4
Lineární zobrazení
Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory. Zobrazení A : V → W
(zobrazení z V do W) nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna
x ∈ V , y ∈ V a α ∈ R platí
1. A(x ⊕ y) = A(x) ⊕ A(y) (vlastnost aditivity)
2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
Poznámka: Lineární zobrazení zachovává operace sčítání dvou vektorů a
násobení vektoru skalárem. Sečteme-li dva prvky z V a výsledek převedeme
prostřednictvím lineárního zobrazení do W, vyjde totéž jako kdybychom nejprve
jednotlivé prvky nejdřív převedli prostřednictvím zobrazení do W a tam
je sečetli. Podobně je tomu i u operace násobení vektoru skalárem.
Poznámka: Všimněme si, že první operace ⊕ ve vlastnosti aditivity (1) je
sčítáním definovaným na lineárním prostoru V , zatímco druhá operace ⊕
v této vlastnosti je sčítáním definovaným na lineárním prostoru W, tedy
A(x ⊕V y) = A(x) ⊕W A(y). Protože obecně mohou být lineární prostory V
a W různé, mohou být i tyto operace definovány zcela rozdílným způsobem.
Podobně u vlastnosti homogenity (2) je první operace násobením definovaným
na V , zatímco druhá operace je násobením definovaným na W, tedy
platí A(α V x) = α W A(x). Obvykle ovšem píšeme A(x + y) = Ax + Ay
a A(αx) = αA(x).
Poznámka: Nechť V a W jsou vektorové prostory. Zobrazení A : V → W je
tedy lineární právě tehdy když pro vektor z = x+y platí A(z) = A(x)+A(y) a
1
2 4. Lineární zobrazení
Obrázek 4.1:
pro vektor y = αx platí A(y) = αA(x). Graficky lze tyto vlastnosti znázornit
následujícím způsobem:
Příklad: Každá matice A řádu m × n indukuje lineární zobrazení z prostoru
Rn
do prostoru Rm
(linearita tohoto zobrazení vyplývá z vlastností
násobení matic):
A : Rn
→ Rm
, x ∈ Rn
→ y = Ax ∈ Rm





y1
y2
...
ym





=





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
am1 am2 . . . amn










x1
x2
...
xn





Příklad: Nechť U je rovina v třírozměrném prostoru R3
procházející jeho
počátkem a tedy je jeho podprostorem. Nechť P je ortogonální projekce prostoru
R3
na rovinu U. P je pak lineárním zobrazením R3
→ R3
nebo z
prostoru R3
do prostoru U.
4. Lineární zobrazení 3
Obrázek 4.2:
Příklad: Nechť e je vektor v třírozměrném prostoru R3
, ϕ úhel a transformace
D nechť je rotace (pootočení) prostoru R3
kolem osy dané vektorem e
o úhel ϕ. Transformace D je lineárním zobrazením.
Věta: Nechť A je lineární zobrazení z prostoru V do prostoru W. Pak platí
následující tvrzení:
1. A(ΘV ) = ΘW , kde ΘV je nulový vektor lineárního prostoru V a ΘW je
nulový vektor lineárního prostoru W, protože
A(ΘV ) = A(0 · x) = 0 · A(x) = ΘW ∀x ∈ V
2. Vlastnosti aditivity a homogenity (1) a (2) lze shrnout jedinou vlastností
(princip superpozice): pro všechna x ∈ V , y ∈ V , α ∈ R a β ∈ R platí
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
3. Opakovaným použitím principu superpozice lze předchozí tvrzení rozšířit
na libovolný soubor vektorů x1, . . . , xn ∈ V a libovolná α1, . . . , αn ∈ R:
A
n
j=1
αjxj =
n
j=1
αjA(xj)
4 4. Lineární zobrazení
Obrázek 4.3:
Tvrzení: (Lineární zobrazení je jednoznačně určeno hodnotami v
bázi.) Nechť V a W jsou vektorové prostory konečné dimenze, nechť A je
lineární zobrazení z V do W, nechť x1, . . . , xn je báze prostoru V a y1, . . . , ym
je báze prostoru W. Libovolný vektor x ∈ V lze napsat jako lineární kombinaci
pomocí vektorů báze x1, . . . , xn, tedy x =
n
j=1
αjxj. Protože je A lineární
zobrazení, platí
y = A(x) = A
n
j=1
αjxj =
n
j=1
αjA(xj),
tedy obraz libovolného vektoru, lze získat pomocí obrazů bázických vektorů
A(x1), . . . , A(xn). Protože jsou to vektory z prostoru W, lze tyto vektory
4. Lineární zobrazení 5
vyjádřit pomocí lineárních kombinací bázických vektorů y1, . . . , ym
A(xj) =
m
i=1
aijyi.
Tedy platí
y = A(x) =
n
j=1
αjA(xj) =
n
j=1
αj
m
i=1
aijyi =
m
i=1
n
j=1
aijαj yi
Tedy i-tou souřadnici vektoru y = m
i=1 βiyi v bázi y1, . . . , ym, kterou jsme
označili βi, lze získat jako βi = n
j=1 aijαj, tedy vynásobením



