Pravděpodobnost, statistika a
operační výzkum
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
Mgr. Jan Koláček, Ph.D.
ÚSTAV MATEMATIKY
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 1
Obsah
I Statistické metody 6
1 Odhad parametrů, t-test, intervaly spolehlivosti 6
1.1 Nestranný a konzistentní odhad parametru rozdělení . . . . . . . . . . . . 6
1.2 t-test typu „µ =konstanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Několik poznámek ke statistickému testu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Logika formulace „nezamítáme H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Snížení rozptylu zvyšuje sílu testu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Interval spolehlivosti pro µ při známém rozptylu . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Interval spolehlivosti pro µ při neznámém rozptylu . . . . . . . . . 22
1.4.3 Několik důležitých poznámek k intervalům spolehlivosti . . . . . . . 24
1.5 t-test typu „µ1 = µ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Párový test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Nepárový test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Předpoklady použitelnosti parametrických testů . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Otázky k opakování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9 Příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Analýza rozptylu 39
2.1 Jednofaktorová analýza rozptylu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Příklad a vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Důležité drobnosti k zapamatování . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Dvoufaktorová analýza rozptylu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1 Příklady a vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2 Dvě poznámky jako bonus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Experiment opakovaného měření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Korelační přístup, regresní přímka 69
4 Po analýze rozptylu nebo místo ní 70
5 Rozdělení χ2
71
6 Neparametrické testy 72
II Operační výzkum 73
2 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
7 Lineární programování 74
7.1 Grafické řešení úlohy lineárního programování . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Analýza citlivosti na základě grafického náhledu . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3 Algebraické řešení úlohy lineárního programování – simplexová metoda . . 84
7.4 Analýza citlivosti pomocí výstupní simplexové tabulky . . . . . . . . . . . 90
7.5 Obecný tvar simplexové metody s využitím umělých proměnných . . . . . 92
7.6 Úskalí simplexové metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.7 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.8 Otázky k opakování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.9 Příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8 Dualita v úlohách lineárního programování 107
8.1 Formulace duální úlohy lineárního programování . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2 Vztah mezi řešením primární a duální úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 Pojem inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.4 Ekonomická interpretace duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.5 Duální simplexová metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.6 Analýza citlivosti v celé své kráse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.7 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.8 Otázky k opakování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.9 Příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9 Dopravní úloha 125
9.1 Řešení dopravního problému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.2 Přiřazovací úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.3 Problém překladu materiálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.4 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.5 Otázky k opakování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.6 Příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10 Dynamické programování 154
10.1 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.2 Otázky k opakování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.3 Příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11 Modely skladových zásob 170
11.1 Deterministické modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.1.1 Statický model pro jednu položku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.1.2 Statický model pro jednu položku s diskontními cenami . . . . . . . 172
11.1.3 Statický model pro více druhů zboží s omezením skladového prostoru174
11.1.4 Dynamický model pro jednu položku a N období . . . . . . . . . . 176
11.1.5 Dynamický model plánování výroby jedné položky na N období . . 182
11.2 Pravděpodobnostní modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.2.1 Model nepřetržité kontroly pro jednu položku . . . . . . . . . . . . 188
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 3
11.2.2 Model pro jednu položku a jedno období s jednorázovou objednávkou
na začátku období a jednorázovou poptávkou . . . . . . . . . . 191
11.2.3 Model pro jednu položku a jedno období se stejnoměrnou poptávkou
v průběhu celého období . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.2.4 Model pro jednu položku a jedno období s jednorázovou poptávkou
na začátku období, přičemž uvažujeme cenu K objednávky . . . . . 195
11.3 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.4 Otázky k opakování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.5 Příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12 Pravděpodobnostní dynamické programování 208
12.1 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.2 Otázky k opakování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12.3 Příklady ke cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13 Odpovědi na otázky a výsledky příkladů ke cvičení 222
13.1 Výsledky cvičení ke kapitole 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13.2 Výsledky cvičení ke kapitole 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13.3 Výsledky cvičení ke kapitole 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
13.4 Výsledky cvičení ke kapitole 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
13.5 Výsledky cvičení ke kapitole 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.6 Výsledky cvičení ke kapitole 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.7 Výsledky cvičení ke kapitole 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Seznam tabulek
1.1 Kritické hodnoty t-testu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Kritické hodnoty F-testu pro α = 0,05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Kritické hodnoty F-testu pro α = 0,01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Vzorce pro typy rozpylu u jednofaktorové ANOVA . . . . . . . . . . . . . . 50
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 5
Úvod
Tato skripta jsou napsána jako doplňující text předmětu MPSO pro první a druhý ročník
magisterského studia FEKT. Daný předmět se skládá ze dvou odlišných oblastí matematiky
– statistiky a operačního výzkumu. Jádrem první části je zejména učebnice [1],
jádrem druhé části jsou některé kapitoly učebnice [4].
V oblasti statistiky se studenti seznámí s mnoha dalšími statistickými testy a snad
dosáhnou cíle, kterým je vytvořit jistý cit o vhodnosti použití toho či onoho statistického
testu. V oblasti operačního výzkumu budou studenti jen lehce uvedeni do mnohavrstevné
otázky optimalizačních metod a hledání optimálního řešení. Obor optimalizace nebude
ovšem „navštíven do té míry, kterou by technické aplikace vyžadovaly – mnohé třídy
řešených úloh praxe nebudou v zorném poli předmětu.
Text začal vznikat v roce 2005 a část „operační výzkum je hotová. Část „statistické
metody bude doplňována v průběhu několika příštích let, nepřepsaný rukopis je k
dispozici na adrese
http://www.umat.feec.vutbr.cz/~fajmon/mpso/mpso.zip
(oproti elektronickému textu je v rukopisu několik změn označení – lze je zjistit
porovnáním příslušných stránek).
autoři, Brno 2005
6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Část I
Statistické metody
Předmět MPSO je po BMA3 už druhým předmětem, jehož část se zabývá pravděpodobností
a statistikou. Zatímco v předmětu BMA3 byla těžištěm zájmu pravděpodobnost, v
této části předmětu MPSO bude těžištěm zejména statistika. Protože základní principy
statistiky byly už probrány v předmětu BMA3, doporučujeme příslušné oddíly projít
ještě jednou – jedná se o oddíly 11.3 (základní principy statistického testu), 11.4
(příklad diskrétního jednostranného testu), 13.5 (příklad spojitého testu jednostranného
i oboustranného), 14.3 (spojitý test průměru měřených hodnot) v elektronickém textu
BMA3. Uvedené opakování se bude určitě hodit. Také tabulku hodnot distribuční funkce
Φ normovaného normálního rozdělení U z textu BMA3 budete možná ještě potřebovat.
Protože čtenář už snad zná aspoň některé principy statistického uvažování, „vkročíme
přímo do děje další části . Omluvte prosím témata některých příkladů – i když už máme
k dispozici učebnici [2] šitou na míru inženýrského studia, příklady z učebnice [1] jsou
vzaty z oboru sociologie a v některých případech se jich budeme držet. Snad to nebude
na újmu statistické části textu, která se zabývá popisem veličin a zpracováním dat bez
ohledu na to, v jakém oboru byla data získána.
1 Odhad parametrů, t-test, intervaly spolehlivosti
1.1 Nestranný a konzistentní odhad parametru rozdělení
Ve statistických testech v kapitolách 13, 14 textu BMA3 jsme tiše předpokládali, že rozptyl
σ2
je známý. To ale ve skutečnosti většinou není pravda a my jej musíme odhadnout (=
přibližně určit). Proto se nyní pustíme do trochy teorie a praxe v odhadování parametrů.
Příklad 1.1 Pět sad součástek o dvaceti kusech bylo podrobeno zkouškám extrémních
teplot. U každé sady je v tabulce uveden počet součástek z daných dvaceti, které v teplotní
zkoušce obstály:
z 20 obstálo xi xi − x (xi − x)2
13 0 0
11 -2 4
12 -1 1
15 2 4
14 1 1
V tabulce už byla využita hodnota průměru 1
5
xi = 13. Ve třetím sloupci tabulky jsou
uvedeny čtverce odchylek od průměru, odkud spočteme empirický rozptyl (= průměr
čtverců odchylek od průměru ... :-)):
s2
=
1
5
(xi − x)2
=
10
5
= 2.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 7
Jedná se o měření hodnot náhodné veličiny, kterou je možné popsat střední hodnotou µ a
rozptylem σ2
. Ovšem tyto hodnoty neznáme - pokusíme se je odhadnout. Otázka zní: Jak
dobrým odhadem pro µ je průměr x? Jak dobrým odhadem pro σ2
je empirický rozptyl
s2
?
Jak už bylo řečeno v oddílech 14.1, 14.2 textu BMA3, hodnoty x, s2
jsou různé pro
různé soubory měření, při jejich popisu užíváme náhodné veličiny X1, X2, . . . , XN označované
jako náhodný výběr. Zde v teorii odhadů je potřeba tento i následující pojmy uvést
přesně.
Definice 1.1 Říkáme, že veličiny X1, X2, . . . , XN tvoří náhodný výběr rozsahu N z
rozdělení pravděpodobnosti o distribuční funkci F(x), pokud
a) jsou navzájem nezávislé;
b) mají stejné rozdělení pravděpodobnosti zadané distribuční funkcí F(x).
Rozlišujeme tedy stejně jako ve 14.2 (BMA3) malá a velká písmena. Třeba v příkladu
1.1 je x1 = 13, ale stejně dobře jsme mohli naměřit x1 = 10 nebo x1 = 17 – tuto náhodnost
prvního měření reprezentuje náhodná veličina X1, které nepřiřazujeme žádnou konkrétní
hodnotu, pouze jsme si vědomi, že pod (velkým písmenem) X1 se mohou skrývat různé
hodnoty. Podobně se mohou skrývat různé hodnoty pod veličinami X2, . . . , XN .
Definice 1.2 Libovolnou funkci TN := T(X1, X2, . . . , XN ) nad náhodným výběrem X1,
X2, . . . , XN nazveme statistikou. Specielně
a) Statistiku
X =
1
N
·
N
i=1
Xi (1.1)
nazveme výběrovým průměrem;
b) Statistiku
S2 =
1
N − 1
·
N
i=1
(Xi − X)2
(1.2)
nazveme výběrovým rozptylem.
Dále pokud do statistiky TN dosadíme konkrétní naměřené hodnoty x1, x2, . . . , xN ,
dostaneme hodnotu tN = t(x1, x2, . . . , xN ), která se nazývá realizací statistiky TN .
Například pokud dosadíme do vzorců 1.1, 1.2 konkrétní hodnoty měření xi, dostaneme
realizaci x výběrového průměru X a realizaci s2 výběrového rozptylu S2.
No a nyní nás bude zajímat, jak dobrým odhadem neznámé střední hodnoty µ veličiny
X je realizace x výběrového průměru X (respektive jak dobrým odhadem neznámého
rozptylu σ jsou realizace s2
, s2 veličin S2
, S2).
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Definice 1.3 Statistiku TN nazveme nestranným odhadem parametru γ, pokud
ETN = γ (střední hodnota veličiny TN je rovna hodnotě parametru γ).
Vysvětlení pojmu nestrannosti pomocí konkrétních hodnot měření: pokud budeme
opakovaně měřit hodnoty x1,i, x2,i, . . . , xN,i a opakovaně počítat realizace
tN,i = t(x1,i, x2,i, . . . , xN,i) nestranného odhadu TN parametru γ pro i = 1, 2, . . . , n, . . . ,
bude platit vztah
lim
n→∞
P
1
n
n
i=1
tN,i ∈ (γ − ε; γ + ε) = 1 (1.3)
platí pro každé malé pevně zvolené reálné kladné ε.
Laicky řečeno, pokud TN je nestranným odhadem parametru γ rozdělení veličiny X,
tak pro rostoucí n (= rostoucí počet realizací tN,i) je průměr realizací 1
n
n
i=1 tN,i
skoro jistě (= s pravděpodobností rovnou jedné) stále blíže hodnotě γ.
Jinými slovy, nestrannost zaručuje takovou konstrukci vzorce pro TN , která bere v
úvahu všechny možné dostupné realizace tN,i a nestraní žádné z nich – pro rostoucí
počet realizací se aritmetický průměr těchto realizací skoro jistě blíží neznámé hledané
hodnotě γ.
Definice 1.4 Statistiku TN nazveme konzistentním odhadem parametru γ, pokud posloupnost
náhodných veličin (TN )∞
N=1 konverguje k hodnotě parametru γ podle pravděpodobnosti,
tj.
lim
N→∞
P (TN ∈ (γ − ε; γ + ε)) = 1 (1.4)
platí pro každé malé pevně zvolené reálné kladné ε.
Laicky řečeno, pokud TN je konzistentním odhadem parametru γ rozdělení veličiny
X, tak pro rostoucí N (= rostoucí počet měření pro výpočet jedné realizace) je
hodnota tN skoro jistě (= s pravděpodobností rovnou jedné) stále blíže hodnotě
γ.
Jinými slovy, konzistence zaručuje takovou konstrukci vzorce pro TN , která je
konzistentní (= česky: důsledná) v tom ohledu, že pro rostoucí počet měření při
výpočtu jedné realizace se tato realizace skoro jistě blíží neznámé hledané hodnotě γ.
Uvedené definice nyní osvětlíme konkrétně při hledání odhadu střední hodnoty µ a
rozptylu σ2
veličiny X s normálním rozdělením pravděpodobnosti.
Věta 1.1 Pokud náhodná veličina X má konečnou střední hodnotu µ, tak výběrový průměr
X je nestranným a konzistentním odhadem µ.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 9
Skutečně, v odstavci 14.2 textu BMA3 bylo spočteno, že
a) µX = EX = E 1
N
Xi = µ, tj. střední hodnota náhodné veličiny X je rovna parametru
µ; tedy odhad X je nestranným odhadem střední hodnoty µ.
b) σ2
X
= DX = D 1
N
Xi = σ2
N
a platí
lim
N→∞
DX = lim
N→∞
σ2
N
= 0,
tj. limita rozptylu odhadu X pro rostoucí počet měření je rovna nule – jinými slovy,
realizace odhadu X se pro rostoucí počet měření skoro jistě blíží hodnotě µ, čili X
je konzistentním odhadem hodnoty µ.
Čili vzorec pro průměr hodnot x funguje přesně tak, jak potřebujeme – „nestraní
konkrétnímu měření a „skoro jistě směřuje přímo k určení střední hodnoty µ, a dále je
konzistentní (= důsledný) v tom smyslu, že průměr tisíce hodnot je „skoro jistě lepší
odhadem µ než průměr stovky hodnot.
Otázkou nyní je najít nejvhodnější odhad pro neznámý rozptyl σ2
veličiny X. Máme
k dispozici hodnotu S2
jako míru vychýlení od průměru – je ona tím nejvhodnějším
odhadem hodnoty σ2
?
Věta 1.2 Pokud náhodná veličina X má konečnou střední hodnotu µ a konečný rozptyl
σ2
, tak nestranným a konzistentním odhadem rozptylu σ2
veličiny X je výběrový rozptyl
S2 :=
1
N − 1
N
i=1
(Xi − X)2
=
N − 1
N
· S2
.
Při vysvětlení obsahu předchozí věty začněme nejprve u odhadu S2
zopakováním
vzorce – v textu BMA3 (kap. 10) bylo řečeno, že empirický rozptyl s2
lze vyjádřit buď z
definice jako
s2
=
1
N
·
N
i=1
(xi − x)2
, (1.5)
nebo po úpravách ve tvaru praktičtějším pro výpočet (= průměr čtverců minus čtverec
průměru)
s2
=
1
N
N
i=1
x2
i − x2
. (1.6)
Při matematickém popisu nyní musíme konkrétní měřené hodnoty ve vzorcích nahradit
náhodnými veličinami s velkými písmeny a dostáváme
S2
=
1
N
·
N
i=1
(Xi − X)2
, (1.7)
10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
respektive
S2
=
1
N
N
i=1
X2
i − X
2
. (1.8)
a) Užijeme zde známých faktů z oddílu 14.2 textu BMA3, že totiž σ2
= EX2
i − µ2
, a
dále platí σ2
X
= EX
2
− µ2
. Vypočtěme střední hodnotu veličiny S2
:
ES2
= E
1
N
X2
i − X
2
=
1
N
EX2
i − EX
2
=
=
1
N
(σ2
+ µ2
) − (σ2
X
+ µ2
) =
= σ2
+ µ2
− σ2
X
− µ2
= σ2
− σ2
X
= σ2
−
σ2
N
=
N − 1
N
· σ2
.
Čili střední hodnota statistiky S2
není rovna odhadovanému parametru σ2
, to znamená,
že S2
není nestranným odhadem rozptylu σ2
. Zkrátka a dobře vzoreček 1.7
není dobře zkonstruován, protože jeho realizace s2
jsou vždy trochu menší než neznámá
hledaná hodnota σ2
s2 .
=
N − 1
N
· σ2
< σ2
,
až na patologické případy σ2
= 0 a σ2
= ∞, které nás nezajímají (matematicky
jsou takové náhodné veličiny zkonstruovatelné, ale v praxi měřené veličiny mají
vždy konečný kladný rozptyl). Ale k nalezení nestranného odhadu už máme jen
krok – můžeme se totiž poučit z výpočtu ES2
. Pokud vynásobíme S2
konstantou
N
N−1
(označme novou veličinu S2):
S2 :=
N
N − 1
· S2
, (1.9)
tak dostaneme
ES2 =
N
N − 1
· ES2
=
N
N − 1
·
N − 1
N
· σ2
= σ2
,
čili S2 už je nestranným odhadem hodnoty σ2
.
b) Dá se ukázat, že S2 je i konzistentním odhadem rozptylu σ2
, což plyne z faktu, že
lim
N→∞
σ2
S2 = 0,
ale to zde už podrobně provádět nebudeme.
Dále budeme jako nestranný a konzistentní odhad rozptylu σ2
veličiny X užívat tedy
statistiku S2. Má tedy ještě nějaký smysl „stará a překonaná hodnota S2
? Vrátíme-li se
k příkladu 1.1, kde s2
= 2, lze vypočíst s2 = 5
4
· 2 = 2,5.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 11
1. Hodnota s2
= 2 má svou váhu – vyjadřuje rozptyl souboru uvedených pěti měření.
Jedná se o empirický rozptyl – rozptyl naměřených hodnot.
2. Skutečný rozptyl σ2
veličiny přeživších součástek je větší než rozptyl měření u pěti
sad – proto je s2 = 2,5 jeho vhodnějším odhadem.
V příkladu 1.1 můžeme uzavřít, že počet přeživších součástek ze sady dvaceti při
extrémní teplotní zátěži lze popsat normálním rozdělením s parametry µ
.
= x = 13,
σ2 .
= s2 = 2,5.
Jednoduše řečeno, rozptyl s2
vypočtený z několika naměřených hodnot je vždy o něco
menší než skutečný rozptyl σ2
měřené veličiny. Proto při odhadu σ2
musíme vypočtené
s2
„trochu zvětšit vynásobením členem N
N−1
.
Další možný tvar vzorce pro S2 lze získat po úpravách s využitím 1.8 a vztahu X =
1
N
· Xi:
S2 =
N
N − 1
· S2
=
N
N − 1
·
1
N
X2
i −
1
N2
Xi
2
,
a tedy po vykrácení konstantou N a roznásobení závorky dostaneme
S2 =
1
N − 1
·
N
i=1
X2
i −
1
N(N − 1)
·
N
i=1
Xi
2
. (1.10)
Definice 1.5 Výraz ss := (xi − x)2
budeme nazývat součet čtverců měření veličiny
X.
Při tomto označení platí
S2
=
1
N
· SS (1.11)
a zejména
S2 =
1
N − 1
· SS. (1.12)
S pojmem součtu čtverců budeme ještě pracovat zejména v kapitolách 2 a 4. Podle
okolností budeme při výpočtu S2 užívat vzorec 1.2, 1.9, 1.10 nebo 1.12.
Zbývá ještě vyjádření k takzvanému počtu stupňů volnosti odhadu.
12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 1.2 Kdybych vám řekl, abyste mi nadiktovali pět reálných čísel, a nedal žádnou
další podmínku nebo omezení, mohli byste říct čísla, jaká chcete, například
0, 70, 314, 32, 100.
Máte svobodu volby, která čísla vybrat. Jinými slovy, máte pět stupňů volnosti, protože si
zcela svobodně a volně vybíráte pět čísel.
Kdyby ale úkol zněl: Nadiktujte mi pět čísel, jejichž průměr je 25, trochu bych vaši
volnost omezil – první čtyři čísla byste mohli volit libovolně, například
0, 70, 314, 32,
ale páté číslo je mým požadavkem jednoznačně určeno. Aby průměr pěti čísel byl 25,
jejich součet musí být roven 5 · 25 = 125, tj. páté číslo musí být rovno 125 − 416 = −291.
Tuto druhou úlohu lze charakterizovat tím, že stupeň její volnosti je 4.
Čili obecně pro N hodnot, u kterých je předem dán jejich průměr, zbývá N − 1 stupňů
volnosti.
Podobná situace se objevuje i při odhadování rozptylu populace: Uvažujeme-li soubor
měření N hodnot jisté veličiny X, z nich lze určit průměr x. Chceme-li dále odhadnout
rozptyl pro tuto konkrétní (už určenou) hodnotu x, máme už jen N − 1 stupňů volnosti
(ve vzorci pro s2 hodnotu x potřebujeme znát, protože při určení s2 počítáme totiž míru
vychýlení měření právě od hodnoty x).
Tedy třeba v příkladu 1.1 má odhad rozptylu s2 = 2,5 čtyři stupně volnosti.
Tento přístup určení počtu stupňů volnosti lze užít i na některé další situace v tomto
textu. Obecně platí:
Počet stupňů volnosti odhadu = počet měření minus
počet parametrů odhadnutých již dříve.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 13
1.2 t-test typu „µ =konstanta
Příklad 1.3 Je známa následující grafická iluze (viz obr. 1.1), že totiž úsečka a se zdá
delší než úsečka b (počítá se délka bez koncových šipek), i když ve skutečnosti jsou obě
úsečky stejně dlouhé.
a
b
Obr. 1.1: K př. 1.3: Grafická iluze: délky úseček a, b jsou stejné.
Chceme nyní experimentem ověřit, že úsečka typu a se zdá pozorovateli delší sama
o sobě, bez porovnání s úsečkou b. Náhodně vybraným pěti lidem jsme na deset sekund
ukázali úsečku a dlouhou 6 cm. Poté jsme je požádali, aby úsečku dané délky nakreslili, a
změřili jsme její délku. Byla získána data x1 = 8, x2 = 11, x3 = 9, x4 = 5, x5 = 7.
Průměr těchto dat je x = 8 cm. Chceme testovat hypotézu, že střední hodnota µ celé
lidské populace při ohodnocení délky úsečky je významně větší než její skutečná délka 6
cm. V této situaci neznáme rozptyl σ2
měřené veličiny a musíme jej odhadnout pomocí
s2. Pak testovacím kritériem nebude
x − 6
σ√
N
(jako tomu bylo v kap. 14 textu BMA3), ale tzv. rozdělení t s hodnotou vypočtenou podle
vztahu
t :=
x − 6
S√
N
, kde S = S2.
Toto t-rozdělení odvodil jistý pan William Sealy Gosset – ovšem příslušný článek
uveřejnil nikoli pod svým vlastním jménem, ale pod jménem Student, a rozdělení je tedy
známo pod názvem Studentovo t-rozdělení.
14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Hustota t-rozdělení závisí na počtu ν stupnů volnosti, se kterými se určí odhad rozptylu
S2, a má tvar
fν(x) =
1
√
ν · β(1
2
, ν
2
) · 1 + x2
ν
1+ν
2
=
Γ(1+ν
2
)
√
π · ν · Γ(ν
2
) · 1 + x2
ν
1+ν
2
,
podle toho, zda se čtenáři více líbí funkce
β(p, q) =
1
0
u1−p
· (1 − u)1−q
u.
(tzv. β-funkce), nebo funkce
Γ(r) =
∞
0
ur−1
· e−u
u.
(tzv. Γ-funkce). Přechod mezi jednotlivými verzemi vzorce hustoty plyne ze vztahu
mezi β-funkcí a Γ-funkcí
β(p, q) =
Γ(p) · Γ(q)
Γ(p + q)
a z jedné další drobnosti, že totiž Γ(1
2
) =
√
π (tato drobnost je vypočtena například
v učebnici [3], která je více zaměřena na odvozování matematických vztahů v porovnání
třeba s učebnicí [2]).
Funkce fν(x) je opět jedna z funkcí, kterou by člověk nerad potkal pozdě v noci v
lese, ale ukazuje se, že i takové funkce jsou užitečné.
Uveďme zde některé vlastnosti t-rozdělení, které budeme využívat:
a) Hustota fν je symetrickou funkcí vzhledem k ose y, tj. je sudá: platí fν(x) = fν(−x).
b) Kritická t-hodnota je dále od počátku než kritická U-hodnota, protože t-rozdělení je
odvozeno při neznámém rozptylu, tj. zahrnuje větší míru náhodnosti a nejistoty než
U-rozdělení (veličina t má větší rozptyl než veličina U). Hustota rozdělení t je „nižší
a širší než hustota rozdělení U.
c) Čím lepší je náš odhad neznámého rozptylu σ měřené veličiny, tím více se t-rozdělení
bude podobat U-rozdělení. A odhad rozptylu bude tím lepší, čím vyšší je počet
měření N (tj. čím vyšší je počet stupňú volnosti ν).
Vlastnosti b), c) lze znázornit graficky porovnáním U-rozdělení s t-rozdělením o
různém počtu ν stupňů volnosti – (hustota U-rozdělení je v obrázcích znázorněna
plnou čarou, hustota t-rozdělení čárkovanou čarou):
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 15
3210
0,1
-1-2
0,4
0,2
0,3
0
-3
ν = 2
3210
0,1
-1-2
0,4
0,2
0,3
0
-3
ν = 4
3210
0,1
-1-2
0,4
0,2
0,3
0
-3
ν = 10
3210
0,1
-1-2
0,4
0,2
0,3
0
-3
ν = 60
Z obrázků je vidět, že pro rostoucí počet stupňů volnosti se hustota t-rozdělení
(v obrázku její graf vyznačen slabě) svým tvarem stále více blíží ke tvaru funkce
hustoty U-rozdělení, a pro ν = 60 je hustota t-rozdělení prakticky totožná s hustotou
U-rozdělení (omlouvám se za malou tloušťku čar, ale při silnější tloušťce nebyl na
obrázku patrný rozdíl mezi čárkovanou a plnou čarou).
d) Pro určení kritických hodnot tk budeme potřebovat hodnoty integrálů
Pν(t ≤ x) = Fν(x) =
x
−∞
fν(u)du, Pν(−x ≤ t ≤ x) =
x
−x
fν(u)du.
16 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Tyto integrály se nepočítají vždy znovu a znovu, poněvadž jejich výpočet je
složitý, ale jednou provždy byly spočteny a sestaveny do tabulky. Protože pro
jednu hodnotu ν lze sestavit tabulku tak velkou jako je tabulka funkce Φ (BMA3),
měli bychom pro 35 různých hodnot ν také 35 různých tabulek. Toto množství
dat je zredukováno jen na několik hodnot v závislosti na hladině významnosti α.
A vůbec, pro statistické testy je nejužitečnější místo hodnot distribuční funkce přímo
tabulka kritických hodnot pro různé α a ν – jedná se o tabulku 1.1. S touto tabulkou
budeme pracovat tak, že vybereme řádek s daným počtem stupňů volnosti ν,
sloupec s danou hodnotou α = q u pravostranného (α = 2q u oboustranného)
testu. Na průsečíku řádku se sloupcem se pak nachází požadovaná kritická hodnota
testu.Tabulku lze volit takto úsporně, protože mezi jednostranným a oboustranným
testem je následující vztah:
– tk u levostranného testu se liší od pravostranného pouze znaménkem.
– tk u pravostraného testu pro α = q je stejné jako | ± tk| u oboustranného testu
pro α = 2q. Je to vidět i na srovnání následujících dvou obrázků:
tk=2,132
0-4
0,1
-0,1
-1
0,3
-2 3 4
0
0,2
-3 1 2
Pravostranný t-test pro α = q = 0,05, ν = 4 ... tk = 2,132. Šrafovaná část
tvoří 5% obsahu celého podgrafu.
m =2,132t =-2,132 tv
3-2 -1
0,3
0,1
2
0
-0,1
-3 4-4 1
0,2
0
Oboustranný t-test pro α = 2q = 0,1, ν = 4 ... tm = −2,132, tv = 2,132.
Šrafovaná část tvoří celkem 10% obsahu celého podgrafu (na každé straně je
vyšrafováno 5% obsahu podgrafu).
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 17
Tabulka 1.1: Kritické hodnoty t-testu.
q=0,4 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001
ν 2q=0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,002
1 0,325 1,000 3,078 6,314 12,704 31,821 63,657 318,31
2 0,289 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,326
3 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,213
4 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173
5 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893
6 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208
7 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785
8 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501
9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297
10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144
11 0,260 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025
12 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930
13 0,259 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852
14 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787
15 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733
16 0,258 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686
17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646
18 0,257 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610
19 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579
20 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552
21 0,257 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527
22 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505
23 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485
24 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467
25 0,256 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450
26 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435
27 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421
28 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408
29 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396
30 0,256 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385
40 0,255 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307
60 0,254 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232
120 0,254 0,677 1,289 1,658 1,98 2,358 2,617 3,160
∞ 0,253 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090
18 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
– Ze symetrie hustoty t-rozdělení je patrné, že pokud budeme provádět levostranný
t-test, stačí najít kritickou hodnotu pravostranného testu a změnit její znaménko
na záporné.
Vraťme se nyní zpět k příkladu 1.3 a proveďme statistický t-test:
(K1) H0: µ = 6 (střední hodnota délky úsečky není ovlivněna iluzí prodloužení).
H1: µ > 6.
(K2) Testovým kritériem bude výběrový průměr X, jehož realizaci x = 8 převedeme na
t-hodnotu
8 − 6
estσX
.
(„est označuje odhad, z anglického „estimate [estimit] – protože v dalším textu
budeme odhadovat odchylku i pomocí jiných funkcí než X, bude výhodné si tímto
označením připomenout, u které veličiny vlastně odchylku nebo rozptyl odhadujeme).
(K3) s2 = 5, a tedy
estσ2
X
=
s2
N
=
5
5
= 1,
přičemž počet stupňů volnosti odhadu je N − 1 = 5 − 1 = 4, tj. za předpokladu
platnosti H0 má veličina X−6
1
Studentovo t-rozdělení pro ν = 4.
(K4) Příslušná kritická hodnota tk je na průsečíku řádku ν = 4 a sloupce pro α = 0,05
(u pravostranného testu), tj. tk = 2,132.
(K5) 8−6
1
= 2 < tk = 2,132 ⇒ H0 nezamítáme, nenašli jsme dostatek důkazů pro
potvrzení iluze větší délky.
1.3 Několik poznámek ke statistickému testu
1.3.1 Logika formulace „nezamítáme H0
V právě dokončeném příkladu bylo odpovědí „hypotézu H0 nezamítáme . Logiku této
formulace snad osvětlí následující příklad.
Příklad 1.4 Když něco někde nenajdu, neznamená to, že to tam není.
S nástupem lyžařské sezóny jsem začal oprašovat svou výstroj a zjistil, že nemohu najít
své lyžařské brýle, i když jsem prohledal celý byt. Usoudil jsem, že se asi ztratily v průběhu
posledního lyžování nebo přes léto, a se zoufalstvím v očích oznámil manželce, že
budu muset utratit 800 Kč za nové. Manželka byla vyděšena touto poznámkou a požádala
mne, abych provedl hledání ještě jednou a důkladněji. Dosti neochotně jsem tak učinil, ale
nakonec jsem brýle našel v zadním rohu své skříně.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 19
Tento příklad je ilustrací jednoho celkem logického principu: pokud naleznu hledaný
předmět, určitě vím, že tam je. Ale pokud jej nenaleznu, může to znamenat buď že tam
není, nebo že tam je, ale mé hledání nebylo dost důkladné (nemělo dostatečnou sílu).
Testování hypotéz je také takovým hledáním – hledáme vliv jedné veličiny na
druhou veličinu. Pokud nalezneme tento vliv (zamítáme H0), víme „s jistotou (na
hladině významnosti α), že existuje. Pokud vliv nenalezneme, může to znamenat buď
že tento vliv neexistuje, nebo že existuje, ale síla testu nebyla dostatečná pro jeho nalezení.
Výsledek „zamítáme H0 má docela pevný logický základ (pro α = 0,05 platí s
pravděpodobností 95%). Ale říct v případě, kdy nebyla překročena kritická hodnota, že
„H0 přijímáme nebo „H0 platí , je příliš ukvapené, protože při důkladnějším hledání by
se mohlo ukázat, že určitý vliv existuje, tj. H0 neplatí. Ustálilo se tedy rčení „nezamítáme
H0 , které odpovídá jisté opatrnosti v učinění konečného závěru.
Fráze „nezamítáme H0 je tedy opatrným vyjádřením, které je zcela na místě.
Znamená to, že říkáme: „Výsledky testu nám neposkytují dostatečné důkazy k závěru,
že H0 neplatí.
K příkladu 1.4: Co by to znamenalo, kdybych provedl tak důkladné hledání, že bych
obrátil celý byt naruby, ale přesto brýle nenašel? Stále by existovala jistá malá šance, že
jsem je přehlédl v nějaké zapadlé škvíře, ale protože jsem je nenašel, bylo by rozumné
koupit nové.
Podobně i experiment provedený v úžasné síle a rozsahu, pokud neprokáže vliv nezávislé
proměnné na závislou proměnnou, nás vede k závěru, že „je rozumné přijmout
H0 .
Příklad 1.5 Chceme otestovat kvalitu jisté techniky pamatování. Vybereme náhodně dvě
skupiny lidí. Oběma skupinám je předložen jistý počet navzájem nesouvisejících slov k
zapamatování (například 20 slov). Poté jsou lidé z první skupiny okamžitě vyzkoušeni,
kolik slov si zapamatovali. Lidé ze druhé skupiny jsou vyzkoušeni až o týden později. Čili
nezávislou proměnnou je doba pamatování, závislou proměnnou je počet zapamatovaných
slov z daných dvaceti. Stanovíme hypotézy testu:
H0: počet zapamatovaných slov nezávisí na době pamatování (technika zapamatování
byla tak dobrá, že po týdnu si pamatuji stejně dobře jako po bezprostředním naučení
slov).
H1: počet zapamatovaných slov závisí na době pamatování (= době držení slov v paměti).
Pokud v testovaných skupinách bude například jen v každé pět lidí a vliv se neprokáže,
můžeme uzavřít, že H0 platí, tj. že technika učení je vynikající? Asi ne, protože právě zde
bychom se mohli dopustit té chyby, že jsme vliv nenašli, i když je možné, že existuje. Na
druhé straně pokud by v každé z testovaných skupin bylo 10000 lidí a stále by se neprokázala
existence závislosti, závěr „H0 platí by asi byl docela rozumný.
20 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1.3.2 Snížení rozptylu zvyšuje sílu testu
V příkladu 1.5 lze vidět jednu celkem přirozenou skutečnost, že totiž výpovědní síla statistického
testu se zvyšuje se zvýšením počtu měření. Pro připomenutí síla testu je pozitivní
pojem – je to pravděpodobnost, se kterou správně zamítneme H0, pokud platí H1. Je to
tedy jakási síla nalezení vlivu mezi proměnnými testu. Na tuto sílu má především vliv
rozptyl σ2
X
neboli (viz BMA3, kapitola 14)
σ2
X
=
σ2
N
. (1.13)
Cokoli, co snižuje rozptyl σ2
X
, zvyšuje současně i sílu testu. Jedním činitelem je počet
měření N – je vidět ze vzorce, že pokud zvyšujeme N, zvyšuje se hodnota jmenovatele ve
zlomku, a tím klesá hodnota rozptylu. Další možností, jak snížit rozptyl, je snížit přímo
hodnotu rozptylu σ2
celé populace v čitateli zlomku. Pokud si říkáte, že σ2
je dáno a nelze
je přece měnit, máte pravdu. Ale stejně některé vlivy na rozptyl σ2
celé populace můžeme
vyloučit vhodným naplánováním experimentu.
Příklad 1.6 Experimentem se má zjistit, zda alkohol v krvi má vliv na reakční dobu
řidiče. Náhodně byly vybrány dvě skupiny lidí. První skupině je nabídnut alkohol ve
formě ginu s tonikem, druhé skupině pouze tonik. Pak jsou všichni podrobeni měření
reakční doby. Testovaný člověk sedí u stolu a před sebou má lampu s červenou žárovkou a
tlačítko. Lampa se rozsvěcuje v různých nepravidelných intervalech – jakmile se rozsvítí,
je úkolem testovaného co nejrychleji stisknout tlačítko. Je změřena jeho reakční doba
(v milisekundách). U každého člověka se měření několikrát opakuje, a pak je vypočten
průměr jeho reakční doby.
Samozřejmě uvnitř každé ze skupin se projeví určitá variabilita v průměrné době reakce.
Ta je dána různými faktory, z nichž některé nemůžeme ovlivnit, ale jiné ano. Mezi
neovlivnitelné faktory patří:
1. Nálada člověka během měření (špatná nálada = delší doba reakce).
2. Osobní předpoklady – někdo má prostě schopnost rychlejší reakce než ostatní.
3. Postoj člověka vůči experimentu (znuděný postoj = delší doba reakce).
Mezi ovlivnitelné faktory lze zahrnout
1. Teplotu v místnosti, kde se provádí měření (extrémní teploty ⇒ delší doba reakce).
2. Vlhkost v místnosti, kde se provádí měření (vyšší vlhkost ⇒ delší doba reakce).
3. Pohlaví (u žen ... kratší doba reakce).
4. Věk (vyšší věk ... kratší doba reakce).
5. Čas dne (měření pozdě odpoledne ... delší doba reakce).
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 21
Některé faktory rozptylu hodnot můžeme významně ovlivnit – jak výběrem sledované
populace (omezení se na stejné pohlaví a věk eliminuje rozdíly způsobené těmito faktory),
tak zajištěním stejných podmínek měření (stálá vlhkost a teplota místnosti, měření u
všech ve stejnou denní dobu). Tímto způsobem plánování a provedení experimentu pak
následný statistický test získá větší výpovědní sílu v těch parametrech, které jsou pro nás
důležité, a není zkreslen rozdíly v těch ovlivnitelných faktorech, které nás nezajímají.
1.4 Interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ
Kromě statistických testů jsou při zpracování měření často užitečnější tzv. intervaly
spolehlivosti. V této fázi výkladu se seznámíme s intervalem spolehlivosti pro střední
hodnotu EX = µ průměru z normálního rozdělení.
1.4.1 Interval spolehlivosti pro µ při známém rozptylu
Střední hodnotu µ měřené veličiny obyčejně neznáme. Kdybychom ji znali, nemusíme
provádět ani měření, ani statistický test Určit µ je v podstatě naším cílem.
Jakýmsi odhadem střední hodnoty je výběrový průměr X. Ovšem tento průměr
(zejména při nižším počtu měření N) není přesně roven střední hodnotě µ – vlastně víme,
že platí P(X = µ) = 0. Potřebovali bychom spíše najít nějaký interval (X − a; X + a)
pro nějaké vhodné a „ne příliš velké a > 0. A to bude vlastně interval spolehlivosti
pro střední hodnotu µ. Přesněji řečeno, r%-ní interval spolehlivosti pro střední
hodnotu µ průměru X je takový interval, který obsahuje µ s pravděpodobností
r
100
.
Příklad 1.7 Životnost 75-wattové žárovky má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou
σ = 25 hodin. U náhodně vybraného vzorku dvaceti žárovek byla naměřena průměrná
životnost x = 1024 hodin. Utvořte 95%-ní interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ
průměrné životnosti.
Řešení tohoto příkladu je instruktivní, proto si dovolím vypnout kurzívu (:-)). Každý
interval spolehlivosti je velmi úzce svázán se statistickým testem. Budeme se zabývat
zejména oboustrannými intervaly spolehlivosti, proto v našem příkladu je zde vazba na
oboustranný U-test s hypotézami
H0: µ = µ0 (skutečnou střední hodnotu µ0 neznáme).
H1: µ = µ0.
Pokud hledáme 95%-ní interval spolehlivosti, je příslušná hladina významnosti α = 0,05.
Kritériem testu je výběrový průměr X. Dále vezmeme v úvahu počet měření pro výpočet
průměru:
σX =
σ
√
N
=
25
√
20
= 5,59.
Jak je dobře známo ze BMA3, příslušné kritické hodnoty v tomto případě jsou
22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
uα
2
= −1,96, u1− α
2
= 1,96.
Obě tyto hodnoty lze převést na kritické hodnoty vzhledem k veličině X:
−1,96 =
xm − µ0
5,59
⇒ xm = µ0 − 1,96 · 5,59 = µ0 − 10,96;
1,96 =
xv − µ0
5,59
⇒ xv = µ0 + 1,96 · 5,59 = µ0 + 10,96.
Interval pro „nezamítnutí H0 je pak
X ∈ (µ0 − 10,96; µ0 + 10,96) . (1.14)
Ovšem hodnotu µ0 neznáme. Ale pokud ze vzorce 1.14 vyjádříme místo X hodnotu
µ0, dostaneme vztah pro interval spolehlivosti:
µ0 ∈ X − 10,96; X + 10,96 . (1.15)
Odtud pro jednu realizaci x = 1024 dostaneme
µ0 ∈ (1024 − 10,96; 1024 + 10,96) = (1013,04; 1034,96),
se spolehlivostí 0,95, což je odpověď příkladu 1.7. Obecně s využitím symetrie
uα
2
= −u1− α
2
lze (1−α)·100%-ní interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ při známém
rozptylu psát ve tvaru
µ ∈ X − u1− α
2
· σX; X + u1− α
2
· σX . (1.16)
V některé literatuře se objevuje kromě pojmu „interval spolehlivosti ještě pojem
„konfidenční interval – to je jen nesprávný (nebo jiný) překlad anglického termínu
„confidence interval , ale jedná se o totéž (překladatelé se zase jednou nedomluvili ... :-)).
Pojem intervalu spolehlivosti úzce souvisí se silou příslušného statistického testu – jak
už to vyplývá ze vzorce 1.16, čím větší je síla příslušného statistického testu, tím menší
je rozptyl σ2
X
, a tím užší je interval spolehlivosti.
1.4.2 Interval spolehlivosti pro µ při neznámém rozptylu
Příklad 1.8 Uvažujme stejnou situaci jako v příkladu 1.7 (N = 20, x = 1024), pouze
odchylka σ není známá a musíme ji odhadnout – tedy z měření životnosti u dvaceti žárovek
byl vypočten rozptyl s2 = 625. Odtud
estσ2
X
=
s2
N
=
625
20
= 31,25.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 23
Tedy estσX =
√
31,25 = 5, 59 – toto číslo je stejné jako v příkladu 1.7, ovšem
nyní se nejedná o přesnou hodnotu, ale odhad, čili zde bude ν = N − 1 = 19 stupňů
volnosti odhadu. Nalezněte 95%-ní interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ výběrového
průměru X.
V příslušném statistickém testu použijeme nyní t-rozdělení – nalezneme kritické
hodnoty pro oboustanný test (α = 2q = 0,05) a pro ν = 19 stupňů volnosti (tabulka 1.1):
tv = 2,093, odtud tm = −2,093.
Hypotézy H0, H1 a kritérium oboustranného testu zde zůstávají stejné jako v 1.7:
H0 : µ = µ0, H1 : µ = µ0, kritériem je výběrový průměr X. Přepočteme nyní kritické
hodnoty vzhledem k veličině X:
−2,093 =
xm − µ0
5,59
⇒ xm = µ0 − 2,093 · 5,59 = µ0 − 11,7;
2,093 =
xv − µ0
5,59
⇒ xv = µ0 + 2,093 · 5,59 = µ0 + 11,7.
Nyní interval pro „nezamítnutí H0 je
X ∈ (µ0 − 11,7; µ0 + 11,7) , (1.17)
nás ovšem zajímá spíše tvar (rychle jej naň převedem)
µ0 ∈ X − 11,7; X + 11,7 . (1.18)
Odtud pro příklad 1.8 se spolehlivostí 0,95 a realizaci (= konkrétní měření) průměru
x = 1024 dostaneme
µ0 ∈ (1024 − 11,7; 1024 + 11,7) = (1012,3; 1035,7),
Vidíme, že při větší míře nejasnosti, kdy rozptyl neznáme a musíme jej odhadnout, je
interval spolehlivosti širší (ostatní hodnoty v příkladech 1.7 a 1.8 jsou stejné, takže lze
opravdu provést porovnání).
Obecně s využitím symetrie
tα
2
= −t1− α
2
lze (1−α)·100%-ní interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ při neznámém
rozptylu psát ve tvaru
µ ∈ X − t1− α
2
· estσX; X + t1− α
2
· estσX . (1.19)
24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1.4.3 Několik důležitých poznámek k intervalům spolehlivosti
Následuje několik poznámek k intervalům spolehlivosti, každá z nich je důležitější než ty
ostatní ... :-)
a) Vztah mezi intervalem spolehlivosti a pravděpodobností. Je potřeba říci
něco velmi důležitého k formulaci „95%-ní interval spolehlivosti pro střední
hodnotu µ obsahuje tuto hodnotu s pravděpodobností 0,95 . Věta je vyslovena
správně ale může být zavádějící – a problém pochopení souvisí s pojmem statistika
a realizace statistiky (viz definice 1.2). Interval spolehlivosti je totiž vlastně
intervalem, jehož mezemi jsou náhodné veličiny. A pak pro konkrétní měření
dosadíme do vzorců 1.16, 1.19 konkrétní realizaci x. Třeba v příkladu 1.7 interval
(1013,04; 1034, 96) neznámou střední hodnotu µ buď obsahuje (stoprocentně), nebo
neobsahuje (stoprocentně).
Souvislost s pravděpodobností se projeví pouze při opakovaném měření a opakované
konstrukci realizace intervalu spolehlivosti: pokud bychom například tisíckrát
zopakovali experiment změření životnosti u dvaceti žárovek, spočetli tisíc různých
realizací x1, x2 . . . , x1000 a sestrojili tisíc různých realizací intervalu spolehlivosti
podle vzorce 1.16, tak přibližně 95% těchto intervalů (tj. asi 950 z nich) bude
neznámou hodnotu µ obsahovat, zbylých pět procent ji obsahovat nebude.
V dalších výpočtech realizací intervalů spolehlivosti pro x budu slovo „realizace
vynechávat, takže pojem interval spolehlivosti se středem v X (středem intervalu
je nikoli konkrétní hodnota, ale náhodná veličina) bude splývat s pojmem
realizace intervalu spolehlivosti se středem v x (středem intervalu je konkrétní
číslo). Matematicky je mezi těmito dvěma pojmy rozdíl, ale v praxi pod intervalem
spolehlivosti máme na mysli vždy konkrétní interval vypočtený na základě měření.
!!!! :-)
b) Jednostranné intervaly spolehlivosti. Pozorný čtenář by možná mohl
položit otázku: no dobrá, oboustranný interval spolehlivosti odpovídá jistému
oboustrannému statistickému testu (příklad 1.7) – pokud se ale týká jednostranných
testů (například test grafické iluze 1.3), existuje také u nich nějaký
analogický jednostranný interval spolehlivosti? Odpověď zní „ano, existuje .
Jeho odvození je analogické, proveďme jej například pro data testu grafické iluze 1.3:
H0 : µ = µ0, H1 : µ > µ0, kritériem je X, kritickou hodnotu použijeme přesně
tu stejnou jako v daném pravostranném testu: tk = 2,132. Převodem normovaného
tvaru kritické hodnoty do tvaru aktuálního vzhledem k veličině X dostaneme
2,132 =
xk − µ0
1
⇒ xk = µ0 + 2,132 · 1 = µ0 + 2, 132;
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 25
tedy interval pro „nezamítnutí H0 je
X ∈ (−∞; µ0 + 2,132), (1.20)
ale protože nás zajímá spíše interval pro µ0, tak z tohoto vztahu vyjádříme ohraničení
pro µ0 a index 0 vypustíme:
µ ∈ (X − 2,132; ∞) = (5,868; ∞) (1.21)
a to je hledaný interval se spolehlivostí 0,95. Vidíme, že oboru 1.20 pravostranného
testu odpovídá levostranný interval spolehlivosti 1.21.
I když jsou tedy jednostranné intervaly spolehlivosti zcela přirozené a možné, v
dalším textu se na ně nebudeme příliš zaměřovat – spíše nás bude zajímat vymezení
pro µ na intervalu konečné délky. Tedy i když budeme provádět jednostranné
statistické testy, intervaly spolehlivosti budeme hledat na základě příslušného
oboustranného testu se stejnou hladinou významnosti.
Tak tedy i v příkladu 1.3 lze sestrojit oboustranný interval spolehlivosti: Pro ν = 4
je kritická hodnota rovna
t1− 0,05
2
(4) = 2,776;
Pak (vzorec 1.19):
µ ∈ (8 − 2,776 · 1; 8 + 2,776 · 1) = (5,224; 10,776).
c) Vztah mezi intervalem spolehlivosti a statistickým testem. Mezi výsledkem
statistického testu a intervalem spolehlivosti existuje jednoznačný vztah:
Statistický test zamítne hypotézu H0 : µ = µ0 právě tehdy, když
µ0 nenáleží do příslušného intervalu spolehlivosti
Třeba pokud bychom v situaci příkladu 1.7 testovali hypotézu H0 : µ = 1000,
místo abychom prováděli test, stačí se podívat na příslušný interval spolehlivosti
oboustranného testu: 1000 /∈ (1013,04; 1034,96), tj. to znamená, že příslušný
statistický test zamítne hypotézu H0.
Nebo podíváme-li se na příklad pravostranného testu 1.3, kde H0 : µ = 6, vidíme, že
6 ∈ (5,868; ∞) (levostranný interval spolehlivosti vypočten v předchozí poznámce
b)), tj. to znamená, že hypotéza H0 příslušného jednostranného testu nebude za-
mítnuta.
26 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
d) Interval spolehlivosti uvádí více informací než statistický test. Omlouvám
se za další členění, ale budu prezentovat tuto poznámku ve čtyřech myšlenkách:
1. Výsledek statistického testu není přesně to, co bychom chtěli znát. Ve skutečnosti
chceme znát míru platnosti hypotézy H1, je-li dán výsledek experimentu
– ovšem místo toho se ze statistického testu dovídáme pravděpodobnost výsledku
experimentu za předpokladu platnosti hypotézy H0 (a stále neznáme
míru platnosti H1, a to ani v případě, kdy je H0 zamítnuto).
2. Statistický test nám ve svém výsledku nedává informaci o rozsahu studovaného
vlivu, kdežto interval spolehlivosti ano. Informace o umístění střední hodnoty
µ je ve statistických testech, které jsme dosud prováděli, skryta, ale interval
spolehlivosti činí tuto informaci zjevnou a překládá ji do srozumitelného
měřítka.
Například test 1.3 pouze prohlásí, že se nenašlo dostatek důkazů pro vliv grafické
iluze na µ. Ale interval spolehlivosti (nyní už spíše ten oboustranný, tj.
pro α = 0,05 byl odvozen v poznámce b)) (5,224; 10,776) navíc naznačuje, že se
spolehlivostí 0,95 by střední hodnota místo šesti mohla být stejně dobře rovna
i osmi nebo deseti, ale už ne jedenácti nebo dvanácti.
3. Statistický test zdůrazňuje chybu prvního druhu, ale říká velmi málo o chybě
druhého druhu. Na druhé straně interval spolehlivosti naznačuje i chybu druhého
druhu – pokud α necháme pevné a zmenšujeme β, tak interval spolehlivosti
zmenšuje svou délku.
4. Závěr: Z uvedených důvodů je lepší používat intervaly spolehlivosti spíše než
jen pouhé testování hypotéz. Někdy statistické zpracování v literatuře příliš
zdůrazňuje testy a zapomíná dodat užitečné informace navíc, které lze snadno
vyčíst z intervalů spolehlivosti.
1.5 t-test typu „µ1 = µ2
1.5.1 Párový test
V tomto oddílu se budeme zabývat statistickými testy při experimentech, kde získáváme
dva soubory měření. Zde je potřeba si dát pozor na vztah mezi těmito dvěma soubory
(= skupinami) měření, na základě tohoto vztahu rozlišujeme totiž dva typy statistického
testu – párový a nepárový test. Párovým testem se budeme zabývat nejdříve – spočívá
v tom, že sice získáme dvě skupiny (= dva soubory) měření, ale tyto soubory jsou
navzájem těsně svázány v tom smyslu, že ke každé hodnotě v prvním souboru měření
lze jednoznačně přiřadit tzv. párovou hodnotu měření ze druhého souboru. Zejména to
taky znamená, že počet měření v obou souborech je stejný – a v podstatě bychom mohli
říct, že místo dvou souborů měření máme jediný soubor, ve kterém jedna položka je
reprezentována uspořádanou dvojicí hodnot.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 27
Párový test tedy užijeme v situaci, kdy sice máme k dispozici dva soubory měření, ale
tyto dva soubory měření jsou spolu těsně svázány – obyčejně tak, že v obou skupinách jsou
hodnoceni stejní jedinci; nejprve provedeme měření vybrané skupiny jedinců za systému
podmínek A, a pak provedeme měření téže skupiny jedinců za systému podmínek B. Proto
se tomuto typu experimentů také říká experiment opakovaného měření. Další vhodný
název je zde experiment typu „jedna skupina dvakrát , protože jedna skupina jedinců
je podrobena měření při dvou různých situacích.
Příklad 1.9 Chceme experimentem zjistit, jak se změní počet úderů srdce člověka za
minutu po vypití šálku kávy (studujeme vliv kofeinu na činnost srdce). Kdybychom k
tomuto experimentu přistupovali „nepárovým přístupem a vybrali náhodně dvě skupiny
lidí, z nichž jedna by vypila kávu s kofeinem a druhá kávu bez kofeinu, do měření by byl
zanesen jistý rozptyl způsobený tím, že tempo srdečních úderů se liší u různých lidí.
Mnohem vhodnější je zde experiment opakovaného měření, kdy jedna a táž skupina
vybraných lidí je vystavena měření po kávě bez kofeinu, a pak po kávě s kofeinem. Potom
se vypočte rozdíl obou hodnot vždy u téhož člověka a testuje se, zda je tento rozdíl
významný. Byla získána následující data počtu srdečních úderů za minutu u devíti lidí
(na každém řádku jsou hodnoty měření jednoho člověka):
xi1 bez kofeinu xi2 s kofeinem rozdíl xi2 − xi1
70 76 6
60 61 1
49 52 3
72 71 -1
70 81 11
66 70 4
55 55 0
54 61 7
80 89 9
První dva sloupečky tabulky představují dva soubory měření párového testu. My
ovšem budeme dále pracovat jen s jednorozměrným souborem, a sice s vektorem
rozdílů měření ve třetím sloupci. To znamená, že párový test vlastně odpovídá situaci
jednorozměrného souboru měření (= oddílu 1.2).
Spočteme průměr x = 4,44 a odhadneme rozptyl pomocí s2. Aby čtenář neměl pocit,
že v oddílu 1.5 nebude vzhledem k 1.2 nic nového, vypočteme s2 pomocí pátého možného
vzorce, který jsme si ještě neuváděli:
S2 =
SS
ν
(1.22)
(ono se vlastně jedná o vzorec 1.12, ovšem ve jmenovateli vzorce je ν místo N − 1).
Dále do čitatele za SS dosadíme ze vzorce 1.11, který zkombinujeme s nejpohodlnějším
způsobem výpočtu 1.8:
28 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
SS = N · S2
=
N
i=1
X2
i −
N
i=1 Xi
2
N
,
čili pak pro realizaci ss platí
ss =
N
i=1
x2
i −
N
i=1 xi
2
N
, (1.23)
a po dosazení
ss = 314 −
402
9
= 136,22.
Počet stupňů volnosti pro odhad rozptylu je ν = N − 1 = 8, a tedy
s2 =
ss
ν
= 17,03.
a) Sestrojme nyní 95%-ní interval spolehlivosti pro µ: tk najdeme jako průsečík
řádku ν = 8 a sloupce 2q = α = 0,05 (oboustranný interval spolehlivosti vychází z
oboustranného testu): tk = 2,306. Pak interval pro µ se spolehlivostí 0,95 je
x ±
s2
N
· tk(ν = 8) = 4,44 ±
17,03
9
· 2,306 = (1,27; 7,61).
Z tohoto intervalu spolehlivosti se dovídáme, že kofein zvyšuje činnost srdce, a sice
o 1,27 až o 7,61 úderů za minutu.
b) Provedeme i statistický t-test:
(K1) H0: µ = 0 (rozdíl hodnot je nulový, tj. počet úderů srdce za minutu je stejný
s kofeinem i bez kofeinu – srdeční tep nezávísí na kofeinu);
H1: µ = 0.
(K2) Testovým kritériem bude výběrový průměr X, respektive jeho normovaná
hodnota X−0
est σX
.
(K3) s2 = 17,03 ⇒
est σ2
X
=
s2
N
=
17,03
9
= 1,89 ⇒ est σX = 1,89 = 1,37.
Tj. za předpokladu platnosti H0 má veličina X−0
1,37
Studentovo t-rozdělení s ν = 8
stupni volnosti.
(K4) tk = ±2,306 je u oboustranného testu stejné jako u intervalu spolehlivosti
a).
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 29
(K5) Příslušná t-hodnota je
4,44 − 0
1,37
= 3,24 > 2,306,
a tedy zamítáme H0 o nezávislosti, je potvrzen vliv kofeinu na zvýšení srdečního
tepu.
Hypotézy H0 nejsou pravdivé téměř nikdy (pokud uvažujeme větší počet desetinných
míst), tj. zamítnutí H0 nám nic podstatného neříká. Spíše nás zajímalo, jak velký je vliv
kofeinu, a to jsme se dozvěděli z intervalu spolehlivosti.
1.5.2 Nepárový test
Nyní se pojďme věnovat nepárovému testu neboli zpracování dat při experimentu typu
„dvě skupiny jednou .
Příklad 1.10 Chceme zjistit kvalitu jisté techniky pamatování. Náhodně jsme vybrali deset
lidí a rozdělili do dvou skupin po pěti lidech. Skupina 1 (tzv. experimentální skupina)
se naučila 100 zadaných slov novou technikou, skupina 2 (kontrolní skupina ... zažitý nesprávný
překlad anglického „control group , správný význam překladu je „řízená skupina ,
protože „control = řídit, vést, nikoli kontrolovat) použila obyčejnou klasickou techniku zapamatování.
Po týdnu se vyzkouší, kolik si kdo pamatuje z daných 100 slov – jsou získána
data
experimentální skupina kontrolní skupina
43 16
37 22
51 24
27 30
32 18
Nyní data na jednom řádku spolu nijak nesouvisí, jedná se o měření u dvou různých lidí.
Zdá se, že experimentální skupina má lepší výsledky, ale musíme statisticky prokázat, že
to není způsobeno pouze náhodnými vlivy.
V každé ze skupin vypočteme průměr a odhadneme rozptyl.
skupina 1: x1 = 38, podle vzorce 1.23 ss1 = 352, ν1 = 4, a tedy podle 1.22
est1 σ2
= s2
1 =
352
4
= 88.
skupina 2: x2 = 22, podle vzorce 1.23 ss2 = 120, ν2 = 4, a tedy podle 1.22
est2 σ2
= s2
2 =
120
4
= 30.
30 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
No a teď přicházíme k úvahám, které jsou pro další vývoj (i další kapitolu) důležité.
V situaci experimentu typu „dvě skupiny jednou je potřeba se vypořádat se dvěma typy
rozptylu, kterými jsou – vnitřní rozptyl a vnější rozptyl.
vnitřní rozptyl: Jedná se o rozptyl představující vzájemnou rozdílnost jedinců v celé
populaci (např. rozdílnost lidí, rozdílnost různých součástek stejného typu, apod.).
V tomto textu se budeme převážně zabývat situacemi, kdy je splněn tzv. princip
homogenního vnitřního rozptylu: jakýkoliv experiment nemá vliv na
rozptyl rozdělení celé populace, z níž byla náhodně vybrána skupina
jedinců pro měření.
Slovy našeho příkladu, rozdílnost výsledků est1 způsobená růzností lidí ve skupině 1
je přibližně stejná jako rozdílnost výsledků est2 způsobená růzností lidí ve skupině 2.
Jinak řečeno, ať už měříte daný soubor měření za jakékoli podmínky, „rozmanitost
těchto měření je v dané skupině přibližně stejná.
Z Tohoto principu homogenního rozptylu tedy plyne, že odhady est1, est2 jsou
odhady jednoho a stejného vnitřního rozptylu σ2
(díky tomu jsem u písmenka σ o
pár řádků výše už nepsal žádný index), který vypočteme jako aritmetický průměr
obou odhadů:
est σ2
=
est1 σ2
+ est2 σ2
2
=
88 + 30
2
= 59.
Tedy nejlepší možný odhad vnitřního rozptylu σ2
je roven 59 a v dalším budeme
pracovat s ním. Počet stupňů volnosti je ν = 4 + 4 = 8, protože jsme tento odhad
získali pomocí dvou jiných odhadů o počtu stupňů volnosti 4 – stupně volnosti ve
výsledném odhadu sečítáme.
vnější rozptyl: Jedná se o rozptyl vyjadřující rozdílnost mezi danými podmínkami
měření. Tento rozptyl v případě dvou souborů měření lze odhadnout na
základě průměrů x1 = 38, x2 = 22. Způsob je následující: Vypočteme rozptyl těchto
dvou průměrů podle vzorců 1.23 a 1.22: Protože ν = 2 − 1 = 1, máme
est rN =
ss
1
=
382
+ 222
− 602
2
1
= 128.
Ale to ještě není všechno – tento odhad je odhadem rozptylu průměru pěti hodnot
(N = 5). Abychom získali odhad rozptylu jediné hodnoty měření, musíme v souladu
se vzorcem est rN = est r
N
(analogie vzorce 1.13) počítat
est r = N · est rN = 5 · 128 = 640.
celkový rozptyl: Aby byla plejáda přehledu rozptylů úplná, je možné si položit následující
otázku – co se vlastně spočítá, když budeme považovat všech deset hodnot za
měření jediné veličiny a vypočteme s2 ze všech deseti měření? Podle logiky výpočtu
by to měl být jakýsi celkový rozptyl – a skutečně je tomu tak.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 31
Průměr všech deseti hodnot je x = 30, což je mimochodem aritmetický průměr
hodnot x1, x2. Bude tedy podobně hodnota s2 průměrem hodnot s2
1, s2
2?
Podle vzorce 1.23 ss = 1112, a tedy podle 1.22
s2 =
ss
ν
=
1112
9
.
= 123,56,
což není hodnota rovná součtu s2
1 + s2
2 = 88 + 30 = 118. Ještě méně se zdá, že
by odhad celkového rozptylu 123,56 byl součtem odhadu vnitřního rozptylu 59 a
odhadu vnějšího rozptylu 640 – ale přesto zde platí jisté součtové vzorce:
a) Celkový počet stupňů volnosti 9 u odhadu celkového rozptylu je součtem volnosti
8 u odhadu vnitřního rozptylu a volnosti 1 u odhadu vnějšího rozptylu.
b) Celkový součet čtverců 1112 je součtem součtu čtverců 472 vnitřního rozptylu
(který vznikl součtem ss1 = 352 a ss2 = 120) a 640 u vnějšího rozptylu.
Tolik přehled a jemné intro do problematiky rozptylu – více na to téma bude řečeno
v další kapitole. Nyní se vraťme k řešení našeho příkladu.
Odhad vnitřního rozptylu je est σ2
= 59, odtud odhad rozptylu průměru
estσ2
X
=
59
5
= 11,8.
Nyní lze užitím 1.19 určit např. 95%-ní interval spolehlivosti pro střední hodnotu průměru
v každé ze skupin měření: Pro tk(ν = 8; α = 2q = 0,05) = 2,306
µ1 ∈ 38 ± 11,8 · 2,306
.
= (30,08; 45,92),
µ2 ∈ 22 ± 11,8 · 2,306
.
= (14,08; 29,92).
V souvislosti se statistickým testem tohoto příkladu nás ovšem spíše zajímá interval
spolehlivosti pro střední hodnotu veličiny X1 − X2. Střed intervalů spolehlivosti bude v
tomto případě x1 − x2 = 38 − 22 = 16, odhad rozptylu je
est σ2
X1−X2
= est σ2
X1
+ est σ2
X2
=
59
5
+
59
5
= 23,6.
Tedy pro tk(ν = 8; α = 2q = 0,05) = 2,306
µ1 − µ2 ∈ 16 ± 23,6 · 2,306
.
= 16 ± 11,2 = (4,8; 27,2).
Protože výsledný interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot neobsahuje nulu, víme
také, že příslušný statistický test zamítne hypotézu H0 : µ1 = µ2. A skutečně, pojďte se
přesvědčit:
32 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
(K1) H0: µ1 = µ2 (střední hodnoty obou skupin ohodnocení jsou stejné, tj. nová technika
zapamatování ovlivňuje výsledek přibližně stejně jako ta dřívější).
H1: µ1 = µ2 (nová technika zapamatování má přibližně stejné výsledky jako dřívější
technika).
(K2) Testovým kritériem bude rozdíl X1 − X2.
(K3) Při platnosti H0 má veličina
X1 − X2 − 0
est σ2
X1−X2
=
X1 − X2
√
23,6
Studentovo t-rozdělení pro ν = 8.
(K4) Pro α = 0,05 příslušná kritická hodnota tk je na průsečíku řádku ν = 8 a sloupce
pro α = 2q = 0,05, tj. tk = 2,306.
(K5) 38−22
4,858
= 3,29 /∈ (−tk; tk). H0 tedy zamítáme – nová technika významně zvyšuje
úroveň zapamatování.
Příklad 1.11 Psychologové fyziologie chtějí experimentem ověřit, že podvěsek mozkový
je hlavním řídícím centrem sexuálního chování. Rozhodli se získat dvacet dobrovolníků z
řad studentů FEKT, kteří by se chtěli podrobit operaci mozku. Protože žádní dobrovolníci
se nepřihlásili (zejména do experimentální skupiny), byly náhodně vybrány dvě skupiny po
deseti krysách.
Krysám z experimentální skupiny byl operací odebrán podvěsek mozkový. Krysám z
kontolní skupiny byla pouze otevřena lebka, ale nic nebylo odebráno (aby byl snížen rozptyl
způsobený otevřením lebky).
Protože operaci prováděl nezkušený student, některé z krys zahynuly přímo na operačním
stole. V experimentální skupině přežilo pět krys, v kontrolní skupině sedm. Psycholové
byli rozmrzelí nad nezkušeným studentem, ale pokračovali dále v experimentu.
Byla získána data o počtu pohlavních spojení v průběhu jistého časového intervalu. V experimentální
skupině (N1 = 5): 0, 1, 4, 4, 1. Odtud x1 = 2, ss1 = x2
i − ( xi)2
N1
= 14,
ν1 = N1 − 1 = 4, pak s2
1 = ss1
ν1
= 14
4
= 3,5.
V kontrolní skupině (N2 = 7): 5, 7, 4, 3, 4, 6, 6. Odtud x2 = 5, ss2 = x2
i −( xi)2
N2
= 12,
ν2 = N2 − 1 = 6, pak s2
2 = ss2
ν2
= 12
6
= 2.
Odhad vnitřního rozptylu: Podobně jako u předchozího příkladu (vyjdeme z platnosti
principu homogenního rozptylu), i nyní vypočteme jakýsi jeden odhad rozptylu jako průměr
odhadů s2
1, s2
2 – nebude se jednat ovšem o aritmetický průměr, ale o tzv. vážený průměr.
Protože odhad s2
2 byl sestaven na základě většího počtu stupňů volnosti (většího počtu
měření), budeme mu přikládat větší váhu:
est σ2
=
ν1
ν1 + ν2
· s2
1 +
ν2
ν1 + ν2
· s2
2 (1.24)
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 33
V našem příkladu est σ2
= 4
10
· 3,5 + 6
10
· 2 = 2,6. Pak intervaly spolehlivosti pro jednotlivé
střední hodnoty a tk(ν = 10, α = 2q = 0,05) = 2,228 jsou
µ1 ∈ 2 ±
2,6
5
· 2,228
.
= 2 ± 1,61 = (0,39; 3,61);
µ2 ∈ 5 ±
2,6
7
· 2,228
.
= 2 ± 1,36 = (3,64; 6,36).
Intervaly nemají společný průnik, což znamená, že testovaná hypotéza o rovnosti středních
hodnot bude zamítnuta. Dále je možné si všimnout, že interval spolehlivosti pro µ2 má
menší délku než interval pro µ1 – to je dáno větším počtem měření ve druhé skupině, pak
totiž ve druhé skupině při odhadu rozptylu průměru dělíme sedmi, nikoli pěti.
V testu, který bude následovat, budeme používat rozdělení X1 − X2. Pokud bychom
chtěli najít 95%-ní interval spolehlivosti pro rozdíl µ1 − µ2, použijeme střed x1 − x2 =
2 − 5 = −3 a odhad rozptylu
est σ2
X1−X2
= est σ2
X1
+ est σ2
X2
=
2,6
5
+
2,6
7
.
= 0,891.
Pak
µ1 − µ2 ∈ −3 ± 0,891 · 2,228
.
= −3 ± 2,1 = (−5,1; −0,9).
Příslušný statistický test:
(K1) H0: µ1 = µ2 (odstranění podvěsku mozkového nemá vliv na sexuální chování);
H1: µ1 < µ2 (odstranění podvěsku mozkového povede ke snížení sexuální aktivity).
(K2) Testovým kritériem bude veličina X1 − X2.
(K3) Při platnosti H0 má veličina
X1 − X2 − 0
est σ2
X1−X2
=
X1 − X2
√
0,891
Studentovo t-rozdělení pro ν = 10.
(K4) Pro α = 0,05 příslušná kritická hodnota tk je na průsečíku řádku ν = 10 a sloupce
pro α = q = 0,05, tj. tk = 1,812. Pozor, intervaly spolehlivosti budeme vždy
konstruovat pro α = 2q, ovšem u jednostranného statistického testu musíme
vzít hodnotu tk pro α = q!!
(K5) Odpovídající t-hodnota kritéria je −3√
0,891
= −3,178 /∈ (−tk; tk). H0 tedy zamítáme.
34 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1.6 Předpoklady použitelnosti parametrických testů
Při odvozování testů (zejména t-testu – odvození je mimo rámec tohoto kursu) muselo
být učiněno několi předpokladů:
1. Naměřené hodnoty xi jsou navzájem nezávislé (= předpoklad nezávislosti) – například
předpoklad nezávislosti v příkladu 1.10 je porušen, pokud členové skupiny
podvádějí a opisují jeden od druhého.
2. Měřená veličina má normální rozdělení (= předpoklad normality).
3. Rozptyl uvnitř experimentální skupiny je stejný jako rozptyl uvnitř kontrolní skupiny,
tj. oba rozptyly jsou odhadem stejného (vnitřního) rozptylu σ2
celé populace
(= princip homogenního rozptylu).
Testy, které splňují uvedené tři předpoklady, se nazývají parametrické testy. Pokud
některý z předpokladů není splněn, kritérium použité v testu nemá rozdělení t (nebo U,
pokud známe rozptyl σ2
), a tudíž nelze určit kritické hodnoty – pro srovnání středních
hodnot se v tom případě užívají tzv. neparametrické testy, o nichž bude blíže řeč v
kapitole 6.
Úplná diskuse použitelnosti parametrických testů U, t (a v následující kapitole testu
F) je mimo rámec tohoto kursu. Ovšem následující poznámky mohou být důležitým vodítkem,
který pro běžného „uživatele statistiky dostačuje:
a) Mějte se na pozoru pouze tehdy, když t-hodnota kritéria je blízká hodnotě tk. Přepoklady
by musely být porušeny velmi hrubě, aby například při jednostanném testu
pro α = 0,05 kritická hodnota tk „usekla ve skutečnosti významně více než 5%
obsahu podgrafu hustoty t – i při porušených předpokladech tato kritická hodnota
většinou usekne 6 nebo 7 procent, a nikoli třeba 15 procent obsahu. Proto pokud
t-hodnota kritéria přesáhne hodnotu tk výrazně, je rozhodnutí zamítnout
H0 celkem bezpečné.
b) Zkontrolujte své rozdělení. Nákres histogramu rozdělení je užitečný jak pro ověření
předpokladu normality, tak ověření principu homogenního rozptylu.
c) Porovnejte s2
1 a s2
2. pokud se hodnoty obou odhadů liší výrazně, znamená to porušení
předpokladu homogenního rozptylu. Ale pokud podíl těchto odhadů je menší než 4
při přibližně stejné délce obou souborů měření, není třeba dělat paniku.
d) Porušení předpokladů nemá takový dopad, pokud Ni ≥ 20 a N1
.
= N2.
e) Pozor na porušení měřítka. Některé proměnné jsou bezproblémové, např. X = průměrná
rychlost (v km za hodinu), protože rozsah stupnice 10 až 20 km má stejnou
váhu jako rozsah 70km až 80km.
Ale existují pochybné proměnné v tom smyslu, že měřítko porušují – například Y =
ohodnocení otázky v dotazníku počtem bodů ze stupnice 1 až 7. Zde totiž rozsah 3
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 35
až 4 body nemusí být ekvivalentní rozsahu stupnice 6 až 7 bodů. Taková stupnice
je hodně subjektivní, nemá pevně vymezený absolutní přírůstek, a proto může vést
ke zkreslenému tvaru rozdělení.
f) Pokud některý z předpokladů je porušen do té míry, že U-test nebo t-test nelze použít,
je možné zkusit neparametrické testy (viz 6).
1.7 Shrnutí
Tato kapitola je klíčovou kapitolou části I tohoto skripta, protože obsahuje nejčastěji
prováděný test porovnání dvou souborů měření – t-test – a také odvozuje a ilustruje
význam intervalů spolehlivosti.
Úvodem v oddílu 1.1 jsou zopakovány některé vzorce ze skripta Matematika 3, zejména
vzorce pro X, S2
– a dále je vysvětlen a odvozen vzorec pro S2 jako nejlepší nestranný
odhad neznámého rozptylu σ2
normálního rozdělení.
t-test používáme v situacích analogických U- testu (= u veličiny s normálním rozdělením)
s tím jediným rozdílem, že totiž není znám rozptyl σ2
X
a musíme jej odhadnout
pomocí S2
N
. Pro odhad rozptylu průměru je důležitý zejména vzorec 1.13, na který je
potřeba nezapomenout.
Celá kapitola předpokládá, že čtenář už ví, co je to statistický test, a zvládl kapitoly
13,14 textu Matematika 3 – přesto ty důležité informace ohledně statistických testů
opakuje (poznámky 1.3 objasňují terminologii a otázku přístupu ke statistickému testu).
Některé pojmy (hladina významnosti testu, síla testu) nebyly zopakovány, ale jsou
procvičovány v otázkách a příkladech následujících za tímto shrnutím.
Protože téměř všechno se vším souvisí, zamítne statistický test, který je dostatečně
silný, hypotézu H0 prakticky vždy – z toho důvodu je někdy lepší hledat informace nikoli
ve statistickém testu, ale v intervalu spolehlivosti (blíže viz poslední poznámku v 1.4.3).
Vyvrcholením kapitoly jsou testy typu µ1 = µ2, které opět nemohou pozorného studenta
překvapit, protože test podobného typu byl probrán v kapitole 14 předmětu BMA3.
Ovšem věcí novou je představení rozdílu mezi párovým a nepárovým testem (tato otázka
je klíčová pro zapamatování z celé kapitoly, byla položena u doktorandských zkoušek a je
to otázka, kterou bych se i já zeptal, kdybych někoho zkoušel ze znalostí této kapitoly).
1.8 Otázky k opakování
U následujících výroků rozhodněte, zda se jedná o výrok pravdivý či nepravdivý.
Otázka 1.1 Výběrový průměr X je nestranným a konzistentním odhadem parametru µ
měření veličiny s normálním rozdělením.
Otázka 1.2 Statistika S2
je nestranným a konzistentním odhadem parametru σ2
měření
veličiny s normálním rozdělením.
36 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Otázka 1.3 Kritická t- hodnota je blíže počátku než odpovídající (= pro stejnou hladinu
významnosti sestrojená) kritická U-hodnota.
Otázka 1.4 Pro rostoucí počet stupňů volnosti graf hustoty t-rozdělení stále více splývá
s grafem hustoty normovaného normálního rozdělení.
Otázka 1.5 Je možné, že interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ průměru X sestrojený
na základě konkrétní realizace x tuto střední hodnotu vůbec neobsahuje.
Otázka 1.6 Pokud hodnota µ0 nepadne do oboustranného intervalu spolehlivosti pro
střední hodnotu µ průměru X, znamená to, že oboustranný test pro H0 : µ = µ0 tuto
hypotézu H0 nezamítne.
Otázka 1.7 Párovým testem je každý test typu µ1 = µ2, který porovnává střední hodnoty
dvou náhodných veličin.
Otázka 1.8 Vnitřní rozptyl popisuje rozmanitost konkrétních jedinců v populaci – tato
rozmanitost přitom nezávisí na podmínkách, při kterých je měření prováděno (je stejná u
kontrolní skupiny i experimentální skupiny).
Otázka 1.9 Celkový rozptyl je součtem vnitřního rozptylu a vnějšího rozptylu.
Otázka 1.10 Při nestejných délkách obou souborů měření lze vnitřní rozptyl odhadnout
jako aritmetický průměr rozptylů s2
1, s2
2 jednotlivých souborů měření.
Otázka 1.11 Existují situace, kdy neplatí princip homogenního rozptylu (rozptyl měření
v kontrolní skupině je nesrovnatelně větší než rozptyl měření v experimentální skupině).
Odpovědi na otázky viz 13.1.
1.9 Příklady ke cvičení
Příklad 1.1 Honza Kovář je testérem motocyklů FONDA. S jistým prototypem provede
šest jízd na 400m, získává časy (v sekundách): 10, 11, 10, 9, 10, 12.
a) Jaký je rozptyl těchto šesti hodnot?
b) Jaký je odhad rozptylu měření u daného prototypu?
Příklad 1.2 Honza nyní dostal pět různých strojů FONDA a s každým jede jízdu dlouhou
400 metrů. Získal data: 9, 12, 15, 8, 10.
a) Jaký je nyní nejvhodnější odhad rozptylu času na 400 metrů u strojů FONDA?
b) Jaký je odhad rozptylu průměrného času všech pěti strojů?
Příklad 1.3 Náhodně byly vybrány tři hodnoty z jisté populace: x1 = 2, x2 = 4, x3 = 4.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 37
a) Vypočtěte rozptyl tohoto vzorku hodnot.
b) Odhadněte rozptyl celé populace.
c) Odhadněte rozptyl teoretického rozdělení průměru X.
Příklad 1.4 Při průzkumu zájmu o nový výrobek odpovědělo ze 400 dotázaných zákazníků
supermarketu 80 zákazníků kladně na otázku, zda o výrobek mají zájem. Vycházejte z tohoto
průzkumu a určete intervalový odhad procenta zájemců se spolehlivostí 0,95. (Návod:
určete nejprve intervalový odhad počtu zákazníků ze 400, kteří si výrobek skutečně koupí
- binomické rozdělení aproximujte normálním se stejnou střední hodnotou a rozptylem;
pak vydělte obě meze v intervalu spolehlivosti číslem 400 (dostanete pravděpodobnosti) a
vynásobte číslem 100 (dostanete procenta))
Příklad 1.5 Aneta Šedá čte v novinách, že průměrný čech vidí za týden v televizi deset
mrtvých. Zeptá se čtyř svých spolužaček, kolik mrtvých viděla každá z nich minulý týden
v televizi. Jejich odpovědi jsou: 9, 8, 10, 9.
a) Jaký je průměr a 95%-ní interval splehlivosti pro tyto hodnoty?
b) Proveďte t-test pro tato data (odpovídá měření čtyř hodnot novinové zprávě?).
Příklad 1.6 Hokejové týmý Kometa Brno a Draci Brno mají v posledních pěti letech
výsledky vzájemný zápasů (Kometa: Draci) 3 : 2, 3 : 3, 3 : 5, 4 : 5, 6 : 4, 6 : 2, 4 : 1, 1 : 0,
1 : 2, 3 : 1. 2 : 0, 3 : 5, 2 : 1, 3 : 0, 2 : 1. Má trenér Komety právo říkat, že jeho tým je
významně lepší? Odpovězte
a) znaménkovým testem (viz BMA3), který bere v úvahu pouze výhru nebo prohru;
b) t-testem, který bere v úvahu skóre v jednotlivých zápasech
Příklad 1.7 Sociologové chtějí provést experiment, který má zjistit, zda počet schůzek
chlapce s děvčetem závisí na tom, zda je chlapec prvorozený nebo ne. Získá náhodně
vybraných šest náctiletých chlapců prvorozených a šest jiných druhorozených a zjistí, kolik
schůzek měl každý z nich během jednoho měsíce. Prvorození: 6, 4, 5, 7, 3, 5; druhorození:
2, 5, 4, 2, 1, 4.
a) Vypočtěte příslušné intervaly spolehlivosti (pro střední hodnotu průměru měření) se
spolehlivostí 95% u každé z obou skupin chlapců.
b) Proveďte t-test.
Příklad 1.8 Chceme testem ověřit, zda kvalita reakcí člověka je stejná za denního
i za umělého světla. U náhodně vybrané skupiny deseti lidí byly získány výsledky
zkoušky „denní světlo : 9, 2, 7, 12, 14, 10, 6, 7, 12, 10 a hodnoty zkoušky „umělé osvětlení :
7, 2, 4, 13, 13, 7, 4, 6, 8, 9 (oba soubory jsou uspořádané, tj. data od i-tého respondenta
jsou v obou případech na i-té pozici). Za použití t-testu rozhodněte, zda soubor „denní
světlo nabývá významně vyšších hodnot než soubor „umělé osvětlení .
38 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 1.9 Ve skupině A (292 studentů) je průměr hodnocení semestrální písemky roven
x1 = 35,5 bodů, ve skupině B (260 studentů) x2 = 41,6 bodů. Byly spočteny také rozptyly
ohodnocení v každé skupině písemek s2
1 = 100, s2
2 = 90. Studenti si neoficiálně mezi sebou
stěžují, že zkoušející ve skupině A je výrazně přísnější. Ověřte testem, zda je rozdíl mezi
průměry ohodnocení statisticky významný.
Výsledky příkladů viz 13.1.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 39
2 Analýza rozptylu
Téma této kapitoly je velmi málo přístupné v češtině. Proto se omlouvám za terminologii
a označení, které asi ještě v češtině nebylo použito. Učebnice ([5] se zabývá analýzou
rozptylu ve stejném stylu, ale ne do té hloubky, že by bylo možné převzít označení veličin
– některých termínů se držím, některé pozměňuji včetně označení, abych s nimi mohl dále
pracovat). Ještě je mi známa kniha [6], která přistupuje k analýze rozptylu v odlišném
stylu (jiné veličiny s jiným označením, které nemohlo být převzato).
2.1 Jednofaktorová analýza rozptylu
2.1.1 Příklad a vzorce
Zatím jsme se zabývali statistickými testy v situaci jednoho nebo dvou souborů měření.
V této kapitole začneme mluvit o složitějších experimentálních situacích se třemi a více
skupinami měření.
Uvažujme například experiment, ve kterém jsou za třech různých podmínek získány
tři soubory měření a chceme testovat, zda se odpovídající střední hodnoty populace v
těchto třech případech statisticky významně liší. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout,
je provést tři t-testy: první pro skupiny 1 a 2, druhý pro skupiny 1 a 3, třetí pro skupiny 2
a 3. Z důvodů, které budou uvedeny v kapitole 4, je tento postup poněkud problematický
– proto nyní popíšeme test, který porovnání všech tří souborů měření provede najednou.
Jak už bylo předesláno v předchozí kapitole, budeme analyzovat dva typy rozptylu –
vnitřní rozptyl neboli rozptyl uvnitř tříd (... RUT) a vnější rozptyl neboli rozptyl
mezi třídami (... RMT).
Testovým kritériem při analýze rozptylu bude podíl odhadů rozptylů obou typů
est RMT
est RUT
Toto kritérium vlastně není ničím novým, protože i u t-testu lze na kritérium
X1 − X2
est σX1−X2
pohlížet jako na podíl rozptylů dvojího typu: RMT
.
= k · (X1 − X2) (vnější rozptyl je jen
k-násobkem rozdílu průměrů pro jisté k), zatímco est RUT
.
= est σX1−X2
(odhad vnitřní
rozmanitosti je dán odmocninou z odhadu vnitřního rozptylu).
Příklad 2.1 Zaměstnanci UMAT hledají nejlepší metodu výuky matematiky v prvním
semestru ze tří možností – cvičení, konzultace, přednáška. Aby zjistily, zda se metody od
sebe nějak významně liší, vybrali náhodně 27 studentů a rozdělili je do tří skupin po devíti
N1 = N2 = N3 = 9, z nichž každá je vyučována jinou metodou. Poté jsou záskána data
ohodnocení zkoušky BMA1:
40 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
skupina 1 skupina 2 skupina 3
(cvičení) (konzultace) (přednáška)
94 83 80
90 86 85
95 89 81
89 87 81
88 85 79
92 86 83
92 85 78
97 81 80
91 83 82
T1 = 9
1 x1i = 828 T2 = 9
1 x2i = 765 T3 = 9
1 x3i = 729
x1 = T1
9
= 92 x2 = T2
9
= 85 x3 = T3
9
= 81
O významnosti rozdílů středního hodnot v různých skupinách měření rozhodněte statistickým
testem.
Jedná se o ilustrační příklad, proto si dovoluji pro řešení vypnout kurzívu. Označení
T1, T2, T3 z anglického „total =součet.
a) Z tří skupin měření odhadneme nejprve vnitřní rozptyl σ2
= RUT: Stupně volnosti
ν1 = ν2 = ν3 = 8. Součet čtverců ze vztahu 1.23 s využitím označení pro součet
T = xi budeme psát ve tvaru
ss = x2
i −
T2
N
, (2.1)
který budeme dále využívat, protože je numericky jednodušší. Užitím 2.1 a 1.12
tedy máme pro každou ze tří skupin měření
s2
1 = est1 RUT =
ss1
ν1
=
68
8
= 8,5;
s2
2 = est2 RUT =
ss2
ν2
=
46
8
= 5,75;
s2
3 = est3 RUT =
ss3
ν3
=
36
8
= 4,5.
Vidíme, že rozptyly měření se liší maximálně o dvojnásobek, takže je rozumné brát
v úvahu princip homogenního rozptylu a odhadnout RUT jako aritmetický průměr
vypočtených tří hodnot:
est RUT =
8,5 + 5,75 + 4,5
3
= 6,25.
Tento odhad má ν1 + ν2 + ν3 = 24 stupňů volnosti. U příkladu 1.10 jsme u t-testu
odhadovali vnitřní rozptyl – tento odhad jsme mohli docela dobře určit ze vzorce
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 41
est σ2
= ss1+ss2
ν1+ν2
(ověřte, že výsledek je stejný). Podobně i náš aritmetický průměr
6,25 tří odhadů lze počítat tímto způsobem – vzorec
est σ2
=
J
1 ssj
J
1 νj
(2.2)
platí nikoli jen pro tři skupiny, měření, ale obecně pro J skupin. Pokud bychom jej
použili v našem příkladu,
est RUT =
68 + 46 + 36
8 + 8 + 8
= 6,25.
b) S použitím t-rozdělení nyní můžeme sestavit intervaly spolehlivosti pro střední hodnoty
µ1, µ2, µ3: když tk(α = 2q = 0,05; ν = 24) = 2,064, pak µj ∈ xj ± 6,25
9
· tk.
Protože Nj = 9 pro všechna j, budou všechny tři intervaly spolehlivosti stejně
dlouhé:
µ1 ∈ 92 ± 1,72; µ2 ∈ 85 ± 1,72; µ3 ∈ 81 ± 1,72.
Průměry a intervaly spolehlivosti lze znázornit graficky:
skupina 3skupina 2skupina 1
0
20
60
40
80
Tyto tři intervaly spolehlivosti se vůbec nepřekrývají – to nám mimo jiné říká, že
všechny tři střední hodnoty jsou navzájem různé, čili nulová hypotéza H0 : µ1 =
µ2 = µ3 bude následujícícm testem zamítnuta.
c) Provedeme nyní statistický test:
(K1) H0: µ1 = µ2 = µ3 (vyučovací metoda nemá vliv na výsledek zkoušky);
H1: neplatí µ1 = µ2 = µ3.
42 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Všimněme si, že hypotéza H1 je docela nejasná. Pokud H1 platí, může to znamenat
hodně věcí: µ1 > µ2 = µ3, nebo µ1 > µ2 > µ3, nebo µ1 < µ2 < µ3,
nebo µ1 = µ2 > µ3, nebo µ1 = µ2 < µ3, atd. Tato nejasnost hypotézy H1 je
hlavní nevýhodou analýzy rozptylu – i když v dalších kapitolách uvidíme, že i
s analýzou rozptylu se dá něco dělat.
(K2) Jak už bylo řečeno úvodem, testovým kritériem bude podíl
est RMT
est RUT
.
Čím větší je hodnota est RMT (odhad rozptylu mezi třídami), tím větší důvod
bude si myslet, že mezi jednotlivými středními hodnotami průměrů existuje
skutečný rozdíl. Čím větší bude est RUT (odhad rozptylu uvnitř tříd), tím více
máme důvod se domnívat, že rozdíly mezi skupinami měření jsou způsobeny
pouze náhodnými vlivy.
est RUT = 6,25; nyní vypočteme ještě est RMT – budeme postupovat obdobně
jako při určení vnejšího rozptylu v příkladu 1.10. Máme změřeny tři
průměry x1 = 92, x2 = 85, x3 = 81 – vypočtěme rozptyl těchto průměrů podle
1.23 a 1.22: Protože ν = 3 − 1 = 2, máme
est rN =
ss
2
, ss =
J
j=1
xj
2
−
( xj)2
J
= 22250 −
2582
3
= 62.
Tedy est rN = 62
2
= 31. To ale ještě není všechno – protože est rN je odhadem
rozptylu průměru devíti hodnot a rN = RMT
N
, máme
est RMT = N · rN = 9 · 31 = 279.
Na tomto místě je snad vhodné graficky test „rozebrat : Pokud platí H0, tak
průměry x1 = 92, x2 = 85, x3 = 81 pocházejí z téhož rozdělení, které má
rozptyl RMT
N
:
81 9285
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 43
To znamená, že est RMT i est RUT jsou odhady téhož rozptylu σ2
a rozdíl
mezi hodnotami 6,25 a 279 je pouze náhodný.
Pokud ovšem platí H1, průměry x1 = 92, x2 = 85, x3 = 81 pocházejí z různých
rozdělení a rozptyl RMT
N
je větší než rozptyl RUT
N
z předchozího obrázku:
85 9281
Každý ze tří průměrů na obrázku je průměrem jiné náhodné veličiny, čili
est RMV je odhadem jiného, většího rozptylu než RUP (rozptýlenost průměrů
není popsána jednou veličinou, ale třemi různými veličinami). Obecně lze
říci, že čím větší je rozdíl mezi est RMT a est RUT, tím větší je pravděpodobnost,
že platí H1.
(K3) Jaké je rozdělení veličiny est RMT
est RUT
za předpokladu platnosti hypotézy H0?
Pokud platí H0, tak est RMT, est RUT jsou odhady téhož rozptylu σ2
. Sir
Ronald Fisher odvodil, že pokud máme dva odhady téhož rozptylu, est1 R s
počtem stupňů volnosti v1 a est2 R s počtem stupňů volnosti v2, tak podíl
těchto odhadů est1 R
est2 R
má tzv. F-rozdělení (podle svého objevitele nazývané
Fisherovo rozdělení) pravděpodobnosti s hustotou
fv1,v2 (x) =



