5
Vlastní čísla a vlastní vektory
Poznámka: Je-li A : V → V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V
(někdy se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem), pak je přirozeným
požadavkem najít takovou bázi prostoru V , že je matice zobrazení A v této
bázi co nejjednodušší, např. má následující strukturu
A =







A1 0
A2
A3
0
...
Ak







,
kde Ak jsou čtvercové matice malého řádu (nejlépe 1 nebo 2) a ostatní prvky
matice jsou nulové. Problém najít bázi, aby v ní matice zobrazení měla diagonální
tvar (kde Ak jsou skaláry), vede k pojmu vlastní číslo a vlastní vektor
matice.
Definice: Nechť A ∈ Cn,n
. Jestliže platí Ax = λx pro jisté komplexní číslo
λ ∈ C a jistý nenulový vektor x ∈ Cn
, x = Θ, potom číslo λ nazýváme
vlastním číslem matice A a vektor x vlastním vektorem příslušným k tomuto
vlastnímu číslu. Množinu všech vlastních čísel nazýváme spektrem matice A.
Poznámka: Všimněme si, že až dosud jsme uvažovali reálné matice. U vlastních
čísel studium pouze reálných matic ztrácí smysl, protože i reálná matice
může mít komplexní vlastní čísla. Proto uvažujeme obecně komplexní matice.
Poznámka: Podmínka existence nenulového vektoru x = Θ v definici vlastního
čísla je nezbytná: kdybychom připustili i x = Θ, potom by každé komplexní
číslo bylo vlastním číslem a definice by ztratila smysl.
1
2 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
Poznámka: Odpovídá-li matice A matici nějakého zobrazení A, pak každý
nenulový vektor z jádra zobrazení Ker A je vlastním vektorem příslušným
vlastnímu číslu 0. Je-li Ker A = {Θ} (je-li matice A regulární), pak 0 není
vlastním číslem matice A.
Příklad: Je-li P je matice ortogonální projekce v prostoru R3
na nějaký
podprostor U (U je tedy buď rovina nebo přímka procházející počátkem),
pak pro každý vektor u ∈ U platí Pu = u, všechny vektory z U (s vyjímkou
nulového vektoru Θ) jsou vlastními vektory matice P příslušné vlastnímu
číslu 1. Prostor U⊥
je roven jádru projekce (nulovému prostoru matice P),
a tedy každý vektor z ortogonálního doplňku U (s výjimkou Θ) je vlastním
vektorem příslušným k vlastnímu číslu 0.
Obrázek 5.1:
Poznámka: Pro každý vlastní vektor čtvercové matice A platí Ax = λx,
x = 0, a tedy po složkách máme soustavu





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
an1 an2 . . . ann










x1
x2
...
xn





= λ





x1
x2
...
xn





,
kde x1, . . . , xn jsou neznámé a λ parametr soustavy. Tato rovnice je ekviva-
5. Vlastní čísla a vlastní vektory 3
lentní homogenní soustavě rovnic (A − λI)x = Θ s parametrem λ





