KONSTRUKČNÍ GEOMETRIE MA2BP_PKG, jaro 2013 (aktualizováno 30. května 2013) Předmluva Omnia sponte fluant, absit violentia rébus! J.A.K. Toto je trochu rozšířená osnova k přednášce z Konstrukční geometrie pro jarní semestr 2013. První motivace, předpoklady a cíle tohoto kurzu jsou zformulovány v úvodní kapitole. Probíraná látka je rozčleněna do tří hlavních bloků: klasická konstrukční geometrie, přehled užitečných geometrických zobrazení a úvod do zobrazovacích metod. Z dostupných učebnic geometrie nejčastěji používáme [A] a [Ha], odkud je též převzata většina ilustrací. Jedná se o moderní interpretace zásadního díla [E], jehož český překlad s komentáři [Ey] lze najít ve všech knihovnách a mnoha knihkupectvích. K úvodu do zobrazovacích metod používáme [Me, R] a [U]. K samostatnému studiu doporučujeme též celkem přístupný text [L] a velmi stručné, o to však poučnější, pojednání [Ha2]. Hrubý odhad časového rozvržení semestru je následující: (1) klasická konstrukční geometrie — 3 až 4 týdny, (2) geometrická zobrazení — 2 až 3 týdny, (3) zobrazovací metody a další interakce — 7 až 9 týdnů. Předmět je zakončen zkouškou, jež sestává z písemné a ústní části; přístup k písemné části je podmíněn zápočtem ze cvičení MA2BP_CKG, přístup k ústní zkoušce je podmíněn alespoň 50% úspěšností u písemky. Níže navržená organizace textu je zatím hodně pracovní a nejspíš se během semestru několikrát pozmění; sledujte průběžně změny v aktualizacích... Brno, 30. května 2013 Vojtěch Zádník 3 Obsah I Úvod 7 1 Eukleidovská a neeukleidovská geometrie....................... 7 2 Různá pojetí geometrie ................................ 8 3 Předpoklady a cíle................................... 9 II Klasická konstrukční geometrie 11 4 Eukleidovy Základy .................................. 11 5 Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce......................... 17 6 Úloha Apollóniova a úlohy příbuzné ......................... 35 7 Kuželosečky....................................... 38 8 Typické úlohy...................................... 41 III Geometrická zobrazení 43 9 Panoptikum geometrických zobrazení......................... 43 10 Přehled, zobecnění a vyhlídky............................. 58 11 Typické úlohy...................................... 61 IV Zobrazovací metody 63 12 Úvod........................................... 63 13 Volné promítání..................................... 65 14 Mongeovo promítání.................................. 67 15 Kótované promítání .................................. 80 16 Axonometrie a kosoúhlé promítání.......................... 80 17 Perspektiva....................................... 86 18 Cyklograíie....................................... 89 19 Typické úlohy...................................... 89 V Dodatky 95 20 K eukleidovským konstrukcím............................. 95 21 K úlohám Apollóniovým................................ 98 22 K neeukleidovským geometriím............................ 101 5 6 Literatura 103 Seznam obrázků 105 Rejstřík 111 Přílohy 113 KAPITOLA I Uvod 1 Eukleidovská a neeukleidovská geometrie Eukleidovskou geometrií se tradičně myslí geometrie tak, jak je představena v Eukleidových Základech [E], resp. v jejich geometrických knihách (cca 300 př. K.). Jedná se ucelený deduktivní výklad odvozený z několika axiómů a postulátů. Axiómy se týkají obecných veličin. Postuláty jsou ryze geometrického charakteru a vymezují vztahy mezi primitivními pojmy (bod, přímka) a základními relacemi (incidence, shodnost a rovnobežnosť). V Základech se však používá několik dalších předpokladů, aniž by byly jakkoli formulovány (viz axiomy uspořádání a spojitosti). Přesný axiomatický popis, založený na tom Eukleidově, pochází od D. Hilberta [Hi] (kolem 1900), viz též [Ha, L] nebo Přílohu na str. 121. Už na první pohled je patrné, že jedny z klíčových rolí v Eukleidově geometrii hrají relace shodnosti (často formulovaná jako rovnost, příp. stejnost) a rovnobežnosti. Uvědomte si, že v Eukleidově pojetí je shodnost docela abstraktní koncept; zejména (z pochopitelných důvodů) nepředstavuje žádné číselné vyjadřování délek úseček, velikostí úhlů apod.! Rovnoběžnost úzce souvisí s postulátem, který je v našem značení pátý a který je v rámci Eukleidova systému ekvivalentní s tvrzením, že „každým bodem ke každé přímce prochází jediná rovnoběžka". Právě diskuze nad původní Eukleidovou formulací měla dalekosáhlé důsledky a vedla k vynálezu neeukleidovských geometrií. Obrázek 1.1: [Ko] Miniatura Eukleida ze 6. století. 7 8 I. Úvod Velmi hrubě řečeno, eukleidovská geometrie je založena zejména na relacích shodnosti a rovnobežnosti. Uvažujeme-li geometrii s relací rovnobežnosti, aniž bychom užívali shodnosti, jsme na stopě afinní geometrii, o které se několikrát zmiňujeme níže. Naopak, neuvažujeme-li rovno-běžnost, pouze shodnost, dospějeme ke geometriím neeukleidovským. Tyto jsou dvojího typu: • eliptická — „žádné rovnoběžky", • hyperbolická — „více rovnoběžek" (k jedné přímce jdoucí daným bodem). Níže ukážeme, že eliptický případ není kompatibilní s axiomy uspořádání, což je také důvod, proč se nejdřív objevila geometrie hyperbolická. Právě tyto objevy a úplné porozumění neeukleidovským geometriím (kolem 1830) představují jedno z nej zajímavějších dobrodružství v historii matematiky; důležitá jména, která se v této souvislosti připomínají, jsou zejména J. Bolyai, N.I. Lobačevský a C.F. Gauss. Přestože je tato látka zajímavá také z konstrukčního hlediska, nemůžeme se jí v tomto kurzu moc zabývat. Hezký úvod a další odkazy lze najít např. v [Ha] nebo [D]. V širším (a méně obvyklém) smyslu se neeukleidovskou geometrií může také myslet jakákoli geometrie, která není eukleidovská. I o takových geometriích se ledacos naučíme; níže zmiňujeme např. geometrie afinní, projektivní a konformní. 2 Různá pojetí geometrie V této části se zmíníme o různém pojetí geometrie podle použité metody (tedy nikoli podle objektu našich úvah nebo zájmů). Z naznačených možností budeme v tomto kurzu prosazovat zejména postoj syntetický a trochu snad taky transformační. 2.1 Stanovisko axiomatické Tento postoj je představen již v Základech a netýká se samozřejmě pouze geometrie. Přísně axiomatický přístup je nutný při profesionálním nakládání s předmětem, je však akceptovatelný pouze velmi omezenou částí populace. I mezi odborníky může tato cesta skýtat jistá úskalí, o čemž svědčí např. několikasetleté polemiky nad postulátem o rovnoběžkách. Ukázkou axiomatického přístupu ke geometrii v moderní a úplné podobě jsou Hilbertovy axiomy [Hi]. V této souvislosti se rozlišuje mezi axiomatickou teorií a jejím modelem. Je sice pravda, že v případě eukleidovské geometrie jsou všechny modely „stejné", nicméně formálně je třeba rozlišovat. Např. to, co běžně nazýváme standardní eukleidovská rovina, je jen standardním modelem axiomatické teorie popsané axiomy na str. 121. V této souvislosti je vhodné se alespoň zamyslet nad možnou axiomatizací afinní a projektivní geometrie, o nichž se zmiňujeme níže. 2.2 Stanovisko syntetické Až někdy do 17.-18. století to byl v podstatě výhradní přístup ke geometrii. Syntetickou geometrií se myslí geometrie bez souřadnic nebo, poněkud úžeji, konstrukční geometrie, což je hlavní náplní tohoto kurzu. Syntetická metoda má docela zřejmá omezení. Jednak dimenze prostoru, ve kterém formulujeme a řešíme nějaký problém, je pro většinu lidí shora omezena 3. Jednak existují úlohy, které nejsou syntetickým způsobem vůbec řešitelné (přitom analytické zdůvodnění neřešitelnosti může být celkem prosté). Zde máme na mysli zejména velmi proslulé tzv. geometrické problémy starověku, viz Dodatek 20.2. 3. Předpoklady a cíle 9 2.3 Stanovisko analytické Můžeme stručně charakterizovat jako stanovisko početní, obvykle je míněno počítání v souřadnicích. Počátky analytické geometrie jsou tradičně spojovány se jménem R. Descarta (kolem 1637), mělo by však být zřejmé, že se nemohlo jednat o analytickou geometrii, jak ji chápeme dnes!1 Nicméně Descartovou inovací byla aplikace algebry k řešení geometrických úloh. Ve starší literatuře je často analytická geometrie jmenována jako algebraická, tento přívlastek má však dnes poněkud posunutý význam. 2.4 Stanovisko transformační Všechny shodnosti eukleidovské roviny tvoří grupu. Tato je podgrupou grupy afinních transformací, jež je zase podgrupou grupy projektivních transformací... Stanovisko transformační, neboli Kleinovo, je založeno právě na pojmu transformační grupy. Tento postoj velmi pomáhá při organizaci geometrických informací a od své přesné formulace (1872) velmi ovlivnil další vývoj geometrie. Podle F. Kleina je ta či ona geometrie zcela charakterizována grupou odpovídajících geometrických transformací. V tomto duchu je geometrie studiem vztahů a vlastností, které jsou invariantní vzhledem k (tranzitivní) akci nějaké transformační grupy. 2.5 Stanovisko diferenciální Toto pojetí je spojováno s B. Riemannem (okolo 1854) a dovoluje opravdu dalekosáhlá zobecnění. Zde je geometrie určena infinitezimálně tzv. Riemannovou metrikou, což je pole skalárních součinů na tečných prostorech k abstraktnímu Riemannovu prostoru... V tomto duchu jsou eukleidovské prostory Riemannovými prostory s „nulovou křivostí", zatímco eliptické a hyperbolické prostory jsou Riemannovy prostory s nenulovou, ale „konstantní křivostí". Tento přístup je nezbytný např. při studiu vlastností některých kartografických zobrazení. 3 Předpoklady a cíle Kromě obvyklého přehledu školské geometrie (hlavně tedy stereometrie) nepředpokládáme žádné speciální znalosti a dovednosti. Nutnou podmínkou k uspokojivému absolvování předmětu by však měla být nadprůměrná zvídavost a touha po zorganizování většího množství poznatků. Tyto vlastnosti vlastně bereme u budoucích učitelů jako samozřejmost, nicméně zmiňujeme pro pořádek. Cíle jsou jasné: chceme připomenout některé běžně známé geometrické pravdy, tento seznam podstatným způsobem rozšířit a hlavně si věci nějakým rozumným způsobem zorganizovat. Typické úlohy, které chceme umět řešit, zahrnují např.: • sestrojit zlatý řez dané úsečky, • sestrojit pravidelný pětiúhelník, resp. dvanáctistěn, příp. jejich průměty, • pro daný mnohoúhelník sestrojit čtverec se stejným obsahem, • sestrojit kružnici, která se dotýká tří daných kružnic, resp. cyklů, přímek nebo bodů, • sestrojit průměty bodů, přímek, kružnic a dalších objektů v některé z diskutovaných zobrazovacích metod, 1V té době stále nebyla vynalezena reálná čísla... 10 I. Uvod • sestrojit průnik přímky s rovinou, průsečnici dvou rovin apod., • určit vzájemnou polohu daných geometrických objektů, • sestrojit řez roviny s tělesem a sestrojit tento řez ve skutečné velikosti, • určit vzdálenost bodu od přímky, resp. roviny, • chytře aplikovat geometrické transformace při řešení vybraných úloh, • uvědomovat si, že ne všechny konstrukce lze realizovat eukleidovským pravítkem a kružítkem, a umět aspoň v několika konkrétních případech navrhnout alternativní řešení, • apod. Kromě řešení docela konkrétních výše uvedených problémů, bychom se také měli umět zorientovat v geometrických zobrazeních a klasifikovat geometrie v duchu Odstavce 2.4. Jistou nápovědu lze najít v následujícím schématu, viz též Část 10. Obrázek 3.2: Hierarchie geometrií, o nichž se zmiňujeme v tomto textu. KAPITOLA I I Klasická konstrukční geometrie Eukleidés z Alexandrie, Archimédés ze Syrakus, Apollónios z Pergy, ... 4 Eukleidovy Základy Velmi rámcový přehled Základů je následující: • knihy I-IV a VI, planimetrie, • knihy VII-IX, aritmetika, • knihy XI-XIII, stereometrie. Knihy V a X mají poněkud specifické postavení, viz dále. 4.1 Úvod V každé knize najdeme řadu definic (např. pravý úhel je definován v Def.1.10, rovnoběžné přímky v Def.1.23). Některé pojmy/relace jsou nedefinované, neboli primitivní (např. shodnost), jiné jsou sice nějak definované, ale ve skutečnosti jsou též primitivní (např. bod, Def.I.l). Na začátku první knihy je formulováno několik axiómů a postulátů. Axiómy se týkají obecných veličin; na str. 115 jsou vyjmenovány jako Common notions a tady je nepřepisujeme. Postuláty jsou ryze geometrického charakteru:1 (i) Každé dva různé body spojuje přímka. (ii) Každou přímku lze na každé straně libovolně prodloužit. (iii) Lze vytvořit kružnici s libovolným daným středem procházející libovolným jiným bodem. (iv) Všechny pravé úhly jsou shodné. 1V různých edicích jsou axiomy/postuláty organizovány různě, viz např. [Ev]- My odkazujeme na vydání odvozená z překladu T. Heatha, viz [HTD]. 11 12 II. Klasická konstrukční geometrie (v) Když přímka protínající dvě jiné přímky tvoří vnitřní úhly na jedné straně menší než dva pravé, pak tyto dvě přímky — dostatečně prodlouženy — setkají se na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. V (i) je přímkou zřejmě myšlena úsečka, a to jediná. Postuláty (i)-(iii) představují jediné konstrukční nástroje, se kterými si celé Základy vystačí: ideální nekonečně dlouhé pravítko a ideální nekonečně rozkročitelné kružítko. Konstrukce, které lze realizovat s těmito nástroji se nazývají eukleidovské konstrukce, viz též 20. Postulát (iv) nám říká něco o primitivní relaci shodnosti. Postulát (v) je též přezdíván jako dodatečný, neboť je původně formulován dodatečně až před tvrzením 1.29.2 Často bývá nahrazován tzv. postulátem o rovnoběžkách, se kterým je ekvivalentní, viz 5.1. Obrázek 4.1: Eukleidův dodatečný postulát: a + f3 < 2R =4> a a b se protnínají, a to vlevo. 4.2 Přehled Od str. 115 je přiložen stručný přehled nej citovanějších tvrzení ze všech geometrických knih podle [Ha, str. 481-486]. Podrobnosti k jednotlivým knihám dále shrnujeme podle [A]. I. Základy planimetrie Základní a dobře známá tvrzení a konstrukce včetně všech vět o shodnostech trojúhelníků (1.1-26); teorie rovnoběžek (1.27-31); věta o součtu úhlů v trojúhelníku (1.32); obsahy rovnoběžníků a trojúhelníků (1.33-45); Pythagorova věta a věta opačná (1.47-48). 21.29 = 29. věta v I. knize [E] 4. Eukleidovy Základy 13 Obrázek 4.2: [A] 1.32: AB\\CE =4> a' = a a /?' = /3, tzn. a'+/3' = a+/3 a a+/3+7 = 2iž. 1.47 (jakožto dvakrát Eukleidova věta o odvěsně): Pokud je trojúhelník ABC pravúhlý, potom platí, že obsah FBA — obsah FBC — obsah ABD — obsah PBD, ... II. O pravoúhelnících Většina tvrzení se týká tzv. geometrické algebry — pomocí obsahů pravoúhelníků se demonstrují vztahy jako (a + b)(a — b) — a2 — b2 (II.5)3 apod.; konstrukce zlatého řezu (11.11); kosinová věta (11.12-13); kvadratura obecného mnohoúhelníku (Eukleidova věta o výšce) (11.14). Obrázek 4.3: [A] II.5: Pokud je C střed úsečky AB, potom platí AD-DB + CD2 = CB2. Při značení \AC\ — \CB\ —: a a \CD\ —: b totéž zapíšeme jako (a + b)(a — b) + b2 — a2. III. Geometrie kružnic Věty o kružnicích, jejich průnicích a dotyku, sečnách, tečnách a asociovaných úhlech: např. konstrukce tečny (III.16-17); věty o středových a obvodových úhlech (III.20-21), Thaletova věta (III.31), věta o úsekových úhlech (III.32); mocnost bodu ke kružnici (III.35-37). 3V popisu obr. 4.3, jakož i v dále, značí AD ■ DB obsah pravoúhelníků se stranami AD a DB v duchu [E] (což je trochu něco jiného než reálné číslo \AD\ ■ \DB\), viz též 5.3. 14 II. Klasická konstrukční geometrie Obrázek 4.4: [A] 111.20: e = 2/3, rj = 27 =4> /x = 2a, ... 111.32: a + ^^iía^ + ZJ^ i? a — ip. IV. Pravidelné mnohoúhelníky Konstrukce některých mnohoúhelníků vepsaných/opsaných dané kružnici a konstrukce kružnice opsané/vepsané danému mnohoúhelníku: jmenovitě pro obecný trojúhelník (IV.2-5), čtverec (IV.6-9), pravidelný pětiúhelník (IV.10-14), pravidelný šestiúhelník (IV.15), pravidelný 15-tiúhelník (IV. 16). V. Obecná teorie proporcí Mnohem abstraktnější kniha než ostatní, nezávislá na předchozích, nutná pro následující; pojednává o poměrech a proporcích obecných veličin (proporce je rovnost dvou poměrů), přičemž se myslí i na nesouměřitelné veličiny (tj. veličiny, jejichž poměr není racionální číslo, viz Def.V.5); typické tvrzení pro představu: a : b — c : d a : c — b : d (V. 16). VI. Geometrie podobných útvarů Základní tvrzení (VI. 1) mluví o proporcích mezi obsahy trojúhelníků a velikostmi jejich základen za předpokladu, že mají stejnou výšku; konstrukce geometrického průměru (Eukleidova věta o výšce) (VI.13); vyjádření poměru obsahů podobných mnohoúhelníků pomocí koeficientu podobnosti (VI.19-20); pokračování geometrické algebry — řešení obecné kvadratické rovnice (VI.28-29); další zobecnění Pythagorovy věty (VI.31). Obrázek 4.5: [Ey] Pravidelný pětiúhelník IV.11 a patnáctiúhelník IV.16. 4. Eukleidovy Základy 15 Obrázek 4.6: [Ej] VI.31: Pokud je trojúhelník ABC pravoúhlý a mnohoúhelníky nad stranami jsou podobné, potom obsah toho nad přeponou je roven součtu obsahů těch nad odvěsnami. VII. Základní aritmetika Eukleidův algoritmus k nalezení nej většího společného dělitele daných čísel (VII. 1-3); poměry a součiny čísel (VII.17-19); VIII. a IX. Teorie čísel Geometrické posloupnosti čísel; čtvercová a kubická čísla; věta o počtu prvočísel (IX.20); sudá, lichá a dokonalá čísla. X. Nesouměřitelné veličiny Nejobsáhlejší kniha ze všech: definice (Def.X.l) a charakterizace (X.5-6) souměřitelných a nesouměřitelných veličin; existence nesouměřitelných veličin (X.10); vztahy mezi souměřitelností a poměry, součty a dalšími operacemi s veličinami; klasifikace nesouměřitelných veličin;...... XI. Základy stereometrie Věty o rovnobežnosti a kolmosti přímek a rovin (XI. 1-19); prostorové úhly (XI. 20-23); o rovnoběžnostěnech a jejich objemech (XI.24-37); dvě věty s trojbokými hranoly (XI.38-39). Obrázek 4.7: [Ej] XI.39: Pokud je výška žlutého hranolu na stěnu ACEF stejná jako výška modrého hranolu na stěnu GHK a pokud má rovnoběžník ACEF dvojnásobný obsah jako trojúhelník GHK, potom tyto hranoly mají stejný objem. 