Obsah
1. Počátky kvantové fyziky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Korpuskulární pojetí záření a Planckova hypotéza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Záření černého tělesa a Planckova konstanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Fotoefekt a Einsteinovy fotony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Comptonův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Diskrétní energiové hladiny a Bohrův model atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Čarová spektra a stavba atomů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Bohrovy postuláty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Atom vodíku v Bohrově teorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4. Úspěchy, potíže a meze použitelnosti staré kvantové teorie . . . . . . . . . . . . . 11
2. Vlnová funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Úvodem k nové kvantové teorii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Vlnové vlastnosti částic a de Broglieho hypotéza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Interpretace vlnové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Bornova pravděpodobnostní interpretace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2. Normalizace vlnové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3. Vlastnosti vlnových funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Princip superpozice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5. Heisenbergovy relace neurčitosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.1. Relace neurčitosti pro souřadnici a hybnost. Vlnové klubko . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.2. Dva experimenty k relaci neurčitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.3. Příklady použití relace neurčitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1. Schr¨odingerova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1. Časový vývoj stavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2. Stacionární stavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Rovnice kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Jednorozměrné potenciály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1. O jednorozměrných potenciálech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4. Potenciálový schod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1. Potenciálová bariéra. Tunelový jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2. Pravoúhlá potenciálová jáma. Vázané stavy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.3. Potenciálová jáma obecného tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.4. Dvojitá potenciálová jáma - část I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.5. Dvojitá potenciálová jáma – část II: Časový vývoj stavu . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.6. Parabolická potenciálová jáma. (Harmonický oscilátor) . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.7. Částice v trojrozměrné krabici. Degenerace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.8. Částice v periodickém potenciálovém poli. Energiové pásy . . . . . . . . . . . . . . 81
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1. Matematický aparát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
»» 1
4.2. Hermitovské operátory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3. Postuláty kvantové mechaniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.1. Popis stavu soustavy (částice). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.2. Měřitelné fyzikální veličiny a operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.3. Střední hodnota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.4. Časový vývoj stavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.5. Současně měřitelné veličiny a úplný soubor kvantových čísel . . . . . . . . . . . 102
5. Pohyb v centrálním poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1. Moment hybnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.1. Operátory momentu hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.2. Vlastní funkce a vlastní hodnoty operátorů ˆLz a ˆL2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2. Atom vodíku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1. Schr¨odingerova rovnice pro atom vodíku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3. Moment hybnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6. Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1. Experimentální podněty k zavedení spinu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.1. Operátory - matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.2. Operátory spinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.1.3. Spinové vlnové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.1.4. Zeemanův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7. Soustavy stejných částic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1. Dvě různé částice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1.1. Princip nerozlišitelnosti částic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.1.2. Vlnové funkce soustavy stejných částic. Symetrické a antisymetrické
stavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.1.3. Molekula vodíku. Chemická vazba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8. Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.1. Posuv čar atomu vodíku, redukovaná hmotnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2. Gaussova funkce a její graf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3. Potenciálový schod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.4. Více o hermitovských operátorech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.4.1. Definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.4.2. Vlastnosti vlastních hodnot a vlastních funkcí hermitovských operátorů
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.4.3. Součet a součin hermitovských operátorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.4.4. Vlastní funkce komutujících operátorů. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4.5. Operátory souřadnice a hybnosti a další . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.5. Některé žertovné matematické úpravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.6. Vektorový prostor – úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.7. Diracova symbolika – úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2 «« »»
1Počátky kvantové fyziky
Experimentální kořeny kvantové mechaniky sahají hluboko do XIX. století. Studium rentgenových
paprsků, radioaktivity, katodových paprsků, tepelného záření, fotoefektu a řady dalších
jevů je možné plným právem považovat za zdroje kvantové teorie. Tato skutečnost se stávala zřejmou
postupně, mnohdy až souběžně s rozvojem vlastní kvantové mechaniky. Ohromné úspěchy,
kterých dosáhla klasická fyzika (mechanika, elektrodynamika, elektromagnetická teorie světla,
termodynamika a statistická fyzika), vedly na přelomu XIX. a XX. století k přesvědčení, že
fyzikální obraz je téměř dokončen. Existovaly jevy, které se stále nedaly objasnit, ale mezi fyziky
převládalo přesvědčení, že je jenom otázkou času, kdy tyto obláčky na zářivě modrém nebi
fyziky zmizí. Dnes při pohledu zpět vidíme, že právě v nich byl zárodek zcela nového pohledu
na svět.
Na cestě k současné kvantové teorii lze vystopovat dvě základní křivolaké linie, které se
přibližovaly, vzdalovaly a jak dnes vidíme, někdy i protínaly, až se konečně spojily v jediné
teorii — kvantové mechanice. První z nich je spojena především s řešením úloh teorie záření.
Kvantovou se stala díky pracím Maxe Plancka (1900) a Alberta Einsteina (1905). Fyzika jí
vděčí například za zavedení pojmů kvantum energie, foton, indukované záření a za vyjasnění
korpuskulárně-vlnového charakteru světla. Podél druhé linie se řešily hlavně problémy stavby
atomů a optických spekter. Do kvantové teorie vešla až v roce 1913 pracemi Nielse Bohra. Přinesla
s sebou představy o diskrétních energiových hladinách a přechodech mezi nimi, kvantová
čísla, výběrová pravidla atd. V následujících odstavcích se jen krátce zmíníme o některých problémech,
jejichž řešení mělo pro budování kvantové teorie klíčový význam. Podrobnější vylíčení
historie vzniku kvantové teorie spolu s populárním výkladem základů, přístupným studentům
středních škol, je možné nalézt v [1] a [2]. Pokud jde o podrobný popis a vysvětlení klíčových
experimentů moderní fyziky, upozorňujeme na knihu [3].
1.1. Korpuskulární pojetí záření a Planckova hypotéza
1.1.1. Záření černého tělesa a Planckova konstanta
Chronologicky se první náznak zhroucení klasických představ objevil u dosti komplikovaného
jevu, který nazýváme zářením černého tělesa, při kterém se jedná o termodynamický popis
výměny energie mezi zářením a látkou. V klasickém pojetí předpokládáme, že tato výměna
energie je spojitá, tj. že světlo o frekvenci ν může odevzdat jakékoli množství energie, je-li
pohlceno. Přesné množství v každém jednotlivém případě pak závisí pouze na intenzitě světla. Na
základě těchto představ se však nedařilo vysvětlit experimentálně zjištěnou závislost spektrální
hustoty zářivé energie v dutině černého tělesa na vlnové délce (obr. 1.1).
Max Planck odvodil (1900) správný vztah dávající výsledky v souladu s experimentem za
předpokladu, že výměna energie není spojitá, nýbrž se děje po kvantech úměrných frekvenci ν
záření
E = hν , (1.1)
kde
h = 6,6262·10−34
Js
«« »» 3
1. Počátky kvantové fyziky
λ(µm)
u(λ)
1500 K
1200 K
1000 K
0 1 2 3 4 5 6
Obr. 1.1
Spektrální rozdělení energie záření
černého tělesa pro tři teploty
se nazývá Planckova konstanta. Ve fyzice se užívá častěji než frekvence ν kruhová frekvence
ω = 2πν. Pomocí ní vztah (1.1) zní
E = ¯hω , (1.2)
kde
¯h =
h
2π
.
1.1.2. Fotoefekt a Einsteinovy fotony
Mnohem jednodušší příklad pro korpuskulární pohled na záření představuje fotoelektrický
jev. Jestliže ozáříme svazkem viditelného nebo ultrafialového záření o úhlové frekvenci ω povrch
kovu, může dojít k emisi elektronu. Pro klasickou fyziku byly nevysvětlitelné tyto pozorované
zákonitosti (obr. 1.2 a 1.3):
i) K emisi dochází jen pro světlo s úhlovou frekvencí ω > ωh, přičemž hraniční frekvence ωh
je pro různé kovy různá.
ii) Kinetická energie T vyletujících elektronů závisí jen na frekvenci světla, a to lineárně
(obr. 1.3). Růst intenzity světla dané frekvence zvětšuje pouze počet emitovaných elektronů,
nikoli jejich kinetickou energii.
Z hlediska klasické fyziky zvětšení intenzity světla vede ke zvětšení intenzity elektrického pole
elektromagnetického vlny a to by mělo vést k urychlení elektronu na větší rychlost při výstupu
z kovu; to se však právě nikdy nepozoruje. Rovněž existenci hraniční frekvence klasická fyzika
nevysvětlí.
Zjištěné zákonitosti objasnil Albert Einstein (1905) na základě Planckovy hypotézy o nespojité
výměně energie. Einstein šel dál a Planckovu hypotézu přeformuloval tak, že záření o úhlové
frekvenci ω se chová jako soubor částic (fotonů) o energii
E = ¯hω ,
které mohou být vyzařovány nebo pohlcovány látkou jen jako celek.
4 «« »»
1.1. Korpuskulární pojetí záření a Planckova hypotéza
kov
ω1 < ωh
(λ1 > λh)
kov
ω2 > ωh
λ2 < λh
kov
ω3 > ω2 > ωh
λ3 < λ2 < λh
Obr. 1.2 Fotoefekt. Při dopadu záření s frekvencí ω > ωh na kov dochází k emisi elektronů;
ωh = Av/¯h, kde Av je výstupní práce daného kovu
Obr. 1.3
Závislost kinetické energie T emitovaných elektronů na frekvenci
ω dopadajícího záření. Směrnice přímky je pro všechny emitující
materiály stejná, mění se jen ωh (tj. výstupní práce)
T = ¯hω − Av
ω
ωh
Poněvadž se pohybují rychlostí světla, musí být podle speciální teorie relativity jejich klidová
hmotnost rovna nule. Z relativistického vztahu mezi energií a hybností
E2
c2
= p2
m2
c2
, (1.3)
potom plyne, že pro fotony platí
p =
E
c
=
hν
c
=
h
λ
. (1.4)
Zavedeme-li vlnový vektor k (k = 2π/λ), můžeme psát
p = ¯hk . (1.5)
Vztahy
E = ¯hω , (1.6)
p = ¯hk , (1.7)
spojují parametry (E, p) částice — fotonu a parametry (ω, k) pro odpovídající rovinnou vlnu1
)
E = E0 exp −i ωt − kr . (1.8)
1) Nezaměňujte, prosím, vektor elektrické intenzity E s energií částice (v našem případě fotonu) E.
«« »» 5
1. Počátky kvantové fyziky
Pomocí představy o kvantování elektromagnetického pole zní pak vysvětlení zákonitostí fotoefektu
takto: dopadající foton se absorbuje a jeho energii E = ¯hω získá elektron. Poněvadž
k uvolnění elektronu z kovu je nutná jistá energie (nazývá se výstupní práce a označuje se Av),
bude kinetická energie T vyletujícího elektronu rovna
T = ¯hω − Av . (1.9)
Závislost (1.9) je na obr. 1.3, přičemž ωh = Av/¯h. Je-li ¯hω < Av, energie, kterou předá foton
elektronu, nestačí k jeho vytržení z kovu, a tudíž nedochází k emisi elektronu z kovu. Zvětšení
(zmenšení) intenzity světla s danou frekvencí ω znamená zvětšení (zmenšení) počtu dopadajících
fotonů s energií ¯hω a tím i zvětšení (zmenšení) počtu emitovaných elektronů.
Fotoelektrický jev je tudíž velmi specifickým potvrzením Planckovy hypotézy, protože zde
dochází k přímé výměně energie mezi zářením a elektrony a žádné jiné fyzikální aspekty zde
nevystupují.
Po úspěšném rozvoji optiky v XIX. století, završeném Maxwellovou teorií se zdálo, že vlnová
povaha světla je nepochybná. Einsteinova práce však ukázala, že k objasnění některých
jevů bude nutné přijmout částicovou (korpuskulární) představu, i když k výkladu jiných (interference,
difrakce) bude zase třeba zůstat u představy vlnové. Budoucnost ukázala, že tato
dvojjakost projevů světla, tzv. korpuskulárně-vlnový dualismus, obsažených ve vztazích (1.6),
(1.7) patří spolu s nespojitou změnou — kvantováním — některých fyzikálních veličin k základním
charakteristikám mikrosvěta.
1.1.3. Comptonův jev
Fotoelektrický jev a záření černého tělesa ukazují pouze, že výměna energie se děje výměnou
kvant ¯hω. Korpuskulární charakter záření samého se nejjasněji projevuje v rozptylu záření γ na
elektronech (tzv. Comptonův zjev – 1922). Tento děj popíšeme stejně jako srážky dvou kulečníkových
koulí Obr. 1.4 znázorňuje, jak lze tuto situaci schematicky zobrazit: foton o hybnosti p1
(energii p1c) narazí na elektron v klidu (energie mec2
).
e
Θ
p2
p1
pe
Obr. 1.4 Znázornění srážky fotonu s hybností p1 s elektronem nalézajícím se v klidu. Z místa
srážky je elektron vyražen s hybností pe a rozptýlený foton má hybnost p2 (Comptonův
zjev)
6 «« »»
1.2. Diskrétní energiové hladiny a Bohrův model atomu
Po srážce má foton hybnost p2 (energii p2c) a elektron má hybnost pe (energii p2
ec2 + m2
ec4).
Podle zákona zachování hybnosti
p1 = p2 + pe . (1.10)
Odtud dostáváme
p2
e = p2
1 + p2
2 − 2p1p2 cos θ . (1.11)
Z (relativistického) zákona zachování energie (viz 1.3) plyne
p1c + mec2
= p2c + p2
ec2 + m2
ec4 . (1.12)
Vyloučíme-li p2
e z (1.11) a (1.12), obdržíme snadno
mec (p1 − p2) = 2p1p2 sin2 θ
2
.
Vydělíme-li tento vztah p1p2 a vyjádříme-li výsledek pomocí vlnových délek λ1 a λ2, pro něž
z rovnice (1.4) máme
λ1 =
h
p1
, (1.13)
λ2 =
h
p2
, (1.14)
dostáváme
λ2 − λ1 = 2λc sin2 θ
2
.
kde λc je tzv. Comptonova vlnová délka. Pro elektron
λc =
h
mec
.
= 2,4·10−12
m .
Tato změna vlnové délky, jež závisí pouze na úhlu rozptylu záření θ, a nikoli na původní frekvenci,
je právě to, co se experimentálně pozoruje. Výsledek je přímým důsledkem jednoduchého
korpuskulárního pojetí srážky fotonu s elektronem a nemůže být vysvětlen v rámci vlnového
popisu záření.
1.2. Diskrétní energiové hladiny a Bohrův model atomu
1.2.1. Čarová spektra a stavba atomů
Z experimentálního studia spekter atomů vyplynuly dva závěry:
i) Každý prvek má své neměnné čárové spektrum.
ii) Každý prvek absorbuje takové záření, jaké může též emitovat.
První kvantitativní závislostí v teorii spekter byla formule odvozená J. Balmerem (1885) pro
frekvence odpovídající tehdy známým čarám2
) vodíkového atomu
ω2,n = R
1
22
−
1
n2
, n = 3, 4, 5, . . . , (1.15)
2) Elektromagnetické záření v rozmezí vlnových délek mezi 390 nm a 790 nm detekujeme naším zrakem. Tomuto intervalu
vlnových délek odpovídají úhlové frekvence (ω = 2πc/λ) v rozmezí ωspodníλ
.
= 4,83·1015s−1 ωhorníλ
.
= 2,39·1015s−1.
«« »» 7
1. Počátky kvantové fyziky
kde R = 2·1016
s−1
je Rydbergova konstanta3
). Balmerova formule ve tvaru (1.15) navozuje
myšlenku, že mohou existovat i jiné serie čar, pro něž by platilo
ωm,n = R
1
m2
−
1
n2
, (1.16)
kde m < n jsou přirozená čísla. Skutečně roku 1908 objevil Lyman v ultrafialové oblasti spektra4
)
serii čar odpovídající m = 1 a n = 2, 3, 4, . . . a týž rok Paschen nalezl v infračervené oblasti5
)
serii čar s m = 3 a n = 4, 5, 6, . . . .
Mechanismus vzniku čarových a naprosto reprodukovatelných spekter, jednoznačně identifikujících
prvky, svědčící o stabilitě atomů, byl však začátkem století záhadou, jejíž rozřešení
bezprostředně souviselo s problémem stavby atomů. Vyvozením formule (1.16) se stalo prvním
úkolem a základním testem všech budoucích teorií. Klasický výklad použitý k popisu elektronu
v atomu vodíku přitom zřetelně selhal.
Z Rutherfordových experimentů (1909) vyplynulo, že atom si můžeme představit složený
z negativně nabitých elektronů obíhajících kolem masívního, pozitivně nabitého jádra (pro vodík
je to jediný proton). Zanedbáme-li záření, máme systém zcela analogický k Slunci a planetě
kolem něho klokotající, v němž gravitační působení mezi hmotnostmi je nahrazeno Coulombovou
přitažlivou silou mezi opačně nabitými náboji. Záření však nemůžeme zanedbat. Obíhající
elektron představuje náboj pohybující se se zrychlením, který se podle Maxwellovy teorie chová
jako zdroj záření. Podle klasické elektrodynamiky by měl za 10−9
s dopadnout na jádro a zbavit
se tak své mechanické energie vysláním elektromagnetického záření. Frekvence vysílaného záření
závisí na frekvenci oběhu elektronu. Protože elektron vyzařuje postupně energii, tato frekvence
— opět podle klasické teorie — by se měla rychle, avšak spojitě měnit a vznikající záření by
mělo mít tudíž spojitou oblast frekvencí.
Klasická teorie Rutherfordova planetárního modelu atomu má tedy dva důležité kvalitativní
rysy:
i) Atom by měl být velmi nestabilní.
ii) Atom by měl vysílat elektromagnetické záření ve spojité oblasti spektra.
Oba jsou však v úplném protikladu k experimentu.
1.2.2. Bohrovy postuláty
V roce 1913 uveřejnil Niels Bohr serii prací, v nichž se pokusil o spojení Planckovy a Einsteinovy
kvantové hypotézy s Rutherfordovým modelem atomu; jeho cílem bylo objasnit především
stabilitu atomů a vznik čarových spekter. Uvědomoval si přitom jasně, že nahromaděný experimentální
materiál zřejmě svědčí proti extrapolaci klasické mechaniky a elektrodynamiky do
atomových dimenzí, v nichž nikdy předtím nebyly experimentálně ověřovány.
Bohrovy předpoklady a závěry lze shrnout takto:
i) Postulát o stacionárních stavech
Elektron v atomu se může nacházet jen v kruhových orbitách, na nichž velikost L momentu
hybnosti6
) elektronu je celistvým násobkem ¯h
L = n¯h , n = 1, 2, 3, . . . (1.17)
3) Všimněme si například velikosti ω2,3 = 2,77·1015 s−1, ω2,4 = 3,75·1015 s−1 případně ω2,n→∞ = 5,00·1015 s−1.
4) UV – rozmezí vlnových délek 10 nm až 390 nm.
5) IR – interval délek 790 nm až 3000 nm.
6) L = rxmv , L = L = |r| |mv| sin α = rmv sin(π/2).
8 «« »»
1.2. Diskrétní energiové hladiny a Bohrův model atomu
Na těchto stacionárních drahách elektron nevyzařuje elektromagnetické záření.
Požadavek diskrétních hodnot pro moment hybnosti bezprostředně vede k diskrétním
hodnotám energie E1, E2, . . . .
ii) Postulát o kvantových skocích
Atom emituje nebo absorbuje elektromagnetické záření pouze při přechodu elektronu
z jednoho stacionárního stavu do druhého. Při přechodu ze stavu s energií Ei do stavu
s energií7
) Ef se emituje (Ei > Ef ) nebo absorbuje (Ei < Ef ) foton s energií
¯hωf,i = |Ei − Ef | . (1.18)
1.2.3. Atom vodíku v Bohrově teorii
Atom vodíku je tvořen jádrem s hmotností M a nábojem +e, kolem něhož obíhá elektron
s hmotností m a nábojem −e (obr. 1.5). Protože M
.
= 2·103
me , můžeme s dobrou přesností6
)
považovat jádro za nehybné. Na elektron působí jádro přitažlivou silou, jejíž velikost je podle
Coulombova zákona rovna
Fe =
1
4πε0
e2
r2
. (1.19)
M, e
me, −ev
r
Fe
an
Obr. 1.5 Elektron (me, −e) obíhající kolem nehybného jádra (M, e)
Velikost dostředivého zrychlení elektronu, který se pohybuje rovnoměrně rychlostí o velikosti
v po kruhové dráze o poloměru r, je
an =
v2
r
. (1.20)
Z druhého Newtonova zákona7
)
Fe = mean (1.21)
7) i – initial (počáteční), f – final (konečný) stav.
6) Pokud by se nezbednému bakaláři výše zmíněná přesnost nezdála býti dostatečnou, může v dodatcích na straně 142
nalézt řešení tohoto problému v soustavě těžišťově, jenž povede na posun čar ve spektru atomu vodíku.
7) Vzhledem k velikostem gravitační síly a coulombovské síly působící mezi jádrem a elektronem je možno gravitační
působení zanedbat a za výslednici sil tak považovat pouze sílu odpovídající vzájemné elektrostatické interakci (viz rovnice
1.19).
«« »» 9
1. Počátky kvantové fyziky
po dosazení z (1.19) a (1.20) dostáváme
1
4πε0
e2
r2
= me
v2
r
⇒ mev2
=
1
4πε0
e2
r
. (1.22)
Celková energie elektronu je rovna součtu jeho kinetické a potenciální energie
E = T + V =
1
2
mev2
−
1
4πε0
e2
r
. (1.23)
Dosadíme-li za mev2
z rovnice (1.22), obdržíme
E = −
1
2
e2
4πε0
1
r
. (1.24)
Poloměr r orbity nemůže však být libovolný, musí vyhovovat kvantové podmínce (1.17).
Poněvadž v⊥r, je velikost orbitálního momentu hybnosti rovna
L = mevr . (1.25)
Podmínka (1.17) tak dává, že
mevr = n¯h , n = 1, 2, 3, . . . (1.26)
Rovnice (1.22) a (1.26) představují dvě rovnice pro dvě neznámé r a v. Vyloučíme-li z nich
v, dostaneme poloměry stacionárních orbit rozlišené závislostí na čísle n
rn =
4πε0¯h2
mee2
n2
. (1.27)
Dosazením (1.27) do (1.24) získáme energii n-tého stacionárního stavu
En = −
1
2
mee4
(4πε0)
2
¯h2
1
n2
, n = 1, 2, 3, . . . (1.28)
Základní stav (stav s nejnižší energií) atomu odpovídá kvantovému číslu n = 1. Poloměr
příslušné orbity r1 je tzv. Bohrův poloměr
rn=1 = aB =
4πε0¯h2
mee2
= 0,529·10−10
m (1.29)
a energie základního stavu je8
)
E1 = −
1
2
e2
4πε0aB
= −2,17·10−18
J = −13,6 eV . (1.30)
Frekvence ωm,n světla emitovaného při přechodu elektronu z energiové hladiny En na Em
(n > m) je podle (1.18) a (1.30) rovna
ωm,n =
En − Em
¯h
= R
1
m2
−
1
n2
, (1.31)
8) Již jsme si zajisté povšimli, že v kvantové mechanice si nevystačíme s jednotkami mechaniky klasické, jsou pro nás
velmi velké. Proto nás ani nepřekvapí, že se nebudeme příliš často setkávat s jednotkou energie [J] v klasické mechanice tak
oblíbenou, ale spíš s její velmi malou (příbuznou) jednotkou - [eV]. Energii 1 eV získá totiž elektron, který je urychlen
rozdílem potenciálů 1 V na vzdálenosti 1 m.
10 «« »»
1.2. Diskrétní energiové hladiny a Bohrův model atomu
0
−5
−10
−13,6
E (eV)
1
2
3
...
∞
n
. . .
Lyman
. . .
Balmer
. . .
Paschen
Obr. 1.6 Přechody mezi energiovámi hladinami atomu vodíku. Jsou vyznačeny Lymanova, Balmerova
a Paschenova spektrální série
kde
R =
mee4
2 (4πε0)
2
¯h3
= 2,068·1016
s−1
(1.32)
je Rydbergova konstanta.
Odvození zobecněného Balmerova vztahu (1.16) a velice dobrá shoda Rydbergovy konstanty
vypočtené podle (1.32) s hodnotou naměřenou znamenaly vskutku triumf Bohrovy teorie.
1.2.4. Úspěchy, potíže a meze použitelnosti staré kvantové teorie
Stará kvantová teorie založená na Bohrových pracích z roku 1913 a rozpracovaná v letech
1913-1924 ve své konečné podobě umožnila značný pokrok ve studiu spekter, neboť dávala
obecný návod k výpočtu spektrálních termů určité třídy atomových a molekulárních soustav.
Výsledky získané pro atom vodíku bylo možno snadno zobecnit na ionty He+
, Li++
a atomy
alkalických kovů; teorie byla rovněž použitelná na rotační a vibrační spektra molekul a na
rentgenovská spektra atomů. Na druhé straně však narážela na značné potíže při řešení problému
složitějších atomů; dokonce se ani nepodařilo dosáhnout přesné shody s pozorovaným spektrem
atomu He.
Tato stará kvantová teorie však nebyla úplná. K jejím vážným omezením patřila skutečnost,
že pravidla kvantování byla použitelná pouze na periodické pohyby. Tak zůstávala mimo rámec
této teorie např. celá problematika srážek (rozptylu) částic.
«« »» 11
1. Počátky kvantové fyziky
Principiální obtíže staré kvantové teorie však spočívaly v její logické struktuře. Empiricky
zavedená kvantová pravidla představují jen čistě formální omezení, kladená na řešení klasických
pohybových rovnic; bez jakéhokoliv hlubšího zdůvodnění předepisují, že ze všech možných
klasických řešení je třeba ponechat jen nepatrnou podmnožinu, má-li být dosaženo shody s experimentem.
Přitom je navíc obtížné sladit dohromady pravidla kvantování s používaným pojmem
trajektorie. Existence klasické trajektorie částice znamená, že částice má v každém okamžiku
přesně určenou polohu a hybnost a tyto veličiny se spojitě mění s časem. Jak ale potom bude
vypadat trajektorie elektronu, když zde elektron mění svoji energii skokem? Nebo naopak: protože
existenci diskrétních energiových hladin (předávání energie po kvantech) lze považovat za
experimentálně prokázanou, bude zřejmě nutné opustit představu klasické trajektorie u mikro-
částic.
Stará kvantová teorie, tato podivuhodně vymyšlená kombinace klasické mechaniky a ad
hoc9
)zavedených kvantových pravidel, tedy nebyla — navzdory ohromným zásluhám, které si
v historii fyziky vydobyla — úplnou, logicky bezespornou fyzikální teorií.
9) Ad hoc – jen k tomu účelu; schválně.
12 «« »»
2Vlnová funkce
2.1. Úvodem k nové kvantové teorii
Ke vzniku moderní kvantové teorie, tj. dnešní kvantové mechaniky, došlo dvěma v podstatě
nezávislými cestami.
V roce 1925 Heisenberg, Born a Jordan zformulovali tzv. maticovou mechaniku, v níž jsou měřitelné
fyzikální veličiny reprezentovány (obecně nekomutujícími) maticemi. Pomocí této teorie
se jim podařilo odvodit Bohrovu kvantovou podmínku (1.18) a nalézt energiové hladiny kvantového
harmonického oscilátoru. Když o rok později nalezl W. Pauli stejnou metodou kvantování
energie atomu vodíku, většina fyziků uznala správnost této teorie.
Téměř současně, v roce 1926, publikoval E. Schr¨odinger čtyři práce nazvané „Quantisierung
als Eigenwertproblem 1
), v nichž byl položen základ tzv. vlnové mechaniky. Schr¨odinger vyšel
při její formulaci z hypotézy L. de Broglieho (1924), podle níž je volné částici2
) přiřazena rovinná
vlna. Tato hypotéza byla vskutku převratná, uvědomíme-li si, že v té době neexistovaly
žádné přímé experimentální důkazy o vlnových vlastnostech částic; ty byly podány až o tři roky
později (C. J. Davisson a L. H. Germer – 1927). Schr¨odinger zobecnil de Broglieho hypotézu
předpokladem, že i částici, jež se pohybuje v silovém poli, je třeba popsat „vlnovou funkcí (která
je ovšem komplikovanější než rovinná vlna a vlnu svým matematickým tvarem obecně vůbec
nepřipomíná), a nalezl diferenciální rovnici, kterou tato vlnová funkce splňuje a která od té doby
nese jeho jméno. V uvedých čtyřech pracích také vyřešil několik základních kvantových úloh.
Matematická příbuznost jeho teorie s problémy teorie vlnění způsobovala, že Schr¨odingerovy
práce byly mnohem přijatelnější než abstraktní a tehdy nezvyklý maticový přístup Heisenbergův,
Bornův a Jordanův. Proto byla Schr¨odingerova teorie ihned nadšeně přijímána. V roce
1926 byla nalezena také vyhovující (pravděpodobnostní) interpretace vlnové funkce (M. Born
1926).
Na první pohled se zdálo, že Heisenbergova maticová mechanika a Schr¨odingerova vlnová
mechanika jsou dvě naprosto odlišné teorie, přestože dávají stejné a správné výsledky. Již roku
1926 však Schr¨odinger dokázal, že jsou to dvě různé formulace (reprezentace) jedné teorie.
Rozpracování zcela obecného formalismu této teorie bylo provedeno brzy poté (P. M. A. Dirac
1930). Tak během několika let byly položeny základy nerelativistické kvantové mechaniky. Cesta
ke studiu atomů a molekul byla otevřena.
Obecný formalismus, vycházející z axiomatického základu, představuje bezesporu nejelegantnější
a logicky nejuspokojivější způsob výkladu kvantové mechaniky. Pro naprosté začátečníky
(za něž se při prvním studiu tohoto textu nutně musíme považovat) je v tomto přístupu skryto
nebezpečí, že se za abstraktním matematickým aparátem začne vytrácet fyzikální podstata studovaných
jevů. Odložíme proto úvod k tomuto přístupu až do kapitoly 4 nazvané „Úvod do
formalismu kvantové mechaniky (strana 87). I zde se však omezíme pouze na jednu z možných
reprezentací, a to na tzv. souřadnicovou reprezentaci, která se při řešení kvantově-mechanických
úloh také nejčastěji používá) a do té doby se přidržíme názornějšího výkladu: v této kapitole
2 „Vlnová funkce zavedeme základní pojmy a v kapitole 3 „Jednorozměrné potenciály
na straně 30 je budeme aplikovat na řešení několika úloh. Takto připraveni se snad snadněji
„smíříme s postuláty uvedenými v následující 4 kapitole (strana 87).
1) Ann. Phys. 79, (1926) 361, 79 (1926) 489, 80 (1926) 437, 81 (1926) 109
2) Volná částice – částice, na kterou nepůsobí žádná síla.
«« »» 13
2. Vlnová funkce
2.2. Vlnové vlastnosti částic a de Broglieho hypotéza
Víme, že elektromagnetické záření má jak vlastnosti vlnové, tak korpuskulární, přičemž vlnové
charakteristiky — frekvence ω a vlnový vektor k — jsou vázány s částicovými charakteristikami
— energií E a hybností p — vztahy (1.6), (1.7). Základní de Broglieho myšlenka spočívá v rozšíření
základních zákonů kvantové teorie světla na pohyb částic. Louis de Broglie předpokládal
(1924), že každé volné částici (tj. částici, na niž nikde nepůsobí žádné vnější síly) o energii E
a hybnosti p lze přiřadit rovinnou monochromatickou vlnu
ψ (r, t) = C exp −i ωt − kr ; (2.1)
frekvence ω této vlny a její vlnový vektor k souvisí s energií E a hybností p částice podle týchž
rovnic, které platí pro fotony, tj.
ω =
1
¯h
E , (2.2)
k =
1
¯h
p . (2.3)
Když L. de Broglie formuloval svou hypotézu, neexistoval žádný experiment ukazující na
vlnové vlastnosti částic; experimentální důkaz přišel až o tři roky později v roce 1927 (Davisson
a Germer3
)).
Abychom dokázali projevy předpokládané vlnové povahy částic, musíme hledat typické vlastnosti
vln, jako jsou interference a difrakce. Připomeňme, že interferenční a difrakční jevy se projevují
zřetelně jen tehdy, jestliže vlna interaguje s objekty, jejichž velikost je srovnatelná s její
vlnovou délkou. Nejdříve si proto musíme udělat konkrétnější představu o typických vlnových
délkách vln přiřazených částicím. Za prvé uvažujme částici, kterou pozorujeme při sledování
Brownova pohybu: její průměr může být 1 µm, hmotnost m
.
= 10−15
kg a střední kinetická
energie při pokojové teplotě je T
.
= 10−20
J4
). Podle vztahu (2.3) jí přísluší vlna o vlnové délce
λ =
h
p
∼ 10−15
m .
Vlnová délka takové částice je o mnoho řádů menší než je její velikost, a proto se vlnové
vlastnosti v tomto případě nemohou zřejmě projevit. Za druhé uvažujme elektron (me =
9,31·10−31
kg) urychlený napětím U = 100 V. Ten získá kinetickou energii T = eU = 100 eV =
100 1,60·10−19
= 1,60·10−17
J, a podle vztahu (2.3) mu přísluší vlna s vlnovou délkou
λ =
h
p
= 1,2·10−10
m .
Tato vlnová délka je srovnatelná s meziatomovými vzdálenostmi v krystalech. Necháme-li pak
takový elektronový svazek dopadat na povrch krystalu, pozorujeme stejné interferenční efekty,
jako kdybychom krystal ozářili elektromagnetickou vlnou o téže vlnové délce λ = h/p (pokusy
Davissona a Germera z roku 1927).
3) Za přibližně 15 řádků se už konečně trpělivý student dozví, jaké to vlastně byly pokusy.
4) K této hodnotě se dopracujeme, uvědomíme-li si, jak souvisí energie tepelného pohybu např. molekul plynu s teplotou.
Podle kinetické teorie plynů jsou to řádově jednotky kT, kde k je Boltzmanova konstanta (k = 1,38·10−23JK−1, T absolutní
teplota v kelvinech).
14 «« »»
2.3. Interpretace vlnové funkce
2.3. Interpretace vlnové funkce
2.3.1. Bornova pravděpodobnostní interpretace
V předchozím odstavci jsme volné částici přiřadili rovinnou monochromatickou vlnu (2.1).
Obecně v kvantové mechanice popisujeme chování každé částice (tedy i částice v silovém poli)
vlnovou funkci ψ(x, y, z; t). Vlnová funkce je v obecném případě velmi složitá funkce souřadnic
částice x, y, z a času t, nepřipomínající svým funkčním předpisem nějakou vlnu a přívlastek
„vlnový je zde jen z historických důvodů.
Před námi nyní stojí otázka, jak fyzikálně interpretovat vlnovou funkci. Odpověď na ni si
ozřejmíme pomocí dvouštěrbinového experimentu5
)(obr. 2.1).
e− i
¯h (Et−pr)
S
2
1
x
D
w(x)
x
D
w2(x)
w1(x)
Obr. 2.1 Dvouštěrbinový experiment
a) Rozložení w(x) registrovaných elektronů na desce D, jsou-li otevřeny obě štěrbiny
1 a 2
b) Rozložení w1(x) (w2(x)) registrovaných elektronů na desce D, je-li otevřena štěrbina
1 (2) a štěrbina 2 (1) je zakryta
Rovnoběžný svazek elektronů s hybností p, který je svázán s rovinnou vlnou (2.1), dopadá
na stínítko S se dvěma stěrbinami 1 a 2. Za stínítkem S je deska D, na níž jsou velmi hustě
rozmístěny „bodové detektory registrující dopad elektronu (např. Geigerovy čitače). V principu
lze experiment provést tak, aby se v soustavě mezi stínítkem S a deskou D nacházel vždy pouze
jeden elektron. Prvních několik elektronů je detekováno ve zcela náhodných polohách na desce
D. Jak se zvětšuje počet zaregistrovaných elektronů, začíná se objevovat pravidelný obrazec
5) Dvouštěrbinový experiment je sotva možné rozebrat lépe, než to provedl Feynman [4]. Doporučujeme pilnému bakaláři,
aby si přečetl jeho originální výklad.
«« »» 15
2. Vlnová funkce
rozložení počtu registrovaných elektronů podél osy x v rovině desky D. Získané výsledky můžeme
nakonec shrnout takto:
1) Experimentálně získané rozložení w(x) počtu registrovaných elktronů na desce D, znázorněné
na obr. 2.1, je přesně takové, jako rozložení intenzity, které bychom získali, jestliže by
na dvouštěrbinu dopadalo elektromagnetické vlnění s vlnovou délkou λ = h/p (Youngův
interferenční experiment6
)).
2) Interferenční obraz vzniká postupným dopadem jednotlivých elektronů, a tudíž jeho vysvětlení
nelze hledat ve vzájemném působení elektronů prošlých různými štěrbinami.
3) Každý elektron je detekován vždy jediným detektorem na desce D jako celek.
Interpretace fyzikálního významu vlnové funkce musí být taková, aby neodporovala žádnému
z těchto faktů. Taková je právě Bornova pravděpodobnostní interpretace (1926). Podle ní je
vlnová funkce ψ(r, t) mírou pravděpodobnosti toho, že elektron (částici) najdeme v čase t v elementárním
objemu opsaném bodu r. Přesněji se postuluje:
Pravděpodobnost dP(r, t) nalezení částice v čase t v elementárním objemu dτ = dx dy dz
opsanému bodu r je dána výrazem:
dP(r, t) = |ψ(r, t)|2
dτ . (2.4)
w(r, t) = |ψ(r, t)|2
je tedy hustota pravděpodobnosti nalezení částice v čase t v bodě r.
Bornova interpretace nenaráží na žádné těžkosti při výkladu interferenčních ani jiných pokusů,
obsáhne vznik intereferenčního obrazu i lokalizace částice při detekci. Zavádí však do
fyziky pravděpodobnostní prvek, cizí klasické mechanice, a v tom spočívá také koncepční odlišnost
kvantové a klasické teorie. Pro tuto vlastnost byla Bornova inerpretace často předmětem
kritiky, ale čas a praxe potvrdily její oprávněnost.
V kvantové mechanice je nutný i nový pohled na měření. Vlnová funkce zadává pouze pravděpodobnost
výskytu částice, z čehož plyne, že informace o poloze částice v kvantové mechanice
je pouze statistická. Měření v takovém případě musíme definovat jako měření na velkém počtu
identických systémů, z nichž každý je popsán touž vlnovou funkcí ψ(r, t). Představme si, že
máme N takových identických systémů (částic) a měříme polohu částice. Za tím účelem rozdělíme
prostor na velmi malé krychličky o objemu δV umístěné v bodech r1, r2, . . . Nechť měření
(v daném čase t) ukáže, že v N1 systémech byla částice v krychličce umístěné v bodě r1 (tj.
výsledkem N1 pokusů bylo nalezení částice v bodě r1), v N2 systémech v krychličce umístěné
v bodě r2 (tj. výsledkem N2 pokusů bylo nalezení částice v bodě r2) atd. Pak musí zřejmě
platit6
)
N1
N
= |ψ(r1, t)|2
δV ,
N2
N
= |ψ(r2, t)|2
δV atd. (2.5)
Uvedený dvouštěrbinový experiment realizovaný jednotlivě přicházejícími elektrony, z nichž
každý je popsán touž vlnovou funkcí, je typickým příkladem měření v kvantové mechanice.
Z právě uvedených poznámek je jistě dobře zřejmá souvislost experimentálního rozdělení w(x)
počtu registrovaných elektronů s hustotou pravděpodobnosti výskytu elektronu v místě o souřadnici
x na desce D.
V kvantové mechanice se dále postuluje (viz podrobnější výklad na straně 94), že ve vlnové
funkci je obsažena veškerá informace o částici. To tedy znamená, že stav částice v kvantové
mechanice je v daném čase t plně určen vlnovou funkcí ψ(r, t). To je podstatně jiná situace
než v klasické mechanice, kde je stav částice v daném čase t určen polohovým vektorem r(t)
6) Poznamenejme, že z hlediska jednoho elektronu lze funkci w(x) interpretovat jako hustotu pravděpodobnosti, že tato
částice bude zaregistrována na desce D v bodě o souřadnici x.
6) Poznamenejme, že dále uvedené vztahy platí přesně pro N → ∞.
16 «« »»
2.3. Interpretace vlnové funkce
a rychlostí v(t) částice, tj. šesti údaji [x(t), y(t), z(t); vx(t), vy(t), vz(t)], jež mají bezprostřední
fyzikální smysl. V kvantové mechanice naproti tomu je stav systému (částice) určen vlnovou
funkcí, jež nemá bezprostřední fyzikální smysl; přímý fyzikální smysl má až čtverec její absolutní
hodnoty. Z pravděpodobnostní interpretace plyne, že dvě vlnové funkce ψ1(r, t) a ψ2(r, t), které
se liší jen faktorem exp(iα) (α je reálné číslo), tj. ψ2(r, t) = exp(iα)ψ1(r, t), popisují týž stav,
poněvadž pro ně platí |ψ1(r, t)|2
= |ψ2(r, t)|2
.
2.3.2. Normalizace vlnové funkce
Pravděpodobnost nalezení částice v čase t někde v objemu V je podle věty o sčítání pravděpodobností
nezávislých jevů rovna
P(V, t) =
V
|ψ(x, y, z; t)|2
dx dy dz . (2.6)
Rozšíříme-li integraci na celý prostor, dostaneme pravděpodobnost, že se částice v okamžiku
t někde nachází. Tato pravděpodobnost je zřejmě rovna jistotě. V teorii pravděpodobnosti se
pravděpodobnost jevu, který jistě nastane, klade rovna 1. Proto požadujeme, aby pro vlnovou
funkci platilo
∞
−∞
|ψ(x, y, z; t)|2
dx dy dz = 1 . (2.7)
Tato podmínka se nazývá normalizační a funkci, která jí vyhovuje, nazýváme normalizovanou.
Zopakujme si vše ještě pro jednorozměrný případ, kde vlnová funkce závisí na jedné prostorové
proměnné x a na čase t, tedy ψ = ψ(x, t). Potom:
i) Pravděpodobnost, že částice bude v čase t nalezena v infinitesimálním intervalu x, x + dx
je (obr. 2.2a)
dP(x, t) = |ψ(x, t)|2
dx ;
ii) Pravděpodobnost, že částice bude v čase t v konečném intervalu a, b na ose x je (obr. 2.2b)
P ( a, b , t) =
b
a
|ψ(x, t)|2
dx (2.8)
iii) Pravděpodobnost, že částice bude v čase t nalezena někde na ose x je (obr. 2.2c) rovna
jistotě, a tedy
∞
−∞
|ψ(x, t)|2
dx = 1 . (2.9)
«« »» 17
2. Vlnová funkce
|ψ|2
x x + dx
|ψ|2
dx
x
a)
|ψ|2
a b
b
a
|ψ|2
dx
x
b)
|ψ|2
∞
−∞
|ψ|2
dx
x
c)
Obr. 2.2 Pravděpodobnost, že částice bude v čase t nalezena:
a) v infinitesimálním okolí bodu x
b) v intervalu a, b
c) kdekoli na ose x
(Pravděpodobnost je vždy úměrná vyšrafované ploše pod křivkou)
Může se stát, že normalizační podmínku (2.7) nelze splnit — vlnová funkce není kvadraticky
integrabilní. Tato situace zřejmě nastává hned v případě volné částice, která je popsána rovinnou
vlnou (2.1), neboť pravděpodobnost |ψ(r, t)|2
= |C|2
nalezení volné částice je stejná ve všech
bodech prostoru a tudíž integrál
∞
−∞
|ψ(r, t)|2
dτ (2.10)
nutně diverguje.7
)
Normovat takovou funkci k jedničce je proto nemožné. Způsob normování vlnových funkcí,
jež nejsou kvadraticky integrabilní, se musí změnit; je výhodné užít formalismu normování k tzv.
Diracově delta funkci. Výklad tohoto formalismu přesahuje rámec této přednášky a zájemce
odkazujeme na literaturu ([5–10]).
2.3.3. Vlastnosti vlnových funkcí
Z přijaté pravděpodobnostní interpretace vlnové funkce plyne řada vlastností, které každá
vlnová funkce musí mít. Pro naše účely je budeme formulovat takto:
Vlnová funkce musí být:
i) všude spojitá i se svými prvními derivacemi,
ii) jednoznačná,
iii) všude omezená.
7) De Broglieho vlna je idealizací a matematickou stránkou této „fyzikální nereálnosti je fakt, že de Broglieho vlna není
kvadraticky integrabilní. Idealizací téhož druhu je zavedení rovinné elektromagnetické vlny v teorii elektromagnetického
pole: přesně rovinná vlna není rovněž experimentálně realizovatelná, ale podobně jako s de Broglieho vlnou se s ní dobře
počítá.
18 «« »»
2.4. Princip superpozice
Tyto podmínky budeme v dalším nazývat standardními podmínkami. Vyjma požadavku
spojitosti prvních derivací8
), jsou důvody pro všechny zbývající požadavky nasnadě. Nespojitá
funkce by v bodě nespojitosti dávala nejednoznačnou pravděpodobnost výskytu částice. Totéž
by — i když z jiného důvodu — dávala funkce víceznačná. Požadavek na omezenost funkce
souvisí s možností její normalizace (nejčastěji budeme muset vylučovat funkce, které pro x → ∞
divergují).
2.4. Princip superpozice
Při diskusi Davissonova-Germerova pokusu (v odstavci 2.2 na straně 14) i při diskusi dvouštěrbinového
experimentu (odstavec 2.3.1, strana 15) jsme už hovořili o tom, že de Broglieovy
vlny interferují stejně, jako by interferovaly klasické vlny s touž vlnovou délkou. Při formálním
popisu interferenci elektronů na dvouštěrbině popíšeme takto: Uvažujme nějaký bod o souřadnici
x na desce D. Představme si, že zakryjeme štěrbinu 2. Potom elektron může procházet pouze
otvorem 1 a jeho stav v čase t0 v bodě x na desce D je pak popsán vlnovou funkcí ψ(x, t0).
Hustota pravděpodobnosti w1(x, t0), že elektron v tomto případě padne do bodu o souřadnici x
je podle Bornovy pravděpodobnostní interpretace rovna (srovnej obr. 2.1b)
w1(x, t0) = |ψ1(x, t0)|2
. (2.11)
Představme si dále, že zakryjemem otvor 1. Potom elektron může procházet pouze štěrbinou
2. Jeho stav (v čase t0) v bodě o souřadnici x na desce D je pak popsán vlnovou funkcí ψ2(x, t0),
takže hustota pravděpodobnosti w2(x, t0) nalezení elktronu v bodě x je rovna (srovnej obr. 2.1b)
w2(x, t0) = |ψ2(x, t0)|2
. (2.12)
Pokud jsou otevřené obě štěrbiny, potom stav částice v čase t0 v bodě x na desce D je popsán
vlnovou funkcí
ψ(x, t0) = ψ1(x, t0) + ψ2(x, t0) . (2.13)
Z této rovnice je vidět, že nelze říct, kterou štěrbinou elektron prošel. Taková otázka zde
prostě nemá smysl. Elektron je ve stavu, který je superpozicí stavu ψ1 (otevřená štěrbina 1)
a stavu ψ2 (otevřená štěrbina 2). Hustota pravděpodobnosti w(x, t0) nalezení elektronu v bodě
x na desce D je pak dána výrazem
w(x, t0) = |ψ(x, t0)|2
= |ψ1(x, t0) + ψ2(x, t0)|2
=
= |ψ1(x, t0)|2
+ |ψ2(x, t0)|2
+ ψ1(x, t0)ψ∗
2(x, t0) + ψ∗
1(x, t0) ψ2(x, t0) = (2.14)
= w1(x, t0) + w2(x, t0) + 2Re[ψ1(x, t0)ψ∗
2(x, t0)]
(2.15)
Vidíme, že výraz (2.15), který určuje rozdělení registrovaných elektronů na desce D (viz
obr. 2.1a), vskutku obsahuje interferenční člen 2Re(ψ1ψ∗
2), a neplatí tudíž, že w(x, t0) se rovná
součtu w1(x, t0) + w2(x, t0).
Mohli bychom si představit i situaci, kdy jsou štěrbiny jen částečně propustné. Odpovídající
vlnová funkce by pak byla
ψ(x, t0) = c1ψ1(x, t0) + c2ψ2(x, t0) , (2.16)
kde c1 a c2 jsou komplexní čísla.
