I. Budínová, R. Blažková: DM2, přednáška5 15.5.2016 1 ROZVOJ KOMBINAČNÍHO MYŠLENÍ NA ZŠ Irena Budínová, Růžena Blažková KOMBINATORIKA Kombinatorika je matematická disciplína, která se zabývá rozdělováním, uspořádáváním, výběrem prvků z nějaké množiny. První kombinatorické poznatky můžeme najít již v nejstarších dochovaných textech ze staré Číny a Indie. Skutečná kombinatorika vzniká v 16. – 17. století v souvislosti s určením pravděpodobnosti výhry hazardních her a je spojena se jmény např. N. Tartaglii, B. Pascala, P. Fermata. I. Budínová, R. Blažková: DM2, přednáška5 15.5.2016 2 K dalšímu vývoji kombinatoriky v 18. století přispěli zejména J. Bernoulli, G. W. Leibniz, L. Euler. V současné době se kombinatorika prudce rozvíjí, aplikace tzv. kombinatorické analýzy zahrnují, mimo jiné, ekonomické problémy. Výrazné je její využití v teorii pravděpodobnosti, statistice, teorii informací, lineárním programování apod. Kombinatorické metody hrají významnou roli v teoretické matematice, např. v teorii grup. Klasická kombinatorika se zabývá otázkou výběru a rozmístění prvků do tzv. konfigurací daných prvků do skupin s určitými vlastnostmi. Nejjednodušší typy konfigurací mají své specifické názvy – variace, permutace, kombinace. I. Budínová, R. Blažková: DM2, přednáška5 15.5.2016 3 KOMBINAČNÍ MYŠLENÍ Kombinatorika není součástí Rámcového vzdělávacího programu na ZŠ. Přesto by se žáci na ZŠ měli setkávat s úlohami, které rozvíjí kombinační myšlení. Cílem přitom není předkládat žákům kombinatorické vzorce, které si mají pamětně osvojit, ale prostřednictvím úloh rozvíjet schopnost třídění a uspořádání množin objektů a schopnost postupného zobecňování. Pod pojmem „kombinační myšlení“ na ZŠ tedy rozumíme: schopnost uvědomovat si vztahy mezi zkoumanými objekty, posoudit, zda vybrané skupiny jsou uspořádané či neuspořádané, umět rozlišit, zda se ve skupinách prvky mohou nebo nemohou opakovat, umět zobecňovat a najít pravidlo pro určení počtu skupin dané úlohy. I. Budínová, R. Blažková: DM2, přednáška5 15.5.2016 4 Metodami práce na základní škole jsou především experiment s následným zobecněním a užití grafického znázornění. Učitel sám musí znát teoretickou podstatu, avšak žákům ji nesděluje, spíše žákovi pomáhá sledovat a vyslovovat obecné zákonitosti. ÚLOHY Úloha 1: Čtverec o straně 4 jednotky je rozdělen rovnoběžkami se stranami na 16 jednotkových čtverců. Určete, kolik je v daném obrazci čtverců. K řešení jsme využili komb. pravidlo součtu. Pravidlo součtu: Jestliže A1, A2, ..., An jsou konečné množiny, které mají po řadě p1, p2, ... pn prvků a jsou-li každé dvě disjunktní, pak počet prvků sjednocení těchto množin A1∪A2∪...∪An je roven p1+p2+... +pn. I. Budínová, R. Blažková: DM2, přednáška5 15.5.2016 5 Úloha 2: Určete počet všech dvojciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. K řešení úlohy jsme využili kombinatorické pravidlo součinu. Pravidlo součinu: Jestliže vybíráme uspořádané k-tice čísel, přičemž první člen můžeme vybrat n1 způsoby, druhý n2 způsoby, ... k-tý člen nk způsoby, pak počet všech uspořádaných k-tic je roven n1.n2...nk. Kamarádi hrají tenis systémem každý s každým. Zvolte si postupně počet hráčů a sledujte, jak se mění počet zápasů v závislosti na počtu hráčů. V rovině je dáno 5 různých bodů, žádné tři z nich neleží na jedné přímce. Kolik různých přímek a kolik různých úseček je těmito body určeno? I. Budínová, R. Blažková: DM2, přednáška5 15.5.2016 6 Kolik stran a úhlopříček má konvexní pětiúhelník? Kolik úhlopříček má pravidelný šestiúhelník (n- úhelník)? Ve společnosti je 12 osob. Podají si ruce každý každému. Kolik podání ruky to bude? Kolik způsoby si můžete vybrat z osmi různých zákusků dva různé zákusky? Jsou dány úsečky a = 6,4 cm, b = 4,7 cm, c = 50 mm, d = 32 mm. Vypočítejte obvody a obsahy všech obdélníků, jejichž stranami mohou být úsečky a, b, c, d. Zahradník vypěstoval 8 druhů růží. Kolik má možností výběru kytice ze tří druhů růží? I. Budínová, R. Blažková: DM2, přednáška5 15.5.2016 7 V turnaji bylo sehráno 28 zápasů. Kolik družstev se turnaje zúčastnilo, jestliže hrál každý s každým právě jednou? Pět kamarádů A, B, C, D, E jelo stanovat. Měli jeden stan pro dvě osoby a jeden stan pro tři osoby. Kolika způsoby se mohli rozdělit? Kuželky jsou sestaveny do čtverce tak, že v každé řadě jsou tři kuželky. Při házení koulí můžeme shodit 0 až 9 kuželek. Kolik je všech možností shození kuželek? Šest kamarádek A, B, C, D, E, F se rozhodlo, že budou vytvářet všechny možné skupiny po jedné, po dvou, po třech, po čtyřech, po pěti. Jak se mohly rozdělit? Kolik různých skupin vždy mohly vytvořit? V rovině je dáno 7 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v téže přímce. Kolik různých trojúhelníků je těmito body určeno? I. Budínová, R. Blažková: DM2, přednáška5 15.5.2016 8 V rovině je dáno 9 různých bodů, z nichž žádnými třemi neprochází přímka a žádnými čtyřmi neprochází kružnice. Kolik různých kružnic je těmito body určeno? Jsou dány úsečky délek 6 cm, 4 cm, 3 cm, 8 cm, 2 cm, 5 cm. Kolik různých trojúhelníků můžeme pomocí těchto úseček sestrojit? KOMBINACE BEZ OPAKOVÁNÍ V předcházejících příkladech nezáleželo na pořadí prvků a prvky se neopakovaly. K-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou. K-členná kombinace z n prvků je k-prvková podmnožina n-prvkové množiny. I. Budínová, R. Blažková: DM2, přednáška5 15.5.2016 9 KOMBINAČNÍ ČÍSLO Symbol se nazývá kombinační číslo. Pro všechna celá nezáporná čísla n,k, n