Jednoduché úročení a diskontovaní
Úrok je možné charakterizovat jako odmenu za dočasné poskytnutí peněz někomu, kdo je momentálně potrebuje. Výše úroku závisí na úrokové sazbě, jejíž výše je ovlivněna mnoha faktory1. Z pohledu dlužníka představuje úrok cenu za získám úvěru.
Úroková sazba2 je úrok vyjádřený v procentech ze zapůjčeného kapitálu. Úrokovou sazbu uvádíme, není-li uvedeno jinak, za rok. Pokud chceme tuto skutečnost zdůraznit, přidáváme zkratku „p.a." (z latinského per annum). V praxi se však mohou vyskytnout i kratší období pro úročení než roční, můžeme se setkat například s pololetní úrokovou sazbou „p.s." (per semestre), se čtvrtletní „p.q. (per quarlale), s měsíční „p.m." (per menšeni) a s denní „p.d." (per diem). Přitom platí, že roční úroková sazba = 2 x pololetní úroková sazba, 4 x čtvrtletní úroková sazba, atd.
Úrokovým obdobím rozumíme časový úsek, za který jsou připisovány úroky. Pro stanovení úrokového období se používají následující standardy:
> ACT/365 (tj. skutečný počet dnů v měsíci a skutečný počet dnů v roce) - označuje se jako anglická metoda,
> ACT/360 (tj. skutečný počet dnů v měsíci a 360 dnů v roce) - francouzská či mezinárodní metoda,
> 30E/360 (tj. 30 dnů v měsíci a 360 dnů v roce) - německá či obchodní metoda. Nebude-li uvedeno jinak, bude v příkladech použita právě tato metoda.
Jednotlivé typy úročení můžeme rozdělit podle dvou základních hledisek:
> podle úročení úroků a
> podle doby, kdy dochází k placení úroků.
Jestliže se vyplácené úroky k původnímu kapitálu nepřičítají a dále se neúročí, hovoříme o jednoduchém úročení. Jinými slovy řečeno, úroky se počítají stále ze stejného (původního) kapitálu. Jednoduché úročení se využívá především při krátkodobých záležitostech, tj. kdy doba úročení nepřesahuje jedno úrokové období. Pokud se úroky připisují k vloženému
1 Jedná se například o míru inflace, míru zisku, stupeň rizika nebo dobu, na kterou je kapitál poskytnut.
2 Úroková sazba se někdy ztotožňuje s pojmem úroková míra. Úrokovou míru je však možné chápat jako určitý průměr existujících úrokových sazeb v rámci finančního trhu.
1
o
kapitálu a spolu sním se dále úročí {počítají se „úroky z úroků'1) hovoříme o složeném úročení.
Úročení, při kterém jsou úroky z vložené, resp. půjčené částky vypláceny na konci úrokového období označujeme jako polliůtní. Dochází-li k placem úroků na začátku úrokového období označujeme toto úročení jako předlhůiní. Při výpočtech se standardně používá, pokud není uvedeno jinak, úročení polhůtní.
ZÁKLADNÍ ROVNICE PRO JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ
Hlavní znak jednoduchého úročení spočívá v tom, že úroky se v průběhu úročeni nepřičítají k počátečnímu kapitálu a dále se neúročí. Výše úroku (u) je dána vzorcem:
h = Kg in, (1-1)
kde   Ko   je počáteční {současná) hodnota kapitálu, /'     je úroková sazba ve tvaru indexu4, n     je úrokové období, resp. doba splatnosti kapitálu.
Hodnotu zúročeného {splatného) kapitálu {Kn) lze vyjádřit vzorcem:
K,=K,+u. (1-2) Dosadíme-li do tohoto výrazu vzorec (1-1), dostáváme:
K„ =KQ+K0 i n = KQ(l + in). (1-3) Ze vzorce (1-3) vyplývá, že hodnota zúročeného kapitálu roste během doby splatnosti
lineárně. ^f>e obrázku.
splatného kapitálu při jednoduchém úročení je znázorněna na následujícím
Obrázek č. 1: Výše splatného kapitálu při jednoduchém úročení
J Používá se například při diskontu.
