Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 1 Obsah 0.1 Test vstupních znalostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Matice a soustavy lineárních rovnic 6 1.1 Soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Sčítání matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Komplexně sdružená matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 Transponovaná matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.5 Skalární násobení matice číslem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.6 Soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Vlastnosti maticových operací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Řešení soustav lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Klíčové myšlenky kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.6 Cvičení N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.7 Cvičení M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.8 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2 Determinanty 51 2.1 Klíčové myšlenky kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2 Cvičení N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3 Cvičení M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.4 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 Vektorové prostory 69 3.1 Báze a dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Průnik a součet vektorových prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 Lineární zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4 Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.5 Vektorové prostory se skalárním součinem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.5.1 Ortogonální průmět vektoru do podprostoru . . . . . . . . . . . . . 99 3.5.2 Ortogonální doplněk vektorového podprostoru . . . . . . . . . . . . 104 3.5.3 Prvek nejlepší aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.6 Klíčové myšlenky kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.7 Cvičení N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.8 Cvičení M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.9 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4 Vlastní hodnoty a vlastní vektory 119 4.1 Klíčové myšlenky kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.2 Cvičení N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.3 Cvičení M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Maticový a tenzorový počet 2 4.4 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5 Kvadratické formy 136 5.1 Klíčové myšlenky kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2 Cvičení NM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6 Tenzory na reálném vektorovém prostoru 145 6.1 Duální prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.2 Tenzorový součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.3 Antisymetrické tenzory a vnější součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.4 Klíčové myšlenky kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.5 Cvičení NM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.6 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7 Řešení a odpovědi na kontrolní otázky 176 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 3 Předmluva Lineární a multilineární algebra, jak by také mohl znít alternativní název tohoto textu, poskytuje velmi účinný matematický aparát řadě technických i matematicko-fyzikálních disciplín. Centrálním pojmem tohoto textu je pojem matice, k se němuž v závěrečné kapitole připojuje i pojem tenzoru. Maticová symbolika umožňuje velmi jednoduchým a přehledným způsobem vyjadřovat jinak velmi komplikované vztahy mezi mnoha veličinami fyzikální i jiné (například ekonomické či statistické) povahy. Mezi významné oblasti použití patří například řešení soustav lineárních elektrických obvodů v elektrotechnice, v mechanice při studiu kmitání nebo v teorii pružnosti. Dalšími oblastmi použití jsou například kryptografie, teorie her, teorie grafů, při popisu nejrůznějších ekonomických vztahů, atd. Hlavním cílem tohoto textu je pokrýt výkladem látku probíranou ve stejnojmenném předmětu na Fakultě elektrotechniky a komunikačních technologií. Samotné základy maticového počtu jsou podány v prvních dvou kapitolách, kde jsou probírány základní maticové operace a důležité charakteristiky matic, jako jsou například hodnost matice nebo determinant. Do širšího kontextu, nezbytného pro pochopení aplikací maticového počtu, jsou matice zasazeny v kapitole třetí, kde jsou probírány vektorové, (nebo-li tzv. lineární) prostory. Některé hlubší poznatky z teorie matic, zejména problém vlastních hodnot, jsou studovány v kapitole čtvrté. Pátá kapitola je aplikační, získané poznatky jsou použity pro popis chování kvadratických forem. V poslední, šesté kapitole jsou vysvětleny základy tenzorového počtu. Každá kapitola obsahuje řadu řešených úloh, které jsou začleněny do kontextu celého výkladu. Teoretický výklad je na konci každé kapitoly doplněn cvičeními, která jsou dvojího typu. Obvyklá početní – „numerická” cvičení jsou značena písmenem N. Tato cvičení představují určité minimum, které by studující, dostatečně připravený ke zkoušce, měl bezpodmínečně ovládat. Výsledky těchto úloh, které mají kontrolní funkci, avšak nepředstavují pro studujícího téměř žádnou nápovědu, jsou pro pohodlí studujícího zařazeny ihned za každým příkladem. Druhým typem cvičení jsou počítačová cvičení, označená písmenem M, používající matematický software – systém počítačové algebry MATLAB (vyhoví téměř jakákoli základní verze tohoto systému, dostupná například pro operační systém MS Windows, včetně velmi raných verzí). Alternativou mohou být i konkurenční komerční systémy MAPLE nebo MATHEMATICA, případně starší a volně šiřitelné verze systému MUPAD. Všechny tyto systémy počítačové algebry umožňují práci s maticemi v rozsahu více než dostatečném pro tento předmět. V případě alternativy k doporučenému MATLABu je však nutné některá počítačová cvičení převzít volněji, případně přizpůsobit procedurám a funkcím alternativního systému. Počítačová cvičení pomáhají při výuce především tím, že umožňují provést některé rutinní výpočty rychleji a méně pracně, čímž umožňují studujícímu soustředit se lépe na hlavní linii výkladu. Počítačová cvičení nemusí studující nutně probrat všechna, měl by se jimi však zabývat natolik, nakolik je to prospěšné pro pochopení probírané látky. Maticový a tenzorový počet 4 Zařazený Test vstupních znalostí vychází z předpokladu, že k úspěšnému pochopení látky je nutné či alespoň vhodné, aby studující zvládal základní operace s komplexními čísly, dokázal hledat kořeny polynomů v C, měl jisté geometrické představy na úrovni analytické geometrie ze střední školy, uměl řešit jednoduché soustavy lineárních rovnic (například dosazovací metodou) a dokázal derivovat jednoduchou polynomickou funkci. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 5 0.1 Test vstupních znalostí 1. Vyřešte v C: z2 + 6z + 25 = 0 Výsledek: z12 = −3 ± 4i . 2. Pomocí Moiverovy věty vypočítejte: ( √ 3 2 − 1 2 i)100 Výsledek: −1 2 − √ 3 2 i . 3. Polynom (mnohočlen) rozložte na kořenové činitele: x7 + x5 − x3 − x Výsledek: x(x − i)2 (x + i)2 (x + 1)(x − 1) . 4. Přímka je určena body (6, −1) a (2, 3) v rovině. Najděte parametrickou a obecnou rovnici této přímky. Výsledek: x = 6 − 4t, y = −1 + 4t, t ∈ R; x + y − 5 = 0. . 5. Najděte obecnou rovnici roviny, která prochází bodem (5, −1, 0) a má normálový vektor (−1, 1, 2). Výsledek: -x+y+2z+6=0 . 6. Řešte soustavu rovnic: 2x − y = 5 3x + 4y = −9 Výsledek: x = 1, y = −3 . 7. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = (x − 1)(x2 + 3x − 5). Výsledek: f′ (x) = 3x2 + 4x − 8 . Maticový a tenzorový počet 6 1 Matice a soustavy lineárních rovnic V této kapitole studujeme základní vlastnosti matic a operací s maticemi. Jsou také studovány soustavy lineárních rovnic a hodnost matice. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 7 1.1 Soustavy lineárních rovnic Celá řada problémů v technických, přírodních i sociálních vědách vede na rovnice, které obsahují dvě třídy proměnných. Rovnice typu y = ax vyjadřující závislou proměnnou y pomocí nezávislé proměnné x a konstanty a, se nazývá lineární rovnice. Podobně, rovnice a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b, (1.1) která vyjadřuje b pomocí proměnných x1, x2, . . . , xn a známých konstant a1, a2,. . . , an je rovněž lineární rovnicí. V mnoha případech a aplikacích však bývají dány konstanty b, a1, a2,. . . , an a naopak musíme najít čísla x1, x2, . . . , xn, která danou rovnici (1.1) splňují. Řešením lineární rovnice (1.1) nazýváme posloupnost n čísel s1, s2, . . . , sn takovou, že rovnost (1.1) je splněna, pokud dosadíme x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn. Například x1 = 2, x2 = 3 a x3 = 4 je řešení lineární rovnice 6x1 − 3x2 + 4x3 = −13, protože 6 · 2 − 3 · 3 + 4 · (−4) = −13. Není to jediné řešení dané rovnice, protože například čísla x1 = 3, x2 = 1 a x3 = −7 tvoří také (jiné, další) řešení této rovnice. Obecněji, soustava (nebo také systém) m lineárních rovnic o n neznámých je tvořena m rovnicemi, které obsahují celkem n různých neznámých. Přitom není nutné, aby každá z rovnic obsahovala všechny neznámé. V takovém případě se soustavou pracujeme obvykle způsobem, jako by každá z m rovnic obsahovala všechny neznámé, ale koeficienty u některých z nich jsou shodou okolností rovny nule. Soustavu lineárních rovnic můžeme zapsat ve tvaru a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm. (1.2) Indexy i, j užíváme následujícím způsobem. První index označuje, že máme na mysli i-tou rovnici, tedy rovnici ai1x1 + ai2x2 + · · · + aijxj + · · · + ainxn = bj, (1.3) zatímco druhý index označuje j-tou proměnnou, v našem případě tedy xj. Řešení soustavy (1.2) je definováno analogicky, jako pro jednu rovnici. Je to posloupnost n čísel s1, s2, . . . , sn takových, že (1.2) je splněna, pokud dosadíme x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn. Maticový a tenzorový počet 8 Abychom nalezli řešení soustavy lineárních rovnic, užíváme většinou techniky, které se souhrnně nazývají eliminace. Existuje více variant eliminační metody, které od sebe pro naše účely nemusíme příliš rozlišovat, avšak v situacích, kde záleží na přesnosti výpočtu s pohyblivou desetinnou čárkou, případně na rychlosti výpočtu prováděného v reálném čase, mohou být některé detaily důležité. Většina čtenářů tohoto skripta má již s eliminační metodou nějaké zkušenosti, zejména pro případ, že m = n, tedy že počet rovnic a počet neznámých jsou stejné. Později budeme běžně pracovat se systémy lineárních rovnic, kde m = n. Takový obecný případ vyžaduje ovšem poněkud více teorie, a proto podrobný výklad odsuneme na později. Princip eliminačních metod spočívá v tom, že během některých operací s rovnicemi se nemění množina řešení. Tak například je možné zaměnit pořadí rovnic, vynásobit kteroukoli rovnici nenulovým číslem, či přičíst násobek rovnice k rovnici na jiném řádku, aniž by se množina řešení změnila (požadavek nenulovosti čísla kterým násobíme, stejně jako požadavek, aby rovnice, které sčítáme, byly na různých pozicích v daném pořadí, je podstatný). Několik jednoduchých příkladů použití eliminační metody při řešení soustavy dvou rovnic pro dvě až tři neznámé následuje. Příklad 1.1 Uvažujme soustavu x − 3y = −3 2x + y = 8. (1.4) Abychom eliminovali x, přičteme (−2)-krát první rovnici ke druhé, takže dostaneme 7y = 14, tj. rovnici, která neobsahuje proměnnou x. Eliminovali jsme neznámou x. Nyní můžeme zjistit y, máme y = 2. Dosazením do (1.4) dostaneme x = 3. Abychom ověřili, že x = 3, y = 2 je řešení (1.4), přesvědčíme se, že tyto hodnoty splňují všechny rovnice dané soustavy. Vidíme, že daná soustava má jediné řešení. Příklad 1.2 Uvažujme soustavu x − 3y = −7 2x − 6y = 7. (1.5) Podobně jako v předchozí úloze se můžeme rozhodnout eliminovat x. Přičteme (−2)-krát první rovnici ke druhé rovnici, odkud 0 = 21, což nedává smysl. To znamená, že soustava rovnic (1.5) nemá řešení. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 9 Příklad 1.3 Uvažujme soustavu x + 2y − 3z = −4 2x + y − 3z = 4. (1.6) Proměnnou x eliminujeme vynásobením první rovnice (−2)-krát a přičtením ke druhé rovnici. Dostaneme rovnici −3y + 3z = 12, (1.7) kterou musíme vyřešit. Řešením je y = z − 4, takže z první rovnice (1.6) dostáváme postupně x = −4 − 2y + 3z = −4 − 2(z − 4) + 3z = z + 4. Hodnotu proměnné z můžeme volit libovolně, je to tzv. parametr. Kvůli větší přehlednosti bývá dobrým zvykem označit parametry jinými písmeny a pak pomocí parametrů vyjádřit všechny neznámé. Řešení soustavy (1.6) má tedy tvar x = r + 4 y = r − 4 z = r, (1.8) kde r je libovolné reálné nebo komplexní číslo. Soustava (1.6) má tedy nekonečně mnoho řešení, a v třírozměrném eukleidovském prostoru všech možných hodnot (x, y, z) množina řešení dané soustavy tvoří přímku. Tu můžeme určit například pomocí směrového vektoru a libovolného bodu, který na přímce leží. Volbou r = 0 zjistíme, že na hledané přímce leží například bod A = (4, −4, 0). Směrový vektor je určen koeficienty u parametru r, v našem případě je to tedy vektor (1, 1, 1). Přímka, která geometricky vyjadřuje množinu řešení naší soustavy, má tedy parametrickou rovnici (ve vektorovém tvaru) (x, y, z) = (4, −4, 0) + r · (1, 1, 1), (1.9) kde r ∈ R. Můžeme si všimnout, že (1.9) je jenom jiný, vektorový zápis pro (1.8). Avšak ze střední školy víme, že přímku lze ve třírozměrném eukleidovském prostoru vyjádřit i jako průsečnici dvou rovin. Příklad takových dvou rovin určují právě rovnice (1.6). Dodejme, že eliminační metody řešení lineárních rovnic vešly ve známost především v souvislosti s pracemi německých matematiků Carla Friedricha Gausse (1777-1855) a Wilhelma Jordana (1842-1899), odkud pocházejí vžité názvy Gaussova, resp. GaussJordanova eliminace. Principy eliminační metody však byly známy již ve staré Číně nejméně o 2000 let dříve. Spoluautorství eliminační metody bylo poměrně často (a bohužel nesprávně) také přisuzováno známému francouzskému matematikovi Camile Jordanovi (1838-1922). Maticový a tenzorový počet 10 1.2 Matice Jestliže podrobně prozkoumáme eliminační metodu, kterou jsme popsali v předchozím odstavci, můžeme si všimnout, že se během našich operací měnily pouze koeficienty u neznámých x1, x2, . . . , xn a