6. ' Studium kmitů matematického kyvadla
Matematickým kyvadlem rozumíme teleso zanedbatelných rozměrů zavesené na nehmotném vlákně (dostatečně dlouhém oproti rozměru zavěšeného tělesa). V nejjednodušším případě pro dobu kmitu platí:
í = 2r
kde g značí hodnotu místního tíhového zrychlení a i délku vlákna. .ÚKOLY:
1. Stanovit hodnotu místního tíhového zrychlení porno a matematického kyvadla.
2. Určit závislost doby kmitu matematického kyvadla na délce závěsu.
3. Změřit koeficient útlumu.
4. Odvodit vztah pro dobu kmitu matematického kyvadla. .
POSTUP: "
« Co nejpřesněji určíme délku matematického kyvadla, v .našem případě to bude součet délky závěsu a poloměru zavěšené kuličky. Potom změříme dohu kmitu kyvadla . omezovači nebo postupnou.metodou. ^Postupně zkracujeme^déllcu závěsu, vždy asi . o lOcm- Ke každé nastavené délce měříme příslušnou dohu lcmitu.\íoůntím vztahu '. pro dobu kmitu matematického kyvadla ke stanovit přibližnou hodnotu místního gravitačního zrychlenu      ií^4fi,Í .V-s.% ft'výÄ?        '?.''"!"-"' ' \
• Vypočítáme logaritmy dvojic hodnot [li.T;] a sestrojíme graf. V případě, že tyto body určují přímku, odečteme velikost její směrnice a srovnáme s teorií.
• Sestavíme matematické kyvadlo tak, abychom na délkovém měřidle umístěném za kyvadlem mohli odečítat amplitudu kmitu (tj. tak ,aby vlákno ve svislé poloze procházelo zvolenýmpočátkem stupnice). Vychýlíme kyvadlo a zaznačíme si počáteční amplitudu i40. Uvolníme kyvadlo a počítáme jeho kmity. Po vykonání každého j- tého (i = 10,20,— ,100) kmitu zaznačíme velikost amplitudy Aj. To provedeme pro několik délek závěsu. Naměřené hodnoty zobrazíme v souřadnicovém sysytému x, y, nejlépe takto x = j • T a y == ln^. Z teorie plyne, ze grafem by měla být přímka^ turome fyzikální význam této. smernice a její rozmer- ■
Srovnámc-li rovnici (XV-51) s rovnicí harmonického pohybu (XV-4), je zřejmý význam faktoru A c-8'; jc to amplituda kmitového pohybu; která klesá s rostoucím časem. Součinitel tlumeni ó má stejný rozměr jako úhlová frekvence, s-1. Tlumení pohybu je tím rychlejší, čím větší je <5, tj. čím větší je koeficient odporu nebo čím menší je hmotnost m kmitajícího tělesa.
Na obr. XV-22 je vyznačena graficky závislost výchylky na čase y — f (t) pro tlumené kmity dané analyticky rov. (XV-51) při f = 0. Závislost amplitudy na čase je vyznačena čárkované, průběh výchylky je vyznačen křivkou plncu. Čím větší je koeficient odporu jR (tření), tím je větší i ó v mocniteli a tím rychleji ubývá amplitudy s časem.
XV-22. Graf tlumených kmitů
Kdybychom i v tomto případě chtěli najít rotační pohyb odpovídající tlumenému kmitajícímu pohybu, musel by časový vektor zkracovat svou délku podle vztahu r — A e-*. Jeho koncový bod by potom.opisoval spirálu.
Útlumem X rozumíme poměr amplitud dvou za sebou následujících kmitu (tj. také podíl kterýchkoli dvou „výchylek časově vzdálených o}dobu kmitu .7)).
;pkdtedy't .     . - .'V*.7-;Zf:^J^t' y
■- Ai~-:-Ai
'♦»Tri?*
Aer*' Ac
CXV-52)
Přirozený logaritmus údumú se nazývá logaritmický'dekrement tlumení & značí se oplatí      ■ ■•• v. - -n^p^Z^^-S-^ -Ji-** fkjfôtjhj&tfs ^té'--h>xt.
A = ln A = ín^==ó7Y== _SLá = 2it — .'" (XV-52a)
Otíum A a logaritmický dekrement 4 jsou pouhá čísla. Snadno je určíme odměřením dvou po sobě následujících amplitud z časového rozvinutí daného tlumeného harmonického pohybu. Ze vztahu A = STi snadno vypočteme součinitel tlumení ô ='-~r. . ' i t .
Z rovnice (XV-50) plyne, že harmonické tí uměné kmity se udumí až po nekonečně dlouhé době, neboť c-*'-*0 pro r-vosk