získat v našem archivu programů.
Příznivci jazyka PASCAL naleznou celou řadu zajímavých programů ve skriptech [7].
Přehled dostupných modelů pro systém FAMULUS ukazuje následující tabulka:
Název Popis
DISTRIBS.FM Rozdělení pravděpodobnosti a distribuční funkce pro hod kostkou
DISTRIS1.FM Rozdělení pravděpodobnosti a distribuční funkce diskrétní náhodnou veličinu
NORM1.FM Hustota a distribuční funkce normálního rozdělení
NORM2.FM Kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty směrodatné odchylky
MORM3.FM Kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty střední hodnoty
NORM4.FM Zobrazuje interval spolehlivosti pro normální rozdělení
GAMA.FM Graf gama funkce pro x > 0
GAMA1.FM Graf gama funkce pro kladné i záporné hodnoty x
STUDENT.FM Srovnání Studentova rozdělení s normálním rozdělením
STUDB.FM Interval spolehlivosti pro Studentovo rozdělení
PRIMKA.FM Proložení přímky metodou nejmenších čtverců
PRIMKAP.FM Předcházející program doplněný o analýzu dat
POLY.FM
POLY1.FM
17.2 Dostupné knihovny
17.2.1 Knihovna INTERP.FML
Zahrnuje základní procedury a funkce pro interpolaci v jedné proměnné derivaci a integraci pomocí kubických
splinů.
Konstanta Natural: použijeme ji často - pokud budeme chtít přirozený spline. Natural=9e999
PROCEDURE Spline(x[i=iMin TO iMax],y[ ],y1Min,y1Max,y2[])
Příprava interpolace pomocí kubických splinů.
Význam argumentů:
x[ ], y[ ] x-ové a y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme interpolaci
iMin, iMax určují, které body bereme při interpolaci do úvahy
y1Min, y1Max požadované hodnoty 1. derivace v bodech x[iMin], x[iMax]
y2[ ] výstupní pole - po ukončení procedury obsahuje druhé derivace v interpolovaných bodech
POZOR ! : Pole x[ ] a y[ ] musí být setříděna např. procedurou SORT.Sort2.
Poznámky: Výše je definována reálná konstanta Natural, kterou je možné použít místo hodnot y1Min, y1Max.
V tom případě jde o tzv. přirozený spline - hodnota 2. derivace v daném okrajovém bodě je rovna 0.
FUNCTION SplineDerivace(xa[i=iMin TO iMax],y[ ],y2[ ],x)
Vrací derivaci získanou interpolací pomocí kubických splinů.
Význam argumentů:
x[ ], y[ ] x-ové a y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme interpolaci
iMin, iMax určují, které body bereme při interpolaci do úvahy
x hodnota argumentu, pro který chceme znát derivaci
y2[ ] pomocné pole, ve kterém jsou uloženy druhé derivace v interpolovaných bodech
- toto pole musí být inicializováno procedurou Spline
FUNCTION SplineInt(x[i=iMin TO iMax],y[ ],y2[ ],x);
Vrací hodnotu získanou interpolací pomocí kubických splinů.
Význam argumentů:
53
x[ ], y[ ] x-ové a y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme interpolaci
iMin, iMax určují, které body bereme při interpolaci do úvahy
x hodnota argumentu, pro který chceme znát interpolovanou hodnotu
y2[ ] pomocné pole, ve kterém jsou uloženy druhé derivace v interpolovaných bodech
POZOR ! pole y2[ ] toto pole musí být inicializováno procedurou Spline
FUNCTION SplineIntegral(x[i=Min TO Max],y[ ],y2[ ],Od,Do)
Vrací hodnotu integrálu určeného tabulkou x-ových a y-nových hodnot.