0 . . . x ≤ 0;
v2
v1
·
x
(v1
2 −1)·e
− x
2
2
v1
2 ·Γ(v1
2 )
x
(v2
2 −1)·e
− x
2
2
v2
2 ·Γ(v2
2 )
= v2
v1
· 2(v2−v1
2 ) · x(v1−v2
2 ) ·
Γ(v2
2 )
Γ(v1
2 )
. . . x > 0.
Střední hodnota veličiny popsané F-rozdělením je rovna v2
v2−2
, je tedy blízká
jedné, což i odpovídá platnosti hypotézy H0 – pokud v podílu jsou odhady
stejného rozptylu, tak ten podíl by se měl přibližně rovnat jedné. Pro různé
hodnoty stupňů volnosti má graf hustoty jiný průběh, tj. jinou kritickou hodnotu
(pro α = 0,05). Například
44 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1
x
4,26
0,6
0,8
0,4
0,2
0
pro v1 = 2, v2 = 9 má hustota f2,9(x) tvar a Fk = 4,26.
0,1
0,2
0
3,71
x
0,5
0,4
0,7
0,3
0,6
Pro v1 = 3, v2 = 10 má hustota f3,10(x) tvar a Fk = 3,71.
0
x
2,54
0,6
0,4
0,2
0,8
Pro v1 = 10, v2 = 15 se graf f10,15(x) ještě více liší od nepřímé úměrnosti
případu f2,9,
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 45
0,2
1,93
1
x
0,8
0,6
0
0,4
graf f20,30 už jednoznačně dává čtenáři představu, jaký tvar je pro většinu
dvojic stupňů volnosti pro graf hustoty charakteristický. Ve všech čtyřech
případech byla vyšrafována oblast na pravé straně mezi grafem a osou x, jejíž
obsah je roven α = 0,05.
Kritické hodnoty F-rozdělení byly také jednou provždy vypočteny a sestaveny
do tabulky. Situace je ještě náročnější než u t-rozdělení, protože přibývá jeden
parametr navíc – oproti t-rozdělení jsou u F-rozdělení dva stupně volnosti, čili
pro každou hladinu významnosti α potřebuje F-rozdělení jednu celou tabulku!!!
Tato prostorová náročnost vyžaduje, abychom se omezili pouze na jedinou
hladinu významnosti, maximálně na dvě. V tabulce 2.2 jsou uvedeny kritické
hodnoty F-rozdělení pro α = 0,05, v tabulce 2.3 pro α = 0,01.
Všechny uvedené kritické hodnoty se týkají pravostranného testu – v případě
potřeby levostranného F-testu je možné pro nalezení kritické hodnoty užít
vzorec
FV1,V2
k (1 − α) =
1
FV2,V1
k (α)
(2.3)
(všimněte si, že ve vzorci je na pravé straně přehozeno pořadí stupňů volnosti
– pozor na to, tabulka kritických hodnot není symetrická). Dále si prosím
všimněte, že volnosti jsou označeny písmenem V a nikoli ν – označení volnosti
pomocí písmene V mi připadne jednak více české (V jako „volnost ), jednak
vhodnější v této a dalších kapitolách (budeme totiž počítat volnosti odhadů
různých typů).
(K4) Pro α = 0,05 příslušnou kritickou hodnotu určíme z tabulky 2.2, kde volnost
odhadu est RMT je V1 = 2, volnost odhadu est RUT je V2 = 24 – čili
na průsečíku sloupce V1 = 2 a řádku V2 = 24 nacházíme kritickou hodnotu
Fk = 3, 4.
46 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Tabulka 2.2: Kritické hodnoty F-testu pro α = 0,05.
V1 → 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
V2 ↓
1 161 199 216 225 230 234 237 239 240 242 244 246 248 249 250 251 252 253 254
2 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5
3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,53
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5,63
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,36
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,67
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3,23
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 2,93
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 2,54
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 2,40
12 4,75 3,90 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 2,30
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,13
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 2,01
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,96
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 1,92
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,88
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20 2,12 2,08 2,01 1,99 1,95 1,90 1,84
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,81
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,78
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,20 2,13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 1,76
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 1,73
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 2,07 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 1,69
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,13 2,06 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 1,67
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 1,65
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,10 2,03 1,94 1,90 1,85 1,81 1,75 1,70 1,64
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01 1,93 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 1,62
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 1,51
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,70 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39
120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,61 1,55 1,50 1,43 1,35 1,25
∞ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,75 1,67 1,57 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22 1,00
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 47
Tabulka 2.3: Kritické hodnoty F-testu pro α = 0,01.
V1 → 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
V2 ↓
1 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5928 5982 6022 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366
2 98,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5
3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 27,0 26,9 26,7 26,6 26,5 26,4 26,3 26,2 26,1
4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,6 14,4 14,2 14,0 13,9 13,8 13,7 13,6 13,6 13,5
5 16,3 13,3 12,0 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,0 9,89 9,72 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 9,02
6 13,8 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7,56 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97 6,88
7 12,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,47 6,31 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 5,65
8 11,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,67 5,52 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86
9 10,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,11 4,96 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,31
10 10,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,71 4,56 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,40 4,25 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,16 4,01 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45 3,36
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 3,96 3,82 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 3,17
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,80 3,66 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09 3,00
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,67 3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 2,87
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,55 3,41 3,26 3,18 3,10 3,02 2,93 2,84 2,75
17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,46 3,31 3,16 3,08 3,00 2,92 2,83 2,75 2,65
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,37 3,23 3,08 3,00 2,92 2,84 2,75 2,66 2,57
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,30 3,15 3,00 2,92 2,84 2,76 2,67 2,58 2,49
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,23 3,09 2,94 2,86 2,78 2,69 2,61 2,52 2,42
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,17 3,03 2,88 2,80 2,72 2,64 2,55 2,46 2,36
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,12 2,98 2,83 2,75 2,67 2,58 2,50 2,40 2,31
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,07 2,93 2,78 2,70 2,62 2,54 2,45 2,35 2,26
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,03 2,89 2,74 2,66 2,58 2,49 2,40 2,31 2,21
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 2,99 2,85 2,70 2,62 2,54 2,45 2,36 2,27 2,17
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 2,96 2,81 2,66 2,58 2,50 2,42 2,33 2,23 2,13
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,93 2,78 2,63 2,55 2,47 2,38 2,29 2,20 2,10
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,90 2,75 2,60 2,52 2,44 2,35 2,26 2,17 2,06
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,87 2,73 2,57 2,49 2,41 2,33 2,23 2,14 2,03
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,84 2,70 2,55 2,47 2,39 2,30 2,21 2,11 2,01
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,66 2,52 2,37 2,29 2,20 2,11 2,02 1,92 1,80
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,50 2,35 2,20 2,12 2,03 1,94 1,84 1,73 1,60
120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,34 2,19 2,03 1,95 1,86 1,76 1,66 1,53 1,38
∞ 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,18 2,04 1,88 1,79 1,70 1,59 1,47 1,32 1,00
48 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
(K5) Odpovídající F-hodnota kritéria je
F =
est RMT
est RUT
=
279
6,25
= 44,64,
což je více než Fk = 3, 4, a tedy zamítáme hypotézu H0 o tom, že střední
hodnoty průměrů jsou ve všech třech skupinách měření shodné. Zde budiž také
řečeno, že se jedná o pravostranný test, protože rozptyl RMT (vyjadřující
rozdílnost mezi všemi měřeními) je vždy velký minimálně tolik jako rozptyl
RUT (vyjadřující rozdílnost pouze uvnitř každé ze skupin měření), čili podíl
est RMT
est RUT
bude vždy větší než jedna, jedinou otázkou je, kolikanásobně je RMT
větší než RUT.
Důležitá poznámka: V případě t-testu v příkladu 1.10 jsme předpokládali, že
est1 σ2
a est2 σ2
jsou odhady téhož rozptylu – tuto skutečnost je možné nyní ověřit
také F-testem: Jako kritérium bychom použili podílu est1 σ2
est2 σ2 , který má (při předpokladu
H0, že se jedná o odhady téhož roptylu) rozdělení FN1−1,N2−1 – další možnost je použít
kritéria est2 σ2
est1 σ2 , který má (při předpokladu H0, že se jedná o odhady téhož roptylu)
rozdělení FN2−1,N1−1. Problémem zde je, že nemáme zajištěno, že by jeden z těchto
dvou rozptylů musel být například větší než ten druhý, čili podíl těchto dvou odhadů
může být větší i menší než jedna, tedy vychýlen od hodnoty 1 na obě strany – v tomto
případě se tedy jedná o oboustranný test, při kterém musíme při určení kritických
hodnot na obou stranách podgrafu „useknout obsah α
2
. Protože máme k dispozici jen
tabulky 2.3, 2.2 usekávající v pracé části podgrafu jedno nebo pět procent obsahu,
můžeme v tomto testu volit pouze α = 0,02 nebo α = 0,1, hodnotu Fv najít v jedné z
těchto tabulek, a pro určení levé kritické hodnoty Fm užít tabulek společně se vzorcem 2.3.
Konkrétně v příkladu 1.10 pro est1 = 88 a est2 = 30 (s volnostmi V1 = V2 = 4),
kritérium est1
est2
a α = 0,02 dostaneme z tabulky 2.3 F4,4
v = 16, 0 a ze vzorce 2.3
F4,4
m =
1
F4,4
k
=
1
16
= 0,0625;
hodnota kritéria 88
30
= 2,93 leží v intervalu (0,0625; 16); čili nezamítáme hypotézu H0, že
est1, est2 jsou odhady téhož rozptylu σ2
.
Shrňme nyní označení a vzorce použité v příkladu 2.1: Vzorec 2.2 lze s využitím
označení SSUT := J
1 SSi, V UT := J
1 νi přepsat ve tvaru
est RUT =
SSUT
V UT
, (2.4)
kde pro V UT platí pro stejný počet měření N1 = N2 = · · · = NJ = N v každé ze skupin
1, 2, . . . , J
V UT =
J
1
νi = J · (N − 1) = JN − J = n − J, (2.5)
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 49
kde n je celkový počet měření ve všech skupinách (JN = n). Dále pokud označíme
Ti = N
j=1 xij součet měření v i-té skupině (třídě), lze upravit vzorec pro SSUT do tvaru
SSUT =
J
i=1
SSi =
J
i=1
N
j=1
x2
ij −
T2
i
N
=
J
i=1
N
j=1
x2
ij −
J
i=1
T2
i
N
. (2.6)
Odhad est RUT je nejlepším odhadem rozptylu σ2
, tj. budeme jej používat pro sestavení
intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu průměru měření v dané třídě populace
µi ∈ xi ± tk(V UT) ·
est RUT
Ni
. (2.7)
Podívejme se nyní na tvar vzorců pro RMT: pro průměr x průměrů xi platí (označíme-li
xi = Ti
N
, Ti = T = součet všech měření v experimentu):
x =
J
i=1 xi
J
=
J
i=1
Ti
N
J
=
J
i=1
Ti
NJ
=
T
n
;
dále (podle postupu v příkladu)
est RMT = N · est σ2
X
= N ·
J
i=1(xi − x)2
J − 1
(pokud označíme SSMT = N · J
1 (xi − x)2
a V MT = J − 1). Upravme nyní ještě
vzorec pro SSMT (pro stejné délky měření v každé ze skupin Ni = N lze využít označení
Ti = T a faktu JN = n):
SSMT = N ·
J
1
(xi − x)2
= N ·