čísla na pravé straně od rovnítka, ale neměnily se samotné neznámé, ani jejich pořadí. Proto nemusíme při úpravách zapisovat celé rovnice, ale pouze jejich koeficienty a pravé strany. Tento nový způsob zápisu rovnic nám usnadní a urychlí výpočty a dokonce umožní tyto výpočty například snadno a efektivně naprogramovat pro automatizovaný výpočet na počítači. Avšak nejde pouze o výhodný způsob zápisu soustav lineárních rovnic. Pojem matice, který v této části zavedeme, umožní mnohem více, než jen efektivní řešení soustav lineárních rovnic. Dostaneme do ruky nástroj, který nám umožní provádět a přehledně zapisovat složité vědecko-technické výpočty. Maticí A typu m × n rozumíme obdélníkové schéma či „pole” reálných nebo komplexních čísel, uspořádaných do m vodorovných řad a n svislých sloupců tvaru A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn      (1.10) Dále, i-tý řádek matice A je tvaru ai1 ai2 . . . ain , kde 1 ≤ i ≤ m, a j-tý sloupec matice A má tvar      a1j a2j ... amj      , kde 1 ≤ j ≤ n. Jestliže m = n, říkáme, že je matice A čtvercová řádu n. Čísla a11, a22,. . . , ann tvoří hlavní diagonálu matice A. Na prvky matice A se odkazujeme pomocí indexů i, j tak, že číslo aij nazýváme i, j-tým prvkem matice A a píšeme A = (aij). Příklad 1.4 Buď A = 1 2 3 −1 0 1 , B = 1 4 2 −3 , C =   1 −1 2   , D =   1 1 0 2 0 1 3 −1 2   , E = 3 , a F = −1 0 2 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 11 Pak A je matice 2 × 3 s prvky a12 = 2, a22 = 0 a a23 = 1; B je matice 2 × 2 s prvky b11 = 1, b21 = 2 a b22 = −3; C je matice typu 3 × 1 s c11 = 1, c21 = −1 a c31 = 2; D je matice 3 × 3; E je matice typu 1 × 1 a F je matice typu 1 × 3. V matici D prvky d11 = 1, d22 = 0 a d33 = 2 tvoří hlavní diagonálu. Čtvercová matice A = (aij) v níž jsou všechny nediagonální prvky nulové, se nazývá diagonální matice. Příklad 1.5 G = 4 0 0 −2 a H =   −3 0 0 0 −2 0 0 0 4   jsou diagonální matice. Diagonální matice A = (aij), která má všechny diagonální prvky stejné, se nazývá skalární matice. Speciálním případem skalární matice je matice jednotková; je to diagonální matice, která má všechny diagonální prvky rovny 1. Příklad 1.6 Následující čtvercové matice jsou skalární: I3 =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   , J = −2 0 0 −2 . Kromě toho, matice I3 je jednotková matice řádu 3. O dvou maticích A, B typu m × n řekneme, že jsou si rovny, pokud aij = bij pro všechna i ∈ {1, 2, . . .m} a j ∈ {1, 2, . . .n}. Jinak řečeno, dvě matice si jsou rovny, pokud mají stejné prvky. Příklad 1.7 Matice A =   u 2 −1 2 −3 t 0 v 5   a B =   1 2 w 2 x 4 y −4 z   si jsou rovny, právě když t = 4, u = 1, v = −4, w = −1, x = −3, y = 0 a z = 5. Maticový a tenzorový počet 12 1.2.1 Sčítání matic Nechť A = (aij), B = (bij) jsou matice typu m × n. Pak součet matice A s maticí B je matice C = (cij) typu m × n, pro niž platí cij = aij + bij, kde i ∈ {1, 2, . . .m} a j ∈ {1, 2, . . .n}. Příklad 1.8 Nechť A = 1 −2 4 2 −1 3 a 0 2 −4 1 3 1 . Pak A + B = 1 + 0 −2 + 2 4 + (−4) 2 + 1 −1 + 3 3 + 1 = 1 0 0 3 2 4 . Musíme zdůraznit, že součet matic je definován pouze pro matice téhož typu. Nyní však můžeme zavést úmluvu, že vždy, když vytvoříme výraz A+B, budeme předpokládat již automaticky, že matice A, B jsou stejného typu. Později uvidíme, že součet matic se chová velmi podobně, jako součet reálných nebo komplexních čísel. 1.2.2 Násobení matic Nechť matice A = (aij) je typu m×p a matice B = (bij) je typu p ×n. Pak součin matice A s maticí B je matice C = (cij) typu m × n, definovaná vztahem cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aipbpj = p k=1 aikbkj. (1.11) Můžeme se přirozeně zeptat, proč je součin matic definován poměrně složitě, když sčítání matic, podobně jako jejich rovnost jsou tak jednoduché a přirozené pojmy. Avšak pouze důkladné porozumění skládání zobrazení a vztahu mezi maticemi a tím, co budeme později nazývat lineárními transformacemi nám objasní, že zvolená definice maticového součinu je právě ta správná. Prozatím se pro lepší pochopení maticového součinu spokojíme s jednoduchými příklady. Můžeme si však zatím všimnout, že maticový součin přechází v násobení (reálných nebo komplexních) čísel pro matice typu 1 × 1. Příklad 1.9 Nechť A = 1 2 −1 3 1 4 a B =   −2 5 4 −3 2 1   . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 13 Pak AB = 1 · (−2) + 2 · 4 + (−1) · 2 1 · 5 + 2 · (−3) + (−1) · 1 3 · (−2) + 1 · 4 + 4 · 2 3 · 5 + 1 · (−3) + 4 · 1 = 4 −2 6 16 . Základní vlastnosti maticového součinu budou shrnuty v následujícím odstavci. Avšak násobení matic vyžaduje mnohem více, než jejich součet, protože algebraické vlastnosti maticového součinu jsou značně odlišné od toho, co známe z algebry reálných čísel. Část problému spočívá v tom, že součin AB je definován pouze když počet sloupců matice A je stejný, jako počet řádků matice B. Tedy, pokud je matice A typu m × p a matice B typu p × n, je matice AB typu m × n. Ale jak je to s maticí BA? Mohou nastat následující možnosti: (i) Matice BA může být nedefinována; to se stane když m = n. (ii) Jestliže je BA definována, což znamená že m = n, je BA typu p × p, zatímco AB je typu m × m. Tedy, pokud m = p, matice AB a BA jsou obě čtvercové, ale mají různý řád. (iii) Jestliže mají AB a BA stejné rozměry (tj. stejný řád), mohou si být rovny. (iv) Jestliže mají AB a BA stejné rozměry (tj. stejný řád), nemusí si být rovny. To můžeme ilustrovat následujícími příklady. Příklad 1.10 Je-li A typu 2 × 3 a B typu 3 × 4, pak AB je typu 2 × 4, zatímco BA není definována. Příklad 1.11 Nechť je A typu 2 × 3 a B typu 3 × 2. Pak AB je typu 2 × 2 a BA je typu 3 × 3. Příklad 1.12 Nechť A = 1 2 −1 3 a B = 2 1 0 1 . Pak AB = 2 3 −2 2 , zatímco BA = 1 7 −1 3 . Tedy AB = BA. Maticový a tenzorový počet 14 1.2.3 Komplexně sdružená matice Buď z = x+iy komplexní číslo, x, y čísla reálná. Připomínáme, že komplexně sdružené číslo k číslu z je číslo z∗ = x − iy. Nechť A = (aij) je komplexní matice typu m × n. Pak matice A∗ = (bij) typu n × m, kde bij = a∗ ij pro i ∈ {1, 2, . . .m} a j ∈ {1, 2, . . .n}, se nazývá komplexně sdružená matice k matici A. Komplexně sdružená matice je tedy matice, v níž všechny prvky nahradíme komplexně sdruženými čísly. Snadno se ověří, že A = A∗ , právě když A je reálná matice. Příklad 1.13 Nechť A =   1 0 2 − 3i 0 1 + i 0 −5 + 4i i −2i   . Pak A∗ =   1 0 2 + 3i 0 1 − i 0 −5 − 4i −i 2i   . 1.2.4 Transponovaná matice Nechť A = (aij) je matice typu m × n. Pak matice AT = (aT ij) typu n × m, kde aT ij = aji pro i ∈ {1, 2, . . .m} a j ∈ {1, 2, . . .n}, se nazývá transponovaná matice k matici A. Tedy transponovanou matici získáme z původní matice záměnou řádků za sloupce. Příklad 1.14 Nechť A = 4 −2 3 0 5 −2 , B =   6 2 −4 3 −1 2 0 4 3   , C =   5 4 −3 2 2 −3   , D = 3 −5 1 a E =   2 −1 3   . Pak AT =   4 0 −2 5 3 −2   , BT =   6 3 0 2 −1 4 −4 2 3   , Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 15 CT = 5 −3 2 4 2 −3 , DT =   3 −5 1   a ET = 2 −1 3 . Matice A se nazývá symetrická, pokud A = AT . To znamená, že matice A je symetrická, jestliže je to čtvercová matice, pro kterou aij = aji. Prvky symetrické matice jsou v matici rozmístěny symetricky podle hlavní diagonály. Příklad 1.15 Matice A =   1 2 3 2 4 5 3 5 6   a I3 =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   jsou symetrické. Podobně definujeme také pojem samoadjungované matice. Matice A se nazývá samoadjungovaná, pokud A = AT∗ . Tedy, matice A je samoadjungovaná, jestliže je to čtvercová matice, pro kterou aij = a∗ ji. Je zřejmé, že každá reálná symetrická matice je samoadjungovaná a každá (komplexní) samoadjungovaná matice má v hlavní diagonále reálná čísla. Existují i další vlastnosti samoadjungovaných matic, které jsou blízké vlastnostem reálných symetrických matic. Některé tyto vlastnosti prozkoumáme v dalších kapitolách. Příklad 1.16 Nechť A =   1 0 2 − 3i 0 5 −i 2 + 3i i −3   . Pak AT =   1 0 2 + 3i 0 5 i 2 − 3i −i −3   a AT∗ =   1 0 2 − 3i 0 5 −i 2 + 3i i −3   = A. Maticový a tenzorový počet 16 1.2.5 Skalární násobení matice číslem Nechť A = (aij) je matice typu m × n a r reálné nebo komplexní číslo. Pak skalární násobek matice A číslem r je matice rA = (bij) typu m × n, kde bij = raij pro všechna i ∈ {1, 2, . . .m} a j ∈ {1, 2, . . .n}. Příklad 1.17 Jestliže r = −3 a A =   4 −2 3 2 −5 0 3 6 −2   , pak rA = −3   4 −2 3 2 −5 0 3 6 −2   =   −12 6 −9 −6 15 0 −9 −18 6   . 1.2.6 Soustavy lineárních rovnic Uvažujme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých, a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm. (1.12) Definujme následující matice: A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn      , ¯x =      x1 x2 ... xn      , ¯b =      b1 b2 ... bm      . (1.13) Pak (1.12) můžeme psát v maticovém tvaru      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn           x1 x2 ... xn      =      a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn      =      b1 b2 ... bm      , což zjednodušeně zapsáno dává vztah Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 17 A¯x = ¯b. (1.14) Vztah (1.12) můžeme ovšem zapsat i pomocí transponovaných matic. Máme AT =      a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 ... ... ... a1n a2n . . . amn      , x = ¯xT = x1 x2 . . . xn a b = ¯bT = b1 b2 . . . bm . (1.15) Potom x1 x2 . . . xn      a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 ... ... ... a1n a2n . . . amn      = b1 b2 . . . bm , což zjednodušeně a symbolicky zapsáno dává xA = b. (1.16) Poznamenejme, že oba vztahy (1.14) i (1.16) vyjadřují tentýž vztah (1.12), první jmenovaný vztah ovšem používá zápisu n-tice neznámých x1, x2, . . . xn ve sloupcovém tvaru, zatímco druhý ve tvaru řádkovém. Výhoda prvního způsobu spočívá především v tom, že matici A můžeme ze soustavy rovnic o něco snadněji přečíst, než transponovanou matici AT . Rovněž po dosazení konkrétních čísel je (1.14) opticky bližší a podobnější zápisu původní soustavy (1.12). Proto budeme většinou upřednostňovat tento způsob zápisu. V tomto odstavci jsme také zavedli konvenci, v níž sloupcově zapsané n-tice čísel značíme pruhem nahoře, tedy ¯x =      x1 x2 ... xn      , zatímco řádkově zapsané n-tice čísel značíme podtržením nebo-li pruhem dole, tedy x = x1 x2 . . . xn . V zásadě se jedná o „vektorové” veličiny téhož typu (aniž bychom zatím přesně specifikovali, co rozumíme pod pojmem vektor), avšak vzhledem k maticovým operacím se chovají odlišně, a proto je nutné je rozlišit. V záloze máme ještě jedno označení pro „vektorové” veličiny, a sice x, které však rezervujeme pro poněkud obecnější případ „vektoru”. Maticový a tenzorový počet 18 Matice A z označení (1.13) se nazývá matice soustavy (1.12), nebo také matice koeficientů soustavy (1.12). Matice (A|¯b) =      a11 a12 . . . a1n | b1 a21 a22 . . . a2n | b2 ... ... ... | ... am1 am2 . . . amn | bm      , která vznikne přidáním sloupce ¯b pravých stran k matici soustavy A, se nazývá rozšířená matice soustavy (1.12). Obráceně, jakákoli matice, která má více než jeden sloupec, může být považována za rozšířenou matici soustavy jistého systému lineárních rovnic. Matice soustavy i rozšířená matice soustavy hrají klíčovou roli pro řešení soustav lineárních rovnic. Příklad 1.18 Uvažujme soustavu lineárních rovnic 2x + 3y − 4z = 5 −2x + z = 7 3x + 2y + 2z = 3. Položíme-li A =   2 3 −4 −2 0 1 3 2 2   , ¯x =   x1 x2 x3   a ¯b =   5 7 3   , můžeme psát danou soustavu ve tvaru A¯x = ¯b. Matice soustavy je matice A a rozšířená matice je matice (A|¯b) =   2 3 −4 | 5 −2 0 1 | 7 3 2 2 | 3   . Příklad 1.19 Matice 2 −1 3 | 4 3 0 2 | 5 je rozšířenou maticí soustavy 2x − y + 3z = 4 3x + 2z = 5. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 19 1.3 Vlastnosti maticových operací V této části budeme uvažovat vlastnosti právě definovaných maticových operací. Mnoho těchto vlastností bude podobných známým vlastnostem reálných čísel. Kromě toho však zde budou překvapující rozdíly mezi chováním reálných čísel a matic během některých operací, například násobení. Věta 1.1 Nechť A, B, C jsou matice takových typů, že následující operace jsou definovány. Pak platí: (i) A + B = B + A (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (iii) Existuje jediná matice 0 typu m × n, pro kterou platí A + 0 = A = 0 + A. (iv) Ke každé matici A typu m × n existuje jediná matice D typu m × n taková, že A + D = 0 = D + A. Tuto matici značíme D = −A. Důkaz. Části (i) a (ii) jsou zřejmé, protože sčítání matic je definováno po složkách a obě tvrzení plynou z vlastností sčítání reálných (nebo komplexních) čísel. Podmínku (iii) evidentně splňuje nulová matice 0, tj. matice typu m × n, složená pouze z nul. Pokud by ovšem existovala matice, řekněme O, se stejnou vlastností, pak O = O + 0 = 0 + O = 0. Podobně podmínce (iv) vyhovuje matice −A, tvořená prvky opačnými k prvkům matice A. Pokud má ještě B stejnou vlastnost jako −A, platí −A = −A + 0 = −A + (A + B) = (−A + A) + B = 0 + B = B. Příklad 1.20 Nulová matice typu 2 × 2 je matice 0 0 0 0 . Jestliže A = 4 −1 2 3 , Maticový a tenzorový počet 20 máme 4 −1 2 3 + 0 0 0 0 = 4 + 0 −1 + 0 2 + 0 3 + 0 = 4 −1 2 3 . Nulová matice typu 2 × 3 je matice 0 0 0 0 0 0 . Příklad 1.21 Abychom ilustrovali Větu 1.1, nechť A = 2 3 4 −4 5 −2 . Pak −A = −2 −3 −4 4 −5 2 . Nyní máme A + (−A) = 0. Místo abychom psali (složitěji) A+(−B), budeme jednoduše psát A−B a tento výraz budeme nazývat rozdíl matic A, B (v tomto pořadí). Příklad 1.22 Nechť A = 3 −2 5 −1 2 3 a B = 2 3 2 −3 4 6 . Potom A − B = 1 −5 3 2 −2 −3 . Věta 1.2 Nechť jsou matice A, B, C vhodných typů v každém z následujících případů. Pak platí: (i) A(BC) = (AB)C, (ii) A(B + C) = AB + AC, (iii) (A + B)C = AC + BC. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 21 Důkaz. Dokažme nejprve (i). V označení A = (aij), B = (bij), C = (cij), G = (gij) = A(BC) a H = (hij) = (AB)C máme gil = j aij( k bjkckl) = j,k aijbjkckl = k ( j )aijbjk)ckl = hil, odkud plyne G = H. Dokažme (ii). Označme dále P = (pij) = A(B + C). Pak pik = j aij(bjk + cjk) = ( j aijbjk) + ( j aijcjk), odkud je již zřejmé, že P = AB + AC. Tvrzení (iii) je duální a analogické k (ii), pouze roznásobení závorky probíhá z druhé strany. Důkaz by byl velmi podobný důkazu (ii) a čtenář jej může provést sám jako cvičení. Nechť A je čtvercová matice řádu n. Je-li p přirozené číslo, definujeme Ap = A · A · . . . A, kde počet činitelů vpravo od rovnítka je právě p. Dále klademe A0 = In. Pro přirozená čísla p, q a odpovídající mocniny čtvercových matic platí některá pravidla, která důvěrně známe pro práci s reálnými čísly, jako například Ap Aq = Ap+q a (Ap )q = Apq . Avšak musíme zdůraznit, že pro čtvercové matice obecně neplatí (AB)p = Ap Bp . Pokud však AB = BA, toto tvrzení platí (dokažte jako cvičení). Nyní upozorníme ještě na dvě důležité odlišnosti maticového násobení od násobení reálných čísel. Když a, b jsou dvě reálná čísla, pak ab = 0 může platit pouze když a = 0 nebo b = 0. Avšak pro matice toto obecně neplatí. Maticový a tenzorový počet 22 Příklad 1.23 Nechť A = 1 2 2 4 a B = 4 −6 −2 3 . Pak ani jedna z matic A, B není nulová, ale AB = 0 0 0 0 . Když a, b a c jsou reálná čísla pro která ab = ac, přičemž a = 0, plyne odtud b = c. Říkáme, že jsme krátili rovnici ab = ac číslem a. Zákon o krácení však v případě násobení matic neplatí. Příklad 1.24 Když A = 1 2 2 4 , B = 2 1 3 2 a C = −2 7 5 −1 , je AB = AC = 8 5 16 10 , ale B = C. Věta 1.3 Nechť r, s jsou reálná nebo komplexní čísla a A, B matice vhodných typů. Pak platí (i) r(sA) = (rs)A, (ii) (r + s)A = rA + sA, (iii) r(A + B) = rA + rB, (iv) A(rB) = r(AB) = (rA)B. Důkaz věty je snadný, všechna tvrzení vyplynou v podstatě ihned z rozepsání matic do složek, tj. například A = (aij). Čtenář může provést důkaz sám jako cvičení. Věta 1.4 Nechť r je reálné nebo komplexní číslo a A, B matice vhodných typů. Pak platí (i) (AT )T = A, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 23 (ii) (A + B)T = AT + BT , (iii) (AB)T = BT AT , (iv) (rA)T = rAT . Důkaz. Tvrzení (i), (ii), (iv) jsou dostatečně zřejmá podobně jako celá předchozí věta. Pozornost zasluhuje pouze důkaz (iii). Nechť A = (aij), B = (bij), C = (cij) = AB, D = (dij) = BT AT , G = (gij) = CT , P = (pij) = AT , Q = (qij) = BT . Platí cik = j aijbjk = gki, a protože aij = pji a bjk = qkj, máme gki = j pjiqkj = j qkjpji. Tedy G = QP, takže (AB)T = CT = G = QP = BT AT . 1.4 Řešení soustav lineárních rovnic V tomto odstavci se budeme systematicky zabývat eliminační metodou řešení soustavy lineárních rovnic. Metoda začíná rozšířenou maticí soustavy a končí maticí, která má jistý speciální tvar. Tato nová matice reprezentuje soustavu lineárních rovnic, která má přesně stejné řešení, jako původní zadaná soustava; ovšem toto řešení lze z nové soustavy přímo „přečíst”, obvykle narozdíl od původní soustavy. Například, jestliže   1 0 0 2 | 4 0 1 0 −1 | −5 0 0 1 3 | 6   je rozšířenou maticí jisté soustavy lineárních rovnic, potom řešení soustavy lze z této soustavy snadno přečíst: x1 + 2x4 = 4 x2 − x4 = −5 x3 + 3x4 = 6. Úkolem tohoto odstavce bude upravit rozšířenou matici, reprezentující danou soustavu lineárních rovnic na tvar, z něhož již bude snadné řešení získat. Říkáme, že matice A typu m × n je v redukovaném schodovitém tvaru, jestliže splňuje následující podmínky: Maticový a tenzorový počet 24 (i) Všechny řádky matice A, složené ze samých nul (pokud vůbec existují) jsou na posledních řádkových pozicích. (ii) První nenulový prvek v každém nenulovém řádku je roven 1; tento prvek se nazývá vedoucí prvek daného řádku. (iii) Jestliže i-tý a (i + 1)-ní řádek jsou dva po sobě jdoucí nenulové řádky, pak vedoucí prvek (i + 1)-ního řádku leží vpravo od vedoucího prvku i-tého řádku. (iv) Pokud nějaký sloupec matice A obsahuje vedoucí prvek nějakého řádku, zbývající prvky tohoto sloupce jsou nuly. Matice, splňující podmínky (i) a (iii) se nazývá matice ve schodovitém tvaru. Poznamenejme, že matice ve schodovitém tvaru nebo v redukovaném schodovitém tvaru nemusí mít žádný nulový řádek. Příklad 1.25 Matice A =   1 0 0 4 0 1 0 5 0 0 1 2   , B =   1 2 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0   a C =       1 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       jsou v redukovaném schodovitém tvaru. Příklad 1.26 Matice A =   1 2 0 4 0 0 0 0 0 0 1 −3   , B =   1 0 3 4 0 2 −2 5 0 0 1 2   , C =     1 0 3 4 0 1 −2 5 0 1 2 2 0 0 0 0     a D =     1 2 3 4 0 1 −2 5 0 0 1 2 0 0 0 0     nejsou v redukovaném schodovitém tvaru, matice B a D však jsou ve schodovitém (nikoli redukovaném) tvaru. Matice A, C nejsou ve schodovitém tvaru. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 25 Nyní se vrátíme k diskusi, jak transformovat matici na její redukovaný schodovitý tvar. Elementární řádkovou úpravou nazýváme kteroukoli z následujících operací: (i) Vzájemná výměna r-tého a s-tého řádku. To znamená, nahradit řádek ar1, ar2, . . . , arn řádkem as1, as2, . . . , asn a řádek as1, as2, . . . , asn nahradit řádkem ar1, ar2, . . . , arn. (ii) Vynásobení r-tého řádku číslem c = 0. To znamená, nahradit řádek ar1, ar2, . . . , arn řádkem car1, car2, . . . , carn (iii) Přičtení d-násobku r-tého řádku k s-tému řádku pro r = s. To znamená, nahradit řádek as1, as2, . . . , asn řádkem dar1 + as1, dar2 + as2, . . . , darn + asn. O matici A typu m × n řekneme, že je řádkově ekvivalentní matici B typu m × n, jestliže je možné získat matici B z matice A aplikací konečně mnoha elementárních řádkových úprav. Věta 1.5 Každá nenulová matice typu m × n je řádkově ekvivalentní s maticí v redukovaném schodovitém tvaru. Důkaz této věty neuvádíme. Není sice z teoretického hlediska obtížný, je však náročný na korektní a obecný zápis všech možností, které u matice, kterou chceme pomocí elementárních řádkových úprav na redukovaný schodovitý tvar převést, mohou nastat. Formalismus, který bychom museli kvůli korektnímu a dostatečně krátkému zápisu důkazu vybudovat, by zcela překryl původní, velmi jednoduchou myšlenku. Proto se spokojíme s demonstrací, jak se matice na její redukovaný schodovitý tvar převádí v následujícím příkladě. S dalšími příklady se čtenář může seznámit ve cvičení. Příklad 1.27 Převedení matice A na její redukovaný schodovitý tvar B pomocí elementárních řádkových úprav: A =     0 2 3 −4 1 0 0 2 3 4 2 2 −5 2 4 2 0 −6 9 7     ∼     2 2 −5 2 4 0 2 3 −4 1 0 0 2 3 4 2 0 −6 9 7     ∼     2 2 −5 2 4 0 2 3 −4 1 0 0 2 3 4 0 −2 −1 7 3     ∼ ∼     2 2 −5 2 4 0 2 3 −4 1 0 0 2 3 4 0 0 2 3 4     ∼     2 2 −5 2 4 0 2 3 −4 1 0 0 2 3 4 0 0 0 0 0     ∼     2 2 −5 2 4 0 2 3 −4 1 0 0 1 3 2 2 0 0 0 0 0     ∼ ∼     2 2 −5 2 4 0 2 0 −17 2 −5 0 0 1 3 2 2 0 0 0 0 0     ∼     2 2 0 19 2 14 0 2 0 −17 2 −5 0 0 1 3 2 2 0 0 0 0 0     ∼     2 0 0 18 19 0 2 0 −17 2 −5 0 0 1 3 2 2 0 0 0 0 0     ∼ ∼     1 0 0 9 19 2 0 2 0 −17 2 −5 0 0 1 3 2 2 0 0 0 0 0     ∼     1 0 0 9 19 2 0 1 0 −17 4 −5 2 0 0 1 3 2 2 0 0 0 0 0     = B. Maticový a tenzorový počet 26 Následující příklady také ilustrují, jak můžeme využít elementárních řádkových úprav a redukovaného schodovitého tvaru matice k řešení soustav lineárních rovnic. Tento postup je znám jako Gaussova eliminační metoda. Příklad 1.28 Řešme soustavu lineárních rovnic x + 2y + 3z = 9 2x − y + z = 8 3x − z = 3. Rozšířená matice této soustavy je   1 2 3 | 9 2 −1 1 | 8 3 0 −1 | 3   . Tato matice je řádkově ekvivalentní matici   1 0 0 | 2 0 1 0 | −1 0 0 1 | 3   , jíž odpovídá soustava lineárních rovnic x = 2 y = −1 z = 3. Soustava má tedy jedné řešení x = 2, y = −1, z = 3. Příklad 1.29 Řešme soustavu lineárních rovnic x + y + 2z − 5w = 3 2x + 5y − z − 9w = −3 2x + y − z + 3w = −11 x − 3y + 2z + 7w = −5. Její rozšířená matice je     1 1 2 −5 | 3 2 5 −1 −9 | −3 2 1 −1 3 | −11 1 −3 2 7 | −5     . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 27 Tato matice je řádkově ekvivalentní matici     1 0 0 2 | −5 0 1 0 −3 | 2 0 0 1 −2 | 3 0 0 0 0 | 0     , (1.17) jíž odpovídá soustava lineárních rovnic x + 2w = −5 y − 3w = 2 z − 2w = 3. Nulový řádek v (1.31) jsme ignorovali. Hodnotu jedné z neznámých můžeme volit; v obecném případě však nemůžeme vybrat kteroukoli neznámou. Zřejmě není výhodné volit takovou neznámou, vzhledem k níž je soustava již rozřešena (tedy takovou, jíž odpovídá vedoucí prvek v rozšířené matici v redukovaném schodovitém tvaru). V takovém případě bychom totiž museli některé vztahy přepočítat, což znamená mnoho zbytečných operací navíc. Naopak je vhodné volit zbývající neznámé, tedy ty, vzhledem k nimž soustava rozřešena není. V našem případě je to tedy neznámá w. Volíme tedy w = r, kde r je libovolné reálné, popřípadě komplexní číslo. Pak dostáváme obecné řešení ve tvaru x = −5 + 2r y = 2 + 3r z = 3 + 2r w = r. Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení. Příklad 1.30 Řešme soustavu lineárních rovnic x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 2 x1 + 2x2 + x3 − 3x4 + x5 + 2x6 = 3 x1 + 2x2 − 3x4 + 2x5 + x6 = 4 3x1 + 6x2 + x3 − 9x4 + 4x5 + 3x6 = 9. Rozšířená matice je     1 2 0 −3 1 0 | 2 1 2 1 −3 1 2 | 3 1 2 0 −3 2 1 | 4 3 6 1 −9 4 3 | 9     . Tato matice je řádkově ekvivalentní matici     1 2 0 −3 0 −1 | 0 0 0 1 0 0 2 | 1 0 0 0 0 1 1 | 2 0 0 0 0 0 0 | 0     , Maticový a tenzorový počet 28 jíž odpovídá soustava lineárních rovnic x1 + 2x2 − 3x4 − x6 = 0 x3 + 2x6 = 1 x5 + x6 = 2. Jako parametry je vhodné zvolit proměnné x2, x4 a x6. Obecné řešení má tvar x1 = r + 3s − 2t x2 = t x3 = 1 − 2r x4 = s x5 = 2 − r x6 = r, kde r, s, t jsou libovolná reálná, případně komplexní čísla. Příklad 1.31 Řešme soustavu lineárních rovnic x + 2y + 3z + 4w = 5 x + 3y + 5z + 7w = 11 x − z − 2w = −6. Její rozšířená matice je   1 2 3 4 | 5 1 3 5 7 | 11 1 0 −1 −2 | −6   . Tato matice je řádkově ekvivalentní matici   1 0 −1 −2 | 0 0 1 2 3 | 0 0 0 0 0 | 1   . Poslední řádek této matice reprezentuje rovnici 0x + 0y + 0z + 0w = 1, která však nemá řešení. Proto ani celá soustava nemá řešení. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 29 1.4.1 Hodnost matice Libovolnou n-tici reálných nebo komplexních čísel nazveme n-rozměrným (reálným nebo komplexním) vektorem. Připomínáme, že n-rozměrný vektor (x1, x2, . . . , xn) může být zapsán například jako matice typu 1 × n, tedy řádkovým způsobem, nebo jako matice typu n × 1, tedy sloupcovým způsobem. Píšeme x = x1 x2 . . . xn , ¯x =      x1 x2 ... xn      . Buďte a1, a2, . . . am reálné n-rozměrné vektory. Řekneme, že tvoří lineárně nezávislý systém, nebo krátce, že jsou lineárně nezávislé, jestliže neexistují reálná čísla γ1, γ2, . . . γn, s jedinou výjimkou γ1 = γ2 = . . . γn = 0, že γ1a1 + γ2a2 + · · · + γmam = 0. Pokud nejsou n-rozměrné vektory lineárně nezávislé, říkáme, že jsou lineárně závislé. Zcela analogicky bychom mohli v předchozí definici použít sloupcové formy zápisu nrozměrných vektorů – nic podstatného by se nezměnilo. Rozhodnutí o lineární závislosti nebo nezávislosti určitého systému vektorů přímo z předchozí definice znamená obvykle vyřešit jistou soustavu lineárních rovnic. Můžeme to ilustrovat následujícími příklady. Příklad 1.32 Uvažujme vektory a1 = 1 −1 2 , a2 = 2 3 1 a a3 = 3 2 −2 . Hledáme koeficienty γ1, γ2, γ3 takové, že γ1a1 + γ2a2 + γ3a3 = 0, což znamená řešit soustavu rovnic γ1 + 2γ2 + 3γ3 = 0 −γ1 + 3γ2 + 2γ3 = 0 2γ1 + γ2 − 2γ3 = 0 (1.18) vzheldem k neznámým γ1, γ2, γ3. Rozšířená matice soustavy je   1 2 3 | 0 −1 3 2 | 0 2 1 −2 | 0   (1.19) a je řádkově ekvivalentní matici   1 0 0 | 0 0 1 0 | 0 0 0 1 | 0   . Maticový a tenzorový počet 30 Jediné řešení naší soustavy tedy je γ1 = γ2 = γ3 = 0. To ovšem znamená, že vektory a1, a2, a3 jsou lineárně nezávislé. Poznamenejme, že soustava lineárních rovnic, která má na pravé straně jenom samé nuly, se nazývá homogenní. Tedy například soustava rovnic (1.18) s rozšířenou maticí (1.19) je homogenní soustava. Elementární řádkové úpravy nemají na poslední sloupec rozšířené matice, složený pouze z nul, žádný vliv; tento sloupec lze tedy eventuálně vynechat a upravovat pouze matici soustavy. Příklad 1.33 Uvažujme vektory a1 = 1 2 3 , a2 = 3 −1 0 a a3 = 4 1 3 . Opět hledáme koeficienty γ1, γ2, γ3 takové, že γ1a1 + γ2a2 + γ3a3 = 0. Musíme vyřešit soustavu rovnic γ1 + 3γ2 + 4γ3 = 0 2γ1 − 1γ2 + 1γ3 = 0 3γ1 − 3γ3 = 0 vzheldem k neznámým γ1, γ2, γ3. Soustava je homogenní a její matice je   1 3 4 2 −1 1 3 0 3   . Tato matice je řádkově ekvivalentní matici   1 0 1 0 1 1 0 0 0   , které odpovídá jednodušší soustava (ovšem se stejným řešením) γ1 + γ3 = 0 γ2 + γ3 = 0. Volit můžeme například γ3; pak volba γ3 = −1 dá γ1 = γ2 = 1. Odtud je již zřejmé, že vektory a1, a2, a3 jsou lineárně závislé. Platí totiž a1 + a2 − a3 = 0. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 31 Za zmínku stojí také fakt, že není nutné sestavovat soustavu pro neznámé koeficienty, stačí sestavit její matici, eventuálně rozšířenou matici, kterou pak upravíme na redukovaný schodovitý tvar. Z existence nulových řádků pak vyvodíme možnost volby některých koeficientů a rozhodneme o lineární závislosti či nezávislosti. Doposud příliš nezáleželo na tom, zda jsme pracovali s reálnými nebo komplexními čísly. V případě lineární závislosti či nezávislosti však může být podstatné, zda uvažované koeficienty mohou být pouze reálné, nebo i komplexní. Příklad 1.34 Uvažujme dvě komplexní čísla a = 1, b = i a předpokládejme, že existují koeficienty α, β tak, že αa + βb = 0 (1.20) Pokud α, β ∈ R, rovnost může nastat jedině když α = β = 0 a nad reálnými čísly R jsou tedy čísla a, b, uvažovaná jako vektory, nezávislá. Pokud však připustíme, že α, β ∈ C, můžeme volit například α = 1, β = i abychom dosáhli požadované rovnosti (1.20), neboť 1+i2 = 0. V tomto případě jsou tedy čísla a, b, jakožto vektory nad množinou komplexních čísel C, závislá. Nechť a1, a2, . . . am jsou n-rozměrné vektory a β1, β2, . . . , βm konstanty. Pak výraz β1a1 + β2a2 + · · · + βmam se nazývá lineární kombinace vektorů a1, a2, . . . am s koeficienty β1, β2, . . . , βm. Věta 1.6 Jsou-li n-rozměrné vektory b1, b2, . . . , bm lineárně závislé, pak existuje index j ∈ {1, 2, . . ., m} takový, že vektor bj je lineární kombinací ostatních vektorů. Naopak, jestliže v = α1b1 + α2b2 + · · · + αmbm, tvoří vektory v, b1, b2, . . . , bm lineárně závislý systém. Důkaz. Nechť jsou vektory b1, b2, . . . , bm lineárně závislé. Pak existují koeficienty β1, β2, . . . , βm takové, že β1b1 + β2b2 + · · · + βmbm = 0, přičemž mezi čísly β1, β2, . . . , βm existuje aspoň jedno nenulové. Vhodným přeznačením vektorů bi a koeficientů βi můžeme vždy dosáhnout toho, že β1 = 0. Pak ovšem b1 = − β2 β1 b2 − β3 β1 b3 − · · · − βm β1 bm. Naopak, nechť v = α1b1 + α2b2 + · · · + αmbm. Pak také −v + α1b1 + α2b2 + · · · + αmbm = 0. Maticový a tenzorový počet 32 V této lineární kombinaci je aspoň jeden z koeficientů (například u v) nenulový, odkud již plyne, že