16 II. Klasická konstrukční geometrie XII. Obsahy a objemy Myšleno obsahy a objemy pomocí Eudoxovy exhaustivní metody: obsah kruhu (XII.2); objem jehlanu (XII.3-9); objem válce a kužele (XII. 10-15); objem koule (XII. 18). Obrázek 4.8: [Ha] XII.7: Objem trojbokého jehlanu je roven tretine objemu trojbokého hranolu se stejnou základnou a stejnou výškou. XIII. Pravidelné mnohostěny Věty o zlatém řezu (XIII.1-6); věty o pětiúhelníku (XIII.7-15); konstrukce pravidelných mnohostěnů (XIII.13-17), porovnání jejich stran a zdůvodnění, že jich není více (XIII.18). Obrázek 4.9: [A] XIII.16: Pravidelný dvacetistěn. 4.3 Cvičení (1) Na vybraných pojmech porovnejte definice v Základech [E] s definicemi, jak se vyučují dnes, viz např. [L] (v rovině např. úsečka, pravý úhel — kolmost, kružnice, tečna, podobnost mnohoúhelníků; v prostoru např. kolmost přímky a roviny, kolmost dvou rovin, hranol, kulová plocha (sféra), podobnost mnohostěnů, ...). (2) Utvořte si představu o struktuře Základů nejlépe tak, že si zapamatujete řazení některých význačných tvrzení v jednotlivých knihách. 5. Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 17 5 Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 5.1 Postulát o rovnoběžkách Jak jsme zmínili výše, postulát (v) je označován jako dodatečný, neboť je původně formulován až před tvrzením 1.29 a nikoli na začátku s ostatními. To znamená, že prvních 28 tvrzení v I. knize je na něm nezávislých — jsou to např.: 1.4 Věta SUS. 1.8 Věta SSS. 1.11-12 Konstrukce kolmice k dané přímce daným bodem. 1.16 Věta o vnějším úhlu trojúhelníku. [Zde se poprvé silně používá nevyslovených předpokladů o uspořádání bodů na přímce.]4 1.17-20 Známé nerovnosti v trojúhelníku (přičemž 1.17 je tvrzení opačné k postulátu (v)). 1.23 Konstrukce daného úhlu na dané polopřímce. 1.26 Věta USU. 1.27 Shodné střídavé úhly implikují rovnoběžnost přímek. [Zdůvodněno nepřímo pomocí 1.16.] Kromě uvedených je to však také: 1.31 Konstrukce rovnoběžky k dané přímce daným bodem. [Konstrukce podle 1.23, zdůvodnění podle 1.27.] K "3- Obrázek 5.10: [A] 1.27: a = 7 => h\\g. 1.29: h\\g => a = 7. Naopak, řada dalších tvrzení je na pátém postulátu závislá, příp. je s ním ekvivalentní: 1.29 Věta o střídavých úhlech, viz obr. 5.11. 1.32 Věta o součtu úhlů v trojúhelníku, viz obr. 4.2. 1.47 Pythagorova věta, viz obr. 4.2. Právě z 1.29 přímo plyne jednoznačnost rovnoběžky sestrojené podle 1.31. Následující tvrzení je asi nejznámější Věta, která je s postulátem (v) ekvivalentní: Věta (*). Každým bodem ke každé přímce prochází právě jedna rovnoběžka. 4To je hlavní důvod, proč Věta 1.16 a všechny její důsledky neplatí v eliptické geometrii (jež je lokálně modelovaná na sféře)! 18 II. Klasická konstrukční geometrie book i. prop. xxix. theor. STRAIGHT lot ( < ) filling two parallel freight lints ( ..... and , makes the alternate angles equal ta one another; and aljo the external equal to the internal and oppofite angle on the fame fide : and the two internal angles on the fame fide together equal to two right angles. draw For if the alternate angles and jJ^^ be not equal, aking if = (pr.23). —■ — J J mmtmaaHum (pr. 27.) and there* Therefore [] — fore two itraight lines which interfect are parallel to the fame ftraight line, which it impoihble {ax. 12), Hence the alternate angles and ^^^^ arc not unequal, that 15, they are equal: — (pr. 15)1 = the externa] angle equal to the nal and oppoiite Dn the fame (ide: it' j^Kr t;L added to both, then + — ijk — t. ~*\ That is to fay, the two internal angles at the lame fide of the cutting line arc equal to two right angles. Q. E. D. Obrázek 5.11: [EB] Věta 1.29 v Byrnově vydání Základů. Z nepřeberné zásobárny dalších vybíráme: • Součet vnitřních úhlů je ve všech trojúhelnících stejný. • Existuje trojúhelník s libovolně velkým obsahem. • Existují podobné trojúhelníky, které nejsou shodné. • Každému trojúhelníku lze opsat kružnice. • Množina bodů, které leží v jedné polorovině a mají stejnou vzdálenost od dané přímky, je přímka. 5.2 Cvičení Pomocí ideálních eukleidovských nástrojů sestrojte: (1) kolmici k dané přímce daným bodem, 5. Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 19 (2) rovnoběžku k dané přímce daným bodem. Pomocí omezených eukleidovských nástrojů (krátké pravítko, malé nebo dokonce zaseknuté kružítko) sestrojte: (3) spojnici dvou bodů, (4) rovnostranný trojúhelník, (5) znovu (1) a (2). Dokažte, že (6) postulát (v) je skutečně ekvivalentní s tvrzením (*) na str. 17, (7) si umíte představit sférický trojúhelník, ve kterém neplatí 1.16. 5.3 Kvadratura mnohoúhelníku Kvadraturovat nějaký plošný útvar znamená sestrojit čtverec, který má stejný obsah. Posloupnost tvrzení v [E] (počínaje 1.34 a vrcholíce 11.14) řeší tento problém pro libovolné mnohoúhelníky. Pojem obsahu není v Základech nijak vymezen, avšak nakládá se s ním jako s každou jinou veličinou podle vyslovených axiómů (viz Common notions na str. 115). Obrázek 5.12: [Ej] 1.35: Rovnoběžníky se stejnou základnou a výškou mají stejný obsah. 1.35-38 Rovnoběžníky, resp. trojúhelníky, se stejnou základnou a výškou mají stejný obsah. 1.42 Konstrukce rovnoběžníku, jež má stejný obsah jako daný trojúhelník. I. 43-45 Konstrukce rovnoběžníku, jež má stejný obsah jako daný mnohoúhelník. II. 14 Konstrukce čtverce, jež má stejný obsah jako daný mnohoúhelník. [Shrnutí předchozího + Eukleidova věta o výšce, jejíž zdůvodnění je založeno na II.5.5] Všechny argumenty jsou založeny na manipulaci se shodnými částmi, které se různě přidávají k daným nebo odebírají od daných útvarů. Tato pozorování celkem přirozeně vedou k následujícímu závěru, viz [Ha, část 24]: Věta (Wallaceova—Bolyaiova—Gerwienova). Dva mnohoúhelníky mají stejný obsah právě tehdy, když jeden lze rozstříhat na části, z nichž lze složit ten druhý. Rozhodující je naučit se nějak stříhat stejnoploché pravoúhelníky, viz obr. 5.15. 6 Jiné zdůvodnění založené na podobnosti trojúhelníků plyne z VI.8; konstrukce je samozřejmě tatáž, viz VI.13. 20 II. Klasická konstrukční geometrie e k A -o M H A L Obrázek 5.13: [A] 1.44: Sestroj rovnoběžník FEBG, jehož obsah je stejný jako obsah daného trojúhelníku; doplň rovnoběžník FEAH tak, aby AB byla daná úsečka; spoj HB ~> K ~> M a L. Potom platí, že obsah trojúhelníku — obsah FEBG — obsah ABML. Obrázek 5.14: [A] 11.14: Rovnoběžník BCDE má stejný obsah jako daný mnohoúhelník, ED = EF, G = střed BF, .... Potom (podle II.5 a 1.47) platí BE-EF + EG2 = GF2 = Gií2 = SG2 + EH2, tzn. BE-EF = £ií2 (Eukleidova věta o výšce). 5.4 Cvičení (1) Vymyslete nějaký způsob, jak modifikovat nápad na obr. 5.15 v případě, kdy bod L je v opačné polorovině vymezené přímkou CE. (2) Dokažte, že umíte kvadraturovat obecný mnohoúhelník. (3) Uvědomte si, že kvadraturu specifického mnohoúhelníku lze často provést specifickým a zpravidla efektivnějším způsobem... (4) Uvědomte si, že kvadraturovat jiné útvary než mnohoúhelníky může být docela problém (viz 20.2). (Ei> (5) Sestrojte svůj vlastní důkaz Pythagorovy věty pomocí rozstříhání dvou menších čtverců. 5. Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 21 C P e ti Obrázek 5.15: [Ha] ABCD dán, AEGH sestrojen podle 1.44, příp. 11.14; trojúhelníky CGK a FBE jsou shodné, proto taky trojúhelníky CDF a KHE jsou shodné — střih vedeme podél CF a GK. Obrázek 5.16: [K. Nedvědová, 2009] Kvadratura obecného trojúhelníku se stříháním. 5.5 Mocnost bodu ke kružnici a odvozené pojmy Mocnost bodu ke kružnici Mocnost bodu ke kružnici je velice užitečný invariant, ke kterému dospějeme na konci následující posloupnosti úvah, viz obr. 5.17: • Předpokládáme, že bod D leží vně kružnice. • Zdůvodníme, že pro libovolnou sečnu vedenou bodem D platí: • Tato veličina tedy nezávisí na sečně, ale je krásně určena pouze danou kružnicí a bodem D. • Pomocí středu E a poloměru r kružnice můžeme tuto veličinu vyjádřit jako r DC ■ D A — DB2. (5.1) \DB\2 = \DE\2 (5.2) 22 II. Klasická konstrukční geometrie Mocnosti bodu D ke kružnici se středem E a poloměrem r je reálné číslo definované rovností (5.2). Podle dennice je tedy mocnost kladná pro body vně kružnice, záporná pro bodu uvnitř kružnice a nula pro body na kružnici. Obrázek 5.17: [A] 111.36: Pro libovolnou sečnu jdoucí bodem D platí: DC-DA = DB2 = konst. Rovnost (5.2) je zřejmě aplikací Pythagorovy věty pro trojúhelník DBE. Rovnost (5.1) lze zdůvodnit několikerým způsobem:6 (a) Pomocí podobnosti trojúhelníků DCB a DBA [úhel u vrcholu D mají oba trojúhelníky společný a podle III.32 je úhel CAB shodný s DBC]. (b) Pomocí II.6 a několikerým užitím Pythagorovy věty tak, jak je to představeno v III.36. Chordála dvou kružnic Uvažme dvě kružnice, které se protínají. Pak přímka určená jejich společnými body má tu vlastnost, že každý bod na ní ležící má stejnou mocnost k oběma kružnicím. V případě, že se dvě kružnice dotýkají, má jejich společná tečna (jdoucí společným bodem) zrovna takovou vlastnost. Obecně: množina bodů, která má stejnou mocnost ke dvěma daným kružnicím se nazývá chordála dvou kružnic. ob o70 (0 Obrázek 5.18: Chordála dvou kružnic. Při konstrukci chordály v případě, že se dané kružnice neprotínají, oceníme následující fakt: Věta. Chordála libovolných dvou nesoustředných kružnic je přímka, která je kolmá na spojnici jejich středů. 5. Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 23 Obrázek 5.19: Chordála je přímka kolmá na spojnici středů. Při zdůvodnění používáme definici chordály a Pythagorovu větu: Uvažme libovolný bod X na chordále, patu kolmice na spojnici středů označíme P, viz obr. 5.19. Protože X má stejnou mocnost k oběma kružnicím, platí |XSi|2-r? = \XS2\2-r22, (\XP\2 + |P^|2) - r\ = (\XP\2 + \PS2\2) - rl |PSi|2-r? = \PS2\2-r2. Tzn., že bod P taky leží na chordále. Protože chordála má se spojnicí středů společný právě jeden bod, je to zrovna P. Pata kolmice z každého bodu na chordále tedy bude splývat s P, což znamená, že chordála je právě kolmice ke spojnici středů jdoucí tímto bodem. □ Potenční střed tří kružnic Množina bodů, která má stejnou mocnost ke třem daným kružnicím se nazývá potenční střed tří kružnic. Tento bod se občas zmiňujeme při konstrukcích; v generickém případě je určen jednoznačně. Uvědomte si, že ve speciálních případech potenční střed vůbec nemusí existovat (příp. je nevlastní) nebo naopak nemusí být určen jednoznačně... 5.6 Cvičení (1) Sestrojte (eukleidovsky!) tečnu k dané kružnici z daného bodu, svoji konstrukci zdůvodněte a porovnejte s konstrukcí III.17. (2) Sestrojte chordálu dvou kružnic, které se neprotínají. (3) Rozmyslete si různé limitní situace jako např. r\ —>• 0, r2 —>• oo, S\ —>• S2 apod. (4) Udejte příklad tří kružnic, které mají více potenčních středů. (5) Sestrojte kružnici, která prochází dvěma danými body a dotýká se dané přímky. 6Oba zmiňované postupy lze jednoduše modifikovat i pro případ, kdy bod D leží uvnitř kružnice; v takovém případě přímo dokazujeme, že součin DC ■ DA nezávisí na sečně. 24 II. Klasická konstrukční geometrie 5.7 Zlatý řez Základní konstrukce, kterou ještě několikrát zužitkujeme, je konstrukce zlatého řezu. Bod H leží ve zlatém řezu úsečky AB, pokud platí BA : AH — AH : H B (5.3) (nebo, symetricky, AB : B H = B H : HA). Konstrukce podle 11.11 s elegantním geometrickým zdůvodněním je představena na obr. 5.20. s N \ M \ Obrázek 5.20: [A] 11.11 (konstrukce zlatého řezu úsečky AB): čtverec ABCD; G — střed AC; kružnice EB ~> F; čtverec AFGH. Potom (podle II.6 a 1.47) platí CF ■ F A + AE2 = EF2 = EB2 = AE2 + AB2, tzn. CF-FA = CF-FG = AB2, odkud po odečtení C A-AH dostáváme AH2 = AB-BH, neboli AH : BH = AB : AH. Ačkoli to na tomto místě bude vypadat trochu nemístně, naznačíme, jak uvedenou konstrukci zdůvodnit početně. Označíme \AB\ —: b a \AH\ —: x a postupně vyjadřujeme všechny veličiny sestrojené na obr. 5.20: \AE\ = |EC| = ib, = ^-b, \AF\ = |Aff| = x = ^^b. Definice zlatého řezu v našem značení zní: b : x — x : (b — x), což je ekvivalentní s b(b — x) — x2, neboli x2 + bx - b2 = 0. (5.4) Stačí tedy ověřit, že před chvílí sestrojená veličina x je kořenem této kvadratické rovnice, což skutečně je... □ Toto počítání není samoúčelné — uvádíme proto, že konkrétní vyjádření neznámé x vždy nabízí jistý návod k její konstrukci (v případě, že je tato veličina sestrojitelná)! V této souvislosti doporučujeme cvičení 5.8(1), viz též cvičení 5.12(3-4) a odstavec 20.1. Na závěr jedno užitečné tvrzení, viz obr. 5.21: 5. Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 25 Věta. Pro čtyři body A,H,B,L na jedné přímce takové, že AH — BL platí: bod H je ve zlatém řezu úsečky AB právě tehdy, když bod B je ve zlatém řezu úsečky AL. M fJ 1 1 1 1 * • C K p Obrázek 5.21: Pokud AH — BL, potom H je zlatý řez AB ^=4> B je zlatý řez AL. 5.8 Cvičení (1) Připomeňte si klasickou konstrukci zlatého řezu a vymyslete nějakou svoji vlastní konstrukci (návod: sestrojte postupně VE — 1, ^^T1)- (2) Rovnice (5.4) má dva kořeny; vypočítejte také druhý kořen a zkuste jej nějak geometricky interpretovat. (3) Pro danou úsečku DF sestrojte bod A tak, aby F byl zlatým řezem úsečky D A. (4) Navrhněte nějaké alternativní řešení předchozí úlohy. 5.9 Pravidelný pětiúhelník Postřehy Předpokládejme nějaký hotový pentagram, který trochu prozkoumáme. Tento má jak stany, tak Obrázek 5.22: [A] Analýza pravidelného pětiúhelníku, vnitřní úhly shodné, má pět os symetrií atp. Odtud podle obr. 5.22 vyvozujeme několik postřehů: 26 II. Klasická konstrukční geometrie (1) AD\\BC a BE\\CD, takže BCDF je rovnoběžník, (2) trojúhelníky ADE a EAF jsou oba rovnoramenné a mají společný úhel, takže jsou podobné, (3) obvodové úhly BAC, CAD, DAE atd. jsou všechny shodné, takže trojúhelník ABD má tu vlastnost, že je rovnoramenný a úhly u základny jsou dvojnásobkem úhlu u vrcholu D. Důsledky a konstrukce Uvažme nejdřív, že máme dánu stranu AB a chceme sestrojit ostatní vrcholy. Z (1) plyne FD — BC — CD — BF. Pokud si ještě všimneme, že D leží na ose úsečky AB, pak máme rychlou, nikoli však eukleidovskou, konstrukci bodu D a odtud celého pětiúhelníku, viz obr. 20.5. Z podobnosti trojúhelníků v (2) plyne AD : DE = E A : AF, přičemž však DE = E A = DF, tedy AD : DF = DF : FA. Tzn., že bod F leží na AD ve zlatém řezu, přičemž delší část tohoto řezu je shodná právě se stranou pětiúhelníku (čímž jsme mimochodem zreprodukovali XIII.8). Podle cvičení 5.8(3) umíme sestrojit úhlopříčku AD a odtud celý pětiúhelník... Postřeh (3) nás navádí k následující myšlence: sestrojme trojúhelník s uvedenými vlastnostmi a zbytek už je snadný! Toto je právě cesta, kterou najdeme v IV. 10 (tzn. bez teorie podobnosti) a kterou zde pro svoji nezpochybnitelnou působivost představíme, viz obr. 5.23.7 Současně si tak připomeneme několik významných tvrzení z prvních knih Základů hezky pohromadě: Obrázek 5.23: [Ha] IV.10: Na dané úsečce AB sestroj K ve zlatém řezu; sestroj trojúhelník ABL tak, aby AL — AB a BL — AK. Potom platí, že trojúhelník ABL je rovnoramenný a f3 — 2a. Zdůvodnění IV.10 je následující: • z konstrukce bodu K plyne, že BA ■ BH = BL2 (11.11), • doplníme-li pro lepší představu kružnici AKL, pak předchozí můžeme interpretovat jako mocnost bodu B ke kružnici, tudíž B L je tečnou (III.36-37), • úsekový úhel BLK je shodný s LAB (III.32), jež značíme a, tudíž úhel ALB je roven a + S, • přitom trojúhelník ABL je rovnoramenný, takže f3 — a + S (1.5), • úhel LKB je vnější úhel v trojúhelníku AKL, proto je také roven a + S (1.32), • odtud plyne, že trojúhelník BLK je rovnoramenný (1.6), tudíž K L — B L — AK, • proto také trojúhelník AKL je rovnoramenný, tzn. a — S (znovu 1.5), • celkem tedy opravdu platí (3 — 2a. □ 7Nenechte se splést značením, které nemá nic společného s obr. 5.22. 5. Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 27 Poznámky Vlastní konstrukce pětiúhelníku odvozená z uvedených postřehů by měla být vždy snadná bez ohledu na to, zdaje tento zadán stranou nebo kružnicí opsanou či vepsanou, viz cvičení. Zmíníme raději několik dalších užitečných postřehů. Na obr. 5.24 je připomenuta konstrukce zlatého řezu K úsečky AB včetně trojúhelníku ABL, o kterém byla řeč před chvílí. Velice zajímavým poznatkem je následující tvrzení, které nabízí jistou zkratku při konstruování pravidelného pětiúhelníku. Použijeme také např. při konstrukci pravidelného dvacetistěnu... Věta. Úsečky AB, AJ, resp. B J představují strany pravidelného šestiúhelníku, desetiúhelníku, resp. pětiúhelníku vepsaného do naznačené kružnice. Zejména platí, že tyto úsečky tvoří strany pravoúhlého trojúhelníku! Druhou část tvrzení lze najít v XIII.10 s ryze geometrickým zdůvodněním. V našem provedení tato část přímo plyne z konstrukce, takže dokážeme jenom část první, a to početně. Poloměr kružnice bereme jako jednotku, vzhledem k níž postupně vyjádříme ostatní veličiny: Podle předpokladu je \AB\ — 1. Bod K je ve zlatém řezu, velikost \AJ\ — \AK\ známe z 5.7; z Pythagorovy věty v trojúhelníku AB J vyjádříme \BJ\: Délku strany pravidelného n-úhelníku vepsaného do jednotkové kružnice označíme an. Zřejmě je aa — \AB\; stačí dokázat, že aw — \AJ\ a a$ — \BJ\. Středový úhel odpovídající straně vepsaného desetiúhelníku, resp. pětiúhelníku je 36°, resp. 72°. Odtud pomocí kosinové věty vyjádříme: Zmiňované úhly pozorujeme právě v trojúhelníku ABL, jehož všechny strany známe. Dvojím užitím kosinové věty v tomto trojúhelníku umíme vyjádřit Obrázek 5.24: [Ha] Ke konstrukci pravidelného pětiúhelníku. aw = y/2 - 2 cos 36°, a5 = y/2 - 2 cos 72°. Dosadíme do předchozího vyjádření a po drobné úpravě skutečně pozorujeme, že aw — \AJ\ aa5 = \BJ\. □ 28 II. Klasická konstrukční geometrie Uvedené počítání opět není samoúčelné — chceme čtenáře připravit na fenomén sestrojitel-nosti geometrických veličin, ke kterému se vracíme v 20. Některé pravidelné mnohoúhelníky totiž nejsou sestrojitelné eukleidovským pravítkem a kružítkem, přičemž zdůvodnění tohoto faktu je možné pouze podobně negeometrickým způsobem... 