2 Matice Definice: Obdélníkové schéma sestavené z reálných (komplexních) čísel tvaru A au 0.21 au a-22 0"ml ®m2 din 0>2n nazýváme reálnou (komplexní) maticí typu m x n. Prvek se nazývá i,j-tf koeficient matice A. Množinu všech reálných (komplexních) matic typu m x n značíme Wn,n resp. 1, n > 1; neuvažujeme tedy prázdné matice, značíme je velkými latinskými písmeny A, B,..., koeficienty matice A značíme a píšeme A = (aij). Definice: Matice A = (a^) a B = (bij) se rovnají, což zapisujeme A = B, jestliže jsou stejného typu m x n a platí = pro všechna i = 1,..., m; j = l,...,n. Poznámka: A ^ B tedy znamená, že buďto matice jsou různých typů anebo jsou stejného typu a současně platí ^ b^ pro nějaké i a j. \4 5 6 J T \ 5 5 6 J 1 2 2. Matice Definice: Nechť A = (<%), B = {pij) jsou matice typu m x n (A, B G IRm'n). Potom jejich součtem C = A © B = (c^) nazýváme matici typu m x n s koeficienty, pro které platí Poznámka: Jsou-li A, B různých typů, pak součet A © B není definován. Příklad: 123\ / 5 6 7\_/6 8 10 4 5 6 ® U 9 10 / l 12 14 16 Definice: Nechť A = (a^) je matice typu mxn (A G IRm'n), a číslo (skalár). Potom C = a 0 A = (c^) je matice typu m x n s koeficienty Qj QíOý', i 1,..., íti, j 1,..., n. Příklad: ,12 3\ _/ 2 4 6 0 1 4 5 6 / ~ \ 8 10 12 Poznámky: Podobně jako u sčítání a násobení reálných čísel tečku a kroužek většinou vynecháváme a píšeme A + B místo A © B resp. aA místo a 0 A. Poznámka: Definujeme nulovou matici typu mxn jako 0 0 ...0 0 0 ...0 e, o o ...o Místo Qm^n píšeme pouze G nebo 0 je-li typ z kontextu zřejmý, ve výrazu 0-0 je vlevo číslo 0 (skalár), vpravo nulová matice G. Poznámka: Nechť A, B, C jsou matice typu m x n a a, f3 skaláry. Potom platí následující vztahy: 1) A + B = B + A (komutativní zákon), 2) (A + B) + C = A + (B + C) (asociativní zákon), 3) a(A + B) = a A + aB (distributivní zákon vzhledem ke sčítání matic), 4) (a + f3)A = a A + f3A (distributivní zákon vzhledem k násobení matic skaláry). 2. Matice 3 Definice: Je-li A = (a^) matice typu m x p (A E irm'p) a B = (6^) matice typu p x n (B G irp'n), potom C = A 0 B = (q,) je matice typu m x n (C G ]rm'n) s koeficienty, pro které platí p Cíj = ^2 aikhkj i = !,■■■, m, j = 1, • • •, n. k=l J m P — i P n m n A e Rmxp B E W Obrázek 2.1: AB G Poznámka: Nemůže-li dojít k nedorozumění, píšeme AB místo A 0 B. K p proveditelnosti výrazu CLinbnj Je třeba aby počet sloupců matice A se rov- fc=i nal počtu řádků matice B. V opačném případě není součin A Q B definován. Příklad: 1 2 3 4 5 6 1 • 7-4-7- 2-9 5-9 3-11 1 6-11 4 2-10 + 3-12 5-10 + 6-12 7+ 18 + 33 8 + 20 + 36 28 + 45 + 66 32 + 50 + 72 58 64 139 154 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 není definován. Poznámka: Čtvercová matice řádu n s jedničkami na diagonále a nulami 4 2. Matice mimo m / 1 0 ... 0 \ 0 1 ... 0 V° 0 ••• 1/ se nazývá jednotková matice řádu n a označujeme ji jako Jn G IRn'n. Je-li řád zřejmý z kontextu, píšeme místo Jn pouze J. Tvrzení: Je-li A typu m x n (A E Wm>n) pak A + ®m,n = ®m,n + A = A Jsou-li A a B čtvercové matice stejného řádu, obecně neplatí AB = BA. Příklad: 1 1 1 1 1 3 4 1 5 4 5 4 4 4 5 5 1 3 4 1 1 1 1 1 Definice: Matici typu n x 1 nazýváme n-rozměrným vektorem a značíme í X\ \ ( x\\ \ resp. x = (xí) místo ho x X21 . Koeficienty x,-L se nazývají složky vektoru x. Vektory značíme obvykle malými písmeny a množinu n-rozměrných reálných vektorů místo IR™'1 označujeme IRn. Tvrzení: Nechť A (au) e x (xí) e b = (bí) e Rm. Potom maticový zápis Ax = b nebo (au ... din \ í Xi \ ( bi \ 021 0>2r, X2 y cimi ... o,mn J y xn J y bm J rozepsáním