a11 − λ a12 . . . a1n
a21 a22 − λ . . . a2n
...
...
...
an1 an2 . . . ann − λ










x1
x2
...
xn





=





0
0
...
0





.
Protože je tato soustava homogenní, mohou nastat dvě možnosti:
a) matice je regulární a má tedy pouze triviální řešení. V takovém případě
neexistuje nenulový vektor x = Θ takový, že by platilo Ax = λx; číslo λ
není tedy vlastním číslem.
b) matice je singulární, a tedy její množina řešení obsahuje i nenulové
vektory a její dimenze je nejméně 1. Číslo λ je tedy vlastním číslem
matice a každý vektor z množiny řešení této homogenní soustavy je
vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu λ.
Hledáme-li vlastní čísla a vektory matice, musí být soustava s maticí A −
λI singulární. Tento případ nastane právě když je nulový její determinant.
Determinant matice
det(A − λI) =
a11 − λ a12 . . . a1n
a21 a22 − λ . . . a2n
...
...
...
an1 an2 . . . ann − λ
je polynom stupně n v proměnné λ, který nazýváme charakteristickým polynomem
matice A. Je zřejmé, že vlastní čísla matice jsou jeho kořeny. Podle
základní věty algebry má každý polynom n-tého stupně právě n (obecně
komplexních kořenů), počítáme-li i jejich násobnosti. Platí tedy věta:
Tvrzení: Každá čtvercová matice A ∈ Cn,n
má právě n vlastních čísel,
počítáme-li každé vlastní číslo v jeho násobnosti (jakožto kořenu charakteristického
polynomu).
Příklad: Reálná čtvercová matice A =
0 1
−1 0
řádu 2 × 2 má charakteristický
polynom tvaru
det(A − λI) =
−λ 1
−1 −λ
= (−λ)(−λ) − 1(−1) = λ2
+ 1
4 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
a jeho kořeny jsou čísla λ1,2 = ±i (λ2
+1 = 0). Tato reálná matice nemá tedy
reálná vlastní čísla. Dosadíme-li za λ = −i získáme vlastní vektor příslušný
vlastnímu číslu λ1 = −i
i 1
−1 i
∼
i 1
−i −1
∼
i 1
0 0
.
Vidíme, že vlastní vektor
i
1
má také komplexní složky a platí
0 1
−1 0
i
1
= −i
i
1
=
1
−i
.
Podobně postupujeme i pro vlastní číslo λ1 = i a vypočteme příslušný vlastní
vektor
1
i
.
Příklad: Nechť A =


5 −1 3
8 −1 6
−4 1 −2

. Nalezněte vlastní čísla a odpovídající
vlastní vektory matice A. Charakteristický polynom matice A je roven
det(A − λI) =
5 − λ −1 3
8 −1 − λ 6
−4 1 −2 − λ
=
= (5 − λ)(−1 − λ)(−2 − λ) + 24 + 24 − 6(5 − λ)
− (−8)(−2 − λ) − (−12)(−1 − λ) = −λ(λ2
− 2λ + 1)
Řešením rovnice det(A − λI) = 0 hledáme kořeny charakteristického polynomu,
které se postupně redukuje na řešení kubické rovnice λ(λ2
−2λ+1) = 0,
tedy λ(λ − 1)2
= 0, jejíž kořeny jsou jeden dvojnásobný kořen λ1 = λ2 = 1
a jeden kořen λ3 = 0. Vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λ1 = λ2 = 1
získáme řešením soustavy (A − λ1I)x = (A − λ2I)x = Θ, tedy


4 −1 3
8 −2 6
−4 1 −3

 ∼


4 −1 3
0 0 0
0 0 0

 ,
ze které vyplývá, že každý vektor x, pro který je Ax = x, musí splňovat
podmínku x ∈ [(0, 3, 1), (1, 4, 0)]λ a tedy lineárně nezávislými vlastními vektory
jsou například x1 = (1, 4, 0) a x2 = (0, 3, 1). Podobně postupujeme i u
5. Vlastní čísla a vlastní vektory 5
vlastního čísla λ3 = 0. Řešení rovnice (A − λ3I)x = Ax = Θ vede na hledání
vektorů z nulového prostoru soustavy.


5 −1 3
8 −1 6
−4 1 −2

 ∼


5 −1 3
0 3 6
0 1 2

 ∼


5 −1 3
0 1 2
0 1 2

 ∼


5 −1 3
0 1 2
0 0 0


Jedním z možných řešení je vektor x3 = (1, 2, −1). Indukuje-li matice A
Obrázek 5.2:
zobrazení A (tato matice je maticí lineárního zobrazení A v standardních bázích),
pak má matice zobrazení A v bázi x1, x2, x3 diagonální tvar


1 0 0
0 1 0
0 0 0

.
Geometrická interpretace zobrazení A je, že se jedná o projekci na rovinu podél
osy dané vektorem x3.
Příklad: Určete vlastní čísla a příslušející vektory matice A =


