1
Soustavy lineárních rovnic
Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o
dvou neznámých x, y:
x + 2y = 5
4x + y = 6
Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy řešit: buď geometricky,
nebo postupným dosazením, nebo násobením rovnic konstantami
a vzájemným sčítáním či odčítáním rovnic. První postup je založen na tom,
že každá rovnice tvaru ax + by + c = 0 reprezentuje graf přímky v rovině.
Opačně platí, že každou přímku v rovině lze popsat nějakou rovnicí tvaru
ax + by + c = 0. Každá ze dvou rovnic tedy určuje přímku a jediné co potřebujeme
je najít průsečík těchto přímek, který pak odpovídá danému řešení
(viz obr. 1.1).
Přirozeně mohl by nastat případ, že každá ze dvou rovnic reprezentuje
stejnou přímku (pak je jedna nenulovým násobkem druhé a soustava má
nekonečně mnoho řešení) nebo popisují různé navzájem rovnoběžné přímky
(pak soustava nemá řešení). Tyto případy lze v jistém smyslu považovat za
výjimečné (někdy je nazýváme jako degenerované); ve většině případů lze
očekávat, že řešení bude pouze jedno. Naši soustavu lze řešit i algebraicky.
Metoda ”postupného dosazování” by mohla vypadat takto:
x + 2y = 5 ⇒ x = 5 − 2y
4x + y = 6 ⇒ 4(5 − 2y) + y = 6
⇒ x = 5 − 2 · 2 = 1
−7y = −14 ⇒ y = 2
V metodě „odečítání rovnic měníme postupně soustavu rovnic na jinou soustavu
se stejným řešením. Nejprve jsme vynásobíme první rovnici číslem 4,
2 1. Soustavy lineárních rovnic
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 60
4 + = 6x y
+ 2 = 5x y
(1,2)
x
y
Obrázek 1.1:
pak obě rovnice odečteme a výsledek napíšeme na místo druhé rovnice a
nakonec druhou rovnici vynásobíme číslem 1/7 a získáme výraz pro neznámou
y. Pak násobek druhé rovnice odečteme od rovnice první a nakonec
vynásobíme číslem. Z poslední rovnice pak čteme přímo řešení. Jednotlivé
modifikace soustavy od sebe oddělujeme znakem ⇒:
x + 2y = 5 | · 4
4x + y = 6
⇒
4x + 8y = 20
4x + y = 6
− ⇒
4x + 8y = 20
0x + 7y = 14 | · 1
7
⇒
4x + 8y = 20
0x + 1y = 2 |·8
⇒
4x + 8y = 20
0x + 8y = 16
− ⇒
4x + 0y = 4 |·1
8
0x + 8y = 16 |·1
4
⇒
x = 1
y = 2
Příklad: Máme řešit následující soustavu lineárních rovnic pro neznámé x, y
a z:
x + y + z = 4
2x + 2y + 5z = 11
4x + 6y + 8z = 24
Geometrický postup se příliš nehodí pro určení přesného řešení soustavy,
nicméně geometrická interpretace nám poskytuje určitý pohled do problému
bez toho, abychom ho museli řešit. Ze střední školy je známo, že rovnice
tvaru ax+by +cz +d = 0 popisuje rovinu v třírozměrném prostoru. Opačně,
1. Soustavy lineárních rovnic 3
každou rovinu lze v prostoru popsat rovnicí tohoto tvaru. Obecně lze říci, že
se dvě roviny protínají v přímce, i když ve výjimečných případech mohou být
rovnoběžné, a to buď identické anebo různé. Řešení soustavy prvních dvou
rovnic tedy může být: přímka, rovina nebo prázdná množina. Když přidáme
třetí rovnici, pak se tato množina s rovinou protíná buď v jednom bodě; ve
výjimečných případech jsou přímka s rovinou rovnoběžné, pak jejich průnik
