Způsob práce v laboratorním cvičení Práce v laboratoři se řídí platným laboratorním řádem (viz [1]) a bezpečnostními předpisy. Student je na začátkn semestru seznámen s harmonogramem úloh fyzikálního praktika a s vhodnou literaturou pro konkrétní úlohy. Má možnost prohlédnout si umístění jednotlivých úloh a základních laboratorních přístrojů. Provedením úlohy ve fyzikálním praktiku se rozumí : 1. Předběžná analýza, úkolu měření, v jejím průběhu má student porozumět měřené veličině, seznámit se s základními metodami měření této veličiny, jejími jednotkami. Tato příprava formou krátkých poznámek je kontrolována a spolu s vypracovaným _ protokolem měření minulé úlohy je vstupenkou do laboratoře. 2. Vlastní práce v laboratoři. Po příchodu na pracoviště student ověří, zda má vše potřebné pro splnění úkolu, v opačném případě požádá o další pomůcky učitele. Student by měl v této fázi již být schopen vybrat nejvhodnější přístroje pro daný účel s cílem provést měření v rámci zadané chyby nebo, pokud není maximální chyba měření zadána, provést měření co nejobjektivněji. Je třeba ovšem brát v úvahu časové omezení a možnosti pracoviště. 3. Dokumentace měření odpovídá druhu užitých přístrojů. Dílčí výsledky je nutno přehledně a čitelně zaznamenávat, nejlépe do tabulek. Je třeba vždy uvést druh měřidla, jimž byly údaje získány a okolní podmínky, jež mohly měření zkreslit. Po skončení měření je třeba uvést pracoviště do původního stavu a požádat učitele o podpis záznamu naměřených hodnot. 4. Zpracování protokolu je vyhodnocení měření a posouzení přesnosti měření. Postup při provádění rozboru měření z hlediska přesnosti je podrobně probrán v úvodním cvičení [1]. Výpočty provádíme v zákonných jednotkách. Na závěr srovnáme výsledky s tabelovanými hodnotami. V protokolu by neměl chybět komentář o tom, jaké přístroje byly k dispozici i jejich maximální chyby. Vyšetřujeme-li závislost jedné veličiny na druhé (popř. na dalších) je nedílnou součástí protokolu vynesení příslušných grafů. 1 IV.2. Výsledek měření a jeho chyba IV.2.1. Určení statistické chyby z opakovaných měření. Výsledky přímých měření se často vyhodnocují statisticky. Výsledek fyzikálního měření Lze pokládat za náhodnou veličinu. Náhodnou veličinou se rozumí každá veličina, jejíž hodnota je při daném měření (pokusu) ovlivněna určitými náhodnými vlivy. Hodnotu náhodné veličiny není obecně možné stanovit, lze však na základě metod počtu pravděpodobnosti zjistit, která z možných hodnot je více a která méně pravděpodobná. Statistická chyba jednoho měření. Nejdříve vysvětlíme několik vlastností náhodných veličin, které jsou součástí teorie počtu pravděpodobnosti. Pro každou náhodnou veličinu X, která může nabývat hodnot x, existuje zákon