4 −5 7
1 −4 9
−4 0 5

 .
Postupujeme stejným způsobem, vypočteme charakteristický polynom
det(A − λI) =
4 − λ −5 7
1 −4 − λ 9
−4 0 5 − λ
= (4 − λ)(−4 − λ)(5 − λ)
+ 180 + 28(−4 − λ) + 5(5 − λ) = (1 − λ)(λ2
− 4λ + 13)
a nalezneme jeho kořeny λ1 = 1, a protože je diskriminant D = 16 − 4 · 13 =
16 − 52 = −36 jsou další kořeny komplexně sdružené λ2,3 = 4±6i
2
= 2 ± 3i.
6 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ1 = 1 najdeme jako nenulové řešení
homogenní soustavy (A − λ1I)x = Θ


4 − 1 −5 7
1 −4 − 1 9
−4 0 5 − 1

 ∼


3 −5 7
1 −5 9
−4 0 4

 ∼


3 −5 7
0 10 −20
0 −20 40


∼


3 −5 7
0 1 −2
0 −1 2

 ∼


3 −5 7
0 1 −2
0 0 0

 ,
například x1 = (1, 2, 1). Řešením soustavy (A − λ2I)x = Θ získáme vlastní
vektor příslušný vlastnímu číslu λ2 = 2 + 3i


2 − 3i −5 7
1 −6 − 3i 9
−4 0 3 − 3i

 ∼


1 −6 − 3i 9
0 −24 − 12i 39 − 3i
0 0 0

 ,
kterým může být vektor x2 = (3−3i, 5−3i, 4). Podobně vypočteme i vlastní
vektor příslušný vlastnímu číslu λ3 = 2 − 3i: x3 = (3 + 3i, 5 + 3i, 4).
Poznámka: Je-li λk násobný kořen charakteristického polynomu matice A,
pak v obecném případě nemusí být násobnost vlastního čísla jako kořenu
rovna počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušných tomuto vlastnímu
číslu. Pak matice A není diagonalizovatelná, tedy neexituje báze, ve
které by měla matice zobrazení A, které indukuje daná matice A, diagonální
tvar.
Příklad: Matice A =
0 0
1 0
má charakteristický polynom tvaru det(A −
λI) =
−λ 0
1 −λ
= λ2
, a tedy číslo λ = 0 je vlastní číslo s násobností 2.
Vlastní vektory matice, které přísluší tomuto vlastnímu číslu vypočteme ze
soustavy (A − λI)x = Θ, tedy v našem případě řešením soustavy Ax = Θ ve
tvaru
0.x1 + 0.x2 = 0,
1.x1 + 0.x2 = 0,
které vede na x1 = 0, x = (x1, x2) ∈ [(0, 1)]λ, a tedy dim[(0, 1)]λ = 1 se nerovná
násobnosti vlastního čísla λ = 0. Matice není tedy diagonalizovatelná,
nelze nalézt bázi, ve které by měla matice diagonální tvar.
5. Vlastní čísla a vlastní vektory 7
Symetrické matice a jejich vlastnosti
Definice: Nechť A = (aij) ∈ Rm,n
. Matici AT
∈ Rn,m
, definovanou (AT
)ji =
aij, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n nazýváme maticí transponovanou k matici A.
Poznámka: Slovně, j-tým řádkem matice AT
se stává j-tý sloupec matice A
(j = 1, . . . , n) a i-tým sloupcem matice AT
se stává i-tý řádek matice A
(i = 1, . . . , m).
Příklad:
A =
1 2 3
4 5 6
∈ R2,3
, AT
=


