Lineární algebra – příklady k procvičení

1.   Určete hodnotu parametru aÎR tak, aby vektory u[1], u[2], u[3]ÎW tvořily bázi vektorového
podprostoru W vektorového prostoru V, kde

V = R^3, W = L(u[1], u[2], u[3])

u[1 ]= (2, 2, -1)

u[2 ]= (1, a, 1)[]

u[3 ]= (-1, 3, 1)


2.   Je dán vektorový podprostor W vektorového prostoru V. Určete hodnotu parametru aÎR tak, aby
dim W = 3, je-li dáno:

V = R^4, W = L(u[1], u[2], u[3,]u[4])

u[1 ]= (1, 0, 1, 0)

u[2 ]= (1, a, 0, 2)[]

u[3 ]= (0, 1, -1, 3)

u[4 ]= (2, 2, 0, 1)


3.   Jsou dány vektorové podprostory W[1], W[2] vektorového prostoru V.

Určete bázi a dimenzi W[1], W[2], W[1] + W[2, ]W[1] Ç W[2], je-li dáno:

a)   V = R^4, W[1] = L(u[1], u[2], u[3]), W[2] = L(v[1], v[2])

u[1 ]= (1, 1, 4,-1)

u[2 ]= (0, 1, -1, 0)[]

u[3 ]= (1, 0, 5, -1)

v[1 ]= (1, 1, 3, 1)

v[2 ]= (2, 1, 0, -1)


b)  V = R^4, W[1] = L(u[1], u[2], u[3]), W[2] = L(v[1], v[2])

u[1] = (1, 1, 4,-1)

u[2] = (0, 1, -1, 0)

u[3] = (1, 0, 5, -1)

v[1] = (1, 1, 3, 1)

v[2] = (1, 2, 3, -1)


4.   Určete souřadnice vektorů u, w Î V v bázi  u[1], u[2,] u[3 ]Î V, kde

V = R^3

u[1 ]= (2, 2, 1)

u[2 ]= (1, 3, 1)[]

u[3 ]= (-1, 3, 1)

u = (1, 1, 1)

w = (0, 0, 1)


Výsledky:

1.     pro a = 13 vektory LZ; pro aÎR- {13} tvoří vektory bázi vektorového prostoru V

2.     a = 1

3.     a) dim W[1] = 2; báze W[1]: u[1], u[2];

dim W[2] = 2; báze W[2]: v[1], v[2];

dim (W[1] + W[2]) = 4; báze (W[1] + W[2]): u[1], u[2, ]v[1], v[2]

dim (W[1] Ç W[2]) = 0; W[1] Ç W[2 ]= {o}

b) dim W[1] = 2; báze W[1]: u[1], u[2];

dim W[2] = 2; báze W[2]: v[1], v[2];

dim (W[1] + W[2]) = 3; báze (W[1] + W[2]): u[1], u[2, ]v[1]

dim (W[1] Ç W[2]) = 1; W[1] Ç W[2 ]= L ((1, 2, 3, -1)) = L(v[2])

4.     u = (2, -2, 1), w = (3, -4, 2)

[ ]