rozdělení, který uvádí funkce p(x), jejíž hodnoty mají význam hustoty pravděpodobnosti. Je-li P(x, x+dx) pravděpodobnost, že náhodná neličina veličina nabývá hodnot v intervalu (x, x+dx), lze ji pomocí hustoty pravděpodobností napsat jako P(x, x + dx) = p{x) dx . (IV.4) V teorii pravděpodobnosti odvodil pravděpodobnosti většiny náhodných veličin p{x) = 1 Gauss větu určující hustotu (IV.5) oy 277" X Tato funkce se nazývá (Gaussův - Laplaceův) normální zákon rozdělení. Veličina xQ se nazývá správná hodnota a je totožná s nejpravděpodobnější hodnotou, vždy kladná konstanta a je tzv. směrodatná odchylka. V teorii chyb, kde výsledek měření je náhodnou veličinou, ji nazýváme střední kvadratickou chybou jednoho měření. Její druhá mocnina z krát menší. ä = ^ (IV. 11) Předpokládejme, že jsme za stejných podmínek provedli n měření a dostali - 14 - jsme výsledky x„ x% xp ..... xn. Výsledky a mezivýpočty zapisujeme přehledně do tabulky podle vzoru v kap. VI. 1. Na základě počtu pravděpodobnosti můžeme střední kvadratickou chybu aritmetického průměru vyjádřit výrazem a \ (IV. 12) n(n- 1) nebo pro výpočet jednodušeji, ale méně přesně a - n - l n{n kde Ax1+ je kladná odchylka od aritmetického průměru. V návodech pro výpočet na kalkulátoru se statistickým programem se uvádí vzorec a = a(n - 1) DX' ) \ n(n-l) který lze získat úpravou rovnice (IV. 12). Chyba aritmetického průměru ä udává interval (x0 - a, x0- ô) v okolí střední hodnoty veličiny xg, ve kterém se nachází správná veličina s pravděpodobností 68,3%. Poznámka : Užitím vztahu (IV.ll) lze vypočíst krajní, resp. pravděpodobnou chybu aritmetického průměru. Navíc se někdy zavádí tzv. průměrná chyba Tj. Je definována jako střední hodnota z absolutní hodnoty odchylek. x - x I dx Odtud plyne, že -.ä = 0,798a . (IV.15) (IV. 16) IV. 2.2. Určení chyby jednoho měření Pokud veličinu měříme jen jednou, což je v řadě případů postačující (například vážení nebo měření délek), nemůžeme chybu stanovovat na základě statistického rozboru. Pak je její stanovení pro daný problém specifické - je např. znám vztah, který ji na základě jiných informací umožní vyjádřit. Sem patří např. chyby váženi (kap. VI.l.), chyby odečítání na ručkových měřících přístrojích (kap.VI.9.), chyby na digitálních měřících přístrojích. Určení chyb jednoho měření bude věnována pozornost u každé úlohy. Obecně lze však uvést, že chyba jednoho měření je dána polovinou jemného dělení stupnice použitého měřícího přístroje, u číslicových měřících přístrojů tzv. kvantovacím krokem A/D převodníku. Do značné míry je i mírou sebekritičnosti experimentátora. IV.23. Chyby veličin získaných výpočtem Jedním z důležitých úlolů fyzikálních měření je určit vehčimi z fyzikálního zákona, který vyjadřuje