1 4
2 5
3 6

 ∈ R3,2
Definice: Matice A se nazývá symetrická, jestliže AT
= A.
Poznámka: Symetrická matice je tedy nutně čtvercová matice (A ∈ Rn,n
).
Poznámka: Ukázali jsme, že reálná matice A ∈ Rn,n
může mít obecně i
komplexní vlastní čísla.
Tvrzení: Symetrická matice A ∈ Rn,n
má všechna vlastní čísla reálná.
Tvrzení: Vlastní vektory příslušné navzájem různým vlastním číslům každé
reálné matice A ∈ Rn,n
jsou lineárně nezávislé.
Tvrzení: Vlastní vektory příslušné navzájem různým vlastním číslům symetrické
matice A ∈ Rn,n
jsou navzájem ortogonální (kolmé).
Příklad: Nechť Ax1 = λ1x1, x1 = Θ. Pak je ortogonální doplněk X = [x1]⊥
λ
invariantním podprostorem matice A, který splňuje podmínku Ax ∈ X pro
každé x ∈ X.
Příklad: Najděte charakteristický polynom, vlastní čísla a příslušné vlastní
vektory symetrické matice
A =


−1 1 1
1 1 −1
1 −1 1

 .
8 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
Obrázek 5.3:
Postupujeme standardním způsobem: vypočteme charakteristický polynom
det(A − λI) =
−1 − λ 1 1
1 1 − λ −1
1 −1 1 − λ
=
= (−1 − λ)(1 − λ)2
− 1 − 1 − (1 − λ) − (−1 − λ) − (1 − λ) =
= (−1 − λ)(1 − λ)2
− 3 + 3λ =
= (−1 − λ)(1 − λ)2
− 3(1 − λ) =
= (1 − λ)[(−1 − λ)(1 − λ) − 3] =
= (1 − λ)[−1 + λ − λ + λ2
− 3] =
= (1 − λ)(λ2
− 4) = (1 − λ)(λ − 2)(λ + 2)
a určíme jeho kořeny λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2 a příslušné vlastní vektory
řešením homogenních soustav (A − λiI)x = Θ
λ1 = 1 :


−2 1 1
1 0 −1
1 −1 0

 ∼


−2 1 1
0 1 −1
0 −1 1

 ∼


−2 1 1
0 1 −1
0 0 0

 ,
získáme v tvaru ˜x1 = (1, 1, 1), který splňuje A˜x1 = ˜x1,
λ2 = 2 :


−3 1 1
1 −1 −1
1 −1 −1

 ∼


−3 1 1
0 −2 −2
0 0 0


5. Vlastní čísla a vlastní vektory 9
řešením soustavy (A−λ2I)x = Θ je vektor ˜x2 = (0, 1, −1) splňující A˜x2 = 2˜x2
λ3 = −2 :


1 1 1
1 3 −1
1 −1 3

 ∼


1 1 1
0 2 −2
0 −2 2

 ∼


1 1 1
0 2 −2
0 0 0


a řešením (A − λ3I)x = Θ získáme ˜x3 = (−2, 1, 1), pro který platí A˜x3 =
−2˜x3. Definujeme-li matici vlastních vektorů
˜X = (˜x1, ˜x2, ˜x3) =


1 0 −2
1 1 1
1 −1 1

 ,
pak kromě identity vyplývající z definice vlastních vektorů
A ˜X = ˜X


1 0 0
0 2 0
0 0 −2

 ,
platí i vlastnost, že vlastní vektory příslušné navzájem různým vlastním číslům
jsou kolmé
˜XT ˜X =


1 1 1
0 1 −1
−2 1 1




1 0 −2
1 1 1
1 −1 1

 =


3 0 0
0 2 0
0 0 6

 .
Když jednotlivé sloupce matice ˜X vynormujeme tak, aby měly výsledné vektory
jednotkovou délku
x1 =
˜x1
˜x1
=
1
√
3


