UČEBNI TEXTY VYSOKÝCH SKOL Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství R N Dr. Jiří Klaška, Dr. CVIČENÍ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY I PC-DIR Real, s.r.o., Brno ÚVOD Tento učební text je určen především posluchačům prvního ročníku oboru matematické inženýrství na Fakultě strojního inženýrství VUT v Brně. Skriptum obsahuje sbírku řešených a neřešených příkladů z předmětu Matematická analýza I. Látku tohoto předmětu tvoří elementy matematické logiky, množinová algebra a zejména pak následující klasické partie z matematické analýzy: reálná čísla, elementární funkce, limita a spojitost funkcí, derivace funkce, vyšetřování průběhu funkce, diferenciál funkce, Taylorova věta, křivky a funkce dané parametricky, primitivní funkce, Riemannův určitý integrál a nevlastní integrály. Vzhledem k tomu, že se tato tematika Částečně shoduje s látkou probíranou v inženýrském a bakalářském studiu na Fakultě strojního inženýrství VUT, lze učební text doporučit i těmto oborům. Správné použití skripta předpokládá, že se čtenář pokusí o samostatné řešení příkladů a své výsledky pak srovná s uvedeným řešením. Samostatné řešení příkladů má studentům pomoci zlepšit jejich početní zručnost a ulehčit aktivní zvládnutí studované problematiky. S přihlédnutím k početnímu charakteru těchto skript lze dále doporučit následující literaturu: 1. G. N Berman, Sborník zadač po kursu matematičeskogo analýza, Nauka, Moskva, 1971. 2. B. P. Děmidovič, Sborník zadač i upražněnij po matematičeskomu analysu, Nauka Moskva 1964. 3. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan, Zbierka úloh z vyššej matematiky 1-S, Alfa Bratislava, 1986. 4- G. M. Fichtengolc, Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom T a II. Gostechizdat. Moskva, 1951. 5. F. Jirásek, E. Kriegelstein, Z. Tichý, Sbírka řešených příkladů z matematiky, SNTL Praha 1979. Při sestavování nové sbírky úloh mohlo dojít k různým nepřesnostem a chybám. Autor bude proto čtenářům vděčen za upozornění na jakékoliv nedostatky ve výběru příkladů i v jejich řešení a uvítá náměty ke zlepšení textu. Závěrem chci poděkovat Doc. RNDr. Ondřeji Došlému, DrSc. za pečlivé pročtení rukopisu a řadu cenných připomínek, které zlepšily celkovou úroveň textu. Brno, březen 2000 Jiří Klaška OBSAH I. ÚVOD DO STUDIA MATEMATIKY I. Logika, množiny, důkazy............................................ g II. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 1. Základní vlastnosti funkcí............____........................... 2. Posloupnosti..................„............................... 29 3. Limita a spojitost......................................... gg 4. Derivace funkcí............................................... 4g 5. Diferenciál a Taylorův polynom............................ 5g 6. ĽHospitalovo pravidlo............................. g g 7. Průběh funkce................................................ 73 8. Křivky a funkce dané parametricky..................................... g2 III. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 1. Neurčitý integrál.....................................s........ gg 2. Riemannův určitý integrál..................................... ^4 3. Nevlastní integrál............................................ ^22 IV. VÝSLEDKY NEŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ.............................127 4 L ÚVOD DO STUDIA MATEMATIKY L LOGIKA, MNOŽINY, DŮKAZY První kapitola skript obsahuje úlohy z úvodu do studia matematiky, tedy ze základu matematiky. Základními pilíři, na kterých celá matematika stojí, je logika a teorie množin. Tyto disciplíny umožňují jiným matematickým oborům přesné vyjadřování a poskytují pravidla a metody pro konstrukce důkazů. Rozhodne nelze očekávat, že v této kapitole čtenář nalezne úplný přehled typových úloh z dané problematiky. V mnoha ohledech je dán výběr úloh tradicí a zejména je přihlédnuto k návaznosti na další tématické celky z matematické analýzy. část a: Řešené príklady 1. k následujícím výrokům utvořte negaci a spočtěte její pravdivostní hodnotu (a) 3>5a4<7, (B) 32 = 9 nebo 2|6, (C) 1 + 1 = 3 pak tt e R. Řešení: (Ä) 3<5nebo4>7, P(A') = P(l V 0) = 1; (B') 32^9a2f6, P{B') = P(0 A 0) = 0; (C) l + l = 3a.n$R, P{C) = P(0A1) = 0. 2. k následujícím výrokům utvořte negaci a spočtěte její pravdivostní hodnotu (A) 3x e R : (0 > |x| + 1) V ((a: + 2)(x -f 1) < -0.25), (B) W € C : {z e Q) {{z = f) A (x, y € Z) A (y ± 0)), (C) 3x e i?,0 -0.25), P(A') = 1; (£') 3^€C:(^eQ)A((^|)vCT,t/^Z)V(y = 0)), P(B>) = 0; (C) Vx € R,0 < x < 13y e R: (y s A (y > z2), P(C) = 1. 3. Pomocí logické symboliky zapište následující matematická tvrzení: (A) Ke každému kladnému reálnému číslu e existuje přirozené Číslo n0 tak, že pro všechna přirozená čísla n větší než n0 platí |a„ - L| < e. (B) Ke každému reálnému kladnému Číslu e existuje číslo í reálné kladné tak, že pro každé reálné x splňující nerovnost 0 < \x - xQ\ < S platí \f(x) - L\ < e. Dále utvořte negace uvedených tvrzení. Řešení: (A) Ve > 0,3n0 € N, Vn G jV : n > n0 t* \an - L\ < e. Právě uvedené tvrzení má význam: posloupnost {an} má limitu i, což zapisujeme L = lim an. (A') 3e > 0,Vno G JV, 3n G N : n > n0 A |o„ - L\ > e. (B) V£ > 0,3í > 0,Vs € ii : 0 < |x - z0| < 5 - L 5 Právě uvedené tvrzení B má význam: funkce f(x) má vlastni limitu L, ve vlastním bodě xo, což zapisujeme L = lim f{x). (B') 3e >0,Vá>0,3x e. 4. Když si dám aperitiv, dám si i předkrm. Nedám-li si hlavní jídlo, nedám si předkrm. Vyplývá z uvedeného, že dám-li si aperitiv, dám si i hlavní jídlo? Vyplývá z uvedeného, že dámdi si hlavní jídlo, pak si dám aperitiv? Řešení: Nejprve provedeme vhodné označení jednotlivých atomárních výroků. Symbolem A označme výrok „Dám si aperitiv", symbolem B označme výrok „Dám si předkrm" a dále C označme výrok „Dám si hlavní jídlo". V provedeném označení mají výpovědi ze zadání úlohy tvar A B a C => B'. Ptáme se, zda jsou úsudky A C a C A pravdivé. Pro jednoduchost dále označme V = {A B) A(C" => B'), A m ({A * B) A (C => B')) * (A C), B = ((A =5 B) !\ (C B')) =► (C # A). Nyní sestavíme tabulku pravdivostních hodnot všech možných kombinací. A B c A=$> B C'^-B' A^C C A V A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 P 1 1 1 0 1 1 1 0 0 l) 1 U 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Q 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 p 1 1 1 i 1 1 1 Z tabulky je ihned zřejmé, že první úsudek je správny a druhý nesprávný. 5. Šárka a Iva čekají před školou na svoje kamarády Petra, Honzu a Jirku. Šárka tvrdí: Přijde-li Petr a Honza, přijde i Jirka. Iva říká: Já si myslím, že když přijde Petr a nepřijde Jirka, nepřijde ani Honza. Na to povídá Šárka: To ale říkáš totéž co já. Rozhodněte, zda obě skutečně říkají totéž. Řešení: Nejprve opět provedeme vhodné označení atomárních výroků. Symbolem A označme výrok „Petr přijde", symbolem B označme výrok „Honza přijde" a dále C označme výrok „Jirka přijde". V provedeném označení mají výpovědi Šárky a Ivy tvar A=(Aŕ\B)=>C&B = (AA C) =* B'. Aby Šárka a Iva říkaly totéž, musí být A-&B tautologie. Sestavíme tabulku pravdivostních hodnot. A B C Ä AB A A C A B 1 1 1 1 0 1 l 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 l 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 [ 1 0 0 0 0 0 1 1 Z tabulky pravdivostních hodnot vyplývá, že A «* B je tautologie, což znamená, že Šárka a Iva říkají skutečně totéž. 6. O podezřelých A,B,C z trestného činu jsou prověřeny tyto informace. Jestliže spáchal trestný čin podezřelý B, pak je vinen i podezřelý C. Spáchal-Ii trestný čin podezřelý C, pak mu pomáhal A. Nespáchal-li trestný čin podezřelý B, podílel se na činu podezřelý C. Je-li vinen podezřelý A, není vinen podezřelý B. Jaký závěr musí učinit z těchto informací vyšetřující soudce? Řešení:Dále zavedme označení A = B =ŕ- C, B = C => A, C ~ B' => C, V — A =>■ B'. Prověříme, za jakých okolností dojde k současnému splnění všech čtyř podmínek A, B, C, V. Sestavíme tabulku pravdivostních hodnot. B l l 0 A 1 1 1 1 0 0 1 o o o o C B^C C^A B' ^ C A^B' AaBaCaV 11110 o 0 0 110 o 11111 1 0 0 1 1 o 1 o 1110 1 1 o 0 0 111 o 110 11 o oiioi o Současné splnění všech čtyř podmínek je možné pouze v jediném případě, kterému odpovídá třetí řádek. Závěr vyšetřovatele; Trestný čin spáchali podezřelí A, C. 7. Buď dána dvouprvková množina A = {1,2} a tříprvková množina B = {x, y, z}. Kolik prvků má množina 2A x B? Vypište všechny její prvky. Řešení: Zřejmě množina 2A má 4 prvky a platí 2A = {0, {1}, {2}, {1,2}}. Protože množina B je tříprvková, má kartézský součin 2A x B právě 4-3=12 prvků. Platí 2A xB={[M],P,í],[M]1[{l}1i]l|{l},í], [{1M, [{2},4 [{2}, y), [{2}, 4, [{1,2},x], [{1, 2}, y], [{1,2}, z]}. 8. Jsou dány množiny A = {x e R] \x - 3| < 1}, B = {x e R-x2 - 4x + 3 < 0}. Spočtěte a v souřadnicovém systému zakreslete B U (A - B), (A n B) x (B - A). 7 Řešení: Předně platí vztah |x - 3| < 1 o x G (2,4). Odtud plyne A = (2,4). Dále x2-4x+3 <0 & (x-l)(x-3) < 0 <» (x-1 < 0 A x-3 > 0)V(z-l > OAx-3 < 0) O (x < 1 A x > 3) V (i > 1 A x < 3) o x G 0 V x € (1,3) O x € 0 U (1,3) = (1,3). Odtud plyne B = (1,3). Pro množinu 5 U (A - B) tedy platí: B U (A - B) = (1,3)U((2,4)-(1,3)) = (1,3)U(3,4) = (1,4). Konečně množina (Ani?) x (5 - A) = ((2,4) n (1,3)) x ((1,3) - (2,4)) = (2,3) X (1,2). Grafické znázornění zadaných množin je na následujícím obrázku. o- 2 3 x 9. Rozhodněte, zda množiny A = 20 x {0} B = {1,0.9} mají stejný počet prvků a zda mezi nimi platí vztah inkluze. Rosení: Zřejmě platí A = 2V>X^ == 2e = {0}. Množina A má tedy jediný prvek, kterým je prázdná množina. Označme a = 0, 9 a 6 = 1. Jestliže a ^ r>, má množina B dva prvky. Platí ale a.0,9 = 0io + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... = A + A + ^ + ^ + ...= — — — -L 1 ~ I(T + 10 + 100 + 1000 + 10000 + "" Posledně uvedený součet je součtem geometrické řady s kvocientem q = 0.1. Pro součet geometrické řady platí obecný vztah co 1 £'"=^- n=0 ^ Platí tedy JL _L_ i I _9_ 10 _ a - 10' I^x - B ■ X - 15 ■ V " 1 Proto 0,9 = 1 a množina B = {1} je jednoprvková. Odhalili jsme zajímavou a překvapující skutečnost, že reálné Číslo obecně nemá jednoznačně určený dekadický zápis. Dva různé dekadické zápisy tedy mohou představovat stejné reálné číslo. Závěr našeho šetření je tedy následující. Obě množiny A, B jsou jednoprvkové, i^Sa neplatí mezi nimi žádný vztah inkluze. 10. Ve výrobním podniku dodává dílna A své výrobky k dalšímu zpracování dílně B, a ta je po provedení svého úkolu předává dílně C. Dílna D vyrábí výrobky samostatně. Pomocí uspořádaných dvojic zapište relaci, která vyjadřuje výrobní závislost jednotlivých dílen. Řešení: Hledaná relace R se dá zřejmě zapsat v následujícím tvaru R = {[A,Bl[B,Cl[AtCl[D,D}}. Při nedodání výrobků dílnou A je postižena také dílna C, zatímco dílna D závisí výrobně jen sama na sobě. 11. Buďte A,B, C libovolné množiny. Dokažte, že platí následující množinová inkluze (j4n5)uCC(j4uC)n(5U C). Řešení: Postupujeme následovně. Zvolíme libovolný prvek z množiny (A n B) U C na levé straně a dokážeme, že leží v množině (AU C) í~) (B U C) na pravé straně. Při důkazu rozepíšeme formální množinový zápis podle definice na úroveň výrokové logiky, použijeme známých zákonů pro logické spojky a získaný výraz znovu množinově interpretujeme. Zápis důkazu má tvar: Buď x e (AH B) U C libovolný prvek. Pak podle definice sjednocení platí x e (AC\B), nebo a; € C To však podle definice průniku znamená, že x e A a současně x e B, nebo x e C. Nyní použijeme platnosti distributivního zákona pro logické spojky a a nebo. Na základě tohoto zákona platí x € A, nebo x E C a současně dále platí x e £f, nebo x e C. Tuto novou logickou formulaci interpretujeme množinově. První část posledního zápisu znamená, že i G A U C a druhá říká, ze x E B U C. Odtud však plyne x € (i U C) n (B U C). Tím je důkaz inkluze dokončen. Uveďme nyní formální tvar zápisu tohoto důkazu. x e(AnB)uC ^ x e (AnB)v x e C =^ (x e AAx e B)V x eC ^ => ({x e A) v (x e C)) a ({x e B) v (x e C)) «* (x e A U C) A {x e B U C) x e (A U C) n (B u C). Při zápisu důkazu obvykle používame místo slovních komentářů stručnějšího symbolického vyjadřování pomocí logických spojek. 12. Buďte A,B,C libovolné množiny. Dokažte, že platí následující množinová rovnost Ax(B ~C) = {Ax B)-(AxC). Řešení: Připomeňme úvodem, že důkaz množinové rovnosti X = Y se skládá ze dvou důkazů množinových inkluzí. Nejprve je zapotřebí dokázat, že X C Y a dále, ze Y C X. Dokažme tedy nejprve inkluzi A x (B - C) C (A x B) - (A x C). Platí: xeAx(B-C)^x = [a, 6], kde a G A,b e B - C,tj. a e A, 6 € fl, ŕ> g C => [a, ř>] G A x S A [a, fc] Í A x C [a, 6] - z e (A x 5) - (A x C). 9 Dále je třeba dokázat množinovou inkluzi (A x B) - (A x C) C (A - B) x C. Platí: x = [a,b] e [A x B) - (A x C) => [a,b] € A x B A [a, 6] ^ A x C a e A, b e B,Ŕ £ C => a e A A 6 e B - C [a, b] = x e A x (S - C). Tím je tvrzení dokázáno. Uvedené řešení ukazuje typický důkaz množinové rovnosti. Často můžeme postupovat tak, že rovnost dokazujeme najednou pomocí řetězce ekvivalentních výroků. V tomto případě je však zapotřebí kontrolovat, zda platí obě implikace. 13. Buď A libovolná množina, bud Bi množina pro každé i € /, kde I je neprázdná, tzv. indexová množina. Dokažte, že platí Řešení: x ^ je rovněž injektivní. Řešení: Buďte x, y e X, x V- Podle předpokladu je zobrazení / injektivní, a tedy platí f (x) ^ g(x). Analogicky zobrazení g je injektivní, a tedy pro f (x) f (y) 6 Y platí g(f(x)) ŕ ff (/(»)) «■ (5 o f)(x) # (fl o /)(y). 18. Buď f : N x N —t N zobrazení definované vztahem f ([x, y]) = (2x - l)2y~1. Dokážte, že / je bijekce. Řešení: Důkaz tvrzení má dvě části. Nejprve dokážeme, že zobrazení / je injektivní. K tomu je zapotřebí ukázat, že každé dva různé prvky z množiny N x N se zobrazí na různé prvky v množině N. Buďte tedy [a, 6], [c, d] E N x N, [a, b] ^ [c, d]. Pak [a, 6] [c, d] =► (o ^ c) V (6 ^ d) => (2a - 1) ji (2c — 1) V (2&"1 # 2d-1) s* (2a - 1J26-1 ŕ (2c- 1)2*-1 =* /([a,6]) # /([c, d]). Zbývá dokázat, že / je surjektivní. K tomu je zapotřebí dokázat, že ke každému prvku x z množiny N existuje aspoň jeden prvek z množiny N x N, který se na prvek x zobrazí. To však znamená H f = N. Hledaný prvek zkonstruujeme. Zrejme f([\(x-l),Í\) = (2l(a:-i)-i)2*-i =x. Odtud plyne, že na libovolné x E N se zobrazí prvek \\{x - 1), 1], Tím je tvrzení dokázáno. 19. Proveďte přímý důkaz výroku %/l3 + \/Í2 < 1 + yflZ - v/12.. Řešení: Přímý důkaz tvrzení X provedeme tak, že zvolíme, respektive vyhledáme, pravdivý výrok Y. Pak pomocí řetězce implikací dokážeme, platnost implikace Y ^ X. Tím je dokázáno, že tvrzení X platí. Označme nyní danou nerovnost symbolem X. Nerovnost X upravíme na tvar XY: \/l3 + ^2 - \/l3 - Vl2 < 1. Umocněním na druhou obou nezáporných stran nerovnosti dostaneme nerovnost X2 : 13 + Vn- 2^(13 + VT2)(13 - vTŠ) + 13 - >/Í2 < 1. Nerovnost AT2 zjednodušíme na tvar X3 : 26 - 2^169 - 12 < 1 a odtud dále na tvar Xn : 25 < 2V/157. Opět obě nezáporné strany umocníme na druhou a získáme 11 X5 : 625 < 4 • 157, odkud máme pravdivý výrok Y : 625 < 628. Tím však ještě není důkaz proveden. Zatím pouze víme, že platí x Xi => x2 => x3 => xA => xs => y, přičemž Y platí. Přímý důkaz získáme obrácením postupu úprav. Tyto úpravy jsou však důsledkové, a proto dostáváme, že Y => X5 => X4 => => X2 Xi => X platí. Protože víme, že F platí, plyne odtud závěr, že X platí. 20. Proveďte nepřímý důkaz následujícího tvrzení. Pro každé celé číslo x platí: Je-li xs sudé číslo, pak x je sudé číslo. Řešení: Nepřímý důkaz implikace A B se provádí tak, že místo této implikace dokazujeme její obměnu B' =ř> A'. Lze snadno ukázat, že implikace A => 5 a její obměna =r- A' mají vždy stejné pravdivostní hodnoty. Budeme tedy dokazovat následující implikaci: Je-li x liché číslo, pak x3 je liché číslo. Jestliže x je liché číslo, pak existuje takové celé číslo m, že x — 2m + 1 a dále platí x = 2m + l=>i3 = (2m + l)3 => x3 = 8m3 + 12m2 + 6m + 1 => x3 = 2(4m3 -I- 6m2 + 3m) + 1. Jestliže x3 = 2(4m3 + 6m2 -f 3m) + 1, pak x3 je liché Číslo. Tím je proveden důkaz obrácené implikace, a tím i původního tvrzení. 21. Dokažte sporem, že jsou-li x,y libovolná komplexní čísla, pak platí \x + y\< M + Ifl- Řešení: Symbolem A označme výrok „x a y jsou komplexní čísla" a symbolem B výrok \x + y\ < jx| + ]y|. Předpokládejme, že je pravdivý výrok AAB', což znamená, že x a y jsou komplexní čísla a |x + y| > |xj + \y\. Nechť tedy x = a + ib & y = c + id, kde a, b, c, d jsou reálná čísla. Pak podle předpokladu y/a2 + b2 + Vc2 + d2 < ^f(a + c)2 + (b + d)2. Po snadné úpravě dojdeme k nerovnosti (ad - bc)2 < 0, což je spor s vlastnostmi druhých mocnin reálných čísel. Musí tedy platit věta A =$> B, kterou jsme chtěli dokázat. 22. Dokažte, že množina všech prvočísel je nekonečná. Řešení: Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že q je největší prvočíslo. Sestrojme číslo p — q\ + 1. Je zřejmé, že toto číslo je větší nž q. Číslo p je ale dělitelné pouze čísly lap, neboť při dělení libovolným prvočíslem ležícím mezi čísly 2 a g dává zbytek 1. Nalezli jsme tedy prvočíslo p> q, což je spor s předpokladem. 12 23. RusselŮv paradox (1903). Následující úvaha je typickým příkladem, který se objevil na počátku 20. století v souvislosti s třetí krizí matematiky. Buď A libovolná množina. Pak nastane právě jedna z možností: Buď A e A nebo A <£ A. Všechny množiny rozdělíme do dvou skupin = {A; A e A}, M - {B; B $ B}. Je zrejmé, že žádná množina nemůže patřit do M i & současně a že ■f/, á? jsou také množiny. Uvažme nyní M. Protože M je množina, musí sama ležet v $f nebo 38. Připusťme nejprve 38 6 d. Pak ale podle definice sf platí 38 e 38, což je spor, neboť & nemůže ležet v jar i 38. Připusťme tedy, že @ e Pak ale z definice 08 plyne & £ 38, což je rovněž spor, protože 38 nemůže ležet a současně neležet y38. Vzniká neřešitelná situace na úrovni intuitivní teorie množin. Pojem množiny v intuitivním smyslu se ukázal příliš široký. Problém spočívá ve shrnování v jeden celek. 24. Pomocí věty matematická indukce dokažte tvrzení: Pro libovolné přirozené číslo n platí rovnost 3 + 32 + --- + 3" = ^(3n - 1). fíešení: Symbolem V(n) označme výrokovou formu 3 + 32 -f ■ ■ ■ + 3™ = |(3R - 1) proměnné n. Důkaz pomocí věty matematická indukce se vždy skládá ze tří částí. Tvrzení které máme dokázat, má následující logickou strukturu Vra e N : V{n). V první části dokážeme, že tvrzení platí pro počáteční případ n - 1, tj. že výrok 1/(1) je pravdivý. To je však evidentní, neboť 3 = f (3 - 1) = 3. Ve druhé části důkazu, která bývá zpravidla obtížnější, je zapotřebí dokázat, že pokud tvrzení V(n) platí pro libovolné dané n, pak platí rovněž tvrzení V(n + 1). Předpokládejme tedy, že tvrzení V(n) platí. Odtud plyne 3 + 32 + ■ ■ • + 3" + 3"+1 = ~(3n -1) + 3n+1 m — - - + 3n+1 = ~(3n+1 - 1). 2 2 2 2 Tím je druhá část důkazu hotova. Třetí závěrečná Část důkazu spočívá ve znalosti věty, která se nazývá matematická indukce. Na základě této vety lze nyní tvrdit, Že tvrzení platí pro libovolné přirozené číslo n. 25. Nalezněte n-tou mocninu matice A. Použijte princip matematické indukce. Řešení: Nejprve spočteme mocniny matice pro malé hodnoty n a na jejich základě stanovíme hypotézu pro obecné n. Jednoduchým výpočtem zjistíme, že A = I 0 1 2 ,A3= 0 1 3 ,A4= 0 1 4 ,A5 = \o o i y \0 0 1/ \0 0 l) Na základě nalezených mocnin lze usuzovat, že obecný tvar matice bude An = 13 přičemž rohový prvek an matice An vyšetříme podrobněji. Pro n — 1,2,3, postupně získáváme následující hodnoty prvku a„: 0,1,3,6,10,15,21,28,... Zřejmě o„+i = an+n = 1 + 2+ ■■■ + n = -n(n + 1) = I 1. Na základě provedených výpočtů stanovíme hypotézu, že pro n > 1 platí /l « (2) A" = I 0 1 n \0 0 1 Tuto hypotézu dokážeme pomocí matematické indukce. Zřejmě pro n = 1 tvrzení platí. Předpokládejme tedy, že tvrzeni platí pro libovolné n > 1 a dokažme, že platí rovněž pro n + 1. Spočtěme nyní n + 1 mocninu matice A. Z indukčního předpokladu plyne 1 n + 1 (£)+n\ (1 n+1 (nf) 0 1 n+1 1=0 1 n+1 00 1 / \o o 1 Podle věty matematická indukce tvrzení platí pro libovolné n. ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY 26. Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků A a B. A: [(2-3 = 6) V (3-4= 16)] => (2 < 1), B: [(1< 2) A (2 ?i2)]«* (3- 5 = 14). 27. Buď A nepravdivý výrok a B výrok, o jehož pravdivosti není nic známo. Co lze říci o pravdivosti výroku A => B? 28. Znegujte následující tvrzení: (1) (2+l = 4)^(l>2V3<4); (2) ((3 + 7 = 11) A (5 > 1 + 7)) ((100 < 00) V (1 + 1 Ý 3)); (3) Víc € Ä : x > 1 4 1 € (0, 00); (4) 3a; € Jí : (x # 9) V {x > 7 A x < 11); (5) Vx e iV3y GiV:a; + j/ = 100=i>x-3/> 100. 29. Rozhodněte, které z výrokových forem jsou tautologie a které kontradikce: (1) ((A W B) A A) =* B\ (2) (AVJi)'A(A' => B); (3) {(a y B) A A') =* B; (4) a =>(B=>C)^(j1AB)^C; (5) (a => {B 4* C)) ((a B) (a C)). 14 30. K formulím A',A/\B,AvBtA=>B,A&B najděte formule logicky ekvivalentní, v nichž se vyskytuje pouze logická spojka j (Sheŕferúv symbol). 