Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 1 ROVNICE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE Irena Budínová PROPEDEUTIKA ROVNIC Nežli začne samotné učivo Rovnice, je důležité, aby žáci řešili úlohy vedoucí na rovnice jinými prostředky. Jedná se o typy úloh: Úlohy s váhami, Úlohy zadané příběhem, Slovně zadaný matematický model situace. Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 2 ÚLOHY S VÁHAMI Kolik kroužků musíme umístit na pravou stranu poslední váhy, aby nastala rovnováha? Jaká je hodnota jednotlivých útvarů? (1. stupeň – 6. ročník) Doplňte na váhy závaží tak, aby nastala rovnováha. 11 7 2 8 9 3 5 7 Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 3 SLOVNÍ ÚLOHY A STRATEGIE JEJICH ŘEŠENÍ Na následující úloze budeme diskutovat různé možnosti řešení: Tatínek kupoval tři autíčka, červené, modré a zelené. Modré stálo dvakrát více než červené, zelené stálo tolik co červené a modré dohromady. Všechna autíčka stála dohromady 120 Kč. Vypočítej cenu každého autíčka. Řešení úvahou, Aritmetické řešení s grafickým znázorněním. Označením jednotlivých aut písmeny a hledání vztahu mezi nimi Hledejte různé možnosti řešení následujících úloh: Myslím si číslo. Když k němu přičtu 7 a výsledek vynásobím 8, dostanu 160. Které číslo si myslím? Jana uspořila dvakrát více než Jitka, Alena o 27 Kč méně než Jana. Celkem uspořily 453 Kč. Kolik Kč uspořila každá dívka? Kapr váží kilo a půl kapra. Kolik váží kapr? (Problémová úloha) Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 4 VÝZKUMY Mnoho výzkumů nedávné minulosti indikovalo, že pro žáky je přijatelnější než zadávání rovnice obvyklým způsobem spíše navození slovního problému, nebo alespoň nahrazení neznámé jinými způsoby, např. __+3=5. (Carraher et al., 2006) Kalchman a Koedinger (2005) popsali jednu úlohu zadanou třemi různými způsoby: příběhem, pomocí matematického modelu, rovnicí (viz následující příklad): Úloha zadaná příběhem: Když se Tod vrátil ze svého zaměstnání číšníka, vynásobil si svoji hodinovou mzdu počtem 6 hodin, které ten den odpracoval. Když k tomu přidal 66 dolarů, které si vydělal na spropitném, zjistil, že celkem to dělá 81,90 dolarů. Kolik Tod dostává za hodinu? Slovně zadaný matematický model situace: Myslím si číslo. Když ho vynásobím 6 a pak přičtu 66, dostanu 81,9. Jaké číslo jsem si myslel? Rovnice: Najdi x, jestliže x.6+66=81,90. Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 5 Z výzkumu vyplynulo, že žáci byli nejúspěšnější při úloze zadané příběhem. Žáci k řešení slovních úloh nevyužívali rovnic, ale zcela jiných strategií - pokusu a omylu, strategií řešení „od konce“ (začali konečnou hodnotou 81,9, odečetli 66 a výsledek vydělili 6) apod. V průměru žáci dosáhli 66 % úspěšnosti v úloze zadané příběhem, 62 % ve slovně zadané úloze a 43 % u rovnice. POSTUPNÉ ZAVÁDĚNÍ SYMBOLIKY POMOCÍ SLOVNÍCH ÚLOH 1. Intuitivní zápis slovní úlohy. 2. Postupné zavádění písmena jakožto neznámé. Ukažme možnou učitelovu intervenci na následující úloze: Davidova maminka váží třikrát tolik a ještě o 5 kg více než David. Kolik kg váží David, když maminka váží 59 kg? Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 6 POSTUPNÉ ZAVÁDĚNÍ SYMBOLIKY POMOCÍ ÚLOH S VAHAMI U váhy můžeme domluvit následující symboliku: neznámé závaží … neznámá … označíme x, známé závaží má udanou číselnou hodnotu … číslo. 6 EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY ROVNIC Jedná se o takové úpravy, při jejichž použití mají rovnice před úpravou a po úpravě stejné kořeny (rovnice původní a rovnice upravená mají stejnou množinu všech řešení). záměna obou stran rovnice přičtení (odečtení) stejného čísla nebo stejného výrazu k oběma stranám rovnice vynásobení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo stejným mnohočlenem, který má pro každou proměnnou hodnotu různou od nuly vydělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo stejným mnohočlenem, který má pro každou proměnnou hodnotu různou od nuly. Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 7 VYVOZENÍ EKVIVALENTNÍCH ÚPRAV POMOCÍ ÚLOH S VAHAMI 62 242 4 66 6 2 2 2 2 ROVNOST A ROVNICE Pojem rovnosti je jedním z nejdůležitějších pojmů školské matematiky. Jedná se o relaci, která je: reflexivní, tj. pro každé a z dané množiny a = a symetrická, tj. pro každé a, b z dané množiny platí: jestliže a = b, pak b = a tranzitivní, tj. pro každé a, b, c, z dané množiny platí: jestliže a = b a zároveň b = c, pak a = c. tedy je to relace ekvivalence. Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 8 Rovnice je a) zápis rovnosti dvou výrazů, z nichž alespoň jeden obsahuje neznámou, b) výroková forma, jejíž obor pravdivosti hledáme. Na ZŠ se žáci seznamují s lineární rovnicí s jednou neznámou a s některými rovnicemi, které na ni vedou. LINEÁRNÍ ROVNICE O JEDNÉ NEZNÁMÉ Rovnice typu ax+b=0. Tato rovnice může mít vzhledem ke koeficientům a, b nekonečně mnoho řešení, žádné řešení, právě jedno řešení. Při výuce postupujeme od nejjednodušších tvarů rovnice, postupně zavádíme nové jevy. Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 9 Při řešení rovnice hledáme její kořen – číslo, které po dosazení za neznámou změní rovnici v rovnost. Postupujeme podle algoritmu – přesné posloupnosti kroků, jejímž cílem je nalezení neznámé. Úloha: Řešte rovnici, proveďte zkoušku: x(4+x)=(x-2)(x+5) ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI Důsledkové úpravy: úpravy, které mohou změnit množinu řešení dané rovnice. Na ZŠ se jedná o: vynásobení rovnice výrazem s neznámou, který je roven nule, vydělení rovnice výrazem s neznámou, který je roven nule, umocnění obou stran rovnice na druhou, odmocnění obou stran rovnice Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 10 Některé důsledkové úpravy ubírají řešení zadané rovnici, jiné naopak přidávají. Při použití důsledkové úpravy je nutné provést zkoušku z toho důvodu, abychom odstranili přidaná řešení. Úloha: Řešte rovnici a) pouze ekvivalentními úpravami, b) i důsledkovými úpravami. LINEÁRNÍ NEROVNICE Na 1. stupni – pojem nerovnosti. Zápis nerovnosti dvou výrazů, ve kterém musíme určit neznámé číslo tak, aby daná nerovnost platila, nazýváme nerovnice. Řešit nerovnici znamená najít taková čísla, aby po dosazení těchto čísel za neznámou se nerovnice změnila ve správnou nerovnost. Nalezená čísla se nazývají řešení dané nerovnice. Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 11 Rozlišujeme ostré nerovnice a neostré nerovnice. Žáci se musí seznámit s pojmem intervalu, úlohy řeší v množině reálných čísel nebo přirozených čísel. Velmi vhodné je řešení úloh pomocí číselné osy. Zkoušku správnosti provádíme náhodným dosazením čísla z nalezeného intervalu. Nejčastěji užívané úpravy lineární nerovnice jsou: 1. Přičítání nebo odčítání stejného výrazu k oběma stranám nerovnice. 2. Násobení nebo dělení obou stran nerovnice stejným číslem různým od nuly. Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 12 Úloha: Řešte nerovnici s neznámou v množině přirozených čísel: Úloha: Řešte soustavu nerovnic s neznámou x: Úloha: Řešte nerovnici s neznámou x: Aplikační úloha: Dokažte, že nerovnost a2+1 ≥ 2a platí pro každé reálné číslo a. Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 13 KVADRATICKÁ ROVNICE NA SŠ Rovnice typu ax2+bx+c=0. Kořeny kvadratické rovnice hledáme nejčastěji následujícími způsoby: pomocí vzorce, pomocí Viétových vzorců, pomocí doplnění na úplný čtverec, ve speciálních případech, kdy b=0 (ryze kvadratická rovnice) nebo c=0 používáme rozklad mnohočlenů. Úloha: Určete kořeny následujících kvadratických rovnic: Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 14 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC SE DVĚMA NEZNÁMÝMI Jedná se o soustavu rovnic typu ax+by=c dx+ey=f Soustavu rovnic řešíme následujícími metodami: dosazovací metoda sčítací metoda velice často se volí kombinace dvou předchozích metod komparační metoda grafické řešení – až po probrání lineární funkce Zásady: Rovnice píšeme stále pod sebe, jednotlivé kroky oddělujeme vodorovnou čárou. Výsledek zapisujeme jako uspořádanou dvojici. Zkoušku provádíme dosazením obou kořenů do zadané soustavy. Je-li nekonečně mnoho řešení, nebo není-li žádné řešení, prověřujeme správnost řešení např. pomocí komparační metody – z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou a porovnáme. Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 15 Řešte soustavu rovnic s neznámými x, y: DIOFANTICKÉ ROVNICE Na ZŠ nejsou předmětem běžného učiva, mohou se ale objevit v Matematické olympiádě: Adam a Eva dostali košík, ve kterém bylo 31 jablek. První den snědla Eva tři čtvrtiny toho, co snědl Adam. Druhý den snědla Eva dvě třetiny toho, co snědl týž den Adam. Druhého dne večer byl košík prázdný. Kolik jablek snědla z košíku Eva? (Adam i Eva jablka jedí celá a nedělí se o ně.) [Z9-I-4, 59 ročník, 1. kolo] Irena Budínová: DM2 přednáška 2 17.3.2016 16 LITERATURA Bečvář, J., Bečvářová, M., Vymazalová, H.: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie. Edice Dějiny matematiky, 23. svazek. Praha: Prometheus, 2003 Carraher, D., Schliemann, A., Brizuela, B., & Earnest, D.: Arithmetic and algebra in early mathematics education. In Journal for Research in Mathematics Education 37 (2), 87 – 115. 2006 Czudek, P. a kol.: Slovní úlohy řešené rovnicemi. 555 úloh pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ. Praha: sdružení podnikatelů HAV, 1998 Hejný, M.: Vyučování matematice orientované na budování schémat: aritmetika 1. stupně. PdF UK, Praha 2014. ISBN 978-80-7290-776-2 Kalchman, M., Koedinger, K. R.: Teaching and Learning Functions. In: How Students Learn: Mathematics in the Classroom. Editors: Donovan, M. S., Bransford, J. D. Washington, DC, USA: National Academic Press, 2005 Tipps, S., Johnson, A., Kennedy, L. M.: Guiding Children’s Learning of Mathematics. Wadsworth, Cangage Learning, 2011