Fyzikální pole a Maxwellovy rovnice
Tomáš Miléř 27. února 2006
Obsah
1 Základní vztahy a operátory
2 Pole a jeho vlastnosti
3 Maxwellovy rovnice
3.1 Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru
3.2 Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru . .
1   Základní vztahy a operátory
Hamiltonův vektorový operátor nabla
V - (— — —
\dx ' dy ' d z
Použití operátoru nabla
= grad p   = vektor V • a = div a  = skalár V x a = rot a  = vektor
Výpočet gradientu a jeho velikosti
dtp ^   dtp ^   dtp -> grad p  = +
ox      ôy ôz
I grad   I = Divergence vektorového pole
op\      I ôp \      I ôp
dx J      \dy J \dz
dax    daY daz div a = — + —-i + — dx     dy dz
Rotace vektorového pole
rot a
rot a
k
d
dx    dy dz
ax
a
y
daz dy
az
day dz
Cirkulace vektorového pole
a dl
+ J
dax dz
daz dx
k l'day
dax
dx dy
(8)
(9)
(ax dx + ay dy + az dz)
(10)
Tok vektorového pole
Stokesova věta
Gaussova věta
a dS = I j a (ax dSx + ay dSy + az dSz
s s
a dl = J J rot a dŠ
i s
a dŠ = J J J div a dV
s v
(11)
(12)
(13)
2   Pole a jeho vlastnosti
Pole je jakákoliv fyzikální veličina, která nabývá různé hodnoty v různých bodech v prostoru. Příkladem skalárního poleje teplota, a zapisuje se T(x, y, z), resp. T(x, y, z, ť). Příkladem vektorového poleje „rychlostní pole" tekoucí kapaliny, značí se v(x, y, z, ť).
Pole lze popsat několika diferenciálními rovnicemi. Pro názornost lze pole zobrazit pomocí siločar, jde však o hrubé zjednodušení.
Potenciál lze zobrazit ekvipotenciálními plochami (hladinami). Elektrické pole je gradientem potenciálu. Gradient udává směr nej rychlejší změny potenciálu, a proto je kolmý na ekvipotenciální plochu (v každém bodě). V případě osamoceného náboje jsou ekvipotenciálními plochami kulové plochy se středem v náboji.
Jsou-li v jakékoliv situaci dány proudy a náboje, můžeme najít potenciály a derivovat je, čímž dostaneme vektorové pole.
Základní rozdělení polí
• Skalární a vektorové
• Homogenní a nehomogenní
2
• Vírové a nevírové
• Zřídlové a nezřídlové
U elektromagnetického pole lze použít dělení na:
• Pole statické - náboje jsou v klidu a proudy nulové
• Pole stacionárni - náboje se pohybují konstantní rychlostí, tj. Pole stejnosměrných proudů
• Pole kvazistacionární - časově proměnné pole ve vodičích (lze zanedbat posuvné proudy, ale je třeba respektovat proudy vodivé)
• Pole kvazistatické - časově proměnné pole nízkých kmitočtů ve slabě vodivém prostředí (lze zabedbat vírové elektrické pole od proudů)
3   Maxwellovy rovnice
3.1   Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru
rotE
dB ~dt
(14)
YOtH
dD
(15)
(16)
(17)
divD á\\B
P
0
3.2   Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru
(18)
s
(19)
s
(20)
s
v
BdS
0
(21)
s
3