1
ALGEBRAICKÉ
VÝRAZY
ALGEBRAICKÉALGEBRAICKÉ
VÝRAZYVÝRAZY
Mgr. Irena Budínová,Mgr. Irena Budínová, PhPh.D..D.
Algebra ve školské matematice
• Problém pro žáky - odpoutat se od
konkrétních čísel k číslům vyjádřeným
proměnnou
• Při zavádění nových pojmů je vhodné
využívat žákovských prekonceptů
• Budování nových poznatků začínáme
neformálně, po jejich osvojení a pochopení
přistupujeme k formálnímu zavedení
2
• V úvodu učiva je pro žáky snazší řešit
stejný příklad zadaný příběhem než
algebraicky (Kalchman, Koedinger, 2005):
• a) Úloha zadaná příběhem
Když se Tod vrátil ze svého zaměstnání
číšníka, vynásobil si svoji hodinovou mzdu
počtem 6 hodin, které ten den odpracoval.
Když k tomu přidal 66 dolarů, které si
vydělal na zpropitném, zjistil, že celkem to
dělá 81,90 dolarů. Kolik Tod dostává za
hodinu?
• b) Slovně zadaná úloha
(matematický model situace)
Myslím si číslo. Když ho vynásobím 6
a pak přičtu 66, dostanu 81,9. Jaké
číslo jsem si myslel?
• c) Rovnice
Najdi x, jestliže x.6+66=81,90.
3
• Který přístup je nejjednodušší pro nás?
• Z výzkumu vyplynulo, že žáci jsou
nejúspěšnější při úloze zadané příběhem
• Žáci k řešení slovních úloh nevyužívali
rovnic, ale zcela jiných strategií - pokusu a
omylu, strategií řešení „od konce“ (začali
konečnou hodnotou 81,9, odečetli 66 a
výsledek vydělili 6) apod. V průměru žáci
dosáhli 66 % v úloze zadané příběhem,
62 % ve slovně zadané úloze a pouhých
43 % u rovnice.
Proč potřebujeme pracovat s
obecným vyjádřením a kde se s
ním setkáme?
• Ve školské matematice
• Technická praxe
• Ostatní vědní disciplíny (biologie, fyzika,
chemie)
• Běžný život
4
Historická poznámka
• Počátky prvních náznaků algebry spadají
do doby kolem roku 2 000 před naším
letopočtem
• Verbalistické období
• 500 př. n. l. – období geometrické algebry
Řeků
• 250 př. n. l. – Diofantos z Alexandrie
začíná používat symboly, období synkopické
• Synkopické období trvalo až do konce
15. století. Jeho nejvýznamnějším
představitelem byl tádžický
matematik Al Chovarizmi (9. st.)
• Zdokonalování symboliky – Francois
Viéte (16. st.), René Descartes (17.
st.)
• Od 15. st. dodnes – období symbolické
5
Vývoj používání písmen:
• Dnešní zápis rovnice 2x3 + 5x = 7
měl následující vývoj:
• Ve druhé polovině 15. století:
2 cubus et 5 rebus aequales 7
• V první polovině 16. století:
2 cubus p 5 rebus aequautur 7
• Ve druhé polovině 16. Století:
2 C + 5 N aeru 7.
Používání písmen ve významu
čísla:
• Význam proměnnné – např. v rovnici
y = kx + q jsou proměnnými x, y.
• Význam konstanty – v rovnici
y = kx + q jsou konstantami k, q.
• Jediné, jednou pro vždy dané číslo, např.
π, e, i.
• Označení neznámé v rovnici, proměnné v
nerovnici.
• Nemusí mít žádný význam (nesmyslná
rovnice)
6
• Pro žáky základní školy je pochopení
významu písmene v algebře velmi
náročným procesem
• Obtížnost spočívá v nárocích na
abstraktní myšlení
• Mnoho problémů je způsobeno
formálním způsobem výuky
• Zvládnutí této látky předpokládá
znalost témat dříve probíraných:
• operace s čísly přirozenými, celými,
zlomky,
• respektování priorit při provádění
operací,
• používání závorek,
• základní věty z dělitelnosti,
• pravidla o počítání s mocninami aj.
