Didaktika matematiky 2 P 1 1. Motivace 2. Historická poznámka 3. Používání písmen ve významu čísla 4. Tři stupně práce s algebraickými výrazy: Modelování Standardní manipulace se symboly Strategická manipulace se symboly 5. Předpokládané chyby 6. Sofismata 7. Aplikace Ad 1. Motivace Proč potřebujeme počítat s obecným vyjádřením a kde se s ním setkáme a) Ve školské matematice – zobecňování vztahů, např. - Vyjádření vlastností operací, např. komutativnost sčítání a + b = b + a - Vztahy pro výpočty obvodů, obsahů, povrchů, objemů geometrických útvarů, např. o = 2(a + b), S = a.b, V = v b) Technická praxe – výpočet řezné rychlosti, dráhy potřebné k zastavení vozidla aj. c) Ostatní vědní disciplíny, např. biologie – vztahy pro výpočet množení generací fyzika, chemie – poločas rozpadu výpočet indexu BMI kódování, komprese dat v počítačích d) Běžný život – v každé profesi je třeba brát v úvahu vstupní parametry, které jsou zpravidla proměnné a v závislosti na nich sledovat výstupní hodnoty. Algebra, která se vyvinula z aritmetiky, je velmi důležitou a rozsáhlou částí matematiky. Původně zahrnovala nauku o řešení rovnic, později se rozšířila o algebru množin, teorii grup, teorii okruhů a těles, teorii svazů, lineární algebru aj. Ve školské matematice se žáci seznamují s elementy algebry, zpravidla počítání s písmeny ve významu čísel. Zvládnutí základů algebry umožňuje studium dalších témat v matematice (rovnice, funkce, matematická analýza, analytická geometrie, kombinatorika, pravděpodobnost aj.), a využití a aplikacích v dalších disciplínách (fyzika, chemie aj.) Ad 2. Historická poznámka Počátky prvních náznaků algebry spadají do doby kolem roku 2 000 let před naším letopočtem, kdy byly řešeny úlohy, které dnes řešíme pomocí rovnic. Zpočátku nebyly známy znaky pro početní výkony, zapsání rovnosti či nerovnosti mezi čísly a všechny vztahy mezi matematickými veličinami byly vyjadřovány slovy a větami. Toto období nazýváme obdobím verbalistickým ( úlohy na hliněných destičkách psaných klínovým písmem v Babylónii, sbírky úloh z Číny, Ahmesův papyrus z Egypta). Kolem roku 500 před naším letopočtem řešili Řekové úlohy, které dnes řadíme do algebry, geometrickými prostředky. K rozvoji algebraické symboliky sice nepřispěli, ale rozvinuli užívání geometrických úvah k řešení úloh algebraického charakteru. Hovoříme o geometrické algebře Řeků. Až teprve Diofantos z Alexandrie kolem roku 250 před naším letopočtem napsal spis o rovnicích (nazvaný Aritmetika) a užívá v něm některé symboly, které dnes nazýváme algebraickými (např. pro neznámou používal symbolu r, pro odčítání použil symbol který měl být obráceným písmenem y, pro umocňování - dynamos – čtverec. Různý stupeň mocniny vyjadřoval různým základem, např. byla třetí mocnina – kubos – krychle.). Diofantem bylo zahájeno druhé období vývoje algebry, kdy některé vztahy mezi matematickými veličinami byly popisovány slovy a větami, jiné byly již zapisovány zvláštními symboly. Toto období nazýváme obdobím synkopickým. Trvalo až do konce 15. století n. l., tj. až do doby, kdy vývoj v matematice dospěl k zavedení znaků pro operace a používání písmen ve významu čísel. Nejvýznamnějším matematikem druhého období byl tádžický matematik Abu Abdalh Muhamed ben musa al Chorezmi(780? – 850) zvaný Al Chovarizmi, který žil v IX. století n.l. Napsal dva spisy, které měly rozhodující vliv na rozvoj matematiky v arabském světě a v Evropě. Spis Aritmetika obsahuje předpisy pro provádění početních výkonů, druhý spis Aldžebr v´almukabala obsahuje nauku o rovnicích. Ze slova „aldžebr“ se odvodil název celé disciplíny – algebra, část jména Al Chovarizmiho pak dala název algoritmu. V první polovině XIII. století používal někdy také Leonardo Pisánský (1170? – 1250) ( písmen k označení pro čísla (spis Liber abaci). Písmen používá i Jordanus Nemorarius (zemřel asi r. 1237). Největší zásluhu o důsledné zavedení písmen ve významu čísel má francouzský matematik Francois Viéte (1540 – 1603), který ve spise Logistica speciosa tato písmena používá. Navrhoval označovat známé veličiny souhláskami, neznámé veličiny samoláskami. Algebraická symbolika byla dále zdokonalována v XVII. století René Descartem (1596 – 1650), který mimo jiné navrhl označovat známé veličiny písmeny z počátku abecedy a neznámé veličiny z konce abecedy. Třetí období vývoje algebraické symboliky se vyznačuje