Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
1
SLOVNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ ROVNICEMI A
SOUSTAVAMI ROVNIC
Irena Budínová
ROZCVIČKA
Doplňte čísla do trojúhelníku tak, aby součet
všech čísel byl 90 a v každé straně trojúhelníku
byl stejný součet.
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
2
Slovní úlohy jsou úlohy, ve kterých jsou vztahy
mezi známými a neznámými údaji vyjádřeny
slovní formulací.
Úkolem řešení slovních úloh je najít hledané
údaje, tedy stanovit posloupnost operací, které
je třeba s danými údaji provést, aby bylo možné
odpovědět na otázku.
K tomu je nutné porozumět textu zadání slovní
úlohy, provést přepis textu do matematického
jazyka – v tomto případě do rovnice či soustavy
rovnic.
Výsledek matematické úlohy nemusí být vždy
výsledkem slovní úlohy. Mohou nastat případy,
kdy matematická úloha má více řešení, avšak
pro interpretaci do reality vyhovují jen některá
řešení.
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
3
Řešení slovních úloh má na základní škole
nezastupitelnou funkci. Mají funkci
motivační
přispívají k rozvoji matematického myšlení žáků
aplikační
výchovnou
přímo rozvíjí kompetence k učení, k řešení
problémů, komunikativní, i další
POSTUP ŘEŠENÍ SLOVNÍ ÚLOHY
1. Analýza textu
2. Označení neznámé
3. Matematický zápis vztahu mezi veličinami
4. Sestavení rovnice (soustavy rovnic)
5. Vyřešení rovnice
6. Dvě zkoušky správnosti
7. Odpověď na otázku slovní úlohy
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
4
Poznámka: Při řešení slovních úloh dbáme na
správný zápis jednotek. Máme dvě možnosti, jak
postupovat:
1. Úlohu matematizovat a během řešení rovnice počítat
pouze s čísly, k jednotkám se vracíme v odpovědi.
2. Jednotky důsledně zapisovat po celou dobu řešení.
Zásadně se však vyhýbáme smíšeným zápisům,
kdy na jedné straně rovnice jednotky nepíšeme a
na druhé ano – např. 0,8.380 = 304 Kč. Správný
zápis: 0,8.380 Kč = 304 Kč.
NĚKTERÉ TYPY ÚLOH
Anička si koupila tričko, svetr, který byl třikrát
dražší než tričko a boty, které byly o 230 Kč
dražší než svetr. Celkem zaplatila 1 980 Kč.
Kolik Kč stály jednotlivé kusy, které si koupila?
Při rozvozu zboží rozvezli 1. den jednu třetinu
zásilky, druhý den dvě pětiny zbytku, třetí den
300 kusů. Kolik kusů zboží bylo v zásilce?
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
5
Cena encyklopedie byla snížena o 450 Kč,
takže 4 knihy za novou cenu jsou o 600 Kč
levnější, než byly 3 knihy za starou cenu. Jaká
byla původní cena knihy a kolik Kč stojí po
slevě?
Jaká je cena koně, když jedna desetina jedné
poloviny ceny koně je 7 tisíc korun?
Sud je naplněn vodou z jedné třetiny objemu.
Po odlití 5 litrů vody byl sud naplněn do jedné
čtvrtiny. Jaký je objem sudu?
Sad ovocných stromků byl vysazován během tří
let. Ve druhém roce bylo vysázeno o 15 % více
stromků než v prvním roce, ve třetím roce bylo
vysázeno o 40 % méně než v prvním a druhém
roce dohromady. Celkem bylo vysázeno 4 128
stromků. Kolik stromků bylo vysázeno
v jednotlivých letech?
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
6
Otec je stejně stár, jako je součet věků jeho pěti
dětí. Ten činí 42. Za kolik roků bude jeho věk
roven polovině součtu věku jeho dětí?
SLOVNÍ ÚLOHY O SMĚSÍCH
Jednodušší úlohy je možno počítat od 6.
ročníku aritmeticky.
Od 8. ročníku můžeme postupovat pomocí
rovnice s jednou neznámou.
Od 9. ročníku lze využít soustavy rovnic.
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
7
Ze dvou druhů jablek – 1. druh v ceně 21 Kč za
kg, 2. druh v ceně 13 Kč za kg – máme
smíchat 50 kg směsi v ceně 17,80 Kč za kg.
Kolik kilogramů každého druhu máme vzít?
Kolik vody přidáme do 92% lihu, abychom
získali líh 65%?
SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU
Slovní úlohy o pohybu by se v učivu měly
objevovat od 6. ročníku, kdy je řešíme
aritmeticky. Zpočátku volíme úlohy, kde není
nutno převádět jednotky a které lze řešit zcela
úvahou.