1
1
1

 ,
x2 =
˜x2
˜x2
=
1
√
2


0
1
−1

 ,
x3 =
˜x3
˜x3
=
1
√
6


−2
1
1

 ,
pak pro matici X = (x1, x2, x3) platí XT
X = I, tedy X je ortogonální
matice (viz následující podkapitola). Základní vlastnost, že vektory x1, x2, x3
10 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
vytváří ortonormální bázi prostoru R3
je vidět z následujících rovností
XT
X =


xT
1
xT
2
xT
3

 (x1 x2 x3) =


xT
1 x1 xT
1 x2 xT
1 x3
xT
2 x1 xT
2 x2 xT
2 x3
xT
3 x1 xT
3 x2 xT
3 x3

 =
=


x1, x1 x1, x2 x1, x3
x2, x1 x2, x2 x2, x3
x3, x1 x3, x2 x3, x3

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 .
Příklad: Nechť A : R3
→ R3
je lineární zobrazení se symetrickou maticí
A =


−7/9 4/9 4/9
4/9 −1/9 8/9
4/9 8/9 −1/9

 .
Vlastní čísla matice najdeme jako kořeny charakteristického polynomu
det(A − λI) =
−7/9 − λ 4/9 4/9
4/9 −1/9 − λ 8/9
4/9 8/9 −1/9 − λ
=
= −λ3
− λ2
+ λ = −(λ − 1)(λ + 1)2
.
Protože je matice A symetrická, jsou tyto kořeny λ1 = 1, λ2 = λ3 = −1
reálná čísla. Vlastní vektor x1 = (β1, β2, β3) takový, že Ax1 = λ1x1 je řešením
homogenní soustavy
−16β1 + 4β2 + 4β3 = 0
4β1 − 10β2 + 8β3 = 0
4β1 + 8β2 − 10β3 = 0
s hodností 2 a její řešení lze získat i přímo pomocí vektorového součinu jako
x1 = α1(−16, 4, 4) × (4, −10, 8) = α1(72, 144, 144).
Vektor (β1, β2, β3) musí být totiž kolmý na vektory (−16, 4, 4) a (4, −10, 8).
Koeficient α1 zvolíme tak, aby byla norma vektoru x1 rovna jedné, tedy
x1 = 1
3
(1, 2, 2). Vlastní vektory příslušné dvojnásobnému vlastnímu číslu
λ2 = λ3 = −1 jsou řešeními homogenní soustavy
2β1 + 4β2 + 4β3 = 0
4β1 + 8β2 + 8β3 = 0
4β1 + 8β2 + 8β3 = 0
5. Vlastní čísla a vlastní vektory 11
s (garantovanou) hodností 1. Standardním postupem získáme soustavu v
horním stupňovitém tvaru β1 + 2β2 + 2β3 = 0 s dvěma lineárně nezávislými
řešeními ˜x2 = (−2, 1, 0) a ˜x3 = (−2, 0, 1). Tyto vektory lze normovat tak,
aby jejich norma byla rovna jedné, tedy x2 = 1√
5
(−2, 1, 0). Protože obecně
˜x3 není kolmé na ˜x2 (a tedy není kolmé i na x2), třetí vektor x3 vypočteme
pomocí Gram-Schmidtova orthogonalizačního procesu, kde ˜˜x3 = ˜x3 − α2x2,
kde α2 zvolíme tak, aby platilo že ˜˜x3, x2 = 0, tedy
˜x3, x2 − α2 x2, x2 = 0 .
Koeficient α2 se rovná α2 = ˜x3, x2 = 4/
√
5 a vektor ˜˜x3 = (−2, 0, 1) −
4
5
(−2, 1, 0) = −2
5
, −4
5
, 1 . Vektor x3 pak vypočteme normováním vektoru ˜˜x3
x3 =
1
√
45
(−2, −4, 5)
Vypočtené vektory x1, x2, x3 jsou ortonormální bází, ve které má lineární
zobrazení A diagonální tvar
˜A =