používáním symbolů a znaků pro matematické operace, exponenty, využíváním písmen ve významu čísel a trvá od XV. století až do dneška. Nazývá se obdobím symbolickým. Vývoj používání písmen lze ilustrovat příkladem: Dnešní zápis rovnice 2x^3 + 5x = 7 měl následující vývoj: Ve druhé polovině 15. století: 2 cubus et 5 rebus aequales 7 V první polovině 16. století: 2 cubus p 5 rebus aequautur 7 Ve druhé polovině 16. Století: 2 C + 5 N aeru 7. Vývoj znaků viz článek Literatura BALADA, F.: Z dějin elementární matematiky .Praha: SPN, 1959 HEJNÝ, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN 1990, ISBN: 80-08-01344-3. ŠEDIVÝ, J. a kol.: Antologie matematických didaktických textů. Praha: SPN 1987. ZNÁM, Š. a kol.: Pohĺad do dejín matematiky. Praha: SNTL 1986. Ad 3. Používání písmen ve významu čísla Písmena mají v matematice několik významů: a) Význam proměnnné – např. v rovnici y = kx + q jsou proměnnými x, y. b) Význam konstanty – v rovnici y = kx + q jsou konstantami k, q. c) Jediné, jednou pro vždy dané číslo, např. π, e, i. d) Označení neznámé v rovnici, proměnné v nerovnici. e) Nemusí mít žádný význam, např. v rovnici Pro žáky základní školy je pochopení významu písmene v algebře velmi náročným a dlouhodobým procesem a nenastává u všech žáků ve stejném časovém období. Proces postupného zobecňování vyžaduje promyšlený didaktický a psychologický přístup a musí být fundovaně řízen. Obtížnost zvládnutí učiva spočívá na nárocích na abstraktní myšlení a zobecňování. Mnoho problémů je způsobeno formálním způsobem výuky a neochotou žáků přemýšlet. Zvládnutí učiva a schopnost žáků pracovat s algebraickými výrazy je projevem učitelova pedagogického mistrovství a profesionality. Metodické postupy mají své zákonitosti a zvládnutí této látky předpokládá znalost témat dříve probíraných (operace s čísly přirozenými, celými, zlomky, respektování priorit při provádění operací, používání závorek, základní věty z dělitelnosti, pravidla o počítání s mocninami aj.) Dále je třeba zvládnout: a) Zápis slovního vyjádření pomocí symbolického jazyka (rozvoj kompetencí komunikativních): Např. - zapište číslo, které je: O 5 větší než x. Dvakrát menší než b. Pětkrát větší než součet čísel a, b. - Zapište pomocí výrazů: Součet čísel x, y vynásobte jejich rozdílem. Polovinu čísla a vynásobte pěti. Trojnásobek součtu čísel a,b vynásobte jejich podílem. Dvojnásobek čísla x zvětšený o 5 Dvojnásobek čísla x zvětšeného o 5 b) Úlohy vedoucí k postupnému zobecňování - Koupím 4 sešity po 12 Kč a 5 tužek po 7 Kč. Kolik Kč zaplatím? - Koupím a sešitů po 12 Kč a b tužek po 7 Kč. Kolik Kč zaplatím? - Koupím a sešitů po x Kč a b tužek po y Kč. Kolik Kč zaplatím? Vyjádření ve slovní úloze: Pes a osel šli s nákladem pytlů, pes naříkal, že nese mnoho (označíme počet pytlů psa x, počet pytlů osla y). Osel mu říká: Jestli vezmu jeden tvůj pytel x – 1 Budu mít y + 1 Dvakrát tolik co ty y + 1 = 2(x – 1) Jestli ti dám jeden pytel y – 1 Budeš mít x + 1 Tolik co já y – 1 = x + 1 (řešení: pes nesl 5 pytlů, osel 7 pytlů). c) Doplňování tabulek – dosazování do výrazu za proměnnou x 3 7 -5 0,8 25 -30 100 2x – 1 6 – 3x 12 + 4x d) Řešení algebrogramů MNOHO J Í D E L MNOHO N E M O C Í e) Geometrická interpretace algebraických výrazů A4. Tři stupně práce s algebraickými výrazy (1) modelování – jde o pochopení smyslu a významu symbolických zápisů: - vyjádření slovního textu matematickým zápisem - používání běžných vztahů, např. (a + b) . c = a.c + b.c, S = - geometrická interpretace algebraických výrazů. (2) standardní manipulace se symboly – jde o úpravy algebraických výrazů podle známých vztahů, získání aparátu k automatickému uplatňování při dalších výpočtech. Jistota při používání vztahů a dobrá znalost standardních úprav je nezbytným předpokladem k dalšímu matematickému vzdělávání. (Metodické řady – např. druhá mocnina dvojčlenu) (3) strategická manipulace se symboly – k práci s algebraickými výrazy je nutná určitá strategie, myšlenka, nestačí rutinní úpravy. Souvisí s objevem postupů i krásných vztahů. Ad 5. Předpokládané chyby a) Chyby numerické – vyplývající z nesprávných operací s koeficienty b) Chyby podstatné c) Chyby způsobené zápisem d) Chyby vyplývající z psychiky žáka Ad 6 Sofismata Ad 7 Aplikace Úkol pro studenty – najděte vhodné aplikace pro algebraické výrazy, které byste mohli využít pro motivaci k danému tématu.