4 Tj. ve tvaru desetinného čísla; i = p /l 00, kde /? je roční úroková sazba v procentech.
2
Je třeba si uvědomit, že úrokové období a úroková sazba musejí být vždy vztaženy ke stejnému časovému období, tj. pokud je úroková sazba roční (p.a.), úrokové období musí být vyjádřeno v letech. Pokud by bylo v daném případě úrokové období zadáno např. ve dnech, musíme ho přepočítat na roky3.
Příklad č. J Výpočet vkladu za dané období
Jaká bude výše vkladu 25.000 Kč za osm měsíců při úrokové sazbě 3 % p.a.? Kn=K0-(l + i-n) = 25000Y1 +0,03 ~; = 25500 Výše vkladu bude po osmi měsících činit 25.500 Kč.
Ze základní rovnice pro jednoduché úročení (1-3) můžeme vypočítat kteroukoli zvýše uvedených veličin. Počáteční kapitál lze vyjádřit jako:
X^-fi—^-. 0-4)
1 +1 ■ n in Doba splatnosti a úroková sazba jsou dány vzorci:
Kn ~ K0	u
	K0i
	u
	K0 n
, (1-5), (1-6).
Příklad č. 2 Výpočet počáteční výše kapitálu
Jaký počáteční vklad uložíte na účet v bance v případě, že bude úročen úrokovou sazbou 4,5 % p.a. a za tři měsíce budete potřebovat kapitál ve výši 10.000 Kč?
K0=^-=    10-°0q -9.889k?
1 + hn   1 + 0,045--12
Je třeba uložit 9.889 Kč.
Příklad č. 3 Výpočet počáteční výše kapitálu
Jak velký počáteční vklad vzroste při 7 % úrokové sazbě p.a. od 10. října do 12. prosince o 1.700 Kč?
Můžeme též přepočítat roční úrokovou sazbu na sazbu denní.
KD=^=   1700 -141014 0,07
360
Výše počátečního kapitálu činí 141.014 Kč.
Přiklad č. 4 Výpočet doby splatnosti
Po jakou dobu byl uložen vklad ve výši 4.500 Kč, jestliže vrostl při úrokové sazbě 4 % p.a.
připsáním úroků na konci roku na 4.590 Kč?
n^KR-KL= 90
K0-i 4500-0,04
Vklad byl uložen po dobu půl roku.
O
3
4
Složené úročení
Při složeném úročení jsou úroky připisovány k počátečnímu kapitálu a spolu s ním se dále úročí. Složené úročení je možné, stejně jako jednoduché, rozdělit, podle toho, kdy se platí úrok, na složené úročení předlhůtní a polhůtní. Vzhledem k tomu, že nejsou známy aplikace složeného predlhůtního úročení, nebudeme se jím zabývat.
ZÁKLADNÍ ROVNICE PRO SLOŽENÉ ÚROČENÍ
Základní rovnici pro složené úročení můžeme napsat ve tvaru:
KM=K9.{l + i)\ (2-1)
kde   K„ je hodnota zúročeného kapitálu, resp. budoucí hodnota kapitálu,
Ko je počáteční hodnota kapitálu, resp. současná hodnota kapitálu,
i j e úroková sazba ve tvaru indexu,
n je doba splatnosti kapitálu.
Ze vzorce (2-1) Vyplývá, že hodnota zúročeného kapitálu roste během doby splatnosti exponenciálně. Výše splatného kapitálu při složeném úročení je znázorněna na následujícím obrázku. Pokud porovnáme jednoduché a složené úročení, lze říci, že jednoduché úročeni je výhodnější do doby splatnosti která nepřesahuje jedno úrokové období (n < 1). Pro n = 1 je hodnota zúročeného kapitálu stejná jak při jednoduchém, tak při složeném úročení. Pro n > 1 je výhodnější úročení složené.
Příklad č. 1 Budoucí hodnota kapitálu
Jaká bude budoucí hodnota kapitálu ve výši 100.000 Kč při složeném úročení za 5 let pokud úrokové období je roční a úroková sazba činí 4 % p.a.? K„ = K0 ■ (1 + ŕ)" = 100000 • (1 + 0,04)s = 121.665Kč Za pět let budeme mít k dispozici 121.665 Kč.