její souvislost s několika jinými veličinami získanými měřením. Tak například hustota těles se určuje z naměřené hmoty a objemu podle vztahu p = m/V. Hledaná veličina se pak neměří, ale vypočítáváme ji z jiných měřených veličin (hmotnosti a objemu) podle příslušného vztahu nebo zákona. Protože v měřených veličinách se vždy vyskytují chyby, je i hledaná, výpočtem stanovená, veličina zatížena určitou chybou. Předpokládáme, že fyzikální veličina X, kterou zjišťujeme, je funkcí několika jiných veličin a, b, c, ... X= Aa,b,c,...) (IV. 19) Chyby, s riimiž jsou měřeny, označíme Aa, Ab, Ac,.... Mohou to být chyby odhadnuté před měřením nebo získané statistickým výpočtem (např. jako střední kvadratické chyby aritmetického průměru ô výsledné veličiny X je pak dána vztahem ___ é atf ac •")• Střední kvadratická chyba N (df da/ (Aaf (d_ db {Abf [de, (Ac)2 (IV.20) Pozn.: Často se používá pro vyjádření přesnosti maximální (krajní) chyby, jejíž symbolické vyjádření je aproximováno vztahem AX = df Aa + df Ab + dí da db dc Ac + (rv.21) V tomto způsobu vyjádření přesnosti se za diference Aa, Ab, Ac, ... dosazují krajní (maximální) chyby jednodivých veličin. Tento vztah připomíná matematický vzorec pro vypočet totálního diferenciálu funkce více proměnných, parciální derivace jsou však v absolutní hodnotě, vzhledem ke kladné hodnotě chyb, a namísto diferenciálů da, db, dc, . . . jsou použity konečné veliké diference - chyby Aa, Ab, Ac, .... 7 praod. neznané, známe £ resp. 8 a interval spolehlivoexi sestavujeme pro aritmetický průměr • s"který považujeme za výsledek měření* Sestavení intervalu spolehlivosti vy zaduje" v tomto případě použití Studentova rosdělení. Ukazuje se totiž .[V], že máme-li výběr veličiny X £ objemem n se základního souboru řídícího se normálním rozdělením se střední hodnotou řídí se veličina t definovaná vztahem (2,30) Studentovým rozdělením a V = n - 1 stupni volnosti. Podobně jako v případě normálního rozdělení lze určit meze intervalu pomocí koeficientů t á pomocí Js , k nimž lze- přiřadit pravděpodobnost, s níž se- v daném intervalu nachází střední hodnota ^ , tj. (T Z - t , s pV 1 ■■ (2,34) Koefieienjy^t^y jsoa tabelovány (viz t*ř£ 10,). V praxi k zápisu výsledku místo (2J34);~využíváiae formy: (2,35) V pypadě;bo 1 — 2.10» Tabulka Studentových koeficientů (převzato z [X]) ,050 0S 100 0,200 0,500 0 ,683 0 ,900 0 ,954 o3 980 o3 990 1 0. 079 °j 158 0,325 1,000 ! ,839 6 ,314 13,82 31,82 6,965 63,66 2 °í 071 Oj 142 0,289 0,816 1 ,322 2 ,920 4 ,500 9S 925 3 0, 068 Oj 137 0,277 0,765 1 ,198 2 ,353 3 ,292 •4, 541 53 841 4 o, Q~Bf Oj 134 0,271 0,741 1 ,142 2 ,132 2 ,858 ,640 3,747 4, 604 5 0. 066 o, 132 0,2 67 0,727 1 ,111 2 ,015 2 3,265 4; 032 6 0. 