5.10 Cvičení (1) Alespoň trojím způsobem sestrojte pravidelný pětiúhelník, je-li dána jeho strana. (2) Sestrojte pravidelný pětiúhelník vepsaný do dané kružnice, příp. opsaný dané kružnici. (3) Dokažte tvrzení IV.10 pomocí podobnosti. (4) Dokažte tvrzení XIII. 10 bez počítání. (Ei> (5) Sestrojte pravidelný patnáctiúhelník a pokuste se o jiný netriviální mnohoúhelník. 5.11 Teorie podobnosti Několikrát jsme v předchozím výkladu se značnou výhodou využili podobnosti nějakých trojúhelníků. Protože podobné obraty jsou velice hojné a užitečné, považujeme za účelné připomenout několik věcí. Základní věty Obrázek 5.25: [Ej] VI.1: Poměr obsahů trojúhelníků (resp. rovnoběžníků) se stejnou výškou je stejný jako poměr délek jejich základen. V Základech je podobnostem věnována VI. kniha, jež začíná základním tvrzením VI. 1, viz obr. 5.25. Uvědomte si, že vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku je důsledkem této věty a nikoli naopak! Důkaz VI.1 založen na 1.38 a definici rovnosti poměrů z V. knihy. Tato definice (Def.V.5) říká, že veličiny a, b jsou ve stejném poměru jako veličiny c, d, E A F h- L g b c d k a : b — c : d, pokud pro každá čísla to, n platí: Možná to zní komplikovaně, ale opak je pravdou: Čísly se samozřejmě myslí celá čísla, veličiny jsou pro moderního čtenáře čísla reálná. S touto interpretací můžeme předchozí definici převyprávět 5. Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 29 tak, že se se nám ihned vybavuje definice rovnosti reálnych čísel sestrojených z racionálních čísel pomocí tav. Dedekindových řezů...8 Následující věta VI.2 je bezprostředním důsledkem VI.1 (a 1.38-39). Věta (VI.2). Přímka je rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníku právě tehdy, když protíná zbylé dvě strany úměrně. Odtud (a z 1.27, resp. 1.29!) dále plyne VI.4-5, viz obr. 5.26. Důkazy jsou velmi přímočaré, viz cvičení. Obrázek 5.26: [A] VI.2: SD' : SD = SE' : SE ^> D'E'\\DE. VI.4-5: a = a' a ß = ß' a 7 — 7' <í=^> b : c — b' : c' a c : a — c' : a' a a : b — a' : b'. Další pojmy Trojúhelníky (obecněji, mnohoúhelníky) jsou podobné, pokud mají po dvou shodné vnitřní úhly a strany u shodných úhlů mají úměrné. Ekvivalenci VI.4-5 můžeme sugestivněji přepsat jako a — a' a j3 — j3' a 7 — 7' <í=4> a' : a — b' : b — c' : c, což znamená, že je lhostejné, zda podobnost trojúhelníků definujeme pomocí vnitřních úhlů nebo pomocí poměrů odpovídajících stran. Pokud jsou trojúhelníky podobné, pak poměr a' : a — b' : b — c':c nazýváme koeficientem podobnosti, což je kladné reálné číslo. Předpokládejme, že na obrázku k VI.2 platí DE\\D'E'. Potom trojúhelníky SDE a SD'E' jsou podobné — v tomto případě navíc stejnolehlé. Stejnolehlost je nej sympatičtější podobnost a budeme ji používat velice často. Stejnolehlost je určena středem, v našem případě S, a koeficientem, který je určen poměrem SD' : SD — SE' : SE. Schválně neříkáme, že koeficient stejnolehlosti je onen poměr, protože připouštíme také záporné hodnoty. Přesnější popis najdete v části 9.3. Stejnolehlé trojúhelníky používáme k přenášení dělicího poměru tří bodů z jedné přímky na druhou. Dělicí poměr trojice kolineárních bodů (A, B, C) je reálné číslo d takové, že platí A Č — d-BČ; značíme a symbolicky zapisujeme takto: d=(ABC) = ^. (5.5) BC ;Viz Algebra a aritmetika 3 (MA2BP_PAL3). 30 II. Klasická konstrukční geometrie Komu se v těchto souvislostech vektory moc nezamlouvají, může dělicí poměr d definovat tak, že \d\ — \AC\ : \BC\, přičemž znaménko se určuje podle toho, zda bod C leží mezi A, B, či nikoli... Definice samozřejmě závisí na pořadí bodů ve trojici, viz cvičení 5.12(2). -1 +Oo H-1-1— r 3 *í 0 -1 "3 -í I 9 r 3 1 --? "i H-1 i |i"wét""'i ' i-1- Obrázek 5.27: K dělicímu poměru... 5.12 Cvičení (1) Dokažte VI.2 a VI.4-5. (2) Pro danou úsečku AB sestrojte bod C tak, aby dělicí poměr trojice (ABC) byl d — —4; vyjádřete dělicí poměr trojic (BAC), (BCA), ... (3) Řešte předchozí úlohu pro jiné hodnoty d, např. d — ±1, 0, -|, , ■ ■ ■ (4) Pro dané dvě úsečky s velikostmi a a b sestrojte úsečku délky a ■ b, resp. f. 5.13 Trocha stereometrie Některé definice rovnoběžnost, kolmost, ... Objemy jednoduše Tvrzení o objemech rovnoběžnostěnů najdeme v XI. knize Základů; celá teorie je velmi analogická tomu, co známe z I. knihy pro rovnoběžnostěny. To v důsledku znamená, že dva rovnoběžnostěny mají stejný objem právě tehdy, když jeden lze rozstříhat na části, z nichž lze složit ten druhý; sr. s Větou 5.3 na str. 19. 5. Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 31 Obrázek 5.28: [Ej] XI.30: Rovnoběžnostěny se stejnou základnou a stejnou výškou mají stejný objem. Objemy pomocí Eudoxovy metody Může to vypadat překvapivě, ale následující diskuze o jehlanech je podstatně komplikovanější: Věta XII.5 je dokázána Eudoxovou exhaustivní metodou! Zajímavý výsledek M. Dehna (1900) však ukazuje, že to obecně ani jinak nejde. Zdůvodnění je — podobně jako v případě klasifikace eukleidovsky sestrojitelných veličin — veskrze algebraické. Trojrozměrná analogie Věty 5.3 na str. 19 platí pouze pro mnohostěny, které mají stejný tzv. Dehnův invariant, viz např. [Ha, část 27]. F Obrázek 5.29: [Ha] XII.5: Poměr objemů jehlanů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen. Z věty XII.5 plyne XII.7 (viz obr. 4.8) a další. Teprve poté lze ukázat, že objem obecného jehlanu (resp. kužele) je třetinový vzhledem k objemu hranolu (resp. válce) se stejnou základnou a stejnou výškou... 5.14 Platónská tělesa Celé Základy vrcholí popisem konstrukcí pěti pravidelných konvexních mnohostěnů, jejich klasifikací a diskuzí poměrů jejich stran vzhledem k poloměru opsané sféry (XIII. 13-18). Pravidelný konvexní mnohostěn může být definován jako konvexní mnohostěn, jehož stěny jsou pravidelné 32 II. Klasická konstrukční geometrie mnohoúhelníky a který má stejný počet stěn kolem každého vrcholu. Odtud pak skutečně plyne, že takový mnohostěn je vepsán do koule, má všechny stěnové úhly shodné atd. [Ha, Věta 44.4]. Pravidelné konvexní mnohostěny jsou známy jako Platónská tělesa.9 Obrázek 5.30: [Ko] Pravidelné konvexní mnohostěny. K problému zobrazení Platónských (a jiných) těles se vrátíme v Kapitole IV, kde budeme potřebovat právě poznatky z knihy XIII. Prozatím nabízíme na ochutnávku několik postřehů ke konstrukci pravidelného dvacetistěnu (XIII. 16) a dvanáctistěnu (XIII. 17). Pravidelný dvacetistěn (1) Do kružnice se středem V vepíšeme pravidelný desetiúhelník LFMGN ...; vrcholy L, M, N, O, P jsou vrcholy pravidelného pětiúhelníku, vrcholy E,F,G,... představují kolmé průměty horního pětiúhelníku QRSTU z bubínkovitého základu. K jeho sestrojení potřebujeme zjistit výšku VW = EQ: Všechny zvýrazněné trojúhelníky jsou podle předpokladu rovnostranné, zejména např. QL — strana vepsaného pětiúhelníku. Přitom LE je strana pravidelného desetiúhelníku vepsaného do téže kružnice a trojúhelník LEQ je pravoúhlý. Z tvrzení XIII.10 (které jsme parafrázovali jako Větu 5.9 na str. 27) plyne, že EQ — VW — strana vepsaného pravidelného šestiúhelníku, tj. poloměr startovní kružnice. 9Polopravidelné konvexní mnohostěny jsou známy jako Archimédovská tělesa, pravidelné nekonvexní mnohostěny jako Keplerova tělesa, viz Přílohy. 5. Vybrané pojmy, vztahy a konstrukce 33 u. M Obrázek 5.31: [A] Pravidelný dvacetistěn poprvé: z XIII.10 plyne, že EVWQ je čtverec. (2) K sestrojení čepiček potřebujeme znát výšku WZ: Trojúhelník QWZ je pravoúhlý, QZ — strana vepsaného pětiúhelníku a QW — strana vepsaného šestiúhelníku. Znovu podle XIII. 10 zjišťujeme, že WZ — LE — strana vepsaného desetiúhelníku, a tu již máme sestrojenou. Obrázek 5.32: [A] Pravidelný dvacetistěn podruhé: z XIII.10 plyne, že WZ — LE. (3) Pro kontrolu pravidelnosti sestrojeného dvacetistěnu ukážeme, že je vepsán do koule: Na obr. 5.24 je naznačeno, jak jsou sestrojeny strany vepsaného pěti- a desetiúhelníku (což je odvozeno z konstrukce 11.11). Porovnáním s naznačeným řezem vidíme, že body Z,Q,... leží na kružnici... a T 34 II. Klasická konstrukční geometrie Obrázek 5.33: [A] Pravidelný dvacetistěn potřetí: řez dvacetistěnem a řez zlatý. (4) Na předchozím obrázku vidíme vztah mezi stranou QZ pravidelného dvacetistěnu a poloměrem opsané sféry AZ — AQ — .... Znovu podle XIII. 10 víme, že AW — WZ, tudíž bod W je ve čtvrtině úsečky XZ. Při obvyklém označení a — \QZ\ a r — \AZ\ platí r VIQ + 2V5 - =-~A-■ (5-6) a 4 Pravidelný dvanáctistěn Pravidelný dvanáctistěn je sestrojen tak, že se nad krychlí postaví vhodné pětiúhelníkové střechy. Pro danou krychli umíme sestrojit stranu pětiúhelníkové stěny pomocí zlatého řezu; jediné, co potřebujeme dozjistit, je výška hřebene UV nad stěnou krychle. V XIII. 17 se dokazuje, že tato vzdálenost je rovna právě polovině právě sestrojené strany. Pro vyznačené body na obr. 5.34 to znamená, že RPXU je čtverec (N je středem BE, P je středem NO, R je ve zlatém řezu PN). Poměr mezi stranou dvanáctistěnu a poloměrem opsané sféry je vyjádřen v XIII. 18... Obrázek 5.34: [A] Pravidelný dvanáctistěn... 5.15 Cvičení (1) Ověřte (5.6) a srovnejte s vyjádřením v XIII.18. 6. Úloha Apollóniova a úlohy příbuzné 35 (2) Připravte se na konstrukci dalších Platónských těles... 6 Úloha Apollóniova a úlohy příbuzné Úkolem je sestrojit kružnici, která se dotýká tří daných kružnic. Jako obvykle — sestrojit znamená sestrojit eukleidovským pravítkem a kružítkem. To v důsledku znamená, že se pídíme hlavně po dotykových bodech, teprve poté kreslíme výslednou kružnici. Jako limitní případy uvažujeme místo daných kružnic také body a přímky v různých kombinacích; takové úlohy jsou jednodušší, a proto s nimi začínáme. Každá verze úlohy může mít různé počty řešení podle vzájemné polohy tří daných objektů (v generickém případě pozorujeme řešení osm). Všeliké specifické případy a polohy necháváme na cvičení a do písemek... Původní Apollóniovo (kolem 250 př.K.) řešení se nezachovalo, několik poznámek je známo díky Pappovy z Alexandrie (kolem 400). Následující výklad částečně sleduje rekonstrukci podle F. Viěta (kolem 1600). Protože metod řešení je skutečně velmi mnoho, vracíme se k problému ještě v Dodatku 21. 6.1 Nejjednodušší případy BBB Stará známá kružnice opsaná trojúhelníku; konstrukčně to znamená sestrojit 2-3 osy úseček; pro různé nekolineární body má úloha jediné řešení. PPP Jedno z řešení je kružnice vepsaná trojúhelníku; konstrukčně to znamená sestrojit několik os úhlů; úloha má nejvýše čtyři řešení. BBP Tuto úlohu jsme řešili jako cvičení 5.6(5) pomocí postřehů založených na mocnosti bodu ke kružnici: Každý bod na přímce AB má stejnou mocnost ke všem kružnicím procházejícím body A,B; řešení k se navíc dotýká přímky c, pro bod P — AB n c tedy platí P A ■ P B — PC2. Stačí sestrojit velikost úsečky PC, kterou naneseme na přímku c. Úloha má nejvýše dvě řešení. Obrázek 6.35: Řešení BBP pomocí mocnosti: (1) P je průsečík přímek AB a c; (2) velikost \PC\ — \PX\ je sestrojena pomocí Eukleidovy věty o odvěsně; (3) kružnice k je určena body A,B,C. BPP Tady nás napadají hned dva elementární způsoby řešení. Úloha má nejvýše dvě řešení. (a) Postřeh: Každé řešení je samo k sobě symetrické podle naznačené osy úhlu. Stačí sestrojit symetrický bod A', zapomenout na jednu přímku a řešit úlohu BBP, kterou již umíme. 36 II. Klasická konstrukční geometrie Obrázek 6.36: Řešení BPP pomocí osové souměrnosti: (1) A' je symetrický k A podle osy; (2) k je kružnice, která prochází body A, A' a dotýká se b (úloha BBP); (3) body dotyku s přímkami b a c jsou symetrické podle osy. (b) Postřeh: Dvě kružnice řešení jsou stejnolehlé se středem stejnolehlosti v průsečíku daných přímek. Obecněji, k je stejnolehlá se stejným středem s libovolnou kružnicí, která se dotýká b a c (a leží ve správném kvadrantu)... Obrázek 6.37: Řešení BPP pomocí stejnolehlosti: (1) k' je libovolná kružnice, která se dotýká b a c; (2) k' chápeme jako stejnolehlý obraz k: A' je průsečík polopřímky S A s kružnicí k'; (3) střed O je vzor středu O' vzhledem k této stejnolehlosti: AO||A'0'; (4) podobně je to s dotykovými body B a C... 6.2 Mírná zobecnění První dvě úlohy, kde se v zadání objevuje kružnice... BBK Můžeme řešit podobně jako BBP: Každý bod na přímce AB má stejnou mocnost ke všem kružnicím procházejícím body A, B; řešení k se navíc dotýká c, na přímce AB tedy existuje bod 7. Kuželosečky 37 (P), který má tutéž mocnost také ke kružnici c. Stačí sestrojit P a odtud tečny ke kružnici c... Úloha má nejvýše dvě řešení. Obrázek 6.38: Řešení BBK pomocí mocnosti: (1) l je libovolná kružnice procházející A, P>; (2) ch je chordála kružnic l a c; (3) bod P je průsečíkem chordály a přímky AB; (4) C je dotykový bod tečny z bodu P ke kružnici c; (5) kružnice k je určena body A,B,C. PPK Zobecňujeme řešení BPP(b): Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé, nyní se díváme na kružnici danou a kružnici řešení. Stačí určit střed stejnolehlosti A... Úloha má nejvýše osm řešení. Obrázek 6.39: Řešení PPK pomocí stejnolehlosti: (1) b' a d jsou přímky rovnoběžné s b a c, které se dotýkají kružnice A; (2) b' a d chápeme jako stejnolehlé obrazy přímek b a c: střed stejnolehlosti A — A' je průsečíkem přímky MM' s kružnicí a; (3) střed O je vzor středu O' vzhledem k této stejnolehlosti: O je průsečík O'A s osou; (4) podobně je to s dotykovými body B a C... 6.3 Pomocné konstrukce a postřehy Společné tečny dvou kružnic, kružnice vs. cykly, dilatace...... 6.4 Cvičení (1) Řešte PPK na obr. 6.39 znovu pomocí dilatace. (2) Řešte BPK v takové poloze, že daný bod leží na dané přímce. (3) Řešte KKK za předpokladu, že dvě z daných kružnic mají stejný průměr. (4) Řešte podobné úlohy v podobně specifických případech... 38 II. Klasická konstrukční geometrie 7 Kuželosečky 7.1 Elipsa Elipsa je rovinná křivka, která může být definována mnoha různými způsoby. Některé nej známější stručně připomeneme a hlavně naznačíme, proč jsou navzájem ekvivalentní. V odst. 10.3 pak uvádíme ještě jeden možný pohled na elipsu... Elipsa je: (a) uzavřená kuželo-sečka, tj. řez kuželové plochy takovou rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky, (b) množina bodů v rovině, jež mají konstantní součet vzdáleností od nějakých dvou bodů E a F: \EX\ + \XF\ = konst., (c) množina bodů v rovině, jež mají konstantní poměr vzdáleností od nějakého bodu F a nějaké přímky d, přičemž \XF\ : \Xd\ = konst. < 1, (d) křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k nějaké vhodné souřadné soustavě) x y 9 p 9 -r + -pr = 1, resp. y — 2px--x . a, bz a Body E, F jsou tzv. ohniska, přímka d je tzv. řídící přímka (elipsa má dvě ohniska a dvě řídící přímky); kvadratická rovnice v (d) je tzv. středová, resp. vrcholová rovnice elipsy; 2a — délka hlavní osy, 2b — délka vedlejší osy, číslo p je tzv. parametr elipsy a platí p — ^-; konstanta v (b) je rovna 2a; konstanta v (c) je rovna |, kde e — \/a2 — b2 je tzv. výstřednost elipsy;...... Historicky původní je definice (a), ostatní charakterizace jsou odtud odvozené. Diskuzi začneme ukázkou z klasického a velmi zevrubného pojednání o kuželosečkách od Apollónia z Pergy. Věta (Apollóniova). Při značení jako na obr. 7.40 platí: KM2 = EM ■ ME, (7.7) kde A je libovolný bod na elipse a M je pata kolmice z A na AE. Přitom S je na úhlopříčce pevného přiloženého obdélníku se stranami AE a EQ, kde EQ je určena vztahem AE : EQ — AK2 : (BK ■ KT). Úsečka EQ je sestrojená poněkud uměle, za chvíli však bude jasné, že odpovídá právě parametru elipsy. Odvození (7.7) plyne právě z definující rovnosti pro úsečku EQ a podobností několika trojúhelníků: AM _ AE _ AK AK _ EM AM ~MŽ ~ ~ĚQ ~ ~BK~kŤ ~ MUMF' 7. Kuželosečky 39 A Obrázek 7.40: [Š] Ke 13. větě z I. knihy Apollóniových Kuželoseček... Když levou stranu rozšíříme ME, budou mít poměry na obou stranách stejný čitatel, odkud plyne rovnost jmenovatelů: MS • ME = MU ■ MP. Navíc rovina AIIP je rovnoběžná s podstavou, tudíž řezem kuželové plochy touto rovinou je kružnice a IIP je její průměr. Podle Thaletovy věty je úhel IIAP pravý a podle Eukleidovy věty o výšce platí: MU ■ MP = M A2. Dosazením do předchozí rovnice tak dostáváme (7.7). □ Odtud vyplývá ekvivalence mezi definicemi (a) a (d): Označíme si |P6| =: 2p, dále |PA| =: 2a, \EM\ := x a \MA\ =: y. Z podobnosti trojúhelníků 6PA a QOE umíme při tomto značení vyjádřit \EM\ — 2p — ^x. Rovnici (7.7) pak můžeme přepsat jako y2 = (2p - ^x^j x, což je právě vrcholová rovnice elipsy v (d). Vztah mezi vrcholovou a středovou rovnicí elipsy je snad jasný... Věta (Dandelinova-Queteletova). Předpokládejme, že řezem rotační kuželové plochy rovinou je elipsa. Pak ohniska této elipsy jsou právě body dotyku kulových ploch, které se dotýkají jak kužele, tak roviny řezu. Celé následující zdůvodňování je odvozeno z jednoduchého poznatku, že všechny tečny z daného bodu k dané kulové ploše jsou stejně dlouhé (myslíme samozřejmě úsečky od daného bodu k bodům dotyku). Na obr. 7.41 značí E, F dotykové body kulových ploch s řeznou rovinou, X je libovolný bod na elipse, body H, D jsou průsečíky přímky VX s dotykovými kružnicemi kužele a vepsaných koulí. Chceme ukázat, že platí \EX\ + \XF\ — konst., tj., že E a, F jsou právě ohniska elipsy: 40 II. Klasická konstrukční geometrie Obrázek 7.41: [KU2] K Dandelinově-Queteletově větě... Podle výše uvedeného poznatku je \EX\ = \DX\ a \XF\ = \XH\, tudíž \EX\ + \XF\ = \DX\ + \XH\ = |Díř|. Protože je kužel rotační, je vzdálenost \DH\ stále stejná pro všechny povrchové přímky, což jsme právě měli dokázat. □ Odtud vidíme, proč jsou definice (a) a (b) ekvivalentní. Navíc z uvedeného lze velmi snadno doplnit také ekvivalenci s definicí (c) — stačí pojmenovat ony řídící přímky: Důsledek. Řídící přímky elipsy jsou právě průsečnice p ľ\a a pil (3 na obr. 7.41. Pro průsečnici p — p n a, ohnisko F a pro libovolný bod X na elipse chceme ukázat, že platí \XF\ : \Xp\ — konst. < 1, tj., že p je její řídící přímka: Vzdálenost \Xp\ měříme jako vzdálenost \XP\, kde P je pata kolmice z X nap; v pomocném bočním průmětu vidíme tuto vzdálenost nezkresleně. Před chvílí jsme si uvědomili, že \XF\ — \XH\; tuto vzdálenost vidíme v bočním průmětu jako velikost pootočené úsečky |X0iío| (pro jistotu dodáváme, že HH0\\XX0). Platí tedy: \XF\ : \Xp\ = \X0H0\ : \XP\. Protože trojúhelníky AH0P a AX0X (v bočním průmětu!) jsou stejnolehlé, platí: \X0H0\ : \XP\ = \AH0\ : \AP\, což je konstanta (určená výhradně vzájemnou polohou rovin p, a a kužele). Navíc je zřejmé, že tato konstanta je < 1, což jsme měli dokázat. □ 8. Typické úlohy 41 7.2 Hyperbola 7.3 Parabola 7.4 Některé další vlastnosti a pojmy Konstrukce tečny, pól/polára, oskulační kružnice, Apollóniova kružnice... 