1
ROVNICE A
NEROVNICE
ROVNICE AROVNICE A
NEROVNICENEROVNICE
Mgr. Irena Budínová,Mgr. Irena Budínová, PhPh.D..D.
Návaznosti
• Témata, která předcházejí:
– Počítání se závorkami
– Počítání se zlomky
– Výrazy, úpravy výrazů
– Zápis slovního vyjádření pomocí
číselného nebo algebraického výrazu
– Slovní vyjádření zapsaného číselného
nebo algebraického výrazu.
2
• Navazující témata:
– Řešení slovních úloh pomocí rovnic
– Výpočet neznámé ze vzorce
– Lineární algebra
– Rovnice vyšších typů a např. rovnice iracionální,
exponenciální, logaritmické, goniometrické,
binomické
• RVP
– Číslo a proměnná
– Očekávané výstupy: Žák formuluje a řeší
reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav
– Učivo: Lineární rovnice, soustava dvou
lineárních rovnic o dvou neznámých
Historická poznámka
• Úlohy, které dnes řešíme lineárními
rovnicemi (zejména slovní úlohy) se vyskytují
již v matematických textech dřívějších
civilizací:
– Na hliněných babylonských destičkách
– Ve starých čínských sbírkách příkladů
– V Ahmesově papyru (Egypt)
– Řekové – geometrická řešení.
• Např. staří Babyloňané zapisovali příklady na
hliněné tabulky. Chybí vysvětlení, proč je
daný postup řešení užit – nejdříve zřejmě
užívali metodu pokusu a omylu, později
intuice.
3
• Babylonský přístup možno považovat za
fylogenetickou propedeutiku rovnic a
aritmetiky (Kubínová, studijní podklady).
Jsou ukázkou toho, jak je důležitá etapa,
kdy je na rovnici pohlíženo jako na hádanku
a výzvu k jejímu řešení. Mnozí učitelé však
nepovažují za vhodné, aby žáci hádali
výsledek a nepostupovali hned od začátku
systematicky. Řešení rovnic je hned od
počátku chápáno jako algoritmus, který si
mají žáci osvojit, je přeskočena etapa
separovaných modelů (bude vysvětleno
později).
• Důležitý mezník ve vývoji nauky o rovnicích
znamená Diofantova kniha Aritmetika.
Uvádí zde dvě pravidla pro řešení rovnic,
která připomínají dnešní ekvivalentní
úpravy. V kalkulu se nezabýval jen
aritmetickými operacemi, ale také zákony
dělitelnosti (diofantovské rovnice).
• Znalosti přešly do Indie a Číny, zde se
rozvinula symbolika. K rozvoji nauky o
rovnicích přispěli zejména indičtí
matematikové Aryabhata (VI. stol. n.l.) a
Brahmagupta (VII. stol. n.l.). Dokonce
neodmítali záporná řešení.
4
• Systémy rovnic se řešily již ve 2. století
před n.l. – Matematika v devíti knihách –
Čína.
• Arabská matematika přepsala mnohé
geometrické postupy od algebraického
jazyka. Začala v aritmetice využívat kalkul
a připravila nástup algebraických rovnic.
Objevují se i goniometrické rovnice (řešení
problémů astronomie, trigonometrie a
sférické geometrie) jako první
nealgebraické rovnice.
• Matematická symbolika (symboly operací,
koeficienty, označení neznámé i samotný zápis
rovnice) byla v Evropě rozvinuta až v 15. – 17.
století.
• Algebraické metody řešení rovnic třetího a
čtvrtého stupně byly objeveny a rozpracovány
v 16. století. Zasloužili se o to zejména Italové
Scipio del Ferro, Niccolo Fontana – Tartaglia,
Giorlamo Cardano, Ludovico Ferrari
• Norský matematiky Niels Henrik Abel (1802 –
1829) dokázal, že algebraická rovnice 5. stupně
není algebraicky řešitelná.
• Francouz Evarist Galois (1811 – 1832) načrtl (v
noci před soubojem, ve kterém zahynul) teorii
popisující m.j. všechny rovnice, které jsou
algebraickou metodou řešitelné
5
Pojmy
• Rozlišujme pojmy „rovnost“ a „rovnice“.
• Pojem rovnosti je jedním z nejdůležitějších
pojmů školské matematiky. Jedná se o
relaci, která je:
– reflexivní,
– symetrická,
– tranzitivní,
• tedy je to relace ekvivalence.
• Rovnice je
a) zápis rovnosti dvou výrazů, z nichž alespoň jeden
obsahuje neznámou,
b) výroková forma, jejíž obor pravdivosti hledáme.
• Rovnice sestává z: levé stany rovnice, pravé
strany rovnice, rovnítka
• Řešení rovnice – jednak se tímto pojmem rozumí
postup – proces postupné transformace dané
rovnice, kterým určujeme neznámou, jednak
kořen rovnice (číslo (uspořádaná n-tice čísel),
které po dosazení do rovnice za neznámou
(neznámé) změní danou rovnici v rovnost).