a11 a12 . . . a1n
...
...
am1 am2 . . . amn






α1
...
αn


 =



β1
...
βm



Definice: Matici A =



a11 . . . a1n
...
...
am1 . . . amn


 typu m×n definovanou předchozím
způsobem nazýváme maticí zobrazení A vzhledem k bázím x1, . . . , xn a
y1, . . . , ym.
Příklad: Lineární zobrazení A z prostoru V do prostoru W je zobrazením
roviny (celého prostoru V ) na rovinu (nebo v speciálních případech na přímku
nebo bod) v třírozměrném prostoru W danou vektory A(x1) a A(x2).
Příklad: Obecné axonometrické zobrazení Lineární zobrazení A : R3
→
R2
, které každému bodu (x1, x2, x3) v třírozměrném prostoru R3
přiřadí bod
(x1, x2) v rovině (v dvourozměrném prostoru R2
) umožňuje konstruovat dvourozměrné
obrazy třírozměrných objektů.
Obraz jakéhokoliv vektoru lze získat pomocí obrazů bazických vektorů
standardní báze e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) a e3 = (0, 0, 1), tedy pomocí
vektorů A(e1) = (α1, β1), A(e2) = (α2, β2) a A(e3) = (α3, β3), kde koeficienty
α1, α2, α3 a β1, β2, β3 dané axonometrické zobrazení určují. Matice zobrazení
(v standarních bazích e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) a e3 = (0, 0, 1) a e1 = (1, 0),
e2 = (0, 1)) má tvar
A =
α1 α2 α3
β1 β2 β3
6 4. Lineární zobrazení
Obrázek 4.4:
Obrázek 4.5:
a určuje vzájemnou souvislost mezi souřadnicemi libovolného bodu x =
(x1, x2, x3) v třírozměrném prostoru a jeho axonometrickým obrazem x =
(x1, x2) v rovině. Tímto lze získat transformační vztah x = Ax, který po
rozepsání po složkách má tvar
x1
x2
=
α1 α2 α3
β1 β2 β3