J
1
xi
2
−
J
1 xi
2
J


 =
= N ·
J
1
xi
2
−
N
J
J
1
xi
2
= N ·
J
1
T2
i
N2
−
N
J
·
J
1 Ti
N
2
=
=
J
1
T2
i
N
−
T2
n
.
Všechny uvedené vzorce nyní sestavme do přehledné tabulky. Uděláme v ní ale ještě jeden
krok navíc – předpoklad Ni = N stejného počtu měření v každé ze skupin lze vypustit,
hodnoty Ni mohou být navzájem různé. Příslušné odvození vzorců pro různá Ni ovšem
už nebudeme provádět (snad čtenář získal určitou příchuť tohoto typu odvozování aspoň
pro stejné hodnoty Ni) – kupodivu se ukazuje, že do všech vzorců právě odvozených lze
dosadit místo N obecný počet měření Ni, a jinak vzorce zůstanou beze změny (neplatí
ještě n = NJ, ale obecně pro různé délky souborů měření platí n = Ni)!!!
Z tabulky 2.4 je vidět výhoda přístupu pomocí vzorců pro SS – v případě MT i UT
se rozptyl odhadne jako podíl součtu čtverců a počtu stupňů volnosti.
50 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Tabulka 2.4: Vzorce pro typy rozpylu u jednofaktorové ANOVA
typ rozptylu V (= volnost) SS (= součet čtverců) est R
MT V MT = J − 1 SSMT = J
i=1
T2
i
Ni
− T2
n
est RMT = SSMT
V MT
UT V UT = n − J SSUT = J
i=1
Ni
j=1 x2
ij − J
i=1
T2
i
Ni
est RUT = SSUT
V UT
Příklad 2.2 Provádíme test účinnosti čtyř značek zubní pasty v prevenci zubního kazu:
WHITE, RUBBY, NIGGARD, NOHOLES. U každé značky bylo požádáno šest lidí, aby
pastu po dobu jednoho roku používali a zaznamenávali přitom počet zubních kazů. Z každé
šestičlenné skupiny během roku někdo odešel, takže byla získána následující data:
skupina 1 skupina 2 skupina 3 skupina 4
(WHITE) (RUBBY) (NIGGARD) (NOHOLES)
x11 = 2 x21 = 4 x31 = 6 x41 = 3
x12 = 1 x22 = 1 x32 = 2 x42 = 1
x13 = 3 x23 = 3 x33 = 4
x24 = 3 x34 = 4
x25 = 4
T1 = 6 T2 = 15 T3 = 16 T4 = 4
x1 = 2 x2 = 3 x3 = 4 x4 = 2
Vypočtěme nejprve intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu v každé ze čtyř (J = 4)
skupin měření (užitím 2.7 a vzorců z tabulky 2.4):
est RUT =
SSUT
V UT
=
všechno x2
ij − skupiny
T2
i
Ni
n − J
=
147 − 129
14 − 4
= 1,8;
Dále V UT = 10 (sečítá se volnost 2 ve skupině WHITE, volnost 4 ve skupině RUBBY,
volnost 3 ve skupině NIGGARD a volnost 1 ve skupině NOHOLES). Z tabulky 1.1 pro
α = 2q = 0,05 a volnost 10 je tk(10) = 2,228. Intervaly spolehlivosti mají teď různou délku
díky různým počtům měření v každé ze skupin – podle 2.7
µi ∈ Xi ±
1,8
Ni
· 2,228
máme µ1 ∈ 2 ± 1,73, µ2 ∈ 3 ± 1,34, µ3 ∈ 4 ± 1,49 a µ4 ∈ 2 ± 2,11 (grafické znázornění
těchto intervalů viz obrázek):
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 51
NOHOLESNIGGARDRUBBYWHITE
5
4
1
0
3
2
Z obrázku je možné vyčíst následující informace:
– intervaly spolehlivosti mají neprázdný průnik, což nedává moc důvodů si myslet, že
střední hodnoty veličin v jednotlivých situacích měření se liší významně;
– experiment nemá velkou sílu: mezi jednotlivými značkami pasty mohou být značné
rozdíly (např. µ1 = 1, µ3 = 5), ale statisticky je nejsme schopni prokázat; pomohlo
by zopakování experimentu s větším počtem měření v každé ze skupin (tedy s větší
silou).
Proveďme nyní test hypotézy:
(K1) H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4;
H1: Neplatí H0.
(K2) Testovým kritériem bude veličina est RMT
est RUT
. Odhad est RUT = 1,8 už byl nalezen
(pro V UT = 10), odhadněme ještě RMT (pro V MT = J − 1 = 4 − 1 = 3):
est RMT =
SSMT
V MT
=
J
i=1
T2
i
Ni
− T2
n
J − 1
=
129 − 412
14
4 − 1
= 3.
(K3) Při platnosti H0 má veličina est RMT
est RUT
rozdělení F pro stupně volnosti V1 = 3,
V2 = 10.
(K4) Pro α = 0,05 příslušná kritická hodnota Fk(3, 10) je na průsečíku třetího sloupce
a desátého řádku tabulky 2.2 tj. Fk(3, 10) = 3,71.
(K5) Odpovídající F-hodnota kritéria je
est RMT
est RUT
=
3
1,8
= 1,67 < Fk = 3,71;
H0 tedy nezamítáme, rozdíly mezi pastami nebyly testem odhaleny.
52 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Poznámka: Někdy se situace analýzy rozptylu popisuje tzv. lineárním modelem
(tento přístup je podrobně rozpracován ve skriptu [6]): pro j-tou hodnotu i-té skupiny
(třídy) platí
xij = µ + αi + εij,
kde µ je střední hodnota celé populace, αi je vliv (relativní změna) µ způsobený podmínkami
měření ve skupině (= třídě) i, εij je náhodná chyba, která má rozdělwní s rozptylem
σ2
, což je stejný rozptyl jako rozptyl celé populace. Zde platí J
i=1 αi = 0, Ni
j=1 εij = 0,
a H0, H1 lze formulovat H0 : α1 = α2 = · · · = αJ = 0, H1: neplatí H0. V tomto textu se
analýze rozptylu ovšem nebudeme věnovat z pohledu lineárního modelu, ale z hlediska již
představeného součtu čtverců.
2.1.2 Důležité drobnosti k zapamatování
Vrátíme-li se k situaci J skupin (tříd) měření, i-tá délky Ni, lze z měření ve všech skupinách
dohromady spočítat jeden „velký součet čtverců
SS =
všechno
(xij − x)2
=


všechno
x2
ij

 − všechno xij
2
n
=


všechno
x2
ij

 −
T2
n
,
(2.8)
kterému odpovídá V SS = n−1 stupňů volnosti (n hodnot závislých na jednom parametru
x). Z tabulky 2.4 je patrno, že
SS = SSMT + SSUT; (2.9)
V SS = V MT + V UT (2.10)
(podobné vztahy platily mezi celkovým rozptylem, vnitřním rozptylem a vnejším
rozptylem v příkladu 1.10).
Pokud by se někomu zdály vzorec 2.8 a tabulka 2.4 příliš náročné, rád bych uvedl
několik skutečností, které čtenáři pomohou si tyto vzorce zamilovat a ocenit krásu analýzy
rozptylu :-)
Vztah mezi součtem čtverců a stupni volnosti: Ve vzorcích je přítomna následující
symetrie – vzorec pro výpočet počtu stpupňů volnosti je klíčem pro určení počtu
členů v sumách odpovídajícího součtu čtverců:
• Celkový součet čtverců (2.8): V SS = n − 1, a pak při výpočtu SS od sumy n
členů (sumy čtverců všech měření experimentu) odečteme jeden člen T2
n
.
• SSUT: Protože V UT = n − J, pak při výpočtu SSUT odečítáme od
sumy n členů (čtverců všech měření experimentu) sumu J členů (
T2
i
Ni
pro
j = 1, 2, . . . , J).
• SSMT: Protože V MT = J − 1, tak při výpočtu SSMT odečítáme od sumy
J členů
T2
i
Ni
jeden člen T2
n
.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 53
Pravidlo „umocni a poděl : Kdykoli v probíraných vzorcích umocňujeme určitý součet,
dělíme jej počtem členů tohoto součtu. Konkrétně:
• x2
ij: Umocňujeme jediný člen, čili dělíme jej jedničkou :-)
•
T2
i
Ni
: Umocňujeme součet Ti = Ni
j=1 xij, čili dělíme jej číslem Ni.
• T2
n
: Umocňujeme součet T všech n hodnot, čili dělíme jej číslem n.
No nejsou ty vzorce krásné?
2.2 Dvoufaktorová analýza rozptylu
2.2.1 Příklady a vzorce
Až dosud jsme se zabývali situacemi, kdy se hledal vliv jedné nezávislé proměnné na
jednu závislou proměnnou. Nyní budeme sledovat vliv dvou nezávislých proměnných na
třetí závislou proměnnou.
Příklad 2.3 Chceme zkoumat vliv dvou proměnných na výkon paměti. První proměnnou
bude finanční motivace (zlepší se výkon paměti, když člověk dostane více zaplaceno?),
druhou proměnnou bude délka pamatování (pamatuje si člověk po delší době méně?).
Výkon paměti budeme měřit počtem zapamatovaných slov (ze dvaceti uvedených slov).
Při řešení příkladu bychom mohli provést dva oddělené experimenty jednorozměrné
analýzy rozptylu: V jednom experimentu zkoumat vliv prvního faktoru (= finanční motivace)
v různých podmínkách (podmínka 1: člověk dostane 1 kč za každé správně zapamatované
slovo; podmínka 2: člověk dostane 100 kč za každé správně zapamatované slovo),
ve druhém experimentu vliv druhého faktoru (= doba pamatování) za různých podmínek
(podmínka 1: zkouška paměti ihned po naučení slov; podmínka 2: zkouška paměti hodinu
po naučení slov; podmínka 3: zkouška paměti pět hodin po naučení slov).
Ale lepší je oba vlivy zkoumat najednou ve dvourozměrné analýza rozptylu, protože
se z ní dovíme více informacínež ze dvou jednorozměrných experimentů (můžeme studovat
tzv. interakci obou nezávislých proměnných - jakýsi jejich vzájemný vliv na třetí
proměnnou; za chvíli bude řečeno více).
Skloubením dvou podmínek faktoru 1 a tří podmínek faktoru 2 získáme 2 · 3 = 6
podmínek dvourozměrné (= dvoufaktorové) analýzy rozptylu. pro takto navržený
experiment bylo náhodně vybráno šest skupin po třech lidech a získána data uvedená v
tabulce na následující straně.
Vysvětlení označení v této tabulce faktorové analýzy typu J × K:
J ... počet podmínek faktoru 1.
K ... počet podmínek faktoru 2.
Tij, xij... součet a průměr příslušný k podmínce ij.
54 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
TRi
, NRi
... součet a počet hodnot příslušný i-té podmínce faktoru 1 (= v i-tém řádku
faktorové tabulky).
TSj
, NSj
... součet a počet hodnot příslušný j-té podmínce faktoru 2 (= v j-tém sloupci
faktorové tabulky).
T, n ... celkový součet a počet hodnot v tabulce.
0 hodin 1 hodina 5 hodin
x111 = 6 x121 = 4 x131 = 5
x112 = 4 x122 = 4 x132 = 4
1 kč x113 = 5 x123 = 4 x133 = 3 TR1 = 39
—— —— ——
T11 = 15 T12 = 12 T13 = 12
x11 = 5 x12 = 4 x13 = 4
x211 = 11 x221 = 6 x231 = 6
x212 = 8 x222 = 10 x232 = 4
100 kč x213 = 8 x223 = 8 x233 = 5 TR2 = 66
—— —— ——
T21 = 27 T22 = 24 T23 = 15
x21 = 9 x22 = 8 x23 = 5
TS1 = 42 TS2 = 36 TS3 = 27 T = 105
n = 18
Zpracování naměřených dat shrneme do tří bodů:
a) Intervaly spolehlivosti: Potřebujeme vypočítat nejprve est RUT – máme k dospozici
šest odhadů tohoto „vnitřního rozptylu (ze tří měření v každé ze šesti skupin
lze určit jeden odhad), lze tedy spočítat jejich aritmetický průměr. Ovšem jednodušší
je použít zde analogii vzorce pro součet čtverců rozptylu UT z tabulky 2.4:
est RUT =
SSUT
V UT
=
všechno x2
ijk − skupiny
T2
ij
Nij
n − J · K
; (2.11)
dosazením dostaneme
est RUT =
701 − 681
18 − 6
.
= 1,667.
Tedy podle vzorce 2.7 máme
µij ∈ xij ±
1,667
3
· tk(12) = xij ± 1,62.
Grafické znázornění průměrů a intervalů spolehlivosti bude nyní složitější než dříve:
na ose y je vynášena závislá proměnná měřená počtem zapamatovaných slov, na ose
x jedna z nezávislých proměnných, například doba pamatování. Druhou nezávislou
proměnnou – finanční motivaci – do obrázku graficky znázorníme tím, že pro každou
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 55
z jejich hodnot (1 kč , 100 kč) se nakreslí jeden graf závislosti počtu zapamatovaných
slov na době pamatování. V jednom obrázku je tedy více křivek odpovídajících
různým podmínkám faktoru 1:
5 hod1 hod
1 k za slovo
100 k za slovo
0 hod
5
6
4
7
10
8
9
Z intervalů spolehlivosti lze vyčíst, že oba faktory mají vliv na počet zapamatovaných
slov: pro delší dobu pamatování počet zapamatovaných slov klesá (obě křivky),
pro vyšší finanční motivaci je počet zapamatovaných slov větší (křivka „100 kč je
výše než křivka „1 kč ).
b) Jednorozměrná ANOVA pro šest podmínek: Na chvíli zapomeňme, že šest
„okének v tabulce vzniklo kombinací dvou nezávislých proměnných, a proveďme
jednorozměrnou analýzu rozptylu, abychom zjistili, zda mezi uvedenými šesti
skupinami (= třídami) existují významné statistické rozdíly:
H0 : µ11 = µ12 = µ13 = µ21 = µ22 = µ23;
(H1: neplatí H0). Už máme spočteno est RUT = 1, 667 (pro V UT = 12); dále
použijeme analogii vzorce pro součet čtverců rozptylu MT z tabulky 2.4:
est RMT =
SSMT
V MT
=
podmínky
T2
ij
Nij
− T2
n
J − 1
; (2.12)
po dosazení je (pro V MT = 5)
est RMT =
681 − 612,5
5
=
68,5
5
= 13,7.
Sestavme výpočty prováděné v našem statistickém testu do tabulky:
56 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
typ rozptylu V SS est R F-hodnota Fk
celkový 17 88,5 – – –
MT 5 68,5 13,7 8,2 3,11
UT 12 20 1,667 – –
Protože 13,7
1,667
= 8,2 > 3,11 (F5,12
k (α = 0,05) = 3,11), uzavíráme, že rozdíly mezi
skupinami jsou statisticky významné – H0 zamítáme.
Protože nás zajímá i vliv každé z obou nezávislých proměnných zvlášť a vliv interakce
obou proměnných (obojí lze zjistit ze dvourozměrné ANOVA), v praxi v této
situaci test b) neprovádíme. Je zde uveden pouze z pedagogických důvodů (aby se
vidělo, že i tento test je možný, a aby bylo připomenuto rozdělení celkového „koláče
rozptylu , respektive celkového koláče součtu čtverců:
SS = 88,5 = SSUT + SSMT, V SS = 17 = V UT + V MT).
c) Dvourozměrná ANOVA: C1: Testujme nejprve vliv faktoru 1 (= finanční motivace)
na počet zapamatovaných slov; tento faktor má dvě podmínky vzniklé
vždy součtem v příslušném řádku faktorové tabulky:
6 4 5
1 kč 4 4 4 TR1 = 39
5 4 3 NR1 = 9
11 6 6
100 kč 8 10 4 TR2 = 66
8 8 5 NR2 = 9
T = 105
n = 18
Rozhodujeme mezi H0 : µR1 = µR2 a H1 : neplatí H0. Kritériem testu bude opět
podíl „vnějšího a „vnitřního rozptylu, ale roli vnějšího rozptylu bude nyní
hrát rozptyl mezi řádky tabulky, proto označení RMR (analogicky SSMR je
příslušný součet čtverců, V MR příslušná volnost) – při jeho výpočtu použijeme
analogii vzorce pro součet čtverců rozptylu MT z tabulky 2.4:
est RMR =
SSMR
V MR
=
řádky
T2
Ri
NRi
− T2
n
J − 1
; (2.13)
po dosazení
est RMR =
653 − 612,5
2 − 1
= 40,5;
je vidět, že V MR = J − 1 = 2 − 1 = 1. Pak po dosazení do kritéria
est RMR
est RUT
=
40,5
1,667
.
= 24,25 > F1;12
k (α = 0,05) = 4,75.
Proto H0 zamítáme, vliv faktoru 1 na počet zapamatovaných slov se prokázal
– je statisticky významný.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 57
C2: Dále testujme vliv faktoru 2 (= doby pamatování) na počet zapamatovaných
slov (zase nás zajímá porovnání mezi jednotlivými sloupci faktorové tabulky):
0 hod 1 hod 5 hod
6 4 5
4 4 4
5 4 3
11 6 6
8 10 4
8 8 5
TS1 = 42 TS2 = 36 TS3 = 27 T = 105
NS1 = 6 NS2 = 6 NS3 = 6 n = 18
Mezi hypotézami „H0 : µS1 = µS2 = µS3 a „H1: Neplatí H0 rozhodne nyní
kritérium est RMS
est RUT
, kde est RMS určíme ze vztahu
est RMS =
SSMS
V MS
=
sloupce
T2
Sj
NSj
− T2
n
K − 1
; (2.14)
dosazením (pro V MS = K − 1 = 3 − 1 = 2) máme
est RMS =
631,5 − 612,5
3 − 1
= 9,5,
a tedy
est RMS
est RUT
=
9,5
1,667
= 5,69 > F2,12
k (α = 0,05) = 3,8,
proto H0 opět zamítáme, vliv faktoru 2 na počet zapamatovaných slov je statisticky
významný.
C3: Sestavme dosud vypočtené hodnoty do tabulky:
typ rozptylu V SS est R F-hodnota Fk
celkový 17 88,5 – – –
MT 5 68,5 – – –
– R 1 40,5 40,5 24,25 4,75
– S 2 19 9,5 5,69 3,8
– I 2 9 4,5 2,69 3,8
UT 12 20 1,667 – –
Nyní je potřeba vysvětlit, kde se vzal v tabulce červený řádek. Tento řádek
odpovídá vlivu interakce mezi faktorem 1 a faktorem 2 na počet zapamatovaných
slov. Tato interakce je součástí rozdílnosti mezi různými skupinami
měření, a tedy je součástí vnějšího rozptylu, proto budou platit vzorce
SSMT = SSMR + SSMS + SSI; (2.15)
V MT = V MR + V MS + V I, (2.16)
58 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
kde SSI je součet čtverců (rozptylu) interakce a V I je volnost (rozptylu) interakce.
Pomocí těchto vztahů je možné SSI a V I snadno určit:
V I = 5 − 1 − 2 = 2, SSI = 68,5 − 40,5 − 19 = 9.
Pak est RI = SSI
V I
= 9
2
= 4,5, a tedy (testové kritérium est RI
est RUT
porovnáme s
kritickou hodnotou FV I,V UT
k ))
est RI
est RUT
=
4,5
1,667
.
= 2,69 < F2,12
k (α = 0,05) = 3,8.
To znamená, že vliv interakce faktorů 1 a 2 na počet zapamatovaných slov není
statisticky významný, hodnota kritéria tohoto pravostranného testu nepřesáhla
kritickou hodnotu.
Dvourozměrná ANOVA tedy spočívá v testech C1, C2, C3, ve kterých hledáme vliv
– faktoru 1
– faktoru 2
– interakce faktorů 1 a 2
na závislou proměnnou.
No dobře, ale co to ta interakce vlastně je? Podívejme se na příklad:
Příklad 2.4 Modifikujme nyní příklad 2.3 a předpokládejme dvě podmínky faktoru 1 (1
kč, 100 kč) a pouze dvě podmínky faktoru 2 (0 hod, 1 hod), čili dvourozměrnou ANOVA
typu 2 × 2. Uvažme tři různé výsledky získaných dat z hlediska interakce (na vodorovnou
osu vynášíme dobu zapamatování, na svislou osu počet zapamatovaných slov):
a) Žádná interakce: (i) Při motivaci 100 Kč si lidé pamatují průměrně o tři slova
více než při motivaci 1 Kč (bez ohledu na délku pamatování)
(ii) Za jednu hodinu lidé zapomenou průměrně pět slov (bez ohledu na finanční
motivaci)
(iii) Shrnutí: vliv jednoho faktoru nezávisí na velikosti druhého faktoru; abychom
určili hodnotu vlivu jednoho faktoru, nemusíme se zajímat o druhý faktor –
jinými slovy, mezi faktory neexistuje interakce (geometricky: příslušné závislosti
na obrázku jsou navzájem rovnoběžné).
4
100 k za slovo
1 k za slovo
1 hod0 hod
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 59
b) Slabá interakce: (i) O kolik víc si lidé průměrně pamatují při motivaci 100 Kč než
při motivaci 1 Kč? To záleží na délce pamatování – bezprostředně po naučení
slov je to průměrně o tři více, hodinu po naučení slov průměrně o jedno slovo
více (viz obr.).
(ii) Kolik slov lidé zapomenou průměrně za jednu hodinu? To záleží na motivaci
– při 1 Kč průměrně tři slova, při 100 Kč průměrně pět slov (viz obr.).
(iii) Shrnutí: vliv jednoho faktoru závisí na velikosti druhého faktoru; abychom určili
vliv jednoho faktoru, musíme uvažovat i hodnotu druhého faktoru – jinými
slovy, mezi faktory existuje interakce (geometricky: příslušné závislosti na obrázku
jsou různoběžné).
4
100 k za slovo
1 k za slovo
1
1 hod0 hod
9
8
7
6
5
4
3
2
3
c) Silná interakce: I když tento výsledek je v tomto příkladu nepravděpodobný, popišme,
co by znamenala silná interakce:
4
100 k za slovo
1 k za slovo
1 hod0 hod
8
9
8
7
6
5
4
3
2
1
(i) O kolik víc si lidé průměrně pamatují při motivaci 100 Kč než při motivaci
1 Kč? To záleží na délce pamatování – bezprostředně po naučení slov je to
průměrně o pět více, ale hodinu po naučení slov průměrně (světe div se) o
čtyři slova méně (viz obr.)!!
(ii) Kolik slov lidé zapomenou průměrně za jednu hodinu? To zcela závisí na motivaci
– při 100 Kč zapomenou průměrně pět slov, při 1 Kč si průměrně vzpomenou
ještě na čtyři další slova !!.
60 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
(iii) Shrnutí: Hodnota jednoho faktoru zcela (a klíčově) závisí na hodnotě druhého
faktoru. Tomuto typu interakce říkáme úplná (= silná). příslušné grafy mají
opačný sklon – za jedné podmínky je graf rostoucí, za jiné klesající.
Pojem interakce má také svá úskalí: V oddílku 1.6 (poznámka e)) jsme mluvili
o porušení měřítka, které s otázkou interakce souvisí – někdy volba hodnoty
závislé proměnné není jednoznačná. V našem příkladu jsme závislou proměnnou
(= sílu paměti) měřili počtem zapamatovaných slov. Mohlo by se stát, že bychom
tuto „psychologickou proměnnou měřili jinou matematickou veličinou (např.
logaritmem počtu zapamatovaných slov nebo druhou mocninou počtu zapamatovaných
slov) a příslušné křivky na obrázcích by pak měly jiný sklon, což by vedlo
k jiné interakci. Protože tato volba veličiny není jednoznačná (více matematických
veličin může být k tomuto účelu stejně dobrých), není jednoznačná ani hodnota interakce.
Zpředchozího odstavečku plyne, ževhodnou transformací závislé proměnné lze
někdy interakci odstranit – zejména případ slabé interakce („mírně různoběžné grafy )
lze převést na případ bez interakce (rovnoběžné grafy), čili nemá smysl tvrdit, že interakce
existuje nebo neexistuje. To ovšem neznamená, že nemá cenu interakce studovat – naopak,
v některých případech lze interakci jednoznačně prokázat:
• např. když měřítko závislé proměnné je ekvivalentní měřítku nezávislé proměnné
(příkladem takové závislé proměnné je např. doba čekání na výskyt jisté události
– např. v našem příkladu by to znamenalo spíše naplánovat experiment tak, že by
čas byl závislou proměnnou a vynášel by se na svislé ose, měřili bychom například
dobu, po kterou si lidé jsou schopni udržet v paměti aspoň pět ze zapamatovaných
slov; nezávislými proměnnými by mohly být např. motivace a věk);
• silnou interakci nelze transformací zachovávající monotonnost (= rostoucí funkce se
transformuje na rostoucí funkci) nijak odstranit.
Podívejme se ještě na jeden příklad dvourozměrné analýzy rozptylu:
Příklad 2.5 V roce 1966 ve firmě Bell telephone představil Saul Sternberg způsob, jak
testovat rychlost přístupu člověka do krátkodobé paměti: Testovaný má za úkol si zapamatovat
určitou množinu písmen, např. {A, Q, M, T, G}. Potom se podrobí následující
zkoušce: jsou mu prezentována různá písmena a on má stisknout jisté tlačítko, pokud
dané písmeno pochází ze zapamatované množiny písmen (a jiné tlačítko, pokud se o písmeno
z dané množiny nejedná). Měří se doba reakce mezi prezentací písmene a stiskem
tlačítka.
Základní nezávislou proměnnou tohoto experimentu je s = počet písmen v „paměťové
množině . Bylo zjištěno, že závislost počtu písmen na reakční době je lineární (s větším
počtem písmen předložených k zapamatování se lineárně prodlužuje reakční doba):
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 61
t
s
c = 33.3 ms
532
400
4
300
1
Popis obrázku: na vodorovnou osu vynášíme počet s slov v „paměťové množině , na
svislou osu reakční dobu t v milisekundách, přidáním jednoho slova do zapamatované
množiny se zvýší reakční doba přibližně o c = 33,3 milisekund.
Proveďme nyní experiment zjišťující, jak se přístup do krátkodobé paměti liší vzhledem
k typu zapamatované jednotky - vytvoříme dvourozměrnou ANOVA typu 2 × 3, faktor 1
(= typ pamatované jednotky) má dvě podmínky (písmena a slova); faktor 2 (= počet
jednotek v zapamatované množině) má tři podmínky neboli hodnoty (1, 3, 5).
Získala se následující data, proveďte pro ně dvourozměrnou ANOVA:
1 3 5
350 394 456
346 392 471
361 410 464
330 405 460
písmena 342 400 450 TR1 = 6031
—— —— ——
T11 = 1729 T12 = 2001 T13 = 2301
x11 = 346 x12 = 400 x13 = 460
est11 σ2
= 128 est12 σ2
= 56 est13 σ2
= 63
384 466 585
371 484 580
365 475 560
392 470 562
slova 375 465 570 TR2 = 7104
—— —— ——
T21 = 1887 T22 = 2360 T23 = 2857
x21 = 377 x22 = 472 x23 = 571
est21 σ2
= 114 est22 σ2
= 61 est23 σ2
= 120
TS1 = 3616 TS2 = 4361 TS3 = 5158 T = 13135
n = 30
62 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Z naměřených dat spočítáme k dalšímu využití:
SSUT =
vše
x2
ijk −
podmínky
T2
ij
5
= 2169; V UT = 24;
SSMT =
podmínky
T2
ij
5
−
T2
n
= 165231; V MT = 5;
SSMS =
sloupce
T2
Sj
10
−
T2
30
= 118933; V MS = 2;
SSMR =
řádky
T2
Ri
15
−
T2
30
= 38377; V MR = 1;
SSI = SSMT − SSMS − SSMR = 7921; V I = 2.
a) intervaly spolehlivosti: „Vnitřní rozptyl lze vyjádřit jako aritmetický průměr
šesti odhadů (protože v každé třídě (= podmínce) se vyskytuje stejný počet
měření), nebo jako podíl
est RUT =
SSUT
V UT
=
2169
24
.
= 90,4;
tj.
µij ∈ xij ±
90,4
5
· tk(24) = xij ± 8,8,
s
slova
psmena
t
54
600
500
400
32
300
1
Intervaly spolehlivosti (vyznačeny na obrázku) jsou malé vzhledem k rozdílům mezi
průměry, tj. experiment má dostatečnou sílu (průměry jsou dobrými odhady středních
hodnot). Závislosti jsou lineární, je tedy potvrzena platnost původní Sternbergovy
teorie. Sklon je větší u slov než u písmen, což znamená, že doba kontroly u
slov je obecně delší než doba kontroly u písmen.
b) testy hypotéz: Označme střední hodnoty příslušející jednotlivým podmínkám:
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 63
1 3 5
písmena µ11 µ12 µ13 µR1
slova µ21 µ22 µ23 µR2
µS1 µS2 µS3
Nyní nás zajímají výsledky následujících tří testů:
Test 1: Vliv faktoru 1:
H0 : µR1 = µR2 (typ položky nemá vliv na reakční dobu);
H1: není pravda, že µR1 = µR2 .
Test 2: Vliv faktoru 2:
H0 : µS1 = µS2 = µS3 (velikost množiny nemá vliv na reakční dobu);
H1: neplatí H0.
Test 3: Vliv interakce faktorů 1 a 2:
H0 : µ11 − µ21 = µ12 − µ22 = µ13 − µ23 (rozdíl mezi typy položek nezávísí na
velikosti množiny)
nebo ekvivalentně
H0 : µ13 − µ12 = µ23 − µ22 a současně µ12 − µ11 = µ22 − µ21 (vliv velikosti
množiny nezávisí na typu položky).
H1: neplatí H0.
Výsledky těchto testů lze vyčíst z tabulky pro dvourozměrnou ANOVA:
zdroj rozptylu V SS est R F-hodnota Fk
celkový 29 167398 – – –
MT 5 165231 – – –
– R 1 38377 38377 425 4,26
– S 2 118933 59466,5 658,54 3,4
– I 2 7921 3960,5 43,86 3,4
UT 24 2167 90,3 – –
Ve všech třech testech zamítáme H0, protože příslušná F-hodnota je vždy podstatně
větší než Fk.
Závěry testů nám neřekly tolik, jako intervaly spolehlivosti. V kapitole 4 si řekneme
něco o konkrétnějších alternativních hypotézách H1.
Z údajů z tabulky lze potvrdit vztah mezi jednotlivými vonostmi a součty čtverců:
celková volnost 29 je součtem „vnitřní volnosti 24 a „vnější volnosti 5, tu lze
dále rozložit na součet volnosti 1 mezi řádky, volnosti 2 mezi sloupci a volnosti 2
interakce (mimo jiné pro volnost interakce vždy platí vzorec V I = V MR · V MS).
Podobně celkový součet čverců 167398 je součtem „vnitřního součtu čtverců 2167 a
„vnějšího součtu čtverců 165231. Tento vnější součet čtverců lze dále rozložit jako
součet SSR = 38377, SSS = 118933 a SSI = 7921.
Obecně lze říci, že čím větší podíl má dílčí součet čtverců v celkovém koláči
součtu čtverců, tím má příslušný zdroj větší vliv na celkový rozptyl. To
64 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
znamená pro náš příklad, že největší podíl na rozptylu má rozdílnost ve sloupcích
(SSS = 118933 tvoří asi 71% celkového SS).
Zde jsme se zatím seznámili s dvourozměrnou ANOVA pouze pro případ stejného
počtu měření v každé ze tříd (Nij = konstanta). Případ nestejného počtu měření lze
vyřešit buď vypuštěním „přesahujících hodnot , nebo tzv. neváženou analýzou rozptylu,
kterou se zde nebudeme zabývat.
2.2.2 Dvě poznámky jako bonus
Poznámka 1: Grafická reprezentace. Z grafu popisujícího získaná data lze vyčíst
nejen vliv interakce, ale také vliv faktoru 1 a faktoru 2 na závislou proměnnou.
Uvažujme situaci slabé interakce popsané následujícím grafem:
fakt. 1
fakt.2,hodn.2
fakt.2,hodn.1prom.
nez.
hodn.2hodn.1
U faktoru 1 není důležité číslo 1, ale to, že hodnoty faktoru jsou vynášeny na osu
x (tj. faktorem 1 se rozumí faktor vynášený na osu x). Méru vlivu faktoru 1 na
závislou proměnnou udává rozdíl p1:
b
fakt.2,hodn.1
a
p
hodn.2
1
b
fakt. 1
prom.
fakt.2,hodn.2
hodn.1
a
nez.
a ... průměrný vliv faktoru 1 v podmínce 1; b ... průměrný vliv faktoru 1 v podmínce
2; čárkovaná úsečka je grafem průměrného vlivu faktoru 1.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 65
Míru vlivu faktoru 2 (= faktor, který není vynášen na osu x) udává rozdíl p2:
fakt.2,hodn.2
b b
fakt.2,hodn.1
nez.
hodn.2hodn.1
2
p
fakt. 1
prom.
aa
a ... průměrný vliv faktoru 2 v podmínce 1; b ... průměrný vliv faktoru 2 v
podmínce 2.
Abychom získali určitý cit na závěry plynoucí z grafické reprezentace, projdeme
několik příkladů:
Příklad 2.6 Příklady analýzy typu 2 × 2:
a)
fakt. 1
fakt.2,hodn.2
fakt.2,hodn.1prom.
nez.
hodn.2hodn.1
Vliv interakce: ano. Vliv faktoru 1: ano. Vliv faktoru 2: ne.
b)
fakt. 1
fakt.2,hodn.2
fakt.2,hodn.1
prom.
nez.
hodn.2hodn.1
Vliv interakce: ne. Vliv faktoru 1: ne. Vliv faktoru 2: ano.
66 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
c)
fakt.2,hodn.2
fakt.2,hodn.1
nez.
hodn.2hodn.1 fakt. 1
prom.
Vliv interakce: ano. Vliv faktoru 1: ne. Vliv faktoru 2: ano.
d)
fakt. 1
fakt.2,hodn.2
fakt.2,hodn.1
prom.
nez.
hodn.2hodn.1
Vliv interakce: ano. Vliv faktoru 1: ano. Vliv faktoru 2: ano.
Příklad 2.7 Příklady analýzy typu 3 × 3:
a)
fakt.2, hodn.3
fakt.2, hodn.1
fakt. 1
prom.
nezÆv.
hodn.3hodn.2
fakt.2, hodn.2
hodn.1
Vliv interakce: ano. Vliv faktoru 1: ne. Vliv faktoru 2: ano.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 67
b)
hodn.3hodn.2hodn.1 fakt. 1
fakt.2, hodn.3
fakt.2, hodn.2
fakt.2, hodn.1prom.
nez.
Vliv interakce: ano. Vliv faktoru 1: ano. Vliv faktoru 2: ano.
c)
hodn.3hodn.2hodn.1 fakt. 1
fakt.2, hodn.3
fakt.2, hodn.2
fakt.2, hodn.1
prom.
nez.
Vliv interakce: ne. Vliv faktoru 1: ano. Vliv faktoru 2: ano.
Poznámka 2: Tři a více rozměrů u ANOVA. Uvažujme experiment měření síly paměti
z příkladu 2.3. Kdybychom chtěli prokázat, zda se výsledky experimentu liší
mezi muži a ženami, přidáním třetí nezávislé proměnné (pohlaví) jako třetího faktoru
bychom dospěli k trojrozměrné (= třífaktorové) analýze rozptylu typu 2×3×2,
tj. kombinací faktorových úrovní by vzniklo dvanáct různých podmínek.
Pak bychom potřebovali zpracovat data ze dvanácti skupin měření (např. Nijk = 3
je počet měření v každé skupině) a vyplnit faktorovou tabulku (respektive dvojici
tabulek)
fakt.3,podm.1: ženy fakt.2: 0 hodin fakt.2: 1 hodina fakt.2: 5 hodin
fakt.1: 1 kč
fakt.2: 100 kč
fakt.3,podm.2: muži fakt.2: 0 hodin fakt.2: 1 hodina fakt.2: 5 hodin
fakt.1: 1 kč
fakt.2: 100 kč
Tabulka výsledků trojrozměrné ANOVA by pak měla následující tvar (uvedu jen
první dva sloupce):
68 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
zdroj rozptylu V
celkový 35
MT 11
– faktor 1 1
– faktor 2 2
– faktor 3 1
– interakce F1, F2 2
– interakce F1, F3 1
– interakce F2, F3 2
– interakce F1, F2, F3 2
UT 24
(platí, že počet stupňů volnosti interakce je roven součinu volností faktorů do této
interakce zahrnutých)
V tabulce je vhledem k předchozímu jediná nová veličina, a sice současná interakce
faktorů F1, F2, F3 – vyjadřuje míru, do jaké závisí libovolná dvourozměrná
interakce na hodnotě třetího faktoru, tj. interakce F1, F2 na hodnotě faktoru F3,
nebo ekvivalentně interakce F1, F3 na hodnotě faktoru F2, nebo ekvivalentně
interakce F2, F3 na hodnotě faktoru F1.
Více než tři rozměry u ANOVA jsou možné, ale celá situace je už dost nepřehledná,
čili se moc neužívá :-)
2.3 Experiment opakovaného měření
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 69
3 Korelační přístup, regresní přímka
70 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
4 Po analýze rozptylu nebo místo ní
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 71
5 Rozdělení χ2
72 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
6 Neparametrické testy
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 73
Část II
Operační výzkum
Co je to operační výzkum
Co je to operační výzkum a kdy vznikl? Jak už název napovídá, jedná se o výzkum operací.
Systematický útok na tuto oblast vědění byl zahájen v průběhu druhé světové války. Ano,
a operace, o kterých se zde mluví, byly původně operace vojenského charakteru: taktické,
organizační i zásobovací.
Metody operačního výzkumu tedy spojuje zejména oblast praxe, ve které vznikaly
– spadá sem optimální rozdělování surovin, výrobků a pracovních sil, plánování projektů,
úlohy zásobování, řešení problémů opotřebení a obnovy zařízení, otázky spojené s čekáním
na obsluhu, výběr nejlepší strategie, stanovení harmonogramu činností, atd. Po válce se výzkum
těchto otázek nezastavil, protože dané poznatky nacházely své uplatnění zejména
v ekonomice, kde se setkáváme prakticky se stejnými situacemi (konec konců, ekonomika
je také trochu válka).
Z teoretického hlediska jsou však problémy vzniklé na jednom bitevním poli řešeny
v mnoha oblastech matematiky: problém optimálního rozdělení zdrojů a pracovních sil
se převedl na hledání maxima nebo minima lineární funkce (disciplína: lineární programování)
nebo nelineární funkce (disciplíny: matematické programování nebo nelineární programování).
Plánování projektu našlo své řešení v úlohách síťové analýzy (teorie grafů).
Volba optimální strategie podnítila rozvoj celého vědního oboru – teorie strategických
her. Teorie pravděpodobnosti přinesla svou trochu do mlýna v otázkách front (nemyslí se
fronty válečné, ale fronty v opravně, menze, bance, na maso nebo na mobil). Sekvenční,
opakující se procesy vedly k rozvoji dynamického programování, řešícího úlohy užitím
jakýchsi rekurzívních optimalizačních algoritmů.
Zkrátka a dobře, dnešnímu studentovi se předmět zvaný operační výzkum může jevit
jako exkurze do mnoha různých oblastí matematiky. A skutečně, snad každá z matematických
disciplín má k některému z uvedených problémů co říct. A přece existuje něco, co
všechny tyto metody spojuje: snaha nalézt optimum – podle daných kritérií ty nejlepší
hodnoty uvažovaných proměnných, nejlepší řešení studované situace.
Latinské „optimus znamená „nejlepší . Jak odhalil můj přítel Libor Stříž, ve svém vyjadřování
nepoužíváme pouze slovo „optimální (= nejlepší), ale i „optimálnější (= více
nejlepší) a „nejoptimálnější (= nejvíce nejlepší). A tato humorná situace, kterou nám
připravila naše drahá čeština, dobře vystihuje, jací vlastně jsme: nestačí nám mít to nejlepší,
ale hledáme ještě něco více. Přeji vám, abyste to nejlepší z nejlepších ve svém životě
objevili.
74 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
7 Lineární programování
Předmětem lineárního programování je řešení úlohy, jejíž matematický tvar zní:
nalezněte minimum (nebo maximum) funkce z =
n
j=1
cjxj za omezujících podmínek
xj ≥ 0 pro j = 1, 2, . . . , n (tzv. triviální podmínky),
n
j=1
aijxj ≤ bi (nebo = bi nebo ≥ bi) pro i = 1, 2, . . . , m.
Jak řekl můj kolega Mirek Hlavička, na úlohách lineárního programování není
nejzajímavější matematická formulace nebo řešení (i když algoritmus řešení má krásný
geometrický význam), ale to, kolik různých úloh praxe lze na tento matematický model
převést. Uveďme nyní několik typických představitelů z oblasti ekonomické praxe.
Příklad 7.1 Společnost RED vlastní závod na výrobu vnitřních a venkovních nátěrů
domů. K výrobě se používá dvou základních surovin A, B. Maximální denní dostupnost
suroviny A je 6 tun, suroviny B 8 tun. Na výrobu jedné tuny vnějšího nátěru je potřeba
1 tuna A a 2 tuny B, na výrobu jedné tuny vnitřního nátěru 2 tuny A a 1 tuna B. Průzkum
trhu ukázal, že
a) denní výroba vnitřního nátěru nesmí překročit denní výrobu vnějšího nátěru o více
než 1 tunu;
b) denní výroba vnitřního nátěru nesmí překročit 2 tuny.
Prodejní cena 1 tuny vnějšího nátěru je 3000 dolarů, vnitřního 2000 dolarů. Jaké množství
obou nátěrů musí společnost vyrábět, aby byl její obrat maximální?
Matematická formulace úlohy:
1. označíme proměnné:
x . . . denní výroba vnějšího nátěru (v tunách)
y . . . denní výroba vnitřního nátěru
2. budeme hledat maximum funkce z = 3x+2y, která vyjadřuje denní obrat (v tisících
dolarů).
3. omezující podmínky:
– omezení na spotřebu suroviny A:
na výrobu vnějšího nátěru se spotřebuje x tun suroviny A denně
na výrobu vnitřního nátěru se spotřebuje 2y tun suroviny A denně
maximální dostupnost suroviny A je 6 tun denně
celkem tedy dostáváme omezení: 1m
x + 2y ≤ 6
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 75
– omezení na spotřebu suroviny B: 2m
2x + y ≤ 8
– ad průzkum trhu a): 3m
y − x ≤ 1
– ad průzkum trhu b): 4m
y ≤ 2
– triviální omezení, chceme vyrobit kladné množství obou nátěrů: 5m
x ≥ 0
6m
y ≥ 0.
Příklad 7.2 Politika bankovních půjček. Banka přemýšlí o různých typech klientů.
Z dřívější zkušenosti je známa následující tabulka:
typ půjčky úroky pst zadlužení
osobní 0,14 0,1
automobilová 0,13 0,07
domácí 0,12 0,03
zemědělská 0,125 0,05
obchodní 0,1 0,02
Zadlužení nevykazuje žádný úrokový zisk. Konkurence jiných peněžních institucí v regionu
vyžaduje, aby banka přidělila alespoň 40% z vybraných 12 miliónů na zemědělské a obchodní
půjčky. Dále domácí půjčky musí nabýt objemu aspoň jako automobilové a osobní
půjčky dohromady. Celková pravděpodobnost zadlužení nesmí přesáhnout 0,04. Jaké je
optimální rozdělení daných 12 miliónů?
Matematická formulace úlohy:
1. označíme proměnné:
x1 . . . osobní půjčky (v miliónech)
x2 . . . automobilové půjčky
x3 . . . půjčky domácnostem
x4 . . . zemědělské půjčky
x5 . . . obchodní půjčky
2. budeme maximalizovat rozdíl „zisk z úroků minus „ztracené fondy , tj.
z = (0, 14 · 0, 9 x1 + 0, 13 · 0, 93 x2 + 0, 12 · 0, 97 x3 + 0, 125 · 0, 95 x4
+ 0, 1 · 0, 98 x5) − 0, 1 x1 − 0, 07 x2 − 0, 03 x3 − 0, 05 x4 − 0, 02 x5.
Po úpravě dostaneme
z = 0, 026 x1 + 0, 0509 x2 + 0, 0864 x3 + 0, 06875 x4 + 0, 078 x5.
3. omezující podmínky:
– banka na půjčky vyhradila 12 miliónů: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 12
– aspoň 40% půjček musí být zemědělské nebo obchodní: x4 + x5 ≥ 0, 4 · 12
– omezení na půjčky domácnostem: x3 ≥ x1 + x2
76 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
– omezení celkového zadlužení:
0, 1 x1 + 0, 07 x2 + 0, 03 x3 + 0, 05 x4 + 0, 02 x5
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
≤ 0, 04
(aby toto omezení bylo lineárním, musíme je zbavit zlomku)
– triviální omezení: xi ≥ 0 pro i = 1, . . . , 5.
Matematická formulace problému je opět úlohou nalezení maxima z lineární funkce za lineárních
omezení, tj. úlohou lineárního programování.
Příklad 7.3 Pozemkové hospodaření. Společnost BIRD vlastní 800 hektarů půdy u jezera
Ozark. V dané oblasti jsou vydána následující bezpečnostní opatření, aby se zamezilo
znečištění vody:
1) Mohou zde být stavěny jen domy pro jednu až tři rodiny, přičemž domů pro jednu
rodinu musí být aspoň 50%.
2) Aby byl omezen počet odpadních nádrží, je vyžadována minimální rozloha
2 hektary na dům pro 1 rodinu
3 hektary na dům pro 2 rodiny
4 hektary na dům pro 3 rodiny
3) Na 200 rodin musí být vyhrazena rekreační plocha 1 hektaru
4) Podzemní voda nesmí být získávána za účelem použití v rodinách nebo na zahradě.
Odhaduje se, že 15% plochy z daných 800 hektarů bude využito k budování ulic a přístupových
cest. Zisk u jednotlivých typů domů je:
dům pro 1 rodinu . . . 10 000 $
dům pro 2 rodiny . . . 15 000 $
dům pro 3 rodiny . . . 20 000 $
Cena přívodu vody je přímo úměrná počtu postavených domů, ale minimálně se jedná
o 100 000 $. Dále spotřeba vody přiváděné novým přívodem je omezena na 200 000
galonů denně. Následující tabulka shrnuje údaje ceny a spotřeby vody:
typ domu 1 rodina 2 rodiny 3 rodiny rekreační plocha
cena přívodu ($) 1 000 1 200 1 400 800
spotřeba vody
(galony/den)
400 600 840 450
Jak využít pozemek, aby zisk byl maximální?
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 77
Matematická formulace úlohy:
1. označíme proměnné:
x1 . . . počet postavených domů pro 1 rodinu
x2 . . . počet postavených domů pro 2 rodiny
x3 . . . počet postavených domů pro 3 rodiny
x4 . . . počet rekreačních ploch
2. budeme hledat maximum funkce z = 10 000 x1 + 15 000 x2 + 20 000 x3.
3. omezující podmínky:
– omezení počtu domů: 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 ≤ 680
– domů pro 1 rodinu je aspoň 50%: x1 ≥ x2 + x3
– minimální počet rekreačních zařízení: x4 ≥ x1+2 x2+3 x3
200
– přípojky by měly pokrýt pořizující cenu přívodu vody:
1 000 x1 + 1 200 x2 + 1 400 x3 + 800 x4 ≤ 100 000
– omezení na spotřebu vody:
400 x1 + 600 x2 + 840 x3 + 450 x4 ≤ 200 000
– triviální omezení: xi ≥ 0 pro i = 1, . . . , 4.
Příklad 7.4 Jízdní řád autobusů. Progresívní dopravní podnik studuje autobusovou síť
ve městě. Bylo zjištěno, kolik autobusů během dne je třeba (počet autobusů je stejný vždy
ve čtyřhodinovém časovém úseku):
0 4 8 12 16 20 24
0
4
8
12
4
8
10
7
12
4
PSfrag replacements
počet autobusů
hodiny
78 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Vytvořte rozvrh využití autobusů tak, aby každý autobus pracoval 8 hodin po sobě, a pak
měl 16 hodin volno.
Matematická formulace úlohy:
1. proměnné xi . . . počet autobusů pracujících během různých směn
2. budeme hledat minimum funkce z = xi vyjadřující celkový počet autobusů v pro-
storu.
3. zadání je nejasné: nevíme, kolik směn by mělo být a kdy začínají.
Při třísměnném provozu:
1. směna 800
− 1600
. . . x1 ≥ 10
2. směna 1600
− 2400
. . . x2 ≥ 12
3. směna 2400
− 800
. . . x3 ≥ 8



