MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNE PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA FYZIKÁLNÍ SEKCE ÚVOD DO FYZIKÁLNÍCH MĚ&ENÍ Petr Pánek BRNO 2001 PŘEDMLUVA Skriptum „Úvod clo fyzikálních měření" je určeno především studentům 1. ročníku oboru odborná fyzika, biofyzika, učitelských kombinací s fyzikou, fyzikálního inženýrství a Optometrie, kteří navštěvují základní fyzikální praktika na přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně. Skriptum podává výklad vlastností experimentálních dat a způsobu statistického přístupu k výsledkům experimentu. Důraz je kladen na pochopení souvislostí mezi naměřenými hodnotami, odhadem hodnot měřených veličin a jejich skutečnou hodnotou. Výklad zahrnuje také základní numerické metody pro zpracování fyzikálních závislostí. Text je doplněn řadou řešených příkladů, které usnadňují využití získaných poznatků v praxi. Děkuji celé řadě kolegů a zvláště RNDr. Luďku Bočánkovi, CSc. a také RNDr. Zdeňku Bochníčkoví, Ph.D. za množství cenných rad a připomínek k obsahu skript. Dále děkuji mé ženě Monice za pomoc při přípravě rukopisu. Petr Pánek 3 Obsah 1 Vlastnosti experimentálních dat 7 1.1 Význam experimentu ve fyzice.................. 7 1.2 Fyzikální veličiny a jednotky................... 9 1.3 Základní metody fyzikálních měření............... 11 1.4 Zdroje a druhy chyb ....................... 13 1.4.1 Systematické chyby měření................ 15 1.4.2 Náhodné chyby přímých měření............. 17 1.4.2.1 Hustota pravděpodobnosti............ 18 1.4.2.2 Normální rozdělení a jeho vlastnosti ....... 24 1.4.2.3 Rozdelení x/2, Studentovo a rovnomerné rozdělení 34 1.4.2.4 Odhad parametru normálního rozdělení..... 37 1.4.3 Hrubé chyby měření................... 45 1.4.4 Chyby měřidel, celková chyba měření.......... 46 1.4.5 Chyby nepřímých měření, zákon přenosu chyb..... 48 1.5 Zápis výsledku měření a jeho chyby................ 52 2 Početní metody zpracování měření fyzikálních závislostí 63 2.1 Interpolace, extrapolace a aproximace.............. 64 2.1.1 Lineární interpolace..................... 64 2.2 Metoda nejmenších čtverců.................... 66 2.2.1 Rozsah platnosti metody nejmenších čtverců...... 69 2.3 Postupná metoda......................... 72 3 Zásady tvorby grafů 77 Dodatek A - Vážení 79 Dodatek B - Vlastnosti měřicích přístrojů 89 Dodatek C - Studentovy koeficienty 95 5 1 Vlastnosti experimentálních dat 1.1 Význam experimentu ve fyzice Historický vývoj fyzikálních měření a jejich postavení v metodách poznání se prolíná s celou historií fyzik)'. Počátky fyzikálních měření v širším smyslu můžeme najít již ve starověku, tedy v době, kdy fyzika ještě nebyla pojímána jako samostatná nauka. Fyzikálního charakteru byla například měření poměrné vzdálenosti Měsíce a Slunce od Země provedené řeckým astronomem Aristarchem ze Samu (asi 320-250 př. n. 1.) a měření poloměru Země provedené řeckým matematikem a astronomem Eratosthenem z Kyrény (asi 275-194 př. n. 1.). Výsledky těchto měření ukazují, že experimentální zručnost a úroveň fyzikálního myšlení byly v tehdejší době na vysoké úrovni. Významnou úlohu v dalším vývoji sehrálo učení antického filozofa Aristotela ze Stageiry (asi 384-322 př. n. 1.). Aristotelovo fyzikální myšlení bylo zaměřeno pouze na pozorování a nevěnuje téměř žádnou pozornost, fyzikálnímu experimentu. Jeho závěry nevycházely z analýzy pozorování, ale z obecných filozofických principů. Tyto deduktivní metody (tj. postupy vedoucí od obecných pravidel ke konkrétním závěrům) vedly často ke špatným závěrům. Aristotelova díla byla ve středověku neotřesitelnou autoritou. Až ve 12. a 13, století nastává odklon od jeho filozofie. Prvním průkopníkem experimentálních metod byl anglický filozof a přírodovědec Roger Bacon (1214-1296). Jako první začal zdůrazňovat experiment jako nástroj pro ověřování poznatků. Sám se však technickou stránkou fyzikálních experimentů nezabýval. Další významný pokrok učinil německý filozof a přírodovědec Mikuláš Kuzánský (1401-1464). Podle něj je možné všechny jevy v přírodě vzájemně porovnávat a důsledkem této porovnatelnosti je jejich měřitelnost. Zdůraznil také význam matematiky pro vyhodnocení měření. Z metod měření se podrobněji zabýval vážením. Od 15. století došlo k rozkvětu obchodu, stavebnictví a mořeplavectví, tedy technicky náročnějších oborů, které si vyžádaly uplatnění měření přímo v praxi. Nej významnějším představitelem této nové epochy fyzikálního myšlení byl italský fyzik, matematik a astronom Galileo Galilei (1564-1642). Měření bylo pro Galileiho základní metodou poznání. K závěrům dochází pomocí indukce (tj. vyhodnocením jednotlivých konkrétních situací vytváří obecný závěr). Závěry svých experimentů již formuloval matematicky jako fyzikální zákony. Problematice samotného měření však nevěnoval příliš velkou pozornost. Byla to pro něj pomůcka, která byla věcí experimentální zručnosti. Význam měření si však uvědomoval natolik, že požadoval „měřit vše co je měřitelné, a co není měřitelné, měřitelným, učiniť. Další významný krok pro rozvoj fyzikálních měření učinil anglický matematik, fyzik, astronom a filozof Isaae Newton (1643-1727). Newton zavedl základní fyzikální pojmy jako míry, kterým přiřazoval číselné hodnoty, tj. fyzikální veličiny v dnešním pojetí. To umožnilo lepší interpretaci fyzikálních experimentů a navíc umožnilo provést i jejich přípravu na základě výpočtů. 7 Vlastnostmi měřených veličin se zabývali francouzský matematik, fyzik a astronom Pierre Simon de Lapiace (1749-1827) a německý matematik a astronom Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Měřené veličiny považovali za náhodné proměnné, pro jejichž vyhodnocení využili teorii pravděpodobnosti a vypracovali teorii chyb. Gauss navíc v roce 1832 vypracoval systém nezávislých základních veličin a jednotek, z nichž byly odvozeny další jednotky. Tím vnesl pořádek do tehdejšího systému s velkým množstvím jednotek. Fyzika v dnešním pojetí je chápána jako jedna z přírodních věd. Jejím základním zdrojem poznání jsou pozorování a experiment neboli pokus. Experiment je nástroj pro ověřování teorií a současně je zdrojem pro jejich další rozvoj. Schéma systému poznání ve fyzice je na obr. 1. . pokus 'A teorie ---- hypotéza i i\ «----- I v srovnám ----=> vyhodnocení Obr. 1: Schéma poznávacího procesu ve fyzice Podle předmětu zkoumání vybíráme příslušnou teorii pro plánování experimentu. Na základě teorie se připraví popis konkrétní experimentální situace (model) a stanoví se očekávaný výsledek, tzv. hypotéza. Z ní vyplývá, jaké veličiny musíme změřit. V rámci hypotézy se provádí i rozbor chyb, který určí, s jakou přesností mu6Íme dané veličiny změřit, případně jaký typ měřicích přístrojů musíme použít. Po této přípravě můžeme provést experiment. Výsledky pokusu zpracujeme postupem navrženým v hypotéze. Poslední fází je srovnání výsledků vyhodnocení s očekávaným výsledkem (teoretickou hodnotou nebo výsledkem jiného experimentu). Pokud se výsledná a očekávaná hodnota shodují v rámci chyby, lze říci, že celý řetězec včetně předpokladů je správný. V případě, že nedojde k souladu mezi získaným výsledkem a očekáváním, ve výše uvedeném postupu byl některý krok proveden chybně, nebo některý z použitých předpokladů je špatný. Při hledání chybného kroku postupujeme v řetězci zpět, tj. nejprve prověříme, zda jsme provedli správně vyhodnocení experimentu a jeho provedení, dále posoudíme správnost navržené hypotézy a na závěr, když nenajdeme žádnou chybu, můžeme začít prověřovat správnost použité teorie. Při plánování a vyhodnocování fyzikálních experimentů musíme pamatovat na dva základní požadavky kladené na fyzikální experiment: výběrovost — fyzikální experiment provádíme za určitých podmínek, které buď sami ovlivňujeme a volíme nebo tyto podmínky alespoň registrujeme (např. teplota, tlak a vlhkost vzduchu v laboratoři). Parametry, které musíme sledovat, určíme na základě modelu experimentu, popř. 8 sledujeme i parametry, u kterých je předpoklad, že by nejakým způsobem mohly průběh pokusu ovlivňovat, reprodukovatelnost — opakované provádění experimentu různými osobami musí poskytovat srovnatelné výsledky. Tato vlastnost úzce souvisí s výběrovostí, protože pro zajištění reprodukovatelnosti musíme pokus provádět za stejných podmínek. Jen po splnění těchto dvou požadavků lze experiment považovat za objektivní ověření teorie a jejího vztahu k měřenému či pozorovanému jevu. Z hlediska charakteru pokusu rozlišujeme dva druhy experimentů: kvalitativní (zjišťujeme pouze kvalitativní charakteristiky, např. zda jev nastal nebo ne nebo jinou charakteristiku bez míry) a kvantitativní (zjišťujeme míru daného jevu, tj. provádíme měření, výsledkem je tedy nejčastěji číslo). My se budeme dále zabývat pouze plánováním a vyhodnocováním kvantitativních experimentů (měření). 1.2 Fyzikální veličiny a jednotky Fyzikální veličiny vyjadřují míru sledovaných jevů. Výsledkem měření je číslo, jehož velikost závisí na tom, z jaké soustavy jednotek přitom vycházíme. Fyzikální veličiny proto v sobě zahrnují jak údaj o kvantitě (číslo), tak o kvalitě (informace o použité jednotce). Jeden údaj bez druhého ztrácí smysl. Pro fyzikální měření je důležité dělení veličin podle jejich matematického charakteru na skaláry, vektory a tenzory. Vektory a tenzprj jsou_.yeličjny.skládající se z několik~á,skaIarxiích veličin. Vektorem je například síla, rychlost, posunutí. Tejizorem může být např. moment setrvačnosti tělesa nebo napětí v tuhém tělese (k danému směru v tělese tenzor napětí přiřadí vektor napětí, který nemusí mít nutně směr totožný se zvoleným směrem). Výsledkem měřeni bývá nejčastěji číslo, tj. výsledkem bývá skalární veličina. Při měření vektorových a tenzorových veličin proto musíme provádět několik měření, ve kterých zjišťujeme jejich jednotlivé skalární složky. Tyto složky jsou stejného druhu -mají stejnou jednotku. Mezinárodní soustava jednotek SI používaná ve fyzice má sedm základních a dvě doplňkové veličiny (viz tabulka 1). Rozměry všech ostatních veličin lze vyjádřit pomocí těchto základních jednotek. Často se využívá také jednotek, které jsou odvozeny ze základních jednotek (např. watt, pascal). Zásady týkající se fyzikálních veličin, rovnic, značek veličin a jednotek a soustavy jednotek SI jsou dány normami [1). Doplňkové veličiny lze podle definice chápat také jako bezrozměrné, a proto se často radián a steradián v jednotkách nepíší (pokud je ze souvislostí zřejmé, že se jedná o úhlovou míru), tj. rad s"1 s s"1. Častým omylem bývá špatné vyjádření jednotky času. Jednotku sekunda nelze zaměňovat s jednotkou vteřina, která je vedlejší jednotkou rovinného úhlu. V případech, kdy se hodnoty některé veličiny řádově odlišují od hodnoty odpovídající základní jednotce, lze s výhodou využít násobné a dílčí jednotky. Tyto jednotky se tvoří pomocí předpon z jednotek hlavních. Předpony 9 veličina jednotka název zkratka délka metr m hmotnost kilogram kg čas sekunda s elektrický proud ampér A teplota kelvin K látkové množství mol mol svítivost kandela cd rovinný úhel radián rad prostorový úhel steradián sr Tabulka 1: Základní a doplňkové jednotky soustavy SI Předpona Násobek Předpona Násobek název značka nazev značka yotta Y 10" decí d 10"1 zetta Z 1021 centi c io-2 exa E 1018 mili m 10"3 peta P 101S mikro n 10-6 tera T 1012 n ano n io-9 giga G 10° piko P io-12 mega M 106 fernto f ío-15 kilo k 103 atto a io-JS hekto h 102 zepto z 10~21 deka da 101 yokto y 10-24 Tabulka 2: Předpony pro tvorbu násobných a dílčích jednotek sc zpravidla připojují k první z jednotek v celé jednotce, výjimečně lze předponu připojit i k dalším jednotkám, pokud je tomu tak zvykem. V jednotce nelze použít více předpon současně. Předpony spolu s jejich významem jsou uvedeny v tabulce 2. [Příklad 1.1 Příklady využití předpon: 100 V m-1 = 0,1 kV m"1 100 V m-1 = 1 V cm-1 (používaná jednotka) 1000 N m = 1 kN m 1000 N rn = 1 N km (nelze - neužívá se) 1000 kg m"3 = J g cm*"3 (používaná jednotka) 1000 kg m~3 — 1 kg din-3 (nelze - neužívá se) 10 Norma připouští použití i tzv. vedlejších jednotek. Jsou to jednotky, které jsou vžité (napr. litr, hektar), ale ve fyzice se běžně nepoužívají. Staré jednotky (např. kalorie, torr) nejsou povoleny. Při zápisu veličiny musíme uvážlivě volit předponu a formu zápisu hodnoty, aby vysleduj' zápis byl přehledný (např. aby neobsahoval příliš mnoho nul). Hodnoty veličin lze zapisovat i v-exponenciálním tvaru, tento zápis není vhodné kombinovat s použitím předpon. | Příklad 1.2 Uvedeme si několik způsobů zápisu rychlosti: v — 2,8 (chyba - není uvedena jednotka, rychlost není bezrozměrná veličina) o = 2,8ms~1 v s= 0,0000053 m s"1 (nevhodné - příliš mnoho nul činí zápis nepře-hledným) t; = 5,3 • Hr6 m íT1 v — 5,3 um s~l i> = 5,3 • 10""3 mm s"1 (nevhodné) 1.3 Základní metody fyzikálních měření Cílem fyzikálního měření je stanovit velikost měřené veličiny. Metodou měření rozumíme způsob, jakým danou veličinu měříme. Nejjgdnndu^^ J?.