x1
x2
x3


x1 = α1x1 + α2x2 + α3x3
x2 = β1x1 + β2x2 + β3x3
4. Lineární zobrazení 7
Příklad: Nechť A je lineární zobrazení z prostoru V do W ( A : V → W)
a B je lineární zobrazení z prostoru W do prostoru Z (B : W → Z). Pak je
lineární i složené zobrazení B◦A, což je zobrazení z prostoru V do prostoru Z,
které je definováno předpisem
B ◦ A : V → Z, (B ◦ A)(x) = B(A(x)) ∀x ∈ V
Obrázek 4.6:
Tvrzení: Nechť A je matice zobrazení A vzhledem k bázím x1, . . . , xn a
y1, . . . , ym a nechť B je matice zobrazení B vzhledem k bázím y1, . . . , ym
a z1, . . . , zk. Pak matice BA je maticí zobrazení B ◦ A vzhledem k bázím
x1, . . . , xn a z1, . . . , zk.
Příklad: Nechť A : R3
→ R3
je rotace prostoru R3
vzhledem k ose z (dané
vektorem e3) o úhel α = arctan 3
4
a nechť B : R3
→ R2
je axonometrické
zobrazení dané obrazy bazických vektorů B(e1) = (−2, −2), B(e2) = (5, −1)
a B(e3) = (0, 5). Pak i B◦A : R3
→ R2
je také axonometrické zobrazení, které
odpovídá zobrazení objektu, který byl předtím pootočen k osy z o úhel α.
Matice zobrazení A v standardních bazích e1, e2, e3 a e1, e2, e3 má tvar
A =


4
5
−3
5
0
3
5
4
5
0
0 0 1

 ,
matice zobrazení B v standardních bazích e1, e2, e3 a e1, e2 je
B =
−2 5 0
−2 −1 5
.
Matici zobrazení B ◦A v standardních bazích e1, e2, e3 a e1, e2 lze pak získat
prostým vynásobením matic A a B, tedy
C = BA =
−2 5 0
−2 −1 5