⇒ z = x1 + x2 + x3 ≥ 30.
Lepšího výsledku lze dosáhnout v šestisměnném provozu:
1. směna 000
− 800
. . . x1
2. směna 400
− 1200
. . . x2
3. směna 800
− 1600
. . . x3
4. směna 1200
− 2000
. . . x4
5. směna 1600
− 2400
. . . x5
6. směna 2000
− 400
. . . x6
tj. minimalizujeme funkce z =
6
i=1
xi za omezení
x1 + x6 ≥ 4
x1 + x2 ≥ 8
x2 + x3 ≥ 10
x3 + x4 ≥ 7
x4 + x5 ≥ 12
x5 + x6 ≥ 4
xi ≥ 0 , i = 1, . . . , 6.
Tato úloha má řešení (0, 10, 0, 12, 0, 4), tj. minimální počet autobusů je 26.
7.1 Grafické řešení úlohy lineárního programování
Zabývejme se nyní nejprve grafickým řešením našeho matematického modelu. Z
geometrického významu řešení úlohy lze totiž odvodit obecný algebraický postup řešení.
Vše bude vysvětleno na prvním zformulovaném příkladu výroby dvou nátěrů.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 79
Ad Příklad 7.1. Nalezněte maximum funkce z = 3 x + 2 y za omezení
1m
x + 2 y ≤ 6
2m
2 x + y ≤ 8
3m
−x + y ≤ 1
4m
y ≤ 2
5m
x ≥ 0
6m
y ≥ 0
Řešení. Jedná se o úlohu nalezení globálního extrému funkce z na množině přípustných
hodnot (označme ji M) zadané šesti omezeními. Každé omezení jednoznačně určuje
jednu polorovinu. Všechna omezení musí platit současně, tj. množina M je průnikem
šesti polorovin (viz obr.7.2):
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
0
2
4
6
8
PSfrag replacements
vrstevnice z = 6
klíčová vrstevnice
směr růstu funkce z
1m
2m
3m
4m
5m
6m
A = [10
3 , 4
3 ]
•
Obr. 7.2: Grafické znázornění řešení Příkladu 7.1.
Studujme nyní vrstevnice funkce z na množině M:
Vrstevnicemi jsou křivky tvaru 3 x + 2 y = d, kde d je hodnota vrstevnice; tj. rovnoběžné
přímky y = −3
2
+ d
2
. Pokud libovolnou z těchto vrstevnic posunujeme ve směru růstu
funkce z (= směru růstu konstanty d) kolmém na všechny vrstevnice, dojdeme k
optimálnímu řešení, kterým je poslední neprázdný průnik vrstevnice s maximální
hodnotou na M a množiny M.
80 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
V našem případě je optimum v bodě A, který získáme jako průsečík přímek 1m
a 2m
.
Optimální hodnota funkce z v bodě A je
z(A) = 3 ·
10
3
+ 2 ·
4
3
=
38
3
.
Poznámka 7.1 Protože grafem funkce z je rovina, optimum musí ležet v některém
vrcholu množiny přípustných hodnot (nebo ve více vrcholech, pokud klíčová vrstevnice
prochází více vrcholy).
Optimální řešení neexistuje, pokud
– množina M je prázdná
– množina M je neohraničená ve směru růstu funkce z.
Netriviální omezení se nazývají
– klíčová . . . pokud prochází bodem optima
– neklíčová . . . pokud neprochází bodem optima.
7.2 Analýza citlivosti na základě grafického náhledu
Zabývejme se nyní chvíli analýzou citlivosti, tj. tím, jak se změní řešení při změně některého
ze vstupních parametrů úlohy. Podle toho, jaký parametr se mění, odpovězme
u Příkladu 7.1 na následující otázky:
a) Jak moc má smysl zvyšovat pravou stranu klíčových omezení, aby se zlepšovala
optimální hodnota funkce z?
b) Jak moc má smysl snížit pravou stranu neklíčových omezení, aby hodnota optima
zůstala zachována?
c) Pokud bychom chtěli zajistit zvýšení pravé strany některého z klíčových omezení,
které z nich má největší prioritu?
d) Jak moc můžeme měnit koeficienty funkce z, aby bod optima zůstal zachován?
(funkční hodnota v bodě optima se samozřejmě změní)
Ad Příklad 7.1.
ad a) Klíčová omezení jsou 1m
a 2m
.
Omezení 1m
: x + 2 y ≤ 6
Graficky je tato situace znázorněna na obr.7.3. Pokud posunujeme přímku
1m
ve směru růstu funkce z, při posunu až do 1m
se toto omezení stává
nadbytečným, neboť množina přípustných hodnot se nemění přidáním nebo
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 81
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
0
2
4
6
8
PSfrag replacements
1m
1m
2m
3m
4m
A
•
B
•
Obr. 7.3: Grafické znázornění posunutí přímky klíčového omezení.
odebráním omezení 1m
. Posunovat 1m
dále než do 1m
tedy nemá smysl.
Nahradíme-li tedy v našem případě omezení 1m
omezením 1m
, optimum bude
nyní v bodě B, což je průsečík omezení 2m
a 4m
:
B = [3; 2] ⇒ z(B) = 3 · 3 + 2 · 2 = 13
B ∈ 1m
⇒ 1m
: x + 2 y ≤ 7
Omezení 2m
: 2 x + y ≤ 8
Graficky je tato situace znázorněna na obr.7.4. Přímku 2m
má smysl posunovat až
do 2m
, kdy se omezení 2m
stává nadbytečným (jeho přidáním nebo odebráním se
nemění množina přípustných hodnot).
Nahradíme-li v našem případě omezení 2m
omezením 2m
, optimum nastane v bodě
C, což je průsečík omezení 1m
a 6m
:
C = [6; 0] ⇒ z(C) = 3 · 6 + 2 · 0 = 18
C ∈ 2m
⇒ 2m
: 2 x + y ≤ 12
82 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
0
2
4
6
8
PSfrag replacements
2m
1m
2m
3m
4m
A
•
C
•
Obr. 7.4: Grafické znázornění posunutí přímky klíčového omezení.
ad b) Neklíčová netriviální omezení jsou 3m
a 4m
. Protože neprochází bodem optima A
původní úlohy, můžeme jejich pravou stranu snižovat, aniž by se bod optima změnil.
Tato situace je znázorněna na obr.7.5.
Omezení 3m
lze měnit až na 3m
, tj.
A ∈ 3m
⇒ 3m
: −x + y ≤ −2.
Omezení 4m
lze měnit až na 4m
, tj.
A ∈ 4m
⇒ 4m
: y ≤
4
3
.
V obou případech změny zůstává optimum v bodě A = [10
3
, 4
3
], tj. z(A) = 38
3
je
optimální funkční hodnota.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 83
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
0
2
4
6
8
PSfrag replacements
3m
1m
2m
3m
4m
4m A
•
Obr. 7.5: Grafické znázornění posunutí přímek neklíčových omezení.
ad c) Shrňme modifikace netriviálních omezení do tabulky:
omezení pravá strana se změní o . . . změna funkce z jednotková
změna z
1m
7 − 6 = 1 (bod optima . . . B) z(B) − z(A) = 1
3
1/3
1
= 1
3
2m
12 − 8 = 4 (bod optima . . . C) z(C) − z(A) = 16
3
16/3
4
= 4
3
3m
−2 − 1 = −3 (bod optima . . . A) z(A) − z(A) = 0 0
−3
= 0
4m 4
3
− 2 = −2
3
(bod optima . . . A) z(A) − z(A) = 0 0
−2/3
= 0
Údaje uvedené v posledním sloupci tabulky jsou tzv. stínové ceny, tj. stínová cena
příslušná danému omezení = změna funkce z při jednotkovém zvýšení pravé strany
klíčového omezení a nebo jednotkovém snížení pravé strany neklíčového omezení.
Stínové ceny neklíčových omezení jsou vždy nulové. Maximální stínová cena určuje
omezení s největší prioritou změny pravé strany, tj. omezení 2m
má největší prioritu
změny pravé strany.
ad d) Odpovězme např. na otázku, jaká změna koeficientu a funkce z = a x + 2 y ještě
zachová bod optima A?
84 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Odpověď lze opět odvodit z geometrického názoru: Aby bod A zůstal bodem
optima, vrstevnice funkce z musí mít sklon mezi dvěma mezními hodnotami
určenými sklony přímek 1m
a 2m
:
přímka 1m
: y = −1
2
x + 3
vrstevnice funkce z: y = −a
2
x + d
2
přímka 2m
: y = −4
2
x + 8



⇒
porovnáním koeficientů
u x máme:
−
a
2
∈ −
1
2
; −
4
2
⇒ a ∈ 1; 4 .
Tj. bodem optima zůstane A, pokud cena venkovního nátěru se pohybuje v rozmezí
od 1 do 4 tisíc dolarů.
Z příkladu je vidět, že analýza citlivosti je stejně důležitá jako řešení původní úlohy.
7.3 Algebraické řešení úlohy lineárního programování – simplexová
metoda
Kánon biblických knih je soubor těch knih, na jejichž pravosti a historické přesnosti se
shodují všechny křesťanské církve. Potom existují i tzv. nekanonické (apokrytní) knihy,
které sice mohou obsahovat zajímavé myšlenky, ale některé detaily v nich nejsou historicky
přesné.
Podobně je to i s úlohou lineárního programování. Mezi všemi formulacemi existuje
jakýsi přesný, tzv. kanonický tvar, vhodný pro nastolení algebraického řešení. Pokud
úloha není v kanonickém tvaru, musíme ji na tento tvar převést.
Tak tedy, kanonický tvar je charakteristický tím, že
– všechna omezení jsou rovnicemi
– všechna omezení mají nezápornou pravou stranu
– pro všechny proměnné xj platí: xj ≥ 0
Příklad 7.5 Následující úlohu převeďte na kanonický tvar:
nalezněte minimum funkce z = 2 x1 + 3 x2 za omezení
x1 + x2 = 10
−2 x1 + 3 x2 ≤−5
7 x1 − 4 x2 ≤ 6
x1 ∈ R
x2 ≥ 0
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 85
Řešení. Zápornou pravou stranu omezení jednoduše odstraníme vynásobením nerovnosti
číslem (−1).
Nerovnost převedeme na rovnici tak, že v případě ≤ k levé straně přičteme, v případě
≥ od levé strany odečteme, novou nezápornou proměnnou p.
Posledním problémem je nahradit neohraničenou proměnnou x1 ∈ R nějakými nezápornými
proměnnými. Toho lze docílit např. substitucí x1 = x1 − x1, kde x1 ≥ 0, x1 ≥ 0.
Libovolné reálné číslo lze skutečně vyjádřit jako rozdíl dvou nezáporných čísel, např.:
x1 = 2 ⇒ x1 = 2, x1 = 0
x1 = −3 ⇒ x1 = 0, x1 = 3.
Kanonický tvar úlohy tedy bude:
nalezněte minimum funkce z = 2 (x1 − x1) + 3 x2 za omezení
x1 − x1 + x2 = 10
2 x1 − 2 x1 − 3 x2 − p1 = 5
7 x1 − 7 x1 − 4 x2 + p2 = 6
x1 ≥ 0, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
Převod na kanonický tvar je sympatický v tom, že zachovává řešení původní úlohy.
Tedy řešení úlohy v kanonickém tvaru je stejné jako řešení původní úlohy (omezíme-li se
na původní proměnné).
Při algebraickém řešení se využívá toho faktu, že optimum funkce z musí nastat v některém
z vrcholů množiny přípustných hodnot. V algoritmu řešení tedy najdeme nějaký
libovolný vrchol množiny přípustných hodnot. Potom vybereme ten z jeho sousedních
vrcholů, ve kterém nastane největší „zlepšení funkce z („zlepšení = zvýšení při maximalizaci
a snížení při minimalizaci) a přesuneme se do něj. Proces výběru sousedního
vrcholu, který „zlepšuje funkci z, opakujeme tak dlouho, dokud to jde. Když všechno
dobře dopadne, jsme na konci procesu v optimálním vrcholu.
Ještě poznámka k názvu metody: pokud množina přípustných hodnot je ohraničená
a počet jejích vrcholů je o 1 větší než její dimenze, nazýváme ji simplex. Odtud i název
simplexová metoda, neboť se v daném kroku pohybujeme mezi vrcholy určitého simplexu.
Ad Příklad 7.1 Celou metodu vysvětlíme na našem příkladu výroby nátěrů,
jejíž kanonický tvar je:
nalezněte maximum funkce z = 3 x + 2 y za omezení
x + 2 y + p1 = 6
2 x + y + p2 = 8
−x + y + p3 = 1
y +p4 = 2
x, y, p1, p2, p3, p4 ≥ 0.
86 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Řešení. Kanonický tvar úlohy přepíšeme do tzv. simplexové tabulky:
x y p1 p2 p3 p4 řešení
z −3 −2 0 0 0 0 = 0
p1 1 2 1 0 0 0 6
p2 2 1 0 1 0 0 8
p3 −1 1 0 0 1 0 1
p4 0 1 0 0 0 1 2
Vysvětlení k tabulce:
V prvním řádku tabulky jsou označeny sloupce příslušné jednotlivým proměnným.
Ve druhém řádku jsou zapsány koeficienty rovnice z − 3 x − 2 y = 0, je třeba si jen
uvědomit tvar funkce z se všemi proměnnými
z = 3 x + 2 y + 0 p1 + 0 p2 + 0 p3 + 0 p4.
V dalších řádcích jsou zapsány koeficienty jednotlivých omezujících rovnic. V našem případě
omezení tvoří systém 4 rovnic o 6 neznámých. Najdeme jisté jeho řešení následovně:
Vybereme 4 proměnné, tzv. bázické proměnné . . . v našem případě p1, p2, p3, p4.
Ostatní, tzv. nebázické proměnné, položíme rovny 0, tj. x = 0, y = 0. Tím vznikne systém
4 rovnic o 4 neznámých p1, p2, p3, p4, který má jediné řešení. Protože příslušná matice
systému je jednotková, vektor pravých stran je přímo vektorem řešení, tj.
p1 = 6, p2 = 8, p3 = 1, p4 = 2.
Tímto způsobem jsme našli souřadnice výchozího vrcholu simplexu
xxx0
= (0, 0, 6, 8, 1, 2).
Přechod na sousední vrchol simplexu lze algebraicky zařídit tak, že jednu z nebázických
proměnných zaměníme za jednu z bázických a pak postup opakujeme, nebázické proměnné
položíme rovny 0, zbylý systém s bázickými proměnnými vyřešíme.
Poznámka k terminologii:
• přípustné řešení . . . libovolný bod množiny přípustných hodnot (nemusí být vrchol),
jehož všechny souřadnice jsou nezáporné
• přípustné bázické řešení . . . takové přípustné řešení, které odpovídá některému vrcholu
množiny přípustných hodnot.
Realizujme nyní přechod do sousedního vrcholu, který nejvíce „zlepší hodnotu funkce z:
a) Za vstupní proměnnou vybereme x, protože příslušný koeficient v řádku funkce z
je nejvíce záporný, tj. při převodu na druhou stranu rovnice nejvíce zvýší hodnotu
funkce z. Pokud už žádné číslo v řádku z není záporné, dané přípustné řešení je už
optimální.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 87
b) Proměnná x určuje sloupec, ve kterém vybereme kladné hodnoty. K těmto
hodnotám vypočteme tzv. kladné změny neboli podíly (příslušná pravá
strana)/(hodnota): 6
1
a 8
2
. Minimální z těchto kladných změn určuje řádek, jehož
proměnná je výstupní: v našem případě minimální kladná změna je 8
2
, tj. p2 je
výstupní proměnná. Prvek na průsečíku vstupního sloupce a výstupního řádku se
nazývá pivotový prvek.
↓
x y p1 p2 p3 p4 řešení
z −3 −2 0 0 0 0 0
p1 1m 2 1 0 0 0 6m
← p2 2m 1 0 1 0 0 8m
p3 −1 1 0 0 1 0 1
p4 0 1 0 0 0 1 2
Důvod výběru řádku s minimální kladnou změnou:
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
0
2
4
6
8
PSfrag replacements
1m
2m
xxx0
= (0; 0)
•
xxx1
= (4; 0)
•
Obr. 7.6: Grafické znázornění přechodu mezi dvěma vrcholy.
Náš výchozí vrchol je xxx0
= (0; 0). Vstupní sloupec určuje, že největší nárůst funkční
88 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
hodnoty funkce z nastane pro proměnnou x, tj. budeme se pohybovat ve směru růstu
proměnné x (= v kladném směru osy x). Následující vrchol množiny přípustných hodnot
v tomto směru xxx1
= (4; 0) je dán prvním nejbližším omezením, které protne osu x, což je
omezení 2m
s kladnou změnou 4, nikoli omezení 1m
s kladnou změnou 6 (bod (6; 0) není
vrchol M). Minimální kladná změna (= 4) vyjadřuje změnu souřadnice x při přechodu
z vrcholu xxx0
do xxx1
.
Nakonec ještě poznamenejme, že kladná změna nemusí obecně znamenat vzrůst x-ové
souřadnice; kladný směr = směr růstu funkce z při maximalizaci, resp. směr klesání z při
minimalizaci.
Nyní eliminačními úpravami zajistíme, aby se na místě pivotového prvku objevila
hodnota 1 a zbylé hodnoty vstupního sloupce byly 0 (včetně koeficientu v řádku z).
POZOR! K danému řádku lze přičítat násobek pouze pivotového (= výstupního) řádku,
žádného dalšího! Tímto dodatečným omezením se totiž docílí důležité vlastnosti, že
sloupce odpovídající novým bázickým proměnným budou opět vytvářet jednotkovou
matici (i když jejich pořadí bude přeházené) a navíc bude splněna důležitá podmínka
(která musí být zaručena v každém kroku simplexové tabulky), že koeficienty v řádku z
příslušné bázickým proměnným jsou rovny 0:
↓
x y p1 p2 p3 p4 řešení
z 0 −1
2
0 3
2
0 0 12
← p1 0 3
2

1 −1
2
0 0 2m
x 1 1
2

0 1
2
0 0 4m
p3 0 3
2

0 1
2
1 0 5m
p4 0 1

0 0 0 1 2m
V posledním sloupci řádku pro funkci z je uvedena její nová hodnota (ve vrcholu
xxx1
). Ta se zvýšila o násobek příslušného koeficientu v řádku funkce z (= 3) a
kladné změny proměnné x (= 4), tj. o 3 · 4 = 12.
Nebázické proměnné položíme rovny 0, tj.
y = 0
p2 = 0.
Dostáváme nové bázické řešení:
p1 = 2
x = 4
p3 = 5
p4 = 2.
Nový vrchol, do kterého jsme se dostali, má tedy souřadnice
xxx1
= (4, 0, 2, 0, 5, 2).
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 89
Algoritmus pokračuje dalším krokem: záporná hodnota v řádku z určuje vstupní proměnnou
y, výstupní proměnná je určena minimální kladnou změnou
min
2
3/2
,
4
1/2
,
5
3/2
,
2
1
=
4
3
,
která nastane v 1.řádku (= p1 řádek).
Po normalizaci pivotového prvku a vynulování vstupního sloupce pomocí přičtení
násobku pivotového řádku k nepivotovým řádkům dostáváme tabulku
x y p1 p2 p3 p4 řešení
z 0 0 1
3
4
3
0 0 122
3
y 0 1 2
3
−1
3
0 0 4
3
x 1 0 −1
3
2
3
0 0 10
3
p3 0 0 −1 1 1 0 3
p4 0 0 −2
3
1
3
0 1 2
3
Nová hodnota funkce z se zvýšila o 1
2
· 4
3
, tj. o 2
3
.
Nebázické proměnné položíme rovny 0, tj.
p1 = 0
p2 = 0.
Dostáváme nové bázické řešení:
y = 4
3
x = 10
3
p3 = 3
p4 = 2
3
.
Nový vrchol, do kterého jsme se dostali, má tedy souřadnice
xxx2
= (
10
3
,
4
3
, 0, 0, 3,
2
3
).
Protože v řádku funkce z už nejsou záporné hodnoty, nalezené řešení je optimální, tj.
x =
10
3
, y =
4
3
je optimální množství denní výroby obou nátěrů.
90 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Poznámka k výběru vstupní proměnné:
1) Výběr sloupce odpovídajícího záporné, ale ne nejvíce záporné hodnotě v řádku z by
také vedl ke zvýšení hodnoty funkce z, ale to zvýšení by nebylo největší možné.
2) Při minimalizaci je v algoritmu jediný rozdíl: vstupní sloupec je ten, který odpovídá
maximální kladné hodnotě v řádku z (ta při převodu na druhou stranu rovnice
nejvíce zmenší funkční hodnotu).
7.4 Analýza citlivosti pomocí výstupní simplexové tabulky
Celou analýzu citlivosti lze provést pomocí simplexové tabulky, a to i v úlohách pro vyšší
dimenzi, kde už grafické řešení není možné.
Ad Příklad 7.1 Odpovědi na jednotlivé otázky analýzy citlivosti lze vyčíst ze
závěrečné (výstupní) simplexové tabulky.
a) Jaký je význam optimálních hodnot p1 = p2 = 0, p3 = 3, p4 = 2
3
?
p1 = p2 = 0 . . . omezení 1m
, 2m
jsou klíčová, obě suroviny jsou maximálně
využity (jedná se o omezení dostupnosti zdrojů)
p3 = 3 . . . pravou stranu omezení 3m
lze snížit při zachování optima
o hodnotu 3, tj.
3m
: −x + y ≤ −2 . . . denní výroba vnějšího nátěru může
překročit denní výrobu vnitřního nátěru až o 2 tuny (jedná se
o omezení poptávky)
p4 = 2
3
. . . pravou stranu 4m
lze snížit o 2
3
, tj.
4m
: y ≤ 4
3
. . . poptávka může být ještě o 2
3
snížena.
b) Řádek funkce z v optimální tabulce udává stínové ceny příslušné jednotlivým
omezením → každé omezení je neoddělitelně spjato s jednou přídavnou proměnnou
stínová cena omezení 1m
je rovna 1
3
→ snížení pravé strany 1m
o 1 povede
ke snížení obratu o 1
3
tisíce dolarů
2m 4
3
3m
0
4m
0 → kdyby stínová cena 4m
byla místo 0
kladná, znamenalo by to, že má smysl
zvyšovat poptávku po vnitřním nátěru,
čehož lze docílit zvýšením podílu společnosti
na trhu.
c) Informace o změně pravých stran klíčových omezení.
Jak moc má smysl zvyšovat pravou stranu omezení 1m
? Kdybychom toto omezení
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 91
uvažovali ve tvaru x + 2 y ≤ 6 + ∆1, výsledná simplexová tabulka by byla tatáž až
na sloupec pravých stran:
x y p1 p2 p3 p4 řešení
z 1
3
122
3
+ 1
3
∆1 ≥ 0
y 2
3
4
3
+ 2
3
∆1 ≥ 0
x −1
3
10
3
− 1
3
∆1 ≥ 0
p3 −1 3 − 1∆1 ≥ 0
p4 −2
3
2
3
− 2
3
∆1 ≥ 0
Modifikace pravých stran (= koeficienty u ∆1) je určena koeficienty ve
sloupci výstupní tabulky odpovídajícím přídavné proměnné p1 v omezení 1m
.
Nerovnosti uvedené v pravém sloupci tabulky musí platit, aby řešení bylo přípustné.
Vyřešením máme ∆1 ∈ −2; 1 , tj. dostupnost suroviny A má smysl zvýšit o 1
tunu.
Analogicky lze rozebrat i další klíčové omezení 2m
. Přitom výsledek získaný
pro dané klíčové omezení platí pro tu situaci, že pravé strany ostatních omezení
neměníme (vždy sledujeme změnu pouze jednoho omezení).
d) Informace o změně koeficientu funkce z.
Sledujme vliv změny koeficientu u proměnné x: z = (3 + δ1) x + 2 y.
Optimální tabulka:
x y p1 p2 p3 p4 řešení
z 0 0 1
3
− 1
3
δ1
4
3
+ 2
3
δ1 0 0 122
3
+ 10
3
δ1
y
x 1 0 −1
3
2
3
0 0 10
3
p3
p4
Koeficienty u δ1 jsou dány hodnotami v řádku x v mimobázických sloup-
cích.
Aby se jednalo o maximum, musí platit
1
3
−
1
3
δ1 ≥ 0,
4
3
+
2
3
δ1 ≥ 0 ⇒ δ1 ∈ −2; 1 ,
tj. koeficient u x ve funkci z musí být v intervalu 3 − 2; 3 + 1 = 1; 4 .
Situace změny nebázického koeficientu je ještě jednodušší: z = 3 x + 2 y + (0 + δ3) p1
92 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
způsobí optimální tabulku s řádkem z ve tvaru
x y p1 p2 p3 p4 řešení
z 0 0 1
3
− δ3
4
3
0 0 122
3
U δ3 je při maximalizaci vždy koeficient (−1), při minimalizaci vždy koeficient +1.
e) Při analýze citlivosti jsme se dosud nezabývali otázkou, co způsobí změna
koeficientu na levé straně některého omezení. K této otázce se vrátíme v kapitole 2
a zodpovíme ji s využitím teorie duality.
7.5 Obecný tvar simplexové metody s využitím umělých pro-
měnných
Pokud sloupce odpovídající počátečním bázickým proměnným ve vstupní tabulce simplexové
metody nevytváří jednotkovou matici, nenulové souřadnice příslušného bázického
řešení nejsou přímo rovny pravým stranám simplexové tabulky – tato matice je získána
až vyřešením příslušného systému rovnic. A zde se může stát, že některá souřadnice řešení
bude záporná, tedy výchozí bázické řešení nebude přípustné.
Příklad 7.6 Minimalizujte funkci z = 4 x1 + x2 za podmínek
3 x1 + x2 = 3
4 x1 + 3 x2 ≥ 6
x1 + 2 x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0.
Řešení. Kanonický tvar úlohy bude:
najděte minimum funkce z = 4 x1 + x2 za podmínek
3 x1 + x2 = 3
4 x1 + 3 x2 − p1 = 6
x1 + 2 x2 + p2 = 4
x1, x2, p1, p2 ≥ 0.
Vstupní simplexová tabulka má tvar
x1 x2 p1 p2 řešení
z −4 −1 0 0 0
x2 3 1 0 0 3
p1 4 3 −1 0 6
p2 1 2 0 1 4
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 93
Za vstupní bázické proměnné jsme zvolili x2, p1, p2, tj. položili jsme x1 = 0.
Vyřešíme příslušný systém rovnic
x2 = 3
3 x2− p1 = 6
2 x2 + p2 = 4



⇒
x2 = 3
p1 = 3
p2 =−2
Dané řešení (0, 3, 3, −2) není přípustné, protože jeho čtvrtá souřadnice je záporná. Nejedná
se tedy o vrchol množiny přípustných hodnot.
Abychom zaručili, že nalezené vstupní bázické řešení bude přípustné, použijeme jedné
ze dvou následujících metod využívajících tzv. umělé proměnné.
a) Dvoufázová metoda
1.fáze: Přidáme do levých stran systému nerovností další proměnné, díky nimž
zde vznikne jednotková podmatice, a řešíme úlohu lineárního programování
s novou funkcí r (ta se vždy minimalizuje, i kdyby původní úloha byla
maximalizace):
Najděte minimum funkce r = u1 + u2 za podmínek
3 x1 + x2 + u1 = 3
4 x1 + 3 x2 − p1 + u2 = 6
x1 + 2 x2 + p2 = 4
x1, x2, p1, p2, u1, u2 ≥ 0.
Vstupní simplexová tabulka má pak tvar
x1 x2 p1 u1 u2 p2 řešení
min r 0 0 0 −1 −1 0 0
u1 3 1 0 1 0 0 3
u2 4 3 −1 0 1 0 6
p2 1 2 0 0 0 1 4
Zvolili jsme bázické proměnné u1, u2, p2 a položili x1 = x2 = p1 = 0.
Ovšem nemůžeme provést optimalizační krok, protože není splněna podmínka,
o které už byla řeč: koeficienty v řádku funkce r v bázických sloupcích musí
94 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
být rovny 0. Abychom vynulovali koeficienty −1 ve sloupcích u1, u2, a přitom
zachovali nuly ve sloupci p2, přičteme k řádku r řádky u1, u2:
↓
x1 x2 p1 u1 u2 p2 řešení
min r 7 4 −1 0 0 0 9
← u1 3m 1 0 1 0 0 3m
u2 4m 3 −1 0 1 0 6m
p2 1m 2 0 0 0 1 4m
Nyní můžeme provést optimalizaci:
xxx0
= (0, 0, 0, 3, 6, 4).
Vstupní sloupec určíme podle maximálního kladného prvku v řádku r,
výstupní řádek podle minimální kladné změny min 3
3
, 6
4
, 4
1
= 3
3
.
↓
x1 x2 p1 u1 u2 p2 řešení
min r 0 5
3
−1 −7
3
0 0 2
x1 1 1
3

0 1
3
0 0 1m
← u2 0 5
3

−1 −4
3
1 0 2m
p2 0 5
3

0 −1
3
0 1 3m
Optimalizace:
xxx1
= (1, 0, 0, 0, 2, 3)
max r = 5
3
⇒ vstupní souřadnice je x2
min 1
1/3
, 2
5/3
, 3
5/3
= 2
5/3
x1 x2 p1 u1 u2 p2 řešení
r 0 0 0 −1 −1 0 0
x1 1 0 1
5
3
5
−1
5
0 3
5
x2 0 1 −3
5
−4
5
3
5
0 6
5
p2 0 0 1 1 −1 1 1
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 95
Optimum úlohy je
xxx2
=
3
5
,
6
5
, 0, 0, 0, 1 ,
protože v řádku funkce r (mimo pravou stranu, která neslouží k určování
vstupní proměnné) už není kladný prvek.
Všimněme si také, že r(xxx2
) = 0. Kdyby tomu tak nebylo a optimální funkční
hodnota by byla nenulová, znamenalo by to, že původní úloha (s funkcí z)
nemá řešení, tj. 2.fází metody bychom už nepokračovali.
2.fáze: Nyní se vrátíme k minimalizaci funkce z původní úlohy, přičemž omezení opíšeme
z výstupní tabulky 1.fáze. Přitom sloupce u1, u2 vyloučíme, protože nejsou
bázické. Kdyby některá z proměnných u1, u2 byla bázická v optimální tabulce
1.fáze, museli bychom ji uvažovat i ve 2.fázi a zajistit, aby vypadla z báze
(Dautzig 1963).
Řešíme tedy úlohu:
najděte minimum funkce z = 4 x1 + x2 za podmínek
x1 + 1
5
p1 = 3
5
x2 − 3
5
p1 = 6
5
p1 + p2 = 1
x1, x2, p1, p2 ≥ 0.
Systém podmínek nyní obsahuje sloupce, ze kterých lze složit jednotkovou
matici, čili volbou bázických proměnných x1, x2, p2 a položením p1 = 0
dostaneme už přípustné bázické řešení:
x1 x2 p1 p2 řešení
min z −4 −1 0 0 0
x1 1 0 1
5

0 3
5

x2 0 1 −3
5
0 6
5
← p2 0 0 1m 1 1m
z 0 0 1
5
0 18
5
↑
Protože v bázických sloupcích řádku z nejsou nuly, musíme tento řádek
upravit před prováděním optimalizačního kroku.
Nyní můžeme provést optimalizaci:
xxx0
=
3
5
,
6
5
, 0, 1 ; z(xxx0
) =
18
5
.
96 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
max z = 1
5
⇒ p1 je vstupní proměnná
min 3/5
1/5
, 1
1
= 1 ⇒ p2 je výstupní proměnná.
x1 x2 p1 p2 řešení
z 0 0 0 −1
5
17
5
x1 1 0 0 −1
5
2
5
x2 0 1 0 3
5
9
5
p1 0 0 1 1 1
Optimalizace:
xxx1
=
2
5
,
9
5
, 1, 0 ; z(xxx1
) =
17
5
.
Dostáváme tedy optimální řešení úlohy:
x1 =
2
5
; x2 =
9
5
.
b) Penalizační metoda
Tato metoda je ekvivalentní dvoufázové metodě – rozdíl je však v tom, že obě fáze
jsou zabudovány najednou v jedné úloze lineárního programování.
Ad Příklad 7.6 Najděte minimum funkce z = 4 x1 + x2 + M (u1 + u2),
kde M je libovolně velká kladná konstanta (v případě maximalizace funkce z by u
M bylo znaménko –) za podmínek
3 x1 + x2 + u1 = 3
4 x1 + 3 x2 − p1 + u2 = 6
x1 + 2 x2 + p2 = 4
x1, x2, p1, p2, u1, u2 ≥ 0.
Protože M může nabývat vysokých hodnot, pro optimum úlohy musí platit
u1 = u2 = 0. Pokud to nenastane, původní úloha nemá řešení.
Systém omezení je tedy stejný jako v 1.fázi dvoufázové metody, pouze došlo ke
změně funkce z.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 97
x1 x2 p1 u1 u2 p2 řešení
min z −4 −1 0 −M −M 0 0
← u1 3m 1 0 1 0 0 3m
u2 4m 3 −1 0 1 0 6m
p2 1m 2 0 0 0 1 4m
z −4 + 7M −1 + 4M −M 0 0 0 9M
↑
Před použitím optimalizačního kroku musíme opět vynulovat bázické pozice
v řádku z.
Optimalizace:
xxx0
= (0, 0, 0, 3, 6, 4); z(xxx0
) = 9 M
max z = −4 + 7 M ⇒ x1 je vstupní proměnná
min 3
3
, 6
4
, 4
1
= 3
3
⇒ u1 je výstupní proměnná.
↓
x1 x2 p1 u1 u2 p2 řešení
min z 0 1+5M
3
−M 4−7M
3
0 0 4 + 2M
← x1 1 1
3

0 1
3
0 0 1m
u2 0 5
3

−1 4
3
1 0 2m
p2 0 5
3

0 −1
3
0 1 3m
Optimalizace:
xxx1
= (1, 0, 0, 0, 2, 3); z(xxx1
) = 4 + 2 M
max z = 1+5M
3
⇒ x2 je vstupní proměnná
min 1
1/3
, 2
5/3
, 3
5/3
= 6
5
⇒ u2 je výstupní proměnná.
↓
x1 x2 p1 u1 u2 p2 řešení
min z 0 0 1
5
(8
5
− M) (−1
5
− M) 0 18
5
x1 1 0 1
5

3
5
−1
5
0 3
5

x2 0 1 −3
5
−4
5
3
5
0 6
5
← p2 0 0 1m 1 −1 1 1m
98 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Optimalizace:
xxx2
= (
3
5
,
6
5
, 0, 0, 0, 1); z(xxx2
) =
18
5
max z = 1
5
⇒ p1 je vstupní proměnná
min 3/5
1/5
, 1
1
= 1 ⇒ p2 je výstupní proměnná.
x1 x2 p1 u1 u2 p2 řešení
z 0 0 0 (7
5
− M) −M −1
5
17
5
x1 1 0 0 2
5
0 −1
5
2
5
x2 0 1 0 −1
5
0 3
5
9
5
p1 0 0 1 1 −1 1 1
Optimalizace:
xxx3
= (
2
5
,
9
5
, 1, 0, 0, 0); z(xxx3
) =
17
5
je optimum, protože v řádku funkce z (mimo pravou stranu) nejsou už kladné hod-
noty.
Dostáváme tedy optimální řešení úlohy:
x1 =
2
5
; x2 =
9
5
.
V úloze jsme při řešení mohli místo abstraktního M použít dostatečně velkou hodnotu,
např. M = 10 000. Ale (zejména v počítačovém zpracování algoritmu) při
použití konkrétního M dochází k zaokrouhlovací chybě. Proto je výhodnější používat
abstraktní M (i v programu, lze totiž dodefinovat algebraické operace sčítání,
násobení a porovnávání hodnot obecně i pro abstraktní M s využitím pomocné
proměnné, do které je možné ukládat koeficient u M).
Příklad 7.7 Je nutné v následujících úlohách použít umělé proměnné?
a) Najděte maximum funkce z = x1 + x2 za omezení
2 x1 + 3 x2 = 5
7 x1 + 2 x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0.
b) Najděte minimum funkce z = x1 + x2 + x3 + x4 za omezení
2 x1 + x2 + x3 = 7
4 x1 + 3 x2 + x4 ≤ 8
x1, x2, x3, x4 ≥ 0.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 99
Řešení.
ad a) Ano, úloha přeformulovaná pro užití simplexové metody zní:
maximalizujte funkci z = x1 + x2 − Mu za podmínek
2 x1 + 3 x2 + u = 5
7 x1 + 2 x2 + p = 6
x1, x2, u, p ≥ 0.
Příslušná simplexová tabulka:
x1 x2 u p řešení
max z −1 −1 M 0 0
u 2 3 1 0 5
p 7 2 0 1 6
z −1 − 2M −1 − 3M 0 0 −5M
Nesmíme zapomenout vynulovat bázické koeficienty v řádku z, aby byla
tabulka připravená pro optimalizační krok!
ad b) Ne, samotná omezení obsahují už jednotkovou podmatici
x1 x2 x3 x4 řešení
min z −1 −1 −1 −1 0
x3 2 1 1 0 7
x4 4 3 0 1 8
z 5 3 0 0 15
Musíme opět vynulovat bázické pozice v řádku z.
7.6 Úskalí simplexové metody
a) Degenerace
– matematicky: bázická souřadnice řešení je rovna 0, tj. může se stát, že jednomu
vrcholu množiny přípustných hodnot odpovídá více kroků simplexové
tabulky; speciálně je zde nebezpečí tzv. zacyklení, tj. procházení několika vrcholů
množiny přípustných hodnot stále dokola, aniž bychom šli k optimálnímu
vrcholu.
100 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
– prakticky: některé omezení je nadbytečné, ale většinou nepoznáme, které to je.
– řešení: zkusíme v algoritmu pokračovat, zacyklení většinou nenastane, nebo
lze zacyklení většinou vyloučit tím, že pro volbu výstupního řádku na chvíli
uvažujeme místo nul na pravé straně systému malá ε > 0 . . . tzv. ε-modifikace.
Příklad 7.8 Maximalizujte funkci z = 3 x1 + 9 x2 za podmínek
x1 + 4 x2 ≤ 8
x1 + 2 x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0.
Řešení. Grafické řešení je znázorněno na obr.7.7.
−2 0 2 4 6 8 10
−2
−1
0
1
2
3
4
5
PSfrag replacements
A
•
Obr. 7.7: Grafické řešení příkladu 7.8.
První z obou netriviálních omezení je nadbytečné; optimum je v bodě A = [0; 2].
b) Více optimálních řešení
– matematicky: nebázický koeficient v řádku z je roven 0 ve výstupní simplexové
tabulce; pak pokud s proměnnou příslušnou tomuto koeficientu vstoupíme
do báze, příslušné řešení bude rovněž optimální.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 101
– prakticky: optimum není pouze v obou vrcholech xxx1
,xxx2
, ale v každém bodě
hrany mezi nimi αxxx1
+ (1 − α)xxx2
, kde α ∈ 0; 1 .
Pokud optimum nastane ve 3 vrcholech xxx1
,xxx2
,xxx3
, nastane rovněž v každém
bodě trojúhelníka těmito vrcholy určeného xxx = α1xxx1
+ α2xxx2
+ α3xxx3
, kde
αi ∈ 0; 1 a platí α1 + α2 + α3 = 1 (tzv. konvexní kombinace vrcholů).
Příklad 7.9 Maximalizujte funkci z = 2 x1 + 4 x2 za omezení
x1 + 2 x2 ≤ 5
x1 + x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0.
Řešení. Grafické řešení je znázorněno na obr.7.8.
−1 0 1 2 3 4 5 6
−1
0
1
2
3
4
5
PSfrag replacements
A
•
B
•
Obr. 7.8: Grafické řešení příkladu 7.9.
Libovolný bod úsečky AB je řešením, tj.
x1
x2
= α
0
2, 5
+ (1 − α)
3
1
, α ∈ 0; 1 .
c) Neomezené řešení
– matematicky: všechny hodnoty ve vstupním sloupci v některém optimalizačním
kroku jsou ≤ 0, tj. neexistuje žádná kladná změna pro daný sloupec.
102 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
– prakticky: úloha není dobře formulována (chybí určité omezení, popřípadě
některý parametr není dobře odhadnut).
– řešení: řekneme, že funkce z je ve směru svého „zlepšování neomezená, popřípadě
dodáme další omezení nebo přehodnotíme koeficienty úlohy.
Příklad 7.10 Maximalizujte funkci z = 2 x1 + 4 x2 za omezení
x1 + 2 x2 ≤ 5
x1 + x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0.
Řešení. Grafické řešení je znázorněno na obr.7.9.
0 5 10 15 20
−15
−10
−5
0
5
10
15
Obr. 7.9: Grafické řešení příkladu 7.10.
Množina přípustných hodnot je neohraničená ve směru růstu funkce z.
d) Množina přípustných hodnot je prázdná
– matematicky: v 1.fázi dvoufázové metody je optimální hodnota kladná.
– prakticky: úloha není dobře formulována, omezení jsou v rozporu.
– řešení: některá omezení odstraníme.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 103
7.7 Shrnutí
V této kapitole jsme nejdříve na různých příkladech z praxe ukázali matematickou
formulaci úlohy lineárního programování, jejíž tvar obecně zní:
nalezněte minimum (nebo maximum) funkce z =
n
j=1
cjxj za omezujících podmínek
xj ≥ 0 pro j = 1, 2, . . . , n (tzv. triviální podmínky),
n
j=1
aijxj ≤ bi (nebo = bi nebo ≥ bi) pro i = 1, 2, . . . , m.
Dále jsme se zabývali grafickým řešením této úlohy a následnou analýzou citlivosti, tj. tím,
jak se změní řešení při změně některého ze vstupních parametrů úlohy. Sledovali jsme
především změny netriviálních omezení, které mohou být dvojího druhu:
• klíčová . . . pokud prochází bodem optima
• neklíčová . . . pokud neprochází bodem optima.
Kromě toho jsme se také věnovali algebraickému řešení – tzv. simplexové metodě. Pro její
nastolení jsme definovali tzv. kanonický tvar úlohy lineárního programování, který je
charakteristický tím, že
– všechna omezení jsou rovnicemi
– všechna omezení mají nezápornou pravou stranu
– pro všechny proměnné xj platí: xj ≥ 0.
Úlohu lineárního programování lze řešit algebraicky pomocí simplexové tabulky následujícím
způsobem:
1. převedeme na kanonický tvar (přidáním pomocných proměnných, vynásobením
(−1), substitucí xi = xi − xi pro neomezenou proměnnou xi)
2. dodáme umělé proměnné ui do některých rovnic, abychom zaručili existenci jednotkové
matice (eventuelně může mít přeházené sloupce)
3. vyloučíme z funkce z proměnné určující jednotkovou matici substitucí za tyto proměnné
z některé z podmínek omezení
4. sestavíme vstupní simplexovou tabulku, do prvního řádku zapíšeme rovnici z −
(kombinace nebázických proměnných) = absolutní člen, do ostatních řádků opíšeme
omezení.
V závěru kapitoly se věnujeme některým úskalím simplexové metody, zejména degeneraci,
neexistenci nebo nejednoznačnosti řešení.
104 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
7.8 Otázky k opakování
U následujících výroků rozhodněte, zda se jedná o výrok pravdivý či nepravdivý.
Otázka 7.1 Úlohou lineárního programování je nalezení globálního extrému libovolné
funkce na množině M zadané soustavou lineárních nerovnic.
Otázka 7.2 Každá úloha, která má přípustné řešení, má i optimální řešení.
Otázka 7.3 Každá úloha, která má optimální řešení, má i přípustné řešení.
Otázka 7.4 Pokud má úloha optimální řešení, je určeno jednoznačně.
Otázka 7.5 Změna některého z neklíčových omezení může ovlivnit hodnotu optimálního
řešení.
Otázka 7.6 Existuje úloha lineárního programování, která nelze převést do kanonického
tvaru?
Otázka 7.7 Pivotový prvek v simplexové tabulce může být záporné číslo.
Otázka 7.8 Při simplexové metodě může dojít k zacyklení, tj. procházení několika vrcholů
množiny přípustných hodnot stále dokola, aniž bychom šli k optimálnímu vrcholu.
Odpovědi na otázky viz 13.2.
7.9 Příklady ke cvičení
Příklad 7.1 Společnost chce investovat 1 000 dolarů měsíčně na reklamu svého výrobku.
Minuta vysílání v rozhlasových pořadech ji stojí 5 dolarů, minuta v televizi 100 dolarů.
Společnost by ráda využila rozhlasu časově aspoň dvakrát více než TV. Minulá zkušenost
naznačuje, že minuta vysílání v TV způsobí asi 25-krát větší ohlas než minuta rozhlasového
vysílání. Formulujte problém nalezení optimálního rozdělení investic jako úlohu lineárního
programování (neřešte ji).
Příklad 7.2 Navrhněte výrobu krmné směsi, máte-li k dispozici produkty A,B,C,D, které
stojí 200, 260, 180, 340 Kč a obsahují komponenty a,b,c, jejichž obsah je dán následující
tabulkou:
A B C D požadavek *
a 10 8 12 6 92
b 6 10 4 14 88
c 4 6 2 12 72
* minimální množství komponenty ve směsi
Vytvořte matematický model, úlohu neřešte.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 105
Příklad 7.3 Firma má dva provozy. V prvním provozu vyrábí výrobek A, který je částečně
finálním výrobkem a částečně polotovarem pro druhý provoz. Ve druhém provozu vyrábí
výrobek B. Denní výroba je omezena 3 000 kg suroviny S. Na jednu jednotku A je třeba
5 kg suroviny S, na jednotku výrobku B je třeba jedna jednotka A a 2 kg suroviny S.
Výrobku A je nutno vyrobit aspoň 250 jednotek (finálně, ne jako součást výrobku B). Cena
výroby jednotky A je 5 Kč, jednotky B 10 Kč. Vytvořte program výroby, který zabezpečuje
maximální odbyt. Neřešte, pouze uveďte matematickou formulaci problému. Nezapomeňte,
že ty jednotky A, které se spotřebují na výrobu B, už do ceny odbytu nezapočítáváme
(ty jsou totiž už zakalkulovány v ceně jednotky B).
Příklad 7.4 Tyč 12 m dlouhá se má řezat na 3 různé délky, A = 5, 65; B = 3, 25; C =
2, 40 a to takto: A nejméně 26 kusů, B nejméně 48 kusů, C nejméně 124 kusů. Protože
výroba pokračuje i v dalších dekádách, je přípustné řezat do zásoby. Vytvořte řezné plány
a matematický model programu, pro který odpad bude minimální.
Příklad 7.5 Řešte graficky následující úlohu:
nalezněte minimum funkce z = x1 − x2 za podmínek 2 x1 + x2 ≥ 2
−3 x1 + 2 x2 ≤ 6
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Příklad 7.6 Řešte graficky následující úlohu:
nalezněte minimum funkce z = x1 − x2 za podmínek 2 x1 + x2 ≥ 2
−3 x1 + 2 x2 ≤ 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Příklad 7.7 Formulujte takovou úlohu lineárního programování v dimenzi 2 (pro proměnné
x, y), aby body (1, 3), (2, 2) byly jejím optimálním řešením a bod (3, 1) už ne.
Využijte grafické názornosti úlohy.
Příklad 7.8 Uvažujte následující úlohu lineárního programování:
nalezněte maximum funkce z = 5 x + 3 y za omezení x + y ≤ 4
5 x + 2 y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0.
Určete
a) optimální řešení úlohy (graficky);
b) zvýšení pravé strany v první nerovnosti, které maximálně zlepší hodnotu optima
(a současně učiní tuto nerovnost nadbytečnou) a určete tuto změnu optima;
106 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
c) stínové ceny příslušné optimálnímu řešení a);
d) o kolik můžeme zvýšit koeficient proměnné y ve funkci z, aby vrchol optima
(= optimální hodnota proměnných) zůstal zachován (hodnota optima se samozřejmě
změní)?
Příklad 7.9 Simplexovou metodou vyřešte následující úlohu lineárního programování:
najděte maximum funkce z = 2 x1 + x2 − 5 x3 za podmínek x1 + x2 + x3 = 7
2 x1 − 5 x2 + x3 ≥ 10
x1, x2, x3 ≥ 0.
Příklad 7.10 Simplexovou metodou vyřešte následující úlohu lineárního programování:
najděte maximum funkce z = x1 + 2 x2 + 3 x3 − x4 za podmínek
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15
2 x1 + x2 + 5 x3 = 20
x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 10
x1, x2, x3, x4 ≥ 0.
Výsledky příkladů viz 13.2.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 107
8 Dualita v úlohách lineárního programování
Tato kapitola je uvedením do teorie duality. Co to je dualita? Matematická představa
duality je skutečně odvozena od filosofické. Ve filosofii (zejména východní, ale prý snad
i Högel a Marx) mluví teorie duality o existenci dvou sil, jedné dobré a druhé zlé, které
jsou spolu v neustálém boji a z nichž žádná není nadřazena té druhé – obě jsou stejně
silné. Bůh v představách této filosofie je duální (dobrý i zlý současně) – je sjednocením
této dobré a zlé síly, jejichž nekonečné soupeření je zdrojem pokroku.
Pak existuje jiný základní pohled na svět (např. křesťanský pohled), který říká, že
Bůh je jen dobrý a ta zlá síla, která tu na světě existuje, je síla, která se vzepřela dobrým
zákonům a jedná svéhlavě po svém. V tomto druhém pohledu na svět se svým způsobem
nedá mluvit o dualitě, protože dobrý Bůh je nekonečně mocnější a nadřazený té zlé síle
a je jen otázkou času, kdy s touto zlou silou, překážkou pokroku, naprosto skoncuje. Toho
se někteří bojí, ale jiní (mezi nimi i já) tuto porážku zla očekávají, protože to bude také
mimo jiné znamenat, že budou konečně naplno osvobozeni a očištěni od vší špatnosti
svého charakteru.
Dualita v matematickém slova smyslu má spíše blíže k nekřesťanskému pohledu na
svět. Kromě původní (primární) úlohy nyní budeme definovat ještě tzv. duální úlohu.
Při studiu vztahu mezi primární a duální úlohou uvidíme, že obě úlohy někdy „stojí proti
sobě (v něčem se liší), jindy „jsou v souladu (v něčem jsou stejné nebo se doplňují), ale
vždy jsou navzájem rovnocenné, žádná není nadřazena té druhé. Snad při studiu tohoto
vztahu duality bude učiněn pokrok alespoň v oblasti lineárního programování.
8.1 Formulace duální úlohy lineárního programování
Původní úlohu lineárního programování označujeme jako primární:
nalezněte minimum (nebo maximum) funkce z =
n
j=1
cjxj za omezujících podmínek
n
j=1
aijxj = bi pro i = 1, 2, . . . , m,
xj ≥ 0 pro j = 1, 2, . . . , n.
K této úloze konstruujeme tzv. duální úlohu podle následujících pravidel:
primární úloha duální úloha
minimalizace maximalizace, všechna omezení typu ≤, proměnné neohraničené
maximalizace minimalizace, všechna omezení typu ≥, proměnné neohraničené
108 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Vztah koeficientů primární a duální úlohy je možné znázornit v tabulce:
primární proměnné
x1 x2 . . . xj . . . xn
pravé strany duálních
omezení
→ c1 c2 . . . cj . . . cn
a11 a12 . . . a1j . . . a1n b1 y1
a21 a22 . . . a2j . . . a2n b2 y2
koeficienty levých stran
duálních omezení
...
...
...
...
... duální proměnné
am1 am2 . . . amj . . . amn bm ym
↑ ↑
j-té duální omezení koeficienty duální funkce w
Příklad 8.1 Formulujte duální úlohu k úloze:
maximalizujte funkci z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 za podmínek
x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10
2 x1 − x2 + 3 x3 = 8
x1, x2, x3 ≥ 0.
Řešení. Nejprve formulujeme kanonický tvar primární úlohy:
maximalizujte funkci z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 + 0 p za podmínek
x1 + 2 x2 + x3 + p = 10
2 x1 − x2 + 3 x3 = 8
x1, x2, x3, p ≥ 0.
Duální úloha je tedy tvaru:
minimalizujte funkci w = 10 y1 + 8 y2 za podmínek
y1 + 2 y2 ≥ 5
2 y1 − y2 ≥ 12
y1 + 3 y2 ≥ 4
y1 ≥ 0; y2 ∈ R,
tj. na y2 není kladeno žádné omezení.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 109
Příklad 8.2 Formulujte duální problém k následujícímu:
minimalizujte funkci z = 5 x1 − 2 x2 za omezení
−x1 + x2 ≥ −3
2 x1 + 3 x2 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0.
Řešení. Nejprve kanonický tvar primární úlohy:
minimalizujte funkci z = 5 x1 − 2 x2 + 0 p1 + 0 p2 za podmínek
x1 − x2 + p1 = 3
2 x1 + 3 x2 + p2 = 5
x1, x2, p1, p2 ≥ 0.
Duální úloha je tvaru:
maximalizujte funkci w = 3 y1 + 5 y2 za podmínek
y1 + 2 y2 ≤ 5
−y1 + 3 y2 ≤ −2
y1, y2 ≤ 0.
Příklad 8.3 Formulujte duální problém k následujícímu:
maximalizujte funkci z = 5 x1 + 6 x2 za omezení
x1 + 2 x2 = 5
−x1 + 5 x2 ≥ 3
4 x1 + 7 x2 ≤ 8
x1 ∈ R, x2 ≥ 0.
Řešení. Kanonický tvar primární úlohy:
maximalizujte funkci z = 5 x1 − 5 x1 + 6 x2 + 0 p1 + 0 p2 za podmínek
x1 − x1 + 2 x2 = 5
−x1 + x1 + 5 x2 − p1 = 3
4 x1 − 4 x1 + 7 x2 + p2 = 8
x1, x1, x2, p1, p2 ≥ 0.
Duální úloha je tvaru:
110 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
minimalizujte funkci w = 5 y1 + 3 y2 + 8 y3 za podmínek
y1 − y2 + 4 y3 ≥ 5
−y1 + y2 − 4 y3 ≥ −5
2 y1 + 5 y2 + 7 y3 ≥ 6
−y2 ≥ 0
y3 ≥ 0
y1 ∈ R.
Všimněme si, že sloučením prvních dvou podmínek vznikne rovnost a že na proměnnou
y1 není vztaženo žádné omezení.
8.2 Vztah mezi řešením primární a duální úlohy
Vyřešme nyní primární úlohu a úlohu k ní duální a všimněme si souvislostí mezi
jednotlivými simplexovými tabulkami.
Ad Příklad 8.1. Vyřešme nejprve primární úlohu. Kanonický tvar doplníme
umělou proměnnou u s cílem vytvoření jednotkové podmatice:
maximalizujte funkci z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 + 0 p − Mu za podmínek
x1 + 2 x2 + x3 + p = 10
2 x1 − x2 + 3 x3 + u = 8
x1, x2, x3, p, u ≥ 0.
Nyní je vše připraveno pro provedení simplexové metody pro primární úlohu.
max z = 5 12 4 0

−M

x1 x2 x3 p u řešení
krok 0: z −5 −12 −4 0 M = 0
p 1 2 1 1 0 10
x3 ↔ u 2 −1 3 0 1 8
z −5 − 2M −12 + M −4 − 3M 0 0 −8M
Nejprve jsme museli vynulovat bázické pozice v řádku z. Duální omezení odpovídající
počáteční bázi získáme z tabulky ze sloupců p a u. Tj. jsou to omezení
y1 ≥ 0
y2 ≥ −M
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 111
(do pravých stran bereme původní nevynulované koeficienty s nezměněným znaménkem
– zakroužkované hodnoty v tabulce).
x1 x2 x3 p u řešení
krok 1: z −7
3
−40
3
0 0 4
3
+ M 32
3
x2 ↔ p 1
3
7
3
0 1 −1
3
22
3
x3
2
3
−1
3
1 0 1
3
8
3
x1 x2 x3 p u řešení
krok 2: z −3
7
0 0 40
7
−4
7
+ M 368
7
x2
1
7
1 0 3
7
−1
7
22
7
x1 ↔ x3
5
7
0 1 1
7
2
7
26
7
x1 x2 x3 p u řešení
krok 3: z 0 0 3
5
29
5
−2
5
+ M 544
5
x2 0 1 −1
5
2
5
−1
5
12
5
x1 1 0 7
5
1
5
2
5
26
5
Dostáváme optimální řešení:
x1 =
26
5
, x2 =
12
5
, x3 = 0.
Z tabulky můžeme také vyčíst optimální koeficienty funkce z příslušné primární počáteční
bázi – hodnoty označené čárkovaně.
Nyní vyřešme duální úlohu převedenou na kanonický tvar doplněný o umělé proměnné:
minimalizujte funkci w = 10 y1 + 8 y2 − 8 y2 + M (u1 + u2 + u3) za podmínek
y1 + 2 y2 − 2 y2 − p1 + u1 = 5
2 y1 − y2 + y2 − p2 + u2 = 12
y1 + 3 y2 − 3 y2 − p3 + u3 = 4
y1, y2, y2 , p1, p2, p3, u1, u2, u3 ≥ 0.
112 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
krok 0:
min w = 10 8 −8 0 0 0 M

M

M

y1 y2 y2 p1 p2 p3 u1 u2 u3 řešení
w −10 −8 8 0 0 0 −M −M −M = 0
u1 1 2 −2 −1 0 0 1 0 0 5
u2 2 −1 1 0 −1 0 0 1 0 12
u3 1 3 −3 0 0 −1 0 0 1 4
w −10 + 4M −8 + 4M 8 − 4M −M −M −M 0 0 0 21M
Primární omezení odpovídající počáteční duální bázi jsou
x1 ≤ M
x2 ≤ M
x3 ≤ M
(do pravých stran opět bereme původní nevynulované koeficienty s nezměněným
znaménkem – zakroužkované hodnoty v tabulce).
...
krok 4:
y1 y2 y2 p1 p2 p3 u1 u2 u3 řešení
w 0 0 0 −26
5
−12
5
0 26
5
− M 12
5
− M −M 544
5
p3 0 0 0 −7
5
1
5
1 7
5
−1
5
−1 3
5
y2 0 −1 1 2
5
−1
5
0 −2
5
1
5
0 2
5
y1 1 1 0 −1
5
−2
5
0 1
5
2
5
0 29
5
Dostáváme optimální řešení:
y1 =
29
5
, y2 = y2 − y2 = 0 −
2
5
= −
2
5
.
Z tabulky můžeme také vyčíst optimální koeficienty funkce w odpovídající počáteční
duální bázi – hodnoty označené čárkovaně.
Vztah mezi řešením primární a duální úlohy:
1) optimální hodnota funkce z = optimální hodnota funkce w
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 113
2)


vektor optimálních koeficientů
funkce z příslušných počáteční
primární bázi

 =


vektor rozdílů levé minus pravé
strany duálních omezení příslušných
počáteční primární bázi


Ad Příklad 8.1 Příslušná vektorová rovnice z bodu 2) vztahu mezi primární a duální
úlohou zde má tvar
29
5
−2
5
+ M
=
y1 − 0
y2 − (−M)
⇒ y1 =
29
5
, y2 = −
2
5
, w = 54
4
5
.
Čili pomocí řešení primární úlohy jsme z tohoto vztahu získali řešení duální úlohy. Naopak
uvážíme-li, že duální úloha k duální úloze je původní primární úloha, lze pomocí řešení
duální úlohy určit řešení primární úlohy:




26
5
− M
12
5
− M
−M



 =




x1 − M
x2 − M
x3 − M



 ⇒ x1 =
26
5
, x2 =
12
5
, x3 = 0, z = 54
4
5
.
Z porovnání primární a duální úlohy vidíme, že


libovolná funkční hodnota přípustného
bázického řešení maxi-
malizace

 ≤


libovolná funkční hodnota přípustného
bázického řešení mini-
malizace


bez ohledu na to, která úloha je primární a která duální. Když tedy známe „dobré řešení
minimalizace a „dobré řešení maximalizace (dobré v tom smyslu, že funkční hodnoty
v obou případech se od sebe moc neliší), můžeme s jistotou vědět, že skutečné optimum
obou úloh má funkční hodnotu v intervalu určeném těmito dvěma „dobrými funkčními
hodnotami.
8.3 Pojem inverzní matice
V k-tém kroku simplexové tabulky lze všechny hodnoty této tabulky určit na základě
tzv. inverzní matice (a zadání primární a duální úlohy):
114 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
tabulka k-tého kroku:
sloupce odpovídající
primární počáteční bázi
koeficienty účelové funkce → =
inverzní
matice
=
sloupce omezení mimo sloupce primární počáteční báze
a) určení sloupců omezení mimo sloupce počáteční báze:


sloupec
v k-tém
kroku

 =


inverzní matice
v k-tém
kroku

 ·


sloupec
v 0-tém
kroku


Ad Příklad 8.1. krok 1: určení sloupce proměnné x1:
1
3
2
3
=
1 −1
3
0 1
3
·
1
2
krok 2: určení sloupce pravých stran:
22
7
26
7
=
3
7
−1
7
1
7
2
7
·
10
8
b) určení koeficientů účelové funkce:
Nejprve určíme hodnoty duálních proměnných yi podle vztahu






vektor
proměnných
yi
v k-tém
kroku






=






vektor koeficientů
nad inverzní
maticí v k-tém
kroku primární
tabulky






·




inverzní
matice
v k-tém
kroku



 ,
a pak lze vypočíst primární řádek účelové funkce z vektorové rovnice




vektor koeficientů
u xj
účelové funkce
v k-tém kroku



 =






vektor rozdílů levé minus
pravé strany odpovídajícího
duálního omezení
s hodnotami proměnných
yi z k-tého kroku






.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 115
Ad Příklad 8.1. V našem příkladu máme vždy v daném kroku nad inverzní
maticí následující koeficienty primární účelové funkce:
krok báze koeficienty účelové funkce nad inverzní maticí
0 (p, u) (0, −M)
1 (p, x3) (0, 4)
2 (x2, x3) (12, 4)
3 (x2, x1) (12, 5)
(všimněte si, že v 0-tém kroku bereme původní koeficienty s nezměněným
znaménkem).
Tj. například hodnoty v řádku funkce z ve 3.(= optimálním) kroku simplexové
tabulky určíme následovně:
Nejprve najdeme hodnoty yi ve 3.kroku
(y1, y2) = (12, 5) ·
2
5
−1
5
1
5
2
5
= 29
5
, −2
5
a pak příslušné koeficienty funkce z ve 3.kroku:









koeficient u x1
koeficient u x2
koeficient u x3
koeficient u p
koeficient u u









=









y1 + 2 y2 − 5
2 y1 − y2 − 12
y1 + 3 y2 − 4
y1 − 0
y2 − (−M)









=









0
0
3
5
29
5
−2
5
+ M









.
c) Určení hodnoty účelové funkce v k-tém kroku:
dosazením sloupce řešení z k-tého kroku do účelové funkce vypočteme její hodnotu
v k-tém kroku.
Pomocí sloupců příslušných inverzní matici lze tedy získat hodnoty ve všech ostatních
sloupcích. Toto lze využít při programování algoritmu simplexové metody –
více o tom v kapitole 3.
116 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
8.4 Ekonomická interpretace duality
Uvažujme následující primární a duální úlohu:
P: maximalizujte funkci z =
n
j=1
cjxj za omezujících podmínek
n
j=1
aijxj = bi pro i = 1, 2, . . . , m,
xj ≥ 0 pro j = 1, 2, . . . , n.
D: minimalizujte funkci w =
m
i=1
bixi za omezujících podmínek
m
i=1
aijyi ≥ cj pro j = 1, 2, . . . , n,
yi ≥ 0 pro i = 1, 2, . . . , m.
Jednotlivé koeficienty a funkce mají následující ekonomický význam:
cj . . . zisk jednotkového výstupu činnosti j (obyčejně je diktován trhem)
bi . . . dostupné množství zdroje i
aij . . . množství zdroje i potřebné pro jednotkový výstup činnosti j
z . . . zisk
yi . . . cena jednotkového množství zdroje i (= tzv. stínová cena – udává, jak
moc jednotkové zvýšení dostupnosti zdroje i zvýší zisk z)
w . . . využití zdrojů (odčerpání zdrojů)
Ad Příklad 8.1 Význam optimálních hodnot y1 = 29
5
, y2 = −2
5
.
Abychom zvýšili optimum funkce z, musíme
– zvýšit dostupnost zdroje 1
– snížit dostupnost zdroje 2.
Vždy platí z ≤ w.
Řešení není optimální, pokud zisk z < využití zdrojů w
max z . . . maximalizujeme zisk
min w . . . minimalizujeme využití zdrojů pro daný zisk
Podmínka optimality v k-tém kroku maximalizace . . . koeficient funkce z u proměnné
xj je roven
m
i=1
aijyi − cj ≥ 0.
↑
zj . . . tzv. připsaná cena
Pokud zj − cj ≥ 0, tj. zj ≥ cj, proměnná
↑
zj . . . tzv. redukovaná cena
xj nemůže být vstupní proměnnou
optimalizačního kroku (zvyšování proměnné xj nepřinese větší zisk).
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 117
ad primární úloha: položky bi lze někdy zvýšit (stínové ceny určují prioritu) novými
investicemi
ad duální úloha: aby se zvýšila ziskovost činnosti j, snažíme se snížit její připsanou
cenu zj =
m
i=1
aijyi, což se obyčejně dosahuje snížením koeficientu spotřeby akj
odpovídajícího největší duální souřadnici yk
Příklad 8.4 Uvažujme výrobní halu, kde tři různé typy výrobků prochází každý třemi
různými linkami. Limity doby přístupu ke každé lince jsou po řadě 430, 460 a 420 minut
denně a jednotkový zisk výrobků je 3,2 a 5. Tabulka udává dobu (v minutách) průchodu
výrobků jednotlivými linkami:
výrobek 1 výrobek 2 výrobek 3
linka 1 1 2 1
linka 2 3 0 2
linka 3 1 4 0
Řešení. Primární úloha bude tvaru:
maximalizujte denní zisk z = 3 x1 + 2 x2 + 5 x3 za podmínek
x1 + 2 x2 + x3 ≤ 430
3 x1 + 2 x3 ≤ 460
x1 + 4 x2 ≤ 420
x1, x2, x3 ≥ 0.
Výstupní simplexová tabulka má tvar:
x1 x2 x3 p1 p2 p3 řešení
z 4 0 0 1 2 0 1350
x2 −1
4
1 0 1
2
−1
4
0 100
x3
3
2
0 1 0 1
2
0 230
p3 2 0 0 −2 1 1 20
Analýza: optimální řešení neobsahuje výrobek 1 (x1 = 0), tj. tento výrobek není ziskový
(z1 > c1 = 3), ale můžeme jej ziskovým učinit snížením z1 (z1 = y1 + 3 y2 + y3).
Protože z duální úlohy získáváme duální řešení y1 = 1
y2 = 2
y3 = 0,
118 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
má smysl něco dělat jen s první a druhou linkou, větší priorita je dávána druhé
lince. Zkoumejme tedy druhou nerovnost primární úlohy; její pravou stranu
zvyšovat zatím nechceme, zabývejme se tedy snížením koeficientů na levé straně:
výrobek 1 výrobek 2 výrobek 3
linka 1 1 2 1
linka 2 3 − r 0 2
linka 3 1 4 0
Jak velké musí být r, aby se stal výrobek 1 ziskovým? Tak, aby z1 ≤ c1, tj.
1 + (3 − r) 2 ≤ 3 ⇒ r ≥ 2.
8.5 Duální simplexová metoda
Jestliže v případě maximalizační úlohy není řešení optimální, aspoň pro jeden koeficient
j přepočítávané funkce z platí:
m
i=1
aijyi − cj < 0, tj.
(∗)
m
i=1
aijyi < cj.
Všimneme-li si blíže omezení (∗), toto omezení se vyskytuje v duální úloze, ale s opačnou
nerovností (≥). Tedy primární řešení není optimální ⇔ příslušné duální řešení je
nepřípustné. Odtud plyne hlavní myšlenka duální simplexové metody:
Pokud primární bázické řešení je nepřípustné (některá jeho souřadnice je < 0), ale
platí podmínka optimality (zj −cj ≥ 0 pro všechna j), snažíme se duální simplexovou
metodou přejít do vrcholu, který stále splňuje podmínku optimality, a navíc už je
přípustný (jeho souřadnice ≥ 0). První takový vrchol, do kterého touto metodou
dorazíme, je optimum primární úlohy.
Postup: na rozdíl od regulární simplexové metody probíhá optimalizační krok v opačném
pořadí – nejprve vybereme výstupní řádek (a sice podle nejvíce záporné souřadnice
ve sloupci pravých stran), a potom vstupní sloupec (podle minimální absolutní hodnoty
podílu „koeficient v řádku funkce / koeficient ve výstupním řádku , přičemž kladné a nulové
jmenovatele vypouštíme; pokud takové jsou všechny, úloha nemá přípustné řešení).
Příklad 8.5 Minimalizujte funkci z = 2 x1 + x2 za podmínek
3 x1 + x2 ≥ 3
4 x1 + 3 x2 ≥ 6
x1 + 2 x2 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 119
Řešení. Pokud první dvě nerovnosti vynásobíme (−1), vyhneme se použití umělých
proměnných, ale za cenu toho, že nalezené bázické řešení není přípustné:
↓
x1 x2 p1 p2 p3 řešení
z −2

−1

0 0 0 0 ⇒
p1 −3 −1 1 0 0 −3
← p2 −4

− 3

0 1 0 −6
p3 1 2 0 0 1 3
podmínka optimality
je splněna (koeficienty
jsou ≤ 0)
Z hodnot v posledním sloupci je vidět, že řešení je nepřípustné; pokusíme se nalézt
přípustný vrchol pomocí duální simplexové metody:
Výstupní řádek určíme pomocí maximálně záporné souřadnice řešení – to je v našem
případě p2 = −6. V tomto řádku p2 jsou dva záporné koeficienty – k nim vytvoříme
podíly |z − hodnota/p2 − hodnota| : −2
−4
, −1
−3
. Minimální z nich je ten druhý, vstupní
sloupec tedy bude x2.
Zbytek algoritmu je stejný jako u původní simplexové metody. Na místo pivotového
prvku (−3) se snažíme dostat v dalším kroku hodnotu (+1), ostatní hodnoty v pivotovém
sloupci chceme vynulovat, a to skrze přičtení jistého násobku pivotového řádku k danému
řádku. Dostaneme tabulku
↓
x1 x2 p1 p2 p3 řešení
z −2
3
0 0 −1
3
0 2 ⇒
p1 −5
3
0 1 −1
3
0 −1
x2
4
3
1 0 −1
3
0 2
← p3 − 5
3
0 0 2
3
1 −1
podmínka optimality
je stále splněna
Z hodnot v posledním sloupci je vidět, že řešení opět není přípustné; zopakujeme
tedy optimalizační krok duální simplexové metody:
Výstupní řádek si můžeme vybrat z řádků p1 a p3 díky minimální hodnotě (−1).
Vyberme tedy například řádek p3. Jediná záporná hodnota určuje vstupní sloupec x1.
120 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
x1 x2 p1 p2 p3 řešení
z 0 0 0 −3
5
−2
5
12
5
p1 0 0 1 −1 −1 0
x2 0 1 0 1
5
4
5
6
5
p3 1 0 0 −2
5
−3
5
3
5
Z hodnot v posledním sloupci je vidět, že řešení je přípustné, a tedy i optimální.
8.6 Analýza citlivosti v celé své kráse
a) Změna pravé strany některého omezení: Může vést jen k tomu, že řešení nebude
přípustné (některá souřadnice bude < 0), podmínka optimality zůstane zachována
⇒ můžeme pokračovat použitím duální simplexové metody.
Ad Příklad 7.1. Změníme-li v zadání úlohy pravou stranu omezení 1m
na 7 a
pravou stranu omezení 2m
na 4, výstupní tabulka simplexové metody změněné
úlohy se bude od výstupní tabulky původní úlohy lišit pouze ve sloupci pravých
stran – řešení bude ale nepřípustné (některá jeho souřadnice bude < 0). Po
jednom kroku duální simplexové metody dospějeme k optimu (jehož hodnota
bude horší). Podrobněji viz samostatné cvičení.
b) Přidání nového omezení: Výsledek pozměněné úlohy se nemění, pokud bod optima
toto omezení splňuje. V opačném případě musíme doplnit omezení na rovnost (pomocnou
proměnnou), vyloučit z této rovnosti optimální bázické proměnné původní
úlohy (do nové báze se navíc přidá nová pomocná proměnná, čili původní simplexová
tabulka je doplněna o řádek i sloupec) a případně použít duální simplexovou
metodu, pokud je to potřeba.
Ad Příklad 7.1. Chceme-li k omezením původní úlohy přidat podmínku x ≤ 3,
doplněním na rovnost máme x + p5 = 3, výstupní simplexová tabulka původní
úlohy se doplní o řádek a sloupec. Protože proměnná x je bázická, musíme
přidaný řádek upravit tím, že od něj odečteme řádek xm
. Tak se poruší nezápornost
pravé strany tabulky a provedením jednoho kroku duální simplexové
dospějeme k novému optimálnímu řešení (funkční hodnota v něm bude nižší –
to se ale dalo čekat, že přidáním dalšího omezení se nezlepší funkční hodnota
optima). Podrobněji samostatně.
c) Změna koeficientů účelové funkce: Jeden způsob přepočtu byl popsán na str.91.
Uveďme zde ještě jeden způsob pro přepočet změny koeficientů, které stojí u bázických
proměnných výstupní tabulky původní úlohy. Tento způsob užívá duálních
proměnných a duálních omezení. Vysvětlíme jej na příkladu.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 121
Ad Příklad 7.1. Pokud funkce v původní úloze bude změněna na z = 5 x + 4 y,
pořadí koeficientů vzhledem k bázi výstupní tabulky je
y x p3 p4
(4, 5, 0, 0)
, a tedy
y1, y2, y3, y4 = 4, 5, 0, 0 ·






2
3
−1
3
0 0
−1
3
2
3
0 0
−1 1 1 0
−2
3
1
3
0 1






= 1, 2, 0, 0 .
Pomocí rozdílů levých a pravých stran duálních omezení určíme nový z-řádek
ve výstupní tabulce:
nový koeficient u x : y1 + 2 y2 − y3 − 5 = 0
y : 2 y1 + y2 + y3 + y4 − 4 = 0
p1 : y1 = 1
p2 : y2 = 2
p3 : y3 = 0
p4 : y4 = 0
Vlastně stačilo přepočítat jen nebázické koeficienty, protože bázické jsou rovny
nule. Všechny nové z-koeficienty jsou ≥ 0, tj. bod optima se nezmění (i když
funkční hodnota v něm ano). Pokud by některý koeficient byl záporný, museli
bychom najít simplexovou metodou zlepšení.
Kdyby funkce v původní úloze byla změněna na z = 4 x + y, po přepočtení
z-koeficientů by bylo nutné provést jeden krok simplexové metody, abychom
našli nový bod optima.
d) Změna levých stran omezení: Má smysl analyzovat jen změnu nebázického
sloupce levé strany (při bázické změně je lepší vyřešit celou úlohu znovu); z
příslušné duální nerovnosti lze hned zjistit, zda se neporušila podmínka optimality.
Ad Příklad 7.1. Pro z = 4 x + y a změnu druhého sloupce levých stran a12 =
4, a22 = 3 má příslušné duální omezení tvar 4 y1 +3 y2 +y3 +y4 ≥ 1. Po výpočtu
duálních proměnných vidíme, že podmínka platí.
Porušení podmínky optimality řeší klasická simplexová metoda.
e) Přidání nové činnosti (nového sloupce): – tj. změna funkce z i matice (aij) současně
(pokud se na situaci díváme tak, že sloupec tam už dříve byl, ale všechny jeho
koeficienty byly nulové).
Přidání nové činnosti má smysl jen tehdy, pokud zlepší hodnotu optima. Vysvětlíme
přepočet na příkladu.
Ad Příklad 7.1. Přidáním nového výrobku do našich úvah vznikne úloha
122 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
maximalizujte funkci z = 3 x + 2 y + 3
4
n za podmínek
x + 2 y + 3
4
n ≤ 6
2 x + y + 3
4
n ≤ 8
−x + y − n ≤ 1
y ≤ 2
x, y, n ≥ 0.
Protože proměnnou n považujeme za nebázickou, duální řešení zůstává stejné:
y1 = 1
3
, y2 = 4
3
, y3 = 0, y4 = 0. Nové duální omezení 3
4
y1 + 3
4
y2 − y3 ≥ 3
2
není splněno, příslušný z-koeficient je roven 3
4
y1 + 3
4
y2 − y3 − 3
2
= −1
4
. Zbytek
sloupce proměnné n vypočteme pomocí inverzní matice:






2
3
−1
3
0 0
−1
3
2
3
0 0
−1 1 1 0
−2
3
1
3
0 1






·






3
4
3
4
−1
0






=






1
4
1
4
−1
−1
4






.
Nyní protože z-koeficient v novém sloupci je záporný, přidáme jej k optimální
tabulce původní úlohy a provedeme jeden krok klasické simplexové metody.
Dostaneme nové řešení, které zlepší hodnotu optima původní úlohy.
f) Při změně pravých a levých stran omezení současně: Dochází zde ke složitějším
změnám a je výhodnější celou úlohu vyřešit znovu, analýza citlivosti už není
tak pomocná.
Duální simplexová metoda nachází své využití nejen při analýze citlivosti, ale i v
některých dalších algoritmech, např. v metodě řezů celočíselného lineárního programování.
8.7 Shrnutí
V této kapitole byl podán stručný úvod do teorie duality. Nejprve jsme původní úlohu
lineárního programování (její kanonický tvar) označili jako primární. K této úloze konstruujeme
tzv. duální úlohu podle následujících pravidel:
primární úloha duální úloha
minimalizace maximalizace, všechna omezení typu ≤, proměnné neohraničené
maximalizace minimalizace, všechna omezení typu ≥, proměnné neohraničené
Na příkladu jsme pak pomocí simplexové metody zkoumali vztah mezi řešením primární
a duální úlohy. Ten se dá stručně charakterizovat takto:
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 123
1) optimální hodnota funkce z = optimální hodnota funkce w
2)


vektor optimálních koeficientů
funkce z příslušných počáteční
primární bázi

 =


vektor rozdílů levé minus pravé
strany duálních omezení příslušných
počáteční primární bázi


Dále jsme zjistili, že všechny hodnoty simplexové tabulky lze určit pomocí tzv. inverzní
matice. Toto lze využit zejména při programování algoritmu simplexové metody a také
při analýze citlivosti.
Zajímavá je také ekonomická interpretace duality, která se dá velice stručně charakterizovat
jako maximalizace zisku z při současné minimalizaci využití zdrojů w pro daný zisk.
V souvislosti s dualitou jsme se zabývali duální simplexovou metodou, jejíž hlavní myšlenka
zní:
Pokud primární bázické řešení je nepřípustné (některá jeho souřadnice je < 0), ale
platí podmínka optimality (zj −cj ≥ 0 pro všechna j), snažíme se duální simplexovou
metodou přejít do vrcholu, který stále splňuje podmínku optimality, a navíc už je
přípustný (jeho souřadnice ≥ 0). První takový vrchol, do kterého touto metodou
dorazíme, je optimum primární úlohy.
Na závěr kapitoly jsme se věnovali využití poznatků z teorie duality k získání
efektivnějších postupů v analýze citlivosti.
8.8 Otázky k opakování
U následujících výroků rozhodněte, zda se jedná o výrok pravdivý či nepravdivý.
Otázka 8.1 Abychom mohli formulovat duální úlohu, primární úloha musí být v kanonickém
tvaru.
Otázka 8.2 Duální úloha existuje jen tehdy, pokud primární úloha je úlohou minimali-
zace.
Otázka 8.3 Koeficienty duální funkce w zapsané v simplexové tabulce jsou totéž co pravé
strany primárních omezení.
Otázka 8.4 Optimální hodnota funkce z je menší než optimální hodnota funkce w.
Otázka 8.5 I když primární řešení není optimální, příslušné duální řešení je přípustné.
Otázka 8.6 Pokud primární řešení je přípustné, příslušné duální řešení je optimální.
Otázka 8.7 Pokud příslušné duální řešení je přípustné, primární řešení je optimální.
Otázka 8.8 Pokud je alespoň jedna hodnota v posledním sloupci simplexové tabulky
kladná, řešení primární úlohy je přípustné.
Otázka 8.9 Přidáním nového omezení se optimální hodnota funkce z může zlepšit.
Odpovědi na otázky viz 13.3.
124 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
8.9 Příklady ke cvičení
Příklad 8.1 Uvažujte následující úlohu lineárního programování:
najděte maximum funkce z = 2 x1 + 4 x2 + 4 x3 − 3 x4 za podmínek x1 + x2 + x3 = 4
x1 + 4 x2 + x4 = 8
x1, x2, x3, x4 ≥ 0.
a) Formulujte k této úloze úlohu duální.
b) Najděte řešení duální úlohy pomocí optimální tabulky primární úlohy.
Příklad 8.2 Uvažujte následující úlohu lineárního programování:
najděte maximum funkce z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 za podmínek x1 + 5 x2 + 2 x3 = 30
x1 − 5 x2 − 6 x3 ≤ 40
x1, x2, x3 ≥ 0.
a) Formulujte k této úloze úlohu duální.
b) Najděte řešení duální úlohy pomocí optimální tabulky primární úlohy.
Příklad 8.3 Vyřešte duální simplexovou metodou úlohu:
najděte minimum funkce z = 2 x1 + 3 x2 za podmínek 2 x1 + 3 x2 ≤ 30
x1 + 2 x2 ≥ 10
x1, x2 ≥ 0.
Příklad 8.4 Uvažujte zadání z příkladu 8.2. Proveďte následující analýzu citlivosti:
a) jak se změní řešení při změně pravé strany na
35
15
?
b) jak se změní řešení při přidání nového omezení x1 + x3 ≤ 5 ?
c) jak se změní řešení při změně funkce z na z = x1 + x2 − 2 x3 ?
d) jak se změní řešení při změně 2.sloupce omezení na
4
1
?
Výsledky příkladů viz 13.3.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 125
9 Dopravní úloha
Klasická verze dopravní úlohy má následující zadání: rozhodněte o způsobu rozvozu jednoho
typu výrobku (nebo suroviny) z m závodů do n spotřebitelských skladů tak, aby se
minimalizovala celková cena dopravy, je-li dáno
cij . . . jednotková cena dopravy ze zdroje i na místo určení j,
ai . . . množství zásob se zdroji i, i = 1, 2, . . . , m,
bj . . . požadavek spotřebitele j, j = 1, 2, . . . , n.
Výstupem úlohy jsou optimální hodnoty proměnných xij (= množství jednotek
dopravovaných ze zdroje i ke spotřebiteli j) a celková cena dopravy
m
i=1
n
j=1
cijxij.
Tuto konkrétní úlohu praxe lze matematicky reprezentovat užitím teorie grafů:
zdroje
spotřebitelé
a1 → 

1
a2 → 

2
.................
am → 

m


→ b22


→ b11
...
→ bn

n
$$$$$$$$$$$$$$$$X
¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B














Q














s
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
————————————————q
c11 : x11
cmn : xmn
rrr
rrrr
rrr
rrr
rrrj
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
££#
množství zásob
££#
požadavky spotřebitelů
Ale užitím grafových algoritmů ji řešit nebudeme. Dopravní úlohu lze také formulovat
jako úlohu lineárního programování:
minimalizujte z =
m
i=1
n
j=1
cijxij za podmínek
n
j=1
xij ≤ ai pro i = 1, 2, . . . , m
m
i=1
xij ≥ bj pro j = 1, 2, . . . , n
xij ≥ 0.
Ale protože dopravní úloha má jakýsi speciální tvar, nebudeme ji řešit přímo simplexovou
metodou; použijeme algoritmus, ve kterém je simplexová metoda skryta, ale který je
rychlejší a přehlednější.
126 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Právě popsaný model dopravní úlohy budeme vždy řešit až po eventuálním převedení
na tzv. vyvážený tvar (vyvážený dopravní model), kdy
m
i=1
ai =
n
j=1
bj, tj. nabídka = poptávka.
Tento vyvážený tvar je analogií kanonického tvaru úlohy lineárního programování.
Příklad 9.1 Automobilová společnost MG má závody v Los Angeles, Detroitu a New Orleans
a distribuční střediska v Denveru a Miami. Kapacity výrobních závodů pro plánované
období jsou po řadě 1000, 1500 a 1200 ks aut, poptávka středisek je 2300 a 1400 ks. Cena
dopravy 1 auta na jednu míli je 8 centů (cent je setina dolaru). Určete optimální rozdělení
dopravy od výrobců ke spotřebitelským místům. Vzdálenosti mezi místy (v mílích)
jsou uvedeny v tabulce:
Denver Miami
Los Angeles 1000 2690
Detroit 1250 1350
New Orleans 1275 850
Řešení.
a) Cenu dopravy cij jednoho auta z místa výroby do spotřebitelského střediska lze
určit vynásobením vzdálenosti míst číslem 0,08, což je cena za 1 kus. Nyní všechny
informace sestavíme do přehledné tabulky, ze které budeme při řešení vycházet (ceny
cij jsou uváděny v pravém horním rohu jednotlivých polí):
Denver Miami
Los Angeles
80 215
1000
Detroit
100 108
1500
New Orleans
102 68
1200
2300 1400
1000+1500+1200 = 2300+1400 ⇒ jedná se už o vyváženou úlohu, protože kapacity
výrobců jsou stejné jako požadavky odběratelů. U této úlohy můžeme tedy spustit
řešící algoritmus.
b) Pokud by kapacita výroby v Detroitu nebyla 1500, ale 1300, museli bychom dopravní
úlohu nejprve vyvážit; protože kapacita výroby by nebyla dostačující, zavedli
bychom fiktivního výrobce:
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 127
Denver Miami
Los Angeles
80 215
1000
Detroit
100 108
1500
New Orleans
102 68
1200
Fiction
0 0
200
2300 1400
Ceny dopravy od fiktivního výrobce zvolíme rovny 0, protože fiktivní výrobce je
nenáročný. Nyní už „celková kapacita výroby = celková poptávka , čili úloha je
vyvážena a připravena k tomu, aby na ni byl vypuštěn řešící algoritmus.
c) Naopak, pokud by kapacita výroby byla větší než poptávka, úlohu bychom vyvážili
zavedením fiktivního spotřebitele. Například při poptávce Denveru 1900 místo
2300 ks bychom zavedli fiktivního spotřebitele s poptávkou 400 ks:
Denver Miami Al Capone
Los Angeles
80 215 0
1000
Detroit
100 108 0
1500
New Orleans
102 68 0
1200
1900 1400 400
Kdybychom chtěli, aby např. Detroit navzdory menší poptávce vyvezl všechna vyrobená
auta, místo 0 bychom cenu c23 dopravy z Detroitu fiktivnímu odběrateli zvolili
kladnou a dostatečně velkou, a tím by se zaručilo, že v optimálním řešení x23 = 0.
Řešení úloh a), b), c) zde nebudeme uvádět. Místo toho si řekneme další dva příklady
formulace dopravního modelu, a až poté uvedeme algoritmus řešení dopravních úloh.
Příklad 9.2 Model dopravy většího počtu typů výrobků: Společnost MG vyrábí čtyři různé
typy aut (M1, M2, M3, M4). Kapacity jednotlivých závodů a požadavky distribučních center
jsou uvedeny v tabulkách:
128 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
závod vyrábí M1 M2 M3 M4 celkem
Los Angeles – – 700 300 1000
Detroit 500 600 – 400 1500
New Orleans 800 400 – – 1200
požadavek distribučního
střediska
M1 M2 M3 M4 celkem
Denver 700 500 500 600 2300
Miami 600 500 200 100 1400
Vzdálenosti mezi městy jsou uvedeny v př.9.1, jednotkové ceny dopravy jsou stejné pro
všechny typy aut. Určete optimální rozdělení dopravy.
Matematická formulace úlohy:
Každý ze závodů rozdělíme na tolik podzávodů, kolik typů auta daný závod vyrábí. A
podobně každé distribuční centrum rozdělíme na čtyři podcentra. Odpovídající grafová
reprezentace úlohy:






























→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
$$$$$$$$$$$$$$X$$$$$$$$$$$$$$X$$$$$$$$$$$$$$X
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
((
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
((


¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B
¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨¨B
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
tt”
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
tt”
rrr
rrr
rrr
rrr
rrj
rr
rrr
rrr
rrr
rrrj
rrr
rrr
rrr
rrr
rrj
rr
rrr
rrr
rrr
rrrj












~
Los Angeles



700
300
Detroit



500
600
400
New Orleans



800
400
Denver
700
500
500
600



Miami
600
500
200
100



M3
M4
M1
M2
M4
M1
M2
M1
M2
M3
M4
M1
M2
M3
M4
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 129
Přípravou pro řešení je tabulka dopravní úlohy. Ceny cij těch tras, které nemá smysl
realizovat, položíme rovny velkému číslu M. Dopravní tabulka má pak tvar
Los Angeles



M3
M4
Detroit



M1
M2
M4
New Orleans



M1
M2
Denver Miami
M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M4
M M 80 M M M 215 M
700
M M M 80 M M M 215
300
100 M M M 108 M M M
500
M 100 M M M 108 M M
600
M M M 100 M M M 108
400
102 M M M 68 M M M
800
M 102 M M M 68 M M
400
700 500 500 600 600 500 200 100
Úloha je vyvážená, dopravní tabulka je připravena pro vypuštění řešícího algoritmu.
Příklad 9.3 Plánování výroby: Společnost potřebuje vyrobit (= má poptávku)
během 1.měsíce 100 ks výrobku
2.měsíce 200
3.měsíce 180
4.měsíce 300
Poptávka v aktuálním měsíci může být pokryta
a) nadbytkem výroby v předchozím měsíci
b) výrobou v aktuálním měsíci
c) předem objednanou výrobou v následujícím měsíci.
Výrobní cena je 4 dolary za kus, cena skladování 0,5 dolaru za kus a měsíc, penalizační
poplatek za výrobek objednaný předem je 2 dolary za kus a měsíc. Výrobní kapacita je
130 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
omezena jinými vyráběnými výrobky a je 50 ks v 1.měsíci
180 ks ve 2.měsíci
280 ks ve 3.měsíci
270 ks ve 4.měsíci.
Vytvořte plán výroby na následující 4 měsíce, který minimalizuje celkovou cenu nákladů.
Matematická formulace úlohy:
Matematická formulace úlohy je stejná jako u dopravního problému. Analogie mezi oběma
úlohami jsou:
dopravní problém plán výroby
i . . . zdroj i . . . výrobní období
j . . . spotřebitel j . . . poptávkové období
ai . . . kapacita zdroje i ai . . . výrobní kapacita období i
bj . . . poptávka spotřebitele j bj . . . poptávka v období j
cij =



výrobní cena v období i, při i = j
výrobní cena v i + cena skladování od i do j, při i < j
výrobní cena v i + penalizační cena od j do i, při i > j
Při těchto analogiích lze problém sestavit do dopravní tabulky:
období
období
1 2 3 4
1
4 4,5 5 5,5
50
2
6 4 4,5 5
180
3
8 6 4 4,5
280
4
10 8 6 4
270
100 200 180 300
Tedy i tuto a podobné úlohy, které přímo nesouvisí s dopravní tematikou, lze řešit dopravním
algoritmem.
9.1 Řešení dopravního problému
A. Počáteční krok
V počátečním kroku nalezneme nějaké přípustné rozdělení dopravy, které nemusí být
nutně optimálním (v optimalizačním kroku je pak případně vylepšíme). Existuje více
metod pro nalezení počátečního rozdělení, ukážeme si tři z nich.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 131
a) Metoda severozápadního rohu (SZR)
1) Proměnné x11 (která se nachází v severozápadním rohu tabulky) přiřadíme maximální
možnou hodnotu dopravovaných jednotek. Protože tedy x11 je maximální
možné, vyčerpá se tím kapacita výroby prvního výrobce (nebo poptávka
prvního spotřebitele), takže ve zbylých polích prvního řádku (resp. prvního
sloupce) umístíme pomlčky naznačující, že se zde žádné jednotky dopravovat
nebudou.
2) Pokračujeme přiřazením maximální možné hodnoty do pole x21 při vyčerpání
řádku 1 v kroku 1 (resp. do pole x12 při vyčerpání prvního sloupce v kroku
1). Zkrátka a dobře – další vyplňované pole je vždy směrem na východ nebo
na jih podle toho, zda byl v předchozím kroku vyčerpán sloupec nebo řádek.
3) Krok 2 opakujeme tak dlouho, dokud se nedostaneme do pravého dolního (= jihovýchodního)
pole tabulky. U vyvážené úlohy tím docílíme toho, že rozdělení
jednotek dopravy bude splňovat požadavky na kapacity ve všech řádcích
i sloupcích.
Příklad 9.4 Tuto i další metody objasníme na následující tabulkové formulaci
dopravní úlohy:
S1 S2 S3 S4
V1
10 0 20 11
15
V2
12 7 9 20
25
V3
0 14 16 18
5
5 15 15 10
Řešení. Pro počáteční rozdělení úlohy se třemi výrobci a čtyřmi spotřebiteli
užijeme metodu severozápadního rohu: x11 = 5, což je poptávka v celém prvním
sloupci, čili do polí s indexy (2, 1) a (3, 1) umístíme pomlčku a posuneme se
směrem na východ, do pole (1, 2). Kapacita ve 2. sloupci je 15, ovšem hodnotu 15
do pole (1, 2) přiřadit nemůžeme, protože by se překročil součet 15 (= kapacita 1.
výrobce) v 1. řádku: x12 = 10, a tím se vyčerpala kapacita výrobce V1, protože
x11 + x12 = 5 + 10 = 15. Čili do polí (1,3) a (1,4) můžeme umístit pomlčku. A
posuneme se směrem na jih – do pole (2,2), atd. až dostaneme výsledné vstupní
rozdělení získané metodou SZR, uvedené v následující tabulce:
132 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
c
c
E
E E
S1 S2 S3 S4
V1
10
5
0
10
20
−
11
− 15
V2
12
−
7
5
9
15
20
5 25
V3
0
−
14
−
16
−
18
5 5
5 15 15 10
Celková cena dopravy při tomto rozdělení je
5 · 10 + 10 · 0 + 5 · 7 + 15 · 9 + 5 · 20 + 5 · 18 = 410 peněžních jednotek.
Všimněme si důležité skutečnosti, že při m řádcích a n sloupcích dopravní tabulky
má přiřazení dopravy tu vlastnost, že pomlčka není umístěna v (m + n − 1) polích.
Tento fakt musí platit pro počáteční rozdělení, i pro každý optimalizační krok. Při
metodě SZR je platnost tohoto faktu ohrožena v situaci, kdy při jistém opakování
kroku 2 proměnná xij vyčerpá kapacitu v řádku i i sloupci j současně – v takové
situaci nemůžeme umístit pomlčky do zbylých polí v řádku i i sloupci j, protože nepomlčkových
polí by bylo málo (méně než m+n−1). Proto např. umístíme pomlčky
jen do řádku i. Dále přiřadíme xi+1,j = 0, a do zbylých polí sloupce j už můžeme
umístit pomlčku. Chtěl bych upozornit na to, že je velký rozdíl v tom, zda je v určitém
poli hodnota 0, nebo pomlčka. Tento rozdíl bude patrný v optimalizačním
kroku, ale už nyní můžeme prozradit, že pomlčkové pole označuje nebázickou proměnnou,
pole s hodnotou 0 označuje bázickou proměnnou s hodnotou 0 (čili jedná se
o tzv. degenerované řešení, co se týká analogie mezi tímto algoritmem a simplexovou
metodou). A protože při optimalizačním kroku musíme vědět, které proměnné jsou
bázické a které ne, je třeba dobře rozlišovat mezi nulou a pomlčkou.
Příklad 9.5 Příklad degenerovaného počátečního rozdělení v dopravní úloze při
metodě SZR:
c
c
E E
S1 S2 S3
V1
0
5
2
−
1
− 5
V2
2
0
1
5
5
5 10
V3
2
−
4
−
3
5 5
5 5 10
Nepomlčková pole označují hodnoty bázických proměnných.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 133
b) Indexová metoda (IM)
Tato metoda začíná přiřazením maximální možné hodnoty proměnné s ohledem na
kapacity v poli s minimální cenou cij jednotkové dopravy (čísla v polích vpravo
nahoře). Pak umístíme pomlčky v polích vyčerpaného řádku (nebo sloupce) a
pokračujeme s přiřazováním v poli s cenou minimální ze všech polí zbývajících.
Problém degenerace, kdy vyplnění proměnné xij vyčerpá řádek i sloupec současně,
musíme opět řešit citlivě – umístíme pomlčky jen ve zbývajících polích řádku i a
do některého dalšího pole ve sloupci j přiřadíme 0. Teprve pak sloupec j doplníme
pomlčkami.
Ad Příklad 9.4. Připomeňme si tabulkovou formulaci dopravní úlohy
S1 S2 S3 S4
V1
10 0 20 11
15
V2
12 7 9 20
25
V3
0 14 16 18
5
5 15 15 10
Minimální jednotkové ceny jsou c12 = 0 = c31. Volíme např. pole (1,2) a přiřadíme
maximální možný počet jednotek s ohledem na kapacity v řádku i sloupci:
x12 = 15. Tím se vyčerpá řádek i sloupec, tj. bude se jednat o degenerované
řešení. Do prvního řádku ve zbylých polích umístíme pomlčky, ve druhém sloupci
musíme vyplnit jednu nulu, např. x22 = 0, abychom zaručili dostatečný počet
bázických (= nepomlčkových) polí, a do zbylého pole (3,2) můžeme umístit pomlčku.
S1 S2 S3 S4
V1
10
−
0
15
20
−
11
− 15
V2
12 7
0
9 20
25
V3
0 14
−
16 18
5
5 15 15 10
Další minimální zatím nevyplněné pole je určeno cenou c31 = 0. Vyplníme
maximálně, tj. x31 = 5, což opět vyčerpá kapacitu současně třetího řádku i prvního
sloupce, tj. třetí řádek doplníme pomlčkami a v prvním sloupci musíme přidat
jednu nulu: x21 = 0.
134 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
S1 S2 S3 S4
V1
10
−
0
15
20
−
11
− 15
V2
12
0
7
0
9 20
25
V3
0
5
14
−
16
−
18
− 5
5 15 15 10
Zbývá dokončit vyplnění posledního řádku, kde jsou hodnoty proměnných
jednoznačně určeny (protože se jedná o vyváženou úlohu): x23 = 15, x24 = 10.
Výsledné počáteční rozdělení dopravy má tedy tvar:
S1 S2 S3 S4
V1
10
−
0
15
20
−
11
− 15
V2
12
0
7
0
9
15
20
10 25
V3
0
5
14
−
16
−
18
− 5
5 15 15 10
Celková cena dopravy v tomto případě je
10 · 20 + 15 · 9 = 335 finančních jednotek.
Je pochopitelné, že počáteční rozdělení dopravy provedené indexovou metodou bude
mít zpravidla vždy nižší celkovou cenu dopravy, protože metoda SZR vůbec nebrala
ohled na ceny cij. A následující metoda by obecně měla být ještě lepší než indexová.
c) Vogelova aproximační metoda (VAM)
Tato metoda nejenže začíná vyplňovat pole s minimální cenou, ale navíc přidává
kritérium, že ze všech polí s malými cenami začne tím polem, které splňuje navíc
tzv. penalizační podmínku (a je jistým způsobem nejvhodnější ze vhodných).
Postup:
1) Vypočteme pro každý řádek i sloupec tzv. penalizaci, která je rovna rozdílu
„(druhá nejmenší cena) minus (nejmenší cena) .
2) Zvolíme řádek nebo sloupec s největší penalizací, vybereme zde pole s minimální
cenou cij a vyplníme maximální možnou hodnotu xij. Dále doplníme
pomlčky do vyčerpaného řádku nebo sloupce. Pokud vyplnění xij vyčerpá kapacitu
řádku i sloupce současně, musíme vyplnit zbylá pole pomlčkami jen
například v daném řádku, ve sloupci musíme umístit do jednoho pole 0 a až
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 135
do zbylých pomlčky; zkrátka a dobře, pokud vyplnění jisté proměnné vyčerpá
řádek i sloupec současně a hodnoty některých polí v tabulce v příslušném řádku
nebo sloupci ještě nejsou vyplněny, vždy se musí do některého pole v tom řádku
nebo v tom sloupci doplnit jedna 0.
3) Kroky 1 a 2 opakujeme tak dlouho, až v tabulce zbude pouze jeden řádek nebo
sloupec, kterého vyplnění je jednoznačně dáno. Přitom při výpočtu penalizací
už nebereme v úvahu ceny v polích, kde už je vyplněna hodnota nebo pomlčka.
Ad Příklad 9.4. Penalizace určíme jako rozdíl dvou nejnižších cen v daném řádku
nebo sloupci:
S1 S2 S3 S4
V1
10
−
0 20 11
10
V2
12
0
7 9 20
2
V3
0
5
14
−
16
−
18
− 14
10 7 7 7
Maximální penalizace 14 určuje třetí řádek, ve kterém vyplníme co největší hodnotu
s ohledem na kapacity (ty zde teď nejsou napsány, ale jsou uvedeny na předchozí
straně): x31 = 5, což vyčerpá kapacitu řádku i sloupce současně, čili např. přiřadíme
x21 = 0 a zbylá pole v 1.sloupci a 3.řádku vyplníme pomlčkami.
Pokračujeme dalším krokem, čili znovu přepočteme penalizace řádků a sloupců,
přičemž ve třetím řádku a prvním sloupci to už nemá smysl, a ani pro ostatní
řádky a sloupce ceny z těchto vyplněných polí už nebudeme uvažovat:
S1 S2 S3 S4
V1
10
−
0 20
−
11
11
V2
12
0
7 9
15
20
2
V3
0
5
14
−
16
−
18
−
7 11 9
Dvě z penalizací jsou rovny 11, zvolme jednu z nich, například tu která určuje třetí
sloupec. Ve třetím sloupci vybereme minimální c23 = 9 a přiřadíme maximálně:
x23 = 15. Tím se vyčerpá kapacita sloupce, do posledního pole ve 3.sloupci, které
zbývá vyplnit, píšeme pomlčku.
V další fázi jsou už penalizace celkem jednoznačné (vždy rozdíly dvou cen
nevyplněných polí v daném řádku či sloupci):
136 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
S1 S2 S3 S4
V1
10
−
0 20
−
11
11
V2
12
0
7
10
9
15
20
− 13
V3
0
5
14
−
16
−
18
−
7 9
Maximální penalizaci určuje druhý řádek, vybereme v něm dosud nevyplněné pole
s minimální cij: x22 = 10, tím je vyčerpána kapacita druhého řádku.
Nyní zbývá k vyplnění už jen poslední řádek, kterým je pozičně první řádek –
doplníme vzhledem k požadavkům kapacit jednoznačně určené hodnoty x12 = 5,
x14 = 10.
S1 S2 S3 S4
V1
10
−
0
5
20
−
11
10
V2
12
0
7
10
9
15
20
−
V3
0
5
14
−
16
−
18
−
Celková cena dopravy je
5 · 0 + 10 · 11 + 0 · 12 + 10 · 7 + 15 · 9 + 5 · 0 = 315 finančních jednotek,
což je ještě lepší výsledek než počáteční rozdělení získané metodou indexovou.
Počáteční rozdělení nalezené pomocí VAM je už dost dobré, ale stále to nemusí být
řešení nejlepší. Takové algoritmy, které sice nenaleznou optimální, ale jakési dost
dobré řešení, nazýváme heuristikami.
Ukázali jsme si tedy tři metody, které naleznou počáteční rozdělení dopravy v dopravní
úloze. Čtenář tohoto textu by si možná mohl položit otázku, zda je nutné tolik metod
a zda nestačí hodnoty do tabulky pro začátek jakýmkoliv způsobem, který vyhovuje
kapacitním požadavkům řádků a sloupců. Odpovím na tuto otázku, i když si ji čtenář
zrovna nepokládá:
Ne každé rozdělení dopravy je povoleným počátečním rozdělením – zakázána jsou
rozdělení, která obsahují tzv. uzavřený okruh, což je pravoúhelník s hranami vodorovnými
či svislými a s vrcholy v nepomlčkových polích.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 137
Ad Příklad 9.4. Např. rozdělení
− 5 10 −
− 10 5 10
5 − − −
uzavřeným okruhem
je zde čtverec (1,2)–
(1,3)–(2,3)–(2,2)
nebo rozdělení
0 − 15 −
− 15 − 10
5 − 0 −
uzavřeným okruhem
je zde čtverec (1,1)–
(1,3)–(3,3)–(3,1)
není povoleným počátečním rozdělením. Tedy počáteční rozdělení dopravy lze provést
i jiným způsobem než uvedenými metodami, ale takovému vyplnění nepomlčkových
polí, které vytváří vrcholy uzavřeného okruhu, se musíme vyvarovat (na vrcholy
uzavřeného okruhu nemusí být využita všechna nepomlčková pole). Metody a), b), c)
jsou konstruovány tak, aby při jejich použití uzavřený okruh pomocí nepomlčkových polí
nevznikl.
B. Optimalizační krok
Tento krok vysvětlíme na příkladě 9.4 – vezmeme počáteční rozdělení dopravy získané
metodou SZR a budeme je dále zlepšovat. Protože se jedná o úlohu lineárního programování,
optimalizační krok sestává ze tří částí:
a) určení vstupní proměnné (= vstupního pole) ze všech nebázických (= pomlčkových
polí)
b) určení výstupní proměnné (= výstupního pole, které se stane v dalším optimalizačním
kroku pomlčkovým)
c) provedení optimalizačního kroku (= přepočítání nového bázického řešení)
Optimalizační krok č.1:
a) určení vstupní proměnné: Nejprve pro dané rozdělení dopravy přiřadíme každému
řádku i každému sloupci tzv. multiplikátory ui, vj, které jsou řešením systému rovnic
ui + vj = cij
138 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
pro nepomlčková pole:
v1 = v2 = v3 = v4 =
u1 = 0
10
5
0
10
20
−
11
−
u2 =
12
−
7
5
9
15
20
5
u3 =
0
−
14
−
16
−
18
5
Důležité upozornění:
1) pravé strany rovnic jsou tvořeny cenami cij v pravém horním rohu, nikoli počtem
jednotek uprostřed pole
2) neznámých je o jednu více než rovnic. Protože nám stačí najít jedno z těch
nekonečně mnoha řešení, jednu neznámou můžeme zvolit. Zpravidla volíme
u1 = 0.
Nyní pro pole (1, 1) platí u1 + v1 = 10 ⇒ v1 = 10 (protože u1 = 0).
Pokračujeme dalším nepomlčkovým polem (1, 2): u1 + v2 = 0 ⇒ v2 = 0.
Dále pole (2, 2): u2 + v2 = 7 ⇒ u2 = 7 (protože v2 = 0).
Dále (2, 3): u2 + v3 = 9 ⇒ v3 = 2 (protože u2 = 7).
Pole (2, 4): u2 + v4 = 20 ⇒ v4 = 14.
A konečně pole (3, 4): u3 + v4 = 18 ⇒ u3 = 4.
A tím jsou všechna nepomlčková pole vyčerpána. Z popsaného řešení je vidět, že rovnice
řešíme v takovém pořadí, že při řešení dané rovnice už hodnotu jedné neznámé
známe – pak druhou neznámou můžeme lehce dopočítat. Tohle jsme prováděli pouze
pro pole, ve kterých se nevyskytuje pomlčka!
Nyní po určení multiplikátorů pokročíme k pomlčkovým polím a určíme pro ně
jakési přepočtené ceny cpq ze vztahu
cpq = up + vq − cpq (pouze pro pomlčková pole!).
Pomocné ceny cpq v pomlčkových polích budeme psát například vlevo dole (výpočet
je přirozený: ui v příslušném řádku plus vj v příslušném sloupci minus cena cij),
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 139
tedy c13 = u1 + v3 − c13 = 0 + 2 − 20 = −18, atd.
v1 = 10 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 14
u1 = 0
10
5
0
10
20
−
-18
11
−
3
u2 = 7
12
−
5
7
5
9
15
20
5
u3 = 4
0
−
14
14
−
-10
16
−
0
18
5
A nyní tedy konečně určení vstupního pole: za vstupní proměnnou vezmeme tu
na pozici s maximální kladnou cenou cpq (podobně jako při minimalizaci v jakékoli
jiné úloze LP). Pokud jsou všechny cpq ≤ 0, dané rozdělení dopravy je optimální.
V našem případě max cpq = 14 na pozici (3, 1) . . . máme určeno vstupní pole.
b) určení výstupního pole: Uvažujme teď bázická (=nepomlčková) pole společně
s dodávaným polem (3, 1). Bázická pole jsou maximální množinou polí, která
nevytváří (neobsahují) uzavřený okruh. Dodáním vstupního pole do této množiny
se v této množině uzavřený okruh už vytvoří – a sice vždy právě jeden!
V našem případě dodáním pozice (3, 1) do množiny {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 4)} vznikne uzavřený okruh (3, 1) − (1, 1) − (1, 2) − (2, 2) − (2, 4) − (3, 4) (pozici
(2, 3) neuvažujeme, protože pole (2, 3) není vrcholem daného okruhu).
5 j− 10 j+
5 j− 5 j+
j+ 5 j−
Vstupní pole nyní vždy označíme znakem +j, sousední vrcholy vstupního pole
označme −j, sousední pole polí −joznačme +j. Zkrátka a dobře, při postupném
procházení vrcholů uzavřeného okruhu se střídají znaménka. Jaký význam udávají
znaménka +, −? Přičteme-li do polí označených +jurčitý počet jednotek dopravy
a odečteme-li z polí −jtutéž hodnotu, příslušné kapacity výrobců a spotřebitelů
ve všech řádcích i sloupcích zůstanou v platnosti (protože v každém řádku nebo
sloupci je vždy jedno pole +ja jedno pole −).j
Nyní tedy určení výstupního pole: za výstupní pole vybereme to z polí −j, které
obsahuje minimální počet jednotek dopravy. Pokud je těchto minimálních hodnot
více (jako v našem příkladu, kdy všechna pole −jobsahují stejnou minimální hodnotu
5), vybereme jedno z nich. Zvolme tedy za výstupní např. pole (3,4).
c) provedení optimalizačního kroku: Byla-li záměna bázické proměnné v případě obecné
úlohy LP početně nejsložitější, u dopravní úlohy se pro změnu jedná o nejjednodušší
část optimalizačního kroku: do polí +jpřičteme hodnotu z výstupního
140 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
pole, z polí −jji odečteme. Ostatní pole zůstanou nezměněna. Přitom ve výstupním
poli se objeví pomlčka.
Pokud by se stalo (jako je tomu v našem příkladě), že výstupní pole nebylo určeno
jednoznačně, i tak napíšeme pomlčku pouze na pozici (3, 4), do pozic (1, 1) a (2, 2)
musíme napsat 0. Zkrátka a dobře, nepomlčkových (=bázických) polí musí být vždy
m + n − 1 (tedy v našem případě 6). Už víme, proč to je důležité: nepomlčková
hodnota jednotek dopravy (tedy i 0) označuje pole sloužící k určení multiplikátorů
ui, vj, kdežto pomlčka označuje pole sloužící k výpočtu pomocné ceny cpq.
Dostáváme tedy rozdělení dopravy
10
0
0
15
20
−
11
−
12
−
7
0
9
15
20
10
0
5
14
−
16
−
18
−
Optimalizační krok č.2:
a) určení vstupního pole: Musíme znovu přepočítat multiplikátory ui, vj, protože
některé z nich budou jiné díky změně nepomlčkových pozic. Volíme u1 = 0 a další
neznámé dopisujeme do tabulky ve vhodném pořadí pomocí nepomlčkových polí:
v1 = 10 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 13
u1 = 0
10
0
0
15
20
−
-18
11
−
2
u2 = 7
12
−
5
7
0
9
15
20
10
u3 = −10
0
5
14
−
-24
16
−
-24
18
−
-15
Nyní do téže tabulky (v rámci urychlení času) vpisujeme do pomlčkových polí pomocné
ceny cpq (vlevo dole). Protože max cpq = 5 ⇒ vstupní pole je (2, 1).
b) určení výstupního pole: Uzavřený okruh vzniklý po dodání vstupního pole k bázickým
je
0 j− 15 j+
0 j−j+
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 141
Obě pole −jobsahují stejnou minimální hodnotu min xij
pole -h
= 0 ⇒ výstupní pole opět
není určeno jednoznačně, volíme např. (1, 1).
c) provedení optimalizačního kroku: Jedinou změnou v tomto kroku je, že pomlčka
a nula v polích (1, 1) a (2, 1) se vyměnily – ale to, jak víme, je změna podstatná.
10
−
0
15
20
−
11
−
12
0
7
0
9
15
20
10
0
5
14
−
16
−
18
−
Optimalizační krok č.3:
a) určení vstupního pole: Pomocí nepomlčkových polí určíme ui, vj. Pak v pomlčkových
polích určíme pomocné ceny cpq (vlevo dole).
v1 = 5 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 13
u1 = 0
10
−
-5
0
15
20
−
-18
11
−
2
u2 = 7
12
0
7
0
9
15
20
10
u3 = −5
0
5
14
−
-19
16
−
-19
18
−
-10
max cpq = 2 ⇒ vstupní pole je (1, 4).
b) určení výstupního pole: Vzniklý uzavřený okruh je
15 j− j+
10 j−0 j+
tedy min xij
pole -h
= 10 ⇒ (2, 4) je výstupní pole.
142 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
c) provedení optimalizačního kroku: Hodnotu 10 odečteme z polí −ja přičteme do
polí +j:
10
−
0
5
20
−
11
10
12
0
7
10
9
15
20
−
0
5
14
−
16
−
18
−
Optimalizační krok č.4:
Pro vzniklé rozdělení dopravy vypočteme ui, vj a ceny cpq :
v1 = 5 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 11
u1 = 0
10
−
-5
0
5
20
−
-18
11
10
u2 = 7
12
0
7
10
9
15
20
−
-2
u3 = −5
0
5
14
−
-19
16
−
-19
18
−
-12
Protože všechny cpq < 0, dané rozdělení dopravy je optimální.
Co k tomu dodat? Snad jakési vysvětlení celého algoritmu: ui, vj jsou vlastně duální
proměnné k dopravní úloze, ui + vj ≤ cij jsou duální omezení, ve kterých pro bázické
proměnné musí nastat rovnost (ui + vj = cij). A cpq jsou koeficienty účelové funkce
nebázických proměnných v k-tém kroku (proto cpq = up + vq − cpq).
9.2 Přiřazovací úloha
Do logického sledu výkladu patří následující úloha, kteráž slove přiřazovací:
Jak přiřadit m úkolů (dělníků, pracovníků) k n strojům, aby celková cena nákladů byla
minimální (resp. celkový užitek byl maximální)?
Tato úloha je úlohou LP, protože ji lze formulovat následovně:
Nalezněte minimum funkce z =
n
i=1
n
j=1
cijxij, kde cij je cena přiřazení úlohy i ke stroji j
za omezení
i
xij = 1
j
xij = 1



pro i, j = 1, 2, . . . , n,
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 143
přičemž xij může nabývat hodnoty 0 (i-tý úkol není přiřazen j-tému stroji) nebo 1 (i-tý
úkol je přiřazen j-tému stroji).
Je to vlastně úloha binárního programování. Ba co víc, jedná se i o dopravní problém,
kde výrobce představují úkoly a spotřebitele představují stroje:
úkoly
stroje
1 2 . . . n
1 c11 c12 . . . c1n 1
2 c21 c22 . . . c2n 1
...
...
...
m cm1 cm2 . . . cmn 1
1 1 . . . 1
Kapacity úkolů a požadavky strojů jsou rovny 1. Dopravní úlohu lze řešit po vyvážení
(zaručení toho, že platí m = n).
Příklad 9.6 Následující přiřazení pro m = n = 3 bylo získáno metodou SZR:
úkoly
stroje
1 2 3
1
5
1
7
0
9
− 1
2
14
−
10
1
12
0 1
3
15
−
13
−
16
1 1
1 1 1
(řešení přiřazení je degenerované v každém optimalizačním kroku).
Zvláštní struktura přiřazovacího modelu ovšem dovoluje vyvinout rychlejší metodu, než
je algoritmus dopravní úlohy. Využijeme následujícího faktu:
Pokud k řádku nebo sloupci matice (cij) je přičtena konstanta, bod optima se nemění,
jen se o konstantu změní hodnota účelové funkce.
[Důkaz: pokud od i-tého řádku odečteme konstantu pi
j-tého sloupce odečteme konstantu qj,
144 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
dostaneme nový cenový koeficient cij = cij − pi − qj, a pak
z =
n
i=1
n
j=1
cijxij
=
n
i=1
n
j=1
(cij − pi − qj)xij
= z −
n
i=1
pi
n
j=1
xij
1
−
n
j=1
qj
n
i=1
xij
1
= z − konst.]
Vytvoříme tedy algoritmus pro případ minimalizace nákladů přiřazení. Hlavní myšlenkou
algoritmu je:
Pokud můžeme v matici (cij) vyrobit tolik nul, že z nich lze vybrat bázi, je tato báze
optimální bod, protože cena z je nulová (a záporná být nemůže).
Ad Příklad 9.6. Připomeňme si tabulkovou formulaci úlohy
5 7 9
14 10 12
15 13 16
Od každého řádku odečteme minimální cenu: p1 = 5
p2 = 10
p3 = 13.
Získáme matici:
0 2 4
4 0 2
2 0 3
Odečteme ještě od každého sloupce minimální cenu v tomto sloupci: q1 = 0
q2 = 0
q3 = 2.
Vznikla matice (cij):
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 145
0
1
2 2
4 0 0
1
2 0
1
1
Ze čtyř polí oceněných nulou nyní lze vybrat bázické pozice – je to možné jediným
způsobem. Tento úkol je analogický úkolu najít na šachovnici 3 × 3 z jistých pozic
takovou kombinaci rozestavění věží tak, aby jedna druhou navzájem neohrožovaly.
Tedy x11 = x23 = x32 = 1, ostatní xij = 0. Všimněme si také, že z = p1 +p2 +p3 +q3 = 30.
Někdy ovšem pouhé odečítání konstanty od řádku nebo sloupce k nalezení optima
nevede a je nutno provést optimalizační krok. To vysvětlíme následujícím příkladem.
Příklad 9.7 Úloha je dána následující tabulkou:
úkoly
stroje
1 2 3 4
1
1 4 6 3
p1 = 1
2
9 7 10 9
p2 = 7
3
4 5 11 7
p3 = 4
4
8 7 8 5
p4 = 5
Po odečtení konstant od řádků dostáváme tabulku:
0 3 5 2
2 0 3 2
0 1 7 3
3 2 3 0
q3 = 3
146 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Po odečtení konstant i od sloupců nastává situace, kdy nelze z polí ohodnocených nulou
vybrat bázi:
0 3m 2m 2m
2 0 0 2
0 1m
•
4m 3m
3 2 0 0
Musíme provést optimalizační krok: Co nejmenším počtem vodorovných a svislých
přímek vyškrtáme všechna pole ohodnocená nulou. Pak ze všech nepřeškrtnutých polí
vybereme nejmenší cenu, kterou odečteme ode všech nepřeškrtnutých polí a přičteme
k ceně v průsečících „škrtacích přímek.
V našem případě je minimální cena v nepřeškrtnutých polích rovna 1; provedením
změn optimalizačního kroku získáváme cenové ohodnocení, ve kterém už lze nalézt
optimum x11 = x23 = x32 = x44 = 1. V opačném případě bychom museli pokračovat
dalším optimalizačním krokem.
0
1
2 1 1
3 0 0
1
2
0 0
1
3 2
4 2 0 0
1
Pokud by cenové ohodnocení v přiřazovací úloze vyjadřovalo zisk nebo obrat a naším
úkolem by bylo najít maximum přiřazení, odečtením všech cen od maximální ceny v tabulce
bychom získali jakési ohodnocení popsané cenovými zbytky (rozdíly) nij, na které
pak už lze nasadit právě popsaný algoritmus minimalizace. Převod původních cen na cenové
zbytky:
nij = max
i,j
{cij} − cij.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 147
9.3 Problém překladu materiálu
Jedná se o modifikaci dopravní úlohy, kdy se některým výrobkům v modelu povoluje
procházet jiné zdroje a spotřebitele, než dorazí k tomu svému – každý uzel sítě může být
současně zdrojem i spotřebitelem.
Ad Příklad 9.1.a) Uvažujme zadání z příkladu 9.1.a); doplňme ještě požadavek,
že každý zdroj i spotřebitel může být navíc ještě dopravním uzlem, tj. dostáváme
překladový model pro 5 zdrojů a 5 spotřebitelů. Příslušná síťová formulace, kde
B =
m
i=1
ai =
n
j=1
bj = 3700 označuje povolené množství překládaného materiálu, je tvaru:




















→
→
→
−→
−→
→
→
→
→
→
E
E
E
E
E
$$$$$$$$$$$$$$X$$$$$$$$$$$$$$X$$$$$$$$$$$$$$X$$$$$$$$$$$$$$X
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B
¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨¨B
¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨B
r
rrr
rrrr
rrr
rrrj
rrr
rrr
rrr
rrr
rrj
r
rrr
rrrr
rrr
rrrj
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&&b
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&&b












~












~
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d‚
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
L.A. +1 000
Detroit +1 500
N.O. +1 200
Denver
Miami . . . B
. . . B
. . . B
. . . B
. . . B
B...........
B...........
B...........
B
B
L.A.
Detroit
N.O.
+2 300 ... Denver
+1 400 ... Miami
Některé jednotkové ceny jsou stejné jako v původní úloze; jednotková cena dopravy
z místa do sebe sama je rovna nule. Cena z X do Y může být jiná než cena dopravy z Y
do X (v opačném směru je použit jiný druh dopravy).
Pro B = 3 700 je optimální řešení úlohy v tabulce:
L.A. Detroit N.O. Denver Miami
L.A.
0
3 700
130
−
90
−
80
1 000
215
− 4 700
Detroit
135
−
0
3 700
101
200
100
1 300
108
− 5 200
N.O.
95
−
105
−
0
3 500
102 68
1 400 4 900
Denver
79
−
99
−
110
−
0
3 700
205
3 700
Miami
200
−
107
−
72
−
205
−
0
3 700 3 700
3 700 3 700 3 700 6 000 5 100
148 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Toto řešení lze mimo hodnoty na hlavní diagonále znázornit i síťově:










→
→
→
→
→
$$$$$$$$$$$$$$X
$$$$$$$$$$$$$$X
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
c
1
2
3
4
5
Los Angeles 1 000
Detroit 1 500
New Orleans 1 200
2 300 Denver
1 400 Miami
1 000
1 300
1 400
200. . . překladová operace
Rozšiřme nyní příklad 9.1.a) o fakt, že spotřebitelé 4m
, 5m
ještě zboží rozváží pěti dealerům,
tj. uzly 4m
a 5m
jsou jediné překladové uzly:




















→
→
→
→
→
→
→
→
$$$$$$$$$$$$$$X
$$$$$$$$$$$$$$X
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&&b
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz












~
c
T
$$$$$$$$$$$$$$X
$$$$$$$$$$$$$$X
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
E
E
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&&b
r
rrr
rrr
rrr
rrrrj












~ 10
9
8
7
61
2
3
4
5
1 000
1 500
1 200 650
1 000
750
500
800
závody distribuční střediska dealeři
Není dovolena doprava ze závodů přímo k dealerům – vše se musí přepravit přes uzly
4m
a 5m
(B = 3 700 je přidáno pouze zdrojům a spotřebitelům 4m
a 5m
).
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 149
Tabulková reprezentace dané úlohy:
4 5 6 7 8 9 10
1
M M M M M
1 000
2
M M M M M
1 500
3
M M M M M
1 200
4 3 700
5 3 700
3 700 3 700 800 500 750 1 000 650
Dostatečně velká konstanta M v příslušné tabulkové reprezentaci síťové úlohy zaručuje, že
daná souřadnice nebude vybrána pro optimální rozdělení dopravy. Poněvadž je povolen
překlad pouze v uzlech 4m
a 5m
, cesty zpět z uzlů 4m
, 5m
do 1m
, 2m
, 3m
v tabulce
neuvažujeme. Pokud bychom povolili překlad v bodech 1m
až 5m
, příslušná tabulková
reprezentace už tyto cesty zpět musí zapracovat:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
M M M M M
4 700
2
M M M M M
5 200
3
M M M M M
4 900
4 3 700
5 3 700
3 700 3 700 3 700 3 700 3 700 800 500 750 1 000 650
9.4 Shrnutí
Úvodem kapitoly jsme formulovali zadání dopravní úlohy: rozhodněte o způsobu rozvozu
jednoho typu výrobku (nebo suroviny) z m závodů do n spotřebitelských skladů tak, aby
se minimalizovala celková cena dopravy, je-li dáno
150 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
cij . . . jednotková cena dopravy ze zdroje i na místo určení j,
ai . . . množství zásob se zdroji i, i = 1, 2, . . . , m,
bj . . . požadavek spotřebitele j, j = 1, 2, . . . , n.
Výstupem úlohy jsou optimální hodnoty proměnných xij (= množství jednotek dopravovaných
ze zdroje i ke spotřebiteli j) a celková cena dopravy
m
i=1
n
j=1
cijxij.
Model dopravní úlohy lze řešit až po eventuálním převedení na tzv. vyvážený tvar, kdy
m
i=1
ai =
n
j=1
bj, tj. nabídka = poptávka. Tohoto tvaru lze dosáhnout zavedením fiktivního
výrobce nebo fiktivního spotřebitele. Cenu dopravy u fiktivních členů našeho systému položíme
rovnu nule, případně volíme dostatečně velké kladné číslo (záleží na požadavcích
úlohy).
Dále jsme se zabývali již samotným řešením dopravního problému, které lze rozdělit do
následujících fází:
A. Počáteční krok: V počátečním kroku nalezneme nějaké přípustné rozdělení dopravy,
které nemusí být nutně optimálním. Ukázali jsme si 3 metody pro nalezení počátečního
rozdělení
a) Metoda severozápadního rohu (SZR)
Metoda přiděluje maximální možnou hodnotu dopravovaných jednotek do jednotlivých
polí tak, že začne na pozici (1, 1) (severozápadní roh tabulky) a pokračuje
jihovýchodním směrem. Do ostatních polí, kde je již hodnota přepravovaných
jednotek vyčerpána, přiřadíme pomlčku.
b) Indexová metoda (IM)
Tato metoda začíná přiřazením maximální možné hodnoty proměnné s ohledem
na kapacity v poli s minimální cenou cij jednotkové dopravy (čísla v polích
vpravo nahoře). Pak umístíme pomlčky v polích vyčerpaného řádku (nebo
sloupce) a pokračujeme s přiřazováním v poli s cenou minimální ze všech polí
zbývajících.
c) Vogelova aproximační metoda (VAM)
Tato metoda nejenže začíná vyplňovat pole s minimální cenou, ale navíc
přidává kritérium, že ze všech polí s malými cenami začne tím polem, které
splňuje navíc tzv. penalizační podmínku.
B. Optimalizační krok Protože se jedná o úlohu lineárního programování, optimalizační
krok sestává ze tří částí:
a) určení vstupní proměnné (= vstupního pole) ze všech nebázických (= pomlčkových
polí)
b) určení výstupní proměnné (= výstupního pole, které se stane v dalším optimalizačním
kroku pomlčkovým)
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 151
c) provedení optimalizačního kroku (= přepočítání nového bázického řešení)
Modifikací dopravního problému je tzv. přiřazovací úloha, jejíž formulace zní:
Jak přiřadit m úkolů (dělníků, pracovníků) k n strojům, aby celková cena nákladů byla
minimální (resp. celkový užitek byl maximální)?
Tato úloha je úlohou LP, protože ji lze formulovat následovně:
Nalezněte minimum funkce z =
n
i=1
n
j=1
cijxij, kde cij je cena přiřazení úlohy i ke stroji j
za omezení
i
xij = 1
j
xij = 1



pro i, j = 1, 2, . . . , n,
přičemž xij může nabývat hodnoty 0 (i-tý úkol není přiřazen j-tému stroji) nebo 1 (i-tý
úkol je přiřazen j-tému stroji).
Řešení tohoto problému je velmi podobné řešení dopravní úlohy a je demonstrováno
na příkladě. Využívá se zde toho, že proměnná xij je binární.
Další modifikací dopravní úlohy je tzv. problém překladu materiálu, kdy se některým
výrobkům v modelu povoluje procházet jiné zdroje a spotřebitele, než dorazí k tomu
svému – každý uzel sítě může být současně zdrojem i spotřebitelem. Při řešení je třeba
uvědomit si správnou tabulkovou reprezentaci zadané úlohy. Algoritmus je pak stejný
jako u dopravního problému.
9.5 Otázky k opakování
U následujících výroků rozhodněte, zda se jedná o výrok pravdivý či nepravdivý.
Otázka 9.1 Při řešení dopravního problému musíme úlohu upravit tak, aby byl stejný
počet „zdrojů i „spotřebitelů , tj. m = n.
Otázka 9.2 Při řešení dopravního problému můžeme přidávat fiktivní „zdroje nebo fiktivní
„spotřebitele .
Otázka 9.3 Při použití některé z metod SZR, IM nebo VAM nalezneme vždy přípustné
řešení.
Otázka 9.4 Metoda SZR může skončit v jakémkoliv rohu dopravní tabulky.
Otázka 9.5 Metoda IM je zpravidla lepší než SZR, protože bere také ohled na ceny cij.
Otázka 9.6 Při použití metody VAM nemůže nastat problém degenerovaného řešení.
Otázka 9.7 Při použití metody SZR může vzniknout řešení, které obsahuje uzavřený
okruh pomocí nepomlčkových polí.
152 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Otázka 9.8 Bázická pole mohou tvořit uzavřený okruh.
Otázka 9.9 Bázických polí musí být vždy m + n.
Otázka 9.10 Při řešení přiřazovacího problému musíme úlohu upravit tak, aby byl stejný
počet „úkolů i „strojů , tj. m = n.
Otázka 9.11 Dopravním algoritmem lze řešit pouze úlohy, které přímo souvisí s dopravní
tematikou.
Odpovědi na otázky viz 13.4.
9.6 Příklady ke cvičení
Příklad 9.1 Najděte počáteční řešení v následující dopravní úloze
a) metodou SZR
b) indexovou metodou
c) metodou VAM.
Užitím nejlepšího počátečního řešení vypočtěte optimální řešení.
S1 S2 S3 S4
V1
10 20 5 7
10
V2
13 9 12 8
20
V3
4 15 7 9
30
V4
14 7 1 0
40
V5
3 12 5 19
50
60 60 20 10
Příklad 9.2 Najděte počáteční řešení v následující dopravní úloze
a) metodou SZR
b) indexovou metodou
c) metodou VAM.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 153
Užitím nejlepšího počátečního řešení vypočtěte optimální řešení.
S1 S2 S3 S4
V1
23 27 16 18
30
V2
12 17 20 51
40
V3
22 28 12 32
53
22 35 25 41
Příklad 9.3 Uvažujme dopravní úlohu pro případ tří výrobců a tří spotřebitelů:
S1 S2 S3
V1 1 0 2 4
V2 3 5 4 6
V3 1 2 3 10
3 5 12
Čísla v 5.řádku jsou kapacity spotřebitelů, čísla v 5.sloupci tabulky kapacity výrobců, jinak
jsou v tabulce uvedeny ceny dopravy.
a) Metodou severozápadního rohu určete přípustnou vstupní verzi.
b) Najděte optimální rozdělení dopravy dostatečným opakováním optimalizačního
kroku.
Příklad 9.4 Vyřešte následující přiřazovací úlohu, kde se mají optimálně přiřadit 4
operátoři ke 4 strojům. Přitom se požaduje, aby 1.operátor nebyl přidělen ke 3.stroji a
3.operátor nebyl přidělen ke 4.stroji. Tabulka udává ceny jednotlivých přiřazení, chceme
minimalizovat celkovou cenu.
Stroj 1 Stroj 2 Stroj 3 Stroj 4
Operátor 1 5 5 − 2
Operátor 2 7 4 2 3
Operátor 3 9 3 5 −
Operátor 4 7 2 6 7
Výsledky příkladů viz 13.4.
154 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
10 Dynamické programování
Hlavní myšlenka dynamického programování: Při hledání optimální možnosti je někdy
nejrychlejší rozdělit daný problém na několik podproblémů (fází) a najít optimum v dané
fázi se zřetelem na kombinace možností z předchozí fáze – algoritmus je tedy rekurzivní.
Podrobněji jej vysvětlíme na následujícím příkladu.
Příklad 10.1 Společnost chce investovat 5 miliónů dolarů do rozvoje svých tří závodů.
Každý ze závodů předložil několik návrhů, jak by peníze mohl využít a s jakým výnosem.
Jak rozdělit peníze, aby byl celkový výnos maximální?
závod 1 závod 2 závod 3
návrh c1 R1 c2 R2 c3 R3
1 0 0 0 0 0 0
2 1 5 2 8 1 3
3 2 6 3 9 − −
4 − − 4 12 − −
Jednotkou je jeden milión dolarů; nulový návrh u každého ze závodů naznačuje,
že bereme v úvahu i možnost, že určitá část investic nemusí být vyčerpána.
Řešení. Nejprve musíme definovat a) fáze j
b) stavy xj ve fázi j
c) přípustné alternativy kj ve fázi j.
Existují dva možné typy algoritmu: přímý postup a zpětný postup.
1) Přímý postup:
ad a) fáze = závod
ad b) x1 . . . množství investic přidělené závodu 1
x2 . . . množství investic přidělené závodům 1 a 2
x3 . . . množství investic přidělené závodům 1, 2 a 3
ad c) označme
kj . . . ne konstanta, ale proměnná podle počtu přípustných alternativ
ve fázi j
k∗
j . . . optimální hodnota alternativy ve fázi j
Rj(kj) . . . výnos alternativy kj ve fázi j
fj(xj) . . . optimální výnos fází 1, 2, . . . , j za daného stavu proměnné xj
cj(kj) . . . cena alternativy kj ve fázi j
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 155
Za daného označení nyní hledáme f3(x3 = 5); klíčem je sestavení rekurzivních
rovnic
f1(x1) = max
c1(k1)≤x1
(R1(k1))
fj(xj) = max
cj(kj)≤xj
(Rj(kj) + fj−1
xj−1
(xj − cj(kj))
maximální výnos
celkem za fáze
1, 2, . . . , j − 1
)
Nyní už přistoupíme k přímému průchodu jednotlivých fází:
fáze 1:
f1(x1) = max
c1(k1)≤x1
(R1(k1)) pro k1 = 1, 2, 3
(v závodu 1 existují tři alternativy)
R1(k1) optim. řešení fáze 1
x1 k1 = 1 k1 = 2 k1 = 3 f1(x1) k∗
1
0 0 − − 0 1
1 0 5 − 5 2
2 0 5 6 6 3
3 0 5 6 6 3
4 0 5 6 6 3
5 0 5 6 6 3
Sloupec k1 = 1 odpovídá té variantě (č.1), že závod 1 nedostane pe-
níze;
sloupec k1 = 2 odpovídá variantě, že závod 1 dostane peníze na návrh 2,
sloupec k1 = 3 odpovídá variantě, že závod 1 dostane peníze na návrh 3
(žádný ze závodů nemůže získat peníze na více návrhů současně, tj. více
156 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
variant ve fázi 1 neexistuje); tyto sloupce udávají výnosy jednotlivých variant
pro možné hodnoty proměnné x1.
fáze 2:
f2(x2) = max
c2(k2)≤x2
(R2(k2) + f1(x2 − c2(k2)))
Tabulka má následující tvar (k∗
2 je číslo optimálního návrhu v řádku fáze 2,
ovšem už v závislosti na fázi 1):
R2(k2) + f1(x2 − c2(k2))
x2 k2 = 1 k2 = 2 k2 = 3 k2 = 4 f2(x2) k∗
2
0 0 + 0 = 0 − − − 0 1
1 0 + 5 = 5 − − − 5 1
2 0 + 6 = 6 8 + 0 = 8 − − 8 2
3 0 + 6 = 6 8 + 5 = 13 9 + 0 = 9 − 13 2
4 0 + 6 = 6 8 + 6 = 14 9 + 5 = 14 12 + 0 = 12 14 2 ∨ 3
5 0 + 6 = 6 8 + 6 = 14 9 + 6 = 15 12 + 5 = 17 17 4
fáze 3:
f3(x3) = max
c3(k3) ≤ x3
k3 = 1, 2
(R3(k3) + f2(x3 − c3(k3)))
V poslední fázi potřebujeme už jen jeden řádek: x3 = 5 (i když i např. řádek
x3 = 4 by byl zajímavý tím, že by ukazoval optimum pro 4 milióny celkových
investic apod., čili jednalo by se o jistou citlivostní analýzu – tento pojem viz
kapitola 7).
R3(k3) + f2(x3 − c3(k3))
x3 k3 = 1 k3 = 2 f3(x3) k∗
3
5 0 + 17 = 17 3 + 14 = 17 17 1 ∨ 2
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 157
výsledek: Zpětně projdeme k∗
j , abychom viděli možné kombinace řešení:
 
 
d
d‚

0
E
x3 k∗
3 x2 k∗
2 x1 k∗
1 (k∗
1, k∗
2, k∗
3)
1m (5 − 0 = 5) 4m (5 − 4 = 1) 2m (2, 4, 1)
5 2m (4 − 2 = 2) 3m (3, 2, 2)
2m (5 − 1 = 4) 3m (4 − 3 = 1) 2m (2, 3, 2)
Z posledního sloupce je vidět, že existují tři optimální rozdělení investic
pro jednotlivé návrhy.
2) Zpětný postup: Je to druhá možnost řešení; ovšem kromě opačného postupu od
závodu 3 k závodu 1 (jiné rekurentní rovnice) budou jinak definovány stavy:
ad a) fáze jsou stejné
ad b) y1 . . . množství investic přidělené závodům 1, 2 a 3
y2 . . . množství investic přidělené závodům 2 a 3
y3 . . . množství investic přidělené závodu 3
ad c) fj(yj) . . . optimální výnos fází j, j + 1, . . . , n za daného stavu proměnné yj.
Pro toto označení můžeme psát rekurzivní rovnice:
f3(y3) = max
k3
c3(k3) ≤ x3
(R3(k3))
fj(yj) = max
kj
cj(kj) ≤ xj
(Rj(kj) + fj+1(yj − cj(kj)))
158 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
fáze 3:
R3(k3) optimální řešení
y3 k3 = 1 k3 = 2 f3(y3) k∗
3
0 0 − 0 1
1 0 3 3 2
2 0 3 3 2
3 0 3 3 2
4 0 3 3 2
5 0 3 3 2
fáze 2:
R2(k2) + f3(y2 − c2(k2))
y2 k2 = 1 k2 = 2 k2 = 3 k2 = 4 f2(y2) k∗
2
0 0 + 0 = 0 − − − 0 1
1 0 + 3 = 3 − − − 3 1
2 0 + 3 = 3 8 + 0 = 8 − − 8 2
3 0 + 3 = 3 8 + 3 = 11 9 + 0 = 9 − 11 2
4 0 + 3 = 3 8 + 3 = 11 9 + 3 = 12 12 + 0 = 12 12 3 ∨ 4
5 0 + 3 = 3 8 + 3 = 11 9 + 3 = 12 12 + 3 = 15 15 4
fáze 1: Stačí jen řádek: y1 = 5.
R1(k1) + f2(y1 − c1(k1))
y1 k1 = 1 k1 = 2 k1 = 3 f1(y1) k∗
1
5 0 + 15 = 15 5 + 12 = 17 6 + 11 = 17 17 2 ∨ 3
„Rozpletením v přímém směru dostaneme stejná 3 řešení.
Použití přímého nebo zpětného postupu algoritmu v praxi závisí na tom, který typ
rekurentních rovnic je jednodušší.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 159
Nejtěžším úkolem v algoritmech dynamického programování je definice stavu
(tj. správné vyjádření závislosti fáze na předchozích fázích v rekurentní rovnici).
Procvičme na několika příkladech:
Příklad 10.2 Na konci každého roku se rozhoduje, zda určitý stroj necháme v provozu,
nebo jej vyměníme za nový; pokud zůstane v provozu, klesne zisk (díky větší poruchovosti),
pokud koupíme nový, bude to něco stát. Určete fáze, alternativy v každé fázi a stavy.
Řešení. fáze j . . . . . . . . . . rok j
alternativy . . . . . a) nechat daný stroj
b) koupit nový stroj
stav j . . . . . . . . . stáří stroje na počátku roku j
Příklad 10.3 Vedoucí chce zjistit počet dělníků potřebných na nejbližších 5 týdnů, když
zná počty potřebné pro každý týden.
Jsou známy také ceny, které zaplatí za – přijetí
– propuštění
– nevyužitý čas práce dělníka
(na str.163 je příklad uveden pro konkrétní hodnoty).
Kolik dělníků každý týden přijmout a propustit, aby se minimalizovala celková cena s tím
spojená? Určete fáze, alternativy v každé fázi a stavy.
Řešení. fáze j . . . . . . . . . . týden j
alternativy . . . . počet dělníků – přijatých
– propuštěných v týdnu j
stav týdne j . . . počet dělníků připravených k práci na počátku týdne j
(= na konci týdne (j −1)). Počty dělníků přijatých nebo
propuštěných v předchozích fázích zde nehraje roli.
Příklad 10.4 Problém nákladu (problém plnění batohu). Na člun chceme naložit některé
z položek 1, 2, . . . , N tak, aby náklad nepřekročil určitou hmotnost a měl přitom maximální
hodnotu. Označení:
wi ... hmotnost položky i
vi ... hodnota položky i
ki ... počet položek i
w ... maximální hmotnost celého nákladu
160 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Uvažujme následující zadání
i wi vi
1 2 65
2 3 80
3 1 30
w = 5.
Řešení. Jedná se vlastně o úlohu celočíselného lineárního programování:
maximalizujte funkci z = v1k1 + · · · + vN kN za podmínky
w1k1 + · · · + wN kN ≤ w, ki jsou nezáporná celá čísla.
Ale vyřešme tuto úlohu pomocí algoritmu dynamického programování:
fáze j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . položka j
stav yj ve fázi j . . . . . . . . . . celková hmotnost přiřazená fázím j, j + 1, . . . N
(y1 = w, yi = 0, 1, . . . , w pro i > 1)
alternativa kj ve fázi j . . . počet jednotek j-té položky, kterou bereme s sebou.
Tato úloha je podobná příkladu 10.1 – jedná se opět v jistém smyslu o přidělení zdrojů.
Zpětné rekurentní rovnice jsou tvaru:
fN (yN ) = max
kN
yN
(vN kN )
fj(yj) = max
kj
yj
(vj kj + fj+1(yj − wj kj)) pro j = 1, 2, . . . , N − 1
Zpětným postupem (fáze 3, fáze 2, fáze 1) si bystrý čtenář ověří, že (2, 0, 1) je
optimální rozdělení položek.
Příklad 10.5 Problém spolehlivosti. Elektronické zařízení se skládá ze tří hlavních
komponent zapojených sériově, tj. selhání komponenty vede k selhání celého zařízení.
Paralelním přidáním rezervních komponent lze zvýšit spolehlivost zařízení. Každá
komponenta může být až dvakrát zálohovaná (tj. maximálně lze paralelně zapojit 3 kusy
komponenty téhož typu). Celková cena zařízení má být maximálně 10 000 dolarů. Tabulka
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 161
udává, jak roste spolehlivost Rj(kj) a cena cj(kj) pro různý počet komponent téhož typu:
j = 1 j = 2 j = 3
kj R1 c1 R2 c2 R3 c3
1 0, 6 1 0, 7 3 0, 5 2
2 0, 8 2 0, 8 5 0, 7 4
3 0, 9 3 0, 9 6 0, 9 5
(ceny jsou v tisících dolarů). Jak zapojit náhradní komponenty, aby spolehlivost
při dané ceně byla maximální?
Řešení. celková spolehlivost = součin jednotlivých spolehlivostí
úkol: nalezněte maximum funkce R =
N
j=1
Rj(kj) za podmínky
N
j=1
cj(kj) ≤ 10 (tisíc dolarů).
Použijeme zpětný postup dynamického programování:
fáze j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . typ komponenty j
stav yj ve fázi j . . . . . . . . . . celková cena přiřazená typům j, j + 1, . . . N
alternativy kj ve fázi j . . . počet paralelně zapojených jednotek typu j
(kj ∈ {1, 2, 3})
fj(yj). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . celková optimální spolehlivost typů j, j + 1, . . . N
pro daný kapitál yj
Rekurentní rovnice:
fN (yN ) = max
kN
cN (kN ) ≤ yN
(RN (kN ))
fj(yj) = max
kj
cj(kj) ≤ yj
(Rj(kj) fj+1(yj − cj(kj))) pro j = 1, 2, . . . , N − 1
162 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
yj ∈ {0, 1, 2, . . . , 10}; ovšem počet řádků v jednotlivých fázích můžeme snížit
následující úvahou:
fáze 3. . . . . y3 ≥ 2 a y3 ≤ 10 − (cena 1 komponenty typu 1 + cena 1 komponenty typu 2),
tj. 2 ≤ y3 ≤ 6
fáze 2. . . . . y2 ≥ cena 1 komponenty typu 2 + cena 1 komponenty typu 3
≤ 10 − cena 1 komponenty typu 1
celkem 5 ≤ y2 ≤ 9
fáze 1. . . . . y1 ≥ cena komponenta 1 + komponenta 2 + komponenta 3
≤ 10
celkem 6 ≤ y1 ≤ 10
Můžeme se tedy pustit do rekurentního algoritmu (zpětný postup):
fáze 3:
R3(k3) optimální řešení
y3 k3 = 1 k3 = 2 k3 = 3 f3(y3) k∗
3
2 0, 5 − − 0, 5 1
3 0, 5 − − 0, 5 1
4 0, 5 0, 7 − 0, 7 2
5 0, 5 0, 7 0, 9 0, 9 3
6 0, 5 0, 7 0, 9 0, 9 3
fáze 2:
R2(k2) · f3(y2 − c2(k2))
y2 k2 = 1 k2 = 2 k2 = 3 f2(y2) k∗
2
5 0, 7 · 0, 5 = 0, 35 − − 0, 35 1
6 0, 7 · 0, 5 = 0, 35 − − 0, 35 1
7 0, 7 · 0, 7 = 0, 49 0, 8 · 0, 5 = 0, 4 − 0, 49 1
8 0, 7 · 0, 9 = 0, 63 0, 8 · 0, 5 = 0, 4 0, 9 · 0, 5 = 0, 45 0, 63 1
9 0, 7 · 0, 9 = 0, 63 0, 8 · 0, 7 = 0, 56 0, 9 · 0, 5 = 0, 45 0, 63 1
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 163
fáze 1:
R1(k1) · f2(y1 − c1(k1))
y1 k1 = 1 k1 = 2 k1 = 3 f1(y1) k∗
1
10 0, 6 · 0, 63 = 0, 378 0, 8 · 0, 63 = 0,504 0, 9 · 0, 49 = 0, 441 0, 504 2
Optimální varianta je tedy (k∗
1, k∗
2, k∗
3) = (2, 1, 3).
Ad Příklad 10.3 (pro konkrétní hodnoty)
týden 1 2 3 4 5
potřebný počet dělníků bj 5 7 8 4 6
Pokud počet dělníků aktuálního týdne přesáhne počet dělníků minulého týdne, musíme
započítat cenu spojenou se získáním nových pracovních sil. Na druhé straně, pokud je
daný týden více dělníků než potřebujeme, stojí to určitou přebytkovou cenu.
yj ..............počet dělníků na počátku týdne j
c1(yj − bj)......přebytková cena, když yj převýší bj
c2(yj − yj−1) ... cena získání nových pracovních sil
Data vedoucího ukazují, že
c1(yj − bj) = 3 (yj − bj), j = 1, 2, . . . , 5
c2(yj − yj−1) =



4 + 2 (yj − yj−1) . . . yj > yj−1
0 . . . yj ≤ yj−1
(propouštění nic nestojí)
y0 = 5, y5 = 6.
Jaké jsou optimální hodnoty y1, y2, y3, y4?
Řešení. fáze j . . . . . . . . . . . . . . . . . j-tý týden
stav ve fázi j . . . . . . . . . .yj−1 (= počet dělníků na konci fáze j − 1)
alternativy ve fázi j . . .yj (= počet dělníků v týdnu j)
fj(yj−1). . . . . . . . . . . . . . .optimální cena řízení pracovních sil
za týdny j, j + 1, . . . , 5 pro dané yj−1
164 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Rekurentní rovnice zpětného postupu:
f5(y4) = min
y5=b5
(c1(y5 − b5) + c2(y5 − y4))
fj(yj−1) = min
yj≥bj
(c1(yj − bj) + c2(yj − yj−1) + fj+1(yj)) pro j = 1, 2, 3, 4
počet řádků v jednotlivých fázích můžeme snížit touto úvahou:
4 = b4 < b5 = 6 ⇒ y4 ∈ {4, 5, 6}.
Dále y3 = 8 (protože propouštění nic nestojí).
Dále y2 ∈ {7, 8}.
Dále y1 ∈ {5, 6, 7, 8} (musíme uvažovat i y1 = 6, 7, 8, protože nevíme, zda není levnější
nabrat v 1.týdnu 8 lidí a nechat si je až do 3.týdne).
A nyní už se můžeme pustit do zpětného postupu:
fáze 5: b5 = 6
c1(y5 − 6) + c2(y5 − y4) optimální řešení
y4 y5 = 6 f5(y4) y∗
5
4 3 · 0 + 4 + 2 · 2 = 8 8 6
5 3 · 0 + 4 + 2 · 1 = 6 6 6
6 3 · 0 + 0 = 0 0 6
fáze 4: b4 = 4
c1(y4 − 4) + c2(y4 − y3) + f5(y4)
y3 y4 = 4 y4 = 5 y4 = 6 f4(y3) y∗
4
8 0 + 0 + 8 = 8 3 · 1 + 0 + 6 = 9 3 · 2 + 0 + 0 = 6 6 6
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 165
fáze 3: b3 = 8
c1(y3 − 8) + c2(y3 − y2) + f4(y3)
y2 y3 = 8 f3(y2) y∗
3
7 0 + 4 + 2 · 1 + 6 = 12 12 8
8 0 + 0 + 6 = 6 6 8
fáze 2: b2 = 7
c1(y2 − 7) + c2(y2 − y1) + f3(y2)
y1 y2 = 7 y2 = 8 f2(y1) y∗
2
5 0 + 4 + 2 · 2 + 12 = 20 3 · 1 + 4 + 2 · 3 + 6 = 19 19 8
6 0 + 4 + 2 · 1 + 12 = 18 3 · 1 + 4 + 2 · 2 + 6 = 17 17 8
7 0 + 0 + 12 = 12 3 · 1 + 4 + 2 · 1 + 6 = 15 12 7
8 0 + 0 + 12 = 12 3 · 1 + 0 + 6 = 9 9 8
fáze 1: b1 = 5
c1(y1 − 5) + c2(y1 − y0) + f2(y1)
y0 y1 = 5 y1 = 6 y1 = 7 y1 = 8 f1(y0) y∗
1
5 0 + 0 + 19 = 19
3 · 1 + 4 +
2 · 1 + 17 =26
3 · 2 + 4 +
2 · 2 + 12 =26
3 · 3 + 4 +
2 · 3 + 9 =28
19 5
optimum: y0 = 5 ⇒ y1 = 5
y2 = 8
y3 = 8
y4 = 6
y5 = 6
Tedy ideální strategií je 1.týden . . . 0 (máme 5 dělníků z minulého týdne)
2.týden . . . 3 najmeme
3.týden . . . 0
4.týden . . . 2 propustíme
5.týden . . . 0.
166 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Poslední úloha se lišila od těch předchozích v tom, že v každém řádku tabulky
jsme hledali minimální hodnotu (jednalo se o minimalizační úlohu).
Všechny probírané úlohy byly jednodimenzionální; u větší dimenze neúměrně narůstá
počet přípustných kombinací proměnných.
Úlohy lineárního programování lze rovněž řešit pomocí algoritmu dynamického
programování (viz př.10.4), ale počet omezení určuje počet proměnných v úloze, tj.
dynamické programování se zde nepoužívá pro více než 1 omezení (nebo než 2 v případě
dvou proměnných).
10.1 Shrnutí
V této kapitole jsme ukázali další možnost hledání extrému funkce za daných omezení.
Hlavní myšlenka dynamického programování zní: při hledání optimální možnosti je někdy
nejrychlejší rozdělit daný problém na několik podproblémů (fází) a najít optimum v dané
fázi se zřetelem na kombinace možností z předchozí fáze – algoritmus je tedy rekurzivní.
Nejtěžší úkol u úloh dynamického programování je vhodně formulovat zadaný problém.
Je třeba správně definovat a) fáze j
b) stavy xj ve fázi j
c) přípustné alternativy kj ve fázi j.
Připomeňme označení, které se používá:
k∗
j . . . optimální hodnota alternativy ve fázi j
Rj(kj) . . . výnos alternativy kj ve fázi j
fj(xj) . . . optimální výnos fází 1, 2, . . . , j za daného stavu proměnné xj
cj(kj) . . . cena alternativy kj ve fázi j
Existují dva možné typy algoritmu: přímý postup a zpětný postup
1) Přímý postup: vede k sestavení a řešení rekurzivních rovnic
f1(x1) = max
c1(k1)≤x1
(R1(k1))
fj(xj) = max
cj(kj)≤xj
(Rj(kj) + fj−1(xj − cj(kj))),
jejichž výsledky se v jednotlivých fázích zapisují do tabulky.
2) Zpětný postup: Je to druhá možnost řešení; ovšem kromě opačného postupu (jiné
rekurentní rovnice) budou jinak definovány stavy a optimální výnos fj(yj):
• fj(yj) . . . optimální výnos fází j, j + 1, . . . , n za daného stavu proměnné yj.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 167
Pro toto označení sestavíme a řešíme rekurzivní rovnice:
fn(yn) = max
kn
cn(kn) ≤ xn
(Rn(kn))
fj(yj) = max
kj
cj(kj) ≤ xj
(Rj(kj) + fj+1(yj − cj(kj)))
Použití přímého nebo zpětného postupu algoritmu v praxi závisí na tom, který typ
rekurentních rovnic je jednodušší.
Při řešení úloh dynamického programování nemusí být funkce, jejíž optimum hledáme,
nutně lineární (viz př.10.5), což je velmi výhodné. Naopak, úlohy celočíselného lineárního
programování lze rovněž řešit pomocí algoritmu dynamického programování (viz př.10.4),
ale počet omezení určuje počet proměnných v úloze, tj. dynamické programování se zde
nepoužívá pro více než 1 omezení.
10.2 Otázky k opakování
U následujících výroků rozhodněte, zda se jedná o výrok pravdivý či nepravdivý.
Otázka 10.1 Dynamické programování používá rekurzivní algoritmus.
Otázka 10.2 Algoritmem dynamického programování lze řešit pouze úlohy na hledání
maxima nějaké funkce.
Otázka 10.3 Při zmenšení pravé strany omezení musíme přepočítat všechny fáze algoritmu
dynamického programování znovu.
Otázka 10.4 Přímý i zpětný postup algoritmu dynamického programování vedou vždy
ke stejnému výsledku.
Otázka 10.5 Každou úlohu dynamického programování lze převést na úlohu lineárního
programování.
Otázka 10.6 Každou úlohu lineárního programování lze řešit algoritmem dynamického
programování.
Odpovědi na otázky viz 13.5.
168 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
10.3 Příklady ke cvičení
Příklad 10.1 Společnost chce investovat 8 miliónů dolarů do rozvoje svých tří závodů.
Každý ze závodů předložil několik návrhů, jak by peníze mohl využít a s jakým výnosem.
Jak rozdělit peníze, aby byl celkový výnos maximální?
závod 1 závod 2 závod 3
návrh c1 R1 c2 R2 c3 R3
1 3 5 3 4 0 0
2 4 6 4 5 2 3
3 − − 5 8 3 5
4 − − − − 6 9
Jednotkou je jeden milión dolarů. Použijte přímý postup algoritmu dynamického programování
k získání optimálního řešení.
Příklad 10.2 (hledání nejkratší cesty)
Graf na obrázku znázorňuje možné cesty vedoucí z města A do města B procházející
městy označenými čísly 1 až 5. Hodnoty nad šipkami udávají délky jednotlivých cest.
Naším úkolem je najít nejkratší cestu z A do B.














 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
d
d
d
d
dd‚
d
d
d
d
dd‚
d
d
d
d
dd‚
d
d
d
d
dd‚
E
E
A
1
2
3
4
5
B
6
5
5 3 2 4
7 4 2 2
Formulujte tento problém jako úlohu dynamického programování. Definujte fáze, stavy
a přípustné alternativy, pak najděte optimální řešení.
Příklad 10.3 Formulujte následující úlohu celočíselného lineárního programování jako
úlohu dynamického programování
najděte maximum funkce z = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 za omezení
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 ≤ 4
xi ∈ Z, xi ≥ 0, pro i = 1, 2, 3.
Určete optimální řešení přímým postupem algoritmu dynamického programování.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 169
Příklad 10.4 Studentka si musí vybrat 10 volitelných předmětů, které budou přednášeny
na 4 různých katedrách, přitom na každé katedře musí absolvovat minimálně 1 předmět.
Při rozhodování, kolik předmětů si na každé katedře zvolí, se řídí požadavkem, aby maximalizovala
svoje „poznání ve všech čtyřech oblastech. Dobře ví, že pokud její volba pro
danou katedru přesáhne určitý počet předmětů, její vědomosti z daného oboru se již nebudou
dále zvyšovat. To proto, že buď bude množství probírané látky příliš velké pro její
pochopení, nebo se bude daná tematika v předmětech neustále opakovat. Vytvořila si tedy
pro každou katedru 100-bodovou stupnici poznání (100 = maximální poznání) v závislosti
na počtu studovaných předmětů, která je zapsána v následující tabulce
počet předmětů
katedra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I 25 50 60 80 100 100 100 100 100 100
II 20 70 90 100 100 100 100 100 100 100
III 40 60 80 100 100 100 100 100 100 100
IV 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Formulujte tento problém jako úlohu dynamického programování a určete optimální řešení.
Výsledky příkladů viz 13.5.
170 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
11 Modely skladových zásob
V této kapitole se budeme zabývat matematickým zpracováním odpovědi na následující
otázku z teorie zásob: Kdy a kolik zboží je optimální objednat?
Přitom lze uvažovat různé situace skladového provozu: někdy se zásoby ve skladu
kontrolují jednou za čas (za měsíc, za rok . . . ), u jiného typu zboží se kontrolují nepřetržitě
(a k nové objednávce dojde, pokud zásoby klesnou na určitou hodnotu).
Rozhodnutí o skladové politice je prováděno s ohledem na celkovou cenu (tuto celkovou
cenu chceme minimalizovat):
celková cena = cena zboží + cena objednávky
(dopravy)
+ cena skladování + cena penalizační
za škody vzniknuvší
při nedostatku
zásob
Podle typu poptávky zboží rozdělujeme matematické modely na:
a) deterministické – je známa velikost poptávky zboží
1. statické . . . velikost poptávky je konstantní, nemění se
2. dynamické . . . velikost poptávky je v různých obdobích rovna různým
konstantám
b) pravděpodobnostní – poptávka přesně není známa, pouze hustota (nebo
pravděpodobnostní funkce), která vyjadřuje jistou pravděpodobnou hodnotu
poptávky
1. stacionární . . . hustota (nebo pstní funkce) poptávky se nemění v čase
2. nestacionární . . . hustota (nebo pstní funkce) s časem mění svůj tvar
crostematematickásložitostmodelů
11.1 Deterministické modely
11.1.1 Statický model pro jednu položku
Předpoklady použití modelu:
– poptávka je konstantní . . . β jednotek zboží za jednotku času
– zásoby jsou jednorázové doplňovány po určité časové periodě t0
– není uvažován nedostatek zásob (záporné zásoby na skladě znamenají nevyřízenou
objednávku zboží)
– velikost objednávky . . . y jednotek zboží
– dodací lhůta objednávky je známá konstanta . . . L časových jednotek
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 171
– graf množství zboží ve skladu v závislosti na čase lze znázornit:
E
T
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rr
rrr
rrrr
rrr
E E E' ' '
t0 = y
β
t0 t0
y
2
y
– cena objednávky (dopravy) . . . K finančních jednotek
– h . . . cena skladování jednotky zboží za jednotku času
Řešení modelu: jak zvolit optimální velikost objednávky y, aby celková cena byla
minimální?
Zavedeme funkci vyjadřující celkovou cenu za jednotkový čas . . . TCU(y)
(omlouvám se, ale ze slabosti vůči angličtině jsem ponechal anglické značení:
TCU = Total Cost per Unit (time))
TCU(y) =
K
y/β
+ h ·
y
2
průměrné množství zboží na skladě
£
£#
čili
celková cena
za jednotkový čas
=
cena objednávky (dopravy)
za jednotkový čas
+
cena skladování
za jednotkový čas
Nyní řešením rovnice
∂
∂y
(TCU(y)) = 0
najdeme minimum
y0 =
2Kβ
h
(tzv. Wilsonova ekonomická velikost objednávky).
Často existuje časové prodlení L mezi objednáním a dodáním zboží. Objednávku
tedy musíme realizovat vždy L časových jednotek před vyčerpáním zásob.
Příklad 11.1 Denní poptávka zboží je asi 100 jednotek. Cena objednávky je vždy 100 Kč
navíc k ceně zboží. Skladovací cena jednotky zboží na 1 den je 0,02 Kč. Dodací lhůta je
12 dní. Určete ekonomickou velikost objednávky a upřesněte, jak dlouho před vyčerpáním
zásob se musí objednávka provést.
172 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Řešení. y0 = 2·100·100
0,02
= 1 000 jednotek, t0 = y0
β
= 1 000
100
= 10 dní. Každých 10 dní je
nutno provést novou objednávku 1 000 jednotek, a sice po ustálení cyklu vždy 2 dny před
vyčerpáním zásob.
11.1.2 Statický model pro jednu položku s diskontními cenami
Předpoklady použití modelu jsou stejné jako u předchozího modelu až na to, že do
celkové ceny se navíc započítává i fakt, že při větším objednaném množství klesá cena
jednotky zboží:
celková cena
za jednotkový čas
=
cena zboží
za jednotkový čas
+
cena objednávky
za jednotkový čas
+
cena skladování
za jednotkový čas
TCU(y) =



f1(y) = β · c1 + K·β
y
+ h
2
· y . . . y < q
f2(y) = β · c2 + K·β
y
+ h
2
· y . . . y ≥ q
(c1 > c2)
Obě z funkcí f1, f2 nabývají svého minima ve stejném bodě y0 = 2Kβ
h
:
PSfrag replacements
f1
•
f2
•
I II III
y0 q1
f2(q1) = f1(y0)
y
cena
Body y0, q1 rozdělí vodorovnou osu na části I, II, III. Řešení modelu závisí na tom,
ve které z částí I, II, III se nachází kritické množství q, při jehož dosažení dochází k
diskontnímu snížení ceny jednotky zboží z c1 na c2.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 173
a) q ∈ I: (silně je zvýrazněn graf funkce TCU)
PSfrag replacements
f1
◦
f2
•
y0 q1q
•
y
cena
minimum nastává v bodě
[y0, f2(y0)]
b) q ∈ II:
PSfrag replacements
f1
◦
f2
•
y0 q1q y
cena
minimum nastává v bodě
[q, f2(q)]
174 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
c) q ∈ III:
PSfrag replacements
f1
◦
f2
•
y0 q1 q y
cena
minimum nastává
v bodě
[y0, f1(y0)]
Postup při rozhodování: určíme y0 = 2Kβ
h
; pokud y0 > q, jedná se o případ a); jinak
určíme q1 tak, aby f2(q1) = f1(y0); pak pro q < q1 nastane případ b), jinak c).
Příklad 11.2 Rozhodněte o optimální velikosti objednávky při následujících údajích:
K = 10 Kč, h = 1 Kč, β = 5 jednotek zboží za den, c1 = 2 Kč, c2 = 1 Kč, q = 15 jednotek.
Řešení. y0 = 10 jednotek zboží, y0 < q ⇒ řešme rovnici f1(10) = f2(q1):
úpravou dostaneme
q2
1 − 30 q1 + 100 = 0 ⇒ q11,2 =
3, 82
26, 18
Protože objednáváme na více než 1 den a β = 5, reálně připadá v úvahu jen q1 = 26, 18;
q < q1 ⇒ q ∈ II, tj. optimální je objednat 15 jednotek zboží, celková cena za jednotkový
čas je f2(q) = f2(15) = 15, 83 Kč za 1 den.
11.1.3 Statický model pro více druhů zboží s omezením skladového prostoru
Předpoklady použití modelu:
– maximální plocha skladování . . . A
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 175
– požadavek skladovací plochy na jednotku i-tého druhu zboží . . . ai
– velikost objednávky zboží druhu i . . . yi
musí platit
(∗)
n
i=1
ai yi ≤ A
– zboží každého druhu je jednorázově doplňováno s periodou ti = yi
βi
, kde βi, Ki, hi
mají stejný význam jako v modelu 11.1.1, ale pro zboží druhu i není uvažován
nedostatek zásob ani diskontní ceny (tj. model jako 11.1.1, ale ve vyšší dimenzi).
Řešení modelu: Hledáme minimum ceny za jednotku času
TCU(y1, . . . , yn) =
n
i=1
Ki βi
yi
+
hi yi
2
za omezující podmínky
n
i=1
ai yi ≤ A; yi ≥ 0.
Pokud y 0
i = 2 Ki βi
hi
splňují omezení (∗), máme optimum.
V opačném případě postupujeme tzv. Lagrangeovou metodou: hledáme minimum
funkce
L(λ, y1, . . . , yn) =
n
i=1
Ki βi
yi
+
hi yi
2
+ λ
n
i=1
ai yi − A pro λ > 0.
Systém



∂L
∂yi
= 0
∂L
∂λ
= 0


 lze převést na



y 0
i = 2 Ki βi
hi+2 λ ai
n
i=1
ai y 0
i − A = 0


.
Poslední uvedený systém lze řešit numericky: zvyšujeme λ s určitým krokem
tak dlouho, až výraz
n
i=1
ai yi − A je záporný; z posledních dvou hodnot λ pak
interpolací najdeme optimální λ, tj. i optimální y 0
i .
Příklad 11.3 Určete optimální objednávané množství při následujících datech
(A = 25 m2
):
druh zboží i Ki (Kč) βi ( jednotek
za jednotku času
) hi (Kč) ai (m2)
1 10 2 0,3 1
2 5 4 0,1 1
3 10 4 0,2 1
176 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Řešení. Vypočteme 2 Ki βi
hi+2 λ ai
pro různé hodnoty λ:
λ y1 y2 y3
n
i=1
ai yi − A
0 11, 5 20, 0 24, 5 31, 0
0, 05 10, 0 14, 1 17, 3 16, 4
0, 1 9, 0 11, 5 14, 9 10, 4
0, 15 8, 2 10, 0 13, 4 6, 6
0, 2 7, 6 8, 9 12, 2 3, 7
0, 25 7, 1 8, 2 11, 3 1, 6
0, 3 6, 7 7, 6 10, 6 −0, 1
Optimální λ je téměř
.
= 0, 3, tj. y 0
1
.
= 6, 7; y 0
2
.
= 7, 6; y 0
3
.
= 10, 6
t1 = 3, 35; t2 = 1, 9; t3 = 2, 65 č.j.
(Pro A ≥ 56 nastane optimum už pro λ = 0 . . . už je dost prostoru pro hodnoty v 1.řádku.)
11.1.4 Dynamický model pro jednu položku a N období
Předpoklady použití modelu:
– poptávka v období i . . . Di (Di ∈ R)
– množství zboží objednávané na začátku období i . . . zi
– množství zboží, které je na skladě na začátku období i před přijetím objednávaného
zi . . . xi
– jednotková cena skladování, jestliže zboží skladované v období i zůstane na skladě
i na začátku období i + 1 . . . hi
– cena objednávky v období i . . . Ki
– výrobní cena zboží při objednávaném množství zi . . . ci(zi)
(může se měnit v různých obdobích, lze uvažovat i diskontní ceny)
– cena nákupu zboží v období i . . . Ci(zi) =
0 . . . zi = 0
Ki + ci(zi) . . . zi > 0
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 177
Řešení modelu: Úkolem je určit optimální zi, pro které je minimální součet
cena nákupu + cena skladování
celkem za všechna období 1, 2, . . . , N.
Použijeme přímý algoritmus dynamického programování:
označme fi(xi+1) . . . minimální celková cena (nákupu i skladování)
za období 1, 2, . . . , i, je-li dáno xi+1
rekurzivní rovnice:
f1(x2) = min
0≤z1≤D1+x2
(C1(z1) + h1 x2)
fi(xi+1) = min
0≤zi≤Di+xi+1
(Ci(zi) + hi xi+1 + fi−1(xi)) pro i = 2, . . . , N
kde hi xi+1 . . . cena skladování za období i (obecněji by mohla být místo konstanty
hi i funkce Hi(xi+1) nebo místo xi+1 i třeba 1
2
(xi + xi+1), apod.)
xi+1 = xi + zi − Di, tj. fi−1(xi+1 + Di − zi).
Dále v jakékoliv fázi musí platit 0 ≤ xi+1 ≤ Di+1 + · · · + DN
(na skladě nemůžeme nechat víc, než je poptávka za všechna následující období).
Příklad 11.4 Uvažujme hospodaření jedné položky v průběhu tří období (N = 3):
období i Di (v jednotkách) Ki (v Kč) hi (v Kč)
1 3 3 1
2 2 7 3
3 4 6 2
Dále x1 = 1 (na začátku prvního období máme na skladě jednu jednotku zboží), nákupní
cena je 10 Kč za jednotku u prvních tří jednotek a 20 Kč za každou další jednotku, tj.
Ci(zi) =
10 zi . . . 0 ≤ zi ≤ 3
30 + 20 (zi − 3) . . . zi ≥ 4.
Stanovte optimální plán objednávek.
178 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Řešení. Použijeme právě popsaný algoritmus rekurentní rovnice:
fáze 1: D1 = 3
0 ≤ x2 ≤ D2 + D3 = 6
2 = D1 − x1 ≤ z1 ≤ D1 + D2 + D3 − x1 = 8
f1(z1|x2) = C1(z1) + h1 x2 optimum
z1 = 2 3 4 5 6 7 8
x2 h1 x2 C1(z1) = 23 33 53 73 93 113 133 f1(x2) z∗
1
0 0 23 − − − − − − 23 2
1 1 − 34 − − − − − 34 3
2 2 − − 55 − − − − 55 4
3 3 − − − 76 − − − 76 5
4 4 − − − − 97 − − 97 6
5 5 − − − − − 118 − 118 7
6 6 − − − − − − 139 139 8
fáze 2: D2 = 2
0 ≤ x3 ≤ D3 = 4
0 ≤ z2 ≤ D2 + D3 − x2 ≤ D2 + D3 = 6 (optimální x2 neznáme)
f2(z2|x3) = C2(z2) + h2 x3 + f1(x3 + D2 − z2) optimum
z2 = 0 1 2 3 4 5 6
x3 h2 x3 C2(z2)=0 7+10=17 7+20=27 7+30=37 7+50=57 7+70=77 7+90=97 f2(x3) z∗
2
0 0 0+0+55
=55
17+0+34
=51
27+0+23
=50
− − − − 50 2
1 3 0+3+76
=79
17+3+55
=75
27+3+34
=64
37+3+23
=63
− − − 63 3
2 6 0+6+97
=103
17+6+76
=99
27+6+55
=88
37+6+34
=77
57+6+23
=86
− − 77 3
3 9 0+9+118
=127
17+9+97
=123
27+9+76
=112
37+9+55
=101
57+9+34
=100
77+9+23
=109
− 100 4
4 12 0+12+139
=151
17+12+118
=147
27+12+97
=136
37+12+76
=125
57+12+55
=124
77+12+34
=123
97+12+23
=132
123 5
fáze 3: D3 = 4
x4 = 0
z3 = 0, 1, 2, 3, 4
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 179
f3(z3|x4) = C3(z3) + h3 x4 + f2(x4 + D3 − z3) optimum
z3 = 0 1 2 3 4
x4 h3 x4 C3(z3)=0 6+10=16 6+20=26 6+30=36 6+50=56 f3(x4) z∗
3
0 0 0+0+123
=123
16+0+100
=116
26+0+77
=103
36+0+63
=99
56+0+50
=106
99 3
Nejnižší celkový součet je 99, tj. z3 = 3
z2 = 3
z1 = 2
Poznámka. Zvláštní případ pro konkávní cenové funkce Ci(z) – tento případ
většinou nastane, protože např. ceny u diskontní politiky mají konkávní průběh:
pro x1 = 0 (případ x1 > 0 by se převedl na x1 = 0 odečtením x1 od D1) a např.
N = 5, Di = 10, 15, 20, 50, 70:
1) počet řádků lze podstatně redukovat; např. ve 3.fázi lze místo 121 řádků
x4 = 0
x4 = 1
...
x4 = 50 + 70 = 120



uvažovat pouze řádky 3:



x4 = 0
x4 = 50
x4 = 50 + 70.
Neboli – optimum nastane pro některý z případů xi = 0
xi = Di
xi = Di + Di+1
...
xi = Di + · · · + DN
2) počet sloupců tabulky lze podstatně redukovat; např. ve fázi 3 můžeme místo 141
sloupců
z3 = 0
z3 = 1
z3 = 2
...
z3 = 20 + 50 + 70 = 140



uvažovat pouze 4 sloupce:



z3 = 0
z3 = 20
z3 = 20 + 50
z3 = 20 + 50 + 70.
180 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Neboli – optimum nastane pro některý z případů zi = 0
zi = Di
zi = Di + Di+1
...
zi = Di + · · · + DN
(v případě z1 nemusíme dokonce uvažovat ani z1 = 0, protože při x1 = 0 musí být
z1 rovno aspoň hodnotě D1)
Příklad 11.5 Sestavte plán objednávek pro N = 4,
hi = 1 pro všechna i,
Ci(zi) = 2 zi pro všechna i,
x1 = 15 jednotek
a je-li dáno
období i Di (v jednotkách) Ki (v Kč)
1 76 98
2 26 114
3 90 185
4 67 70
Řešení. Odečtením D1 − x1 = 76 − 15 = 61 převedeme na případ x1 = 0. Využijeme
předchozí poznámky, díky níž se podstatně zredukuje počet řádků i sloupců:
fáze 1: D1 = 61
f1(z1|x2) = C1(z1) + h1 x2 optimum
z1 = 61 61+26=87 61+26+90=177 61+26+90+67=244
x2 h1 x2 C1=98+2·61=220 98+2·87=272 98+2·177=452 98+2·244=586 f1(x2) z∗
1
0 0 220+0=220 − − − 220 61
26 26 − 272+26=298 − − 298 87
116 116 − − 452+116=568 − 568 177
183 183 − − − 586+183=769 769 244
objednáváme
na období. . . 1 1, 2 1, 2, 3 1, 2, 3, 4
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 181
fáze 2: D2 = 26
f2(z2|x3) = C2(z2) + h2 x3 + f1(x3 + D2 − z2) optimum
z2 = 0 26 26+90=116 26+90+67=183
x3 h2 x3 C2(z2)=0 114+2·26=166 114+2·116=346 114+2·183=480 f2(x3) z∗
2
0 0 0+0+298=298 166+0+220=386 − − 298 0
90 90 0+90+568
=658
případ x2 = 90
není optimální
346+90+220
=656
− 656 116
157 157 0+157+769
=926
případ x2 = 131
není optimální
případ x2 = 41
není optimální
480+157+220
=857
857 183
objednáváme
na období. . . − 2 2, 3 2, 3, 4
fáze 3: D3 = 90
f3(z3|x4) = C3(z3) + h3 x4 + f2(x4 + D3 − z3) optimum
z3 = 0 90 90 + 67 = 157
x4 h3 x4 C3(z3)=0 185+2·90=365 185+2·157=499 f3(x4) z∗
3
0 0 0+0+656=656 365+0+298=663 − 656 0
67 67 0+67+857
=924
případ
není optimální
499+67+298
=864
864 157
objednáváme
na období. . . − 3 3, 4
fáze 4: D4 = 67
f4(z4|x5) = C4(z4) + h4 x5 + f3(x5 + D4 − z4) optimum
z4 = 0 z4 = 67
x5 h4 x5 C4(z4) = 0 70 + 2 · 67 = 204 f4(x5) z∗
4
0 0 0 + 0 + 864 = 864 204 + 0 + 656 = 860 860 67
objednáváme
na období. . . − 4
optimální plán: z4 = 67
z3 = 0
z2 = 116
z1 = 61
f4(x5) = 860 . . . celková cena objednávka + skladování
182 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
11.1.5 Dynamický model plánování výroby jedné položky na N období
Cílem modelu je naplánovat výrobu tak, aby se minimalizovala její celková cena.
Označení a předpoklady použití modelu:
ci . . . výrobní cena jednotky zboží v pracovní době období i
di . . . výrobní cena jednotky zboží v přesčasové době období i (ci < di)
hi . . . skladovací cena jednotky zboží, které zůstalo na skladu na konci
období i
pi . . . penalizační cena jednotky zboží objednaného v období i, ovšem
vyrobeného v období i + 1
aRi
. . . výrobní kapacita (v počtu jednotek) v období i v pracovní době
aTi
. . . výrobní kapacita v období i v přesčasové době
bi . . . poptávka (v počtu jednotek) v období i
Graf závislosti ceny na vyrobením množství je konvexní:
E
T
E' E'
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&&
rozsah pracovní doby přesčasová zóna
cena
množství výroby
Graf může mít i více sklonů ci, di, ei, fi, apod. při zachování konvexnosti, což je logický
požadavek růstu ceny. Následující algoritmus pak lze rozšířit i na tento případ většího
množství cenových skoků.
a) řešení modelu pro pi = 0 (neuvažujeme případ, že výroba v i nepokryje objednávky
v i):
Úlohu lze formulovat jako dopravní úlohu, kde
– dodavatelům odpovídají řádné + přesčasové doby v jednotlivých obdobích
– spotřebitelům odpovídají jednotlivá období
– cenám dopravy jednotky zboží od k-tého dodavatele k l-tému spotřebiteli odpovídají
součty ceny výrobní a skladovací v daném typu pracovní doby a daném
období
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 183
Údaje lze pak sestavit do tabulky dopravní úlohy:
1 2 3 . . . N navíc
R1 c1 c1 + h1 c1 + h1 + h2 . . . c1 + h1 + · · · + hN−1 0 aR1
T1 d1 d1 + h1 d1 + h1 + h2 . . . d1 + h1 + · · · + hN−1 0 aT1
R2 c2 c2 + h2 . . . c2 + h2 + · · · + hN−1 0 aR2
T2 d2 d2 + h2 . . . d2 + h2 + · · · + hN−1 0 aT2
...
...
...
...
...
...
...
...
RN cN 0 aRN
TN dN 0 aTN
b1 b2 b3 . . . bN s
s = ai − bj . . . případný přidaný sloupec, který vyvažuje kapacitu výroby
ai a kapacitu poptávky bj; většinou je na vyrovnání
kapacit potřeba sloupec, protože výroba je zpravidla větší
než poptávka.
Díky předpokladu pi = 0 platí
(∗)
k
i=1
(aRi
+ aTi
) ≥
k
j=1
bj, k = 1, 2, . . . , N
(výroba v obdobích 1, 2, . . . , k musí naplnit poptávku v obdobích 1, 2, . . . , k),
a proto k optimálnímu rozdělení výroby dospějeme takto:
– v prvním sloupci vybereme pole s nejnižší cenou a vložíme do něj hodnotu
co možná největší vzhledem k řádkové i sloupcové kapacitě; pak pokračujeme
druhou nejnižší cenou v prvním sloupci, atd.
– ve druhém sloupci vybereme pole s nejnižší cenou a vyplníme maximálně vzhledem
k chybějícím kapacitám; atd.
– po projítí všech sloupců je výsledek už optimální plán.
184 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 11.6 Je dáno:
kapacity výroby poptávka
období i aRi
aTi
bi
1 100 50 120
2 150 80 200
3 100 100 250
4 200 50 200
550 280 770
ci = 2, di = 3, hi = 0, 1 pro všechna i.
Řešení. Kapacita výroby je o 60 jednotek větší než poptávka, úlohu tedy vyvážíme
přidáním sloupce s kapacitou 60 jednotek
1 2 3 4 navíc
R1
2 2,1 2,2 2,3 M
100
T1
3 3,1 3,2 3,3 M
50
R2
2 2,1 2,2 M
150
T2
3 3,1 3,2 M
80
R3
2 2,1 M
100
T3
3 3,1 M
100
R4
2 M
200
T4
3 M
50
120 200 250 200 60
V pravém horním rohu polí jsou vepsány jednotkové ceny výroby + skladování.
Konstanta M označuje dostatečně velké číslo (větší než jakákoli jiná cena v
tabulce).
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 185
Algoritmus vyplnění tabulky:
1) V prvním sloupci je minimální cena 2 v poli (1, 1) – zde vložíme maximální
možnou hodnotu 100 (tím se vyčerpá kapacita v 1.řádku a všechna ostatní pole
v 1. řádku můžeme proškrtnout pomlčkou).
Do pole (2, 1) vložíme zbývající hodnotu 20, která vyčerpá kapacitu 1.sloupce.
2) Ve 2.sloupci do pole (3, 3) s minimální cenou 2 vložíme hodnotu 150 omezenou
kapacitou 3.řádku (tím je tato vyčerpána a ostatní pole ve 3.řádku proškrtneme
pomlčkou).
Další neproškrtnuté pole s minimální cenou ve 2.sloupci je (4, 2), kam vložíme
zbylou kapacitu 50 druhého sloupce. Poslední zbylé pole (2, 2) proškrtneme
pomlčkou.
3) Atd., výsledné vyplnění je dáno tabulkou
1 2 3 4 navíc
R1
2
100
2,1
−
2,2
−
2,3
−
M
− 100
T1
3
20
3,1
−
3,2
20
3,3
−
M
10 50
R2
2
150
2,1
−
2,2
−
M
− 150
T2
3
50
3,1
30
3,2
−
M
− 80
R3
2
100
2,1
−
M
− 100
T3
3
100
3,1
−
M
− 100
R4
2
200
M
− 200
T4
3
−
M
50 50
120 200 250 200 60
b) řešení modelu pro pi = 0: Už nemusí být splněna (∗), tj. po vyplnění tabulky postupem
z a) musíme ještě provést optimalizační krok, kterým se eventuelně sníží
celková cena výroby + skladování. Optimalizační krok dopravní úlohy byl podrobně
popsán v kapitole 9, proto čtenáře odkazuji na příslušný přednáškový text.
186 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 11.7 Optimalizujte plán na tři období:
i aRi
aTi
1 15 10
2 15 0
3 20 15
Poptávky a jednotkové ceny výroby jsou uvedeny v tabulce:
1 2 3 navíc
R1
5 6 7 M
15
T1
10 11 12 M
10
R2
7 5 6 M
15
R3
9 7 5 M
20
T3
14 12 10 M
15
20 35 15 5
Řešení. Po vyplnění způsobem popsaným v a) dospějeme k tabulce:
1 2 3 navíc
R1
5
15
6
−
7
−
M
− 15
T1
10
−
11
5
12
−
M
5 10
R2
7
5
5
10
6
−
M
− 15
R3
9
−
7
20
5
−
M
− 20
T3
14
−
12
−
10
15
M
− 15
20 35 15 5
Celková cena = 15 · 5 + 5 · 11 + 5 · 7 + · · · + 15 · 10 = 505 f.j. (položku 5 · M na pozici
(2, 4) jsme nebrali v úvahu, protože se jedná o fiktivní období).
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 187
Toto rozdělení lze ještě zlepšit optimalizačním krokem (viz kapitola 9), dospějeme
k tabulce
1 2 3 navíc
R1
5
15
6
−
7
−
M
− 15
T1
10
5
11
5
12
−
M
− 10
R2
7
−
5
15
6
−
M
− 15
R3
9
−
7
5
5
15
M
− 20
T3
14
−
12
10
10
−
M
5 15
20 35 15 5
s celkovou cenou 485 f.j. (opět jsme nepočítali fiktivní cenu 5 · M v posledním sloupci).
188 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
11.2 Pravděpodobnostní modely
11.2.1 Model nepřetržité kontroly pro jednu položku
Označení a předpoklady použití modelu:
– zboží na skladě je neustále kontrolováno a jestliže jeho množství klesne na jistou
hodnotu R, přikročí se k objednávce o velikosti y:
PSfrag replacements
R



y



y



y
-
čas mezi
objednáním
a dodáním
-
čas mezi
objednáním
a dodáním
-
cyklus 1
-
cyklus 2
– náhodná veličina poptávky mezi objednáním a dodáním . . . X
– podmíněná hustota poptávky X během času mezi objednáním a dodáním (nenulová
pro x > 0) . . . r(x| t)
– hustota doby t mezi objednáním a dodáním . . . s(t)
– hustota poptávky x během doby mezi objednáním a dodáním:
f(x) =
∞
0
r(x| t) · s(t) dt
– velikost objednávky v jednom cyklu . . . y
– očekávaná celková poptávka za jednotku času (zpravidla 1 rok) . . . D
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 189
– jednotková skladovací cena za jednotku času . . . h
– jednotková cena penalizaci při nevyřízené objednávce za jednotku času . . . p
– cena objednávky (doprava) . . . K
Řešení modelu: Určíme optimální R a y tak, aby celková cena skladování za jednotku
času byla minimální
– očekávané množství na skladě na konci cyklu . . . E(R − x) = R − Ex
na začátku cyklu . . . y + R − Ex
– průměrná velikost zásob za jeden cyklus . . . H = (y+R−Ex)+(R−Ex)
2
= y
2
+ R − Ex
(v tomto členu H je zanedbána situace, kdy R − Ex je záporná; předpokládá se, že
se tím dopustíme malé chyby)
– množství zboží, kterého je v daném cyklu nedostatek (a tudíž prodej nelze vyřídit)
S(x) =
0 . . . x ≤ R
x − R . . . x > R
– průměrná velikost nevyřízené poptávky . . . S =
∞
0
S(x) · f(x) dx =
∞
R
(x − R)f(x) dx
– celková cena skladování za jednotku času =
= průměrná cena objednávky
za jednotku
času
+ očekávaná cena
skladování
+ očekávaná penalizace
v důsledku později vyřízených
objednávek
TAC(y, R) =
DK
y
+ h
y
2
+ R − Ex + p ·
DS
y
Zde došlo k dalšímu zjednodušení, že totiž penalizační člen uvažujeme nezávislý
na době zpoždění dodávky, i když závislý je.
Stacionární body funkce TAC(y, R) najdeme řešením systému
∂ TAC(y,R)
∂ y
= 0
∂ TAC(y,R)
∂ R
= 0



⇒
−DK
y2 + h
2
− pDS
y2 = 0
h − pD
y
∞
R
f(x) dx = 0
Systém lze přepsat ve tvaru
y =
2D(K + pS)
h
(11.1)
190 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
∞
R
f(x) dx =
hy
pD
(11.2)
a řešit numericky iterační metodou (pokud tato konverguje k přesnému řešení).
Zavádíme následující postup:
a) y1 určíme ze zjednodušené verze rovnice (11.1):
y1 =
2DK
h
b) dosazením y1 do (11.2) určíme R1
c) dosazením R1 do (11.1) určíme y2
d) dosazením y2 do (11.2) určíme R2 atd.
Za jistých předpokladů (pro R = 0 máme y = 2D(K+p Ex)
h
z rov. (11.1)
y = pD
h
z rov. (11.2),
pro y ≥ y řešení existuje)
platí yn → y∗
, Rn → R∗
.
Příklad 11.8 Určete řešení pro K = 100 Kč, D = 1 000 jednotek zboží, p = 10 Kč,
h = 2 Kč a rovnoměrné rozdělení poptávky X na intervalu [0; 100].
Řešení. y = pD
h
= 5 000 > y = 774, 5 ⇒ řešení existuje.
Nejprve určíme S:
S =
∞
R
(x − R)f(x) dx =
100
R
(x − R) ·
1
100
dx =
R2
200
− R + 50
Rovnice (11.1) a (11.2) jsou tvaru:
(11.1) y =
2·1 000 100+10 R2
200
−R+50
2
(11.2)
100
R
1
100
dx = 2y
10·1 000
⇒ R = 100 − y
50
Nyní užitím iteračního procesu:
1. iterace: pro S = 0 určíme z (11.1): y1 = 2DK
h
= 316
z (11.2): R1 = 100 − 316
50
= 93, 68
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 191
2. iterace: S =
R2
1
200
− R1 + 50 = 0, 19971 ⇒ y2 = 319, 37 z rovnice (11.1)
R2 = 93, 612 z rovnice (11.2)
3. iterace: y3 = 319, 43 dosazením R2 do (11.1)
R3 = 93, 612 dosazením y3 do (11.2)
Hodnoty y3, R3 se už moc neliší od y2, R2, uzavíráme tedy
y∗
= 319, 4; R∗
= 93, 61.
11.2.2 Model pro jednu položku a jedno období s jednorázovou objednávkou
na začátku období a jednorázovou poptávkou
Předpoklady užití modelu a označení:
– na začátku období (před provedením objednávky) máme na skladě x jednotek zboží
– neuvažujeme cenu objednávky K (objednává se pouze jednou)
– po obdržení objednávky velikosti (y − x) se odčerpá poptávka D
a na skladě zůstane H(y) =
0 . . . D ≥ y
y − D . . . D < y,
přičemž se nedostává G(y) =
0 . . . D < y
D − y . . . D ≥ y
jednotek zboží
E E
T T
c
T
D
c
T
y
c
T
y
c
T
D
D < y D > y
c
na skladě po vyřízení poptávky D
zůstane y − D jednotek zboží
c
nebylo vyřízeno D − y jednotek
zboží poptávky D
– penalizační cena (při nevyřízení prodeje zboží) jednotky zboží za jednotku času . . . p
– cena skladování jednotky zboží za jednotku času (= za dané období) . . . h
– výrobní cena jednotky zboží . . . c
192 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Vzhledem k typu poptávky budeme uvažovat dvě verze modelu:
a) poptávka je spojitá náhodná veličina s hustotou f(D)
očekávaná celková
cena za období
=
výrobní cena
zboží
+
očekávaná cena
skladování
+
očekávaná cena
penalizace
EC(y) = c (y − x) + h
∞
0
H(y) f(D) dD + p
∞
0
G(y) f(D) dD
= c (y − x) + h
y
0
(y − D) f(D) dD + p
∞
y
(D − y) f(D) dD.
Optimální y∗
určíme nalezením stacionárního bodu, tj. řešením rovnice ∂EC(y)
∂y
= 0:
c + h
y
0
f(D) dD − p
∞
y
f(D) dD = 0
c + h
y
0
f(D) dD − p

1 −
y
0
f(D) dD

 = 0
Odtud y∗
získáme z rovnice
y∗
0
f(D) dD =
p − c
p + h
Model dává rozumný výsledek jen pro p > c, což je požadováno proto, že integrál
na levé straně rovnosti je kladný.
Optimálním rozhodnutím pak tedy je:
y∗
> x . . . objednat y∗
− x
y∗
≤ x . . . neobjednávat další zboží
Příklad 11.9 Určete řešení pro h = 0, 5 Kč, p = 4, 5, c = 0, 5 a hustotu
f(D) =
1
10
. . . D ∈ 0; 10
0 . . . jinak
.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 193
Řešení. Máme p−c
p+h
= 0, 8; tj.
P(D ≤ y∗
) =
y∗
0
f(D) dD = 0, 8
y∗
0
1
10
dD = 0, 8
y∗
10
= 0, 8 ⇒ y∗
= 8
b) poptávka je diskrétní náhodná veličina s pstní funkcí f(Di)
EC(y) = c (y − x) + h
y
Di=0
(y − Di) f(Di) + p
∞
Di=y+1
(Di − y) f(Di)
Nutnou podmínkou pro minimum je
EC(y∗
− 1) ≥ EC(y∗
) a současně EC(y∗
+ 1) ≥ EC(y∗
).
Dosazením EC máme (po jisté úpravě)
F(y∗
− 1) = P(D ≤ y∗
− 1) ≤
p − c
p + h
≤ P(D ≤ y∗
) = F(y∗
)
(jak všichni ví, F označuje příslušnou distribuční funkci).
Příklad 11.10 Určete řešení pro h = 1, p = 1, c = 2 a je-li poptávka zadána pstní funkcí
f(Di):
Di 0 1 2 3 4 5
f(Di) 0, 1 0, 2 0, 25 0, 2 0, 15 0, 1
Řešení. Sestrojíme distribuční funkci F (jedná se o kumulativní psti získané sečtením
pstí, že Di ≤ yi):
yi 0 1 2 3 4 5
F(yi) 0, 1 0, 3 0, 55 0, 75 0, 9 1
T
p−c
p+h
= 0, 4, tj. y∗
= 2.
194 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
11.2.3 Model pro jednu položku a jedno období se stejnoměrnou poptávkou
v průběhu celého období
Předpoklady užití modelu a označení:
– na skladě máme x jednotek, jednorázově objednáme (y − x), tj. máme k dispozici
celkem y jednotek zboží
– poptávka za celé období je D
– neuvažujeme cenu K objednávky
– průběh zásob v závislosti na čase:
E E
T T
c
T
D
c
T
y
c
T
y
c
T
D
D < y D > y
průměrně je na skladě . . . y − D
2
průměrně se nedostává . . . 0
průměrně je na skladě . . . y2
2D
průměrně se nedostává . . . (D−y)2
2D
Při řešení modelu si vybereme např. jen tu situaci, že y je spojitá veličina:
EC(y) = c (y−x)+h



y
0
y −
D
2
f(D) dD +
∞
y
y2
2D
f(D) dD



+p
∞
y
(D − y)2
2D
f(D) dD
Najdeme stacionární bod řešením rovnice ∂EC(y)
∂y
= 0:
c + h


y
0
f(D) dD +
∞
y
y
D
f(D) dD

 − p
∞
y
D − y
D
f(D) dD = 0.
Úpravou dostaneme vztah pro optimální hodnotu y∗
:
y∗
0
f(D) dD + y∗
∞
y∗
f(D)
D
dD =
p − c
p + h
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 195
Ad Příklad 11.9. Uvažujme situaci z příkladu 11.9 jen s tím rozdílem, že poptávka není
jednorázová, ale konstantní (rovnoměrně rozložená) v průběhu celého období. Pak vztah
pro optimální hodnotu y∗
lze psát ve tvaru
y
0
1
10
dD + y
10
y
1
10 D
dD = 0, 8
1
10
(y − y ln y + 2, 3 y) = 0, 8
3, 3 y − y ln y − 8 = 0
Řešením dané nelineární rovnice najdeme numericky:
y∗
= 4, 5.
11.2.4 Model pro jednu položku a jedno období s jednorázovou poptávkou
na začátku období, přičemž uvažujeme cenu K objednávky
Předpoklady modelu jsou stejné jako u 11.2.2 s tím rozdílem, že uvažujeme cenu K ob-
jednávky.
Řešení modelu je analogické řešení modelu 11.1.2 (s diskontní sazbou). Pokud k objednávce
nedojde, je výsledek stejný jako u modelu 11.2.2; jinak musíme při realizaci
objednávky k celkové ceně modelu 11.2.2 přičíst konstantu K.
Uvažujme tedy větve f1 = EC(11.2.2)
f2 = EC(11.2.2) + K.
Analogicky modelu 11.1.2 (viz obrázek):
PSfrag replacements
f1 = EC(5.2.2)
•
f2 = EC(5.2.2) + K
•
Ss
196 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Označme s . . . takový bod, že f1(s) = f2(S)
S . . . minimum funkcí f1, f2
Na rozdíl od modelu 11.1.2 je bod s nalevo od bodu S.
S určíme na základě 11.2.2:
S
0
f(D) dD =
p − c
p + h
Body s, S rozdělí reálnou osu na tři části; podle toho, ve které z nich se nachází hodnota
x počtu jednotek zboží na skladě před provedením objednávky. Mluvíme zde o tzv. s − S
politice.
a) x < s:
PSfrag replacements
f1
◦
f2
•
x s S
Protože x jednotek už neobjednáváme, jejich cena je f1(x) = EC(x, 11.2.2); (y − x)
jednotek objednáváme s cenou f2(x) = K + EC(x, 11.2.2). Optimum nastane pro
S . . . tj. objednat (S − x).
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 197
b) s ≤ x ≤ S:
PSfrag replacements
f1
◦
f2
•
xs S
Minimum ceny je v bodě x, tj. rozhodnutí: neobjednávat více.
c) S < x:
PSfrag replacements
f1
◦
f2
•
xs S
Minimum je v S, opět je nejlepší neobjednávat nic víc.
198 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Ad Příklad 11.9. Uvažujme situaci v příkladu 11.9 z modelu 11.2.2, navíc ovšem cenu
objednávky K = 25 Kč; x = 0. Protože y∗
= 8, máme S = 8. Najdeme s:
EC(y, 11.2.2) = 0, 5 (y − x) + 0, 5
y
0
1
10
(y − D) dD + 4, 5
10
y
1
10
(D − y) dD
= 0, 5 (y − x) + 0, 5 y D −
D2
2
y
0
+ 0, 45
D2
2
− y D
10
y
= 0, 25 y2
− 4 y + 22, 5 − 0, 5 x
= 0, 25 y2
− 4 y + 22, 5
EC(s) = K + EC(S)
0, 25 s2
− 4 s + 22, 5 = 25 + 0, 25 · 64 − 4 · 8 + 22, 5
s2
− 16 s − 36 = 0
s1,2 =
−2
18
Volíme to s, jež je menší než S = 8, tj. s = −2. To znamená, že případ x < s nemůže
nastat, tj. rozhodnutí je v každém případě neobjednávat.
11.3 Shrnutí
V této kapitole jsme se zabývali matematickým zpracováním odpovědi na následující
otázku z teorie zásob: Kdy a kolik zboží je optimální objednat?
Rozhodnutí o skladové politice je prováděno s ohledem na celkovou cenu (tuto celkovou
cenu chceme minimalizovat):
celková cena = cena zboží + cena objednávky
(dopravy)
+ cena skladování + cena penalizační
za škody vzniknuvší
při nedostatku
zásob
Podle typu poptávky zboží rozdělujeme matematické modely na deterministické (je známa
velikost poptávky zboží) a pravděpodobnostní (poptávka přesně není známa, pouze její
pravděpodobná hodnota). Dále můžeme modely dělit podle toho, jestli se velikost poptávky
s rostoucím časem mění nebo ne, a to na statické a dynamické (v případě deterministických
modelů) a na stacionární a nestacionární (v případě pstních modelů).
A. Deterministické modely
A.1. Statický model pro jednu položku
Předpoklady použití modelu:
– poptávka je konstantní . . . β jednotek zboží za jednotku času
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 199
– zásoby jsou jednorázové doplňovány po určité časové periodě t0
– není uvažován nedostatek zásob (záporné zásoby na skladě znamenají nevyřízenou
objednávku zboží)
– velikost objednávky . . . y jednotek zboží
– dodací lhůta objednávky je známá konstanta . . . L časových jednotek
– cena objednávky (dopravy) . . . K finančních jednotek
– h . . . cena skladování jednotky zboží za jednotku času
Řešení modelu: řešením je optimální velikost objednávky y0 taková, aby celková cena
byla minimální
y0 =
2Kβ
h
Objednávku musíme realizovat vždy L časových jednotek před vyčerpáním zásob.
A.2. Statický model pro jednu položku s diskontními cenami
Předpoklady použití modelu jsou stejné jako u předchozího modelu až na to, že do
celkové ceny se navíc započítává i fakt, že pokud objednané množství překročí nějakou
hranici q, klesá cena jednotky zboží. Tj. celková cena za jednotku času je dána vztahem:
TCU(y) =
f1(y) = β · c1 + K·β
y
+ h
2
· y . . . y < q
f2(y) = β · c2 + K·β
y
+ h
2
· y . . . y ≥ q
(c1 > c2)
Řešení modelu: určíme y0 = 2Kβ
h
; pokud y0 > q, optimální hodnota objednávky
je y0; jinak určíme q1 tak, aby f2(q1) = f1(y0); pak pro q < q1 objednáme q jednotek
zboží, jinak je optimální hodnota opět y0.
A.3. Statický model pro více druhů zboží s omezením skladového pro-
storu
Předpoklady použití modelu:
– maximální plocha skladování . . . A
– požadavek skladovací plochy na jednotku i-tého druhu zboží . . . ai
– velikost objednávky zboží druhu i . . . yi
musí platit
(∗)
n
i=1
ai yi ≤ A
– zboží každého druhu je jednorázově doplňováno s periodou ti = yi
βi
, kde βi, Ki, hi
mají stejný význam jako v modelu A.1, ale pro zboží druhu i není uvažován nedostatek
zásob ani diskontní ceny.
200 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Řešení modelu: Pokud y 0
i = 2 Ki βi
hi
splňují omezení (∗), máme optimum.
V opačném případě řešíme systém