8 Typické úlohy 42 II. Klasická konstrukční geometrie KAPITOLA I I I Geometrická zobrazení 9 Panoptikum geometrických zobrazení V této části zmiňujeme několik exemplářů geometrických zobrazení, z nichž některá jsme zmiňovali už v předchozím výkladu. Doplňujeme několik dalších užitečných příkladů, v další části všechno zobecníme a zorganizujeme. Až na několik výjimek (!) se jedná o zobrazení eukleidovské roviny, resp. prostoru do sebe... 9.1 Shodnosti Dva trojúhelníky jsou shodné, když mají shodné všechny dvojice odpovídajících si stran a vnitřních úhlů. O shodných trojúhelnících mluví věty SUS, SSS apod... Dva shodné trojúhelníky jednoznačně určují shodné zobrazení roviny do sebe takové, že jeden trojúhelník je obrazem toho druhého. Zobrazení je shodné, když zachovává vzdálenosti bodů, tj. pro libovolné body A, B a jejich obrazy A', B' platí: \A'B'\ = \AB\. (9.1) Uvědomte si, že z uvedené definice skutečně vyplývá, že shodná zobrazení mají všechny další vlastnosti, které od nich očekáváme; shodná zobrazení zejména (a) zobrazují přímky na přímky, (b) zachovávají odchylky přímek, (c) zachovávají obsahy. Přímo z definice také plyne, že každé shodné zobrazení je prosté. Shodná transformace roviny do sebe je proto nutně bijekce. Bijektivní shodné zobrazení se stručně nazývá shodnost. Shodností v rovině je pouze několik málo typů, jmenovitě: 43 44 III. Geometrická zobrazení (1) identita, (2) posunutí, (3) otáčení, (3') středová souměrnost, (4) osová souměrnost, (5) posunutá (osová) souměrnost. Středová souměrnost je právě otáčení o přímý úhel, proto ji podřazujeme obecnému otáčení. První tři transformace jsou přímé (zachovávají orientaci), poslední dvě nepřímé (mění orientaci). Obrázek 9.1: [Mar] Posunutá souměrnost. Složením dvou shodností dostaneme zase shodnost a tímto způsobem lze ověřit, že výše uvedený výčet úplný. Při tomto experimentování si nelze nevšimnout, že jenom skládáním osových souměrností vyčerpáme všechny typy shodností. Ve skutečnosti platí o něco silnější tvrzení, které snadno zdůvodníte nad obr. 9.2: Věta. Každou shodnost v rovině lze realizovat jako složení nejvýše tří osových souměrností. To je taky důvod, proč se osovým souměrnostem říká základní shodnosti... Obrázek 9.2: [Sek] Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností. Každá shodnost v rovině je jednoznačně určena obrazem A'B'C nějakého trojúhelníku ABC. Předepíšeme-li libovolně obraz A'B' úsečky AB, pak bod C je určen skoro jednoznačně, přesněji řečeno dvojznačně: jedna možnost odpovídá přímé shodnosti, druhá nepřímé. Všechny typy shodností v rovině lze tedy systematicky vyčerpat také tak, že uvažujeme všechny typově různé obrazy úsečky AB, viz obr. 9.3. Shodností se s úspěchem užívá při řešení mnoha konstrukčních úloh. Jeden příklad je na obr. 6.36, další ukázky ve cvičeních... 9. Panoptikum geometrických zobrazení 45 Obrázek 9.3: Přehled shodností pomocí obrazů trojúhelníku. 9.2 Cvičení (1) Připomeňte si definice všech výše jmenovaných shodností, zejména popište jejich určující prvky. (2) Pro dva dané shodné trojúhelníky rozhodněte, zda jsou osově souměrné (zformulujte nějaké přirozené kritérium). (3) Pokud je odpověď v předchozí úloze záporná, pak: • pojmenujte odpovídající shodnost a popište její určující prvky, • vyjádřete tuto shodnost jako složení osových souměrností, • alespoň dvojím způsobem sestrojte obraz libovolného dalšího bodu. 9.3 Podobnosti Stejnolehlost (homotetie) O stejnolehlosti jsme mluvili už v odstavci 5.11 na str. 29: Stejnolehlost je transformace určená středem S a koeficientem k e M tak, že obraz X' libovolného bodu X leží na přímce SX a platí: (X'X S) = k, tzn. S~X' — k ■ S~Ít, neboli X' = S + k ■ Šli. (9.2) Speciální, příp. degenerované případy, které zpravidla za stejnolehlost neprohlašujeme, jsou: středová souměrnost pro k — —1, identita pro k — 1, příp. ještě nulové zobrazení pro k — 0. Nezávisle na znaménku koeficientu k je stejnolehlost v rovině vždy přímým zobrazením. Střed stejnolehlosti je jejím jediným pevným bodem. 46 III. Geometrická zobrazení Obrázek 9.4: [Be] Stejnolehlost v rovině je vždy přímá. Z věty VI.2 (obr. 5.26) víme, že obrazem přímky v libovolné stejnolehlosti je přímka s ní rovnoběžná, speciálně přímky procházející středem stejnolehlosti se zobrazují samy do sebe. Pokud tedy skládáme stejnolehlosti, pak výsledné transformace nemusejí být nutně stejnolehlostmi, musí však mít právě popsanou vlastnost. Takových transformací je jenom několik — upřesnění je v následující větě, zdůvodnění plyne hlavně z VI.2. Věta. Uvažujme stejnolehlosti hi se středy Si a koeficienty ki (i— 1,2); složené zobrazení h2o h\ označíme h. Potom platí: (1) kik2 — 1 a Si — S2 =>■ h je identita, (2) k\k2 — 1 a S\^ S2 =>■ h je posunutí o vektor v — (1 — k2)S\S2, (3) k\k2^l h je stejnolehlost s koeficientem k — k\k2 a středem S — Sl +--;——SlS2. 1 - kYk2 U úloh s kružnicemi se často odkazujeme na následující tvrzení, které lze snadno vyvodit opět z VI.2 a Thaletovy věty: Věta. Stejnolehlým obrazem kružnice je kružnice. A navíc každé dvě kružnice jsou stejnolehlé — koeficient stejnolehlosti je roven poměru poloměrů, možné středy stejnolehlosti jsou nejvýše dva. Jako bezprostřední důsledek předchozích dvou tvrzení zmiňujeme další velmi klasickou větu. Věta (Mongeova). Sest středů stejnolehlosti tří kružnic tvoří vrcholy tzv. úplného čtyřstranu, viz obr. 9.5. Stejnolehlost jsme užili např. v Apollóniových úlohách na obr. 6.37 nebo obr. 6.39, při přenášení dělicího poměru tří bodů apod. Další aplikace najdete ve cvičeních... Obecná podobnost O podobnostech jsme se zmiňovali již v odst. 5.11. Dva podobné trojúhelníky určují jednoznačně podobné zobrazení roviny do sebe takové, že jeden je obrazem druhého. 9. Panoptikum geometrických zobrazení 47 Obrázek 9.5: Mongeova věta: Vnější středy stejnolehlosti tří kružnic leží na přímce a stejně tak každé dva vnitřní a jeden vnější střed leží na přímce. Zobrazení je podobné, když pro libovolné body A, B a, jejich obrazy A', B' platí: \A'B'\ = k-\AB\, (9.3) kde k je kladná reálná konstanta, tzv. koeficient. Podobné zobrazení s koeficientem k — 1 je shodné. Podobná neshodná zobrazení nezachovávají vzdálenosti, ani obsahy; nicméně pokud se vzdálenosti mění fc-krát, obsahy se mění fc2-krát. Odchylky se zachovávají, sr. s odst. 5.11. Podobně jako pro shodná zobrazení: každé podobné zobrazení je prosté, podobné zobrazení roviny do sebe je nutně bijekce a bijektivní podobné zobrazení se stručně nazývá podobnost. Pokud obecnou podobnost s koeficientem k složíme s nějakou stejnolehlostí s koeficientem pak výsledné zobrazení je jistě shodnost. Odtud můžeme vydedukovat následující tvrzení: Věta. Každou podobnost lze realizovat (mnoha různými způsoby) jako složení shodnosti a stejnolehlosti. Celkem zajímavý a nesamozřejmý výsledek je v následující větě, kterou jednoduše zdůvodníme v příštím semestru. Existuje také konstrukční zdůvodnění, jež necháváme pro zájemce jako cvičení. Věta. Každá vlastní podobnost má právě jeden pevný bod. Vlastní podobností se myslí podobnost, která není shodnost. Pevný bod vlastní podobnosti se nazývá střed podobnosti. 9.4 Cvičení (1) Dokažte větu o skládání stejnolehlostí; v případě (3) aspoň zdůvodněte, že výsledný střed stejnolehlosti S leží na přímce SiS^. 48 III. Geometrická zobrazení (2) Zdůvodněte také ostatní citovaná tvrzení a představte si různé limitní případy. (3) Pro dva dané podobné trojúhelníky rozhodněte, zda jsou stejnolehlé (zformulujte nějaké přirozené kritérium). (4) Pokud je odpověď v předchozí úloze záporná, pak: • vyjádřete odpovídající podobnost jako složení stejnolehlosti a shodnosti, • sestrojte obraz libovolného dalšího bodu v rovině, • zkuste určit střed této podobnosti. (5) Sestrojte přímku spojující daný bod s nedostupným bodem mimo rysovací plochu, který je dán jako průsečík dvou různoběžných přímek. 9.5 Dilatace Dilataci zmiňujeme poprvé v odstavci 6.3, podruhé ve cvičení 6.4(1). Na rozdíl od všech ostatních zobrazení v tomto textu — dilatace není bodové zobrazení! To znamená, že nemá smysl mluvit o obrazu bodu X, protože ten může být při jedné a téže dilataci zobrazen kamkoli. Dilatace není zobrazení na množině bodů, je to však zobrazení na množině tzv. orientovaných dotykových (kontaktních) elementů, jež můžeme reprezentovat polopřímkami. Obecně se takovým zobrazením říká kontaktní zobrazení. Dilatace je kontaktní zobrazení určené reálným číslem p ^ 0 tak, že obraz orientovaného kontaktního elementu zastoupeného polopřímkou XY je reprezentován polopřímkou X'Y', která je posunuta o vzdálenost p kolmo k XY, a to na správnou stranu v závislosti na orientaci. Konvence je taková, aby směrový vektor XY a vektor posunutí XX' (v tomto pořadí) tvořily kladnou bázi, když p je kladné, a zápornou bázi, když p je záporné. Obrázek 9.6: Dilatace není bodové zobrazení, dilatace je kontaktní zobrazení! Vlevo je naznačen obraz dotykového elementu XY v závislosti na znaménku p; další dva obrázky ilustrují obraz orientované přímky, resp. kružnice jakožto obálky jejích dotykových elementů pro p > 0. Pokud říkáme, že „dilatujeme křivku" o nějakou hodnotu p, myslíme tím jednak orientovanou křivku, hlavně však spolu se všemi jejími orientovanými tečnami! Všechna kontaktní zobrazení — tedy i dilatace — mají tu vlastnost, že zachovávají dotyk křivek.1 1 Každé bodové zobrazení je kontaktní, přesněji řečeno: určuje jednoznačně kontaktní zobrazení... 9. Panoptikum geometrických zobrazení 49 Dilatace se hojně užívá k redukci složitosti obecnějších Apollóniových úloh; právě tato metoda dominuje ve Viětově rekonstrukci původního řešení. 9.6 Kruhová inverze Kruhová inverze je transformace určená tzv. řídící kružnicí (se středem S a poloměrem r) tak, že obraz X' libovolného bodu X ^ S leží na polopřímce SX a platí: \SX\ ■ \SX'\ =r2. Přímo z definice a Eukleidovy věty o odvěsně plyne možný konstrukční návod k sestrojení obrazu daného bodu, viz obr. 9.7. Z definice také plyne několik dalších zřejmostí: (a) Kruhová inverze je involutivní transformace (podobně jako např. osová souměrnost). (b) Všechny body na řídící kružnici jsou pevné, tzn. zobrazují se samy na sebe. (c) Všechno, co je vně řídící kružnice se zobrazuje dovnitř a naopak. (d) Každá přímka procházející středem inverze se zobrazuje sama do sebe, přičemž jediné pevné body jsou průsečíky s řídící kružnicí a Imi X' je nevlastní bod této přímky. Z uvedeného je patrné, proč v definici vylučujeme případ X — S: obrazem středu inverze by mohl být libovolný bod v nekonečnu, tudíž by nebyl určen jednoznačně. Nicméně právě tuto vlastnost budeme v dalším s oblibou využívat! o/ 4> A ' Obrázek 9.7: [Ha] Obraz bodu při kruhové inverzi určené kružnicí T. Kruhová inverze má mnoho dalších nezřejmých, ale velmi užitečných vlastností; některé z nich teď postupně představíme. Věta. Při kruhové inverzi s řídící kružnicí T a středem S platí: (e) Přímka neprocházející středem S se zobrazuje na kružnici procházející středem S, a naopak. (f) Kružnice kolmá ke T se zobrazuje sama do sebe. Naopak, každá kružnice procházející dvojicí inverzních bodů je kolmá ke T. (g) Obecná kružnice neprocházející středem S se zobrazuje do jiné kružnice neprocházející S. 50 III. Geometrická zobrazení Obrázek 9.9: [Ha] Obrazem kružnice neprocházející středem je opět kružnice; kružnice se zobrazuje sama do sebe právě tehdy, když protíná řídící kružnici kolmo. Zdůvodnění je následující:...... □ Kruhová inverze v žádném případě nezachovává vzdálenosti bodů (ani jejich poměry), přímky a kružnice zobrazuje na přímky nebo kružnice. Něco se přece jenom zachovává: Věta. Kruhová inverze je konformní zobrazení, tzn. zachovává odchylky protínajících se křivek. Zdůvodňujeme nad obr. 9.10: Odchylku jakýchkoli dvou křivek v jejich společném bodě P reprezentujeme přímkami m a L Tutéž odchylku můžeme také reprezentovat pomocí dvou kružnic — z nekonečného množství možností vybíráme takové kružnice 71 a 72, které jsou kolmé k řídící kružnici T. Tyto kružnice se zobrazují samy do sebe, obrazem bodu P je jejich druhý společný bod P' a odchylka m a l se transformuje na odchylku kružnic v bodě P'. Nicméně tato odchylka je táž jako v bodě P, což jsme chtěli dokázat. □ Kruhovou inverzi zmiňujeme zejména v souvislosti s Apollóniovými úlohami (k jejichž řešení byla poprvé užita v r. 1879)... 9.7 Cvičení (1) Pomocí kruhové inverze řešte znovu některé Apollóniovy úlohy zmiňované v části 6. (Ei> (2) Dokažte, že s pomocí dilatace a kruhové inverze umíte vyřešit obecnou Apollóniovu úlohu. (3) Vyjádřete stejnolehlost s daným středem a koeficientem jako složení kruhových inverzí. 9. Panoptikum geometrických zobrazení 51 Obrázek 9.10: [Ha] Kruhová inverze je konformní zobrazení. 9.8 Afinní zobrazení Zkosení (elace) Chápeme-li rovnoběžník BCFE na obr. 5.12 jako obraz rovnoběžníku BCDA při nějaké transformaci, pak jméno této transformace zní elace (často přezdívaná jako zkosení, smyk apod.). Elace má přímku pevných bodů (v tomto příkladu BC), již zoveme osou. Elace je určena osou o a dvojicí bodů A i->- A' (v tomto příkladu A' — E) takovou, že AA'||o. Pokud není jasné, jak je těmito daty elace určena, čtěte dál... Elace není shodnost ani podobnost, nicméně zřejmě zachovává orientaci, tzn. elace je přímá. Navíc tvrzení 1.35 říká, že elace zachovává obsahy... Osová afinita Elace je speciálním případem transformace, které se říká osová afinita. Jiným příkladem osové afinity je např. transformace na obr. 9.11. Tato osová afinita má vodorovnou osu (= přímku Obrázek 9.11: [Ku] Typická (i když trochu specifická) osová afinita: zkracování v jednom směru... pevných bodů) a v tomto směru se „nic neděje". Ve svislém směru se všechno zkracuje a podstatné je, že „všude stejně"! Bez přílišných uvozovek můžeme totéž vyslovit následovně: 52 III. Geometrická zobrazení Osová afinita je transformace určená osou o a dvojicí bodů A i->- A', a to tak, že pro obraz X' libovolného bodu X platí XX'\\AÄ a (X'XX0) = (A'AAo) = konst., (9.4) kde X0, resp A0, značí průsečík přímky XX', resp. AA', s osou o. Konstantě (A'AA0) se říká modul (nebo taky charakteristika), směru přímky AA' se říká směr osové afinity. Uvědomte si, že přímo z definice (a věty VI.2) plyne návod ke konstrukci obrazu libovolného bodu X. Z definice dále plyne, že osová afinita zachovává dělicí poměr bodů na jakékoli přímce (tedy ne jen na ose nebo ve směru AA'). Speciálními, resp. mezními případy osové afinity jsou: • osová souměrnost (směr _L o a modul — — 1), • tzv. šikmá souměrnost (směr / o a modul — — 1), • elace (směr||o =4> modul = 1), • rovnoběžné promítání do přímky o (směr ^ o a modul — 0). ./A y a Obrázek 9.12: Obraz bodu v osové afinitě... Obecné afinní zobrazení Osová afinita je speciálním případem afinního zobrazení: Zobrazení je afinní, když (a) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (b) zachovává dělicí poměry bodů, (c) zachovává rovnoběžnost. 9. Panoptikum geometrických zobrazení 53 Kolineární body jsou body, které leží na jedné přímce, tedy také body splývající. Podmínka (b), resp. (c) tedy má smysl pouze v případě, kdy se různé kolineární body nezobrazí do jednoho bodu. Z (a) a (b) plyne, že afinní zobrazení zobrazuje přímky na přímky, resp. na body (tedy nikoli např. na úsečky). Za předpokladu (a) jsou vlastnosti (b) a (c) ekvivalentní... Definice afinního zobrazení tedy může být vyslovena různými způsoby, např. takto: Zobrazení je afinní, když (a') zobrazuje přímky na přímky nebo body, (b') zachovává rovnoběžnost přímek. Bijektivní afinní zobrazení se nazývá afinita. Výše zmiňované rovnoběžné promítání do přímky tedy určitě není afinita. Osové afinity a rovnoběžná promítání do přímky nazýváme základní afinní transformace; jsou to právě ty afinní transformace, které mají přímku pevných bodů. Zobecnění některých základních tvrzení z odstavců o shodnostech a podobnostech je následující: Věta. Každá afinní transformace v rovině • je jednoznačně určena obrazem tří bodů v obecné poloze, • lze vyjádřit jako složení nejvýše tří základních afinních transformací. První fakt by měl být celkem jasný a dokazuje se konstruktivně, viz cvičení. Druhý fakt se zdůvodňuje velmi podobným způsobem, jako věta 9.1 o rozkladu shodností... Při těchto rozkladech máme vždy celkem hodně volnosti, nyní dokonce ještě daleko více než při rozkládání shodností. 9.9 Cvičení (1) Z uvedených definic dokažte, že každá shodnost/podobnost je afinita, ale kruhová inverze nikoli. (2) Pro dva dané trojúhelníky rozhodněte, zda je jeden obrazem druhého vzhledem k nějaké osové afinitě (zformulujte nějaké přirozené kritérium). (3) Pokud je odpověď v předchozí úloze záporná, pak: • vyjádřete odpovídající afinitu jako složení osových afinit, • sestrojte obraz libovolného dalšího bodu v rovině. (4) Vyjádřete stejnolehlost s daným středem a koeficientem jako složení osových afinit. (5) Předp., že tři dané body jsou obrazy sousedních vrcholů pravidelného n-úhelníku (n — 4, 5, 6, 8,10,...); sestrojte obrazy ostatních vrcholů. 