P2

Mnohočleny, lomené algebraické výrazy

Růžena Blažková


Základní pojmy

Nejobecnější pojem:

TERM – je výraz složený z proměnných, konstant, logických funkcí a závorek. Termy označují zkoumané
objekty.

Pravidla pro vytváření termů: 1. Každá proměnná nebo konstanta je term.

2. Je-li   f  n-četná funkce, pak přidáním n termů k f vzniká opět term.

Všechny termy vznikají postupným užitím pravidel 1. a 2.

Např.  x,   5,   ,   , atd.

Ve školské matematice používáme termínu výraz, což je pomocný termín, abychom se stručně vyjádřili.
Pod pojmem výraz rozumíme:

a)      Každé číslo, každou proměnnou – výraz číselný, výraz s proměnnou

b)     Součet, rozdíl, součin, dvou výrazů

c)      Podíl dvou výrazů, za předpokladu, že dělitel je různý od nuly

d)     Mocninu, absolutní hodnotu výrazu.

Opačné výrazy – liší se pouze znaménkem před všemi svými členy.

 Mnohočlen (polynom n-tého stupně o proměnné x) je algebraický výraz

                             a[n]x^n + a[n-1]x^n-1 + … + a[1]x + a[0,]

v němž x je proměnná, a[k] jsou konstanty, n je nezáporné celé číslo, a[n]≠0.

Člen mnohočlenu  je výraz   a[k]x^k,  a[k] je koeficient mnohočlenu, n je stupeň mnohočlenu.

Členy seřazujeme vzestupně nebo sestupně podle mocnin.

Podle počtu členů rozlišujeme:             jednočlen – monom, např. 4a, -5xy,

                                                           dvojčlen – binom, např.  2x + 5y

                                                           trojčlen – trinom, atd.

Mnohočleny s více proměnnými, např. ax^2 + bx + cy + dy^2+ e

Proměnné  … x, y

Koeficienty …. a, b, c, d, e.

Dosazování do výrazu – nahrazení písmen čísly

Sčítání a odčítání mnohočlenů

Sčítat a odčítat můžeme pouze ty členy, ve kterých jsou stejné proměnné ve stejných mocninách.

Př.  7x – (2y - 3z + 4x + 5)  + (3y - 5z +5)  =   3x + y -9z

Násobení

a)     Jednočlenů

4x . 5y = 40xy

5a^2 . 3a . 4b . 2b^3 = 120a^3b^4

b)     Mnohočlenu jednočlenem

   a(b + c) = ab + ac ,    a(b – c) = ab – ac

2x(6x + 5y – 4z) = 12x^2 + 10xy – 8xz

c)      Mnohočlenu mnohočlenem

(a + b) . (c + d) = ac + bc + ad + bd

(3a – 4b) . (5a + 2b) = 10a^2 – 20ab + 6ab -8b^2 = 10a^2 – 14ab – 8b^2

d)     Druhá mocnina dvojčlenu

(a + b) . (a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a – b)^2

Rozdíl čtverců

(a + b) . (a – b) = a^2 – b^2

(a + b)^3

(a – b)^3

(geometrická interpretace, algebraická krychle)

Dělení mnohočlenu jednočlenem

(a + b) : c = a:c + b:c

(60a^2 + 48a) : 12a = 5a + 4

Vytýkání před závorku

27xy – 45xyz + 63yz =  9y (3x – 5xz + 7z)

27xy            3 . 3 . 3 . x . y

45xyz          3 . 3 . 5 . x . y . z

63yz            3 . 3 . 7 .      y . z

(společné členy  3 . 3 . y   lze vybarvit ve sloupci)

Rozklady mnohočlenů

a)      Vytýkáním před závorku

b)     Pomocí vzorců

a^2 – b^2 = (a + b) . (a – b)

a^2 + b^2  nelze rozložit

a^3 – b^3 = (a – b) . (a^2 + ab + b^2)

a^3 + b^3 = (a + b) . (a^2 - ab + b^2)


Lomené algebraické výrazy

Nutno opakovat: počítání se zlomky, mocninami, mnohočleny

Lomený algebraický výraz má tvar zlomku, v jeho čitateli nebo jmenovateli (nebo v obou) je výraz
s proměnnou. Aby měl lomený výraz smysl, musí být jeho jmenovatel různý od nuly. Proto před úpravou
stanovíme podmínky, za kterých je možné výraz upravovat, tj.  za kterých má zlomek smysl.

Krácení a rozšiřování lomených výrazů

Lomený výraz zkrátíme, jestliže čitatele i jmenovatele vydělíme stejným výrazem různým od nuly.

            a≠b,  a≠-b

Lomený výraz rozšíříme, jestliže čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným výrazem různým od nuly.

   x≠y

Sčítání a odčítání lomených výrazů

Pojmy: nejmenší společný násobek, společný jmenovatel

Lomené výrazy převedeme vhodným rozšířením na lomené výrazy se stejnými jmenovateli.

   x≠1, x≠-1,

Násobení lomených výrazů

Lomené výrazy násobíme tak, že násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je lze
výrazy krátit, pak je před vynásobením krátíme.

=ab           c≠0, d≠0


Dělení lomených výrazů

Převrácený výraz k danému lomenému výrazu různému od nuly získáme tak, že zaměníme čitatele a
jmenovatele.

Lomený výraz dělíme lomeným výrazem různým od nuly tak, že jej násobíme výrazem převráceným.

=

Pozor: násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním


Složený lomený výraz

V čitateli i ve jmenovateli je lomený výraz různý od nuly