po jednotlivých složkách znamená zápis soustavy m lineárních rovnic o n neznámých. dliXi + 0,yiX2 + ' ' ' + 0>inXn = bi a2\Xi + CL22X2 + • • • + a2nxn = b2 dm\X\ -\- dm2X2 ~\~ ' ' ' ~\~ dmnXn bn 2. Matice 5 Definice: Čtvercová matice A G IRn'n se nazývá regulární, jestliže soustava Ar = 0 má jediné řešení x = 0 (triviální řešení) a v opačném případě, tj. platí-li Ax = 0 pro nějaký netriviální vektor x ^ 0, se nazývá singulární. Poznámka: Zápis i/O znamená 7^ 0 pro nějaké i, nikoliv pro všechna i. Tvrzení: Je-li matice A G Wn,n regulární, potom pro libovolnou pravou stranu &Gln má soustava Ax = b právě jedno řešení. Definice: Počet nenulových řádků matice v horním stupňovitém tvaru, která vznikne konečným počtem ekvivalentních úprav původní matice A nazýváme hodností matice A a značíme ji h(Á) nebo rank(A). Poznámka: Pro A = Gmjn je tedy h(A) = 0, pro A ^ Omjn je 1 < h(Á) < m. Věta (Probeniova): Soustava lineárních rovnic Ax = b (A G IRm'n, b G IRm) má řešení právě tehdy, když h(A,b) = h(A). Tvrzení: Homogenní soustava lineárních rovnic Ax = 0 (A G IRm'n) má jen nulové řešení právě když h(Á) = n. Je-li h(A) < n pak má soustava nekonečně mnoho řešení. Počet parametrů, které můžeme libovolně volit je pak roven n — h(A) (počet neznámých minus počet rovnic ekvivalentní soustavy v horním stupňovitém tvaru). Tvrzení: Jsou-li matice A, B stejného řádu a regulární, potom je regulární i matice AB. Věta (o inverzní matici): Ke každé regulární matici A G IRn'n existuje právě jedna matice z IRn'n (označujeme ji A~ľ) s vlastností AA-1 = A'1 A = I. Naopak, existuje-li k A E Wn,n matice, splňující AA~ľ = A~ľA, pak je A regulární. Důkaz: Existence: Protože matice A je regulární má pro každou pravou stranu soustava Ax = b jediné řešení. Označíme-li sloupce matice I = In 6 2. Matice jako e1,e2,... ,en (J = (ei e2 ... en)), má pro každé j = 1,..., n soustava Axj = Cj jediné řešení x j. Nechť A~ľ je matice o sloupcích x1} x2,..., xn, tedy A~ľ = (x± x2 ... xn). Z definice rovnosti dvou matic a násobení plyne AA'1 = A(x1 x2 ... xn) = (e1 e2 ... en) = I Dále platí, že A(A^A - I) = (AA~1)A - A = InA-A = A- A = 0. Protože je A regulárni matice má A~ľA — I nulové sloupce. Dokázali jsme, že matice A~ľ splňuje AA~ľ = A~ľA = I. Jednoznačnost: Nechť pro jistou matici X platí AX = XA = I. Potom je X = XI = XiAA-1) = {XA)A-1 = IA-1 = A~\ To znamená, že matice A^1 je vlastností AA^1 = A^-^^A = I určena jednoznačně. Existence inverze implikuje regularitu. Jestliže k A existuje matice A~ľ s vlastností AA~ľ = A~ľA = I, potom z Ax = 0 plyne x = Ix = (A-1A)x = A-\Ax) = A'1 - 0 = 0, takže matice A je regulární. Definice: Matici A~ľ s vlastností AA~ľ = A~ľA = I nazýváme inverzní maticí k matici A. Příklad (Případ n = 1): Matice A = (au) je regulární právě, když je <2n Ý 0- Je-li číslo det(A) = a\\ nenulové, pak inverzní matice má tvar A'1 = (-L). y au I Příklad (Případ n = 2): Je-li ana22 ^ &\2a2\i potom má matice A = «11 di2 \ . , . . inverzní matici tvaru «21 a22 ) _ _1_ / «22 — a12 «11«22 — «12021 V ~a2\ «11 protože _ — ^ I allfl22 — «12«21 0 «11«22 — «12«21 V 0 «11122 — «12«21 Z toho plyne podmínka, že 011022 — «12021 Ý 0 implikuje regularitu A. Číslo «n«22 — «i2«2i nazýváme determinantem matice A a označujeme ho det(A). 