54 III. Geometrická zobrazení 9.10 Projektivní zobrazení Středové promítání Typické projektivní zobrazení je středové promítání. V rovině máme na mysli středové promítání do přímky, jež je určeno středem s a přímkou o: obraz x' libovolného bodu x je jednoduše průsečík x' = sx O o. Středové promítání nezachovává dělicí poměr tří bodů, avšak zachovává dvojpoměr čtyř bodů na přímce (což za chvíli dokážeme). Dvojpoměr čtveřice kolineárních bodů (A, B, C, D) je reálné číslo definované jako poměr dělicích poměrů (ABC) : (ABD); vzhledem k (5.5) píšeme následovně: (AB CD) AČ AÉ ~W5 ' ~bd' (9.5) Vzhledem k tomu, že lim (AB D) — 1, platí lim (AB CD) — (AB C), což zapisujeme jako: d—>oo d—>oo (ABCDOQ)^(ABC). Pro dané tři kolineární body je poloha čtvrtého body na téže přímce jednoznačně určena dvoj-poměrem. Číselné vyjádření samozřejmě závisí na pořadí bodů ve čtveřici... Věta (Pappova). Při středovém promítání se zachovávají dvojpoměry kolineárních bodů. Ukážeme nejdříve ve speciálním případě, poté obecně. Odkazujeme opět na tvrzení VI.2 o stejnolehlých trojúhelnících, viz obr. 9.13: W A? Obrázek 9.13: Dvojpoměr se středovým promítáním nemění! (a) Trojúhelníky äac a äsd' jsou stejnolehlé a c = C, tudíž ä a'c a'd' sd . Trojúhelníky B'BC a B'SD' jsou taky stejnolehlé, tudíž — SÉ^. Odtud dělením obou rovnic dostá- váme ÄÔ ~B(5 A^C' b d EľC> sd' Wc1 B'D' B'C A'D' EľD*' 9. Panoptikum geometrických zobrazení 55 Výraz nalevo je právě (AB C) — (AB CĽoo), napravo je (A'B' CD'), takže v tomto specifickém případě skutečně platí (ABCD^) = (A'B' C D'). (b) Uvažujme dvě obecné přímky se středovými průměty libovolné čtveřice bodů. Vedeme pomocné rovnoběžky jdoucí body C a C: Z předchozího odstavce plyne, že (AiBi C) — (ABCD) a současně (A2B2C') — (A'B'CD'). Navíc ale ze stejnolehlosti pomocných trojúhelníků plyne (AiBi C) — (A2B2 C), takže i v tomto obecném případě platí (AB CD) — (A'B'CD'). □ Projektivní rozšíření V předchozím odstavci jsme si mohli všimnout, jak je výhodné uvažovat nevlastní body, tj. body v nekonečnu. Uvědomte si, že diskutované středové promítání mezi dvěma (různoběžnými) přímkami p a p' zobrazuje jednu přímku na druhou, pouze když uvážíme také nevlastní body: na p existuje bod U, který se zobrazuje do nevlastního bodu přímky p', a na p' máme bod V, jehož vzor je nevlastní bod přímky p. Takovým bodům říkáme úběžníky. Obrázek 9.14: Středové promítání zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky. Projektivní přímka je tzv. projektivním rozšířením standardní přímky, což je rozšíření právě o její nevlastní bod. Uvědomte si, že každá přímka má od přírody právě jeden nevlastní bod — projektivní přímka je tedy něco jiného, než rozšířená reálná osa, jak ji známe z analýzy! CG -,-f—--i- \D c tr d c\ J E Obrázek 9.15: Na standardní přímce je bod E mezi body C a D. Na projektivní přímce nemá relace „mezi" valného smyslu. Podobně, projektivní rovina je standardní rovina rozšířená o její nevlastní body (které tvoří projektivní přímku). Body, které nejsou nevlastní jmenujeme vlastní. Projektivní přímky v projektivní rovině se tedy vždy protínají — pokud se náhodou protínají v nevlastním bodě, mluvíme o rovnobežnosti... 56 III. Geometrická zobrazení Osová (středová) kolineace Podobně jako rovnoběžné promítání můžeme chápat jako speciální případ promítání středového (kdy střed je někde v nekonečnu), můžeme taky osovou afinitu chápat jako speciální případ osové kolineace: Osová kolineace je transformace určená osou o, středem S a dvojicí bodů A i->- A', a to tak, že pro obraz X' libovolného bodu X platí XX' n AA' — S a (X'XX0S) = (A'AA0S) = konst., (9.6) kde X0, resp A0, značí průsečík přímky XX', resp. AA', s osou o. Konstantě (A'AA0S) se říká modul (nebo taky charakteristika) osové kolineace. V literatuře se často místo přívlastku osová užívá středová... Uvědomte si, že přímo z definice (a Pappovy věty) plyne návod ke konstrukci obrazu libovolného bodu X. Odtud dále plyne, že osová kolineace zachovává dvojpoměry bodů na jakékoli přímce (tedy ne jen na ose nebo přímce procházející středem). Uvědomte si, že osová kolineace je dobře definovaná pouze jako transformace v projektivní (tedy nikoli standardní) rovině, tzn. že nevlastní body se můžou zobrazit do vlastních a naopak. Střed a všechny body na ose jsou pevnými body. Speciálními, resp. mezními případy osové kolineace jsou: • osová afinita (střed S je nevlastní), • stejnolehlost (osa o nevlastní), • posunutí (S i o nevlastní), • středové promítání do přímky o (modul — 0). ' " - - i A ' Obrázek 9.16: Obraz bodu v osové kolineaci... Obecné projektivní zobrazení Osové kolineace a středová promítání jsou tzv. základní projektivní zobrazení... 9. Panoptikum geometrických zobrazení 57 Zobrazení je projektivní, když (a) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (b) zachováva dvojpoměry. Stručně a ekvivalentně můžeme definici vyslovit takto: Zobrazení je projektivní, když (a') zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky nebo body. Bijektivní projektivní zobrazení se nazývá kolineace nebo projektivita... Zobecnění některých základních tvrzení z předchozích odstavců je následující: Věta. Každá projektivní transformace v rovině • je jednoznačně určena obrazem čtyř bodů (z nichž žádné tři nejsou kolineární), • lze vyjádřit jako složení nejvýše čtyř základních projektivních transformací. První fakt zdůvodníme konstruktivně zobecněním afinního případu; klíčovou dovedností, kterou při sestrojování obrazu obecného bodu používáme, je přenášení dvojpoměru čtveřice bodů, viz cvičení! Druhý fakt by neměl nikterak překvapovat; opět pozorujeme ohromné množství možností. .. Na závěr jedno klasické tvrzení, na které musíme narazit, když se snažíme charakterizovat osovou kolineaci: Věta (Desarguesova). Pro libovolné dva trojúhelníky XYZ a X'Y'Z' v projektivní rovině platí: přímky XX', YY', Z Z' prochází jedním bodem právě tehdy, když průsečíky přímek XY a X'Y', Y Z a Y'Z', XZ a X' Z' leží na jedné přímce. Toto je další případ tvrzení, jehož planimetrický důkaz je značně netriviální, které je však velmi srozumitelné s vhodnou trojrozměrnou interpretací, viz obr. 9.17: Při zdůvodňování první implikace se odkážeme na poznatek, že každé dvě roviny se protínají v přímce (vlastní či nevlastní). Při zdůvodňování druhé implikace se odkážeme na poznatek, že každé tři roviny musí mít — v našem případě — společný právě jeden bod (vlastní či nevlastní). □ V této souvislosti asi nikoho nepřekvapí, že první aplikace osové kolineace (resp. afinity) potkáme při sestrojování řezů jehlanovitých (resp. hranolovitých) těles, viz cvičení 13.3... 9.11 Cvičení (1) Pro dané čtyři kolineární body A, B,C,D a tři kolineární body K, L, M sestrojte bod N tak, aby (KLMN) — (ABCD). (Uvažujte také jiné permutace bodů ve čtveřici...) (2) Rozhodněte, která ze čtveřic bodů na obr. 9.18 je projektivním obrazem čtveřice stejně vzdálených bodů. 58 III. Geometrická zobrazení x o Obrázek 9.17: [Ku] Desarguesova věta a její trojrozměrná interpretace... Obrázek 9.18: [St] Která čtveřice je projektivním obrazem čtveřice ekvidistantních bodů? (3) Sestrojte projektivní obraz čtvercového dláždění roviny. (4) Pro dva dané čtyřúhelníky rozhodněte, zda je jeden obrazem druhého vzhledem k nějaké osové kolineaci (zformulujte nějaké přirozené kritérium). (5) Pokud je odpověď v předchozí úloze záporná, pak: • vyjádřete odpovídající projektivní transformaci jako složení osových kolineaci, • sestrojte obraz libovolného dalšího bodu v rovině. (6) Předp., že čtyři dané body jsou obrazy sousedních vrcholů pravidelného n-úhelníku (n — 5, 6, 8,10,...); sestrojte obrazy ostatních vrcholů. 10 Přehled, zobecnění a vyhlídky 10.1 Přehled a hierarchie Všechna dosud diskutovaná zobrazení si na závěr zorganizujeme. V následující tabulce uvádíme, které vlastnosti se při tom či onom zobrazení zachovávají, přičemž podstatné invarianty jsou zvýrazněny symbolem ©. V následujícím přehledu samozřejmě nevystupuje dilatace; ten kdo už 10. Přehled, zobecnění a vyhlídky 59 zapomněl proč, nechť se znovu podívá do odst. 9.5. vzdál. kolin. děl. pom. dvoj pom. obs. odch. shodná e + + + + + podobná - + + - e kruh. inverze - - - - - e elace - e e + e - afinní - e e + - - projektivní - e - e - - Zobrazením, která zachovávají odchylky protínajících se křivek se říká konformní. Platí, že všechna konformní zobrazení lze vyčerpat skládáním podobných zobrazení a kruhových inverzí... Afinní zobrazení, jež zachovávají obsahy plošných útvarů, se jmenují ekviafinní. Platí, že všechna ekviafinní zobrazení lze vyčerpat skládáním shodností a elací... Mí Uťatej / ; / konjormioi t afin"' pod obri'a- í , Obrázek 10.19: Hierarchie geometrických zobrazení (v závorce uveden typický představitel z každé třídy). Jako jednoduché důsledky výše uvedených definicí a vztahů uvádíme: Důsledky. (1) Projektivní zobrazení, které zobrazuje všechny vlastní body na vlastní (ekvivalentně, nevlastní body na nevlastní), je afinní. (2) Projektivní zobrazení, které je konformní, je podobné. (3) Podobné zobrazení, které je ekviafinní, je shodné. 10.2 Zobecnění Téměř všechny výše uvedené definice dovolují bezprostřední zobecnění z roviny do trojrozměrného prostoru (a obecněji do prostorů vyšších dimenzí). Máme na mysli zejména definice shodných, podobných, afinních a projektivních zobrazení. U projektivních zobrazení potřebujeme rozšířit definici projektivního rozšíření také na prostor, což není žádný problém... 60 III. Geometrická zobrazení Hierarchie zobrazení na obr. 10.19 bude úplně stejná, ať už ji chápeme v dimenzi 2, 3 nebo jiné. Co se však jistě změní, je role základních zobrazení: základní shodnost v prostoru není osová souměrnost, ale souměrnost podle roviny; základní kolineace v prostoru není osová kolineace, ale kolineace s rovinou pevných bodů; základní konformní zobrazení v prostoru není kruhová inverze, ale sférická inverze; apod. V následující kapitole budeme zevrubně studovat rovnoběžná, resp. středová promítání prostoru do roviny, což jsou také základní afinní, resp. projektivní zobrazení. Začneme s diskuzí nad možnými průměty krychle (či obecného rovnoběžnostěnu), viz obr. 10.20: Afinní průmět krychle je určen např. obrazy 4 vrcholů, které neleží v jedné stěně — k sestrojení ostatních vrcholů stačí několik málo rovnoběžek. Projektivní průmět krychle je určen obrazy 4 vrcholů, které neleží v jedné rovině, a úběžníky tří čtveřic navzájem rovnoběžných hran — průměty rovnoběžných hran prochází těmito body a konstrukce ostatních vrcholů je pak analogická předchozímu případu. Podobně jako ve cvičeních 9.9 a 9.11 bychom nyní měli být schopni sestrojit obraz libovolného dalšího bodu v prostoru — stačí několik pomocných přímek a průsečíků s již sestrojenými hranami a umění přenášení dělicího poměru, příp. dvojpoměru kolineárních bodů (viz též obr. 13.2 a okolní poznámky). Odtud vyvozujeme zobecnění základních tvrzení z odst. 9.8 a 9.10: Věta. Afinní zobrazení trojrozměrného prostoru (kamkoli) je jednoznačně určeno obrazem čtyř bodů v obecné poloze. Projektivní zobrazení trojrozměrného prostoru (kamkoli) je jednoznačně určeno obrazem čtyř bodů v obecné poloze a úběžníky tří přímek, které jsou těmito body určeny a které neleží v jedné rovině. Uvědomte si, že způsobů určení toho či onoho zobrazení je jistě více (více se postupně naučíme v další kapitole). Pro příklad si stačí všimnout, že projektivní průmět krychle na obr. 10.20 je také zcela určen obrazy 4 vrcholů jedné stěny, obrazem jednoho dalšího vrcholu a jedním úběžníkem... 10.3 Další postřehy Korespondence mezi rovinami p a a na obr. 9.17 je normální středové promítání mezi rovinami, ale aby to bylo zajímavější, tak se tomu říká perspektivní kolineace nebo jen perspektiva. (V případě, že střed je nevlastní, mluvíme o perspektivní afinitě.) V tomto duchu můžeme osovou kolineaci v rovině chápat jako průmět prostorové perspektivní kolineace do roviny. E Obrázek 10.20: Afinní a projektivní průmět krychle... 11. Typické úlohy 61 Tyto postřehy nám silně připomínají ještě jednu podobnou situaci: kružnice a elipsa na obr. 7.40 jsou v úplně stejném vztahu jako dva trojúhelníky na obr. 9.17. Planimetrická interpretace této korespondence je samozřejmě opět osová kolineace, což má užitečné konstrukční důsledky, viz 11.1. Obecně platí následující: Věta. Projektivním obrazem kružnice je kuželosečka a každá kuželosečka je projektivním obrazem kružnice. 11 Typické úlohy 11.1 Úlohy s kuželosečkami Pokud se stane, že kuželosečka je obrazem kružnice v nějaké osové kolineaci (afinitě), pak elementární konstrukce zmiňované v 7.4, mají docela zajímavé alternativy, které nyní probereme. Taková řešení často bývají hodně názorná a ještě se k nim budeme vracet v odstavci 19.2. Jedná se o následující základní úlohy, které formulujeme pro elipsu danou jako obraz kružnice v osové afinitě, nicméně lze je snadno zobecnit pro obecnou kuželosečku jakožto obraz kružnice v osové kolineaci: (1) sestrojit hlavní průměry elipsy, (2) sestrojit tečny k elipse z daného bodu (v daném směru), (3) sestrojit průnik přímky s elipsou. Řešení (1) je na obr. 11.21...... Obrázek 11.21: [KV] Hlavní průměry elipsy pomocí osové afinity... Úloha (2) je mezním případem úlohy (3), takže začneme s (3), viz obr. 11.22. Uvědomte si, že žádnou elementární alternativu k této konstrukci neznáme... 62 III. Geometrická zobrazení Ci /P1/P A V' C. •VXi/ V^lv 1 /2 B Y í /d Obr. 75 Y, Di Obrázek 11.22: [Ř] Průnik přímky s elipsou pomocí osové afinity. KAPITOLA IV Zobrazovací metody V této kapitole zmiňujeme několik metod zobrazování trojrozměrného prostoru do roviny. Nejprve uděláme stručný přehled, poté se podíváme na vybrané případy podrobněji. 12 Úvod Promítání rozlišujeme na • středová (z vlastního středu), • rovnoběžná (z nevlastního středu). U rovnoběžného promítání dále podle polohy směru promítání k průmětně rozlišujeme na • kolmá, • šikmá. Při jakémkoli promítání je za každým bodem v průmětně schována celá přímka v prostoru. Chceme-li tedy jednoznačně specifikovat skutečnou polohu bodu v prostoru, potřebujeme buď nějakou dodatečnou informaci nebo tzv. sdružený průmět na nějakou jinou průmětnu: na mapách se k průmětům význačných bodů přidávají kóty (viz 15), v technické praxi se poloha bodu v prostoru nejčastěji specifikuje jeho nárysem a půdorysem (tj. kolmými průměty na dvě navzájem kolmé průmětny, viz 14). Středová, resp. rovnoběžná promítání jsou (základní) projektivní, resp. afinní zobrazení, o nichž už ledacos víme z předchozího textu. Věta 10.2 na str. 60 nám říká, jak může být každé takové promítání určeno; promítání zadaná tímto způsobem nazýváme volná (viz část 13). 12.1 Základní úlohy Velice typickým problémem, se kterým se budeme potýkat nejdříve, je sestrojení průmětu tělesa zadaného nárysem a půdorysem (příp. úloha opačná). Přibližné řešení takových úloh je vlastní 63 64 IV. Zobrazovací metody již malým dětem, viz obr. 12.1; my navíc umíme klíčové postřehy pojmenovat a dokonce i konstrukčně zrealizovat! Připomeňme, že základní dovedností, kterou musíme i nadále bezpečně ovládat, bylo (1) přenášení dvojpoměru, resp. dělicího poměru kolineárních bodů. V dalším budeme některé postupy zefektivňovat a hlavně se naučíme měřit úsečky a úhly (které se promítáním zkreslují) ve skutečných velikostech. Obrázek 12.1: [SMS] K danému průmětu pokoje načrtněte jeho půdorys. Je-li dáno těleso svým nárysem a půdorysem a vzhledem k těmto průmětnám je zadána nějaká nová průmětna a střed/směr promítání, pak k sestrojení průmětu tělesa do této nové průmětny potřebujeme umět sestrojit průnik několika promítacích paprsků s touto rovinou. (Zcela stejný úkol pozorujeme při sestrojování stínu vrženého daným tělesem do dané roviny při daném typu osvětlení.) Při těchto úlohách narážíme na problém, ve kterém se velice často chybuje — rozpoznat, zda dvě přímky dané svými průměty jsou ve skutečnosti rovnoběžné, různoběžné nebo mimoběžné. Základní polohové úlohy, které musíme bezpečně ovládat, tedy jsou: (2) rozpoznat vzájemnou polohu dvou přímek, (3) sestrojit průnik přímky s rovinou. Podobná úloha k (2) je např. určit vzájemnou polohu bodu a roviny. Speciálním případem úlohy (3) je konstrukce stopníků, tzn. průsečíků přímky s průmětnami. Související úlohy jsou: průnik dvou rovin (speciálně, konstrukce stop, tj. průsečnic roviny s průmětnami), řez tělesa rovinou, průsek dvou těles apod. Při konstrukcích se dále neobejdeme bez umění měření vzdáleností, resp. nanášení dané vzdálenosti na danou přímku, a podobně s odchylkami přímek. Pokud měříme vzdálenost bodu od roviny, neobejdeme se bez pomocné kolmice (a její paty...). Základní metrické úlohy, které musíme bezpečně ovládat, tedy jsou: (4) určit vzdálenost dvou bodů, (5) určit odchylku dvou přímek, (6) sestrojit kolmici. Související úlohy jsou: určit vzdálenost bodu od přímky, určit vzdálenost dvou přímek, určit odchylku přímky od roviny, sestrojit kolmou rovinu k dané přímce apod. 12.2 Výhled Jednou motivací k dalšímu studiu této kapitoly je touha (kterou cítíme minimálně od odst. 5.13) po názorném a správném zobrazování různých těles, zejména těch hezkých, viz část 19. Poté, co 13. Volné promítání 65 si uvědomíme základní zákonitosti a osvojíme si některé základní konstrukce, zjistíme, že umíme zobrazit téměř cokoli, viz např. obr. na str. 124. Většinu dílčích problémů, které při komplexnějších úlohách potkáváme, představujeme v části 14. V této části také diskutujeme několik obecně platných principů, které se týkají vzájemných poloh, vzdáleností, kolmostí a odchylek rovin/přímek/bodů. Ostatní části jsou veskrze informativní. .. 13 Volné promítání Volné promítání rozlišujeme jak středové, tak rovnoběžné, přičemž přívlastek volné znamená, že průmětna a střed/směr promítání nejsou vzhledem k zobrazovanému objektu nijak specifikovány. Volný průmět nějakého tělesa tak bývá zadán průměty několika málo bodů. Protože středová promítání jsou projektivní zobrazení a rovnoběžná promítání jsou afinní, víme z odst. 10.2 kolik bodů vlastně potřebujeme, aby průmět byl určen jednoznačně. Promítáním prostoru do roviny však nikdy nevyčerpáme všechna možná projektivní/afinní zobrazení, proto průměty určujících bodů nemůžou být úplně libovolné. Následující věta upřesňuje, jak se věci mají v případě rovnoběžného promítání: Věta (Pohlkeova-Schwarzova). Rovnoběžným průmětem tří navzájem kolmých a stejně dlouhých úseček se společným krajním bodem může být jakákoli trojice úseček v rovině se společným krajním bodem, přičemž nejvýše jedna z těchto úseček nebo nejvýše jedna dvojice těchto úseček může mít nulovou délku, resp. odchylku. Za stejně dlouhými navzájem kolmými úsečkami si samozřejmě představujeme nějakou souřadnou soustavu. Každý bod v prostoru je jednoznačně určen svými souřadnicemi vzhledem k této soustavě, což se geometricky interpretuje pomocí rovnoběžek se souřadnými osami, viz obr. 13.2 (bod O značí počátek a, X,Y,Z jednotky na souřadných osách). Protože nás nezajímá číselné vyjadřování těchto souřadnic, většinou je zadáváme pomocí kolmých průmětů to rovin určených osami x,y (půdorys) a x,z (nárys).1 13.1 Zobrazení bodu Z uvedeného je jasné, jak můžeme sestrojit průmět libovolného bodu E v prostoru, viz obr. 13.2: • Volné rovnoběžné promítání je určeno obrazy O', X',Y', Z'; pomocné body na osách sestrojíme tak, aby byly zachovány dělicí poměry; k sestrojení průmětu E' stačí několik rovnoběžek se souřadnými osami. • Volné středové promítání je určeno obrazy O', X', Y', Z' a úběžníky souřadných os; pomocné body na osách sestrojíme tak, aby byly zachovány dvojpoměry; k sestrojení průmětu E' stačí několik přímek procházejících úběžníky. Naopak, je-li dán volný průmět bodu, umíme sestrojit pomocné body na osách a přenesením dělicích poměrů, resp. dvojpoměrů jsme schopni určit sdružené průměty, tzn. souřadnice tohoto bodu... Toto jsou tzv. Mongeovy sdružené průměty bodu; více k této zobrazovací metodě najdete v části 14. 66 IV. Zobrazovací metody Obrázek 13.2: Průměty bodu ve volném rovnoběžném a volném středovém promítání; čerchovanými čárami je nazančena konstrukce pomocného bodu na ose x... 13.2 Průnik přímky a roviny Na obr. 13.3 uvádíme možné řešení základní polohové úlohy — průnik přímky (p) s rovinou (p) — ve volném rovnoběžném promítání.2 Tento průnik (i?) vždy sestrojujeme jako průsečík dvou přímek. Abychom měli jistotu, že naznačené přímky se ve skutečnosti protínají, musí ležet v jedné rovině! Proto: (1) nejdřív zvolíme pomocnou (v podstatě libovolnou) rovinu obsahující danou přímku; (2) sestrojíme průsečnici r této roviny s rovinou p; (3) hledaný bod je průsečíkem přímek par. Všimněte si, že pomocné body při konstrukci průsečnice r jsou právě průniky několika přímek ležících v p s pomocnou rovinou. Abychom se neocitli v bludném kruhu, musí být pomocná rovina volena hodně speciálně... 2Tady předpokládáme, že přímka a rovina jsou různoběžné, ostatní případy diskutujeme v odst. 14.2. 14. Mongeovo promítání 67 Obrázek 13.3: [M. Ingrštová, 2010] Průnik přímky p = PQ a roviny p = ÄTLM (bod patří do stěny AD H E v naznačeném tělese): (1) pomocnou rovinu obsahující p volíme ve směru hrany AE; (2) průsečnice rovin r je určena pomocnými body x a y, které odvozujeme z jejich „půdorysů" xi a yi; (3) bod i? — pC\r je právě hledaným průnikem p n p. 13.3 Cvičení (1) V úloze na obrázku obr. 13.3: • sestrojte průniky přímek KL, LM a KM s rovinou podstavy ABCD, • sestrojte řez roviny KLM s krychlí, • pojmenujte korespondenci mezi body na sestrojeném řezu a body na podstavném čtverci ABCD. (2) Nyní si odmyslete krychli, modifikujte zadání a řešte podobné úlohy. (3) V pravidelném pětibokém hranolu s podstavami ABCDE a FGHIJ jsou dány body K, L B2 G l2. Z uvedeného by mělo být zřejmé, jak by se řešila např. úloha sestrojit nárys bodu ležícího v dané rovině, je-li dán jeho půdorys apod. Specifické přímky l na obr. 14.14 jsou tzv. hlavní přímky roviny p, což jsou přímky ležící v této rovině rovnoběžné s některou z průměten. To v důsledku znamená, že hlavní přímky jsou rovnoběžné s některou ze stop roviny p. Přímky ležící v p, které jsou kolmé k některé ze stop, jsou tzv. spádové přímky roviny p. Příčky Jiné typické polohové úlohy, na které bohužel nemáme moc čas, jsou konstrukce příček mimoběž-ných přímek (příčka je přímka, která protíná dané mimoběžky). Každé dvě mimoběžky mají nekonečně hodně příček a tyto bývají jednoznačně vymezeny až nějakou dodatečnou podmínkou jako např. aby příčka procházela daným bodem, aby měla daný směr, aby byla nejkratší apod. Pomocí příček lze vytvářet zajímavé přímkové plochy, které se taky hojně objevují v technické praxi. Např. společné příčky tří navzájem mimoběžných přímek tvoří plochu tzv. eliptického hyperboloidu (chladicí věže). Jiný příklad je na obr. 14.15. Ačkoli toto téma podrobněji nediskutujeme, mělo by být jasné, že aspoň z teoretického hlediska je všechno jasné. Pro představu rozebereme případ konstrukce příčky k mimoběžkám a, b z nějakého bodu K: všechny přímky jdoucí bodem K a protínající přímku b tvoří rovinu, kterou si označíme třeba (3; hledaná příčka je právě taková přímka, která leží v této rovině a současně protíná přímku a. Proto stačí: (1) uvážit rovinu (3 — K + b; (2) sestrojit průnik A — a n (3; (3) spojit body K a, A; (4) komu se to zdá málo, může ještě vyznačit průsečík s přímkou b. 14.3 Cvičení (1) Pro všechny výše uvedené sdružené průměty si utvořte konkrétní prostorovou představu o skutečné poloze zobrazených objektů vzhledem k průmětnám. Tuto představu pak volně načrtněte podobně jako na obr. 14.4 nebo obr. 14.6. 74 IV. Zobrazovací metody Obrázek 14.15: [Mach] Krov hradní věže ve Štramberku: krokve jsou příčky k mimoběž-kám a a b z několika bodů na kruhové podezdívce k. (2) Rovina p je dána stopami a přímka e je dána sdruženými průměty svých stopníků. Dokažte, že umíte určit průnik R — eCípve všemožných speciálních případech jako např. eli nebo p _L x. (3) Určete průsečnici dvou rovin určených stopami v případě, že průsečík některé dvojice stop není vůbec dostupný. (Ei> (4) Vzhledem k nějaké kartézské souřadné soustavě jsou dány body A — [-4,2,2], B= [0,8,10], C= [6,4,4], K = [-4,6,8], L = [0,10,0], M= [6,0,10]. Sestrojte sdružené průměty průseku trojúhelníků ABC a KLM. (5) Na obr. 14.16 jsou sdružené průměty nějakého tělesa, stopy roviny ir a sdružené průměty bodu S. Utvořte si prostorovou představu o zobrazeném tělese, poté sestrojte středový průmět tohoto tělesa z bodu S do roviny ir. (Při konstrukci nepřehlédněte užitečnost pomocných úběžníků.) Obrázek 14.16: Sestrojte středový průmět daného objektu z daného středu do dané roviny. 14. Mongeovo promítání 75 (6) U předchozí úlohy nahraďte střed S nějakým směrem, uvažujte osvětlení v tomto směru a sestrojte stín, který vrhá dané těleso do půdorysny (příp. samo na sebe). 14.4 Metrické úlohy Vzdálenost dvou bodů Pokud je přímka určená danými body rovnoběžná s některou průmětnou, pak v odpovídajícím průmětu vidíme vzdálenost bodů ve skutečné velikosti. Ve všech ostatních případech jsou vzdálenosti zkreslené (a protože promítáme kolmo, tak zkrácené). Jedna z možných konstrukcí skutečné vzdálenosti dvou bodů je motivována právě zmíněným postřehem: pootočíme úsečku určenou těmito body do polohy rovnoběžné s některou průmětnou, viz obr. 14.17 (stejný nápad jsme použili již na obr. 7.41 k určení velikosti |-X"iř|). Obrázek 14.17: [Me] Nárysný průmět úsečky je ve skutečné velikosti právě tehdy, když je tato úsečka s nárysnou rovnoběžná — proto \AB\ — \A2B2\. V předchozím vlastně otáčíme rovinu určenou body A, B a, jejich půdorysy Ai,Bi kolem přímky AA\. Jiná konstrukce skutečné velikosti úsečky AB je na obr. 14.18; v tomto případě otáčíme/sklápíme stejnou rovinu kolem přímky A\B\ do půdorysny. (Na tomto obrázku leží náhodou A v půdorysně; obecně je naznačená rovina ir rovnoběžná s půdorysnou a uvedenou konstrukci můžeme interpretovat jako sklopení do roviny rovnoběžné s půdorysnou...) Obrázek 14.18: [Me] Úsečka AB je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami ABi a BiB, jejichž velikosti vidíme nezkresleně v půdoryse, resp. náryse. A 76 IV. Zobrazovací metody Otočení roviny Rovina, kterou jsme otáčeli v předchozích dvou konstrukcích, byla kolmá k půdorysně, tedy poněkud specifická. Nyní se naučíme otáčet obecnou rovinu do průmětny (příp. do polohy rovnoběžné s průmětnou). Názorné zpracování je na obr. 14.19, kde je naznačeno otáčení roviny kolem hlavní přímky do roviny rovnoběžné s půdorysnou (nenechte se plést značením — místo sdruženého průmětu jsou použity kóty). Podstatné je, že korespondence mezi průměty bodů do této roviny a jejich otočenými obrazy, je stará známá a oblíbená osová afinita. Obrázek 14.19: [Me] Otočení roviny kolem hlavní přímky do polohy rovnoběžné s půdorysnou: vzdálenost bodu A0 od osy je rovna velikosti přepony v naznačeném pravoúhlém trojúhelníku. Osovou afinitu mezi průměty bodů a jejich otočenými obrazy doceníme zejména, když řešíme úlohu, kde vystupuje více bodů, nebo když potřebujeme otočit rovinu zpátky do původní polohy. Konkrétní realizace jedné takové úlohy je na obr. 14.20. Další typickou úlohou, kterou je možné řešit pomocí otáčení roviny do polohy rovnoběžné s průmětnou, je určování odchylky dvou (různoběžných) přímek... Před chvílí jsme si uvědomili, že odchylku dvou různoběžek vidíme v některém průmětu nezkresleně, pokud je rovina těmito přímkami určená rovnoběžná s odpovídající průmětnou. V případě, že přímky jsou kolmé, platí o něco obecnější a celkem užitečné tvrzení: Věta. Kolmým průmětem dvou kolmých přímek jsou kolmé přímky, pokud aspoň jedna z těchto přímek je rovnoběžná s průmětnou.3 Abychom se mohli svobodněji vyjadřovat, označíme kolmice a, b a jejich kolmé průměty a\,b\. Budeme předpokládat, že třeba a je rovnoběžná s průmětnou, což mj. znamená, že a\\a\. Protože a _L b a promítáme kolmo, je přímka a kolmá k rovině určené b, b\. Protože a\\a\, je také přímka ai kolmá k této rovině. To znamená, že a± je kolmá ke všem přímkám, které v této rovině leží, zejména tedy k b\. □ 3Ve skutečnosti to je ekvivalence, viz např. [Ř]... smer afinity Kolmost 14. Mongeovo promítání 77 Obrázek 14.20: [Ř] Konstrukce průmětů čtverce ABCD ležícího v rovině p (rovina je dána stopami, čtverec je určen půdorysem středu S a vrcholu A): (1) sestrojíme nárys bodu S a otočíme S kolem půdorysné stopy do půdorysny (So); (2) pomocí osové afinity doplníme otočený bod A0; (3) sestrojíme skutečný čtverec (A0B0CoD0); (4) pomocí osové afinity otočíme zpátky (AiBiC\D{); (5) doplníme nárysný průmět. Tento postřeh má velice užitečný důsledek pro konstrukci kolmice k rovině, resp. kolmé roviny k přímce: kolmý průmět kolmice k rovině je kolmý (k průmětu libovolné hlavní přímky, a tedy i) ke stopě! Jiné zdůvodnění téhož závěru (pomocí spádové přímky) je čitelné z obr. 14.21. Obrázek 14.21: [Me] Kolmým průmětem kolmice k rovině je přímka kolmá k její stopě. Vzdálenosti a odchylky obecně Každý obecnější případ určování vzdálenosti, resp. odchylky lze vždy nějak konstrukčně redukovat na určení vzdálenosti dvou bodů, resp. odchylky dvou přímek. Tato redukce je navíc vždycky přirozená a odvíjí se od definice/charakterizace pojmu vzdálenosti, resp. odchylky. Vzdálenost bodu od přímky nebo od roviny je určena vzdáleností tohoto bodu od paty kolmice. Vzdálenost dvou přímek je nenulová, pouze když se přímky neprotínají, tedy když jsou rovnoběžné nebo mimoběžné. V prvním případě stačí spustit kolmici z libovolného bodu, druhý 78 IV. Zobrazovací metody případ je poněkud subtilnější — hledáme nejkratší příčku, což je právě příčka kolmá. Vzdálenost přímky od roviny, resp. vzdálenost dvou rovin je nenulová, pouze když jsou tyto rovnoběžné... Z uvedených příkladů bychom si zejména měli všimnout, že dvojice bodů, jejichž vzdálenost nakonec měříme, je vždy nějak charakterizována pomocí pojmu kolmosti. Jak kolmost, tak vzdálenost dvou bodů jsme se naučili konstrukčně zrealizovat, takže teoreticky umíme určovat vzdálenosti kdečeho od ledasčeho. Praktické uplatnění uvedených postřehů lze vyzkoušet ve cvičení 14.5. Obrázek 14.22: Vzdálenost bodu M od roviny a je rovna vzdálenosti tohoto bodu od paty kolmice A: vlevo je rovina a kolmá k nárysně, proto v(M, a) — \M2A2\; vpravo je obecný případ — vzdálenost měříme po sklopení: v(M,a) — \(M)(A)\. Podobné to je s odchylkami; nejdřív však trochu rozšíříme pojem odchylky dvou přímek. Běžně totiž myslíme (a výše jsme se naučili měřit) odchylku dvou různoběžných přímek, nicméně i v ostatních případech má pojem odchylky dobrý význam: • odchylka splývajících nebo rovnoběžných přímek je nulová; • odchylku mimoběžných přímek definujeme jako odchylku libovolných dvou různoběžek, z nichž jedna je rovnoběžná s první mimoběžkou a druhá s druhou. Nyní odchylka přímky od roviny je rovna odchylce dané přímky od jejího kolmého průmětu do dané roviny. Pokud je přímka s rovinou rovnoběžná nebo je v ní obsažená, pak podle předchozí rozšířené definice dostaneme 0. Pokud je přímka k rovině kolmá, takže se promítá do bodu, pak samozřejmě nemůžeme nic měřit a jednoduše řekneme, že odchylka je 90°. Odchylka dvou rovin je rovna odchylce průsečnic těchto rovin s libovolnou rovinou, která je k oběma kolmá. V případě, že jsou roviny rovnoběžné nebo splývající, dostaneme 0; v případě různoběžných rovin je pomocná rovina právě rovina kolmá k jejich společné přímce. Uvědomte si, že také tento nápad umíme konstrukčně zrealizovat, ačkoli to představuje celkem hodně práce. Technicky jednodušší je rovnou určit odchylku normál: odchylka dvou přímek v rovině je totiž stejná jako odchylka jakýchkoli k nim kolmých přímek (v téže rovině). Odchylku dvou rovin tedy můžeme určit také tak, že (1) nejdřív sestrojíme libovolné k nim kolmé přímky a (2) rovnou určíme odchylku těchto kolmic... 14. Mongeovo promítání 79 Obrázek 14.23: Odchylka přímky p od roviny a je rovna odchylce přímek pup' (= průsečnice a s rovinou k ní kolmou a obsahující p). Obrázek 14.24: Odchylka rovin a, (3 je rovna odchylce přímek a, b (= průsečnice a, (3 s rovinou kolmou ke společné přímce a n (3), což je totéž jako odchylka normálových přímek na,np. 14.5 Cvičení (1) Sestrojte stopy roviny, která je kolmá k dané přímce a prochází daným bodem. (2) Určete vzdálenost daného bodu od dané přímky. (3) Určete odchylku dvou rovin daných stopami. (4) Pro zadání ze cvičení 14.3(4) sestrojte trojúhelníky ABC a KLM včetně jejich společné \AB\, pak k je elipsa s ohnisky A, B a délkou hlavní osy \ra — rb\, • je-li \ra — rb\ < \AB\, pak k je hyperbola s ohnisky A, B a délkou hlavní osy \ra — r&|. V uvedeném popisu uvažujeme ra, r b jako orientované poloměry, tzn. znaménko ra odpovídá orientaci cyklu a. Ve speciálních, resp. mezních případech je kuželosečka k kružnice nebo přímka... Pro tři dané cykly jsou středy hledaných dotýkajících se cyklů společnými body nějakých tří kuželoseček — sestrojit takové body zpravidla neumíme eukleidovsky. Obrázek 21.8: Středy cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů, tvoří kuželosečku (která se nemění při dilatacích). 22. K neeukleidovským geometriím 101 21.3 Řešení pomocí vhodných transformací Toto je metoda, kterou jsme protěžovali především. Nebudeme se znovu opakovat, pouze pro porovnání přikládáme miniseriál demonstrující typickou redukci složitosti pomocí dilatace a kruhové inverze, viz obr. 21.9. Obrázek 21.9: Řešení obecné Apollóniovy úlohy pomocí dilatace a kruhové inverze: (1) zadání; (2) dilatace; (3) kruhová inverze; (4) společné tečny ke dvěma cyklům (!); (5) kruhová inverze; (6) dilatace. 21.4 Řešení pomocí cyklografie (Překvapení...) 22 K neeukleidovským geometriím 102 V. Dodatky Literatura [A] B. Artmann, Euclid: The Creation of Mathematics, Springer, 1999 [Be] M. Berger, Geometry I, II, Springer, 1987 [Br] M. Brauner, Planimetrické úlohy řešené prostorově (diplomová práce), Brno, 2009 [DV] L. Drs, J. Všetečka, Objektivem počítače: geometrie speciálních fotografických technik, SNTL, 1981 [D] T. Dvořáková, Přínos Jánoše Bolyaie k základům neeuklidovské geometrie (bakalářská práce), Praha, 2012 [E] Eukleidés, Základy, Alexandrie, —300 (pro konkrétní citovaná vydání viz [Ej, Eb, Ey, HTD] a [S] níže) [Ha] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, 2000 [Ha2] R. Hartshorne, Teaching geometry according to Euclid, Notices of AMS, 2000, www.ams.org/notices/200004/fea-hartshorne.pdf [Hi] D. Hilbert, The Foundations of Geometry, 1902, www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf [Ho] J. Holubář, O methodách rovinných konstrukcí: Úloha Apolloniova a úlohy příbuzné, JČMF, 1949 [KKK] F. Kadeřávek, J. Klíma, J. Kounovský, Dekriptivní geometrie I, JČMF, 1950 [Ka] F. Kadeřávek, Geometrie a umění v dobách minulých, Praha, 1935 [Ko] A. Kolman, Dějiny matematiky ve starověku, Academia, 1968 [KV] J. Kounovský, F, Vyčichlo, Deskriptívni geometrie pro samouky, ČSAV, 1953 [Ku] F. Kuřina, Deset geometrických transformací, Prométheus, 2002 [KU2] F. Kuřina, Deset pohledů na geometrii, ČSAV, 1996 103 104 Literatura [L] M. Lavička, Syntetická geometrie, Plzeň, 2007, http://home.zcu.cz/~lavicka/subj ects/SG/texty/sg_text.pdf [Mach] F. Machala, Plochy technické praxe, Olomouc, 1986 [Mar] G.E. Martin, Transformation geometry, Springer, 1982 [Mar2] G.E. Martin, Geometrie constructions, Springer, 1998 [Me] V. Medek, Deskriptívna geometria, SNTL, 1962 [P] R. Pruner, Prostorově viděné modely (anaglyfy) pro vyučování geometrie na hlavních a nižších středních školách, Praha, 1943 [R] O. Říha, Konstrukční geometrie I, II, Brno, 2002 [R2] O. Říha, Kruhová inverze, Brno, 2010 [Sei] L. Seifert, Cyklografie, JČMF, 1949 [Sek] M. Sekanina a kol., Geometrie I, II, SPN, 1986 [SMS] E. Simeonov, D. Mairinger, Ch. Schmid, Mathematische Früherziehung, Lagen & Winkel, von Oemis, 2010 [St] J. Stillwell, The four pillars of Geometry, Springer, 2005 [U] A. Urban, Deskriptívni geometrie I, II, SNTL, 1965 * * * [EB] The Elements of Euclid, atraktivní vydání prvních 6 knih od O. Byrneho (1847), www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html [Ej] Euclid's Elements, interaktivní edice D. Joyce podle překladu T.L. Heatha (1908-28), alephO.