bude buď přímka sama nebo prázdná množina. Řešením soustavy tří rovnic
o třech neznámých tedy může být jeden bod, přímka, rovina nebo prázdná
množina (pak soustava nemá řešení). Algebraický postup ze střední školy je
následující (metoda ”postupného dosazování”):
x + y + z = 4 ⇒ x = 4 − y − z
2x + 2y + 5z = 11 ⇒ 2(4 − y − z) + 2y + 5z = 11 ⇒
4x + 6y + 8z = 24 ⇒ 4(4 − y − z) + 6y + 8z = 24
3z = 3 ⇒ z = 1
2y + 4z = 8 ⇒ 2y + 4 · 1 = 8 ⇒ y = 2
⇒ x = 4 − 2 − 1 = 1
Definice: Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazveme systém
rovnic
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 (1.1)
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Značení: Množinu reálných čísel značíme R, množinu komplexních čísel C.
Reálná (komplexní) čísla z R resp. C se obvykle označují malými latinskými
písmeny nebo řeckými písmeny, chceme-li vyjádřit, že jde o samostatnou
konstantu (skalár). Proměnné x1, x2, . . . , xn nazveme neznámé, b1, b2, . . . , bm
koeficienty (vektoru) pravé strany, aij koeficienty (matice) soustavy (aij je
j-tý koeficient v i-té rovnici odpovídající neznámé xj).
Definice: Každou n-tici čísel (x1, x2, . . . , xn), která splňuje soustavu rovnic
(1.1) nazveme řešením, množinu všech řešení soustavy (1.1) označíme S.
Definice: Je-li b1 = b2 = · · · = bm = 0, nazýváme soustavu (1.1) homogenní
soustavou, jinak je soustava (1.1) nehomogenní. Množinu všech řešení
homogenní soustavy označíme S0.
4 1. Soustavy lineárních rovnic
-1
0
1
2
3
4
-2
1
1
2
2
3
3
y
x
z
x y z+ + = 4 4 + 6 + 8 = 24x y z
2 + 2 + 5 = 11x y z
(1,2,1)
Obrázek 1.2:
Tvrzení: 1. Každá homogenní soustava má alespoň jedno (triviální) řešení.
Platí totiž, že n-tice čísel (0, . . . , 0) ∈ S0, protože pro každé i = 1, . . . , m je
ai1 · 0 + ai2 · 0 + · · · + ain · 0 = 0.
2. Jsou-li uspořádané n-tice (x1, . . . , xn) a (y1, . . . , yn) řešeními homogenní
soustavy, pak jsou řešeními homogenní soustavy i n-tice (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+
yn) a (αx1, αx2, . . . , αxn) pro libovolné reálné (komplexní) číslo α. Platí tedy
(x1, . . . , xn) ∈ S0 a (y1, . . . , yn) ∈ S0 ⇒ (x1 + y1, . . . , xn + yn) ∈ S0,
(αx1, . . . , αxn) ∈ S0
Důkaz: Důkaz tohoto tvrzení vyplývá z následujících rovností, které platí
1. Soustavy lineárních rovnic 5
pro každé i = 1, . . . , m:
ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = 0
ai1y1 + ai2y2 + · · · + ainyn = 0
⇒ ai1(x1 + y1) + ai2(x2 + y2) + · · · + ain(xn + yn) = 0
⇒ ai1(αx1) + ai2(αx2) + · · · + ain(αxn) = 0
3. Nechť je uspořádaná n-tice čísel (x1, x2, . . . , xn) řešením nehomogenní
soustavy (často se toto řešení nazývá partikulární řešení). Pak pro množinu
řešení S platí, že S = {(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . yn)|(y1, y2, . . . yn)
∈ S0} := (x1, x2, . . . , xn) + S0, t.j. každé řešení nehomogenní soustavy se dá
vyjádřit jako součet nějakého jejího partikulárního řešení a nějakého řešení
homogenní rovnice.
Důkaz: Důkaz tohoto tvrzení lze rozdělit do dvou částí: Nejdříve dokážeme,