065 °j 131 0,265 0,718 1 ,091 1 ,943 2 ,508 3, 143 3, 707 7 0. 065 o, 130 0,263 0,711 1 ,077 1 ,895 2 ,421 2, 998 3, 499 -8 °s 065 Oj 130 0,262 0,706 1 ,067 1 ,860 2 ,359 2, 896 3, 355 9 Oj 064* •0, 129 0,261 0,703 1 ,059 1 ,833 2 ,313 2, 821 3, 250 10 o, 064 °j 129 0,260 0,700 1 ,053 1 ,812 2 ,277 2, 764 33 169 11 0, 064 Oj 129 0,2 60 0,697 1 ,048 1 ,796 2 ,249 2, 718 3, 106 12 0, 064 Oj 12a 0,259 0.695 1 ,044 1 ,782 2 ,225 2, 681 3, 055 13 Oj 064 0, 12a 0,259 o;694 1 ,041 ,771 2 ,206 2, 650 3, ,012 14 o, 064 Oj 128 0,258 0,692 1 ,038 1 ,761 2 ,189 2, 624 2, ,977 15 0, 064 Oj 128 0,258 0,691 1 ,035 1 ,753 2 ,175 2, 602 2, 947 16 °s 064 Oj 128 0,258 0,690 1 ,033 1 ,746 2 ,163 2, 583 2, 921 17 0, 064 Oj 12a 0,257 0,689 1 ,031 1 ,740 2 ,153 2, 567 2, 898 18 °j 064 Oj 127 0,257 0, 688 1 ,029 1 ,734 2 ,143 2, 552 23 ,878 19 0, 064 Oj 127 0,257 0,688 1 ,028 1 ,729 2 ,135 2, 539 2, 861 ■ 20 °3 063 Oj 127 0,257 0,687 1 ,026 1 ,725 2 ,128 2, 52 a 2j 845 21 0, 063 Oj 127 0,257 0,686 1 ,025 1 ,721 2 ,121 2, 518 2, 831 22 0, 063 Oj 127 0,256 0,686 1 ,024 1 ,717 2 ,115 2, 508 2, 819 23 °i 063 o, 127 0,256 0,685 1 ,023 1 ,714 2 ,109 2, 500 23 807 24 °j 063 Oj 127 0,256 0,6a5 1 ,022 1 »-711 2 ,104 2, 492 2, 797 25 Oj 063 o, 127 0,256 0,684 1 ,021 1 ,708 2 ,100 2, 485 2, 787 26 0, 063 Oj 127 0,256 0,684 1 ,020 1 ,706 2 ,096 2, 479 2, 779 27 -°l 063 °i 127 0,256 0,684 1 ,020 1 ,703 2 ,092 2, 473 2, 771 28 Oj 063 o, 127 0,256 0,256 0,683 1 ,019 1 ,701 2 ,088 2, 467 2, 763 29 03 063 Oj 127 0,683 1 ,018 1 ,699 2 ,085 2, 462 2. ,756 30 °j 063 o, 127 0,256 0,683 1 ,018 1 ,697 2 ,082 2, 457 2] 750 31 O, 063 Oj 127 0,256 0,682 1 ,017 1 ,696 2 ,079 2, 453 2S 744 32 Oj 063 Oj 127 0,255 Oj 682 1 ,017 1 ,694 2 ,076 2, 449 2, 738 33 0, 063 Oj 127 0,255 0,682 f ,016 1 ,692 2 ,074 2, 445 2; ,733 34 0, 063 0, 127 0,255 0,682 1 ,016 1 ,691 2 ,071 2, 441 2, ,728; 35 0, 063 0, 127 0,255 0,682 1 ,015 1 ,690 2 ,069 2, 438 2, ,72 4 36 0, 063 o, 127 0,255 0,681 1 ,015 1 ,688 2 ,067 2, 434 2, ,719 37 °j 063 o. 127 0,255 0,681 1 ,014 1 ,687 2 ,065 2, 431 2, ,715 38 °j 063 o, 127 0,255 o,6ai 1 ,014 1 ,686 2 ,063 2, 429 2 ,712 39 °j 063 0, 126 0,255 o,6ai 1 «014 1 ,685 °2 ,061 2, 426 2 ,708 40 0, 063 0, 126 0,255 0,681 1 ,013 1 ,684 2 ,059 2, 423 2. ,704 41 0. 063 °j 126 0,255 0,681 ,013 1 ,683 2 ,058 2, 421 2 ,701 42 0, 063 Oj 126 0,255 0,680 1 ,013 1 ,682 2 ,056 2j 418 2" ,693 43 0. 063 Oj 126 0,255 0,680 1 ,012 1 ,681 2 ,055 2, 416 2 ,695 44 °í 063 Oj 126 0,255 0,680 1 ,012 1 ,680 2 ,053 2, 414 2 ,692 45 0, 063 o, 126 0,255 0,680 ,012 1 „679 2 ,052 2, 412 2 ,690 46 0. 063 o, 126 0,255 0,680 1 ,012 1 »679 2 ,051 2, 410 2 ,687 47 0, 063 0, 126 0,255 0,680 1 ,011 1 ,678 2 ,050 2. 