-.S«feÍekj^níja^o^a která využívá přímého působení měřeného objektu na lidské smysly. Tato metoda má-však značně omezené možnosti, protože lidské smysly neumožňují provádět absolutní měření 6 příliš velkou přesností. Navíc úroveň vjemu není lineárně závislá na intenzitě vnějšího působení. Poněkud lepších výsledků lze dosáhnout při srovnávání dvou vjemů (např. srovnávání intenzit světla, barev, frekvencí zvuku atd.). Výsledek je ale vždy závislý na osobě experimentátora a jeho momentální kondicí. Z tohoto důvodu se vždy snažíme měření objektivizoval tak, aby byla zajištěna reprodukovatelnost experimentu, Qjbj^^yjií,^^^a.^^en.í.využívá měřh cídx.přístrojů. Měřený objekt tak působí na měřicí přístroj, který měřenou veličinu převádí na informaci pro lidské smysly snadněji kvantífikovatelnou, tj. vyjádřitelnou číslem (např. poloha ručičky na stupnici přístroje, Číslo na displeji), Pro správnou interpretaci výsledků měření musíme dobře pochopit nejen vlastnosti měřeného objektu, ale i měřicího přístroje, a způsob, jakým interaguje s měřeným objektem - tzv. měřicí princip. Například měřicí princip stanovení hustoty hustorněrem je založen na Archimedove zákoně,, měření teploty kapalinovým teploměrem je založeno na teplotní objemovej roztažnosti kapalín. Často opomíjeným faktem je oboustrannost interakce. Měřený objekt působí na měřicí přístroj, ale naopak měřicí přístroj působí na měřený objekt a může sám ovlivnit měřitelným způsobem jeho stav. Ve většině případů je tento vliv zanedbatelný (při měření tělesné teploty nepředpokládáme, že chladnější teploměr ochladí pacienta), ale například při měření 11 maYých vzorku mí&e dojít ke znatným zkreslením, některé dmny merWi naopak tuto interakci přímo předpokládají (např. měření optických vlastností látek) a při měřeních v oblasti časticové fyziky již nelze vliv měřícího přístroje oddělit. Výběr měřicí metody je dán typem měřené veličiny, hypotézou vypracovanou před měřením (tj. vztahem, ze kterého vychází zpracování měření) a také požadovanou přesností měření. Výběr správné měřicí metody je velmi náročnou a důležitou součástí přípravy měření. Vzhledem k rozsahu celé problematiky rozdělme měřicí metody podle následujících hledisek; metody přímé — Pomocí přímé metody měříme veličinu na základě její definice. Například přímé měření hustoty se provádí měřením hmotnosti m a objemu tělesa V (definiční vztah p = m/V). kcU^M -/*tU*i> metody nepřímé — Nepřímé metody vycházejí z jiných než definičních vztahů. Například nepřímé měření hustoty lze provádět měřením hmotnosti m a měření objemu vážením v kapalině známé hustoty. Ve vztahu pro výpočet hustoty pak nebude přímo vystupovat objem tělesa, ale jeho hmotnost, tíha v kapalině a hustota kapaliny. metody absolutní — Výsledkem absolutních měření je hodnota měřené veličiny přímo v zadaných jednotkách. Například povrchové napětí vody cr = 73 • 10"3 N m"1. metody relativní — Relativní metody umožňují srovnat dvě veličiny téhož druhu. Výsledkem je hodnota podílu těchto veličin. Například relativní měření povrchového napětí vody a lihu dá výsledek, že povrchové napětí vody je 3,3 krát větší než povrchové napětí lihu. metody statické — Statické metody využívají klidového stavu měřeného objektu, tj. hodnoty měřených veličin se stanovují jako klidové hodnoty. Například statické měření modulu pružnosti v tahu lze provádět pomocí prňhybu při zatěžování nosníku ze zkoumaného materiálu. metody dynamické — U dynamických metod se stav měřeného objektu mění s časem a měříme Časovou závislost sledovaných veličin. Například dynamické měření modulu pružnosti v tahu lze provést měřením kmitu nosníku ze zkoumaného materiálu. Podle výše uvedeného dělení lze např. měření teploty kapalinovým teploměrem označit jako statickou, absolutní a nepřímou metodu. Bylo by zde možné uvést další způsoby klasifikace měřicích metod, jednou z nich, metodou postupných měření, se budeme zabývat dále. 12 1.4 , Zdroje a druhy chyb PrippaJ&Yaňéjji^^ stejných_podmínck dostaneme zpra- yidia.-rjl2niJiodaQ£y.. Měřené veličině vsak přísluší jediná správna hodnota, kterou se snažíme měřením určit. Vzhledem k tomu, jejriěxejTfa^jostáváme rňzjiéjíoo^^ Mjjy_otéze do^sj^, chyby tím^ že použijeme vztah pro dobu kyvu pro nelconeČně malý rozkyy nebo tím, že považujeme kyvadlo za matematické! př^totJe každé reálnéjky_yadlo jejygidcé, ne-botím. že zajekámeodpor vzduchu a nebo zanedbáme tření v závěsu kyvadla atd. Modely lze často zpřesňovat v mnoha detailech, proto musíme při ujjfespgyání modelu dobře uvážit velikost systematické chyby, které se dopustíme urči tým, zjednodu šením modelu. Nemá smysl snažit se odstraňovat systematické chyby, které jsou mnohem menší než náhodné chyby měření. Vytváření příliš složitých modelů značně komplikuje samotné měření, protože vyžaduje měření velkého počtu veličin. rbyjvy: rn^ř'^**! — jsou způsobeny nedokonalým provedením měřicích přístrojů, jejich špatným seřízenímjnebo nevhodným použitím. Příkladem může být posunutá nebo spatně nakreslená stupnice přístroje, nečistoty usagené na závažích, nebo usazení měřícího přístroje do nevhodné polo-hy- Odhaleni tohoto druhu chyby ie jednoduché, pokud máme k djspo-jzici normál (tzv. etalon) měřené veličiny, (například galvanický článek s přesnějdgjn^yariým napětím),. Pomocí normálu lze provést seřízení gígřicích přístroiů. nebo pokud seřízení není možné, vytvořit korekční tabulku nebo křivku, pomocí které můžeme naměřené hodnoty dodatečně opravit. Lze využít i vzájemného srovnaní údajů dvou měřidel, pokud máme jistotu, že systematická chyba srovnávacího měřidla je zanedbatelná. Systemajicjižé_j±yby měřidel se s časem mění, proto...je nutné provádět 6jeřÍ£OV^ 15 chyby pozorováni -^vyplývají z nedokonalých pozorovacie!} schopností Člověka (n^ttMn^nrpMén*. my^^jf»ých měření Pn^pakovaném měření veličiny s konstaatn^hodjnoloii yjistímp., &> namě-iené hodnoty se navaájem liší. Pro každé jednotlivé měření nelze předem přesně určit, jakou hodnotu měřením získáme - měřením získáváme náhodné hodnoty. Náhodný charakter měření ale neznamená úplnou ztrátu informace o měřené veličině. Nedokážeme PK* popsat jednotlivá měřeni, ale soubor většího počtu měřeni vykazuje určité charakteristiky, ze kterých lze odjiadoval. skutečnou hodnotu měřené veličiny. Popisem vlastností náhodných proměnných se zabývá statistika, a proto se pro zpracování výsledků měření používá statistických metod. Tento popis je různý pro veličiny diskrétní a spojité, Všimněme se nejprve krátce popisu chování diskrétních náhodných veličin. Tyto veličiny nabývají pouze konečně nebo spočetně mnoha hodnot. Pro každou její hodnotu x pak můžeme zadat pravděpodobnost, s jakou se vyskytne ve velkém souboru měření právě tato hodnota P(x). Součet všech pravděpodobností pro všechny možné hodnoty x je roven jedničce (tj. jistý jev - při měření vždy dostaneme některou hodnotu z definičního oboru náhodné proměnné). Přiklad 1.41 Jednoduchým příkladem diskrétní náhodné proměnné je výsledek hodu kostkou. Množina možných výsledků je konečná: {1,2,3,4,5,6}. Součet pravděpodobností pro všechny hodnoty je P(l) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 , tj. při každém hodu kostkou nám padne některé číslo z výše uvedené množiny. Pokud je kostka, symetrická, pravděpodobnosti výskytu každé z možných hodnot jsou stejné P(l) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) . Z toho dostaneme P(l) «.P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) « l . 17 Pokud bychom vykonali veJky počet hodů (měření) n, daná hodnota by se v souboru výsledků vyskytovala přibližně |krát. Spojité náhodné veličiny mohou nabývat nespočetně mnoha hodnot. Tyto hodnoty se od sebe libovolně málo liší, a proto je nutné k jejich popisu využít jiných metod. Mohlo by se zdát, že ve fyzikálních měřeních se s diskrétními veličinami setkáváme jen zřídka. Ve skutečnosti většina měření poskytuje diskrétní hodnoty buď díky použití digitálních přístrojů, nebo díky omezené přesnosti čtení na stupnici. Důležitý je vztah mezi nejmenŠí rozlišitelnou hodnotou měření a tzv. směrodatnou odchylkou měřené proměnné (viz vztah 1.47), Pokud je směrodatná odchylka podstatně větší než je nejmenší rozlišitelná hodnota měření, lze považovat měřenou veličinu za spojitou. 1.4.2.1 Hustota pravděpodobnosti U spojitých náhodných veličin,nemá smysl zjišťovat pravděpodobnost výsky-JäuSB^^ Hodnoty pravděpodobnosti výskytu danéjiodnpty x JBpuinekpnečMjaaJg,;, Kdybychom například při výzkumu vzrůstu skupiny osob zjišťovali, kolik z nich má přesně danou určitou výšku, došli bychom k závěru, že u žádné osoby nemůžeme absolutně přesně zaručit výšku této hodnoty. Má ale smysl zjišťovat, kolik osob má výšku v intervalu 170 - 180 cm, 180 - 190 cm atd. U spojitých veličin tedy zadáváme pravděpodohnp_st výskytu její hodnoty v_daném intervalu Pfzi.a^.^Počet výsledků měření spadajících do daného intervalu nazýváme četností Q. Výhodnější je používat relativní četnosti q kde N je celkový počet měření. Spučetrelativních četnostíze_yšech disjunkt-níchintervalů pokr^ajících .definiční pbor měřené^ jedné.. Příklad měření náhodné proměnné je na obrázku 3. V grafu je zobrazeno 1000 měření výstupního signálu optického měřícího přístroje. Kolísání naměřených hodnot je způsobeno velkým množstvím vlivů (např. změny intenzity světla zdroje, změny citlivosti detektoru, změny složení vzduchu v trase paprsku, otřesy atd.). Vidíme, že většina hodnot leží v intervalu (1,0; 1,5). Tento hrubý odhad však pro přesné zpracování nedostačuje. Můžeme zjistit četnosti výskytu naměřených hodnot v určitých intervalech a tyto četnosti znázorní-me graficky tzv^Jitjst o gramem^ Z histogramu na obr. 4 vidíme, že nejvíce hodnot padlčTďo intervalu (1,2; 1,4), o něco méně do intervalu (1,0; 1,2) atd. Náš odhad skutečné hodnoty, předpokládáme-li, že v její blízkosti se nachází největší množství naměřených hodnot, je omezen šířkou intervalů (tzv. tříd) histogramu, Z obr. 4 například nepoznáme, zda je více hodnot v intervalu (1,2; 1,3) nebo v intervalu (1,3; 1,4). Pokud zkusíme sestrojit histogram (1.4) 18 200 800 400 600 Číslo měření CpBřT3:/Měřepí výstupního signálu optického přístroje 1000 300 O" *j200 w O tí ■*-> V o 100- 0- T—i—I—r- ~i—i—r~"—i—<—i—'—i—r -i—i—i—r J_i_L J_I_i,.,J„, J—i—I—i—I_u J_l_L Obr. 4: 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1,8 2.0 2.2 2.4 mořena hodnota Histogram absolutních četností naměřených hodnot z obr. 3 s velmi úzkými intervaly např. v našem případě 0,05 (viz obr. 5), dostaneme sice podrobnější informaci ô rozdělení naměřených hodnot, ale rychle klesá četnost v jednotlivých intervalech. Histogram, který tak získáme, sice reprezentuje naše měření, ale začne ztrácet vypovídací schopnost o celkovém chování měřené náhodné veličiny. Pak se může 6tát, že jinou sadou stejného 19 100 80 O* g 60 tí 4-» O 40 20 i—r - r~-i—r—i—i—<—i—i—i—i—i—>—i—<—r—>—i—■—i—■—r > . ■ ,'_i_u J_l—L. J_......,1. .1 ...i,, „l„ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 měřená hodnota Obr.jp: Histogram absolutních četností naměřených, hodnot z obr. 3 s větším Joctem tříd než na obrázku 4 počtu měření dostaneme histogram jiného tvaru .