že (x1, x2, . . . , xn) + S0 ⊂ S. Tato vlastnost vyplývá z následujících rovností:
(x1, x2, . . . , xn) ∈ S ⇐⇒ ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi, ∀i
(y1, y2, . . . , yn) ∈ S0 ⇐⇒ ai1y1 + ai2y2 + · · · + ainyn = 0, ∀i
⇒ ai1(x1 + y1) + ai2(x2 + y2) + · · · + ain(xn + yn) = bi,
⇒ (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) ∈ S.
V druhé části ukážeme, že platí i opačná inkluze S ⊂ (x1, x2, . . . , xn) + S0:
(z1, z2, . . . , zn) ∈ S ⇐⇒ ai1z1 + ai2z2 + · · · + ainzn = bi, ∀i
(x1, x2, . . . , xn) ∈ S ⇐⇒ ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi, ∀i
⇒ ai1(z1 − x1) + ai2(z2 − x2) + · · · + ain(zn − xn) = 0, ∀i
⇒ (y1, y2, . . . , yn) = (z1 − x1, z2 − x2, . . . , zn − xn) ∈ S0
⇒ (z1, z2, . . . , zn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) ∈ (x1, x2, . . . , xn) + S0
Definice: Dvě soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, mají-li
stejné množiny řešení.
Tvrzení: Množina řešení S soustavy lineárních rovnic se nemění, provedemeli
na ní libovolnou z následujících tzv. ekvivalentních úprav:
6 1. Soustavy lineárních rovnic
1. záměna pořadí dvou rovnic nebo neznámých soustavy,
2. vynásobení libovolné rovnice soustavy nenulovým číslem,
3. přičtení libovolného násobku některé rovnice k libovolně jiné rovnici,
4. odstranění nulového řádku.
Důkaz: V následujícím textu dokážeme pouze třetí bod tohoto tvrzení, důkaz
ostatních bodů je jednoduchý. Nechť S je množina všech řešení modifikované
soustavy odpovídající úpravě v bodě 3. Je-li (x1, x2, . . . , xn) ∈ S, pak pro
indexy i, j a číslo α platí
ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi | · α
aj1x1 + aj2x2 + · · · + ajnxn = bj
+
⇒ (aj1 + αai1)x1 + (aj2 + αai2)x2 + · · · + (ajn + αain)xn = bj + αbi
a tedy (x1, x2, . . . , xn) ∈ S ⇒ S ⊂ S . Opačně předpokládejme, že
(x1, x2, . . . , xn) ∈ S . Pak platí
(aj1 + αai1)x1 + (aj2 + αai2)x2 + · · · + (ajn + αain)xn = bj + αbi
ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi | · α
−
z čehož vyplývá, že (x1, x2, . . . xn) ∈ S a tedy S ⊂ S.
Definice: Říkáme, že soustava lineárních rovnic je v horním stupňovitém
tvaru, právě když její koeficienty mají následující vlastnosti:
a1k1
0 0 a2k2
0 0 0 0 0 apkp
0 0 0 0 0 0 0 0
ai,ki
= 0 i = 1, . . . , p, k1 < k2 < · · · < kp,
ai,j = 0, j = 1, . . . , ki − 1, i = 1, . . . , p,
ai,j = 0, i = p + 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Tvrzení: Každou soustavu lze ekvivalentními úpravami převést na soustavu
v horním stupňovitém tvaru.
1. Soustavy lineárních rovnic 7
Příklad (Gaussova eliminační metoda): Máme řešit soustavu rovnic:
2x1 + x2 + x3 = 1
4x1 + x2 = −2
−2x1 + 2x2 + x3 = 7
Koeficienty soustavy přepíšeme do tabulky čísel, společně s koeficienty pravé
strany (pravou stranu oddělíme svislou čarou), které budeme říkat matice
rozšířené soustavy. Tuto matici převedeme do horního stupňovitého tvaru
následujícími ekvivalentními úpravami (převod na soustavu v horním stupňovitém
tvaru se někdy nazývá přímým chodem Gaussovy eliminační me-
tody):