Výraz (2-1) lze použít v případě, že úrokové období a úroková sazba odpovídají stejnému časovému období'. V praxi se však často setkáváme s případem, že úrokové období je kratší než období pro které je stanovena úroková sazba. Například sazba je uvedena jako roční
1 Například roční úrokové období a sazba p.a. nebo čtvrtletní úrokové období a sazba p.q.
1
(p.a.), ale výplata nebo připisování úroků probíhá častěji než jedenkrát za rok. To znamená, že úrokové období není roční, ale například pololetní, čtvrtletní nebo měsíční. V daném případě je třeba rozšířit vzorec (2-1) o proměnnou m, kterou můžeme obecně definovat jako počet úrokových období za období, pro které je stanovena úroková sazba :
K„=K0-(l+ -)"'". (2-2) m
Příklad č. 2 Budoucí hodnota kapitálu při složeném úročení
Uložili jsme částku 150.000 Kč. Jaká bude konečná výše vkladu za tři roky při složeném úročení polhůtním, jestliže úroková sazba činí 5 % p.a. a úrokové období je:
a) roční,
b) čtvrtletní?
q      K„ =K0 .(l + i)" = 150000-(l + 0,05)3 =173643,75
K„ =K0-(\ + -ym = 150000 ■ (1 + ^)M = 174.113 m 4
173954 -pololetní
V případě ročního úročení bude výše vkladu po třech letech činit 173.643,75 Kč, v případě čtvrtletního úročení 174.113 Kč. Z příkladu 2.1 vidíme, že čím častěji se úroky připisují, tím větší kapitál vlastníme. Častější připisování úroků je tedy pro vkladatele výhodnější.
Ze základního vzorce pro složené úročení (2-1) můžeme opět vypočítat ostatní veličiny, tj. počáteční hodnotu kapitálu (Ka), dobu splatnosti («) a úrokovou sazbu (i):
K.,
K0=-2—, (2-3)
0   (l + i)"
In(^) n= , „ °. (2-4)
ln(l + i)
2 Pokud bychom například uvažovali o roční úrokové sazbě (p.a.) a čtvrtletním splácení, bude m = 4. Pokud však budeme splácet měsíčně, za m dosadíme hodnotu = 12. J Za jinak stejných podmínek.
2
o
Příklad č. 3 Současná hodnota vkladu
Kolik musíme uložit na termínovaný vklad, abychom na konci pátého roku měli naspořeno
20.000 Kč při složeném úročení 4 % p.a. a ročním připisování úroků?
^ = _20000_ 54 +       (l + 0,04)3
Musíme uložit 16.438,54 Kč. Přiklad č. 4 Výpočet doby splatnosti
Určete dobu uložení kapitálu 100.000 Kč, pokud víte, že úroková sazba činila 4,5 % p.a. při ročním složeném úročení a v době splatnosti bylo vyplaceno 114.116 Kč.
n=     K0 100000 ^3
ln(\ + i)    ln(\ + 0,045;
Doba uložení kapitálu byla tři roky. Přiklad č. 5 Výpočet úrokové sazby
Jaká byla úroková sazba, jestliže částka 20.000 Kč vzrostla za čtyři roky na 27.400 Kč? Ročně připisované úroky byly ponechány na účtu a dále úročeny.
V Kn        V 20000
3
Spoření
Spořením rozumíme proces, během kterého ukládáme na účet v pravidelných intervalech konstantní peněžní částku s cílem dosažení určité koncové částky1. Jednotlivé typy spoření lze rozdělit:
1) podle délky spoření na:
• krátkodobé (doba spoření nepřesahuje jedno úrokové období),
• dlouhodobé (doba spoření je delší než jedno úrokové období),
2) podle okamžiku uložení spořené částky na:
• předthůtní (spořená částka je ukládána na začátku úrokového období),
• polhůtní (spořená částka je ukládána na konci úrokového období).
Krátkodobé spoření
Výchozí podmínky pro krátkodobé spoření jsou následující:
> spoříme jedno úrokové období a méně,
> spoříme m-ki-át za úrokové období částku x. Podle toho, zda ukládáme tuto částku na začátku m-íiny období nebo na jejím konci, rozlišujeme spoření předlit ůtní a.polhůtní,
> naším cílem je naspořit částku Sx.
> jednotlivé úložky jsou úročeny na základě jednoduchého úročení a úroky jsou připisovány na konci úrokového období.
Krátkodobé spoření předlhůtní
U krátkodobého spoření předlhůtního ukládáme částku vždy na počátku určitého období (měsíce, čtvrtletní apod). Naspořenou částku Sx vypočítáme dle vzorce:
S =m.x.(l + ^Žl.l)i (3-1) 2 • m
kde   m    je počet úložek za úrokové období, x    je výše úložky, i     je úroková sazba ve tvaru indexu.
1
Přiklad č. 1 Celková naspořená částka
Kolik uspoříme za jeden rok, ukládáme-li vždy na počátku měsíce částku 2.000 Kč, při úrokové sazbě 3 % p.a.?
Sx = m ■ x ■ (1 +        ■ /) = 12 • 2000 ■ (1 +        - 0,03) = 24390 2-m 2 12
Celková naspořená částka zajeden rok bude činit 24.390 Kč. Přiklad č. 2 Výše pravidelné měsíční úložky
Kolik musíme uložit na počátku každého měsíce, abychom za rok našetřili 100.000 Kč při roční úrokové sazbě 5 %?
c ,i m + l ~\ S* iooooo q11,än 5T = m ■ x - (1 +--;)=>* =-—;-=--= 8113,60
+ ---1)   12+ —--0,05)
2 • a? 24
Měsíční úložka musí za daných podmínek činit 8.113,60 Kč. Krátkodobé spoření polhůtní
U krátkodobého spoření polhůtního spoříme částku vždy na konci určitého období. Oproti spoření předlhůtnímu je počet úrokových období o jedno nižší. Poslední úložka není úročena a neplyne zní tedy žádný úrok. Naspořenou částku u krátkodobého spoření polhůtního vypočítáme dle vzorce:
Sx=mx{\ + ^-^i). (3-2) 2 ■ m
Přiklad č. 3 Celková naspořená částka
Kolik uspoříme za jeden rok, ukládáme-li na konci každého měsíce částku 2.000 Kč při
úrokové sazbě 3 % p.a.?
m-l 12-1
=m •*■(! +--/) = 12 •2000-0 +--0,03) =24330
2 - m 2-12
Budeme-li spořit koncem měsíce, celková uspořená částka bude činit 24.330 Kč. Porovnáme-
li výsledek s příkladem 3.1, je naspořená částka nižší o 60 Kč, které představují roční úrok2
z první (lednové) splátky v případě předlhůtního úročení.
1 Některé typy spoření, například stavební, připouštějí i jednorázové vklady v různé výši.
Dlouhodobé spoření
Výchozí podmínky pro dlouhodobé spoření jsou následující:
> spoříme několik («) úrokových období,
> spoříme jednou za úrokové období částku a. Podle toho, zda ukládáme tuto částku na začátku či na konci úrokového období, rozlišujeme, podobně jako u krátkodobého spoření, spoření předlhůtní a polhůtní,
> naším cílem je naspořit cílovou částku S,
> jednotlivé úložky jsou úročeny na základě složeného úročení (k naspořené částce se tedy připočítávají úroky a dále pak úroky z úroků). Úroky jsou připisovány na konci úrokového období.
Dlouhodobé spoření předlhůtní
U dlouhodobého spoření předlhůtního ukládáme částku vždy na počátku každého období. Naspořenou částku S vypočítáme dle vzorce:
S = a (l + /)(1 + <) -1, (3-3) i
kde   a     je výše úložky,
í     je úroková sazba ve tvaru indexu, n     je počet úrokových období.
Příklad č. 4 Naspořená částka
Kolik uspoříme za tři roky, budeme-li ukládat na počátku každého z nich 15.000 Kč při roční úrokové sazbě 5,5 %? Uvažujme o ročním připisování úroků.
S = a ■ (1 + /). <'+ 0* -' -15000. (1 + 0,055) ■ <'+ °'°55)i ~1 - 50134
/ 0,055
Za daných podmínek uspoříme 50.134 Kč. Dlouhodobé spoření polhůtní
Ukládáme-li částky na konci úrokového období, hovoříme o spoření polhůtním. Základní rovnice pro dlouhodobé spoření polhůtní je:
2 0,03 ■ 2000 = 60