čiarku.edu/~dj oyce/j ava/elements/elements.html [Ey] Eukleidés, Základy, Knihy I-XII, české vydání prvních 12 knih, jež zpracoval a komentářem opatřil P. Vopěnka podle překladu F. Servíta (1907), O.P.S., 2008-12 [HTD] The thirteen books of Euclid's Elements, The works of Archimedes including The method, Conies by Apollonius of Perga, Introduction to Arithmetics by Nicomachus of Ge-rasa, překlady klasických prací od T.L. Heatha, R. Catesby Taliaferra a M.L. D'Ooge, Encyclopaedia Britannica, 1952 [S] Řecké matematické texty, české překlady R. Maška a A. Šmída vybraných textů s bo- hatými poznámkami a komentáři od Z. Šíra, OIKOYMENH, 2011 * * * [I] Internet: http://www.mathatube.com/geometry-geometry-solids.html, http: //missmcdonaldart .blogspot. cz/2013/02/2713day-1-through-21413-day-5-belowyou. html, Seznam obrázků 1.1 [Ko] Miniatura Eukleida ze 6. století.......................... 7 3.2 Hierarchie geometrií.................................. 10 4.1 Eukleidův dodatečný postulát............................. 12 4.2 [A] 1.32 a 1.47...................................... 13 4.3 [A] II.5.......................................... 13 4.4 [A] 111.20 a 111.32.................................... 14 4.5 [Ey] Pravidelný pětiúhelník IV.11 a patnáctiúhelník IV.16............. 14 4.6 [Ej] VI.31: Pokud je trojúhelník ABC pravoúhlý a mnohoúhelníky nad stranami jsou podobné, potom obsah toho nad přeponou je roven součtu obsahů těch nad odvěsnami........................................ 15 4.7 [Ej] XI.39: Pokud je výška žlutého hranolu na stěnu ACEF stejná jako výška modrého hranolu na stěnu GHK a pokud má rovnoběžník ACEF dvojnásobný obsah jako trojúhelník GHK, potom tyto hranoly mají stejný objem....... 15 4.8 [Ha] XII.7: Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu trojbokého hranolu se stejnou základnou a stejnou výškou......................... 16 4.9 [A] XIII.16: Pravidelný dvacetistěn........................... 16 5.10 [A] 1.27 a 1.29...................................... 17 5.11 [EB] Věta 1.29 v Byrnově vydání Základů....................... 18 5.12 [Ej] 1.35: Rovnoběžníky se stejnou základnou a výškou mají stejný obsah..... 19 5.13 [A] 1.44 ......................................... 20 5.14 [A] 11.14......................................... 20 5.15 [Ha] Stříhání stejnoplochých pravoúhelníků..................... 21 5.16 [K. Nedvědová, 2009] Kvadratura obecného trojúhelníku se stříháním....... 21 5.17 [A] 111.36: Pro libovolnou sečnu jdoucí bodem D platí: DC ■ D A — DB2 = konst. 22 5.18 Chordála dvou kružnic................................. 22 5.19 Chordála je přímka kolmá na spojnici středů..................... 23 5.20 [A] 11.11 (konstrukce zlatého řezu) .......................... 24 5.21 Pokud AH = BL, potom H je zlatý řez AB ^> B je zlatý řez AL........ 25 5.22 [A] Analýza pravidelného pětiúhelníku......................... 25 105 106 Seznam 5.23 [Ha] IV.10: Na dané úsečce AB sestroj K ve zlatém řezu; sestroj trojúhelník ABL tak, aby AL — AB a B L — AK. Potom platí, že trojúhelník ABL je rovnoramenný a 13 = 2a......................................... 26 5.24 [Ha] Ke konstrukci pravidelného pětiúhelníku..................... 27 5.25 [Ej] VI.1: Poměr obsahů trojúhelníků (resp. rovnoběžníků) se stejnou výškou je stejný jako poměr délek jejich základen........................ 28 5.26 [A] VI.2: SD' : SD = SE' : SE ^> D'E'\\DE. VI.4-5: a = a'a/3 = /3'a7 = 7' ^=^> b : c — b' : d a c : a — d : a' a a : b — a' : b'................. 29 5.27 K dělicímu poměru.................................... 30 5.28 [Ej] XI.30: Rovnoběžnostěny se stejnou základnou a stejnou výškou mají stejný objem........................................... 31 5.29 [Ha] XII.5: Poměr objemů jehlanů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen...................................... 31 5.30 [Ko] Pravidelné konvexní mnohostěny......................... 32 5.31 [A] Pravidelný dvacetistěn poprvé: z XIII.10 plyne, že EVWQ je čtverec..... 33 5.32 [A] Pravidelný dvacetistěn podruhé: z XIII. 10 plyne, že WZ = LE......... 33 5.33 [A] Pravidelný dvacetistěn potřetí: řez dvacetistěnem a řez zlatý.......... 34 5.34 [A] Pravidelný dvanáctistěn............................... 34 6.35 Řešení BBP pomocí mocnosti: (1) P je průsečík přímek AB a c; (2) velikost \PC\ — \PX\ je sestrojena pomocí Eukleidovy věty o odvěsně; (3) kružnice k je určena body A,B,C................................... 35 6.36 Řešení BPP pomocí osové souměrnosti: (1) A' je symetrický k A podle osy; (2) k je kružnice, která prochází body A, A' a dotýká se b (úloha BBP); (3) body dotyku s přímkami b a c jsou symetrické podle osy...................... 36 6.37 Řešení BPP pomocí stejnolehlosti: (1) k' je libovolná kružnice, která se dotýká b a c; (2) k' chápeme jako stejnolehlý obraz k: A' je průsečík polopřímky S A s kružnicí k'; (3) střed O je vzor středu O' vzhledem k této stejnolehlosti: AO||A'0'; (4) podobně je to s dotykovými body B a, C...................... 36 6.38 Řešení BBK pomocí mocnosti: (1) l je libovolná kružnice procházející A, B; (2) ch je chordála kružnic l a c; (3) bod P je průsečíkem chordály a přímky AB; (4) C je dotykový bod tečny z bodu P ke kružnici c; (5) kružnice k je určena body A,B,C. 37 6.39 Řešení PPK pomocí stejnolehlosti: (1) b' a d jsou přímky rovnoběžné s b a c, které se dotýkají kružnice A; (2) b' a d chápeme jako stejnolehlé obrazy přímek bac: střed stejnolehlosti A — A' je průsečíkem přímky MM' s kružnicí a; (3) střed O je vzor středu O' vzhledem k této stejnolehlosti: O je průsečík O'A s osou; (4) podobně je to s dotykovými body B a C...................... 37 7.40 [S] Ke 13. větě z I. knihy Apollóniových Kuželoseček................. 39 7.41 [Ku2] K Dandelinově-Queteletově větě......................... 40 9.1 [Mar] Posunutá souměrnost............................... 44 9.2 [Sek] Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností. ... 44 9.3 Přehled shodností pomocí obrazů trojúhelníku.................... 45 9.4 [Be] Stejnolehlost v rovině je vždy přímá....................... 46 9.5 Mongeova věta: Vnější středy stejnolehlosti tří kružnic leží na přímce a stejně tak každé dva vnitřní a jeden vnější střed leží na přímce................. 47 9.6 Dilatace není bodové zobrazení, dilatace je kontaktní zobrazení! Vlevo je naznačen obraz dotykového elementu XY v závislosti na znaménku p; další dva obrázky ilustrují obraz orientované přímky, resp. kružnice jakožto obálky jejích dotykových elementů pro p > 0................................... 48 obrázků 107 9.7 [Ha] Obraz bodu při kruhové inverzi určené kružnicí V................ 49 9.8 [Ha] Obrazem přímky při kruhové inverzi je kružnice procházející středem, a naopak. 50 9.9 [Ha] Obrazem kružnice neprocházející středem je opět kružnice; kružnice se zobrazuje sama do sebe právě tehdy, když protíná řídící kružnici kolmo........ 50 9.10 [Ha] Kruhová inverze je konformní zobrazení..................... 51 9.11 [Ku] Typická (i když trochu specifická) osová afinita: zkracování v jednom směru... 51 9.12 Obraz bodu v osové afinitě................................ 52 9.13 Dvojpoměr se středovým promítáním nemění!.................... 54 9.14 Středové promítání zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky...... 55 9.15 Na standardní přímce je bod E mezi body Cafl. Na projektivní přímce nemá relace „mezi" valného smyslu.............................. 55 9.16 Obraz bodu v osové kolineaci.............................. 56 9.17 [Ku] Desarguesova věta a její trojrozměrná interpretace................ 58 9.18 [St] Která čtveřice je projektivním obrazem čtveřice ekvidistantních bodů? .... 58 10.19Hierarchie geometrických zobrazení (v závorce uveden typický představitel z každé třídy)........................................... 59 10.20Afinní a projektivní průmět krychle........................... 60 11.21[KV] Hlavní průměry elipsy pomocí osové afinity................... 61 11.22[R] Průnik přímky s elipsou pomocí osové afinity................... 62 12.1 [SMS] K danému průmětu pokoje načrtněte jeho půdorys.............. 64 13.2 Průměty bodu ve volném rovnoběžném a volném středovém promítání; čerchova-nými čárami je nazančena konstrukce pomocného bodu na ose x........... 66 13.3 [M. Ingrštová, 2010] Průnik přímky p — PQ a roviny p — KLM (bod K patří do stěny ADHE v naznačeném tělese): (1) pomocnou rovinu obsahující p volíme ve směru hrany AE; (2) průsečnice rovin r je určena pomocnými body x a y, které odvozujeme z jejich „půdorysů" x\ a j/i; (3) bod R — p n r je právě hledaným průnikem p n p...................................... 67 14.4 [Ka] Ukázka z prvního vydání Mongeovy Deskriptívni geometrie (1798)...... 68 14.5 [Me] Mongeovy sdružené průměty bodu........................ 68 14.6 Sdružené průměty přímek a jejich stopníky; přímka e je jednoznačně určena teprve svými stopníky (nebo nějakým jiným dodatkem)................... 69 14.7 Rovina je (skoro vždy) určena svými stopami..................... 70 14.8 [M. Ingrštová, 2010] Průnik přímky p — PQ a roviny p — KLM: (1) r je krycí přímka pro směr kolmý k půdorysně (ri — pi); (2) její nárys je určen body x, y; (3) bod R — p n r je právě hledaným průnikem p n p................. 70 14.9 Vzájemné polohy přímky a roviny: různoběžnost (pHp — R), rovnoběžnost ( B2 G l2.............. 73 14.15[Mach] Krov hradní věže ve Štramberku: krokve jsou příčky k mimoběžkám a a b z několika bodů na kruhové podezdívce k....................... 74 14.16Sestrojte středový průmět daného objektu z daného středu do dané roviny. ... 74 14.17[Me] Nárysný průmět úsečky je ve skutečné velikosti právě tehdy, když je tato úsečka s nárysnou rovnoběžná — proto \AB\ = \A2B®\............... 75 108 Seznam 14.18[Me] Úsečka AB je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami AB\ a BiB, jejichž velikosti vidíme nezkresleně v půdoryse, resp. náryse............. 75 14.19[Me] Otočení roviny kolem hlavní přímky do polohy rovnoběžné s půdorysnou: vzdálenost bodu A0 od osy je rovna velikosti přepony v naznačeném pravoúhlém trojúhelníku....................................... 76 14.20[R] Konstrukce průmětů čtverce ABCD ležícího v rovině p (rovina je dána stopami, čtverec je určen půdorysem středu S a vrcholu A): (1) sestrojíme nárys bodu S a otočíme S kolem půdorysné stopy do půdorysny (So); (2) pomocí osové afinity doplníme otočený bod A0; (3) sestrojíme skutečný čtverec (A0B0CqD0); (4) pomocí osové afinity otočíme zpátky (AiBiCiDi); (5) doplníme nárysný průmět. 77 14.21[Me] Kolmým průmětem kolmice k rovině je přímka kolmá k její stopě....... 77 14.22 Vzdálenost bodu M od roviny a je rovna vzdálenosti tohoto bodu od paty kolmice A: vlevo je rovina a kolmá k nárysně, proto v(M, a) — \M2A2\; vpravo je obecný případ — vzdálenost měříme po sklopení: v(M, a) — \(M)(A)\........... 78 14.230dchylka přímky p od roviny a je rovna odchylce přímek p a p' (= průsečnice a s rovinou k ní kolmou a obsahující p)......................... 79 14.240dchylka rovin a, (3 je rovna odchylce přímek a, b (= průsečnice a, (3 s rovinou kolmou ke společné přímce aíl/3), což je totéž jako odchylka normálových přímek na,np........................................... 79 14.25Sestrojte středový průmět daného objektu z daného středu do dané roviny. ... 80 15.26Zobrazení bodu, přímky a roviny, konstrukce stopníků a stop............. 80 15.27Průnik rovin r — a C\ p sestrojený pomocí (a) hlavních přímek, (b) pomocného průmětu......................................... 80 16.28Kolmá axonometrie je dána stopami axonometrické průmětny; sestrojen axono- metrický trojúhelník a průměty osového kříže..................... 82 16.29[Me] Kolmá axonometrie je dána axonometrickým trojúhelníkem; sestrojen osový kříž, jednotky na osách a průmět bodu A........................ 82 16.30[Me] Průnik přímky k a roviny p — ABC: (1) l je krycí přímka pro směr kolmý k půdorysně (l\ — k{); (2) její axonometrický průmět je určen body L,U; (3) bod R — k n l je právě hledaným průnikem kC\ p..................... 83 16.31 [Me] Volný rovnoběžný průmět nějaké součástky pomocí zářezové metody..... 84 16.32Kosoúhlé promítání je dáno směrem s; sestrojen kosoúhlý průmět a kosoúhlý půdorys bodu A jakožto stopníky promítacích paprsků.................. 85 16.33Kosoúhlé promítání je dáno obrazem bodu Y na ose y; sestrojen kosoúhlý průmět bodu A pomocí osové afinity mezi Mongeovými a kosoúhlými půdorysy....... 85 17.34[Me] Perspektivní průmět nějaké budovy........................ 87 17.35[P] Dvanáctistěn (s vepsanou krychlí) jako anaglyf: červený průmět je určen levému oku, azurový pravému, tzn. brýle nasazujeme červeným sklem na pravé oko a azurovým na levé.................................... 88 17.36[DV] Určující prvky válcové perspektivy........................ 88 18.37[Br] Cyklografická interpretace dilatace dotýkajících se cyklů............. 89 19.38[I] Předpokládejme, že všechna tělesa v každé skupině mají podstavy v jedné rovině. Pak v jednom z obrázků je evidentně něco špatně!............. 90 19.39[U] Volný rovnoběžný průmět pravidelného čtyř- a osmistěnu............ 90 19.40[KV] Mongeovy sdružené průměty pravidelného dvanácti- a dvacetistěnu..... 91 19.41 [KKK] Kolmý axonometrický průmět pravidelného dvanáctistěnu.......... 92 19.42[U] Kosoúhlý průmět rotačního kužele a koule..................... 92 19.43[KV] Osvětlení kužele a přímky............................. 93 obrázků 109 20.1 [A] Z Pythagorovy věty a věty o obsahu kruhu plyne, že Hippokratovy půlměsíce mají stejný obsah jako trojúhelník........................... 96 20.2 [HTD] Obsah parabolické úseče je roven | obsahu trojúhelníku PQq (což jsou | obsahu opsaného rovnoběžníku)............................ 97 20.3 [Ha] Konstrukce pravidelného 17-tiúhelníku...................... 98 20.4 [Ha] Mascheroniovská a steinerovská konstrukce inverzního bodu A' k bodu A při kruhové inverzi se středem v 0............................. 98 20.5 [A] Konstrukce pravidelného pětiúhelníku s kružítkem a označeným pravítkem. . 99 20.6 [A] Trisekce úhlu s označeným pravítkem: a — ZBMC je libovolný úhel; sestrojíme lib. kružnici se středem v M; přiložíme neusis s vyznačenými body D a, E tak, že DE = AM... Potom platí, že j3 = \a..................... 99 21.7 Gergonnovo řešení obecné Apollóniovy úlohy: (1) chab, chbc, chac jsou chordály tří dvojic daných kružnic, jež prochází jejich potenčním středem P; (2) Oab, Obc, Oac jsou středy stejnolehlosti tří dvojic daných cyklů, jež leží na jejich ose podobnosti; (3) Pa, Pb, Pc jsou póly této přímky vzhledem k daným kružnicím; (4) dotykové body jsou na spojnicích PPa, PPb, PPC........................ 100 21.8 Středy cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů, tvoří kuželosečku (která se nemění při dilatacích).................................. 100 21.9 Řešení obecné Apollóniovy úlohy pomocí dilatace a kruhové inverze: (1) zadání; (2) dilatace; (3) kruhová inverze; (4) společné tečny ke dvěma cyklům (!); (5) kruhová inverze; (6) dilatace................................ 101 110 Seznam Rejstřík řez dvacetistěnem, 34 zlatý, 24 Apollónios, 35, 38 Archimédés, 96, 98, 113 Bolyai, F., 19 Bolyai, J., 8 chordála, 22 Dandelin, G.P., 39 Dedekind, J.W.R, 29 Dehn, M., 31 Desargues, G., 57 Descartes, R., 9 dilatace, 37, 48 elipsa, 38 Eudoxos, 31 Eukleidés, 7, 11 Fermat, P., 97 Gauss, C.F., 8, 97 geometrie eukleidovská, 11 hierarchie —, 10 Gergonne, J.D., 99 Gerwien, P., 19 Hilbert, D., 7 Hippokratés z Chiu, 96 Klein, F., 9 Komenský, J.A., 3 konstrukce eukleidovská, 12 mascheroniovská, 97 neusis, 98 steinerovská, 97 kruhová inverze, 49 kvadratura kruhu, 96 mnohoúhelníku, 19 paraboly, 96 Lindemann, F., 96 Lobačevský, N.L, 8 Mascheroni, L., 97 mocnost, 22 Monge, G., 46, 67 příčka, 73 přímka hlavní, 73 krycí, 70 spádová, 73 Pappos, 35, 54 Petersen, J., 50 Platón, 31 podobnost, 29 Pohlke, K., 65 poměr dělicí, 29 veličin, 28 postulát pátý, dodatečný, o rovnoběžkách, 12, 17 pravidelný n-úhelník, 97 111 112 Rejstřík desetiúhelník, 27 dvacetistěn, 32 dvanáctistěn, 92 pětiúhelník, 25-28, 99 sedmnáctiúhelník, 98 Quetelet, A., 39 Riemann, B., 9 Schwarz, H.A., 65 shodnost, 43 souměrnost šikmá, 52 osová, 44 posunutá, 44 středová, 44 střed potenční, 23 Steiner, J., 97 stejnolehlost, 29, 45 trúba štramberská, 74 Viěte, F., 35 Wallace, W., 19 Wantzel, P.L., 97 Základy, 11 Přílohy Přikládáme několik příloh: (1) nejprve část časové osy z helenistického období podle B. Artmanna [A], (2) od str. 115 přehled nejcitovanějších tvrzení ze všech geometrických knih [E]; výběr a zpracování je zásluhou R. Hartshorna [Ha, str. 481-486], (3) na str. 121 stručný přehled Hilbertovy axiomatiky [Hi]; převzato z učebního materiálu od neznámého autora, (4) na str. 122 přehled Archimedových polopravidelných těles; převzato z [Ko], (5) na str. 123 kolmý axonometrický průmět strojní součástky sestrojený zářezovou metodou; převzato z [U], (6) na str. 124 průmět nějakého portálu ve dvojúběžníkové perspektivě, (7) na str. 125 příklad cylindrické perspektivy — panoramatický snímek Lorety na Hradčanech; převzato z [DV], 113 TIME TABLE (all dates are b.c.e.) General history, related to mathematics Mathematics 900-600 Geometric period of Greek art Money is invented (first coins) 600 Thales of Miletus 580) Pythagoras 570-490) Persian Wars 500-480) 500 % 460 Temple of Zeus in Olympia, Proportions 2 :1 450-430 Pericles, "high classics" 450 Pythagoreans in southern Italy as 440 Parthenon temple in Athens, proportions 9:4 = length : breadth » breadth : height Hippocrates of Chios writes first Elements & 430 Socrates * 470-399 Plato 428-348 Aristotle 384-322 400 Theodorus of Cyrene * 460-390 Theaetetus^ 415-370 Leon writes new Elements in Plato's Academy Alexander the Great 356-323 350 Eudoxus * 410-355 Various other writers of mathematical treatises, e.g., Menaechmus: Conies 300 Euclid: Elements Alexandria is the cultural center of the Hellenistic world 300-50 250 Apollonius of Perga, Archimedes of Syracuse Appendix: Brief Euclid For reference we include abbreviated statements of the most frequently quoted results from Euclid's Elements. Book I. Definitions 1. A point is that which has no part. 2. A line is length without breadth, 4. A straight line lies evenly with its points, 8. A plane angle is the inclination of two lines. 10, When the two adjacent angles are equal it is a right angle. 15- A circle is a line all of whose points are equidistant from one point, 20. A triangle with two equal sides is isosceles. 23. Parallel straight lines are lines in the same plane that do not meet, no matter how far extended in eitheT direction. Postulates 1. To draw a line through two points, 2. To extend a given line. 3. To draw a circle with given center through a given point. 4. All right angles are equal. 5. If a line crossing two other lines makes the interior angles on the same side less than two right angles^ then these two lines will meet on that side when extended far enough. Common Notions 1. Things equal to the same thing are equal. 2. Equals added to equals aTe equal. 481 Appendix: Brief Euclid 3. Equals subtracted from equals are equal, 4. Things which coincide are equal, 5. The whole is greater than the part. Propositions 1. To construct an equilateral triangle on a given segment, 2. To draw a segment equal to a given segment at a given point. 3. To cut off a smaller segment from a larger segment. 4. Side-angle-side (SAS) congruence for triangles. 5. The base angles of an isosceles triangle are equal. 6. If the base angles are equal, the triangle is isosceles. 7. It is not possible to put two triangles with equal sides on the same side of a segment. 8. Side-side-side (SSS) congruence for triangles. 9. To bisect an angle. 10, To bisect a segment. 11. To construct a perpendicular to a line at a given point on the line. 12. To drop a perpendicular from a point to a line not containing the point 13, A line standing on another line makes angles equal to two right angles, 15. Vertical angles are equal, 16. The exterior angle of a triangle is greater than either opposite interior angle. 17. Any two angles of a triangle are less than two right angles. 18. If one side of a triangle is greater than another, then the angle opposite it is greater than the other. 19. If one angle of a triangle is greater than another, then the side opposite it is greater than the other. 20. Any two sides of any triangle are greater than the third. 22. To construct a triangle, given three sides, provided any two are greater than the third. 23. To reproduce a given angle at a given point and side. 24. Two sides equal but included angle greater of two triangles implies base greater. 25. Two sides equal and greater base implies greater angle. 26. Angle-side-angle (ASA) and angle-angle-side (AAS) congruence for triangles. 27. Alternate interior angles equal implies parallel lines. 28. Exterior angle equal to opposite interior, or two interior angles equal to two right angles, implies parallel lines. 29. A line crossing two parallel lines makes alternate interior angles equal. 30. Lines parallel to the same line are parallel. 31. To draw a line parallel to a given line through a given point. 32. Sum of angles of a triangle is two right angles, and exterior angle equals the sum of opposite interior angles. Appendix: Brief Euclid 483 33. Lines joining endpoints of equal parallel lines are equal and parallel. 34. The opposite sides and angles of a parallelogram are equal. 35. Parallelograms on the same base and in the same parallels are equal. 36. Parallelograms on equal bases in the same parallels are equal. 37. Triangles on the same base in the same parallels are equal. 38. Triangles on equal bases in the same parallels are equal, 39. Equal triangles on the same base on the same side are in the same parallels. 40. Equal triangles on equal bases on the same side are in the same parallels. 41. A parallelogram is twice the triangle on the same base in the same parallels. 42. To construct a parallelogram with a given angle equal to a given triangle. 43. Parallelograms on opposite sides of the diagonal of a parallelogram ate equal. 44. To construct a parallelogram with given side and angle equal to a given triangle. 45. To construct a parallelogram with a given angle equal to a given figure. 46. To construct a square on a given segment. 47. (Theorem of Pythagoras) The square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the sides of a right triangle. 48. If the sum of the squares on two sides equals the square on the third side, the triangle is right. Book II. Propositions 1. The rectangle contained by two lines is the sum of the rectangles contained by one and the segments of the other. 4. The square on the whole line is equal to the squares on its two segments plus twice the rectangle on the two segments. 5. The square on half a line is equal to the rectangle on the unequal segments plus the square of the difference. 6. The rectangle on a line plus an added piece with the added piece, plus the square of half the segment, is equal to the square of the half plus the added piece. 11, To cut a line so that the rectangle on the whole and one segment is equal to the square on the other segment (extreme and mean ratio). 14, To construct a square equal to a given figure. Book III. Propositions 1. To find the center of a circle. 2. The segment joining two points of a circle lies inside the circle. 5. If two circles intersect, they do not have the same center. 6. If two circles are tangent, they do not have the same center. 10. Two circles can intersect in at most two points. 11> 12. If two cfrcles are tangent, their centers lie in a line with the point of tangency, 16. The line perpendicular to a diameter at its end is tangent to the circle, and 484 Appendix: Brief Euclid the angle between the tangent line and the circle is less than any rectilineal angle. 17. To draw a tangent to a circle from a point outside the circle. 18. A tangent line to a circle is perpendicular to the radius at the point of tangency. 19. The perpendicular to a tangent line at the point of tangency will pass through the center of the circle. 20. The angle at the center is twice the angle at a point of the circumference subtending a given arc of a circle. 21. Two angles from points of a circle subtending the same arc are equal. 22. The opposite angles of a quadrilateral in a circle are equal to two right angles. 31, The angle in a semicircle is a right angle. 32. The angle between a tangent line and a chord of a circle is equal to the angle on the arc cut off. 35. If two chords cut each other, the rectangle on the segments of one chord is equal to the rectangle on the segments of the other chord. 36. From a point outside a circle, let a tangent and a secant line be drawn. Then the square of the tangent line is equal to the rectangle formed by the two segments from the point to the circle on the secant line. 37. From a point outside a circle, if two lines cut the circle, so that the square of one is equal to the rectangle formed by the segments of the other, then the first is a tangent line. Book IV. Propositions 1, To inscribe a given segment in a circle. 2, To inscribe a triangle, equiangular to a given triangle, in a circle. 3, To circumscribe a triangle, equiangular to a given triangle, around a circle. 4, To inscribe a circle in a triangle. 5, To circumscribe a circle around a triangle. 10. To construct an isosceles triangle whose base angles are twice the vertex angle. 11. To inscribe a regular pentagon in a circle. 12. To circumscribe a regular pentagon around a circle. 15, To inscribe a regular hexagon in a circle. 16. To inscribe a Tegular 15-sided pol3rgon in a circle. Book V. Definitions 4. Magnitudes are said to have a ratio if either one, being multiplied, can exceed the other. 5. Four magnitudes a, b; c, d are in the same ratio if for any whole numbers m, n, we have ma. > nb or ma = nh or ma < nb if and only if mc > nd or mc = nd or mc < nd respectively. Appendix: Brief Euclid 485 Book VI. Propositions 1. Triangles of the same height are in the same ratio as their bases. 2. A line is parallel to the base of a triangle if and only if it cuts the sides proportionately. 3. A line from a vertex of a triangle to the opposite side bisects the angle if and on^ if it cuts the opposite side in proportion to the remaining sides of the triangle. 4. The sides of equiangular triangles are proportional. 5. If the sides of two triangles are proportional, their angles are equal. 6. If two triangles have one angle equal and the sides containing the angle proportional, the triangles will be similar, 8. The altitude from the right angle of a right triangle divides the triangle into two triangles similar to each other and to the whole. 12. To find a fourth proportional to three given lines. 13, To find a mean proportional between two given lines. 16. Four lines are proportional if and only if the Tectangle on the extremes is equal to the rectangle on the means. 30. To cut a line in extreme and mean ratio. 31, Any figure on the hypotenuse of a right triangle is equal to the sum of similar figures on the sides of the triangle. Book X. Propositions 1. Given two unequal quantities, if one subtracts from the greater a quantity greater than its half, and repeats this process enough times, there will remain a quantity lesser than the smaller of the two original quantities. 117. (not in Heath, but in Commandino). The diagonal of a square is incommensurable with its side. Book XI. Definitions 25. A cube is a po^hedron made of six equal squares. 26. An octahedron is a polyhedron made of eight equal equilateral triangles. 27. An icosahedron is a polyhedron made b3>" twenty equal equilateral triangles. 28. A dodecahedron is a polyhedron made by twelve equal regular pentagons. Propositions 21. The plane angles in a solid angle make less than four right angles. 28. A parallelepiped is bisected by its diagonal plane. 29, 30, Parallelepipeds on the same base and of the same height are equal. 31. Parallelepipeds on equal bases, of the same height, are equal. Book XII. Propositions 2. Circles are in the same ratio as the squares of their diameters. 3. A pyramid is divided into two pjTamids and two prisms. zj.JJ(-j Appendix: Brief Euclid 5, Pyramids of the same height on triangular bases are in the same ratio as their bases, 7. A prism with a triangular hase is divided into three equal triangular pyramids. Book XIII. Propositions 7. If at least three angles of an equilateral pentagon are equal, the pentagon will be regular. 10. In a circle, the square on the side of the inscribed pentagon is equal to the square on the side of the inscribed hexagon plus the square on the side of the inscribed decagon. 13. To inscribe a tetrahedron in a sphere. 14. To inscribe an octahedron in a sphere. 15. To inscribe a cube in a sphere. 16. To inscribe an icosahedron in a sphere. 17. To inscribe a dodecahedron in a sphere. 18. (Postscript). Besides these five figures there is no other contained by equal regular polygons. Hilberts's Axioms for Plane Geometry Undefined terms: Point, line, plane, betweerijCongruence. Connection (Incidence) 1-1. Through any two distinct points A, B there is always a line m. 1-2. Through any two distinct points A, B there is not more than one line m. 1-3. On every line there exist at least two distinct points. There exist at least three points which are not on the same line. I- 4. Through any three points, not on the same line, there is one and only one plane. Order II- 1. If point B is between points A and C, then A, B, C are distinct points on the same line, and B is between C and A. II-2. For any two distinct points A and C, there is at least one point B on the line AC such that C is between A and B. II-3. If A, B, C are three distinct points on the same line, then only one of the points is between the other two. Definition By the segment AB is meant the set of all points which are between A and B. Points A and B are called the endpoinis of the segment The segment AB is the same as the segment BA. II-4. (Pasch's Axiom) Let A, B, C be three points not all on the same line and let m be a line in the plane A, B, C which does not pass through any of the points A, B, C. Then if m passes through a point of the segment AB, it will also pass through a point of segment AC or a point of segment BC. Note: II-4'. This postulate may be replaced by the separation axiom. A line m separates the points of the plane which are not on m, into two sets such that if two points X and Y are in the same set, the segment XY does not intersect m, and if X and Y are in different sets, the segment XY does intersect m. In the first case X and Y are said to be on the same side of m; in the second case, X and Y are said to be on opposite sides of m. Definition By the ray AB is meant the set of all points consisting of those which are between A and B, the point B itself, and all the points C such that B is between A and C. The ray AS is said to emanate from the point A. A point on a given line m, divides m into two rays such that two points are on the same ray if and only if A is not between them. Definition If A, B and C are three points not on the same line, then the system of three segments AB, BC, CA, and their endpoints is called the triangle ABC. The three segments are called the sides of the triangle, and the three points are called the vertices. Congruence III-l. If A and B are distinct points on line m and if A' is a point on line m (not necessarily distinct from m), there is one and only one point B' on each ray of m' emanating from A' such that the segment A'B" is congruent to the segment AB. IH-2. If two segments are each congruent to a third, then they are congruent to each other. (From this it can be shown that congruence of segments is an equivalence relation; i.e., AB = AB; ifAB = A'B', then A'B' = AB; and if AB = CD and CD= EF, then AB = EF.) HI-3. If point C is between A and B, and C is between A' and B', and if the segment ACbA'C and the segment CB = CB\ men segment AB =segment A'B". Definition By an angle is meant a point (called the vertex of the angle) and two rays (called the sides of the angle) emanating from a point. If the vertex of the angle is point A and if B and C are any two points other than A on the two sides of the angle, we speak of the angle BAC or CAB or simply the angle A. III-4. If BAC is an angle whose sides do not lie on the same line and if in a given plane, A'B" is a ray emanating from A', then there is one and only one ray A'C on a given side of line A'B', such that AB'A'C = /.BAC. In short, a given angle in a given plane can be laid off on a giVen side of a given ray in one and only one way. Every angle is congruent to itself. Definition If ABC is a triangle then the three angles BAC, CBA, and ACB are called the angles of the triangle. Angle BAC is said to be included by the sides AB and AC. III- 5. If two sides and the included angle of one triangle are congruent, respectively, to two sides and the included angle of another triangle, then each of the remaining angles of the first triangle is congruent to the corresponding angle of the second triangle. Parallel axiom IV- 1. (Playfair's postulate) Through a given point A not on a given line m there passes at most one line, which does not intersect m. Continuity V- l. (Axiom of Measure—Archimedes axiom) If AB and CD are arbitrary segments, then there exists a number n such that if segment CD is laid off n times on the ray AB starting from A, then a point E is reached, where n-CD = AE, and where B is between A and E. V-2. (Axiom of linear completeness) the system of points on a line with its order and congruence relations cannot be extended in such a way that the relations existing among its elements as well as the basic properties of linear order and congruence resulting from Axioms I-III and V-l remain valid. Note: V. These axioms may be replaced by Dedekind's axiom of continuity. For every partition of the points on a line into two nonempty sets such that no point of either lies between two points of the other, there is a point of one set which lies between every other point of that set and every point of the other set. 1 D y-/2,/i-/0,s-S 0^at83a y~/2, h=24-,s~?4 (03A) 8*b y-24J-3$,s-/4 6*b 64c v-24,h-3£s-M y 32, s-2S (03,18*) y^8th"72,S"28 125a,203a 20ab 12* b y-30.h-6Q,$~32 (Z03,?Zs) y-00,/}*>$0,s-32 OZsJO$) v-60,h-ms-32 6/,d I2sg y-2t,/;-Ms~33 (323, $*) f203J0i,!2s) y-120,h-!30.s~62 f30^206J2w) 20* d y-/2,fy-/0,.s~8 ÍSÝJsJ is-60,h<-Wt$-92 Í803J25) y-/2,A=2ífs-/4