• Řešit rovnici znamená určit všechny kořeny této
rovnice, tj. každá taková čísla, pro které se za
dosazení za neznámou do rovnice získá rovnost.
6
• Přístupy k učivu o rovnicích v platných
vzdělávacích programech (Kubínová):
• Důraz je kladen na:
– upevňování dovednosti řešit některé důležité
typy rovnic
– využití rovnic při procvičování učiva z jiných
tématických celků.
• Nedostatečně akceptováno:
– motivující role rovnice jako hádanky nebo výzvy
k činnosti
– rozvíjení schopnosti žáka modelovat reálné
situace v jazyku rovnic
– rozšíření žákových zkušeností s rovnicemi a
metodami jejich řešení
– řešení daného typu rovnic různými metodami.
Příklady
1. Ve třídě je celkem 28 žáků. Chlapců je o
4 více než děvčat. Kolik je děvčat a kolik
chlapců:
• Možné postupy řešení:
– z hlavy – např. pokud by jich bylo stejně, bylo
by 14 d a 14 ch, rozdíl je 4, je 12 d a 16 ch.
– zápis rovnice (x je počet dívek): x+(x+4) = 28,
2x+4=28, lze dopočítat z hlavy nebo
dosazováním (pokus-omyl).
– algoritmus pro řešení lineární rovnice:
2x+4=28 -4
2x =24 :2
x =12
7
2. Jana uspořila dvakrát více než Jitka,
Alena o 27 Kč méně než Jana. Celkem
uspořily 453 Kč. Kolik Kč uspořila každá
dívka ?
3. 270 Kč se chlapci rozdělili tak, že Petr
dostal třikrát více než Pavel a Ivan
dostal o 120 Kč více než Pavel. Kolik
dostal každý ?
4. Obvod trojúhelníku se rovná 205 cm.
Strana b je dvakrát delší než strana a,
strana c je o 35 cm kratší než strana b.
Vypočítej délky jednotlivých stran.
Úpravy rovnic
• ekvivalentní – taková úprava, kdy rovnice před
úpravou a po úpravě mají stejné kořeny (rovnice
původní a rovnice upravená mají stejnou množinu
všech řešení)
– záměna obou stran rovnice
– přičtení (odečtení) stejného čísla nebo stejného výrazu
k oběma stranám rovnice
– vynásobení obou stran rovnice stejným číslem různým od
nuly nebo stejným mnohočlenem, který má pro každou
proměnnou hodnotu různou od nuly
– vydělení obou stran rovnice stejným číslem různým od
nuly nebo stejným mnohočlenem, který má pro každou
proměnnou hodnotu různou od nuly.
• Názor – rovnoramenné váhy
8
• Při úpravách rovnice pomocí ekvivalentních
úprav není nutné provádět zkoušku
správnosti. Na základní škole zkoušku
provádíme proto, abychom eliminovali
chyby vzniklé prováděním operací.
• Důsledkové -řešení upravené rovnice
nemusí být řešením (rovnice původní a
rovnice upravená nemají stejnou množinu
všech řešení)
– umocnění obou stran rovnice na druhou
– odmocnění obou stran rovnice
– vynásobení výrazem, který „přidá“ další kořen
(např. u goniometrických nebo binomických
rovnic)
• Při řešení příkladů dbejte na:
– Určení podmínek řešitelnosti
– Správný zápis řešení – např. x∈{-2},
K= {-2}, K=∅, [x;y]∈{[2;-7]}, apod.
– Provedení zkoušky, abychom se ujistili o
správnosti řešení
9
Propedeutika na 1. stupni ZŠ
• Řešení úloh typu: 5 + ? = 12 5 + _ = 12 5 +  = 12
• Úlohy se řeší
– postupným dosazováním 5 + 4 ≠ 12
5 + 5 ≠ 12
5 + 6 ≠ 12
5 + 7 = 12
– graficky – na misce je 5 jablek, kolik je potřeba přidat,
aby bylo 12?
– pomocí obdélníků nebo úseček ______ ______________
5 ?
12
– pomocí vlastností početních operací: když 5 + 7 = 12, pak
12 – 5 = 7, 12 – 7 = 5
Druhy rovnic probírané na
ZŠ a víceletých gymnáziích
I. Lineární rovnice o jedné neznámé
ax + b = 0
• Diskuse vzhledem ke koeficientům a, b:
a = 0, b = 0 0.x = 0
rovnice má nekonečně mnoho řešení
a = 0, b≠0 0 . x = b
rovnice nemá řešení
10
a≠0, b = 0 a . x = 0
rovnice má řešení x = 0
a≠0, b≠0 ax + b = 0
rovnice má řešení x = -b/a
• Metodická řada
– rovnice typu a + x = b, a . x = b
– ax + b = c
– závorky
– zlomky
– složitější rovnice
II. Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou
neznámých
• Rovnice typu: ax + by = c
• dx + ey = f
• Metody řešení:
– Komparační – porovnávací
– Dosazovací
– Sčítací
– Grafické řešení – až se probere lineární
funkce
11
• Příklady - podmínky řešitelnosti:
1. 6x + 2y = 5
4x - 3y = -1
2. 6x + 2y = 5
3x + y = 4
3. 6x + 2y = 5
3x + y = 2,5
III.Neurčité rovnice (diofantovské)
(class.pedf.cuni.cz/koman/)
• Diofantovské rovnice typu 2x ± 9y = 22.
Hledáme celá čísla x, y, která splňují
danou rovnici o dvou neznámých.
• Na základní škole volíme experimentální
hledání jednoho řešení a z něho odvození
všech řešení.
• Promyslete, jaké jsou podmínky
řešitelnosti těchto rovnic.
12
1. Ke koloběžkám a tříkolkám se montují stejná
kolečka. Kolik koloběžek a kolik tříkolek se může
dokončit, je-li k dispozici 35 koleček a žádné
kolečko nemá zůstat? Najděte všechny
možnosti.
• Matematizací této slovní úlohy je Diofantovská
rovnice: 2x + 3y = 35, kde x a y jsou přirozená
čísla.
• Snadno najdeme jedno řešení: x = 1, y = 11. Další
řešení x=4, y=9 získáme tak, že k x přidáme 3 a
od y odečteme 2 – tímto způsobem získáváme
další řešení (promyslete, proč tomu tak je)
Příklady
2. Zákazník kupoval knoflíky po 2 Kč a po 3 Kč. Za
knoflíky po 2 Kč zaplatil o 35 Kč více než za
knoflíky po 3 Kč. Napište Diofantovskou rovnici,
která matematizuje tuto úlohu.
• Úlohy 1 a 2 ukazují, že z jednoho řešení
Diofantovské rovnice, dostaneme snadno
všechna ostatní řešení. Jak?
3. Řešte Diofantovské rovnice. Pozor, některé
rovnice nemají řešení. Vysvětlete proč (souvisí s
vlastnostmi dělitelnosti).
2x + 7y = 43, 3x – 7y = 25, 4x + 6y = 17, 5x – 7y = 4,
6x + 9y = 13
Sestavte k rovnicím, které mají řešení, různé
slovní úlohy.
13
• Pozn.: V předchozích příkladech a na
základní škole se jedná o příklady s malými
čísly, kdy jedno řešení snadno uhodneme.
• V případě rovnice např.
15x+21y=192
postupujeme následovně: Rovnici upravíme
na tvar 21y=192-15x a za x postupně volíme
1, 2, 3, … až je výsledek na pravé straně
násobkem 21:
192-15=177, 192-30=162, 192-45=147=7.21,
dokončete řešení
• Obecné řešení – redukční metodou
IV. Kvadratické rovnice
ax2+bx+c=0
• Diskuse vzhledem ke koeficientům a, b,
c:
– b = 0 rovnice bez lineárního členu (ryze
kvadratická) ax2 + c = 0
– c = 0 rovnice bez absolutního členu
ax2 + bx = 0
– a = 0 lineární rovnice
bx + c = 0
• Zopakujte si správný způsob úprav
těchto rovnic (tj. vyhněte se
důsledkovým úpravám)
14
• a,b,c≠0
– Zopakujte si odvození vztahu pro výpočet
kořenů kvadratické rovnice
– Na základní škole je možné řešit kvadratické
rovnice pomocí vztahu pro výpočet kořenů
anebo rozkladem kvadratického trojčlenu na
součin dvojčlenů.
např. x2+7x+10=0 … b=2+5, c=2.5
(x+2).(x+5)=0
x∈{-5;-2}
Příklady
1. Řešte rovnici (a-1)(a+2)=(a+2). Najděte v
průběhu řešení dvě chyby, kterých by se žáci
mohli dopustit a vysvětlete, v čem tyto chyby
spočívají.
2. Řešte rovnici x2-75x+300=90-2x a) pomocí
vzorce, b) rozkladem na součin dvojčlenů.
3. Rozměry čtvercového záhonu zmenšíme tak, že
délku zkrátíme o 1,2 m a šířku zkrátíme o 1,5 m.
Obsah takto získaného obdélníku bude 14,4 m2.
Jaké byly rozměry čtvercového záhonu a jaké
jsou rozměry nového záhonu?
15
Nerovnice
• Nerovnost ‹, › (≥, ≤) je relace, která je
– antireflexivní (reflexivní),
– antisymetrická,
– tranzitivní,
jedná se tedy o relaci ostrého (neostrého)
lineárního uspořádání.
• Nerovnice – zápis nerovnosti dvou výrazů,
z nichž alespoň jeden obsahuje neznámou.
• Na ZŠ: interval, n-prvková množina,
lineární nerovnice s jednou neznámou,
seznámení s ekvivalent. a důsl. úpravami.