2 1 1 1
4 1 0 -2
-2 2 1 7

 |.(−2).(1)
∼


2 1 1 1
0 -1 -2 -4
0 3 2 8

 |.(3)
∼


2 1 1 1
0 -1 -2 -4
0 3 0 -4


Pak následuje řešení ekvivalentní soustavy v horním stupňovitém tvaru, která
má stejnou množinu řešení jako původní soustava:
2x1 + x2 + x3 = 1
−x2 − 2x3 = −4
−4x3 = −4
Tato část postupu se nazývá zpětný chod Gaussovy eliminační metody, kdy
postupně odzadu dosazujeme již vypočtené hodnoty neznámých a počítáme
hodnoty následujících neznámých
−4x3 = −4 ⇐⇒ x3 = 1 ⇒
−x2 − 2x3 = −4 ⇐⇒ −x2 = −4 + 2x3 = −4 + 2 · 2 = −2 ⇐⇒ x2 = 2 ⇒
2x1 + x2 + x3 = 1 ⇐⇒ 2x1 = 1 − x2 − x3 = 1 − 2 − 1 = −2 ⇐⇒ x1 = −1
Soustava má tedy jednoznačné řešení (x1, x2, x3) = (−1, 2, 1).
Příklad: Pomocí Gaussovy eliminační metody máme řešit následující soustavu
lineárních rovnic (4 rovnice o 5 neznámých):
−4x1 + 4x2 − x3 + x4 − 7x5 = −11
2x1 − 2x2 + x3 + 3x5 = 4
4x1 − 4x2 + 5x3 + x4 + 7x5 = −3
−6x1 + 6x2 − 4x3 + x4 − 12x5 = −7
8 1. Soustavy lineárních rovnic
Nejdříve ekvivalentními úpravami získáme soustavu v horním stupňovitém
tvaru.




-4 4 -1 1 -7 -11
2 -2 1 0 3 4
4 -4 5 1 7 -3
-6 6 -4 1 -12 -7



 ∼




2 -2 1 0 3 4
-4 4 -1 1 -7 -11
4 -4 5 1 7 -3
-6 6 -4 1 -12 -7




|2
∼




2 -2 1 0 3 4
0 0 1 1 -1 -3
4 -4 5 1 7 -3
-6 6 -4 1 -12 -7




|(−2)(3)
∼




2 -2 1 0 3 4
0 0 1 1 -1 -3
0 0 3 1 1 -11
0 0 -1 1 -3 5




(−3)
∼




2 -2 1 0 3 4
0 0 1 1 -1 -3
0 0 0 -2 4 -2
0 0 0 2 -4 2



 ∼




2 -2 1 0 3 4
0 0 1 1 -1 -3
0 0 0 -2 4 -2
0 0 0 0 0 0



 ∼


2 -2 1 0 3 4
0 0 1 1 -1 -3
0 0 0 1 -2 1


Tímto způsobem jsme získali ekvivalentní soustavu tří rovnic o pěti neznámých
tvaru:
2x1 − 2x2 + x3 + 3x5 = 4
x3 + x4 − x5 = −3
x4 − 2x5 = 1
Tato soustava má řešení, které ovšem není jednoznačné (má nekonečně mnoho
řešení). Některé z neznámých lze volit libovolným způsobem (obvykle se používají
parametry u, v, . . . ) a zbývající lze pak vypočítat obvyklým postupným
dosazováním ve zpětném chodu Gaussovy eliminační metody (V našem
případě volíme libovolně vždy jednu neznámou z dvojic x4, x5 a x1, x2):
x5 = u ⇒
x4 − 2x5 = 1 ⇐⇒ x4 − 2u = 1 ⇐⇒ x4 = 1 + 2u ⇒
x3 + x4 − x5 = −3 ⇐⇒ x3 + (1 + 2u) − u = −3 ⇐⇒ x3 = −4 − u ⇒
x2 = v ⇒
2x1 − 2x2 + x3 + 3x5 = 4 ⇐⇒ 2x1 − 2v − 4 − u + 3u = 4
⇐⇒ x1 = 4 − u + v
1. Soustavy lineárních rovnic 9
Tím lze získat řešení naší soustavy v následujícím tvaru (všimněme si, že
počet volných parametrů je roven počtu neznámých minus počet rovnic soustavy
v horním stupňovitém tvaru):