1 0 0
0 −1 0
0 0 −1

 .
Obrázek 5.4:
12 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
Ortogonální matice a jejich vlastnosti
Definice: Matice A ∈ Rn,n
se nazývá ortogonální, jestliže AT
A = I.
Tvrzení: 1. Každá ortogonální matice A je regulární a platí A−1
= AT
2. Sloupce ortogonální matice A tvoří ortonormální bázi prostoru Rn
. Je-li
A = (a1, a2, . . . , an), pak
AT
A =





aT
1
aT
2
...
aT
n





(a1 . . . an) =





aT
1 a1 . . . aT
1 an
aT
2 a1 . . . aT
2 an
...
aT
n a1 . . . aT
n an





=
=





a1, a1 . . . a1, an
a2, a1 . . . a2, an
...
an, a1 . . . an, an





=





1 0 . . . 0
0 1
...
...
... 0
0 . . . 0 1





= I.
3. Podobně, řádky ortonormální matice tvoří ortonormální bázi Rn
. Protože
je A−1
= AT
, platí i vlastnost AAT
= AA−1
= I.
Tvrzení: Ortogonální matice A ∈ Rn,n
má všechna vlastní čísla ležící na
jednotkové kružnici |λ| = 1.
Příklad: (Ortogonální matice řádu 2) První vektor nejobecnější ortonormální
báze x1, x2 v prostoru R2
je tvaru x1 = (cos ϕ, sin ϕ) a druhý bazický
vektor má nutně jeden ze dvou tvarů ±(− sin ϕ, cos ϕ). Odpovídající ortogonální
matice jsou tedy tvaru
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
,
cos ϕ sin ϕ
sin ϕ − cos ϕ
(ϕ ∈ [0, 2π) )
Poznámka: Matice tvaru
cos ϕ sin ϕ
sin ϕ − cos ϕ
lze získat z matic
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
vynásobením maticí
1 0
0 −1
. Matice zobrazení
1 0
0 −1
odpovídá zrcadlení
vzhledem k ose dané vektorem e1. Matice tvaru
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
odpovídá rotaci o úhel ϕ. Všechny ortogonální transformace v R2
lze tedy
získat buď otočením o nějaký úhel ϕ a/nebo zrcadlením kolem osy e1.
5. Vlastní čísla a vlastní vektory 13
Obrázek 5.5:
Obrázek 5.6:
Obrázek 5.7:
Platí tedy transformační vztahy mezi souřadnicemi nejakého bodu v rovině
(x1, x2) před otočením a/nebo zrcadlením a po otočení a/nebo zrcadlení
14 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
(x1, x2)
x1
x2
=
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
x1
x2
,
x1
x2
=
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
1 0
0 −1
x1
x2
.
Příklad: Nejobecnější “kladně orientovanou” ortonormální bázi x1, x2, x3
prostoru R3
lze získat následujícím způsobem: Nechť ϑ je úhel mezi vektory
e3 a x3, pro který 0 < ϑ < π. Pak se roviny dané dvojicemi vektorů
e1, e2 a x1, x2 protínají na přímce, ve které leží i vektor k = e3×x3
sin ϑ
s délkou
1 ležící na kružnici s poloměrem 1 v obou rovinách. Tedy existuje úhel
ϕ ∈ [0, 2π) takový, že k = cos ϕ e1 + sin ϕ e2 a úhel ψ ∈ [0, 2π) takový,
že k = cos ψ x1 − sin ψ x2. Úhly ϕ, ϑ, ψ se nazývají Eulerovy úhly popisující
transformaci souřadnic e1, e2, e3 do nového systému daného vektory x1, x2, x3,
kterou lze rozdělit do třech kroků: a) rotace kolem vektoru e3 o úhel ϕ; b)
překlopení kolem vektoru k o úhel ϑ; c) rotace (otočení) kolem vektoru x3 o
úhel ψ. Transformační matici lze napsat tedy jako součin tří jednoduchých
matic otočení


cos ψ sin ψ 0
− sin ψ cos ψ 0
0 0 1




1 0 0
0 cos ϑ sin ϑ
0 − sin ϑ cos ϑ




cos ϕ sin ϕ 0
− sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1

 =


cos ψ cos ϕ − cos ϑ sin ϕ sin ψ − sin ψ cos ϕ − cos ϑ sin ϕ cos ψ sin ϑ sin ϕ
cos ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ sin ψ − sin ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ cos ψ − sin ϑ sin ϕ
sin ψ sin ϑ − cos ψ sin ϑ cos ϑ