31. Detektiv vyšetruje prípad vraždy. Vyšetřováním se okruh podezřelých zúžil na tři osoby A, B, C. O přítomnosti podezřelých na místě činu bylo zjištěno: Jestliže byl v kritické době na místě činu podezřelý C, pak tam nebyl podezřelý A, ale byl tam podezřelý B. Není pravda, že na místě činu nebyl A a přitom tam nebyl C. Pokud byl na místě činu podezřelý A, nebyl tam C, a když tam nebyl C, byl tam A. Detektiv promyslel všechny možnosti a zjistil, že mu informace k usvědčení vraha nestačí. Při dalším vyšetřování se však zjistilo, že pachatel byl na místě činu sám. Který z podezřelých je vrah? 32. Ve výstavní síni byl odcizen obraz. Z výslechů svědků lze fakta o přítomnosti podezřelých A, B, C ve výstavní síni shrnout do tří závěrů. 1, Ve výstavní síni v té době nebyl B, ale byl tam aspoň jeden z dvojice A,C. 2. Jestliže není pravda, že tam byl A současně s B, pak tam nebyl také C. 3. Podezřelý C tam byl právě tehdy, když tam nebyl žádný z dvojice A,B. Zjistěte, který z podezřelých zcizil obraz. 33. Vystoupení hudebních skupin v televizním pořadu je vázáno těmito podmínkami. Vystoupí A nebo nevystoupí B. Když nevystoupí C, pak nevystoupí A a vystoupí B. Jestliže není pravda, že vystoupí A nebo C, pak určitě vystoupí B. Rozhodněte, zda jsou za těchto podmínek správné úsudky: (1) Vystoupí-li B, pak vystoupí A i C. (2) Jestliže vystoupí C a nevystoupí B, pak vystoupí A. (3) Když nevystoupí ani A, ani B, vystoupí C. (4) Vystoupí A i C a přitom B nevystoupí. 34. Režisér si stěžuje řediteli divadla: Ani jeden z herců tohoto divadla neumí dobře zpívat a přitom dobře tančit. Ředitel: Nemohu s vámi souhlasit, že by skutečně každý z nich neuměl dobře zpívat a dobře tančit. Režisér: To já také netvrdím. Říkám jenom, že každý herec tohoto divadla není dobrý tanečník nebo není dobrý zpěvák. Rozhodněte, zda ředitel režisérovi rozuměl a zda režisér říkal v obou případech totéž. 35. Buď A" libovolná množina. Rozhodněte, kdy platí vztah {X} = X. 36. Jsou dány prvky a, b. Dokažte, že {{a, b}} = {{a}, {b}} &a = b. 37. Rozhodněte, kolik prvků má množina {2^, \/l4 + 6\/5- \/l4 - 6\/5, |2+4í|}, 38. Jaký vztah je mezi množinami A = (f, ||±§j|, §f|}, B = {y/2, 2.142857} ? 39. Převeďte na zlomek v základním tvaru následující racionální čísla 1.732, 1.915. 40. Následující komplexní Čísla (1,1), (1,-2) zapište v algebraickém, goniometrickém a exponenciálním tvaru. Dále určete jejich sedmou mocninu a pátou odmocninu a zakreslete je v Gaussově rovině. 41. Kolik prvků má množina {e**, v7-!}? 42. Zjednodušte množinové výrazy Af\(A-(A~B)) =?, (AnB) x ((A—B) —A) =? 15 43. Buďte A, B libovolné množiny. Určete pravdivostní hodnotu výroku (20 C 0 V ({A C A x B) A 0 e 20)) =>■ A C B. 44. Jsou dány množiny A = {l, |, i,... } , J5 = {0, y*, ... } . Určete sjednocení, průnik a rozdíl těchto množin. 45. Určete supM a infM, kde M = {2 - i, 2 - 1,2 }. 46. Určete supAř a infM, kde M = pro n = 1,2,3,... 47. Kolik existuje podmnožin 100-prvkové množiny? 48. Jsou dány množiny A = (-1,1), B = (2,3), C = {!}. V souřadnicovém systému nakreslete množiny Ax B,B x A, AxC. 49. Jsou dány množiny A = (1,2), B - (3,4), C == (-1,2). V souřadnicovém systému nakreslete množinu (A U B) x C. 50. Uveďte příklad množin A, B tak, aby množina A x 2B měla 18 prvků. 51. Nechť A, B jsou množiny. Dokažte, zda platí 2A U 2B = 24uB. 52. Dokážte, zda pro libovolné množiny A, B, C platí: (1) {A-B)u(A-C) = A-{BnC); (2) ,4 n (B -C) - (A n B) -C; (3) A-£ř = A^-(AnB); (4) A x {B U C) = (A x S) U {A x C); (5) A n {B + c) = (A n B) * (A n (7). 53. Dokážte, že pro symetrickou diferenci množin platí asociativní zákon Ať(BtC) = (A-F)-C. 54. Dokážte, že pro intervaly na reálné ose platí ň(l-I.2+I) = (l,2), ň(,--^,2+^Ky), U(14,2+i) = (0,3), U(1-^,2+— ) = (0,3). n=l n=l 55. Nechť I je neprázdná indexová množina a nechť A, Bi jsou množiny pro každé i e Dokažte, že platí AxUBť = |J(AxBi)-16 56. Určete definiční obor a obor hodnot relace S = {[x, y] e R x R; \x\ + \y\ < 5}. 57. BudS = {[xty] € AxA\x — 2y} relace na množině A — {-3,-2,-1,0,1,2,3}. Nalezněte inverzní relaci 5-1. 58. Nechť A = {1,2,3}. Uveďte, kolik lze definovat různých relací: (1) mezi množinami A a 2A; (2) mezi množinami A a 0; (3) na množině A; (4) na množině A x A. 59. Nechť jsou dány relace S={[x,3x2 + 1]gZ x W;s€ 2} a T = {\x,y}£ N x Z;y = ~x V y = x2 - 3, x, y e /V}. Určete relaci 5 o T a relaci T o 5. 60. Je dána relace 5 = {[x, y] € JV x N;x + y >3 a x + 2j/-6<0}. Určete relaci S výčtem prvků. Dále určete definiční obor a obor hodnot relace S. Rozhodněte, zda S je injektivní zobrazení v N. Spočtěte S'1. Je relace S'1 zobrazení? 61. Symbolem BA = {/;/: A B} označme množinu všech zobrazení A do B. Nechť A má 2 prvky a B má 3 prvky. Kolik prvků má kartézský součin AB x BA7 62. Dokažte, že složení dvou zobrazení je zobrazení. 63. Rozhodněte, zda dané zobrazeni / je injektivní, resp. surjektivní: (1) f : N x N —ŕ TV, f([x,y}) = x + y- (2) / : N -4 JV x A/, /(x) = [2i, 2x+ 1]; (3) /:JVx/V^2", /([*,*]) = {z + y}. 64. Pro následující zobrazení f : R R takové, že / — {[x, y]; y = f (x)} určete, zda jsou injektivní, surjektivní, nebo bijektivní: (1) f(x) = 5x - 3; (2) f(x) = x2 + 7x + 12; (3) f(x) = x3- 3x2 - x. 65. Určete, kolik existuje injektivních zobrazení tříprvkové množiny do pětiprvkové. A pětiprvkové do tříprvkové? 66. Rozhodněte, zda mezi množinami N = {1,2, 3,...} a S = {2,4,6,...} existuje bijektivní zobrazení. 67. Rozhodněte, zda mezi množinou všech přirozených Čísel a množinou všech racionálních čísel existuje bijektivní zobrazení. 68. Dokažte, že složení dvou surjektivních zobrazení je surjektivní zobrazení. 69. Je složením dvou bijektivních zobrazení opět bijektivní zobrazení? Dokažte. L7 70. Nechť A, B, C jsou množiny a nechť g : A —¥ B je bijektivní zobrazení. Dokažte, že bijektivním zobrazením je pak také zobrazení F : Ac -> Bc, kde V/ e Ac i F(/) =50/. 71. Proveďte přímý důkaz a důkaz sporem výroku \/l0 - VŤÍ < \/l0 + vTl - 1. 72. Dokažte, že platí 2(sin54° - sin 18°) = 1. 73. Dokažte, že y/2 není racionální číslo. 74. Pomocí matematické indukce dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n je číslo n3 + 5n dělitelné šesti. 75. Je dán výraz V(n) = 22n - 7, kde n G JV. Dokažte, že výraz V(n) je dělitelný třemi pro každé n G N. 76. Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo 71 platí l + 2 + --- + n = ^n(n+l). Proveďte přímý důkaz a důkaz matematickou indukcí. 77. Dokažte, že pro libovolná nezáporná čísla oj, 1 a předpokládejme, že V(n) platí. Buď K množina sn-fl prvky. Zvolme a, b G K, a ^ b libovolně. Pak množiny K - {a} i K — {b} mají n prvků, takže všechny květiny v každé z těchto množin mají stejnou barvu. Tedy zejména b e K - {a} má stejnou barvu jako všechny květiny v K — {a,b} a, podobně a e K — {b} má stejnou barvu jako všechny květiny v K - {a, b}. Odtud plyne, že květiny a, b mají stejnou barvu. Tedy V{n +1) platí. Z věty matematická indukce plyne, že V{n) platí pro každé n G JV. 18 II. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI FUNKCÍ ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Následující kapitola obsahuje úlohy týkající se základních vlastností funkcí. K nejdůležitějším charakteristikám funkce patří bezesporu definiční obor, obor hodnot a graf. Každá funkce může mít dále celou řadu speciálních vlastností. Například sudost a lichost zajišťují symetrii grafu funkce, periodičnost zaručuje pravidelné opakování funkčních hodnot, ohraničenost zajistí, že se všechny funkční hodnoty budou pohybovat v pásu omezeném dvěma konstantami. Mezi další významné vlastnosti funkce patří například prostota, monotónnost a existence inverzní funkce. Vyšetřováním těchto základních charakteristik se budeme nyní zabývat. 81. Určete definiční obor funkce Řešení: x€Df & \^>QaI-x^0. Odtud plyne x e D f právě když (1+x > OAl-i > 0)V(1+* < 0 A 1-a < 0) o (x > -1 Ax > l)v(x < -1 Ax > 1) oie(-i,i)vi€0#ie <-i,i)u0«* x e (-1,1). Celkem tedy platí D j - {-1,1). 82. Určete obor hodnot funkce Řešení: Předně je zřejmé, že D f = R~ {0}. Dále platí Odtud plyne, že funkce / nabývá pouze hodnot -5 a 5. Platí tedy H f = {-5,5} 83. Buďte dány funkce f,g. Rozhodněte, zda platí / = g. /(*) = * + 1 4 x - 1 5 9{x) 3(x + 9) 4(z + 4)' x + 1 6 x — 1 ' 10 Řešení: Je zapotřebí ukázat dvě věci. Aby se dvě funkce rovnaly, musí mít předně stejný definiční obor. V našem případě platí D f = {x e R; x ■£ x + 1 x — 1 ~~6 1ČT } = {x £ R;x í -4}. Protože Dg = R — {—4} platí D f = Dg. Dále je zapotřebí ukázat, že funkční předpisy /, g stejně zobrazují, tj. Vat G D f : f (x) = g(x). Provedeme algebraickou úpravu x + 9 „3(x + 9) x + 1 x — 1 /(*) = 2 + 1 X — 1 ~6 líT 2a+ 8 4{a; + 4) 30 Odtud plyne, že se funkce f,g rovnají. 84. Nakreslete graf funkce f (x) = \x + lj — \x — 1|. Řešení: Provedeme podrobnější analýzu zadaného funkčního předpisu. Zřejmě platí í -2 x e (-co,-l), /(x) = J 2x x e (-1,1), [2 a; G (l,oo). Nyní již lze graf snadno nakreslit. Na každém z uvedených intervalů nakreslíme graf příslušné konstantní, resp. lineární funkce. 85. Nakreslete graf funkce f{x) = |x2 + 4a;+.3|. Řešení: Postupujeme následujícím způsobem. Funkční předpis přepíšeme pomocí úpravy na úplný čtverec na ekvivalentní tvar f{x) = \x2 + 4x + 3j = \(x + 2)2 - 1|. Dále úlohu rozdělíme na několik dílčích částí. Postupně nakreslíme pomocí posunutí a překlopení grafy následujících funkcí h (x) = x2, f2(x) = {x + 2}2, A(x-) = (* + 2)2 - 1, /4(i) = f (x) = \(x + 2)2 - 1|. 20 Graf funkce f2 získáme posunutím základního grafu po ose x do bodu -2. Dále graf f2 posuneme o hodnotu -1 ve směru osy y. Konečně graf /4 = / získáme překlopením záporné části kolem osy x. Postup je zřejmý z následujících obrázků. 86. Nakreslete graf funkce f(x) =3 + sin{x- 1). Řešení: Nejprve podrobně vysvětleme, jaký význam mají jednotlivé konstanty na celkový tvar grafu funkce F(x) — A + B sin(Cx + D). Předně konstanta A posouvá graf základní funkce o hodnotu A ve směru osy y. Přímka y = A je tedy novou osou grafu. Konstanta B je tzv. amplituda, která „natahuje", nebo „zkracuje" graf ve směru osy y tak, že celková výška grafu funkce F(x) je 2B. Konstanta C určuje délku periody funkce F(x) a konstanta D způsobuje posun grafu ve směru osy x. Úlohu opět rozdělíme na několik částí. Postupně nakreslíme grafy funkcí /i(x) = sinx, f2{x) = sin(x - 1), f3(x) = f(x) = 3 + sin(x _ i). Graf funkce f2 získáme posunutím základního grafu funkce /i po ose x do bodu 1. Dále graf f2 posuneme o hodnotu 3 ve směru osy y. Tím získáme graf zadané funkce /3 = /. Grafy jednotlivých funkcí jsou uvedeny na následujícím obrázku. 21 y y = sin x y — sin(x — 1) 1 y y = 3 + sin(x- 1) 87. Nakreslete graf funkce f {x) = 3sin2x. Řešení: Funkce sin x je periodická a její základní perioda je 2ir. Nejprve určíme periodu funkce fi(x) = sin2i. Pro periodu této funkce platí 0 < 2x < 2tt, z čehož plyne 0 < x < n. Perioda funkce fi je tedy -k. Graf dané funkce / získáme tak, že graf funkce f\ natáhneme ve směru osy y na trojnásobnou délku. 88. Nakreslete graf funkce f(x) = |2sin(3x - 1) - 1|. Řešení: Řešení úlohy rozdělíme do pěti kroků. Postupně budeme kreslit následující funkce: sin3a:, sin(3a: - 1), 2sin(3ar - 1), 2sin(3a; - 1) - 1, |2sin(3x - 1) - 1|. Výsledný graf je na, následujícím obrázku. 89. Dokážte, že daná funkce / je ohraničená. x1 +1 Rešení: Musíme dokázat, Že funkce / je ohraničená shora i zdola, Nejprve ukážeme, že funkce / je ohraničená shora. Zřejmě pro libovolné reálné číslo x platí nerovnost (x - 1) > 0. Z této nerovnosti však plyne x2 + 1 > 2x a dále 1 0 z čehož plyne x2 + 1 > -2x a dále > 1 x2 + 1 ~ 2' Tím je dokázáno, že funkce / je zdola ohraničená. Daná funkce je tedy ohraničená. 90. Dokažte, že funkce f(x) = I je neohraničená na intervalu (0, oo). Řešení: Použijeme důkazu sporem. Předpokládejme, že funkce / je na intervalu (0, oo) ohraničená. Pak je pro všechna x > 0 funkce / ohraničená shora. To znamená, že existuje takové číslo h, že pro všechna x > 0 platí nerovnost 0 < - < h. x Zvolme libovolné číslo x e (0, £), tj. 0 < x < |. Odtud plyne, že l > h. Tím jsme dosh ke sporu. Proto funkce / nemůže být na intervalu (0, oo) ohraničená. 91. Dokažte, že funkce f(x) = x2 je ryze monotónní v intervalu (0,oo), kdežto v intervalu (-00, oo) není ani monotónní. Řešení: 1. Zvolme libovolná dvě čísla xj < x2 z intervalu (0, oo), takže je 0 < % < x2. Odtud dostáváme 0 < x\ < x\ neboli f{xy) < f(x2). Tedy funkce f(x) = x2 je v intervalu <0,oo) ryze monotónní. 2. V intervalu (-00,00) však není monotónní nebot pro Xl = -5 < x2 = 1 je f(Xl) = 25,/(ara) = 1, takže f(Xl) > f(x2). Naproti tomu pro x\ — -1 < $% = 5 dostáváme f{x\) = 1 < /(x*) = 25. 92. Zjistěte, zda je zadaná funkce / sudá, případně lichá. f{x) = xln|x|. Řešeni: Spočteme funkční hodnotu f(-x). Platí /(-z) = (-x)ln] ~x\ = -xln|x| = -f(x). Odtud plyne, že daná funkce je lichá. 23 93. Zjistěte, zda je zadaná funkce / sudá, případně lichá. smi x Řešení: Spočteme funkční hodnotu f(—x). Platí „, . sin(—x) -sinx sinx x —x —XX Odtud plyne, že daná funkce je sudá. 94. Uveďte příklad funkce /, která je současně sudá i lichá. Řešení: Aby byla funkce / sudá, musí platit vztah /(—x) = /(x). Současně má být funkce / lichá, tzn. musí platit f(—x) = —}(x). Odtud plyne /(x) — —f(x), tj. 2f(x) — 0. Má-li být funkce sudá a současně lichá, musí platit f(x) = 0. Těchto funkcí je nekonečně mnoho. Například /(x) = 0, D f = (—5, —2) U (2,5). 95. Dokažte, že funkce / je periodická a nalezněte její nej menší periodu. J(x) ~ tg 3x + 2sin6x. Řešení: Aby byla funkce / periodická s periodou p, musí platit f(x+p) = /(x),tj. tg (3(as + p)) + 2sin(6(x + p)) = tg 3x + 2sin6x, což znamená, že tg (3x + 3p) - tg 3x + 2sin(6x + 6p) - 2 sin6x = 0. Po úpravě levé strany dostáváme sin(3x + 3p) sin 3x cos(3x + 3p) cos 3x sin(3x + 3p) cos3x - sin3x cos(3x + 3p) cos(3x + 3p) cos 3x sin(3p) cos(3x 4- 3p) cos 3x 4- 2 sín(6x + 6p) — 2 sin6x — + 2 sin(6x + 6p) — 2 sin 6x = + 2 sin(3p) cos(6x + 3p). Levá strana se však rovná nule pro všechna x | + ~ právě tehdy, když sin 3p = 0, tj. právě když p ~ \kir, kde k G Z. Nejmenší periodou dané funkce je tedy Číslo p= |*r. 96. Proveďte složení daných funkcí / a g, kde x — í 24 Řešení: Provést složení daných funkcí znamená zkonstruovat funkce = Q o g)(x) = f(g(x)) a G(x) = (g o f)(x) = g(f(x)). Platí: Vx - 1 Z uvedeného příkladu je ihned zřejmé, že skládání funkcí není obecně komutativní. 97. Spočtěte složenou funkci F(x) - /(/(/(x))), kde 1 x riešení: Provedeme postupné dosazení do složené funkce a následující algebraickou úpravu m=iwm=== Hr- = - 98. Dokažte, že daná funkce / je prostá. f{x) = y/3x - 2. Řešení: Dokázat, že funkce / je prostá znamená dokázat, že / je injektivní zobrazení. Tzn. Vx!,x2 e 23/ : x: £ x2 => ^ /(X2). Nejprve určíme definiční obor funkce /. Snadno zjistíme, Že D f = (|,oo). Buďte nyní Xl,x2 e D/ Xl ^ x2 libovolné. Odtud plyne 3^ 5É 3x2 a 3xx - 2 # 3x2 - 2. Protože xux2 £ Df, platí ä ^ »í a 3 ^ a tedy 0 < 3xi - 2 a 0 < 3x2 - 2. Odtud plyne, že V^i - 2 # V^7^. 99. K dané funkci / nalezněte funkci inverzní, pokud existuje. Řešení: Nejprve dokážeme, že k funkci f(x) existuje funkce inverzní. K tomu stačí dokázat, že je f(x) prostá na svém definičním oboru D f = R. Důkaz provedeme sporem. Nechť existují reálná čísla x1}x2 taková, že x, # x2 a současně platí f M = f(x2). Pak ale ^-1 = \x2 -1. Odtud plyne |xi = \x2. Tedy xj - x2 coz je spor. Funkce / je tedy prostá a k prosté funkci existuje funkce inverzní Nyní provedeme výpočet inverzní funkce /~* Nejprve ve funkčním předpisu f\x) - 2X ~ 1 nahradíme symbol /(x) ekvivalentním označením závisle proměnné y a získáme y = \x - 1. Nyní předpis chápeme jako rovnici, ze které spočteme nezávisle proměnnou x. Platí !/ + l = ]ia odtud získáme hledané vyjádření x = 2y + 2. V dalším kroku provedeme vzájemnou záměnu symbolů x a y. Dostáváme y - 2x + 2. Funkční předpis hledané inverzní funkce je tedy f~l (x) = 2x + 2. Dokažme nyní podle definice, že funkce f,f~l jsou skutečně inverzní. K tomu je zapotřebí prověřit definiční vztah / o/-1 = id = f^1 o f Platí (/o = - 1) = 2(ix -l) + 2 = x- 2 + 2 = x = id{x), (/"1 ° /)(x) = /(2x + 2) = i (2x + 2) - 1 = x + 1 - 1 m x = id(x). ' 25 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Nalezněte definiční obory následujících funkcí: 100. /(*) = \JZx - x3. 101. /(*) 102. = ln{x2 - 9). 103. M 104. /(*) = 4^~^. 105. 106. = cotg(4x - 3). 107. 108. m 1 109. 110. = arcsin(sinx). 111. 112. m = \jx\Jxy/x. 113. 114. f(x) x x3 - 2x2 — 5x + 6 115. 116. cos(x + 1} " 5*+1 - 3' 5X - 50" 117. 118. x - cos x 2 sin2 x + 3 cos x 119. m 120. /(*) = \A- Í4 121. m 122. m sin x ^3* - 5 123. 124. m x + sin x v^x3 - x2 + 3x - 1 125. 126. /O) = ln(x2 + 4x - 5). 127. m 128. ^2~x ~ ln(x + 5)" 129. m 130. m = arccos(2 sinx). 131. m 132. — \fl — x + \/x — 3. 133. m 134. = ln(x3 - 3x2 -x + 3). 135. Rozhodněte, zda se dané funkce / a g rovnají: 136. = 1, 9{x) = ^- 137. m 138. 1 x ~ -i 9 {x) = -3f. x xa 139. m 140. m = 21nx3, g(x) = 61nx. 141. 142. M = sin(x + ^), g(x) = cos x. 143. m 26 \J2 + x - x2. ln(lnx). V/3^=~9. \/logé x- arccos(2x - 5). arcsin(2 — 3x). 5x- 1 2* - 4' sinx 4* - 6 ■ 2X + 8' 3^+1 sin x + cos x sinx v/|3-x| - ]2x - 1|" y/\x + l\-\x\. 1 ^2x - |x - 1|" ln \/3 - 2x - x2. ln(x + 5) y/x2 — 5x + 6 arctgln(x2 - 5x + 6) y/—x + \Jx + 4. ln(cos(lnx)). Vx^, 3(x) = |x|. logx2, ff(x) = 21og lne*, g(x)=eh,x. \\x\ ~ 1|» Síl) = |i - Pomocí grafu základní funkce nakreslete následující grafy funkcí: 144. f(x) = \x\ + x. 146. /(x) = \\x - 5| - 1|. 148. f{x) = (x - l)2 - 3. 150. /(x)=x2-4|x|+3. 152. f(x) = -J—. l—M 154. /(x) = 1 - 3-*. 156. /(x)=log2(-x). 158. /(z) = log, 3. 160. /(x) =-3sin(2x + 8). 162. /(x) = l-v^- 164. /(x) = logi \x- 1|. 166. /(x) = arccosx + 1. 168. f{x)~ arcsin(sinx). 170. f(x) = arctg(tgx). 172. /(x) = |v^[-l|. 174. /{x) = —+sinx. |x| 145. /(x) = 3-|x + 2|. 147. /(x) = i||2;-l|-l!-l|. 149. /(x) = |x2+x|. 151. /(x) = |x2-4|x|+3|. 153. /(x)= : x - 2\ 155. /(x) =3*-1+4. 157. /(x) = |bg|x||. 159. /(x) =-A{cos2x + l). 161. /{x) - |2sin(3x- 1) - 1|. 163. /(x) = |v/=i-l|. 165. /(x) = |logi(x- 1)|. 167. /(x) = arccos(x + 1). 169. f(x) = sin(arcsinx). 171, f{x) = tg(arctgx). 173. f{x) = |e» - 2| + 1. 175. /{x) = 3-|sinx|. Rozhodněte, které z funkcí jsou sudé a liché 176. fi&)*ír*+&. 178. /(x)=^ + x3. 177. /(,)=* 7-x 180. /(x) =7xa+sinx< ..4 182. fix) = x" 179. /(a:) = log 7 + x 181. /(x) = + ^ v ; 3* - 1 " 183. /(x) = sin3 x ■ sinx2. 1 + y/x*' Dokažte, že dané funkce jsou periodické a určete jejich nejmenší periodu: 184. f{x) = |sinx| + | cosx|. 186. /(x) = sin x + sin - + sin -, 188. /(x) = sin^. 190. /(x) = arcsin(sinx). 185. fix) = log(cosx + sinx). 187. /(x) — cos 7x + cos 5x. 189. /(x) = sm4x + cos4x. 191. /(x) =sin2x + tg-. 27 Zjistěte na kterých intervalech je daná funkce rostoucí resp. klesající: 192. f(x) = \x\+x. 193. f(x) = \x + Z\ + \x-2\. 194. f{x) = x2-3x + 4. 195. f(x) = X^. 196. f(x) = l-Vxž. 197. /(x) = v/N + l- Utvořte složené funkce F(x) = (/ o g)(x) - /[p(x)] a G(x) = {go f)(x) = g[f{x)\. 198. /(ar) = x3 + Inx, g(x) = sinx. 199. /(x) = 10, g(x) = logx. 200. /(x) = |x + l|, ff(x) = |x-3|. 201. /(x) = j(a:) = V% 202. /(x) = 3x + 2f s(x)=x2-3. 203. r ff(ar) = 2 - e^3. 205. /(*) x- 1 2 - 3x' 207. /(*) 209. m ln(2 - 3x). 211. m 23+arctg x 213. m log2(x + V^2 + !)• 215. 217. ■X- 1 x-2 ^ ' x + 3 K daným funkcím určete inverzní funkce pokud existují: 204. f{x) 206. f(x) = ^—=-. 207. /(x) = 4s 21+ln \/x-2 1 +2* 216. f(x) = 218. Buď / libovolná funkce definovaná na intervalu / = {—a, a), a > 0. Dokažte, že funkce F(x) = f(x) + /(—x) je sudá a funkce G(x) = f(x) — /(—x) je hchá. 219. Nechť funkce /, g jsou periodické funkce s periodou p. Dokažte, že funkce F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x)g(x) a H(x) = jsou rovněž periodické. 220. Nechť funkce / je periodická s periodou p. Buď a ^ 0. Určete periodu funkce F(x) = /(ax). 221. Dokažte následující tvrzení. Nechť funkce / je rostoucí. Pak platí: (a) Funkce 2/ je rostoucí, (b) Funkce —/ je klesající, (c) Funkce j, f jě 0 je klesající. 222. Nechť funkce f,g jsou definovány na stejném intervalu /. Jsou-li funkce / i g rostoucí, je funkce f + g také rostoucí? 223. Najděte rostoucí funkci / a klesající funkci g tak, aby / + g byla rostoucí. 224. Nalezněte monotónní funkce /, g tak, aby funkce / + g nebyla monotónní. 28 2. POSLOUPNOSTI Mezi významné speciální typy funkcí patří tzv. posloupnosti. Jedná se o funkce f : N R, jejichž definiční obor je roven množině přirozených čísel, nebo nějaké její části. Pro libovolné n e N položme f (n) = an. Hodnoty an se nazývají členy posloupnosti a pro posloupnost pak používáme označení {on}^. Následující kapitola obsahuje základní tematické úlohy o posloupnostech. Mezi nej důležitější z těchto úloh patří úlohy vyšetřující chování členů posloupnosti pro n -* oc, tj. limity posloupnosti. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 225. Je dána posloupnost (a) Dokažte, že daná posloupnost je klesající. (b) Rozhodněte, zda je uvedená posloupnost ohraničená. (c) Vyjádřete tuto posloupnost rekurentně. fiešení: (a) Posloupnost {an} je klesající, když pro všechna n€N platí an+1 < o„. V tomto případě má platit 1 1 < n + 1 n' Z uvedené nerovnosti plyne n + 1 > n a dále 1 > 0, což zřejmě platí. Obrácením postupu dojdeme od nerovnosti 1 > 0 k nerovnosti ^ < i, a tím jsme dokázali, že daná posloupnost je klesající. (b) Pro každé n e N platí 1 > 0, tzn. že daná posloupnost je zdola ohraničená. Zároveň pro všechna n e N platí | < 1, neboť tato nerovnost je ekvivalentní s nerovností n > 1. Proto posloupnost je i zhora ohraničená, a tedy i ohraničená. (c) Pro n = 1 dostaneme oi = 1. Protože an = i a a„+1 = platí 1 a„ o-n+i — On Danou posloupnost můžeme tedy rekurentně vyjádřit vztahem ai - 1, a„+i =--. an + 1 226. Posloupnost {a„}™=1 je dána rekurentním vztahem 1 (n 4-1)2 «1 - ~, an+i — ——-rra„. 2. n{n + 2) Nalezněte exaktní vzorec pro n-tý člen. 29 flešení: Pro počáteční Členy dané posloupnosti platí 1 2 3 4 5 01 - r G2 = š' °3 = ľ fl4 = s' as = ě- Můžeme vyslovit hypotézu: Pro každé přirozené číslo n lze n-tý Člen posloupnosti vyjádřit ve tvaru n (ín = ——. n + 1 Tuto hypotézu ověříme pomocí matematické indukce. Nejprve se přesvědčíme, zda hypotéza platí pro n = 1: 1 1 0i = m = 2' což je v souladu s rekurentním vyjádřením posloupnosti. Dále zjistíme, zda pro každé n & N platí n n + 1 n + 1 n + 2 Po dosazení do rekurentní formule dostaneme {n+1)2 n n + 1 n(n + 2) n+1 n + 2 +i Tím je uvedená hypotéza dokázána. Pro n-tý člen posloupnosti platí o„ = ^ 227. Dokažte, že limita posloupnosti je rovna 0. fiešení: Podle definice limity máme určit takové Číslo n0, že pro všechna přirozená Čísla n > nQ a libovolné kladné číslo e platí \~ - 0| < e, tj. n > ±. Položíme-li nQ = \i Pak Pro všechna přirozená čísla n > n0 skutečně platí | £ - 0} < e. To však znamená, že lim - = 0. n—>oo n 228. Dokažte, že posloupnost {an}™=1, jejíž členy jsou 2,7,2,7,2,7, 2,7,..., tj. Členy s Uchými indexy jsou rovny číslu 2 a se sudými číslu 7, nemá limitu. Řešení: Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že daná posloupnost má limitu rovnu číslu a a zvolme e = \. Podle definice limity má od jistého členu a0 platit pro všechny liché indexy |2 - a\ < \ a pro sudé indexy |7--.«| < |. Z uvedených nerovností plyne f < a < § pro liché indexy a f < a < f pro sudé indexy. Takové číslo o, které splňuje obě nerovnosti současně, však neexistuje. Předpoklad, že daná posloupnost má limitu a, je tedy nesprávný. 229. Spočtěte limitu .. n3 + 12n2 + 12n + 12 lim -■- n-roo ri* — 1 30 Rešení: Čitatele i jmenovatele zlomku podělíme výrazem n3. Touto úpravou se celková hodnota výrazu nezmění a platí: lim "3 + ^ + 12n + 12 = Um l + ^ + ^ + ^l = 1+0 + 0 + 0 _ 1 n^oo n4 - 1 n-$f oo-O oo 230. Nechť q je libovolné reálné číslo takové, že \q\ < 1. Určete limitu posloupnosti {l+9 + ..- + g»}~=1. Řešení: Označme sn = 1 + q + • • • + q". Matematickou indukcí dokážeme, že 1 - qn+1 sn = ~-. l~q Odtud plyne, že lim {l + 9 + ... + ?"}= lim W^ = 1Z0 = J_ n_>°° n->cx) 1 — q 1-q 1—q' Vztah rS^o 9" = 0 pr° '9' < Je známou větou o limitě geometrické posloupnosti. 231. Spočtěte limitu 2"+ 3 lim n-*oo 1 — 4-2" Rešení: Podělíme čitatele i jmenovatele zlomku výrazem 2". Pak 2n + 3 1 + lim 1 + 3 lim ^ n.-too 1-4-2" lim i - lim 4 ' Protože posloupnost {^}^=1 je geometrická posloupnost a |g| = I < 1, platí lim — = 0. n->oo 2" Celkem tedy platí .. 2n + 3 1 + 3-0 1 lim - =-—__ TI-+0O 1-4-2" 0-4 4' 232. Spočtěte následující limitu lim —. n->oo 2" Rešení: Daná posloupnost je nerostoucí a zdola ohraničená, protože platí _ n + 1 _ n n+1 °»+i-^Ti--^-2^-<«» 31 a On > 0 pro každé přirozené Číslo n. Odtud plyne, že daná posloupnost je konvergentní. Její limitu označme L. Dále uvažujme vybranou posloupnost {02«} 1 dané posloupnosti. Pro tuto vybranou posloupnost platí In n 1 lim -— = 2 lim — ■ lim — = 2 ■ L • 0 = 0. n-too 22" n-K» 2" n->°o 2" Nyní využijeme následující známé věty. Je-li posloupnost konvergentní, pak libovolná vybraná posloupnost z této posloupnosti je opět konvergentní a má stejnou limitu. Aplikací právě uvedené věty dostáváme, že ti lim — = 0. n-Hx> 2" Dále určeme limitu podle věty o třech posloupnostech. Platí následující odhad 2" 2-2"-1 2 (n-1)! 2 0< — ~-;-r < - Protože zřejmě platí plyne odtud 233. Spočtěte limitu n! n • (n — 1)! n (n-1)! n 2 lim 0 ; lim - — 0, t; >.x.- n—>oo n lim = 0. n-+oo 2" 2n + sinn lim n-*oo 3n — 1 Řešení: Předně pro každé přirozené číslo n platí —1 < sin n < 1. Odtud plyne odhad 2n — 1 2tí + sin ti 2n + 1 ďn =- *~ - < - = o„. 3tí - 1 - 3n - 1 ~ 3n- 1 Posloupnosti {o„} a {&„} jsou však konvergentní a mají stejné limity. « 2n^1 u 2-i 2^0 2 iim--- = hm -y = -—- = -, n-t-oo 3n - 1 n-+oo 3 _ I 3-0 3 Ti „ 271 + 1 2+ i 2 + 0 2 lim--- = hm--~ = -—- = -. F»-+oo 3n - 1 n-»-oo 3-1 3-0 3 Podle vety o třech posloupnostech je daná posloupnost konvergentní a platí ■ 2n + sinn 2 lim -= —. n-»oo 3n — 1 3 32 234, Spočtěte hodnotu výrazu ^2+^2 + ^2 + .... Řešení: Zadaný výraz označuje limitu posloupnosti {an}, kde an je dán rekurentně vztahem ai - y/2, an+1 = y/2 + an. Předně pomocí principu matematické indukce dokážeme, že daná posloupnost je rostoucí, tj. pro všechna přirozená čísla n platí on+1 > an. Skutečně, pro n = 1 máme g2 - ^2 + y/l > y/2 = Jestliže ajfc+1 > 0fc, potom platí ak+2 = y/2 + ak+i > v/T+ôfc = Matematickou indukcí rovněž dokážeme, že posloupnost an je zhora ohraničená. Budeme dokazovat, že pro libovolné přirozené číslo n platí a„ < 2. Skutečně pro k = 1 platí ax = \/2 < 2. Dále pokud ofc < 2, pak Qfc+i = V2 + afc < \/2 + 2 = 2. Platí, že rostoucí a zhora ohraničená posloupnost je konvergentní. Nechť tedy L označuje limitu posloupnosti an. Pro n > 1 platí &n+i = 2 + an. Odtud dále plyne Jim a2n+1 =2+ lim an, n-KM n-i-oo tj. Z2 = 2 + Z,. Řešením kvadratické rovnice L2 - L - 2 = 0 získáme kořeny la = 2, L2 - -1. Druhá možnost I = -1 nevyhovuje, neboť an > 0 pro každé přirozené číslo n. Hledaná limita je tedy rovna 2. 235. Dokažte, že daná posloupnost je konvergentní {K)"L Řešení: n-tý Člen posloupnosti rozepíšeme podle binomické věty a upravíme. = 4.1V- y(n)l. _y^"("-i) ••■(»-* + !) 1 fc=0 Pak n+l Odtud je zřejmé, že an < a^j, tedy posloupnost je rostoucí. Dále n 1 1 fl" n2 + 2n + 3 lim n—i-oo 2n2 + 3n - 5 3n2 -3 lim ý7. n—>-oo ,.100 lim n—kxj 3" lim —. n—K30 Jl! lim Vn+T — y/ri. -+co ( ^ 2íi) lim ti-+oo Spočtěte následující limity: 3 + ---Í 245. 247. 249. 251. 253. 255. 257. 259. 261. 263. 264. 266. lim fI+2 + 3 + --- + n _ rA n-*-oo \ n + 2 2 7 lim In - 5 n-+oo 4 — 2n n2 + 2n + 5 lim lim n3 + 1 2tí2 + 1 n->c» n2 — 3n + 2 n5 + 1 lim , y2nĎ + 3n \/5n. log3n lim v5n lim n—>-oo Ti' 7-3" lim -. iv-í-oo 2 • 3™ + 3 \Zn2 + 1 lim -. ti-*-oo n + 1 lim f 1 - - fi-roo \^ tí „ ^3n-2 Um--— n->-oo V 1 + 3n 5n-3 lim + 2 l2 + 22 + - - - + n2 (n + 1)3 265. lim n—*oo 1-2+3- 2n Vn2 + 1 267. lirn^ (V(n + a)(n + 6) - nj 268. Spočtěte hodnotu výrazu 269. Je dán rovnostranný trojúhelník se stranou délky a. Z jeho tří výšek je sestrojen nový rovnostranný trojúhelník, z výšek tohoto trojúhelníka další atd. Vypočítejte limitu součtu obsahů těchto trojúhelníků, pokud jejich počet n roste do nekonečna. 270. Do kruhu s poloměrem r je vepsán čtverec. Do tohoto čtverce je vepsán kruh, do něho čtverec atd. Určete limitu součtu obsahů všech kruhů a limitu součtu obsahů všech Čtverců. 35 3. LIMITA A SPOJITOST V následující kapitole se budeme zabývat základními úlohami o výpočtu limit a spojitostí funkcí jedné reálne proměnné. Při výpočtu limit budeme používat především základních výpočetních postupů a různých algebraických úprav. Po zvládnutí teorie derivací se k tématu výpočtu limit vrátíme ještě v páté kapitole věnované ĽHospitalovu pravidlu. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 271. Podle definice limity (viz př. 3) dokažte, že lim x3 = 125. Řešení: Má-li funkce f(x) v bodě x0 limitu o, tj. lim f(x) = a, pak ke každému X—*Xo e > 0 existuje takové okolí bodu xQ, že pro všechna x ^ x0 z tohoto okolí platí \f(x) -a\ 0 libovolné. Máme ukázat, že existuje číslo 6 tak, že pokud x 6 (5 - <5,5 + Ä), x ŕ 5, pak \x3 - 125| < e. Zřejmě platí |x3 - 125) = |x - 5| ■ |x2 + 5x + 25|. Pro x 6 (4,6) je x3 + 5x + 25 > 0 a největší hodnoty nabývá pro x = 6. Platí tedy |x2+5x+25| < 91. Pak |x3-125| < 91|x-5|. Zvolme nyní číslo ô < ~e. V tomto případě pak platí |x3 - 125| < 91|x - 5| < 91 • 5 < 91 * = e. Stačí volit číslo ô menší než ^e. 272. Spočtěte limitu lim log(3x2 - 5x + 1). x—> —1 Řešení: Jedná se o nej jednodušší případ, který při výpočtu limity může nastat. V našem případě lze totiž přímo dosadit a funkční hodnota je rovna hledané limitě. Um log(3x2 5x + 1) - log(3(-l)2 - 5(-l) + 1) = log 9. x—f — 1 273. Vyšetřete limitu lim sin -. s->0 x Řešení: Definiční obor funkce f{x) = je r0ven množině R - {0}. Není tedy možné dosadit za x a spočítat limitu postupem, jako v předchozím příkladu. Podle definice má funkce f(x) v bodě x0 limitu a, když platí: Ve > 0 36 > 0 : 0 < |x - x0| < S => ]/(x) - a\ < e. Vyšetřeme nyní, zda je předchozí podmínka splněna pro e = \- Tj. zda platí: 1 1 3S > 0 : x e (-6,6),x 4- 0 =S" |sin--a\ < -. 3G V každém okolí bodu x0 = 0, tj. v každém intervalu však zadaná funkce nabyva hodnot -1 a 1. Odtud plyne, že hledaná limita neexistuje. 274. Spočtěte limitu ■ * *n 3ľ — 2 hm —--- x-*2 xd - 3x2 + 2x' Řešení: Po dosazení hodnoty x = 2 zjistíme, že jmenovatel zlomku je roven nule Provedeme proto algebraickou úpravu. Čitatele i jmenovatele rozložíme na součin lineárních členu a provedeme pokrácení. Do takto upraveného výrazu lze již dosadit. Hm -fjzlzl. _ lim (*-2)(«+l) x + 1 2 + 1 3 x_2 ^3 _ 3x2 + 2x ^2 x{x _ 2){x _ 1} - lim x(x _ 1} - ^—^ = - . 275. Spočtěte limitu .. 3x4 - 4x3 + 1 lim ---- (a; — l)2 ' Řešení: Provedeme rozklad čitatele a jmenovatele zlomku naopak roznásobíme V takto upraveném výrazu lze již provést pokrácení. Platí lim 3x4"4^+-i = 2im (*2-2x+l)(3s2 + 2x+l) (x-1)2 £51 x2-2x+l- = hm(3x2 + 2x+l)=6. 276. Spočtěte limitu Řešení: Iim43 + 2X^4^1 «U3 -6x2 + llx-6' hm x3 + 2x2-4x-8 (x - 2)(x2 + 4x + 4) *-*a se*-:M + l&E - í řl (x-2)(x2^4x + 3) ~ = lim í!±i^±i = 1+8 + 4 _ _ ae.-*2 x2 - 4x 4- 3 4-8 + 3 277. Spočtěte limitu x2 + 4x - 5 hm —- :r~í-5 Vr2 - 16 + x + 2' Řešení: lim - r ^ + 4^l5_ = hm (x + 5)(x - 1) >^-b Vx2 - 16 + x + 2 *->-s v^2 - 16 + x + 2 ~ = Um (x + 5)(x - l)(yz2 -16 -(a; +_2))__ -^-5 (Vx2 - 16 + x + 2)(v/x^6 - (x + 2)) ~ 37 (g + 5)(ar - l){y/x2 - 16 - (x + 2)) _ = läm ě + 5><* ~ l)(v^« - (' + 2)) = g (3 + 5 - 2) = 9. i-t-5 -4(x + 5) 4V 278. Spočtěte limitu lim ( \/x{x + 5) - x) . Řešení: Postupujeme tak, že danou funkci rozšíříme vhodným výrazem. Hm (VSS+IM = í^±4z£ÍıS±f) = V / x-*oo yx(x + 5)+x x(x + 5)-x2 5x 5 5 5 = lim :-— hm ......._:-— hm — — — -= -. Vx2 + 5x + x x^°° Vx2 + 5x + x x-"30 + i VI + 0 + 1 ^ 279. Spočtěte limitu 1 Hm \ 1 — x 1 — x*- Rešení: Je zrejmé, že do výrazu nelze hodnotu x = 1 přímo dosadit. Postupujeme tedy tak, že zlomky sečteme a provedeme pokrácení. lim x + x + x2-3 v (x + 2)(x-l) • ( 1 3 \ _ 1 + x + x2 - 3 Wl " J - jfl (1 _ x^ +x + x2}~ »™ (1 ...a:)(l+3; + x1) (g+2) _^±^ = _1 r-Hl3+I+l 1 + 1 + 1 280. Spočtěte limitu lim^. i-fO 2x Řešeni: Využijeme definičního vztahu tg x = a limitu rozdělíme na součin několika limit. Dále použijeme známé skutečnosti, že lim = 1. x-yQ •L tg x , sinx , sinx 1 ,. 1 ,1,1 lim —— - hm--= hm--■ hm - ■ hm-= 1 - ■ 1 = ZX x-í0 2x-COSX ar-+0 X e-+0 Z :s-*0cO5X í l 281. Spočtěte limitu sinfx — 1) hm —™—-—. ■-n 3x2 - 2x - 1 38 Řešení: Postupujeme podobně jako v předchozím příkladu. sin(x - 1) _ sinjx - 1) sin(x i) j x x ÍSl 3x3 _ 2, _ j - (aj_1)(3a:+1) - ft "T^l ■ Si 3xTT ^ 1' i = 4* 282. Spočtěte limitu sin4x um »-»■0 + 1 - 1' Řešení: sin4x sin4x x hmn r~t^—7 = lim —i--4 • "m , -_ ^o^x-fl-l s-»o 4x x->o y/x 4- 1 - 1 = 4 lim ■ Y^+J+l = £Í^+T+1) _ _ v^+T+l #1 x + l-l -4(^/1 + 1)-8. 283. Spočtěte limitu Řešení: *-*o tg 3x *->o tg 3x z^o tg 3x z^o 3X = 1 • lim + 1 - ^ + 1 . + 1 + VVTI _ (3x + 1)- + 3x \/3x + 1 + v^TT -™3x(v/3YTT +v^+T) hm J_= 2 _ 1 *^3(V5a7 + T+v/íTT) 3(^14- vT) 3' 284. Spočtěte limitu lim sin2 3x x->o Vx2 4- 4 - 2" Řešení: hm jgj* - « hm^ • hm _ ^V?44-2 7^+4 + 2 x2+4-4--~" 9(V4 + 2) = 36' 285. Spočtěte limitu t 3 - /sin 3x 4- 9 hm--, s-*o tg 2x 39 Řešení: ,. 3 - v'sin3x + 9 ,. 2x ,. 3 - Vsm3x + 9 lim- = lim —-■ lim- x->o tg 2x x-*o tg 2x x-*o 2x v 3- >/sin3ar + 9 3+ v'sin3a:+ 9 , 9-sin 3a;-9 = lim---•------- - = lim 2x 3 + v'sin3x + 9 2x(3 + v'sin3z + 9) _i ^m sin3x . 3 j 2 3x -2-1-3 1 lim (3 + \/sm3x + 9) 3 + \/9 4' 286. Spočtěte limitu lim tm f*±!Y :-*oo \x + 2/ Řešení: Využijeme již známé skutečnosti, že lim X—► 00 a pomocí algebraické úpravy převedeme vyšetřovanou limitu na tento případ. Platí lim ( X ~*~ ) z-kso V, a: + 2/ 231+6 /'x + 2+l^+3^ -kxj V V x + 2 i+2 ™1\ x + 2,/ V x + 2J = e'2r=e2. 287. Spočtěte limitu x100 - 2x + 1 lim ——-. i-t-i x50 - 2x + 1 Řešení: Lze snadno ověřit, že číslo 1 je kořenem čitatele i jmenovatele. Provedeme proto jejich rozklad. Platí: lim —--- = hm -r——,) An--—---- = x50 - 2x + 1 x-m (x - l)(x49 + x48 + ■ ■ • + x - 1) x" 4- x98 + ■ ■ ■ + x - 1 99-1 49 = hm —--—--——- = -= —. *-n x49 + x48 + •■■ +x - 1 49-1 24 288. Spočtěte limitu .. \/x3 + 7 - yfx~+3 hm---. as—vi X — 1 40 Reseni: K vyřešení úlohy je zapotřebí složitější algebraické úpravy. První krok vyžaduje aplikaci známého vzorce o3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). Čitatele i jmenovatele zlomku rozšíříme výrazem a2 + ab + b2, kde a = ^~+7 ab= v^TŠ. Zadanou limitu tím upravíme na tvar (x-l)( ^(x3 + 7)2 + ^H7VÍT3 + y/W+W) = )im ^ + 7 - v7^^_ V dalším kroku provedeme rozšíření právě získané limity výrazem x3+7+ J(x + 3)3 a aplikujeme vzorec pro rozdíl druhých mocnin. Limitu tedy upravíme na tvar lim____ (x3 + 7)2-(x + 3)3__ -*1 (* ~ ViVWŤW + v^T7v^T3 + T^TWW2 + 7 + vT^Tšyš) - = ]im x6 + 13x3 - 9x2 - 27x + 22 __ ~* (x - i)W{x* + 7)2 + ^-TTvVT^ + y/{x + 3ř)(x* + 7 + v^TlF)" Polynom x6 + 13x3 - 9a:2 - 27x + 22, stojící v čitateli, má kořen x = 1. Provedeme tedy dělení polynomu x* + 13x3 - 9x2 - 27x + 22 polynomem i-h obdržíme x +13x3 - 9x2 - 27x + 22 = (x - l)(x6 + x4 + x3 + 14x2 + 5x - 22). Nyní lze provést pokracení členů x - 1 a dosadit. lim jx - \){xb + x4 + x3 + 14x3 + 5x - 22) í* " l)(v/(^3 + 7)2 + <^+7^x~+3 + V^7ŠF)(^ + 7 + v^xTŠp) = lim x5 + x4 + x3 + 14x2 + 5x - 22 X —+ 1 1 + 1 + 1 + 14 + 5-22 289. Spočtěte limitu (4 + 4 + 4){8 + 8) x-+oo ln(3 + e2x)' = 0. Řešení: Výraz je zapotřebí upravit na tvar, který umožní aplikovat základní zákony vylořítučin ^ V 9ieaaentečh l°&rít™ Provedeme vytknutí, které ■11 in(2 + e3a5) _ m(e3iK(l +2e~3*)) _ fi lne3* + m(l + 2e~33;) ln(3 + e21) ~~ 3:^0 ln(e2x{l + 3e~2x)) ~ lne2x + ln(l + 3e-2a:) Sine1+ln{l+ 2e"3a:) _ 3x + ln(l + 2e"32:) ~~ 2lne1 +ln(l + 3e-2a:) ~~ x^ííL 2x + ln(l + 3e-2:c) ~~ 3x ln{l + 2e-3a:) lim--—7---—^— + hm *-►«> 2x + ln(l + 3e~7x} x->°o 2x + ln(l + 3e~2x) 0 3 9 x Ml + 3e"21) oo + O 2 J + x 290. Rozhodněte, zda existuje limita „ x2 + 2x + 1 hm —-----. x~*i xz — 4x + 3 Řešení: Nejprve provedeme algebraickou úpravu vedoucí ke zjednodušení výpočtu: x2 + 2x + 1 x1 + 2a; + 1 hm „---- = lim j-h j2 - 4a; + 3 (x - l)(x - 3) a;2 + 2a; + 1 1 1 lim-— - ■ lim- = —2 hm x-ri re — 3 £—t-i x — 1 x — 1 Nyní spočteme obě jednostranné limity. i- x2 +2j + 1 o ,- 1 hm —r---- = -2 hm -= -2 ■ 00 = -00. i-n+ x^ — 4x + 3 x — 1 x2 + 2x + 1 1 lim —t- = -2 lim - - -2 ■ (-00) = 00. x'' - 4x -r- 3 i-vi- x — 1 Protože jsou obě jednostranné limity různé, limita dané funkce neexistuje. 291. Rozhodněte, zdaje daná funkce /(x) spojitá. f T-r— x < 0, x x > 0. Řešení: Spočteme jednostranné limity funkce /(x) v bodě xo = 0. Platí: lim f(x) = lim 7~— — lim —-— — lim —— = -~. x->0- x-rO- jx| — x x->o- —x - x £-+0- —2x 2 42 lim f (x) = Km x = 0. Protože jsou jednostranné limity různé, funkce ý (x) nemá v bodě x0 * 0 limitu a tedy funkce /(x) není v tomto bodě spojitá. 292. Dodefinujte funkci f (x) v bodě x0 = 1 tak, aby byla spojitá. 2- VxTŠ /(*) = x3 - 1 Řešení: Funkce bude v bodě x0 = 1 spojitá, pokud funkční hodnota v tomto bodě bude rovna limitě pro x -* 1. Je tedy zapotřebí určit limitu v rf \ 2 — \Jx + 3 hm /{x =--—-—. XJ — 1 Platí: _ _ lim 2-y^T3 = nm 2-Vx-+3 2_+y^+3^ r-H 2:J-1 (x- l){x2 +X + 1) 2+v/l + 3 ,. 4-x-3 1 = hm--— ._ =__ ^i{x-l)/x2 - 2x + 12 J Vx2-2x + 12' 365. Spočtěte derivaci funkce /(x) = 4arctg3(3x - 7). Řešení: Funkce, kterou máme zderivovat je vícenásobně složená funkce. Platí (4 arctg3(3x - 7))' = 3-4 arctg2 (3x - 7) ■ (arctg(3x - 7))' = - 12 (arctg2(3x - 7)) •--i--(3x - 7)' = 36 ^(3x ~ 7) V B y n l + (3x-7)2V '; 9x2-42x-f 50 ' 366. Spočtěte derivaci funkce /(x) = (cosx)00**. 49 Řešení: Funkce, kterou máme zderivovat je typu „funkce na funkci". V tomto případě lze postupovat dvěma možnými způsoby. Nejprve využijeme možnost zderivovat funkci přímo podle vzorce (/)» = WW + Sy)- Pak platí ((cosar)00*')' = (cosx)cot*x (-Í- ln(cosx) + cotg x^1^ . tv f A Vsin2x cosx / Druhá možnost spočívá ve využití tzv. logaritmické derivace. Postupujeme tak, že nejprve obě strany zlogaritmujeme, tj. In/(se) = lnfcosa;)00*8*, a pak využijeme následující základní vlastnosti logaritmické funkce ln/(x) = cotg x ■ ln(cosx). V následujícím kroku provedeme derivaci levé i pravé strany f fa;) i w , , , „ , —1 , -j i — sinx v ' — (cotg x) -ln(cosx)+cotg x-(in(cosx)) == —5— -ln(cosx)+cotg x--. f (x) sin x cosx V závěrečném kroku výpočtu vynásobíme posledně uvedenou rovnost funkcí /(x). Pak dostáváme f(x)' = (cosx)cotgx ( . } ln(cosx) + cotg x-\sin x sin x cos x Následující řešené úlohy již uvedeme bez podrobnějšího vysvětlujícího komentáře. Pokud lze derivaci úpravou zjednodušit, uvedeme i výsledek této úpravy. Algebraickou úpravu derivací je nutné dobře procvičit, protože ji budeme potřebovat zejména u vyšetřování průběhu funkce, kde je nutné s upraveným tvarem derivace dále pracovat. 367. Spočtěte derivaci funkce 1 + x - x2 1 — X + X2 Řešení: (1 - 2x)(l - x + x2) - (2x - 1)(1 + x - x2) _ /l+x-x2V " \1 -x + x2) (1-x + x2)2 2(1 - 2x) (1-x + x2)2 50 368. Spočtěte derivaci funkce 1 - x3 1 + xJ Řešení: -3x2(l+x3)-3xa(l - x3) -6x2 (l + X^)2 "(1 + X3)2' 369. Spočtěte derivaci funkce Řešení: -e*)-(-eg)(l + e*) 2e3 (l-e-)2 ~(l+e*)2' 370. Spočtěte derivaci funkce 1 - x2 /{X) " (x2 + 1)3 • Řešení: f'íx) = _ÍZ£!_ V _ ~2^2 + l)3 ~ (1 ~ x2) - 3(x2 + l)2 ■ 2x 4x(x2~2) } V(*2 + i)3J prip-^ = 7,^^- 371. Spočtěte derivaci funkce Řešení: (5 - x)\/25 - x2' 372. Spočtěte derivaci funkce , smx sin x + cos x 51 Řešení: sinx \ ' cosx(sinx + cosx) — sinx(cos x - sinx) f'(x) = ( — \ sin x +cosx/ (sinx + cosx)2 l+sin2x 373. Spočtěte derivaci funkce /(x) = ln(sinx + cosx). Řešení: ,, cosx —sinx l-sin2x / (xj = lnísinx + cosx) =-=--—. sin x + cos x cos 2x 374. Spočtěte derivaci funkce f{x) = ln(e2x + v^4* + 1). Řešení: 2e2x + l(e4x + 1)-^ -4e4a; /'(x) = (ln{e2x + Ve^ + l))' = e2x + V^TT 2e2* VeAx +1' 375. Spočtěte derivaci funkce (x + 1)2 /(x)-ln Řešení: sj{2x+ l)3 2{x + 1)^(21 + l)3 - (x + l)2 • |(2a:4-1)' -2 (x+1)2 (v/(2x+l)3)2 x - 1 2x2 + 3x + 1' 376. Spočtěte derivaci funkce 2x f(x) = arcsin 1 + x2' Řešení: 2(1 + x2) - 2x ■ 2x , 2 /'(x)=(arcsm^) (1 + x2)2 l+x; 52 377. Spočtěte derivaci funkce f{x) = e* s/'\ - eax + arcsine^ Řešení: z Vl - e21 378. Spočtěte derivaci funkce f(x) = arctg (x - v/í +x2"). Řešení; >'<*' = l + ' (i" 5<^ *H " *) = ^ 379. Spočtěte derivaci funkce f(x) - 1 ]n (g + l)2 1 + 2x-l Řešení ffr) - 1 1 2Qk + l)(x2 -x + l)-(x + jý(2x - 11 6 r^+1)2 1^-x+l)2 ^--+ ar- x + 1 v/31 | ^x-lj2" Vš'2~x3 + ť 380. Spočtěte derivaci funkce Řešení: Postupujeme analogicky jako v příkladu 366. m - ((x1)1)' - x-1 (x*(l + lnx) ■ !n x + í» ■ i) = x*1 ■ # . (m2 x + In x + ±) . 381. Spočtěte derivaci funkce Řešení: Použijeme metodu logaritmické derivace. Danou funkci přepíšeme na tvar fwi~ \/x + 1 - (x + l)x a tento tvar zlogaritmujeme. Pak platí 53 \nf(x) = -ln(x + 1), x Nyní provedeme derivaci obou stran rovnosti. ; = ~-=\n(x + 1) +-- f(x) x2 x x +1 Odtud plyne f'(x) =.1>Í ln(x + 1) + 1 -J-^ = 1 (x + 1)^ (x - ln(x + 1)I+1) 382. Spočtěte třetí derivaci funkce /(x) = tg x. Řešení: r (x) = 2 cos^ x cos X cos x cos3 x — 3 cos2 x( - sin x) sin x 2 + 4 sin2 x cos6 x cos4 x 383. Spočtěte třetí derivaci funkce f(x) = arctg x. Řešení: _ -2(1 + x2)2 + 2x ■ 2(1 + x2) ■ 2x _ 6x2 - 2 f ÍX) " (1 + x2)4 " ~ (1+x3)3' 384. Užitím Leibnizova vzorce určete třetí derivaci funkce f(x) = x2 lnx. Řešení: Leibnizův vzorec má obecně tvar (f(x)g(x)t> =J2 (flfln-kHx)SW(x). k=Q Podle tohoto vzorce nyní platí f"'{x) = (x2)"'lnx + 3(x2)"(lnx)' + 3(x2)'{lnx)" + x2(lnx)'" = -. x 54 385. Spočtěte třetí derivaci funkce Řešení: ; Vi-2Ť 2 (x-2)2 1 2x2 - 7x + 4 2 (--2)2\/i^í' Výpočet druhé derivace je již obtížnější. Platí r(x) = («a-t>y1iF<*-2)a-<^a-w)(i/IHT Nyní podobně spočteme, že .,„, < 3 14x2 - 33x + 20 8 (x-l)2(x-2}4y/|ej 386. Spočtěte n-tou derivaci funkce / (x) — ln(ax + fc), kde ax + b > 0. Řešení: Postupně vypočteme derivace o ax + ř>' 2 f""(x) - (ax + b)2' 2a3 (ox + 6)3' -2 ■ 3a4 (ax + ř>)4' Na základě těchto výsledků lze usoudit, že m _ • (n - l)|gn ' W (ax + 6)- 55 Správnost této hypotézy ověříme matematickou indukcí. Pro n = 1, 2,3,4 jsme již hypotézu ověřili. Zbývá dokázat, že z platnosti vztahu pro n = k plyne platnost pro n = k + 1. Skutečně - (fe - l)!o*(-fc)o _ (-l)fc k\ak+1 (ax + &)fc+1 ~ (ax + fc)fc+1 ' Nalezený vztah tedy platí pro všechna přirozená čísla n. 387. Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce f(x) = | v bodě A = [|, ?]. Řešení: Jedná se o základní úlohu na geometrickou aplikaci pojmu derivace. K vyřešení úlohy je především zapotřebí znalosti obecné rovnice tečny f ke grafu funkce f(x) v bodě xq. Tato rovnice má tvar: í ■ V ~ f(x0) = f'(xo){x - xQ). Ze zadání úlohy plyne, že xq = |. Dopočítáme y-ovou souřadnici bodu dotyku, která je v zadání označena otazníkem. Platí ? = J(xq) = f(^) = 2. Dále určíme derivaci f'(xo). Zřejmě Nyní již dosadíme získané hodnoty do obecné rovnice tečny. Dostáváme y — 2 = —4(x — což po úpravě dává í : 4x + y - 4 = 0. Analogicky postupujeme při nalezení rovnice normály. Obecná rovnice normály ke grafu funkce f(x) v bodě xQ je 71: y-f(xo) = řW){x-Xo)- Protože všechny pomocné výpočty máme již provedeny, můžeme provést dosazení y — 2 = ——(x — -) a po úpravě obdržíme n : 2x - Sy + 15 = 0. 56 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY 388. Rozhodněte, zda existuje derivace funkce f{x) == Vx2 v bodě xQ = 0. 389. Dokažte, že funkce definovaná předpisem í x arctg- x / 0, f(x) = \ je v bode a;0 = 0 spojitá, ale nemá v tomto bodě derivaci. 390. Dokažte, že funkce definovaná předpisem f sin a; x < 0, 1 x cos i a; > 0 je v bodě xq = 0 spojitá, ale nemá v tomto bodě derivaci. Spočtěte derivace následujících funkcí: 391. f(x) = (2x3 + 3)2. 392. f{x) = (x4 - 6x2 + 7)3. 393. /(x) = (l+2x)(3-4x2). 394. /(z) = (x - y/l - x2) 395. /(x) = v/4xTT. 396. /(x) = x + + 397. f(x) = i/l + >/x. 398 /(x) =xv'l + x2. 2 399. /(x) = x5 ■ \Ax6 - 8. 400. f(x) = ]jl + \Jl + >/x. 403- /W = ÍT7!TP- 404 /W=VTT^ 405. /{x) = sin2 x3. 406. /(x) = tg x - x. 407. /(x) = tg x + ^tg3 x. 408. /(x) = + ln cos x. e1 +e- 409. f [x) = Vsinxcosx. 410. /{x) . 1 - cosx n tg x + 1 411. /(x) ---. 412. /(x) =---.. *K ' 1 + cos x tg x - 1 413. f (x) = ln{x + Vi + x2}. 414. /(x) = ln(sinx + cosx). 415. f (x) = ln(ln(lnx)). 416. f (x) = Vhicosx. 417. /(x) = ln4(tg x). 418. /(x) = lncos Ve* + 1. 419. /(x) = arccoskix. 420. /(x) = arccos 1 - x2 1 + x 2 ' 421. /(x) = lnJ^^. 422. f (x) = ln 7 - x x2 + 1 57 Spočtěte derivace následujících funkcí a proveďte úpravu: 423. M arccotg x x2 424. m /1 — arcsin x V 1 + arcsin x 425. m , /1 — ln x \ 426. m 2 — x — arccos-=■ x\/2 427. m x -arctg -_ yl — x4 428. fix) Í2-x = arCtgV--3 429. m = 103x 430. m = 23* 431. m 432. m 433 m 434. = X^ 435. /(*) = tg ď 436. = (lnx)x 437. - (arctg xY 438. H*) = xe U následujících funkcí odvoďte vztah pro n-tou derivaci: 439. - s/x 440. m 441. M = xex 442 m = x \nx 1 1 - x 443. " x2 - 3x + 2 444. l+x 445. = logtt x 446. m = x cos 2x 447. m 2x-l x + 2 448. m 1 7x + 2 449. m 1 y/2x - 5 450. ^xn~l\nx Pomoci Leibnizovy formule vypočtěte fc-tou derivaci funkce f (x): 451. f {x) s= x4e2iE, k = 6 452. f {x) = x3 lnx, k = 4 453. f {x) ~ e4lsin3x, k = 5 454. f (x) = e1 cosx, k = 5 455. Nalezněte tečny k hyperbole 7x2 - 2y2 = 14 kolmé na přímku 2x + 4y = 3. 456. Ke křivce /(x) = xlnx spočtěte rovnici normály, která je rovnoběžná s přímkou danou rovnici 2x - 2y + 3 = 0. 457. Zjistěte, ve kterém bodě je tečna k parabole y — x2 + 4x rovnoběžná s osou x 458. Zjistěte, ve kterém bodě má křivka f{x) = směrnici k = \. 459. Určete vzdálenost počátku od normály grafu f{x) = x2 + ea2x v bodě x = 0 460. Dokažte, že platí následující tvrzení: (1) Derivace sudé funkce je funkce Ucha. (2) Derivace liché funkce je funkce sudá. (3) Derivace periodické funkce s periodou l je periodická funkce s periodou /. 58 5. DIFERENCIÁL A TAYLORŮV POLYNOM V úvodu této kapitoly pripomeňme některé skutečnosti, které jsou důležité pro řešení úloh. Předpokládejme, že je dána funkce /(x), která je definovaná v okolí bodu xo- Z bodu xo se posuneme v tomto okolí o hodnotu h do bodu x = xq + h. Diferenciálem funkce /(x) v bodě xq při přírůstku h nazýváme číslo dhf(xo) = f'{x0) ■ dx = /'(x0) • h. Diferenciálu lze použít k přibližným výpočtům funkčních hodnot. Platí formule /(x0 + ň) ~ f(xQ) + dhf(x0). Podobně jako existují derivace vyšších řádů, existují i vyšší diferenciály. Pro n-tý diferenciál platí d£/(x0) = /<">(x0) ■ dx" = /<*>(x0) ■ hn. Vyšší diferenciály umožňují zpřesňovat přibližné výpočty pomocí tzv. Taylorova polynomu. Taylorův polynom n-tého stupně funkce /(x) v bodě Xo je polynom Tn(x) = /(xo) + - x0) + Í^{X - xo)3 + ■ ■ ■ + í-^í* - -o)"- Pro x0 = 0 se tento polynom nazývá Maclaurinův. Funkci f(x) lze vyjádřit jako součet Taylorova polynomu a funkce Rn(x)) která se nazývá chyba. Platí tedy /(x) = Tn{x) + Rn{x). Uvedený vztah se nazývá Taylorova formule. Taylorova věta tvrdí, že mezi čísly x a Xo existuje číslo c tak, že Hlavní význam teorie spočívá v tom, že funkci, jejíž funkční hodnoty lze obtížně vyČíslovat lze převést na výpočet funkční hodnoty polynomu, tj.- na základní aritmetické operace sčítání a násobení. Chybu Rn(x) nedokážeme explicitně spočítat, ale v řadě případů ji dokážeme rozumně odhadnout. Uvedený tvar chyby se nazývá Lagrangeův. Tento tvar je pouze jedním z nekonečně mnoha existujících tvarů, je však nejpoužívanější. Souvislost Taylorova polynomu s teorií diferenciálů je zřejmá, protože Taylorův polynom lze vyjádřit ve tvaru r„(x) = /(x0) + ^dhf(x0) + ^dlf(xQ) + ... + ^d£/(x0) = há&M- k=0 Poznamenejme ještě, že užitím Taylorovy formule lze určit i limity některých funkcí. Nyní se již věnujme řešení konkrétních příkladů. 59 ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 461. Spočtěte diferenciál funkce /(x) v bodě x0 = 3 při přírůstku h = 0,09, kde /(*) = x2 - ~. X Řešení: Víme, že diferenciál funkce f(x) v bodě x0 při přírůstku h má tvar dhf{x0) = f'(xo)h. Je tedy zapotřebí určit derivaci funkce f(x) a její funkční hodnotu v bodě x0 = 2. Platí tm Celkem tedy platí 55 dkf(xQ) = /'(x0)fe = — ■ 0, 09 = 0, 55. 462. Pomocí diferenciálu určete přibližnou hodnotu ^/16,06. Řešení: K přibližnému vyjádření hledané hodnoty použijeme vztahu f(x0 + h) w f(x0) + dhf{xo), přičemž f(x) = y/x a za bod x0 volíme bod x0 = 16. Z této volby ihned plyne, že h — 0,06. Dále určíme derivaci Odtud plyne ^16, 06 ~ \/Í6 + l ■ 0, 06 = 4 + 0,0075 = 4,0075. 8 Pro srovnání, kalkulačka dává hodnotu 4, 007492982... 463. Pomocí diferenciálu určete přibližnou hodnotu arctg 0,97. Řešení: K přibližnému vyjádření hledané hodnoty použijeme vztahu /(x0 + fy m f{x0) + dhf(x0), přičemž f(x) = arctg x a za bod x0 volíme xo = 1- Z této volby ihned plyne, že h = -0, 03. Dále pro diferenciál platí dhf(xo) = /'(x0) • h. Určíme derivaci 60 Odtud plyne arctg 0, 97 * arctg í + |- (-0,03) = ~ - ^~ = 0,785 - 0,015 = 0, 770. Pro srovnání, kalkulačka dává hodnotu 0,770170... 464. Spočtěte druhý diferenciál funkce f(x) = lnx v bodě x0 = 2 pro h = 0,1. Řešení: Druhý diferenciál funkce f(x) v bodě xq při přírůstku h má tvar dlf(x0) = f"(x0)h2. Je tedy zapotřebí určit druhou derivaci funkce f(x) a spočítat její funkční hodnotu v bodě xq = 2. Platí /'(*}=-, /"(z) = /"{2) = -Í. 2; x"1 4 Celkem tedy platí ďhf(x0) = /"(x0)/i2 = -^0,12 = 0,0025. 465. Spočtěte Taylorův polynom Tz(x) funkce /(*) = V¥ v bodě x0 = 0 a s jeho pomocí určete y/e. Výsledek srovnejte s hodnotou na kalkulačce. Řešení: Funkci / (x) = upravíme na tvar f(x) = y/ě* =e%. Zřejmě platí /(0) = ^=#1=1. Dále určíme derivace funkce f(x) až do třetího řádu. Platí /'(x) = ief, /»(x) = ie?, /'"(x) = jLef, Po dosazení do obecného tvaru Taylorova polynomu a krátké úpravě dostáváme hledaný tvar Taylorova polynomu 61 Nyní platí i 1 1 2374 Jfe ss TM) = 1 + - + — + —— - ^ - 1,1535471331... v 3V J 7 98 2058 2058 Pro srovnám, hodnota na kalkulačce je = 1,1535649948... 466. Spočtěte Maclaurinův polynom T3(x) funkce f(x) tg x a s jeho pomocí určete tg 0, 3. Výsledek srovnejte s hodnotou na kalkulačce, riešení: Určíme derivace funkce f(x) až do třetího rádu. Platí x 1 *»j x 2 siná: ,ttt. , 2 + 4sin2x /(0) = 0, /'(O) = 1, /"(0)=0, /'"(O) = 2. Po dosazení do obecného tvaru Taylorova polynomu dostáváme Odtud plyne T3(x) = x + ^x3. tg0,3^r3(0,3) =0,3+ = 0,3 + 0,009 = 0,309. o Pro srovnání, hodnota na kalkulačce je tg 0, 3 = 0.309336249... 467. Spočtěte Maclaurinův polynom T3(x) funkce f(x) = sinx. Pomocí T3{x) určete hodnotu sin 1 a odhadněte, jaké chyby jste se dopustili. Řešení: Napíšeme obecný tvar polynomu. T3(x) = /(xo) + (x -*á + Äfi-xoÝ + ^pl(x - xo)3, U Maclaurinova polynomu platí, že Xo = 0. Určíme potřebné derivace. Čtvrtou derivaci potřebujeme pro odhad chyby. Platí /'(x) =cosx, /"(x) = -sinx, /f"(x) = -cosx, f""(x) = sinx, /(0) = 0, /'(0) = 1, /"{0) = 0, /"'(0} = -l. ■ 02 Dosazením nalezených hodnot do obecného vztahu nyní dostáváme, že T3{x) = x~~x3. o Odtud plyne sinl^T3(l) = l- l = | = 0,833... o o Lagrangeova chyba má tvar %M = jxf""{c){x-xo)A = ^sinc.x4, kde c e (0,1). Odtud plyne odhad Ä3(l) = ^sinc • l4 < i = 0,0416. Celkem tedy dostáváme sin 1 sa 0,833±0, 041. Pro srovnání, hodnota na kalkulačce je siní = 0.841470... 468. Spočtěte Taylorův polynom T2(x) funkce f{x) = sjx v bodě xQ = 4. Pomocí T2(x) určete přibližně ^Jh a. odhadněte chybu Ri(x). Řešení: Napíšeme obecný tvar polynomu T2(x) = /(4) + - 4) + Q*> (x - 4)2. Spočteme potřebné derivace. Třetí derivaci potřebujeme pro odhad chyby. Platí: 2 2y/x' J K J 2y 2J ~ 4v/^T 2V 2' sVx^' Příslušné funkční hodnoty jsou /(4) = 2, /'(4) = 1 /"(4)- - y Dosazením nalezených hodnot do obecného vztahu nyní dostáváme, že riW = 2+i<*-4)-±(,-4)» = |+§,-iI». Odtud plyne m _ 3 15 25 143 „ v^-T3(5)=i + ¥-- = _ =2,234375. 63 Lagrangeova chyba má tvar R2{X) = ĽM(X _ 4)3 = Sgfefcí - 4)3, kde c e (4,5). Odtud plyne odhad R^ = ^(5"4)3s á 7ž = ěž^001953- Celkem tedy dostáváme \M% 2343 ± 0,0019. Počítali jsme tedy správně aspoň na dvě desetinná místa. Pro srovnání, hodnota získaná na kalkulačce je VŠ = 2,236067... 469. Pomocí Taylorova polynomu vyjádřete polynom f(x) = x4 - 5x3 +x2 - 3x + 4 v mocninách dvojelenu x — 4. Řešení: Rozvést daný polynom v mocninách dvoj členu x-4 znamená najít Taylorův polynom v bodě x0 = 4. Je zřejmé, že hledaný Taylorův polynom bude čtvrtého stupně, protože pátá derivace zadaného polynomu a všechny derivace vyšší jsou rovny nule. Pro derivace a jejich funkční hodnoty v bodě xo = 4 platí f{x) = x4- 5x3 + x2 - 3x + 4, /(4) = -56, f'(x) = 4x3 - 15x2 + 2x - 3, f(4) - 21, /"(x) = 12x2-30x + 2, /"(4) = 74, /"'(x) = 24x-30, /"'(4) = 66, f» = 24, /""(4) = 24. Nyní již můžeme napsat hledaný Taylorův polynom m=ri(I)=/(4)+m(I_4)+m(,_4).+qí)(,_4).+q«(I-4).. Po dosazení obdržíme vyjádření polynomu f(x) v mocninách dvojčlenu x-4. Platí f(x) ~ -56 + 21(x - 4) + 37(x - 4)2 + ll(x - 4)3 + (x - 4)4. 470. Pomocí Taylorovy formule spočtěte následující limitu. x2 — 2 + 2 cos x lim--.-. Řešení: Funkci f(x) = cos x vyjádříme pomocí Taylorovy formule f(x)=Tb(x) + R5(x). Pl^1 ■> í 2 4 6 3ľ 30 cosx = l-y + -+ii5(x) = l-Y + --—coscx. Odtud plyne x2-2 + 2cosx ,. x2-2 + 2(1-^ + ^} + i?5(x) lim----:- = lim---■--—2—--— - wjcoscx / 1 x2 \ 1 _ 1 - lim &-^-= lim — - —- cos cx = — - 0 = —. *-*> x4 3->o V12 360 / 12 12 «4 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Spočtěte diferenciál funkce f[x) pro přírůstek dx v obecném bodě: 471. fix) = -■ 472. f(x) = ^8 3x- sinx /l -|- x 473. f(x) = x2-T. 474. /(aO = ýy^:. 475. /(x) = arctgV4x - 1. 476. /(x) = ln(x + y/l + x2). 477. ^=toJpS, 478. /{x) = 5lnt^. v V 1 - sin x 479. Spočtěte diferenciál funkce f(x) = arccotg x v x0 = 1 při h = 0,3. 480. Spočtěte diferenciál funkce /(x) = hWx2 - 2x v x0 = 3 při h = -0,02. Pomocí diferenciálu určete přibližně následující funkční hodnoty: 481. yV02. 482. In 11. 483. arcsin0,2. 484. tg 46°. 485. arctgl, 1. V následujících příkladech spočtěte vyšší diferenciály d£/(x) funkce f{x): 486. f(x) = ex ■ lnx, n = 4. 487. f(x) = sin2 x, n = 3. 488. /(x) = xsinx, n = 10. 489. /(x) = xcos2x, n = 10. Spočtěte Maclaurinův polynom Tn(x) následujících funkcí: 490 f(x) =a X , n = 4. 491. f(x) = vWx3, n = 13. 4 - y e1 - 1 492. /(x) = sin{sinx), n = 3. 493. /(x) = lncosx, n = 6. sin x 494. /(ar) = tg x, n = 3. 495. f{x) = ln(^—)» n = 6- Spočtěte Taylorův polynom T„(x) funkce /(x) v bodě x0: ^ 1 496. /(x) = v^, n = 3, x0 = 1- 497. /(z) = n = 4, x0 = 2. 498. /(x) = x1 - 1, n = 3, x0 = 1. 499. f(x) = y^, « = 2, x0 = 1. 500. Proveďte rozvoj polynomu f{x) = x3 - 2x + 5 do mocnin dvojčlenu x - 100. 501. Polynom /(x) = 1 + 3x + 5x2 - 2x3 rozveďte do mocnin dvojčlenu x + 1. Pomocí Taylorovy formule určete následující limity funkcí: -x3 . . cosx-e 2 ex smx - s(l +x) 502. lim----r-. 503. lim- -• x-*0 X4 *->0 x 504. hm sin(sinx)-xYT^ 5Q5_ ^ [? _ ^ ^ + 1} x^0 X 5 x—► oo 65 6. ĽHOSPITALOVO PRAVIDLO Následující kapitola obsahuje další príklady na výpočet limity funkce. Pri řešení těchto úloh však budeme využívat pojmu derivace. Teoretickým základem pro výpočet limit je věta nazývaná ĽHospitalovo pravidlo. Před řešením úloh této kapitoly si především zopakujte podmínky, za kterých lze pravidlo použít. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Pomocí ĽHospitalova pravidla spočtěte limitu funkce typu Základní metodický postup je následující. Funkce, jejíž limitu v daném bodě máme počítat, má tvar zlomku. Určíme nejprve limitu čitatele a limitu jmenovatele. Tyto limity často zjistíme pouhým dosazením. Je-li limita čitatele i jmenovatele rovna nule, lze aplikovat ĽHospitalovo pravidlo. Při výpočtu je pak mnohdy nutné provést aplikaci pravidla vícekrát po sobě. Připomeňme ještě, že ĽHospitalovo pravidlo lze použít i pro výpočet jednostranných limit. 506. lim In cos x = lřm cosx x-+0 1 (— sinx) — lim sin x l->0 cos x 507. lim 35~>0 1 - cosx — lim smi i-»o 2x cosx lim - z-s-o 2 508. lim z-í-o siní — lim x-*0 e1 - (-l)e- cos X lim x~*Q cos x = 2. 509. lim x — sin x c-+o x- 1 - cosx hm ——z— x-tQ 3xž sin x , cosx 1 = hm —— — lim —— = -. x->0 ox ar-+0 0 o 510. lim 2x - 1 Lllll ty x^o sin 3x = lim 2e 2x 2{eZx - 1) £híS 2 ■ sin 3x ■ cos 3x ■ 3 x 3 ■ sin 6x lim = lim 4 - e; 2x 4-1 x->o 18 ■ cos 6x 18-1 66 Pomocí ĽHospitalova pravidla spočtěte limitu funkce typu |^|. Postup při výpočtu je analogický jako v případě limit typu [§]■. Funkce, jejíž limitu v daném bodě máme počítat, je ve tvaru zlomku. Určíme limitu absolutní hodnoty jmenovatele. Je-li tato limita rovna oo, lze aplikovat ĽHospitalovo pravidlo. Při výpočtu je v řadě případů opět nutné provést aplikaci pravidla vícekrát po sobě. Zdůrazněme skutečnost, že limita čitatele ani jmenovatele nemusí sama o sobě existovat. Dále připomeňme, že výraz * = 0 pro libovolné reálné číslo a. 511. lim 2I-+0O x3 + 5x - 2 x 2-1 oo i 3x2 + 5 — = hm —-- oo I 35-TOO ÍX oo co 6x = hm —- = co. x—^ oo 2 512. lim ~s — a;-»oo x oo oo = lim —j oo oo = lim — x—>oo OX oo co e oo = lim — — — = oo. x—^oo 6 6 513. lim — = oo oo 2x = lim —-—:—-x->oq 3X • In á oo co lim 33 . in2 3 00 ■ ln2 3 = 0. 514. lim ln sin x 0+ lntg x 00 00 lim COS x sin 3; tg x cos x lim — = lim cos"' x sin 1-cos* x 515. lim lnx x-*o+ cotg x 00 00 lim 1 x -1 = lim sin2 x - srn 2x hm---= 0. 3I-+0+ 1 516. lim cotg 2x ar-vir/2 tg X co oo s= lim -1 sin1 2x -2 lim cos2 x x-nr/2 sin 2x - -2 lim cos2 x — — lim 1 1 2 x-Hr'/2 4 cos2 x sin2 x 2 x^tji sin^ x Pomocí vhodné úpravy převeďte výpočet na ĽHospitalovo pravidlo. Nejprve zjistíme, jakého je limita typu. Typ určíme většinou snadno dosazením, nebo krátkým výpočtem. Potom volbou vhodné úpravy podle typu převedeme výpočet zadané limity na výpočet limity, při němž lze ĽHospitalovo pravidlo použít. Na ĽHospitalovo pravidlo jsou převeditelné následující typy limit: 0 • 00, 00 - 00, 0°, co0, 1°°. Pro typ 0 ■ 00 používáme nejčastěji jednu z úprav lim f{x)g{x) = lim lim x—yxo g(s) 1 W) 67 která výpočet převede na typ § nebo ||. Pro limitu typu oo - oo lze použít úpravy 1 1 lim /(*) - g[x) = lim 9{X) I{X) . f{x)g(x) V řadě případů lze u typu oo - oo postupovat jinou cestou. V případě, že funkce /(x) a g[x) mají tvar zlomků, stojí za pokus provést jejich rozdíl převedením na společného jmenovatele. V jiných případech lze realizovat vytknutí některé části a převést limitu rozdílu na limitu součinu funkcí. U limit typu 0°, oo°, 1°° lze použít následující úpravy lim = lim ' ln^x) = e*~**o . Inx 517. lim x Inx = |0 ■ oo| = lim -r i->0+ i-řO+ - oo oo = lim —V - lim (-x) — 0. 518. lim Ítt - 2arctg x) • lnx = |0 ■ oo| = lim 7t - 2arctg x lnx -2 hm x ln2 x lim 2-2 — 3-+0o X + 1 co oc ln2 x 4- 2x ln x • — = lim 2-----^ x ln2 x ln2x + 21nx ,. nn 12. ,. _ Inx 1 lim -= hm 2(lnx .- + -) = lim 2--= hm 2 • - = 0. s-t-oo X X-+CO X X s-»oo X X 1 519. lim ln(x + 1) ln(x + l) _1 z->0 \x(x + 1) X2 = |oo — oo| — lim 1 1 x-í-0 x(x 4- 1) ln(x + 1) x(x + 1) x; xí lim x-*0 ln(x 4 1) x (x + 1) x3(x 4 1) ln(x 4 1) Um x2 - x(x 4 1) • ln(x 41) x + x 68 3-+0 x 4- x s->o 2x - 3x -ln(x4-l) x->o 2x — 3xJ x + 1 _ -1 lim x-i-o 2 - 6x 2 e e 520. lim e* — x = |oo — ooj = lim x - (--1) = lim x - lim (--1) x—too x—*oo x x—too z—vec x = lim x ■ lim e1 = co ■ oo — oo. X—¥O0 X—»-0O ln: lim ^ 521, lim v x = um X1 = j co I = lim = |0 - oo| = e1-*00 X—lOO X—lOO co co lim -f- lim I j = gX—VOO 1 — qx—i-oc x = goo = e — 1 522. lim at—»0+ (y)tg X = |oo0| = lim etg x ■ ln § = lim e_tg x ■ Ins = \x/ X-HD+ S-Í-0+ Inx - lim tg x ■ ln x - nm - e x-*0+ — e x->0+ cotg x 1 - lim - -0+ X = ex-*0+ x->0+ X = gO -1 _ gO _ j 69 523. lim x —>oo 2 / \\x ji i i n Mm x2 ■ Infi + ^) (14-i) =|1°°|= limex ■ tot1 + í) = e*-« V 1 y x/ x->oo ! , Ml + j) lim x2-ln(l + -) ^--j- giS—KW 1 -1 ar = e ac lim x—*oo —i = e 1 1(35+1) t. x° lim hm gf _ ex->°° 2x(x +1) _ e TJ = e 00 co lim 3x2 6x lim — — ei->oo 4x + 2 = e^-*oo 4 = e00 = 00 524. lim (e* + x)* = |1°°| = limex a-»-0 3!-»0 = j00 • 0| = e^-*-0 a; e1 + 1 _ gx-+o e1 + x — e2. O tori Ö , lim t e x • In arcsin x 525. lim (arcsinx)tg x = |0°| = lim e'« x '111 arcsin x _ e^0+ X-X3+ ÍK-Í-0+ , In arcsin x lim -=- lim -tg2 x ■ cos2 x = |0 ■ 00 j = e x = - = ex~*0+ arcsin x • \/l — 3?2 — — sin2 x ,. 1 lim ——-■ lim lim 2 sin x cos x 2 — lim -5—- - sin x *-»o- 1 0+ arcsin x a;-*-o+ — x2 = ei->o+ arcsin x — e \Jl - x2 = e° = , z . lim x ■ ln(sinx) 526. lim (sin if = |0°| = lim ex " H*™x) = e^0+ = |0 ■ oo| x—*0+ X-+0+ lim ln(sinx) e a; 00 i co cos x -i- sin j ,. x cosx 11m — _ hm —.- =e x->o+ sinx = e° = 1 70 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY V následující skupině úloh feste příklady na výpočet limit typu §: 527. Iimtgs-l+cos3* 528 limln2(x + l)-sin2x x^o ex - e~x x~+o 1 - e~x ,. \Ac2 + 16-5 _ ,. 2X-ZX 529, lim ~--530. lim Z -»■3 x3 - 2x2 - x - 6' »-*0 X\/l - x2 „„„ x - arctg x 531. hm-=-=—. 532. lim x-*o x3 1 — x + lnx roo .. ex-e-x-2x píjj e**-l 533. lim-;-. 534. lim-. x-+0 x — smi e-H cosx — 1 r. tg x — sin x „Ä„ ,. sinx-x 535. Um—-5-• 536. lim x-*a x3 arcsin x — x x3sinx _„„ ,. x2cosx 537. lim ---r. 538. lim x-»-0 (1 - COSX)'' x-*0 1 — COSX 1 „„^ ,. e i3" „„„ ,. 2cosx —2 + x2 539. lim —ísf. 540. lim-=- s-*o x1™ sf-í-o x2 ■ sin X V následující skupině úloh řešte příklady na výpočet limit typu ^|: xioo e2x 541. lim ——, 542. lim -—. x—kx lu35 x-t-oo xó 543. lim ~. 544. lim z-too x2 z->0+ COtg X 545. lim!4^|. 546. lim lntgX x-+o ln | sin 9x|' x^o+ ln tg 3x „ .. tg 5x „ ra lnx 547. hm „ . 548. hm 2tg 3x lnsinx' V následující skupině úloh řešte limity typu 0 • co: 7f X 549. lim lnxln(l-x). 550. lim(l-x)tg-—. 35—fl- I->1 2 551. lim (1 - sinx) • tg x. 552. lim x • cotg x. x —lir/2 x—i0 553. lim (tí — 2arctg x)lnx. 554. limfe1 - 1) ■ cotg x. x—fr-oo x—►O V následující skupině úloh řešte limity typu |co — coj: 555. lim (-?— - . 556. lim (—L- - 4 i - cc-n\x-l mx/ i->ít\sin i x2 / 557. Um f-í--- ) . 558. lim (—--. x^Q ysmx X/ a:-*0 \xsmx X2} 71 1 5 559. hm , 9 £-►3 V x — 3 xA - x b 561. lim =e-*o \sinx ln( 563. lim I - - x + 1)) ]. 