x1
x2
x3
x4
x5






=






4 − u + v
v
−4 − u
1 + 2u
u






, u, v ∈ R.
Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení a lze ji řešit i jiným způsobem.
Lze využít vlastnost, že množina řešení soustavy S je rovna (x1, . . . , x5) +
S0, kde (x1, . . . , x5) je nějaké (partikulární) řešení a S0 je množina všech
řešení homogenní soustavy. Partikulární řešení vypočteme například tímto
způsobem:
x5 = 0 ⇒
x4 − 2x5 = 1 ⇐⇒ x4 − 0 = 1 ⇐⇒ x4 = 1 ⇒
x3 + x4 − x5 = −3 ⇐⇒ x3 + 1 − 0 = −3 ⇐⇒ x3 = −4 ⇒
x2 = 0 ⇒
2x1 − 2x2 + x3 + 3x5 = 4 ⇐⇒ 2x1 − 4 = 4 ⇐⇒ x1 = 4






x1
x2
x3
x4
x5






=






4
0
−4
1
0






V dalším kroku se hledá množina řešení homogenní soustavy
2y1 − 2y2 + y3 + 3y5 = 0
y3 + y4 − y5 = 0
y4 − 2y5 = 0
následujícím způsobem:
y5 = u ⇒
y4 = 2u ⇒
y3 = −y4 + y5 = −2u + u = −u ⇒
y2 = v ⇒
2y1 = 2y2 − y3 − 3y5 = 2v + u − 3u = 2v − 2u ⇐⇒
y1 = v − u
10 1. Soustavy lineárních rovnic
kde u a v jsou volné parametry, které lze libovolně zvolit. Množina řešení
nehomogenní soustavy S pak obsahuje vektory tvaru






x1
x2
x3
x4
x5






=






4
0
−4
1
0






+






v − u
v
−u
2u
u






.
Příklad: Řešte následující soustavu lineárních rovnic
x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 1
2x1 + 4x2 + 7x3 + 7x4 = 4
x1 + 2x3 = −2
3x1 + 7x2 + 10x3 + 6x4 = 7
Postupujeme stejným způsobem a převedeme soustavu do horního stupňovitého
tvaru:




1 2 3 1 1
2 4 7 7 4
1 0 2 0 -2
3 7 10 6 7




(−2)(−1)(−3)
∼




1 2 3 1 1
0 0 1 5 2
0 -2 -1 -1 -3
0 1 1 3 4



 ∼
∼




1 2 3 1 1
0 1 1 3 4
0 -2 -1 -1 -3
0 0 1 5 2




(2)
∼




1 2 3 1 1
0 1 1 3 4
0 0 1 5 5
0 0 1 5 2




(−1)
∼
∼




1 2 3 1 1
0 1 1 3 4
0 0 1 5 5
0 0 0 0 -3




Tvrzení: Rovnici 0 · x1 + 0 · x2 + · · ·+ 0 · xn = c, c = 0 nelze splnit pro žádná
x1, x2, . . . , xn.
Poznámka: V našem případě má čtvrtá rovnice tento tvar pro n = 4 a
c = −3. Výše uvedená soustava tedy nemá řešení.
Definice: Má-li soustava lineárních rovnic alespoň jedno řešení, nazýváme ji
konzistentní, v opačném případě je nekonzistentní.
1. Soustavy lineárních rovnic 11
Poznámka: Každá homogenní soustava je konzistentní (každá homogenní
soustava má alespoň triviální řešení, triviální řešení x1 = x2 = · · · = xn = 0
určitě patří do množiny řešení soustavy S0) .
Tvrzení: Soustava lineárních rovnic nemusí být obecně řešitelná (může být
inkonzistentní). Je-li soustava konzistentní, může mít buď jedno nebo nekonečně
mnoho řešení. Má-li konzistentní soustava lineárních rovnic více neznámých
než rovnic, pak má nekonečně mnoho řešení. .tex