Příklad: Matice


1 0 0
0 cos ϕ − sin ϕ
0 sin ϕ cos ϕ

 popisuje pootočení roviny x = 0 kolem
osy x o úhel ϕ (viděno pozorovatelem proti směru hodinových ručiček ve
směru kladné osy). Podobně matice


cos ϕ 0 sin ϕ
0 1 0
− sin ϕ 0 cos ϕ

 a


cos ϕ − sin ϕ 0
sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1


popisují rotace kolem osy y resp. osy z.
5. Vlastní čísla a vlastní vektory 15
Obrázek 5.8:
Obrázek 5.9:
Kuželosečky a kvadratické plochy
Příklad: Rovnice 5x2
+6xy+5y2
= 8 popisuje nějakou keželosečku v rovině a
my máme vypočítat její typ a délky poloos. Zavedeme nový souřadný systém
16 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
pomocí transformace souřadnic
x =
1
√
2
x +
1
√
2
y
y = −
1
√
2
x +
1
√
2
y ,
ve vektorovém zápisu
x
y
=
1√
2
1√
2
− 1√
2
1√
2
x
y
=
cos −π
4
− sin −π
4
sin −π
4
cos −π
4
x
y
(jde tedy o pootočení o úhel π/4 ve směru hodinových ručiček). Po dosazení
Obrázek 5.10:
do rovnice získáme rovnici kuželosečky v nových souřadnicích x a y
5 ·
1
2
(x2
+ 2xy + y2
) + 6 ·
1
2
(−x2
+ y2
) + 5 ·
1
2
(x2
− 2xy + y2
) = 8,
4x2
+ 16y2
= 16,
x2
4
+ y2
= 1,
což je rovnice elipsy s délkami poloos a = 2, b = 1. Obecně převedeme-li
rovnici do standardní formy
5
8
x2
+ 2
3
8
xy +
5
8
y2
= 1,
5. Vlastní čísla a vlastní vektory 17
Obrázek 5.11:
pak ji lze psát pomocí symetrické matice jako výraz ve tvaru
x
y
T
5/8 3/8
3/8 5/8
x
y
= 1.
Nyní známým způsobem najdeme vlastní čísla a vektory matice
5/8 3/8
3/8 5/8
5/8 − λ 3/8
3/8 5/8 − λ
= (5/8 − λ)2
−
9
64
=
16
64
−
10
8
λ + λ2
=
= λ −
8
8
λ −
2
8
= 0,
ze kterého vyplývá, že λ1 = 1 a λ2 = 1
4
. Vlastní čísla jsou kladná λ1 > 0 a
λ2 > 0, a současně λ1 = λ2, a tedy se jedná o elipsu ve tvaru
λ1x2
+ λ2y2
= 1,
x2
+
y
2
2
= 1 ,
kde vztah mezi souřadnicemi x, y a x, y získáme pomocí matice vlastních
vektorů (x1, x2) příslušných vlastním číslům λ1 = 1 a λ2 = 1
4
−3/8 3/8
3/8 −3/8
∼
1 −1
0 0
, x1 =
1
√
2
1
1
,
18 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
3/8 3/8
3/8 3/8
∼
1 1
0 0
, x2 =
1
√
2
1
−1
,
x
y
=
1√
2
1√
2
1√
2
− 1√
2
x
y
Kuželosečky: obecný postup Obecný tvar kuželosečky (elipsy, paraboly
nebo hyperboly se středem symetrie v počátku souřadného systému) je
a11x2
+ 2a12xy + a22y2
= 1.
Splňuje-li bod (x, y) tuto rovnici, pak i bod (−x, −y) leží tedy na dané kuželosečce.
Cílem je převést kuželosečku do tvaru
a11x2
+ a22y2
= 1 ,
kde x a y jsou souřadnice bodu v souřadném systému daném hlavními poloosami
nebo asymptotami kuželosečky. Jsou-li a11 a a22 kladná čísla, pak se
jedná o elipsu, mají-li různá znamínka, jde o hyperbolu. Jednotlivé případy
jsou znázorněny graficky na následujícím obrázku:
Obrázek 5.12:
Použijeme následující postup: definujeme symetrickou matici A =
a11 a12
a12 a22
.
Rovnici a11x2
+ 2a12xy + a22y2
= 1 lze pak přepsat do tvaru
x
y
T
A
x
y
= 1
5. Vlastní čísla a vlastní vektory 19
Obrázek 5.13:
. Protože je matice A symetrická, lze nalézt ortonormální bázi, ve které
má tato matice diagonální tvar, tedy platí, že existují vektory x1, x2 tak,
že Ax1 = λ1x1 a Ax2 = λ2x2. V maticovém tvaru AX = X
λ1 0
0 λ2
,
kde X = (x1, x2) a současně platí XT
X = I. Pak po substituci
x
y
=
X
x
y
do rovnice
x
y
T
A
x
y
= 1 získáme rovnici kuželosečky v
nových souřadnicích (x, y) ve tvaru
x
y
T
λ1 0
0 λ2
x
y
= 1,
tedy λ1x2
+ λ2y2
= 1. Vlastní čísla λ1, λ2 matice A určují typ kuželosečky
a příslušné vlastní vektory x1, x2 určují směr hlavních poloos (asymptoty)
kuželosečky.
Kvadratické plochy (plochy 2. stupně) v prostoru: obecný postup
Rovnice s kvadratickými členy
a11x2
+ 2a12xy + 2a13xz + a22y2
+ 2a23yz + a33z2
= 1
popisuje elipsoid, hyperboloid, paraboloid, válcovou plochu a jejich různé
varianty. Z uvedené rovnice je zřejmé, že počátek je středem symetrie dané
20 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
Obrázek 5.14:
plochy, t.j. je-li bod (x, y, z) řešením dané rovnice, pak je řešením i bod
(−x, −y, −z). V maticovém zápisu má rovnice tvar