8) Tento požadavek je „ospravedlněn na straně 37 (odstavec 3.3.1).
«« »» 19
2. Vlnová funkce
Uvedené výsledky se zobecňují v kvantové mechanice takto: Jestliže soustava (částice) může
být ve stavu, který je popsán vlnovou funkcí ψ1(r, t), nebo též ve stavu, který je popsán vlnovou
funkcí ψ2(r, t), potom soustava (částice) může být ve stavu s vlnovou funkcí
ψ(r, t0) = c1ψ1(r, t0) + c2ψ2(r, t0) , (2.17)
kde c1 a c2 jsou komplexní čísla. Toto tvrzení je známé jako princip superpozice kvantových
stavů.
Opětovným opakováním principu superpozice dojdeme k závěru, že vlnová funkce ψ(r, t0)
možného stavu soustavy může být vytvořena z libovolného počtu vlnových funkcí ψ1(r, t0),
ψ2(r, t0), ψ3(r, t0), . . . popisujících fyzikálně možné stavy soustavy takto
ψ(r, t0) = c1ψ1(r, t0) + c2ψ2(r, t0) + c3ψ3(r, t0) + · · · =
n
cnψn , (2.18)
kde c1, c2 jsou komplexní čísla.
Z hlediska matematického formalismu má přijetí principu superpozice významný důsledek:
rovnice, kterým mají vyhovovat vlnové funkce, musí být lineární. Pro lineární rovnici totiž platí:
jsou-li ψ1, ψ2 řešení této rovnice, potom také c1ψ1 +c2ψ2 je jejím řešením. Například diferenciální
rovnice
dψ(x)
dx
+ a ψ(x) = 0 (a je konstanta) (2.19)
je lineární, zatímco diferenciální rovnice
dψ(x)
dx
2
+ a ψ(x) = 0 (2.20)
nebo
dψ(x)
dx
+ a ψ2
(x) = 0 (2.21)
jsou příklady nelineárních rovnic.
2.5. Heisenbergovy relace neurčitosti
2.5.1. Relace neurčitosti pro souřadnici a hybnost. Vlnové klubko
Ukážeme si nyní, že vzhledem k vlnovému chování mikročástic neexistuje kvantověmechanický
stav, v němž by částice měla současně přesně definovanou polohu i hybnost. Uvažujme volnou
částici v jednorozměrném případě. Víme, že stav, v němž je přesně určena její hybnost, je popsán
de Broglieho vlnou
ψpx
(x, t) = C exp −
i
¯h
(Et − pxx) . (2.22)
Příslušná hustota pravděpodobnosti výskytu
|ψpx
(x, t)|2
= |C|2
(2.23)
20 «« »»
2.5. Heisenbergovy relace neurčitosti
je však konstantní, a proto lze částici ve stavu (2.22) nalézt se stejnou pravděpodobností kdekoli
na přímce x. Můžeme se však pokusit na základě principu superpozice zkonstruovat takovou
vlnovou funkci volné částice (např. v čase t = 0)
ψ(x, t = 0) =
∞
−∞
c(px) exp
ipxx
¯h
dpx , (2.24)
aby příslušná hodnota hustoty pravděpodobnosti |ψ(x, 0)2
| jejího výskytu se podstatně lišila od
nuly jen v některém úzkém intervalu délky ∆x. Stav popsaný vlnovou funkcí (2.24) je vytvořen
z mnoha stavů s přesně definovanou x-ovou složkou hybnosti (superpozice rovinných vln (2.22)),
a proto částice v tomto stavu nemá přesně definovanou hybnost.
Uvažujme například částici, jejíž stav je dán superpozicí stavů s x-ovými složkami hybnosti
z intervalu p0x − ∆px, p0x + ∆px . Položme zde (obr. 2.3a)9
)
c(px) =



1
2
√
π¯h∆px
pro px ∈ p0x − ∆px, p0x + ∆px ,
0 pro px /∈ p0x − ∆px, p0x + ∆px .
(2.25)
Dosadíme-li 2.25 do 2.24, dostaneme
ψ(x, 0) =
1
2
√
π¯h∆px
p0x+∆px
p0x−∆px
exp
i
¯h
pxx dpx . (2.26)
Integrál ve 2.26 se vypočte snadno10
), takže
ψ(x, 0) =
¯h
π∆px
sin ∆pxx
¯h
x
exp
i
¯h
p0xx . (2.27)
O normalizaci této vlnové funkce se přesvědčíme11
) přímým výpočtem
∞
−∞
|ψ(x, 0)|
2
dx =
¯h
π∆px
∞
−∞
sin2 ∆pxx
¯h
x2
dx =
¯h
π∆px
∆pxπ
¯h
= 1 . (2.28)
Hustota pravděpodobnosti |ψ(x, 0)|2
částice ve stavu 2.28 je pak znázorněna na obr. 2.3.
Budeme-li určovat polohu ve stavu popsaném vlnovou funkcí 2.28, najdeme ji s vysokou
pravděpodobností v intervalu šířky 2∆x kolem počátku x = 0 . Přitom
∆x =
π¯h
∆px
. (2.29)
Definice ∆x je zřejmá z obr. 2.3b. Cenou, kterou jsme za tuto lokalizaci zaplatili, je částečná
ztráta informace o hybnosti částice. Budeme-li totiž měřit x-ovou složku hybnosti částice ve
9) Význam koeficientů c(px) plyne z postulátů kvantové mechaniky: |c(px)|2
dpx udává pravděpodobnost, s níž u částice
ve stavu (2.24) naměříme x-ovou složku hybnosti v intervalu (px, px + dpx) — viz odstavec 4.3.3 a strana 101.
10) Pozorní čtenáři tohoto druhu literatury zpravidla nemají formulace . . . snadno se vypočte . . ., případně . . . důkaz
této věty je tak jednoduchý, že . . . atp. příliš v oblibě, takže se budeme snažit podobným tvrzením vyhnout, případně
naznačit oprávněnost jejich použití. Tedy integrál v (2.26) se vypočte snadno, pokud si vzpomeneme, jak se integruje
funkce exp (K.px) dpx (opravdu jednoduché). Zbývá ještě zvládnout dosadit správně meze integrálu a po vytknutí výrazu
exp i
¯h p0xx rozpoznat ve zbylé závorce výraz pro 2i sin α (plynoucí z Moivrova vztahu exp (±iα) = cos α ± i sin α). Pokud
ani teď není rovnice daná vztahem (2.26) snadno řešitelná, bude asi nutné konzultovat dále uváděné vztahy s někým
v matematice zběhlejším (případně se na celý výpočet zbaběle podívat do dodatku).
11) Radostně či méně radostně?
«« »» 21
2. Vlnová funkce
stavu popsaném vlnovou funkcí 2.28, můžeme zřejmě naměřit kteroukoliv hodnotu z intervalu
p0x − ∆p0x, p0x + ∆p0x . Podstatné přitom je, že součin ∆x∆px je konstantní:
∆px∆x = ∆px
π¯h
∆px
= π¯h , (2.30)
takže každé zmenšení (zvětšení) neurčitosti v poloze částice je provázeno zvětšením (zmenšením)
neurčitosti v odpovídající složce hybnosti částice.
Zkusme se nyní na tento problém podívat trochu jinak:
• Zvolme si „komplikovanější tvar závislosti koeficientů c(px)12
):
c(px) =
1
σ
1/2
p
4
√
2π
exp −
(px − p0x)
2
4σ2
p
. (2.34)
• Pokusme se opět na základě principu superpozice zkonstruovat vlnovou funkci volné částice
(v čase t = 0) ve tvaru rovnice 2.24 a v první aproximaci nahraďme zmíněný integrál
sumou13
):
ψ(x, t) =
n=N
n=−N
ψn(x, t) , (2.35)
kde ψn(x, t) jsou harmonické vlny 2.22 odpovídající různým hodnotám px :
(px → pn,x = p0x − n ∆ px
14
)):
ψn(x, t) = c(pn,x) exp
ipn,xx
¯h
exp −
i
¯h
Ent . (2.36)
Užitím vztahu 2.22 lze tento vztah přepsat do následujícího tvaru:
ψn(x, t) = c(pn,x)ψpn,x
(x, t) . (2.37)
12) Funkce
f(x) =
1
σx
√
2π
exp −
(x − x0)2
2σ2
x
(2.31)
se nazývá Gaussova funkce – graf této funkce pro různé hodnoty σx (tzv. disperze) je uveden v dodatku na straně 143. Tato
funkce je normovaná - platí totiž:
1
σx
√
2π
∞
−∞
exp −
(x − x0)2
2σ2
x
dx = 1 (2.32)
Tento vztah si můžeme sami ověřit, pokud si uvědomíme, že hodnota tzv. Laplaceova - Gaussova integrálu (viz např. [11]
na straně 481) je rovna
∞
0
exp −a2x2 dx =
√
π
2a
a > 0 (2.33)
a připomeneme si skutečnost, že funkce f(x), (případně c(px)) jsou funkce sudé. Stojí ještě za povšimnutí souvislost Gaussovy
funkce a našich koeficientů c(px): c2(px) = f(px).
13) Tento postup se vyjasní za chvíli – pro konečný počet N mohu totiž tuto „sumu graficky znázornit sečtením odpovídajících
(viz rovnice 2.22) harmonických vln (přesněji řečeno jejich reálné, případně imaginární části). Tyto harmonické
vlny ovšem ve výrazu 2.22 „uvidíme lépe po roznásobení funkcí f(t) = exp − i
¯h Ent (viz též poznámka pod čarou na
straně 40).
14) Toto ∆px nezaměňujte, prosím, s ∆p0x na obrázku 2.3.
22 «« »»
2.5. Heisenbergovy relace neurčitosti
Integrál 2.24 tak nahradíme následující sumou:
ψ(x, t) =
n=N
n=−N
c(pn,x) exp
ipn,xx
¯h
exp −
i
¯h
Ent ∆px = (2.38)
=
n=N
n=−N
c(p0x − n∆p0x) exp
i (p0x − n∆p0x) x
¯h
exp −
i
¯h
Ent ∆px . (2.39)
Na obrázku ... jsou znázorněny jednotlivé reálné části Re[ψn(x, t)] harmonických vln ψn(x, t)
včetně jejich součtu – tedy reálné části Re[ψ(x, t)] v čase t = 0, tvořící tzv. vlnové klubko.
Povšimněme si bodů, které jsou vyneseny na každé harmonické vlně pro stejnou hodnotu x12
). Na
obrázku .. jsou pak vyneseny reálné části týchž harmonických vln Re[ψn(x, t)] , ale v následném
čase t1 = 0. Vidíme, že naše „značkovací body urazily různé dráhy ∆x, neboť jednotlivé vlny
se šířily různou fázovou rychlostí cn = ωn/kn = (En/¯h)/(pn/¯h) = En/pn = p2
n/(2mpn) = pn/2m
závisející na pn
13
). Tím dochází jednak k „rozplývání našeho vlnového klubka a jednak ke
snižování jeho „výšky – je to dáno závislostí disperze σx na čase.
px
c(px)
1
2
√
π¯h∆px
2∆p0x
p0xp0x−∆p0x p0x+∆p0x
a)
x
|ψ(x)|2
0 ∆x−∆x
b)
Obr. 2.3
a) funkce c(px) zadaná vztahem 2.25
b) hustota pravděpodobnosti výskytu volné částice ve stavu s vlnovou funkcí 2.27,
která je superpozicí stavů s hybnostmi v intervalu p0x − ∆p0x, p0x + ∆p0x (viz
tento obr. a). Pravděpodobnost výskytu částice je velká v intervalu (−∆x, ∆x),
kde ∆x = π¯h/∆px
12) Stojí za zmínku i jejich výšky – vidíme, že se vzrůstajícím pn velikosti amplitud vln zvonovitě rostou a posléze opět
zvonovitě klesají – je to kvůli námi zvolenému (gaussovskému) průběhu koeficientů c(px). Povšimněte si rovněž, jak se vyvíjí
vlnová délka vln ve směru rostoucího pn – podle vztahu 1.7 nepříme úměrně.
13) Zde jsme využili nám dobře známých vztahů 1.6 a 1.7, jakož i vztah mezi energií a hybností volné částice (E = p2/2m).
«« »» 23
2. Vlnová funkce
Hodnotu součinu ∆px∆x podle 2.30 jsme dostali pro funkci c(px) definovanou vztahem 2.25.
Různá volba funkce c(px) dává různé hodnoty součinu ∆px∆x . Podrobný rozbor však ukazuje,
že vždy platí
∆px∆x ≥
¯h
2
. (2.40)
Nerovnost (2.40) je známa jako Heisenbergova relace neurčitosti pro souřadnici a hybnost
(Werner Heisenberg – 1927). Pro y-ové a z-ové složky souřadnice a hybnosti platí obdobně
∆py∆y ≥
¯h
2
, ∆pz∆z ≥
¯h
2
. (2.41)
2.5.2. Dva experimenty k relaci neurčitosti
Bylo by velmi nepříjemné, kdyby se ukázalo, že bez ohledu na to, co říká kvantová mechanika,
je možné na základě experimentu určit současně hybnost i polohu částice s přesností lepší než
povolují relace 2.40. Analýza různých myšlenkových (i reálných) experimentů však ukazuje, že
polohu i hybnost částice vskutku nemůžeme změřit s přesností lepší, než to povoluje relace
neurčitosti.
Jako první ukázku takového experimentu uvedeme příklad na měření polohy elektronu mikroskopem
(viz obr. 2.4). Předpokládejme, že elektron je někde na ose x a je v klidu. Tedy
∆px = 0, ale ∆x = ∞.
Polohu částice měříme tak, že na elektron necháme dopadnout záření, které se na něm rozptýlí
a dopadne do mikroskopu. Rozlišovací schopnost, tj. přesnost, s níž mikroskopem můžeme určit
polohu (elektronu), je dána vztahem.
∆x =
λ
sin ϕ
(2.42)
Tento vztah nebudeme odvozovat; je však zřejmé, že polohu částice nelze určit přesněji, než
je vlnová délka dopadajícího záření, přičemž při malém úhlu ϕ víme s horší přesností, odkud
světlo do mikroskopu přichází, a tím se zhoršuje i informace o poloze částice.
Uvažujme foton odpovídající záření o vlnové délce λ , který dopadá na elektron. Foton se
na elektronu rozptýlí tak, že vstoupí do mikroskopu. Zanedbáme-li změnu vlnové délky záření
vzniklou rozptylem (srovnej Comptonův jev — odstavec 1.1.3 a strana 6), je velikost hybnosti
fotonu f2 vstupujícího do mikroskopu rovna (viz rovnice (1.4))
pf =
h
λ
. (2.43)
e
ϕ
M
Č
f1
f2
x
y
Obr. 2.4
Schéma mikroskopu. Polohu elektronu e měříme
pomocí světla, které se na elektronu rozptyluje
a dopadá na čočku Č mikroskopu M. f1 je dopadající
foton, f2 je rozptýlený foton
24 «« »»
2.5. Heisenbergovy relace neurčitosti
Vidíme-li v mikroskopu záblesky, nevíme kudy foton f2 do mikroskopu vešel. Z obr. 2.4 je
zřejmé, že neurčitost x-ové složky hybnosti rozptýleného fotonu f2 detekovaného v mikroskopu
je rovna
∆pfx = pf sin ϕ =
h
λ
sin ϕ . (2.44)
Při rozptylu fotonu na elektronu platí zákon zachování hybnosti (viz Comptonův jev). Elektron
se po srážce s fotonem začne pohybovat a x-ová složka hybnosti elektronu po srážce s fotonem
bude rozmazána zhruba o stejnou hodnotu, jakou má velikost neurčitosti x-ové složky
hybnosti fotonu f2; pro ∆px elektronu tedy platí
∆px ∼
h
λ
sin ϕ . (2.45)
Vynásobíme-li ∆px dané vztahem 2.45 a ∆x dané vztahem 2.42 dostaneme
∆px∆x ∼
h
λ
sin ϕ
λ
sin ϕ
= h , (2.46)
což je v souladu s Heisenbergovou relací neurčitosti 2.40.
Použijeme-li v mikroskopu záření s velmi malou vlnovou délkou, (např. rtg. záření), dostaneme
jako výsledek měření velmi malé hodnoty ∆x , ale velké rozmazání (velké ∆px ) v určení
hybnosti elektronu. Elektron by se jevil při takovém měření jako poměrně lokalizovaný objekt.
Při měření pomocí záření s velkou vlnovou délkou (například infračervené záření) bychom naopak
dostali velké ∆x a elektron by vypadal jako prostorově rozmazaný objekt s poměrně dobře
definovanou hybností.
Přehlédneme-li ještě jednou provedený rozbor měření mikroskopem, vidíme, že podstatnou
roli zde hraje kvantová povaha záření. Výsledný vztah 2.46 podstatně závisí na vztahu 2.43
mezi vlnovou délkou záření a hybností fotonu.
Jako druhý experiment uvedeme difrakci elektronů na štěrbině (viz obr. 2.5). Nejjednodušší
způsob, jak získat informaci o jedné ze souřadnic elektronu, je propustit jej stínítkem s jednou
štěrbinou šířky d.
Po průchodu štěrbinou budeme znát jeho polohu ve směru osy x s nepřesností
∆x = d . (2.47)
Ozáříme stínítko S se štěrbinou svazkem elektronů s hybností p = (0, p, 0) . Všimněme
si směru x kolmého k hybnosti dopadajících elektronů. X-ová složka hybnosti dopadajících
elektronů je nulová, tedy ∆px = 0 . Při průchodu elektronů štěrbinou dojde k difrakci elektronů;
na desce D vznikne typický difrakční obrazec. Nejvíce elektronů dopadne do prvního maxima
vymezeného úhlem ϕ, pro nějž platí (viz optika) sin ϕ = λ/d. Je-li původní hybnost elektronu
p, potom po průchodu štěrbinou bude neurčitost x-ové složky hybnosti pro elektrony dopadající
do prvního difrakčního maxima dána vztahem
∆px ∼ p sin ϕ = pλ/d . (2.48)
Podle de Broglieho vztahu (2.3) je ale λ = h/p, a proto
∆px ∼
h
d
. (2.49)
Vynásobíme-li ∆px dané vztahem (2.49) a ∆x dané vztahem (2.47), dostaneme
∆px∆x = h , (2.50)
«« »» 25
2. Vlnová funkce
S
d
D
ϕ
y
x
Obr. 2.5 Difrakce na štěrbině: rovinná monochromatická vlna odpovídající elektronu s hybností
p = (0, p, 0) dopadá na stínítko na stínítko S se štěrbinou šířky d. Na desce D pozorujeme
difrakční obrazec. Nejvíce elektronů dopadne do prvního difrakčního maxima
daného podmínkou d sin ϕ = λ, kde λ = h/p.
odkud je vidět, že relace neurčitosti (2.40) je opět splněna. Je patrné, že čím přesněji určíme
polohu částice (čím užší je štěrbina), tím větší je neurčitost x-ové složky hybnosti elektronu,
a naopak. Zdůrazněme ještě jednou, že relace neurčitosti vyplývá bezprostředně z toho, že stav
částice je v kvantové mechanice popsán vlnovou funkcí, která se interpretuje pravděpodobnostně,
tedy plyne přímo z formalismu kvantové mechaniky. Relace neurčitosti ukazuje omezení, která
musíme respektovat, jestliže chceme elektron popisovat pojmy klasické fyziky jako je hybnost,
souřadnice a trajektorie.
2.5.3. Příklady použití relace neurčitosti
Argumenty založené na relaci neurčitosti poskytují často velmi rychlou kvalitativní orientaci
v daném fyzikálním problému. Ukážeme si to na třech příkladech:
Příklad 1
Odhadněte energii základního stavu (tj. stavu s nejnižší energií) částice uvězněné v jednorozměrné
schránce s nepropopustnými stěnami (hovoříme také o částici uvězněné v pravoúhlé
nekonečně hluboké potenciálové jámě).
Řešení:
Uvažujme, že částice je uvězněna v intervalu (0, a) na ose x. V intervalu (0, a) na ni
nepůsobí žádné síly, a proto je zde její potenciální energie konstatní, pro jednoduchost
ji volíme rovnu nule. V bodech x = 0 a x = a jsou nekonečně vysoké potenciálové stěny,
takže částice (dokonce s libovolně vysokou energií) nemůže proniknout vně intervalu
(0, a). V intervalu (0, a) je energie částice tudíž rovna její kinetické energii
E = T =
p2
x
2m
. (2.51)
26 «« »»
2.5. Heisenbergovy relace neurčitosti
Částice je někde na úsečce (0, a), a tudíž neurčitost souřadnice x je rovna
∆x ∼
a
2
. (2.52)
Z relace neurčitosti (2.40) plyne, že
∆px =
¯h
2∆x
∼
¯h
a
. (2.53)
Nejnižší možná hodnota kinetické energie naší částice je tedy
Tmin =
¯h2
2ma2
. (2.54)
Tudíž minimální hodnota energie naší částice je
Emin =
¯h2
2ma2
, (2.55)
což je dolní odhad energie základního stavu. Přesná hodnota energie základního stavu je
rovna π2
¯h2
/2ma2
(viz rovnice (1.30)14
)
Příklad 2
Odhadněte energii základního stavu lineárního harmonického oscilátoru.
Řešení:
Energie lineárního harmonického oscilátoru je dána vztahem
E = T + V =
p2
x
2m
+
mω2
0x2
2
, (2.56)
kde m je hmotnost částice a ω0 je kruhová frekvence oscilátoru.
Z relace neurčitosti je zřejmé, že energie oscilátoru nemůže být rovna nule, neboť
potom by byla přesně určena souřadnice (x = 0) i hybnost (px = 0)14
).
Uvažujme, že amplituda kmitů částice je A. V tomto případě se částice s velkou
pravděpodobností nachází v intervalu (−A, A) a tudíž neurčitost její polohy je
∆x ∼ A . (2.57)
Z relace neurčitosti (2.40) plyne, že
∆px =
¯h
2∆x
∼
¯h
2A
. (2.58)
Velikost hybnosti částice musí tedy být minimálně ¯h/2A. Pro kinetickou energii částice
pak platí
T ∼
¯h2
8mA2
. (2.59)
Zvážíme-li vztahy (2.56) a (2.59), dostáváme pro celkovou energii podmínku
E ∼
¯h2
8mA2
+
mω2
0A2
2
= f(A) . (2.60)
14) K tomuto přesnému řešení se trpělivý bakalář dopracuje na straně 48.
14) Sčítají se totiž kvadráty těchto veličin (viz rovnice 2.56), tj. kladné hodnoty – má-li být jejich součet nulový, musí být
samy rovny nule.
«« »» 27
2. Vlnová funkce
Naším úkolem je určit energii základního stavu, a proto musíme najít minimální hodnotu,
jíž funkce f(A), definovaná ve vztahu (2.60), může nabýt. Této minimální hodnoty
nabývá15
) pro taková A = A0, pro něž
df(A)
dA A=A0
= 0 . (2.61)
Derivace f(A) je rovna
df(A)
dA
= −
¯h2
4mA3
+ mω2
0A (2.62)
a když ji položíme rovnu nule, pro hodnotu A0 dostáváme
A0 =
¯h
2mω0
. (2.63)
Dosadíme-li (2.63) do (2.60), dostaneme
E0 ∼
1
2
¯hω0 . (2.64)
Získali jsme tak dolní odhad energie základního stavu lineárního harmonického oscilátoru.
Poznamenejme, že hodnota ¯hω0/2 je v tomto případě rovna přesné hodnotě energie
základního stavu – viz odstavec 3.4.6 (strana 73).
Příklad 3
Odhadněte velikost atomu vodíku a energii jeho základního stavu.
Řešení:
Uvažujme stav, v němž se elektron (−e) nachází s největší pravděpodobností ve vzdálenosti
a od jádra (+e). Potenciální energie elektronu v tomto stavu je
V (a) = −
e2
4πε0a
. (2.65)
Je-li elektron v oblasti s lineárním rozměrem řádově rovným a, je neurčitost velikosti
jeho hybnosti řádově rovna ¯h/a . Kinetická energie bude v uvažovaném stavu nenulová
a větší než
T(a) =
¯h2
2ma2
. (2.66)
Vidíme, že zmenšujeme-li a, klesá V (a) (znaménko mínus), avšak roste T(a). Nejnižší
možná celková energie elektronu kompatibilní s relacemi neurčitosti bude určena minimem
funkce
E(a) = T(a) + V (a) =
¯h2
2ma2
−
e2
4πε0a
. (2.67)
Abychom nalezli minimum funkce E(a), zderivujeme ji podle a, tuto derivaci položíme
rovnu nule a z této podmínky určíme hodnotu a, označíme ji ao, pro niž E(ao) má
minimální hodnotu. Tak dostáváme
a0 =
4πε0¯h2
me2
. (2.68)
15) Jak někteří víme.
28 «« »»
2.5. Heisenbergovy relace neurčitosti
Tomu odpovídá energie
E(a0) = −
me4
2(4πε0)2¯h2 . (2.69)
Skutečnost, že a0 dané vztahem (2.68) je právě Bohrův poloměr (1.29) a E(a0) dané vztahem
(2.69) je rovno přesně energii základního stavu atomu vodíku (viz odstavec 5.2.1),
je nutné považovat za náhodu, protože jsme prováděli pouze řádový odhad. Poučení vyplývající
z provedeného odhadu spočívá v tom, že základní stav atomu je výsledkem
kompromisu mezi velikostmi kinetické a potenciální energie: čím menší je oblast, v níž je
lokalizován elektron, tím menší je jeho potenciální energie a větší jeho kinetická energie.
«« »» 29
3Schr¨odingerova vlnová mechanika
3.1. Schr¨odingerova rovnice
3.1.1. Časový vývoj stavu
Z předcházející kapitoly víme, že v kvantové mechanice je stav částice popsán vlnovou funkcí.
Explicitní vyjádření vlnové funkce však známe (podle de Broglieho hypotézy) pouze pro volnou
částici (viz odstavec 2.2). V našem dalším kroku udáme pravidlo, podle něhož můžeme získat
vlnovou funkci ψ(r, t) částice, která se nachází v nějakém silovém poli. Budeme zde studovat
chování částice s nenulovou klidovou hmotností, pohybující se rychlostí značně menší, než je
rychlost světla, takže je možný nerelativistický přístup. Toto pravidlo pro určení vlnové funkce je
pak vyjádřeno diferenciální rovnicí nazývanou Schr¨odingerova rovnice. Je to základní pohybová
rovnice kvantové mechaniky udávající časový vývoj stavu částice.
Pro částici o hmotnosti m nacházející se v silovém poli s potenciální energií V (x, y, z, t) má
Schr¨odingerova rovnice tvar
i¯h
∂ψ(r, t)
∂t
= −
¯h2
2m
∆ψ(r, t) + V (r, t)ψ(r, t) , (3.1)
kde ∆ je Laplaceův operátor
∆ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
.
Vidíme, že na rozdíl od Newtonovy mechaniky, která pracuje s působícími silami
F(r) = − V , je v kvantové mechanice základní veličinou, která charakterizuje interakci
a jež vystupuje v pohybové rovnici, potenciální energie V (r, t). V kvantové mechanice
bývá zvykem nazývat V (r, t) stručně potenciálem.
Schr¨odingerova rovnice zaujímá v kvantové mechanice stejné místo, jako v klasické mechanice
Newtonova pohybová rovnice F = md2
r/dt. Schr¨odingerova rovnice se stejně jako Newtonova
pohybová rovnice neodvozuje, nýbrž postuluje, a oprávněnost tohoto postulátu se dokládá souhlasem
předpovědí teorie s výsledky experimentů. Abychom tuto skutečnost zdůraznili, uvedli
jsme tvar Schr¨odingerovy rovnice přímo bez předběžného komentáře. Zdůrazněme, že ani přesvědčivé
fyzikální argumenty uváděné v literatuře ve prospěch tvaru rovnice (3.1) nelze považovat
za její odvození.
Aby funkce ψ(r, t) popisovala stav částice, musí vyhovovat nejen Schr¨odingerově rovnici,
ale musí splňovat také standardní podmínky kladené na vlnovou funkci (viz strana 19 v odstavci
2.3.3). Platnost principu superpozice pro řešení Schr¨odingerovy rovnice je zřejmá z toho,
že diferenciální rovnice (3.1) je lineární. Schr¨odingerova rovnice obsahuje první derivaci podle
času. Proto jednoznačné řešení dostaneme pouze tehdy, známe-li vlnovou funkci v jistém časovém
okamžiku t0, tj. musíme zadat počáteční podmínku ψ(r, t0) = φ(r). Jinak řečeno, známe-li
stav částice v čase t0, pomocí Schr¨odingerovy rovnice (3.1) můžeme předpovědět, v jakém stavu
bude částice v jiném okamžiku t.
30 «« »»
3.1. Schr¨odingerova rovnice
Srovnejme popis pohybu částice v rámci klasické mechaniky a kvantové mechaniky:
klasická mechanika: kvantová mechanika:
popis stavu: [r(t), v(t)] ψ(r, t)
pohybová rovnice: F = m
d2
r
dt2
i¯h
∂ψ
∂t
= −
¯h2
2m
∆ψ + V ψ
Na závěr tohoto odstavce se přesvědčíme, že vlnová funkce volné částice vyjádřená podle de Broglieho
hypotézy rovinnou vlnou
ψ(r, t) = C exp −
i
¯h
(Et − pr) (3.2)
vyhovuje Schr¨odingerově rovnici. Poněvadž jde o částici, na níž nepůsobí žádné síly, její potenciální
energie V (r, t) je všude konstantní a můžeme ji (pro jednoduchost) zvolit rovnu nule.
Potom Schr¨odingerova rovnice má jednoduchý tvar
i¯h
∂ψ(r, t)
∂t
= −
¯h2
2m
∆ψ(r, t) . (3.3)
Derivováním funkce (3.2) se snadno1
)přesvědčíme, že platí
∂ψ(r, t)
∂t
= −
i
¯h
Eψ(r, t) , (3.4)
∆ψ(r, t) = −
p2
x + p2
y + p2
z
2m
ψ(r, t) = 0 (3.5)
Tedy jestliže de Broglieho vlna (3.2) má být řešením Schr¨odingerovy rovnice, musí platit, že
E =
p2
x + p2
y + p2
z
2m
, (3.6)
což je očekávaný nerelativistický vztah mezi energií a hybností volné částice známý z klasické
mechaniky.
3.1.2. Stacionární stavy
Ve velkém počtu případů potenciál V nezávisí na čase (takže V = V (x, y, z)). V takovém
případě se dají při řešení Schr¨odingerovy rovnice (3.1) separovat proměnné, tzn. řešení rovnice
(3.1) lze hledat ve tvaru součinu dvou funkcí
ψ(r, t) = f(t)ϕ(r) , (3.7)
z nichž jedna (f(t)) závisí jen na t a druhá (ϕ(r)) jen na prostorových souřadnicích x, y, z.
Funkce f(t) a ϕ(r) budou přitom řešením jistých rovnic, které obdržíme následujícím způsobem:
dosadíme předpokládaný tvar řešení (3.7) do rovnice (3.1). Poněvadž
∂
∂t
ψ(r, t) =
∂
∂t
[f(t)ϕ(r)] = ϕ(r)
df(t)
dt
(3.8)
1) A už zase je to tak snadné! Uvědomíme-li si ale, jak derivovat podle času funkci, jež je navíc funkcí r, tak se správného
výsledku prostě dobrati musíme. Nápovědou pro ty z vás, kteří jste, nešťastní, při probírání této části matematiky zrovna
chyběli, budiž poznatek, že funkci více proměnných derivujeme podle jedné z nich podle stejných pravidel, jako funkci jedné
proměnné s tím rozdílem, že zbylé proměnné můžeme považovat za konstanty.
«« »» 31
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
a
∆ψ(r, t) = ∆ [f(t)ϕ(r)] = f(t)∆ϕ(r) , (3.9)
dostaneme
i¯hϕ(r)
df(t)
dt
= f(t) −
¯h2
2m
∆ϕ(r) + V (r)ϕ(r) . (3.10)
Rovnici (3.10) lze přepsat2
) na tvar
i¯h
1
f(t)
df(t)
dt
=
1
ϕ(r)
−
¯h2
2m
∆ϕ(r) + V (r)ϕ(r) , (3.11)
kde levá strana je funkcí pouze proměnné t a pravá strana funkcí pouze proměnných x, y, z.
Rovnice (3.11) přitom vyjadřuje, že obě strany se musí rovnat pro všechny možné hodnoty t
a r = (x, y, z). To je možné jen tehdy, je-li levá i pravá strana této rovnice rovna téže konstantě3
).
Označíme-li tuto reálnou konstantu E, právě vyslovené tvrzení vede (po matematické úpravě4
))
k diferenciální rovnici pro funkci f(t)
df(t)
dt
= −
i
¯h
Ef(t) (3.12)
a taktéž diferenciální rovnici pro hledanou funkci ϕ(r)
−
¯h2
2m
∆ϕ(r) + V (r)ϕ(r) = Eϕ(r) . (3.13)
Rovnice (3.12) má řešení5
)
f(t) = exp −
i
¯h
Et . (3.14)
Rovnice (3.13) pro prostorovou část ϕ(r) vlnové funkce ψ(r, t) je tzv. stacionární (nebo též
bezčasová) Schr¨odingerova rovnice. Její řešení musí zřejmě splňovat standardní podmínky (viz
strana 19) kladené na vlnovou funkci ψ(r, t), tzn., že po ϕ(r, t) budeme požadovat, aby byla
i) všude spojitá i se svými prvními derivacemi,
ii) jednoznačná,
iii) všude omezená.
Jak se uvedené podmínky uplatní, poznáme při řešení konkrétních problémů. Poznamenejme,
že přesné analytické řešení rovnice (3.13) je možné jen v několika málo případech, kdy potenciál
V (r) má velmi speciální tvar. S některými z nich se seznámíme v následujících odstavcích.
V ostatních případech se musí rovnice (3.13) řešit aproximativními metodami.
2) Vydělíme-li obě strany rovnice výrazem f(t)ϕ(r).
3) K lepšímu pochopení by snad mohlo posloužit následující vysvětlení: na obou stranách rovnice (3.11) se nenacházejí
pouze derivace neznámých funkcí, ale tyto jsou ještě násobeny těmito neznámými funkcemi (v případě funkce f(t) pak
násobena její převrácenou hodnotou). Tedy díky tomuto součinu „máme šanci obdržet rovnost obou těchto součinů jedné
konstantě, aniž by neznáme funkce (f(t), ϕ(r)) samy musely být konstantní (rovny této konstantě).
4) Ale opravdu jednoduché (bude hůř)!
5) Pokud neumíme řešit jednoduché (ve smyslu nikoliv parciální) diferenciální rovnice tohoto typu, můžeme se alespoň
přesvědčit o správnosti „nabízeného řešení tak, že toto řešení dosadíme do rovnice 3.12 a porovnáme obě její strany.
32 «« »»
3.2. Rovnice kontinuity
Úplné řešení (časové) Schr¨odingerovy rovnice (3.1) v případě, že potenciál nezávisí na čase,
je tedy
ψ(r, t) = ϕ(r) exp −
i
¯h
Et , (3.15)
kde ϕ(r) je řešením stacionární Schr¨odingerovy rovnice (3.13). Nezapomínejme, že ϕ(r) závisí
na hodnotě parametru E, tj. píšeme ϕE(r). Jaký je význam konstanty E naznačíme za chvíli.
Je-li částice ve stavu popsaném vlnovou funkcí (3.15), potom hustota pravděpodobnosti
výskytu částice
|ψ(r, t)|2
= ψ(r, t)ψ∗
(r, t) = e− i
¯h Et
ϕ(r)e
i
¯h Et
ϕ∗
(r, t) = |ϕ(r)|2
(3.16)
nezávisí na čase; mluví se proto o stacionárním stavu.
Z rovnice (3.16) plyne: má-li vlnová funkce ψ(r, t) byla normalizovaná, tj.
∞
−∞
|ψ(x, y, z)|2
dx dy dz = 1 ,
musí být prostorová část ψ(r, t) vlnové funkce charakterizující stacionární stav normalizovaná,
tj. musí platit
∞
−∞
|ϕ(x, y, z)|2
dx dy dz = 1 .
Na vlnovou funkci (3.15) se můžeme dívat jako na jakési „zobecnění de Broglieho vlny (3.2)
na případ, kdy se částice nachází v silovém poli (nejde o volnou částici), a tedy kdy potenciál
V není všude konstantní. Působení silového pole „deformuje rovinnou vlnu
ϕp(r) = exp
i
¯h
pr (3.17)
(index p značí, že jde o částici s ostrou hodnotou hybnosti) popisující prostorovou část vlnové
funkce volné částice (3.2). Srovnáme-li de Broglieho vlnu zapsanou ve tvaru
ψ(r, t) = ϕp(r) exp −
i
¯h
Et , (3.18)
kde ϕp(r) je rovinná vlna (3.17), s vlnovou funkcí tvaru (3.15), nabízí se myšlenka interpretovat
konstantu E jako energii této částice. Tato interpretace konstanty E, jak uvidíme později
(v odstavci 4.3.2 na straně 97), plyne z jednoho z postulátů kvantové mechaniky. Na základě
této interpretace konstanty E můžeme říci, že stacionární stavy jsou stavy s určitou (ostrou)
hodnotou energie.
3.2. Rovnice kontinuity
Jestliže se pravděpodobnost výskytu částice v nějakém ohraničeném objemu s časem zmenšuje
(zvětšuje), potom pravděpodobnost, že částice bude nalezena vně tohoto objemu, se musí o stejnou
hodnotu zvětšovat (zmenšovat). Zachování pravděpodobnosti výskytu je nutnou podmínkou
nerozpornosti pravděpodobnostní interpretace vlnové funkce. V tomto odstavci ukážeme, že řešení,
která dostaneme ze Schr¨odingerovy rovnice (3.1), takovou podmínku splňují. Tím současně
dokážeme časovou nezávislost normy vlnové funkce.
«« »» 33
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
Aby se vlastní myšlenka neztrácela v komplikovanějších matematických úpravách, provedeme
nejprve výklad pro jednorozměrný případ, kdy všechny veličiny závisí kromě na čase pouze na
jedné souřadnici x.
Chceme zjistit, jak se s časem mění hustota pravděpodobnosti výskytu částice w(x, t) =
ψ(x, t)ψ∗
(x, t). Pro funkci ψ(x, t) platí Schr¨odingerova rovnice (3.1)
i
¯h
∂ψ(x, t)
∂t
= −
¯h2
2m
∂2
∂x2
ψ(x, t) + V (x, t)ψ(x, t) (3.19)
a pro funkci ψ∗
(x, t) platí rovnice komplexní sdružená (V je reálné)
−
i
¯h
∂ψ∗
(x, t)
∂t
= −
¯h2
2m
∂2
∂x2
ψ∗
(x, t) + V (x, t)ψ∗
(x, t) (3.20)
Rovnici (3.19) vynásobíme funkcí ψ∗
(x, t) a rovnici (3.20) vynásobíme funkcí ψ(x, t) a obě
rovnice pak odečteme. Součin V (x, t)ψ(x, t)ψ∗
(x, t) se přitom zruší a zůstane rovnice
i¯h ψ∗
(x, t)
∂ψ(x, t)
∂t
+ ψ(x, t)
∂ψ∗
(x, t)
∂t
= −
¯h2
2m
ψ∗
(x, t)
∂2
ψ(x, t)
∂t2
− ψ(x, t)
∂2
ψ∗
(x, t)
∂t2
.(3.21)
Levá strana této rovnice představuje časovou derivaci součinu ψ(x, t)ψ∗
(x, t):
∂
∂t
(ψ(x, t)ψ∗
(x, t)) = ψ∗
(x, t)
∂ψ(x, t)
∂t
+ ψ(x, t)
∂ψ∗
(x, t)
∂t
. (3.22)
Pravou stranu rovnice (3.21) upravíme takto:
ψ∗
(x, t)
∂2
ψ(x, t)
∂x2
− ψ(x, t)
∂2
ψ∗
(x, t)
∂x2
=
∂
∂x
ψ∗
(x, t)
∂ψ(x, t)
∂x
− ψ(x, t)
∂ψ∗
(x, t)
∂x
. (3.23)
Pomocí dvou posledních vztahů je možno rovnici (3.21) převést na tvar
∂
∂t
(ψ(r, t)ψ∗
(r, t)) = −
∂
∂x
¯h
2mi
ψ∗
(x, t)
∂ψ(x, t)
∂x
− ψ(x, t)
∂ψ∗
(x, t)
∂x
. (3.24)
Označíme-li
w(x, t) = ψ(x, t)ψ∗
(x, t) , (3.25)
a
jx(x, t) =
¯h
2mi
ψ∗
(x, t)
∂ψ(x, t)
∂x
− ψ(x, t)
∂ψ∗
(x, t)
∂x
, (3.26)
má rovnice (3.24) tvar
∂w(x, t)
∂t
+
∂jx(x, t)
∂x
= 0 . (3.27)
Obdobným způsobem, ale pouze matematicky komplikovaněji, dostaneme pro trojrozměrný
případ rovnici
∂w(r, t)
∂t
+ divj(r, t) = 0 , (3.28)
kde
j(r, t) =
¯h
2mi
ψ∗
(r, t) ψ(r, t) − ψ(r, t) ψ∗
(r, t) . (3.29)
34 «« »»
3.3. Jednorozměrné potenciály
Vzpomeneme-li si na definici vektorového operátoru
= i
∂
∂x
+ j
∂
∂z
+ k
∂
∂y
(3.30)
vidíme, že jx(x, t) definované vztahem (3.26) je vskutku x−ová složka vektoru j(r, t)6
). Připomeňme
ještě, že
divj(r, t) =
∂jx(r, t)
∂x
+
∂jy(r, t)
∂y
+
∂jz(r, t)
∂z
. (3.31)
Rovnice (3.28) má formálně stejný tvar jako rovnice kontinuity v hydrodynamice, případně
elektrodynamice:
∂ρ(r, t)
∂t
+ divj(r, t) = 0 . (3.32)
Z této analogie odvodíme význam vektoru j(r, t) v rovnici (3.28): v hydrodynamice je ρ(r, t)
hustota kapaliny a j(r, t) je hustota toku kapaliny, v elektrodynamice je ρ(r, t) hustota náboje
a j(r, t) je hustota elektrického proudu — v kvantové mechanice jest w(r, t) hustotou
pravděpodobnosti výskytu částice a tudíž j(r, t) budeme interpretovat jako hustotu toku pravděpodobnosti
výskytu částice.
Rovnice kontinuity vyjadřuje vždy zákon zachování; v hydromechanice zákon zachování hmotnosti,
v elektrodynamice zákon zachování elektrického náboje, v kvantové mechanice pak zákon
zachování pravděpodobnosti výskytu částice.
Jako jednoduchý příklad vypočítáme hustotu pravděpodobnosti a hustotu toku pravděpodobnosti
výskytu pro volnou částici popsanou de Broglieho vlnou
ψ(r, t) = C exp −
i
¯h
(Et − pr ) . (3.33)
V tomto případě je hustota pravděpodobnosti výskytu částice rovna
w(r, t) = ψ(r, t)ψ∗
(r, t) = |C|2
, (3.34)
a to znamená, že je všude stejná. Poněvadž
ψ(r, t) = iψ(r, t)
p
¯h
, ověřte! (3.35)
je7
)
j =
¯h
2mi
ψ∗
(r, t) iψ(r, t)
p
¯h
− ψ(r, t) −iψ∗
(r, t)
p
¯h
=
p
m
ψ(r, t)ψ∗
(r, t) . (3.36)
3.3. Jednorozměrné potenciály
3.3.1. O jednorozměrných potenciálech
6) Jedná se o skalární součin · j(r, t).
7) Nejde-li to, podívejte se do Dodatků, ale jen v nejnutnějším případě, když už není vyhnutí.
«« »» 35
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
Abychom se blíže seznámili s řešením Schr¨odingerovy rovnice a interpretací získaných výsledků,
rozebereme si podrobně několik jednoduchých8
) jednorozměrných úloh. V těchto úlohách
předpokládáme, že se částice nachází stále na přímce, kterou volíme například osu x. Z matematického
hlediska mají jednorozměrné úlohy tu přednost, že stacionární Schr¨odingerova rovnice
(3.13) je pro ně obyčejná (nikoliv parciální) diferenciální rovnice; po malé9
) úpravě ji můžeme
přepsat takto
d2
ϕ(x)
dx2
+
2m
¯h2 [E − V (x)] ϕ(x) = 0 (3.37)
Řešení takovéto rovnice je mnohem prostší než řešení parciálních diferenciálních rovnic, které
získáváme v třírozměrných úlohách. Jednorozměrné úlohy jsou ale zajímavé nejen proto, že nám
dovolují poznat základní charakteristické rysy kvantových zjevů, které se zpravidla zachovávají
i v mnohem složitějších problémech, nýbrž i proto, že mnoho vícerozměrných úloh může být po
vhodné transformaci a separaci proměnných redukováno na řešení rovnice typu (3.37).
Nejprve si připomeneme, jak se chová klasická částice (tj. částice řídící se zákony platné
v klasické mechanice) v jednorozměrném potenciálovém poli jak je znázorněno na obr. 3.1. Při
dané celkové energii E1 (E1 = T(x) + V (x)) budou pro klasickou částici nedostupné ty oblasti
na ose x, v nichž V > E, poněvadž kinetická energie T = mv2
/2 musí být vždy nezáporná. To
znamená, že klasickou částici o energii E1 můžeme nalézt pouze v oblastech I, III a V. Oblasti
II, IV a VI jsou pro ni nedostupné. Částice, která se pohybuje od −∞ v kladném směru osy
x, dospěje do místa A, kde se celá její energie změní v energii potenciální (tzv. bod obratu) –
zastaví se T = 0 a začne se pohybovat zpět do oblasti I. Do oblasti II proniknout nemůže. O této
částici řekneme, že se odrazila na potenciálové bariéře. O částici v oblasti III resp. V pravíme,
že osciluje v potenciálové jámě, a tento stav označujeme jako vázaný. Částice s energií E2 vyšší,
než je maximální hodnota, kterou nabývá potenciální energie V (x), se bude pohybovat stále
jedním směrem (např. zleva doprava), aniž by se mohla někde odrazit, a přitom se bude měnit
pouze její rychlost tak, aby bylo splněno stále E2 = T(x) + V (x).
8) A už je to tady zase! Pokuste se ale, je-li to možné, posečkat s posouzením a případným odsouzením této věty až po
důkladném přečtení a pokud možno bedlivém prostudování následující kapitoly.
9) Tato úprava spočívá v převedení všech členů rovnice na jednu stranu a osamostatnění druhé derivace funkce ϕ(x, t),
respektive vytknutí této funkce. Pokuste si rovnici (3.37) oblíbit, budeme ji v následujících odstavcích dost často používat
a odkazovat se na ni.
36 «« »»
3.3. Jednorozměrné potenciály
A B C D F x
(I) (II) (III) (IV) (V) (VI)
V (x)
E2
E1
Obr. 3.1 Pohyb částice v jednorozměrném potenciálovém poli
Pro jednoduchost budeme v našich prvních úlohách pracovat s tzv. pravoúhlými potenciály,
kde se řešení Schr¨odingerovy rovnice (3.1) dá celkem bez obtíží provést10
). Typický pravoúhlý
potenciál je schematicky znázorněn na obr. 3.2a — osa x je rozdělena na několik oblastí, v nichž
je potenciál konstantní a na styku těchto oblastí se mění skokem (nespojitě). Pochopitelně,
že taková funkce nepředstavuje reálný průběh potenciálu, který musí být hladký, jak je např.
znázorněno na obr. 3.2b. Jsou-li však rozměry oblastí, v nichž dochází ke změně potenciálu,
velmi malé v porovnání s de Broglieho vlnovou délkou, je pravoúhlý potenciál dobrou aproximací
reálného potenciálu.
V případě pravoúhlých potenciálů najdeme řešení Schr¨odingerovy rovnice pro každou oblast,
v níž je potenciál konstantní zvlášť, a řešení v sousedních oblastech „sešijeme tak, aby na styku
těchto oblastí, kde je (konečný) skok v potenciálu V (x), byly vlnová funkce ϕ(x) i její první
derivace dϕ(x)/dx spojité.
Závěrem tohoto odstavce si ukážeme, proč by měla být i první derivace vlnové funkce spojitá.