Žáci se postupně učí převádět jednotky,
seznamují se se vztahem pro rychlost, dráhu a
čas.
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
8
Po probrání rovnic řešíme stejné úlohy také
pomocí rovnic. Žáci musí umět vyjadřovat
neznámou.
Vzdálenost měst A, B je 60 km. Z města A vyšel
chodec průměrnou rychlostí 4 km za hodinu a
současně proti němu vyjelo nákladní auto
z města B rychlostí 46 km za hodinu. Z jak
dlouho se setkají?
Příklad vhodný pro 6. ročník, řešíme pomocí
poměru rychlostí.
Vzdálenost měst A, B je 60 km. Z města A vyšel
chodec průměrnou rychlostí 4 km za hodinu a
současně proti němu vyjelo nákladní auto
z města B. Jaká byla rychlost nákladního auta,
jestliže se s ním chodec setkal za 1,2 hodiny?
Modifikace předchozího příkladu. Od 8. ročníku
řešíme pomocí rovnice.
Žáci by se na ZŠ měli setkat i s matematizací
úlohy, která je pro ně snadnější, ale i s
fyzikálním řešením, kdy počítáme celou dobu s
jednotkami.
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
9
Z vesnice A vyšel v 11 hodin Vašek rychlostí 4,5
km/h směrem do vesnice B, která je od vesnice
A vzdálena 6 km. V 11:30 hodin vyšel z vesnice
B Dalibor rychlostí 4,8 km/h směrem do
vesnice A. Kolik kilometrů od vesnice B se
potkají? V kolik hodin to bude?
Na dvoukolejné trati dohnal rychlík nákladní
vlak. Rychlík jel rychlostí 72 km za hodinu,
nákladní vlak rychlostí 36 km za hodinu. Za
jakou dobu budou od sebe vzdáleni 9 km?
(Vlaky se pohybují stejným směrem.)
Za traktorem, který jede rychlostí 18 km za hodinu,
vyslali o 3,5 hodiny později osobní auto, které má traktor
dohonit za 45 minut. Jakou průměrnou rychlostí musí
automobil jet?
Poznámka: V některých úlohách o pohybu je daleko
snazší postupovat úvahou než rovnicemi. Např.
následující úlohu je jednodušší nakreslit a řešit úvahou:
Dva běžci trénují na kruhové dráze, která je dlouhá 375
metrů. Když startují ze stejného místa a běží opačným
směrem, potkají se za 30 sekund. Když běží stejným
směrem, je mezi nimi za 30 sekund vzdálenost 15 m.
Jaká je průměrná rychlost každého z běžců?
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
10
ÚLOHY O SPOLEČNÉ PRÁCI
Pro řešení úloh o společné práci je nezbytné
ujasnit vztahy mezi počtem hodin potřebných
k vykonání určité práce a množstvím práce
vykonané za 1 hodinu (2 hodiny, x hodin).
Na splnění úkolu pracují dva dělníci. Jeden
z nich by splnil sám úkol za 12 hodin, druhý za
10 hodin. Za kolik hodin splní úkol, budou-li
pracovat společně?
Na vyčištění mýtiny by potřeboval první dělník
12 hodin, druhý dělník 8 hodin. Druhý začal
pracovat, když první měl 2 hodiny práce za
sebou. Za kolik hodin dokončili práci společně?
Zásoba uhlí stačila na vytopení většího pokoje
na 12 týdnů, menšího pokoje na 14 týdnů.
Zpočátku se topilo 4 týdny v obou pokojích, pak
jen v menším. Na kolik týdnů stačila zásoba
uhlí?
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
11
Pozor! Některé úlohy na směsi se tváří jako
úlohy o společné práci. Mohou být jako chyták
na přijímacích zkouškách:
Dva různé traktory denně společně zorají 8 ha
pole. Na zorání 95 ha polí je třeba, aby první
traktor pracoval 10 dní a druhý traktor 15 dní.
Kolik ha pole denně zorá každý traktor?
DOPORUČENÍ PRO STUDENTY
Vybrat si „lepší“ sbírku příkladů z matematiky
pro ZŠ (např. Běloun nebo Krupka), vyřešit
všechny slovní úlohy, při řešení důsledně
dodržovat kroky řešení slovní úlohy.
Irena Budínová: DM2 přednáška 3 6.4.2016
12
LITERATURA
Blažková, R., Matoušková, K.: K problematice
výuky řešení slovních úloh na základní škole. In:
Sborník prací Pedagogické fakulty MU v Brně,
svazek 122, s. 17-30. Brno: MU, 1987
Blažková, R., Matoušková, K., Vaňurová, M.:
Kapitoly z didaktiky matematiky (slovní úlohy a
projekty). Brno: MU, 2011