x
y
z


T 

a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33




x
y
z

 = 1, A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 .
Řešení problému vlastních čísel symetrické matice A vede k reálným vlastním
číslům λ1, λ2, λ3 s ortonormálními vlastními vektory x1, x2, x3. Zavedeme-li
nové souřadnice pomocí transformace


x
y
z

 = X


x
y
z

 , X = (x1, x2, x3)
5. Vlastní čísla a vlastní vektory 21
získáme rovnici kvadratické plochy v standardním tvaru


x
y
z


T 

λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3




x
y
z

 = 1 ,
tedy λ1x2
+λ2y2
+λ3z2
= 1. Typ kvadratické plochy zjistíme, podle toho zda
jsou všechna vlastní čísla kladná (pak rovnice popisuje elipsoid) nebo se liší
znaménkem (pak jde o hyperboloid) nebo se jedná o některou jinou variantu
kvadratické plochy.
Příklad: Nechť rovnice 2(x2
− xy − xz + y2
− xz) = 1 popisuje nějakou
kvadratickou plochu. O jaký typ kvadratické plochy jde a jaké jsou její hlavní
osy?
Matice A =


2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 0

 má vlastní čísla λ1 = 2, λ2 = −1, λ3 = 3 a
příslušné vlastní vektory jsou
x1 =
1
√
3


−1
−1
1

 , x2 =
1
√
6


1
1
2

 , x3 =
1
√
2


−1
1
0

 .
Transformace do nových souřadnic vede na rovnici kvadratické plochy v standardní
formě
2x2
− y2
+ 3z2
= 1.
Jedná se tedy o rotační hyperboloid, jehož průnik s rovinou x, y je hyperbola
protínající osu x. Průnik hyperboloidu s rovinou x, z je elipsa s větší poloosou
na ose x a průnik s rovinou (y, z) je opět hyperbola protínající osu y.
22 5. Vlastní čísla a vlastní vektory
Obrázek 5.15: