Maticový zápis soustavy rovnic

http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/maticovy_zapis_soustavy_rovnic.gif


Cramerovo pravidlo

Nechť A je regulární matice řádu n a A[i] je čtvercová matice řádu n vzniklá z
matice A nahrazením i-tého sloupce matice A vektorem b. Potom jediné řešení x =
(x[1],..., x[n])^T je dáno vztahem:

http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo.gif

Příklad: Řešte soustavu rovnic pomocí Cramerova pravidla:

http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo_priklad_1.gif

http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo_priklad_2.gif

Matice A je regulární. Můžeme tedy pokračovat dále.



http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo_priklad_3.gif

http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo_priklad_6.gif


http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo_priklad_4.gif

http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo_priklad_7.gif


http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo_priklad_5.gif

http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo_priklad_8.gif

Řešení dané soustavy je tedy:

http://www.aristoteles.cz/matematika/linearni_algebra/soustavy/cramerovo_pravidlo_priklad_9.gif


  * Pokud je matice A singulární, je lepší dále počítat pomocí Gaussovy eliminační metody.

·         Pokud je matice A sigulární matice a ostatní matice A[i ]jsou taktéž singulární, má
soustava nekonečně mnoho řešení.

·         Pokud je matice A sigulární matice a alespoň je jedna z matic A[i] je regulární, pak daná
soustava nemá řešení.

 Úkolem je řešit soustavu rovnic Craemerovým pravidlem a Gaus. elim. metodou

1.

x + y = 3

x - 2 y = 1


2.           x + 2y = 5

             4x + 3y = 15


3.         –x + 2y + 3z =  3

              x          - 6z = -3

             2x + 4y         =  0


Definice

Algebraickým doplňkem prvku  matice  nazýváme číslo , kde  je subdeterminant vzniklý z matice
vynecháním -tého řádku a -tého sloupce.

Výpočet inverzní matice

Věta

Inverzní matice k regulární matici  řádu  má tvar


,

kde  jsou algebraické doplňky prvků .

Definice

Matice , tj. transponovaná matice algebraických doplňků je matice adjungovaná.

Počítání pomocí této metody je obvykle zdlouhavé, hodí se především pro strojové zpracování,
protože je velmi přímočaré.

Řešený příklad najdete na http://www.matematika-lucerna.cz/lingebra/inverzni-matice-algeb-d.pdf


Vypočtěte inverzní matici, do třetího řádu oběma metodami, čtvrtého řádu pouze Gaussovou metodou

a)  , b)  , c)  ,d)  , e)  ,

f)  .

Řešení úloh

1a)  , 1b)  , 1c)  ; 1d)  ,

http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/Cviceni/lacv13.pdf