4
5
−3
5
0
3
5
4
5
0
0 0 1

 =
7
5
26
5
0
−11
5
2
5
5
.
8 4. Lineární zobrazení
Obrázek 4.7:
Obrázek 4.8:
Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory a A : V → W je lineární
zobrazení. Množinu KerA = {x ∈ V ; A(x) = ΘW } nazýváme jádrem
lineárního zobrazení A.
Příklad: Nechť A je zobrazení z P do P, které každému polynomu x ∈ P
přiřadí jeho derivaci, tj.
x ∈ P, x(t) = a0 + a1t + · · · + antn
=
n
j=0
αjtj
, t ∈ R
4. Lineární zobrazení 9
A(x) = x , x (t) = a1 + 2a2t + 3a3t2
+ · · · + nantn−1
=
n
j=1
jαjtj−1
, t ∈ R.
Zobrazení A je lineární. Platí totiž, že derivace funkce je lineární vzhledem
k součtu funkcí a násobení funkce konstantou
A(x + y) = (x + y) = x + y = A(x) + A(y)
A(αx) = (αx) = αx = αA(x)
Jádrem tohoto zobrazení je množina všech konstantních polynomů, protože
to jsou jediné polynomy, které po zderivování dávají nulovou funkci (nulový
polynom).
Příklad: Nechť B je zobrazení z P do P, které každému polynomu x ∈ P
přiřadí jeho primitivní funkci, t.j.
x ∈ P, x(t) = a0 + a1t + · · · + antn
=
n
j=0
αjtj
, t ∈ R
B(x) = xdx, x(t)dt = a0t+
a1
2
t2
+· · ·+
an
n + 1
tn+1
=
n
j=0
aj
j + 1
tj+1
, t ∈ R
Jádro tohoto zobrazení obsahuje pouze nulový polynom Ker B = {Θ}, Θ(t) =
0, ∀t ∈ R.
Tvrzení: Jádro lineárního zobrazení A : V → W tvoří podprostor vektorového
prostoru V .
Důkaz: Z definice jádra plyne Ker A = {x ∈ V A(x) = ΘW } ⊂ V . Jsou-li
x ∈ Ker A, A(x) = ΘW a y ∈ Ker A, A(y) = ΘW , pak
A(x + y) = A(x) + A(y) = ΘW + ΘW = ΘW ⇒ x + y ∈ Ker A
A(αx) = αA(x) = αΘW = ΘW ⇒ αx ∈ Ker A
Definice: Defekt lineárního zobrazení A : V → W je definován jako dim Ker A
a značíme jej d(A).
Poznámka: Předchozí tvrzení zaručuje smysluplnost definice defektu.
Příklad: ( Jak najít jádro lineárního zobrazení pomocí matice zobrazení?)
Nechť A : R3
→ P2 je lineární zobrazení splňující A(1, 2, 0) = x1,
10 4. Lineární zobrazení
A(1, 1, 1) = x2, A(−1, 3, −1) = x3, kde x1(t) = 2+3t, x2(t) = t, x3(t) = 1+t.
Nalezněte matici zobrazení ve standardních bázích e1, e2, e3 a e1, e2. Pomocí
této matice nalezněte jádro a defekt zobrazení A.
Řešení této úlohy lze najít v zásadě dvojím způsobem: Protože máme k
dispozici obrazy vektorů A(y1) = x1, A(y2) = x2 a A(y3) = x3 můžeme
hledat všechna α1, α2,α3 taková, že postupně platí rovnosti
A(α1y1 + α2y2 + α3y3) = Θ
α1A(y1) + α2A(y2) + α3A(y3) = Θ
α1x1 + α2x2 + α3x3 = Θ.
Protože jde o rovnost dvou polynomů, musí se rovnat jejich funkční hodnoty
v každém bodě t ∈ R
α1x1(t) + α2x2(t) + α3x3(t) = Θ(t), t ∈ R
α1(2 + 3t) + α2t + α3(1 + t) = 0
2α1 + α3 + (3α1 + α2 + α3)t = 0, ∀t ∈ R
Tato rovnost pak vede na homogenní soustavu dvou lineárních rovnic pro
neznámé α1, α2 a α3
2α1 + α3 = 0
3α1 + α2 + α3 = 0,
kterou řešíme standardním způsobem pomocí převodu do horního stupňovitého
tvaru
2 0 1
3 1 2
∼
2 0 1
0 2 1
.
Řešení této soustavy má obecný tvar α1 = u, α2 = u a α3 = −2u, kde u ∈ R
lze volit libovolně. Dosazením za koeficienty α1, α2 a α3 získáme obecný tvar
vektoru z jádra
x = α1y1 + α2y2 + α3y3 = uy1 + uy2 − 2uy3 = u(y1 + y2 − 2y3)
= u ((1, 2, 0) + (1, 1, 1) − 2(−1, 3, −1)) = u(4, −3, 3),
ze kterého přímo vyplývá, že Ker A = [(4, −3, 3)]λ, a tedy d(A) = 1.
Druhou možností je nalézt obrazy A(e1), A(e2), A(e3) pomocí známých obrazů
A(y1), A(y2), A(y3). K tomu ale potřebujeme znát souřadnice vektorů
4. Lineární zobrazení 11
e1, e2, e3 v bázi y1, y2, y3, které zjistíme jako řešení tří soustav se stejnou
maticí a různými pravými stranami e1, e2, e3
ei = αi1y1 + αi2y2 + αi3y3