y 0
i = 2 Ki βi
hi+2 λ ai
n
i=1
ai y 0
i − A = 0


 numericky: zvyšujeme λ s
určitým krokem tak dlouho, až výraz
n
i=1
ai yi − A je záporný; z posledních dvou hodnot
λ pak interpolací najdeme optimální λ, tj. i optimální y 0
i .
A.4. Dynamický model pro jednu položku a N období
Předpoklady použití modelu:
– poptávka v období i . . . Di (Di ∈ R)
– množství zboží objednávané na začátku období i . . . zi
– množství zboží, které je na skladě na začátku období i před přijetím objednávaného
zi . . . xi
– jednotková cena skladování, jestliže zboží skladované v období i zůstane na skladě
i na začátku období i + 1 . . . hi
– cena objednávky v období i . . . Ki
– výrobní cena zboží při objednávaném množství zi . . . ci(zi)
(může se měnit v různých obdobích, lze uvažovat i diskontní ceny)
– cena nákupu zboží v období i . . . Ci(zi) =
0 . . . zi = 0
Ki + ci(zi) . . . zi > 0
Řešení modelu: Úkolem je určit optimální zi. Použijeme přímý algoritmus dynamického
programování, rekurzivní rovnice jsou tvaru:
f1(x2) = min
0≤z1≤D1+x2
(C1(z1) + h1 x2)
fi(xi+1) = min
0≤zi≤Di+xi+1
(Ci(zi) + hi xi+1 + fi−1(xi)) pro i = 2, . . . , N
V jakékoliv fázi musí platit 0 ≤ xi+1 ≤ Di+1 + · · · + DN .
A.5. Dynamický model plánování výroby jedné položky na N období
Cílem modelu je naplánovat výrobu tak, aby se minimalizovala její celková cena.
Označení a předpoklady použití modelu:
– výrobní cena jednotky zboží v pracovní době období i . . . ci
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 201
– výrobní cena jednotky zboží v přesčasové době období i (ci < di) . . . di
– skladovací cena jednotky zboží, které zůstalo na skladu na konci období i . . . hi
– penalizační cena jednotky zboží objednaného v období i, ovšem vyrobeného v období
i + 1 . . . pi
– výrobní kapacita (v počtu jednotek) v období i v pracovní době . . . aRi
– výrobní kapacita v období i v přesčasové době . . . aTi
– poptávka (v počtu jednotek) v období i . . . bi
Řešení modelu
a) pi = 0: Díky tomuto předpokladu zde platí
(∗)
k
i=1
(aRi
+ aTi
) ≥
k
j=1
bj, k = 1, 2, . . . , N
Úlohu lze formulovat jako dopravní úlohu a zapsat do tabulky. Protože platí (∗), stačí
projít všechny sloupce uvedeným algoritmem pouze jednou a již máme optimální
řešení.
b) pi = 0: Už nemusí být splněna (∗), tj. po vyplnění tabulky postupem z a) musíme
ještě provést optimalizační krok, kterým se eventuelně sníží celková cena výroby +
skladování.
B. Pravděpodobnostní modely
B.1. Model nepřetržité kontroly pro jednu položku
Označení a předpoklady použití modelu:
– zboží na skladě je neustále kontrolováno a jestliže jeho množství klesne na jistou
hodnotu R, přikročí se k objednávce o velikosti y
– náhodná veličina poptávky mezi objednáním a dodáním . . . X
– podmíněná hustota poptávky X během času mezi objednáním a dodáním (nenulová
pro x > 0) . . . r(x| t)
– hustota doby t mezi objednáním a dodáním . . . s(t)
– hustota poptávky x během doby mezi objednáním a dodáním:
f(x) =
∞
0
r(x| t) · s(t) dt
202 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
– velikost objednávky v jednom cyklu . . . y
– očekávaná celková poptávka za jednotku času (zpravidla 1 rok) . . . D
– jednotková skladovací cena za jednotku času . . . h
– jednotková cena penalizaci při nevyřízené objednávce za jednotku času . . . p
– cena objednávky (doprava) . . . K
Řešení modelu: Následujícím postupem určíme optimální R a y tak, aby celková cena
skladování za jednotku času byla minimální:
a) Vypočteme y1
y1 =
2DK
h
b) dosazením y1 do
∞
Rn
f(x) dx =
hyn
pD
určíme R1.
c) dosazením R1 do
yn+1 =
2D(K + pSn)
h
,
kde
Sn =
∞
Rn
(x − Rn)f(x) dx
určíme y2.
Za jistých předpokladů platí yn → y∗
, Rn → R∗
, tj. kroky b) a c) opakujeme tak dlouho,
až jsou hodnoty dostatečně přesné.
B.2. Model pro jednu položku a jedno období s jednorázovou objednávkou
na začátku období a jednorázovou poptávkou
Předpoklady užití modelu a označení:
– na začátku období (před provedením objednávky) máme na skladě x jednotek zboží
– neuvažujeme cenu objednávky K (objednává se pouze jednou)
– po obdržení objednávky velikosti (y − x) se odčerpá poptávka D
a na skladě zůstane H(y) =
0 . . . D ≥ y
y − D . . . D < y,
přičemž se nedostává G(y) =
0 . . . D < y
D − y . . . D ≥ y
jednotek zboží
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 203
– penalizační cena (při nevyřízení prodeje zboží) jednotky zboží za jednotku času . . . p
– cena skladování jednotky zboží za jednotku času (= za dané období) . . . h
– výrobní cena jednotky zboží . . . c
Řešení modelu:
a) poptávka je spojitá náhodná veličina s hustotou f(D)
Optimální y∗
získáme řešením rovnice
y∗
0
f(D) dD =
p − c
p + h
b) poptávka je diskrétní náhodná veličina s pstní funkcí f(Di)
Optimální y∗
získáme řešením rovnice
F(y∗
− 1) ≤
p − c
p + h
≤ F(y∗
)
Optimálním rozhodnutím pak je:
y∗
> x . . . objednat y∗
− x
y∗
≤ x . . . neobjednávat další zboží.
B.3. Model pro jednu položku a jedno období se stejnoměrnou poptávkou v
průběhu celého období
Předpoklady užití modelu a označení:
– na skladě máme x jednotek, jednorázově objednáme (y − x), tj. máme k dispozici
celkem y jednotek zboží
– poptávka za celé období je D
– neuvažujeme cenu K objednávky
Řešení modelu: Optimální hodnotu y∗
(pro spojitou náhodnou veličinu y) získáme řešením
rovnice:
y∗
0
f(D) dD + y∗
∞
y∗
f(D)
D
dD =
p − c
p + h
.
204 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
B.4. Model pro jednu položku a jedno období s jednorázovou poptávkou
na začátku období, přičemž uvažujeme cenu K objednávky
Předpoklady modelu jsou stejné jako u B.2 s tím rozdílem, že uvažujeme cenu K
objednávky.
Řešení modelu: Je analogické řešení modelu A.2. Pokud k objednávce nedojde, je
výsledek stejný jako u modelu B.2; jinak musíme při realizaci objednávky k celkové ceně
modelu B.2 přičíst konstantu K.
Uvažujeme tedy větve f1 = EC(B.2)
f2 = EC(B.2) + K.
Označme s . . . takový bod, že f1(s) = f2(S)
S . . . minimum funkcí f1, f2
Body s, S rozdělí reálnou osu na tři části; optimální řešení najdeme podobně jako v
modelu A.2.
11.4 Otázky k opakování
U následujících výroků rozhodněte, zda se jedná o výrok pravdivý či nepravdivý.
Otázka 11.1 Časová perioda t0, po které jsou zásoby jednorázově doplněny, je ve „statickém
modelu pro jednu položku konstantní.
Otázka 11.2 Ve „statickém modelu pro jednu položku je optimální hodnota y0 jediným
minimem funkce TCU(y).
Otázka 11.3 Ve „statickém modelu pro jednu položku s diskontními cenami může být
funkce TCU(y) na některém intervalu konkávní.
Otázka 11.4 V případě „statického modelu pro více druhů zboží s omezením skladového
prostoru je zahrnut i případ nedostatečných zásob zboží libovolného druhu i.
Otázka 11.5 Při hledání optima „statického modelu pro více druhů zboží s omezením
skladového prostoru se řeší systém n rovnic o n neznámých.
Otázka 11.6 V případě „dynamického modelu pro jednu položku a N období musíme
v každém období vyčerpat všechny zásoby.
Otázka 11.7 Při řešení „dynamického modelu plánování výroby jedné položky na N období
využíváme dynamického programování.
Otázka 11.8 V případě „dynamického modelu plánování výroby jedné položky na N období
je zahrnut i případ nedostatečných zásob zboží v libovolném období i.
Otázka 11.9 Časová perioda t, po které jsou zásoby jednorázově doplněny, je v „modelu
nepřetržité kontroly pro jednu položku konstantní.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 205
Otázka 11.10 V případě „modelu pro jednu položku a jedno období s jednorázovou objednávkou
na začátku období a jednorázovou poptávkou je optimální velikost objednávky
přímo úměrná rozdílu penalizační a výrobní ceny jednotky zboží.
Otázka 11.11 V „modelu pro jednu položku a jedno období se stejnoměrnou poptávkou
v průběhu celého období je poptávka za celé období známá konstanta.
Otázka 11.12 V případě „modelu pro jednu položku a jedno období s jednorázovou poptávkou
na začátku období, přičemž uvažujeme cenu K objednávky je zahrnut i případ
nedostatečných zásob zboží.
Odpovědi na otázky viz 13.6.
11.5 Příklady ke cvičení
Příklad 11.1 Roční poptávka zboží je 1500 jednotek. Cena objednávky je vždy 20 Kč navíc
k ceně zboží. Skladovací cena jednotky zboží je 2 Kč na měsíc a není dovolen nedostatek
zásob.
a) Určete optimální velikost objednávky a čas mezi jednotlivými objednávkami.
b) Určete rozdíl roční celkové ceny optimální strategie a roční celkové ceny, kdyby se
objednávalo každý měsíc 12-krát za rok.
Příklad 11.2 Cena zboží je 4 Kč za jednotku, ale při odběru 150 kusů a více dostaneme
10% slevu. Firma, která spotřebuje 20 kusů za den, se rozhoduje, jestli se jí vyplatí využít
akční nabídky. Cena objednávky je 50 Kč a skladovací cena jednotky zboží je 0, 30 Kč
za 1 den. Měla by firma využít slevu?
Příklad 11.3 Pro potřeby výrobního procesu jsou skladovány 4 druhy materiálu.
Poptávka po všech typech je stále stejná a není povolen nedostatek zásob. Di označuje
potřebné množství i-tého druhu za rok. V souladu se značením v kapitole 11.1.3 jsou
dány následující údaje:
materiál i Ki βi hi Di
1 100 10 0, 1 10 000
2 50 20 0, 2 5 000
3 90 5 0, 2 7 500
4 20 10 0, 1 5 000
Určete optimální velikosti objednávek pro jednotlivé druhy materiálu, jestliže požadujeme,
aby maximální počet všech objednávek nepřekročil 200.
206 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 11.4 Uvažujme hospodaření jedné položky v průběhu čtyř období:
období i Di Ki hi
1 5 5 1
2 7 7 1
3 11 9 1
4 3 7 1
Nákupní cena je 1 Kč za jednotku u prvních šesti jednotek a 2 Kč za každou další jednotku.
Stanovte optimální plán objednávek.
Příklad 11.5 Poptávka po produktu může být v následujících čtyřech obdobích uspokojena
buď výrobou v normální pracovní době nebo v přesčasové době. Kapacity výroby a poptávka
pro jednotlivá období jsou dány v následující tabulce:
kapacity výroby poptávka
období i aRi
aTi
bi
1 120 50 160
2 70 20 80
3 90 80 150
4 70 50 100
Výrobní cena jednotky zboží je po všechna období stejná, v normální pracovní době je
1 Kč, v přesčasové době je 2 Kč. Skladovací cena jednotky zboží je také po všechna období
stejná a je rovna 0, 5 Kč za jedno období. Dále také nesmí nastat případ, že by v některém
období výroba nepokryla objednávky. Stanovte optimální plán výroby.
Příklad 11.6 Uvažujme model nepřetržité kontroly pro jednu položku. Určete optimální
řešení pro K = 20 Kč, D = 10 000 jednotek zboží, p = 4 Kč, h = 2 Kč a normální rozdělení
poptávky X se střední hodnotou 100 a rozptylem 4.
Příklad 11.7 Jednorázová poptávka zboží pro jedno období má exponenciální rozdělení
se střední hodnotou 10 jednotek. Objednáváme jednorázově na začátku období, cena skladování
a penalizační cena jednotky zboží za jednotku času jsou 1 Kč, resp. 3 Kč. Výrobní
cena jednotky zboží je 2 Kč. Určete optimální velikost objednávky, jestliže před provedením
objednávky máme na skladě 2 jednotky zboží. Jaká je optimální velikost objednávky,
jestliže před provedením objednávky máme na skladě 5 jednotek zboží?
Příklad 11.8 Řešte příklad 11.7, jestliže jednorázová poptávka zboží pro jedno období má
Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 10 jednotek.
Příklad 11.9 Poptávka zboží, která má rozdělení dáno hustotou
f(D) =
1 − 1
2
D . . . D ∈ 0, 2
0 . . . jinak,
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 207
je konstantní (stejnoměrně rozdělená) v průběhu celého období. Objednáváme jednorázově
na začátku období, cena skladování a penalizační cena jednotky zboží za jednotku času jsou
1 Kč, resp. 4 Kč. Výrobní cena jednotky zboží je 2 Kč. Určete optimální velikost objednávky.
Příklad 11.10 Určete optimální strategii objednávání u modelu pro jednu položku a jedno
období s jednorázovou poptávkou, je-li dáno
f(D) =
1
5
D . . . D ∈ 5, 10
0 . . . jinak,
h = 1 Kč, p = 5 Kč a c = 3 Kč. Uvažujeme také cenu objednávky K = 5 Kč a víme, že
před provedením objednávky máme na skladě 10 jednotek zboží.
Výsledky příkladů viz 13.6.
208 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
12 Pravděpodobnostní dynamické programování
Následující úloha jen slouží jako demonstrace problematiky. Využití uváděných metod
spadá i do jiných oblastí, právě i do probírané teorie skladových zásob, dále teorie obnovy,
řízení toku peněz, regulace vodní nádrže, apod.
Příklad 12.1 Problém zahradnice.
Zahradnice každý rok testuje kvalitu půdy své zahrady. Výsledky dělí do tří kategorií:
výborná (stav 1), dobrá (stav 2), špatná (stav 3).
Všimla si, že může předpokládat, že úrodnost půdy závisí na její kvalitě pouze v
předchozím roce, tj. že psti přechodu z jednoho stavu do druhého lze reprezentovat
Markovského řetězcem:
p1
ij = PPP1
=
1 2 3 → stav půdy v příštím roce
1
2
3



0, 2 0, 5 0, 3
0 0, 5 0, 5
0 0 1



↓
stav půdy letos
Z matice přechodových pstí je vidět, že když se půda nechá ladem, jde její produktivita
od deseti k pěti. Samozřejmě, že psti přechodu mohou být ovlivněny přihnojováním půdy:
p2
ij = PPP2
=
1 2 3
1
2
3



0, 3 0, 6 0, 1
0, 1 0, 6 0, 3
0, 05 0, 4 0, 55



(PPP2
neznamená „pé na druhou , ale „pé s indexem 2 ).
Příslušné roční výnosy půdy (ve stovkách dolarů), když půda přijde ze stavu i do stavu j,
jsou:
• když se nehnojí:
r1
ij = RRR1
=



7 6 3
0 5 1
0 0 −1



• když se hnojí:
r2
ij = RRR2
=



6 5 −1
7 4 0
6 3 −2



Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 209
Z matic RRR1
,RRR2
je například vidět, že proces 1 → 1 má nižší výnos při hnojení než bez
hnojení, protože ve výnosu při hnojení je započítána cena hnojiva.
Otázka úlohy:
1) Hnojit či nehnojit v daném roce, aby celkové výnosy za k let byly maximální?
2) Jaký výnos celkem přinese daná posloupnost rozhodnutí v nejbližších k letech?
(Např. jednoduchá je odpověď v případě tzv. stacionární politiky
„hnojit jen za stavu 3 :
v tomto případě se matice s výhledem na k = ∞ období najdou snadno:
PPP =



0, 2 0, 5 0, 3
0 0, 5 0, 5
0, 05 0, 4 0, 55


 , RRR =



7 6 3
0 5 1
6 3 −2



(první dva řádky jsou shodné s maticemi PPP1
,RRR1
, třetí řádek s maticemi PPP2
,RRR2
)).
Řešení.
a) řešení úlohy pro konečné k = N
Úlohu vyřešíme pomocí dynamického programování:
m . . . počet možných stavů (v našem příkladu m = 3)
fn(i) . . . optimální (očekávaný) výnos z fází n, n + 1, . . . , N
za daného stavu i na počátku období n
Využijeme zpětné rekurzivní rovnice (viz obrázek):












........
........
........
........
rr
rrr
rrr
rrr
rrrj
E¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨B1
i
m
1
j
m
fn+1(1)
fn+1(j)
fn+1(m)
fn(1)
fn(i)
fn(m)
fáze n fáze n + 1
pk
ijrk
ij
p k
im r k
im
p
k
i1
r
k
i1
210 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
fn(i) = max
k
m
j=1
pk
ij rk
ij + fn+1(j) , n = 1, 2, . . . , N
fN+1 = 0 pro každé j
Označíme-li vk
i =
m
j=1
pk
ijrk
ij, rekurzivní rovnice mají tvar
fN (i) = max
k
vk
i
fn(i) = max
k
vk
i +
m
j=1
pk
ijfn+1(j) pro n = 1, 2, . . . , N − 1
Např. v naší úloze pro k = 1
v1
1 = 0, 2 · 7 + 0, 5 · 6 + 0, 3 · 3 = 5, 3
v1
2 = 0 · 0 + 0, 5 · 5 + 0, 5 · 1 = 3
v1
3 = 0 · 0 + 0 · 0 + 1 · (−1) = −1



zisky jednotlivých
stavů při alternativě
„nehnojit
Ad Příklad 12.1. Předpokládejme N = 3 . . . tříletý horizont plánování
v2
1 = 4, 7
v2
2 = 3, 1
v2
3 = 0, 4



zisky jednotlivých
stavů při alternativě
„hnojit
fáze 3:
vk
i opt. řešení
i k = 1 k = 2 f3(i) k∗
1 5, 3 4, 7 5, 3 1
2 3 3, 1 3, 1 2
3 −1 0, 4 0, 4 2
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 211
fáze 2:
vk
i + pk
i1f3(1) + pk
i2f3(2) + pk
i3f3(3) opt. řešení
i k = 1 k = 2 f2(i) k∗
1
5, 3 + 0, 2 · 5, 3 + 0, 5 · 3, 1
+0, 3 · 0, 4 = 8, 03
4, 7 + 0, 3 · 5, 3 + 0, 6 · 3, 1
+0, 1 · 0, 4 = 8, 19
8, 19 2
2
3 + 0 + 0, 5 · 3, 1
+0, 5 · 0, 4 = 4, 75
3, 1 + 0, 1 · 5, 3 + 0, 6 · 3, 1
+0, 3 · 0, 4 = 5, 61
5, 61 2
3
−1 + 0 + 0 + 1 · 0, 4
= −0, 6
0, 4 + 0, 05 · 5, 3 + 0, 4 · 3, 1
+0, 55 · 0, 4 = 2, 13
2, 13 2
fáze 1:
vk
i + pk
i1f2(1) + pk
i2f2(2) + pk
i3f2(3) opt. řešení
i k = 1 k = 2 f1(i) k∗
1
5, 3 + 0, 2 · 8, 19 + 0, 5 · 5, 61
+0, 5 · 2, 13 = 10, 38
4, 7 + 0, 3 · 8, 19 + 0, 6 · 5, 61
+0, 1 · 2, 13 = 10, 74
10, 74 2
2
3 + 0 + 0, 5 · 5, 61
+0, 5 · 2, 13 = 6, 87
3, 1 + 0, 1 · 8, 19 + 0, 6 · 5, 61
+0, 3 · 2, 13 = 7, 92
7, 92 2
3
−1 + 0 + 0 + 1 · 2, 13
= 1, 13
0, 4 + 0, 05 · 8, 19 + 0, 4 · 5, 61
+0, 55 · 2, 13 = 4, 23
4, 23 2
Můžeme psát odpověď: zahradnice by měla v prvním a druhém roce hnojit vždy,
a ve třetím roce hnojit tehdy, pokud je stav 2 nebo 3.
Optimální zisk záleží na stavu půdy v roce plánování (= před prvním rokem, který jsme
v plánování uvažovali).
Při půdě ve stavu 1 bude 10, 74 · 100 $
2 7, 92 · 100 $
3 4, 23 · 100 $
Výhodou zpětného chodu metody dynamického programování je to, že pokud chceme
zvýšit plánovací horizont o 1 rok (tj. na 4 roky), všechna data zůstanou využita, pouze
při fázi 1 přidáme ještě další fázi – fázi 0.
212 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Tato „úloha zahradnice může být zobecněna dvěma způsoby:
– přechodové psti mohou být každý rok jiné . . . pk,n
ij . Pak by byly rovnice ve tvaru
fN (i) = max
k
vk,N
i
fn(i) = max
k
vk,n
i +
m
j=1
pk,n
ij fn+1(j) pro n = 1, 2, . . . , N − 1
– chceme znát současnou hodnotu očekávaných zisků (tj. výnosy příštích let budou
násobeny koeficientem α < 1):
D dolarů příští rok = α · D dolarů dnes
(α = 1
1+t
, kde t je roční úroková míra (= interest rate)).
Pak bychom mohli užít rovnice ve tvaru
fN (i) = max
k
vk
i
fn(i) = max
k
vk
i + α
m
j=1
pk
ijfn+1(j) pro n = 1, 2, . . . , N − 1
Při vyhodnocení stacionární politiky (=stále stejné politiky v každém roce) užíváme
vztahu
fn(i) = Ni +
m
j=1
pij fn+1(j)
c
roční zisk zvolené politiky
c
příslušný řádek matice zvolené politiky
Například pro stacionární politiku „hnojit jen ve stavu 3 je
v1 = v1
1 = 5, 3
v2 = v1
2 = 3
v3 = v2
3 = 0, 4



odhad hodnoty fn(i)
pro nižší n lze určit
a uspořádat do ta-
bulky:
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 213
i
n 3 2 1
1 5, 3
5, 3 + 0, 2 · 5, 3 + 0, 5 · 3
+0, 3 · 0, 4 = 7, 98
5, 3 + 0, 2 · 7, 98 + 0, 5 · 4, 7
+0, 3 · 2, 09 = 9, 87
2 3
3 + 0 + 0, 5 · 3 + 0, 5 · 0, 4
= 4, 7
3 + 0, 5 · 4, 7 + 0, 5 · 2, 09
= 6, 39
3 0, 4
0, 4 + 0, 05 · 5, 3 + 0, 4 · 3
+0, 55 · 0, 4 = 2, 09
0, 4 + 0, 05 · 7, 98 + 0, 4 · 4, 7
+0, 55 · 2, 09 = 3, 83
c
zisky vzhledem k počátečnímu stavu
b) řešení úlohy pro k nekonečné (nebo hodně velké)
1) metoda úplného vyčíslení . . . ohodnotíme všechny stacionární politiky a vybereme
tu optimální (lze ji užít jen při nízkém počtu stacionárních politik):
pro S stacionárních politik PPP1
,RRR1
PPP2
,RRR2
...
PPPS
,RRRS
vypočteme
– vs
i . . . výnos jednoho kroku politiky s ve stavu i (i = 1, 2, . . . , m)
– πs
i . . . dlouhodobé stacionární psti pro jednotlivé politiky (slovo „politika je
zde užito v ženském rodě):
řešením systému
πππs
· PPPs
= πππs
m
i=1
πs
i = 1
(je zde maticové zapsán systém (m+1) lineárních rovnic o m neznámých (jedna
z prvních m rovnic je nadbytečná))
– očekávaný výnos pro politiku s:
Es =
m
i=1
πs
i vs
i
Pak optimální politika je ta, pro níž je Es maximální.
214 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Ad Příklad 12.1. Díky 3 stavům a dvěma možnostem v každém z nich
existuje 23
= 8 politik: hnojit v každém stavu
nehnojit nikdy
hnojit jen ve stavu 1
hnojit jen ve stavu 2
hnojit jen ve stavu 3
hnojit jen ve stavech 1 nebo 2
hnojit jen ve stavech 1 nebo 3
hnojit jen ve stavech 2 nebo 3
Kdybychom pro každou z nich určili PPPs
,RRRs
, vs
i , πs
i , zjistili bychom, že optimální
stacionární politika je „hnojit v každém stavu .
2) metoda zlepšení politiky (+ neuvažujeme inflaci)
Už pro 4 alternativy v každém roce (např. hnojit, nehnojit, hnojit 2× ročně,
hnojit 3× ročně) je množství stacionárních politik 43
= 256. Zde je výhodnější užít
následující metodu:
Přepišme rovnici jednoho roku politiky
fn(i) = vi +
m
j=1
pijfn+1(j)
do tvaru
fη(i) = vi +
m
j=1
pijfη−1(j) (∗)
kde η je počet fází, které zbývá vzít v úvahu (abychom mohli studovat asymptotický
proces η → ∞);
dále
(π1, π2, . . . , πm) . . . psti rovnovážného stavu asymptotického procesu,
očekávaný zisk za jednu fázi (= jeden rok) je
E = π1v1 + · · · + πmvm.
Lze ukázat, že pro velká η platí
fη(i) = η · E + f(i),
kde f(i) je jakási konstantní hodnota pro stav i očekávaná při asymptotickém cho-
vání.
Rekurzivní rovnici (∗) lze tedy psát ve tvaru
η · E + f(i) = vi +
m
j=1
pij {(η − 1) · E + f(j)}
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 215
a po úpravě
E = vi +
m
j=1
pij f(j) − f(i) pro i = 1, 2, . . . , m
To je systém m rovnic o (m + 1) neznámých, tj. jednu z nich lze zvolit, např.
f(m) = 0.
krok 1: zvolíme libovolnou politiku s, tj. PPPs
,RRRs
;
předpokládejme fs
(m) = 0 a vyřešme systém m rovnic o m neznámých
Es
= vs
i +
m
j=1
ps
ij fs
(j) − fs
(i), i = 1, 2, . . . , m
krok 2: (zlepšení politiky)
pro každý stav i určíme alternativu k s maximální hodnotou výrazu
vk
i +
m
j=1
pk
ij fs
(j); →
tím se určí maximální
E pro každý stav
to bude nová politika t.
Pokračujeme opakováním kroků 1,2 tak dlouho, až s = t.
Ad Příklad 12.1.
krok 1: zvolme politiku s . . . „nehnojit vůbec ⇒ PPPs
= původní PPP1
RRRs
= původní RRR1
řešme systém
E + f(1)−0, 2 f(1)−0, 5 f(2)−0, 3 f(3) =5, 3
E + f(2) −0, 5 f(2)−0, 5 f(3) = 3
E + f(3) −f(3) =−1
E = −1 ⇒ f(1) ≈ 12, 88
f(2) = 8
f(3) = 0
216 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
krok 2:
vk
i + pk
i1f(1) + pk
i2f(2) + pk
i3f(3) opt. řešení
i k = 1 k = 2 f(i) k∗
1
5, 3 + 0, 2 · 12, 88
+0, 5 · 8 = 11, 875
4, 7 + 0, 3 · 12, 88
+0, 6 · 8 = 13, 36
13, 36 2
2 3 + 0, 5 · 8 = 7
3, 1 + 0, 1 · 12, 88
+0, 6 · 8 = 9, 19
9, 19 2
3 −1 + 0 = −1
0, 4 + 0, 05 · 12, 88
+0, 4 · 8 = 4, 24
4, 24 2
⇓
nová politika t . . . „hnojit vždy ; t = s, tj. pokračujeme.
krok 1’: PPP2
,RRR2
⇒ řešíme systém, získáváme E = 2, 26
f(1) = 6, 75
f(2) = 3, 79
f(3) = 0
krok 2’:
vk
i + pk
i1f(1) + pk
i2f(2) + pk
i3f(3) opt. řešení
i k = 1 k = 2 f(i) k∗
1
5, 3 + 0, 2 · 6, 75
+0, 5 · 3, 79 = 8, 54
4, 7 + 0, 3 · 6, 75
+0, 6 · 3, 79 = 8, 99
8, 99 2
2 3 + 0, 5 · 3, 79 = 4, 89
3, 1 + 0, 1 · 6, 75
+0, 6 · 3, 79 = 6, 05
6, 05 2
3 −1 + 0 = −1
0, 4 + 0, 05 · 6, 75
+0, 4 · 3, 79 = 2, 25
2, 25 2
⇓
t = s, tj. končíme, E = 2, 26 je zisk optimální politiky
Tedy k optimálnímu řešení stacionární politiky jsme dospěli už po dvou iteracích,
nemuseli jsme procházet všech 8 politik.
3) metoda zlepšení politiky (+ uvažuje inflaci)
fη(i) = max
k
vk
i + α
m
j=1
pk
ijfη−1(j)
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 217
Pro η → ∞ je fη(i) = f(i), tj. fη(i) nezávisí na η narozdíl od metody zlepšení
bez uvažování inflace (je to vidět z toho, že E = 0 . . . budoucí zisk se vlivem inflace
blíží k nule).
Postup řešení: opět jsou zde kroky 1,2, ovšem v kroku 1 je systém m rovnic o m
neznámých (E = 0 . . . vypadlo ze systému) a ve 2.kroku volíme variantu s maximální
hodnotou výrazu
vk
i + α
m
j=1
pk
ij fs
(j)
Oba kroky opakujeme tak dlouho, až nová varianta je stejná jako ta stará.
Ad Příklad 12.1.
krok 1: počáteční politika . . . (1, 1, 1)
řešením systému
f(1) − 0, 6 (0, 2 f(1)+0, 5 f(2)+0, 3 f(3)) =5, 3
f(2) − 0, 6 ( 0, 5 f(2)+0, 5 f(3)) = 3
f(3) − 0, 6 ( f(3)) =−1
dostaneme
f(1) ≈ 6, 6
f(2) ≈ 3, 21
f(3) ≈ −2, 5.
krok 2:
vk
i + α(pk
i1f(1) + pk
i2f(2) + pk
i3f(3))
i k = 1 k = 2 k∗
1
5, 3 + 0, 6 (0, 2 · 6, 6 + 0, 5 · 3, 21
−0, 3 · 2, 5) = 6, 6
4, 7 + 0, 6 (0, 3 · 6, 6 + 0, 6 · 3, 21
−0, 1 · 2, 5) = 6, 89
2
2
3 + 0, 6 (0, 5 · 3, 21
−0, 5 · 2, 5) = 3, 21
3, 1 + 0, 6 (0, 1 · 6, 6 + 0, 6 · 3, 21
−0, 3 · 2, 5) = 4, 2
2
3 −1 + 0, 6 (−2, 5) = −2, 5
0, 4 + 0, 6 (0, 05 · 6, 6 + 0, 4 · 3, 21
−0, 55 · 2, 5) = 0, 54
2
tj. s1 = (2, 2, 2)
krok 1’: řešením systému
f(1) − 0, 6 ( 0, 3 f(1)+0, 6 f(2)+ 0, 1 f(3)) =4, 7
f(2) − 0, 6 ( 0, 1 f(1)+0, 6 f(2)+ 0, 3 f(3)) =3, 1
f(3) − 0, 6 (0, 05 f(1)+0, 4 f(2)+0, 55 f(3)) =0, 4
218 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
dostaneme
f(1) ≈ 8, 88
f(2) ≈ 6, 62
f(3) ≈ 3, 37.
krok 2’:
i k = 1 k = 2 k∗
1 8, 95 8, 88 1
2 5, 99 6, 62 2
3 1, 02 3, 37 2
tj. s2 = (1, 2, 2) . . . „hnojit ve stavu 2 nebo 3
krok 1”
krok 2”



vede k variantě s3 = (1, 2, 2) = s2.
Úloha má tedy jiné řešení než v případě, kdy jsme neuvažovali inflaci.
Díky tomu, že se zde využívá jistý optimalizační krok zlepšení, absolvent předmětu
OPV by i věřil, že úlohu lze přeformulovat jako úlohu lineárního programování.
A skutečně je tomu tak. Ale pro velká k, m algoritmus lineárního programování
není moc rychlý, rychlejší je právě uvedená metoda zlepšení politiky.
12.1 Shrnutí
V poslední kapitole jsme přímo na příkladu z praxe demonstrovali problematiku pravděpodobnostního
dynamického programování. Obecně lze úlohu pstního dynamického programování
formulovat takto:
Máme m možných stavů nějakého objektu a S politik (strategií), kterými můžeme ovlivňovat
pravděpodobnost změn jednotlivých stavů za dané období. Psti přechodu od jednoho
stavu k jinému pro s-tou politiku jsou reprezentovány tzv. Markovským řetězcem, tj. čtvercovou
maticí řádu m, která je stochastická (její prvky jsou nezáporné a součet řádků je 1).
Tuto matici značíme PPPs
, s = 1, . . . , S. Dále také známe matice výnosů jednotlivých politik
RRR1
, . . . ,RRRS
.
Základní otázky, na které chceme odpovědět, jsou:
1) Jakou posloupnost strategií zvolit, aby celkové výnosy za N období byly maximální?
2) Jaký výnos celkem přinese daná posloupnost strategií v nejbližších N obdobích?
Řešení
a) řešení úlohy pro konečné k = N
Na obě otázky najdeme odpověď algoritmem dynamického programování. Jednotlivé fáze
jsou v tomto případě období a přípustnými alternativami jsou naše možné strategie. Ozna-
číme
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 219
fn(i) . . . optimální (očekávaný) výnos z fází n, n + 1, . . . , N
za daného stavu i na počátku období n
vk
i =
m
j=1
pk
ijrk
ij . . . výnos k-té politiky za daného stavu i.
K řešení využijeme zpětné rekurzivní rovnice
fN (i) = max
k
vk
i
fn(i) = max
k
vk
i +
m
j=1
pk
ijfn+1(j) pro n = 1, 2, . . . , N − 1
Tato úloha jde ještě zobecnit např. tak, že přechodové psti mohou být každé období
jiné nebo pokud chceme znát současnou hodnotu očekávaných zisků. Princip řešení je
stejný, jen se částečně pozmění výpočet jednotlivých výnosů. Naopak, při vyhodnocení
stacionární politiky se algoritmus zjednoduší.
b) řešení úlohy pro k nekonečné (nebo hodně velké)
1) metoda úplného vyčíslení. . . ohodnotíme všechny stacionární politiky a vybereme tu
optimální (lze ji užít jen při nízkém počtu stacionárních politik).
Řešením systému
πππs
· PPPs
= πππs
m
i=1
πs
i = 1
vypočteme vektor πππs
dlouhodobých stacionárních pstí pro jednotlivé politiky a určíme
očekávaný výnos pro politiku s:
Es =
m
i=1
πs
i vs
i
Pak optimální politika je ta, pro níž je Es maximální.
2) metoda zlepšení politiky (+ neuvažujeme inflaci)
krok 1: zvolíme libovolnou politiku s, tj. PPPs
,RRRs
;
předpokládejme fs
(m) = 0 a vyřešme systém m rovnic o m neznámých
Es
= vs
i +
m
j=1
ps
ij fs
(j) − fs
(i), i = 1, 2, . . . , m
220 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
krok 2: (zlepšení politiky)
pro každý stav i určíme alternativu k s maximální hodnotou výrazu
vk
i +
m
j=1
pk
ij fs
(j); → tím se určí maximální
E pro každý stav
to bude nová politika t.
Pokračujeme opakováním kroků 1,2 tak dlouho, až s = t.
3) metoda zlepšení politiky (+ uvažuje inflaci)
Předpokládáme zde, že E = 0, neboť budoucí zisk se vlivem inflace blíží k nule).
Postup řešení: opět jsou zde kroky 1,2, ovšem v kroku 1 je systém m rovnic o m
neznámých (E = 0 . . . vypadlo ze systému) a ve 2.kroku volíme variantu s maximální
hodnotou výrazu
vk
i + α
m
j=1
pk
ij fs
(j)
Oba kroky opakujeme tak dlouho, až nová varianta je stejná jako ta stará.
12.2 Otázky k opakování
U následujících výroků rozhodněte, zda se jedná o výrok pravdivý či nepravdivý.
Otázka 12.1 Matice pravděpodobností PPP přechodu z jednoho stavu do druhého nemusí
být obecně čtvercová.
Otázka 12.2 Matice zisku RRR musí mít jen nezáporné prvky.
Otázka 12.3 Při průběhu algoritmu dynamického programování hledáme maximu z celkového
výnosu vzhledem ke zvolené strategii.
Otázka 12.4 Při řešení úloh této kapitoly pomocí algoritmu dynamického programování
používáme zpětnou rekurzi.
Otázka 12.5 Matice pravděpodobností PPP přechodu z jednoho stavu do druhého se může
každé období měnit.
Otázka 12.6 Pojem „stacionární politika znamená, že se všechny strategie každé období
pravidelně střídají.
Otázka 12.7 Při hledání optimální strategie na (nekonečně) mnoho období dopředu
se omezujeme pouze na stacionární politiky.
Otázka 12.8 Inflace neovlivňuje celkový dlouhodobý zisk.
Odpovědi na otázky viz 13.7.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 221
12.3 Příklady ke cvičení
Příklad 12.1 Firma každoročně kontroluje úspěšnost prodeje svého výrobku na trhu a
rozhoduje, jestli je uspokojivá (stav 1) nebo není (stav 2). Na základě těchto poznatků pak
rozhoduje, zda investovat do reklamy na tento výrobek a zvýšit tak jeho prodej. Matice
PPP1 a PPP2 udávají pravděpodobnosti přechodu mezi stavy s využitím a bez využití reklamy
v průběhu roku. Příslušné zisky jsou dány maticemi RRR1 a RRR2. Stanovte optimální politiku
rozhodování v průběhu 3 let.
PPP1 =
0, 9 0, 1
0, 6 0, 4
, RRR1 =
2 −1
1 −3
PPP2 =
0, 7 0, 3
0, 2 0, 8
, RRR2 =
4 1
2 −1
.
Příklad 12.2 Společnost může propagovat svůj výrobek prostřednictvím reklamy ve třech
médiích: v rádiu, televizi nebo v novinách. Týdenní ceny reklamy v jednotlivých médiích
jsou postupně 200 Kč, 900 Kč a 300 Kč. Může také hodnotit jeho prodejnost v průběhu
každého týdne jako (1) průměrnou, (2) dobrou, (3) nejlepší. Následující matice udávají
psti přechodu mezi stavy pro jednotlivá média
Rádio Televize Noviny



0, 4 0, 5 0, 1
0, 1 0, 7 0, 2
0, 1 0, 2 0, 7






0, 7 0, 2 0, 1
0, 3 0, 6 0, 1
0, 1 0, 7 0, 2






0, 2 0, 5 0, 3
0 0, 7 0, 3
0 0, 2 0, 8



.
Příslušné týdenní zisky (v tisících Kč) jsou
Rádio Televize Noviny



400 520 600
300 400 700
200 250 500






1 000 1 300 1 600
800 1 000 1 700
600 700 1 100






400 530 710
350 450 800
250 400 650



.
Stanovte optimální politiku rozhodování pro následující 3 týdny.
Příklad 12.3 Stanovte optimální rozhodovací politiku u příkladu 12.1 na nekonečně
mnoho let užitím metody úplného vyčíslení.
Příklad 12.4 Stanovte optimální rozhodovací politiku u příkladu 12.1 na nekonečně
mnoho let užitím metody zlepšení politiky.
Výsledky příkladů viz 13.7.
222 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
13 Odpovědi na otázky a výsledky příkladů ke cvi-
čení
13.1 Výsledky cvičení ke kapitole 1
Odpovědi na otázky
1.1 – A, 1.2 – N, 1.3 – N, 1.4 – A, 1.5 – A, 1.6 – N, 1.7 – N, 1.8 – A, 1.9 – N, 1.10 – N
(průměr se bere nikoli aritmetický, ale vážený), 1.11 – A (pokud se oba rozptyly liší o více
než čtyřnásobek, je vhodnější místo paramatrického testu použít test neparametrický).
Výsledky příkladů
ad 1.1. a) Podle 1.6 s2 .
= 0,889; b) podle 1.9 je s2 = N
N−1
· s2
= 6
5
· 0,889
.
= 1,0667.
ad 1.2. a) Jedná se o veličinu X= čas u jednoho stroje – tedy s2 = 7,7; b) Jedná se o
veličinu X – proto podle ?? máme 7,7
5
= 1,54.
ad 1.3. a) 0,889 b) 1,333 c) 0,444
ad 1.4. Vycházíme z toho, že p = 80
400
= 0,2, máme tedy rozdělení binomické (Bi(N =
400, p = 0,2)) a rozptyl σ2
= Np(1 − p) = 64. Pro α = 0,05 víme z oboustranného
testu (BMA3 - kapitola 13), že uk = 1,96. Tedy střední hodnota µ ∈ 80±1,96·
√
64 =
(64,32; 95,68). Vydělením 400 dostaneme (0,1608; 0,2392), tedy procento zájemců je
přibližně 16 až 24.
ad 1.5. a) x = 9; odhad roztylu s2 = ss
ν
= 2
3
, ale musíme ještě vydělit počtem měření
podle ??, tj. 2
12
. Dále tk pro ν = 3, α = 2q = 0,05 je rovno 3,182; tedy
µ ∈ 9 ±
2
12
· 3,182
.
= (7,701; 10,299).
b)
(K1) H0: µ = 10; H1: µ = 10.
(K2) Testovým kritériem bude veličina X, respektive X−9√
212
.
(K3) Při platnosti H0 má veličina X−9√
212
Studentovo t-rozdělení pro ν = 3.
(K4) Pro α = 0,05 příslušná kritická hodnota tk = 3,182.
(K5) Odpovídající t-hodnota kritéria je −2,44949 ∈ (−tk; tk). H0 tedy nezamítáme,
neprokázala se nepravdivost novinové zprávy.
ad 1.6. a) Kometa získala 10 výher, jednu remízu a 4 prohry; pokud remízu nebudeme
brát v úvahu pro žádnou ze stran, ze 14 možností je 10 znamének „+ ; jedná se o
jednostranný znaménkový test:
(K1) H0: oba týmy jsou přibližně stejně silné; H1: Kometa je statisticky vyznamně
lepší.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 223
(K2) Testovým kritériem bude veličina T= počet výher Komety ze čtrnácti zá-
pasů.
(K3) Při platnosti H0 má veličina T rozdělení Bi(N = 14, p = 0,5).
(K4) Pro α = 0,05 příslušná kritická hodnota Tk = 11 (blíže viz BMA3).
(K5) Měření T = 10 < Tk = 11, čili H0 nezamítáme.
b) Uvažujme veličinu X= rozdíl skóre Kometa minus Draci, dostaneme hodnoty
1, 0, −2, −1, 2, 4, 3, 1, −1, 2, 2, −2, 1, 3, 1
(počítáme i remízu jako hodnotu 0).
(K1) H0: oba týmy jsou přibližně stejně silné (µ = 0); H1: Kometa je statisticky
vyznamně lepší (µ > 0).
(K2) Testovým kritériem bude veličina X, respektive veličina X−0
est σX
.
(K3) Při platnosti H0 má veličina X−0
est σX
rozdělení t pro ν = 14. Lze spočítat
s2 .
= 3,35238, tedy odmocnina s
.
= 1,83. Tedy est σX = 1,83√
15
.
= 0,47
(K4) Pro α = 0,05 = q příslušná kritická hodnota tk(ν = 14) = 1,761.
(K5) Měření 0,93−0
0,47
= 1,97 /∈ (−∞; 1,761), čili H0 zamítáme, Kometa je významně
lepší.
Je vidět, že t-test má větší statistickou sílu než znaménkový test – prokázal závislost
studovaných proměnných, zatímco znaménkový test závislost neprokázal.
ad 1.7. a) 5 ± 1,35; 3 ± 1,35 b) Při oboustranném testu pro α = 2q = 0,05 a ν = 10 je
naměřená hodnota kritéria 2,336 /∈ (−2,228; 2,228), tj. zamítáme H0 o rovnosti obou
skupin. Prvorození mají statisticky významně více schůzek. Jak to interpretovat?
Snad tím, že prvorození více stojí o děvčata :-)
ad 1.8. Vytvoříme příslušný soubor rozdílů odpovídajících hodnot: 2, 0, 3, −1, 1, 3, 2, 1, 4, 1
(párový test). Odtud x = 1,6, s2 = 2,267, est σ2
X
= 2,26
10
= 0,2267. Statistický test:
(K1) H0: µ = 0. H1: µ = 0.
(K2) Testovým kritériem bude veličina X, respektive podíl X−0√
0,2267
.
(K3) Při platnosti H0 má veličina X−0√
0,2267
rozdělení t pro ν = 9.
(K4) Pro α = 0,05 = 2q příslušná kritická hodnota tk(ν = 9) = ±2,262.
(K5) Měření 1,6−0
0,4761
= 3,361 /∈ (−2,262; 2,262), čili H0 zamítáme, rozdíl mezi denním
a umělým světlem je statisticky významný.
ad 1.9. (K1) H0: µ1 = µ2. H1: µ1 = µ2.
(K2) Testovým kritériem bude veličina X1 − X2, respektive podíl X1−X2−0
est σ2
X1−X2
.
224 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
(K3) Při platnosti H0 má uvedený podíl rozdělení t s volností tak vysokou (ν =
291 + 259 = 550), že je můžeme beztrestně nahradit normovaným normálním
rozdělením U – odhad vnitřního rozptylu pak přímo (protože ν > 60) položíme
roven vnitřnímu rozptylu:
σ2 .
= estσ2
=
291
291 + 259
· s2
1 +
259
291 + 259
· s2
2
.
= 95,29,
a tudíž σ2
X1−X2
= 95,29
292
+ 95,29
260
= 0,69, tj. σX1−X2
=
√
0,69 = 0,83.
(K4) Pro α = 0,05 = 2q příslušná kritická hodnota tk(ν = 550) = uk = ±1,96.
(K5) Měření 35,5−41,6
0,83
= −7,35 /∈ (−1,96; 1,96), čili H0 zamítáme, rozdíl mezi skupinami
je významný. Interpretace těchto výsledků je ovšem také náročná –
například může být skutečností (a asi to tak i je), že pokud jsou studenti
do skupin rozděleni podle oborů, tak rozdílnost výsledků je dána rozdílností
studentů přijatých na jednotlivé obory (i kdyby přístup obou zkoušejících byl
naprosto stejný) :-)
13.2 Výsledky cvičení ke kapitole 7
Odpovědi na otázky
7.1 – N, 7.2 – N, 7.3 – A, 7.4 – N, 7.5 – A, 7.6 – N, 7.7 – N, 7.8 – A.
Výsledky příkladů
ad 7.1. matematická formulace úlohy: maximalizujte funkci z = x + 25 y za podmínek
5 x + 100 y = 1 000, x ≥ 2 y, x, y ≥ 0.
ad 7.2. matematická formulace úlohy: minimalizujte funkci z = 200 x1 +260 x2 +180 x3 +
340 x4 za podmínek 10 x1 + 8 x2 + 12 x3 + 6 x4 ≥ 92, 6 x1 + 10 x2 + 4 x3 + 14 x4 ≥
88, 4 x1 + 6 x2 + 2 x3 + 12 x4 ≥ 72, x1, x2, x3, x4 ≥ 0.
ad 7.3. matematická formulace úlohy: maximalizujte funkci z = 5 (x − y) + 10 y za podmínek
x − y ≥ 250, 5 x + 2 y ≤ 3 000, x, y ≥ 0.
ad 7.4. matematická formulace úlohy: minimalizujte funkci z = 0, 7 x1 +0, 7 x2 +0, 7 x3 +
1, 55 x4+1, 55 x5+0 x6+2, 25 x7 za podmínek x1+2 x2+x5 ≥ 26, x1+2 x3+x4+3 x7 ≥
48, x1 + 2 x3 + 3 x4 + 2 x5 + 5 x6 ≥ 124, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 ≥ 0, (proměnné xi
odpovídají jednotlivým možnostem řezu tyče, tj. např. x1 = ABC, x2 = AA atd.).
ad 7.5. A = 2
5
, 18
5
, z(A) = −16
5
.
ad 7.6. Minimum neexistuje.
ad 7.7. Jedna z možných matematických formulací úlohy: maximalizujte funkci z = x+y
za podmínek x + y ≤ 4, x − y ≤ 0, x, y ≥ 0.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 225
ad 7.8. ad a) V = 2
3
, 10
3
, z(V ) = 40
3
; ad b) pravou stranu první nerovnosti můžeme
zvýšit na 5, optimum pak bude z(0; 5) = 15; ad c) stínová cena pro 1.omezení je 5
3
,
stínová cena pro 2.omezení je 2
3
; ad d) koeficient u y lze zvýšit o 2.
ad 7.9. xxx = (7, 0, 0); z(xxx) = 14.
ad 7.10. xxx = 5
2
, 5
2
, 5
2
, 0 ; z(xxx) = 15.
13.3 Výsledky cvičení ke kapitole 8
Odpovědi na otázky
8.1 – A, 8.2 – N, 8.3 – A, 8.4 – N, 8.5 – N, 8.6 – N, 8.7 – A, 8.8 – N, 8.9 – N.
Výsledky příkladů
ad 8.1. ad a) formulace duální úlohy: minimalizujte funkci w = 4 y1 + 8 y2 za podmínek
y1 + y2 ≥ 2, y1 + 4 y2 ≥ 4, y1 ≥ 4, y2 ≥ −3; ad b) yyy = (4, 0); w(yyy) = 16.
ad 8.2. ad a) formulace duální úlohy: minimalizujte funkci w = 30 y1 +40 y2 za podmínek
y1 +y2 ≥ 5, 5 y1 −5 y2 ≥ 2, 2 y1 −6 y2 ≥ 3, y1 ∈ R, y2 ≥ 0; ad b) yyy = (5, 0); w(yyy) =
150.
ad 8.3. xxx = (0, 5); z(xxx) = 15.
ad 8.4. ad a) xxx = 30, 0, 5
2
, z(xxx) = 315
2
; ad b) xxx = (5, 5, 0), z(xxx) = 35; ad c) hodnota
optima se nemění xxx = (30, 0, 0), změní se pouze hodnota účelové funkce z(xxx) = 30;
ad d) nic se nezmění.
13.4 Výsledky cvičení ke kapitole 9
Odpovědi na otázky
9.1 – N, 9.2 – A, 9.3 – A, 9.4 – N, 9.5 – A, 9.6 – N, 9.7 – N, 9.8 – N, 9.9 – N, 9.10 – A,
9.11 – N
Výsledky příkladů
ad 9.1. Metoda VAM dávala nejlepší počáteční řešení. Byly třeba 3 iterační kroky k nalezení
optimálního řešení x13 = 10, x22 = 20, x31 = 30, x42 = 30, x44 = 10, x51 =
30, x52 = x53 = 10 a z = 820.
ad 9.2. Metoda VAM našla přímo optimální řešení x14 = 30, x21 = 5, x22 = 35, x31 =
17, x33 = 25, x34 = 11 a z = 2221.
ad 9.3. Optimální řešení je x12 = 4, x23 = 6, x31 = 3, x32 = 1, x33 = 6 a z = 47.
ad 9.4. Optimální řešení je x14 = x23 = x32 = x41 = 1, xij = 0 pro ostatní i, j, celková
cena je 14.
226 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
13.5 Výsledky cvičení ke kapitole 10
Odpovědi na otázky
10.1 – A, 10.2 – N, 10.3 – N, 10.4 – A, 10.5 – N, 10.6 – A.
Výsledky příkladů
ad 10.1. Optimální rozdělení investic pro jednotlivé návrhy je (1, 3, 1) se ziskem 13 miliónů
dolarů.
ad 10.2. Optimální cesta je A → 1 → 3 → 5 → B, celková minimální vzdálenost = 12.
ad 10.3. xxx = (0, 2, 0), z(xxx) = 6.
ad 10.4. Optimální počty předmětů na jednotlivých katedrách jsou (2, 3, 4, 1), celkový
počet bodů je 250.
13.6 Výsledky cvičení ke kapitole 11
Odpovědi na otázky
11.1 – A, 11.2 – A, 11.3 – N, 11.4 – N, 11.5 – N, 11.6 – N, 11.7 – N, 11.8 – A, 11.9 – N,
11.10 – A, 11.11 – N, 11.12 – A.
Výsledky příkladů
ad 11.1. ad a) y0 ≈ 50 jednotek, t0 ≈ 12 dní; ad b) rozdíl celkových cen za rok je
540, 20 Kč.
ad 11.2. Firma by měla objednat 150 kusů zboží a využit tak slevu.
ad 11.3. Úlohu je třeba řešit s omezením
4
i=1
Di
yi
≤ 200, dostaneme pak jiný vztah pro
výpočet yyy0. Optimální řešení je yyy0 = (201, 49; 123, 09; 110, 57; 119, 58) (λ∗
≈ 0, 103).
ad 11.4. (z1, z2, z3, z4) = (5, 7, 14, 0) nebo (6, 6, 14, 0).
ad 11.5. Plán výroby v normální pracovní době je xxxR = (120, 70, 90, 70), v přesčasové
době xxxT = (40, 10, 60, 30) s celkovou cenou 630 Kč.
ad 11.6. Poptávku X je třeba transformovat na standardizované normální rozdělení,
jehož hodnoty najdeme v tabulce; optimální řešení je y∗
= 447, 34; R∗
= 2, 379.
ad 11.7. Jestliže x = 2, objednat 0,877 jednotek. Pro x = 5 neobjednávat další zboží.
ad 11.8. Jestliže x = 2, objednat 6 jednotek. Pro x = 5 objednat 3 jednotky.
ad 11.9. y∗
= 2, 71.
ad 11.10. Pro x < 3, 78 objednat (6, 7 − x); jinak neobjednávat.
Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 227
13.7 Výsledky cvičení ke kapitole 12
Odpovědi na otázky
12.1 – N, 12.2 – N, 12.3 – A, 12.4 – A, 12.5 – A, 12.6 – N, 12.7 – A, 12.8 – N.
Výsledky příkladů
ad 12.1. V prvním a druhém roce: investovat jen pokud je prodej výrobku neuspokojivý;
ve třetím roce: neinvestovat do reklamy.
ad 12.2. Pokud je prodejnost výrobku průměrná, využít reklamy v rádiu; jinak využít
reklamy v novinách.
ad 12.3. Nikdy neinvestovat do reklamy.
ad 12.4. Investovat do reklamy jen v případě neuspokojivého prodeje.
228 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Literatura
[1] Loftus, J., Loftus, E.: Essence of Statistics. Second Edition, Alfred A. Knopf, New
York 1988.
[2] Montgomery, D.C., Runger, G.C.: Applied Statistics and Probability for Engineers.
Third Edition. John Wiley & Sons, Inc., New York 2003.
[3] Miller, I., Miller, M.: John E. Freund’s Mathematical Statistics. Sixth Edition. Prentice
Hall, Inc., New Jersey 1999. Předchozí vydání publikováno pod názvem Freund, J.E.:
Mathematical Statistics, Fifth Edition.
[4] Taha, H.A.: Operations research. An Introduction. Fourth Edition, Macmillan Publishing
Company, New York 1989.
[5] Wonnacott,R., Wonnacott,T.: Statistika pro obchod a hospodářství. Z amerického originálu
Introductory Statistics for Businnes and Economics přeložil I.Indruch. Victoria
Publishing, Praha, rok vydání neslušně neuveden (1992 nebo 1993).
[6] Doc. RNDr. Bohumil Maroš, CSc.: Empirické modely I. Skriptum FSI, nakladatelství
CERM 2001, Brno.