Požadavky spojitosti, jednoznačnosti a omezenosti (viz odstavec 2.3.3 strana 19) vyžaduje přímo
Bornova pravděpodobnostní interpretace vlnové funkce. Podmínka spojitosti prvních derivací
je pak důsledkem toho, že vlnová funkce je řešením Schr¨odingerovy rovnice. V jednorozměrném
případě se o tom snadno přesvědčíme. Integrací rovnice (3.37) dostáváme, že první derivace
vlnové funkce ϕ (x) je rovna:
ϕ (x) = ϕ (x0) −
2m
¯h2
x
x0
[E − V (ξ)] ϕ(ξ)dξ , (3.38)
kde x0 je libovolný pevný bod. Je-li potenciál V (ξ) všude spojitý, není o tom, že ϕ (x) je nutně
spojitá, pochyb. Zajímají nás však především body, kde existuje „skok (nespojitost) v potenciálu
V (ξ). Z matematické analýzy je známo11
), že integrál je spojitý i tehdy, když integrand
10) Nepropadejte panice, skoro všechny výpočty zde budou nejen naznačeny, ale dovedeny až k vyjádření konečného výsledku.
Je to především proto, že málokdo odolá v kvantové mechanice dovést řešení příkladu až ku správnému, přesnému
(analytickému) vyjádření vlnové funkce, jež je řešením Schr¨odingerovy rovnice (3.1). Je to především proto, že těchto možností
je v kvantové mechanice pohříchu málo.
11) Pokud někdo opět zrovna chyběl na příslušné přednášce z matematiky, pak lze toto tvrzení najít (a případně si jej
vyzkoušet na vhodném příkladu) v knize [11] na straně 465 (definice 2, poznámka 2).
«« »» 37
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
x
V (x)
a)
x
V (x)
b)
Obr. 3.2 Pravoúhlý potenciál (a) aproximující reálný průběh (b)
obsahuje konečnou nespojitost ve spočetně mnoha bodech. Z rovnice (3.38) tedy plyne, že první
derivace vlnové funkce je všude, kde není skok v potenciálu nekonečný, spojitá. V bodech, kde
je skok v potenciálu nekonečný, první derivace ϕ (x) již podle (3.38) spojitá není; v tom případě
budeme požadovat (kromě zbývajících standardních podmínek) pouze spojitost vlnové funkce
(a nikoliv spojitost i její první derivace, když to podle (3.38) není možné). K této situaci dojde
například při řešení problému částice, která se nachází v nekonečně hluboké potenciálové jámě
(odstavec 3.4.2 strana 47).
3.4. Potenciálový schod
Jako první příklad použití Schr¨odingerovy rovnice určíme vlnovou funkci ϕ(x) částice s danou
energií E v jednorozměrném potenciálovém poli znázorněném na obr. 3.3; tato situace se nazývá
potenciálový schod a je popsána potenciálem
V (x) =
0 pro x < 0
V0 pro x > 0 .
(3.39)
Vzhledem k nespojitosti funkce V (x) v bodě x = 0 musíme napsat stacionární (bezčasovou)
Schr¨odingerovu rovnici (3.37) zvlášť pro oblast x < 0 (oblast (I)) a oblast x > 0 (oblast (II)):
d2
ϕ(I)
dx2
+
2mE
¯h2 ϕ(I)(x) = 0 pro x < 0 , (3.40)
d2
ϕ(II)
dx2
+
2m (E − V0)
¯h2 ϕ(II)(x) = 0 pro x > 0 . (3.41)
38 «« »»
3.4. Potenciálový schod
x
V (x)
0
V0
E < V0
E > V0
(I) (II)
Obr. 3.3 Pravoúhlý potenciálový schod
Obecná řešení těchto rovnic jsou12
)
ϕ(I)(x) = A exp i
2mE
¯h2 x + B exp −i
2mE
¯h2 x (3.42)
pro x < 0,
ϕ(II)(x) = C exp i
2m (E − V0)
¯h2 x + D exp −i
2m (E − V0)
¯h2 x (3.43)
pro x > 0.
Protože vždy platí 2mE/¯h2
> 0, má funkce (3.42) oscilující charakter a je vhodné definovat
kladnou konstantu
k2
=
2mE
¯h2 ⇒ k =
√
2mE
¯h
> 0 . (3.44)
Výraz pod odmocninou v exponenciále v řešení (3.43) může být naproti tomu jak záporný
(jestliže E < V0), tak kladný (jestliže E > V0). Budeme řešit oba případy (E < V0 ∼ (a),
E > V0 ∼ (b)) odděleně.
(a) Energie E < V0
Definujeme
α2
=
2m (V0 − E)
¯h2 ⇒ α =
2m (V0 − E)
¯h2 > 0 . (3.45)
Užijeme-li označení definovaná rovnicemi (3.44) a (3.45), můžeme řešení vyjádřená rovnicemi
(3.42,3.43) zapsat takto
ϕ(I)(x) = Aeikx
+ Be−ikx
pro x < 0 , (3.46)
ϕ(II)(x) = Ce−αx
+ Deαx
pro x > 0 . (3.47)
12) Lze je snadno najít například v [11] na straně 649, možná méně snadné ale velmi vhodné pro další radostné studium
jest jejich pochopení. Pro následující výklad nabývá ovšem znalost řešení podobných typů diferenciálních rovnic zásadního
významu, stojí tedy zato se s tímto typem blíže seznámit (pokud se tak ještě nestalo v základním kursu fyziky — např. při
řešení diferenciální rovnice klasického harmonického oscilátoru (viz strana 71)).
«« »» 39
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
Zatím neurčené konstanty A, B, C, D stanovíme pomocí standardních podmínek kladených
na vlnové funkce (viz odstavec 2.3.3 strana 19). V našem případě použijeme tyto:
i) ϕ(x) musí být všude omezená, proto v řešení (3.47) pro x > 0 musí být D = 0, neboť jinak
by ϕ(II)(x) rostla pro x → 0 nade všechny meze;
ii) ϕ(x) musí být všude spojitá i se svou první derivací13
), proto v bodě x = 0 musí řešení
ϕ(I)(x) dané rovnicí (3.46) spojitě navazovat i s první derivací na řešení ϕ(II)(x) dané
rovnicí (3.47).
ϕ(I)(0) = ϕ(II)(0) , (3.48)
dϕ(I)(x)
dx x=0
=
dϕ(II)(x)
dx x=0
. (3.49)
Dosadíme-li sem za ϕ(I)(x) a ϕ(II)(x) z rovnic (3.46) a (3.47), dostaneme
A + B = C (3.50)
ik(A − B) = −αC . (3.51)
To jsou dvě rovnice pro tři neznámé. Určíme z nich konstanty B a C pomocí konstanty A (o té
předpokládáme, že ji známe (je zadána); její fyzikální smysl se ozřejmí za chvíli):
B =
ik + α
ik − α
A , C =
2ik
ik − α
A . (3.52)
Vlnová funkce částice je tedy dána takto:
ϕ(I)(x) = A eikx
+
ik + α
ik − α
e−ikx
pro x < 0 , (3.53)
ϕ(II)(x) =
2ik
ik − α
Ae−αx
pro x > 0 . (3.54)
Podívejme se na získaná řešení z fyzikálního hlediska. Funkce ϕ(I)(x) pro x > 0 je superpozicí
(dopadající) vlny postupující vpravo (eikx
) a (odražené) vlny postupující vlevo (eikx
)13
).
Z rovnice (3.53) navíc plyne, že intenzita dopadající vlny je |A|2
a intenzita odražené vlny je
|B|2
=
ik + α
ik − α
A
2
=
ik + α
ik − α
−ik + α
−ik − α
|A|
2
= |A|
2
. (3.55)
Tedy intenzity dopadající a odražené vlny jsou stejné; dochází k úplnému odrazu. Tento
výsledek můžeme interpretovat také tak, že všechny částice dopadající na potenciálový schod
a mající energii E < V0 jsou odraženy zpět. Konečně najděme hustotu pravděpodobnosti výskytu
částice v oblasti x < 0. Pro její výpočet vyjádříme funkci ϕ(I)(x) ve tvaru
ϕ(I)(x) =
A
ik − α
(ik − α)eikx
+ (ik + α)e−ikx
. (3.56)
13) Důvod, proč musí být i první derivace vlnové funkce spojitá, je ozřejmen na straně 37. Potenciálový schod má totiž
v bodě x = 0 konečnou nespojitost.
13) Použitá tvrzení „vlna postupující vlevo, vpravo mají vlastně plný smysl až pro úplnou vlnovou funkci (která se od vlnové
funkce ϕ(x) liší násobením funkcí f(t) = exp[−iEt/¯h]). Vzpomeneme-li si navíc, jak lze matematicky zapsat výchylku elementu
o souřadnici x v čase t, je-li tento účasten postupného vlnění (základní kurs fyziky), máme vyhráno. (Pouze pro ty, co
zase chyběli v ten nejméně vhodný okamžik — jedno z možných vyjádření: u(x, t) = A cos(ωt±kx) = Re {A exp[i(ωt ± kx)]}.
Je-li znaménko před součinem kx stejné (opačné) jako před členem ωt, pak se vlnění šíří v kladném (záporném) směru osy
x). A to, že E/¯h se rovná ω, už víme dávno (viz rovnice (1.6).
40 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Použijeme-li Moivrova vztahu:
e±ikx
= cos kx ± i sin kx , (3.57)
a po následném roznásobení pravé strany rovnice (3.56) a sečtením všech členů obdržíme
ϕ(I)(x) =
2ik
ik − α
A cos kx −
α
k
sin kx , (3.58)
a nakonec po sečtení členů v závorce14
)
ϕ(I)(x) =
2i
√
k2 + α2
ik − α
A cos(kx + γ) , (3.59)
kde γ = arctan(α/k) je fázový posuv. Hustota pravděpodobnosti výskytu částice v oblasti x < 0
je15
)
ψ(I)(x, t)
2
= ϕ(I)(x)
2
= ϕ(I)(x)ϕ∗
(I)(x) = 4 |A|
2
cos2
(kx + γ) , (3.60)
a vyznačuje se tudíž oscilujícím průběhem, který nemá analogii v klasické mechanice a je výsledkem
interference dopadající a odražené vlny.
Podívejme se nyní do oblasti x < 0, kde je vlnová funkce dána výrazem (3.54). Vidíme, že
i v této oblasti — z hlediska klasické mechaniky nedostupné — je pravděpodobnost výskytu
částice nenulová16
):
ψ(II)(x, t)
2
= ϕ(II)(x)
2
=
4k2
k2 + α2
|A|
2
e−2αx
. (3.61)
Hustota pravděpodobnosti výskytu částice podél osy x spočtená pro E = V0/2 je na obr. 3.4a.
(b) Energie E < V0
V tomto případě definujeme kladnou veličinu
q2
=
2m(E − V0)
¯h2 ⇒ q =
2m(E − V0)
¯h
> 0 . (3.62)
Řešení (3.42) a (3.43) budou mít jak pro x < 0, tak pro x > 0 týž charakter:
ϕ(I)(x) = Aeikx
+ Be−ikx
pro x < 0 , (3.63)
ϕ(II)(x) = Ceiqx
+ De−iqx
pro x > 0 , (3.64)
kde k a q jsou definována po řadě rovnicemi (3.44) a (3.62).
Budeme předpokládat, že částice dopadá na potenciálový schod zleva, potom v oblasti x < 0
bude existovat jak vlna dopadající (A = 0), tak vlna odražená (B = 0), a v oblasti x > 0 jen
14) Tak úplně jednoduché sečtení to možná nebylo, museli jsme použít několik úprav, které nejsou zcela zjevné. Uvědomíme-li
si, jaký je vztah pro cos(kx±γ) = cos kx cos γ sin kx sin γ a při porovnávání s výrazem v závorce vidíme, že jsme z ní museli
snad trochu uměle vytknout kladný výraz k2 + α2. Tím nám ale v závorce „zůstane u výrazu cos kx poměr k/ k2 + α2,
a u výrazu sin kx pak poměr α/ k2 + α2. Tak jsme celkem jednoduše „zařídili , aby sin γ, resp. cos γ byly bezrozměrné
(Jestlipak je α a k stejných rozměrů? - další otázka pro vás.), jak nám ostatně velí definice funkcí sinus a kosinus. Jen pro
kontrolu správnosti je možno konfrontovat váš samostatný postup s postupem uvedeným v dodatku na straně 143.
15) Výpočet je proveden v dodatku (oopět viz strana 143), ale už jste určitě natolik dobří, že jej zvládnete sami!
16) Zase ten dodatek? (Strana 143.)
«« »» 41
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
vlna postupující vpravo,17
) tzn. C = 0 a D = 0. Použijeme-li opět podmínky (3.48), (3.49)
dostaneme
A + B = C , (3.65)
k(A − B) = qC . (3.66)
Odtud obdržíme
B =
k − q
k + q
A , (3.67)
C =
2k
k + q
A , (3.68)
a tedy
ϕ(I)(x) = A eikx
+
k − q
k + q
e−ikx
pro x < 0 , (3.69)
ϕ(II)(x) =
2k
k + q
Aeiqx
pro x > 0 . (3.70)
Vidíme, že i v tomto případě (E > 0) dojde k částečnému odrazu18
) na potenciálovém schodu,
což je výsledek z hlediska klasické mechaniky opět neočekávaný.
Hustota pravděpodobnosti výskytu částice podél osy x spočtená pro E = 2V0 je na obr. 3.4b.
0 x
|ψ|2
a)
0 x
|ψ|2
b)
Obr. 3.4 Hustota pravděpodobnosti výskytu částice v potenciálovém poli z obr. 3.3 pro
a) E = V0/2,
b) E = 2V0.
Všimněte si oscilujícího průběhu v oblasti x < 0, který nemá analogii v klasické mechanice
a je výsledkem superpozice dopadající a odražené vlny. Prosakování hustoty pravděpodobnosti
do oblasti x > 0 pro E = V0/2 je rovněž typickým kvantověmechanickým výsledkem
17) Nemá se již na čem odrazit.
18) Viz oscilace hustoty pravděpodobnosti výskytu částice, které jsou výsledkem interference vlny dopadající na schod a vlny
částečně od schodu odražené.
42 «« »»
3.4. Potenciálový schod
x
V (x)
V0
a) E < V0
b) E > V0
0 a
(I) (II) (III)
Obr. 3.5 Pravoúhlá potenciálová bariéra výšky V0 a šířky a
3.4.1. Potenciálová bariéra. Tunelový jev
Přejděme nyní k úloze, v níž má potenciál skok ve dvou bodech; uvažovaný průběh na obr. 3.5
se nazývá potenciálová bariéra (někdy též potenciálový val):
V (x) =
0 pro x < 0 a x > a,
V0 pro 0 < x < a .
(3.71)
Na základě poznatků z předcházejícího odstavce můžeme řešení Schr¨odingerovy rovnice pro
uvažovaný potenciál (3.71) odhadnout: k částečnému odrazu i průchodu dojde nejen v bodě x =
0, ale i v bodě x = a. Na rozdíl od klasického řešení pro částici s energií E < V0 bude existovat
nenulová pravděpodobnost, že částice projde do oblasti na druhé straně bariéry. Skutečnost, že
částice s energií menší, než je výška bariéry, může proniknout do oblasti x > a, která je pro
ni z hlediska klasické mechaniky nedostupná, se nazývá tunelový jev. Využijeme-li výsledků
z předcházejícího odstavce, můžeme formální řešení Schr¨odingerovy rovnice provést již velmi
rychle. Stacionární Schr¨odingerova rovnice pro oblasti (I) a (III) je
d2
ϕ(I,III)(x)
dx2
+
2mE
¯h2 ϕ(I,III)(x) = 0 pro x < 0 a x > a (3.72)
a pro oblast bariéry je
d2
ϕ(II)(x)
dx2
+
2m(E − V0)
¯h2 ϕ(II)(x) = 0 pro 0 < x < a. (3.73)
Musíme rozlišit opět dva případy: E < V0; E > V0.
(a) Energie E < V0
Obecné řešení Schr¨odingerovy rovnice (3.72) a (3.73 je19
) (srovnej rovnice (3.46) a (3.47)):
ϕ(I)(x) = Aeikx
+ Be−ikx
pro x < 0 , (3.74)
ϕ(II)(x) = Ce−αx
+ Deαx
pro 0 < x < a , (3.75)
ϕ(III)(x) = Feikx
+ Ge−ikx
pro x > 0 , (3.76)
19) Za konstanty volíme takové symboly, aby nedošlo k záměně – E je již „vyhrazeno pro celkovou energii částice.
«« »» 43
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
kde opět
k =
√
2mE
¯h
> 0 a α =
2m(E − V0)
¯h
> 0 . (3.77)
Uvažujme opět částici přicházející zleva. Proto v oblasti 3 může být pouze prošlá vlna postupující
vpravo;20
) tudíž je třeba položit G = 0.
Protože řešení (3.75) použijeme jen v konečné oblasti 0 < x > a, jsou pro tato x obě exponenciály
konečné, takže není důvod některou z nich vyloučit (tak jak jsme to učinili v předchozím
odstavci); tzn., že obecně je jak C = 0, tak D = 0.
Konstanty A, B, C, D, F určíme z podmínek spojitosti21
) funkce ϕ(x) a její první derivace
dx/dx v bodech x = 0 a x = a:
ϕ(I)(0) = ϕ(II)(0) ;
dϕ(I)(x)
dx x=0
=
dϕ(II)(x)
dx x=0
, (3.78)
ϕ(II)(a) = ϕ(III)(a) ;
dϕ(II)(x)
dx x=a
=
dϕ(III)(x)
dx x=a
. (3.79)
Dosazením do těchto rovnic z (3.74,3.75, 3.76) (přičemž již G = 0) dostaneme:
A + B = C + D , (3.80)
ik(A − B) = −α(C − D) , (3.81)
Ce−αa
+ Deαa
= Feika
, (3.82)
− α(Ce−αa
− Deαa
) = ikFeika
. (3.83)
Z těchto čtyř rovnic pak můžeme vyjádřit čtyři koeficienty B, C, D, F pomocí amplitudy A
dopadající vlny. Jejich explicitní tvar zde nebudeme vypisovat (proveďte to jako cvičení!22
)).
Nyní již známe pro všechna x vlnovou funkci částice v potenciálovém poli (3.71).
Hustota pravděpodobnosti výskytu částice s energií E = V0/2 vypočtená pro dvě šířky potenciálového
valu je na obr. 3.6. Je vidět, že se vzrůstající šíří potenciálového valu rychle klesá
pravděpodobnost tunelování částice bariérou.
Poprvé tunelový jev použil G. Gamow v roce 1928 pro objasnění energiového spektra a pravděpodobnosti
α−rozpadu jádra. Částice α je poměrně stabilní útvar a lze předpokládat, že
v jistém smyslu existuje v jádře předtím, než z něho při rozpadu vyletí. Existují odhady potenciálu,
jímž jádro působí na α částici. Tento potenciál je schematicky znázorněn na obr. 3.7.
Energie α částice opouštějící jádro je však často značně menší než je maximum potenciálu V (r)
označené V0. Z klasického hlediska nebylo možno tento jev vysvětlit.
Tunelový jev se projevuje i v polovodičích, kde na styku dvou materiálů mohou vznikat komplikované
potenciálové valy. Podrobnosti nebudeme rozebírat, uveďme alespoň název „tunelová
dioda , který už sám ukazuje na souvislost s tunelovým jevem.
Podrobněji se zmíníme pouze o měřícím zařízení, jež zmíněného tunelového efektu využívá
k zobrazování morfologie vodivých povrchů (s atomárním rozlišením23
)). Tunelovací mikroskop
umožňuje měřit tzv. tunelovací proud, který teče potenciálovou bariérou (která se utvoří mezi
vodivým povrchem zkoumaného vzorku (zpravidla polarizovaném) a velmi tenkým měřícím hrotem).
Velikost tohoto proudu je úměrná pravděpodobnosti výskytu nositele proudu za bariérou;
tato zase exponenciálně závisí na šířce valu. Jsme-li schopni rastrovat hrotem velmi jemně (setiny
až tisíciny nanometrů!) nad povrchem zkoumaného vzorku a stejným jemným posuvem ve
20) Viz poznámka na straně 42.
21) Viz strana 19.
22) Snad se vám to podaří bez pomoci listování Dodatky.
23) Pod pojmem atomární rozlišení se opravdu skrývá možnost „vidět jednotlivé atomy povrchu, jak je např. vyobrazeno
v [12].
44 «« »»
3.4. Potenciálový schod
0 x
|ψ|2
0 x
|ψ|2
Obr. 3.6 Hustota pravděpodobnosti výskytu částice přicházející k potenciálové bariéře zleva
s energií E = V0/2, kde V0 je výška bariéry, pro dvě šířky bariéry (vyšrafovaná oblast)
směru kolmém na povrch „vyrovnávat polohu hrotu tak, aby tunelovací proud byl konstantní
(rozumějme šířka valu byla konstantní), máme vyhráno. Pak totiž stačí odečíst hodnoty tohoto
tzv. z− posuvu a zobrazit jej v závislosti na poloze rastru [x, y] a mapa povrchu je hotová24
)!
(b) Energie E > V0
V řešení Schr¨odingerovy rovnice (3.72, 3.73) se změní pouze vlnová funkce (3.75) na
ϕ(II)(x) = Ceiqx
+ De−iqx
pro 0 < x < a, (3.84)
kde
q =
2m (E − V0)
¯h
= iα . (3.85)
Funkce ϕ(I)(x) a ϕ(III)(x) dané vztahy (3.74, 3.76) zůstávají nezměněné:
ϕ(I)(x) = Aeikx
+ Be−ikx
x < 0, (3.86)
ϕ(III)(x) = Feikx
+ Ge−ikx
x > 0, (3.87)
kde opět
k =
√
2mE
¯h
> 0 a α =
2m(E − V0)
¯h
> 0 . (3.88)
24) Jak už to v mnoha případech bývá, není praktické řešení problému stejně jednoduché, jako jeho teoretické zvládnutí. Asi
největší problém spočívá v onom jemném a navíc velice přesně definovaném posuvu hrotu nad povrchem vzorku. Naštěstí
existují materiály, které mění své rozměry s požadovanou přesností a v požadované velikosti (tzn. v řádu 10−11m až
10−12m) po aplikaci definovaného napětí — jedná se o tzv. piezokeramiky. Pokud by některý ze čtenářů projevil o tuto
metodu, nazývanou Scanning Tunneling Microscopy, vážný zájem, doporučujeme si přečíst např. [12].
«« »» 45
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
r
V (r)
V0
E
bariéra
přitažlivé jaderné síly
V ∼
1
r
coulombovské odpudivé síly
Obr. 3.7 Schématické znázornění potenciálu, v němž se nachází částice α, v jádře a vně jádra
stejně jako podmínky (3.78), (3.79).
Máme-li již provedeno řešení rovnic (3.78), (3.79) pro E < V0, je zbytečné je řešit znovu;
využijeme-li relaci (3.85) a porovnáme-li funkce (3.84) a (3.75), vidíme, že je postačující pouze
ve všech výsledcích zaměnit α za −iq, tedy:
A + B = C + D , (3.89)
ik(A − B) = iq(C − D) , (3.90)
Ceiqa
+ De−iqa
= Feika
, (3.91)
iq(Ceiqa
− De−iqa
) = ikFeika
. (3.92)
3.4.2. Pravoúhlá potenciálová jáma. Vázané stavy
Až dosud jsme probírali potenciály, v nichž částice byla volná v tom smyslu, že se mohla
vzdálit do nekonečna (připomeňme si vlnové funkce (3.74) a (3.76), které jsou konečné i pro
x → ±∞). Viděli jsme, že v takovém případě existují fyzikálně přijatelná řešení (tj. řešení
splňující podmínky kladené na vlnovou funkci) Schr¨odingerovy rovnice pro libovolnou hodnotu
energie.
Nyní si všimneme potenciálů, které odpovídají přitažlivému silovému působení. V takovém
případě bude existovat nový typ řešení — tzv. vázané stavy, kdy výskyt částice je omezen na
jistou oblast prostoru. Uvidíme, že energie částice ve vázaném stavu může nabývat jen určitých
diskrétních hodnot. Tak dostaneme další specifický výsledek kvantové mechaniky — kvantování
energie.
Nejdříve se budeme zabývat případem z matematického hlediska nejprostším, na kterém si
však můžeme nejjednodušeji ukázat, jak se při řešení Schr¨odingerovy rovnice dojde ke kvantování
energie vázaných stavů. Půjde o pravoúhlou nekonečně hlubokou potenciálovou jámu.
V závěru odstavce provedeme rovněž řešení fyzikálně reálnější situace, kdy silové pole modelujeme
pravoúhlou potenciálovou jámou konečné hloubky. I v tomto případě uvidíme, že vázané
stavy mají diskrétní hodnoty energie. Diskusi kvantování energie v potenciálové jámě obecného
tvaru odložíme do následujícího odstavce.
46 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Pravoúhlá nekonečně hluboká potenciálová jáma
Nejjednodušší pro matematické řešení Schr¨odingerovy rovnice je pravoúhlá nekonečně hluboká
potenciálová jáma
V (x) =
0 pro 0 < x < a ,
∞ pro x < 0 a x > a .
(3.93)
Tento potenciál vyjadřuje skutečnost, že v bodech x = 0 a x = a působí na částici nekonečně
velká síla, která jí nedovolí nikdy (při žádné hodnotě energie) opustit úsečku (0, a); částice je
„vázána na úsečku (0, a), a proto vně jámy musí být ϕ(I,III)(x) = 0.
Uvnitř jámy, kde jsme pro jednoduchost položili V (x) = 0, má stacionární Schr¨odingerova
rovnice (3.37) tvar
d2
ϕ(II)(x)
dx2
+
2mE
¯h2 ϕ(II)(x) = 0 . (3.94)
Její obecné řešení je
ϕ(II)(x) = A exp i
2mE
¯h2 x + B exp −i
2mE
¯h2 x pro 0 < x < a. (3.95)
Řešení (3.95) uvnitř jámy musí v bodech x = 0 a x = a spojitě navazovat25
) na řešení vně
jámy. Tedy řešení (3.95) musí vyhovovat těmto dvěma okrajovým podmínkám26
)
ϕ(0) = 0 , (3.96)
ϕ(a) = 0 . (3.97)
Použijeme-li okrajovou podmínku (3.96), dostaneme
ϕ(0) = A + B = 0 ⇒ B = −A , (3.98)
takže
ϕ(x) = A exp i
2mE
¯h2 x − exp −i
2mE
¯h2 x =
= 2iA sin
2mE
¯h2 x = C sin
2mE
¯h2 x , (3.99)
kde jsme označili C = 2iA. Okrajová podmínka (3.97) dává
ϕ(a) = C sin
2mE
¯h2 a = 0 . (3.100)
Poněvadž C se nemůže rovnat nule (potom by totiž vlnová funkce byla identicky rovna nule pro
všechna x, což není fyzikálně možné), musí být
sin
2mE
¯h2 a = 0 ⇒
2mE
¯h2 a = nπ , (3.101)
25) Viz naše standardní podmínky kladené na vlnovou funkci (odstavec 2.3.3 strana 19).
26) Index 2 budeme již dále vynechávat, a to ze dvou důvodů - víme již, že se jedná o vlnovou funkci v oblasti jámy (pro
jiná x nabývá nulových hodnot) a proto, že brzy přibude další (a to index n).
«« »» 47
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
kde n je přirozené číslo (n = 0 je nutné vyloučit, protože odpovídající vlnová funkce by byla
rovněž všude identicky rovna nule).
Dostáváme tedy, že fyzikálně přijatelná řešení rovnice (3.94), tj. řešení, splňující okrajové
podmínky (3.96), (3.97), existují pouze tehdy, jestliže E nabývá některé z diskrétních hodnot
En =
π2
¯h2
2ma2
n2
, n = 1, 2, . . . , (3.102)
kde n nazýváme kvantovým číslem. To znamená, že energie částice je kvantována. Vlnová funkce
(3.99) odpovídající stacionárnímu stavu s kvantovým číslem n, jehož energie En je27
)
ϕn(x) = Cn sin
nπx
a
. (3.103)
Zbývá určit konstantu Cn. Tu určíme z podmínky, aby vlnová funkce (3.103) byla normalizovaná,
tj. aby platilo
∞
−∞
|ϕn(x)|
2
dx = 1 . (3.104)
Dosadíme-li sem za ϕn(x), dostaneme
C2
n
a
0
sin2 nπx
a
dx = 1 , (3.105)
poněvadž funkce ϕn(x) je nenulová pouze v intervalu (0, a). Hodnota integrálu je28
) a/2. Tudíž
Cn = 2/a. Proto normalizované vlnové funkce stacionárního stavu s kvantovým číslem n jsou
ϕn(x) =
2
a
sin
nπx
a
. (3.106)
Normalizované vlnové funkce ϕ1(x), ϕ2(x) a ϕ3(x) pro tři stacionární stavy s nejnižší energií
jsou spolu s hustotami pravděpodobnosti |ϕ1(x)|2
, |ϕ2(x)|2
a |ϕ3(x)|2
vyneseny na obr. 3.8.
Vlnové funkce (3.106) mají důležitou vlastnost: jsou ortogonální, tzn. že platí
∞
−∞
ϕ∗
n(x)ϕn (x)dx = 0 pro n = n . (3.107)
O platnosti tohoto tvrzení se přesvědčíme snadno29
) spočteme-li integrál na levé straně
(3.107). Ke stejnému závěru lze dospět ještě rychleji, všimneme-li si na obr. 3.8, jaká funkce
může vzniknout například vynásobením ϕ1 s ϕ2 – od nuly do poloviny jámy bude mít znaménko
kladné (násobíme kladné funkční hodnoty obou zmiňovaných funkcí), kdežto v druhé
polovině jámy bude mít součin znaménko záporné. Vzhledem k tvaru křivek je jasné, že plochy
(tj. hodnoty integrálů) pod křivkou této nové funkce budou pro obě poloviny jámy stejné, ale
”opačného” znamení, tj. pro celou jámu nulové. Jak ukážeme v následující kapitole na straně 93,
ortogonalita vlnových funkcí je obecnou vlastností řešení stacionární Schr¨odingerovy rovnice.
Pravoúhlá potenciálová jáma konečné hloubky
27) A už je tady zmiňovaný nový index - n.
28) A opět ty Dodatky nebo se pokusíte sami?
29) Dosadíme-li za funkce (3.106) a použijeme-li (několikrát!) metodu integrace per partes (případně se podíváme do
Dodatků).
48 «« »»
3.4. Potenciálový schod
ϕ1
ϕ2
ϕ3
x = 0 x = a
n = 1
n = 2
n = 3
a)
|ϕ1|2
|ϕ2|2
|ϕ3|2
x = 0 x = a
b)
Obr. 3.8
a) Vlnové funkce
b) Odpovídající hustoty pravděpodobnosti výskytu částice v nekonečně hluboké pravoúhlé
potenciálové jámě pro tři stacionární stavy s nejnižší energií
V závěru tohoto odstavce si všimneme částice v pravoúhlé potenciálové jámě, která má konečnou
hloubku V0 (obr. 3.9):
V (x) =
−V0 pro −a/2 < x < a/2 ,
0 pro x < −a/2 a x > a/2 .
(3.108)
Matematické řešení tohoto problému není principiálně obtížné a ve srovnání s předcházejícími
pravoúhlými potenciály nevyžaduje nové postupy, je však zdlouhavé. Proto je jen naznačíme
s tím, že užijeme výsledků předchozích odstavců.
Musíme rozlišit opět dva případy, kdy V0 < E < 0 (a) a E > 0 (b).
(a) −V0 < E < 0 (vázané stavy)
Stacionární Schr¨odingerova rovnice (3.37) má tvar
d2
ϕ(I,III)(x)
dx2
− β2
ϕ(I,III)(x) = 0 pro |x| > a/2 , (3.109)
d2
ϕ(II)(x)
dx2
+ K2
ϕ(II)(x) = 0 pro |x| < a/2 , (3.110)
«« »» 49
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
x
V (x)
−V0
a) −V0 < E < 0
b) E > 0
0−a/2 a/2
(I) (II) (III)
Obr. 3.9 Pravoúhlá potenciálová jáma hloubky V0 (V0 > 0) a šířky a
kde
β =
−2mE
¯h2 > 0 , K =
2m(V0 + E)
¯h2 > 0 . (3.111)
Obecná řešení v jednotlivých oblastech jsou
ϕ(I)(x) = Aeβx
+ Be−βx
pro x < −a/2 , (3.112)
ϕ(II)(x) = CeiKx
+ De−iKx
pro − a/2 < x < a/2 , (3.113)
ϕ(III)(x) = Feβx
+ Ge−βx
pro x > a/2 , (3.114)
Konstanty A, . . . , G určíme opět ze standardních podmínek (viz strana 19) kladených na
vlnovou funkci:
i) Aby řešení Schr¨odingerovy rovnice bylo fyzikálně přijatelné, musí být všude omezené, tedy
i pro x → ±∞. Poněvadž pro x → −∞ funkce exp(−βx) diverguje, musíme v řešení (3.112)
pro oblast 1 položit B = 0 a podobně v řešení (3.114) v oblasti 3 musíme položit F = 0,
poněvadž pro x → ∞ diverguje funkce exp(βx). Zvážíme-li, že B = F = 0, je z tvaru
řešení (3.112) až (3.114) vidět, že největší pravděpodobnost výskytu částice je v oblasti
jámy, zatímco vně jámy (pro x > |a/2|) pravděpodobnost jejího výskytu exponenciálně
klesá k nule tak, jak se od oblasti jámy vzdalujeme. V tomto smyslu zde tedy hovoříme
o vázaném stavu.
ii) Z požadavku spojitosti vlnové funkce a její derivace v bodech konečné nespojitosti potenciálu
x = −a/2 a x = a/2 dostáváme čtyři podmínky:
ϕ(I) −
a
2
= ϕ(II) −
a
2
;
dϕ(I)(x)
dx x=−a/2
=
dϕ(II)(x)
dx x=−a/2
, (3.115)
ϕ(II)
a
2
= ϕ(III)
a
2
;
dϕ(II)(x)
dx x=a/2
=
dϕ(III)(x)
dx x=a/2
. (3.116)
Dosadíme-li sem obecná řešení (3.112), (3.113) a (3.114) a B = F = 0, dostaneme soustavu
čtyř homogenních (algebraických) rovnic pro čtyři neznámé A, C, D, G. Tato soustava bude mít
netriviální řešení (triviálním se rozumí A = C = D = G = 0, které nás z fyzikálních důvodů
50 «« »»
3.4. Potenciálový schod
nezajímá) pouze tehdy, bude-li determinant soustavy roven nule30
). Odtud dostáváme podmínku
(odvoďte ji, prosím31
)
tg Ka =
2βK
K2 − β2
. (3.117)
S užitím vztahu
tg 2α =
2 tg α
1 − tg2
α
(3.118)
lze rovnici (3.117) upravit na tvar
K tg
Ka
2
− β K cotg
Ka
2
+ β = 0 , (3.119)
odkud plyne, že buď
K tg
Ka
2
= β , (3.120)
nebo
K cotg
Ka
2
= −β . (3.121)
Tyto transcendentní32
) rovnice lze pak řešit snadněji než původní transcendentní rovnici (3.117).
Protože K i α jsou funkcemi E (viz definice (3.111)), rovnice (3.120), (3.121) představují
rovnice pro energie E. Uvidíme, že řešení těchto rovnic dostaneme vždy pouze konečný počet
diskrétních hodnot energie E.
Dříve, než přistoupíme k řešení rovnic (3.120), (3.121), se podíváme na celý problém ještě jednou,
přičemž využijeme důsledků, které plynou ze symetrie potenciálu. Uvažovaná potenciálová
jáma je symetrická vůči bodu x = 0, platí
V (−x) = V (x) , (3.122)
takže i pravděpodobnost výskytu částice pohybující se v tomto potenciálovém poli v bodě −x
musí být stejná jako v bodě x, tj. musí platit
|ϕ(−x)|2
= |ϕ(x)|2
. (3.123)
Odtud pro vlnovou funkci dostáváme
ϕ(−x) = ±ϕ(x) , (3.124)
což znamená, že hledaná funkce ϕ(x) musí být buď sudá (+), nebo lichá (−).
30) Tady je možná vhodné trochu se zastavit. Je-li determinant soustavy homogenních rovnic (tedy s nulovou pravou
stranou) roven nule, znamená to, že např. jeden řádek je lineárně závislý. To vede k situaci, kdy máme více neznámých nežli
počet (nezávislých) rovnic. Pak jednu neznámou zvolím jako parametr, pomocí kterého mohu vyjádřit zbývající neznámé.
Nejlépe si problém ozřejmíte výpočtem jednoduchého příkladu dvou homogenních, ale nejprve závislých rovnic pro dvě
neznámé — např. 2x + 4y = 0 a 4x + 8y = 0 — determinant soustavy (D = 2.8 − 4.4) je roven nule a y = 2x. Kdyby
determinant nebyl roven nule, tj. rovnice by byly nezávislé — např. 2x + 4y = 0 a 2x + y = 0 ⇒ D = −7, pak by se x i y
muselo nutně rovnat té samé nule, má-li 2x + 4y = 2x + y = 0. Tomuto řešení se říká triviální.
31) Samozřejmě, že jednodušší, ale asi i méně „výchovné řešení, je podívat se rovnou do Dodatků.
32) Co to je - transcendentní? Filozoficky – přesahující hranice vědomí a poznání, v matematice – transcendentní rovnice
je rovnice, ve které se neznámá vyskytuje např. pod odmocninou, v exponentu, nebo jako argument transcendentní funkce
(tj. funkce goniometrické, hyperbolické, exponenciální a jejich funkce inverzní – viz např. [11] strana 330).
«« »» 51
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
α) Všimněme si nejdříve sudých řešení. Z rovnic (3.112) až (3.114) v tomto případě plyne
pro x > a/2 : ϕ(I)(−x) = ϕ(III)(x) ⇒ A = G (= A+) , (3.125)
pro |x| < a/2 : ϕ(II)(−x) = ϕ(II)(x) ⇒ C = D (=
C+
2
) . (3.126)
Tedy sudé řešení je
ϕ
(+)
(I) (x) = A+eβx
pro x < −a/2 , (3.127)
ϕ
(+)
(II)(x) = C+ cos Kx pro |x| < a/2 , (3.128)
ϕ
(+)
(III)(x) = A+e−βx
pro x > a/2. (3.129)
Z podmínek (3.115) (podmínky (3.116) by daly tytéž rovnice) pak dostáváme dvě rovnice
pro dvě konstanty A+, C+ :
A+ exp −
βa
2
− C+ cos
Ka
2
= 0 , (3.130)
βA+ exp −
βa
2
− K C+ sin
Ka
2
= 0 . (3.131)
Aby tato soustava homogenních rovnic měla netriviální řešení, musí být determinant soustavy
roven nule33
):
exp −βa
2
− cos Ka
2
β exp −βa
2
−K cos Ka
2
(3.132)
Vypočteme-li tento determinant34
), po úpravě dostáváme rovnici (podmínka pro existenci
sudého řešení)
K = tg
Ka
2
= β , (3.133)
což je právě rovnice (3.120) Řešením této rovnice získáme energie příslušející sudým řešením.
β) V případě lichých řešení budeme postupovat zcela analogicky. Z rovnic (3.112) až (3.114)
nyní plyne:
pro x > a/2 : ϕ(I)(−x) = −ϕ(III)(x) ⇒ A = −G (= A−) , (3.134)
pro |x| < a/2 : ϕ(II)(−x) = −ϕ(II)(x) ⇒ C = −D (=
C−
2i
) . (3.135)
Tedy liché řešení je
ϕ
(−)
(I) (x) = A−eβx
pro x < −a/2 , (3.136)
ϕ
(−)
(II)(x) = C− sin Kx pro |x| < a/2 , (3.137)
ϕ
(−)
(III)(x) = A−e−βx
pro x > a/2 . (3.138)
33) Viz poznámka na straně 51
34) Je to ale opravdu snadné!
52 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Z podmínek (3.115) pak dostáváme dvě rovnice pro dvě konstanty A−, C− :
A− exp −
βa
2
+ C− sin
Ka
2
= 0 , (3.139)
βA− exp −
βa
2
− K C− sin
Ka
2
= 0 . (3.140)
Nulovost determinantu soustavy vede k rovnici (podmínka pro existenci lichého řešení)
K cotg
Ka
2
= −β , (3.141)
což je právě rovnice (3.121). Z této rovnice dostaneme energie příslušející lichým řešením.
Ukázali jsme, že využití symetrie problému podstatně zjednodušuje celé řešení (např. místo
výpočtu determinantu čtvrtého řádu jsme počítali dva determinanty jen druhého řádu) a současně
poskytuje nové informace: řešení stacionární Schr¨odingerovy rovnice se rozpadají do dvou
skupin — na řešení sudá a řešení lichá.
Přistupme nyní k řešení rovnic (3.120), (3.121). Jde o transcendentní rovnice33
), které se řeší
nejsnadněji graficky (viz obr. 3.10).
ξtg ξ ξtg ξ−ξcotg ξ −ξcotg ξ
ξ
0
1
2
3
4
η
0
π
2
π 3π
2
E1
E2
E3
ξ2
+ η2
= R2
Obr. 3.10 Grafické řešení rovnic (3.143), (3.144)
33) Viz opět poznámka strana 51.
«« »» 53
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
Zaveďme bezrozměrné proměnné
ξ =
Ka
2
> 0 , η =
βa
2
> 0 . (3.142)
V tomto označení rovnice (3.120), respektive (3.121) vypadají následovně
ξ tg ξ = η , (3.143)
ξ cotg ξ = −η , (3.144)
přičemž z definic parametrů K a β plyne, že
ξ2
+ η2
=
m
2¯h2 V0a2
≡ R2
. (3.145)
Odtud je vidět, že možné hodnoty ξ a η (a tedy i možné hodnoty energie) budou určeny průsečíky
křivek η = ξ tg ξ (sudá ϕ(+)
(x)) nebo křivek η = −ξ cotg ξ (lichá ϕ(−)
(x)) s částí kružnice
o poloměru R = (mV0a2
/2¯h2
)−1/2
, která leží v prvním kvadrantu (ξ a η jsou podle definice
kladnými parametry). Všimněme si, že jáma je charakterizována parametrem R, který plně
určuje počet řešení (energiových hladin) pro danou jámu. I když je R sebemenší, v případě
symetrické potenciálové jámy vždy existuje alespoň jedno sudé řešení a pokaždé, když poloměr
R projde násobkem π/2, objeví se jedno další řešení. Z obr. 3.10 také vyplývá, že počet průsečíků
kružnice s daným poloměrem R s množinou křivek (3.143) a (3.144) je vždy konečný, a tudíž
i počet energiových hladin v jámě je konečný. Energiové hladiny v jámách různých hloubek jsou
znázorněny na obr. 3.11.
R2
= 1
R2
= 2,25
R2
= 4
R2
= 9
R2
= 16
R2
= 25
Obr. 3.11 Energiové hladiny v potenciálových jámách různých hloubek určených parametrem
R =
mV0a2
2¯h
Plnou čarou jsou vyznačeny hladiny odpovídající sudým řešením, čárkovaně hladiny
odpovídající lichým řešením
54 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Typické tvary vlnových funkcí a odpovídající hustoty pravděpodobnosti výskytu částice
v jámě jsou uvedeny v obr. 3.12. Povšimněte si, že kvantová mechanika předpovídá nenulovou
pravděpodobnost výskytu částice i v klasicky nedostupné oblasti, tj. pro x ∈ −a/2, a/2 . Nepřehlédněte,
že pravděpodobnost nalezení částice v této oblasti exponenciálně ubývá se vzrůstající
vzdáleností od hranice klasicky dostupné oblasti (v tom smyslu hovoříme o vázaném stavu).
Přitom pokles je tím rychlejší, čím menší je rozdíl V0 − |En| (n = 1, 2, . . . , nmax) a čím těžší je
částice.
Došli jsme k závěru, že částice vázaná v oblasti potenciálové jámy (3.108) může být jen ve
stacionárních stavech, jimž přísluší diskrétní hodnoty energie En, (n = 1, 2, . . . , nmax); pro jiné
hodnoty energie E < 0 nelze najít takové řešení stacionární Schr¨odingerovy rovnice, jež by
v celém intervalu x ∈ (−∞, +∞) splňovala podmínky kladené na vlnovou funkci.
Příklady, s nimiž se setkáme v následujících odstavcích, jsou sice složitější, avšak tuto vlastnost
mají společnou s naší jámou. V právě diskutovaném případě pravoúhlé jednorozměrné
potenciálové jámy existovaly dva „nebezpečné body , a to x → −∞ a x → ∞. Nebezpečné byly
proto, že v jejich okolí existuje jedno „vyhovující řešení typu exp(−β|x|) a jedno „nevyhovující
řešení typu exp(β|x|). Má-li mít výsledná vlnová funkce ϕ(x) fyzikální smysl, potom koeficienty
u „nevyhovujícího řešení v obou „nebezpečných bodech musí být nulové. Tyto podmínky jsou
právě tím, co vybírá jen množinu stacionárních stavů, a tedy i tím, co „kvantuje energii.
x = −a/2 x = a/20 x = −a/2 x = a/20
ϕ
(+)
1
ϕ
(−)
2
ϕ
(+)
3
|ϕ
(+)
1 |2
|ϕ
(−)
2 |2
|ϕ
(+)
3 |2
E1
E2
E3
Obr. 3.12 Vlnové funkce (a) a odpovídající hustoty pravděpodobnosti výskytu (b) částice v pravoúhlé
potenciálové jámě konečné hloubky (viz obr. 3.9)
«« »» 55
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
Nyní přejděme k druhé alternativě:
(b) Energie E > 0
Tuto úlohu již máme vyřešenu na straně 45 – (situace E > V0). Stačí jen ve výrazu (3.85)
pro q zaměnit V0 za −V0 a všechny výsledky tam zmiňované pak platí pro náš nynější případ.
Pro úplnost si raději vlnové funkce uveďme:
ϕ(II)(x) = Ceiqx
+ De−iqx
pro 0 < x > a, (3.146)
kde
q =
2m (E + V0)
¯h
= iα . (3.147)
Funkce ϕ(I)(x) a ϕ(III)(x) dané vztahy (3.74, 3.76) zůstávají nezměněné:
ϕ(I)(x) = Aeikx
+ Be−ikx
x < 0, (3.148)
ϕ(III)(x) = Feikx
+ Ge−ikx
x > 0, (3.149)
kde opět
k =
√
2mE
¯h
> 0 a α =
2m(E + V0)
¯h
> 0 . (3.150)
Máme-li již provedeno řešení rovnic (3.78), (3.79) pro E < V0, je zbytečné je řešit znovu;
využijeme-li relaci (3.85) a porovnáme-li funkce (3.84) a (3.75), vidíme, že je postačující pouze
ve všech výsledcích zaměnit α za −iq, tedy:
A + B = C + D , (3.151)
ik(A − B) = iq(C − A) , (3.152)
Ceiqa
+ De−iqa
= Feika
, (3.153)
iq(Ceiqa
− De−iqa
) = ikFeika
. (3.154)
Tyto podmínky nevedou k žádnému omezení na možné hodnoty energie E částice. Tedy
energiové spektrum částice pohybující se v potenciálovém poli (3.108) je v oblasti kladných
hodnot (E > 0) spojité. Při průchodu oblastí jámy se částice bude rozptylovat, ale nedojde
k trvalé lokalizaci v oblasti jámy, tj. pro E > 0 neexistují vázané stavy.
Na závěr tohoto odstavce si uveďme ještě jednu úlohu:
Najděte energiové hladiny a vlnové funkce částice v potenciálovém poli znázorněném na
obr. 3.13a. V bodě x = 0 jde potenciální energie do nekonečna, pro 0 < x < a má potenciální
energie konstantní hodnotu −V0 (V0 > 0) a pro x > a je nulová. Tento pravoúhlý potenciál
aproximuje molekulární potenciál znázorněný na obr 24b. Všimněte si, že je-li mV0a2
/¯h2
< π2
/8,
neexistuje žádný vázaný stav34
).
3.4.3. Potenciálová jáma obecného tvaru
34) Je to proto, že potenciální energie není symetrická vůči záměně x → −x, tedy „první , tj. „sudé řešení (odpovídající
průsečíku křivky ξ tg ξ s čtvrtkružnicí ξ2 + η2) neexistuje.