1 1 -1 1 0 0
2 1 3 0 1 0
0 1 -1 0 0 1

 ∼


1 1 -1 1 0 0
0 -1 5 -2 1 0
0 1 -1 0 0 1


∼


1 1 -1 1 0 0
0 -1 5 -2 1 0
0 0 4 -2 1 1

 ,
e1 = 1 · y1 −
1
2
y2 −
1
2
y3
e2 = 0 · y1 +
1
4
y2 +
1
4
y3
e3 = −1 · y1 +
5
4
y2 +
1
4
y3
Obrazy bazických vektorů standardní báze A(e1), A(e2), A(e3) mají pak tvar
A(ei) = αi1A(y1) + αi2A(y2) + αi3A(y3) = αi1x1 + αi2x2 + αi3x3
A(e1) = x1 −
1
2
x2 −
1
2
x3 = 2e1 + 3e2 −
1
2
e2 −
1
2
e1 − e2 =
3
2
e1 +
3
2
e2
A(e2) =
1
4
x2 +
1
4
x3 =
1
4
e2 +
1
4
e1 +
1
2
e2 =
1
4
e1 +
3
4
e2
A(e3) = −x1 +
5
4
x2 +
1
4
x3 = −2e1 − e2 +
5
4
e2 +
1
4
e1 +
1
2
e2 = −
7
4
e1 −
5
4
e2.
Matice zobrazení v standardních bazích e1, e2, e3 a e1, e2 je
A =
3
2
1
4
−7
4
3
2
3
4
−5
4
Hledáme takové vektory x = (α1, α2, α3), pro které platí A(x) = Θ, tedy
A(α1e1 + α2e2 + α3e3) = α1A(e1) + α2A(e2) + α3A(e3) = Θ
Po dosazení za vektory A(e1), A(e2), A(e3) získáme homogenní soustavu
Ax = Θ s maticí A a jejím řešením získáme tvar jádra a jeho dimenzi.
3
2
1
4
−7
4
3
2
3
4
−5
4
∼
6 1 −7
6 3 −5
∼
6 1 −7
0 2 2
∼
6 1 −7
0 1 1
12 4. Lineární zobrazení
Ker A =
4
3
, −1, 1
λ
, d(A) = 1.
Příklad: Nechť A : R3
→ R2
je lineární zobrazení definované předpisem
A(α1, α2, α3) = (α1 − α3, α2 − α1), kde x = (α1, α2, α3). Nalezněte jádro a
defekt tohoto zobrazení.
Hledáme takové koeficienty (α1, α2, α3), že platí A(α1, α2, α3)) = (0, 0), tedy
(α1 − α3, α2 − α1) = (0, 0).
Řešení této rovnosti vede na homogenní soustavu
α1 − α3 = 0
α2 − α1 = 0,
což je homogenní soustava Ax = Θ, jejíž maticí je matice zobrazení ve standardních
bázích
A =
1 0 −1
−1 1 0
,
které sloupce ve tvaru A(e1) = (1, −1), A(e2) = (0, 1), A(e3) = (−1, 0)
získáme dosazením bazických vektorů e1, e2, e3 do předpisu. Hledáme tedy
řešení soustavy
1 0 −1
−1 1 0


α1
α2
α3

 =
0
0
1 0 −1
−1 1 0
∼
1 0 −1
0 1 −1
,
které má obecné řešení α1 = u, α2 = u, α3 = u a každý vektor z jádra má
tvar x = (u, u, u) = u(1, 1, 1), u ∈ R, z čehož plyne, že Ker A = [(1, 1, 1)]λ a
d(A) = dim Ker A = 1.
Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory a A : V → W je lineární
zobrazení. Definujeme obraz zobrazení A jako množinu
Im A = {y ∈ W| ∃x ∈ V, A(x) = y}
Tvrzení: Obraz zobrazení Im A tvoří podprostor prostoru W.
4. Lineární zobrazení 13
Důkaz:
y1 ∈ Im A ⇒ ∃x1 ∈ V, A(x1) = y1
y2 ∈ Im A ⇒ ∃x2 ∈ V, A(x2) = y2
y1 + y2 = A(x1) + A(x2) = A(x1 + x2) ⇒ y1 + y2 ∈ Im A
αy1 = αA(x1) = A(αx1) ⇒ αy1 ∈ Im A
Definice: Hodnost lineárního zobrazení A je definována jako dim Im A a
značíme ji jako h(A) = dim Im A.
Příklad: Jak nalézt obraz lineárního zobrazení? Nechť A : R2
→ R3
je lineární zobrazení, pro které platí A(α1, α2) = (α1 + 2α2, −α2, 2α1 − 3α2).
Vyšetříme jak vypadá Im A. Budeme se ptát, pro které hodnoty (β1, β2, β3)
existuje dvojice (α1, α2) taková, že A(α1, α2) = (β1, β2, β3). Po dosazení do
předpisu A(α1, α2)
(α1 + 2α2, −α2, 2α1 − 3α2) = (β1, β2, β3)
získáme soustavu tří rovnic s parametrickým vektorem pravé strany
α1 + 2α2 = β1
−α2 = β2
2α1 − 3α2 = β3
a protože A(e1) = (1, 0, 2), A(e2) = (2, −1, −3) je matice výše uvedené soustavy
tří rovnic o dvou neznámých α1, α2 maticí zobrazení A v standardních
bázích e1, e2 a e1, e2, e3