Význam argumentů:
x[ ], y[ ] x-ové a y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme integraci
(integrace je prováděna interpolací x-ových a y-nových hodnot kubickými slipny)
iMin, iMax určují, které body bereme při interpolaci do úvahy
y2[ ] pomocné pole, ve kterém jsou uloženy druhé derivace v interpolovaných bodech
POZOR ! pole y2[ ] toto pole musí být inicializováno procedurou Spline
Od, Do určují meze integrálu
FUNCTION PolynInt(x[i=iMin TO iMax],y[ ],x)
Polynomiální interpolace skupinou bodů v rovině Lagrangeovou interpolací.
x[ ], y[ ] x-ové a y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme interpolaci
iMin, iMax určují, které body bereme při interpolaci do úvahy
x bod, ve kterém chceme znát interpolovanou hodnotu
17.2.2 Knihovna STAT.FML
PROCEDURE LinRegrese( x[i=iMin TO iMax],y[ ], VAR a,b)
Proloží přímku zadanými body
Parametry: Jako lokální proměnné jsou použity:
x[ ] nezávisle proměnná (např. čas měření) R korelační koeficient
y[ ] závisle proměnná (např. naměřené hodnoty) SR reziduální součet čtverců
a,b parametry proložené přímky tvaru y = ax + b s odhad směrodatné odchylky
sa odhad směrodatné odchylky pro koeficient a
sb odhad směrodatné odchylky pro koeficient b
Příklad volání:
REAL x[1 TO 5],y[1 TO 5],a,b
.................
READ TAB x[ ],y[ ]
LinRegrese(x[ ],y[ ],a,b)
PROCEDURE PolynRegrese( x[i=iMin TO iMax],y[ ], a[j=j0 TO N])
Proložení polynomu stupně N danými body
Parametry: Jako lokální proměnné jsou použity:
x[ ] nezávisle proměnná (např. čas měření) R korelační koeficient
y[ ] závisle proměnná (např. naměřené hodnoty) SR reziduální součet čtverců
a koeficienty polynomu; s odhad směrodatné odchylky
uvažovaný model y = (a[j] ∗ (x[j]j
))
N stupeň prokládaného polynomu
Příklad volání:
REAL x[1 TO 10],y[1 TO 10],a[0 TO 2]
.................
READ TAB x[ ],y[ ]
PolynRegrese(x[ ],y[ ],a[ ])
PROCEDURE SpecLinRegrese( x[i=iMin TO iMax],y[],EXPR f1, f2, VAR x, VAR a,b)
Proložení lineární kombinace dvou zadaných funkcí zadanými body
Parametry: Jako lokální proměnné jsou použity:
x[ ] nezávisle proměnná (např. čas měření) R korelační koeficient
y[ ] závisle proměnná (např. naměřené hodnoty) SR reziduální součet čtverců
a,b parametry modelu ve tvaru y = a f1(x) + bf2(x) s odhad směrodatné odchylky
sa odhad směrodatné odchylky pro koeficient a
sb odhad směrodatné odchylky pro koeficient b
54
Příklad volání:
REAL x[1 TO 5],y[1 TO 5],a,b,x
.................
READ TAB x[ ],y[ ]
SpecLinRegrese(x[ ],y[ ],1,exp(x),x,a,b)
PROCEDURE Statistiky(REAL x[i=iMin TO iMax])
Spočte 23 základních statistik, které jsou uloženy v proměnných s odpovídajícím jménem
Poznámka: Vektor x[ ] může obsahovat nedefinované (chybějící) hodnoty. Jednotlivé statistiky jsou lokální
proměnné v této proceduře a jejich hodnoty získáme pomocí tečkové notace.
Příklad volání:
REAL x[1 TO 5]
.................
READ TAB x[ ]
Statistiky(x[ ])
WRITE ”Pruměr z ”, Statistiky.N,” dat je ”,Statistiky.Prumer
Použité proměnné a jejich stručné zavedení (definice)
INT N celkový počet pozorování (definovaných hodnot x[ ] )
REAL Sum součet všech definovaných položek vektoru x[ ]
REAL Sum2 součet druhých mocnin x[ ]
REAL Minimum,Maximum nejmenší a největší hodnota v x[ ]
REAL Prumer průměr
REAL Median medián (neboli ”střed” x[ ] - tzn.,že
počet x[i] <=Median je roven počtu x[i] >=Median
REAL Rozptyl rozptyl je definován jako (Sum2 − Sum ∗ Sum/N)/(N − 1)
REAL SmerOdch směrodatná odchylka, je rovna
√
Rozptyl
REAL Sikmost koeficient šikmosti
REAL Spicatost koeficient špičatosti
REAL Rozpeti rozpětí x[ ], šili (Maximum - Minimum)
REAL K1 dolní (K1) a horní (K3) kvartil. Pokud bychom
REAL K3 vektor x[ ] uspořádali vzestupně podle velikosti,
K1 a K3 odpovídají x[1/4 ∗ N] a x[3/4 ∗ N]
REAL IkRozpeti interkvartilové rozpětí neboli (K3 - K1)
INT Nv1SmO počet pozorování, která leží v intervalech
INT Nv2SmO (Prumer-i*SmerOdch,Prumer+i*SmerOdch), i=1,..,3
INT Nv3SmO
REAL Pv1SmO jsou to Nv1SmO ... Nv3SmO
REAL Pv2SmO převedena na procenta
REAL Pv3SmO
PROCEDURE
FrekvTab(x[i=iMin TO iMax],Skupina[j=jMin TO jMax], Cetnost[], VAR INT PocetTrid)
Výpočet frekvenční tabulky (tabulky četností) daného vektoru.
Poznámky: Jsou-li data (hodnoty ve vektoru x[ ]) diskrétního charakteru (tj. x[ ] obsahuje jen několik hodnot,
které se opakují), procedura počítá četnosti těchto hodnot. Jinak je interval od minima x[ ] do maxima x[ ]
rozdělen ekvidistantně na optimální počet tříd a jsou spočítány četnosti těchto skupin. Pokud jsou dimenze polí
Skupina[ ] a Cetnost[ ] menší než je optimální PočetTříd, je spočtena tabulka podle dimenze těchto polí.
Parametry:
x[i=iMin TO iMax] (* vektor pozorování (data) *)
Skupina[j=jMin TO jMax] (* středy skupin pozorovaných hodnot (dat) *)
Cetnost[j=jMin TO jMax] (* četnosti těchto skupin *)
PocetTrid (* počet skupin (tříd), do kterých byla data rozdělena. Je vždy ¡= 16)
17.2.3 Knihovna STAT1.FML
Upravená knihovna STAT.FML, která byla rozšířena o další procedury a funkce:
PROCEDURE Dnorm(x,VAR f,g,BOOLEAN VAR typ)
Distribuční funkce normalního rozdělení.
x= argument funkce rozdělení
55
f= distribuční funkce (typ=FALSE)
f= 1 - distribuční funkce (typ = TRUE)
g= rozdělovací funkce (derivace distribuční funkce)
FUNCTION REAL Dfinv(alfa)
Kvantil normalního rozdělení pro hladinu významnosti alfa (obvykle 0.05)
FUNCTION REAL Tstud(alfa, INT n)
Kritické hodnoty Studentova rozdělení (Studentovy koeficienty) pro hladinu významnosti 1-alfa a pocet stupnu
volnosti n
PROCEDURE PolynRegrese( x[i=iMin TO iMax],y[ ], a[j=j0 TO N], da[ ],w[ ],alfa)
Standartní procedura PolynRegrese byla rozšířena o vypočet disperze koeficientu polynomu a[ ] (pole da[ ])
a interval spolehlivosti na hladině významnosti 1-alfa (pole w[ ]) v jednotlivých bodech x[i]
Procedury LinRegrese a SpecLinRegrese byly upraveny nevýznamně
Obrázek 20: Ukázka postupného hledaní optimálního průběhu s využitím Marquardt-Levenbergova algoritmu
17.2.4 Knihovna MARQ.FML
Knihovna MARQ.FML umožňuje provádět nelineární regrese metodou nejmenších čtverců s použitím Marquardt-Levenbergova
algoritmu parametry minimalizace (např. maximální počet iterací) jsou uvedeny na začátku
hlavní časti knihovny.
Model TESTMARQ. FM: Hledání parametrů Rosenbrockovy funkce. Výsledky minimalizace jsou ukládány
do souboru definovaném na začátku těla programu počáteční odhady hlednaných parametrů jsou uvedeny na
konci datového souboru TESTM.DAT.
Pomocné soubory:
TESTM. DAT data pro TESTMARQ.FM - Rosenbrockova funkce s šumem, který má Gaussovo (normalní)
rozdělení
TESTM. OUT ukázka výstupniho souboru
KMITY2.FM hledání parametrů tlumených kmitů (kmity tyče) - 5 parametru. Počáteční odhad parametrů se
provede sejmutím polohy tří významných bodů na měřené závislosti pomocí myši.
56
KMITY2.DAT data pro KMITY2.FM (reálná data naměřená soupravou IP-COACH)
KMITY2.OUT ukázka výstupního souboru
Literatura:
[1] Rektorys K.: Přehled užité matematiky, SNTL Praha, 1968
[2] Šťastný F.: Fyzikální praktikum pro nefyzikální obory, UJEP Brno
[3] Novák M.: Úvod do praktické fyziky, UJEP Brno 1989
[4] Brož J. a kolektiv: Základy fysikálních měření I, SPN Praha 1967
[5] Hanousek J. a Charamza P.: Moderní metody zpracování dat - matematická statistika pro každého, Grada
Praha 1992, ISBN-80-85623-31-5
[6] Meloun M. a Militký J.: Statistické zpracování experimentálních dat, Edice Plus, Praha 1994, ISBN 80-
85297-56-6
[7] Novák M. a kolektiv: Fyzikální praktikum I, UJEP Brno 1982
[8] Celý J.: Programové moduly pro fyzikální výpočty, UJEP Brno 1985
[9] Humlíček J.: Základní metody numerické matematiky, UJEP Brno 1980
[10] Bajcsy J., Kodaj D., Kováč K., Smieško V.: Automatizované systémy merania riadené mikropočítačmi,
ALFA Bratislava 1986
[11] Sobotka Z.: Přehled číslicových systémů, SNTL Praha 1981
[12] Matoušek A., Hradil F.: Provozní měření v elektrotechnice, STRO.M Praha 1996
[13] ČSN 35 6505 ze dne 26.11.1975, ÚNM Praha 1975
[14] Budíková M., Mikoláš Š., Osecký P.: Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů),
Masarykova Univerzita, Brno 1996, ISBN 80-210-1329-x
[15] Budíková M., Mikoláš Š., Osecký P.: Popisná statistika, Masarykova Univerzita, Brno 1996, ISBN 80-210-
1210-3
[16] Kožíšek J.: Statistická analýza, ČVUT Praha 1996, ISBN 80-01-00965-3
[17] Kožíšek J.: Statistická analýza, Příklady, ČVUT Praha 1997, ISBN 80-01-01617-X
[18] Novotný J.: Vybrané statě z fyziky (Zpracování experimentálních dat), ČVUT Praha 1994, ISBN 80-01-
01052-X
[19] Beneš V., Dohnal G.: Pravděpodobnost a matematická statistika, ČVUT Praha 1993, ISBN 80-01-00911-4
[20] Ďaďo S., Kreidl M: Senzory a měřicí obvody, ČVUT Praha 1996, ISBN 80-01-01500-9
[21] Fajt V., Haasz V., Sedláček M: Elektrická měření, ČVUT Praha 1996, ISBN 80-01-00751-0
[22] Bráza A., Jenčík J.: Technická měření, ČVUT Praha 1996, ISBN 80-01-01495-9
57