2. Matice 7 Příklad (Případ n = 3): (Sarusovo pravidlo). Determinant matice třetího řádu s koeficienty (au d\2 <2i3 \ 021 «22 a23 «31 a32 O33 J můžeme vypočítat pomocí Sarusova pravidla det(A) = 011022033+021032013+031012023 — 011032023 — 02ia12 033 + a310220i3. Sarusovo pravidlo se nedá použít na počítání determinantu matic čtvrtého a vyšších řádů. Tvrzení (Determinant trojúhelníkové matice): Nechť matice A je čtvercová řádu n a má pod hlavní diagonálou jen nulové prvky (je horní trojúhelníková), tedy On o12 ... aln O 022 • • • 02n A= : O O ... onn pak je její determinant roven det(A) = 011022 • • • onn. Je-li au = O pro nějaký index i = 1.. .n (stačí jeden z nich), pak det(A) = 0. Dalším důsledkem je vztah det(Jn) = 1. Věta: Čtvercová matice A je regulární právě tehdy, když je její determinant det(A) Ý 0. Poznámka: Nenulovost determinantu je nejznámější kritérium regularity. Negací obou stran ekvivalence, dostáváme, že A je singulární právě když det(A) = 0. Poznámka (Geometrická interpretace determinantu): Determinant matice druhého řádu s koeficienty A — ( 0,11 °12 V 021 a22 lze geometricky interpretovat jako plochu rovnoběžníka, který je určen rovinnými vektory i 0,11 ) a ( °12 ). Jsou-li tyto vektory rovnoběžné pak je V 021 / V 022 / 8 2. Matice fj-(P) = O, jinak je plocha rovnoběžníka až na znaménko dána determinantem matice A fJ-(P) = ±(a11a22 - a2ia12) = ± = det(A). (au + a12, a2í +a22) Obrázek 2.2: Podobná vlastnost platí i pro matice řádu 3 s koeficienty O-U 0\2 <2i3 a21 022 a23 a31 a32 a33 Sloupce matice určují v prostoru rovnoběž- nostěn, jehož objem je rovněž až na znaménko dán determinantem matice [J-{P) = aii{a22a33 - 032^23) + a-21(a23a3i - «12033) + a3i(ai2a23 - a22ai3). Jsou-li vektory v jedné rovině, pak je fJ-(P) = 0. Obecně je-li A čtvercová matice řádu n a jsou-li sloupce vektory pak je det(A) = ±/x(P), kde P je n-rozměrný rovnoběžnostěn daný popisem P ^ afcafc|0 < ak < 1, k = 1,..., n > . . k=l Věta (Soustavy s regulární maticí): Je-li A G každé b G IRn je jediné řešení soustavy regulární, potom pro Ax 2. Matice 9 Obrázek 2.3: dáno vztahem x = A~xb. Důkaz: Je-li A regulární, potom má i inverzní matici a z rovnosti Ax = b přenásobením inverzní maticí A~ľ zleva dostáváme A^b = A-^Ax) = (A~1A)x = Ix = x Tvrzení (Vlastnosti inverzní matice): Nechť A, B E IRn'n jsou regulární matice. Potom platí: 1. (A'1)-1 = A; 2.(AB)~1 = B~lA~l. Důkaz: 1. AA~ľ = A~ľA = I. Z jednoznačnosti plyne, že (A~ľ)~ľ = A (viz věta o inverzní matici). 2. B~x A~x AB = B^B = I a ABB~X A~x = AA-1 = I (AB)-1 = B-ľA-\ Výpočet inverzní matice: Při výpočtu inverzní matice postupujeme následujícím způsobem: 1. Dána čtvercová matice A. 2. Sestavení matice (A \ I). 3. Použití Gaussovy eliminace k převedení na horní stupňovitý tvar. 4. Je-li hodnost h(A) menší než n: A je singulární a nemá inverzi. 5. Použití dalších ekvivalentních oprav k převedení na tvar (I | X), kde X = A'1. Příklad: Dokažte, že následující matice je regulární a nalezněte k ní matici 10 2. Matice inverzní A A (-2)(2) (-6)(4) z čehož vyplývá, že je matice A regulárni 1 -1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 4 3 1 -2 1 -1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 -1 6 1 0 0 1 -4 0 1 0 1 -5 0 0 1 -1 6 1 -1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 2 2 3 1 0 0 (l)(-2) (J | A-1) 1 0 1 1 -6 -4 1 -1 0 0 1 0 0 1 0 1 -5 -3 0 0 1 -1 6 4 Inverzní matice má tedy tvar A'1 a snadno lze ověřit, že splňuje AA-1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Příklad: Výpočtem inverzní matice ověřte, že platí 1 -1 -2 \ / 0 A = | 2 -3 -5 , A 1 = 5 -13 5/ V -3 2. Matice 11 1 -1 -2 1 0 0 2 -3 -5 0 1 0 -1 3 5 0 0 1 1 -1 -2 1 0 0 0 -1 -1 -2 1 0 0 0 1 -3 2 1 1 -1 0 -5 4 2 0 1 0 5 -3 -1 0 0 1 -3 2 1 1 -1 -2 1 0 0 0 -1 -1 -2 1 0 0 2 3 1 0 1 -1 0 -5 4 2 > l -1 0 -5 3 1 0 1 -3 2 1 J f 0 0 0 1 1 \ 1 0 5 -3 -1 0 1 -3 2 1 / (-2)