56 «« »»
3.4. Potenciálový schod
x
V (x)
a
0
+∞
a)
x
V (x)
0
b)
Obr. 3.13 Pravoúhlý potenciál (a) aproximující molekulární potenciál (b)
Na příkladu pravoúhlé potenciálové jámy jsme si ukázali, že ze Schr¨odingerovy rovnice plyne
existence diskrétních hodnot energie v případě vázaných stavů. Po matematické stránce je pravoúhlá
potenciálová jáma opravdu snadný problém, ale přesto by se mohlo stát, že matematický
formalismus zatemní při počítání základní mechanismus, jímž se dostáváme k diskrétním stacionárním
stavům, a tedy i ke kvantování energie. Podíváme se proto na problém potenciálové
jámy ještě jednou a nyní jej bude řešit „bez počítání , pouze kvalitativně. Jediné, co budeme
potřebovat znát z matematiky, je geometrický význam derivace (první, případně druhé). Při
kvalitativním řešení Schr¨odingerovy rovnice se již nemusíme omezovat na pravoúhlý potenciál,
zvolený pro jednoduchost matematického (kvantitativního) řešení, ale můžeme uvažovat potenciálovou
jámu obecného tvaru podle obr. 3.14, jenž vystihuje reálnou fyzikální situaci.
Stacionární Schr¨odingerovu rovnici (3.13)
−
¯h2
2m
∆ϕ(r) + V (rϕ(r) = Eϕ(r) (3.155)
můžeme pro jednorozměrný případ vyjádřit ve tvaru:
d2
ϕ(x)
dx2
=
¯h2
2m
[V (x) − E] ϕ(x) . (3.156)
Tato rovnice říká, že pro libovolné x je druhá derivace funkce ϕ(x) podle x (tedy ϕ (x)) přímo
úměrná funkční hodnotě ϕ(x) s koeficientem úměrnosti rovným rozdílu potenciálu V (x) a energie
částice E. Přitom druhá derivace funkce má názorný geometrický význam: určuje, jak rychle se
mění sklon funkce (viz obr. 3.15), a tedy i její křivost35
).
Z obr. 3.15 je vidět: je-li v nějakém bodě xA
i)
d2
f(x)
dx2
x=xA
> 0 , (3.157)
35) V extrémech, kde df(x)/dx = 0, je křivost funkce přímo rovna hodnotě její druhé derivace. V obecných bodech je vztah
pro křivost složitější. Uvědomíme-li si ale, že první derivace funkce v nějakém bodě udává hodnotu směrnice tečny v tomto
bodě, pak hodnota druhé derivace udává opět hodnotu směrnice tečny ke křivce odpovídající závislosti ϕ (x) na x.
«« »» 57
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
x
V (x)
x1 x2
E
Obr. 3.14 Potenciálová jáma obecného tvaru
leží v něm graf funkce f(x) nad tečnou (bod A v obr. 3.15)
ii)
d2
f(x)
dx2
x=xB
< 0 , (3.158)
leží v něm graf funkce f(x) pod tečnou (bod B v obr. 3.15)
iii)
d2
f(x)
dx2
x=xC
= 0 , (3.159)
přechází v něm funkce ležící nad tečnou ve funkci ležící pod tečnou (bod C v obr. 3.15)
Z rovnice (3.156) vidíme, že v bodech, kde V (x) > E (interval nalevo od x1 a napravo od x2
v obr. 3.14) má druhá derivace ϕ (x) stejné znaménko jako funkce ϕ(x); tedy tam, kde
ϕ(x) > 0 , je
d2
f(x)
dx2
> 0 (3.160)
a funkce ϕ(x) leží nad tečnou, a tam, kde
ϕ(x) < 0 , je
d2
f(x)
dx2
< 0 (3.161)
a funkce ϕ(x) leží pod tečnou.
Tudíž v intervalech (−∞, x1) a (x2, ∞) bude mít vlnová funkce ϕ(x) průběh podobný některé
z křivek na obr. 3.16a.
V bodech, kde V (x) < E (interval mezi body x1 a x2 v obr. 3.14), mají funkce ϕ(x) a její
druhá derivace ϕ (x) opačná znaménka; tedy tam, kde
ϕ(x) < 0 , je
d2
f(x)
dx2
> 0 (3.162)
a funkce ϕ(x) leží nad tečnou, a tam, kde
ϕ(x) > 0 , je
d2
f(x)
dx2
< 0 (3.163)
58 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Obr. 3.15
Průběh funkce f(x) (a), její první (b)
a druhé derivace (c).
První derivace funkce určuje směrnici
tečny ke grafu funkce (tj. sklon
funkce).
Druhá derivace funkce určuje
směrnici tečny ke grafu první derivace
(tj. sklon první derivace).
V bodě A, kde d2
f/dx2
> 0, graf
funkce leží nad tečnou.
V bodě B, kde d2
f/dx2
< 0, graf
funkce leží pod tečnou.
V inflexním bodě C, kde d2
f/dx2
=
0, přechází funkce nad tečnou (nalevo
od C) ve funkci pod tečnou (napravo
od C).
x
f(x)
A
B
C
x
df(x)
dx
x
d2
f(x)
dx2
xA xBxC
a)
b)
c)
a funkce ϕ(x) leží pod tečnou. Tudíž v intervalech (x1, x2) bude mít vlnová funkce ϕ(x) průběh
podobný některé z křivek na obr. 3.16b. Vlnová funkce má v tomto případě oscilující charakter,
podobně jako části sinusovky.
Zvolme energii částice rovnou nějaké hodnotě Ea podle obr. 3.17a a pokusme se graficky
znázornit odpovídající vlnovou funkci ϕ(x) v závislosti na x, která je řešením Schr¨odingerovy
rovnice (3.156) s potenciálem V (x) zobrazeným na obr. 3.17a. Zajímá nás vázaný stav, kdy
je částice uvězněna uvnitř potenciálové jámy, tudíž hledáme řešení, které pro x mimo oblast
jámy nabývá velmi malých hodnot. Proto pro x ∈ (−∞, xa
1), kde V (x) > Ea, vyhovuje z křivek,
«« »» 59
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
ϕ(x)
x
Ia
IIa
IIIa
IVa
Va
ϕ > 0
ϕ > 0
ϕ < 0
ϕ < 0
a)
ϕ(x)
x
Ib
IIb
IIIb
IVb
ϕ > 0
ϕ < 0
ϕ < 0
ϕ > 0
b)
Obr. 3.16 Možný průběh vlnové funkce ϕ(x) při V > E (a) a V < E (b)
které podle obr. 3.16a přicházejí v úvahu, pouze křivka typu IIa, která pro x → −∞ jde k nule
a plavně roste, přibližujeme-li se zleva k bodu xa
1. V bodě xa
1 je V (xa
1) = Ea, a tedy
d2
ϕ(x)
dx2
x=xa
1
= 0 . (3.164)
Pro x ∈ (xa
1, xa
2) je V (x) < Ea, takže hledanou funkci zde vybereme z křivek na obr 27b.
Řešení pro x ∈ (xa
1, xa
2) musí v bodě xa
1 navazovat na řešení v intervalu x ∈ (−∞, xa
1) tak, aby
v bodě xa
1 byla spojitá jak funkce ϕ(x), tak její první derivace (ϕ (x)). Možný průběh vlnové
funkce pro x ∈ (−∞, xa
1) je pak ukázán na obr. 3.17b. Nyní prodloužíme křivku napravo od
xa
2. Protože pro x ∈ (xa
2, ∞) je opět V (x) > Ea, musíme možná řešení hledat mezi křivkami na
obr. 3.16a. Z požadavku spojitosti vlnové funkce a její první derivace (která určuje sklon tečny
ke křivce) plyne, že na naše řešení v intervalu (xa
1, xa
2) může v bodě xa
2 navázat pouze křivka typu
IIa z obr. 3.16a. Hledaná řešení Schr¨odingerovy rovnice napravo od bodu xa
2 tedy s rostoucím
x rostou rychleji a rychleji, takže pro x → ∞ jde k nekonečnu, jak je to patrné z obr. 3.17c.
Řešení z obr. 3.17c příslušející energii Ea není fyzikálně přijatelné, poněvadž nesplňuje jednu ze
standardních podmínek, totiž není omezené. Tedy částice nemůže mít energii Ea.
Zkusme zvolit jinou hodnotu energie, např. Eb, o něco vyšší než Ea, Eb > Ea (obr. 3.18a).
Jestliže budeme opět požadovat, aby se řešení ϕ(x) pro x → −∞ blížilo k nule, dojdeme na
základě týchž úvah jako v případě energie Ea k vlnové funkci, jejíž průběh v intervalu (−∞, xb
1)
je vidět na obr. 3.18b. Křivka z obr. 3.18b příslušející energii Eb, která je jen o málo vyšší než
60 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Ea, se liší jen málo od křivky z obr. 3.17b příslušející energii Ea. Pouze uvnitř jámy (tj. mezi
body xb
1 a xb
2 řešení pro Eb osciluje rychleji než řešení pro Ea. To proto, že pro větší hodnotu
rozdílu E − V (x) je podle Schr¨odingerovy rovnice (3.156)větší i hodnota druhé derivace vlnové
funkce, a tedy v extrémech musí mít větší křivost. Prodloužíme-li řešení Eb do oblasti napravo
od bodu xb
2 (opět samozřejmě tak, aby funkce ϕ(x) byly i se svojí první derivací v v bodě
xb
2 spojité) podle křivky IVa z obr. 3.16a, zprvu se zdá být situace v tomto případě lepší než
v případě energie Ea, protože se nyní funkce ϕ(x) blíží k nule. Křivka ϕ(x) však nakonec osu
x protne a přejde do záporných hodnot. Poněvadž pro x ∈ (xb
2, ∞), kde E < V (x), se řešení
Schr¨odingerovy rovnice musí podle obr. 3.16 ohýbat od osy x tak, jako křivka IVa na obr. 3.16a,
bude hledané prodloužení nakonec opět pro x → ∞ divergovat, tentokrát se bude se vzrůstajícím
x blížit k −∞ (obr. 3.18c). Tedy ani v tomto případě jsme nezískali fyzikálně přijatelné řešení,
a proto částice nemůže mít energii Eb.
Zjistili jsme, že malá změna energie z hodnoty Ea na hodnotu Eb způsobila, že řešení napravo
od oblasti jámy přešlo z jedné strany osy x na druhou (srov. obr. 3.17c a 3.18c). Můžeme tedy
očekávat, že existuje taková hodnota energie Ec ležící mezi Ea a Eb (Ea < Ec < Eb), pro niž
odpovídající řešení ϕ(x) půjde s rostoucím x asymptoticky k nule jako křivka IIIa z obr. 3.16a.
Průběh fyzikálně přijatelného řešení, které je všude omezené, je na obr. 3.19.
ϕ(x)
x
xc
1 xc
2
E < Ec
E > Ec
V > Ec V < Ec V > Ec
Obr. 3.19 Vlnová funkce stacionárního stavu s energií Ec (Ea < Ec < Eb)
Je nutné si uvědomit, že řešení na obr. 3.19 je výjimečné. Jestliže bychom jenom o málo
zvětšili nebo naopak zmenšili energii tohoto stavu, potom by se průběh vlnové funkce napravo
(nebo nalevo) od oblasti jámy drasticky změnil tak, jak je čárkovaně naznačeno na obr. 3.19,
a nedostali bychom fyzikálně přijatelné řešení. Došli jsme tedy k závěru, že energie částice
v potenciálové jámě ve vázaném stavu může mít jen jistou přesně určenou hodnotu.
Takových hodnot energie, pro něž řešení Schr¨odingerovy rovnice (3.156) splňuje všechny
standardní podmínky, a je tudíž fyzikálně přijatelné, existuje obecně více. Tyto možné energie
vázaných stavů nemohou však ležet blízko sebe. Jaké jsou vlnové funkce příslušející těmto
energiím? Všimněme si nejprve vlnové funkce na obr. 3.19 vázaného stavu s energií Ec. Tato
vlnová funkce prochází v intervalu (xc
1, xc
2) dvakrát osou x. Víme, že pro menší hodnotu rozdílu
E − V (x) je křivost funkce v extrémech menší, a tedy funkce odpovídající možné energii musí
v oblasti jámy oscilovat. Z toho plyne, že vlnové funkce odpovídající možné energii E menší
než Ec bude v oblasti jámy pomaleji oscilovat než vlnová funkce na obr. 3.19 příslušející možné
energii Ec, a může tedy procházet osou x pouze jednou, nebo při nejnižší energii E0 ani jednou.
Podobně jestliže zvolíme možnou energii větší než Ec, potom dostaneme řešení v oblasti jámy
«« »» 61
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
V (x)
x
Ea
xa
1 xa
2
a)
ϕ(x)
x
b)
ϕ(x)
x
+∞
c)
Obr. 3.17 Vlnová funkce příslušející energii Ea částice v potenciálovém poli (a) se pro x → −∞
blíží k nule (b), ale její prodloužení napravo od oblasti jámy jde pro x → +∞ k +∞
(c)
rychleji oscilující, které osu x protne třikrát, čtyřikrát, atd. Řešení, které by odpovídalo energii
menší nebo větší než Ec a procházelo by osou x rovněž dvakrát, vně jámy nutně diverguje,
a proto je fyzikálně nepřijatelné. Fyzikálně přijatelná řešení Schr¨odingerovy rovnice (3.156) s potenciálem
z obr. 3.14 odpovídající několika nejnižším možným hodnotám energie jsou uvedeny
na obr. 3.20. Stav s nejnižší energií (tzv. základní stav) obvykle označujeme indexem 0, stav
s následující možnou energií indexem 1 atd. Takto zvolený index pak označuje počet nulových
bodů vlnové funkce, tj. kolikrát vlnová funkce ϕ(x) protne osu x.
62 «« »»
3.4. Potenciálový schod
V (x)
x
Ea
Eb
xb
1 xb
2
a)
ϕ(x)
x
b)
ϕ(x)
x
−∞
c)
Obr. 3.18 Vlnová funkce příslušející energii Eb > Ea částice v potenciálovém poli (a) se pro
x → −∞ blíží k nule (b), ale její prodloužení napravo od oblasti jámy jde pro x → +∞
k −∞ (c)
Počet vázaných stavů, a tedy i počet možných energií, je dán hloubkou potenciálové jámy;
v hlubší jámě existuje více vázaných stavů.
Zjistili jsme tedy, že energie částice ve vázaném stavu může vždy nabývat jen určitých hodnot,
které tvoří diskrétní spektrum. Chápeme nyní, že důsledkem diferenciální rovnice — stacionární
Schr¨odingerovy rovnice (3.156) — ve které vystupují pouze spojité funkce spojitých proměnných,
může být pozoruhodný fakt kvantování energie.
«« »» 63
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
En
x
V (x)
0
1
2
3
4
ϕ0(x)
x
ϕ1(x)
x
ϕ2(x)
x
ϕ3(x)
x
Obr. 3.20 Vlnová funkce čtyř stacionárních stavů s nejnižšími energiemi
64 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Závěrem si ještě povšimněme případu, kdy energie částice E je vyšší než absolutní maximum
Vmax potenciálu V (x), tj. pro všechna x platí E > V (x). Odpovídající řešení Schr¨odingerovy
rovnice (3.156) má pak na celé ose x oscilující charakter jako křivka IIb na obr. 3.16b a nepopisuje
vázaný stav. Toto řešení odpovídá rozptylu částice na potenciálové jámě a v této souvislosti
hovoříme o rozptylovém stavu. Získané řešení popisující rozptylový stav je všude omezené, ale
nelze jej normovat k jedné (srovnejme s de Broglieho rovinnou vlnou (rovnice 2.1)). Tedy pro
libovolnou hodnotu energie E > Vmax dostaneme fyzikálně přijatelné řešení. To znamená, že
energiové spektrum rozptylových stavů není diskrétní, nýbrž spojité.
3.4.4. Dvojitá potenciálová jáma - část I
Tento odstavec je určen pro pokročilejší studenty – předpokladem jeho radostného studia je
seznámení s formalismem kvantové mechaniky a tzv. Diracovou symbolikou36
).
−Vb
0
V (x)
xl = −a 0 xr = +a
L L
l r
Obr. 3.21 Dvě vlnové funkce
Pokusme se nalézt stacionární stavy kvantově-mechanické částice v symetrické dvojité pravoúhlé
potenciálové jámě, známe-li stacionární stavy této částice v jedné (izolované) jámě (viz
odstavec 3.4.2).
Hamiltonián částice lze vyjádřit37
):
ˆHDW = ˆT + ˆVl(x) + ˆVr(x) (3.165)
kde
Vi(x) ≡ Vb(x − xi) =
0 pro |x − xi| > L/2 ,
Vb pro |x − xi| < L/2, i = l, r .
(3.166)
Známe-li řešení rovnice
ˆT + ˆVb(x − xi) ϕν(x − xi) = Eνϕν(x − xi) , (3.167)
můžeme řešení rovnice
ˆHDW ψ(x) = Eψ(x) (3.168)
36) Není třeba ale propadat panice – jestliže jste při svém studiu dospěli až sem, je velmi pravděpodobné, že zvládnete
s pochopením projít i následující odstavec. Pokud by se přeci jen vyskytly nějaké obtíže, podívejte se do Dodatků na stranu
153, kde je Diracova symbolika velmi stručně popsána a na stranu 96, na které se nachází jeden z postulátů kvantové
mechaniky. Rovněř stojí za povšimnutí rovnice 4.85, která je obdobou rovnice 3.167.
37) DW - Double Well, l - left (levá), r - right (pravá).
«« »» 65
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
vyjádřit pomocí vlnových funkcí ϕν(x − xl), ϕν(x − xr) :
ψ(x) =
ν
aνϕν(x − xl) + bνϕν(x − xl) , (3.169)
kde ν probíhá diskrétní i spojitou část spektra. Zajímají nás nejnižší energiové stavy, tj. základní
stavy. Odpovídající vlnovou funkci vytvoříme pouze z vlnových funkcí ϕ0(x − xl), ϕ0(x − xr)
základních stavů v levé a pravé izolované jámě:
ψ(x) = αϕ0(x − xl) + βϕ0(x − xr) . (3.170)
V tzv. Diracově symbolice38
) vypadá zápis této rovnice takto:
|ψ = α|ϕl + β|ϕl . (3.171)
kde ψ(x) = x|ψ , ϕ0(x − xi) = x|ϕi . Dosaďme rovnici 3.171 do rovnice 3.167:
ˆT + ˆVl + ˆVr (α|ϕl + β|ϕr ) = E (α|ϕl + β|ϕr ) (3.172)
α ˆT + ˆVl |ϕl + α ˆVr|ϕl + β ˆT + ˆVr |ϕr + β ˆVl|ϕr = (3.173)
αE0|ϕl + α ˆVr|ϕl + βE0|ϕr + β ˆVl|ϕr = αE|ϕl + βE|ϕr (3.174)
Rovnici 3.172 vynásobíme postupně bravektory ϕl| a ϕr|. Po úpravě dostaneme
E0 + s − E (E0 − E) r + t
(E0 − E) r + t E0 + s − E
α
β
= 0 , (3.175)
kde
ϕl|ϕl = ϕr|ϕr = 1, (3.176)
r = ϕl|ϕr = ϕr|ϕl je překryvový integrál, (3.177)
s = ϕl| ˆVr|ϕl = ϕr| ˆVl|ϕr , (3.178)
s = ϕl| ˆVr|ϕl = ϕr| ˆVl|ϕr , (3.179)
Podmínka řešitelnosti39
) systému rovnic 3.175 dává
E±
= E0 ±
t
1 ± r
+
s
1 ± r
+ odpovídá α+ = β+ ,
− odpovídá α− = −β−
(3.180)
Energii E+
(tedy pro α+ = β+) odpovídá sudá vlnová funkce ψ+
(x) = ψ+
(−x), a proto E+
popisuje
energii základního stavu40
). V další diskusi zenedbejme hodnotu překryvového integrálu41
),
tj. položme r = 0. Dokažte42
)jako cvičení, že s < 0 a t < 0.
38) Funkce x| se nazývá bra-vektor, zatímco funkce |ψ ket-vektor z anglického bracket <závorka>.
39) Jedná se o stále stejné zdůvodnění jako například na straně 51.
40) Viz například naše diskuse při řešení kvantového harmonického oscilátoru na straně 73, nebo též převážná část odstavce
3.4.3.
41) Toto ”opomenutí” si můžeme dovolit, jsou-li od sebe jednotlivé jámy vzdáleny dostatečně tak, aby mohlo dojít k ”poklesu”
funkčních hodnot vlnové funkce ϕl v pravé jámě a naopak - funkce popisující stav částice v pravé jámě – ϕr –
dosahuje zanedbatelných hodnot pro x z jámy levé (nikoli lvové, prosím).
42) V prvním ”přiblížení” k problému bez Dodatků, pokud možno.
66 «« »»
3.4. Potenciálový schod
|ψ+
= 1/
√
2 (|ϕl + |ϕr )
|ψ−
= 1/
√
2 (|ϕl − |ϕr )
E0 + s + t
E0 + s − t
E0 + s
E0
(a) (b)
Obr. 3.22 Dvě vlnové funkce
Dosadíme-li tedy do rovnice 3.171 doposud obdržené výsledky výpočtů koeficientů alpha a β,
můžeme výslednou vlnovou funkci |ψ napsat ve tvaru43
)
|ψ+
= α+
|ϕl + β+
|ϕr =
1
√
2
(|ϕl + |ϕr ) , (3.181)
a obdobně pro funkci |ψ−
:
|ψ−
= α−
|ϕl + β−
|ϕr =
1
√
2
(|ϕl − |ϕr ) , (3.182)
Dosažené výsledky jsou shrnuty v následujícím obrázku:
3.4.5. Dvojitá potenciálová jáma – část II: Časový vývoj stavu
Podobně, jako tomu bylo v předchozím odstavci, stať projednávaná v této části je o něco
málo obtížnější. Pečlivému studentovi, který objevuje krásy kvantové mechaniky poprvé při
studiu (případně zábavné četbě) těchto skript a není doposud zběhlý v používání základního
aparátu kvantové mechaniky (Diracova symbolika, postuláty kvantové mechaniky), nemůžeme
než doporučit nejdříve prostudovat odpovídající části z kapitoly 444
). Jinému studentovi ale
můžeme s klidným svědomím doporučit, aby se ke studiu této problematiky, bude-li mu vůbec
připadat zajímavá, vrátil až po prostudování prvních čtyř kapitol těchto skript.
Uvažujme, že v čase τ = 0 se částice nachází v nám známém stavu |ϕl – jedná se o základní
stav v levé (izolované) jámě. Pokusíme se určit pravděpodobnost P(τ) s jakou nalezneme částici
ve stavu |ϕr – tj. v základním stavu pravé izolované jámy. Pravděpodobnost, že částice se bude
43) Komu připadá divné, že se z koeficientů α a β staly najednou čísla 1/
√
2 dlužíme upozornění, že funkce |ϕl a |ϕr
jsou normované a taktéž funkce |ψ± , mají-li splňovat naše oblíbené standardní podmínky, jsou normované, tj. musí platit
ψ+|ψ− = |ψ+|2 = 1, což například pro koeficienty α+ a β+ = α+ znamená splňovat rovnici |α+|ϕl + α+|ϕr |2 = 1. To
je splněno pro α+ = 1/
√
2.
44) Jedná se především o odstavce pojednávající o operátorech v kvantové mechanice zhusta používaných (tj. odstavce 4.1
a 4.2) dále pak postulát o střední hodnotě na straně 99 a odstavec 8.7 věnovaný krátkému úvodu do Diracovy symboliky.
«« »» 67
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
−Vb
0
V (x) τ = 0
xl = −a 0 xr = +a
L L
E0 E0
Obr. 3.23 Dvě vlnové funkce
nacházet v tomto stavu, je podle důsledku postulátu o střední hodnotě (viz rovnice 4.104 na
straně 101) rovna
P(τ) = | ϕr|ψ(τ) |2
, (3.183)
kde |ψ(τ) splňuje Schr¨odingerovu rovnici
i¯h
∂|ψ(τ)
∂τ
= ˆT + ˆVl + ˆVr |ψ(τ) (3.184)
s počáteční podmínkou |ψ(0) = |ϕl . V prvním přiblížení vytvoříme funkci |ψ(t) jako lineární
superpozici stavů |ϕl a |ϕr :
|ψ(τ) = {al(τ)|ϕl + ar(τ)|ϕr } exp −
iE0τ
¯h
. (3.185)
Rovnici 3.185 dosadíme do rovnice 3.184:
i¯h [{˙al(τ)|ϕl + ˙ar(τ)|ϕr } + E0 {al(τ)|ϕl + ar(τ)|ϕr }] exp −
iE0τ
¯h
= (3.186)
= al(τ) ˆT + ˆVl |ϕl + al(τ) ˆVr|ϕl + ar(τ) ˆT + ˆVr |ϕr + ar(τ) ˆVl|ϕr exp −
iE0τ
¯h
,(3.187)
což lze upravit na tvar:
i¯h {˙al(τ)|ϕl + ˙ar(τ)|ϕr } + E0 = al(τ)E0|ϕl + al(τ) ˆVr|ϕl + ar(τ)E0|ϕr + ar(τ) ˆVl|ϕr .(3.188)
Rovnici 3.186 vynásobíme postupně bravektory ϕl| a ϕr|. Po úpravě45
) dostaneme
i¯h˙al(τ) = s al(τ) + tar(τ) (3.189)
i¯h˙ar(τ) = s ar(τ) + tal(τ) (3.190)
s počáteční podmínkou ar(0) = 0 a al(0) = 1, kde opět
r = ϕl|ϕr = ϕr|ϕl ˙=0 , (3.191)
s = ϕl|Vr|ϕr = ϕr|Vl|ϕl , (3.192)
t = ϕl|Vl|ϕr = ϕr|Vr|ϕl . (3.193)
45) Opět se pokuste nejdříve sami, až když už není zbytí lze se podívat do Dodatků na stranu ..
68 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Vyjádříme-li neznáme funkce al(τ)a ar(τ) ve tvaru
al(τ) = al exp i
¯h
τ (3.194)
a
ar(τ) = ar exp i
¯h
τ (3.195)
pak nenulové řešení systému rovnic 3.189 a 3.190
s + t
t s +
·
al
ar
= 0 (3.196)
vede k podmínce pro
±
= −(s ± t) . (3.197)
Dosadíme-li takto spočtené zpět do rovnic46
) pro časově závislé rozvíjející koeficienty al(τ)
a ar(τ), dostaneme
al(τ) = a+
l exp −i
s + t
¯h
τ + a−
l exp −i
s − t
¯h
τ , (3.198)
ar(τ) = a+
l exp −i
s + t
¯h
τ + a−
l exp −i
s − t
¯h
τ . (3.199)
Po aplikaci počátečních podmínek vypočteme konstanty a+
l = a−
l = 1/2. Můžeme tedy shrnout
dosažené výsledky do následujícího vyjádření funkce |ψ(τ) :
|ψ(τ) =
1
2
exp i
−s − t
¯h
τ + exp i
−s + t
¯h
τ |ϕl + (3.200)
+
1
2
exp i
−s − t
¯h
τ − exp i
−s + t
¯h
τ |ϕr exp −i
E0
¯h
τ . (3.201)
Je tedy
|ψ(τ) =
1
2
(|ϕl + |ϕr ) exp −i
E0 + s + t
¯h
τ +
1
2
(|ϕl − |ϕr ) exp −i
E0 + s − t
¯h
τ .(3.202)
Vzpomeneme-li si na výsledek rovnic 3.181 a 3.182, které vyjadřovaly vlnovou funkci, popisující
stav částice nalézající se v poli dvou potenciálových jam, pomocí lineární superpozice vlnových
funkcí, popisující stav částice pouze v jedné (pravé či levé) izolované jámě, můžeme též psát:
|ψ(τ) =
1
2
(|ϕl + |ϕr ) exp −i
E0 + s + t
¯h
τ +
1
2
(|ϕl − |ϕr ) exp −i
E0 + s − t
¯h
τ(3.203)
nebo-li
|ψ(τ) =
1
2
√
2|ψ+
(τ) exp −i
E0 + s + t
¯h
τ +
1
2
√
2|ψ−
(τ) exp −i
E0 + s + t
¯h
τ ,(3.204)
46) Jedná se o rovnice 3.194 a 3.195.
«« »» 69
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
což (známe-li47
) 3.180) vede k výslednému vyjádření výsledné vlnové funkce48
)|ψ(τ) buď ve
tvaru
|ψ(τ) =
1
2
√
2|ψ+
(τ) exp −i
E+
¯h
τ +
1
2
√
2|ψ−
(τ) exp −i
E−
¯h
τ . (3.205)
nebo
|ψ(τ) = cos
|t|τ
¯h
|ϕl + i sin
|t|τ
¯h
|ϕr exp −i
E0 + s
¯h
τ . (3.206)
Nyní již bude možné vyjádřit pravděpodobnost, s jakou se častice bude nacházet v základním
stavu druhé izolované jámy, když se v čase τ = 0 nacházela v základním stavu levé izolované
jámy:
P(τ) = | ϕr|ψ(τ) |2
= sin2 |t|
¯h
τ . (3.207)
Závěrem tohoto jistě nelehkého odstavce si definujme veličinu
ωDW ≡
2|t|
¯h
=
2
¯h
| ϕl(τ)|Vl|ϕr(τ) . (3.208)
3.4.6. Parabolická potenciálová jáma. (Harmonický oscilátor)
Budeme studovat pohyb částice v jednorozměrné potenciálové jámě
V (x) =
1
2
k x2
, (3.209)
jejíž tvar je na obr. 3.24
V (x)
x
E
−A A0
Obr. 3.24
Potenciální energie harmonického oscilátoru
47) E±
= E0 + s ± t.
48) Aby toho nebylo málo, tak můžeme ještě dodat, že norma tohoto bravektoru se zachovává, neboť platí: ψ(τ)|ψ(τ) =
cos2(tτ/¯h) ϕl(τ)|ϕl(τ) + sin2(tτ/¯h) ϕr(τ)|ϕr(τ) = 1.
70 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Klasický oscilátor
Potenciálu (3.209) odpovídá síla
Fx = −
dV (x)
dx
= −kx . (3.210)
Newtonova pohybová rovnice popisující pohyb klasické částice v silovém poli (3.210) je
Fx = max ⇒
d2
x(t)
dt2
+
k
m
x(t) = 0 (3.211)
a má řešení
x(t) = A sin
k
m
+ α , (3.212)
(kde konstanty A, α určíme z počátečních podmínek). V tomto případě říkáme, že částice koná
harmonické kmity s úhlovou frekvencí
ω0 =
k
m
(3.213)
kolem rovnovážné polohy x = 0; příslušné systémy se nazývají harmonické oscilátory. Příkladem
klasického harmonického oscilátoru je těleso o hmotnosti m kmitající na pružině o tuhosti k.
(obr. 3.25).
x
0
mk
Obr. 3.25
Klasický harmonický oscilátor: Síla jíž pružina o tuhosti
k působí na částici o hmotnosti m, je dána Hookeovým
zákonem
Fx = −kx ,
a odpovídající pohyb částice je pak popsán pohybovou rovnicí (3.211)
V bodech x = ±A je rychlost (a tedy i kinetická energie částice) rovna nule. Proto amplituda
A souvisí s celkovou energií E, která se zachovává a nabývá libovolné hodnoty, vztahem
E =
1
2
kA2
⇒ A =
2E
k
=
2E
mω2
0
. (3.214)
Určíme nyní pravděpodobnost wklas(x)dx výskytu harmonicky kmitající částice v intervalu
(x, x+dx). Tato pravděpodobnost je úměrná době dt, během které částice prochází úsekem dx.
Jestliže perioda kmitů je T = 2π/ω0, potom
wklas(x)dx = 2
dt
T
=
ω0
π
dx
vx
, (3.215)
kde vx je rychlost částice. Vyjádříme vx jako funkci x:
vx =
dx
dt
= ω0A cos(ω0t + α) = ±ω0A 1 − sin2
(ω0t + α) , (3.216)
«« »» 71
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
odkud užitím (3.212) dostaneme
|vx| = Aω0 1 −
x2
A2
. (3.217)
Dosadíme-li (3.217) do (3.215), obdržíme
wklas(x)dx =
1
πA
dx
1 − x
A
2
, −A ≤ x ≤ A , (3.218)
kde A závisí na energii E podle vztahu (3.214). Právě vypočtená pravděpodobnost je zobrazena
na obr. 3.26. Pravděpodobnost výskytu klasické částice je tedy maximální v okolí bodů obratu
x = ±A, kde je rychlost částice nulová, a minimální v rovnovážné poloze x = 0, kde je rychlost
částice maximální.
wkl(x)
x
−A A0
Obr. 3.26
Hustota pravděpodobnosti výskytu klasické harmonicky
kmitající částice. Částice s energií E se může vyskytovat
pouze v intervalu −A, +A , kde A závisí na energii E
podle vztahu (3.214)
Kvantový oscilátor
Přejděme ke kvantověmechanickému vyšetřování harmonického oscilátoru. V oblasti mikrosvěta
je tento druh pohybu velmi důležitý, patří sem kmity atomů v molekulách a pevných
látkách. Rovněž elektromagnetické pole lze reprezentovat systémem nezávislých harmonických
oscilátorů.
V kvantové mechanice se potenciální energie (3.209) vyjadřuje obvykle pomocí hmotnosti m
částice a úhlové frekvence ω0
V (x) =
1
2
k x2
=
1
2
mω2
0x2
. (3.219)
Dosadíme-li do stacionární Schr¨odingerovy rovnice (3.13) za potenciál V (x) z rovnice (3.219),
dostaneme
d2
ϕ(x)
dx2
+
2m
¯h2 E −
1
2
mω2
0x2
ϕ(x) = 0 . (3.220)
Harmonický oscilátor patří k jednomu z mála kvantově-mechanických systémů, které se dají
řešit přesně (analyticky). Najít řešení rovnice (3.220), jež splňuje standardní podmínky, je však
již náročnější na znalosti z matematiky. Nebudeme proto hledat hned obecné řešení, nýbrž se
pokusíme na základě fyzikální argumentace „uhodnout vlnové funkce několika stavů s nejnižšími
energiemi. Užijeme přitom bohatě výsledků kvalitativního rozboru chování vlnové funkce
popisující vázaný stav v potenciálové jámě provedeného v předcházejícím odstavci.
72 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Ukážeme, že funkce
ϕ0(x) = A0 exp −αx2
(3.221)
je pro jisté α > 0 řešením Schr¨odingerovy rovnice (3.220) popisující stav s nejnižší energií E0
(tzv. základní stav). Výběr funkce (3.221) nebyl náhodný: jde o nejjednodušší hladkou funkci
(potenciál je taktéž reprezentován hladkou funkcí), která se pro x → ±∞ rychle blíží k nule
(podmínka, aby šlo o vázaný stav) a neprotíná osu x (podmínka, aby šlo o základní stav).
Dosadíme-li (3.221) do (3.220), dostaneme
A0 exp −αx2
−2α + 4α2
x2
+
2mE0
¯h
−
mω0
¯h
2
x2
= 0 , (3.222)
což dále upravíme na tvar
A0 exp −αx2
4α2
−
mω0
¯h
2
x2
+
2mE0
¯h
− 2α x0
= 0 . (3.223)
Poněvadž tato rovnice musí platit pro libovolné x, koeficient u x2
i koeficient u x0
ve výrazu ve
složené závorce musí být nulový49
). Tak dostáváme dvě rovnice pro dvě neznámé α, E0 :
4α2
−
mω0
¯h
2
= 0 , (3.224)
2mE0
¯h2 − 2α = 0 . (3.225)
Z rovnice (3.224) dostáváme, že
α =
mω0
2¯h
, (3.226)
a z rovnice (3.225) potom plyne
E0 =
¯h2
m
α =
¯h2
m
mω0
2¯h
=
1
2
¯hω0 . (3.227)
Zbývá určit konstantu A0 v rovnici (3.221. Tu určíme z normovací podmínky
1 =
∞
−∞
|ϕ0(x)|
2
dx = A2
0
∞
−∞
exp −2αx2
dx = 2A2
0
∞
0
exp −2αx2
dx . (3.228)
Poněvadž
∞
0
exp −2αx2
dx =
1
2
π
2α
, (3.229)
z rovnice (3.228)
A0 =
4 2α
π
= 4 mω0
π¯h
. (3.230)
49) Na pravé straně stojí u odpovídajících mocnin nulové koeficienty a porovnáním s levou stranou získáme pro odpovídající
si koeficienty následující rovnice.
«« »» 73
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
Tedy základní stav kvantového harmonického oscilátoru má energii rovnou
E0 =
1
2
¯hω0 (3.231)
a je popsán vlnovou funkcí
ϕ0(x) = 4 mω0
π¯h
exp −
mω0
2¯h
x2
. (3.232)
Vlnová funkce ϕ(I)(x) odpovídající hodnotě energie E1 > E0 musí jednou protínat osu x.
Budeme ji proto hledat ve tvaru
ϕ(I)(x) = A1x exp −αx2
, (3.233)
kde α je dáno vztahem (3.226) a konstanta A1 se určí z normovací podmínky. Funkce (3.233)
splňuje podmínku
lim
x→±∞
ϕ(I)(x) = 0 (3.234)
a pouze pro x = 0 nabývá nulové hodnoty. Dosadíme-li (3.233) do Schr¨odingerovy rovnice
(3.220), dostaneme
A1 exp −αx2
−6α + 4α2
x2
x +
2mE1
¯h2 −
mω0
¯h
2
x2
x = 0 (3.235)
a po další úpravě
A1 exp −αx2
4α2
−
mω0
¯h
2
x3
+
2mE1
¯h2 − 6α x = 0 . (3.236)
Aby tato rovnice platila pro libovolné x, musí být
4α2
−
mω0
¯h
2
= 0 ⇒ α =
mω0
2¯h
(3.237)
a
2mE1
¯h
− 6α = 0 ⇒ E1 =
3
2
¯hω0 . (3.238)
Dá se očekávat, že vlnová funkce ϕ(II)(x) odpovídající energii E2 > E1 bude mít tvar
ϕ(II)(x) = A2f2(x) exp −αx2
, (3.239)
kde f2(x) je jistý polynom druhého stupně, který nabývá nulových hodnot pro dvě x ∈ R,
a energie E2 bude mít hodnotu
E2 =
5
2
¯hω0 . (3.240)
Po poněkud zdlouhavém počítání se o tom lze přesvědčit50
).
Nyní nás nepřekvapí obecný výsledek51
):
50) Viz Dodatky.
51) Podrobné matematické řešení Schr¨odingerovy rovnice pro harmonický oscilátor je uvedeno v každé učebnici kvantové
mechaniky.
74 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Řešení rovnice (3.220), které se pro x → ±∞ blíží k nule, existuje jen tehdy, jestliže energie
E nabývá pouze některé z diskrétních hodnot
En = ¯hω0 n −
1
2
, kde n = 0, 1, 2, . . ., (3.241)
a je rovno
ϕn(x) = NnHn
mω0
¯h
x exp −
mω0
¯h
x2
2
, (3.242)
kde Nn je normalizační konstanta a Hn
mω0
¯h
−1/2
x je jistý polynom n−tého stupně, známý
pod jménem Hermitův polynom52
).
Hermitovy polynomy Hn(ξ) jsou definovány pro libovolné reálné ξ a několik prvních Hermitových
polynomů je
H0(ξ) = 1 , H1(ξ) = 2ξ , H2(ξ) = 4ξ2
− 2 , (3.243)
H3(ξ) = 8ξ3
− 12ξ , H4(ξ) = 16ξ4
− 18ξ . (3.244)
Vlnové funkce několika stavů s nejnižšími energiemi spolu s příslušnými hustotami pravděpodobnosti
jsou na obr. 3.27.
Výraz (3.242) pro hladinu energie kvantového harmonického oscilátoru je jedna z nejdůležitějších
v kvantové mechanice. Odůvodňuje Planckův výklad interakce záření s pevnou látkou
za předpokladu, že látku můžeme považovat za soubor oscilátorů, z nichž každý vysílá nebo
pohlcuje záření o frekvenci ω0 jemu vlastní. Výměna energie je potom omezena vlastními hodnotami
pro dané oscilátory tak, že může probíhat jen po kvantech ¯hω0 — a to je právě Planckova
hypotéza.
Srovnání klasického a kvantového oscilátoru.
Výsledky získané při klasickém a kvantovém řešení harmonického oscilátoru se liší, jak je
patrno z následujícího srovnání:
Klasický oscilátor:
a) Spektrum energie je spojité.
b) Nejnižší hodnota energie je E = 0.
c) Pohyb částice je omezen na interval −A, A , kde
A =
2E
mω2
0
. (3.245)
d) Pravděpodobnost výskytu částice wklas(x)dx je maximální u bodů obratu x = ±A a minimální
v rovnovážné poloze x = 0.
Kvantový oscilátor:
a) Spektrum energie je diskrétní, sousední energiové hladiny se liší o kvantum energie ¯hω0.
52) Viz například [11], strana 607.
«« »» 75
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
V (X)
X
E3 = 7/2¯hω0
E2 = 5/2¯hω0
E1 = 3/2¯hω0
E0 = 1/2¯hω0
E0
E1
E2
E3
0−4 −2 2 4
X
0−4 −2 2 4
1
n = 0
X
0−4 −2 2 4
1
n = 1
X
0−4 −2 2 4
1
n = 2
a) b)
V (X)
X
¯hω0
0−4 −2 2 4
X
0−4 −2 2 4
0,5
X
0−4 −2 2 4
0,5
X
0−4 −2 2 4
0,5
Obr. 3.27 (a) Vlnové funkce a (b) odpovídající hustoty pravděpodobnosti výskytu částice v parabolické
jednorozměrné potenciálové jámě (lineární harmonický oscilátor).
X = mω0
¯h
−1/2
x
a na ose ordinát jsou vynášeny hodnoty
a) ¯h
mω0
−1/4
ϕn(x) , b) ¯h
mω0
−1/2
ϕ2
n(x) .
V obrázcích jsou čárkovaně vyznačeny body obratu klasického oscilátoru; pro oscilátor
s energií En leží v bodech
Xn = ±
√
2n + 1
76 «« »»
3.4. Potenciálový schod
b) Nejnižší hodnota energie je E0 = 1/2¯hω0 (je důsledkem Heisenbergovy relace neurčitosti53
)).
c) Existuje nenulová pravděpodobnost výskytu částice i vně intervalu −A, A , exponenciální
„ocásek hustoty pravděpodobnosti za hranicemi x = ±A co do velikosti klesá s rostoucím
n.
d) Pravděpodobnost výskytu částice wn(x) = |ϕn(x)|
2
dx je závislá na kvantovém čísle n
a zejména pro malá n se značně liší od klasické. Srovnání průběhu hustoty pravděpodobnosti
klasického a kvantového oscilátoru pro energie E0 a E10 je vidět na obr. 3.28. Odtud
je patrné, že |ϕ10(x)|
2
bude mít po vystředování přes x přibližně charakter klasické hustoty
pravděpodobnosti wklas(x).
X
0,3
0−2 −1 1 2
n = 10a)
X
0,3
0,6
0−2 −1 1 2
n = 0b)
Obr. 3.28 Srovnání průběhu hustoty pravděpodobnosti kvantového (plná čára) a klasického (přerušovaná
čára) oscilátoru pro energii En=0 (a) a En=10 (b).
X = mω0
¯h
−1/2
x
a na ose ordinát jsou vynášeny hodnoty
¯h
mω0
−1/2
ϕ2
n(x)
pro kvantový oscilátor, resp.
¯h
mω0
−1/2
wkl(x)
pro klasický oscilátor. V obrázcích jsou čárkovaně vyznačeny body obratu klasického
oscilátoru s danou energií
53) Viz též poznámka na straně 27.
«« »» 77
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
Kvantový popis harmonického oscilátoru se stále více blíží popisu klasickému, zvyšujeme-li
hodnotu kvantového čísla n. V oblasti klasických energií, řekněme E ∼ 1J, a mechanických
oscilátorů kmitajících s úhlovou frekvencí ω0 ∼ 1 s−1
, je kvantum energie ¯hω0 ∼ 10−34
J, tak
malé, že změnu energie můžeme považovat za spojitou. Energii E ∼ 1J pak odpovídá kvantové
číslo n ∼ 1034
. Naproti tomu energie atomových oscilátorů kmitajících na úhlových frekvencích
ω0 ∼ 1013
s−1
, jsou kvantovány s krokem ¯hω0 ∼ 10−21
J ∼ 0, 01 eV, což v oblasti energií
E ∼ 10 eV typických pro valenční elektrony atomů53
) představuje podstatnou nespojitost.
3.4.7. Částice v trojrozměrné krabici. Degenerace
Ačkoli v řadě fyzikálních problému vystačíme s jediným rozměrem, mnohé problémy — včetně
základní úlohy atomové struktury (viz kapitola „Pohyb v centrálním poli na straně 105) —
je nutné zkoumat v trojrozměrném prostoru. Studium případu částice uvězněné v trojrozměrné
krabici bude pro nás úvodem ke způsobu řešení trojrozměrné stacionární Schr¨odingerovy rovnice
(separace proměnných) a seznámení s obecným charakterem těchto řešení.
V trojrozměrném prostoru má stacionární Schr¨odingerova rovnice tvar (viz rovnice (3.13))
∂2
ϕ(r)
∂x2
+
∂2
ϕ(r)
∂y2
+
∂2
ϕ(r)
∂z2
+
2mE
¯h2 (E − V (r)) ϕ(r) = 0 . (3.246)
Nejjednodušší případ vhodný k vyřešení této rovnice představuje částice v trojrozměrné krabici
s nekonečně tuhými stěnami54
). Krabice má tvar krychle s hranou délky a. Taková krabice
odpovídá potenciálu V (x, y, z) jehož hodnota V = 0 uvnitř a V → ∞ vně krabice. Uvnitř
krabice stacionární Schr¨odingerova rovnice zní
∂2
ϕ(r)
∂x2
+
∂2
ϕ(r)
∂y2
+
∂2
ϕ(r)
∂z2
+
2mE
¯h2 Eϕ(r) = 0 , pro



0 < x < a ,
0 < y < a ,
0 < z < a.
(3.247)
Krabice je ohraničena nekonečně vysokými potenciálovými stěnami, a proto vlnová funkce musí
vyhovovat okrajové podmínce
ϕ(r) ≡ 0 (3.248)
na stěnách krychle.
V rovnici (3.247) lze provést separaci proměnných, tj. je možné hledat její řešení ϕ(x, y, z)
ve tvaru součinu tří funkcí X(x), Y (y) a Z(z), jež závisejí vždy jen na jedné proměnné x, y,
respektive z:
ϕ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) . (3.249)
Dosadíme-li výraz (3.249) do rovnice (3.247), dostaneme55
)
Y (y)Z(z)
d2
X(x)
dx2
+ X(x)Z(z)
d2
Y (y)
dy2
+ X(x)Y (y)
d2
Z(z)
dz2
+
2mE
¯h2 X(x)Y (y)Z(z) = 0 .(3.250)
53) Srovnejte např. s rovnicí (1.30) na straně 10.
54) Podobnost s námi již zvládnutým problémem částice v nekonečně hluboké jámě (viz strana 47) je nasnadě, zhodnotíme
čas, který jsme strávili při jeho řešení tím, že nám bude právě předložený problém připadat jednoduchý a snáze pochopitelný.
55) Všimněme si, že v dalším uvažujeme definiční obor proměnných x, y, z odpovídající „vnitřku krabice (kde V = 0), jak
je ostatně uvedeno v rovnici (3.247).
78 «« »»
3.4. Potenciálový schod
Dělením této rovnice součinem X(x)Y (y)Z(z) a uspořádáním členů obdržíme
−
1
X(x)
d2
X(x)
dx2
−
1
Y (y)
d2
Y (y)
dy2
−
1
Z(z)
d2
Z(z)
dz2
=
2mE
¯h2 . (3.251)
První člen na levé straně této rovnice závisí jen na x, druhý jenom na y a třetí pouze na z.