1 2 β1
0 −1 β2
2 −3 β3

 ∼


1 2 β1
0 −1 β2
0 −7 β3 − 2β1

 ∼


1 2 β1
0 −1 β2
0 0 β3 − 2β1 − 7β2


Vektor (β1, β2, β3) bude ležet v Im A, je-li tato soustava řešitelná. Tedy musí
platit rovnice β3 − 2β1 − 7β2 = 0, která má obecné řešení


β1
β2
β3

 =


u
v
2u + 7v

 .
Prostor Im A má pak tvar Im A = [(1, 0, 2), (0, 1, 7)]λ a dimenzi 2. Tento
prostor lze napsat i jiným způsobem, a to pomocí obrazů A(e1) a A(e2)
Im A = [A(e1), A(e2)]λ = [(1, 0, 2), (2, −1, −3)]λ .
14 4. Lineární zobrazení
Z uvedeného vyplývá, že h(A) = dim Im A = 2 a d(A) = 0 (tedy Ker (A) =
{(0, 0)}).
Obecný postup: Je-li V prostor konečné dimenze, zvolíme v něm nějakou
(nejlépe standardní) bázi, a nalezneme matici zobrazení A v této bázi prostoru
V a v nějaké (nejlépe v standardní) bázi prostoru W. Hodnost zobrazení
A zjistíme jako hodnost matice zobrazení (počet nenulových řádků matice
po úpravě do horního stupňovitého tvaru) a defekt vypočteme jako dimenzi
nulového prostoru matice zobrazení, tedy platí, že d(A) = dim V − h(A).
Věta: Nechť V a W jsou prostory konečné dimenze a nechť A : V → W je
lineární zobrazení. Pak d(A) + h(A) = dim V .
Příklad: Lineární zobrazení A z prostoru R4
do prostoru R3
je dáno před-
pisem
A(x) = (α1 + 2α2 + 2α3 + 3α4, α1 + 2α2 + 4α3 + 7α4, 2α1 + 4α2 + 3α3 + 4α4)
kde x = (α1, α2, α3, α4). Vypočtěte matici zobrazení A vzhledem ke standardním
bázím a najděte Ker A a Im A.
Dosazením do předpisu získáme obrazy A(e1) = (1, 1, 2), A(e2) = (2, 2, 4),
A(e3) = (2, 4, 3) a A(e4) = (3, 7, 4). Matice zobrazení A vzhledem ke standardním
bázím má tedy tvar
A =