403 2 ,685 48 oj 063 o. 126 0,255 o,eao .011 i ,677 2 ,049 2, 407 2S ,632 49 o, 063 Oj 126 0,255 ' • 0,680 1 ,011 ■1 ,677 2 ,047 2, 405 2 ,680 50 o, 063 o, 126 0,255- 0,679 1 ,011 1 ,676 2 ,046 2, 403 2 ,678 V tabulce jsou hodnoty tpy , pro které je pravděpodobnost ^(ltl -C t?y ) = P , v závislosti na počtu stupňů volnosti y , 4.3. Chyby měřidel Třída přesnosti: třída přesnosti ručkových měřících přístrojů p (To) se udává v procentech a stanovuje absolutní chybu měření na daném rozsahu R podle vztahu: e = p.R Příklad: rozsah ampérmetru je R = 3 A , třída přesnosti je 1.5%. Absolutní chyba měření proudu na tomto rozsahu s(I)= 1.5.10"2. 3 =0.045 A Poznámka: je zřejmé, že z důvodů minimalisace relativní chyby měření je nutno měřit v . v horní polovině stupnice ručkového měřícího přístroje >v Třída přesnosti je údajem výrobce, který je získán statistickým šetřením na sériích hotových výrobků (měřících přístrojů). Chybu měření stanovenou z třídy přesnosti je nutno srovnat s chybou stanovenou statistickým zpracováním. V tomto případě se s ní zachází jako s chybou stanovenou odhadem a skládá se s chybou statistickou (viz dále). Pojem třídy přesnosti je možno zobecnit i na jiné měřící přístroje. Někdy je možno odhadnout absolutní chybu měření z dělení stupnice. Seminární úloha 14: Měření odporu metodou přímou (viz schéma) bylo provedeno s přístroji třídy přesnosti 1. Byly naměřeny následující hodnoty: 1 = 210 mA (rozsah 0.3 A), Ú=18.5V (rozsah 30 V). Vnitřní odpor voltmetru je 103 Q a vnitřní odpor ampérmetru je 7 Q. Stanovte velikost měřeného odporu a chybu měření. Diskutujte možné alternativy zapojení a nutné korekce s ohledem na chybu měření. Vyhodnocení chyby u digitálních měřících přístrojů U všech číslicových přístrojů nastává "kvantizačni chyba", která je minimálně rovna polovině hodnoty nejnižšího bitu. Chyba digitálních přistrojil se často udává ve dvou složkách, v procentech rozsahu plus platnost poslední číslice. Obě chyby musíme sečíst. Příklad 1: Na třímístném digitálním voltmetru s přesností ±0,8% ±1 digit byla naměřena na rozsahu DC 20V hodnota 2,50V. Jaká je chyba měření? a) Chyba rozsahu: 0,8% z 20 V - I6O111V b) Chyba digitalizace: 10m V c) Výsledná chyba: ±170mV d) "Upravená" hodnota: 2,33 V až 2,67 V Příklad 2: Na třímístném digitálním voltmetru s přesností ±0,8% ±3 digit byla naměřena na rozsahu AC 20 V hodnota 2,50 V. Jaká je chyba měření? a) Chyba rozsahu: 0,8% z 20V = lóOmV b) Chyba digitalizace: 30mV c) Výsledná chyba: ±190mV d) "Upravená" hodnota: 2,31 V až 2,69 V Parametry multimetru typ iVI3900 Idc napětí (stejnosměrné) AC napětí (střídavé) Rozsah Přesnost Rozlišení! Rozsah Přesnost jRozlišení 200mV ±0,5% z rozsahu ±1 digit 100p.V 200mV ± 1,2% z rozsahu ±3 II ,.. , r digit J 100^V 2V ±0,8% z rozsahu ±1 digit ImV 2V ±0,8%o z rozsahu ±3 | , ,. ,. . ImV digit | 20V ±0,8% z rozsahu ±1 digit lOmV 20 V ±0,8%o z rozsahu ±3 f , „ j- lOmV digit J 200V ±0,8% z rozsahu ±1 digit lOOmV 200 V ±0,8%) z rozsahu ±3 ,,, ,. . lOOmV digit 1 1000V ±0,8% z rozsahu ±1 digit IV 700V ± 1,2%o z rozsahu ±3 II digit 1 DC |proud (stejnosměrný) I AC proud (střídavý) j Rozsah Přesnost Rozlišení Rozsah Přesnost Rozlišení 20uA ±2,0%o z rozsahu ±5 digit lOnA 20uA ±3,0%o z rozsahu ±7 digit lOnA 200uA ±0,8%) z rozsahu ±1 digit 0,1 u A 200uA ±1,8% z rozsahu ±3 digit 0,1,uA 2mA ±0,8% z rozsahu ±1 digit luA 2raA ±1,0% z rozsahu ±3 digit luA 20mA ±0,8%o z rozsahu ±1 digit 1 OuA 20mA ±1,0% z rozsahu ±3 digit lOuA 200mA ±1,2% z rozsahu ±1 digit IOOuA 200mA ±1,8% z rozsahu ±3 digit IOOuA 2A ±1,2% z rozsahu ±1 digit ImA 2A ±1,8% z rozsahu ±3 digit ImA 10A ±2,0% z rozsahu ±5 digit lOmA 10A ±3,0% z rozsahu ±7 digit 10mA Odpor Rozsah! Přesnost Rozliše 0,1Q 200qJ±0,8%) z rozsahu ±3 digit 2kQ|±0,8% z rozsahu ±1 digit IQ 20kQ|±0,8%> z rozsahu ±1 digit 10Q 200kíl|±0,8% z rozsahu ±1 digit 100Q 2MQ! ±0,8%) z rozsahu ±1 digit IkQ 20MQ ±1,0% z rozsahu ±2 digit lOkQ Metoda nejmenších čtverců [Angot]. Je obvykle i ve vybavení jednoduchých kalkulátorů. Její podstata spočíva v tom, že nejsprávněji rozložená analytická funkce f (x) náhradou za empirickou funkci splňuje podmínku, že residuální (chybový) součet čtverců je minimální SQ = E (yrf{č)? = mín (V.9) Uplatnení tohoto požadavku pro prípad lineární závislosti se nazývá lineární regrese [Bartsch]. Získaná přímka optimálně prokládaná soustavou bodů se nazývá regresní (vztahová) přímka /(.r) - ao>ax x (V. 10) Výsledné vztahy pro regresní koeficienty a0 a a2 jsou a, = i {Zy-a.Zx) = y - ^x n (V.ll) n'Zxiyi - Ex Hy. _ E^. - ^jrj n^x) - (Er/ Poznámka L: Residuáiní součet čtverců n so -'■ 2 y) - n-r - &l Střední kvadratická chyba (rozptyl, směrodatná chyba) v 1 —i iiXi - nx fa _( a = Střední kvadratická chyba posunutí přímky ^ n-2 n- irx1 2 x -Střední kvadratická chyba směrnice přímky z x; n x- (V.12) (V.13) (V.14) (V.15) (V.16) Pro výpočet koeficientů äa a a, spolu s jejich chybami a (aj í a (a,) využívejte program REGRESE ■-'iý na počítačové síti. Stupeň závislosti (přesnost lineárního vztahu) vyjadřuje rovněž korelační koeficient (koeficient Z(xrx) iy.-y) « V 2 ixrxf S {y.-yf .kde r„ e <-i, i>. Pro = I naměřené body leží přímo na své regresní přímce. Pro jr^j > 0,8 považujeme korelaci za dobrou. Pro p^j < ř?,J naměřené body nekorelují a proložené regresní přímky je neoprávněné. Poznámka EL: Metodu nejmenších čtverců lze aplikovat na obecné nelineární empirické závislosti, kde náhradnífunkce f(x) je obecná (polynom, racionální lomená funkce ap.) - viz. Rekťórys K. a koL: Přehled užité matematiky n.