__Přj_yolhg počtu_ tříd (intervalů) histogramu ie tedy nutné nalézt kompromis, Pfj rrmlém ftpř.f.u_±rid máme.jnálo přesnou. jnibímaci o rozdělení hodnot a poloze maxim naopak volbu počtu tříd k lze použít vztah ^«"2,"46CJV- l)w (1.5) kde N je počet měření [3). Šířku tříd Ax pak dostaneme rozdělením intervalu mezi maxjnj^nía.minimálm v souboru, měření na danýpočet tříd. Při plánování měření můžeme vycházet naopak z požadavku na velikost tříd histogramu a naplánovat počet měření. Představmg_sl,_že bychom zvětšovali,, RQČet„,namějenicJi..liQjJiiot a tím_ mohli zmenšovatJhqdnotuÁa;.. fforní zubatý.okraj^ hjstog^ vy-JiJU^vid^^byv limitním případějprešej ^ funkci /(xjjimitního přípaHOefinujeme.y&k.ahem,. f(x) = lim + Ar) Ax (1.6) kde^x, x + Ax) je pravděpodobnost, že hodnota měřené veličiny padne do intervahT(x; z + Ax). Funkce /(x)judáyá_tzyu^^^ a^pjně popisuje vlaž^nostr ňjpjodrié pj^měnné. Hodnoty hustoty pravděpo^" dobnosti nejsou na rozdíl od relativní četnosti bezrozměrné veličiny, ale mají rozměr reciproký k rozměru měřené veličiny. Z dejinícnXho_yj^^ ké plyne, jak vypočítat pravděpodobnost toho, že výsledek měření padne do 20 intervalu {a; b): (1.7) .Velikost pravdepodobnosti je tedy rovna velikosti príslušné plochy pod krivkou, funkce f (x), % toho take vyplýva, že integrál přes celý definiční obor náhodné proměnné je roven jednotce^ ) í f (x) dx = l. Jdeí. obor J (1,8) Znamená to, že naměření hodnoty v definičním oboru je jev jistý aj)loeha pod celou křivkou funkce f (x) je rovna jedné. Velikost pravděpodobnosti môžeme názorně vyjádřit v grafu (viz obr. 6). Z výse uvedeného je zřejmé, že přesný ;a,b)»/f(x)dx 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 méfená hodnota x Obr. 6: Graf hustoty pravděpodobnosti a její souvislost s pravděpodobností průběh hustoty pravděpodobnosti nelze experimentálně zjistit, protože by bylo nutné provést nekonečne mnoho měření. Je ale možné získat jeho odhad dále uvedeným postupem. Další důležitou charakteristikou náhodné proměnně je tzv. jdjgtrjbučnf funkce, která je definována yziahem (1.9) jlodnota distribuční funkce Fjx) udává vgdikosiMuaauiŠRQC hodnotanáhodnéproměnné padne do intervalu (-.QgLx),, Z toho vidíme, že obor hodnot distribuční funkce je (0; 1) a funkce je neklesající. Přibližná konstrukce této funkce z experimentálních dat vychází z definice. Pjjbližnou hodnotu funkce F(x) vypočítáme jako relativní čgj^gjjaainžřenýrh hodnot. 21 v intervalu (-QOLsLTím z/skáme schodovitou funkci, která má skok vždy v hodnotách získaných měřenírn. ťn_dostatéčně velkém poct"u~JEadnot pře-jtávají býTščEody výrazné. Na obrázku 7 je znázorněna distribuční funkce sestrojená z měření na obr. 3. 1.0 O, m O O *g0.5 cu XI > u, 0,0 - T—T-p i—i—i—i—i—<—r -i—i—i—i—i—i—i—i—r J_I .n i In I_I_I_I ■ I_U J_i—I_i_1_i_L 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 mořená hodnota x Obr. 7: Odhad distribuční funkce z naměřených hodnot na obr. 3 Podle definice (1.9) platí_____----------- /(*) = áF{x) di (1.10) Pomocí tohoto vztahu Izesestrojit graf hustoty pravděpodobnosti numerickou derivací distribučnifunkce. Před derivací je nutné vhodnou numerickou metodou odstranit na distribuční funkci malé schody [2], Tak byl sestrojen i graf hustoty pravděpodobnosti na obrázku 6. Srovnáním hustoty pravděpodobnosti nebo distribuční funkce s teoretickým modelem lze získat řadu uži tečných inform ací. P(a, b)* Výpočet výchozí z následuj ícjb^víihy. Hodnota^(jQjidává vehjcfigt pravděpodobnosti f>(-6q>>6)4J)odťíota Ffcl_r>ak, Pf-cx>.a), Pro a b)± P(~c\b) - Piloo.a) - F(a) .) (1.11) "-......--'v— " ' ' Významným parametrem popisujícím náhodnou proměnnou je jejjstred- ,ní hodnota £, která je definována vztahem | E(x) = / */(x) dx •'oef. obor J (1.12) 22 Tento parametr udává polohu rozdělení. Důležitou vlastností střední hodnoty je to, žejstředni hodnota lineární kombinace náhodných proměnných j'e rovna lineární kombinaci jejich středních hodnot, ty~ S(*i) + ... + aÄJE?(«„) .J (1.13) Důkaz tohoto tvrzení lze provést dosazením do (1.12), viz např. [4]. Je nutné poznamenat, že střední hodnota neexistuje vždy. Je možno najít takové příklady hustot pravděpodobnosti, pro které integrál (1.12) nekonverguje, Příklad l.s] Hustota pravděpodobnosti je dána vztahem Určete: a) hodnotu konstanty p b) průběh funkce c) distribuční funkci a její průběh d) pravděpodobnost toho, že proměnná x nabývá hodnoty z intervalu. <-l;l) Řešení: a) Hodnotu konstanty p určíme ze vztahu (1.8). Musí tedy platit /(*) = P l + z2 * integrací 1 Hustota pravděpodobnosti má tvar Jedná se tzv. Cauchyovo rozdělení. b) Graf hustoty pravděpodobnosti je na obrázku 8a. c) Tvar distribuční funkce je podle (1.9) Graf distribuční funkce je na obrázku 8b. 23 Obr, 8: Graf hustoty pravděpodobnosti Cáuchyova rozdělení (a) a jeho distribuční funkce (b) d) Pravděpodobnost P(-l,l) můžeme určit z hustoty pravděpodobnosti »/ , ,\ Z"1 d!S ľ1 * Y 1 pí-1'1)=X1í(ľTpy=ŕarcH-1==2' nebo jednoduěším způsobem z distribuční funkce P(-l,l) = F(l)-^(-l) = ^-i = i. Znamenalo, Se ve velkém souboru naměřených hodnot veličiny, která se řídí tímto zákonem, bude polovina všech hodnot ležet v intervalu (-1; 1). 1.4.2.2 Normální rozdělení a jeho vlastnosti Příkladem náhodné proměnné, se kterou se nejčastěji setkáme v praxi, je ve-JTčina, ieiijLhoďnota je oyliv^oyiď„a.veIkým počtem náhodnvch...ylivů. Působením těchto vlivůjszjrik^jjj^le^^ nezávislé a jejichž hodnota se přičítá ke skutečné hodnotě rř^roné*"veličiny. Vibd^nálu^Ô"t"a^e'r)^na ;?ojj|tejnŕ^ ^ýlch^chyb se skutečnou hodnotou. To je typická situace přímo měřených veličin. ~~ " ~ Tuto situaci si můžeme přiblížit pomocí velmi zjednodušeného příkladu. Předpokládejme, že měření je ovlivněno působením čtyř elementárních náhodných chyb s konstantní velikostí e. U těchto chyb se náhodně á navzájem nezávisle mění znaménko, tj. náhodné chyby nabývají pouze hodnot *-e a £. V tabulce 3 jsou shrnuty všechny možné případy jejich současného působení. V takto zjednodušené situaci jsme dostali diskrétní náhodnou proměnnou nabývající pouze pěti hodnot. Graf relativních četností je na obrázku 9. Vidíme, že ve většině případů se působení jednotlivých vlivů navzájem vyrušilo a výsledná chyba byla nulová. K tomu, abychom dosáhli velké výsledné chyby, 24 znaménko hďdnota abš. četnost rel. četnost - ~4e 1 0,06 + - - - - + - - -2e 4 0,25 - - - - - - + + - - + - + • - + - - + 0 6 0,375 - + + - - + - + - + + + + - + + - + 2e 4 0,25 + + + ■ + + + + + 4e 1 0,06 Tabulka 3'. Příklad působení čtyř elementárních chyb 0.0 - -6c -4e -2c „ 0 , ,2c 4e celková chyba Obr. 9: Graf relativních četností diskrétní náhodné proměnné 25 musí nastat takový případ, kdy mnoho elementárních chyb má současně stejné znaménko. Taková situace je málo pravděpodobná, proto relativní četnost s rostoucí velikostí výsledné chyby klesá. Rozdělení na obrázku 9 je příkladem tzv. binomického rozdělení, které popisuje výše uvedený případ chování diskrétní náhodné proměnné. Další informace o binomickém rozdělení může čtenář najít např. v [5, 6]. V reálných situacích Však elementární chyby mění nejenom své znaménko, ale i svoji velikost, a jejich počet bývá podstatně vyšší. Takovou situaci si můžeme modelovat pomocí počítače. Náhodná proměnná x byla modelována pomocí vztahu: x = 100 + £ 10 • (RND(l) - 0,5), (1.14) kde výraz RND(l) představuje funkci tzv. generátoru náhodných čísel počítače, která vytváří náhodná čísla v intervalu (0; 1). Výraz 10 • (RND(l) - 0,5) tedy představuje náhodnou proměnnou, jejíž hodnota se mění v intervalu {—5; 5). V našem modelu pak vystupuje jako elementární chyba. Těchto elementárních chyb působí současně 50 a jejich hodnoty se navzájem sčítají a výsledná chyba se přičítá k pevné hodnotě 100. Za účelem výzkumu chování takové proměnné bylo vygenerováno 10000 hodnot takových náhodných čísel. Z nich byla pak sestrojena distribuční funkce, jak již bylo popsáno dříve, a z ní pak derivací podle vztahu (1.10) byla získána hustota pravděpodobnosti. Její graf je na obrázku 10. Z grafu vidíme, že většina hodnot naží náhodné proměnné leží v blízkosti pevné hodnoty 100, tj. ve většině případů se vliv elementárních chyb navzájem zeslabuje. Podobně jako v předchozím modelu je výskyt velkých chyb málo pravděpodobný. Náš model je sice oproti reálným situacím stále zjednodušený (např. jsme omezili velikost elementárních chyb určitým intervalem, všechny elementární chyby mají stejný charakter), ale křivka grafu hustoty pravděpodobnosti svým zvonovitým tvarem dobře odpovídá teoretickému modelu tzv. norrrjiál'-njh^txpzdělegí....Normální íozdejbn^^teré nezáyista a,, Lapjace (proto se take" nazývá Gaussovým rozdělením .ne-ho nžkdy_také Lj^laceovým rozdělením), má hustotu pravděpodobnosti danou yztahem' kde a a # jgoujparametry, jej ichž význam si odvodíme dále. Qraf,.hu&to-J-y-EIiyděpodobriosti normálního rozdělení má zvonovít^tvaL (viz °br. 11). I^nkce^l5) pop^ vznikáslože- DÍlB_(-^U^nT)^y^éjio poctu navzájem nezávislých rta^^ yj^z njcté Vzt ah (1.15) lze odvodit limitním přechodem z binomického rozdělení [6]. (z - fi): 2 o *o o S* 0.010 t a a 0.005 5 0.000 -,-,-1-(-ttt-1-1-1-1—t—t-r—t-1-1-1-1-1-r t ■ ' ■_L_i_I_i_I-1-1-1-1-1—i-1-1-1-1-1-1— 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 X Obr. 10: Graf hustoty pravděpodobnosti náhodné proměnné z počítačového modelu T-1-1-—T-'-1-1-~~I I T (Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení 27 Prozkoumejme nyní vlastnosti normálního rozdělení; 1, Hustota pravděpodobnosti normájníhgjQzxlělftní jfí riefinován&jDrojšech-nô~realná a: a pro všechna £jwntervalu_^.pA,.^ j^ipl^čTv^k^^ proměnné; x, ~~ 2. JPro x = fi nabývá funkce J{x) maxima. To si snadno ukážeme pomocí derivace ~~* áf{x) n~x áx exp (x - 1c* (1.16) V maximu musí být z toho vyplývá^žg.. _ áx = 0, X - fi PjMajnietr..^ted^j^ává pojbhju j^axima milní funkční hoďnotaTJe ) 3. Normální rozdělení je sudá funkce vůči poloze maxima: (1.17) (1.18) JPo,^zn^meníjí^yjskyt, kladných a záporných náhodných chyb téže velikosti má stejnou pravd^poa^'noší; " ~ 4. Střední hodnota B náhodné proměnné z, která se řídí normálním rozdělením, je podle (1.12) •o substitucí z = x — fi dostaneme exp 2a2 áx E(x) = / —7f= exP r 4. J-00 <7v2ír exp z* J —-i 2er* áz r exp ■-z* áz. První z integrálů musí být nutně roven nule, protože integrujeme lichou funkci v intervalu (-00,00). Druhý integrál musí být podle (1.8) roven jedničce, proto dostaneme E(x) = (i, (1.19) tj. poloha maxima rozdělení odpovídá současně i střední hodnotě náhodné proměnné, 28 5. Střední hodnota náhodné veličjnyje rovna její skutečné hodnote x*,^j. platí . _......ä .. (1.20) Toto tvrzení lze dokázat následující úvahou. Jjsdmtí&éJaP^ iiodné veličiny můžeme zapsat jako součet skutečnéjjevné hodnoty a výsledné" nTho^néj^by . x-x* + e. (1.21) Jelikož x" je konstanta, musí mít .g'tal^ PtMÚépj>-. dobnost výskytu TfláHných a záporných náhodných chyb dané velikosti je stejSTvelká, pr^lcTmí^^^ hodnota""s je"jär'oio rovna x*. Tento závěr je velmi důležitý pro fyzikální měření. Pokud l>y se nárrľpodařilo určit střední hodnotu měřené veličiny, dostali bychom tím její skutečnou hodnotu. 6. Vyšetříme nyní význam parametru ■■ —l—i—l-r—i—i— i—i—i—i—r ■■».....-r-""<-i—"»'—r—i—i— ■ / \ cr=1 _„»L—1_ .4-.-..1_____1--1____L„ i J-1_U-l l_i_1_i--l—<---l__J--1__ -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 —-----\ xe ■ Obr. 12i>Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení s různými parametry a v rnaximjijjLaíiuladu s (1.17) tak, aby ploch apodWivkc^zůstá vakjed-notísfivá^Jedná se tedy o šířkový parametr. Zkusíme najít jeho přesný význam. Často udávaným šířkovým parametrem ve fyzice je šířka v polovině výšky označovaná zkratkou FWHM (z anglického Full Width at Haif Maximum) nebo pološířka v polovině výšky označovaná zkratkou HWHM (z anglického Haif Width at Haif Maximum). Viz obrázek 13. Vztah těchto parametrů k hodnotě a lze snadno vypočítat. Označme 29 hodnoty nezávisle proměřme odpovídající Šířce v polovině výšky 3:1,2. Pro šířku v polovině výšky platí 2cr2 exp 1 2 ' -hi2, 22xJ ± qx) áx = exp a po úpravě dostaneme j — 1 1 exp M) p ÍP>0] 2{a\ + 4) což je normální rozdělení s parametry /x = p\ + m a a1 — erif 4- er|. Podobnou úvahou a indukcí lze důkaz rozšířit na libovolnou lineární kombinaci náhodných proměnných. 32 9. .Zvláštním případem normálního rozdělení je tzv. standardní jLojrjnál: ní rozdělení, které ma tvař" ?(*) = exp T (1.29) Jedná se tedy o normální rozdělení s parametry fi — 0 a a — 1. Každou náhodnou proměnnou je s^Tmllním ro^ělOTÍm~ň^ě1n^^p|wést na j^měnnou X^e standardním normálním rozdělením poinocí transfor- mace (1.30) kde n a cr jsou parametry příslušející roidělem proměnné x. dí 10. Distribuční funkci normálního rozdělení podle (1.9) nelze analyticky vyjádřit. Distribuční to........ lze pro í>0s přesností lepší než 10~7 aproximovat vztahem [5]: w i _ exp^2>y(Q _ by + q/2 - dy3 + ey4) , (1.31) kde 1 1 + 0,2316419a: o = 0,3193815 b a 0,3565638 c = 1,781478 d = 1,821256 c = 1,330274 Pro x < 0 se využije vztahu F(x) = 1 - F{~x), (1.32) který lze snadno odvodit z (1.18) a (1.8). Graf této aproximativní funkce je na obrázku 14. Tento vztah může být s výhodou využit například pro porovnání teoretické distribuční funkce a skutečné distribuční funkce zkonstruované z naměřených dat. Na základě tohoto srovnání lze usuzovat, zda mají experimentální data normální rozdělení či nikoliv. Například srovnáním obrázku 14 a obrázku 7 lze usoudit, že náhodná proměnná popisující výstup z optického přístroje (příklad s daty v obrázku 3) by mohla mít normální rozdělení. 33 i--r-1-r——:—i—-1-:-r 1.4.2.3 Rozdělení^2, Studentovo a rovnoměrné rozdelení Přestože je normálni rozdělení nej častějším případem, môžeme se setkat i s jinými druhy rozdělení. Příkladem muže být měření výkonu jstektmké-ho proudu uvol&ovaneho na rezistoru, Obyjadera^ni^ proudTjěTTóff^eltlra^ (proud maže mít kladnou"! zá- pornou"nognotu - mužVpl^&at oběma směry), ale vý^u ]ě~kla^na^veličina nemohou mít normální rozděleni, protože normální rozdělení připouští yý-_. sj^tJaMcol^T«ál3^'(tj//i~záporné) hodnoty ft&hodné prome^eCv^kon eL proji^u.mu8ÍJ?ut tedy takové rozdělení, pro které platí g(x) — 0 pro x < 0. V. tomto připadené jedni o rozjějení odvozené z rozdělení xT (HľcKríčväa" rátj^Takoyé roadějbnijm4j^^n^ která jějjpu^em n. kvadritůnoTSá^islýSbL^ proměnných se staj^ardnjm normSlmm rozdeíemi^"*™^^'""""""""' ProTepšT pochopení si od^drmT'husíôtu"pravděpodobnosti g veličiny z, pro kterou platí x = y2, kde y je veličina se standardním normálním rozdělením. Pravděpodobnost toho, že hodnota veličiny a; bude ležet v intervalu (0;i), je rovna pravděpodobnosti toho, že veličina y bude mít hodnotu v intervalu (—\/x; \fx). Pravděpodobnosti vyjádříme pomocí distribučních funkcí G(x) = F{Vi) - F(-^). Pro distribuční funkci standardního normálního rozdělení F využijeme vztahu (1.32) G{x) = 2F(Vx) - 1 . 34 8 10 X Obr. 15:1 Rozdělení x2 pro různé stupně volnosti n Derivací rovnice podle x (viz vztah (1.10)) dostaneme hustotu pravděpodobnosti g. Na pravou stranu dosadíme hustotu pravděpodobnosti standardního normálního rozdělení (1.29) s argumentem \fi a derivací argumentu: 1 exp [-1] (1.33) Obecnějším případem je rozdělení veličiny, která je součtem n kvadrátů veličin se standardním normálním rozdělením. Pak mluvíme o rozdělení x2 s n-stupni volností [5] 1 1 • ifx\n-2 (1.34) Vztah (1.33) je speciálním případem (1.34) pro n « 1 (r(l/2) - y/ň). Graf rozdělení x2 pr° různé stupně volnosti je na obrázku 15. Střední hodnota rozdělení"(1.34) je E(x) = n . (1.35) Při velkém počtu stupňů volnosti se rozdělení X2 blíží k normálnímu rozděleni. To je znázorněno na obrázku 16. vztahu je speciální funkce I\ která je definována integrálem [7] r(*) = jTV-UxpHjd*. 35 0.08 - Obr. 16: Srovnání rozdělení x2 (plná čára) s normálním rozdělením se stejnot střední hodnotou (přerušovaná čára) n/J (někdy je označováno jako toozdělenfyjXímtaK^&^ yeliČina í, která je definována vztahem "A \fxjn' J ^e.né!^iÚMS^^^Í\^^ ^^i^^JŠS^MfíLs^^^ a náhodná prcn m^ná^Ä4.^?^^lrz soubor haměFenyčTvlíodnot. Stojíme tedy před problémem, jakým zplíi&TSěHFíH^ rozdělení, kterým se měřená veli- čina řídí. Vzhledem k tomu, že soubor naměřených hodnot je vždy konečný, adze nikd^^r^thledané parametry neomezeně^iřjsně^Zpracováním měření tedy získame odhad paraměTrů rozdeTěnlTnikdy nelze získat přesné skutečné hodnoty. Výsledkem jakýchkoli matematických operací s.hodnotami náhodné proměnné je totiž opět - hodnota náhodné proměnné. Takto je nutné pohlí-aetTná""^ měření. ZnaíôštTchování náhodných proměnných nám ale umožňují říci, jak kvalitní je náš výsledek, tj. s ja- 37 ľ -■ " i........ i ....... - i"" i......» - •> :................»-'-'—r -2—1 O 1 2 X Obr. 18: Spatný odhad parametru rozdělení a naměřené hodnoty (křížky) kou pravděpodobností se v oblasti, kterou jsme vymezili naším odhadem; nachází skutečná hodnota. Tato nejistota by nás neměla odrazovat od využívání výsledků měření, protože vhodnou organizací experimentu avolboii počtu měření lze skutečnou hodnotu často určit s přesností, která je v praxi dostatečná. Možností, jak odhadnout velikost hledaného parametru, je jisté mnoho. ľJobrý odhad by měl mít následující vlastnosti: nestrjanno3t__-_,odhad je nestranný (nevy<&ýlen£]^st^^ .odhadu .je. rovna jeho skuteční hodnfliž_ínezávisle na počtu měření) kgnzistence_ - odhad jejkonzistentní, jestliže $ rostoucím počtem měření Jiodnota odh^u^on^ye^ijejke skutečné hočThote1"""" ~~" ~~~ efektivnost j^hajj-e;ďektlvňtt jé^llže ježto rozptyl je minimální (zpravidla se rozptyl zmenšuje s rostqucírn poČtérn':tii^éi^''r^~^^~"^ Mějme soubor N naměřených hodnot x,- (i«= 1,;.»., N) náhodné veličiny s normálním rozdělením (1.15). Z naměřených hodnot máme odhadnout hodnoty parametrů n a /(*,•). (1.39) V maximu musí být 3 dlnL ' dlnL . ,, Do vztahu (1.39) dosadíme za funkci / normální rozdělení (1.15) a dostaneme lnX(/í,ff)--^(ln<-A) = 0, (1.42) tel z toho sečtením dostaneme Nejlepším odhadem střední hodnoty normálního rozdělení (a tím 1 skutečné hodnoty měřené veličiny) je aritmetický průměr naměřených hodnot. Podle druhé podmínky v (1.40) hledáme takové £2, pro které bude maximální věrohodnost 3Zde ae aetkáváme s pojmem parciální derivace, který se označuje symbolem d. Parciální derivace jsou derivace funkcí více proměnných, Při jejich výpočtu derivujeme danou funkci jako funkci jedné proměnné (vehledem ke které máme vypočítat derivaci). Ostatní promžnné přitom pokládáme řa konstanty a používáme pak pravidla pro derivace funkcí jedné proměnné. Geometrický význam parciální derivace si můžeme představil tak, že derivaci počítáme pro křivku, která je řezem plochy grafu funkce. Rez je určen hodnotami ostatních zafixovaných proměnných. Například pro funkci z s= x3y je DalSÍ informace o parciálních derivacích muže čtenář najít např. v [7j. 40 Pro maximálně věrohodný odhad a1 musí být pravá strana rovnice rovna nule N £(*, - A)2 = N v*, 1=1 Ukážeme si, že takto získaný odhad a7 je takzvaně vychýlený, tj. jeho střední hodnota se nerovná skutečné hodnotě 1 . i 2N £ *? - 2^2AS - 2// £ - 2N V . 41 pravé straně rovnice získáme tak, že sečteme střední hodnoty jednotlivých sčítanců. Tírrí dostaneme hodnotu N7 -~JV, protože součet obsahuje N2 - N prvků. Dosazením a úpravou získáme střední hodnotu a1 E 'Na2 = ;v-i, £(<72) = cr2 N-l N (1.46) Náš odhad .--A)S. (1.47)! Výše uvedená veličina b se nazývá směrodatná odchylka jednoho měření. Musíme mít stále na paměti, že získané veličiny fi a cr jsou odhady skutečných hodnot a jsou to náhodné veličiny, neboť byly získány výpočtem z jiných náhodných veličin. Při opakování celého pokusu bychom z dalších N měření získali jiné hodnoty, i když charakterizují tutéž veličinu, Veličina £ byla podle vztahu 1.43 získána jako lineární kombinace veličin s normálním rozdělením a má proto sama normální rozdělení. Podle (1.26) je střední hodnota tohoto rozdelení fi a šířkový parametr, jehož odhad označíme je k*2 cr' 77 (1.48) Dosazením z (1.47) dostaneme 1 ^HÉlIhlfJ Dostali jsme tzv. JS^aseljäy^zjtaj^^ chyjku antmjeticM —— 5Tento vztah lze upravit do tvaru, který někdy může být pro výpočty výhodnější: 15=1 Dosazením 1=1 1-1 1 = 1 í=t i=l N {N 42 Co nám umožňují získané parametry říci o skutečné hodnotě? Lze například tvrdit, že v intervalu (ji - B\p.+ 8) leží skutečná hodnota- /*? Statistika umí dát na tuto otázku odpověď opět ve formě pravděpodobnosti. Otázku lze formulovat i obecněji: Jaká je pravděpodobnost toho, že skutečná střední hodnota (i leží v intervalu (fi-kS\ji + Ú)Ý Úpravou výrazu lze zjišťovat i pravděpodobnost toho, že . _Jfc<^<ju jsou velmi důležitým faktorem, který může určovat výsledné chování měřené náhodné veličiny. Nevhodnou volbou měřicího přístroje může napříklajidojít k situaci, kdy rozptyl měřené veličiny navstu-jjujdo měřiclrio~přístrojeje tak malý, že její změny nejsou n^t^rdci_gřístroje N pozorovatelné, Pozorovateli se pak'Triuže zdat,1e_měřená veličina se vůbec .jaejnění. Bylo by mylné domnívat se, že chyba měřenTveTiČiny je nulová a~ .měřeníJe absolutně přesné. Čtená hodnóTáHniiizěHř^^ objektivně dochází k malým změnám měřené veličiny. Tyto změny jsou však menší než je nejmenší 2měna, kterou lze na přístroji zaznamenat. Příznivější je opačná situace, kdy rozlišení měřicího přístroje je podstatně menší než skutečný rozptyl měřené veličiny. JíěJndlacWak^ibujeme pomocí chyby .měřidla, je to souhrnná vlastnost měřidla vyjadřující chyby (systematické a náhodné),J.). (1.53) Větším problémem je výpočet o. V případě závislosti na jedné přímo měřené veličině by bylo možné vypočítat interval chyby dosazením hodnot fii — Si a fii -f di do vztahu (1.52) (za předpokladu, že funkce / je na tomto intervalu monotónní). Tento postup však nelze uplatnit u funkcí více proměnných. Dále uvedený postup výpočtu je sice aproximativní, ale není obecně na újmu přesnosti, protože pracujeme s hodnotami odhadů, tj, s „nepřesnými hodnotami". Označme Ax< jako malou odchylku odhadu střední hodnoty i-té veličiny od její střední hodnoty /z; Ax( s= m , (1-54) Zajímá nás, o kolik se změní funkční hodnota y v okolí bodu daném středními hodnotami fa při malých změnách všech veličin. To lze zjistit pomocí Taylorova rozvoje funkce / l » df 1AA 3}f A» - u £ iŕx<+ši £ £ ssľ^+■ • ■ c-55' Všechny parciální derivace jsou počítány pro hodnoty fa. Předpokládejme, že všechny členy řady od druhého a dále jsou zanedbatelné proti prvnímu členu. Tento předpoklad vychází z toho, že hodnoty Ax,- jsou malá navzájem 7PřesnějŠf vztah je a * /(/ji ,h, • • •, th)+\ 53 • Rozdíl proti vztahu (1.53) však bývá často menší než velikost chyby. 48 nezávislá čísla a v dalších členech řady jsou v součinu, což jsou hodnoty řádově menší. Pak dostaneme Ay = df Axi -f ŠĹ dx-> Axi -f -.. + Al...>An ŽL dxn A*„, (1.56) což je lineární aproximace funkce /. Funkční plochu jsme tedy nahradili v malém okolí odhadu střední hodnoty rovinou, jejíž analytické vyjádření je dáno lineární kombinací veličin Ax,-, Veličina Ax; je náhodná proměnná s nulovou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou 8{. Podle (1.26) bude mít veličina Ay směrodatnou odchylku kde a,' jsou koeficienty lineární kombinace (1.56) a: = ŠĹ dxi Dostáváme vztah tzv. zákona přenosu chyb 6 = [SL + ...+ Al.—.An Aj.-.An (1.57) Výše provedené aproximace omezují rozsah platnosti zákona přenosu chyb na situace, kdy se nepohybujeme v blízkosti bodu s nulovou první derivací funkce /. Uvedený vztah dává do souvislosti odhady směrodatných odchylek středních hodnot přímo měřených veličin a odhad směrodatné odchylky nepřímo měřené veličiny. Pro výpočet chyby s danou hladinou spolehlivosti postupujeme stejně jako v případě přímo měřených veličin, počet stupňů volnosti nepřímo měřené veličiny je dán tzv. efektivním počtem stupňů volnosti neff (viz [8]): 4 I"1 tteff s= 6 (1.58) A kde n,- jsou počty stupňů volnosti přímo měřených veličin a 8 je dána vztahem (1.57). V případě veličiny, jejíž chyba je dána pouze chybou měřidla, budeme předpokládat, že n; -+ oo. Pokud vsak byly odhady směrodatných odchylek přímo měřených veličin zjištěny z dostatečně velkého počtu měření, kdy se Studentovy koeficienty pro danou hladinu spolehlivosti příliš neliší (do 10%) od hodnot pro nekonečný počet stupňů volnosti, lze většinou do zákona přenosu chyb dosazovat i chyby s danými hladinami spolehlivosti. Podmínkou však je, že všechny dosazované chyby musí mít hladinu spolehlivosti stejnou. Výsledná chyba má 49 pak hladinu spolehlivosti takovou, jakou mají chyby dosazované. Tento postup je aproximativní, větžinou však poskytne stejnou chybu na dvě platná místa jako přesný výpočet. Pro několik jednoduchých případů funkce / si odvodíme pravidla pro výpočet chyb: • y — ax\ db bxi Vypočteme nejprve parciální derivace a/=a K = ±b. dxi ôx2 Dosazením do (1.57) dostaneme 6 = \Ja4\ + 961. Tento výsledek lze také napsat přímo z (1.26). Pro efektivní počet stupňů volnosti platí podle (1.58) neff - ô-- + Tli * y — axixi Parciální derivace df d f 0x2 dxx Dosazením dostaneme č = vW2H? + (^02*2- Rovnici vydělíme střední hodnotou veličiny y, tj. ji —-np,^ 6 Dochází tedy ke sčítání kvadrátů relativních chyb ŕ = \Jřl + řl. Pro x\ -+ O nebo xi -4 O zákon přenosu chyb nelze použít, protože se jedná o body s nulovými prvními derivacemi funkce /, Efektivní počet stupňů volnosti: + -1 "1 "2 vytknutím hodnoty jŕ ze závorky a úpravou dostaneme "4 »4 »41 —i 50 • y = axi/xz Parciální derivace podle jednotlivých veličin: ŽĹ-1. ŽL dx2 ax\ Dosazením do (1.57) M5 l4 Vydělením rovnice střední hodnotou p~ afn/fíi dostaneme opět Zákon přenosu chyb nelze použít pro xi ~> 0. Efektivní počet stupňů volnosti: vytknutím hodnoty fi4 ze závorky a úpravou dostaneme neff = r4 -1 • y~ ax\ V tomto případě máme jen jednu nezávislou proměnnou. dx\ ~.abxx Směrodatná odchylka veličiny y pak bude . 6=\abfi\~% . / Vydělením střední hodnotou ft získáme opět vztah pro relativní chyby. ■ ■-. ŕ = |6|r,. Pro xi~+ 0 při b ^ 1 nelze zákon přenosu chyb použít. Efektivní počet stupňů volnosti: neflr = Š4 tn, -(ab^Š^ úpravou dostaneme (břrf ni 4l-i 51 Konkrétní příklady použití zákona přenosu chyb si probereme v následující kapitole, kde bude vysvětleno, jak správně zapisovat výsledky získané zpracováním měření. Pro objasnění použití výše odvozených pravidel je uveden jeden příklad. Příklad X.10 Nepřímo měřená veličina y závisí na přímo měřených veličinách xx, x-i a x% takto: xlxz Odvoďte vztah pro relativní chybu r veličiny y a její efektivní počet stupňů volnosti. Řešeni: Všechny měřené veličiny jsou v součinu nebo podílu, proto je možné využít vztah pro součty kvadrátů relativních chyb. Vztah v zadání rozdělme nejprve na jednotlivé činitele. Relativní chyba výrazu x\ je 2ri, kde n je relativní chyba «j. Podobně relativní chyba x% je 4r$< Nyní můžeme sečíst kvadráty relativních chyb jednotlivých činitelů a dostaneme '_ r=^4rJ+r|.+ Í6rl. Podobným postupem pomocí výše odvozených pravidel získáme efektivní počet stupňů volnosti ncfí = r4 16 4 ,. 1 4 , 266 4 lni n2 n3 1.5 Zápis výsledku měření a jeho ch^jjbx. Výsledek měření obsahuje informaci kvalitativní - jednotku, ke které se „vztahuje informace kvantitativní, tj. číselná hodnota výsledku. Pravidla pro správný zápis jednotek již byla uvedena dříve. JPr^yjdla, pro správný zápis číselného údaje výsledku vycházejí jijjohc^^ Jiodnotu měřené veličiny s větší přesností, než je hodnota chyby. Zpřesňo-vání zápjjsu, nfrpřmášL^ižXVnou^^ mčfpní bychom dostali jinou hodnotu.wSnahou je zapisovat" výsledek s 'takovou presností, aby se při opakovaném měření měnily cifry zapsaného výsledku pouze na posledním nebo dvou posledních místech, Z toho vyplývají následující pravidla: * ^h^u^tjedníjiodnoty zaokrouhlujeme vždy najedno nebo dvě platná zlevi^,....... • Střední ,ho^^ na stejný řád jako chybu. _ (střední hodnota ± chyba střední hodnotyJedt^iJ^a 52 Příklad 1.11 1. Měřením hustoty byly získány tyto výsledky: Střední hodnota: q = 0,7068493 g cm"3 Chyba: 6 = 0,0436818 g cm-3 První platné místo chyby je číslice 4 a druhé platné místo jě číslice 3. Při zápisu chyby na jedno platné místo dostaneme zaokrouhlením hodnotu 0,04, střední hodnotu pak zaokrouhlíme na stejný řád, tedy na dvě desetinná místa, a dostaneme 0,71. Výsledek zapíšeme ve tvaru: ? = (0,71 ±0,04) gem"3 Pokud chceme zapsat výsledek na dvě platná místa, zaokrouhlením chyby dostaneme číslo 0,044 a střední hodnotu zaokrouhlíme na tři desetinná místa: (0,707 ± 0,044) gcm~3 2. Měřením tlaku byly získány tyto výsledky: Střední hodnota: p-1 738 256 Pa Chyba: í*l 325 Pa První platné místo chyby je číslice 1 a druhé je 3. Zápis výsledku na jedno platné místo bude: p - (1 738 000 ± 1 000) Pa nebo p s (1 738 ±1) 103 Pa U takto předloženého výsledku čtenář nepozná, zdaje zapsán na jedno nebo dvě platná místa. Proto se někdy nulové číslice, které nejsou platnými místy, zapisují menším písmem: p- (1 738 odo ± 1 ooo) Pa Zápis výsledku na dvě platná místa: p = (1 738 3oo ± 1 3oo) Pa 3. Měřením momentu setrvačnosti byly získány tyto výsledky: Střední hodnota: j= 189 304 kg m2 Chyba: U 402 kg m2 Zápis výsledku na jedno platné místo: J = (189 3oo ± 4oo) kgm2 Zápis výsledku na dvě platná místa: Ji (189 30o ± 40o) kg m2 4. Měřením napětí byly získány tyto hodnoty: Střední hodnota: Č/=0,003268 V Chyba: 1-0,02543 V Zápis výsledku na jedno platné místo:. Í/=(0,0Q ± 0,03) V Zápis výsledku na dvě platná místa: í/=(0,003 ± 0,025) V nebo tf<=(3 ± 25) mV 53 Příklad 1.12 Měřením průměru koule d byly zjištěny tyto řiodnoty (v cm): 4,32 4,36 4,28 4,41 4,40 4,31 4/35 4,38 4,36 4,32 4,33 4,32 Určete objem koule. Řešeni: Stanovíme střední hodnotu a směrodatnou odchylku jednoho měření: d - 4,3450 cm , &á = 0,039 cm . V intervalu mezní chyby (4,195; 4,495) leží všechny naměřené hodnoty, proto není žádné měření zatížené hrubou chybou. Směrodatná odchylka aritmetického průměru Si š 0,0011 cm . Pro objem koule V platí Dosazením střední hodnoty d dostaneme střední hodnotu Ý; Ý- 42,950466... cm3. Pro směrodatnou odchylku objemu £ pak platí Dosazením dostaneme £ = 0,03418... cm3. Efektivní počet stupňů volnosti je Směrodatnou odchylku vynásobíme odpovídajícím Studentovým koeficientem pro 11 stupňů volnosti, Výsledek se spolehlivostí 68,3% je V= (42,95 ±0,03) cm3. 54 Příklad 1.13 Sklonným tribdmetrem byl měřen kinetický součinitel smykového tření /, Pro výpočet hodnoty /'platí /- tga, ■ kde a je úhel nakloněné roviny, po které měřené těleso klouzalo rovnoměrným pohybem. Naměřené hodnoty úhlu a jsou: 33,B° 34,5° 34,0* 33,6° 33,0° 33,6° < Stupnice tribometru je dělena po 1*. Určete hodnotu kinetického součinitele smykového tření. -Řešeni; ' Odhad střední hodnoty a je - 6 = 33,666...° . Směrodatná odchylka jednoho měření T* = 0,52°. ■ Všechny hodnoty leží v intervalu mezní chyby, proto ladnou hodnotu nemusíme pro dalSÍ výpočty vylučovat. Směrodatná odchylka střední hodnoty je podle Besselova vztahu lato hodnota je srovnatelná s chybou přístroje, která činí asi polovinu dílku stupnice, tj. A = 0,5°. Celková směrodatná odchylka měření 4 podle (1.51) je ■ / . 4 = ^2 + ^ = 0,268°. " Odhad střední hodnoty / získáme dosazením střední hodnoty ô do vztahu pro výpočet / / = 0,58435... Směrodatnou odchylku / vypočítáme podle zákona přenosu chyb Při dosazování do tohoto vztahu musíme pamatovat na to, že standardní způsob vyjadřování úhlů je v radiánech 4-0,268° p 0,00468 ' š = 0,00675. Při výpočtu efektivního počtu stupňů volnosti budeme do vztahu (1.58) dosazovat pouze odchylku 4i protože chyba měření A má nekonečný počet stupňů volnosti, a proto do výsledku nepřispívá n.ff = <$4 f~(tg"a + l)4ftl -l ) 55 dosazením dostaneme ntn = 13,3. Odpovídající Studentův koeficient získaný interpolací v tabulce v dodatku C je k = 1.039. Výsledek se spolehlivostí 68,3% je / = 0,584 rfc 0,007 . Příklad 1,14 Máme změřit hustotu měděného válce přímou metodou, to znamená vážením a měřením rozměrů. Při přípravě pokusu nejprve vyjdeme z teorie. V našem případě jde o definici hustoty Teorii využijeme pro náš konkrétní případ a vytvoříme tzv. hypotézu. Budeme předpokládat, Že těleso je homogenní s hmotností m a má válcový tvar průměru d a výšky h. Pro hustotu pak dostaneme _ 4ni 6 ~ nd*h ' Před měřením uděláme i rozbor chyb, tj. podle zákona přenosu chyb vyjádříme, jak se jednotlivé veličiny podílejí na směrodatné odchylce hustoty .. Provedením derivací dostaneme Názornější je výraz pro relativní chybu, který získáme vydělením předchozí rovnice g, nebo můžeme napsat přímo podle dříve odvozených pravidel pro relativní chybu součinu a podílu i Vidíme, že člen s relativní chybou průměru válce d je násoben faktorem 4. Optimální stav je takový, kdy každý ze sčítanců přispívá přibližně stejnou hodnotou do celkového součtu. Pak lze říci, že přesnosti měření jsou vyvážené. Proto musíme průměr d v našem případě změřit s přibližně poloviční relativní chybou než ostatní veličiny. Pro měření průměru použijeme přesnější měřidlo nebo provedeme větší počet měření. Výsledky měření jsou: d=2,82 cm Šé-0,0l cm z 60 měření A=8,35 cm ^=0,06 cm , z 30 měření 56 m=466,165 g Am=0,001 g z 1 měření Chyba posledního měření je uvedena jako mezní chyba, protože byla stanovena z přesnosti čtení na stupnicí vah. Dosazením středních hodnot do vztahu pro hustotu dostaneme q- 8,93850... gem"3. Tabulková hodnota hustoty mědi je £ = 8,960 g cm"3. Tuto hodnotu budeme pro naše účely považovat za skutečnou hodnotu hustoty. Shoduje se náš výsledek s tabulkovou hodnotou? Pouhým srovnáním těchto hodnot bychom mohli dojít k závěru, že ke shodě nedošlo. Do vyhodnocení však musíme zahrnout i chybu měření. Chybu vypočítáme pomocí zákona přenosu chyb. Pro vážení byla stanovena mezní chyba, á proto do vztahu (1.57) budeme dosazovat směrodatnou odchylku hmotnosti vypočítanou podle (1.25) tj.. m Z Výpočtem např. pomočí relativních chyb dostaneme odhad směrodatné odchylky hustoty 8 = 0.089 g cm"3 . Efektivní počet stupňů volnosti je dosazením dostaneme nerr = 74,2. Odpovídající hodnota Studentova koeficientu je k — 1,007. Výsledek s hladinou spolehlivosti 68.3% je Č= (8,94 ±0,09) g cm-3 . Tabulková hodnota leží v tomto intervalu, proto lze konstatovat, že výsledek měření se shoduje s tabulkovou hodnotou. Pokud by tomu tak nebylo, museli bychom prověřit nejprve správnost -výpočtu, provedení experimentu, prověřit kalibraci měřidel, pokus zopakovat, ověřit správnost předpokladů použitých při tvorbě hypotézy, zpřesnit hypotézu (např. započítat vliv teploty), ověřit vhodnost použité teorie a až na závěr zkoumat platnost teorie. Příklad 1.15 Pomocí osciloskopu byl změřen fázový posun ^ mezi proudem a napětím na jistém prvku v obvodu střídavého proudu, Výsledek měření byl y> = 6° ± 10° . Určete hodnotu účiníku t? T) = cos v . 57 Řešení: Střední hodnotu účiníku spočítáme ze střední hodnoty fázového posunu: ij = 0,99452... Zkusme vypočítat chybu podle zákona přenosu chyb (1.57) Odtud bychom dostali interval chyby (0,81; 1,17). Tento výsledek musí být chybný, protože účiník nemůže být podle definice vetší než 1. Podmínky, za kterých byl odvozen zákon přenosu chyb, zde nejsou zřejmě splněny, neboť v rámci intervalu směrodatné odchylky leží nulová hodnota derivace zkoumané funkce. Obecné řešení takové situace je značně komplikované, protože hodnoty nepřímo měřené veličiny pak nemají normální rozdělení. Tento jednoduchý případ lze řešit úvahou. Představme si, že hodnotu y měníme postupně v intervalu chyby, tj. od -4° do 16°, Budeme sledovat, jak se mění hodnota rj, Pro hodnotu tp ss -4° je n = 0,9976..., při zvětšování y> nabývá, rj maxima pro y> = 0° (»? = 1) a pak klesá až k hoffhotě rj = 0,96126... pro '

mění v intervalu (-4°; 16°), je Všimněme si, že střední hodnota tj neleží uprostřed intervalu. Je to způsobeno nesymetrií rozdělení, které popisuje chování veličiny rj, Příklad 1.16 Na pracoviště broušení jsou dodávány destičky s tloušťkou dj, = (430± 10) p,m. Podle předpisu mají mít destičky po broušení tloušťku = (350 ±20) urn. Jaká musí být tloušťka odbrušované vrstvy t a její tolerance, aby byl dodržen výrobní předpis? Předepsané tolerance lze považovat za mezní chyby střední hodnoty tloušťky výrobků. Spatné řešeni: Tloušťku t vyjádříme jako rozdíl = $v sin

= (0,96; 1,00). t = di — ii . Odtud získáme střední hodnotu t t = 80 um . Mezní chybu k< vyjádříme podle zákona přenosu chyb kde ki a k-i jsou tolerance tlouštěk d\ a di. 58 kt = 22 |im Výsledek je tedy • t = (80 ± 22) \im . Tolerance odbrušované vrstvy nám paradoxně vyšla větší, než je tolerance výsledné tloušťky. Tento výsledek je Špatný, protože jsme při formulaci problému přehlédli příčinné souvislosti mezi veličinami. Velikost odbrušované tloušťky není totiž důsledkem změny tloušťky, ale naopak výsledná tloušťka d% je dána rozdílem počáteční tloušťky a velikosti odbrušované vrstvy. Jinak řečeno á\ a d% nejsou navzájem nezávislé, jak je předpokládáno v odvození zákona přenosu chyb. Správné řešení: Výsledná tloušťka je dána vztahem d% ~ d\ — t. Veličiny d\ a i jsou navzájem nezávislé a podle zákona přenosu chyb Vyjádříme toleranci tloušťky t . kt - \jk\ ~ k\ . Dosazením dostaneme Výsledek Kt ~ 17 um . t - (80 ± 17) um . Příklad 1.17 Máme stanovit měřením odporu r elektrický měrný odpor q materiálni, z něhož je zhotoven drát konstantního kruhového průřezu o průměru d a délky /. Určete, s jakou relativní chybou musíme změřit tyto veličiny, abychom získali q s relativní chybou menší než 2%. Řešení: Elektrický měrný odpor je v tomto případě ňRd2 Pro'relativní chybu g podle (1.57) platí Přesnosti měření budou nejlépe vzájemně vyvážené, když každý ze sčítanců bude přispívat do celkového součtu stejnou hodnotou. Jelikož má být rř = 0,02 a menší, dostáváme pro maximální přípustné hodnoty relativních chyb r21 = 0,022/3 = 0,00013, 59 r* = 0,012, 4rJ = 0,022/3 - 0,00013 , rj = 0,000033 , rd = 0,0058, rf = 0,022/3 = 0,00013, r, = 0,012. Měření musíme volbou měřicích zařízení a počtem měření organizovat tak, abychom dosáhli u měření odporu a délky relativní chyby maximálně 1,2%, u průměru drátu maximálně 0,58%. Téže relativní chyby , rp bychom mohli dosáhnout i jinými relativními chybami měření.při splnění výše uvedeného vztahu, podmínky kladené na měření by však nebyly rovnocenné pro všechny měřené veličiny. Na přesnost měření některých veličin bychom měli příliš přísné požadavky, na některé naopak příliš malé. Volbu vhodných měřicích přístrojů můžeme provést až v konkrétním případě podle očekávaných parametrů drátu, Například .pro měření průměru drátu, který očekáváme asi 0,5 mm, musíme použít mikrometr, neboť musíme měřit s přesností do 3 fim. V případě délky drátu asi 10 cm můžeme použít pásové měřítko, neboť požadovaná přesnost je 1 mm. Pro měření odporu musíme vybrat přístroj s třídou 1 nebo lepší (viz kapitola o měřicích přístrojích). Stručný přehled postupu zpracování měření Z naměřených hodnot vypočítáme odhad střední hodnoty p. (aritmetický průměr) podle vztahu (1.43) a vypočítáme odhad směrodatné odchylky jednoho měření a dle vztahu (1.47). Ze souboru naměřených hodnot vyloučíme naměřené hodnoty ležící mimo interval mezní chyby (p -Za\ji + 31738 kS m"3 • To je hustota vzduchu při tlaku 99 kPa a teplotě 20,8 °C, Dále provedeme interpolaci pro tlak 98,34 kPa g = 1,1618 + (1,1738- 1,1618) • * >*_ Q$0 = 1,166 kg m~3 . To je hustota vzduchu při tlaku 98,34 kPa a teplotě 20,8 °C. Interpolace lze provádět i v opačném pořadí, tj. nejprve pro tlak a pak pro teplotu. ť^ Vztahy pro určenfp^nltru funkcgjK^aJjx^^metodou nejmenších čtverců lze nalézt např. v [7]. Do uvedených vztahů lze dosadit^místo proměnných^, jjbovolnou funkci pfa), která neobsáhle hledané parametry. Tímto vlastně provedeme v grafu transformaci osy nezávisle proměnné, kterou se hledaná funkce zlinearizuje nebo převede na jiný typ, který lze snadněji analyzovat. Nelze však provádět transformace závislé veličiny y, které jsou nelineární, protože jednotlivé odchylky změní nestejným způsobem pro různé naměřené hodnoty. Například funkci y — cexp(a:) lze převést na lineární funkci transformací X = exp(x) , y - aX , pro kterou již máme odvozen vztah pro stanovení parametru o. Do vztahu (2.63) dosadíme místo a;,- funkci exp(art) > £exp(s<)y< EíexpCa,))8 " Nelze však provést logaritmování výše uvedené funkce \n(y) = a + x a provést transformaci y = ln(y). Tento postup vede ke špatnému výsledku. 69 Příklad 2.3 Přímou metodou byl měřen modul pružností oceli. Ocelový drát o průměru d a délce / byl zatěžován závažími a bylo měřeno jeho prodloužení. Byly zjištěny rozměry drátu: d = 600 um fy-c5 5u,m z 15 měření f= 985 mm í/ = 2 mm z 8 měření Výsledky měření jsou v tabulce: Hmotnostm,- (kg) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Prodloužení Ai,' (um). 0 20 35 52 63 80 96 109 Určete modul pružnosti E oceli, z níž je zhotoven zkoumaný drát. Řešení: Závislost délky prodloužení válcového drátu na hmotnosti zátěže je dán Hookovým zákonem A/ 4g/ End2 Funkční vztah mezi závislou proměnnou a nezávislou proměnnou je sice typu y = ax, ale při měření nelze zaručit, že naměřená závislost prochází bodem (0,0). 1 tento počáteční bod je zatížen chybou měření, proto i v tomto případě musíme volit typ závislosti y «= ax + b, . kde parametr b je opravou na chybu vynulování měřidla při nezatíženém drátu. Naměřené hodnoty proložíme přímkou dle vztahu (2.64) a (2.65). Ze získané směrnice o pak určíme modul pružnosti E. 4gl and2 Odhad parametrů přímky metodou nejmenších čtverců je £míA/i-£>,•£ A/i a = £m?i;A/,--Em,-£m,A/t-/V£mf-(I>ŕ)2 Z naměřených hodnot spočítáme jednotlivé součty 6 = ][>,• = 2,8 kg, £>?=:l,4kg2, 53 A/; = 455 • 10~6 m , ]T m.-A/,- = 223,7 • 10~6 m kg . Dosazením získáme odhady parametrů á= 153,45-10"^ kg"1 , 6 = 3,2-l0~6m. Výsledné hodnoty modelového vztahu jsou shrnuty v následující tabulce. 70 Hmotnost m; (kg) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Prodloužení A/; (um), 0 20 35 52 63 80 96 109 Model óm,- + b (um) 3,2 18,5 33,9 49,2 64,6 79,9 95,3 110,6 Odtud lze spočítat i zbytkovou sumu čtverců odchylek S0 = ]T>m; + b - AU)2 » 27,2 • 10"12 m3 , ze které vypočítame odhad chyby směrnice 5a = 3,28-10-6mkg-1 . Ze směrnice spočítáme hodnotu odhadu modulu pružnosti a jeho chybu dle zákona přenosu chyb f = y/rf + rl + 4f$ a dostaneme ŕ =* 0,02718. Vypočítáme efektivní počet stupňů volnosti -i nj n„ ni Směrnice o určená metodou nejmenších .čtverců má 6 stupňů volnosti. Dosazením, dostaneme n«řr — 13,5. Odpovídající Studentův koeficient je k = 1,038, výsledek s hladinou spolehlivosti 68,3% je £=(22,3±0,6)'1010Pa. Příklad 2.4 Neznámá funkce je zadána tabulkou: 2 3 4 5 6 7 8 w 0,2 0,7 0,95 1,2 1,35 1,46 1,58 Pro aproximaci této funkce byla vybrána funkce y = o In (x)+6. Určete hodnoty parametrů a a b metodou nejmenších čtverců. Řešení: Pokud provedeme transformaci nezávisle proměnné X = ln(x), dostaneme funkci tvaru y = aX + b. Pro výpočet koeficientů této funkce metodou nejmenších čtverců jsme již odvodili potřebné vztahy (2,64) a (2.65). V nich provedeme odpovídající transformaci, tj. místo x{ budeme dosazovat X{ = In («,■). Výpočtem získáme a = 0,98±0,04, S= -0,43 ±0,06. Graf funkce je uveden na obrázku 22. 71 0.0 - JL. 0 2 4 6 8 10 X Obr. 22: Funkce y = aln(:r) + b proložená metodou nejmenších čtverců jjgiil^l?^ ^7(" vyhodnotit soubor měření, která na sebe navazují tak, že koncový bod jednoho měření je, počátečním, bodem měření následují- klád měření vzdálenosti uzlů vlnění, interferenčních čar, doby kmitu)jnebo při měření lineárních závislostí, v nichž nezávisle proměnná nabývá ekvidistant-jiích hodnot (například měření prodloužení drátu postupným zatěžováním, kalibrace pipety). Pro názornost si metodu vysvětlíme na příkladu měření vzdálenosti interferenčních čar (viz obr. 23). Ze změřených poloh čar (#i,..., x6), máme určit střední hodnotu jejich vzdáleností A. Mohlo by se zdát, že vhodný postup je spočítat vzdálenosti jednotlivých čar a z nich vypočítat průměr . 1 { . xq — x\ A = -(l2 — x\ 4* xz — Ä2 + x4 — ^3 -f x$ —x4 + *6 — ^b) = -"- . O o Vidíme, že výpočet vede k započítání pouze první a poslední polohy a informace o polohách čar mezi nimi není vůbec využita. Tento nedostatek odstraňuje právě postupná metoda. Její princip spočívá v tom, že měřené hodnoty vzestupně uspořádáme, rozdělíme na dvě stejně velké skupiny (předpokládáme sudý počet měření). Spočítáme rozdíly vždy mezi prvními body z obou skupin, vydělíme počtem intervalů mezi nimi a dále mezi druhými body atd. (viz obr. 24). Z takto získaných hodnot vypočítáme průměr, Výpočtem v našem případě získáme 24 — x\ 15 — 12 are — x$ —---|---— 3 Postupná metoda však může dávat vychýlené odhady, a proto se od jejího využití ustupuje. Význam má spíše historický a pedagogický, protože 72 H-H-—-H-•-1-1-H-> x\ 12 X 3 X4 X 5 Í6 Obr. 23: Měření vzdálenosti čar postupnou metodou Xs — Xi X4 — íl i, \ H-1-1-1-1-1-:-h x'i xj a?3 x+ .', x$ xq Obr. 24: Princip postupné metody ukazuje, že i jednoduchá a na první pohled správná úvaha o proměřování rozdílů vede k chybným závěrům. K nej věrohodnějšímu odhadu vede metoda nejmenších Čtverců, kterou lze využít i v tomto případě, a to tak, že za nezávisle proměnnou považujeme pořadové číslo měření a za závisle proměnnou naměřenou hodnotu. Získáme tak dvojice hodnot (i, x,-), kterými proložíme přímku. Směrnice přímky udává v tomto případě střední hodnotu vzdálenosti mezi čarami. Příklad 2.5 Vyhodnoťte výsledky měření z příkladu 2,3 těmito způsoby: a) proměřováním rozdílů b) postupnou metodou Takto získané výsledky porovnejte s výsledkem v příkladu 2.3. 73 44+ nomôfené hodnoty — metodo nejmensfch čtverco průmérovonl "V* --postupnú metodo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 m (kg) Obr. 25: Srovnání výsledků metody nejmenších, čtverců, proměřování a stupně metody Řešení: a) Prflměrování rozdílů vede k rozdílu prvního a posledního bodu - A=A'.-A), = 109.10-' lte|T.r..v,, 0,7 Takto bychom získali hodnotu modulu pružnosti JEľ =? 21,9-10u Pa. b) Pro postupnou metodu rozdělíme naměřené hodnoty do dvou skupin po čtyřech bodech, Postupnou metodou získáme hodnotu prodloužení odpovídající změně zatížení díô velikosti kroku měření, tj. 0,1 kg. Hodnota hledané směrnice je tedy 10 krát větší, a proto musíme výsledek násobit 10 * 10'4 V"-+-4-+ "~4-+-4-J 10 63-0 80 - 20 , 96-35 109 -^52\ 1-6 m K„-l A = 150,6.10""° m kg-Odpovídající hodnota modulu pružnosti je E — 22,7 • 10u Pa. Vidíme, že obě metody daly rozdílné výsledky a liší se od výsledku získaného metodou nejmenších čtverců. Dôvod je patrný z grafu na obr. 25. Hodnota směrnice získaná proměřováním závisí pouze na prvním 74 a posledním bodu, přímka tyto body spojuje. V případech, kdy právě první nebo poslední bod se podstatně odchyluje od předpokládané přímky, dává tato metoda špatné výsledky. V našem případě není jejich odchylka od přímky proložené metodou nejmenších čtverců příliš velká. Proto se směrnice získaná postupnou metodou příliš neliší od směrnice získané metodou nejmenších čtverců. Postupná metoda dala v našem případě nejnižší hodnotu směrnice, protože v souboru dat ve druhé skupině je patrný posun naměřených bodů k nižším hodnotám. Jak postupná metoda, tak i proměřování, mohou poskytovat zkreslené výsledky. Použití těchto metod lze doporučit pouze pro rychlé získání přibližných výsledků. 75 3 Zásady tvorby grafů Graf je základním nástrojem prezentacevýsledkô měření fyzikálních závislostí, Mhinopřehledné zobrazení, zvlažte v'pHpäôle většího množství dat, slouží j projějičTTniterpretaci, případně pro srovnání s modelovou křivko^. Normv pro tvorbu grafů nejsou příliš ustálené, požadavky se mohou mírně lišit podle způsobu tvorby a účelu využití grafu, přesto lze najít některé společné zásady. Pro vytváření grafu ručně: • kreslíme vždy na papír určený pro grafy (milimetrový, logaritmický papír) • osy: - na vodorovnou osu vynášíme nezávisle proměnnou veličinu a na svislou osu veličinu závislou - zvolíme umístění os; pokud je v rozsahu hodnot bod (0;0), umístíme do něj počátek os, osy neumísťujeme na okraj milimetrové sítě - zvolíme velikost jednotky na osách tak, aby vykreslená křivka nebo body využily asi 80% plochy papíru - osy ekvidistantně označkujeme a popíšeme, doporučená vzdálenost značek je 2 až 5 cm, popisky píšeme na vnější stranu osy | - značky os popisujeme v pravidelných intervalech (např. každou , druhou), popsané značky děláme výraznější - osy ukončíme šipkou ve směru rostoucí hodnoty - na konci osy napíšeme značku veličiny a do závorky její jednotku \ (např. 1 (mA)) • body: - vynášené hodnoty umístíme v grafu do polohy dané souřadnicovým systémem - souřadnice bodů nevyznačujeme na osy a nekreslíme ani žádné vynášecí úsečky " • - body patřící do určité skupiny odlišujeme od ostatních typem I značky (například křížek, kolečko, čtvereček) \ - velikost značek volíme tak, aby byl dobře patrný jejich typ, ale I aby docházelo jen minimálně k jejich vzájemnému překryvu \ - hodnoty vztahující se k jednotlivým bodům do grafu zásadně ne-\ vypisujeme í [• křivky: \ \ - jednotlivé body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů nemá zpravidla žádný fyzikální význam 77 - pokud je žádoucí vytvořit spojnici bodů, prokládáme hladkou křivku pomocí křivítka - proložené křivky vykreslujeme pouze v rozsahu odpovídajícím za-; kresleným bodům (pokud úmyslně neprovádíme extrapolaci) - pokud je v grafu více křivek, odlišíme je buď typem Čáry nebo typem značek bodů, které na této křivce leží - křivky popíšeme jejich parametry nebo vytvoříme legendu (obrázek se vzorkem typů čar s jejich popisem, který umísťujeme ve volné části grafu) • do záhlaví grafu umístíme nadpis vystihující obsah grafu Pro počítačovou tvorbu grafů platí všechny výše uvedené zásady s výjimkou toho, že grafy tiskneme na jednobarevný papír (nikoliv milimetrový). Rámeček grafu je tvořen osami, které jsou po všech stranách opatřeny značkami, ale jen dolní a levá osa jsou popsány. 78 Dodatek A Vážení Vážením určujeme hmotnost váženého předmětu srovnáním jeho tíhy s tíhou závaží (předmětu známé hmotností). K tomuto srovnání slouží váhy. Vážení na vahách je jednou z nej přesnějších měřicích metod v běžných laboratořích. Běžně dosahované relativní přesnosti vážení jsou 10"*6 až 10~6. Pokud je to možné, je výhodné převádět jiné typy měření na vážení (např. stanovení ob-jemu, hustoty). Mámerli dosáhnout vysoké přesnosti, je nutné váhy pečlivě udržovat, vážení samo musíme provádět b nej větší opatrností a do zpracování měření zahrnout analýzu systematických chyb měření. V laboratoři se nejčastěji setkáme s pákovými váhami nebo váhami elektronickými. Pákové váhy využívají pro. srovnání tíhy váženého předmětu a závaží momentové rovnováhy na páce (nejčastěji rovnoramenué). Páka váh (vahadlo) je spojena s miskami, na které ukládáme vážený objekt a závaží. Závaží klademe na pravou misku vah z důvodu pohodlnější manipulace pravou rukou. Oddělení misky pro závaží a pro vážené předměty je důležité i proto, aby na stejnou misku nebyly kladeny jednou např. chemikálie a podruhé závaží. Vahadlo je spojeno s indikátorem polohy vahadla (jazýček), který ukazuje na stupnici polohu vahadla v dílcích, jež jsou úměrné úhlu vychýlení vahadla. Velmi důležitou částí vah jsou břity, na nichž spočívají misky a vahadlo. Břity jsou trojboké hranoly s ostrou hranou, která dosedá do lůžka. Nejsou-li břity dosti ostré, stane se, že se břit při naklánění vahadla valí po dosedací plošce a mění se tak velikost páky. Aby se břity neotupily, bývají vyrobeny z tvrdé oceli nebo z achátu, podobně jako lůžka. Váhy jsou opatřeny tzv. aretací, tj. zařízením, kterým se misky a vahadlo vyzvednou tak, aby břity nebyly namáhány, i když váhy nepoužíváme. Aretace současně blokuje pohyb vahadla a misek. Při vážení se snažíme dosáhnout rovnovážného stavu vah, tj, stavu, ve kterém je výsledný moment sil působících na vahadlo nulový. Tento stav ale nemusí znamenat, že tíhy předmětů na obou miskách si jsou rovny (i v případě stejně dlouhých ramen). Při výpočtu momentů je nutné započítat moment tíhy jazýčku a pamatovat na to, že břit vahadla neleží na spojnici břitů misek (břity misek jsou vůči břítu vahadla níže). Těžiště celé soustavy tak leží pod osou otáčení vahadla a soustava je stabilní. Při malém rozdílu hmotností ha miskách se soustava dostane do rovnováhy nakloněním vahadla, čímž se změní úhly mezi vahadlem a tíhovou silou misek a dojde ke změně jejich momentů. Tím se dostane soustava do rovnováhy. Výsledkem je to* že úhel odchylky vahadla Ay> od nulové polohy (poloha při nezatížených miskách) je úměrný rozdílu hmotností předmětu na miskách Am Aip — cAm , . (A.l) kde c je tzv. citlivost váh. Citlivost závisí ria rozměrech vahadla á jazýčku a na zatížení vah. Citlivost vah tedy není konstantní a je vhodné ji stanovovat při každém vážení. Obecně vztah (A.l) říká, Že změna rozdílu hmotností na 79 miskách o Am posune rovnovážnou polohu o Ay>. Ohel Áip budeme xnérit v dílcích stupnice vah. Rozměr citlivosti c pak bude dílek/mg. Podrobnejší výklad teorie vari je např. v [9], Dále se budeme zabývat postupem vážení na tlumených analytických vahách a netlumených laboratorních vahách. Na závěr se krátce zamyslíme nad způsobem použití elektronických vah. Laboratorní váhy mají maximální povolené zatížení asi do 1 kg a přesnost maximálně 0,01 g. Přesnost analytických vah je asi 0,1 mg při maximálním povoleném zatížení až 200 g. Tlumené váhy jsou na rozdíl od vah netlumených vybaveny tzv. tlumicím válcem. Dolní část válce je spojena s pevnou konstrukcí vah, horní část válce je spojena s vahadlem, které při pohybu mění objem uzavřený válci (viz obr. 26), Vzduch proudí úzkou štěrbinou mezi válci a svým vnitřním třením brzdí pohyb válce a vahadla. Tím se dosahuje rychlého ustálení polohy vahadla a na stupnici je možné přímo přečíst rovnovážnou polohu. vahadlo Obr. 26: Tlumicí válec tlumených vah Postup vážení na tlumených vahách 1. Zkontrolujeme správnost polohy vah. Váhy musí mít základovou desku ve vodorovné poloze. Toto lze kontrolovat libelou nebo olovnicí, která bývá s vahami spojená. Pro seřízení mívají váhy stavitelné nožky, 2. Váhy pomalu odaretujeme. Prudkým odaretováním by se mohly poškodit břity. Jemným odaretováním se zároveň snažíme co nejméně rozhoupat vahadlo a misky. Případné kýváni misek lze zastavit opatrnou aretací a odaretováním. 3. Určíme rovnovážnou polohu nezatížených vah n0i (první nulová poloha). Nulová poloha by měla ležet přibližně ve středu stupnice. Pokud tomu tak není, lze váhy seřídit buď pomocí šroubovacího přívažku na vahadle nebo přidáním skleněných kuliček na některou z misek. 80 4. Váhy zaaretujeme a na levou misku vah položíme vážený předmět. Jeho hmotnost je vhodné předem přibližně určit na méně citlivých vahách, abychom nepřekročili maximální povolené zatížení vah a zároveň usnadnili volbu závaží, 5. Na pravou misku vah položíme první závaží. Závaží je vhodné volit poněkud větší hmotnosti, než je očekávaná hmotnost váženého předmětu. Odaretováním zjistíme z pohybu jazýčku, zda je závaží těžší než vážený předmět. Závaží zaměňujeme za závaží menší tak dlouho, až přijdeme na závaží, které je lehčí. K němu stejným způsobem přidáváme další závaží. Při manipulaci se závažím musí být váhy vždy aretovány. Pro hrubé porovnaní hmotností na miskách stačí váhy odaretovat jen částečně. 6. Postup v předchozím bodu opakujeme tak dlouho, až se jazýček v rovnovážné poloze ustálí v rámci stupnice. Pak odečteme rovnovážnou polohu ni á zjistíme součet hmotností závaží, který označíme Z\. 7. Přidáme nebo ubereme malé závaží tak, aby se rovnovážná poloha dostala na opačnou stranu stupnice, než je první nulová poloha. Druhou i rovnovážnou polohu označme n? a součet hmotností závaží označme 8. Závaží a vážený předmět z misek odstraníme a odečteme druhou nulovou polohu vah no2- 9. Určíme průměrnou nulovou polohu no Tuto hodnotu budeme považovat za nulovou hodnotu vah platnou pro okamžik vážení, Pokud se n0i a% významně liší, došlo během vážení k závažnějšímu zásahu do vah a je nutné celé vážení opakovat. 10. Je zřejmé, ze správná hodnota vyvažujícího závaží Zo odpovídá rovnovážné poloze shodné s nulovou polohou no. Jak zjistíme hodnotu Zo? Díky vztahu (A.l), můžeme využít lineární interpolace, protože výchylka vahadla je přímo úměrná rozdílu vah na miskách ZQ^Zl^{Z2-Zl)1^^l. (A.3) «2 - «1 11. Hodnota Zq je zatížena chybou, jejíž odhad můžeme provést na základě přesnosti čtení na stupnici a citlivosti vah. Citlivost c stanovíme na základě vztahu (A.l) 81 T 22 Zo Z, rit n0 rig —> Obr. 27: Interpolace hmotnosti závaží na nulovou polohu vah Jestliže je mezní chyba čtení na stupnici nn dílku, pak mezní chyba hmotnosti je (A.5) Příklad A.l Na tlumených analytických vahách byla stanovena první nulová poloha fioi =8 dílků. Při prvním vyvážení se jazýček vah ustálil na stupnici v poloze «s 25 dílků při hmotnosti závaží Z\ — 35,68 g. Přidáním závaží 10 mg, tj. Z2 ~ 35,69 g se rovnovážná poloha ustálila na dílku ni = -63. Po odstranění závaží a váženého předmětu byla druhá nulová poloha noj t= 14 dílků. Stanovíme nulovou polohu no 8 + 14 ■ no « ~-— = 11 . Správnou hodnotu vyvažujícího závaží získáme podle (A.3) 11 — 25 Z0 = 35,68+ {35,69- 35,68)- ~——— = 35,68159 g . Citlivost vah -63 - 25 35,69-35,68 8800 dílků/g = 8,8 dilku/mg Citlivost bereme vždy jako veličinu kladnou, vzorec (A.4) může dát někdy zápornou hodnotu, což je dáno volbou kladného směru stupnice. 82 Pokud lze na stupnici odečítat s mezní chybou 1 dílek, pak chyba hodnoty Zq je nz ~ g-g = 0,1 mg . Hmotnost vyvažujícího závaží je proto Z<3 - (35,6816 ±0,0001) g. Postup vážení na netlumených vahách Netlumené váhy nejsou vybaveny tlumicím zařízením. Díky mnoha různým faktorům jsou ale kmity vah vždy tlumené (viz obr. 28). V principu se vážení na netlumených vahách neliší od vážení na vahách tlumených. Rozdíl je pouze v tom, že díky slabému tlumení kmitů vahadla by bylo možné odečíst rovnovážnou polohu vah až po dlouhé době. To by bylo velmi nepraktické, proto pro stanovení rovnovážných poloh npi, n02, n^-n* používáme tzv, metodu tří kyvů. Tato metoda umožňuje přibližně určit rovnovážnou polohu z hodnot polohy tří po sobě následujících bodů obratu jazýčku vah. Jazýček koná slabě tlumené Kmity. Pohyb jazýčku po stupnici lze popsat vztahem n(i) = nr + At"131 sin(wť + 7). (A.6) Myšlenka metody tří kyvů vychází z toho, že obálkové křivky grafu tlumených kmitů (v obrázku 28 jsou vyznačeny čárkovaně) jsou symetrické vzhledem k hodnotě rovnovážné polohy. Kdybychom znali v některém okamžiku / \ ^ - jEtg / \ / \** **** f\ *~ *■*• — VZ -""" 83 Oas T > Obr. 28: Metoda tří kyvů pro stanovení rovnovážné polohy slabě tlumených vah 83 hodnoty obou obálkových křivek, rovnovážna hodnota by byla dána jejich aritmetickým průměrem. Jednu hodnotu obálkové krivky 02 zjistíme v bodu obratu jazýčku, ale hodnota druhé obálkové křivky ve stejném okamžiku nám bude vždy chybět. Tuto hodnotu můžeme přibližně získat za předpokladu, že obálkovou křivku mezi dvěma body obratu lze nahradit úsečkou (/? «C w). Pak je chybějící hodnota dána aritmetickým průměrem velikosti výchylek ve dvou sousedních bodech obratu a\ a 03 Vážení na elektronických vahách Elektronické váhy jsou jíž běžnou součástí fyzikálních a chemických laboratoří. Podle jejich citlivosti je možně elektronické váhy rozdělit na váhy laboratorní a analytické. Dosahují citlivostí srovnatelných s mechanickými vahami. Postup vážení je velmi jednoduchý, vyžaduje však pečlivost a dobrou přípravu vah před měřením. Před vážením musíme zkontrolovat správné uložení vah, k tomu slouží zpravidla zabudovaná libela. Elektronické váhy mají jen jednu misku a měří tíhu předmětu na ní uloženého. Tíhovou sílu, resp. číselný údaj získaný elektronickým převodníkem, srovnávají s hodnotami tíhových sil kalibračních závaží. Elektronické váhy totiž musí být po zapnutí a stabilizaci vnitřních obvodů (především ustálení vnitřní teploty) žkaJibrovány sadou kalibračních závaží, Postupy kalibrace se mohou lišit, jsou uvedeny v návodu k váhám. Před uložením předmětu na misku vah nejprve vynulujeme údaj na displeji. Vážený předmět opatrně uložíme na misku a odečteme údaj na displeji. Pokud se podstatně změní laboratorní podmínky, musíme znovu provést kalibraci vah. Chybu zjištěné hmotnosti spočítáme dle návodu v dokumentaci k váhám. Příklad A.2 Projdeme postup vážení prázdné skleněné kádinky na laboratorních vahách pomocí metody tří kyvů. Na obrázku 29 je stupnice laboratorních vah. Je zřejmé, že stupnice vah nemusí mít nulu uprostřed. • Při zjišťování první nulové polohy byly hodnoty tří po sobě jdoucích maximálních výchylek 7;16;9. Výsledná první nulová poloha (A.7) 20 15 10 5 0 Obr. 29: Stupnice laboratorních vah 84 • Prvním vyvážením závažím Zi«56,3 g byly hodnoty podle metody tří kyvů 4;17;5. První rovnovážná poloha 75 Jelikož první rovnovážná poloha leží vpravo od první nulové polohy, musíme změnit vyvažující závaží tak, aby druhá rovnovážná poloha byla větší než 12. Musíme tedy hmotnost závaží zVgtšit (předpokládáme, že závaží je na pravé misce). • Po zvětšení závaží fta hodnotu ,Z2=56,4 g byly hodnoty tří kyvů 8;19;10. Druhá rovnovážná poloha ni,I(19+i±l£) = H. • Druhá nulová poloha byla zjištěna z hodnot 8;15;8: «02 = £ (15+ -y- I = 11,5. Další postup je stejný jako « vah tlumených. Nulová poloha je ňoi + tióa _. 12+11,5 Správnou hodnotu vyvažujícího závaží získáme podle (A.3): Zo = 56,3 + (56,4 - 56,3) ■ U*™ ; *°'75 56,3308 g . - 14 — LIS, 10 Citlivost vah je 14- 10*75 an E ,n,,.. Mezní chyba hmotnosti Zo je pak^ Výsledná hodnota hmotnosti vyvažujícího závaží je tedy 2o = (56,33±0,03)g. Oprava vážení na vztlak vzduchu (redukce vážení na vakuum) Vliv vztlaku vzduchuje příkladem systematické chyby, která se vyskytuje v procesu vážení. Na předměty na miskách a na závaží nepůsobí jenom tíhové síly, ale i vztlakové síly vzduchu dle Archimedova zákona. Velikost vztlakové síly závisí na objemu těles na miskách vah a na hustotě vzduchu. Objemy těles jsou obecně různé, proto může být vztlaková síla působící na závaží jiná 85 než síla působící na vážený předmět. Pro rovnováhu na vahách s uvážením vztlaku vzduchu platí: m - evVm - Z- QvVt , (A.8) kde m je hmotnost váženého předmětu, Vm je jeho objem, Z je hmotnost závaží, yt je objem závaží a qv je hustota vzduchu. Položme V, = ~, (A.9) Q Qz kde q je hustota váženého předmětu a gz je hustota závaží. Dosázením do (A.8) a úpravou dostaneme QzKQ-Qv) Závaží bývají většinou mosazná, tj. £I=8400 kg m~3. Hustotu váženého předmětu o buď známe (podle materiálu Určíme z tabulek), nebojí určíme právě pomocí vážení. Hustota vzduchu závisí na tlaku p, teplotě i a vlhkosti vzduchu A.'Při vážení musíme proto stanovit laboratorní podmínky. Hustota vzduchu ze stavové rovnice dvousložkového plynu (suchý vzduch a vodní pára) je [9] ,N(p-0,378e), (A.ll) P°V + %) kde po = 1,293 kg m~3 je huBtota vzduchu za normálních podmínek To—273,15 K a po=101325 Pa. Teplotu vzduchu t dosazujeme ve °C< Parciální tlak vodních par určíme pomocí relativní vlhkosti jR a parciálního tlaku nasycené vodní páry E c = RE. (A.12) Parciální tlak nasycené vodní páry E můžeme nalézt v tabulkách nebo vypočítat podle vztahu £«611.10* [Pa,°C], (A.13) který lze odvodit z Clausiovy-Clapeyronovy rovnice. Hodnoty parametrů jsou a = 7,5 a 6 = 237,3°C pro teploty nad bodem mrazu, a ='9,5 a b — 265,5°C pro teploty pod bodem mrazu. Redukci vážení na vakuum provádíme i při vážení na elektronických vahách, neboť i tyto váhy srovnávají tíhu váženého předmětu a tíhu kalibračních závaží. Důležité je, aby kalibrace a vážení proběhly za stejných laboratorních podmínek. 86 Příklad A.3 Výsledek předchozího příkladu (vážení skleněné kádinky) opravíme o vztlak vzduchu. Hmotnost vyvažujícího závaží byla stanovena Z0 = (56,33 ±0,03) g . Laboratorní podmínky ť = 22,8°C, p == 96438 Pa, Ä=38%. Podle (A.13) je tlak nasycených vodních par £=.2776 Pa a parciální tlak par ve vzduchu e = 0,38 • 2776=1055 Pa. Pro hustotu vzduchu podle (A.11) dostaneme 1 293 6v --L-_^ . (96438 ~ 0,378.1055) = 1,131 kg m 101325 • (l + ' -3 Nyní můžeme přistoupit k výpočtu hmotnosti redukované na vakuum podle (A.10). Vážený předmět má hustotu q = 2250 kg m"3, závaží qm = 8400 kg m~3. „„ 2250-(8400- 1,131) r„' m=66'33;:MôrW^=66'35g- Hmotnost vážené kádinky je m ss (56,35 ±0,03) g . Přiklad A;4 V kádince, jejíž hmotnost jsme zjistili v předchozích dvou příkladech, Vážíme vodu. Váženíproběhlo za stejných laboratorních podmínek jako vážení prázdné kádinky. Hmotnost vyvažujícího závaží byla v tomto ■.případě -vf-' :.>ťf': . 2ov = (185,52±0,03)g. Pro redukci vážení na vakuum neznámé v tomto případě hustotu váženého předmětu, protože se jedná o nehomogenní těleso (kádinka a voda). Můžeme postupovat dvěma způsoby. Bud* odhadneme střední hustotu celé soustavy voda-kádinka (jelikož se jedná pouze o údaj pro výpočet opravy, případnou chybou se nedopustíme zřejmě příliš Velkého zkreslení výsledků), nebo provedeme redukci vážení pouze pro samotnou vodu následujícím způsobem. Hmotnost vyvažujícího závaží pro samotnou vodu je dána rozdílem Zv = Z0v - Zq = (129,19 ± 0,04) g . Hustotu vody známe (e =1000 kg m*"3) a po výpočtu dostaneme hmotnost vody m„ = (129,32 ±0,04) g . 87 Příklad A.6 Vážíme hliníkový předmět na tlumených analytických vahách: První nulová poloha: noi — 30 První vyvážení: m « 67 při Zi = 28,43 g Druhé vyvážení: n2 s= -35 při Z2 = 28,44 g Druhá nulová poloha: noj = 12 Rovnovážná poloha je 12 + 30 0. ■ ne = —— « 21 • Hmotnost vyvažujícího závaží Zo « 28,43+ (28,44-28,43) • = 28,4345g . Citlivost vah Chyba vážení je pak 0,1 mg. Hmotnost vyvažujícího závaží Zo- (28,4345 ± 0,0001) g . Vážení probíhalo při teplotě t s= 21,7 °C, tlaku p ~ 98925 Pa a relativní vlhkosti fí~56%. Parciální tlak podle (A.13) a (A.12) dostaneme e - 2597 Pa. Hustota vzduchu podle (A.ll) je $„=1,163 kg m-3. Hustota hliníku je q = 2700 kg m~3. Redukce vážení na vakuum podle (A.10): Z m nD 1 (76 ± 1) mA popr.: / = (76,0 db 1,2) m A á relativní chyba rj« 1,6%. Z výše uvedeného vyplývá, že je vhodné volit takový měřicí rozsah, aby se měřená hodnota co nejvíce blížila hodnotě měřícího rozsahu. V tomto případě je relativní chyba měření minimální. 91 Ma. t— A l-Ô -O Vr Ir - 92 kde U & I jsou hodnoty čtené na přístrojích. V zapojení podle obr.306j am-pérmetrem naměříme součet proudů protékajících rezistorem a voltmetrem I = IR + Iv, Proud protékající voltmetrem je dán jeho vnitřním odporem Rv, tj. Iv — U/Rv- Hodnota odporu měřeného rezistoru je pak n - y a~ I-V/Rv ' Pokud provedeme výše uvedené opravy na vliv měřících přístrojů, mohlo by být jedno, které zapojení pro měření použijeme* Hodnoty Ra a Ry jsou však také stanoveny s; jistou chybou, a proto je vhodné využít takové zapojení, kde se vliv této chyby projeví nejméně. V případě, kdy hodnota podílu U a / v zapojení a) je srovnatelná s Ra, odečítáme od sebe dvě srovnatelně velká čísla, jejich rozdíl je tedy malé číslo. Jejich chyby se sčítají dlézákona přenosu chyb, a proto dostaneme výsledek s velkou relativní chybou. Proto zapojení a) je vhodné využívat v situacích, kdy R > Ra, tj. pro velké hodnoty odporu, a zapojení b) pro R < Äv, tj. malé hodnoty odporu, Příklad 33.31 V návodu multimetru je uvedeno, že chyba měřeného napětí je lOOppm MH + ŽOppmMHMRv Určete chybu měřeného napětí, naměříme-li na rozsahu 150 V napětí 130,842 V. Řešeni; MH=130,842 V, MHMR=150 V, ppm označuje ÍO^6 (part per milion), chyba je dána vztahem: Au - 100 ■ 10"6 -130,842 + 20 < 10"6 • 150 » 0,016 V V = (130,842 ± 0,016) V . Příklad B.4 V manuálu multimetru je uvedeno, že na rozsahu 4 V je chyba měření 0,3% č.h. 4- 1 dig. Určete chybu měřeného napětí, jestliže přístroj ukazuje hodnotu 2,982 V, Řešeni; ' MH=2,982 V a 1 dig=0,001; chyba je Au - ji -2,982 + 0,001 = 0,0099 V Í/=(2,98±0,01)V. Příklad B.5 Měřicí přístroj ukazuje hodnotu indukčnbstí L =■ 22,68 uH. V manuálu je uvedeno, že chyba měření je: 0,1% + 2 dig, Určete chybu naměřené hodnoty a zapište výsledek měření. 93 Řešení: ... MH =22,68 nH a 1 dig=0,01, chyba je AL = ftg • 22,68+0,02 e> 0,04 uH L = (22,68±0,04) ují . Příklad B.6 V návodu multimetru je uvedeno, že chyba měřeného napětí je 0,05% of Reading + 0,02% Full Scale. Naměříme-íi na rozsahu 40 V napětí 21,48 V, určete chybu měřeného napětí. . : neseni: . . Reading=21,48 V, Pull Scale=40 V Au ~ if •21,48 + • 40 = 0,0187 V U sa (21,48 ± 0,02) V . | Příklad B.7 Ampérmetrem s třídou přesnosti 0,5 je měřen proud protékající odporovou zátěží. Voltmetrem je měřen úbytek napětí na této zátěži. Pro chybu napětí platí: 60ppm MH + 30ppra MHMR. -Byly naměřeny hodnoty / = 0,825 A na rozsahu 1,2 A a U. s= 86,328 V na rozsahu 100 V. Určete hodnotu odporu zátěže (R = *f) a velikost výkonu uvolňovaného na zátěži (P = VI). Pro obě veličiny stanovte chybu vypočítaných hodnot. Vliv měřicích přístrojů na zátěž zanedbejte. Řešení; Pracujeme zde s mezními chybami, které byly určeny z parametrů přístrojů, jejich odpovídající počet stupňů volnosti považujeme za nekonečně velký, a proto lze zákon přenosu chyb uplatnit přímo na mezní chyby:__ Z definice třídy přesnosti dostaneme absolutní chybu proudu: A, = 1,2-f& = 0,006 A. Chyba napětí: MH=86,328 V, MHMR=100 V Av = 60.10-6 • 86,328 + 30 • 10~6 ■ 100 = 0,0082 V Dosazením: R = 104,64 íí, Ar = 0,76 íí, fí= (104,64±0,76)ÍÍ. Pro chybu výkonu platí podobně podle zákona přenosu chyb: AP = y/PAl + V*A} . Dosazením: P = 71,2206 W, Ap = 0,52W, P=(71,22±0,52)W. 94 Dodatek C Studentovy koeficienty počet stupňů volnosti n = N - 1, kde N je počet měření n hladina spolehlivosti 0,5000 0,6827 0,9000 0,9545 0,9973 1 ■1,000 1,837 6,314 13,96 235,8 2 0,81.7 1,321 2,920 4,526 19,21 3 0,765 1,197 2,353 3,307 9,219 4 0,741 1,141 2,132 . 2,869 6,620 0,727 1,110 (2,015 ) 2,649 5,507 6 0,718 1,091. 1"Í943" 2,516 4,904 7 0,711 1,077 1,895 2,429 4,530 8 0,706 1,067 1,860 2,366 4,277 9 0,703 1,059 1,833 2,320 4,094 10 0,700 1,053 1,812 2,284 3,957 11 0,697 1,048 1,796 2,255 3,850 12 0,695 1,043 1,782 2,231 3,764 13 0,693 1,040 1,7.71 2,212 3,694 14 0,692 1,037 1,761 - 2,195 3,636 15 0,691 1,034 1,753 2,182 3,586 16 0,690 1,032 1,746 2,169 3,544 17 0,689 1,030 1,740 2,158 3,508 18 0,688 1,028 1,734 2,149 3,475 19 0,688 1,027 1,729 2,141 3,447 20 0,687 1,026 1,725 2,133 3,422 25 0,684 1,021 1,708 2,105 3,329 30 0,683 1,017 1,697 2,087 3,270 40 0,681 1,013 1,684 2,064 3,199 50 0,679 1,010 1,676 2,051 3,157 70 0,678 1,007 1,667 2,036 3,111 100 0,677 1,005 1,660 2,025 3,077 200 0,676 1,003 1,653 2,013 3,040 oo 0,675 1,000 1,645 2,000 3,000 95 Literatura [1] CSN ISO 31 Část 0 - 13, Český normalizační institut, Praha 1994. [2] Celý J.: Programové moduly pro fyzikální výpočty, UJEP Brno 1985. [3] Meloun M., Militký J.: Statistické zpracování experimentálních dat, PLUS Praha 1994. [4] Hátle J., Kahounová J,; Úvod do teorie pravděpodobnosti, SNTL/ALFA Praha 1987. [5] Humlíček J.: Statistické zpracování výsledků měření, UJEP Brno 1984. 7 [6] Horák Z.: Praktická fysika, SNTL Praha 1958. [7] Rektorys K. a kol: Přehled užité matematiky, SNTL Praha 1963. [8] ISO/TAG4/WG3, Guide to the expression of uncertainity in measurement, ISO, Geneve, 1993. [9] Brož J. a kol.: Základy fyzikálních měření (I), SPN Praha 1983.' 97