Shodná zobrazení


Zobrazení, které každému bodu X roviny (prostoru) přiřazuje bod X´ téže roviny (prostoru) se nazývá
shodné zobrazení, právě když pro libovolné dva body X, Y této roviny (prostoru) platí: XY @ X´Y´.

Body X,Y nazýváme vzory, body X´, Y´ jsou obrazy bodů X,Y.

Každé shodné zobrazení je prosté zobrazení roviny (prostoru) na sebe.


Obrazem U´geometrického útvaru U nazýváme množinu obrazů všech bodů útvaru U.

Jestliže platí U = U´, nazýváme útvar U samodružným útvarem v daném  zobrazení.

Bod, který se zobrazí sám na sebe, se nazývá samodružný bod v daném zobrazení.


Připomeňte, že ve shodném zobrazení je obrazem úsečky AB  úsečka A´B´, která je shodná s úsečkou
AB; obrazem polopřímky PM  polopřímka P´M´; obrazem úhlu AVB úhel A´V´B´, který je shodný s úhlem
AVB; obrazy rovnoběžných přímek jsou přímky rovnoběžné.


Druhy shodných zobrazení v rovině:


Osová souměrnost

(je určena přímkou o – osou souměrnosti)

je shodné zobrazení v rovině, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz bod X´ podle
následujícího pravidla:

a) jestliže bod X je bodem přímky o, pak X´= X.

b) jestliže bod X neleží na přímce o, pak XX´^ o  a  ÷X´,oê= ÷X,oê.


Středová souměrnost

( je určena bodem S – středem souměrnosti)

je shodné zobrazení v rovině, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz bod X´ podle
následujícího pravidla:

a) jestliže bod X ≠ S, pak S je středem úsečky XX´

b) jestliže bod X = S, pak X´= X.


Posunutí

(je určeno uspořádanou dvojicí bodů AA´ )

je shodné zobrazení, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz bod X´ tak, že úsečka XX´ je
shodná s úsečkou AA´ a polopřímky XX´ a AA´ jsou "souhlasně rovnoběžné".


Otáčení

(je určeno bodem S a orientovaným úhlem otáčení α)

je to shodné zobrazení, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz bod X´ podle následujícího
pravidla:

a)  jestliže bod X ≠ S, pak orientovaný úhel XSX´ je shodný s orientovaným úhlem α a úsečky XS a
X´S  jsou shodné.

b) jestliže bod X = S, pak X´= X.


Identita

je shodné zobrazení, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz tentýž bod, X = X´


Posunutá souměrnost – shodné zobrazení složené z osové souměrnosti a posunutí ve směru osy.



Úkoly:

1.      Zobrazte obecný trojúhelník v jednotlivých shodných zobrazeních. (Určující prvky každého
zobrazení si zvolte; volte různé polohy trojúhelníku vzhledem k určujícím prvkům.


2.      Rozhodněte  o samodružných bodech a přímkách v každém z uvedených shodných zobrazení.




Shodná zobrazení v prostoru – příklady:


Rovinová souměrnost (je určena rovinou souměrnosti)

Středová souměrnost (je určena bodem – středem souměrnosti)




Shodnost geometrických útvarů

Dva geometrické útvary U[1], U[2]  nazýváme shodné, právě když existuje takové shodné zobrazení, v
němž je obrazem útvaru  U[1 ]útvar U[2] .

(Ve školské matematice říkáme, že dva útvary jsou shodné, když je můžeme přemístit tak, aby se
kryly.)



Souměrnost geometrických útvarů


Útvar  U nazýváme osově (nebo středově) souměrný, právě když se v nějaké osové (nebo středové)
souměrnosti zobrazí sám na sebe (tzn. že je v tomto zobrazení samodružný)

Říkáme také, že je souměrný po osy, nebo podle středu.


Je-li útvar prostorový, můžeme uvažovat o jeho souměrnosti podle roviny nebo podle bodu – středu.



Úkoly:

1.      Uvažujte různé druhy čtyřúhelníků a rozhodněte, zda jsou některé z nich souměrné podle  osy
nebo podle středu.


2.      Která velká písmena tiskací abecedy jsou souměrná?


3.      Napište tiskacím písmem slova, která lze číst stejně dobře v zrcátku jako přímo.


4.      Uvažujte rovinné útvary: kružnice, rovnostranný trojúhelník, rovnoramenný trojúhelník,
pravidelný šestiúhelník, pravidelný pětiúhelník, přímka, polopřímka.

a)     Určete, které z těchto útvarů jsou středově souměrné podle nejvýš jednoho středu.

b)     Určete, které z těchto útvarů jsou osově souměrné podle alespoň dvou os souměrnosti.







Činnosti:

-        Děti přeloží papír a vystřihují útvary podle předkresleného vzoru (polovina srdíčka,
zvonku, listu, hvězdičky atd.) nebo vlastní tvary tak, aby neodstřihly přehyb. Po rozevření papíru
uvidí souměrný útvar; přehybem je  vyznačena část osy souměrnosti.


-        Ve čtvercové síti je zakreslena polovina útvaru, děti dokreslují druhou část útvaru tak,
aby byl souměrný.


-        Děti hledají souměrné útvary ve svém okolí.


-        Děti zjišťují, zda zadaný útvar je souměrný, hledají jeho osu souměrnosti.


-        Rozhodují o tom, kolik os souměrnosti mají některé útvary, např. čtverec, obdélník,
rovnostranný trojúhelník atd. (2. st. ZŠ)