560. lim ( ~J^—--- J x-ťl \x2 - 1 X - 1 / 562. lim cotg x-- x-rO V x -vo V x e1 — 1 564. lim /x- 1 1 i I--1-- □ V 2x2 x(e2:c - 1) V následující skupině úloh řešte příklady na výpočet limit typu 1°°,0°, oo°: 565. limx1-*. x-*l 567. Um im ( smx \ x 569. lim x-+oo 571. lim (x + l) x±l /3x -4\ 3 \3x + 2J i—voo \ 3x + 2 / tg X 573. lim — x^0+ V x 575. lim (1 + 3tg2x) cotg2x 566. lim f 1-+00 V X Jnx 568. lim x a;-*-™ (lnx)3 570. lim S—\ X x + l\ 2x 1 572. Um x2 - 2x + 1 s-»oo V x2 — 4x + 2 574. Um tgxt&2x. x 576. lim x—foo Zjistěte, zda je možno použít IVHospitalova pravidla v těchto případech: 577. lim 579. lim x — sin x x-Kjo x + sin x 1 + x + sin 2x 578. lim 2 ■ xJ sin A z-t-o sinx 580. lim a:-+oo x + e5'"1 sin2x s^oo e~ (cos x + 2sinx) 4- e x sin x e-ä:(cosx + sinx) Spočtěte následující limity: 581. lim arctg x — arcsin x ie-kG tg x - smx 582. lim arcsmx — sin x x-t-o arctg x - tg x 583. Nalezněte limitu sin tg x — tg smx lim--—-—--:-. i-í-o arcsin arctg x - arctg arcsmx 72 7. PRŮBĚH FUNKCE Problematika vyšetřování průběhu funkce je v jistém smyslu vyvrcholením diferenciálního počtu funkcí jedné reálné proměnné. Při řešení úloh se totiž využívají téměř veškeré znalosti, které jsme doposud o funkcích získali. Vyšetřování průběhu funkce je založeno na teorii, která využívá derivací a výpočtu limit. Nyní alespoň stručně připomeňme základní postup. Vyšetřování průběhu funkce je možno rozdělit do pěti následujících částí: (1) Určíme definiční obor funkce. Je-li to možné, vytvoříme si alespoň hrubou představu o oboru hodnot. Dále zjistíme, zda funkce nemá nějakou významnou speciální vlastnost, např. zda není periodická, nebo nemá nějaký druh symetrie grafu, tj. zda není sudá nebo lichá. Dále nalezneme nulové body funkce, tj. body, kde graf funkce protíná osu x. Nalezení nulových bodů umožní zjistit signum dané funkce, tj. intervaly, na nichž se funkce nachází pod osou, resp. nad osou x, (2) Přikročíme k výpočtu první derivace. Nalezneme nulové body první derivace a vyšetříme její signum. Na intervalech, kde je první derivace kladná, je vyšetřovaná funkce rostoucí, kde je derivace záporná, je funkce klesající. V bodech, v nichž střídá první derivace znaménko nastává lokální extrém. Kombinace H— odpovídá maximu, kombinace —h minimu. O existenci a kvalitě lokálních extrémů lze rozhodnout rovněž pomocí vyšších derivací. (3) Spočítáme druhou derivaci. Zjistíme její nulové body a signum. Na intervalech, kde je druhá derivace kladná, je vyšetřovaná funkce konvexní, kde je druhá derivace záporná, je funkce konkávni. V bode, v němž druhá derivace střídá znaménko, má funkce inflexní bod. O existenci infiexních bodů lze rovněž někdy rozhodnout pomocí vyšších derivací. (4) Vyšetříme asymptoty funkce. Připomeňme, že existují dva typy asymptot: bez směrnice a se směrnicí. K nalezení asymptot je zapotřebí výpočtu limit. Přímka x = x0 je asymptotou bez směrnice, když existuje aspoň jedna nevlastní jednostranná limita funkce f(x) v bodě x0. Funkce /(x) může mít i nekonečně mnoho asymptot bez směrnice. Přímka y = ax + b je asymptotou se směrnicí funkce /(x), pokud f(x\ a - lim -. b= lim (f(x) - ax). x-*oo x x-kx Analogicky je zapotřebí určit uvedené limity pro x -4 -oo. Asymptoty se směrnicí mohou existovat nejvýše dvě. Funkce však obecně nemusí mít žádné asymptoty. Příkladem funkcí, které nemají žádné asymptoty jsou polynomy stupně většího než 1. (5) V závěrečném kroku provedeme kompletaci všech získaných informací a na jejich základě nakreslíme graf vyšetřované funkce. Pro vylepšení obrázku můžeme dopočítat ještě několik vhodných funkčních hodnot. Před řešením konkrétních úloh si pozorně zopakujte celou teorii. Právě uvedený postup, vzhledem ke své volnější formulaci, nemůže studovanou teorii nahradit. Každá úloha má většinou své obtížnější místo. V některých příkladech může být náročný výpočet a úprava druhé derivace, v jiné úloze může být například problém již s nalezením nulových bodů dané funkce. V případě, že Vám některá úloha, nebo její část, bude vzdorovat, použijte k ověřena svých výpočtů počítače. V následujících příkladech se budeme nejprve zabývat dílčími úlohami z vyšetřování průběhu funkce. 73 ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 584. Vyšetřete lokální extrémy a inflexní body funkce f{x) = x4 - 6x2 + 8x - 3. Řešení: Spočítáme první derivaci funkce /(x) a položíme ji rovnu nule. Tím vznikne rovnice. Její řešení jsou stacionární body. Lokální extrém může nastat buď ve stacionárním bodě, nebo v bodě, kde neexistuje derivace. Protože Df'(x) = iž, stačí vyšetřit pouze stacionární body. Platí f'[x) = 4x3 - 12x + 8 = 4(x3 - 3x + 2) = 0. Jediní kandidáti na celočíselné kořeny jsou čísla ±1, ±2. Snadno se ověří, že vyhovuje x = 1 a x = —2. Odtud plyne /'(x) = 4(x- l)2(x + 2) = 0. Nalezli jsme dva stacionární body x = l,x = -2. Zbývá rozhodnout, zda má v těchto bodech funkce f(x) lokální extrém. Obecně lze postupovat dvěma způsoby. První způsob rozhodování je založen na využití první derivace. Na číselnou osu vyneseme všechny stacionární body a body v nichž neexistuje první derivace. Určíme signum (tj. znaménko) první derivace v okolí těchto bodů. To lze provést tak, že v každém z intervalů, na které se rozpadne číselná osa zvolíme vhodného reprezentanta, tj. bod, v němž se snadno počítá funkční hodnota. Spočteme funkční hodnotu derivace v tomto zvoleném bodě a její znaménko zapíšeme pod příslušný interval. Platí interval (-oo,-2) (-2,1) (l,oo) sgn /'(x) — + ] Protože první derivace střídá v bodě x = — 2 znaménko v kombinaci —h, je v bodě x = — 2 lokální minimum. Ve stacionárním bodě x = 1 nestřídá první derivace znaménko, a proto funkce f(x) nemá v bodě x = 1 lokální extrém. Další způsob rozhodování o existenci lokálních extrémů je založen na využití druhé derivace. Platí /"(x) = 12x2 - 12 = 12(x2 - 1) = 12(x - l)(x + 1). Spočteme funkční hodnotu druhé derivace ve stacionárním bodě. Je-li tato funkční hodnota kladná, má funkce ve stacionárním bodě lokální minimum, je-li záporná, má v tomto bodě maximum. Je-li funkční hodnota rovna nule, nelze na základě druhé derivace rozhodnout o existenci a kvalitě extrému. V našem případě platí /"(-2) = 12(-2)2 - 12 = 36 > 0, /"(l) = 12 • l2 - 12 = 0. Odtud plyne, že v bodě x = —2 je lokální minimum. O bodu x = 1 vsak nedokážeme na základě výpočtu druhé derivace rozhodnout. V takovém případě lze 74 použít vyšších derivací. Počítáme postupně funkční hodnoty vyšších derivací ve vyšetřovaném bodě až do okamžiku, kdy je funkční hodnota derivace nenulová. V případě, že je řád derivace lichý, není ve stacionárním bodě lokální extrém. Je-li rád sudý a funkční hodnota kladná, má funkce ve stacionárním bodě lokální minimum. Je-li řád sudý a funkční hodnota záporná, má funkce ve stacionárním bodě lokální maximum. V našem případě platí: f"'(x) = 24x, /'"(l) = 24. Protože je hledaný řád derivace Uchý, nemá funkce f(x) v bodě x = 1 lokální extrém. Nyní přejděme k vyšetřování inflexních bodů. Určíme druhou derivaci, nalezneme její nulové body a určíme signum. Z předchozích výpočtů plyne interval (-00,-1) (-1,1) (l,oo) sgn /"(*) + — + Rozhodovací kritérium je jednoduché. Střídá-li druhá derivace na okolí vyšetřovaného nulového bodu znaménko, má funkce f(x) v tomto bodě inflexní bod. Odtud plyne, že funkce f(x) má dva inflexní body, a to i = -1 a x = 1. Rovněž o existenci inflexních bodů lze rozhodnout na základě výpočtu vyšších derivací. Opět počítáme postupně funkční hodnoty vyšších derivací ve vyšetřovaném bodě až do okamžiku, kdy je funkční hodnota derivace nenulová. V případě, že je řád této derivace lichý, má funkce f(x) ve vyšetřovaném bodě inflexní bod. 585. Zjistěte, zda má funkce f(x) = xs - 5x4 + 5x3 - 5 lokální extrém v bodě 0. Řešení: Spočteme první derivaci funkce f(x). Platí f'(x) == 5x4 - 20a:3 + 15x2 = 5x2(x2 - 4x + 3) = 5x2(x - l)(x - 3). První derivaci položíme rovnu nule a určíme stacionární body. Je zřejmé, že bod x = 0 je stacionárním bodem. Musíme tedy vyšetřit signum funkce f'(x) v okolí bodu nula. Platí interval (~oo,0) (0,1) sgn f'{x) + + Odtud plyne, že funkce f(x) nemá v bodě x = 0 lokální extrém. Rozhodněme o lokálním extrému ještě pomocí vyšších derivací. f"(x) = 20x3 - 60x2 + 30x, /"(O) = 0. Ani na základě druhé derivace nelze rozhodnout o existenci extrému. Určíme třetí derivaci. f'"{x) = 60x2 - 120x + 30, /"(O) = 30. Protože rád první vyšší nenulové derivace je lichý, není v bodě x = 0 lokální extrém. Bod x = 0 je inflexním bodem funkce f(x). 75 586. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x) = ln a/x2 + 1 - arctg x. Řešení: Spočteme první derivaci funkce f(x). Platí 111 1 x - 1 • 2x - Vxä+T 2 vx^TT ' x2 + 1 x2 4 ľ První derivaci položíme rovnu nule a určíme stacionární body. f{x)-q & x-i-o m x = i. Protože derivace existuje pro všechna reálná čísla, je bod x = 1 jediným kandidátem na lokální extrém. Určíme signum první derivace. Platí: interval (-oo,l) (l,oo) sgn /'(x) - 4 Odtud plyne, že funkce f(x) má v bodě x = 1 lokální minimum. Pro ilustraci rozhodneme o lokálním extrému ještě pomocí druhé derivace. _ (x2 + l)-(x-l)-2x = -x2 + 2x + l ľ{) = 1 ' W - (X2 + !)2 (x2 4-1)2 ' J V^ 2 Protože je druhá derivace ve stacionárním bodě kladná, plyne odtud, že funkce /(x) má v bodě x = 1 lokální minimum. 587. Nalezněte inflexní body funkce /(x) = e^a. Řešení: Spočteme druhou derivaci funkce /(x). Platí /'(x) = (-2x)-e^2, f\x) = (-2xM-2x)-e-*24(-2)-e-*3 = i-e^ (x2-~) = ^ (x-^(x+^- Druhou derivaci položíme rovnu nule a určíme její nulové body. Kandidáty na inflexní bod jsou body x = ^ax = -^. Určíme signum druhé derivace. Platí interval (-oo, -l/y/2) (-1/^2,1/^2) (l/Aoo) sgn f(x) 4 — 4- Odtud plyne, že funkce f(x) má dva inflexní body x=-^ax = -^. Nyní rozhodneme o existenci inflexních bodů ještě pomocí třetí derivace. /'"(x) = -4x-e-^(2x2-3), ft^t^^ /'"(-^) =-4^ ■ e"^. 76 Protože je třetí derivace ve vyšetřovaných bodech různá od nuly, plyne odtud, že body i = -^ai=^ Jsou inflexní body. 588. Vyšetřete, na kterých intervalech je daná funkce f(x) konvexní, případně konkávni a nalezněte její inflexní body. /(*) = ln(x2 + 1). Řešení: Spočteme druhou derivaci funkce f(x). Platí 2x x2 + l 2-2x2 _ 2(l-x)(l + x) (1 + X2)2 ~ (1 + X2)2 Druhou derivaci položíme rovnu nule a určíme její nulové body. Kandidáty na inflexní bod jsou body x = -1 a x = 1. Určíme signum druhé derivace. Platí: interval (-oo,-l) (-1,1) (l,co) sgn f"(x) - + - Odtud plyne, že funkce f(x) je na intervalu (-1,1) konvexní a na intervalech (-co, -1), (Leo) konkávni. Dále funkce f(x) má inflexní body x = -1 a x = 1. 589. Určete, na kterých intervalech je funkce /(ar) pro x e (- J, J) konvexní, případně konkávni. Určete inflexní body této funkce. /(x) = esma\ Řešení: Spočteme druhou derivaci funkce f(x). Platí f'(x) = cosx ■ esinx, f"(x) = esinx ■ (cos2 x - sin x). Druhou derivaci položíme rovnu nule a určíme její nulové body. Řešíme rovnici cos2 x - sin x = O, sin2 x + sinx - 1 = 0. Zavedením substituce y = sinx získáváme kvadratickou rovnici y2 + y - 1 =0. Odtud y = ^— Druhý kořen nevyhovuje, protože |sinx{ < L Existuje tedy jediné řešení rovnice na intervalu (-^, f )■ Kandidátem na inflexní bod je bod xo = aresin Určíme signum druhé derivace. Platí interval (-77/2, m) (xo, 7r/2} sgn f"(x) + 77 Odtud plyne, že funkce f(x) je na intervalu (^f, arcsin konvexní a na in- tervalu (arcsin |) konkávni. Funkce f(x) má inflexní bod x = arcsin Nyní rozhodneme o existenci inflexního bodu pomocí třetí derivace. f"'(x) = esínx ■ cosx ■ (cos2 x - 3sinx - 1). Protože je třetí derivace ve vyšetřovaném bodě x0 různá od nuly, plyne odtud, že xq je inflexní bod. 590. Nalezněte globální extrémy funkce f(x) na intervalu {0,2tt). f(x) = 2sinx(l + cosx). Řešení: Nejprve určíme lokální extrémy. Spočteme první derivaci funkce /(x). Platí f(x) = 2cosx + 2cos2x. První derivaci položíme rovnu nule a určíme stacionární body. To znamená vyřešit goniometrickou rovnici 2 cosx + 2 cos 2x — 0. Platí cosx + cos2x = 0, cos x + cos2 x - sin2 x = 0, cosx + cos2 x - (1 - cos2 x) = 0, 2 cos2 x + cos x — 1 =0. Nyní zavedeme substituci y = cos x a řešíme kvadratickou rovnici 2y2 + y - 1 = 0. -li v71 -4-2(-l) -1±3 IM =-4--' " ~~ 4 ' Odtud plyne yl = -1 &y2 = ~. Nyní je ještě třeba vyřešit následující dvě rovnice: 1 cosx = — 1, cosx = -. Snadno zjistíme, že na intervalu (0,2tt) existuje jediné řešení rovnice cosx = -1, a to x - 7T. Druhá rovnice má na (0,2tt) dvě řešení, atoi=|ai = y. Na intervalu (0,27r) jsme nalezli tři stacionární body. Protože derivace existuje pro všechna reálná Čísla, jsou tyto body jedinými kandidáty na lokální extrém. Určíme signum první derivace. Platí interval (0,tt/3) (7r/3,7T) KW3) (57r/3,27r) sgn /'(x) + — — -1- 78 Odtud plyne, že funkce /(x) nemá v bodě x = ir lokální extrém. V bodě x as £ nastává lokální maximum, zatímco v bodě x = *|P nastává lokální minimum. Globální extrém může nastat buď v krajních bodech intervalu {0,2tt), nebo v bodech lokálních extrémů. Nyní spočteme potřebné funkční hodnoty. Platí: r. 3v3 ,/5x. — 3v3 „, . /(0) = 0, /(-) = — /(_) = __, /(2jr)=0. Největší hodnota funkce /(x) na intervalu (0,27r) je 3-rp a nejmenší ~3^. 591. Vojenská loď kotví 9 km od nejbližšího místa břehu. Z lodi je zapotřebí vyslat rychlého posla do tábora, ležícího 15 km od místa na břehu, k němuž má loďnejblíž. Ke břehu posel vesluje na loďce rychlostí maximálně 4 km/h, po pobřeží se může pohybovat maximálně 5 km/h. Na kterém místě pobřeží musí posel přistát, aby se dostal do tábora co nejdříve? Jak dlouho mu to bude trvat? Řešení: Symbolem x označme vzdálenost přistání loďky od tábora. Zřejmě platí 0 < x < 15. Sestavíme funkci t(x) závislosti času na poloze přistání. Ze známého fyzikálního vztahu ř = ^, který vyjadřuje závislost času na dráze a rychlosti a z Pythagorovy věty plyne: První sčítanec vyjadřuje dobu, kterou posel vesluje na loďce, zatímco druhý sčítanec vyjadřuje dobu po kterou se bude posel pohybovat po souši. Nyní je zapotřebí nalézt minimum funkce í(x). Určíme první derivaci 1 1 2(15-*)(-!) 1 4 2 ^(15 - x)2 + 92 5 Položíme ř'(x) = 0 a spočteme stacionární body. Platí 5 • 2(15 - x)(-l) = -4 ■ 2^/(15-x)2 + 92, 5(15 - x) = 4v/(15 - x)2 +92, (15 -x)2 = 144, x = 3. Nalezli jsme jediný stacionární bod x = 3. Nyní prověříme, zda má funkce t(x) v tomto bodě lokální extrém. Spočteme druhou derivaci a provedeme její úpravu. m 81 4v/((l5-x)2 + 81)3' Nyní spočteme hodnotu druhé derivace ve stacionárním bodu. Platí 97 ť(3) = > 0. v ; 5000 79 Odtud plyne, že v bodě i^3má funkce t(x) lokální minimum. Dále určíme čas, který posel potřebuje k tomu, aby dorazil do tábora v co nejkratším čase. tf%\ Ví15 ' 3)2 + 92 , 3 - 435 _ 4 35 ť(3> =-4-+ 5 " Toč " 4'35' Posel musí přistát 3 km od tábora a cesta mu bude trvat 4,35 h. 592. Náklady na palivo pro provoz parníku jsou přímo úměrné třetí mocnině jeho rychlosti. Při rychlosti 10 km/h jsou výdaje za palivo 30 Kč/h. Ostatní výdaje na provoz, které nejsou závislé na rychlosti, jsou 480 KČ/h. Při jaké rychlosti parníku bude celková výše nákladů na 1 km cesty nej menší? Jaká bude přitom tato celková výše nákladů za 1 hodinu? Řešení; Nechť x označuje rychlost parníku. Sestavme funkci f(x) závislosti nákladů na rychlosti parníku najeden kilometr cesty. Za 1 hodinu ujede parník x kilometrů. Na těchto x kilometrů činí náklady za palivo fcx3 Kč, kde k je konstanta úměrnosti a 480 Kč na ostatní výdaje. Platí tedy , , Jtx3 480 / x--+-- X X Dále spočteme konstantu úměrnosti k. Protože při x = 10 km/h jsou náklady na palivo 30 Kč/h platí 30 = k ■ 103. Odtud plyne, že k - 0,03. Tedy 3 2 480 W = + - Nyní nalezneme minimum funkce f{x) na (0,oo). Určíme první derivaci: _6_ _ 480 _ 6(x3 - 8000) *W~WQX~ x2 " 100x2 Položíme /'(x) = 0 a spočteme stacionární body. Nalezneme x — 20. Snadno ověříme, že v tomto bodě nastává lokální minimum. Konečně /(20) = 36. Za 1 hodinu však parník urazí 20 km, a tedy náklady na jednu hodinu jsou 36 ■ 20 = 720 Kč. Celková výše nákladů na 1 km bude nej menší při rychlosti 20 km/h a bude činit 720 Kč/h. 593. Nalezněte asymptoty funkce 3 f(x) = 3x + x - 2' Řešení: Nejprve vyšetříme asymptoty bez směrnice. Definiční obor funkce f(x) je roven R- {2}, Odtud plyne, že jediný bod x0, ve kterém funkce může mít nevlastní limitu, je bod xo — 2. Platí lim f 3x H--— ) = lim 3x - lim 3 „ = 6 + 3.- 00 = 00. V x - 2 / S-+2+ sc-t-2+ x - 2 SO Podobné zjistíme, že lim f 3x H--— | = Hm 3x + lim —3—- = 6 + 3 • (-00) = -00. í^2- V x — 2 J i-»2- x-t-2- x ~ 2 Protože existuje aspoň jedna nevlastní jednostranná limita v bodě x0 = 2 je přímka x = 2 asymptotou bez smernice. Nyní vyšetříme asymptoty se směrnicí y = ax + 6. a = lim - Hm (3 + , 3 =3+ lim 3 =3 + 0 = 3. s-voo x x^oo \ x{X — 2) / íb-km x(x — 2) o = lim f/(x) - 01) - lim f 3x H--^— - 3x ) - lim —= 0. x-t-oa y x — 2 / 1-+00 x — 2 Přímka y = 3x je asymptotou se směrnicí pro x 00. Analogicky spočteme limity pro x -* -00. Opět vychází y — 3x. Přímka y — 3x je dvojnásobnou asymptotou se směrnicí. 594. Nalezněte asymptoty funkce (x - l)3 (x + l)5 Řešení: Nejprve vyšetříme asymptoty bez směrnice. Definiční obor funkce f(x) je roven iž - { — 1}. Odtud plyne, že jediný bod xq, ve kterém funkce může mít nevlastní limitu, je bod Xo = — 1. Platí lim 5f—1L = lim (x - 1)3 . lim -—= -8 ■ 00 = -00. Podobně zjistíme, že (x - \)3 1 lim j-= lim (x - l)3 • lim ---r* = -8 ■ 00 = -oc. x.-y-i- (x +1)2 x-f-i- (x + \y Protože existuje aspoň jedna nevlastní jednostranná limita v bodě xQ = —1, je přímka x = — 1 asymptotou bez směrnice. Nyní vyšetříme asymptoty se směrnicí y = ax + b. lim (f *\32 = 1, 6 = lim (/(x)-ax) = lim ffe~Í| - y /(*) a = lim - x—kxi a; a:—tca X x3 - 3x2 + 3x - 1 - x3 - 2x2 - x -5x2 + 2x - 1 = "m ~--/ , ^9-~ lim —7—n^š— = -*>• x-*oo (x + iy z->oo (x + 1)^ Přímka y = x — 5 je asymptotou se směrnicí pro x -+ 00. Snadno je vidět, že tytéž limity vychází pro x ->■ —00. Jediná asymptota se směrnicí je y — x - 5. 81 595. Vyšetřete průběh funkce /(ar) = x4 - 2x2 + 2. Řešení: L Pro definiční obor platí Df = R. Dále /(-as) = (-ar)4 - 2(-x)2 + 2 = ar4 - 2x2 + 2 = /(x). Odtud plyne, že zadaná funkce je sudá. Dále platí, že f(x) je spojitá na R. Opravou funkčního předpisu x4 - 2ar2 + 2 = (x2 - l)2 + 1 > 0 zjistíme, že rovnice /(ar) = 0 nemá řešení v R. Funkce /(ar) je tedy stále kladná a nemá nulové body. II. Spočteme první derivaci funkce /(ar). Platí /'(x) = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) = 4x(x - l)(x + 1). Určíme nulové body první derivace. Rovnice f'(x) = 0 má tři řešení x = — 1, x — G a x = 1. Můžeme určit signum první derivace. interval (-oo,-l) (-1,0) (0,1) (1,00) sgn f'(x) - + — Zjistili jsme, že funkce f(x) je na intervalech (—oo, — 1), (0,1) klesající a na intervalech ( — 1,0), (1, oo) rostoucí. V bodě x = 0 má funkce lokální extrém, a to lokální maximum. Platí /(O) — 2. V bodech x = -lax = l nabývá funkce lokálních minim a platí /(-l) = /(l) = 1. II. Spočteme druhou derivaci. Platí f"(x) = 12x2 - 4 - 12(x2 - h = 12(x - 4=)( V5' Nalezneme nulové body druhé derivace. Řešením rovnice f"(x) = 0 získáváme x = -^j~ —0,58 ax = ^= «0,58. Určíme signum druhé derivace. interval (-00.-1/V5) (-1/73,1/y/Z) (l/V^oo) sgn /"(x) + — + Odtud plyne, že funkce je na intervalech (-oo, — 4j-), (^, co) konvexní a na intervalu {-^j ^7g) konkávni. Funkce má dva inflexní body, a to a Dále platí /Hs>=/(;*)*i.«- IV. Asymptoty bez směrnice neexistují, neboť pro každé xq € R platí lim /(x) = f(x0). Dále vyšetřeme asymptoty se směrnicí pro x -» oo a x -> -oo. Snadno zjistíme, že a = lim = lim X-tOO x t-voo x4 - 2x2 + 2 , lim 4x(x2 — 1) = 4 • oo ■ (oo - 1) = oo, a = lim -— = lim -= lim Axix2 -1) = -4co -(oo- 1) = -oo. Odtud plyne, že funkce j(x) asymptoty se směrnicí nemá. V. Provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. y 596. Vyšetřete průběh funkce f(x) =x4- 2x3. Řešení: 1. Pro definiční obor platí Df = R. Protože f(-x) = (-x)4 - 2(-x)3 = x4 + 2x3, plyne odtud, že f(x) není ani sudá, ani lichá. Řešením rovnice f(x) = x3{x- 2) = 0 dostáváme, že existují dva nulové body x = 0 a x = 2. Určíme signum funkce /(&')• interval (-oo,0) (0,2) (2,oo) . sgn f(x) + - + II. Spočteme první derivaci funkce f(x). Platí f'{x) = 4x3 - 6x2 = 2x2(2x - 3). Určíme nulové body první derivace. Rovnice f'(x) = 0 má dvě řešení x = 0 a x = |. Můžeme určit signum první derivace. interval (-oo,0) (0,3/2) (3/2,oo) sgn f{x) — + 83 Zjistili jsme, že funkce f(x) je na intervalech (—00, 0), (0, §) klesající a na intervalu (|,oo) rostoucí. V bodě x — | má funkce lokální extrém, a to lokální minimum. Platí /(§) = —H ^ —1,68. V bodě x = 0 lokální extrém není a /(O) = 0. II. Spočteme druhou derivaci. Platí f"(x) = 12x2 - 12x = 12x(x - 1). Nalezneme nulové body druhé derivace. Řešením rovnice f"(x) - 0 získáváme x = 0 a x = 1. Určíme signum druhé derivace. interval (-oo,0) (o, i) (l,oo) sgn f"(x) + - + Odtud plyne, že funkce je na intervalech {-00,0), (l,oo) konvexní a na intervalu (0,1) konkávni. Funkce má dva inflexní body, atox = 0ax = 1. Dále platí /(0) = 0a/(l) = -l. IV. Podobně, jako v předchozím příkladě, polynom /(x) nemá asymptoty bez směrnice ani se směrnicí. Vyšetřeme chování funkce /(x) pro nooai-} -00. Platí lim x4 - 2x3 = lim x3(x - 2) = 00(00 - 2) = 00. x —► oo x —kx1 lim x4 — 2x3 = lim x3(x - 2) = -oo(-co - 2) = 00. x—¥ — 00 x—^ — oo V. Nyní provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. 1 •v v 0 1 I212 * i f- / x 27 16" 597. Vyšetřete průběh funkce /(x) = x2 + -. X Řešení: I. Pro definiční obor platí Df - R - {0}. Protože /(-x) = (-x)2 + ~ = x2- §, plyne odtud, že f(x) není ani sudá, ani lichá. Funkce může střídat znaménko 84 buď v nulových bodech, nebo v bodech, kde není definována. Řešením rovnice f(x) = 0 dostáváme, že jediný nulový bod je bod x = ^2 = -\/2. Nyní již můžeme určit signum funkce /(x). interval {-oo,-\V2) (-^2,0) (0,oo) sgn /(x) + — + II. Spočteme první derivaci funkce f(x). Platí Určíme nulové body první derivace a body, v nichž není první derivace definována. Rovnice f'(x) = 0 má jediné řešení x = 1. Můžeme určit signum první derivace. interval (-oo,0) (0,1) (l,oo) sgn /'(x) - — + Zjistili jsme, že funkce /(x) je na intervalech (-oo, 0), (0,1) klesající a na intervalu (1, oo) rostoucí. V bodě x0 = 1 má funkce lokální extrém, a to lokální minimum. Platí /(l) = 3. III. Spočteme druhou derivaci. Platí X'" ,r- Nalezneme nulové body druhé derivace a body, v nichž není druhá derivace definována. Řešením rovnice f'(x) = 0 získáváme x = -y/2. Určíme signum druhé derivace. interval (-^2,0) (0,oo) sgn f"(x) + - + Odtud plyne, že funkce je na intervalech (-oo, - v^), (0, oo) konvexní a na intervalu (-v^,0) konkávni. Funkce má jediný inflexní bod, a to - v^- Rovněž v bodě 0 střídá druhá derivace znaménko. Bod 0 však není inflexní m bodem funkce f{x) neboť 0$Df. Dále platí f(-$2) = 0 a /(l) - 3. IV. Nejprve vyšetříme asymptoty bez směrnice. Jediným kandidátem na asymptotu bez směrnice je přímka x = 0. Vyšetříme příslušné limity. 2 2 lim i" + - — 0 - oo = -oo, x->o- x lim x2 + - = 0 + oo = oo. Odtud plyne, že přímka x = 0 je asymptota bez směrnice. Dále vyšetřeme asymptoty se směrnicí prox->ooax-í--oo. Snadno zjistíme, že /(x) 2 a - lim--= lim x + — = oo, x —♦ oo x x—>■ — oo x Odtud plyne, že funkce f(x) asymptoty se směrnicí nemá. v /(*) .. - 2 a — hm —^ = hm x + = -oo. -oo 85 V. Provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. \ 'i 1 / \ J \ 0 1 'l X 598. Vyšetřete průběh funkce Reš ení: I. Definiční obor je roven množině D f = R - {0}. Protože f (—x) = e plyne odtud, že f (x) není ani sudá, ani lichá. Funkce je stále kladná a nemá nulové body. interval (-oo,0) (0,co) sgn f(x) + + II. Spočteme první derivaci funkce f (x). Platí II 11 / (x) = e*(-l)-2 =-- x x1 Nulové body první derivace neexistují. První derivace je stálé záporná a není definována v bodě i = 0a platí lim f'(x) = 0. z->e- interval (-oo,0) (0,co) sgn f'(x) — - Odtud plyne, že funkce /(x) je klesající na celém definičním oboru. Lokální extrémy funkce f(x) nemá. III. Spočteme druhou derivaci. Platí /"{x) = (~l)(-2)i^ - ieí(-1)-i = le,(2x + 1). Nalezneme nulové body druhé derivace a body, v nichž není druhá derivace definována. Řešením rovnice f"(x) = 0 získáváme x = -\. Určíme signum druhé derivace. interval (-00,-1/2) (-1/2,0) (0, co) sgn f"(x) — + + Odtud plyne, že funkce je na intervalech 0), (0, co) konvexní a na intervalu (-co, -\) konkávni. Funkce má jediný inflexní bod, a to - \. Dále platí f{-\) « 0,13a/(-l)«0,36. IV. Nejprve vyšetříme asymptoty bez směrnice. Jediným kandidátem na asymptotu bez směrnice je přímka x = 0. Vyšetříme příslušné limity. i i hm ex = e 00 = 0, lim ex = e°° = co. x >() x-vQ+ Odtud plyne, že přímka x = 0 je asymptota bez směrnice. Dále vyšetřeme asymptotu se směrnicí y — ax + b pro x —> co. i fix) ex 1 i a = lim--= lim — — lim - ■ lim ei = 0 • 1 = 0. X—řoo X x—>oo x x—)-oo x x—ioo b = lim (/(x) — ax) — lim ex = e° = 1. X—KX> x—too Přímka y = 1 je asymptotou se směrnicí pro x -+ co. Analogicky vyšetříme případ asymptoty pro x -co. Opět vyjde přímka y = 1. Přímka y = 1 je tedy dvojnásobnou asymptotou se směrnicí. V. Provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. y i i 2 0 'i X 8? 599. Vyšetřete průběh funkce f(x)=x2-2~*. Řešení: L D f = R. Protože x2 > 0 a 2~x > 0 platí H f C (0, oo). Funkce f (x) je tedy nezáporná a spojitá na R. Dále f {-x) = (-x)22~(_:e) = x22x. Odtud plyne, že funkce f (x) není ani sudá, ani lichá. Určíme nulové body funkce f (x). Je zřejmé, že existuje jediný nulový bod f [x), a to Xq — 0. Platí interval (-oo,0) (0,oo) sgn f (x) + + II. Spočteme první derivaci. Platí f{x) = 2x - 2~x + x2 ■ ln2 • 2_:e(-l) = - ln2 - x ■ 2~x(x - —). Řešením rovnice f {x) = 0 získáme dva stacionárni body xi = 0 a x2 = ]^ ~ 2, 88. Určíme signum první derivace. interval (-oo,0) (0,2/ln 2) (2/ ln2,oo) sgn f {x) - + - Odtud plyne, že funkce f (x) je na intervalech (-oo,0) a (^,00) klesající a na intervalu (0, A) rostoucí. V bodě 0 je lokálni minimum a /(O) = 0. V bodě ^ je lokálni maximum a /(]~) ~ 1,13. III. Určíme druhou derivaci. Platí /"(x) = (-l)ln2-2-x(2x-ln2-x2) + 2-a!(2-21n2-x) = 2-x(ln22x2-41n2x + 2). Nalezneme řešení rovnice f" (x) = 0. To znamená vyřešit kvadratickou rovnici ln2 2 - x2 — 4 in 2 ■ x + 2 = 0. Snadno se vidí, že tato rovnice má dvě řešení 41n2± \/l61n22-4-ln22-2 _ 2 ± y/2 Xl'2 ~ ' 2~h72 " Platí ~ 0,84 a ^±4^ ^ 4,92. Nyní můžeme určit signum druhé derivace. interval ( 00 2~^) y In 2 ' In 2 J \ In 2 sgn f"{x) + + Odtud plyne, že funkce je na intervalech (-00, 2j^), (^^, 00) konvexní a na intervalu f2^, konkávni. Funkce má dva inflexní body, a to 2f^, 21^2. Dále platí /(^) * 0,4 a f(^) 0, 8. 88 IV. Asymptoty bez směrnice funkce /(x) nemá. Vyšetřeme asymptotu se směrnicí y = ax + 6 pro x —> co. a = lim = lim x * 2~x = lim ~ = lim -—--= — = 0. i—>oo x x—i-oo x-*oo 21 a:-*oo ln 2 ■ 1X oo 2x 2 b = lim (/(x) - ax) = lim x2 ■ 2_I = lim , „ ň = lim —=— x-Hxy ' x-t-oo i-+oo ln2 ■ 2X z-K» \n2 2 ■ 00 = — = 0. Přímka y = 0 je asymptotou se směrnicí pro x —>■ oo. Dále vyšetříme případ asymptoty y = ax + b pro x —$ -oo. Platí fíx) a = lim — lim x • 2~x = lim x ■ lim 2 x = (-00) ■ (-00) = 00. x—¥~ oa x x~*~-ao x—* — co x—y—oo Odtud plyne, že funkce /(x) pro x —i -00 asymptotu se směrnicí nemá. V. Provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. In 2 ln 2 89 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Nalezněte lokální extrémy následujících funkcí: 600. /(x) = 4x3 - 3x2 - 36x - 5. 601. f(x) = 4x3 - 18x2 + 27x - 7. 10 x2 — 3x -j- 2 M2- /(l> = 4x3-9^+6x- 6°3' /W = ?T27T3- 604. m~Y + & °<* /W-£r 606. /(x) = e-* sinx. 607. /(x) = 4x + tg x. 608. /(x) = y/6x - x2. 609. /(x) = y^x3 + 3x2 - 36x. 1 2 Určete intervaly, na nichž je daná funkce rostoucí, případně klesající: 610. /(x) =ln(l+x-4x2). 611. /(x) = arctg x - - ln(x2 + 1). 612. /(x) = ~. 613. /(x) = 2 . 2x 2X" x2 + 1 614. /(x) = x + sinx. 615. /(x) = ln y/l+x2. x — 3 616. / 0 pro každou hodnotu parametru ť € R, plyne odtud, že funkce x(í) je rostoucí na R. Každá rostoucí funkce je prostá a k prosté funkci existuje funkce inverzní. Parametrickými rovnicemi je tedy zadána funkce. 670. Nalezněte první, druhou a třetí derivaci funkce dané parametricky x{t) = e*, y(ť) = arcsinŕ, ŕ 6 (-1,1). Řešení: První derivaci určíme podle vzorce x'(t) Je zřejmé, že pro derivace x'(t) a y'(t) piati: x'(t) = é a y'(t) = —n 1 ^. Odtud Druhou derivaci určíme podle vzorce y"(t)x'(t) - y'{t)x"{t) (x'(t)Y Protože pro druhé derivace platí x"(í) = e* a y"(ť) — . * . dostáváme, že V(l - x2)3 í2 + i-l /"(x(t)) = e2V(l -í2)3 Třetí derivaci určíme podle vzorce y"'(t)(x'(t))2 - Zy"{t)x"{i)x'{t) + 3y'(t)(x"(ŕ))2 - y1 (t)x'(t)x"> (t) r'(*(0) (x'(r))= Protože pro třetí derivace platí x"'(t) = eŕ a y"'(t) — J-x ^~\=, plyne odtud, v(i - x2)s *tin «™ 2ť4 + 3í3 - 2ť2 - 3í + 3 / (xír)) - -. -. 671. Určete rovnici tečny k elipse zadané parametrickými rovnicemi x(t) = 3cosx, y(t) = 5sinx, í Ě {0, 27r) v bodě odpovídajícím hodnotě parametru ťo = ^. Řešení: Připomeňme, že rovnice tečny ke grafu funkce y = f (x) v bodě Xq je V ~ Vo = f'(xQ){x - Xq). Hodnotě parametru ro odpovídá bod A = [x{rrj), y(ťo)] = [zfbí/o]- Platí , 3\/2 ... _ , , , .7T 7T. 3^/^ x0 = x(tQ) = x(ŕ) = -3sinŕ, x (-) = -3sin(-) =--—. Vo = íř(to) = -g-, y(ŕ) = 5cosí, y (-) = 5cos(-) = —. Nyní již můžeme určit hodnotu derivace /'(x0). Platí Z Rovnice tečny k zadané elipse v bodě A = [^y^, ^p] tedy je t: I0x + 6y - S0V2 = 0. 672. Určete rovnici tečny ke křivce zadané parametrickými rovnicemi 9ŕ ť v bodě odpovídajícím hodnotě parametru írj = 2. 93 Řešení: Budeme postupovat jinak, než v předchozím příkladu. Připomeňme, že rovnice tečny ke křivce dané parametrickými rovnicemi x — x(t), y — y(t) v bodě odpovídající hodnotě parametru i0, tj. v bodě A - \x(t0), y(t0)] je í : y'(t0){x - x(t„)) - x'{t0){y - y(t0)) = 0. Analogicky pro rovnici normály platí n ■ x'(í0)(x - x(t0)) + y'(t0){y - y(t0)) = 0. Spočteme tedy potřebné derivace a funkční hodnoty. Platí x(2) = 6, řř(ř) = _í_, x'(2) = l, Dosazením do uvedených rovnic a po krátké úpravě získáváme ŕ: x + 2j/-8 = 0, n : 2x - y - 11 = 0. 673. Zjistěte, zda je parametrickými rovnicemi x(r) = í - siní, y(t) = 1 - cos t, t € R. zadána nějaká funkce y = /(x). V kladném případě určete její první a druhou derivaci. Dále určete rovnici tečny k příslušné křivce v bodě odpovídajícím hodnotě parametru Íq = -k. Řešení: Protože x'(r) = 1 - cos ŕ > 0 pro každou hodnotu parametru ť € R, plyne odtud, že funkce x(í) je rostoucí na R. K funkci x(ť) tedy existuje funkce inverzní, tu však v našem případě nelze najít ve tvaru elementární funkce. Nyní určíme první a druhou derivaci. Platí . y'(t) sint - y"(t)x'{t)-y'{t)x"(t) (1 - cos ŕ) cos ŕ-srn2 ŕ /("(í))^ (xW-=-(1-cosí)3 -'ť^2fc- Hodnotě parametru to = ir odpovídá bod [ir, 2], Protože /'(tt) = 0, plyne odtud, že rovnice tečny je tvaru y - 2 = 0. 674. Určete asymptoty funkce dané parametrickými rovnicemi I(i) = ;é? *«>=«««.«e(-s.f>- 94 Řešení: Pro ŕ —> ±| je limx(t) = lim(l/ cosť) = co. Dále je lim ^~ = lim siní = ±1, zatímco lim (y(t) - x(t)) = lim (tg x--—-) = lim = 0. t-s-f cosi cosť Podobně je ítea. (y(ť) + x(t)) = lim (tg x + JL) = m ^-tl = 0. t->-y t->-f COS t cosi Daná křivka (hyperbola) má dvě asymptoty y — — x a y ~ x. 675. Vyšetřete průběh funkce dané parametrickými rovnicemi 0 t *(0 = jry, v(t) ~ ť e Jí - {-1,1}- Řešení: Parametrické rovnice definují y jako spojitou funkci proměnné x na těch intervalech, na nichž je funkce x(t) ryze monotónní. Funkce x(t) je spojitá na intervalech (—co, 1), (l,oo). Derivace t(t - 2) existuje na celém definičním oboru funkce x(t). Nulové body derivace jsou í = 0 a t = 2. Vyšetřeme signum derivace x'(t). Platí interval (-oo,0) (0,1) (1,2) (2, co) sgn x'{t) 4- — - + Na intervalech uvedených v tabulce je funkce x(t) ryze monotónní, V bodě ť = 0 má funkce x(í) lokální maximum a v bodě t = 2 má lokální minimum. Funkce y(t) je spojitá na intervalech (—co, —1), (—1,1), (1, oo). Parametrické rovnice tedy definují celkem pět funkcí fj (x), f2(x), fs(x)t fíix), /s(x) proměnné x, které jsou dány na těchto intervalech: /i(x) na (—co, -1), /2(x) na (-1,0), fs(x) na (0,1), }a{x) na (1, 2) a f${x) na (2,oo). Pro každou z těchto funkcí na příslušném intervalu platí /Í<*W) = í2 + l ť(ŕ + l)2(ŕ - 2)' Funkce x(r) zobrazuje interval (—co, -1) na interval (—co, —\). Funkce /i(x) klesá od 0 do —co, neboť /í(x(ť)) < 0 a platí lim -=—-t-*-oo V — 1 = 0, lim -jr-t-^-i- ř2 - 1 = —oo. 95 Analogicky x (ť) zobrazuje interval (-1,0) na interval (-§,0). Funkce /2(x) klesá od oo k 0, neboť na tomto intervalu platí f2(x[t)) < 0 a lim jJ-T = oo, lini tj^-T = °- Dále x(t) zobrazuje interval (0,1} na interval (-oo,0). Funkce /3{x) roste od -oo do 0, neboť na tomto intervalu platí f^(x(t)) > 0 a lim —r——- = -oo, lim 2 1 = 0. t-4l- í2 - 1 (-40+ ŕ2 - 1 Interval (1,2) se funkcí x(t) zobrazuje na interval (4, oo), přičemž Ji(x(t)) > 0. Funkce U{x) roste od | do oo, neboť hm -z—- - oo, hm -—- - -• + t2 - 1 *r*a- t - 1 3 Konečně interval (2, oo) se funkcí x(ŕ) zobrazí na (4,co), přičemž /g(x(t)) < 0. Funkce /s(x) klesá od | do 0, neboť hm „ * , = %, hm —-- — 0. t_>2+ ŕ2 - 1 3 *-»oo ŕ2 - 1 Nyní určíme druhou derivaci. Pro každou z funkcí /;(x(ť)) na příslušném intervalu platí _ 2(ŕ-l)3(*3 + 3í + l) h { ŕ3(ŕ + l)3(ť-2)3 ' Podrobným vyšetřením druhé derivace zjistíme, že polynom ŕ3 + 3í + 1 střídá na intervalu ( — 1,0) znaménko, a tedy má na intervalu nulový bod. V tomto bodě má funkce /3 inflexní bod. Zbývá určit asymptoty. Funkce /i a f2 mají v bodě x = ~\ asymptotu x = — \- Vyšetřeme dále asymptoty pro x —>■ -00 a x —> 00. Platí fM , ié=i t t-i v 1 a = lim = hm ^ = hm -—- • —5- = t hm , = 0, x t->-oo -11- ř—*-oo ~ 1 t* t-ŕ-ooŕ(í + l) ŕ— 1 ŕ) — lim /i(x) - ax = lim -z—- = 0. Osa y = 0 je asymptotou se směrnicí funkce /i(x) pro x —> -oc. Analogicky vypočteme a = lim - = lim —-r = -, x ť-n~ í(ť + 1) 2 f z \ x / t t2 \ -í3 -12 + 2t 3 b = lim /3(x) — - = hm I -r---—--— = hm —. „ ■■—r— — —- a_+_00-'^ 1 2 t^i-\í2-l 2(t — 1)/ t-*l~ 2(t2 - 1) 4 Přímka y = |x - | je asymptotou se směrnicí funkce /3(x) pro x —ř- -00. Dále 96 a4 = lim ----- = lim x->-oo x t->l+í(í+l) 2' , , s x ř2 + 2ř 3 o = lim /dfx)--= - lim —-- - —, *-»£»■'4v 7 2 t-*i+ 2(í + 1) 4 Přímka y = \x — | je asymptotou se směrnicí funkce /^x) pro x —» co. Konečně »5 --- lim = lim ———- = 0, Z-řOO x (->oo í(í + l) b5 = lim /5(x) = lim ~ = 0. X-VOO É-»00 íJ — 1 Osa i/ = 0 je asymptotou se směrnicí funkce /s(x) pro x —^ co. Další asymptoty neexistují. Zbývá zkompletovat získané informace a nakreslit obrázek. 97 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY 676. Řada křivek získala svůj vlastní název, který často vystihuje její tvar nebo charakter. Mezi tyto křivky patří například cykloida, kardioida, asteroida, lemni-skata, Archimedova spirála, logaritmická spirála a hyperbolická spirála. Napište parametrické rovnice těchto známých křivek a nakreslete jejich grafy. V následující skupině úíoh spočtěte derivaci funkce dané parametricky: 677. x(ť) = ^, y(t)=^~. 678. x(ŕ) = 4ŕ + ŕ2, y(t) = t3 +1. 679. x{t) = a cos31, y(t) - asin3í. 680. x{t) = e2ťcos2r, y(t) = e2tsin2 i. Spočtěte první, druhou a třetí derivaci funkce dané parametricky: 681. x{t) = lni, y(r) = sin2(. 682. x{í) = e_ŕ cosr, y(t) = e_í siní, 683. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce dané parametrickými rovnicemi x(t) = í2 - 4í + 4, y (í) = t2 - 3í + 2 v bodě A = [1,0]. 684. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce dané parametrickými rovnicemi x(t) = a(t - sin ŕ), y (t) = a(l - cosi) pro ŕ = 4p Nalezněte inflexní body funkce dané parametricky: 685. x(t) = sinť, y(t) = et. 686. x{t) = 3i + ŕ3, y(t) = t2. 687. Zjistěte, pro jaká a, b je bod A = [1,4] inflexním bodem funkce dané parametrickými rovnicemi x(t) = bt2, y(t) = at + t3 pro í > 0. Nalezněte asymptoty křivky dané parametrickými rovnicemi: 688. x{ť) = —, m = ~J- 689,x(ť) = T^, y(t) Vyšetřete průběh křivky zadané parametrickými rovnicemi: 692. x{t)=~, y(t) = t\nt. 693. x(t) = té, y(t) = te~t. 694. x{t) = cos4ť, i/(í) = sin4r. 695. x(ř) = 2ť - í2, y(t) = 3í - ŕ3. 3aí2 1 + í3' 3í2 1 + r3' 98 III. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 1. NEURČITÝ INTEGRÁL Následující kapitola obsahuje příklady na výpočet neurčitých integrálů. V úvodní části se budeme zabývat přímou integrací, při které používáme znalosti základních integračních vzorců a různých algebraických úprav. V další části kapitoly uvedeme úlohy na substituční metodu a metodu per partes. Dále budou následovat úlohy na integraci racionálně lomených funkcí. Konečně ukážeme, že na výpočet integrálu z racionálně lomené funkce lze převést celou řadu speciálních typů integrálů. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 696, Pomocí přímé integrace řešte integrál Řešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti hned několika základních integračních vzorců. Především je nutno vědět, že platí J (f(x)±g(x))dx = j f(x) dx±J g(x) dx. V našem případě je tedy nutné rozdělit výpočet zadaného integrálu na výpočet tří integrálů. Platí J (x3 - 2X + -j-)dx = J x3 dx - J 2X dx + J ~ dx. K vyřešení těchto tří dílčích integrálů je zapotřebí znalosti následujících integračních vzorců xn dx — n + -^ + ci Pro n é -1> / dx = ln |x| + c, /ax dx ■= --h c, speciálně pak / ea dx = ex 4- c. lna J Odtud plyne 99 697. Pomocí přímé integrace řešte integrál j (lOsinx — 5cosx)dx. Řešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti následujících vzorců. j c ■ f (x) dx = c J /(x) dx, J sinx dx = -cosx + c, J cos x dx = sin x + c. Z uvedených integračních vzorcu ihned plyne j (lOsinx - 5cosx)dx = j lOsinxdx- Jbcosx dx = = 10^sinx dx - 5 jcosx dx s -lOcosx - 5sinx + c. 698. Pomocí přímé integrace řešte integrál / f—V~ + —ť- + 7)dx. j vcos-'x Éjxrx t Řešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti následujících integračních vzorců. f dx = x + c, f 1 = tg x + c, / —\—dx = -cotg x + c. J J cos2 x j sm2 x Z uvedených vzorců ihned plyne Í ("ZZä Z + ~2~+7) dx = Í~~T~ dx+ Í Ti— dx+ /7dx = tgx-cotgx+7x+c. 7 Vcos^x sm .x / y cos2 x J gin2 x / 699. Pomocí přímé integrace řešte integrál / (vf~p + ľTx^)dx' Rešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti integračních vzorců f dx j ^ ■■ — — arcsin x 4- ci = - arccos x + c^, /" dx / i + x2 = arctS x + ci = -arccotg x + c2. 100 Odtud ihned plyne / (Tfhp + TTx2)** = arcsin x + arctg x + c' 700. Pomocí přímé integrace řešte integrál 2x — sin x I cos X -f X2 dx. Řešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti integračního vzo / dx = ln|/(x)| + c. Protože (cosx +x )' = — sinx + 2x plyne odtud, že / 2x — sinx cos x + x2 dx = In | cos x + x21 + c. 701. Substituční metodou řešte integrál J vT^ dx. Řeš em: / 3* v7! - 9a dx = t = S1 dí = ln3- 3* di dt dť = 1 ■ , 3 :—- arcsm t = -— arcsin 3 + c. In 3 ln 3 702. Substituční metodou řešte integrál sinx /t + 3 cos x dx. Řešení: /i sinx + 3 cos x dx = í = 1 + 3 cos x dí — —3sinx dx -/K-U- = ~g / J = ~| ' ln 1*1 = -^m|l + 3cosx| + c, 703. Substituční metodou řešte integrál j x3v/5x2+~3dx. 101 riešení: / xV5z2 + 3 dx s í = 5x2 + 3 x3 = ^x dť = lOx - dx => dx lOz I J i - 3dť 5 IÔ 50 J v 50 5 50 3 125 704. Substituční metodou řešte integrál / exy/ärčtge5 1 + e: 2x dx. Řešení: •/arctg e2 + e 2s dx = t = ex dŕ = ex ■ dx -/I v'arctg ŕ +12" dŕ = j y/u du = = ^\/arctg3eI + u = arctg t \du=x±p-d Daný integrál bylo možno vyřešit i kratší cestou pomoci jediné substituce. ex\/arctg e3 + e 2n dx — ŕ — arctg ex dí = __ť 1 + eJ dx dŕ — - yjarctg3e31 + c. tJ 705. Substituční metodou řešte integrál J y/l — x2 dx. riešení: 1 — x2 dx = x = sin í dx = cos ŕ dŕ 1 — sin21 ■ cos ŕ dŕ = / cos2 ŕ dŕ /" 1+cos2í , 1 /",, Ä , a 1, 1 . „ , 1. . , = / -dŕ = - / (1 + cos2ŕ) dŕ = -(í + -sm2ŕ) = -(ť + siní cos ŕ) J 2 2j 2 2 2 = ^(ŕ -h siaty/1 — sin21) = ^(arcsinx + xy/l — x2) + c, 706. Metodou per partes řešte integrál * J x3ex dx. 102 Řešení: / x3ex dx f = x3 /' = 3x2 a'=e* g = ex m xV - 3 J xV dx / = x2 f' = 2x g' = ex g = ex V+6 Jxé í - x f' = l g' = ex g = e* = x3ex-3x2ex+Qxex-G I ex dx b = XV - 3xV + 6xe* - 6ex + c. 707. Metodou per partes řešte integrál / x-1 . arctg-- dx. x + 1 Řešení: x-1 arctg-- dx = x+1 = x • arctg g' = i 9 = x x - 1 ľ x - x ■ arctg-- - / -=—- dx = &x + l Jx2 + 1 x~\ _ 1 ľ x + 1 2 J 2x , X—1 1 , / 2 : ——- dx = x ■ arctg—— - - ln(x + 1) + c x2 + 1 x + 1 2 708. Metodou per partes řešte integrál J xln2 x dx. Řešení: / x In2 x dx = / = ln2x f g' = x 21nx x x2 x — ln2 x 2 / _ 1 / = lnx /' = g' = x g = T = í- ln2 x - :—- ln x + x 2 dx x x ln x - — ln x + — + c 709. Metodou per partes řešte integrál /cosdnxjdx. Rešení: /«(inx)d«. /=f0"> /'»=-*^« J 9 = 1 í — 3 = x cos (lux) + y sin(lnx) dx 103 / = sin(lnx) f' = cos(\nx)~ n \ , n \ f n \ j t , = x cos(lnx) + xsin(mx) — / cosflnxl dx. ď-i g = x v J Nyní došlo k zajímavé situaci. Po druhé aplikaci pravidla per partes jsme získali stejný integrál jako na začátku výpočtu. Dále budeme postupovat tak, že sestavíme rovnici, jejíž levá strana je rovna danému integrálu a pravá strana posledně získanému výrazu. Neznámou v rovnici je hledaný integrál. Platí tedy J cos(lnx) dx = xcos(lnx) + xsin(lnx) - J cos(lnx) dx. Odtud plyne / cos(lnx) dx = ^ (xcos(lnx) +xsin(lnx)) + c. m 710. Metodou per partes řešte integrál xex sin x dx. Řešení: / xex sin x dx = / = x /' = 1 g' — ex sinx g — j ex sinx dx Integrál g — j ex sinx dx spočteme metodou per partes jako v předchozím příkladu. / ex sin x dx / = sin x /' = cos x g' = ex g=fŕ ex cos x dx / — cos x f —■ — sin x g'=ex g = e" = ex sin x — j t Odtud plyne Tedy / exsinx dx — —(sinx — cosx). /ex f ex xex sin x dx = — (sin x - cos x)x — I — (sin x - cos x) dx = ex . 1 f 1 ľ — — (sin x — cos x)x — - / ex sin x dx + - / ex cos x dx. Integrál / ex sinx dx již známe a integrál J ex cosx dx určíme analogicky. Platí ■ f ex / ex cosx dx = —(sinx + cosx). 104 Celkem dostáváme / xe^sinx dx = (sinx - cosx)x + — cosx + c. « 2 711. Kombinací substituční metody a metody per partes řešte integrál ln(lnx) / dx. z ln ť dŕ = / = Inŕ f' = \ 9' = 1 9 = t Řešení: Mn(lnx) I í = lnx I f j x |dí=i.dx|-y = i lni - y ~ dt = ílní - í = lnx ■ ln(lnx) - lnx + c. 712. Kombinací substituční metody a metody per partes řešte integrál J arctg \fx dx. Řešení: X = í2 dx = 2ídí / = arctg í /'-^y .0 5 = ^3-+2 = y arctg ť ■ 2í dť = 2 y í • arctg ťdř = í2arctg * - y pL dť - ř2arctg t-J(l~ dt = = í2arctg í - i + arctg í = xarctg y/x + arctg y/x - y/x + c. 713. Řešte integrál z racionální ryze lomené funkce f 2x + 7 y x2 + x - -dx. Řešení: Předně nalezneme reálné kořeny jmenovatele. Pro rozklad jmenovatele platí x +x - 2 = (x - l)(x + 2). Dále provedeme rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky. Z teorie vyplývá počet a tvar těchto zlomků. Sestavíme rovnici 2x + 7 A B + x2 + x-2 x-1 x + 2 105 a určíme koeficienty A, B. Koeficienty lze určit dvěma způsoby. V obou případech však rovnici vynásobíme členem (x — l)(x + 2), Pak dostáváme 2x + 7 = A(x + 2) + B(x - 1). První možnost jak určit koeficienty A, B spočívá v tom, že pravou stranu roznásobíme a provedeme porovnání koeficientů u stejných mocnin x na levé a na pravé straně. Získáme tím systém lineárních rovnic s neznámými A, B, který je nutno vyřešit. Tento postup se nazývá metoda neurčitých koeficientů. Platí A + B = 2 2A - B = 1. Řešením systému získáme A — 3, B — — 1. Druhý postup spočívá v tom, že v rovnici 2x + 7 = A(x + 2) + B{x — 1) provedeme vhodné dosazení za x. Vhodné dosazení je přitom takové dosazení, které vynuluje některé členy a umožní stanovit hodnotu nějakého koeficientu. V našem případě je například vhodné dosadit x — —2 a x = 1. Získáme opět A = 3, B — — 1. Odtud dále plyne J x2+x-2 J Vx-1 x + 2^ J x-1 J I (x - l)3 I = 31njx- 1[ - ln|x + 2| = ln ^-+ c. x + 2 714. Řešte integrál z racionální ryze lomené funkce dx i + 2 / x-1 :dx. x2 + 2x + 5 Řešení: Provedeme rozklad jmenovatele nad R. Protože jmenovatel x2 + 2x + 5 nemá reálné kořeny je daná funkce parciálním zlomkem. Provedeme následující algebraickou úpravu / X~l dx-1 f 2X + 2 dx 2 f j x2 + 2x + 5 2 J x2 + 2x + 5 J dx x2 + 2x + 5' Úloha se rozpadla na výpočet dvou integrálů. Cílem úpravy bylo získat v čitateli prvního integrálu derivaci jmenovatele. Pro první integrál tedy platí / 2r A- ? V případě druhého integrálu postupujeme následovně dí ľ dx ľ dx _ ŕ = a +11 f J x2 + 2x + 5 ~ J (x + l)2 + 4 " dí = dx j J í2 +4 106 1 f dt u = i I 1 f 2du 1 1 x +1 -4j (íFTT- d« = jdĺhii í^n = 2arctg^ = 2arctg^- Z předchozích výpočtů plyne / X - 1 , 1 , i 2 ~ - . X + 1 dx — - ln + 2x + 5j - arctg—---h c. x2+2x + 5 2 1 ' ™* ' ™"vs 2 715. Reste integrál z racionální ryze lomené funkce x + 2 / x3 - 2x2 + 2x dx. Řešení: Provedeme rozklad jmenovatele nad R, Platí x3-2x2+2x = x{x2-2x+2). Druhý Člen na pravé straně nemá reálné kořeny. Funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí x + 2 _ A Bx + C x(x2 - 2x + 2) _ x + x2 - 2x + 2 ' Nyní spočítáme koeficienty A, B, C. Sestavíme rovnici x + 2 = A(z2 - 2x + 2) + x{5x + C) = {A + B)x2 - [2A - C)x + 24, ze které získáme soustavu tří rovnic o třech neznámých A + B = 0, -2A + C = 1, 2A = 2. Jejím vyřešením získáme hledané koeficienty A = l,B = —1, C — 3. Výsledkem tohoto výpočtu je úprava f x+2 Ax- fd^_ f 1-3 J x3 - 2x2 + 2x X ~ J ~x~~ J x2 - 2x + 2 Z" Úloha se rozpadla na výpočet dvou integrálů. Zřejmě / ^jf = ln|x|. Zbývá určit druhý integrál. Platí J x2-2x + 2ÚX ~2J x2-2x + 2 " 2/ dx x2 - 2x + 2 = ~ ln |x2 - 2x + 2| + 2arctg (x - 1). Z předchozích výpočtů plyne / x2X+2xl+ŕX = ln ^ " Ž ln ^ - 2a: + 2I + 2arct§ ~ 1) + c 107 716. fiešte integrál z racionální neryze lomené funkce / x2 x2 - 4x + 3 dx. Řešení: Protože stupeň čitatele je roven stupni jmenovatele, provedeme dělení čitatele jmenovatelem. Tak dostáváme, že / x2 - 4x + ZdX = I(1 + x2 - 4x + 3)dX = / 1 áX + I x2 -4,+ 3 d" U posledního integrálu nalezneme kořeny jmenovatele a dále provedeme rozklad na parciální zlomky. Platí 4x-3 4x-3 A B x2-4x + 3 (x-l){x-3) x-1 x-3' Odtud plyne Ax - 3 = A(x - 3) + B(x - 1). Nyní se snadno zjistí, že>l = —^,jB=|. Tím je integrál převeden na tvar /\ , 1 f dx 9 f dx 1, ,.9. . ol 1IAX-2J— + -2] —3=z--2^\*-ll + -2lr>\x-3\ + c. 717. Reste integrál z racionální neryze lomené funkce 2x3 + 5x2 + 8 / 2x2 + 7x - 15 dx. Řešení: Protože stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele provedeme dělení čitatele jmenovatelem. Tak dostáváme f 2xó + $xz + 8 f i , 22x - 7 \ , / 2x2 + 7x-15 dX = J {X'1+2x2+7x-JdX f ft f 22x~7 = j x dx — I 1 dx + I —-—--dx. J J j (2x-3)(x + 5) Dále provedeme rozklad na parciální zlomky. Platí 22x - 7 A B + (2x - 3)(x + 5) 2x - 3 x + 5' Odtud plyne 22x - 7 = A(x + 5) + B(2x - 3). 108 1 Nyní se snadno zjistí, že A = 4, B = 9. Tím je integrál převeden na tvar /XdX-/ldC~4/^+9/^5=Y-* + 2m|2*-3|+91n|*4-5| + C. 718. Reste integrál / dx Řešení: Nejprve vhodnou substitucí převedeme integrál z iracionální funkce integrál z racionální lomené funkce. Platí na ľ áx x = t6 =► = ŕ2, = t3 dx - 6ŕ5dŕ = 6 í »TS«-* / J í2 + ŕ3 7 ŕ + 1 ŕ2 + t3 Dále provedeme dělení čitatele jmenovatelem. Pak dostáváme, že 1 1 + 1-rŤ3jdí=6li-¥+í^lnii+lii = = 2 ~ ^ + 6v^-61nlv^ + i| + <;- 719. Řešte integrál / cotg X sin x + cos x — 1 dx. Řešení: Zavedeme tzv. univerzální substituci, pomocí níž převedeme daný integrál na integrál z racionální lomené funkce, Platí / cotg X sin x + cos x — 1 ■dx = /_hsz_f W+p) T+t* ^T+F r^p— 1 - tgf => x = 2arctg ť 2dŕ • „ 2ŕ i -12 1-í2 I mi^)át = 2J -č-át = 2J T2 + 2J T = --2-t la 1*1 1 1, + -ln 2tg* ■ 2 x i tg-|+c. 109 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Řešte přímou integrací následující integrály: 720. J^~2^ + x2-26z. 721. |^ + 2.+ *-4d* fmm~f^^ 723 ľ 724. J^dx. 725. | 3 " dx. Í--—— dx. 727. / - y i+cos 2x y i cos2 a: e2x 726- ítt^^ 72T- ir^dx 728. í Ť dx. 729. /ty-y)a dx. y i + 3cosx y 730. / ——-—5—dx. 731. / 1-dx. J cos2 x sin x ,/ vl — x2 arcsinx Substituční metodou řešte následující integrály: 732. I(3x - ll)9 dx. 733. / 2x(x2 + 2) 734. j Xt t„. dx. 735. f 1 , dx. dx. z)25 ' y (2xT3)4 736. /" dx f dx /jstm- 7s7' y X + X2 2) /" dx f 1 J 4 - 9x2 7 x2 + 5x + 11 740. /--— dx. 741. í--^-— dx. y x2-4x+i2 y (x+i)(x-^ 742. f —=—I nn dx. 743. [ dx. y 2x2 + 8x + 20 y 1 + x2 744. / , _ J dx. 745. / —^— dx. y {x2 + 4}6 y 6 + 5x4 746. / ——s dx. 747. / f1 X dx. y i + x6 y (i + x3)3 748. J s/7 - 3x dx. 749. j \/2x + 5 dx. 750. y* + 2 dx. 751. J x^l ~ x2 dx. 752. / 1 dx. 753. / . 1 n dx. J ^J{2x + 3)5 j - 4x2 110 Substituční metodou řešte následující integrály: 754. 756 758. 760. 762. 764. 766. 768. 770. 772. 774. 776. 778. 780. 782. 784. 786. 788. 790. 792. \/4 - 5a:2 1 \/8 - 6x - 9x2 / / / J 3' + l ľ* J \ŕFTi I dx. dx. dx. In4 x x cos (ln x) dx. dx. dx. dx. /cos(l] x J sin(8x - 3) dx. J COtgyfx I I cos 2x 2 + 3sin2x sinx dx. dx. cosx J xsin(x2 + 4) dx. J sin3xcosxdx. / cos X ŕsin2 x 2x /sin I sin2 x / J cosx ľ x2 J sinx /(T+x2) + 3 cos2 x dx. dx. dx. dx. arctg x dx. arccos x dx. 755. 757. 759. 761. 763. 765. 767. 769. 771. 773. 775. 777. 779. 781. 783. 785. 787. 789. 791. 793. 1 + x \/x2 + 4x + 5 ~.5 s/8 I I I I I I í I I S s s I í í J 1 + cos x j sin2 x dx. J smx I S í dx. dx. dx. eV2 - 3e* dx. x ln(x2 + 2) dx. lnx - 2 -y--- dx. xv In x cotg (2x + 1) dx. eEcotg exdx. tgx ——r— dx. cos x cosx -2~~ Q-X. sin x cos3 (x3 + 1 xtg(l - x2) dx dx. smx cos5 x cos2 x-/tg x - 1 dx. tg x ■ In2 sinx x - arctg x 1 +x2 arccos x - x vT dx. dx. Řešte metodou per partes: Jxsmx dx. 795. jxlux dx. Jxkťxdx. 797. Jx\n(x2 + 3) 798. J xarctg x dx. 799. j x(arccotg x)2 dx. 800. Jx2sm2xdx. 801. j x2arctg x dx. 802 +803. 804. y ln{x + y/x2 + 1) dx. 805. ^ arcsin \j^r\ dx" 806. fe^dx. 807. / earcsin:c dx. J e^ dx. 807. y íln3x , nnn /"lnx /" ln(lnx) , f x arcsin x 810. / v ' dx. 811. / ^ dx. x 2 812. y sinx ■ ln(tg x) dx. 813. j xtg2x dx. ľ arctg e* D,E f earctS x' 814. / —J— dx. 815. / dx. v/íl+x2)3 Určete integrály z racionálně lomené funkce: /" dx ľ llx - 12 816. / —=-. 817. / —=-- dx. J2x2+5x-12 j3x2-llx + 6 f 5x3 - 15x2 + 15x - 3 , H ľ 5x3 + 9x2 - 22x - 8 , 818. / -=——=-—-— dx. 819. / -ä--- dx. J x3 - 8x2 + 17x - 10 y x3 - 4x ľ 9x4 + 3x3 - 23x2 + x . /" 9x - 14 82°- J 9x3-6x2-5x + 2 d" 821- /9^24xTl6dX- I p-— dx. /Ä 823 / fx2 + 3x + 2. OOE /-x3+x-l 824. / —»-- dx. 825. / —-— J x2+x + 2 y x(x2 + l) dx. / —^— dx. 827. f * dx. y x3 + 1 7 x4 -I-1 ~+3x + 3)2 /3x + 2 f (*»+» + !)» #- 829' 112 Řešte následující iracionální, trigonometrické a transcendentní integrály 830. 832. 834. 846 848 850 852 854. 831- Iwh / —,-j dx. 835. / J xyfx - 4 J 856. 858. 860. 862. 864. dx. — dx. x dx 836. f / dx 9. 83T. / 3^-3 y V3-2x-5x2 y Vx2 - 2x + 2 838. ^ v/3 + 4x + x2 dx. 839. J ^3 - 2x - x2 dx. 840. y xv^x - 8 dx. 841. J fax - x3 dx. 842. /_ÜE_. 84S. /_J y 1 - sm x y 4 — 5 sinx 844. / , dX ■ 845. /i-Jil y sin x - cos x y 1 dx. + tg x dx. :osx dx /t-jV. 847. Z *Í£_ J 4-3suťi;c y 2 + cosx /sinx f /" cosx , ŕ a / -npr" dx. 851. / tŕx J sin x y / dx 853 fe1- y COtg8X * j e2x _j_ COSX dx - 2 . dx. 4 / v/íŤ? dT' 855- / Řešte následující integrály: f + ln^) dx. 859. y x2 In d: arcsm x — dx. /I + sin x _ n r 7—--—e1 dx. 863. / 1 + cos x J f ln(x + Vx2 - 1) r y —4- dx. 865. / x(x2 + l)arctg x dx. 113 2. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL Následující kapitola obsahuje příklady na výpočet Riemannova určitého integrálu a jeho aplikací. Nej důležitějším a nejčastěji využívaným vzorcem při výpočtech je tzv. Newton-Leibnizova formule, která převádí výpočet Riemannova určitého integrálu na výpočet primitivní funkce a její funkční hodnoty v krajních bodech intervalu. Uveďme nyní tvar této důležité formule. Nechť F(x) je primitivní funkce k funkci /(x). Pak platí '/(x) dx=[F(x)}ba = F(b)-F(a). ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 866. Pomocí Newton-Leibnizovy formule řešte integrál J (x2 - 5x + 2) dx. Ĺ Řešení: Nejprve nalezneme primitivní funkci k funkci f(x) = x2 — 5x + 2. Nalezenou primitivní funkci zapíšeme do tzv. Newton-Leibnizovy závorky a závorku spočteme. 867. Pomocí Newton-Leibnizovy formule řešte integrál J \x\ dx. (x2 - 5x + 2) dx xa 5xJ + 2x Řešení: Zadaný interval (-1,1) rozdělíme na dva intervaly a využijeme věty, že í f(x) dx = f f (x) dx + ľ f (x) dx, Ja Ja Jb pro a < b < c. Pak nalezneme primitivní funkci k funkci f (x) = |x| na obou intervalech a postupujeme podobně jako v předchozím příkladu. \x\ dx = / |xjdx + / |x| dx = / (-x) dx + / x dx = -1 J-l JO J — i Jo = l"l-1+m„=(0-(-2))+(2-°)=1- 114 1 868. Pomocí Newton-Leibnizovy formule řešte integrál ľ3 dx Ji x3 + x' Řešení: Provedeme rozklad na parciální zlomky. Platí / x2 + x = l x(x + l) = / (x~xTl~) dX- Koeficienty v posledním integrálu jsme získali obvyklým výpočtem z rovnice 1 A B = - + x(x+l) x X + V l = A(x + l) + Bx, odkud již plyne A = 1, B = -1. Nyní poslední integrál rozdělíme. Platí /3 dx ľ3 dx "í ~f = |lnx]?-[ln(2:+l)]f = (ln3-ln l)-(ln4-ln 2) = ln~ « 0, 869. Substituční metodou řešte Riemannův integrál 405. I. 1 e2x o e* + l dx. Řešení: Při zavádění substituce postupujeme analogicky jako u výpočtu primitivní funkce. V případě Riemannova určitého integrálu je však ještě zapotřebí přepočítat meze integrálu. Změna mezí se provede dosazením do substituční rovnice. ŕ e2x Jo e* + l dx t = e1 dŕ = ex - dx 0 -4 1 1 -> e 098. 870. Substituční metodou řešte Riemannův integrál dx 4 (x + l)Vx2 -2 Řešení: dx 4 (x + l)^2 - 2 ř = -4? dx = -^-dí -4 _ I _I 2 -3 -f™ j-k i /ti i ŕ2 dt = 115 f 3 , * dŕ = / 3 , 1 dť = f . 1 dŕ = -Ľ ^(V2)2 - (t + I)2 li dt = u = ŕ + 1 du — dŕ 2^2 3^3 vw^2 du = arcsin —= = arcsin —--arcsin — ss 0,129... V^J i 3 4 v J 5 V průběhu výpočtu nastala situace, kdy po substituci byla dolní mez integrálu vetší než horní. V této situaci je obvyklé provádět změnu mezí podle vztahu f f (x) dx = - í f (x) dx. Ja Jh 871. Metodou per partes řešte Riemannův integrál x ■ 2X dx. f Jq Řešení: Při výpočtu Riemannova určitého integrálu metodou per partes postupujeme podobně jako při výpočtu primitivní funkce. Funkci, kterou získáme jako mezivýsledek pří integraci zapisujeme do Newton-Leibnizovy závorky. ./o x ■ 2X dx = f = x /' = 1 9-h ^hT2-0)-hT2 ln 2 1 - _L J_( „ ~ ln 2 ln 2 V ~x ■ 2X~ ln2 2 1 v ín~2 " ln~2 o Jo m: 872. Metodou per partes řešte Riemannův integrál / x ■ arctg x dx. Jo dx = 1 ln2 ln22 0,804. Řešení: 73 x • arctg x dx = f = arctg x f = g' = x g = \ 1^ e\fž x: Jo ~Jo W yarctg x dx + x2) 116 -ŕ3 * m 1 r*«»a« « 1 j*t i \ = |^[,-arctgllf=|-I(^3-í)=^_^ 1,228. 873. Kombinací substituční metody a metody per partes řešte Riemannův integrál Jo arcsin x dx. Řešení: arcsin x dx = í jq / = arcsmx f = 1 , 9=1 g=x 1 arcsin 2 l-jf Jo X y/1 -x2 dx = t2=l-x2 xdx = —tdt 0 -4 1 1 -* 0 — arcsm ŕ -tdt 7T f1 7T , 7T 570. 874. Určete velikost obsahu části roviny fi omezené křivkami y= — ay=X+2. 4 2 Řešeni: Postup je následující. Jsou-li f(x) a g{x) funkce definované na intervalu {a,b} takové, že /(x) < g(x), pak velikost obsahu plochy P(ft) omezené křivkami f(x) a g{x) je rovna Riemannovu integrálu P{V) = f($ix) - f(x)) dx. Ja V našem příkladě musíme nejprve určit meze integrálu. Meze určíme tak, že nalezneme průsečíky grafů funkcí /(x) a g(x). Řešíme rovnici x* x — = - + 2. 4 2 Odtud x2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4) = 0. Zřejmě x = -2 a x = 4. Dolní mez integrálu je tedy rovna -2, horní 4 a platí rx2 + 2x- — 4 12 117 875. Vypočtěte objem tělesa fí vytvořeného rotací grafu funkce y = sin x kolem osy x na intervalu (0, tt). Řešení: Objem tělesa V (Cl) vzniklého rotací grafu funkce f(x) na intervalu (a,b) kolem osy x je roven Riemannovu integrálu V (ti) ŕ J a x) dx. V našem případě jsou meze integrálu rovny a = 0 a 5 = vr. Z uvedeného vzorce plyne y(í2) = 7T j sin2 x dx = - J (1-cos 2x) dx = - : 1 n ■ x — - sin 2x * 7t2 = — k 4,934. 2 0 z 876. Určete délku oblouku křivky y = ln x na intervalu § < x < ^p. ReŠení: Délku křivky fž, která je grafem funkce /(x) definované na intervalu {a, o) lze určit pomocí Riemannovu integrálu (4 ._ l(íl) = / y/l + (f'(x))3 dx. j a Protože /(x) = lnx, platí f(x) = | a f2(x) = ^. Odtud plyne 4 4 " * v/x2+T dx x É- - 1 í2 = X2 + 1 =* X2 = t2 dx ídí ídí = xdx => — = -=—-x í^ — 1 3,5 4 4 12 v 13 5 5 14-1 ť2 - 1 dí /■¥ŕ2_i ff i J i Hř dt i ^ dí dt t+ -ln(í- 1) - ^ln(í + l) 13 1 , ! i, t-i 118 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Spočtěte následující Riemannovy určité integrály: 877. 879. 881. 883. x — 3 dx. r° dx J4 *Jx + 5 - y/x - 4 dx. ŕ 1 + ln Ji x f sin3 x d Jo f X dx. 887. / -=--dx. k x2 - 4 f vT+x dx. Jo 891 f —dx. Jo l + V^ 895. /4 f 893. / -^=- dx. x + 1 dx x \/x2 + 5Ô7+T /x2+9 dx. 899. /'* ^ . 3 + 2sinx xe~x dx. / x3\/x^ Jo f f 903. fe2xsmxdx. Jo f Jo / Jo \/4 — x2 r4 dx Jo 1 + V2x + 1' 905. / arctg x dx. /o 907. / dx. + 2 880. 884. 888. 890 892. 900. 908 7-1 X + i; dx. x2 + 3x + 2 l)3e2a dx /V + l); Jo Jl Xv/T dx. ~ (ln^)2 886. / \/sin x — sin3 x dx Jo f — Jo z2 + r 4x + 5 dx V3 + 2x - x2 dx. / 5 ľ~ 1 J2 \/4x - /■v/ä___ / s/A-x Jo Ĺ I. I. i: dx. -x2 896. / - ** o. (x2 + l)2 nlnS e* /„x _ 1 —-- dx. e1 +3 sinx 6-5 cos x + cos2 x xV* dx. dx. i arccosx dx. •i 906. f ln(x + 1) dx. Jo f Jo \/A - x2 910. / _j= Jo dx v'fl+x2)3 119 Spočtěte následující Riemannovy určité integrály: 911. /_2 (11+5*)*- 912 1 dx y/x + 9 - yjx 913. y (e1 - 1)V dx. 914. jT x ■ log2x dx. - vt -t. dx. 917 /2sinnxdx. 916. í /4cos72xdx. 918. / jo Ji x5Vx2 — 1 i/e3 4- e-1 dx 919. ^ - x2)3 dx. 920. £ t^25 j x2f dx_ 5 x4 2 921. 923. f* -ň**- 922° / V^xTx^dx. y0 x2 - 3x + 2 y0 y axctgijy/x-ldx. 924. y x2\A - z2 dx. 925. / x5i/x2 4- 1 dx. 926. / arcsin * /—— dx. y0 y0 v ^+1 927. / -—. 928. / (x-sinx)2dx. 7o sin x + cos4 x jo 929. f e*cos2xdx. 930. í x15 • y/l + 3x8 dx. Jo Jo fln5 e^e1 - 1 f1 931. / —--dx. 932. / (arcsin x)4 dx. Jo ^ 4-3 y0 2 933. Určete střední hodnotu funkce /(x) = - na intervalu (4,13). x 934. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného dvěma parabolami určenými rovnicemi y = x2 — 4x + 2 a j/ = — x2 4- 6x — 6. 935. Určete obsah obrazce ohraničeného parabolou y = -x2 + 4x-3a jejími tečnami v bodech T2 = [0, -3],T2 = [3,0]. 936. Určete obsah obrazce ohraničeného křivkami y = -x,y = x4-2,x = 0,x = 3 a objem tělesa vzniklého rotací obrazce kolem osy x. 937. Spočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y(l + x2) = 1, 2y = x2. 938. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného uzavřenou křivkou y2 = x2 — x4. 939. Určete obsah obrazce ohraničeného kružnicí x2 + y2 = 8 a parabolou 2y — x2, 940. Spočtěte obsah smyčky křivky x(ř) = ť2 - 1, y(t) = í3 - ŕ. 941. Určete obsah rovinného obrazce omezeného smyčkou křivky y2 = x3 4- x2. 942. Určete obsah obrazce ohraničeného asteroidou x(í) = a cos3 t,y(t) — a sin3 ť. 120 943. Spočtěte délku grafu funkce f(x) = -g~ na intervalu {1, 2). 944. Spočtěte délku oblouku paraboly y = x2 pro 0 < x < 3. 945. Vypočtěte délku grafu funkce /(x) m 1 - in cos x na intervalu {0, -). 946. Stanovte délku oblouku křivky y2 = (x + i)3 ležící v ]evé polorovině vy£até přímkou o rovnici x = 4. 947. Spočtěte objem tělesa vytvořeného rotací obrazce omezeného křivkami y - T a 3a; - Ay + 5 = 0 kolem osy x. 948. Spočtěte objem tělesa vzniklého rotací obrazce určeného parabolami y = x2 aj/J = i kolem osy x. 949. Spočtěte objem tělesa vytvořeného rotací obrazce omezeného křivkami y = 2, y = -2, x2 - y2 = 4 kolem osy y. 950. Vypočtěte objem tělesa vytvoreného rotací obrazce omezeného čarami y = x3, x = 0 a y = 8 kolem osy y. 951. Pravidelný šestiúhelník o straně a se otáčí kolem své jedné strany. Najděte pomocí Guldinovy věty objem tělesa tak vzniklého. 952. Odvoďte vzorec pro výpočet povrchu a objemu kužele. 953. Spočtěte obsah rotační plochy, která vznikne rotací obrazce omezeného parabolou y2 = 2x a přímkou 2x = 3 okolo osy x. 954. Spočtěte obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky y = x3 kolem osy x na {—, -). 955. Spočtěte obsah rotační plochy vzniklé rotací krivky dané parametrickými rovnicemi x(t) = (cosť + l)2,y(í) = siní + J sin2í pro t e <0,7r) kolem osy x. 956. Určete obsah pláště tělesa vzniklého rotací křivky y = e~x okolo osy x > 0. 957. Spočtěte obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací jednoho oblouku sinusoidy y = sin x okolo osy x pro 0 < x < ir. 958. Určete povrch tělesa vytvořeného rotací kardioidy p = 2a(l - cos v) okolo polární osy. 959. Určete těžiště T homogenní oblasti s jednotkovou plošnou hmotností, která je ohraničena parabolou y = 2x - x2 a osou x. 960. Určete těžiště T homogenní oblasti s jednotkovou plošnou hmotností, která je ohraničena křivkou x(t) = t2 - t, y(t) = t3 + t2 a osou x. 121 3. NEVLASTNÍ INTEGRÁL Závěrečná kapitola je věnována úlohám s tematikou nevlastních integrálů. Nevlastní integrál je přirozeným zobecněním Riemannova určitého integrálu. Zobecnění se týká odstranění základního předpokladu, že integrujeme přes interval konečné délky, tzv. nevlastní integrál vlivem meze, nebo předpokladu ohraničenosti funkce, kterou integrujeme, tzv. nevlastní integrál vlivem funkce. Při výpočtu postupujeme tak, že funkci nejprve zintegrujeme a pak provedeme limitní přechod. V dalším typu úloh stačí pouze zjistit, zda daný integrál konverguje. To provádíme pomocí některého z konvergenčních kritérií. ČAST A: RESENE PRÍKLADY 961. Spočtěte nevlastní integrál ~i dx. 1 xz Řešení; Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze. Nevlastní integrál rozepíšeme podle definice, určíme primitivní funkci, dosadíme do Newton-Leibnizovy závorky a provedeme limitní přechod. f°° i ŕ 1 / -— dx = lim / dx = Ji X2 t-taoJt X2 lim t—rOO = lim t—>oo (t«) lim 1-- = 1. Í-tOO t 962. Spočtěte nevlastní integrál s: arctg x dx. x* Řešení: Jedná se opět o nevlastní integrál vlivem meze. Postupujeme podobně jako v předchozím příkladu. i; arctg x dx ŕ = lim / (-►00 Jj arctg x I / = arctg x /' = ■> dx — . i x2 9=^ 9 = = lim ([--arctg x| - f (--) \ dx) = t->oo yi x \1 x'x2 +1 J = lim (— -arctg t 4- arctgl | + lim | / — — / — dx) = t-foo V, í / *-►*> \Ji x jj i2 + l } 122 1 = \ + M (M ~ + Dl) = I + }un (lni - l (ln(f2 + 1) - ln2)) = T + + lim ln — = - + — + lim ln Wl +-- tt m2 ■„ í ln2 = — + —--h lim ln v 1 =--1--. 4 2 í-Kxj 4 2 963. Spočtěte nevlastní integrál f1 dx J-i v^x2 ReŠení: Jedná se o nevlastní integrál vlivem funkce. Daná funkce není na intervalu {-1,1} ohraničená. Singularita se nachází v bodě x = 0. Proto integrál rozdělíme na dvě části. Platí ŕ dx ŕ dx ŕ dx , r _ / "v=i= / iPi= lim 3^-i + lim [Sv^t1 = 7-1 \/x2 7-i Vx2 Jo 7x2 *->o- t_>o+l J£ = lim (3^-3^)+ lim (3^-3^1=3 + 3 = 6. i->0- í-*0+ 964. Vypočtete nevlastní integrál X dx. Řešení: Jedná se o nevlastní integrál vlivem funkce. Singularita je v bodě x = 1. Podle definice platí Nejprve nalezneme primitivní funkci. Vhodnou substitucí provedeme racionalizaci integrálu. X dx u 2 _ l±x - u -1 x ^ X — H^+l Ar — 4^ 4íz2 (u2 + l)2 Nyní provedeme rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky. Platí dli. 4u2 Au + B Cu + D + (V+ 1)2 U2 + l («2 + l)2 123 Odtud plyne Au2 = (Au + B)(u2 + 1) + Cu 4 D, 4n2 = Au3 4- Au 4- Bií2 + B + Cu + D. Sestavíme systém rovnic a nalezneme neznámé koeficienty. Platí A = 0,B = 4)C = 0,1?= -4. Rozkladem na parciální zlomky upravíme poslední integrál na tvar -4 \ . f du f du [(-*- + "4 \du = Af-^--Af J + l ^(ul + iy) J U2 + l 7 («2 + 1)3 J ( 0 na intervalu (1, oo). Zřejmě /(l) = e - 2 > 0. Dále platí, že f'(x) = ex - 2 > 0, neboť funkce ex je rostoucí. Tedy f(x) - ex - 2x > 0 na (l,oo). Odtud dále plyne, že funkce g(x) = ex - x2 je rostoucí na (l,oo). Tato skutečnost spolu s faktem £f{l) = e- l>0 dává, že g{x) > 0 na (1, oo). To však znamená, že na intervalu {1, oo) platí ex - x2 > 0, tj. x2 x2 a* \Zx3 + l>x =* x\/x2 + l>x2 1 < — x\Jx2 + 1 x2 Dále zřejmě platí jcose1! < 1. Na intervalu (1, oo) lze tedy provést následující odhad cos ex |cos ex\ 1 xVx2 + 1 xVx2 + 1 - X2" Protože integrál J™ ^ dx konverguje, konverguje podle srovnávacího kritéria také zadaný integrál. 125 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Vypočtěte následující nevlastní integrály: 967. /" ^d*. 968. 969 / (l + l) dx. 970. 971 fJL, 972. r /*j¥l 974. r A z3 4-1 a dx x2 + x 4-1 x4 4- 1 Z"00 dx Z"6 dx /__ax 978. / , A xv/x2"^!' A v(4 -*) 975 -oo TO x2 + 2x + 2 9m £7FW 980 I v^T 981 / dx. 982. / xlnxdx. Ji x Jo dx. 983 985 ľ00 2 f ■ x ln x jf dx. 984. /o ^^dx ľ , dx 986. ř-j= a x\/3x2 - 2x- 1 /| VI- x2 arcsin x Rozhodněte, zda konvergují nevlastní integrály: 2 ex /-00 dx 987. / -7= dx. 988 o / ^-=í dx. 990. / —. A v^3 Jo lnx T1 ln r f1 cos x , / dx. 992. / dx. A i-x2 a Insinx ŕ00 sin2 x , / mSmX dx. 994. /---- dx. J0 x Jo x f * . 996. f^a, Jo vsmx Jo * f00 x-sin 2a „_c fŤ Insinx 997. / —s-— dx. 998. / -=- dx Jo x2 + 4 Jo \/ž H íh • 100°- í 1—d:c' L, xlnlnx Jo 989. 991. 993. 995. IV. VÝSLEDKY NEŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ i. úvod do studia matematiky 1. Logika, množiny, důkazy 26. 0, 1. 27. Pravdivý. 29. Tautologie, kontradikce, tautologie, tautologie, tautologie. 30. A' = A\A, A A B = (A\B)\(A\B), A V B = (A\A)\(B\B), A => B = A\(A\B) = A\[B\B),A<* B = (A\A)\(B\B)\(A\B). 31. A. 32. A. 33. Správný, nesprávný, správný, nesprávný. 34. Ředitel režisérovi nerozuměl a režisér řekl v obou případech totéž. 35. Nikdy. 37. 1. 38. B Q A. 39. f|,gi 4L 3. 42. A n B,0. 43. 1. 44. Af)B = A, AuB = {0,1, §,§,...}, A- B = 0,5 - A = {0}. 45. mfM = l.supAř = 2. 46. infM = 0,supM = 3. 47. 2100. 50. \A\ = 9, \B\ = 1. 51. Ne. Platí pouze vztah C. 56. DS = HS = {-§,§). 57. S'1 = {[-1, -2], [0,0], [1,2]}. 58. 224,1,29,281. 59. T o S = {[x,y];y = -3x2 - 1 v y = 9x4 + 6x2 - 2,Vx € Z},SoT = {[x, y]\y = 3x2 +1 Vy = 3x4 - 18a;2 + 28, Vx G N). 60. S = {[2,2], [3,1], [4,1]}, PS = {2,3,4},/ř5 = {1,2},S je zobrazení, které není injektivní, 5_1 = {[2,2], [1,3], [1,4]} není zobrazení. 61, 72. 63. 1. Není injektivní, není surjektivní. 2. Je injektivní, není surjektivní. 3. Není injektivní, není surjektivní. 64. 1. Je bijektivní. 2. Není injektivní, není surjektivní. 3. Není injektivní, je surjektivní. 65. 60, 0. 66. Ano. 67. Ano. 69. Ano. 80. Úsudek ztroskotává na tom, že množina K—{a, 6} může být prázdná. Tento případ nastane, má-li K dva prvky. II. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1. základní vlastnosti funkcí 100. {-oo,-\/3} U {0, s/3)- 101. (-1,2). 102. (—co, —3) U (3, oo). 103. (l,oo). 104. (-oo,0). 105. (2,oc). 106. {x G R;x £ \{kn + 3), fe G Z}. 107. (0,1). 108. (4,5) U (5,oo). 109. (-oo, 1) U (2,oo). 110. R. 111. (2,3). 112. (0,co). 113. 114. R -{-2,1,3}. 115. R - {2}. 116. R - {2}. 117. Ä-{1,2}. 118. {x G R; x ŕ [2k + |)^,x ^ (2Jfc + *>, G Z). 119. {x G R; x ŕ (k + |)jr,fc G Z}. 120. (-1,1). 121. {-2,|). 122. (£ff,oo). 123. (-5,00). 124. (|,oo). 125. (|,oo). 126. (-00,-5) U (1,00). 127. (-3,1). 128. (-5,-4) U (-4,2).129. (—5,2) U (3,00). 130. {x e R;(k - ~)ir < x < (k + |K k G Z}. 131. (—00,2) U (3,00). 132. 0. 133. (-4,0). 134. (-1,1) U (3,oo). 135. {iefi;e-í+2hg2,an+1 = a„ + log2. 239. an = 1 + 2(-l)"+1. 240. an = 241. o„ = Od 32. členu. 244. f. 245. -\. 246. co. 247. 0. 248. co. 249. 2. 250. §. 251. ^. 252. 1. 253. 1. 254. 0. 255. 0. 256. 0. 257. -\. 258. 0. 259. 1. 260. y/Č. 261. ±. 262. e"6. 263. e"5. 264. ~\. 265. -1. 266. \. 267. sfl, 268. 269. a2\/3. 270. 27rr2, 4r2. 294. -12. 295. |, 296. -1. 297. -§. 298. |. 299. 2. 300. \. 301. 2. 302. -2. 303. 1. 304. \/2. 305. 6\/2\ 306. 3. 307. |. 308. |. 309. |. 310. 2. 311. 312. 8. 313. 314. 0. 315. 1. 316. |.. 317. In 7. 318. e5. 319. r^- 320. 81n2. 321. e2. 322. 4*. 323. 0. 324. 1,-1. 325. Neexistuje. in y V6 Neexistuje. 326. oo, -oo. 327. oo, -oo. 328. oo,-oc. 329. lrl. 330. -2,2. 231. 0,1. 332. oo,0. 333. 0, |. 334. oo. 335. Neexistuje. 336. Neexistuje. 337. oo. 338. Neexistuje. 339. Neexistuje. 340. §. 341. Neexistuje. 342. Neexistuje. 343. Neexistuje. 344. /(-3) = -6. 345. /(-I) = 2. 346. /(O) = 0. 347. /(O) - 10. 348. /(I) = 7ln7. 349. /(I) = -1. 348. /(I) = 0. 349. /(I) = -1. 350. /{I) = 0. 351. /(I) = -5. 352. /(O) = -2. 353. /(O) - |, 388. Ne. 391. 12x2(2x3 + 3). 392. 12x(x2 - 3)(x4 - 6x2 + 7)2. 393. 2(3-4x- 2. Posloupnosti 3. Limita funkce a spojitost 4. Derivace funkce 425. lafF* ■sin(2^1-|n^) . 426. 2 A. 427. -O--. 428. , -1 429. 103a: ■ 3ln 10. 430. 23" ■ 3* ■ ln2 • ln3. 431. 5^*55. 432. 3t*'.'a3. 433. 2^35 COS X 1v/£s"(cobx - lnx + 434. ^-^^±^.435. -4^(lnx + 1). 436. (lnx)a:(lnlnx+I^).437. (arctg x)*(lnarctgx+ a). 438. e*xe*(lnx+i). 439. (-I)"-1135"2i2""3^s-». 440. 2ne2s+3. 441. (n + x)e\ 442. (-l)n(n-2)!^, n > 2. 443. (-l)"n!((x - 2)"("+1> + (x - l)-<«+«). 444. 445. (-l)"-1(n-l)!í^.446. 2flxcos(2x+rf)+n2"-1 sin(2x+^). 447. ^S^l? ■ 448. fe^-449. ^E^a&. 450. ^.451. 32e-(2x* + 24*3 + 90x2 + 120x + 45). 452. f. 453. -e4aí(3116sin3z + 237cos3x). 454. Aex{sinx - cosx). 455. y = 2x ± 1. 456. y = x- 3e~2. 457. [-2, -4]. 458. [1, §], [-3, §]. 459. 4f, 5. Diferenciál a Taylorův polynom 47l 6g2sins^ycosgdx. 472. 473. 7*(2x+x2ln7)dx.474. (1_:e)^1_j2 475. . £ 476. -JÖ-j. 477. -£f-. 478. '"^"^dx. 479. -0,15. 480 2a;v4x—1 vl-fxJ cosi sin £ cos z 0,013. 481. 1,007. 482. 1,043. 483. 0,2. 484. 1,035906. 485. 0,835398. 486 ex(mx + ± - -% + 4 - £)/i4- 487. -4sin2x • h3. 488. (lOcosi - xsinx)ň10 489. -1024(xcos2x +5sin2x)ft10. 490. 1 - § + fj - j£L 491. x - fj - 12 720' * 18 3240 492. x-^.493. -^-f^-fj.494. x+^ + ^.495. ^-^-^L.496 l + |(x-l)-|(x-l)2 + ^(x-l)3.497. i-|(x-2) + |(x-2)2-^(x-2)3 + i(x - 2)4. 498. (x - 1) + (x - l)2 + |(x - l)3. 499. 1 + \{x - 1) - §(x - 1 " 500. 999805 + 29998(x - 100) + 300(x - 100)2 + (x - 100)3. 501. 5 - 13(x + 1) + ll(x+l)2 - 2(x +l)3. 502. ^-.503. |. 504. 505. \. 6. l'hospitalovo pravidlo 527. |. 528. 0. 529. ^. 530. lnf. 531. |. 532. -2. 533. 2. 534. -2. 535. |. 536. -1. 537. 4. 538. 2. 539. 0. 540. i. 541. 0. 542. co. 543. 0. 544. 0. 545. 1. 546. 1. 547. |. 548. 1. 549. 0. 550. |. 551. 0. 552. 1. 553. 0. 554. 1. 555. |, 556. |, 557. 0. 558. \. 559. |. 560. -a. 561. -1. 562. 0. 563. |. 564. i. 565. j. 566. 1. 567. e"S. 568. 0. 569. \. 570. e6. 571. btI. 572. e2. 573. 1. 574. §.. 575. e3. 576. 1. 577. Ne. 1. 578. Ne. 0. 579. Ne. 1. 580. Ne Neexistuje. 581. -1. 582. -§. 583. 1. 7. Průběh funkce 600. Minimum v bode x = 2, maximum v bodě x = — |. 601. Neexistují. 602. Maximum v bodě x = 1. 603. Minimum v bodě x = |. 604. Minimum v bodě x — \/24. 605. Minimum v bodě x = e. 606. Minimum v bodech x = ^ + 2fc7r, maximum v bodech x = ^ + 2fc7r. 607. Minimum v bodech x = ^ +Ŕ7T, maximum v bodech x = | +fc?r. 608. Maximum v bodě a; = 3. 609. Minimum v bodě x — 2, maximum v bodě x — —3. 610. Maximum v bodě x — ~. 611. Maximum v bodě x = 1. 612. Funkce klesá na intervalech (—00,0), (j?s, co) a roste na intervalu 129 (O, Ä). 613, Funkce klesá na intervalech (-00,-1), (1,00) a roste na intervalu (—.1,1). 614. Funkce je neklesající na R. 615. Funkce klesá na intervalu (-00,0) a roste na intervalu (0, 00). 616. Funkce klesá na intervalu (0, ^) a roste na intervalu (|,00). 617, Funkce klesá na intervalu (-00, -|) a roste na intervalu (-|,oo). 618. Funkce klesá na intervalech {-00,0), (0, §), (2,00) a roste na intervalech (§,1),(1,2). 619. Funkce klesá na intervalech (-^3,-1), (-1,1), (1, \/3) a roste na intervalech (-00, ->/3), (v^, 00). 620. Absolutní minimum /(O) = /(l) = 0. Absolutní maximum neexistuje. 621. Absolutní minimum /(2) = 2-2 ln2. Absolutní maximum /(l) = 1. 622. Absolutní minimum /{e"1) rí 0,7. Absolutní maximum neexistuje. 623. Absolutní minimum /(-2) = -151. Absolutní maximum /(l) = 2. 624. Absolutní minimum /(2) = -15. Absolutní maximum /(-l) = 12. 625. Absolutní minimum /(0) = 4 - e. Absolutní maximum /(l - ln2) = ln4. 626. Absolutní minimum /(l) = 0. Absolutní maximum /(O) = f. 627. Absolutní minimum f{-\) = -\ + ln 15. Absolutní maximum /(3) = 3 + ln2. 628. Funkce je konvexní na {-00, -1), (l,oo), konkávni na (-1,1) a má inflexní body X = -l,x = 1. 629. Funkce je konvexní na (1, co), konkávni na (-00, 0), (0,1} a má inflexní bod m = h 630. Funkce je konvexní na (0,1), konkávni na (-00,0), (1,00) a má inflexní bod x = 1. 631. Funkce je konvexní na (-00, -6), (0,6), konkávni na (-6,0), (6,00) a má inflexní body x = -6, x = Q, x = 6. 632. Funkce je konvexní na (7,00), konkávni na (-00, 7) a má inflexní bod x— 7. 633. Funkce je konvexní na (—00, |), konkávni na (5, 00) a má inflexní bod x = |. 634. Funkce má inflexní body x = -^2>x = 635. Funkce má inflexní body x = -9,x = 0, x = 9. 636. Funkce má inflexní bod x = -2 + et. 637. Funkce má inflexní bod x = -4. 638. Asymptoty bez směrnice nemá, asymptoty se směrnicí jsou í/ = xvooay = x + 27ľ v -00. 639. Asymptota bez směrnice x = 0, asymptota se směrnicí y = x v 00. 640. Asymptota bez směrnice x = -1, asymptota se směrnicí y = x + 1 v 00, 641. Asymptoty bez směrnice nemá, asymptoty se směrnicí jsou y — 5x + \ v 00 a. y — 5x- I v -00. 642. Asymptota bez směrnice x = 2, asymptoty se směrnicí jsou y = 3x v 00 i -00. 643. Asymptoty bez směrnice jsou x = -2, x = 2, asymptoty se směrnicí jsou y = x v 00 i -00. 644. Asymptota bez směrnice x = 0, asymptoty se směrnicí y — 2x v 00 i -00. 645. Asymptoty bez směrnice nemá, asymptoty se směrnicí y = 0 v 00 i -00. 646. Asymptoty bez směrnice nemá, asymptoty se směrnicí jsou y = x + 5 v 00 i -00. 647. Asymptoty bez směrnice x = — -i-, rr = asymptoty se směrnicí jsou y = \ v 00 i -00. 648. Funkce je lichá, nulové body -y/Ž,0,\/3, minimum v bodě x • -1, maximum v bodě x = 1, klesající na (-00, -1), (l.oo), rostoucí na (-1,1), v x = 0 inflexní bod, konvexní na (-00, 0), konkávni na (0,oo). Asymptoty nemá. 649. Funkce má nulové body 0,1, maximum v bodě x - t, klesající na ( — 00, |), rostoucí na (|, 00), v x = l,x = — I inflexní body, konvexní na (—00, —|), (l,co), konkávni na (—4. 1). Asymptoty nemá. 650. Funkce je sudá, nemá nulové body, maximum v bodě x = 0, klesající na (0,1), (1,00), rostoucí na (-00,-1), (-1,0), inflexní body nemá, konvexní na (—00, —1), (1, 00), konkávni na (—1,1). Asymptoty x = —1, x — 1, y = 0. 651. Funkce je lichá, nulový bod x = 0, maximum v bodě x = 1, minimum v bodě 130 x = -1, klesající na (-00,-1), (1, co), rostoucí na (-1,1), inftexní body x = -V5,x = 0,x = y/E, konvexní na (-\/3,0), (V5,00), konkávni na (-00,-^), (0, V3). Asymptota y = 0. 652, Funkce je sudá, nezáporná, nulový bod x = 0, minimum v bodě x = 0, klesající na (-00,0), rostoucí na (0, 00), inflexní body x = x = 0,x = konvexní na (-^, ^), konkávni na (-oo, (^,00). Asymp- tota y = 1. 653. Funkce má definiční obor (-00,0) U (0,00), je lichá, v nule nespojitá, nulové body nemá, minimum v bodě x = 1, maximum v bodě x = -1, klesající na (-1, 0), (0,1), rostoucí na (-00,-1), (1,00), inflexní body nemá, konvexní na (0,00), konkávni na (-00,0). Asymptoty x — 0,y = x. 654. Funkce má definiční obor {-00,0) U (0,oo), není ani sudá, ani lichá, v nule nespojitá, nulový bod x = 1, minimum v bodě x = -^2, klesající na {-00, —0), (0,oo), rostoucí na (-\/2,0), inflexní body nemá, konvexní na Df. Asymptoty x = 0,y = -x. 655. Funkce má definiční obor R - {-1,1}, je lichá, v bodech x = -l,x = 1 nespojitá, nulový bod x = 0, minimum v bodě x = y/2 + y/b, maximum v bodě x = -y/2 + y/Š, klesající na intervalech {—y/2 +VŠ,-1), f-1,1), (1,^2 + rostoucí na (-00,-y/2 + {y/2 + >/5,00), inflexní bod x = 0, konvexní na (-1,0), (l,co), konkávni na (-00,-1), (0,1). Asymptoty x = -1, x = l,y = x. 656. Funkce má definiční obor Jž, není ani sudá, ani lichá, nulový bod x = 1, extrémy nemá, klesající na R, inflexní bod x = 0, Asymptota y = -x. 657. Funkce má definiční obor R, není ani sudá, ani lichá, nulové body x = —1, ^ = 0, minimum v bodě x = 0, maximum v bodě x = -§, klesající na (-§,0), rostoucí na (-00,-2^(0,00), inflexní bod x = -1, konvexní na (-00,-1), konkávni na (-1,0), (0, 00). Asymptota y= m +1, 658. Funkce má definiční obor (0,00), není ani sudá, ani lichá, nulový bod x = 1, maximum v bodě x — e2, klesající na (e2,00), rostoucí na (0,e2), inflexní bod x = e§, konvexní na (et,oo), konkávni na (0,ef). Asymptoty x = 0,y = 0. 659. Funkce má definiční obor (-1,1), je lichá, nulový bod x = 0, extrémy nemá, rostoucí na (-1,1), inflexní bod x = 0, konvexní na (0,1), konkávni na (-1,0). Asymptoty x = -1, x = 1. 660. Funkce má definiční obor iř, je lichá, nulový bod x = 0, maximum v bodě x = 1, minimum v x = -1, v bodech x = -l,x = 1 neexistuje derivace, klesající na (-00,-1), (-1,00)', rostoucí na (-1,1), inflexní bod x = 0, konvexní na (0,1), (1,00), konkávni na (-00, -1), (-1,0). Asymptota y = 0. 661. Funkce má definiční obor R, není ani sudá, ani lichá, nulové body x = -l,x = ^, maximum v bodě x = -1, minimum v x = 0, klesající na (-1,0), rostoucí na (-00,-1), (0, oo), inflexní bod x - 0, konvexní na R. Asymptoty nemá. 662. Funkce má definiční obor R, je sudá a nezáporná, nulový bod x = 0, minimum v bodě x = 0, klesající na (-00,0), rostoucí na (0,oo), konvexní na R. Asymptoty y = —Šiké - l,y == ±nx - 1. 663. Funkce má definiční obor (-00,1) U (2,00), není ani sudá, ani lichá, nulový bod x = 0, maximum v bodě x = minimum v bodě x = £±jp, klesající na (^,1), (2, Z±^Ž), rostoucí na (-00, (l±fl, 00), konvexní na (2, 00), konkávni na (-00,1). Asymptota y = x + |„ 664. M = [§, 0]. 665. 4 x 4 x 2 m. 666. (4i +6Ä)f. 667. 12 x 15. 668. 10,29 km, 57,77 km/h. 131 8. křivky a funkce dané parametricky 677. y' = -l,ř # 1. 678. y> = g^f 679. y' = -tg fe*. # f '■ 680. ^ - ^S-ľ™^* ^ f- 681. y' = 2icos2ŕ,y" - 2ť(cos2ŕ - 2ísm2f),y'" = 2í((l - 4ť2)cos2ŕ- 6ŕsin2ť),ŕ > 0. 682. y' = gg^f.y" = (sint)l, y'" = 'l^tľcolos0, í # f + fcr, 683. x - 2y - 1 = 0, 2x + y - 2 = 0. 684. x + y - !(3tt + 4) = 0,x + y- = o. 685. A = [f,eTJ, 686. A = [-4,1],B = [4,1]. 687. a = 3,6 = 1. 688. y = 2x - 2e. 689. x + y + a = 0. 690. Funkce je definovaná a spojitá na (—oo, —1) U (0, oo). Graf je symetrický podle bodu A = [— |, |], Funkce je všude klesající, na (-oo, —1) je konkávni a na (0, oo) konvexní. Asymptota y — \. 691. Pro ŕ G (-1, -^) je funkce definovaná a spojitá na (—oo, v^i). Nulový bod [0,0]. Funkce klesá na (-oo, 0) a roste na (0, s/Á), minimum y = 0 pro x = 0. Funkce je konvexní. Asymptota x -I- y -j- 1 = 0. Pro ŕ G (^,oo) je funkce definovaná a spojitá na (0, y/4). Funkce klesá na {\ŕ2, a roste na {0, \/2), maximum y — \fi pro x = \/2. Funkce je konkávni. Pro í G (—oo, —1) je funkce definovaná a spojitá na (0,oo). Funkce je klesající a konvexní. Asymptota x + y + 1 = 0. Křivka je symetrická podle přímky y = x. (Descartův list.) 692. Pro ť G (0,e) je funkce definovaná a spojitá na (—oo, -). Nulový bod [0,0]. Funkce klesá na (—oo, — e) a roste na (—e, \). Funkce je konvexní na (-v^e^i), konkávni na (-oo, -v^e^2), inflexní bod [-v^e^,-V^e"^]. Asymptota y — 0. Pro ŕ G (e,oo) je funkce definovaná na (0,^). Je spojitá a klesající. Na (0, \/2e-v/2) je konvexní, na (\/2e~^^) konkávni. Inflexní bod [\/2e~^, v^e^]. Asymptota x = 0. Křivka je symetrická podle přímky y = —x. 693. Pro í G (—oo, —1) je funkce definovaná a spojitá na (—1,0). Je spojitá a klesající. Konvexní na (-■;,-y/2e~v^), konkávni na (-v/2e~v'2, 0), inflexní bod [-\/2e~^,-y/2e^]. Asymptota x = 0. Pro t G (-l,oo) je funkce definovaná a spojitá na (—£,oo). Na (—|,e) rostoucí, na {e, oo) klesající. Maximum y = | pro x = e. Na (~,\/2e^) je konkávni, na (\/2e^,oo) konvexní. Inflexní bod [?/2e-, v/2e~v'2]. Asymptota y = 0. Křivka je symetrická podle přímky y = — x. 694. Křivka je grafem jediné funkce definované na (0,1). Graf je symetrický podle |f = x. Je spojitá a klesající a konvexní. Nulový bod [1,0]. 695. Pro t € (-oo, 1) je funkce definovaná a spojitá na (-oo, 1). Nulové body A — [-3 - 2\/3,0], B = [0,0]. Je klesající na (-oo, —3), rostoucí na (—3,1), minimum y = -2 pro x — —3. Je konvexní. Pro ť G (l,oo) je funkce definovaná a spojitá na (-oo, 1). Nulový bod C = [-3 + 3V5.0]. Je rostoucí a konvexní. V bodě [1,2] nemá teénu. III. Integrální počet funkcí jedné proměnné 1. Neurčitý integrál 720. ~lih + -k+x+l + c- 721- m|x|-^+C. 722. i %P _ ± y^T + c. 723. arcsinx+ln |x+\/l + x2|+c. 724. 3ýš(f-l)+c. 725. 3tgx-f2cotgx+e. 726. itgx + c. 727. -!m|3e2*-l|+c. 728. ~J In |1 + 3cosx| + c. 729. ^I?*2"* ~ 2x + c. 730. tgx - cotg x + c. 731. In | arcsinxj + c. 732. i{3x - ll)10 + c. 733. 132 1 {x* + 2)* + c. 734. - i (1 - x)21 + i (1 - x)22 - É (1 - x)23 + i (1 - x)24 + c. 735. -i(2x + 3)3 + c. 736. larctg3^+c. 737. lnj^ + c. 733, i. ]n 3±g +c 739- ^arctg^f+c.740. ^arctgf-2+c. 741. |l»|^|*ft 742. ^arctg^ + c. 743. 4-x + arctgx+c. 744. -^(x2 + 4)5 +c. 745. ■ ■arctg (*2\/§) + c. 746. ^arctg x3+c. 747. -\{\+%%f+c, 748. - jy^7 - 3x)34c. 749. | {/(2x + 5)9+c. 750. f v/(x + 2)7-|v/(x + 2)4 + c. 751. -| ^(1 - x2)3+c. 752. 3 v/(2x + 3)3 - Vi - x2 + c. 756. 753. \ arcsin 4f + c. 754. -gV4 - 5x2 4- c. 755. arcsin x \ arcsin SagJl + c. 757. ln(x 4 2 4 n/x2 + 4x + 5) 4- c. 758. J ln |x3 4- Vx6 - 4| 4 c. 759. -fylŠ -x6 4- c. 760. x - \og3(2ř 4 1) + c. 761. -§ ^(2 - Se*)3 4- c. 762. 'Ä ln<2~f + Vi 4- 2-1) 4- c. 763. ^(x2 4 2)(ln(x2 4 2) - 1} + c. 764. £ln5x + c. 765. |vVx - 4v/ínx 4 c. 766. sin(lnx) 4- c. 767. In y/\ sin(2x 4-1)| 4 c. 768. -|cos{8x-3)4-c. 769. In | sin e* | 4 c. 770. 2 In | sin yß\ 4 c. 771. |tg2x4c. 772. ^In|243sin2x|4-c. 773. ^4-c. 774. -2v/2 4- cosx4c. 775. §tg(x34-l)4-c. 776. -i cos(x2 4- 4) 4- c. 777. i ln ] cos(l - x2)| 4- c. 778. 4- c. 779. fvWx 4 c. 780. 3vsiiTx4-c. 781. 2x/tg x - 1 4 c. 782. ln(sin2x 4 3) 4 c. 783. tgf + c. 784. §4-1 sin2x4-a 785. f-| sin2x4c. 786. In|tg{±x4l7r)|4c. 787. ln|tg||+c. 788. iln|tg^| + c. 789. íít^+c. 790. ln |arctgi| + c. 791. ~ ln(x2 + l)-^arctg2x4c. 792. — f Varccos3x4-c. 793. s/l - x2 — \ arccos2 x+c. 794. sinx—xcosx4c. 795. ±x2(21nx-l) + c 796. ±x2(ln2 x -lnx+ \) 4c. 797. |(x2 4 3)(ln{x2 4 3) - 1) 4 c. 798. |(x3 + l)arctgx-|4c. 799. \{x24l)arccotg2x4xarccotgx + \ ln(x2 + l) 4c. 800. -i(2x2 - l)cos2x4 §xsin2x4-c. 801. |x3arctgx - ^x2 4- \ ln(x2 4 1} 4 c. 802. (x2 4- 6x 4 + (x 4 5)»^ + c. 803. xarcsinx 4 Vi - x2 4 c. 804. x ln(x 4 Vl + x2) - \/l 4 x2 4 c. 805. x arcsin ^^+1 + arctgv7^ - Vž + c. 806. 2ev^(%/x - 1) 4- c. 807. \{x 4- \/l - x2)eWC8in* 4- c. 808. -|(ln3x 4 31n2x 4 61nx 4 6) 4 c. 809. 2^/x(\nx - 2) 4 c. 810. (lnx)(lnlnx - 1) 4- c. 811. x-Vl - x2 arcsinx 4c. 812. ln tg| - cosx - ln tgx 4 c. 813. xtgx 4 in | cosxj — 814. x - \ ln(e21 4-1) - e^arctge* 4 c. 815. ^S+i ' + C' 816- Ä ln 2 2ľ-3 x+4 4 c. 817. f ln |3x - 2| 4- 3 ln |x - 3| 4 c. 818. 5x 4 ln + c. 819. 5x 4 21n|x| 4 31n|x-2|+41n|x + 2|+ c. 820. |x2 + x- |ln|3x4-2| 4 |ln|3x - 1| -ln|x-l|4-c. 821. 4 ln [3x - 4| 4 c. 822. ±+ln|s=i|+c. 823. ^ - 3x + 3\/3arctg^= 4- c. 824. x 4 ln |x2 4 x 4 2| - ^ arctg ^ 4 c. 825. x 4 ln 4 c. 826- i ln 4 T^arctg2^ + c. 827. ^ ln g±^±i 4 f arctgf^ 4 c. 828. ^f^y 4- ^arctg2^ 4 c. 829. --^ - ^arctg2^ 4 c. 830. 3(^p - v^ + ln|l4- v^l) + c 831. 6(^p - | Vx*4 | Vx3 - i^x 4- arctgýx) 4 c. 832. 2\/l - x 4- ln c. 835. ^=ln|x\/3 . 5v/3 + c. 833. arcsin x - Vi - x2 4- c. 834. arctg /x—4 4 4- V3x2 - 5x 4 8| 4- c. 836. arcsin ^±1 + c. 837. 133 3V£2 - 2x + 2 + c. 838. 3^2-v/3 + 4x + x2 - \ln|x + 2 + v/3 + 4x + x2| + c. 839. «±1V3 - 2x - xa + 2 axcsin £±± + c. 840. y/(2x - 8)3(^ + |) + c 841. ^ - i ln £±£ - f arctg2^ + Cl I = ^. 842. tgx + gfe + c. 843. lln t«f-2 2tfi|-l + c. 844. -j-ln|tg(| - |)| +c. 845. ln | sinx + cosx| + c. 846. iarctg(^)+c. 847. S"f* - 2 cos x + 31n(cos x + 2) + c. 848. 1(1 + cos x}2 4-c. 849. ln|tg(| + f )| + c. 850. -±sin6x + c. 851. SJjfi + ln|cosx| + c. 852. s + ltg7x - |tg5x+|tg3x - tgx + c. 853. -§ + J ln(e21 + 4) + ^arctgíf + c. 854. -lnfe-* + \/e-2x - 1) - arcsine* + c. 855. -Ve"21 + 4e":E - 1 - 21n(2 + e"1 + Ve"235 +4e~x- l) + arcsin +c. 856. -A ln(x2 +1) + \ ln |x2 -1| + jarctgx2 + c. + c. 858. xx + c. 859. fx3 ln Vl - x - |ln|x- 1] - /x+l-2 VxTÍ+2 857. 2y/x + 1 + 2 ln fi-f^-f+c. Sec! -^In^p^ + c. 861. |v¥W + ^ 862. e-tgf + c. 863. mI=4^-™*+c. 864. -šít ln |^ +Vx2 - 1| + | arccos | + ^fp + c. 865. —fj — f + i(x2 + l)2arctgx + c. 2. RlEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL 877. ŠaM, 878. fl - 321n3. 879. k 880. m p. 881. 12. 882. £ 3e4 + e3 + 49 20- 3 " °'°* 15 ~ «* n- 4" 111 27" "--- 5 ' 4 ' " ' 883. |. 884. |. 885. §. 886. §. 887. In3. 888. arctgf. 889. i^§=2- 890. §. 891. 2ln2-1. 892. ^.893. 2(2- arctg2). 894. f+1.895. In 896. ! + 897. Af2-. 898. 4 - tt. 899. ^ arctgf. 900. ln §. 901. 1 - f 902. s!±ä. 903. 904. tt. 905. £ -lny7^ 906. Inf 907. 1. 908. § 909. 2 - ln2. 910. 911. |. 912. 12. 913. 914. 2 - 915 §§§.916. Ins±£+p. 917. £.918. -I(tt + 919. 920. -|. 921 81n3 - 151n2. 922. - \ ln(2 + s/$). 923. i§* - 2v/3. 924. §, 925. ff. 926 |ír - v^Š. 927. 2*^2. 928. í - f. 929. f (eff - 1). 930. ||, 931. 4 - tt. 932 -3tt2 + 24. 933. §&,f. 934. 9. 935. f. 936. 15, *f tt. 937. 938. § 939. 2tt+ |. 940. A, 941. |, 942. §7ra2. 943. f§. 944. + \ln(6 + Vfl) 945. lntg^. 946. f^. 947. (7 - Af ln2)f. 948. f. 949. 950. §f*. 951 §7ra3. 952. 5 - Trrv7^^, V = |#rV 953. 2f. 954. 955. a§* 956 ttv^ + irln(v^+l)- 957. 27r[v^ + ln(v^ + 1)]- 958. i2^. 959. T - [1, §]. 960 rp _ r83 _9l 3. Nevlastní integrál 967. 1. 968. §. 969. f. 970. §, 971. 1. 972. ^. 973. ||. 974. 975. 976. tt. 977. |. 978. 6$2. 979. §. 980. |. 981. e"1. 982, -|, 983. |, 984. 0. 985. f -arcsinf. 986. In3. 987. Ano. 988. Ano. 989. Ne. 990. Ne. 991. Ano. 992. Ne. 993. Ano. 994. Ne. 995. Ano. 996. Ne. 997. Ano. 998. Ano. 999. Ne. 1000. Ano. 134