7
• Dále je třeba zvládnout:
– Zápis slovního vyjádření pomocí
symbolického jazyka
– Úlohy vedoucí k postupnému
zobecňování
– Doplňování tabulek – dosazování do
výrazu za proměnnou
– Geometrická interpretace
algebraických výrazů
Tři stupně práce s
algebraickými výrazy:
• modelování – jde o pochopení smyslu a
významu symbolických zápisů
• standardní manipulace se symboly – jde o
úpravy algebraických výrazů podle známých
vztahů, automatizace
• strategická manipulace se symboly –
k práci s algebraickými výrazy je nutná
určitá strategie, myšlenka, nestačí rutinní
úpravy
8
Standardní manipulace se symboly:
a) Doplňte výrazy tak, aby vyjadřovaly druhou
mocninu dvojčlenu:
i. (a+b)2, (m+n)2
ii. (3a+4b)2, (0,4a+0,2x)2
iii. (a3+b)2, (xm+z2)2
iv. (6a3+3b4)2, (-⅜ax+0,4b)2
b) Z daných algebraických výrazů vyberte ty,
které vyjadřují druhou mocninu součtu nebo
rozdílu dvou čísel:
• (a+b)2, a+b2, (a-2b)2, (a+2b)2.2, (a2-2ab+b2)
c) Úlohy s nabízenou odpovědí:
• 23.22x a) 26x, b) 23x.2x, c) 46x, d) 23+2x
d) Doplňování:
• x2+2xy+__=( )2
• 9r2-__+25=( )2
• 9r2-__ ? __=( )2
• __ ? 0,4x ? __=(0,2x-__ )2
• 9x2-16y2=________
9
Strategická manipulace se symboly:
a) Důkazové úlohy:
1. Dokažte, že aritmetický průměr je
vždy větší nebo roven geometrickému
průměru
2. Dokažte: (a2+1) (b2+1) (c2+1) ≥ 8abc
3. Dokažte, že platí
(ab+cd)2+ (ac-bd)2=(a2+ d2)(b2+c2)
b) Úpravy algebraických výrazů, které
vyžadují vtip
Zajímavé příklady:
• Kde se stala chyba ve výpočtu?
a = 3/2 b
4a = 6b
14a-10a = 21b-15b
15b-10a = 21b-14a
5(3b-2a) = 7(3b-2a)
5 = 7
10
Pro nadané či hravé a trpělivé
žáky:
• Vyřešte algebrogram:
MNOHO
J Í DE L
MNOHO
N EMOC Í
Předpokládané chyby
• Chyby numerické
• Chyby podstatné
• Chyby způsobené zápisem
• Chyby způsobené psychikou žáka
11
Literatura:
• KALCHMAN, M., KOEDINGER, K. R.: Teaching and
Learning Functions. In: How Students Learn:
Mathematics in the Classroom. Editors: Donovan,
M. S., Bransford, J. D. Washington, DC, USA:
National Academic Press, 2005.
• BLAŽKOVÁ, R.: Symbolika a terminologie v
aritmetice a algebře. In: Sborník XV.
International Colloquium on the Management of
Educational Process. Vyškov: Vysoká vojenská
škola pozemního vojska, 2002
• BLAŽKOVÁ, R.: Proč se učíme algebru? In:
Novotná, J. (ed.) Sborník Moderní trendy ve výuce
matematiky a fyziky. Brno: MU, 2002
• BALADA, F.: Z dějin elementární
matematiky .Praha: SPN, 1959
• HEJNÝ, M. a kol.: Teória vyučovania
matematiky 2. Bratislava: SPN 1990,
ISBN: 80-08-01344-3.
• ŠEDIVÝ, J. a kol.: Antologie
matematických didaktických textů. Praha:
SPN 1987.
• ZNÁM, Š. a kol.: Pohľad do dejín
matematiky. Praha: SNTL 1986.