1 2 2 3
1 2 4 7
2 4 3 4


Obvyklým způsobem převedeme matici do horního stupňovitého tvaru


1 2 2 3
1 2 4 7
2 4 3 4

 ∼


1 2 2 3
0 0 2 4
0 0 -1 -2

 ∼


1 2 2 3
0 0 1 2
0 0 0 0

 ,
ze kterého zjistíme obecné řešení A(x) = Θ následujícího tvaru
(α1, α2, α3, α4) = (−2v + u, v, −2u, u) = v(−2, 1, 0, 0) + u(1, 0, −2, 1).
Jádro Ker A = [(−2, 1, 0, 0), (1, 0, −2, 1)]λ má dimenzi d(A) = 2. Z předchozí
věty dále vyplývá, že
h(A) + d(A) = dim R4
= 4.
4. Lineární zobrazení 15
Obraz zobrazení ImA získáme znovu z matice v horním stupňovitém tvaru,
ze které plyne, že
Im(A) = [A(e1), A(e2), A(e3), A(e4)]λ = [A(e1), A(e3)]λ = [(1, 1, 2), (2, 4, 3)]λ
a pro dimenzi obrazu máme h(A) = 2.
Příklad: (Vektorový součin vektorů) Nechť A : R3
→ R3
je lineární zobrazení
indukované vektorovým součinem A(x) = a×x = (a2x3 −a3x2, a3x1 −
a1x3, a1x2 − a2x1), kde x = (x1, x2, x3) a a = (a1, a2, a3). Zvolíme-li specielně
a = (4, 3, 12), pak je zobrazení A(x) = a × x dáno předpisem
A(x) = (3x3 − 12x2, 12x1 − 4x3, 4x2 − 3x1),
ze kterého plyne, že matice zobrazení v standardních bázích má tvar (obrazy
vektorů standardní báze jsou postupně A(e1) = (0, 12, −3), A(e2) =
(−12, 0, 4), A(e3) = (3, −4, 0))
A =


0 −12 3
12 0 −4
−3 4 0

 ,
ze kterého je přímo vidět, že její hodnost musí být nejméně h(A) ≥ 2. Protože
je a × a = 0, musí být ale d(A) ≥ 1, a tedy platí
h(A) = 2, d(A) = 1.
Z vlastností vektorového součinu vyplývá, že ∀x ∈ V, a × x, a = 0, což lze
ověřit následujícím výpočtem
a1(a2x3 − a3x2) + a2(a3x1 − a1x3) + a3(a1x2 − a2x1) =
= (a2a3 − a3a2)x1 + (a3a1 − a1a3)x2 + (a1a2 − a2a1)x3 =
= 0.x1 + 0.x2 + 0.x3 = 0.
Množina Im A musí být tedy rovina procházející počátkem a kolmá na vektor
a. Zvolíme novou bázi f1, f2, f3 prostoru R3
f1 =
a
a
=
1
13
(4, 3, 12), A(f1) = 0,
f2 volíme jako kolmý k vektoru a jako f2 = 1
5
(−3, 4, 0) a f3 položíme f3 =
f1 × f2 = 1
65
(−48, −36, 25). Navíc platí f1 × f3 = −f2 a pro obrazy vektorů
f1, f2, f3 máme vztahy
A(f1) = a × f1 = 0,
A(f2) = a × f2 = a f1 × f2 = 13f3,
A(f3) = a × f3 = a f1 × f3 = −13f3.
16 4. Lineární zobrazení
Obrázek 4.9:
Matice zobrazení A v bázi f1, f2, f3 má následující (jednodušší) tvar
A =


0 0 0
0 0 −13
0 13 0

 .
Příklad: Je-li A čtvercová matice řádu n a jsou-li její sloupce vektory a1, . . . , an,
pak je det A = ±µ(P) až na znamínko roven objemu rovnoběžnostěnu P,
který je daný popisem
P =
n
k=1
xkak| 0 ≤ xk ≤ 1, k = 1, . . . , n
Sloupce matice ak lze interpretovat jako obrazy bazických vektorů standardní
báze ak = Aek = A(ek). Pak det A lze též vyjádřit jako obraz n-rozměrné
krychle
W = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
| 0 ≤ xk ≤ 1, k = 1, . . . , n}
a tedy platí µ(A(W)) = | det A|·µ(W), kde µ(W) = 1 je objem W a µ(A(W))
objem P = A(W). Podobně lze odvodit vztah pro objem obrazu libovolného
tělesa K. Platí totiž, že µ(A(K)) = | det A|·µ(K), kde µ(K) je objem daného
tělesa a µ(A(K)) objem jeho obrazu. Graficky lze tento případ znázornit
následujícím způsobem.
4. Lineární zobrazení 17
Obrázek 4.10: