PedF, katedra geografie
1
Stanovení vzdálenosti na Zemi
cv. č. 4

PedF, katedra geografie
2
Základní pojmy
*
* Vzdálenost na Zemi.
*
* Ortodroma.
*
* Loxodroma.
–

PedF, katedra geografie
3
Ortodroma I.
* z řeckého ortos – přímý a dromos – cesta.
*
* V klasické euklidovské geometrii: nejkratší vzdálenost dvou bodů EF je úsečka – technicky
nepoužitelná.
*
* Nejkratší vzdálenost dvou bodů na zemském povrchu – na povrchu referenční koule.
* Ortodroma na rozdíl od loxodromy protíná poledníky pod různými azimuty.
* Vrací se do bodu, ze kterého vychází.
* Poledník je ortodroma, rovnoběžka s výjimkou rovníku není ortodromou.
–
*
–
–
*
*
*
*
•
1.

PedF, katedra geografie
4
Ortodroma II.
* Synonyma: geodetika, geodetická křivka.
*
* Představuje hlavní kružnici, tj. průsečnici roviny procházející středem koule a koule.
* V kartografických zobrazeních se zobrazuje jako obecná křivka.
* V gnomonické projekci se zobrazí jako úsečka.
* Její délka je vždy konečná.
*
* Použití: geodézie, letecká či námořní doprava.
*
*
*
*
*
*
•
1.

PedF, katedra geografie
5
Využití
* Výpočty základních geodetických úloh.
*
•I. (základní) geodetická úloha
• – ze souřadnic počátečního bodu E, počátečního azimutu ortodromy a délky ortodromy určete
souřadnice koncového bodu F a koncový azimut ortodromy.
•
•II. (základní) geodetická úloha – ze souřadnic bodů E, F určete délku ortodromy a její počáteční i
koncový azimut.
*
1.

PedF, katedra geografie
6
Možnosti řešení
1.
1.Dvojice bodů na rovníku (na stejné rovnoběžce).
2.
2.Dvojice bodů na stejném poledníku.
3.
3.Dvojice bodů v obecné poloze.

PedF, katedra geografie
7
Dvojice bodů v obecné poloze I.

PedF, katedra geografie
8
Azimut
* Úhel mezi ortodromou a poledníkem, měří se od severu ve směru chodu hodinových ručiček.
*
* Azimut ortodromy se plynule mění z počáteční do koncové hodnoty je nutné při přesunu hodnoty
neustále přepočítávat.
•
* Je třeba dbát na pořadí míst E, F, dosazujeme souřadnice včetně znamének (j.š. a z.d. jsou
záporné!!!).
*
* Pro snadnější navigaci se určuje konstantní úhel pod  kterým lze z místa E dorazit do místa F.
* Dráhu pohybu pod tímto konstantním kurzem označujeme jako loxodromu.

PedF, katedra geografie
9
Loxodroma I.
* Z řeckého loxos – šikmý a dromos – cesta.
* Čára spojující dvě místa na glóbu a protínající všechny poledníky pod týmž úhlem (azimutem A).
* Délka l=∞.
* Není nejkratší spojnicí dvou bodů na referenční ploše                       (s výjimkou rovníku).
* Spirálovitě se blíží k severnímu/jižnímu pólu, kterého však nikdy nedosáhne.
* V Mercatorově zobrazení se zobrazí jako úsečka => použití pro námořní navigaci.
* Využití: letecká, námořní doprava (dnes při navigaci používán GPS).
*

PedF, katedra geografie
10
Loxodroma II.
* A=0 ->loxodroma splývá s poledníkem.
* A=90 ->loxodroma splývá s rovnoběžkou.
*

PedF, katedra geografie
11
Ortodroma x loxodroma

PedF, katedra geografie
12
Zadání cvičení
* Téma cvičení – Vzdálenost na Zemi
* Zadání: Chystáte se na letní olympiádu v Riu de Janeiru v roce 2016?
A)
a)Nakreslete orientační náčrt vzájemné polohy míst E a F a spojte je úsečkou znázorňující
loxodromu. Hledáte nejkratší vzdálenost, přitom však dávejte pozor na přechod rovníku!
b)Vypočtěte a zapište azimut loxodromy pro směr cesty z místa E –> F.
c)
c)Vypočtěte délku ortodromy mezi Brnem (E) a Riem de Janeirem (F). Zapište přitom její úhlovou
velikost (c) i délku dEF v kilometrech.
d)Vypočtěte délku loxodromy IEF mezi Brnem (E) a Riem de Janeirem (F) a porovnejte s výsledkem s
dEF. Zapište, která z tras je kratší a uveďte i rozdíl obou vzdáleností v km.

PedF, katedra geografie
13
Jak na výpočet – ortodroma? I.
*
* Pro určení nejkratší vzdálenosti bodů E, F budeme řešit II. geodetickou úlohu. Stačí přitom
zjistit délku ortodromy.
*
* Nejjednodušší je, když místa leží na stejném rovníku, či poledníku.
*
* Ale co když ne? Pak jde o obecnou polohu, kterou budeme řešit.

PedF, katedra geografie
14
Jak na výpočet – ortodroma? II.

PedF, katedra geografie
15
Jak na výpočet – ortodroma? III.

PedF, katedra geografie
16
Jak na výpočet – loxodroma? I.
* Loxodroma je v optimálním případě spirála na kulové ploše, blíží se v nekonečně mnoha závitech k
oběma pólům.
* Pro správné určení azimutu loxodromy je nutné určení správného pořadí bodů (počáteční a koncový).
Délka je potom v obou případech stejná!
* Platí stejné podmínky jako v případě ortodromy.
*
* Nejprve se ručí azimut A ze vztahu:

PedF, katedra geografie
17
Jak na výpočet – loxodroma? II.
* Platí stejné podmínky jako v případě ortodromy.
*
* Z hodnoty tg A lze matematicky vyčíslit pouze úhel A0, který leží v intervalu základní periody
funkce tangens (-90o;+ 90o). Protože ale azimut A se měří v intervalu (0o, 360o), je nutné opravit
hodnotu A0 podle vzájemné polohy měst do správného kvadrantu.
*

PedF, katedra geografie
18
Jak na výpočet – loxodroma? III.

PedF, katedra geografie
19
Pro dnešek vše!!!
Pokračování ve čtvrtek 28. dubna 2016