Součet těchto tří členů má být roven konstantě a to pro všechna x, y, z z definičního oboru. To je
možné pouze tehdy, jestliže se každý člen rovná nějaké samostatné konstantě56
), což vyjádříme
vztahy:
−
1
X(x)
d2
X(x)
dx2
= α2
⇒
d2
X(x)
dx2
+ α2
X(x) = 0 , (3.252)
−
1
Y (y)
d2
Y (y)
dy2
= β2
⇒
d2
Y (y)
dy2
+ β2
Y (y) = 0 , (3.253)
−
1
Z(z)
d2
Z(z)
dx2
= γ2
⇒
d2
Z(z)
dz2
+ γ2
Z(z) = 0 , (3.254)
Aby byla splněna rovnice (3.251), musí konstanty α2
, β2
, γ2
vyhovovat podmínce
α2
+ β2
+ γ2
=
2mE
¯h2 . (3.255)
Rovnice (3.252), (3.253) a (3.254) jsou obyčejné57
) diferenciální rovnice přesně téhož tvaru
jako stacionární Schr¨odingerova rovnice (3.94) pro částici v nekonečně hluboké potenciálové
jámě. Řešení této rovnice již samozřejmě známe
X(x) = Axeiαx
+ Bxe−iαx
, (3.256)
a podobně
Y (y) = Ayeiβy
+ Bye−iβy
, (3.257)
Z(z) = Azeiγz
+ Bze−iγz
. (3.258)
Je ještě třeba splnit okrajové podmínky (3.248). Tak například z podmínek
ϕ(0, y, z) = X(0)Y (y)Z(z) = 0 , (3.259)
ϕ(a, y, z) = X(a)Y (y)Z(z) = 0 , (3.260)
plynou podmínky pro funkci X(x):
X(0) = 0 , (3.261)
X(a) = 0 . (3.262)
Dosadíme-li do rovnice (3.256) za x = 0, respektive x = a, s užitím podmínky (3.261), respektive
(3.262) obdržíme
X(0) = Ax + Bx = 0 ⇒ Bx = −Ax , (3.263)
X(a) = Axeiαa
− Axe−iαa
= 2iAx sin αx = 0 . (3.264)
56) Asi nám celá situace připadá jako bychom ji už někdy prožili, známé déj`a vu (již „viděno ) se stává v našem případě
déj`a lu (již „čteno ) a to na straně 32, kde jsme separovali proměnné při přechodu od časové Schr¨odingerovy rovnice ke
stacionární.
57) Ve smyslu „obyčejných derivací funkce jedné proměnné podle této proměnné, jinak jsou samozřejmě neobyčejné —
umožňují nám srozumitelný „vhled do problematiky degenerace energiových hladin.
«« »» 79
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
Poněvadž Ax = 0, je poslední rovnice splněna pouze tehdy, je-li
αa = nxπ , kde nx = 1, 2, 3, . . . , (3.265)
Odtud
αnx
=
nxπ
a
, kde nx = 1, 2, 3, . . . , (3.266)
Aby byly splněny okrajové podmínky, funkce (3.256) tedy musí mít tvar
X(x) = Cx sin
nxπx
a
, (3.267)
kde Cx = 2iAx.
Podobně postupujeme i v případech funkcí Y (y) a Z(z); dostaneme
βny
=
nyπ
a
, kde ny = 1, 2, 3, . . . , (3.268)
γnz
=
nzπ
a
, kde nz = 1, 2, 3, . . . , (3.269)
a
Y (y) = Cy sin
nyπy
a
, (3.270)
Z(z) = Cz sin
nzπz
a
, (3.271)
Použijeme-li získaných řešení (3.267), (3.270) a (3.271), můžeme napsat vlnovou funkci (3.249)
ϕnx ny nz
(x, y, z) = C sin
nxπx
a
sin
nyπy
a
sin
nzπz
a
(3.272)
kde C = CxCyCz je normovací konstanta (určíme ji tak, aby vlnová funkce (3.272) byla
normalizovaná58
)). Dosadíme-li do (3.255) za α, β a γ z rovnic (3.266), (3.268) a (3.269), obdržíme
odpovídající možné energie částice v tuhé krabici
Enx ny nz
= n2
x + n2
y + n2
z
π2
¯h2
2ma2
. (3.273)
Namísto jednoho kvantového čísla (jak tomu bylo u jednorozměrné jámy) je v tomto trojrozměrném
případě zapotřebí tří kvantových čísel nx, ny, nz k tomu, abychom určili stav částice. To
je obecný rys trojrozměrných problémů a setkáme se s ním znovu v kapitole 5, kde se budeme
věnovat kvantové teorii atomu vodíku.
Novou skutečností, se kterou jsme se dosud u jednorozměrných potenciálů nesetkali, je zjištění,
že více kvantovým číslům přísluší stejná energie. Taková energiová hladina se nazývá degenerovaná.
Například stavům charakterizovaným kvantovými čísly (2, 2, 1), (1, 2, 2) a (2, 1, 2)
přísluší energie
9
π2
¯h2
2ma2
. (3.274)
Tato energiová hladina je tedy trojnásobně degenerovaná a jí odpovídající vlnové funkce jsou
ϕ2 2 1 = C sin
2πx
a
sin
2πy
a
sin
πz
a
, (3.275)
ϕ1 2 2 = C sin
πx
a
sin
2πy
a
sin
2πz
a
, (3.276)
ϕ2 1 2 = C sin
2πx
a
sin
πy
a
sin
2πz
a
. (3.277)
58) Dodatek?
80 «« »»
3.4. Potenciálový schod
3.4.8. Částice v periodickém potenciálovém poli. Energiové pásy
V tomto odstavci budeme studovat pohyb elektronu v periodickém potenciálovém poli. S takovým
periodickým polem se setkáváme v krystalech, kde jsou periodicky rozložena jádra atomů,
resp. ionty, a tedy i střední hustota elektrického náboje. Potenciál elektrického pole buzeného
takto rozloženým nábojem je též periodickou funkcí souřadnic. V takovém případě má tedy
elektron potenciální energii, jež je periodickou funkcí s periodou krystalové mřížky.
Základní znaky chování elektronu v periodickém potenciálovém poli je možno ukázat na jednoduchém
jednorozměrném modelu, v němž se předpokládá, že potenciální energie elektronu má
tvar periodického uspořádání obdélníkových jam59
) (obr. 3.29a). Tímto pravoúhlým potenciálem
opět nahrazujeme reálný průběh potenciálu znázorněný na obr. 3.29b. Perioda potenciálu
V (x) je a = b + c, takže
V (x + a) = V (a) . (3.278)
V (x)
x
b)
V (x)
x
V0
0 b b + c−c−(b + c)
a
a)
Obr. 3.29 Periodické uspořádání obdélníkových potenciálových jam (a) nahrazuje průběh potenciální
energie elektronu v krystalu (b). Poloha atomových jader je zobrazena černým
kroužkem. Perioda potenciálu je a = b + c
59) Toto periodické uspořádání obdélníkových jam se v literatuře označuje jako Kronigův-Pennyův model.
«« »» 81
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
V mezích jedné periody, např. v oblasti −c ≤ x ≤ b, je potenciál určen vztahy
V (x) =
V0 pro −c < x < 0
0 pro 0 < x < b .
(3.279)
Přistupme k řešení stacionární Schr¨odingerovy rovnice s periodickým potenciálem. Její řešení
ϕ(x) musí být takové, aby hustota pravděpodobnosti výskytu částice elektronu v ekvivalentních
bodech x, x + a byla stejná60
). To znamená, že musí platit
|ϕ(x + a)|
2
= |ϕ(x)|
2
. (3.280)
Odtud plyne, že funkce ϕ(x + a) a ϕ(x) se mohou lišit pouze faktorem exp(iυ), kde υ je reálné
číslo; tedy61
)
ϕ(x + a) = eiυ
ϕ(x) . (3.281)
V teorii pevných látek se místo parametru υ zavádí (reálný) parametr k (z důvodů jistých
analogií nazývaný vlnové číslo), svázaný s υ vztahem υ = k a. V tomto označení rovnice (3.281)
zní
ϕ(x + a) = eika
ϕ(x). (3.282)
Postupná aplikace (3.282) umožní vyjádřit hodnotu funkce ϕ(x) v bodě x + a pomocí hodnoty
funkce ϕ v bodě x:
ϕ(x + na) = einka
ϕ(x). (3.283)
Stacionární Schr¨odingerova rovnice (3.37) má v potenciálovém poli (3.279) v oblasti jedné
periody x ∈ (−c, b) tvar
d2
ϕ(I)(x)
dx2
+
2m
¯h2 (E − V0) ϕ(I)(x) pro − c < x < 0 , (3.284)
d2
ϕ(II)(x)
dx2
+
2m
¯h2 Eϕ(II)(x) pro − c < x < b , (3.285)
Budeme předpokládat, že energie E elektronu je menší než V0. Potom řešení rovnic (3.284)
a (3.285) je následovné
ϕ(I)(x) = Aeαx
+ Be−αx
pro − c < x < 0 , (3.286)
ϕ(II)(x) = Ceiβx
+ De−iβx
pro 0 < x < b , (3.287)
kde α a β jsou parametry definované vztahy
α =
2m (V0 − E)
¯h2 a β =
2mE
¯h2 . (3.288)
Konstanty A, B, C, D určíme z podmínek spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech
nespojitosti potenciálu x = 0, x = b (viz strana 19). K tomu potřebujeme znát vlnovou
60) Opět se možná trochu zdržíme — ale opravdu jen trochu, vždyť tato situace je obdobná té, kterou jsme „probírali ,
když jsme řešili stacionární Schr¨odingerovu rovnici pro částici (elektron) v jámě konečné hloubky, která byla symetrická
vůči záměně x → −x. A tehdy se nám nezdálo divné, že existují sudá a lichá řešení stacionární Schr¨odingerovy rovnice (viz
strana 52). A jejich existence plynula z rovnosti hustot pravděpodobností výskytu částice v bodech x → −x právě kvůli
symetrii zmíněného potenciálu.
61) Tvrzení vyjádřené rovnicí (3.281) se nazývá Blochův teorém (F. Bloch 1928) a funkce vyhovující této rovnici bývá
zvykem nazývat Blochovy funkce. Uvedené tvrzení má pro teorii pevných látek zásadní význam.
82 «« »»
3.4. Potenciálový schod
funkci ϕ(III)(x) v intervalu (b, b + c), který přísluší sousední periodě (viz obr. 3.29a). K tomu
nám poslouží Blochův teorém (3.282). Pomocí něj vyjádříme hledané ϕ(III)(x) definované pro
x ∈ (b, b + c) prostřednictvím známého řešení v intervalu (−c, 0), tj. pomocí funkce ϕ(I)(x − a)
definované pro −c < x < 0, takto:
ϕ(III)(x) = eika
ϕ(I)(x − a) = eika
Aeα(x−a)
+ Be−α(x−a)
(3.289)
pro b < x < b + c.
Dosadíme-li do následujících podmínek
ϕ(I)(0) = ϕ(II)(0) ;
dϕ(I)(x)
dx x=0
=
dϕ(II)(x)
dx x=0
, (3.290)
ϕ(II)(b) = ϕ(III)(b) ;
dϕ(II)(x)
dx x=b
=
dϕ(III)(x)
dx x=b
(3.291)
za ϕ(I)(x), ϕ(II)(x) a ϕ(III)(x) z rovnic (3.286), (3.287) a (3.289), dostaneme
A + B = C + D (3.292)
α(A − B) = iβ(C − D) , (3.293)
Ceiβb
+ De−iβb
= eika
Ae−αc
+ Beαc
, (3.294)
iβ Ceiβb
+ De−iβb
= αeika
Ae−αc
+ Beαc
, (3.295)
poněvadž b − a = −c. Tato soustava čtyř algebraických lineárních homogenních rovnic pro čtyři
neznámé A, B, C, D má netriviální řešení pouze tehdy62
), když determinant soustavy je roven
nule:
1 1 −1 −1
α −α −iβ iβ
exp(ika − αc) exp(ika + αc) − exp(iβb) − exp(−iβb)
α exp(ika − αc) −α exp(ika + αc) −iβ exp(iβb) iβ exp(−iβb)
= 0 . (3.296)
Vypočteme-li63
) tento determinant, dostaneme
α2
− β2
2αβ
sinh(αc) sin(βb) + cosh(αc) cos(βb) = cos [k(b + c)] , (3.297)
kde α, β jsou dány vztahy (3.288).
Aby se tato situace zjednodušila, budeme uvažovat případ, kdy V0 → ∞ a c → 0 takovým
způsobem, že součin V0c zůstává konečný. V tom případě pak totiž platí
a = b + c → b , (3.298)
a
α2
− β2
2αβ
c =
m(V0c)
¯h2 −
2mE
¯h2 c →
m(V0c)
¯h2 , (3.299)
sinh 2m
¯h2 (V0c − Ec)c
2m
¯h2 (V0c − Ec)c
→ 1 , (3.300)
cosh(αc) = cosh
2m
¯h2 (V0c − Ec)c → 1 , (3.301)
sin(βb) = sin(βa) , (3.302)
cos(βb) = cos(βa) . (3.303)
62) Už jsme se s tímto problémem setkali (triviální ∼ nulové) v poznámce na straně 51 si vše ozřejmili.
63) Dodatky? Dodatky!
«« »» 83
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
Použijeme-li tyto vztahy, rovnice (3.297) se zjednoduší takto:
m(V0c)
¯h2
β
sin(βa) + cos(βa) = cos(ka) . (3.304)
Připomeňme si, že β souvisí s energií E podle vztahu (3.288) a k je libovolné reálné číslo.
Z rovnice (3.304) tedy dostaneme pro každé k možné hodnoty energie; závislost energie E = E(k)
nazýváme disperzním vztahem.
Zaveďme veličinu
P =
m(V0c)a
¯h2 , (3.305)
která charakterizuje potenciálovou bariéru: vyšší hodnota P fyzikálně znamená silnější vazbu
elektronu k určité potenciálové jámě. Použijeme-li parametr P definovaný v (3.305), rovnice
(3.304) zní
P
sin(βa)
βa
+ cos(βa) = cos(ka) . (3.306)
Na obr. 3.30 je znázorněna levá strana tohoto výrazu jako funkce součinu βa pro hodnotu
P = 3π/2. Připomeňme si, že β2
je úměrné energii (viz rovnice (3.288)), a proto osa βa je
mírou energie E. Dále je důležité si uvědomit, že pravá strana rovnice (3.306) může nabýt jen
hodnot mezi −1 a +1, jak je vyznačeno na obr. 3.30 horizontálami. Proto je možno podmínku
(3.306) splnit jen pro ty hodnoty βa, pro něž má levá strana hodnoty mezi −1 a +1. Z toho
bezprostředně plyne, že energiové spektrum elektronu se skládá z řady pásů dovolených energií
oddělených zakázanými oblastmi. Z rovnice (3.306) je také možné získat energii E vyjádřenou
jako funkci k.
βa
P
sin βa
βa
+ cos βa
+1
0
−1
π
2π
3π
4π
Obr. 3.30 Graf funkce P sin(βa)/(βa) + cos(βa) pro P = 3π/2. (Vzhledem k definici parametru
β má tato funkce fyzikální smysl pouze pro kladné argumenty βa.) Dovolené hodnoty
energie E jsou vymezeny oblastmi proměnné
βa =
a
√
2mE
¯h
,
pro které funkční hodnoty leží mezi +1 a −1
84 «« »»
3.4. Potenciálový
Z obr. 3.30 je patrné, že nespojitosti v hodnotách energie nastávají pro
k =
nπ
a
, kde n = 1, 2, 3, . . ., (3.307)
pro něž pravá strana rovnice (3.306) nabývá mezních hodnot −1 a +1. Ze vztahu (3.306) je
rovněž vidět, že uvnitř určitého energiového pásu je energie periodickou funkcí k. Například
nahradíme-li hodnotu k hodnotou k + 2πn/a, kde n je celé číslo, pravá strana rovnice (3.306)
se nezmění. Jinými slovy, k není určeno jednoznačně. To demonstruje obr. 3.31a. Proto je často
výhodné zavést tzv. „redukované vlnové číslo k , které je omezeno na oblast
−
π
a
≤ k ≤
π
a
. (3.308)
(V teorii pevných látek se oblast vymezená podmínkou (3.308) nazývá první Brillouinova zóna.)
Závislost energie E na redukovaném k je znázorněna na obr. 3.31b.
Závěrem si všimněme, jak energiové spektrum závisí na hodnotě P vyjadřující vazbu elektronu
k určité potenciálové bariéře. Je patrné, že pro rostoucí hodnotu P se energiové pásy zužují
a v limitním případě, kdy P → ∞, energiové spektrum se sestává z diskrétních energiových
hladin. V tomto případě má rovnice (3.306) řešení jen tehdy, je-li sin(βa) = 0, tj. je-li βa =
±nπ , n = 1, 2, . . .. Použijeme-li rovnici (3.288), kde je definovaný parametr β, dostáváme možné
hodnoty energie:
En =
π2
¯h2
2ma2
n2
. (3.309)
Poznáváme v nich energiové hladiny částice v nekonečně hluboké potenciálové jámě (viz odstavec
3.4.2). Fyzikálně se mohl takový výsledek očekávat, protože při velkých hodnotách P je
průchod bariérou (tunelový zjev) nepravděpodobný a částice je uvězněna uvnitř jedné jámy. Na
druhé straně se ukazuje, že možnost tunelování vede k rozšíření energiových hladin v pásy.
Nejdůležitějším výsledkem tohoto odstavce je zjištění, že energiové spektrum částice v periodickém
poli je pásové. Pásové energiové spektrum je fundamentální (základní) vlastností krystalů
a je základem pro pochopení jejich fyzikálních vlastností.
«« »»
3. Schr¨odingerova vlnová mechanika
E(8ma2
/h2
)
k
2
4
6
8
10
−3π
a
−2π
a
−π
a
0
π
a
2π
a
3π
a
a)
Energiovépásy
b)
−π
a
0
π
a
E(8ma2
/h2
)
k
c)
Obr.3.31ZávislostenergieE(vjednotkáchh2
/(8ma2
))navlnovémčíslekproP=
3π/2.Uvnitřurčitéhoenergiovéhopásujeenergieperiodickoufunkcíkspe-
riodou2π/a(a).Prodanouenergiinenítedyurčenajednoznačně,aproto
zpravidlazakreslujemezávislostenergienakvintervalu−πa,πa(b).
Energiovéspektrumelektronuvperiodickémpoliseskládázřadypásů
dovolenýchenergiíoddělenýchzakázanýmioblastmi(c)
86 «« »»
4Úvod do formalismu kvantové mechaniky
V této kapitole zformulujeme základní postuláty současné nerelativistické kvantové mechaniky.
Uvidíme, že výsledky uvedené v předcházejících kapitolách jsou pouze speciálními případy
tohoto obecného formalismu kvantové mechaniky. Pochopení předcházejících tří kapitol
by se mělo právě zde projevit v tom, že tyto postuláty nebudou pro nás naprosto nečekaným
překvapením1
).
Dříve však, než přistoupíme k vlastnímu fyzikálnímu výkladu, uvedeme přehled matematického
aparátu užívaného v kvantové mechanice. Podstatná část následujícího odstavce budiž
tedy chápána jako výkladový slovník pojmů, které budeme v dalším potřebovat.
4.1. Matematický aparát
(Výkladový slovník matematických pojmů potřebný pro kvantovou mechaniku)
Operátory
Operátorem rozumíme předpis, který jedné funkci ϕ z dané množiny F přiřazuje obecně jinou
funkci χ množiny F. Symbolicky to vyjádříme zápisem
χ = ˆOϕ , (4.1)
kde χ ∈ F, a ϕ ∈ F a ˆO je operátor definovaný na množině funkcí F.
Uveďme některé příklady operátorů:
• identický operátor ˆO ≡ 1, který funkci ϕ přiřazuje tutéž funkci χ = ϕ;
• operátor druhé odmocniny ˆO =
√
, který funkci ϕ přiřazuje funkci χ =
√
ϕ;
• operátor derivování ˆO = d/dx, který funkci ϕ přiřazuje funkci
χ =
dϕ
dx
; (4.2)
• Laplaceův operátor ˆO = ∆ ≡ ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2 , který funkci ϕ přiřazuje funkci
χ =
∂2
ϕ
∂x2
+
∂2
ϕ
∂y2
+
∂2
ϕ
∂z2
(4.3)
Prostor vlnových funkcí
Definovat operátor má smysl pouze tehdy, jestliže zadáme množinu funkcí F, na níž operátor
působí. V případě kvantové mechaniky F značí množinu všech vlnových funkcí, které odpovídají
možným stavům2
) uvažovaného systému (např. jedné částice). Z toho plynou vlastnosti, které
množina F má. Jejími prvky jsou ty funkce, které splňují podmínky kladené na vlnové funkce, tj.
jsou všude spojité se všemi prvními derivacemi, jednoznačné a omezené (viz strana 19). Krátce
1) Když už budou překvapením, tak pouze radostně očekávaným.
2) Rozumějme vlnovým funkcím, které popisují stav kvantově-mechanické částice.
«« »» 87
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky
říkáme, že vlnová funkce splňuje standardní podmínky. Dále musí být zaručeno splnění principu
superpozice kvantových stavů. To je zaručeno tehdy, je-li F lineární vektorový prostor3
), známý
z vektorové algebry.
V tomto lineárním prostoru F je výhodné definovat skalární součin dvou funkcí (z tohoto
prostoru). Skalární součin přiřazuje dvojici funkcí ϕ ∈ F a ψ ∈ F komplexní číslo, které budeme
značit (ϕ, ψ) , podle definičního předpisu:
(ϕ, ψ) = ϕ∗
ψdτ , (4.4)
kde se integruje přes celý definiční obor nezávisle proměnných.
Pro skalární součin platí4
):
(ϕ, ψ) = (ψ, ϕ)
∗
, (4.5)
(ϕ, c1ψ1 + c2ψ2) = c1 (ϕ, ψ1) + c2 (ϕ, ψ2) , (4.6)
c1ϕ(I) + c2ϕ(II), ψ = c∗
1 ϕ(I), ψ + c∗
2 ϕ(II), ψ , (4.7)
(ϕ, ϕ) je reálné číslo a platí
(ϕ, ϕ) ≥ 0 , (4.8)
přičemž (ϕ, ϕ) = 0 pouze pro ϕ = 0. Přitom ϕ, ψ, ϕ(I), ϕ(II), ψ1, ψ2 jsou z F a c1, c2 jsou komplexní
čísla. Nechť ϕ je libovolná funkce z F. Z vlastností lineárního prostoru plyne, že také
ψ = cϕ (c je komplexní číslo) je funkce z F. Zřejmě lze nalézt konstantu c tak, aby platilo
(ψ, ψ) = ψ∗
ψdτ = |ψ|
2
dτ = 1 . (4.9)
O funci ψ říkáme, že je normována (viz též strana 17) k jedničce5
).
Jestliže pro dvě funkce ϕ ∈ F a ϕ ∈ F je
(ϕ, ψ) = 0 , (4.10)
říkáme, že funkce ϕ a ψ jsou ortogonální.
Potřebnost skalárního součinu pro formalismus kvantové mechaniky uvidíme vzápětí.
Lineární operátory
Působením operátorů na vlnové funkce se nesmí narušit princip superpozice stavů. Proto
budeme v kvantové mechanice používat pouze operátory, které na lineární kombinaci dvou
funkcí působí tak, že platí
ˆO(c1ψ1 + c2ψ2) = c1
ˆOψ1 + c2
ˆOψ2 . (4.11)
Operátory, jež pro všechna ψ1, ψ2 ∈ F a libovolná komplexní čísla c1, c2 splňují podmínku (4.11),
se nazývají lineární operátory.
Příklady lineárních operátorů:
3) Pokud chce vědět více o vektorových prostorech, dovolujeme si odkázat například na knihu [11].
4) Přesvědčete se o tom na základě pravidel pro výpočet integrálů.
5) Jinými slovy: původní funkci ϕ jsme normovali k jedničce.
88 «« »»
4.1. Matematický aparát
• identický operátor:
ˆO = ˆ1 , (4.12)
• operátor násobení funkcí x
ˆO = x (4.13)
• Laplaceův operátor:
ˆO = ∆ , (4.14)
• operátor derivování
ˆO =
d
dx
. (4.15)
Příkladem nelineárního operátoru je operátor druhé odmocniny, poněvadž
c1ψ1 + c2ψ2 = c1 ψ1 + c2 ψ2 . (4.16)
Operace s operátory
Máme-li dány nějaké lineární operátory, můžeme z nich vytvořit lineární operátory složitější.
Způsoby konstrukce složitějších operátorů z jednodušších plynou z definice samotných operátorů
a mohou být zformulovány na základě několika algebraických pravidel, která nyní uvedeme.
Součtem dvou lineárních operátorů ˆO1 a ˆO2 rozumíme takový operátor ˆO, pro něž platí
ˆOϕ = ˆO1ϕ + ˆO2ϕ . (4.17)
Symbolicky to zapisujeme takto:
ˆO = ˆO1 + ˆO2 . (4.18)
Z definičního vztahu (4.17) plyne, že součet operátorů je komutativní, tj.
ˆO2 + ˆO1 = ˆO1 + ˆO2 . (4.19)
Snadno se přesvědčíme, že operátor ˆO je lineární, tj. že splňuje podmínku (4.11).
c-násobkem lineárního operátoru ˆA rozumíme takový operátor ˆB, platí-li
ˆBϕ = c( ˆAϕ) , (4.20)
Jednoduše zjistíme, že operátor ˆO je opět lineární.
Součinem dvou lineárních operátorů ˆO1 a ˆO2 rozumíme takový operátor ˆO, pro nějž platí
ˆOϕ = ˆO1( ˆO2ϕ) , (4.21)
tj. nejdříve necháme působit na funkci ϕ operátor ˆO2 a na takto získanou funkci ψ = ˆO2ϕ pak
působíme operátorem ˆO1 (operátory při násobení působí v pořadí zprava doleva). Symbolicky
to zapisujeme takto:
ˆO = ˆO1
ˆO2 . (4.22)
«« »» 89
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky
Přesvědčte se, že operátor ˆO je opět lineární6
).
Součin operátorů není obecně komutativní, tj. obecně
ˆO1
ˆO2 = ˆO2
ˆO1 (4.23)
(v takovém případě říkáme, že operátory ˆO1 a ˆO2 nekomutují, v opačném případě (tedy jeli
ˆO2
ˆO1 = ˆO1
ˆO2) hovoříme o komutativních operátorech). Ukážeme si to na příkladu. Budiž
ˆO1 = x a ˆO2 = d
dx
. Potom pro libovolnou ϕ(x) ∈ F platí
ˆO1
ˆO2ϕ(x) = ˆO1( ˆO2ϕ(x)) = x
dϕ(x)
dx
= x
dϕ(x)
dx
= x
d
dx
ϕ(x) , (4.24)
ˆO2
ˆO1ϕ(x) = ˆO2( ˆO1ϕ(x)) =
d
dx
(xϕ(x)) = ϕ(x) + x
dϕ(x)
dx
= 1 + x
d
dx
ϕ(x) , (4.25)
Vidíme, že působení operátoru ˆO1
ˆO2 na funkci ϕ(x) dává jiný výsledek, než působení operátoru
ˆO2
ˆO1 na tutéž funkci ϕ(x). Tedy operátor ˆO1
ˆO2 není roven operátoru ˆO2
ˆO1, tj. ˆO1
ˆO2 = ˆO2
ˆO1.
Ze vztahů (4.24,4.25) dále dostáváme, že
ˆO1
ˆO2 = x
d
dx
(4.26)
a
ˆO2
ˆO1 = ˆ1 + x
d
dx
(4.27)
Všimněte si, že explicitní tvar operátoru definovaného jako součin operátorů zjistíme tak, že
operátory necháme působit na nějakou funkci z prostoru F.
Pro účely kvantové mechaniky je užitečné zavést tzv. komutátor operátorů ˆO1 a ˆO2. Jde opět
o operátor, jenž označujeme symbolem [ ˆO1, ˆO2] a definujeme takto:
[ ˆO1, ˆO2] = ˆO1
ˆO2 − ˆO2
ˆO1 . (4.28)
Z této definice je zřejmé, že platí
[ ˆO2, ˆO1] = −[ ˆO1, ˆO2] . (4.29)
Poznamenejme, že komutátor dvou komutujících operátorů roven nule, zatímco komutátor dvou
nekomutujících operátorů je nenulový operátor.
Užijeme-li vztahy (4.26),(4.27) dostaneme, že komutátor operátorů ˆO1 = x a ˆO2 = d
dx
z našeho
příkladu je roven
x,
d
dx
= −ˆ1 . (4.30)
(−ˆ1 je operátor, který mění jen znaménko funkce, tj. násobí ji −1).
n-tá mocnina operátoru ˆO je operátor, který označujeme ˆOn
a definujeme jako
ˆOn
= ˆO . . . ˆO
n
, (4.31)
6) Nápověda: použijeme-li (viz rovnice (4.11)) vztah ˆO1
ˆO2(c1ϕ(I) + c2ϕ(II)) = ˆO1( ˆO2c1ϕ(I)) + ˆO1( ˆO2c2ϕ(II)) = ˆO1ψ1
atd.
90 «« »»
4.1. Matematický aparát
tj. působení tohoto operátoru na nějakou funkci je ekvivalentní n-násobnému postupnému působení
operátoru ˆO na tuto funkci. Například pro ˆO = d
dx
je
ˆO2
=
d2
dx2
, . . . , ˆOn
=
dn
dxn
. (4.32)
Vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru
Působí-li nějaký operátor ˆO na funkci ϕ ∈ F, získáme obecně jinou funkci ψ = ˆOϕ z prostoru
F. V určitých případech se může stát, že působení operátoru ˆO na funkci ϕ dostaneme stejnou
vynásobenou pouze určitou konstantou, tj.
ˆOϕ = λϕ . (4.33)
Číslo λ nazýváme vlastní hodnotou operátoru ˆO a funkciϕ vlastní funkcí operátoru ˆO příslušející
vlastní hodnotě λ.
Pro daný operátor ˆO může existovat obecně nekonečný počet vlastních hodnot a funkcí (je-li
prostor F nekonečné dimenze). Označme lineárně nezávislé vlastní funkce operátoru ˆO
u1, u2, . . . , un, . . . (4.34)
a jim odpovídající vlastní hodnoty
λ1, λ2, . . . , λn, . . . (4.35)
Lineární nezávislost vlastních funkcí zdůrazňujeme proto, abychom zabránili nejednoznačnosti;
každá funkce cun (c je libovolná komplexní konstanta) je totiž také vlastní funkcí operátoru ˆO
příslušející vlastní hodnotě λn. Vynásobíme-li totiž rovnici (4.33) konstantou c, dostaneme pro
ϕ = un a λ = λn
c( ˆOun) = ˆO(cun) = λn(cun) . (4.36)
Libovůle v konstantě c tak umožňuje normovat vlastní funkce.
Může se však stát, že k této vlastní hodnotě přísluší více lineárně nezávislých funkcí; potom
říkáme, že tato vlastní hodnota je degenerovaná. Abychom tuto skutečnost zachytili, vezmeme
za základ indexy rozlišující vlastní hodnoty. Vlastní funkce příslušející k dané vlastní hodnotě
pak rozlišíme dalším indexem; budeme tedy psát
u
(1)
1 , . . . , u
(g1)
1
λ1
; u
(1)
2 , . . . , u
(g2)
1
λ2
; . . . ; u(1)
n , . . . , u(gn)
n
λn
; . . . (4.37)
a říkat, že vlastní hodnota λn je gn−násobně degenerovaná. Jestliže gn = 1, vlastní hodnota
λn je nedegenerovaná. Vidíme, že libovolná lineární kombinace vlastních funkcí příslušejících
gn−násobně degenerované vlastní hodnotě λn operátoru ˆO, tj.
vn = c1u(1)
n + c2u(2)
n + . . . + cgn
u(gn)
n , (4.38)
kde c1, c2, . . . , cgn
jsou libovolná komplexní čísla, je také vlastní funkce příslušející vlastní hodnotě
λn operátoru ˆO. Přesvědčte se o tom7
)!
Množina vlastních hodnot λ1, λ2, . . . , λn, . . . daného operátoru ˆO se nazývá spektrum operátoru
ˆO. Dosud jsme mlčky předpokládali, že vlastní hodnoty a funkce se dají rozlišit diskrétně se
7) Dodatky používejte až v nouzi nejvyšší, případně pouze pro kontrolu, vždyť už toho z kvantové mechaniky umíte daleko
víc, než tomu bylo například při čtení (lépe řešeno studiu) kapitoly 1.
«« »» 91
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky
měnícím indexem; v takovém případě budeme mluvit o diskrétním spektru. Běžný je však i případ,
kdy se ’index mění spojitě’, tzn., že se jedná o spojitě se měnící proměnnou. Označíme-li
ji k, nahradí se v předcházejících výrazech un funkcí u(k) a λn funkcí λ(k). V takovém případě
mluvíme o spojitém spektru.
Najít vlastní hodnoty a vlastní funkce např. diferenciálního operátoru znamená řešit diferenciální
rovnici s danými okrajovými podmínkami. S tímto problémem jsme se již setkali
v předcházející kapitole při řešení stacionární Schr¨odingerovy rovnice, která je vlastně rovnicí
pro vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru
−
¯h2
2m
∆ + V (r) . (4.39)
Vše, co jsme si právě řekli, si ozřejmíme na následujících příkladech.
Příklad 1
ˆO = −i
d
dx
(4.40)
Poněvadž
−i
d
dx
eikx
= k eikx
, (4.41)
je funkce
ϕ = eikx
(4.42)
vlastní funkcí operátoru ˆO příslušející vlastní hodnotě k (k je libovolné reálné číslo; pro k
komplexní by buď pro x → −∞ nebo pro x → +∞ divergovala, a nebyla by omezená).
Tedy vlastní hodnoty operátoru ˆO jsou reálné, nedegenerované a tvoří spojité spektrum.
Příklad 2
ˆO =
d2
dx2
(4.43)
a
ϕ(I)(x) = sin(kx) a ϕ(II) = cos(kx) (4.44)
jsou vlastní hodnoty operátoru ˆO příslušející téže vlastní hodnotě k2
(k je libovolné reálné číslo).
Tedy spektrum operátoru ˆO je spojité, přičemž každá jeho vlastní hodnota je reálná a dvojnásobně
degenerovaná.
Příklad 3
(Srovnej řešení stacionární Schr¨odingerovy rovnice pro částici v nekonečně hluboké pravoúhlé
jámě - odstavec 3.4.2.)
ˆO =
d2
dx2
(4.45)
a požadujme, aby vlastní funkce splňovaly okrajové podmínky
ϕ(0) = ϕ(a) = 0 . (4.46)
92 «« »»
4.2. Hermitovské operátory
Vlastní funkce operátoru ˆO jsou pouze
ϕn(x) = sin(knx) , (4.47)
kde
kn =
nπ
a
, n = ±1, ±2, . . . , (4.48)
a odpovídající vlastní hodnoty jsou k2
n.
Tedy operátor ˆO má v tomto případě diskrétní spektrum, přičemž každá jeho hodnota je
reálná a nedegenerovaná.
4.2. Hermitovské operátory
V kvantové mechanice se budeme setkávat pouze s tzv. lineárními hermitovskými (nebo
stručněji jen hermitovskými) operátory8
). Tyto operátory mají dvě pro kvantovou mechaniku
důležité vlastnosti:
• vlastní hodnoty hermitovských operátorů jsou reálné
• vlastní funkce hermitovského operátoru příslušné k různým vlastním hodnotám jsou navzájem
ortogonální .
Druhá věta nám zaručuje, že vlastní funkce hermitovského operátoru, které přísluší různým
vlastním hodnotám, jsou ortogonální. Můžeme něco podobného tvrdit i o souboru funkcí
u(i)
n , (i = 1, 2, . . . , gn), které patří ke gn−násobně degenerované vlastní hodnotě λn? Víme již, že
také každá lineární kombinace (4.38) je vlastní funkcí ˆO příslušející k vlastní hodnotě λn. Nic
nám proto nebrání vytvořit z gn lineárně nezávislých funkcí u(i)
n stejný počet nových, lineárně
nezávislých funkcí v(i)
n (to znamená napsat gn rovnic typu (4.38) a určit c1, c2, . . . , cgn
) tak,
aby platilo
v(i)
n , v(i)
n = 0 , (4.49)
jestliže
i = j (i, j, = 1, 2, . . . , gn) . (4.50)
Shrneme:
Můžeme vždy předpokládat, že pro soubor vlastních funkcí hermitovského operátoru platí
u(i)
n , u(j)
m = δnmδij
9
) (4.55)
pro všechna n, m, i, j, tzn., že (všechny) vlastní funkce jsou vzájemně ortogonální, neboli tvoří
ortonormální systém. Automaticky je splněna jen ortogonalita vlastních funkcí s n = m plynoucí
z výše uvedené věty. Normalizaci všech vlastních funkcí a ortogonalizaci vlnových funkcí
degenerovaných stavů musíme vždy prověřit a podle potřeby vždy provést.
Víme, že ze souboru lineárních operátoů můžeme pomocí několika algebraických pravidel
vytvořit operátory složitější. Nechť výchozí operátory jsou hermitovské. Potom se nabízí otázka,
za jakých podmínek jsou z nich vytvořené lineární operátorz opět hermitovské. Na tuto otázku
lze odpovědět následujícími třemi tvrzeními:
8) Podrobnější výklad je uveden v dodatku na straně 144.
«« »» 93
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky
a) Nechť operátory ˆO1 a ˆO2 jsou hermitovské. Potom operátor ˆO = ˆO1 + ˆO2 je rovněž hermi-
tovský.
b) Nechť ˆA je hermitovský operátor a α je reálné číslo. Pak operátor ˆB = α ˆA je hermitovský.
c) Nechť ˆO1 a ˆO2 jsou dva hermitovské operátory, jež komutují, tj. ˆO1
ˆO2 = ˆO2
ˆO1. Potom
operátor ˆO = ˆO1
ˆO2 je rovněž hermitovský.
O všech hermitovských operátorech používaných v kvantové mechanice se předpokládá, že
systém všech vlastních funkcí každého operátoru tvoří úplný systém funkcí. Úplnost systému
vlastních funkcí znamená, že libovolnou funkci ψ ∈ F můžeme vyjádřit ve tvaru řady tvořené
vlastními funkcemi u(i)
n ∈ F takového operátoru:
ψ =
n
gn
i=1
c(i)
n u(i)
n (4.56)
Koeficienty c(i)
n v tomto rozkladu určíme jednoduše9
), využijeme-li ortonormovanost systému
funkcí u(i)
n . Vynásobíme-li rovnici (4.56) funkcí u(j)∗
m a integrujeme přes celou definiční oblast
proměnných. Jinými slovy vypočtěme skalární součin levé i pravé strany (4.56) s funkcí u(j)
m .
Dostaneme
u(j)
m , ψ =
n
gn
i=1
u(j)
m , u(i)
n =
n
gn
i=1
c(i)
n δnmδij = c(j)
m , (4.57)
přičemž jsme použili vztah (4.55) a předpokládali jsme, že můžeme zaměnit pořadí sumy
a integrálu10
). Dostali jsme tedy
c(j)
m = u(j)
m , ψ = u(j)∗
m ψdτ . (4.58)
Zatímco v případě diskrétního spektra jsou vlastní funkce hermitovského operátoru kvadraticky
integrovatelné, v případě spojitého spektra vlastní funkce obvyklým způsobem normovat
nemůžeme, neboť integrál
∞
−∞
|u(r; k)|
2
d3
r (4.59)
diverguje. Divergence tohoto integrálu souvisí s tím, že funkce u(r; k) se neblíží v nekonečnu
k nule11
). Výše uvedená tvrzení o hermitovských operátorech platí i pro spojité spektrum.
Vlastnosti ortogonálnosti vlastních funkcí spojitého spektra lze nejsnadněji vyjádřit pomocí
tzv. Diracovy delta funkce. S pomocí této funkce lze pak také normovat vlastní funkce spojitého
spektra. Výklad tohoto formalismu však přesahuje rámec této přednášky, a proto zájemce
odkazujeme na literaturu ([5], [6], [7], [8], [9], [10]).
4.3. Postuláty kvantové mechaniky
Formální stavbu kvantové mechaniky shrneme do pěti postulátů, z nichž se vychází při řešení
kvantově-mechanických úloh a následné fyzikální interpretaci těchto řešení. Podotkněme, že
9) Víceméně.
10) V případě, že řada (4.56) je nekonečná, není možnost provést tuto záměnu vůbec zřejmá.
11) Příkladem takové funkce je de Broglieho vlna exp[ipr/¯h].
94 «« »»
4.3. Postuláty kvantové mechaniky
některé z postulátů byly již uvedeny (i když třeba jen implicitně a pouze kvalitativně) a diskutovány
v předchozích kapitolách. Postuláty, které zde uvedeme, nepředstavují nejobecnější soubor
postulátů, z nichž lze kvantovou mechaniku vybudovat. Jsou ale voleny tak, aby byly co nejjednodušší
a nejnázornější. Z tohoto důvodu jsou postuláty 4.3.1 až 4.3.4 vysloveny pro systém
tvořený jen jednou částicí. Slova částice a systém budeme používat jako synonyma. O problematice
více částic projednává kapitola 7, kde je také uveden pátý postulát o nerozlišitelnosti
stejných částic (strana 134, odstavec 7.1.2).
4.3.1. Popis stavu soustavy (částice)
Jak jsme již konstatovali dříve, kvantová mechanika se musí obejít bez pojmu trajektorie. Stav
kvantověmechanické částice není zadán její polohou a rychlostí, ale komplexní funkcí reálných
proměnných:
Postulát 1
Veškerá informace o stavu kvantověmechanické částice v čase t0 je obsažena ve vlnové funkci
ψ(x, y, z; t0) z lineárního prostoru funkcí F. Čtverec absolutní hodnoty této funkce udává hustotu
pravděpodobnosti výskytu částice v místě (x, y, z) v daném čase t0 :
w(x, y, z; t0) = |ψ(x, y, z; t0)|
2
. (4.60)
Jelikož pravděpodobnosti nezávislých jevů se sčítají, pravděpodobnost výskytu částice v objemu
V v daném čase t0 je dána vztahem
P(V ; t0) =
V
|ψ(x, y, z; t0)|
2
dV . (4.61)
Splývá-li oblast V v (4.61) s celým prostorem, je tato pravděpodobnost rovna jistotě, takže
∞
−∞
|ψ(x, y, z; t0)|
2
dV = 1 . (4.62)
Říkáme, že vlnová funkce ψ(r, t) je normována k jedničce; aby to bylo vůbec proveditelné,
vlnová funkce musí být kbvadraticky integrabilní. Nutnou podmínkou je tedy její konvergence
(pro |r| → ∞ se blížila k nule). Častý je i případ (viz rozptylové stavy), kdy je vlnová funkce
všude omezená, ale pro |r| → ∞ se k nule neblíží, a nelze ji tudíž normovat podle rovnice
(4.62). V tomto případě se užívá formalismu normování k tzv. Diracově delta funkci - viz také
poznámky v odstavcích 2.3.2 (na straně 18) případně 4.2 (strana 94).
Z předpokladu, že prostor F vlnových funkcí je lineární prostor, plyne princip superpozice
stavů. Tedy, jsou-li ψ1(r, t0) a ψ2(r, t0) dvě vlnové funkce popisující dva možné fyzikální stavy
částice, pak také vlnová funkce
ψ(r, t0) = c1ψ1(r, t0) + c2ψ2(r, t0) , (4.63)
kde c1 a c2 jsou komplexní čísla, představuje možný fyzikální stav téže částice.
Konečně nesmíme zapomínat, že vlnová funkce musí splňovat tzv. standardní podmínky12
).
Proto prostor F vlnových funkcí je tvořen pouze funkcemi, jež jsou na celém svém definičním
oboru
• spojité se všemi svými prvními derivacemi
12) Tyto jsou uvedeny na stranách 19, 32.
«« »» 95
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky
• jednoznačné
• omezené.
4.3.2. Měřitelné fyzikální veličiny a operátory
Stav částice je v kvantové mechanice popsán vlnovou funkcí z prostoru F. Fyzikální veličiny
jsou pak reprezentovány operátory, které v tomto prostoru působí. To je obsahem druhého
postulátu:
Postulát 2
Každé měřitelné fyzikální veličině A je přiřazen lineární hermitovský operátor ˆA, jehož vlastní
funkce tvoří úplný systém.
Vlastní hodnoty α tohoto operátoru ˆA jsou jediné hodnoty, jichž může veličina A nabýt
(a které můžeme také naměřit)
Poznámky:
a) Operátory přiřazené v kvantové mechanice měřitelným fyzikálním veličinám musí být lineární
proto, že působením lineárních operátorů se nenarušuje princip superpozice stavů,
požadovaný postulátem 4.3.1.
b) Protože výsledkem měření může být jen reálné číslo, museli jsme se omezit na takové lineární
operátory, jejichž vlastní hodnoty jsou reálné; tuto vlastnost mají právě hermitovské
operátory.
c) Nutnost požadavku úplnosti systému vlastních funkcí operátoru, který reprezentuje měřitelnou
fyzikální veličinu, se ozřejmí v diskusi postulátu 4.3.3 o střední hodnotě.
Konkrétní přiřazení operátorů jednotlivým fyzikálním veličinám definovaným v klasické mechanice
je dán tímto návodem:
a) V tzv. souřadnicové reprezentaci kartézské souřadnici x odpovídá operátor ˆx definovaný
vztahem13
)
ˆxψ(x, y, z) = xψ(x, y, z) (4.64)
což symbolicky zapisujeme
ˆx = x , (4.65)
a x−ové složce hybnosti px odpovídá operátor ˆpx definovaný vztahem
ˆpxψ(x, y, z) = −i¯h
∂
∂x
ψ(x, y, z) , (4.66)
což symbolicky zapisujeme
ˆpx = −i¯h
∂
∂x
, (4.67)
a analogicky pro složky y a z:
ˆy = y , ˆpy = −i¯h
∂
∂y
, (4.68)
13) Vlnová funkce závisí stále na čase, ale jelikož v postulátu 4.3.2 a 4.3.3 jde o daný časový moment t0, argument t pro
jednoduchost nevypisujeme.
96 «« »»
4.3. Postuláty kvantové mechaniky
ˆz = z , ˆpz = −i¯h
∂
∂z
, (4.69)
b) operátor ˆA reprezentující klasicky definovanou veličinu
A = A(x, y, z, px, py, pz) (4.70)
se získá tak, že za souřadnice x, y, z a složky hybnosti px, py, pz se do výrazu pro A (rovnice
(4.70) dosadí odpovídající operátory ˆx, ˆy, ˆx a ˆpx, ˆpy, ˆpz podle rovnic (4.65 - 4.69).
Jsou však i veličiny, které nemají klasickou analodii. Potom je třeba definovat přímo operátor
tak, aby výsledky získané s jeho pomocí byly v souladu s experimentem. Na příkladu spinu to
uvidíme v kapitole 6.
Pro další studium je důležité uvědomit si, že operátory souřadnice a hybnosti splňují komutační
relace
[ˆqi, ˆqj] = 0 , [ˆpi, ˆpj] = 0 , [ˆqi, ˆpj] = i¯hδij , (4.71)
kde i, j = x, y, z, a ˆqx ≡ ˆx, ˆqy ≡ ˆy, ˆqz ≡ ˆz.
Dále uvedeme operátory zobrazující nejdůležitější fyzikální veličiny. Uvážíme-li tvrzení
o součtu a součinu hermitovských operátorů (viz odstavec 4.1, snadno se přesvědčíme o tom, že
všechny níže uvedené operátory vytvořené z hermitovských operátorů souřadnice a hybnosti13
)
jsou rovněž hermitovské.
i) Operátor kinetické energie ˆT
T =
1
2m
p2
x + p2
y + p2
z −→ ˆT =
1
2m
ˆp2
x + ˆp2
y + ˆp2
z (4.72)
Dosadíme-li sem za ˆpx, ˆpy, ˆpz z (4.67 - 4.69), dostaneme
ˆT = −
¯h2
2m
∂
∂x2
+
∂
∂y2
+
∂
∂z2
= −
¯h2
2m
∆ , (4.73)
kde ∆ je Laplaceův operátor.
ii) Operátor potenciální energie ˆV
V = V (x, y, z) −→ ˆV = V (ˆx, ˆy, ˆz) (4.74)
Dosadíme-li sem obdobdně z rovnic (4.65, 4.68 a 4.69), dostaneme
ˆV = V (x, y, z) , (4.75)
tj. operátor potenciální energie je přímo roven funkci V(x,y,z).
iii) Operátor (celkové) energie = hamiltonián ˆH
E = T + V −→ ˆH = ˆT + ˆV (4.76)
Dosadíme-li sem z rovnic 4.73 a 4.75), dostaneme
ˆH = −
¯h2
2m
∆ + V (r) . (4.77)
13) Důkaz toho, že operátory souřadnice a hybnosti jsou hermitovské, je proveden v Dodatku (strana 148).
«« »» 97
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky
Celková energie vyjádřená jako funkce hybnosti a souřadnic se v klasické mechanice nazývá
Hamiltonovou funkcí H(p, r) = E. Proto se operátor ˆH nazývá v kvantové mechanice také
Hamiltonův operátor, případně kratčeji hamiltonián.
iv) Operátor momentu hybnosti ˆL
L = r x p −→
ˆ
L = ˆr x ˆp (4.78)
anebo ve složkách
Lx = ypz − zpy −→ ˆLx = ˆyˆpz − ˆzˆpy (4.79)
Ly = z px − xpz −→ ˆLy = ˆzˆpx − ˆxˆpz (4.80)
Lz = xpy − ypx −→ ˆLz = ˆxˆpy − ˆyˆpx (4.81)
Dosadíme-li sem za ˆx, ˆy, ˆz a ˆpx, ˆpy, ˆpz podle (4.65 - 4.69), dostaneme
ˆLx = −i¯h y
∂
∂z
− z
∂
∂y
, (4.82)
ˆLy = −i¯h z
∂
∂x
− x
∂
∂z
, (4.83)
ˆLz = −i¯h x
∂
∂y
− y
∂
∂x
, (4.84)
Blíže si nyní povšimněme dvou měřitelných14
) - a) energie - b) hybnosti
a) Možné hodnoty energie E částice v daném potenciálovém poli V (r) jsou dány vlastními
hodnotami hamiltoniánu ˆH. Dosadíme-li do rovnice
ˆHϕ = Eϕ (4.85)
za hamiltonián ˆH ze vztahu (4.77), dostaneme
−
¯h2
2m
∆ + V (r) ϕ(r) = Eϕ(r) (4.86)
neboli
−
¯h2
2m
∆ϕ(r) + V (r)ϕ(r) = Eϕ(r) (4.87)
což je nám ze strany 32 dobře známá stacionární Schr¨odingerova rovnice. Vidíme, že řešit
tuto stacionární Schr¨odingerovu rovnici znamená hledat vlastní hodnoty a vlastní funkce
hamiltoniánu. Tento problém jsme již mnohokrát řešili v kapitole 3. Tam jsme viděli, že
spektrum operátoru ˆH může být jak spojité, tak diskrétní (v případě vázaných stavů).
Energie v kvantové mechanice může být tedy kvantována.
b) Možné hodnoty x−ové složky hybnosti px částice najdeme řešením rovice
ˆpxϕ(x) = pxϕ(x) , (4.88)
14) Více se o pojmu současně měřitelné veličiny dozvíme v odstavci 4.3.5.
98 «« »»
4.3. Postuláty kvantové mechaniky
kde px jsou vlastní hodnoty operátoru ˆpx. Dosadíme-li do této rovnice za operátor ˆpx z rovnice
(4.67), dostaneme diferenciální rovnici
−i
d
dx
ϕ(x) = pxϕ(x) . (4.89)
Jejím řešením jsou funkce
ϕpx
(x) = A exp
ipxx
¯h
, (4.90)
kde A nezávisí na x (může však obecně záviset na y, z).
Je zřejmé, že ať je px jakékoli, funkce (4.90) se nebude pro |x| → ∞ nikdy blížit k nule,
a není tudíž kvadraticky integrabilní. Tato funkce je příkladem funkce, která nesplňuje normalizační
podmínku (4.62). Tuto podmínku je v tomto případě nutné nahradit normalizací
k tzv. Diracově delta funkci, o níž jsme se již zmínili. Funkce (4.90) však i vtomto případě
musí být všude omezená, z čehož plyne, že px musí být reálné (v opačném případě by
funkce (4.90) divergovala buď pro x → ∞, nebo pro x → −∞). Na druhé straně dospíváme
k názoru, že každé reálné číslo px je vlastní hodnota operátoru ˆpx, a tudíž z toho plyne, že
hybnost není v kvantové mechanice kvantována.
4.3.3. Střední hodnota
Postulát 3
Mějme systém popsaný normalizovanou vlnovou funkcí ψ a měřme na něm veličinu A.
Potom pro střední hodnotu této veličiny A ve stavu ψ platí
A = ψ, ˆAψ = ψ∗ ˆAψdτ , (4.91)
kde ˆA je operátor reprezentující veličinu A.
Jak jsme se již zmínili v souvislosti s postulátem 1 v odst. 4.3.1, je informace o kvantovém
systému pouze statistická a měření je nutné chápat jako měření na velkém počtu (N → ∞)
navzájem nezávislých identických systémech, z nichž každý je popsán touž vlnovou funkcí
ψ. Podle postulátu 2 v odst. 4.3.2 pak při každém měření veličiny A obdržíme některou
z vlastních hodnot αn operátoru ˆA (pro jednoduchost předpokládáme, že operátor ˆA má
diskrétní spektrum). Jestliže z celkového počtu N měření nalezneme hodnotu αn celkem
Nn−kráte, pak střední hodnota A ze všech měření je rovna
A = lim
N→∞
n
αn
Nn
N
=
n
lim
N→∞
αn
Nn
N
=
n
αnPn , (4.92)
kde
Pn = lim
N→∞
Nn
N
(4.93)
je pravděpodobnost, že u systému ve stavu ψ naměříme při měření veličiny A hodnotu αn.
Podle postulátu 4.3.3 můžeme experimentálně stanovenou veličinu A vypočítat z vlnové
funkce ψ podle předpisu (4.91). Ukážeme si, jak souvisí vztah (4.91) se vztahem (4.92).
«« »» 99
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky
Vztah (4.91) můžeme upravit do tvaru (4.92), rozložíme-li funkci ψ podle vlastních funkcí
operátoru ˆA - tedy u(i)
n (ty tvoří podle postulátu 2 odst. 4.3.2 úplný systém),
ψ =
n
gn
i=1
c(i)
n u(i)
n , (4.94)
kde
c(i)
n = u(i)
n , ψ , (4.95)
a dosadíme-li tento rozvoj do (4.91). Pak dostaneme
A = ψ, ˆAψ =
n
αn
gn
i=1
u(i)
n , ψ
2
. (4.96)
Důkaz:
A = ψ, ˆAψ =
n
gn
i=1
c(i)
n u(i)
n , ˆA
m
gm
j=1
c(j)
m u(j)
m = (4.97)
=
n
gn
i=1
c(i)
n u(i)
n ,
m
gm
j=1
c(j)
m
ˆAu(j)
m = viz pozn. (a) = (4.98)
n
gn
i=1
c(i)
n u(i)
n ,
m
gm
j=1
c(j)
m αmu(j)
m = viz pozn. (b) (4.99)
= viz pozn. (b)
n m
gn
i=1
gm
j=1
c(i)∗
n c(j)
m αm u(i)
n , u(j)
m = viz pozn. (c) (4.100)
= viz pozn. (c)
n m
gn
i=1
gm
j=1
c(i)∗
n c(j)
m αmδnmδij =
n
gn
i=1
c(i)∗
n c(i)
n αn = (4.101)
=
n
αn
gn
i=1
c(i)
n
2
= viz pozn. (d) =
n
αn
gn
i=1
u(i)
n , ψ
2
. (4.102)
Zde jsme použili:
(a) Skutečnost, že u(j)
m je vlastní funkce operátoru ˆA příslušející gm−násobně degenerované
vlastní hodnotě αn;
(b) vlastností skalárního součinu vyjádřené vztahy (4.6, 4.7)
(c) ortonormálnost souboru vlastních funkcí u(i)
n - viz rovnice (4.55);
(d) vztah (4.58);
Srovnáním (4.67 a (4.69) nacházíme důležitý výsledek:
Pn =
gn
i=1
c(i)
n
2
=
gn
i=1
u(i)
n , ψ
2
. (4.103)
Z postulátu 4.3.3 plyne tento důsledek15
):
15) Tento důsledek postulátu 4.3.3 lze zobecnit i na případ operátoru se spojitým spektrem (např. ˆpx).
100 «« »»
4.3. Postuláty kvantové mechaniky
Je-li systém popsán normalizovanou funkcí ψ, pak pravděpodobnost Pn, že při měření
veličiny A nalezneme hodnotu αn, je rovna
Pn =
gn
i=1
u(i)
n , ψ
2
, (4.104)
kde u(1)
n , . . . , u(gn)
n je ortonormální soubor všech vlastních funkcí operátoru ˆA, které přísluší
gn−násobně degenerované vlastní hodnotě αn, tj.
ˆAu(i)
n = αnu(i)
n , i = 1, 2, 3, . . . , gn. (4.105)
Odtud plyne fyzikální význam vlastních funkcí operátoru ˆA :
Vlastní funkce u(i)
n operátoru ˆA popisuje stav, kdy při měření veličiny A nalezneme právě
hodnotu αn.
4.3.4. Časový vývoj stavu
Dosud uvedené postuláty nedávají žádnou informaci o vývoji stavu systému v čase.
Abychom získali dynamickou teorii, je nutné připojit další postulát:
Postulát 4
Časový vývoj stavu vlnové funkce ψ(r.t) je určen Schr¨odingerovou rovnicí
i¯h
∂ψ(r, t)
∂t
= ˆHψ(r, t) . (4.106)
kde ˆH je operátor energie, neboli hamiltonián systému16
).
Rovnice (4.106) obsahuje první derivaci podle času, a proto, abychom předpověděli stav
částice v čase t, musíme znát stav částice v nějakém čase t0, tj. musíme zadat počáteční
podmínku ψ(r, t0) = ϕ(r) .
V případě, že hamiltonián nezávisí na čase, lze řešení Schr¨odingerovy rovnice (4.106)
hledat ve tvaru (viz strana 31))
ψ(r, t) = f(t)ϕ(r) . (4.107)
Dosadíme-li (4.107) do Schr¨odingerovy rovnice (4.106), po úpravě dostaneme
1
f(t)
i¯h
df(t)
dt
=
1
ϕ(r)
ˆHϕ(r) . (4.108)
Ježto levá strana této rovnice je funkcí t a pravá strana funkcí x, y, z, může tqto rovnice
platit jen tehdy, jsou-li obě její strany rovny téže konstantě, kterou označme E. Dostáváme
i¯h
df(t)
dt
= Ef(t) , (4.109)
ˆHϕE(r) = EϕE(r) . (4.110)
Rovnice (4.109) má řešení
f(t) = exp −
iEt
¯h
. (4.111)
16) Přestaňte už, prosím, říkat tomu hamiltoniánu κ.
«« »» 101
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky
Rovnici (4.110) pro vlastní hodnoty a vlastní funkce hamiltoniánu známe jako stacionární
Schr¨odingerovu rovnici. Podle postulátu2 v odst. 4.3.2 má konstanta E význam energie.
Stav popsaný funkcí (4.107)
ψE(r, t) = exp
−i
¯hEt
ϕE(r) (4.112)
s ostrou hodnotou energie se nazývá stacionární stav. Toto pojmenování odráží skutečnost,
že střední hodnoty fyzikálních veličin (které samy nezávisejí na čase) jsou ve stavu (4.112)
nezávislé na čase. Skutečně:
A stac = ψE(r, t), ˆAψE(r, t) = ψ∗
E(r, t) ˆAψE(r, t)d3
r = (4.113)
= exp
iEt
¯h
ϕ∗
E(r) ˆA exp
−iEt
¯h
ϕE(r)d3
r = (4.114)
= ϕ∗
E(r) ˆAϕE(r)d3
r = ϕE(r), ˆAϕE(r) , (4.115)
a tedy A stac nezávisí na čase. Speciálně ani hustota pravděpodobnosti výskytu částice ve
stacionárním stavu, tj.
|ψE(r, t)|
2
= |ϕE(r)|
2
, (4.116)
nezávisí na čase.
4.3.5. Současně měřitelné veličiny a úplný soubor kvantových čísel
Podle důsledku postulátu 3 v odst. 4.3.3 víme, že shoduje-li se vlnová funkce některého
stavu částice s vlastní funkcí operátoru ˆA, reprezentující fyzikální veličinu A, má v tomto
stavu veličina A ostrou hodnotu rovnu příslušné vlastní hodnotě operátoru ˆA. Je zřejmé,
že je-li vlnová funkce ψ některého stavu současně vlastní funkcí několika operátorů, mají
v tomto stavu ostré hodnoty všechny fyzikální veličiny přiřazené těmto operátorům. Má-li ve
stavu ψ několik fyzikálních veličin ostré hodnoty, je principiálně možné také současně změřit
ostré hodnoty všech těchto veličin, a takové veličiny proto nazýváme současně měřitelné
veličiny.
Současná měřitelnost dvou anebo více fyzikálních veličin není tedy (jak vidíme) v kvantové
mechanice samozřejmá. K tomu, aby dvě fyzikální veličiny A a B byly současně měřitelné,
je nutné, aby operátory ˆA a ˆB je reprezentující měly úplný společný systém vlastních
funkcí. Lze dokázat17
), že tuto vlastnost mají pouze jen komutativní operátory; aby operátory
ˆA a ˆB měly společný úplný systém vlastních funkcí, musí platit
ˆA ˆB = ˆB ˆA (4.117)
Dvě fyzikální veličiny, které jsou reprezentovány komutativními operátory, mohou být
principiálně současně změřeny (a takové veličiny nazýváme současně měřitelnými veličinami).
Dvě fyzikální veličiny, reprezentované nekomutativními operátory, nemohou být současně
změřeny. Měření jedné veličiny mění stav systému tak, že hodnota druhé veličiny se
stává neurčitou.
17) Viz dodatek 8.4.4 na straně 147.
102 «« »»
4.3. Postuláty kvantové mechaniky
Příkladem dvojice fyzikálních veličin, které nejsou současně měřitelné, je souřadnice x
a x−ová složka hybnosti Px. Podle vztahu (4.71) víme, že operátory reprezentující tyto veličiny
nekomutují. Pro dvojici nekomutativních operátorů můžeme vždy odvodit Heisenbergovu
relaci neurčitosti, speciálně pro operátory ˆx a ˆpx platí (srovnej se stranou 24)
∆px∆x ≥
¯h
2
. (4.118)
Na druhé straně operátory ˆpx, ˆpy, ˆpz po dvou komutují, a proto veličiny px, py, pz jsou
v principu současně měřitelné.
Jak jsme právě viděli, nemohou mít v kvantových systémech všechny fyzikální veličiny
současně ostrou hodnotu. Proto se v kvantové mechanice stav systému charakterizuje hodnotami
všech nezávislých fyzyikálních veličin, které mohou mít současně ostrou hodnotu.
Jinými slovy, v kvantové mechanice je stav systému jednoznačně určen hodnotami všech nezávislých
fyzikálních veličin, jejichž operátory navzájem komutují. To znamená, že pro daný
systém musíme vždy najít všechny nezávislé po dvou komutující operátory. Vlastní hodnoty
těchto operátorů a jim příslušná vlastní funkce pak rozlišují jednotlivé stavy systému.
Ukážeme si to na příkladu volné částice pohybující se v trojrozměrném prostoru. V tomto
případě lze vybrat tyto tři nezávislé navzájem komutující operátory
ˆpx, ˆpy, ˆpz . (4.119)
Stav volné částice je proto jednoznačně určen určen vlnovou funkcí, která je společnou
vlastní funkcí operátorů ˆpx, ˆpy, ˆpz, tj.
ˆpxψ = pxψ , ˆpyψ = pyψ , ˆpzψ = pzψ . (4.120)
Těmto třem rovnicím vyhovuje de Broglieho vlna
ψpxpypz
(r) = C exp
i
¯h
(pxx + pyy + pzz) . (4.121)
Trojici indexů px, py, pz u vlnové funkce (4.121), označující odpovídající vlastní hodnoty operátorů
ˆpx, ˆpy, ˆpz, pak nazýváme úplným souborem kvantových čísel. Vlnová funkce (4.121)
tedy popisuje stav částice s ostrou hodnotou hybnosti p.
Pro volnou částici je hamiltonián roven
ˆH = ˆT =
ˆp2
x + ˆp2
y + ˆp2
z
2m
. (4.122)
Poněvadž zřejmě platí
ˆT, ˆpx = ˆT, ˆpy = ˆT, ˆpz = 0 , (4.123)
je funkce (4.121) rovněž vlastní funkcí hamiltoniánu (4.122) (můžeme se o tom přesvědčit18
)
výpočtem19
). V tomto případě mají v témže stavu ostrou hodnotu jak tři složky hybnosti,
tak energie částice. Ta však již závisí na hybnosti částice:
E =
p2
x + p2
y + p2
z
2m
, (4.124)
poněvadž operátor kinetické energie ˆT je sám funkcí operátorů ˆp2
x, ˆp2
y, ˆp2
z.
18) Lehce?
19) Snadným?
«« »» 103
4. Úvod do formalismu kvantové mechaniky
Všimněme si toho, že pro částici pohybující se v potenciálovém poli V (x, y, z) nemohou
mít energie a hybnost nikdy současně ostré hodnoty. V tomto případě
ˆpj, ˆH = 0 , j = x, y, z , (4.125)
poněvadž zřejmě [ˆpj, V (x, y, z)] = 0. Z toho také plyne, že celkovou energii částice E nelze
rozdělit na část odpovídající její kinetické energii a na část odpovídající její potenciální
energii, jak jsme na to zvyklí v klasické mechanice.
V případě elektronu v atomu vodíku (viz odstavec 5.2.1) uvidíme, že existují 3 veličiny
(bez spinu), které lze u elektronu současně měřit: energie E, čtverec momentu hybnosti L2
a průmět Lz tohoto momentu hybnosti do osy z. Odpovídající operátory ˆH, ˆL2
a ˆLz skutečně
komutují a jejich vlastní hodnoty (En, ¯h2
l(l + 1), m¯h) plně určují společnou vlastní funkci
ϕnlm(r), která popisuje stav elektronu v atomu vodíku. Úplným souborem kvantových čísel
je v tomto případě trojice (n, l, m).
104 «« »»
5 Pohyb v centrálním poli
5.1. Moment hybnosti
Budeme se nyní zabývat kvantovou teorií momentu hybnosti jako nutným úvodem do
pojednání o atomu vodíku
5.1.1. Operátory momentu hybnosti
Podle vztahů (4.82–4.84) jsou jednolivým složkám momentu hybnosti přiřazeny operátory
ˆLx = ˆyˆpz − ˆzˆpy = −i¯h y
∂
∂z
− z
∂
∂y
, (5.1)
ˆLy = ˆzˆpx − ˆxˆpz = −i¯h z
∂
∂x
− x
∂
∂z
, (5.2)
ˆLz = ˆxˆpy − ˆyˆpx = −i¯h x
∂
∂y
− y
∂
∂x
, (5.3)
Dříve, než přistoupíme ke zkoumání přípustných hodnot momentu hybnosti v kvantové
mechanice, najdeme komutační relace pro operátory ˆLx, ˆLy, ˆLz. Použili jsme k tomu komutačních
relací (4.71) pro operátory souřadnice a složek hybnosti:
[ˆqi, ˆqj] = 0 , [ˆpi, ˆpj] = 0 , [ˆqi, ˆpj] = i¯hδij , (5.4)
přičemž ostatní komutátory ze složek ˆx, ˆy, ˆz a ˆpx, ˆpy, ˆpz jsou rovny nule. Nyní snadno vypočteme
komutátor ˆLx, ˆLy :
ˆLx, ˆLy = ˆLx
ˆLy − ˆLy
ˆLx = (ˆyˆpz − ˆzˆpz) − (5.5)
− (ˆzˆpx − ˆxˆpz) − (ˆyˆpz − ˆzˆpy) = (5.6)
= ˆyˆpz ˆzˆpx − ˆyˆpz ˆzˆpy ˆzˆpy ˆzˆpx + ˆzˆpy ˆxˆpz− (5.7)
− (ˆzˆpx ˆyˆpz − ˆzˆpx ˆzˆpy − ˆxˆpz ˆzˆpz) = (5.8)
= ˆyˆpx (ˆpz ˆz − ˆzˆpz) − ˆxˆpy (ˆpz ˆz − ˆzˆpz) = (5.9)
= ˆyˆpx [ˆpz ˆz] − ˆxˆpy [(ˆpz ˆz]) = −i¯hˆyˆpx + i¯hˆxˆpy = (5.10)
= i¯h (ˆxˆpy − ˆyˆpx) = i¯hˆLz . (5.11)
Obdobným způsobem spočteme ˆLy, ˆLz a ˆLz, ˆLx , takže v souhrnu
ˆLx, ˆLy = i¯hˆLz , (5.12)
ˆLy, ˆLz = i¯hˆLx , (5.13)
«« »» 105
5. Pohyb v centrálním poli
ˆLz, ˆLx = i¯hˆLy . (5.14)
Operátory složek momentu hybnosti mezi sebou nekomutují, avšak libovolná složka operátoru
momentu hybnosti komutuje s operátorem čtverce momentu hybnosti ˆL2
, jenž je
charakterizován takto:
ˆL2
= ˆL2
x + ˆL2
y + ˆL2
z . (5.15)
Důkaz:
ˆL2
, ˆLx = ˆL2 ˆLx − ˆLx
ˆL2
= (5.16)
= ˆL2
x + ˆL2
y + ˆL2
z
ˆLx − ˆLx
ˆL2
x + ˆL2
y + ˆL2
z = (5.17)
ˆL3
x + ˆL2
y
ˆLx + ˆL2
z
ˆLx − ˆL3
x + ˆLx
ˆL2
y + ˆLx
ˆL2
z = (5.18)
= ˆL2
y
ˆLx − ˆLy
ˆLx
ˆLy − ˆLy
ˆLx
ˆLy − ˆLx
ˆL2
y + ˆL2
z
ˆLx − ˆLz
ˆLx
ˆLz − ˆLz
ˆLx
ˆLz − ˆLx
ˆL2
z = (5.19)
= ˆLy
ˆLy
ˆLx − ˆLz − ˆLx
ˆLy + ˆLy
ˆLx − ˆLx − ˆLy
ˆLy + ˆLz
ˆLz
ˆLx − ˆLx − ˆLx
ˆLz + ˆLz
ˆLx − ˆLx − ˆLz
ˆLz =(5.20)
= ˆLy
ˆLy, ˆLx + ˆLy, ˆLx
ˆLy + ˆLz
ˆLz, ˆLx + ˆLz, ˆLx
ˆLz = (5.21)
= ˆLy −i¯hˆLz + −i¯hˆLz
ˆLy + ˆLz i¯hˆLy + ˆLy (i¯h) ˆLz = (5.22)
= −i¯h ˆLy
ˆLz + ˆLz
ˆLy − ˆLz
ˆLy − ˆLy
ˆLz = 0 . (5.23)
Stejně spočítáme komutátory ˆL2
, ˆLy a ˆL2
, ˆLz .
Shrneme:
ˆL2
, ˆLx = ˆL2
, ˆLy = ˆL2
, ˆLz = 0 . (5.24)
Z komutačních relací (5.12 - 5.14) je zřejmé, že u kvantové částice není možné současně
přesně určit všechny složky vektoru L, tj přesně stanovit velikost i směr vektoru L. Jak
plyne ze vztahu (5.24), současně měřitelný je pouze čtverec velikosti vektoru L a jedna
z jeho složek.
Při studiu operátorů momentu hybnosti není výhodné pracovat s kartézskými souřadnicemi,
ale se souřadnicemi sférickými r, θ, φ, jejichž vztah ke kartézským souřadnicím x, y, z
je dán rovnicemi
x = r sin θ cos ϕ ,
y = r sin θ sin ϕ , (5.25)
z = r cos θ ,
kde r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Transformační vztahy (5.25) se dají snadno odvodit
z obr. 5.1.
Při přechodu ke sférickým souřadnicím (např. při výpočtu integrálů udávájících hustotu
pravděpodobnosti výskytu částice popsané vlnovou funkcí, jež je vyjádřená ve sférických
souřadnicích) nesmíme zapomínat, že objemový element dτ = dxdydz se transformuje v
dτ = r2
sin θdrdθdϕ = r2
drdΩ , (5.26)
106 «« »»
5.1. Moment hybnosti
x
y
z
φ
θ
P
Obr. 5.1 Poloha bodu P je určena buď kartézskými souřadnicemi (x, y, z), nebo sférickými souřadnicemi
(r, θ, ϕ); svázány jsou transormačními vztahy (5.25)
kde dΩ = r2
sin θdrdθdϕ je element prostorového úhlu ve směru určeném úhly θ, ϕ.
Poloha bodu P je určena buď kartézskými souřadnicemi (x, y, z), nebo sférickými souřadnicemi
(r, θ, ϕ); svázány jsou transormačními vztahy (5.25)
S pomocí transormačních rovnic (5.25) vyjádříme parciální derivace v pravoúhlých souřadnicích
pomocí derivací ve sférických souřadnicích. Dostaneme tak vyjádření operátorů
ˆLx, ˆLy, ˆLz a ˆL2
ve sférických souřadnicích1
):
ˆLx = i¯h sin ϕ
∂
∂θ
+ cotg θ cos ϕ
∂
∂ϕ
, (5.27)
ˆLy = i¯h − cos ϕ
∂
∂θ
+ cotg θ cos ϕ
∂
∂ϕ
, (5.28)
ˆLz = −i¯h
∂
∂ϕ
(5.29)
ˆL2
= ˆL2
x + ˆL2
y + ˆL2
z = −¯h
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin2
θ
∂2
∂ϕ2
. (5.30)
Z rovnic (5.27 - 5.29 a 5.30) je vidět, že všechny operátory vztahující se k momentu hybnosti
působí pouze na úhlové proměnné θ a ϕ a nikoliv na r. V tom tkví výhodnost použití
sférických souřadnic při zkoumání vlastností vlastních funkcí a vlastních hodnot takových
operátorů, což bude předmětem dalšího odstavce.
5.1.2. Vlastní funkce a vlastní hodnoty operátorů ˆLz a ˆL2
Zjistili jsme, že spolu se čtvercem velikosti momentu hybnosti můžeme současně přesně
určit pouze jednu z jeho složek. Protože ve sférických souřadnicích má nejjednodušší tvar
operátor ˆLz, budeme se spolu s operátorem ˆL2
zabývat z−ovou složkou momentu hybnosti
(osa z má zatím v prostoru libovolný směr).
Ježto operátory ˆLz a ˆL2
komutují, je možné najít pro ně společný soubor ortonormálních
vlastních funkcí (viz odstavec 4.3.5), které budou řešením rovnic
ˆLzg (θϕ) = Lzg (θϕ) , (5.31)
ˆL2
g (θϕ) = L2
g (θϕ) , (5.32)
1) Podrobný výpočet je proveden například v [13].
«« »» 107
5. Pohyb v centrálním poli
nebo po dosazení za ˆLz a ˆL2
dle (5.29 a (5.30)
−i¯h
∂
∂ϕ
g (θϕ) = Lzg (θϕ) , (5.33)
−¯h
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin2
θ
∂2
∂ϕ2
g (θϕ) = L2
g (θϕ) . (5.34)
Přitom nás zajímají jen ta řešení rovnic (5.33), (5.34), která splňují v celém oboru proměnných
θ, ϕ (0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π) standardní podmínky (viz strana 19).
1) Vlastní hodnoty a vlastní funkce operátoru ˆLz - řešení rovnice (5.33)
Řešení rovnice (5.33) jest:
g (θϕ) = Rf(θ) exp
iLzϕ
¯h
, (5.35)
kde R nezávisí na θ a ϕ (ale může záviset na r) a f(θ) je nějaká funkce proměnné θ.
Funkce (5.35) musí splňovat standardní podmínky. Musí být zajištěna její jednoznačnost.
Poněvadž (r, θ, ϕ) a (r, θ, ϕ + 2π) jsou souřadnice téhož bodu, bude funkce g (θϕ)
jednoznačná pouze tehdy, bude-li periodickou funkcí ϕ s periodou 2π :
g (θϕ + 2π) = g (θϕ) . (5.36)
Aplikace podmínky (5.36) na rovnici (5.35) vede k požadavku, aby
exp i
Lz
¯h
2π = 1 . (5.37)
Tato podmínka je splněna, je-li
Lz = m¯h , kde m = 0, ±1, ±2, . . . (5.38)
Průmět momentu hybnosti do určitého směru může tedy nabývat pouze celistvých násobků
veličiny ¯h, a je tedy kvantován.
2) Vlastní hodnoty a vlastní funkce operátoru ˆL2
- řešení rovnice (5.34)
Dosaďme funkci (5.35) do rovnice (5.34). Po dělení výrazem exp[imϕ] dostaneme
rovnici pro f(θ) :
1
sin θ
d
dθ
sin θ
df(θ)
dθ
+
λ − m2
sin2
θ
f(θ) = 0 , (5.39)
kde
λ =
L2
¯h2 . (5.40)
Řešit rovnici (5.39) není již jednoduché2
) a jsou k tomu nutné znalosti z teorie
speciálních funkcí. Proto zde uvedeme pouze výsledky.
Lze ukázat, že rešení rovnice (5.39), jež splňuje všechny standardní podmínky
(zejména je omezená pro všechna θ ∈ 0, π ) neexistuje pro všechna λ, ale pouze pro
λl = l (l + 1) , kde l = 0, 1, 2, . . . , (5.41)
2) Konečně se trpělivý čtenář dočkal autorů smutného doznání!
108 «« »»
5.1. Moment hybnosti
přičemž |m| ≤ l. Hledané řešení je pak
f (θ) = P
|m|
l (cos θ) , (5.42)
kde P
|m|
l (cos θ) jsou tzv. přidružené Legendrovy polynomy.
Příklady některých přidružených Legendrových polynomů jsou uvedeny v tabulce I.:
Tabulka I.
Přidružené Legendrovy polynomy P
|m|
l (Ξ) (Ξ ∈ 1, 1 a l = 0, 1a 2
Vlastní hodnoty operátoru čtverce velikosti momentu hybnosti jsou tedy rovněž kvantovány
a vzhledem k rovnicím (5.40) a (5.41) jsou rovny
L2
= ¯h2
l(l + 1) , kde l = 0, 1, 2, . . . (5.43)
Poznamenejme, že kvantování čtverce velikosti momentu hybnosti plyne z pořadavku, aby
vlnová funkce g(θ, ϕ), popisující stav s definovanou velikostí momentu hybnosti a definovaným
průmětem momentu hybnosti do osy z, byla pro všechna θ ∈ 0, π omezená.
Dosadíme-li řešení (5.42) do vztahu (5.35), dostaneme vlastní funkce operátoru ˆL2
(a také
operátoru ˆLz):
glm(θ, ϕ) = RP
|m|
l (cos θ) exp imϕ , (5.44)
kde l = 0, 1, 2, . . . a m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l .
Funkce glm(θ, ϕ) dané vztahem (5.44) jsou vlastní funkce (komutujících) hermitovských
operátorů ˆLz a ˆL2
, a proto jsou vzájemně ortogonální. Lze dále ukázat, že množina všech
glm(θ, ϕ) tvoří úplný systém funkcí v prostoru θ, ϕ.
Sférické funkce
Normalizované vlastní funkce operátorů ˆLz a ˆL2
se nazývají sférické funkce a označují se
Ylm(θ, ϕ) = NlmP
|m|
l (cos θ) exp(imϕ) , (5.45)
kde Nlm je taková normalizační konstanta, aby
2π
ϕ=0
π
θ=0
Y ∗
lm(θ, ϕ)Yl m (θ, ϕ) sin θdθdϕ = δll δmm . (5.46)
Pro ilustraci uveďme několik z prvních sférických funkcí:
Y00 =
1
√
4π
, (5.47)
Y10 =
3
4π
cos θ , Y1±1 =
3
8π
sin θ exp(±iϕ) , (5.48)
Y20 =
1
2
5
4π
3 cos2
θ − 1 , (5.49)
Y2±1 =
15
8π
sin θ cos θ exp(±iϕ) , (5.50)
Y2±2 =
15
32π
sin2
θ exp(±i2ϕ) , (5.51)
«« »» 109
5. Pohyb v centrálním poli
Shrneme dosažené výsledky:
ˆLzYlm(θ, ϕ) = m¯hYlm(θ, ϕ) , (5.52)
ˆL2
Ylm(θ, ϕ) = l(l + 1)¯h2
Ylm(θ, ϕ) , (5.53)
kde l = 0, 1, 2, . . . a |m| ≤ 1.
Z rovnice (5.53) plyne, že čtverec momentu hybnosti je kvantován a může nabývat pouze
diskrétních hodnot L2
= l(l + 1)¯h2
s l = 0, 1, 2, . . . Přitom vlastní hodnota L2
je (2l + 1)násobně
degenerovaná. Z rovnice (5.52) je vidět, že pro danou hodnotu L2
existuje 2l + 1
průmětů Lz = m¯h (m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l) odpovídajících průmětu momentu hybnosti
do osy z. Průmět momentu hybnosti do zvoleného směru nabývá tedy pouze celočíselných
násobků ¯h. Poněvadž operátor ˆLz nekomutuje s operátory ˆLx a ˆLy, o průmětu momentu
hybnosti do osy x a y nelze již nic říci, poněvadž nemají ostrou hodnotu.
Uvedené výsledky nás opravňují používat představu o prostorovém kvantování momentu
hybnosti, která je zřejmá z obr. 5.2. Skutečnost, že průmět momentu hybnosti do osy x
a y nemá ostrou hodnotu, znamená, že je pokryt vždy celý kužel orientací, což si můžeme
názorně představit tak, že vektor L koná kolem osy z precesní pohyb. Vektorový model
z obr. 5.2 vychází z názorných klasických představ a při řešení mnoha úloh (např. skládání
momentů hybnosti) může být velice užitečný.
x y
z
−2¯h
−¯h
0
¯h
2¯h
m = −2
m = −1
m = 0
m = 1
m = 2
L = ¯h l(l + 1) = ¯h
√
6
Obr. 5.2 Prostorové kvantování momentu hybnosti. Pro l = 2 existuje 5 průmětů momentu
hybnosti do osy z rovných −2¯h, −¯h, 0, ¯h, 2¯h
5.2. Atom vodíku
5.2.1. Schr¨odingerova rovnice pro atom vodíku
Potenciální energie V elektronu v atomu vodíku (obr. 5.3) závisí pouze na vzdálenosti
r od atomového jádra (o němž předpokládáme, že je nehybné, a zvolíme v něm počátek
souřadnicového systému) a je dána vztahem
V (r) = −
e2
4πε0r
. (5.54)
110 «« »»
5.2. Atom vodíku
r
V (r)
E1
E2
E3
E4
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
∼ −1/r
nekonečně mnoho diskrétních energiových hladin
En < 0, n = 1, 2, 3, . . .
spojité spektrum energií E > 0
Obr. 5.3 Coulombovská potenciální energie
V (r) = −
e2
4πε0r
elektronu v atomu vodíku a příslušné energiové spektrum
Tento potenciál zřejmě odpovídá Coulombově síle
F(r) = −grad V (r) = −
e2
4πε0r2
r
r
. (5.55)
Energiové hladiny atomu vodíku pak získáme řešením stacionární Schro¨odingerovy rovnice
ˆHϕ(r) = Eϕ(r) , (5.56)
kde ˆH ja hamiltonián elektronu v coulombovském poli (5.54):
ˆH = −
¯h2
2me
∆ −
e2
4πε0r
. (5.57)
Naším úkolem je tedy nalézt energiovéé hladiny elektronu vázaného v trojrozměrné potenciálové
jámě V (r). Z průběhu potenciálu na obr. 5.3 je zřejmé, že vázané stavy mají zápornou
energii. Proto budeme hledat pouze taková řešení rovnice (5.56), jímž přísluší E < 0.
Vzhledem k tomu, že potenciál (5.54) závisí na r, je výhodné vyjádřit také Laplaceův
operátor ∆ ve sférických souřadnicích r, θ, φ. Vyjádříme-li s pomocí transformačních rovnic
«« »» 111
5. Pohyb v centrálním poli
(5.25) parciální derivace v kartézských souřadnicích pomocí derivací ve sférických souřadnicích,
po zdlouhavém (ale snadném) počítání dostaneme
∆ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂
∂r
+
1
r2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin2
θ
∂2
∂φ2
. (5.58)
Všimněme si výrazu v hranatých závorkách, který závisí jen na úhlových proměnných θ,
φ. Tento výraz je totožný s výrazem v hranaté závorce na pravé straně rovnice (5.30)
definující operátor ˆL2
. Tedy Lapaceúv operátor (5.58) ve sférických souřadnicích můžeme
vyjádřit takto:
∆ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂
∂r
−
ˆL2
¯h2
r2
, (5.59)
kde operátor ˆL2
působí jen na úhlové prooměnné θ, φ. Použijeme-li (5.59), můžeme hamiltonián
(5.57) vyjádřit ve tvaru
ˆH = −
¯h2
2me
1
r2
∂
∂r
r2 ∂
∂r
+
ˆL2
2mer2
−
e2
4πε0r
. (5.60)
Protože operátor ˆH závisí na úhlových proměnných θ a φ pouze prostřednictvím operátoru
ˆL2
, jehož vlastní funkce jsou Ylm(θ, φ) (srovnej rovnici (5.53)), můžeme řešení stacionární
Schr¨odingerovy rovnice (5.56) hledat ve tvaru
ϕ(r) = ϕ(r, θ, φ) = R(r)Ylm(θ, φ) . (5.61)
(Jinými slovy, vztah (5.61) vyjadřuje skutečnost, že v rovnici (5.56) s hamiltoniánem (5.60)
lze provést separaci proměnných.)
Dosadíme-li funkci (5.61) do rovnice (5.56), dostaneme
−
¯h2
2me
Ylm(θ, φ)
1
r2
d
dr
r2 dR(r)
dr
+
R(r)
2mer2
ˆL2
Ylm(θ, φ) −
e2
4πε0r
R(r)Ylm(θ, φ) = ER(r)Ylm(θ, φ) .(5.62)
Protože Ylm(θ, φ) je vlastní funkcí operátoru ˆL2
, v rovnici (5.62) dosadíme za ˆL2
Ylm(θ, φ)
podle rovnice (5.53) výraz ¯h2
l(l + 1)Ylm(θ, φ) a vzniklou rovnici pak vydělíme funkcí
Ylm(θ, φ). Obdržíme tak rovnici pro radiální funkci R(r):
−
−¯h2
me
1
r2
r2 d
dr
+
l(l + 1)¯h2
2mer2
−
e2
4πε0r
REl(r) = EREl(r) . (5.63)
Indexy E a l u funkce REl(r) vyjadřují skutečnostm že tato funkce závisí jak na hodnotě
energie E, tak na kvantovém čísle l. Z rovnice (5.63) plynem že radiální funkce nezávisí na
kvantovém čísle m. Z rovnice (5.63) je rovněž vidět, že energie E bude obecně záviset na
kvantovém čísle l.
Dříve, než přistoupíme k řešení rovnice (5.63), odvodíme komutační relace pro hamiltonián
(5.60). Protože operátor ˆL2
působí jen na úhlové proměnné θ, φ musí komutovat
s každým operátorem, který působí pouze na proměnnou r. Protože samozřejmě komutuje
sám se sebou, je z (5.60) ihned vidět, že
ˆH, ˆL2
= 0 . (5.64)
112 «« »»
5.3. Moment hybnosti
Operátor ˆLz působí na proměnnou φ, přičemž, jak víme, komutuje s operátorem ˆL2
. Z toho
plyne, že operátor ˆLz komutuje s hamiltoniánem (5.60):
ˆH, ˆLz = 0 . (5.65)
Ježto operátory ˆH, ˆL2
, ˆLz vzájemně komutují, znamená to podle odstavce 4.3.5, že pro
částici pohybující se v centrálním poli (5.54) můžeme současně přesně určit energii, čtverec
momentu hybnosti a jeho průmet do osy z. Vlnová fukce (5.61) pak musí být společnou
vlastní funkcí těchto tří operátorů. Přesvědčíme se o tom:
ˆLzϕ(r, θ, φ) = REl(r)ˆLzYlm(θ, φ)
(5.52)
= REl(r)m¯hYlm(θ, φ) = m¯hϕ(r, θ, φ) , (5.66)
ˆL2
ϕ(r, θ, φ) = REl(r)ˆL2
Ylm(θ, φ)
(5.53)
= REl(r)l(l + 1)¯h2
Ylm(θ, φ) = l(l + 1)¯h2
ϕ(r, θ, φ) (5.67)
a z rovnice
ˆHϕ(r, θ, φ) = Eϕ(r, θ, φ)
vyplynula rovnice (5.63) pro radiální funkci REl(r). Vlnová funkce (5.61) popisující stav
částice v centrálním poli je tedy jednoznačně určena třemi kvantovými čísly E, l, m:
ϕElm(r, θ, φ) = RElYlm(θ, φ) . (5.68)
Vlnová funkce (5.68) musí ještě splňovat standardní podmínky, a proto musíme zajistit,
aby také funkce REl(r) byla pro všechna r ≥ 0 spojitá i se svou první derivací, jednoznačná
a omezená.
5.3. Moment hybnosti
Řešení rovnice (5.63) vyžaduje důkladnější znalost řešení diferenciálních rovnic. Proto je
nebudeme provádět a uvedeme opět jen závěry:
Rovnice (5.63) má pro E < 0 (odpovídající vázaným stavům) řešení, jež splňuje všechny
standardní podmínky2
) kladené na vlnovou funkci (zejména je omezené pro všechna r ≥ 0)
pouze tehdy, je-li energie rovna některé z hodnot
En = −
mee4
(4πε0)22¯h2
1
n2
, kden = 1, 2, 3, . . . , (5.69)
a kvantové číslo l splňuje nerovnost
0 ≤ l ≤ n − 1 . (5.70)
Energie vázaných stavů je, jak jsme očekávali, kvantována, přičemž v našem konkrétním
případě s Coulombovským potenciálem (5.54) nezávisí na kvantovém čísle l. Pro energii
E > 0, která již ale neodpovídá vázanému stavu, nedostáváme při hledání řešení rovnice
(5.63), jež by vyhovovalo standardním podmínkám, žádné omezení na hodnotu parametru
E, a proto kladné energie tvoří spojité spektrum. Stavy s kladnou energií mají význam
v teorii rozptylu a zde se jimi nebudeme zabývat. To znamená, že spektrum Hamiltonova
operátoru elektronu v atomu vodíku je v oblasti záporných hdnot diskrétní a v oblasti
kladných hodnot spojité (obr. 5.3).
2) Viz opět námi často frekventovaná strana 19.
«« »» 113
5. Pohyb v centrálním poli
Z rovnice (5.69) plyne, že hladiny energie pro atom vodíku jsou úplně určeny jediným,
tzv. hlavním kvantovým číslem
n = 1, 2, 3, . . .
Pro danou energii určenou číslem n existuje n dikrétních hodnot čtverce momentu hybnosti.
Ty jsou určeny orbitálním (nebo též vedlejším) kvantovým číslem l, pro něž podle
(5.70) platí
l = 0, 1, 2, . . . , n − 1 ,
a tedy vlastní hodnoty čtverce momentu hybnosti jsou
ˆL2
= ¯hl(l + 1) .
Stavy s hodnotami l rovnými 0, 1, 2, 3, 4, . . . jsou z historických důvodů nazývány, především
v chemii, stavy s, p, d, f, g, . . . Při daném l existuje potom ještě 2l + 1 různých hodnot
průmětu momentu hybnosti do osy z. Tento průmět je specifikován magnetickým kvantovým
číslem
m = −l, −l + 1, . . . , −1, 0, 1, . . . , l − 1, l
a je roven
Lz = m¯h
Víme, že tři (diskrétní) kvantová čísla n, l, m určují jednoznačně vlatní funkci ϕ(r, θ, φ)
elektronu v atomu vodíku (místo indexu En píšeme stručněji jen n). Protože při daném n
mohou kvantová čísla l a m nabývat několika hodnot, jsou vlastní hodnoty energie (5.69)
obecně degenerované. Nejnižší energiové hladině (n = 1) odpovídá jedna vlastní funkce ϕ000
(základní stav je vždy nedegenerovaný), následující hladině (n = 2) čtyři vlastní funkce ϕ200,
ϕ21−1, ϕ210, ϕ211 atd. Obecně n-tá energiová hladina je n2
-násobně degenerovaná, neboť
gn =
n−1
l=0
(2l + 1) = 2
(n − 1)n
2
+ n = n2
.
Připomeňme si ještě chemické znění stavů s různým l, které se kombinuje s číselným
vyjádřením hlavního kvantového čísla n:
stav 1s 2s 2p 3s 3p 3d . . .
n 1 2 2 3 3 3 . . .
l 0 0 1 0 1 2 . . .
Nyní obraťme pozornost k vlnovým funkcím. Řešení rovnice (5.63) odpovídající energii
(5.69) je rovno
Rnl(r) = Anl exp −
r
naB
2r
naB
l
L2l+1
n+1
2r
naB
, (5.71)
kde Anl je normovací konstanta, L2l+1
n+1 (ξ) jsou tzv. přidružené Laguerrovy polynomy a
aB =
4πε0¯h2
mee2
= 0,529 · 10−10
m . (5.72)
114 «« »»
5.3. Moment hybnosti
r/aB
40
0
1
2
(1,0)
r/aB4 8
12 160
0
0,4
0,8
(2,0)
(3,0)
r/aB
10
20
0
0
0,04
0,08
0,16
(2,1)
(3,1)
(3,2)
Obr. 5.4 Radiální vlnové funkce Rnl(r) pro n = 1, 2, 3 (v závorkách u křivek jsou uvedeny dvojice
(n, l)). Na ordinátu jsou vynášeny hodnoty a
3/2
B Rnl. Všimněte se, že v grafech jsou na
ordinátech různá měřítka.)
n l Rnl(r) (r ≥ 0)
1 0 2a
−3/2
B exp(−r/aB)
0 2(2aB)−3/2
[1 − r/(2aB)] exp[−r/(2aB)]
2
1 1/
√
3(2aB)−3/2
r/aB exp[−r/(2aB)]
0 2(3aB)−3/2
[1 − 2r/(3aB) + 2r2
/(27a2
B)] exp[−r/(3aB)]
3 1 8/(9
√
2)(3aB)−3/2
r/aB[1 − r/(6aB)] exp[−r/(3aB)]
2 4/(27
√
10)(3aB)−3/2
r3
/a2
B exp[−r/(3aB)]
Tab. 5.1 Radiální vlnové funkce Rnl(r) pro atom vodíku (aB je Bohrův poloměr)
je Bohrův poloměr (viz například rovnice 1.29). Radiální vlnové funkce Rnl(r) pro elektronové
slupky n = 1, 2, 3 jsou uvedeny v tabulce 5.1. Grafy těchto funkcí jsou uvedeny
v obr. 5.4.
Úplné vlnové funkce mají tvar (5.61) a spříslušnými kvantovými čísly jsou
ϕnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ) , (5.73)
kde radiální vlnové funkce Rnl(r) jsou dány vztahem (5.71) a sférické funkce Ylm(θ, φ) vztahem
(5.45). Funkce (5.68) jsou vlastní funkce hermiteovského operátoru ˆH, a jsou proto
«« »» 115
5. Pohyb v centrálním poli
vzájemně ortogonální. Pravděpodobnostní interpretace vlnové funkce vyžaduje, aby byly
normovány k jedničce. Tedy
∞
r=0
π
θ=0
2π
φ=0
|ϕnlm(r, θ, φ)|2
r2
sin θ dr dθ dφ = 1 . (5.74)
Dosadíme-li (5.68) do (5.74), dostaneme
∞
0
|Rnl(r)|2
r2
dr
podmínka (5.76)
π
0
2π
0
|Ylm(θ, φ)|2
sin θ dθ dφ
=1 podle (5.46)
= 1 . (5.75)
Poněvadž sférické funkce Ylm(θ, φ) jsou normované k jedničce (viz (5.46)), z rovnice (5.75)
plyne, že musí platit
∞
0
|Rnl(r)|2
r2
dr = 1 , (5.76)
odkud dostaneme hodnotu normovací konstanty Anl v radiální funkci (5.71).
Z rovnice (5.74) plyne, že pravděpodobnost dPnlm(r, θ, φ), že elektron je ve stavu ϕnlm
bude nalezen v infinitezimálním objemu dτ = r2
sin θ dr dθ dφ v okolí bodu určeného sférickými
souřadnicemi r, θ, φ, je rovna
dPnlm(r, θ, φ) = |ϕnlm(r, θ, φ)|2
r2
dr sin θ dθ dφ . (5.77)
Provedeme-li v (5.77) integraci přes celý interval hodnot θ a φ, dostaneme pravděpodobnost
dPnl(r), že elektron bude nalezen ve sférické vrstvě mezi r a r + dr. Dosadíme-li
do (5.77) za vlnovou funkci z (5.68), vzhledem k podmínce (5.75) dostaneme
dPnl(r) =
π
0
2π
0
dPnlm(r, θ, φ) sin θ dθ dφ r2
dr =
=
π
0
2π
0
|Ylm(θ, φ)|2
sin θ dθ dφ |Rnl(r)|r2
dr = |Rnl(r)|r2
dr = wnl(r) dr . (5.78)
Výraz
wnl(r) = |Rnl(r)|2
r2
(5.79)
udává radiální hustotu pravděpodobnosti výskytu elektronu a tato veličina je vynesena na
obr. 5.5 pro elektronové slupky n = 1, 2, 3.
Jestliže v (5.77) naopak provedeme integraci přes r od 0 do ∞, získáme pravděpodobnost
dPlm(θ, φ), že elektron bude nalezen v prostorovém úhlu dΩ = sin θ dθ dφ ve směru určeném
úhly θ, φ. Dosadíme-li do (5.77) za vlnovou funkci z (5.68), vzhledem k podmínc (5.75)
dostaneme
dPlm(θ, φ) =
∞
0
dPnlm(r, θ, φ)r2
dr dΩ =
∞
0
|Rnl(r)|2
dr |Ylm(θ, φ) dΩ =
= |Ylm(θ, φ)|2
dΩ = wlm(θ) dΩ . (5.80)
Poněvadž ve všech sférických funkcích vystupuje úhel φ jen v exponentiále exp(imφ) (viz
(5.45)), je jasné, že hustota pravděpodobnosti
wlm(θ) = |Ylm(θ, φ)|2
= |NlmP
|m|
l (cos θ]|2
| exp(imφ)|2
= |NlmP
|m|
l (cos θ]|2
(5.81)
116 «« »»
5.3. Moment hybnosti
r/aB
40
0
0,3
0,6
l = 0
n = 1
r/aB
4 8 12 160
0
0,1
0,2
l = 0
l = 1
n = 2
r/aB
10 200
0
0,07
0,14
l = 0
l = 1
l = 2
n = 3
Obr. 5.5 Radiální hustoty pravděpodobnosti výskytu
wnl(r) = |Rnl(r)|2
r2
pro n = 1, 2, 3. Na ordinátu jsou vynášeny hodnoty aBR2
nlr2
Obr. 5.6
K zobrazení |Ylm(θ, φ)|2
v polárních souřadni-
cích:
Zvolíme osu z a na ní počátek O. Z něho
ve směru daném úhly θ, φ, nakreslíme polopaprsek
a na něj vyneseme délku |Ylm(θ, φ)|2
.
Takto získané body leží na ploše, která je rotačně
symetrická kolem osy z. Proto v obr. 5.7
jsou zakresleny jen křivky, které vzniknou řezem
této plochy rovinou obsahující osu z.
x
y
z
0
φ
Θ
dΩ
nezávisí na φ; pro všechna l, m budou úhlové závislosti hustoty pravděpodobnosti wlm(θ) rotačně
symetrické kolem osy z. S výhodou se proto zobrazí v polárních souřadnicích (obr. 5.6);
pro l = 0, 1, 2, 3 jsou tyto grafy uvedeny v obr. 5.7.
Výsledky řešení Schr¨odingerovy rovnice pro atom vodíku ještě shrňme:
Energie elektronu v atomu vodíku jsou kvantovány a závisí na jediném kvantovém čísle
n podle vztahu
En = −
mee4
(4πε0)22¯h2
1
n2
, n = 1, 2, 3 . . .
Ke každé energiové hladině přísluší n2
lineárně nezávislých řešení
ϕnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ) ,
«« »» 117
5. Pohyb v centrálním poli
z
l = 0, m = 0
z
l = 1, m = 0
z
l = 1, m = ±1
z
l = 2, m = 0
z
l = 2, m = ±1
z
l = 2, m = ±2
z
l = 3, m = 0
Obr. 5.7 Polární grafy funkcí |Ylm(θ, φ)|2
pro l = 0, 1, 2, 3 a odpovídající hodnoty m, které
udávají úhlovou závislost hustoty pravděpodobnosti wlm(θ) výskytu elektronu ve stavu
ϕnlm v atomu vodíku (konstrukce grafů je popsána v obr. 5.6). Měřítko je pro všechny
grafy stejné, dělení os je po 0,1. Ve všech grafech je osa z svislá
118 «« »»
5.3. Moment hybnosti
která odpovídají stavům s odlišnou velikostí čtverce momentu hybnosti
L2
= ¯h2
l(l + 1) , l = 0, 1, 2, . . . , n; ,
a odlišným průmětům momentu hybnosti do osy z
Lz = m¯h , m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l .
Na závěr uvedeme jednu úlohu:
Uvažujme stav atomu vodíku s nejnižší energií. Tento tzv. základní stav je nedegenerovaný
a je popsán vlnovou funkcí ϕ100(r).
a) Ukažte, že radiální hustota pravděpodobnosti výskytu elektronu ve stavu ϕ100(r) nabývá
maxima pro r = aB, kde aB je Bohrův poloměr (5.72).
b) Najděte střední hodnotu vzdálenosti elektronu od jádra v tomto stavu
r 10 = ϕ∗
100(r)rϕ100(r)r dτ .
«« »» 119
6 Spin
6.1. Experimentální podněty k zavedení spinu
V našem dosavadním výkladu jsme popisovali chování elektronu pomocí pojmů, které
známe z klasické fyziky (souřadnice, hybnost, moment hybnosti, energie apod.). Výsledky
mnohých experimentů (Sternův-Gerlachův experiment, Zeemanův jev, jemná struktura
spektrálních čar) však ukázaly, že k úplné charakterizaci chování elektronu je třeba zavést
ještě veličinu, která nemá analogii v klasické fyzice - spin.
Připomeňme nejdříve vztah mezi mechanickým momentem hybnosti L a magnetickým
momentem M. Elektron o hmotnosti me a náboji −e, který se pohybuje po uzavřené dráze
tak, že jeho moment hybnosti je L, představuje vlastně smyčku protékanou elektrickým
proudem. Tato smyčka je ekvivalentní magnetu s magnetickým momentem Mo (index o
označuje, že jde o orbitální magnetický moment), který, jak se odvozuje v klasické elektrodynamice,
souvisí s orbitálním mechanickým momentem hybnosti L vztahem
Mo = γL, (6.1)
kde
γ =
−e
2me
(6.2)
se nazývá gyromagnetický poměr. Z předcházející kapitoly víme, že moment hybnosti je
kvantován, přičemž
L = ¯h l(l + 1) , l = 0, 1, 2, . . . , (6.3)
a
Lz = ¯hml , ml = 0, ±1, ±2, . . . , ±l. (6.4)
Kvantován bude tedy i magnetický moment Mo, který vzniká v důsledku orbitálního pohybu
elektronu, a vzhledem ke vztahu (6.1) platí
Mo =
−e
2me
l(l + 1) = µB l(l + 1) , (6.5)
Moz = −
e¯h
2me
ml = −µBml , (6.6)
kde
µB =
e¯h
2me
= 9, 27.10−24
J T−1
, (6.7)
je Bohrův magneton.
Z celé řady experimentů, které ukazují na existenci spinu elektronu, se zmíníme o experimentu,
který poprvé provedli Stern a Gerlach v roce 1921 a kterým lze přímo demonstrovat
kvantování magnetického momentu. Stern a Gerlach nechali procházet svazek atomů stříbra
120 «« »»
6.1. Experimentální podněty k zavedení spinu
v s−stavu nehomogenním magnetickým polem. Orbitálnímu pohybu elektronu v s−stavu
(l = 0) přísluší podle rovnice (6.5) nulový magnetický moment. a proto by chod svazků
atomů v s−stavu naměl být magnetickým polem ovlivněn. Svazek atomů se však průchodem
nehomogenním magnetickým polem rozštěpil na dva svazky, a to tak, jako kdyby měly
magnetický moment, jehož průmět do směru magnetického pole (osy z) je ±µB.
Výsledek tohoto experimentu vysvětlili Goudsmit a Uhlenbeck roku 1925 na základě hypotézy,
podle níž elektron má vlastní magnetický moment Ms, který nezávisí na orbitálním
pohybu elektronu a jehož projekce do zvoleného směru (směr magnetického pole) mohou
nabývat pouze dvou hodnot ±µB. Rovněž postulovali, že eleltron má vlastní mechanický
moment hybnosti S − spin, jehož projekce do zvoleného směru jsou Sz = ±¯h/2. Vztah mezi
vlastním (spinovým) magnetickým momentem Ms a spinem S pak může být analogicky
k rovnici (6.1) psán
Ms = 2γS , (6.8)
Poznamenejme, že na základě Goudsmitovy - Uhlenbeckovy spinové hypotézy se objasnily
všechny ostatní jevy jako jev Zeemanův, jemná struktura spektrálních čar apod. Existenci
spinu lze objasnit až v rámci relativistické kvantové mechaniky, kde přímo vyplyne
z Diracovy rovnice. Představa elektronu jako rotujícího tělíska a následující vysvětlení mechanického
momentu hybnosti, který je způsoben touto rotací, jsou nepříhodné. V rámci
nerelativistické kvantové mechaniky existenci spinu v souladu s výsledky experimentů po-
stulujeme.
Matematický popis spinu vyžaduje zavedení nového typu operátorů - maticových operátorů,
o nichž pojednává následující odstavec.
6.1.1. Operátory - matice
Matice je schema m.n čísel (v m řádcích a n sloupcích). Budeme se zabývat explicitně
případem, v němž n = m = 2, tj. čtvercovými maticemi 2. řádu (právě ty budeme potřebovat
pro popis spinu):
ˆA =
A11 A12
A21 A22
. (6.9)
Čísla Aik, i, k = 1, 2 nazýváme prvky matice; i označuje řádek a k sloupec, v němž příslušný
prvek je. Matice působí na vektor, jenž je sloupcem n čísel a který (pro n = 2) píšeme takto:
˜ψ =
ψ1
ψ2
. (6.10)
Když matice ˆA působí na vektor ˜ψ, vytváří nový vektor ˜φ :
ˆA ˜ψ = ˜φ . (6.11)
Složky vektoru ˜φ určujeme podle pravidla pro násobení matic
ˆA ˜ψ =
A11 A12
A21 A22
ψ1
ψ2
=
A11ψ1 + A12ψ2
A21ψ1 + A22ψ2
=
φ1
φ2
. (6.12)
Vlastní hodnota operátoru - matice ˆA se definuje analogicky k definici (4.33) relací
ˆA ˜ψk = αk
˜ψk , (6.13)
«« »» 121
6. Spin
kde αk jsou vlastní hodnoty a ˜ψk odpovídající vlastní vektory operátoru - matice ˆA.
Sloupcové vektory vytvářejí vektorový prostor, který známe z lineární algebry a na kterémž
se definuje skalární součin dvou vektorů vztahem:
˜ψ, ˜φ =
n
i=1
ψ∗
i φi . (6.14)
Platí-li ˜ψ, ˜φ = 0, říkáme, že vektory ˜ψ a ˜φ jsou ortogonální.
Matice - operátory mají všechny obecné vlastnosti jako diferenciální lineární operátory,
které jsme probrali v odstavci ...IV.1 doplnit .. Připomeňme nejdůležitější z nich:
Součin matice ˆA s komplexním číslem c dá novou matici, kterou označíme c ˆA, v níž
každý prvek je c−násobkem odpovídajícího prvku matice ˆA
c ˆA =
cA11 cA12
cA21 cA22
. (6.15)
Součin dvou matic ˆA a ˆB řádu n je rovněž matice řádu n
ˆA ˆB = ˆC , (6.16)
přičemž prvky matice ˆC určujeme podle známého1
) pravidla pro násobení matic
ˆA ˆB =
A11 A12
A21 A22
B11 B12
B21 B22
= (6.17)
=
A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22
A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22
=
C11 C12
C21 C22
. (6.18)
Z lineární algebry víme, že součin dvou matic není obecně komutativní, tj. že obecně platí
stejně jako pro diferenciální operátory (viz rovnice 4.23) relace
ˆA, ˆB = ˆA ˆB − ˆB ˆA = 0 . (6.19)
Matice ˆA se nazývá hermitovská, platí-li pro její maticové elementy
Aik = A∗
ik (6.20)
Pro hermitovskou matici (stejně jako pro hermitovský diferenciální operátor) lze dokázat,
že její vlastní hodnoty jsou reálné a její vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám
jsou ortogonální. Hermitovské matice proto mohou podle postulátu 2 (viz strana 96)
zobrazovat (reprezentovat) fyzikální veličiny. Jednou z těchto veličin je právě spin.
6.1.2. Operátory spinu
Podle obecných principů kvantové mechaniky musíme přiřadit spinu S = (Sx, Sy, Sz)
lineární hermitovské operátory
ˆ
A = ( ˆSx, ˆSy, ˆSz). Při konstrukci operátorů (přiřazených veličinám
jako je energie, orbitální moment hybnosti apod.) jsme postupovali tak, že jsme vyšli
z klasických výrazů pro tyto veličiny a v těchto výrazech jsme nahradili souřadnice a složky
hybnosti operátory souřadnic a operátory složek hybnosti (viz strana 96). Tato cesta není
1) Případně méně známého pravidla....
122 «« »»
6.1. Experimentální podněty k zavedení spinu
při konstrukci operátoru spinu možná, neboť spin nemá klasickou analogii. Operátory spinu
zkonstruujeme tak, aby výsledky získané s jejich pomocí byly v souladu s experimentem.
Operátor ˆSz musí mít pouze dvě vlastní hodnoty, které jsou rovny experimentálně zjištěným
hodnotám: +¯h/2 (spin nahoru) a −¯h/2 (spin dolů). Označíme-li vlastní vektor příslušný
k vlastní hodnotě +¯h/2 jako ˜χ+1/2 a vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě −¯h/2 jako
˜χ−1/2, musí platit
ˆSz ˜χ+1/2 =
¯h
2
˜χ+1/2 , (6.21)
ˆSz ˜χ−1/2 = −
¯h
2
˜χ−1/2 . (6.22)
Rovnice (6.21) a (6.22) lze zřejmě splnit, je-li matice ˆSz maticí druhého řádu tvaru
ˆSz =
1 0
0 −1
. (6.23)
Potom
˜χ+1/2 =
1
0
, ˜χ−1/2 =
0
1
. (6.24)
Vzhledem k principu superpozice stavů lze stav elektronu vyjádřit obecně jako lineární
kombinaci stavů ˜χ+1/2 a ˜χ−1/2:
˜ψ = a ˜χ+1/2 + b˜χ−1/2 , (6.25)
kde a, b mohou být obecně funkcemi prostorových proměnných.
Podle důsledku postulátu 3 (viz strana 99) je pravděpodobnost toho, že elektron ve stavu
(6.25) má průmět (do osy z kupříkladu), rovna
P+ = ˜χ+1/2
2
. (6.26)
Zvážíme-li definici skalárního součinu dvou vektorů (6.14), dostaneme
P+ = |a |
2
. (6.27)
Podobně
P− = |b|
2
. (6.28)
Normovací podmínka
˜ψ, ˜ψ = |a |
2
+ |b|
2
= 1 . (6.29)
zajišťuje, že celková pravděpodobnost výskytu jednoho nebo druhého spinového stavu je
rovna jedné tak, jak to má být.
Spin je vlastní moment hybnosti, a proto je přirozené požadovat, abz operátory, které
budou reprezentovat jeho složky, resp. čtverec velikosti, splňovaly stejné komutační relace
jako operátory, reprezentující orbitální moment hybnosti L. Tyto komutační relace jsme
odvodili v předchozí části (viz rovnice (5.12–5.14) a ((5.24)). Podle nich pro operátory
spinu má platit
ˆSx, ˆSy = i ¯h ˆSz , (6.30)
«« »» 123
6. Spin
ˆSy, ˆSz = i ¯h ˆSx , (6.31)
ˆSz, ˆSx = i ¯h ˆSy , (6.32)
ˆS2
, ˆSx = ˆS2
, ˆSy = ˆS2
, ˆSz = 0 , (6.33)
kde
ˆS2
= ˆS2
x + ˆS2
y + ˆS2
z . (6.34)
Komutační relace (6.30 − 6.32) použijeme k určení operátorů ˆSx, ˆSy. Přímým výpočtem
se můžeme přesvědčit2
), že těmto relacím vyhovují matice3
)
ˆSx =
¯h
2
0 1
1 0
, ˆSy =
¯h
2
0 −i
i 0
. (6.35)
Pro operátor čtverce spinu po dosazení z rovnic (6.23−6.35) do rovnice (6.34) dostáváme
ˆS2
=
3
4
¯h
1 0
0 1
. (6.36)
Poněvadž operátory ˆS2
a ˆSz komutují, mají společný systém vlastních vektorů. Jsou to
vektory (6.24), neboť
ˆSz ˜χ+1/2 =
¯h
2
˜χ+1/2 , ˆSz ˜χ−1/2 = −
¯h
2
˜χ−1/2 . (6.37)
a
ˆS2
˜χ+1/2 =
3
4
¯h2
˜χ+1/2 , ˆS2
˜χ−1/2 = −
3
4
¯h2
˜χ−1/2 . (6.38)
protože ˆS2
je násobek jednotkové matice. Vlastní hodnota S2
je v obou případech rovna
3¯h/4 a je tedy dvojnásobně degenerovaná.
Zavedeme-li kvantová čísla s a ms charakterizující velikost spinu a jeho průmět do osy z,
můžeme zapsat všechny vztahy pro kvantování spinu v plné analogii se vztahy4
) (6.3 − 6.4)
takto:
S2
= s(s + 1)¯h2
, kde s =
1
2
, (6.39)
Sz = ms¯h , kde ms = ±
1
2
, (6.40)
K danému l z rovnice (6.3) jsme měli 2l + 1 možných průmětů (hodnot ml) orbitálního
momentu hybnosti do zvoleného směru; k danému s, které nabývá jediné hodnoty s = 1
2
,
máme obdobně 2s + 1 = 2 možných průmětů spinu do zvoleného směru (osy z). Spinový
stav jednoho elektronu je tudíž určen jedinovou proměnnou Sz.
2) Zda to bude jednoduché záleží opravdu jen na vás.
3) Spolu s ˆSz daný vztahem (6.23) - lze se totiž přesvědčit, že uvedené matice (6.35) jsou hermitovské, tj., že jejich prvky
splňují podmínku (6.20).
4) Platící pro orbitální moment hybnosti, samozřejmě.
124 «« »»
6.1. Experimentální podněty k zavedení spinu
6.1.3. Spinové vlnové funkce
Vyjádření stavu elektronu musí zachytit jak závislost vlnové funkce na prostorových
proměnných x, y, z, tak na spinové proměnné Sz. Elektron je tudíž systém o čtyřech stupních
volnosti a odpovídjící vlnová funkce je
ψ = ψ(x, y, z, Sz; t) . (6.41)
Spinová proměnná Sz se liší od proměnných x, y, z tím, že může nabývat jen dvou hodnot
+¯h/2 a −¯h/2. Je proto výhodné stav elektronu popsat dvoukomponentní vlnovou funkcí
(spinorem)
˜ψ(r, t) =
ψ+(r, t)
ψ−(r, t)
= ψ+(r, t)˜χ+1/2 + ψ−(r, t)˜χ−1/2 , (6.42)
kde
ψ+(r, t) = ψ(x, y, z, +
¯h
2
; t) . (6.43)
ψ−(r, t) = ψ(x, y, z, −
¯h
2
; t) . (6.44)
a ˜χ+1/2, ˜χ−1/2 jsou vlastní vektory (6.24) operátoru Sz.
Fyzikální význam funkcí ψ+(r, t) a ψ−(r, t) je jednoduchý: |ψ+(r, t)|
2
udává hustotu
pravděpodobnosti nalezení elektronu s průmětem spinu do osy z rovným +¯h/2 v okolí
bodu r v čase t a podobně |ψ−(r, t)|
2
udává hustotu pravděpodobnosti nalezení elektronu
s průmětem spinu do osy z rovným −¯h/2 v okolí bodu r v čase t. Výraz |ψ+(r, t)|
2
+|ψ−(r, t)|
2
pak udává hustotu pravděpodobnosti, že elektron s libovolným průmětem spinu do osy z
bude nalezen v okolí bodu r v čase t.
Poněvadž pravděpodobnost nalezení elektronu (s libovolným průmětem do osy z) v libovolném
bodě prostoru je rovna jistotě, má normalizační podmínka pro dvoukomponentí
vlnovou funkci5
) (6.42) tvar
+∞
−∞
˜ψ(r, t), ˜ψ(r, t) dxdydz =
+∞
−∞ Sz=±1/2
|ψ(x, y, z, Sz; t)|
2
dxdydz = 1 . (6.45)
Ujasněme si dále, jaký tvar budou mít operátory fyzikálních veličin při zápisu vlnové
funkce ve tvaru (6.42). Budou to zřejmě čtvercové matice druhého řádu 121
ˆA =
ˆA11
ˆA12
ˆA21
ˆA22
, (6.46)
jejichž elementy ˆAik budou operátory působící na funkce prostorových proměnných, tj.
ˆAik = ˆAik x, y, z,
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
. (6.47)
Potom podle rovnice (6.12)
ˆA ˜ψ =
ˆA11
ˆA12
ˆA21
ˆA22
ψ+
ψ−
=
ˆA11ψ+ + ˆA12ψ−
ˆA21ψ+ + ˆA22ψ−
=
φ1
φ2
. (6.48)
5) Nebojme se říci to přímo - pro spinor.
«« »» 125
6. Spin
Působí-li operátor ˆA jen na spinové proměnné (např. Sz), jsou maticové elementy Aik kon-
stanty.
V literatuře se často užívá i jiný formalismus, který vychází z toho, že na spinové funkce
˜χ+1/2, ˜χ−1/2 můžeme také hledět nikoli jako na vektory (6.24), ale jako na dvě funkce jedné
diskrétní spinové proměnné Sz nabývající pouze dvou hodnot +¯h/2, −¯h/2:
˜χ+1/2
¯h
2
= 1 , ˜χ+1/2 −
¯h
2
= 0 , (6.49)
˜χ−1/2
¯h
2
= 0 , ˜χ−1/2 −
¯h
2
= 1 , (6.50)
Jak hned uvidíme, tento formalismus se užívá s výhodou tam, kde neexistuje vazba mezi
polem, v němž se elektron nachází, a spinem. Potom lze vlnovou funkci (6.41) zapsat vetvaru
odpovídajícím separaci prostorových proměnných a spinové proměnné:
ψα (x, y, z, Sz; t) = ψ (x, y, z; t) χα (Sz) (6.51)
kde χα (Sz) , α = ±1/2, je právě (6.41).
6.1.4. Zeemanův jev
Mějme atom vodíku v homogenním magnetickém poli o indukci B. Abychom mohli rozebrat
kvantové jevy v takovém poli, musíme doplnit hamiltonián atomu vodíku (doplnit
V.2.3) členem popisujícím interakční energii mezi atomem a magnetickým polem. Přitom
budeme předpokládat, že neexistuje vazba mezi spinovým a orbitálním pohybem elektronu.
Elektron v atomu vodíku představuje proudovou smyčku, jež je ekvivalentní magnetickému
dipólu s magnetickým momentem daným vztahem (6.1) :
Mo = γL, (6.52)
kde
γ =
−e
2me
(6.53)
a L je orbitální moment hybnosti. Elektron má vedle toho vlastní magnetický moment Ms
vázaný se spinem S vztahem (6.8) :
Ms = 2γS . (6.54)
Výsledný magnetický moment elektronu v atomu je tudíž
M = M0 + Ms = γ(L + 2S) . (6.55)
V klasické elektrodynamice se pro potenciální energii magnetického dipólu M v magnetickém
poli odvozuje vztah
VB = −MB . (6.56)
Zvolíme-li směr indukce magnetického pole tak, aby spadal do osy z, tj. B = (0, 0, B), bude
VB = −MzB . (6.57)
126 «« »»
6.1. Experimentální podněty k zavedení spinu
Nahradíme-li v této rovnici veličinu Mz příslušným operátorem ˆMz v souladu s rovnicí
(6.55), dostaneme hledaný operátor popisující interakční energii mezi atomem a magnetickým
polem. Budeme pracovat s dvoukomponentmími vlnovými funkcemi (6.42), a proto
operátory budou matice druhého řádu. Speciálně
ˆVB =
e
2me
B
ˆLz 0
0 ˆLz
+ 2 ˆSz (6.58)
kde ˆLz je operátor z−ové složky orbitálního momentu hybnosti (doplnit V.1.1c) a ˆSz je
operátor z−ové složky spinu (6.23). Hamiltonián systému je potom
˜HB =
ˆH 0
0 ˆH
+ 2 ˆVB (6.59)
kde ˆH je hamiltonián pro neporušený atom (tj. nenacházející se ve vnějším magnetickém
poli) uvedený v kapitolu (doplnitV.2.3.) a operátor ˆVB je dán vztahem (6.58). Hladiny
energie pro atom v magnetickém poli se určí z rovnice
ˆHB
˜φ = E ˜φ , (6.60)
kde ˜φ je dvuřádkový sloupcový vektor.
Poněvadž spinový operátor ˆSz komutuje se všemi operátory, které působí na prostorové
proměnné (a samozřejmě sám se sebou) snadno6
) přesvědčíme, že
ˆH, ˆSz = 0 , (6.61)
a proto vlastní funkce hamiltoniánu (6.59) můžeme hledat ve tvaru
˜φα(r) = ϕ(α)˜χα , (6.62)
kde ˜χα , (α = ±1/2) jsou vlastní vektory (6.24) operátoru ˆSz.
Dosadíme-li řešení (6.62) do (6.60), dostaneme
ˆHϕ(r) +
eB
2me
ˆLz + ¯h ϕ(r) = E+
ϕ(r) pro α = +
1
2
, (6.63)
ˆHϕ(r) +
eB
2me
ˆLz − ¯h ϕ(r) = E−
ϕ(r) pro α = −
1
2
, (6.64)
Je-li B = 0, řešení rovnic (6.63 − 6.64) známe (viz odstavec V. 2. doplnit):
ˆHϕnlm(r) = Enϕnlm , (6.65)
kde
ϕnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ) . (6.66)
Odpovídající energie En je dána vztahem (doplnit V.2.8) Vezmeme-li v úvahu spin, je každý
stav ϕnlm s daným (n, l, m) dvojnásobně degenerován. K jednoznačnému určení stavu jsou
tedy potřebná čtyři kvantová čísla (n, l, m, ms) odpovídající čtveřici vzájemně komutujících
operátotrů ˆH, ˆL2
, ˆLz, ˆSz.
6) A to se opravdu snažíme (seč nám síly stačí) formulace typu ...snadno se přesvědčíme... neužívat, ale sami vidíte, že to
někdy prostě nejde, jak je ten výpočet zmíněného komutátoru jednoduchý!
«« »» 127
6. Spin
Vraťme se k řešení rovnic (6.63 − 6.64) při B = 0. Poněvadž (viz rovnice doplnit V.2.7a)
ˆLzϕnlm(r, θ, φ) = ¯hmϕnlm(r, θ, φ) , (6.67)
jsou funkce (6.66) řešením rovnic (6.63−6.64). Dosadíme-li (6.66) do (6.63), resp. do (6.64)
s pomocí vztahů (6.65) a (6.67) dostaneme
E+
nm = En +
eB
2me
¯h (m + 1) pro α = +
1
2
, (6.68)
E−
nm = En +
eB
2me
¯h (m − 1) pro α = −
1
2
. (6.69)
Dostali jsme tedy různé energiové hladiny pro různé spinové stavy:
i) Je-li průmět spinu do směru magnetického pole roven Sz = +¯h/2, jsou hodnoty energiových
hladiny dány vztahy (6.68) a odpovídající vlnové funkce jsou
˜φ+1/2(r) = ϕnlm(r)˜χ+1/2 =
ϕnlm(r)
0
, (6.70)
ii) Je-li průmět spinu do směru magnetického pole roven Sz = −¯h/2, jsou hodnoty energiových
hladiny dány vztahy (6.69) a odpovídající vlnové funkce jsou
˜φ−1/2(r) = ϕnlm(r)˜χ−1/2 =
0
ϕnlm(r)
. (6.71)
V magnetickém poli dochází ke štěpení energiových hladin - snímá se degenerace vůči m
a vůči spinu. Jestliže bychom neuvažovali spin, potom by se energiová hladina základního
stavu atomu vodíku, jíž odpovídá n = 1, l = 0, m = 0 (1s stav) a která je tudíž nedegenerovaná,
nemohla rozštěpit. Experiment však ukazuje, že se tato hladina štěpí na dvě hladiny
(viz obr. doplnit) vzdálené o 2µBB, což je v souladu s našimi výsledky (6.68 − 6.69), jež
berou spin v úvahu. Vskutku
E+
00 − E−
00 = E0 +
e¯h
2me
− E0 −
e¯h
2me
= 2µBB , (6.72)
kde µB je Bohrův magneton (6.7).
2µBB
ms = +1/2
ms = −1/2
B = 0B = 0
1s
Obr. 6.1
Štěpení základní energiové hladiny +s
v atomu vodíku v magnetickém poli
128 «« »»
7 Soustavy stejných částic
7.1. Dvě různé částice
Dosud jsme se zabývali kvantovou mechanikou jedné částice. Nyní zobecníme schéma
kvantové mechaniky na systém dvou částic1
).
V případě jedné částice jsme postulovali, že její stav je popsán vlnovou funkcí
ψ(x, y, z, Sz; t), která je funkcí prostorových proměnných x, y, z, spinové proměnné Sz
částice a času t.
Mějme nyní dvě částice. Hmotnost, prostorové proměnné a spinovou proměnnou označíme
m1, x1, y1, z1, S1z a obdobně pro druhou částici m2, x2, y2, z2, S2z. Budeme opět postulovat,
že stav systému je popsán vlnovou funkcí
ψ(x1, y1, z1, S1z, x2, y2, z2, S2z; t) . (7.1)
Fyzikální smysl této vlnové funkce je obdobný jako v případě jedné čátice:
|ψ(x1, y1, z1, S1z, x2, y2, z2, S2z; t)|
2
dx1dy1dz1dx2dy2dz2 (7.2)
udává pravděpodobnost, že v čase t má částice 1 průmět spinu do osy z roven S1z a nalézá
se v infinitesimálním objemu dx1dy1dz1 opsaném bodu (x1, y1, z1) a současně částice 2 má
průmět spinu do osy z rovný S2z a nalézá se v infinitesimálním objemu dx2dy2dz2 opsaném
bodu (x2, y2, z2). Kdybychom se zajímali o polohu a spinový stav jen částice 1 nezávisle na
poloze a spinovém stavu částice 2, museli bychom vypočítat výraz
S2z=±1/2
+∞
−∞
|ψ(x1, y1, z1, S1z, x2, y2, z2, S2z; t)|
2
dx2dy2dz2 , (7.3)
který nám udává hustotu pravděpodobnosti výskytu částice 1 s průmětem spinu do osy z
rovným S1z v bodě (x1, y1, z1), přičemž částice 2 je kdekoliv v prostoro a průmět jejíhho
spinu do osy z je libovolný.
Stejně jako v kvantové mechanice jedné částice (viz např. strana 96) přiřadíme ke každé
měřitelné fyzikální veličině hermitovský operátor. Explicitní tvar těchto operátorů získáme
tak, že nejprve přiřadíme „základní operátory souřadnicím a odpovídajícím složkám hybnosti
obou částic:
x1 → ˆx1 = x1 , y1 → ˆy1 = y1 , z1 → ˆz1 = z1 , (7.4)
p1x → ˆp1x = −i¯h
∂
∂x1
, p1y → ˆp1y = −i¯h
∂
∂y1
, p1z → ˆp1z = −i¯h
∂
∂z1
, (7.5)
x2 → ˆx2 = x2 , y2 → ˆy2 = y2 , z2 → ˆz2 = z2 , (7.6)
p2x → ˆp2x = −i¯h
∂
∂x2
, p2y → ˆp2y = −i¯h
∂
∂y2
, p2z → ˆp2z = −i¯h
∂
∂z2
, (7.7)
1) Zobecnění na systém více než dvou částic nepřináší již nic principiálně nového
«« »» 129
7. Soustavy stejných částic
Z těchto „základních operátorů konstruujeme operátory složitější, řídíce se přitom klasickou
analogií. Tak například pro operátor x−ové složky celkové hybnosti Px a celkového momentu
hybnosti Lx dostáváme
ˆPx = ˆp1x + ˆp2x = −i¯h
∂
∂x1
− i¯h
∂
∂x2
, (7.8)
ˆLx = ˆL1x + ˆL2x = −i¯h y1
∂
∂z1
− z1
∂
∂y1
+ y2
∂
∂z2
− z2
∂
∂y2
. (7.9)
Velký význam bude mít pro nás operátor kinetické energie dvou částic
ˆT = ˆT1 + ˆT2 = −
¯h2
2m1
∂2
∂x2
1
+
∂2
∂y2
1
+
∂2
∂z2
1
−
¯h2
2m2
∂2
∂x2
2
+
∂2
∂y2
2
+
∂2
∂z2
2
= (7.10)
= −
¯h2
2m1
∆1 −
¯h2
2m1
∆2 (7.11)
a operátor celkové energie - hamiltonián - dvou částic
ˆH =
¯h2
2m1
∆1 −
¯h2
2m1
∆2 + V (x1, y1, z1, x2, y2, z2, S1z, S2z) . (7.12)
Pravidla pro interpretaci vlastních hodnot operátorů a pro výpočet středních hodnot,
uvedená na straně (doplnit pageref), zůstávají v platnosti i v soustavě dvou a či více částic.
Vlnová funkce soustavy částic musí opět splňovat Schr¨odingerovu rovnici
i¯h
∂ψ
∂t
= ˆHψ , (7.13)
kde
ψ = ψ(x1, y1, z1, S1z, x2, y2, z2, S2z; t) (7.14)
a ˆH je dán rovnicí (7.12).
Zatím jsou naše úvahy o soustavě dvou částic jednoduchým zobecněním kvantové mechaniky
jedné částice. Nové specifické rysy dostáváme, jde-li o soustavu stejných částic.
7.1.1. Princip nerozlišitelnosti částic
Dále se budeme zabývat soustavami stejných částic. Přitom považujeme za stejné ty
částice, jež mají stejnou hmotnost, náboj i spin. Půjde tedy např. o soustavu elektronů,
soustavu protonů, soustavu atomů He apod.
Stejné částice nelze zřejmě „rozeznat podle jejich hmotnosti náboje nebo spinu. V klasické
mechanice zbývá možnost rozlišovat částice podle jejich trajektorií. Každá klasická
částice má totiž svoji spojitou a z Newtonových rovnic jednoznačně určenou trajektorii,
takže tím, že se v daném časovém okamžiku nachází v určitém bodě trajektorie, můžeme
130 «« »»
7.1. Dvě různé částice
x1(t0)
x2(t0)
x1(t)
x2(t)
t0 t > t0
a)
t0 t > t0
b)
Obr. 7.1 Číslováaní částic podle jejich polohy v prostoru (a) v klasické mechanice, b) v kvantové
mechanice). V oblasti dvakrát zašrafované není rozlišení částic možné
vždy rozhodnout, o jakou částici se jedná (obr. 7.1a). V kvantové mechanice však tato principiální
možnost mizí. příčina tkví2
) v tom, že stav „kvantově-mechanické částice je popsán
vlnovou funkcí.
Uvažujme dvě stejné částice A, B, jež jsou v čase t = 0 poměrně dobře lokalizovány
v určitých dvou bodech od sebe dosti vzdálených, takže příslušné vlnové funkce ψA a ψB
se téměř nepřekrývají3
). Podrobnější rozbor ukazuje, že s postupem času se takové vlnové
funkce rozplývají a to i tehdy, když na částice nepůsobí žádně síly (obr. 7.1b). V oblasti, kde
se obě vlnové funkce pro t > t0 překrývají, ztrácí rozlišování částic A, B smysl. Nalezneme-li
totiž částici v oblasti, kde se vlnové funkce překrývají, nelze již rozhodnout, zda jde o částici
A nebo B. Tato nemožnost rozlišení stejných částic není věcí našich neúplných znalostí, ale
vlastností dvoučásticové kvantové soustavy samé.
Podobně máme-li v klasické mechanice dvě částice A, B oddělené potenciálovou bariérou
(např. v krabici rozdělené přepážkami) a mají.li částice energii menší, než je výška potenciálové
bariery, nemohou částice touto přepážkou proniknout. Lze je proto stále rozlišit, např.
částice A je stále v levé části krabice a B stále v pravé. Podle kvantové mechaniky (a my
tomu již také věříme) však může částice proniknout (tunelovat) potenciálovou bariérou, i
když její energie je manší než výška této potenciálové bariéry. Po čase4
) tedy nemůžeme
říct, zda si snad obě částice nevyměnily svá místa (obr. 7.2).
V kvantové mechanice selhává tedy zbývající možnost rozlišení stejných částic - rozlišení
podle jejich stavu. jme dva elektrony, z nichž jeden je ve stavy a, druhý ve stavu b. Vymění-li
si elektrony svá místa nastává podle klasické fyziky nový stav. Podle kvantové fyziky se však
touto výměnou stav soustavy nezmění, neboť oba elektrony jsou nerozlišitelné. Tato okolnost
hraje významnou roli ve statistice. Statistika „nerozlišitelných částic vede ke zcela jiným
2) Jak jistě víme z kapitoly 2.
3) Pokud jsme se ještě s výrazem nepřekrývající se vlnové funkce nesetkali a dělalo by nám těžkosti tyto funkce si představit,
mohla by nám pomoci k lepšímu pochopení skutečnost, že kvadrát modulu vlnové funkce (v souřadnicové reprezentaci) udává
pravděpodobnost výskytu této částice v určité části prostoru. Je-li tedy nějaká částice lokalizovaná (poměrně dobře) v nějaká
části prostoru a druhá částice (taktéž poměrně dobře) v jiné části (a tato „místa prostoru jsou od sebe dostatečně vzdálená)
znamená to z hlediska jejich vlnových funkcí, že se nepřekrývají. Jinými slovy tam, kde jedna vlnová funkce dosahuje svých
maximálních hodnot, dosahuje druhá funkce hodnot nízkých.
4) Ten by se dal určit.
«« »» 131
7. Soustavy stejných částic
x
V (x)
0
V0
A
B
A
B
Obr. 7.2 Dvě částice A, B v jámě odělené v bodě x = 0 přepážkou. Podle kvantové mechaniky
mohou částice s energií menší než je výška V0 tunelovat bariérou, a proto nelze říci, že
jedna částice je v levé části schránky a druhá v její pravé části
závěrům nežli statistika „rozlišitelných částic. Tím je dána také možnost experimentálně
potvrdit (principiální) nerozlišitelnost stejných částic.
Získané závěry lze shrnout takto:
V kvantové mechanice považujeme stejné částice za nerozlišitelné. Z toho bezprostředně
plyne, že soustavy stejných částic se mohou nacházet pouze v takových stavech, jež se nezmění
při vzájemné výměně dvou částic soustavy. Uvedený princip nerozlišitelnosti stejných
částic je verifikován, podobně jako ostatní základní postuláty kvantové mechaniky, souhlasem
experimentu s předpověďmi plynoucími z teorie.
7.1.2. Vlnové funkce soustavy stejných částic. Symetrické a antisymetrické stavy
Mějme soustavu tvořenou dvěma částicemi, například dva elektrony v elektronovém obalu
atomu hélia. Vlnová funkce této soustavy bude záviset na polohových vektorech obou elektronů
r1 a r2 (spinové proměnné zatím nebudeme uvažovat) a na čase t, tj. ψ = ψ(r1, r2; t).
Kdyby částice byly nerozlišitelné, potom by výraz (viz odstavec VII.1 - doplnit)
|ψ(r1, r2; t)|
2
dx1dy1dz1dx2dy2dz2 (7.15)
udával pravděpodobnost, že v čase t najdeme první částici v infinitesimálním objemu
dx1dy1dz1 opsanému bodu r1 a současně druhou částici v objemu dx2dy2dz2 opsanému
bodu r2. Jsou-li částice nerozlišitelné, můžeme pouze tvrdit, že výraz (7.15) udává pravděpodobnost,
že v čase t najdeme jednu z částic (nevíme, která to je) v objemu dx1dy1dz1 v
okolí bodu r1 a současně druhou z nich v objemu dx2dy2dz2 v okolí bodu r2. Matematicky
132 «« »»
7.1. Dvě různé částice
vyjádřeno to znamená, že výraz pro hustotu pravděpodobnosti |ψ(r1, r2; t)|
2
se nesmí změnit
při záměně souřadnic, tj. musí být
|ψ(r1, r2; t)|
2
= |ψ(r2, r1; t)|
2
. (7.16)
Dá se dokázat, že pro samotnou vlnovou funkci to znamená, že
ψ(r1, r2; t) = ±ψ(r2, r1; t) . (7.17)
Důkaz vztahu (7.17) provedeme současně se zobecněním na soustavu N nerozlišitelných
mikročástic.
Mějme soustavu N stejných částic. Vlnová funkce takové soustavy má tvar
ψ(q1, q2, . . . , qi, . . . , qN ; t) , (7.18)
kde qi = (r1, Siz), i = 1, 2, . . . , N, označuje tři prostorové proměnné ri = (xi, yi, zi) a spinovou
proměnnou Sizi−té částice. Zaměníme-li v soustavě i−tou a k−tou částici, potom
vzhledem k nerozlišitelnosti se nemůže změnit stav soustavy. Záměna částic se v argumentu
vlnové funkce (7.18) projeví vzájemnou výměnnou souřadnic qi a qk. Jestliže se stav nazměnil,
musí vzhledem k pravděpodobnostní interpretaci vlnové funkce platit:
|ψ(q1, . . . , qk, . . . , qi, . . . , qN ; t)|
2
= |ψ(q1, . . . , qi, . . . , qk, . . . , qN ; t)|
2
. (7.19)
Samotná vlnová funkce se tedy může změnit jen o fázový faktor s modulem 1, tj.
ψ(q1, . . . , qk, . . . , qi, . . . , qN ; t) = eiα
ψ(q1, . . . , qi, . . . , qk, . . . , qN ; t) . (7.20)
kde α je reálné číslo. Změňme číslování částic ve vztahu (7.20): k → i a i → k. Tak dostáváme
ψ(q1, . . . , qi, . . . , qk, . . . , qN ; t) = eiα
ψ(q1, . . . , qk, . . . , qi, . . . , qN ; t) . (7.21)
Když vyloučíme ψ(q1, . . . , qi, . . . , qk, . . . , qN ; t) ze vztahů (7.20) a (7.21), najdeme
ψ(q1, . . . , qi, . . . , qk, . . . , qN ; t) = ei2α
ψ(q1, . . . , qi, . . . , qk, . . . , qN ; t) , (7.22)
a tudíž
ei2α
= 1 =⇒ eiα
= ±1 . (7.23)
Vlnová funkce soustavy stejných mikročástic tudíž musí při záměně souřadnic libovolných
dvou částic buď
a) zůstat nezměněna:
ψ(s)
(q1, . . . , qi, . . . , qk, . . . , qN ; t) = +ψ(s)
(q1, . . . , qk, . . . , qi, . . . , qN ; t) , (7.24)
taková funkce se nazývá symetrická (s), nebo
b) změnit jen znaménko:
ψ(a)
(q1, . . . , qi, . . . , qk, . . . , qN ; t) = −ψ(a)
(q1, . . . , qk, . . . , qi, . . . , qN ; t) , (7.25)
taková funkce se nazývá antisymetrická (a).
«« »» 133
7. Soustavy stejných částic
Jedině funkce, které mají tyto vlastnosti, mohou popisovat možný stav soustavy stejných
mikročástic - v přírodě se realizují jen stavy se symetrickými, nebo antisymetrickými vlnovými
funkcemi. Jestliže hledáme například řešení stacionární Schr¨odingerovy rovnice pro
systém stejných částic, měli bychom se omezit na prostor symetrických nebo antisymetrických
vlnových funkcí. Technicky je však často výhodné hledat řešení bez tohoto omezení
a až dodatečně je symetrizovat nebo antisymetrizovat (viz dále rovnice (7.39) a (7.40) na
straně 136.)
Dále se dá dokázat, že vlnová funkce zůstává stále symetrická (antisymetrická) bez ohledu
na to, do jakých polí se soustava dostává během času.
Získané závěry shrneme do do postulátu, který doplní postuláty uvedené v kapitole 4:
Postulát 5
Stejné částice jsou nerozlišitelné. Z toho plyne, že vlnová funkce souboru nerozlišitelných
částic je buď symetrická (viz rovnice (7.24)), nebo antisymetrická (viz rovnice (7.25))
vzhledem k záměně souřadnic libovolné dvojice částic souboru.
Který z těchto dvou případů nastává, záleží na spinu částice - experiment ukazuje, že systémům
tvořeným částicemi s celočíselným spinem 0, ¯h, 2¯h, . . . (např. α částice, π−mezony)
je nutné vždy přiřazovat symetrickou vlnovou funkci a systémům tvořeným částicemi s
poločíselným spinem ¯h/2, 3¯h/2, 5¯h/2, . . . (např. elektrony, protony, neutrony) je nutné přiřazovat
antisymetrickou vlnovou funkci. Zdánlivě jemný rozdíl (symetrie nebo antisymetrie)
ve vlstnostech vlnových funkcí souborů stejných částic má dalekosáhlé důsledky v chování
těchto souborů. Projeví se výrazně např. ve statistice, jíž se tyto soubory řídí. Odtud také
pochází název bosony pro částice se symetrickou vlnovou funkcí (řídí se Boseho-Einsteinovou
statistikou) a název fermiony pro částice s antisymetrickou vlnovou funkcí (řídí se FermihoDiracovou
statistikou).
Dá se ukázat, že z antisymetrie vlnové funkce soustavy (tedy pro fermiony) vyplývá tzv.
Pauliho (vylučovací) princip, který můžeme vyslovit takto:
V soustavách stejných fermionů nelze při měření nalézt dvě částice, jež mají současně
stejný soubor všech kvantových čísel. Aplikujeme-li tento princip na elektrony v elektronovém
obalu atomu, můžeme říci, že v něm namůžeme najít dva elektrony, které mají stejná
kvantová čísla (n, l, m, ms). To je přesnější forma tvrzení, že „na jedné orbitě mohou být
nejvýše dva elektrony a ty musí mít opačný spin . Tohoto tvrzení se používá např. v chemii
při studiu atomového obalu prvků v Mendělejevově periodické tabulce.
Obdobně jako v případě jednoho elektronu i v případě dvou (či více) elektronů lze v
energiové bilanci spiny čzsto zanedbat; v takovém případě je hamiltonián na spinových
proměnných nezávislý. Vlnovou funkci soustavy dvou elektronů lze pak psát ve tvaru
ψ(q1, q2) = φ(r1, r2)χ(S1z, S2z) (7.26)
(lze separovat prostorové a spinové proměnné).
Požadavek antisymetrie vlnové funkce ψ(q1, q2) (omezujeme se jen na fermiony) je pak
možno splnit dvěma způsoby. Buď
φ(r1, r2 = φ(s)
(r1, r2 = φ(s)
(r2, r1) (7.27)
a současně
χ(S1z, S2z) = χ(a)
(S1z, S2z) = −χ(a)
(S2z, S1z) (7.28)
nebo
φ(r1, r2 = φ(a)
(r1, r2 = −φ(a)
(r2, r1) (7.29)
134 «« »»
7.1. Dvě různé částice
a současně
χ(S1z, S2z) = χ(s)
(S1z, S2z) = χ(s)
(S2z, S1z) (7.30)
tj. symetrickou (antisymetrickou) funkci souřadnic kombinujeme s antisymetrickou (symetrickou)
funkcí spinových proměnných5
).
Podívejme se nyní podrobněji na jednoduchý systém6
) dvou stejných částic - elektronů v
elektronovém obalu atomu helia. Hamiltonián zmíněného systému dvou elektronů bude mít
tvar (jádro považujeme za nepohyblivé a umístíme v něm počátek souřadnicového systému
– viz obr. 7.3)
ˆH(r1, r2) = −
¯h2
2me
∆1 −
¯h2
2me
∆2 −
2e2
4π 0 |r1|
−
2e2
4π 0 |r2|
−
2e2
4π 0 |r1 − r2|
, (7.31)
kde
−
¯h2
2me
∆i je operátor kinetické energie i−tého (i = 1, 2) elektronu,
−
2e2
4π 0 |ri|
je operátor potenciální energie i−tého elektronu v poli já-
dra,
+
2e2
4π 0 |r1 − r2|
je operátor interakční energie elektronů.
Existenci spinu nebudeme pro jednoduchost uvažovat.
Obr. 7.3
Dva elektrony (−e) v poli heliového
jádra (+2e). Předpokládáme, že jádro
je nepohyblivé v počátku souřad-
nic.
x
y
z
+2e
r2
r1
r2 − r1
−e
−e
Vlnovou funkci ψ(r1, r2; t) popisující systém dvou elektronů v atomu helia dostaneme
řešením Schr¨odingerovy rovnice
i¯h
∂
∂t
ψ(r1, r2; t) = ˆH(r1, r2)ψ(r1, r2; t) . (7.32)
Vzhledem k tomu, že operátor ˆH(r1, r2) nezávisí na čase, můžeme řešení rovnice (7.32)
hledat ve tvaru7
)
ψ(r1, r2; t) = e−i E
¯h t
φ(r1, r2) , (7.33)
5) Poznamenejme, že i když hamiltonián soustavy nezávisí na spinových proměnných, vede princip nerozlišitelnosti k
závislosti celkové energie soustavy na výsledném spinu soustavy (viz odstavec 7.1.3.
6) Je-li tento systém jednoduchý, co si počneme se složitými systémy?
7) Pokud vám je tato věta povědomá, tak jste pozorně četli stranu 31.
«« »» 135
7. Soustavy stejných částic
kde funkce φ(r1, r2) je řešením stacionární Schr¨odingerovy rovnice
ˆH(r1, r2)φ(r1, r2) = Eφ(r1, r2) (7.34)
a E - vlastní hodnota hamiltoniánu (7.31) - má význam energie naší soustavy dvou elektronů
v atomu helia.
Řešit přesně rovnici (7.34) není možné, ale z tvaru hamiltoniánu (7.31) lze učinit důležitý
poznatek o charakteru řešení. Elektrony jsou stejné částice, a proto je hamiltonián (7.31)
invariantní8
) vůči záměně souřadnic r1 r2, tj.
ˆH(r1, r2) = ˆH(r2, r1) (7.35)
Místo rovnice (7.34) můžeme tedy psát
ˆH(r2, r1)φ(r1, r2) = Eφ(r1, r2) (7.36)
a záměnou r1 r2, ve všech členech (7.36) dostáváme
ˆH(r1, r2)φ(r2, r1) = Eφ(r2, r1) . (7.37)
Srovnáme-li rovnice (7.34) a (7.37) můžeme tvrdit:
Je-li funkce φ(r1, r2) řešením Schr¨odingerovy rovnice (7.34), příslušná vlastní hodnotě E,
potom funkce φ(r2, r1) je rovněž řešením téže Schr¨odingerovy rovnice (7.34), a přísluší téže
vlastní hodnotě E.
Z principu nerozlišitelnosti mikročástic plyne, že možný stav systému může popisovat
pouze symetrická nebo antisymetrická vlnová funkce. Funkce φ(r1, r2) a φ(r2, r1), jež jsou
řešeními Schr¨odingerovy rovnice, však obecně tuto vlastnost mít nemusejí (srovnej také
rovnici VII.4.6. doplnit!!). Ukážeme si nyní, jak lze z těchto funkcí φ(r1, r2) a φ(r2, r1)
vytvořit vlnovou funkci, která již možný stav systému popisovat může.
Jsou-li φ(r1, r2), φ(r2, r1) řešením Schr¨odingerovy rovnice pro tutéž vlastní hodnotu E,
potom také každá jejich lineární kombinace
ψ(r1, r2) = c1φ(r1, r2) + c2φ(r2, r1) (7.38)
je řešením Schr¨odingerovy rovnice příslušejícím k vlastní hodnotě E. Koeficienty c1, c2 můžeme
však vybrat tak, aby výsledná funkce ψ(r1, r2) již byla symetrická nebo antisymetrická.
Funkci symetrickou ψ(s)
(r1, r2) dostaneme zřejmě pro c1 = c2 = 1, funkci antisymetrickou
ψ(a)
(r1, r2) dostaneme pro c1 = −c2 = 1 :
ψ(s)
(r1, r2) = φ(r1, r2) + φ(r2, r1) (7.39)
ψ(a)
(r1, r2) = φ(r1, r2) − φ(r2, r1) (7.40)
Nyní již skutečně platí9
)
ψ(s)
(r2, r1) = ψ(s)
(r1, r2) (7.41)
a
ψ(a)
(r2, r1) = −ψ(a)
(r1, r2) (7.42)
8) Neměnný.
9) Otázka normalizace těchto vlnových funkcí není v této souvislosti podstatná, proto ji zde pomineme.
136 «« »»
7.1. Dvě různé částice
Tento postup - symetrizace a antisymetrizace řešení - můžeme zobecnit i na případ více
než dvou částic se spinem.
7.1.3. Molekula vodíku. Chemická vazba
Jedním z prvních úspěchů kvantové mechaniky bylo objasnění tzv. homeopolárních vazeb.
Chemie zná dva hlavní typy vazeb: iontovou (heteropolární) a homeopolární. Jestliže si
můžeme molekulu představit složenou z kladných a záporných iontů (např.NaCl = Na+
+
Cl−
), jde o vazbu iontovou. Hlavní roli v iontové vazbě hraje zřejmě elektrostatická přitažlivost
opačně nabitých iontů na dlouhou vzdálenost a vzájemné odpuzování překrývajících se
elektronových obalů na krátkou vzdálenost. Úhrnná potenciální energie systému dvou iontů
má tedy v závislosti na jejich vzájemné vzdálenosti R tvar
U(R) = −
1
4π 0
e2
R
+
α
Rm
, (7.43)
kde α > 0 a m > 1 jsou empirické konstanty.
Typickým příkladem homeopolární vazby je molekula vodíku H2. V tomto případě jde
o systém dvou kladných iontů H+
Aa H+
B, v jejichž poli se pohybují dva záporné elektrony
1, 2. Jádra A a B považujeme za nehybná. Tuto vazbu se podařilo uspokojivě vysvětlit až
v rámci kvantové mechaniky, přičemž důležitou roli sehrál, jak ostatně v dalším uvidíme,
právě zmiňovaný princip nerozlišitelnosti stejných částic. Ten totiž vyžaduje, aby úplná
vlnová funkce (včetně spinových proměnných) této soustavy elektronů byla antisymetrická.
Obr. 7.4
Molekula vodíku. V poli nehybných jader A a
B se pohybují dva elektrony 1 a 2. Je užito
toto značení:
R = rB − rA , rA1 = r1 − rA ,
rA2 = r2 − rA , RB1 = r1 − rB ,
rB2 = r2 − rB , r12 = r2 − r1 . 0
A
+e
B
+e
1
−e
2
−e
rB
rA
r1 r2
R
rA1
rA2
rB1
rB2
r12
Hamiltonián soustavy elektronů 1 a 2 v poli jader A a B je roven (obr. 7.4)
ˆH(r1, r2) = −
¯h2
2me
∆1 −
¯h2
2me
∆2 −
e2
4π 0 |rA1|
−
e2
4π 0 |rA2|
−
e2
4π 0 |rB1|
− (7.44)
−
e2
4π 0 |rB2|
+
e2
4π 0 |r12|
, (7.45)
«« »» 137
7. Soustavy stejných částic
kde
−
¯h2
2me
∆i je operátor kinetické energie i−tého (i = 1, 2) elektronu,
−
e2
4π 0 |rAi|
je operátor potenciální energie i−tého elektronu v poli jádra
A,
−
e2
4π 0 |rBi|
je operátor potenciální energie i−tého elektronu v poli jádra
B,
+
e2
4π 0 |r12|
je operátor interakční energie elektronů 1 a 2.
Poznamenejme, že vskutku platí ˆH(r2, r1) = ˆH(r1, r2).
Vlnovou funkci soustavy našich elektronů označme φ(r1, r2). Tuto vlnovou funkci určuje
Schr¨odingerova rovnice
ˆH(r1, r2)φ(r1, r2) = Eφ(r1, r2) (7.46)
kde ˆH je hamiltonián (7.44).
Rovnice (7.46) se dá řešit jen přibližně. Za nulové přiblížení vlnové funkce se volí při
této přibližné metodě vlnová funkce atomů vodíku, které na sebe nepůsobí. Jinak řečeno,
nulté přiblížení je řešením Schr¨odingerovy rovnice za předpokladu, že vzdálenost mezi atomy
vodíku je veliká.
Při našem řešení budeme tedy vycháyet se stavu, v němž jsou atomy vodíku od sebe
vzdáleny. Všimněme si nejprve podrobněji hamiltoniánu (7.44) naší soustavy. Označme symbolem
ˆHA(1) výraz
ˆHA(1) = −
¯h2
2me
∆1 −
e2
4π 0 |rA1|
(7.47)
a symbolem ˆHB(2) výraz
ˆHB(2) = −
¯h2
2me
∆2 −
e2
4π 0 |rB2|
. (7.48)
Je zřejmé, že ˆHA(1) je hamiltonián prvého elektronu v poli jádra A a ˆHB(2) hamiltonián
druhého elektronu v poli jádra B. Úplný hamiltonián lze pak psát ve tvaru
ˆH(r1, r2) = ˆHA(1) + ˆHB(2) + ˆW(1, 2) , (7.49)
kde
ˆW(1, 2) = −
e2
4π 0 |rA2|
−
e2
4π 0 |rB1|
+
e2
4π 0 |r12|
. (7.50)
Předpokládejme nyní, že vzdálenost R je velká a že prvý elektron je v atomu A (v
okolí jádra A) a že druhý elektron je v atomu B (v okolí jádra B). Za těchto předpokladů
lze zanedbat výraz ˆW(1, 2), který je součtem energie vzájemného působení mezi druhým
elektronem a jádrem A, energie vzájemného působení mezi prvním elektronem a jádrem B
a konečně energie vzájemného působení mezi oběma elektrony. Jsou-li atomy velmi daleko
138 «« »»
7.1. Dvě různé částice
od sebe, jsou všechny tyto tři veličiny malé. V nultém přiblížení lze tedy v rovnici (7.49)
zanedbat člen ˆW(1, 2). Tím se Schr¨odingerova rovnice (7.46) zjednoduší na tvar
ˆHA(1) + ˆHB(2) φ0(r1, r2) = Eφ0(r1, r2) . (7.51)
Hamiltonián v rovnici (7.51) je součtem jednoelektronových hamiltoniánů (7.47) a (7.48), a
proto můžeme provést separaci proměnných, tj. můžeme psát
φ0(r1, r2) = ϕA(rA1)ϕB(rB2) . (7.52)
Dosadíme-li (7.52) do (7.51), po úpravě dostaneme
1
ϕA(rA1)
ˆHA(1)ϕA(rA1) +
1
ϕB(rB2)
ˆHB(2)ϕB(rB2) = E0 . (7.53)
První člen na levé straně této rovnice je jen funkcí r1 a druhý člen je jen funkcí souřadnice
r1, přičemž součet těchto členů je roven konstantě — její hodnota je E0. To je možné jen
tehdy, když oba tyto členy jsou rovny jisté konstantě10
). Označíme-li tyto konstanty pořadě
EA(1) a EB(2), dostáváme jednu rovnici pro funkci ϕA a jednu rovnici pro funkci ϕB:
ˆHA(1)ϕA(rA1) = EA(1)ϕA(rA1) , (7.54)
ˆHB(2)ϕB(rB2) = EB(2)ϕB(rB2) , (7.55)
přičemž zřejmě
E0 = EA(1) + EB(2) . (7.56)
Řešení rovnic (7.54) a (7.55) známe, jde o vlnové funkce atomu vodíku. Poněvadž nám
půjde o nalezení stavu molekuly vodíku s nejnižší energií (tzv. základní stav), budeme volit
atomové vlnové funkce, jež odpovídají stavu s n = 1 (viz odstavec V.2.2):
ϕA(rA1) =
2
4πa3
B
exp −
rA1
aB
(7.57)
ϕB(rB1) =
2
4πa3
B
exp −
rB2
aB
, (7.58)
přičemž
EA(1) = EB(2) = E1 = −13,6eV . (7.59)
Z postulátu 5 víme, že stav soustavy stejných částic může popisovat pouze symetrická
nebo antisymetrická vlnové funkce. Funkce φ0(r1, r2) daná vztahem (7.52) však sama tuto
vlastnost zřejmě nemá. Můžeme však z ní podle vztahu (7.39) (respektive (7.40)) vytvořit
antisymetrickou φ
(s)
0 (r1, r2) (respektive φ
(a)
0 (r1, r2)) vlnovou funkci, která již bude v nultém
přiblížení představovat řešení problému s hamiltoniánem (7.44):
φ
(s)
0 (r1, r2) = As
[φ0(r1, r2) + φ0(r2, r1)] , (7.60)
φ
(a)
0 (r1, r2) = Aa
[φ0(r1, r2) − φ0(r2, r1)] , (7.61)
10) Pouze sečtením konstant dostaneme konstantu
«« »» 139
7. Soustavy stejných částic
kde As
a Aa
jsou takové, aby vlnové funkce (7.60), (7.61) byly normalizované. Poněvadž
funkce ϕA(rA1) a ϕB(rB1), resp. ϕA(rA2) a ϕB(rB2), nejsou zřejmě ortogonální, nejsou As
a
Aa
konstanty, ale jsou závislé na parametru R, tj. As
= As
(R) a Aa
= Aa
(R).
Zatím jsme nebrali v úvahu spin elektronů. Poněvadž hamiltonián (7.44) naší soustavy
na spinech nezáleží, můžeme postupovat obdobně jako v předcházejícím odstavci a psát
úplné vlnové funkce systému elektronů ve tvaru11
) (viz rovnice (7.27 až (7.30))
1
ψ0(q1, q2) = φ
(s)
0 (r1, r2)χ(a)
(S1z, S2z) , (7.62)
3
ψ
(
0q1, q2) = φ
(a)
0 (r1, r2)χ(s)
(S1z, S2z) , (7.63)
tj. antisymetrickou úplnou funkci ψ(q1, q2) vytvoříme buď jako součin symetrické funkce
prostorových proměnných a antisymetrické funkce spinových proměnných12
), nebo jako
součin antisymetrické funkce prostorových proměnných a symetrické funkce spinových
proměnných13
).
Dostali jsme tak dvě vlnové funkce 1
ψ0(q1, q2) a 3
ψ
(
0q1, q2) nulového (někdy též ..v nultém
přiblížení) popisující dva různé stavy systému elektronů v molekule H2. Energie systému
elektronů se pak v další aproximaci vypočítá jako střední hodnota operátoru ˆH(r1, r2),
daného vztahem (7.44), ve stavu 1
ψ0(q1, q2) (hodnota Es
e ), respektive ψ30(q1, q2) (pro Ea
e )
nulté aproximace, tj:
Es
e = φ
(s)∗
0 (r1, r2) ˆH(r1, r2)φ
(s)
0 (r1, r2)d3
r1d3
r2 , (7.64)
Ea
e = φ
(a)∗
0 (r1, r2) ˆH(r1, r2)φ
(a)
0 (r1, r2)d3
r1d3
r2 , (7.65)
Zdůrazněme, že takto spočtená energie souboru elektronů v molekule vodíku závísí na vzdálenosti
jader R. Abychom dostali celkovou energii molekuly vodíku, musíme ke spočtené
energii systéme elektronů přičíst potenciální energii iontů, kterážto je rovna:
V (R) =
e2
4π 0R
. (7.66)
Pro celkovou energii molekuly tedy platí:
Es
celk(R) = Es
e (R) + V (R) (7.67)
jestliže jsou elektrony ve stavu 1
ψ0(q1, q2), a
Ea
celk(R) = Ea
e (R) + V (R) (7.68)
jestliže jsou elektrony ve stavu 3
ψ0(q1, q2).
Závislost Es
celk(R) a Ea
celk(R) na parametru R je vynesena na obr. 52. Z tohoto grafu
vyplývá, že funkce 1
ψ0(q1, q2) popisuje stav, kdy při vzdálenosti R = R0 má celková energie
systému minimum, tj. vytváří se molekula. Takto vypočtená vzdálenost R0 mezi jádry A a
B v molekule H2 dobře souhlasí s hodnotou experimentálně získanou.
Na to, že vlnová funkce 1
ψ0(q1, q2) popisuje stav, kdy se mezi ionty H+
vytvoří chemická
vazba, a naproti tomu, že vlnová funkce 3
ψ
(
0q1, q2) k takové vazbě nevede, můžeme
(lehce) usoudit z hustoty pravděpodobnosti výskytu elektronů, které tyto vlnové funkce
11) Ten, kdo vydrží až do konce se v posledním odstavci dozví, pro mají funkce ψ0(q1, q2) horní indexy právě takové.
12) Ecce (což značí ejhle, hle) naše 1ψ0(q1, q2)
13) Ecce (což značí to stejné) naše 3ψ
(
0q1, q2).
140 «« »»
7.1. Dvě různé částice
R
EC
2E1
Ea
C
Es
C
R0
vazebné energie molekuly
Obr. 7.5 Závislost celkové energie soustavy tvořené dvěma vodíkovými atomy na vzdálenosti R
jejich jader (E1 = −13,6 eV je energie základního stavu atomu vodíku). Ve stavu 1ψ
(odpovídající energie je Es
celk) se vytvoří stabilní molekula. Vzdálenost mezi jádry v
molekule H2 vychází R00,74 · 10−10
m energie je Ea
celk) se chemická vazba nevytvoří.
udávají. Na symetrické rovině mezi oběma jádry A a B platí rA1 = rB1, rA2 = rB2, a
tedy vzhledem ke tvaru vlnových funkcí ϕA a ϕB základního stavu atomu vodíku (viz rovnice
(7.57), (7.58)) musí platit ϕA(rA1)ϕB(rB2) = ϕA(rA2)ϕB(rB1). Hodnota vlnové funkce
φ
(a)
0 (r1, r2), dané vztahem (7.61), na této symetrické rovině je tudíž nulová, kdežto hodnota
vlnové funkce φ
(s)
0 (r1, r2) jest od nuly různá. Z toho lze soudit, že vlnové funkce φ
(s)
0 (r1, r2)
(a tedy i 1
ψ0(q1, q2)) popisuje stav, kdy se mezi kladnými jádry utvoří ”dostatečně velký obláček”
záporného náboje elektronů, který zprostředkuje vazbu. Naproti tomu vlnové funkce
φ
(a)
0 (r1, r2),a tedy i 3
ψ0(q1, q2) k takovému ”obláčku” nevede.
Vzhledem k Pauliho vylučovacímu principu můžeme soudit, že spinová vlnová funkce
χ(a)
(S1z, S2z) ve vztahu (7.62) popisuje případ, kdy elektrony mají spin opačný ↑↓ a tedy výsledný
spin elektronů v molekule vodíku nulový, kdežto spinová vlnová funkce χ(s)
(S1z, S2z)
ve vztahu (7.63) popisuje případ, kdy spiny elektronů jsou rovnoběžné ↑↑ a tedy výsledný
spin soustavy elektronů v molekule je roven ¯h. Uvážíme-li možné průměty výsledného spinu
do osy z, vidíme, že funkci 1
ψ0(q1, q2) odpovídá jediný možný průmět spinu rovný nule,
zatímco pro funkci 3
ψ0(q1, q2) existují tři možné průměty (rovny 0, ¯h, −¯h). Stav s energií
Es
celk je tudíž nedegenerovaný a stav s energií Ea
celk je trojnásobně degenerovaný. Tím je
také vysvětlen smysl indexů 1 a 3 u vlnových funkcí 1
ψ0(q1, q2) a 3
ψ0(q1, q2).
Kdo to dočetl až sem, je borec!
«« »» 141
8 Dodatek
8.1. Posuv čar atomu vodíku, redukovaná hmotnost
V následujícím odstavci se pokusíme ukázat, jak se změní řešení Bohrova modelu atomu
vodíku v případě, kdy nepovažujeme jeho jádro za nehybné1
). V tom případě je nutno
celý problém řešit v soustavě těžišťové, neboť jádro i elektron kolem tohoto společného
těžiště „krouží . Kvantovací podmínku (1.17) (popisující postulát o stacionárních stavech)
lze přepsat ve tvaru
L = mevr = n¯h , v = ωr ⇒ meωr2
= n¯h . (8.1)
Vztah, ze kterého lze určit polohu těžiště je
mere = Mjrj , (8.2)
kde
r = re + rj . (8.3)
Celkový moment hybnosti atomu vodíku je pak
L = meωr2
e + Mjωr2
j . (8.4)
Úhlová rychlost ω je pro obě částice stejná. Bohrův postulát 1.17 na straně 8 má pak tvar
meωr2
e + Mjωr2
j = n¯h . (8.5)
Z rovnic (8.2) a (8.3) plyne, že
re =
Mj
Mj + me
r (8.6)
a
rj =
me
Mj + me
r , (8.7)
takže podmínka (8.5) má tvar
meMj
me + Mj
ωr2
= n¯h . (8.8)
K započtení pohybu jádra je nutné „upravit i rovnici (1.19). Její správný tvar je nyní
meω2
re =
1
4π 0
e2
r2
, (8.9)
1) Rozumějme nekonečněkrát „hmotnější než je hmotnost kolem něj obíhajícího elektronu. Připomeňme ještě, že hmotnost
protonu je přibližně 1836-krát větší než hmotnost elektronu.
142 «« »»
8.2. Gaussova funkce a její graf
neboť elektron se pohybuje po kruhové dráze o poloměru re, kdežto elektrostatická coulombovská
síla působí na vzdálenosti r. Zavedeme-li tzv. redukovanou hmotnost:
m =
meMj
me + Mj
(8.10)
zjistíme, že rovnice (8.8) a (8.9) lze psát ve tvaru
m ωr2
= n¯h , (8.11)
a
meω2
re =
1
4π 0
e2
r2
. (8.12)
S těmito vztahy lze tedy „zacházet úplně stejně, jako se vztahy již dříve odvozenými pro
případ nepohyblivého jádra Mj. Tedy výraz
En = −
1
2
mee4
(4πε0)
2
¯h2
1
n2
, n = 1, 2, 3, . . . (8.13)
představuje obdobný vztah pro výpočet celkové energie elektronu v poli protonu jako rovnice
(1.28) pouze s tím rozdílem, že hmotnost me elektronu je „nahrazena redukovanou
hmotností elektronu me. Na závěr této části dodatku můžeme spočítat, jak se energiové
hladiny změní, je-li započten pohyb jádra - relativní změna energie bude nejspíš rovna:
me
me
=
Mj
Mj + me
=
1836
1837
= 0,99945 , (8.14)
což představuje zvýšení energie o cca 0,05 procenta2
). Hodnota Rydbergovy konstanty R
na osm platných čísel bez korekce na pohyb jádra je R = 1,0973731 · 107
m−1
; korekcí se
snižuje na R = 1,0967758 · 107
m−1
. Poznamenejme ještě, že pojem „redukovaná hmota
sehrál významnou roli při objevu deuteria3
). Vzhledem k větší atomové hmotnosti jsou
spektrální čáry deuteria posunuty ke kratším vlnovým délkám - čára nazývaná Hα má
u deuteria vlnovou délku rovnu 656,1 nm oproti stejné u vodíku 653,3 nm. Tento sice malý
(ale detekovatelný) rozdíl v poloze čar je postačující k identifikaci deuteria.
8.2. Gaussova funkce a její graf
Zde má být malé pojednání o Gaussově zvonovce a rovněž uveden její graf. Je to úvod
k vlnovým klubkám z kapitoly 1 na straně 22.
8.3. Potenciálový schod
Matematické úpravy vedoucí k vyjádření hustoty pravděpodobnosti výskytu částice v poli
potenciálového schodu (viz strana 143)
2) Záporné En mají nyní menší absolutní hodnoty.
3) Jádro deuteria je složeno z protonu a neutronu, obal tvoří jeden elektron.
«« »» 143
8. Dodatek
(a) Energie E < V0
ϕI(x) =
A
ik − α
(ik − α)eikx
+ (ik + α)e−ikx
= (8.15)
=
A
ik − α
[(ik − α)(cos kx + i sin kx) (8.16)
+(ik + α)(cos kx − i sin kx)] (8.17)
(8.18)
=
A
ik − α
[ik cos kx − k sin kx − α cos kx − iα sin kx + ik cos kx (8.19)
+k sin kx + α cos kx − iα sin kx] (8.20)
=
A
ik − α
(2ik cos kx − 2iα sin kx) =
2iA
ik − α
(k cos kx (8.21)
−α sin kx) =
2iA
√
k2 + α2
ik − α
k
√
k2 + α2
cos kx −
α
√
k2 + α2
sin kx (8.22)
=
2iA
√
k2 + α2
ik − α
(cos γ cos kx − sin γ sin kx) =
2iA
√
k2 + α2
ik − α
cos(kx + γ) (8.23)
tedy
ϕI(x) =
2i
√
k2 + α2
ik − α
A cos(kx + γ) , (8.24)
kde
γ = arctan(α/k) a x < 0
dále
|ψI(x, t)|
2
= |ϕI(x)|
2
= ϕI(x)ϕ∗
I (x) =, (8.25)
=
2i
√
k2 + α2
ik − α
A cos(kx + γ)
2(−i)
√
k2 + α2
(−i)k − α
A∗
cos(kx + γ) (8.26)
=
−4i2
(k2
+ α2
)
ik − α
A A∗
cos2
(kx + γ)
1
(−1)(ik + α)
(8.27)
=
−4(k2
+ α2
)
(ik − α)
A A∗
cos2
(kx + γ)
1
(ik + α)
(8.28)
=
−4(k2
+ α2
)
(ik)2 − α2
A A∗
cos2
(kx + γ) (8.29)
= 4 |A|
2
cos(kx + γ) (8.30)
8.4. Více o hermitovských operátorech
144 «« »»
8.4. Více o hermitovských operátorech
Následující řádky rozšiřují výklad o hermitovských operátorech uvedený v odstavci 4.2.
8.4.1. Definice
Lineární operátor ˆO se nazývá hermitovský, jestliže pro libovolné ϕ ∈ F a ψ ∈ F platí
tato rovnost:
( ˆO ϕ, ψ) = (ϕ, ˆO ψ) , (8.31)
což můžeme podle definice skalárního součinu (4.5) zapsat také takto:
( ˆO ϕ)∗
ψ , dτ = ϕ∗
(ˆO ψ) , dτ . (8.32)
8.4.2. Vlastnosti vlastních hodnot a vlastních funkcí hermitovských operátorů
Lemma
Je-li operátor ˆO hermitovský, potom pro libovolné ϕ ∈ F číslo (střední hodnota operátoru
ˆO ve stavu ϕ)
( ˆO ϕ, ϕ) (8.33)
je reálné.
Důkaz
Z vlastnosti skalárního součinu (4.5) plyne
(ϕ, ˆO ϕ)∗
= ( ˆO ϕ, ϕ) .
Z druhé strany podle definice (1) hermitovského operátoru platí
(ϕ, ˆO ϕ) = ( ˆO ϕ, ϕ) .
Poněvadž pravé strany obou rovnic jsou stejné, musí se rovnat i jejich levé strany. Tak
dostáváme, že
(ϕ, ˆO ϕ)∗
= (ϕ, ˆO ϕ) ,
z čehož plyne, že číslo (ϕ, ˆO ϕ) je reálné.
Věta 1
Vlastní hodnoty hermitovského operátoru jsou reálné.
Důkaz
ˆO buď hermitovský operátor a u jeho vlastní funkce příslušející vlastní hodnotě λ, tj.
ˆO u = λu .
Udělejme skalární součin levé i pravé strany této rovnice s funkcí u; dostaneme
(u, ˆO u) = (u, λu) .
Vzhledem k vlastnosti (4.6) skalárního součinu platí
(u, λu) = λ(u, u) ,
«« »» 145
8. Dodatek
a proto můžeme psát
(u, ˆO u) = λ(u, u) .
Podle lemmatu víme, že levá strana této rovnice je rovna reálnému číslu. Poněvadž i skalární
součin (u, u) je podle vztahu (4.8) roven reálnému číslu, musí být i číslo λ reálné a to bylo
třeba dokázat.
Věta 2
Vlastní funkce příslušné k různým vlastním hodnotám hermitovského operátoru jsou
navzájem ortogonální
Důkaz
Nechť ˆO je hermitovský operátor a nechť un a um jsou dvě vlastní funkce příslušející
vlastním hodnotám λn a λm = λn tohoto operátoru, tj.
ˆOun = λnun , (8.34)
ˆOum = λmum . (8.35)
Podle definice (8.31) musí platit
(un, ˆO um) = ( ˆO un, um) .
Dosadíme-li sem z rovnic (8.34), (8.35), dostaneme
(un, λmum) = (λnun, um) .
Užijeme-li vlastnosti (4.6) a (4.7) skalárního součinu, můžeme psát
λm(un, um) = λ∗
n(un, um) .
Poněvadž vlastní hodnoty hermitovského operátoru jsou reálné, tj. λ∗
n = ln, obdržíme
(λm − λn)(un, um) = 0 .
pro λm = λn lze tuto rovnici splnit pouze, je-li
(un, um) = u∗
num , dτ = 0 ,
což bylo třeba dokázat.
8.4.3. Součet a součin hermitovských operátorů
Při zjišťování toho, zda daný operátor je hermitovský, jsou často užitečná následující
tvrzení4
)
Věta 3a
Nechť operátory ˆO1 a ˆO2 jsou hermitovské. Potom operátor ˆO = ˆO1 + ˆO2 je rovněž
hermitovský.
4) Pro jejich důkazy si připomeňme, jak jsou definovány operace s operátory na straně 89 – např. součet dvou operátorů
(4.17), c-násobek operátoru (4.20), součin dvou operátorů (4.21), a dále si připomeňme vlastnosti skalárního součinu
vyjádřené vztahy (4.4) – 4.8.
146 «« »»
8.4. Více o hermitovských operátorech
Důkaz
( ˆOϕ, ψ) = ( ˆO1 + ˆO2)ϕ, ψ = ( ˆO1ϕ + ˆO2ϕ, ψ) =
= ( ˆO1ϕ, ψ) + ( ˆO2ϕ, ψ) = (ϕ, ˆO1p) + (ϕ, ˆO2ψ) =
= (ϕ, ˆO1ψ + ˆO2ψ) = ϕ, ( ˆO1 + ˆO2)ψ = (ϕ, ˆOψ) .
Věta 3b
Nechť ˆAje hermitovský operátor a α reálné číslo. Potom operátor ˆB = α ˆA je rovněž
hermitovský.
Důkaz
( ˆBϕ, ψ) = (α ˆAϕ, ψ) = α∗
( ˆAϕ, ψ) = α( ˆAϕ, ψ) =
= α(ϕ, ˆAψ) = (ϕ, α ˆAψ) = (ϕ, ˆBψ) .
Upozornění:
Pokud by α bylo komplexní číslo (α∗
= α), operátor ˆB = α ˆA by již nebyl hermitovský.
Věta 3c
Nechť ˆO1 a ˆO2 jsou dva hermitovské operátory, které komutují, tj. ˆO1
ˆO2 = ˆO2
ˆO1 .
Potom operátor ˆO = ˆO1
ˆO2 je rovněž hermitovský.
Důkaz
( ˆOϕ, ψ) = ( ˆO1
ˆO2)ϕ, ψ = ˆO1( ˆO2ϕ, ψ =
= ( ˆO2ϕ, ˆO1ψ) = ϕ, ˆO2( ˆO1ψ) = f, ( ˆO2
ˆO1)ψ =
= ϕ, ( ˆO1
ˆO2)ψ = (ϕ, ˆOψ) .
Důsledek
Je-li ˆO hermitovský operátor, je jeho n=tá mocnina ˆOn
opět hermitovský operátor.
8.4.4. Vlastní funkce komutujících operátorů
V kvantové mechanice je důležitá otázka, kdy dva hermitovské operátory mohou mít
společný systém vlastních funkcí. Tuto otázku řeší následující věta:
Věta 4a
Jestliže dva hermitovské operátory ˆA a ˆB komutují, tj. platí
ˆA ˆB = ˆB ˆA , (8.36)
potom lze pro ně najít společný soubor vlastních funkcí.
«« »» 147
8. Dodatek
Důkaz
Nechť uα je vlastní funkce, příslušející vlastní hodnotě operátoru ˆA, tj.
ˆAuα = αuα .
Vynásobíme tuto rovnici zleva operátorem ˆB:
ˆB ˆAuα = α ˆBuα . (8.37)
Poněvadž operátory ˆA a ˆB komutují, tj. platí pro ně vztah (8.36), můžeme na levé straně
rovnice (8.37) zaměnit součin ˆBDodaa za Dodaa ˆB, čímž dostáváme
Dodaa( ˆBuα) = α( ˆBuα) .
Z této rovnice plyne, že funkce ψ = ˆBuα je také vlastní funkcí operátoru Dodaa příslušející
vlastní hodnotě α. Pokud je vlastní hodnota α nedegenerovaná, potom jí přísluší jediná
(lineárně nezávislá) vlastní funkce, a proto funkce ψ = ˆBuα se může lišit od funkce uα jen
číselným faktorem. Označíme-li tento faktor β, můžeme psát
Dodaauα = βuα ,
odkud je vidět, že funkce uα je také vlastní funkcí operátoru ˆB, příslušející vlastní hodnotě
β.
Pokud vlastní hodnota α je degenerovaná, nebudou vlastními funkce u(i)
α , i = 1, 2, . . . , g,
operátoru Dodaa obecně vlastními funkcemi operátoru ˆB. Dá se však ukázat, že i v tomto
případě je možné vytvořit z funkcí u(i)
α takové lineární kombinace
ϕj =
g
i=1
ajiu(i)
α ,
které budou vlastními funkcemi operátoru ˆB (podrobný důkaz viz [5]).
Věta 4b
Jestliže dva hermitovské operátory pdfSeznamLiteratury a ˆB mají společný úplný systém
vlastních funkcí, potom komutují.
8.4.5. Operátory souřadnice a hybnosti a další
Ukážeme si, že operátor hybnosti ˆpx = −i¯h∂/(∂x) je hermitovským operátorem na množině
funkcí, které pro |x| → ∞ jsou k nule. Proto uvažujme skalární součin
(ϕ, ˆpxψ) =
∞
−∞
ϕ∗
−i¯h
∂
∂x
dx = −i¯h
∞
−∞
ϕ∗ ∂ψ
∂x
dx = −i¯h[ϕ∗
ψ]∞
−∞ + i¯h
∞
−∞
∂ϕ∗
∂x
ψ dx .
Zde jsme provedli integraci per partes. Z předpokladu o množině funkcí plyne, že pro hodnoty,
které tvoří meze tohoto integrálu, jsou funkce ϕ a ψ rovny nule, a tedy člen [ϕ∗
ψ]∞
−∞
je rovněž nulový. Uvažovaný skalární součin můžeme pak dále převést na tvar
(ϕ, ˆpxψ) =
∞
−∞
−i¯h
∂
∂x
∗
ψ dx = (ˆpxϕ, ψ) .
Zjistili jsme, že operátor ˆpx splňuje podmínku (8.31), a je tudíž hermitovský.
148 «« »»
8.5. Některé žertovné matematické úpravy
Operátor souřadnice ˆx = x, který představuje násobení reálným číslem, je zřejmě hermitovský;
platí
(ϕ, ˆxψ) = ϕ∗
(xψ) dx = (xϕ)∗
ψ dx = (ˆxϕ, ψ) .
Operátory měřitelných fyzikálních veličin, které mají klasickou analogii, jako např. operátor
celkové energie (str. 97), operátory složek momentu hybnosti (strana 98) aj., můžeme zkonstruovat
ze „základních operátorů souřadnice a hybnosti (viz návod na straně 96). Zda je
nový operátor vytvořený z hermitovských operátorů souřadnice a hybnosti také hermitovský,
můžeme pak snadno zjistit s pomocí vět 3a–c.
8.5. Některé žertovné matematické úpravy
Výpočet komutátorů
Komutátor [ˆx, ˆpx]:
[ˆx, ˆpx] ϕ(x) = (ˆxˆpx − ˆpx ˆx) ϕ(x) = ˆx −i¯h
d
dx
ϕ(x) − −i¯h
d
dx
(xϕ(x)) =
−xi¯h
dϕ(x)
dx
+ i¯hϕ(x) + xi¯h
dϕ(x)
dx
= i¯hϕ(x)
Tedy komutátor [ˆx, ˆpx] je roven výrazu i¯h.
Čemu je roven komutátor [ˆpx, ˆx]?
Výpočet komutátoru ˆLx, ˆLy :
ˆLx, ˆLy = ˆLx
ˆLy − ˆLy
ˆLx = (ˆyˆpz − ˆzˆpy) (ˆzˆpx − ˆxˆpz) −
− (ˆzˆpx − ˆxˆpz) (ˆyˆpz − ˆzˆpy) =
= (ˆyˆpz ˆzˆpx − ˆyˆpz ˆxˆpz − ˆzˆpy ˆzˆpx + ˆzˆpy ˆxˆpz) −
− (ˆzˆpx ˆyˆpz − ˆzˆpx ˆzˆpy − ˆxˆpz ˆyˆpz + ˆxˆpz ˆzˆpy) =
ˆyˆpz ˆzˆpx − ˆyˆpz ˆxˆpz − ˆzˆpy ˆzˆpx + ˆzˆpy ˆxˆpz − ˆzˆpx ˆyˆpz + ˆzˆpx ˆzˆpy + ˆxˆpz ˆyˆpz − ˆxˆpz ˆzˆpy =
Využijeme-li správně komutačních relací 5.4, můžeme pokračovat:
= ˆyˆpz ˆpx ˆz − ˆyˆxˆpz ˆpz − ˆzˆzˆpy ˆpx + ˆzˆxˆpy ˆpz − ˆzˆyˆpx ˆpz + ˆzˆzˆpx ˆpy + ˆxˆyˆpz ˆpz − ˆxˆpz ˆpy ˆz =
= ˆyˆpx ˆpz ˆz − ˆyˆxˆpz ˆpz − ˆzˆzˆpy ˆpx + ˆxˆzˆpy ˆpz − ˆyˆzˆpx ˆpz + ˆzˆzˆpy ˆpx + ˆyˆxˆpz ˆpz − ˆxˆpy ˆpz ˆz =
= ˆyˆpx ˆpz ˆz + ˆxˆpy ˆzˆpz − ˆyˆpx ˆzˆpz − ˆxˆpy ˆpz ˆz =
= ˆyˆpx (ˆpz ˆz − ˆzˆpz) + ˆxˆpy (ˆzˆpz − ˆpz ˆz) =
= ˆyˆpx [ˆpz, ˆz] − ˆxˆpy [ˆpz, ˆz] = −ˆyˆpx [ˆz, ˆpz] + ˆxˆpy [ˆz, ˆpz] =
[ˆz, ˆpz] (ˆxˆpy − ˆyˆpx) = i¯hˆLz .
8.6. Vektorový prostor – úvod
«« »» 149
8. Dodatek
Vektorovým prostorem V nazýváme množinu prvků (vektorů) uzavřenou vzhledem ke
dvěma operacím:
• sčítání vektorů,
• násobení vektorů čísly.
Přitom musí pro každé vektory |ψ1 , |ψ2 a každá čísla5
) α, β platit:
1.
|ψ1 + |ψ2 = |ψ2 + |ψ1 = |ψ2 + ψ1 , (8.38)
2.
|ψ2 + ψ1 + |ψ3 = |ψ1 + |ψ2 + ψ3 , (8.39)
3. Existuje jediný nulový vektor |0 , pro nějž platí
|ψ + |0 = |ψ , (8.40)
4.
α(|ψ1 + ψ2 ) = α|ψ1 + α|ψ2 = |αψ1 + |αψ2 , (8.41)
5.
(α + β)|ψ = α|ψ + β|ψ , (8.42)
6.
α(β|ψ ) = (αβ)|ψ , (8.43)
7.
1|ψ ) = |ψ , (8.44)
8.
0|ψ ) = |0 = 0. (8.45)
Vektorový prostor nazýváme N rozměrným, existuje-li v něm N (ale ne více) lineárně
nezávislých vektorů.
Říkáme, že vektorový prostor je nekonečněrozměrný, když pro každé přirozené N v něm
lze najít N lineárně nezávislých vektorů.
Každou uspořádanou množinu |ψi ∈ V lineárně nezávislých vektorů, pro niž platí, že
každý jiný vektor |ψ ∈ V je lineárně závislý na vektorech této množiny, nazýváme bází
vektorového prostoru V.
Funkcionálem F rozumíme předpis, podle kterého každému vektoru |ψ z V přiřadíme
číslo F(|ψ ).
5) Pokud jsou tato čísla α, β reálná, vektorový prostor se zove reálný, pokud jsou tato čísla komplexní, vektorový prostor se
zove komplexní. Poněvadž raději pracujete s reálnými čísly, budete asi zpočátku smutní, až zjistíte, že se v dalším budeme
zabývat pouze vektorovými prostory komplexními.
150 «« »»
8.6. Vektorový prostor – úvod
Lineárním (resp. antilineárním) funkcionálem nazýváme funkcionál F, který splňuje
vztahy:
F(|ψ + |ϕ ) = F(|ψ ) + F(|ϕ ),
a
F(α|ψ ) = αF(|ψ )
(resp. pro antilineární
F(α|ψ ) = α∗
F(|ψ )
6
))
pro libovolné vektory |ψ , |ϕ a libovolné číslo α.
Funkcionál dvou nezávislých proměnných |ψ , |ϕ , který je lineární vůči |ψ a antilineární
vzhledem k |ϕ , (a jehož hodnota je pro každý vektor |ψ = |ϕ = 0 kladná) nazýváme skalárním
součinem. Používáme pro něj symboliku ϕ|ψ , pomocí které lze vlastnosti skalárního
součinu zapsat takto:
1.
ϕ|ψ1 + ψ2 = ϕ|ψ1 + ϕ|ψ2 , (8.46)
2.
ϕ|αψ = α ϕ|ψ , (8.47)
3.
ψ|ϕ = ϕ|ψ ∗
, (8.48)
4.
ψ|ψ ≥ 0, (8.49)
přičemž znaménko rovnosti platí pouze tehdy, je-li |ψ = 0.
Na tento náš skalární součin se lze dívat jako na výraz vzniklý „vynásobením dvou
symbolů: ϕ| a |ψ . Prvý člen představuje první část závorky (anglicky bracket) a tak jej
ve fyzice nazýváme bra-vektorem, zatímco druhý (tj. |ψ ) ket-vektorem. Bra-vektory tvoří
taktéž vektorový prostor. Je jím vektorový prostor lineárních funkcionálů definovaných nad
prostorem ketů tak, že funkcionál ϕ| přiřazuje ketu |ψ číslo ϕ|ψ .
Normou vektoru |ψ je nezáporné číslo
ψ = |ψ = ( ψ|ψ )1/2
= ψ|ψ .
Říkáme, že vektor |ψ je normalizovaný, je-li ψ = 1.
Vektory |ψ , |ϕ nazýváme ortogonální, když
ψ|ϕ = 0.
O množině vektorů |ψ1 , . . . , |ψN říkáme, že je ortonormalizovaná, platí-li
ψi|ψk = δik, i, k = 1, . . . , N,
6) Hvězdička zde značí komplexní sdruženost, tj. záměnu -i za i.
«« »» 151
8. Dodatek
kde
δik ≡
0 pro i = j
1 pro i = j
(8.50)
je tzv. Kroneckerovo delta.
Vektorový prostor, ve kterém je definován skalární součin, se nazývá unitární vektorový
prostor.
Říkáme, že posloupnost vektorů {|ψn } je Cauchyova typu, jestliže pro každé ε > 0
existuje n0 takové, že
|ψn − ψm < ε
pro každé n, m < n0.
Říkáme, že posloupnost vektorů {|ψn } konverguje7
) k |ψ , když
lim
n→∞
|ψn − ψ = 0.
Můžeme toto tvrzení zapsat ve tvaru |ψn → |ψ , nebo též
lim
n→∞
|ψn = |ψ .
Prostor, v němž každá Cauchyova posloupnost konverguje, se zove úplný.
Úplný unitární prostor se nazývá Hilbertovým prostorem – označme jej H.
Hilbertův prostor H, v němž existuje ortonormální báze tvořená spočetně8
) mnoha vektory
se nazývá separabilní.
Nechť H je Hilbertův prostor a {|ψj } jeho ortonormální báze. Potom libovolný vektor
|A ∈ H můžeme zapsat jako
|A =
j
aj|ψj ,
kde
aj = ψj|A .
Čísla aj jsou nám dobře známé např. složky vektoru v 3 rozměrném vektorovém prostoru,
se kterým jsme se již dávno setkali na základní škole a který nás již neděsí. Množina9
) {aj}
jednoznačně určuje vektor |A .
Jsou-li bj komponenty vektoru |B (ve stejné bázi ovšem), pak složky vektoru α|A +β|B
jsou čísla {αaj + βbj}.
Ortonormalita báze umožňuje vyjádřit skalární součin vektorů |A a |B ve tvaru
A|B =
j
a∗
j ψj|
i
bi|ψi =
j i
a∗
j bi ψj|ψi =
j i
a∗
j biδij =
j
a∗
j bj.
7) Jedná se o tzv. silnou konvergenci. Zavádí se i slabá konvergence, platí-li
lim
n→∞
ψn − ψ|ϕ = 0
pro každý vektor |ϕ ∈ V. Silná konvergence implikuje slabou konvergenci a v konečně dimenzionálních prostorech si jsou
obě ekvivalentní.
8) Lze vytvořit vzájemně jednoznačné zobrazení na množinu všech přirozených čísel, tj. i když je těchto vektorů nekonečně
mnoho, lze je „spočítat .
9) U nás bohužel zhusta komplexních čísel, nejsme již na základní škole)
152 «« »»
8.7. Diracova symbolika – úvod
Uspořádáme-li čísla aj do sloupce










a1
a2
...
aj
...










(8.51)
je pak ket vektor |A reprezentován jednosloupcovou, n řádkovou10
) maticí. Odpovídající
bra vektor je reprezentován maticí hermitovsky sdruženou; tj. A| je určen maticí
(a∗
1, a∗
2, . . . , a∗
j , . . .).
Skládání ket, resp. bra vektorů odpovídá sečítání příslušných matic a skalární součin se určí
podle pravidel maticového násobení.
8.7. Diracova symbolika – úvod
Zde se bude nacházet stručný úvod do Diracovy symboliky, který může být užitečný při
řešení problému stavu částice nacházející se v např. dvojité potenciálové jámě na stranách
65, 67.
10) n může být i ∞.
«« »» 153
Literatura
[1] Halliday, Resnick, Walker - Fyzika, VUTIUM a Prometheus, Brno 2001.
[2] Pišút J., Zajac R.: O atómoch a kvantovaní. ALFA, Bratislava 1988 (2. vyd.).
[3] Hajko V. a kol.: Fyzika v experimentoch. Veda, Bratislava 1988.
[4] Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M.: Feynmenove prednasky z fyziky 2 (překlad
z angličtiny). Alfa, Bratislava 1982 (existuje 2. vydání z roku 1985), rovněž v:
Feynmanovy přednášky z fyziky 1/3, edice Fragment, 2000.
[5] Blochincev D. I.: Základy kvantové mechaniky (překlad z ruštiny). NČSAV, Praha 1956.
[6] Pišút J., Gomolčák L., Černý V.: Úvod do kvantovej mechaniky. ALFA, Bratislava 1983
(2. vyd.).
[7] Davydov A. S.: Kvantová mechanika (překlad z ruštiny). SPN, Praha 1978.
[8] Formánek J.: Úvod do kvantové teorie. Academia, Praha 1983.
[9] Klíma J., Velický B.: Kvantová mechanika I. UK, Praha 1985.
[10] Klíma J., Velický B.: Kvantová mechanika II. UK, Praha 1989.
[11] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha 1981.
[12] tady chybí citace od Filipa na něco hezkého o STM.
[13] Dlouhá J.: Kvantová mechanika pro posluchače učitelství. Konspekt přednášek (MFF
UK). SPN, Praha 1982.
[14] Marx G.: Úvod do kvantové mechaniky (překlad z maďarštiny). SNTL, Praha 1963.
[15] Mathews P. T.: Základy kvantové mechaniky (překlad z angličtiny). SNTL, Praha 1976.
[16] Celý J.: Základy kvantové mechaniky pro chemiky, I. Principy. UJEP, Brno 1981.
[17] Celý J.: Základy kvantové mechaniky pro chemiky, II. Aplikace. UJEP, Brno 1983.
[18] Horský J.: Kvantová mechanika. UJEP, Brno 1978.
[19] Pišút J., Černý V., Prešnajder P.: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky. ALFA, Bratislava
1985.
[20] Klvaňa F., Krupka D.: Sbírka úloh z kvantové mechaniky. UJEP, Brno 1973 (skriptum).
[21] Lacina A.: Cvičení z kvantové mechaniky pro posluchače učitelství. UJEP, Brno 1989
(skriptum).
[22] Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M.: Feynman Lectures on Physics, Vol. 3.
Addison-Wesley, Reading 1963. (Ruský překlad: Mir, Moskva 1967, 1978).
154 ««