vektory v, b1, b2, . . . , bm jsou lineárně závislé. Buď A matice typu m×n. Řádkovou hodností matice A nazveme takové číslo hr(A), které udává maximální počet prvků lineárně nezávislého systému, tvořeného řádky matice A. Podobně sloupcovou hodností matice A nazveme takové číslo hs(A), které udává maximální počet prvků lineárně nezávislého systému, tvořeného sloupci matice A. Později ukážeme, že řádková a sloupcová hodnost jsou pro každou matici stejné, takže můžeme hovořit pouze o hodnosti matice. Věta 1.7 Elementární řádkové úpravy nemění řádkovou hodnost matice. Důkaz. Je zřejmé, že jakákoli změna pořadí řádků, tím méně vzájemná výměna dvou z nich, hodnost matice nezmění. Nejprve tedy ukážeme, že hodnost matice zůstává nezměněna, násobíme-li jeden řádek nenulovou konstantou. Buď {a1, a2, . . . , as} systém n-rozměrných vektorů a předpokládejme, že je lineárně nezávislý. Označme b1 = a1, b2 = a2, . . . , bs = c · as, kde c = 0. Pokud pro nějaké γ1, γ2, . . . , γs je γ1b1 + γ2b2 + · · · + γsbs = 0, je γ1a1 + γ2a2 + · · · + γscas = 0 a z lineární nezávislosti vektorů a1, a2, . . ., as plyne γ1 = γ2 = · · · = γsc = 0, což dává ihned γs = 0, neboť c = 0. Tedy i vektory b1, b2, . . ., bs jsou lineárně nezávislé. Platí ovšem také as = 1 c bs, takže z lineární nezávislosti systému {b1, b2, . . . , bs} plyne i nezávislost {a1, a2, . . . , as}. Vynásobíme-li tedy řádek matice nenulovým číslem, lineárně nezávislé systémy řádků si navzájem jednoznačně odpovídají a obě matice tedy mají stejnou hodnost. Nyní ukážeme, že přičtení násobku řádku k jinému řádku matice nezmění její hodnost. Nechť matice B vznikne z A přičtením násobku jistého řádku k jinému řádku. Ukážeme, že hr(B) ≥ hr(A). Nechť hr(A) = k. Pak existuje lineárně nezávislý systém {a1, a2, . . . , ak} řádků matice A, který je maximální. Zbylé řádky matice A můžeme označit ak+1, ak+2, . . . , am, kde m ≥ k. Pokud se změna matice A v matici B nedotkne žádného z řádků a1, a2, . . . , ak, pak zajisté hr(B) ≥ k. Předpokládejme tedy, že b1 = a1+c·ai, b2 = a2, . . . , bm = am pro jisté i ∈ {1, 2, . . .m}. Tvoří-li b2, b3, . . . ,bk, bi lineárně nezávislý systém, je opět hr(B) ≥ k. Nechť jsou tedy vektory b2, b3, . . . ,bk, bi lineárně závislé. Existují koeficienty γ2, γ3, . . . , γk, γi, které nejsou všechny nulové tak, že γ2b2 + γ3b3 + · · · + γkbk + γibi = 0. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 33 Musí být γi = 0, jinak by totiž byly b2 = a2, b3 = a3, . . . , bk = ak, lineárně závislé, což není možné vzhledem k lineární nezávislosti většího systému vektorů {a1, a2, . . . , ak}. Pak bi = − γ2 γi b2 − γ3 γi b3 − · · · − γm γi bk, což znamená, že ai = − γ2 γi a2 − γ3 γi a3 − · · · − γm γi ak. Odtud plyne, že b1 = a1 + cai = a1 − c γ2 γi a2 − c γ3 γi a3 − · · · − c γm γi ak. Ověříme, že jsou vektory b1, b2, . . . , bk lineárně nezávislé. Nechť existují koeficienty β1, β2,. . . βk, že β1b1 + β2b2 + · · · + βkbk = 0. Pak β1a1 − β1c γ2 γi a2 − β1c γ3 γi a3 − · · · − β1c γm γi ak + β2b2 + · · · + βkbk = 0, což po úpravě dává β1a1 + (β2 − β1c γ2 γi )a2 + (β3 − β1c γ3 γi )a3 + · · · + (βk − β1c γk γi )ak = 0. Protože jsou vektory a1, a2, . . . , ak lineárně nezávislé, je β1 = β2 − β1c γ2 γi = β3 − β1c γ3 γi = · · · = βk − β1c γk γi = 0. Pak ovšem β1 = β2 = · · · = βk = 0, což znamená, že i vektory b1, b2, . . . , bk jsou lineárně nezávislé. Pak hr(B) ≥ k = hr(A). Záměnou rolí matic A, B získáme analogickou, avšak opačnou nerovnost hr(A) ≥ hr(B). Záměna rolí obou matic je možná proto, že úprava, kterou jsme provedli byla vratná: Je-li totiž pro i = j např. bj = aj + c · ai, je také aj = bj − c · bi. Zde jsme použili faktu, že v daném kroku měníme pouze jeden, a to j-tý řádek, takže ai = bi. Celkově tedy máme hr(A) = hr(B). Věta 1.8 Elementární řádkové úpravy nemění sloupcovou hodnost matice. Důkaz. Nechť ¯a1 =      a11 a21 ... am1      , ¯a2 =      a12 a22 ... am2      , . . . , ¯ak =      a1k a2k ... amk      Maticový a tenzorový počet 34 jsou m-rozměrné sloupcové vektory, které jsou zároveň vybranými sloupci matice A. Existují-li koeficienty x1, x2, . . . , xk takové, že x1¯a1 + x2¯a2 + · · · + xk ¯ak = 0, (1.21) pak také x1 ¯b1 + x2 ¯b2 + · · · + xk ¯bk = 0, (1.22) pro libovolné sloupcové vektory ¯b1, ¯b2, . . . ¯bk, které získáme elementární řádkovou úpravou matice A. Vztahy (1.21), případně (1.4.1) nejsou ničím jiným než soustavami homogenních lineárních rovnic, na jejichž řešení nemají elementární řádkové úpravy vliv a proto mají obě soustavy stejné řešení, tedy stejnou množinu vyhovujících koeficientů x1, x2, . . . , xk. To ovšem znamená, že je systém vektorů {¯a1, ¯a2, . . . , ¯ak} lineárně nezávislý, právě když je systém {¯b1, ¯b2, . . . , ¯bk} lineárně nezávislý. Odtud vyplývá, že ani sloupcová hodnost matice A se následkem řádkových elementárních úprav nemůže změnit. Věta 1.9 Nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru a sloupce, které obsahují vedoucí prvky dané matice, jsou lineárně nezávislé. Důkaz. Nechť A je matice ve schodovitém tvaru. Pak A má tvar A =      0 . . . 0 a1k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 a2k2 . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 amkm . . .      =      a1 a2 ... am      , kde a1k1 , a2k2 , . . . , amkm jsou vedoucí prvky příslušného řádku a tedy nenulová čísla. Pokud pro nějaké koeficienty γ1, γ2, . . . , γm platí γ1a1 + γ2a2 + · · · + γmam = 0, znamená to, že γ1a1k1 = 0 γ1a1k1 + γ2a2k2 = 0 ... γ1a1k1 + γ2a2k2 + · · · + γmamkm = 0. Odtud postupně dostáváme γ1 = 0, γ2 = 0, . . . , γm = 0. Pak ovšem jsou řádkové vektory a1, a2, . . . , am lineárně nezávislé. Důkaz lineární nezávislosti sloupců, obsahujících vedoucí prvky je velmi podobný. Důsledkem předchozí věty je, že řádková hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu nenulových řádků. Nyní můžeme dokázat naše hlavní tvrzení o hodnosti matice, totiž rovnost obou hodností pro libovolnou matici. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 35 Věta 1.10 Řádková i sloupcová hodnost matice si jsou rovny. Důkaz. Buď A matice typu m × n, B její schodovitý tvar. Platí hr(A) = hr(B) podle věty (1.7) a hs(A) = hs(B) podle věty (1.8). Podle věty (1.9) je hs(B) ≥ hr(B), takže celkově hs(A) ≥ hr(A). Použijeme-li místo A matici AT , dostaneme hr(A) = hs(AT ) ≥ hr(AT ) = hs(A). Je tedy hr(A) = hs(A). V důsledku předchozí věty můžeme vynechat přívlastek u řádkové, případně sloupcové hodnosti a mluvit pouze o hodnosti matice A, kterou budeme značit h(A). Příklad 1.35 Určeme hodnost matice A =     1 1 2 −5 3 2 5 −1 −9 −3 2 1 −1 3 −11 1 −3 2 7 −5     . Tato matice je řádkově ekvivalentní matici B =     1 0 0 2 −5 0 1 0 −3 2 0 0 1 −2 3 0 0 0 0 0     . Matice B má tři nenulové řádky; platí tedy h(A) = h(B) = 3. Nyní prozkoumáme vztah hodnosti k součinu matic. Věta 1.11 Buďte A matice typu m × p a B matice typu p × n. Pak platí h(A) ≥ h(AB) ≤ h(B). Důkaz. Rozměry matic zaručují, že součin AB je definován. Označme C = (cij) = AB, A = (aij), B = (bij). Platí cij = k aikbkj, takže ci = k aikbk1 k aikbk2 . . . k aikbkn = k aik bk1 bk2 . . . bkn = k aikbk. Je tedy zřejmé, že řádky matice C jsou lineárními kombinacemi jistých řádků matice B. Uvažujme tedy matici D = B C . Maticový a tenzorový počet 36 Zmíněné lineární kombinace určují způsob, jak pomocí elementárních řádkových úprav v matici D vynulovat řádky, příslušné matici C. Je tedy h(D) = h(B). Ovšem z definice řádkové hodnosti plyne h(C) ≤ h(D), odkud h(AB) = h(C) ≤ h(B). Z možnosti záměny řádků za sloupce, nebo alternativně přechodem ke transponovaným maticím, dostaneme i druhou nerovnost h(AB) ≤ h(A). Následující tvrzení je známé jako Frobeniova věta. Věta 1.12 Buď A¯x = ¯b systém lineárních rovnic. Tento systém má řešení, právě když hodnosti matice soustavy A a rozšířené matice (A|¯b) jsou stejné. Důkaz. Je evidentní, že h(A|¯b) ≥ h(A), protože matice (A|¯b) obsahuje celou matici A a ještě jeden sloupec navíc. Nechť A¯x = ¯b. Jsou-li ¯a1, ¯a2, . . . , ¯an sloupce matice A, platí ¯b = x1¯a1 + x2¯a2 + · · · + xn¯an, (1.23) takže sloupcový vektor ¯b je lineární kombinací sloupců ¯a1, ¯a2, . . . ¯an. Nechť h(A) = k ≤ n. Pak mezi vektory ¯a1, ¯a2, . . . , ¯an existuje k nezávislých, a vhodným eventuálním přeznačením lze vždy dosáhnout toho, že vektory ¯a1, ¯a2, . . . ¯ak jsou lineárně nezávislé. Pak každý ze zbývajících vektorů ¯ak+1, ¯ak+2, . . . , ¯an je lineární kombinací prvních k vektorů. Vyjádřením těchto lineárních kombinací a dosazením do (1.23) můžeme ukázat, že ¯b je lineární kombinací sloupcových vektorů ¯a1, ¯a2, . . . ¯ak, s nimiž ¯b tvoří lineárně závislý systém. Tedy platí h(A|¯b) ≤ h(A), odkud h(A|¯b) = h(A). Naopak, předpokládejme, že h(A|¯b) = h(A). Nechť {¯a1, ¯a2, . . . , ¯ak} je maximální lineárně nezávislý systém sloupců matice A. Tento systém musí být maximální i v rozšířené matici (A|¯b), protože jinak by tato matice měla větší hodnost. Pak ovšem systém {¯b, ¯a1, ¯a2, . . . , ¯ak} je lineárně závislý, což podle Věty 1.6 znamená, že existují čísla x1, x2, . . . , xk s vlastností ¯b = x1¯a1 + x2¯a2 + · · · + xk ¯ak. Zvolíme-li xk+1 = xk+2 = · · · = xn = 0, můžeme psát ¯a1x1 + ¯a2x2 + · · · + ¯anxn = ¯b nebo ekvivalentně A¯x = ¯b. Příklad 1.36 Uvažujme soustavu lineárních rovnic x + 2y + 3z = 9 2x − y + z = 8 3x − z = 3. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 37 Tuto soustavu jsme řešili v Příkladě 1.28. Její rozšířená matice je (A|¯b) =   1 2 3 | 9 2 −1 1 | 8 3 0 −1 | 3   ∼   1 0 0 | 2 0 1 0 | −1 0 0 1 | 3   . Odtud je vidět, že h(A) = 3 = h(A|¯b), takže soustava má, podle Věty 1.12, řešení. Příklad 1.37 Rozhodněme o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic (viz. také Příklad 1.29) x + y + 2z − 5w = 3 2x + 5y − z − 9w = −3 2x + y − z + 3w = −11 x − 3y + 2z + 7w = −5. Její rozšířená matice je     1 1 2 −5 | 3 2 5 −1 −9 | −3 2 1 −1 3 | −11 1 −3 2 7 | −5     ∼     1 0 0 2 | −5 0 1 0 −3 | 2 0 0 1 −2 | 3 0 0 0 0 | 0     , odkud h(A) = 3 = h(A|¯b). Podle Věty 1.12 soustava má řešení. Příklad 1.38 Prozkoumejme soustavu lineárních rovnic x + 2y + 3z + 4w = 5 x + 3y + 5z + 7w = 11 x − z − 2w = −6, kterou jsme již řešili v Příkladě 1.31. Její rozšířená matice je (A|¯b) =   1 2 3 4 | 5 1 3 5 7 | 11 1 0 −1 −2 | −6   ∼   1 0 −1 −2 | 0 0 1 2 3 | 0 0 0 0 0 | 1   . Zde vidíme, že h(A) = 2, zatímco h(A|¯b) = 3. Podle Věty 1.12 soustava nemá řešení. Můžeme si všimnout, že Frobeniova věta, tj. Věta 1.12, nic neříká o počtu řešení, které daná soustava lineárních rovnic má, ale hovoří pouze o existenci (nějakého) řešení. Čtvercová matice A řádu n se nazývá regulární, jestliže h(A) = n. V opačném případě říkáme, že A je singulární. Příkladem regulární matice je například matice jednotková. Maticový a tenzorový počet 38 Věta 1.13 Nechť A je čtvercová matice řádu n. Soustava A¯x = 0 má jediné řešení, právě když A je regulární matice. Důkaz. Nechť A je regulární. Pak jsou sloupce ¯a1, ¯a2, . . . ¯an matice A lineárně nezávislé, takže pokud A¯x = 0, platí x1¯a1 + x2¯a2 + · · · + xn¯an = 0. Z lineární nezávislosti vektorů ¯a1, ¯a2, . . . ¯an pak plyne x1 = x2 = · · · = xn = 0. Naopak, má-li A¯x = 0 jediné řešení ¯x = 0, pak jedinou možností jak anulovat lineární kombinaci x1¯a1 + x2¯a2 + · · · + xn¯an je zvolit všechny koeficienty x1, x2, . . . , xn nulové. Tedy sloupcové vektory ¯a1, ¯a2, . . . ¯an jsou lineárně nezávislé. To ovšem znamená, že h(A) = n a tedy matice A je regulární. Věta 1.14 Nechť A je čtvercová regulární matice řádu n. Pak soustava A¯x = ¯b má jediné řešení. Důkaz. Protože h(A) = n, je také h(A|¯b) = n. Obě matice mají totiž n řádků a tedy hodnost matice (A|¯b) nemůže být větší. Podle Věty 1.12 má soustava řešení. Nechť ¯y, ¯z jsou dvě řešení soustavy A¯x = ¯b. Máme tedy A¯y = ¯b a zároveň A¯z = ¯b. Pak A(¯y − ¯z) = A¯y − A¯z = ¯b − ¯b = 0. Podle Věty 1.13 je ¯x = ¯y − ¯z = 0, odkud ¯y = ¯z. Řešení je tedy jediné. Jako ilustrace k předchozí větě poslouží Příklad 1.36. Matice soustavy je v tomto případě regulární, takže řešení je jediné, jak se můžeme přesvědčit v Příkladě 1.28. O dvou čtvercových maticích A, B řádu n řekneme, že jsou navzájem inverzní, pokud AB = In = BA. Příklad 1.39 Nechť A = 2 3 2 2 a B = −1 3 2 1 −1 . Protože AB = BA = I2, matice A, B jsou navzájem inverzní. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 39 Příklad 1.40 Nechť A = 1 2 3 4 . Abychom nalezli A−1 , položíme A−1 = a b c d . Chceme aby platilo AA−1 = 1 2 3 4 a b c d = I2 = 1 0 0 1 . Pak ovšem a + 2c b + 2d 3a + 4c 3b + 4d = 1 0 0 1 , odkud dostáváme rovnice a + 2c = 1 3a + 4c = 0 b + 2d = 0 3b 4d = 1. Řešení těchto rovnic je a = −2, b = 1, c = 3 2 a d = −1 2 (ověřte). Pak platí A−1 = −2 1 3 2 −1 2 . Můžeme ještě ověřit, že A−1 A = −2 1 3 2 −1 2 1 2 3 4 = 1 0 0 1 = I2. Některé matice však inverzní matici nemají; o tom se můžeme přesvědčit v následujícím příkladě. Příklad 1.41 Buď A = 1 2 2 4 . Abychom nalezli A−1 , klademe opět A−1 = a b c d . Maticový a tenzorový počet 40 Přitom chceme aby platilo AA−1 = 1 2 2 4 a b c d = I2 = 1 0 0 1 . Pak ovšem a + 2c b + 2d 2a + 4c 2b + 4d = 1 0 0 1 , odkud dostáváme rovnice a + 2c = 1 2a + 4c = 0 b + 2d = 0 2b 4d = 1. Tato soustava lineárních rovnic nemá řešení (ověřte např. podle Věty 1.12), odkud plyne, že k matici A neexistuje inverzní matice. Když si všimneme podrobněji matic v předchozích příkladech a budeme zkoumat, co mají společného ty matice, k nimž inverzní matice existuje, můžeme si všimnout, že jsou všechny regulární. Přirozeně tak vzniká hypotéza, že regularita matice je vhodným kritériem existence inverzní matice. Následující věta ukazuje, že je tato hypotéza správná. Věta 1.15 Čtvercová matice je regulární, právě když má inverzní matici. Důkaz. Uvažujme maticovou rovnici AX = In, (1.24) kde A je regulární matice a X neznámá čtvercová matice řádu n. Označíme-li X = ¯x1 ¯x2 . . . ¯xn , I = ¯i1 ¯i2 . . . ¯in , můžeme přepsat rovnici (1.24) do tvaru A¯x1 = ¯i1, A¯x2 = ¯i2, . . . , A¯xn = ¯in. Každá z těchto n soustav má stejnou matici soustavy A a protože je A regulární, všechny tyto soustavy mají jediné řešení podle Věty 1.14. Tedy také maticová rovnice (1.24) má jediné řešení. Zbývá ukázat, že také XA = In. Záměnou řádků za sloupce lze dokázat, že existuje čtvercová matice řádu n, že Y A = In. Pak Y = Y In = Y AX = InX = X. Tedy XA = In a proto je X inverzní k A. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 41 Nechť A má inverzní matici C. Pak CA = In. Je-li ¯x řešení rovnice A¯x = 0, lze psát ¯x = In¯x = CA¯x = C0 = 0, takže soustava A¯x = 0 má jediné řešení ¯x = 0. Podle Věty (1.13) je A regulární matice. Poznamenejme jen, že abychom ověřili, že matice A, Y jsou navzájem inverzní, stačí spočítat jeden ze součinů AY , Y A. Když totiž Y A = In, pak podle druhé části důkazu předchozí věty máme A regulární. Pak podle první části důkazu A má zprava inverzní matici X a platí X = Y . Důkaz předchozí věty poskytuje návod, jak počítat inverzní matice efektivně pomocí Gaussovy eliminace. To ilustrujeme na následujícím příkladě. Příklad 1.42 Nechť A =   1 1 1 0 2 3 5 5 1   . Inverzní matici k matici A najdeme převedením matice (A|I3) na redukovaný schodovitý tvar. Pokud inverzní matice existuje, redukovaný schodovitý tvar této matice bude (I3|A−1 ). V případě, že na levé straně od svislé čáry nevyjde v redukovaném schodovitém tvaru jednotková matice, inverzní matice neexistuje. Platí (proveďte podrobný výpočet jako cvičení) (A|I3) =   1 1 1 | 1 0 0 0 2 3 | 0 1 0 5 5 1 | 0 0 1   ∼ · · · ∼   1 0 0 | 13 8 −1 2 −1 8 0 1 0 | −15 8 1 2 3 8 0 0 1 | 5 4 0 −1 4   = (I3|A−1 ). Inverzní matice k A existuje a platí A−1 =   13 8 −1 2 −1 8 −15 8 1 2 3 8 5 4 0 −1 4   . Příklad 1.43 Buď A =   1 2 −3 1 −2 1 5 −2 −3   . Platí (proveďte podrobný výpočet jako cvičení) (A|I3) =   1 2 −3 | 1 0 0 1 −2 1 | 0 1 0 5 −2 −3 | 0 0 1   ∼ · · · ∼   1 2 −3 | 1 0 0 0 −4 4 | −1 1 0 0 0 0 | −2 −3 1   . Od tohoto kroku je zřejmé, že matici na levé straně na jednotkovou matici upravit nelze, protože její hodnost (a také hodnost matice A) je pouze 2. Tedy inverzní matice k matici A neexistuje. Maticový a tenzorový počet 42 1.5 Klíčové myšlenky kapitoly • Matice sčítáme po složkách. Aby byl součet definován, musí být sčítané matice stejného typu. Sčítání matic má mnohé podobné vlastnosti, jako sčítání reálných nebo komplexních čísel a je komutativní. • Matice násobíme číslem po složkách. • Pro součin dvou matic musí být násobené matice vhodného typu. Násobení matic je asociativní, distribuuje se sčítáním, ale není komutativní. • Matice reprezentuje koeficienty soustavy lineárních rovnic. Není nutné přepisovat celé rovnice, stačí pracovat s koeficienty. • Složitější soustavu rovnic (reprezentovanou rozšířenou maticí) převádíme pomocí elementárních řádkových úprav na jednodušší soustavu, která má stejné řešení. To nakonec z výsledné soustavy, jejíž matice má redukovaný schodovitý tvar, snadno přečteme. • Řádková (sloupcová) hodnost matice vyjadřuje maximální počet lineárně nezávislých řádků (sloupců). Řádková i sloupcová hodnost matice si jsou rovny. • Výpočet inverzní matice k matici řádu n Gaussovou eliminací je ekvivalentní řešení n soustav lineárních rovnic o n neznámých se stejnou maticí soustavy a n (obecně různými) pravými stranami. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 43 1.6 Cvičení N 1. Jsou dány matice A = 1 2 3 2 1 4 , B =   1 0 2 1 3 2   , C =   3 −1 3 4 1 5 2 1 3   , D = 3 −2 2 4 , E =   2 −4 5 0 1 4 3 2 1   , F = −4 5 2 3 Spočítejte A(BD), (AB)D, A(C + E), AC + AE, DF + AB. Výsledek:A(BD) = (AB)D = 58 4 66 4 , A(C + E) = AC + AE = 28 8 38 34 4 41 , DF + AB = −2 17 16 31 . . 2. Řešte soustavu lineárních rovnic: x + y + 2z + 3w = 13 x − 2y + z + w = 8 3x + y + z − w = 1 Výsledek: x = −2 + r, y = −1, z = 8 − 2r, w = r, r ∈ R . 3. Řešte soustavu lineárních rovnic: x + y + z = 1 x + y − 2z = 3 2x + y + z = 2 Výsledek: x = 1, y = 2 3 , z = −2 3 . 4. Řešte soustavu lineárních rovnic: 2x + y + z − 2w = 1 3x − 2y + z − 6w = −2 x + y − z − w = −1 6x + z − 9w = −2 5x − y + 2z − 8w = 3 Výsledek: Nemá řešení. . Maticový a tenzorový počet 44 5. Řešte soustavu lineárních rovnic: x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x4 = 0 x1 + 2x2 + x3 = 0 Výsledek: x1 = −r, x2 = r, x3 = −r, x4 = r, r ∈ R . 6. Řešte soustavu lineárních rovnic: x1 + x2 + 2x3 = −1 x1 − 2x2 + x3 = −5 3x1 + x2 + x3 = 3 Výsledek: x1 = 1, x2 = 2, x3 = −2 . 7. Řešte soustavu lineárních rovnic se zadanou rozšířenou maticí soustavy:   1 1 1 | 0 1 1 0 | 3 0 1 1 | 1   Výsledek: x1 = −1, x2 = 4, x3 = −3 . 8. Řešte soustavu lineárních rovnic se zadanou rozšířenou maticí soustavy:     1 2 3 | 0 1 1 1 | 0 1 1 2 | 0 1 3 3 | 0     Výsledek: x1 = x2 = x3 = 0 . 9. Řešte soustavu lineárních rovnic se zadanou rozšířenou maticí soustavy:   1 2 3 1 | 8 1 3 0 1 | 7 1 0 2 1 | 3   Výsledek: x1 = 1 − r, x2 = 2, x3 = 1, x4 = r, r ∈ R . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 45 10. Řešte soustavu lineárních rovnic se zadanou rozšířenou maticí soustavy:     1 −2 3 | 4 2 −1 −3 | 5 3 0 1 | 2 3 −3 0 | 7     Výsledek: Nemá řešení. . 11. Najděte všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které výsledná soustava lineárních rovnic (a)nemá řešení, (b) má jediné řešení, (c) má nekonečně mnoho řešení. x + y − z = 2 2x + 3y + z = 3 x + y + (a2 − 5)z = a Výsledek: (a) a = −2, (b) a = ±2, (c) a = 2 . 12. Najděte všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které výsledná soustava lineárních rovnic (a)nemá řešení, (b) má jediné řešení, (c) má nekonečně mnoho řešení. x + y + z = 2 2x + 3y + z = 3 x + y + (a2 − 5)z = a Výsledek: (a) a = ± √ 6, (b) a = ± √ 6, (c) Tento případ nikdy nenastane. . 13. K dané matici najděte metodou Gaussovy eliminace matici inverzní: A =   1 2 3 1 1 2 0 1 2   Výsledek: A−1 =   0 1 −1 2 −2 −1 −1 1 1   . 14. K dané matici najděte metodou Gaussovy eliminace matici inverzní: A =     1 1 1 1 1 2 −1 2 1 −1 2 1 1 3 3 2     Maticový a tenzorový počet 46 Výsledek: A−1 =     7 3 −1 3 −1 3 −2 3 4 9 −1 9 −4 9 1 9 −1 9 −2 9 1 9 2 9 −5 3 2 3 2 3 1 3     . 15. K dané matici najděte metodou Gaussovy eliminace matici inverzní: A =     1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 −1 1 5 9 1 6     Výsledek: A−1 neexistuje, matice A je singulární. . 16. K dané matici najděte metodou Gaussovy eliminace matici inverzní: A =   1 2 1 1 3 2 1 0 1   Výsledek: A−1 =   3 2 −1 1 2 1 2 0 −1 2 −3 2 1 1 2   . 17. K dané matici najděte metodou Gaussovy eliminace matici inverzní: A =   3 1 2 2 1 2 1 2 2   Výsledek: A−1 =   1 −1 0 1 −2 1 −3 2 5 2 −1 2   . 18. Zjistěte hodnost matice: A =   1 2 3 2 1 3 1 −5 −2 1 7 8 −1 2 5   Výsledek: h(A) = 3 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 47 19. Zjistěte hodnost matice: A =   1 2 3 2 1 0 5 4 0 −1 2 −1 2 4 3   Výsledek: h(A) = 2 . 20. Zjistěte hodnost matice: A =       1 2 −1 3 1 0 1 −3 2 3 2 3 1 4 −1 −1 2 2 2 −5 3 1 −1 2 4       Výsledek: h(A) = 3 . 21. Zjistěte hodnost matice: A =       1 3 2 0 0 1 2 1 −5 1 2 0 3 2 5 1 −2 1 5 8 9 1 −2 2 9 9 4 2 0 2       Výsledek: h(A) = 5 . Maticový a tenzorový počet 48 1.7 Cvičení M 1. Jsou dány matice A =   1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6   , B = 5 −2 , C = 4 5 4 9 4 1 2 3 . Pomocí Matlabu spočítejte (pokud je daný výraz definován): A ∗ C, A ∗ B, A + C′ , B ∗ A − C′ ∗ A, (2 ∗ C − 6 ∗ A′ ) ∗ B′ , A ∗ C − C ∗ A, A ∗ A′ + C′ ∗ C. 2. Je dána matice A =   0 0 1 1 0 0 0 1 0   . Najděte s pomocí Matlabu nejmenší takové k ∈ N, pro které Ak = I3. 3. Je dána matice A =     0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0     . Najděte s pomocí Matlabu nejmenší takové k ∈ N, k > 1, pro které Ak = A. 5. Je dána matice A =   1 −1 0 0 1 −1 −1 0 1   Pomocí procedury polyvalm v systému Matlab spočítejte následující maticové polynomy: A4 − A3 + A2 + 2I3, A3 − 3A2 + 3A. 6. Je dána matice A =   0.1 0.3 0.6 0.2 0.2 0.6 0.3 0.3 0.4   Pomocí Matlabu spočítejte následující výrazy: (a) (A2 − 7A)(A + 3I3); (b) (A − I3)2 + (A3 + A); (c) Odhadněte, zda a k jaké matici konverguje posloupnost A, A2 , A3 ,. . . . 7. Najděte redukovaný schodovitý tvar matice A =     4 2 2 −3 1 4 1 0 3 5 −1 5     Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 49 pomocí procedury rref systému Matlab. V následujících úlohách zjistěte pomocí Matlabu, zda je matice A regulární nebo singulární a určete její hodnost. Můžete použít například procedury rref. 8. A = 1 2 −2 1 9. A =   1 2 3 4 5 6 7 8 9   10. A =   1 2 3 4 5 6 7 8 0   11. A =   1 2 1 0 1 2 1 1 −1   V následujících úlohách použijte rref k nalezení inverzní matice k matici A. 12. A = 1 3 1 2 13. A = 2 1 2 3 14. A =   1 1 2 2 1 1 1 2 1   15. A =   1 −1 2 0 2 1 1 0 0   Maticový a tenzorový počet 50 1.8 Kontrolní otázky 1. Uveďte příklad dvou čtvercových matic A, B, pro které AB = BA. 2. Uveďte příklad matice A, pro kterou A = AT . 3. Uveďte příklad matice A, pro kterou A = A∗ . 4. Existuje reálná matice, jejíž řádková a sloupcová hodnost se liší? 5. Jaký je vztah mezi řádkovou hodností matice a řádkovou hodností jejího redukovaného schodovitého tvaru? 6. Matice A řádu n má inverzní matici A−1 . Vyjádřete hodnost matice A−1 pomocí hodnosti matice A. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 51 2 Determinanty Obsahem této kapitoly je důležitá charakteristika čtvercových matic, nazývaná determi- nant. Maticový a tenzorový počet 52 Nechť Nn = {1, 2, . . ., n}. Libovolná n-tice (i1, i2, . . ., in) tvořená čísly ik ∈ Nn, v níž se žádná dvě čísla neopakují (a tedy se každé z Nn vyskytuje, a to právě jednou) se nazývá permutace množiny Nn. Není těžké odvodit, že těchto permutací je celkem n! (pokuste se o to jako cvičení!). Je-li σ = (i1, i2, . . . , in) permutace množiny Nn, říkáme, že σ má inverzi (ir, is), pokud r < s a ir > is. Inverze dané permutace je tedy každá dvojice čísel, které se v permutaci vyskytují, přičemž jejich vzájemné pořadí se v permutaci neshoduje s jejich přirozeným uspořádáním podle velikosti (tj. je právě opačné). Příklad 2.1 Množina N3 = {1, 2, 3} má celkem 3! = 6 permutací. Permutace (1, 2, 3) nemá inverzi, permutace (3, 1, 2) má dvě inverze (3, 1) a (3, 2), permutace (2, 3, 1) má dvě inverze (2, 1) a (3, 1), permutace (3, 2, 1) má tři inverze (3, 1), (3, 2) a (2, 1), permutace (2, 1, 3) má jednu inverzi (2, 1) a permutace (1, 3, 2) má jedinou inverzi (3, 2). Počet inverzí dané permutace σ = (i1, i2, . . . , in) se nazývá parita permutace σ a značí se π(σ). Permutace σ se nazývá lichá (resp. sudá), je-li π(σ) liché (resp. sudé) číslo. Lze ukázat, že změníme-li v permutaci pořadí dvou sousedních prvků, parita permutace se změní o ±1. Příklad 2.2 Platí π(1, 2, 3) = 0, π(3, 1, 2) = 2, π(2, 3, 1) = 2, π(3, 2, 1) = 3, π(2, 1, 3) = 1 a π(1, 3, 2) = 1. Tedy permutace (1, 2, 3), (3, 1, 2) a (2, 3, 1) jsou sudé, kdežto permutace (3, 2, 1), (2, 1, 3) a (1, 3, 2) jsou liché. Nechť A je matice řádu n. Determinantem matice A = (aij) nazýváme číslo det A = |A| = (−1)π(i1,i2,...,in) a1i1 a2i2 . . . anin , (2.1) kde se sčítá přes všechny permutace (i1, i2, . . . , in) množiny Nn = {1, 2, . . ., n}. Příklad 2.3 Nechť A = a11 a12 a21 a22 . Existují dvě permutace množiny N2 = {1, 2}, a to (1, 2) a (2, 1). Pak det A = (−1)π(1,2) a11a22 + (−1)π(2,1) a12a21 = a11a22 − a12a21. Poznamenejme, že tomuto způsobu výpočtu determinantu matice řádu 2 se říká křížové pravidlo, a to proto, že spojnice prvků, které se v matici navzájem násobí vytvoří tvar kříže. Existuje rovněž podobná, avšak o něco složitější pomůcka pro výpočet determinantu řádu 3, zvaná Sarrusovo pravidlo, které uvádíme v následujícím příkladě. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 53 Příklad 2.4 Nechť A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   S použitím Příkladu 2.2 můžeme psát det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32. V čem spočívá Sarrusovo pravidlo? Člen +a11a22a33 je součinem prvků v hlavní diagonále. Další dva členy, +a12a23a31 a +a13a21a32, jsou tvořeny součinem prvků, které tvoří v matici dva trojúhelníky, jejichž základna (tj. jedna ze stran) je rovnoběžná s hlavní diagonálou. Před těmito třemi členy stojí vždy kladné znaménko v rozvoji determinantu. Zbývající tři členy rozvoje jsou se záporným znaménkem. Snadno je odvodíme jako součin prvků v druhé, tzv. vedlejší diagonále (člen −a13a22a31) a součiny prvků, ležících ve vrcholech trojúhelníků se základnou rovnoběžnou s vedlejší diagonálou (členy −a12a21a33 a −a11a23a32). Použijme obě pravidla na konkrétních číselných maticích. Příklad 2.5 Nejdříve křížové pravidlo: 1 2 3 4 = 1 · 4 − 3 · 2 = 4 − 6 = −2. Nyní si vyzkoušejme Sarrusovo pravidlo: 1 2 3 2 1 3 3 1 2 = 1 · 1 · 2 + 2 · 1 · 3 + 2 · 3 · 3 − 3 · 1 · 3 − 1 · 3 · 1 − 2 · 2 · 2 = = 2 + 6 + 18 − 9 − 3 − 8 = 2 + 6 + 18 − 9 − 3 − 8 = 6. Poznamenejme, že pro výpočet determinantů vyšších řádů neexistuje přiměřeně jednoduchá pomůcka, podobná křížovému nebo Sarrusovu pravidlu. Následující věta shrnuje některé vlastnosti determinantů. Věta 2.1 Nechť A, B jsou čtvercové matice řádu n. Pak platí: (i) det A = det AT . (ii) Nechť B vznikne z A vzájemnou výměnou dvou (od sebe různých) řádků. Pak det B = − det A. Maticový a tenzorový počet 54 (iii) Nechť B vznikne z A násobením jednoho řádku konstantou c. Pak det B = c det A. (iv) Nechť B vznikne z A přičtením násobku r-tého řádku k s-tému řádku pro r = s. Pak det B = det A. Důkaz předchozí věty vyplývá přímo z definice determinantu a faktu, že z každého sloupce a z každého řádku matice obsahuje term a1i1 a2i2 . . . anin právě jeden prvek. Podrobnosti důkazu vynecháváme. Podotkněme, že analogické tvrzení platí i pro sloupcové úpravy. Dále si můžeme všimnout, že pokud je matice A horní (resp. dolní) trojúhelníkovitá, tedy matice, která má pod (resp. nad) hlavní diagonálou samé nuly, platí det A = a11a22 . . . ann. Je tomu tak proto, že ostatní členy rozvoje determinantu obsahují v součinu nulový prvek. Horní trojúhelníkovitá matice je zároveň zvláštním případem matice ve schodovitém tvaru. Příklad 2.6 Matice A =   3 2 1 0 −2 5 0 0 2   je horní trojúhelníkovitá matice. Platí det A = 3 · (−2) · 2 = −12. Příklad 2.7 Matice A =   3 0 0 −1 1 0 2 1 2   je dolní trojúhelníkovitá matice. Platí det A = 3 · 1 · 2 = 6. Věta 2.1 umožňuje počítat efektivně determinanty vyšších řádů pomocí Gaussovy eliminace. Během elementárních řádkových úprav se hodnota determinantu jistým, známým a definovaným způsobem mění, takže když tuto změnu adekvátně započteme, můžeme determinant původní matice odvodit z jejího schodovitého tvaru. Budeme to ilustrovat na následujícím příkladě. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 55 Příklad 2.8 Platí 4 3 2 3 −2 5 2 4 6 = 2 · 4 3 2 3 −2 5 1 2 3 = −2 · 1 2 3 3 −2 5 4 3 2 = −2 · 1 2 3 0 −8 −4 4 3 2 = = −2 · 1 2 3 0 −8 −4 0 −5 −10 = −2 · 4 · 1 2 3 0 −2 −1 0 −5 −10 = −2 · 4 · 5 · 1 2 3 0 −2 −1 0 −1 −2 = = −2 · 4 · 5 · 1 2 3 0 −2 −1 0 0 −3 2 = −2 · 4 · 5 · 1 · (−2) · (− 3 2 ) = −120. Věta 2.2 Čtvercová matice A řádu n je regulární, právě když det A = 0. Důkaz. Je-li B = (bij) schodovitý tvar matice A, z Věty 2.1 plyne det A = c · det B, kde c = 0 je vhodná konstanta. Avšak B je zároveň horní trojúhelníkovitá matice s diagonálními prvky b11, b22, . . . , bnn, a tedy det A = c · b11 · b22 · · · · · bnn. Je-li det A = 0, existuje i ∈ {1, 2, . . ., n} takové, že bii = 0. Z vlastností matice ve schodovitém tvaru plyne také bi+1,i+1 = bi+2,i+2 = · · · = bnn = 0. Tedy B má nulový poslední řádek, takže h(A) = h(B) < n. Pak ovšem A není regulární. Naopak, pokud det A = 0, jsou všechny diagonální prvky matice B nenulové, takže h(A) = h(B) = n. Tedy matice A je regulární. Než přistoupíme k dalšímu výkladu, musíme provést některá označení. Označme εi1i2...in =    1, je-li (i1, i2, . . . , in) sudá permutace množiny Nn, −1, je-li (i1, i2, . . . , in) lichá permutace množiny Nn, 0, není-li (i1, i2, . . . , in) permutace množiny Nn. Maticový a tenzorový počet 56 Dále označme i = (i1, i2, . . ., in) pro libovolnou n-tici prvků i1, i2, . . ., in ∈ Nn (tedy ne nutně permutaci) a nazvěme tuto n-tici multiindexem. Definiční vztah (7) determinantu matice A = (aij) můžeme pak přepsat do tvaru det A = i εi1i2...in a1i1 a2i2 . . . anin , (2.2) přičemž narozdíl od (7) sčítáme přes všechny hodnoty multiindexu i, tedy nejen přes permutace. Term εi1i2...in se nazývá Levi-Civitův (zobecněný) symbol a jeho použití je poměrně časté např. v teoretické fyzice. Důležitou a praktickou pomůckou ve vyjadřování vztahů mezi maticemi je také tzv. Kroneckerovo delta, dané vztahem δij = 1, pro i = j, 0, pro i = j. Platí tedy například In = δij. Věta 2.3 Pro čtvercové matice A, B řádu n platí det(A · B) = det A · det B. Důkaz. Nechť A = (aij), B = (bij) a C = (cij) = AB. Platí det A · det B = i εi1i2...in a1i1 a2i2 . . . anin j εj1j2...jn b1j1 b2j2 . . . bnjn = = i εi1i2...in a1i1 a2i2 . . . anin j εj1j2...jn b1j1 b2j2 . . . bnjn = = i εi1i2...in a1i1 a2i2 . . . anin εi1i2...in j εj1j2...jn bi1j1 bi2j2 . . . binjn = = i a1i1 a2i2 . . . anin j εj1j2...jn bi1j1 bi2j2 . . . binjn = = j εj1j2...jn i a1i1 a2i2 . . . anin bi1j1 bi2j2 . . . binjn = = j εj1j2...jn i1 a1i1 bi1j1 · i2 a2i2 bi2jn · · · · · in a1in binjn = = j εj1j2...jn c1j1 c2j2 . . . cnjn = det C = det(AB). Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 57 Nechť A = (aij) je čtvercová matice řádu n. Buď Mij podmatice matice A typu (n − 1) × (n − 1) vzniklá odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Determinant det Mij se nazývá minor nebo také poddeterminant příslušný prvku aij v matici A. Číslo Aij = (−1)i+j det Mij se nazývá kofaktor nebo-li algebraický doplněk prvku aij v matici A. Věta 2.4 Pro čtvercovou matici A = (aij) řádu n platí: (i) det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin (ii) det A = a1jA1j + a2jA2j + · · · + anjAnj Rovnost (i) se nazývá Laplaceovým rozvojem determinantu matice A podle i-tého řádku, (ii) se nazývá Laplaceovým rozvojem determinantu matice A podle j-tého sloupce. Důkaz. Odvodíme vztah pro rozvoj det A podle prvního řádku, ostatní rozvoje jsou analogické. Platí det A = i εi1i2...in a1i1 a2i2 . . . anin = i1 i2 · · · in εi1i2...in a1i1 a2i2 . . . anin = i1 a1i1 i2 . . . · · · in εi1i2...in a2i2 a3i3 . . . anin = i1 a1i1 (−1)i1+1 i2 · · · in εi2i3...in a2i2 a3i3 . . . anin = = i1 a1i1 (−1)i1+1 M1i1 = i1 a1i1 A1i1 . Příklad 2.9 Abychom spočítali determinant matice A =     1 2 −3 4 −4 2 1 3 3 0 0 −3 2 0 −2 3     , Použijeme Laplaceova rozvoje podle třetího řádku. Tento postup je výhodný zejména proto, že třetí řádek matice A obsahuje několik nul, takže odpovídající členy rozvoje budou nulové a nemusíme je počítat. Tedy det A = 1 2 −3 4 −4 2 1 3 3 0 0 −3 2 0 −2 3 = (−1)3+1 · 3 · 2 −3 4 2 1 3 0 −2 3 + (−1)3+2 · 0 · 1 −3 4 −4 1 3 2 −2 3 + + (−1)3+3 · 0 · 1 2 4 −4 2 3 2 0 3 + (−1)3+4 · (−3) · 1 2 −3 −4 2 1 2 0 −2 = 3 · (6 + (−16) + 0− − 0 − (−12) − (−18)) + 3 · (−4 + 0 + 4 − (−12) − 0 − 16) = 3 · 20 + 3 · (−4) = = 60 − 12 = 48. Maticový a tenzorový počet 58 Pochopitelně, v předchozím příkladě jsme mohli dva vzniklé determinanty řádu 3 rozvinout v determinanty řádu 2 opět pomocí Laplaceova rozvoje, ovšem praktičtější bylo použití Sarrusova pravidla. Obecně můžeme říci, že výpočet determinantu Laplaceovým rozvojem bývá výhodný pro matice řádu nejvýše 4 až 5, pak náročnost výpočtu rychle narůstá. Pouze pro matice, které obsahují velké množství nulových položek (tzv. řídké matice) může být Laplaceův rozvoj výhodný i v případě vyššího řádu. Pro tzv. „ruční” výpočet, tj. bez použití výpočetní techniky, bývá nejefektivnější kombinovat více způsobů, např. pomocí Gaussovy eliminace získat matici, která obsahuje větší množství nul a pak tuto matici rozvinout podle řádků či sloupců s mnoha nulovými položkami. Nechť A = (aij) je čtvercová matice řádu n. Pak matici adj A =      A11 A21 . . . An1 A12 A22 . . . An2 ... ... ... A1n A2n . . . Ann      nazýváme maticí adjungovanou k matici A. Matice adjungovaná vznikne tedy z původní matice tak, že nahradíme každý prvek jeho algebraickým doplňkem v této matici, a pak vzniklou matici z algebraických doplňků transponujeme. Adjungovaná matice má řadu důležitých a zajímavých vlastností, z nichž jednu uvádí následující věta. Věta 2.5 Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak platí A · (adj A) = (det A) · In Důkaz. Nechť A = (aij). Podle Věty (2.4) platí ai1 ai2 . . . ain ·      Ai1 Ai2 ... Ain      = det A. Podobně, je-li B = (bij) matice, která vznikne z A tak, že i-tý řádek v A nahradíme j-tým pro i = j (a j-tý ponecháme, nenahrazujeme ho ničím), dostaneme analogicky bi1 bi2 . . . bin ·      Bi1 Bi2 ... Bin      = det B. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 59 Protože však B má dva stejné řádky, a to j-tý řádek na svém původním místě a také na místě, kde dříve byl i-tý řádek, je det B = 0. Pak ovšem platí ai1 ai2 . . . ain ·      Aj1 Aj2 ... Ajn      = δij · det A. Z předchozí věty ihned plyne, jak pomocí adjungované matice spočítat matici inverzní, pokud ovšem je původní matice regulární. Regularita matice A znamená, podle Věty 2.2, že det A = 0 a proto A−1 = adj A det A . Příklad 2.10 Nechť A =   3 −2 1 5 6 2 1 0 −3   Pak A11 = (−1)1+1 6 2 0 −3 = −18; A12 = (−1)1+2 5 2 1 −3 = 17; A13 = (−1)1+3 5 6 1 0 = −6; A21 = (−1)2+1 −2 1 0 −3 = −6; A22 = (−1)2+2 3 1 1 −3 = −10; A23 = (−1)2+3 3 −2 1 0 = −2; A31 = (−1)3+1 −2 1 6 2 = −10; A32 = (−1)3+2 3 1 5 2 = −1; A33 = (−1)3+3 3 −2 5 6 = 28. Potom adj A =   −18 −6 −10 17 −10 −1 −6 −2 28   . Maticový a tenzorový počet 60 Příklad 2.11 Uvažujme matici A z Příkladu 2.10. Pak platí A · adj A =   3 −2 1 5 6 2 1 0 −3   ·   −18 −6 −10 17 −10 −1 −6 −2 28   =   −94 0 0 0 −94 0 0 0 −94   = = −94   1 0 0 0 1 0 0 0 1   = −94 · I3. Přitom det A = 3 −2 1 5 6 2 1 0 −3 = −54 + 0 + (−4) − 6 − 0 − 30 = −94. Platí tedy A · adj A = (det A) · I3. Příklad 2.12 Vezměme opět matici A z Příkladu 2.10 a Příkladu 2.11. Potom platí A−1 = 1 det A adj A =   18 94 6 94 10 94 −17 94 10 94 1 94 6 94 2 94 −28 94   . Následující větě se říká Cramerovo pravidlo. Věta 2.6 Nechť A¯x = ¯b je soustava lineárních rovnic, A = (aij) regulární matice řádu n. Pak pro j ∈ {1, 2, . . ., n} je xj = det Aj det A , kde Aj je matice, která vznikne nahrazením j-tého sloupce matice A sloupcem pravých stran ¯b. Důkaz. Podle Věty 2.4 je det A = a1jA1j + a2jA2j + · · · + anjAnj. Protože matice Aj má, kromě j-tého sloupce, stejné prvky jako A, je také det Aj = A1jb1 + A2jb2 + · · · + Anjbn. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 61 Podle Věty 2.5 je A−1 = adj A det A , takže ¯x = A−1 · ¯b = 1 det A (adj A)¯b. Potom platí xj = 1 det A (A1jb1 + A2jb2 + · · · + Anjbn) = det Aj det A . Příklad 2.13 Uvažujme soustavu lineárních rovnic −2x1 + 3x2 − x3 = 1 x1 + 2x2 − x3 = 4 −2x1 − x2 + x3 = −3. Matice této soustavy je A =   −2 3 −1 1 2 −1 −2 −1 1   a sloupec pravých stran je ¯b =   1 4 −3   . Pak det A = −2 3 −1 1 2 −1 −2 −1 1 = −2; tedy matice A je regulární a lze proto k řešení soustavy použít Větu 2.6 (tj. Cramerovo pravidlo). Platí tedy x1 = 1 3 −1 4 2 −1 −3 −1 1 |A| = −4 −2 = 2; x2 = −2 1 −1 1 4 −1 −2 −3 1 |A| = −6 −2 = 3; x3 = −2 3 1 1 2 4 −2 −1 −3 |A| = −8 −2 = 4. Maticový a tenzorový počet 62 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 63 2.1 Klíčové myšlenky kapitoly • K výpočtu determinantu řádu 2 slouží křížové pravidlo. • K výpočtu determinantu řádu 3 slouží Sarrusovo pravidlo. • Elementární řádkové úpravy mohou měnit hodnotu determinantu, avšak známým, přesně definovaným způsobem, čehož při výpočtu využíváme. • Determinanty vyšších řádů převádíme na nižší (např. Laplaceovým rozvojem), nebo na determinanty matic, u nichž je výpočet snazší (např. horní trojúhelníkovitá či diagonální matice). • Principu Laplaceova rozvoje je využito i při výpočtu inverzní matice pomocí matice adjungované. Maticový a tenzorový počet 64 2.2 Cvičení N 1. K matici A =   1 0 −2 3 1 4 5 2 −3   spočítejte všechny kofaktory (algebraické doplňky) jejích prvků. Výsledek: A11 = −11, A12 = 29, A13 = 1, A21 = −4, A22 = 7, A23 = −2, A31 = 2, A32 = −10, A33 = 1. . 2. Jakoukoliv metodou nebo více metodami spočítejte determinant matice A =   1 2 3 −1 5 2 3 2 0   . Výsledek: det A = −43 . 3. Jakoukoliv metodou nebo více metodami spočítejte determinant matice A =     4 −4 2 1 1 2 0 3 2 0 3 4 0 −3 2 1     . Výsledek: det A = 75 . 4. Jakoukoliv metodou nebo více metodami spočítejte determinant matice A =     2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2     . Výsledek: det A = 5 . 5. Jakoukoliv metodou nebo více metodami spočítejte determinant matice A =     3 1 2 −1 2 0 3 −7 1 3 4 −5 0 −1 1 −5     . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 65 Výsledek: det A = 0 . 6. Jakoukoliv metodou nebo více metodami spočítejte determinant matice A =     2 1 −1 2 2 −3 −1 4 1 3 2 −3 1 −2 −1 1     . Výsledek: det A = 36 . 7. K matici A =   6 2 8 −3 4 1 4 −4 5   spočítejte adj A. Výsledek: adj A =   24 −42 −30 19 −2 −30 −4 32 30   . 8. Metodou adjungované matice spočítejte k matici A =   4 0 0 0 −3 0 0 0 2   matici inverzní. Výsledek: A−1 =   1 4 0 0 0 −1 3 0 0 0 1 2   . 9. Metodou adjungované matice spočítejte k matici A =   4 0 2 0 3 4 0 1 −2   matici inverzní. Výsledek: A−1 =   1 4 − 1 20 3 20 0 1 5 2 5 0 1 10 − 3 10   . 10. Metodou adjungované matice spočítejte k matici A =   4 2 2 0 1 2 1 0 3   matici inverzní. Výsledek: A−1 =   3 14 −3 7 1 7 1 7 5 7 −4 7 − 1 14 1 7 2 7   . Maticový a tenzorový počet 66 11. Řešte s pomocí Cramerova pravidla: 2x1 + 4x2 + 6x3 = 2 x1 + 2x3 = 0 2x1 + 3x2 − x3 = −5 Výsledek: x1 = −2, x2 = 0, x3 = 1 . 12. Řešte s pomocí Cramerova pravidla: x1 + x2 − x3 = −2 x1 − 4x2 + 2x3 = −1 x1 − x2 + x3 = 0 Výsledek: x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 67 2.3 Cvičení M V následujících úlohách použijte procedury cofactor systému Matlab k výpočtu determinantu matice A Laplaceovým rozvojem: 1. A =   1 5 0 2 −1 3 3 2 1  . 2. A =   4 0 −1 −2 2 −1 0 4 −3  . 3. A =     −1 2 0 0 2 −1 2 0 0 2 −1 2 0 0 2 −1    . 4. Pomocí procedury adjoint systému Matlab spočítejte k matici A =   4 0 2 0 3 4 0 1 −2   matici inverzní. Maticový a tenzorový počet 68 2.4 Kontrolní otázky 1. Uveďte přesnou definici determinantu. 2. Zdůvodněte elementárním způsobem, proč determinant matice s aspoň dvěma stejnými řádky je nulový. 3. Na základě svých zkušeností porovnejte výpočetní náročnost různých metod výpočtu determinantu a inverzní matice. 4. Matice A má inverzní matici A−1 . Vyjádřete det A−1 pomocí det A. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 69 3 Vektorové prostory V této kapitole dáme našim dosavadním poznatkům o maticích hlubší teoretický základ. Budeme se zabývat matematickou strukturou, která leží v pozadí většiny aplikací maticového počtu. Strukturou, jejíž vlastnosti umožňují, aby se lineární vztahy chovaly tak, jak očekáváme a aby použití maticového počtu bylo smysluplné. Maticový a tenzorový počet 70 Buď G množina, ⋄ operace na G, splňující podmínky: (i) Pro každé a, b ∈ G je a ⋄ b ∈ G. (ii) Pro všechna a, b, c ∈ G je (a ⋄ b) ⋄ c = a ⋄ (b ⋄ c). (iii) Existuje e ∈ G, že pro každé a ∈ G je e ⋄ a = a = a ⋄ e. (iv) Pro každé a ∈ G existuje b ∈ G, že a ⋄ b = e = b ⋄ a. Pak se uspořádaná dvojice (G, ⋄) nazývá grupa. Množina G se nazývá nosnou množinou této grupy, a v méně přesných úvahách se s ní ztotožňuje. Prvek e se nazývá jednotkovým prvkem nebo někdy také neutrálním prvkem grupy (G, ⋄) podle toho, zda na operaci ⋄ pohlížíme více jako na zobecněné násobení nebo sčítání čísel. V jednom případě hovoříme o multiplikativní, ve druhém případě o aditivní symbolice. Prvek b z podmínky (iv) se nazývá inverzní (v případě multiplikativního názvosloví) nebo opačný (v případě aditivního názvosloví) k prvku a. Grupa (G, ⋄) se nazývá komutativní nebo také abelovská, platí-li navíc také pátá podmínka: (v) Pro každé a, b ∈ G je a ⋄ b = b ⋄ a. Příklad 3.1 Některé příklady grup: (R, +); (R {0}, ·); (Z, +); tzv. triviální grupa ({e}, ⋄), jejíž nosná množina má jediný prvek, takže grupovou operaci lze definovat jediným možným způsobem; (Sn, ◦), kde Sn je množina všech permutací n-prvkové množiny Nn a ◦ je operace skládání zobrazení; množina všech reálných matic typu m × n s operací sčítání, množina všech regulárních čtvercových matic řádu n s operací násobení a další. Buď (V, ⊕) komutativní grupa a nechť ke každému γ ∈ R a w ∈ V existuje prvek γ ⊙ w ∈ V tak, že pro libovolné α, β ∈ R, u, v ∈ V platí (i) α ⊙ (u ⊕ v) = (α ⊙ u) ⊕ (α ⊙ v), (ii) (α + β)⊙ = (α ⊙ u) ⊕ (β ⊙ u), (iii) α ⊙ (β ⊙ u) = (α · β) ⊙ u, (iv) 1 ⊙ u = u. Pak se uspořádaná trojice (V, ⊕, ⊙) nazývá vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zaměníme-li množinu R množinou komplexních čísel C, dostáváme analogickou definici vektorového prostoru nad tělesem komplexních čísel. Prvky množiny V se nazývají vektory. Neutrální prvek grupy (V, ⊕) se nazývá nulový vektor. Nulový vektor obvykle značíme o nebo také 0. Opačný prvek k vektoru v ∈ V značíme −v a nazýváme jej opačný vektor. Prvky číselného tělesa, nad nímž je daný vektorový Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 71 prostor zkonstruován, se nazývají skaláry. Zdůrazňujeme, že operace ⊕ : V × V → V , ⊙ : R × V → V jsou úplně jiné operace, než + : R × R → R a · : R × R → R. Operace ⊕ má totiž na vstupu dva vektory, jimž přiřazuje vektor třetí, zatímco + vytváří ze dvou reálných čísel jisté reálné číslo. Podobně, na vstupu operace ⊙ je reálné číslo a vektor, výstupem je vektor. Naopak, · vytváří ze dvou reálných čísel opět jisté reálné číslo. Pokud však nemůže dojít k omylu a z kontextu je zřejmé, které operace aktuálně používáme, právě kvůli platnosti předchozí věty si můžeme dovolit značit oba typy operací stejnými znaménky (a často tak opravdu, pouze kvůli našemu pohodlí, činíme). Pokud jde o prioritu operací ⊕ a ⊙, držíme se obvyklých zvyklostí pro násobení a sčítání, v případě nejasností raději používáme závorky. Příklad 3.2 Některé příklady vektorových prostorů: pro libovolné n = 1, 2, . . . je (Rn , +, ·) vektorový prostor nad R, (Cn , +, ·) je vektorový prostor nad C i nad R. Množina matic typu m × n s operací sčítání matic a operací násobení matice komplexním nebo reálným číslem je vektorový prostor nad C, případně nad R. Množina (Pn, +, ·) všech polynomů (mnohočlenů) stupně n v proměnné x nad R s operací sčítání polynomů a násobení reálným číslem nebo množina (C a,b , +, ·) spojitých funkcí na daném reálném intervalu a, b ⊆ R s operací sčítání funkcí a násobení funkcí reálným číslem jsou vektorové prostory nad R. Můžeme tedy shrnout, že vektory mohou být dosti abstraktní objekty, prvky určité množiny, na níž jsou definovány vhodné operace a nemusí to tedy být pouze uspořádané n-tice reálných nebo komplexních čísel. Později uvidíme, že přesto mohou být některé abstraktní vektory jako n-tice reálných nebo komplexních čísel reprezentovány. Věta 3.1 Nechť (V, ⊕, ⊙) je vektorový prostor. Pak platí: (i) 0 ⊙ u = o pro každý vektor u ∈ V ; (ii) α ⊙ o = o pro každý skalár α ∈ R; (iii) jestliže α ⊙ u = o, pak buď α = 0 nebo u = o; (iv) (−1) ⊙ u = −u pro každý vektor u ∈ V . Důkaz. Ukážeme nejprve (i). Platí o = 0 ⊙ u ⊕ (−0 ⊙ u) = (0 + 0) ⊙ u ⊕ (−0 ⊙ u) = 0 ⊙ u ⊕ 0 ⊙ u ⊕ (−0 ⊙ u) = 0 ⊙ u ⊕ o = 0 ⊙ u. Dokažme (ii). Pokud α = 0, není již co dokazovat, stačí použít (i). Nechť tedy α = 0. Platí α ⊙ o = α ⊙ o ⊕ o = α ⊙ o ⊕ 1 ⊙ o = α ⊙ o ⊕ (α · 1 α ) ⊙ o = α ⊙ o ⊕ α ⊙ ( 1 α ⊙ o) = α ⊙ (o ⊕ 1 α ⊙ o) = α ⊙ ( 1 α ⊙ o) = (α · 1 α ) ⊙ o = 1 ⊙ o = o. Dokážeme (iii). Nechť α ⊙ u = o a α = 0. Pak u = 1 ⊙ u = ( 1 α · α) ⊙ u = 1 α ⊙ (α ⊙ u) = 1 α ⊙ o = o podle (ii). Maticový a tenzorový počet 72 Nakonec dokažme (iv). Platí u⊕(−1)⊙u = 1⊙u⊕(−1)⊙u = (1−1)⊙u = 0⊙u = o podle (i). Pak −u = −u ⊕ o = −u ⊕ u ⊕ (−1) ⊙ u = o ⊕ (−1) ⊙ u = (−1) ⊙ u. Nechť (V, ⊕, ⊙) je vektorový prostor, W ⊆ V podmnožina množiny V . Je-li možné zúžit definiční obor operací ⊕, ⊙ tak, že (s těmito zúženými operacemi) je (W, ⊕, ⊙) opět vektorový prostor, nazývá se (W, ⊕, ⊙) vektorovým podprostorem prostoru (V, ⊕, ⊙). Příklad 3.3 Je-li (V, ⊕, ⊙) vektorový prostor, pak ({o}, ⊕, ⊙) je (tzv. triviální) vektorový podprostor prostoru (V, ⊕, ⊙). Operace ⊕ a ⊙ zde fungují takto: o ⊕ o = o, α ⊙ o = o, pro libovolné α ∈ R. Dále, prostor (V, ⊕, ⊙) je sám svým podprostorem. Příklad 3.4 Uvažujme množiny P2(x) = {ax2 +bx+c| a, b, c ∈ R}, P1(x) = {px+q| p, q ∈ R}, a P0(x) = {r|r ∈ R}. Všechny tyto tři množiny uvažujeme s přirozeným způsobem definovaným sčítáním funkcí a násobení funkce reálným číslem. Pak P2(x) je vektorový prostor nad R a P1(x), P0(x) jsou jeho podprostory. Kromě toho, P0(x) je vektorový podprostor prostoru P1(x). Příklad 3.5 Uvažujme R2 s obvyklým sčítáním dvojic reálných čísel po složkách a násobením dvojice reálným číslem tak, že se vynásobí každá složka. Pak R2 je vektorový prostor. Libovolná přímka, procházející počátkem je vektorovým podprostorem (podpořte důkazem), avšak přímky, které počátkem neprochází, vektorovým podprostorem v R2 být nemohou. Důvod je prostý – neobsahují nulový vektor. Podobně není vektorovým podprostorem v R2 žádná kružnice (i taková, která počátkem prochází), ani například množina Z × Z. Zdůvodněte. Věta 3.2 Buď (V, ⊕, ⊙) je vektorový prostor, neprázdná W ⊆ V množina. Pak (W, ⊕, ⊙) je vektorovým podprostorem prostoru (V, ⊕, ⊙), právě když platí následující podmínky: (i) Pro každé u, v ∈ W je u ⊕ v ∈ W. (ii) Pro každé α ∈ R a u ∈ W je α ⊙ W. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 73 Důkaz. Je-li (W, ⊕, ⊙) vektorový podprostor (V, ⊕, ⊙), především je vektorovým prostorem a jako takový musí splňovat (i) i (ii) přesně podle definice. Naopak, nechť (W, ⊕, ⊙) splňuje obě podmínky (i) a (ii). Ukážeme nejdříve, že (V, ⊕) je komutativní grupa. Podle (i) je operace ⊕ uzavřená na V . Dále, asociativní i komutativní zákony jsou na množině W splněny, protože jsou splněny i na větší množině V . Musíme pouze dokázat, že W obsahuje nulový vektor, tj. neutrální prvek ve struktuře (W, ⊕) a že všechny vektory z W mají ve W i k sobě opačné prvky. Podle předpokladu, W = ∅ a tedy existuje w ∈ W. Pak ovšem, podle (ii), je o = 0 ⊙ w ∈ W. Podobně, je-li v ∈ W, podle (ii) také −v = (−1) ⊙ v ∈ W. Tedy (W, ⊕) je komutativní grupa. Zbývající axiómy jsou na W splněny, protože platí ve větší množině. Příklad 3.6 Množina všech řešení soustavy reálných lineárních homogenních rovnic o n reálných neznámých je vektorový podprostor prostoru (Rn , +, ·). Vskutku, když ¯y, ¯z jsou dvě řešení soustavy A¯x = 0, platí také A(¯y + ¯z) = 0 a A(α¯y) pro libovolné α ∈ R. Podle Věty 3.2 je množina všech řešení dané soustavy vektorový podprostor. Někdy je užitečná i modifikovaná varianta předchozí věty. Věta 3.3 Nechť (V, ⊕, ⊙) je vektorový prostor, W ⊆ V neprázdná množina. Pak (W, ⊕, ⊙) je vektorovým podprostorem prostoru (V, ⊕, ⊙), právě když pro každé α, β ∈ R (resp. α, β ∈ C) a každé u, v ∈ W platí (α ⊙ u) ⊕ (β ⊙ v) ∈ W. (3.1) Důkaz. Je-li (W, ⊕, ⊙) vektorový prostor, musí být operace ⊕ a ⊙ uzavřené na W, takže (3.1) musí platit. Naopak, když (3.1) platí, volbou α = β = 1 dostaneme podmínku (i) a volbou β = 0 podmínku (ii) z předchozí věty. Maticový a tenzorový počet 74 3.1 Báze a dimenze Nechť V je vektorový prostor. Vektory v1, v2, . . . , vk ∈ V se nazývají lineárně nezávislé, jestliže pro každé reálné (resp. komplexní) α1, α2, . . . , αk platí α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk = o =⇒ α1 = α2 = · · · = αk = 0. Maximální lineárně nezávislý systém vektorů ve V se nazývá báze. Později budeme schopni dokázat, že pokud v daném vektorovém prostoru V existuje báze s n prvky, pak i všechny ostatní báze ve V mají n prvků. Takový vektorový prostor se nazývá konečně rozměrný nebo-li konečně dimenzionální a počet prvků jeho báze se nazývá dimenze. Chceme-li explicitně vyjádřit dimenzi tohoto prostoru, hovoříme o n-rozměrném nebo-li n-dimenzionálním prostoru a píšeme dim V = n. Pokud nějaký vektorový prostor nemá konečnou bázi, říkáme, že je nekonečně rozměrný nebo-li nekonečně dimenzionální. Příklad 3.7 Vektorový prostor (R3 , +, ·) má například bázi tvořenou vektory e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), ale také i jinou bázi, tvořenou například vektory f1 = (1, 1, 1), f2 = (1, 2, 4), f3 = (1, 3, 9). Platí dim R3 = 3. Příklad 3.8 Vektorový prostor (C 0,1 , +, ·) všech spojitých funkcí na intervalu 0, 1 nemá žádnou konečnou bázi. Prostor (C 0,1 , +, ·) je nekonečně rozměrný. Až na výjimky budeme v tomto textu pracovat vždy s konečně rozměrnými vektorovými prostory. Věta 3.4 Buď (V, +, ·) konečně rozměrný vektorový prostor. Pak libovolný vektor ve V lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci (libovolné) báze ve V . Důkaz. Nechť e = e1 e2 . . . en je báze ve V , x ∈ V vektor. Z definice báze plyne, že systém {x, e1, e2, . . . , en} je lineárně závislý a tedy existují konstanty γ, α1, α2, . . . , αn takové, že γx + α1e1 + α2e2 + · · · + αnen = o, přičemž γ α1 . . . αn = 0 0 . . . 0 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 75 Pak ovšem γ = 0, neboť systém {e1, e2, . . . , en} je lineárně nezávislý. Odtud plyne x = − α1 γ e1 − α2 γ e2 − · · · − αn γ en. Nechť x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = y1e1 + y2e2 + · · · + ynen jsou dvě vyjádření vektoru x v bázi e. Pak (x1 − y1)e1 + (x2 − y2)e2 + · · · + (xn − yn)en = o. Z lineární nezávislosti systému vektorů {e1, e2, . . ., en} plyne x1 − y1 = x2 − y2 = · · · = xn − yn = 0. Pokud z vlastností báze vypustíme požadavek lineární nezávislosti vektorů, získáme další užitečný, poněkud obecnější pojem. Nechť S ⊆ V a nechť každý vektor v ∈ V lze vyjádřit ve tvaru v = α1u1 + α2u2 + · · · + αmum, kde u1, u2, . . . , um ∈ S. Pak S nazýváme systémem generátorů prostoru V a píšeme V = S . Je zřejmé, že každá báze je systémem generátorů, opak však obecně neplatí. Přidáme-li k libovolné bázi další vektor, schopnost generovat všechny vektory daného vektorového prostoru nezmizí, avšak lineární nezávislost ano. Takový systém už nebude bází, zůstane však systémem generátorů daného prostoru. Poněkud obecněji, je-li (V, +, ·) vektorový prostor a S ⊆ V , pak množina S všech lineárních kombinací vektorů z množiny S je podle Věty 3.2 vždy vektorovým prostorem a podprostorem ve V , a to i tehdy, když ve V existují vektory, které jako lineární kombinace vektorů z S vyjádřit nelze. Příklad 3.9 Ve vektorovém prostoru (R3 , +, ·) tvoří vektory f1 = (1, 1, 1), f2 = (1, 2, 4), f3 = (1, 3, 9), f4 = (1, 4, 16) systém generátorů, nikoli však bázi. Nechť (V, +, ·) je vektorový prostor a e = e1 e2 . . . en jeho báze. Pokud x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen, Maticový a tenzorový počet 76 můžeme také psát maticově x = e1 e2 . . . en ·      x1 x2 ... xn      = e · ¯x. Čísla x1, x2, . . . , xn se nazývají souřadnice nebo také složky vektoru x v bázi e. Příklad 3.10 Ve vektorovém prostoru (R4 , +, ·) jsou dány vektory ¯u1 =     1 2 −2 1     , ¯u2 =     −3 0 −4 3     , ¯u3 =     2 1 1 −1     , ¯u4 =     −3 3 −9 6     , ¯u5 =     9 3 7 −6     . Ve vektorovém prostoru L = {¯u1, ¯u2, ¯u3, ¯u4, ¯u5} vybereme z vektorů ¯u1, ¯u2, ¯u3, ¯u4, ¯u5 lineárně nezávislý systém (tedy bázi v L). Kritériem lineární nezávislosti těchto vektorů je množina všech řešení rovnice x1 ¯u1 + x2¯u2 + x3¯u3 + x4¯u4 + x5 ¯u5 = 0. (3.2) Například lineární nezávislost všech pěti vektorů by vedla k jedinému řešení x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 0. To ovšem není možné, protože v R4 mohou být nejvýše čtyři nezávislé vektory. V našem případě tedy vybereme nejvýše čtyři, možná však i méně vektorů z {¯u1, ¯u2, ¯u3, ¯u4, ¯u5}. Rovnici (3.2) můžeme přepsat jako soustavu x1 − 3x2 + 2x3 − 3x4 + 9x5 = 0 2x1 + x3 + 3x4 + 3x5 = 0 −2x1 − 4x2 + x3 − 9x4 + 7x5 = 0 x1 + 3x2 − x3 + 6x4 − 6x5 = 0 (3.3) a její rozšířenou matici převedeme na redukovaný schodovitý tvar     1 −3 2 −3 9 | 0 2 0 1 3 3 | 0 −2 −4 1 −9 7 | 0 1 3 −1 6 −6 | 0     ∼     1 0 1 2 3 2 3 2 | 0 0 1 −1 2 3 2 −5 2 | 0 0 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 0 | 0     . Nyní už zbývá jen správně interpretovat výsledek. Nalezený redukovaný schodovitý tvar matice soustavy (3.3) znamená, že v jejím obecném řešení můžeme volit libovolně tři neznámé x3, x4, x5 a dvě zbývající snadno dopočteme z rovnic x1 + 1 2 x3 + 3 2 x4 + 3 2 x5 = 0 x2 − 1 2 x3 + 3 2 x4 − 5 2 x5 = 0. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 77 Volíme-li např. x3 = −1, x4 = x5 = 0, můžeme z (3.2) zpětně vypočítat, že ¯u3 = x1¯u1 + x2 ¯u2 = 1 2 ¯u1 − 1 2 ¯u2. (3.4) Podobně, jinou vhodnou volbou můžeme také vyjádřit ¯u4 nebo ¯u5, vždy jako lineární kombinaci vektorů ¯u1, ¯u2. Odtud již vyplývá, že vektory ¯u1 a ¯u2 stačí ke generování celého podprostoru L, v němž tvoří bázi. Platí dim L = 2. Pochopitelně, kdybychom změnili pořadí vektorů, uvedený postup povede obecně k jiné bázi prostoru L; tato alternativní báze bude však mít opět dva vektory a dimenze L je samozřejmě na volbě báze nezávislá. Z rovnice (3.4) můžeme usoudit, že čísla 1 2 a −1 2 jsou složky vektoru ¯u3 v bázi u = ¯u1 ¯u2 vektorového prostoru (L, +, ·). Maticově můžeme tento fakt přehledně zapsat vztahem ¯u3 = u · 1 2 −1 2 = ¯u1 ¯u2 · 1 2 −1 2 . (3.5) Způsob zápisu použitý ve vztahu (3.5) má výhodu, že respektuje vlastnosti maticového násobení a po dosazení sloupcových vektorů za bázické vektory přejde vztah (3.5) přímo v maticovou rovnost ¯u3 =     1 −3 2 0 −2 −4 1 3     1 2 −1 2 . Příklad 3.11 Jsou dány vektory ¯a1 =   1 1 0   , ¯a2 =   2 0 1   , ¯a3 =   0 1 2   . Tyto vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří tedy bázi v (R3 , +, ·) (ověřte). Můžeme chtít například vyjádřit vektor ¯b =   1 1 −5   jako lineární kombinaci vektorů ¯a1, ¯a2, ¯a3 a tedy najít složky vektoru ¯b v této bázi. Musíme tedy řešit rovnici ¯a1 ¯a2 ¯a3 ·   x1 x2 x3   = ¯b, Maticový a tenzorový počet 78 což po dosazení číselných hodnot dává   1 2 0 1 0 1 0 1 2   ·   x1 x2 x3   =   1 1 −5   . Tedy musíme upravit rozšířenou matici této soustavy na redukovaný schodovitý tvar   1 2 0 | 1 1 0 1 | 1 0 1 2 | −5   ∼ · · · ∼   1 0 0 | 3 0 1 0 | −1 0 0 1 | −2   . Pak složky vektoru ¯b v bázi a = ¯a1 ¯a2 ¯a3 jsou ¯x =   3 −1 −2   . Nechť jsou e = e1 e2 . . . en a f = f1 f2 . . . fm dvě báze ve V . Pak lze prvky báze f vyjádřit pomocí e, tedy f1 = t11e1 + t21e2 + . . . + tn1en f2 = t12e1 + t22e2 + . . . + tn2en ... ... ... ... fm = t1me1 + t2me2 + . . . + tnmen, což, psáno maticově je f = f1 f2 . . . fm = e1 e2 . . . en ·      t11 t12 . . . t1m t21 t22 . . . t2m ... ... ... tn1 tn2 . . . tnm      = e · T, (3.6) kde T =      t11 t12 . . . t1m t21 t22 . . . t2m ... ... ... tn1 tn2 . . . tnm      je tzv. matice přechodu od báze e k bázi f . Podobně můžeme vyjádřit bázi e pomocí vektorů báze f , tedy e = f · S. (3.7) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 79 Pak ovšem e = e · TS, f = f · ST. Z Věty 3.4 vyplývá, že T · S = In, S · T = Im. Na maticové násobení můžeme pohlížet tak, že násobením maticí zprava vytváříme různé lineární kombinace sloupců matice vlevo, nebo, zcela analogicky, že násobením maticí zleva vytváříme lineární kombinace řádků matice vpravo. Hodnost součinu matic tedy nemůže být větší, než hodnost matic, které násobíme, jak ostatně říká již dokázaná Věta 1.11. Protože h(In) = n, je h(T) ≥ n, h(S) ≥ n a z počtu řádků matice T, resp. sloupců matice S naopak plyne, že h(T) ≤ n, h(S) ≤ n. Tedy h(T) = h(S) = n. Vyjdeme-li z druhé rovnosti a matice Im, dostáváme zcela analogicky, že h(S) = h(T) = m. Celkově tedy n = m a obě báze mají tedy stejný počet prvků. Zároveň odtud vyplývá, že matice přechodu je vždy čtvercová a regulární. Také odtud plyne, že S = T−1 , T = S−1 . Nyní se můžeme podívat, jak se změnou báze transformují složky vektoru. Jsou-li e, f dvě báze ve V , mezi nimiž je dán výše uvedený transformační vztah (3.6), resp. (3.7), platí pro vektor x ∈ V x = e · ¯x = f · S · ¯x = f · ¯x′ = e · T · ¯x′, (3.8) kde čárkovaně jsou označeny souřadnice vektoru x v bázi f . Z Věty 3.4 o jednoznačnosti vyjádření vektoru v bázi vyplývají transformační vztahy ¯x = T · ¯x′, ¯x′ = S · ¯x. (3.9) Můžeme si všimnout, že souřadnice se transformují pomocí jiné matice přechodu než k nim odpovídající báze – pro transformaci souřadnic je třeba použít inverzní matici přechodu. Protože literatura není vždy jednotná v označování matic přechodu, je lépe se vždy spoléhat na konkrétní (výše uvedené) transformační vztahy, než na slovní vyjádření, od které báze ke které daná matice přechodu vede. Z kontextu nemusí totiž být vždy stoprocentně jasné, zda se myslí skutečná transformace bází tak, jako uvádíme v tomto textu, nebo jen transformace odpovídajících souřadnic či složek vektorů. Příklad 3.12 V (R3 , +, ·) jsou dány dvě báze a a b tvořené vektory ¯a1 =   2 0 1   , ¯a2 =   1 2 0   , ¯a3 =   1 1 1   a ¯b1 =   6 3 3   , ¯a2 =   4 −1 3   , ¯a3 =   5 5 2   . Maticový a tenzorový počet 80 Zároveň je dán vektor ¯x =   4 −9 5   . Naším úkolem je vyjádřit vektor ¯x pomocí složek v obou bázích a najít obě matice přechodu mezi bázemi. Pro vyjádření vektoru ¯x vyjdeme ze vztahu ¯x = a · ¯xa = b · ¯xb, k němuž sestavíme přímo odpovídající rozšířené matice, které převedeme na redukovaný schodovitý tvar   2 1 1 | 4 0 2 1 | −9 1 0 1 | 5   ∼   1 0 0 | 4 0 1 0 | −5 0 0 1 | 1   a   6 4 5 | 4 3 −1 5 | −9 3 3 2 | 5   ∼   1 0 0 | 1 0 1 0 | 2 0 0 1 | −2   . Pak ¯xa =   4 −5 1   a ¯xb =   1 2 −2   . Pro matice přechodu platí vztahy a · T = b a b · S = a. To jsou maticové rovnice, které můžeme řešit opět pomocí rozšířených matic a jejich transformací na redukovaný schodovitý tvar (tj. Gaussovou eliminací), tedy   2 1 1 | 6 4 5 0 2 1 | 3 −1 5 1 0 1 | 3 3 2   ∼   1 0 0 | 2 2 1 0 1 0 | 1 −1 2 0 0 1 | 1 1 1   a   6 4 5 | 2 1 1 3 −1 5 | 0 2 1 3 3 2 | 1 0 1   ∼   1 0 0 | 3 2 1 2 −5 2 0 1 0 | −1 2 −1 2 3 2 0 0 1 | −1 0 2   . Pak platí T =   2 2 1 1 −1 2 1 1 1   a S =   3 2 1 2 −5 2 −1 2 −1 2 3 2 −1 0 2   . Mohli bychom ještě ověřit, že ¯xa = T · ¯xb a ¯xb = S · ¯xa Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 81 a T · S = I3, tj. S = T−1 (proveďte). Zvolený postup pochopitelně není optimální z hlediska úspornosti výpočtu. Máme-li již například souřadnice vektoru v jedné bázi a příslušnou matici přechodu, souřadnice v druhé bázi již nemusíme počítat pomocí řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou eliminací, ale můžeme je vypočítat pomocí matice přechodu. Podle toho, které veličiny skutečně potřebujeme, můžeme výpočet vhodně kombinovat a přizpůsobit. Příklad 3.13 Uvažujme vektorový prostor všech polynomů nejvýše prvního stupně v proměnné t, tedy (P1(t), +, ·), a polynomy p1 = t, p2 = t − 3, q1 = t − 1 a q2 = t + 1. Našim úkolem bude najít matice přechodu mezi bázemi p = p1 p2 a q = q1 q2 v prostoru (P1(t), +, ·) a najít složky vektoru (tj. polynomu prvního stupně) w = 5t + 1 v obou bázích. Abychom mohli nalézt příslušné složky vektoru nebo matice přechodu, musíme nějak sestavit odpovídající transformační rovnice. Vzhledem k tomu že našimi výchozími objekty nejsou uspořádané n-tice čísel, ale polynomy, nemůžeme polynomy jednoduše zapsat do matic a použít Gaussovu eliminaci. Můžeme však v (P1(t), +, ·) zvolit pomocnou bázi, vzhledem k níž vyjádříme zadané vektory velmi jednoduše pomocí složek, a pak použijeme osvědčené maticové postupy. Takovou bázi tvoří jednotlivé mocninné funkce, v našem případě 1 a t. Můžeme tedy psát p1 = 1 t · 0 1 , p2 = 1 t · −3 1 , q1 = 1 t · −1 1 , q2 = 1 t · 1 1 . Pak, označíme-li e = 1 t , máme p = e · 0 −3 1 1 a q = e · −1 1 1 1 . (3.10) Zároveň také w = e · 1 5 . Vektor w lze vyjádřit v obou bázích w = p · ¯wp = q · ¯wq, odkud e · 0 −3 1 1 · ¯wp = e · 1 5 , Maticový a tenzorový počet 82 a protože je vyjádření vektoru v bázi jednoznačné, máme 0 −3 1 1 · ¯wp = 1 5 (3.11) a zcela analogicky dostaneme −1 1 1 1 · ¯wq = 1 5 . (3.12) Podobně, nechť T, S jsou matice přechodu mezi bázemi p, q, určené transformačními vztahy q = p · T a p = q · S. Dosazením z (3.10) a využitím jednoznačnosti vyjádření vektoru v bázi dostaneme maticové rovnice 0 −3 1 1 · T = −1 1 1 1 a −1 1 1 1 · S = 0 −3 1 1 . (3.13) Nyní jsme ve stejné situaci jako v Příkladě 3.12. Existuje více možností, jak a v jakém pořadí rovnice (3.11), (3.12) a (3.13) řešit. Proto uvedeme pouze výsledky: wp = 16 3 −1 3 , wq = 2 3 , T = 2 3 4 3 1 3 −1 3 , S = 1 2 2 1 2 −1 . 3.2 Průnik a součet vektorových prostorů Buď (V, +, ·) vektorový prostor, L1, L2 ⊆ V dva podprostory V . Označme L1 + L2 = {x + y| x ∈ L1, y ∈ L2}. Množinu L1 +L2 nazýváme součtem vektorových prostorů. Součet L1 +L2 se nazývá přímý, pokud L1 ∩ L2 = {o}. V tom případě značíme přímý součet pomocí znaménka ∔, tedy píšeme L1 ∔ L2. Věta 3.5 Nechť (V, +, ·) je konečně rozměrný vektorový prostor, L1, L2 ⊆ V jeho dva podprostory. Pak platí (i) L1 + L2, L1 ∩ L2 jsou vektorové podprostory ve V , Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 83 (ii) dim(L1 + L2) + dim(L1 ∩ L2) = dim L1 + dim L2. Důkaz. Část (i) je snadné dokázat. Jsou-li u, v ∈ L1 + L2 a α, β reálná nebo komplexní čísla (podle toho nad kterým číselným tělesem jsou uvažované vektorové prostory zkonstruovány), existují u1, v1 ∈ L1 a u2, v2 ∈ L2 tak, že u = u1 + u2 a v = v1 + v2. Potom αu + βv = (αu1 + βv1) + (αu2 + βv2) ∈ L1 + L2, neboť L1, L2 jsou vektorové podprostory a platí Věta 3.3. Podle této věty je pak také L1 + L2 vektorový podprostor prostoru V . Podobně, jsou-li u, v ∈ L1 ∩L2, pak také αu+βv ∈ L1 a αu+βv ∈ L2 podle Věty 3.3. Pak ovšem αu + βv ∈ L1 ∩ L2, takže opět podle Věty 3.3 je L1 ∩ L2 vektorový podprostor prostoru V . Dokažme nyní (ii). Nechť b1, b2,. . . , bk tvoří bázi v L1∩L2. Systém vektorů {b1, b2, . . . , bk} lze doplnit vektory a1, a2, . . . , am, resp. vektory c1, c2, . . . , cn na bázi prostoru L1, resp. prostoru L2. Pak L1 má bázi a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bk a L2 má bázi c1, c2, . . . , cn, b1, b2, . . . , bk. Odtud plyne, že dim(L1 ∩ L2) = k, dim L1 = k + m a dim L2 = k + n. Zbývá dokázat, že dim(L1 + L2) = k + m + n. Je zřejmé, že vektory a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bk, c1, c2, . . . , cn generují prostor L1 + L2. Ukážeme, že jsou nezávislé. Nechť α1a1 + α2a2 + · · ·+ αmam + β1b1 + β2b2 + · · ·+ βkbk + γ1c1 + γ2c2 + · · ·+ γncn = o. (3.14) Označme u = α1a1 + α2a2 + · · · + αmam. Je zřejmě u ∈ L1, avšak také z (3.14) vyplývá, že u = −β1b1 − β2b2 − · · · − βkbk − γ1c1 − γ2c2 − · · · − γncn, (3.15) odkud však plyne u ∈ L1 ∩ L2. Tedy existují koeficienty δ1, δ2,. . . , δk takové, že u = δ1b1 + δ2b2 + · · · + δkbk, odkud α1a1 + α2a2 + · · · + αmam − δ1b1 − δ2b2 − · · · − δkbk = u − u = o. Protože a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bk tvoří bázi v L1, musí být α1 = α2 = · · · = αm = δ1 = δ2 = · · · = δm = 0. Tedy u = o a z rovnice (3.15) dostáváme β1b1 + β2b2 + · · · + βkbk + γ1c1 + γ2c2 + · · · + γncn = o. Protože b1, b2,. . . , bk, c1, c2, . . . , cn tvoří bázi v L2, je také β1 = β2 = · · · = βk = γ1 = γ2 = · · · = γn = 0. V (3.14) jsou všechny koeficienty nulové, což znamená, že jsou vektory a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bk, c1, c2, . . . , cn lineárně nezávislé. Pak platí dim(L1 + L2) + dim(L1 ∩ L2) = k + m + n + k = dim L1 + dim L2. Maticový a tenzorový počet 84 Příklad 3.14 Ve vektorovém prostoru (R4 , +, ·) jsou dány vektory ¯v1 =     1 1 0 −1     , ¯v2 =     0 1 2 1     , ¯v3 =     1 0 1 −1     , ¯v4 =     1 1 −6 −3     , ¯v5 =     −1 −5 1 0     . Tyto vektory generují dva podprostory L1, L2 ⊆ R4 , dané vztahem L1 = {v1, v2} , L2 = {v3, v4, v5} . Naším úkolem je najít báze a dimenze prostorů L1, L2, L1 + L2 a L1 ∩ L2. V případě prostorů L1, L2, L1 + L2 jsou známy jejich generátory, takže nalezení báze je analogické Příkladu 3.10. Platí ¯v1 ¯v2 =     1 0 1 1 0 2 −1 1     ∼     1 0 0 1 0 0 0 0     a tedy dim L1 = 2, báze je například ¯v1 ¯v2 . Dále ¯v3 ¯v4 ¯v5 =     1 1 −1 0 1 −5 1 −6 1 −1 −3 0     ∼     1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0     , takže dim L2 = 3 a bází je například ¯v3 ¯v4 ¯v5 . Nakonec ¯v1 ¯v2 ¯v3 ¯v4 ¯v5 =     1 0 1 1 −1 1 1 0 1 −5 0 2 1 −6 1 −1 1 −1 −3 0     ∼     1 0 0 3 −4 0 1 0 −2 −1 0 0 1 −2 3 0 0 0 0 0     . Odtud plyne, že dim(L1 + L2) = 3, přičemž jako bázi lze zvolit například ¯v1 ¯v2 ¯v3 . Z Věty 3.5 vyplývá, že dim(L1 ∩ L2) = dim L1 + dim L2 − dim(L1 + L2) = 2 + 3 − 3 = 2. K nalezení báze ovšem tento jednoduchý výpočet nestačí. Sestavme rovnici α1¯v1 + α2¯v2 = −α3¯v3 − α4¯v4 − α5¯v5, (3.16) která na levé straně vyjadřuje obecný vektor z prostoru L1 a na pravé straně obecný vektor z prostoru L2. Tyto vektory si musí být rovny, mají-li představovat prvek, který patří do průniku těchto prostorů. Záporná znaménka na pravé straně nejsou podstatná, ale po převedení všech členů na jednu stranu rovnice se obecný zápis velmi zjednoduší, pokud znaménka budou formálně stejná. α1¯v1 + α2¯v2 + α3¯v3 + α4¯v4 + α5¯v5 = 0 (3.17) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 85 Rovnice (3.17) je vlastně soustava čtyř homogenních lineárních rovnic, zapsaná ve vektorovém tvaru. Její rozšířenou matici můžeme sestavit ze sloupcových vektorů ¯v1, ¯v2, ¯v3, ¯v4, ¯v5, a upravit na redukovaný schodovitý tvar:     1 0 1 1 −1 | 0 1 1 0 1 −5 | 0 0 2 1 −6 1 | 0 −1 1 −1 −3 0 | 0     ∼ · · · ∼     1 0 0 3 −4 | 0 0 1 0 −2 −1 | 0 0 0 1 −2 3 | 0 0 0 0 0 0 | 0     (3.18) Z redukovaného schodovitého tvaru vidíme, že obecné řešení rovnice (3.16) resp. (3.17) lze vyjádřit pomocí parametrů α4, α5. Pro nás je důležitý ovšem pouze parametr α3, který potřebujeme k vyjádření obecného vektoru ¯x ∈ L1 ∩L2 užitím pravé strany rovnice (3.16). Z třetího řádku (3.18) máme rovnici α3 − 2α4 + 3α5 = 0, odkud α3 = 2α4 − 3α5. Pak obecný vektor z L1 ∩ L2 má vyjádření ¯x = −α3¯v3 − α4¯v4 − α5¯v5 = (−2α4 + 3α5)¯v3 − α4¯v4 − α5v5 = = −α4(¯v4 + 2¯v3) − α5(¯v5 − 3¯v3). Pak například vektory ¯w1 =     3 1 −4 −5     a ¯w2 =     −4 −5 −2 3     tvoří bázi v L1 ∩ L2. 3.3 Lineární zobrazení Nechť (V, +, ·) a (W, +, ·) jsou vektorové prostory, g : V → W zobrazení. Řekneme, že je g lineární, jestliže platí: (i) Pro libovolné u, v ∈ V platí g(u + v) = g(u) + g(v). (ii) Pro libovolné w ∈ V a číslo α (reálné, případně komplexní) platí g(α·w) = α·g(w). Maticový a tenzorový počet 86 Předpokládejme, že e = e1 e2 . . . en je báze ve V a f = f1 f2 . . . fm báze ve W. Zvolme libovolný vektor x ∈ V , pak platí x = e · ¯x = i xiei, a z vlastností lineárního zobrazení plyne g(x) = g( i xiei) = i g(xiei) = i xig(ei), odkud je vidět, že celé zobrazení g : V → W je plně určeno svými hodnotami na bázických vektorech. Ovšem pro libovolné i ∈ {1, 2, . . .n} je g(ei) ∈ W, takže můžeme pokračovat a vyjádřit vektor g(ei) jako lineární kombinaci vektorů báze f . Existují koeficienty g, g, . . . , g takové, že g(ei) = g1if1 + g2if2 + · · · + gmifm = j gjifj, odkud g(x) = i j xigjifj. Položme G = (gji), pak můžeme psát maticově g(x) = f · G · ¯x. Matice G reprezentuje zobrazení g. Chceme-li složky vektoru g(x) v bázi f , stačí matici G vynásobit zprava sloupcem ¯x složek vektoru x v bázi e. Příklad 3.15 Uvažujme vektorový prostor (P2(x), +, ·) a zobrazení d : P2(x) → P2(x) dané vztahem d(p) = p′ , kde p′ je derivace polynomu p podle proměnné x. Z dobře známých vlastností derivace plyne, že d je lineární zobrazení. Nalezneme jeho maticovou reprezentaci v bázi tvořené vektory mocninných funkcí. Klademe tedy e = 1 x x2 , pak pro libovolný polynom p ∈ P2(x) platí p = e · ¯p = 1 x x2 ·   p1 p2 p3   = p1 + p2x + p3x2 . Pak d(p) = d(p1 + p2x + p3x2 ) = p1d(1) + p2d(x) + p3d(x2 ) = d(1) d(x) d(x2 ) ·   p1 p2 p3   . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 87 Máme d(1) = 1 x x2 ·   0 0 0   , d(x) = 1 x x2 ·   1 0 0   , d(x2 ) = 1 x x2 ·   0 2 0   , odkud d(p) = 1 x x2 ·   0 1 0 0 0 2 0 0 0   ·   p1 p2 p3   = e · D · ¯p. Matice zobrazení d je v uvažované mocninné bázi D =   0 1 0 0 0 2 0 0 0   . Vezmeme-li na zkoušku nějaký polynom z P2(x), například p = 3x2 − 2x + 1, jeho složky v bázi e jsou ¯p =   1 −2 3   a D · ¯p =   0 1 0 0 0 2 0 0 0   ·   1 −2 3   =   −2 6 0   Tomuto sloupcovému vektoru skutečně v dané bázi odpovídá derivace polynomu p, která je d(p) = p′ = −2 + 6x. Na derivování polynomů můžeme nahlížet jako na násobení vhodnou maticí, což může být užitečné zejména když zvolíme nějakou jinou, speciální bázi (složenou z určitých speciálních, např. ortogonálních polynomů). Nyní ukážeme, jak se změní maticová reprezentace zobrazení g, pokud změníme báze ve vektorových prostorech V a W. Nechť e′ a f ′ jsou dvě další báze ve vektorových prostorech V a W a nechť e′ = e · T, f ′ = f · S, kde T, S jsou příslušné matice přechodu. Pak platí ¯x = T · ¯x′ a f = f ′ · S−1 , Maticový a tenzorový počet 88 takže g(x) = f ′ · S−1 GT · ¯x′. V nových bázích je tedy dané zobrazení reprezentováno maticí G′ = S−1 GT. (3.19) Příklad 3.16 Je dáno zobrazení l : R3 → R3 předpisem l   x1 x2 x3   =   x1 − x3 2x2 3x2 + 2x3   . Naším úkolem je zjistit, zda je zadané zobrazení lineární a pokud ano, najít jeho maticovou reprezentaci ve standardní bázi v R3 . Platí l   x1 x2 x3   =   1 0 −1 0 2 0 0 3 2   ·   x1 x2 x3   , matice zobrazení l je tedy L =   1 0 −1 0 2 0 0 3 2   . Linearita je již triviálním důsledkem toho, že zobrazení l lze takto reprezentovat (pomocí součinu matic). Příklad 3.17 Jak se změní matice zobrazení z Příkladu 3.16, pokud změníme v R3 původní, standardní bázi na novou bázi (pro vstupní i výstupní hodnoty), tvořenou vektory ¯f1 =   1 0 2   , ¯f2 =   0 1 1   , ¯f3 =   −1 −1 0  ? Matice přechodu od standardní báze e, jejíž sloupce tvoří jednotkovou matici, k bázi f je T =   1 0 −1 0 1 −1 2 1 0   , přičemž T−1 =   1 3 −1 3 1 3 −2 3 2 3 1 3 −2 3 −1 3 1 3   . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 89 Nová matice zobrazení l tedy, podle vztahu (3.19), je L′ = T−1 LT =   1 3 −1 3 1 3 −2 3 2 3 1 3 −2 3 −1 3 1 3   ·   1 0 −1 0 2 0 0 3 2   ·   1 0 −1 0 1 −1 2 1 0   = =   1 2 3 −2 3 2 11 3 −5 3 2 5 3 1 3   . 3.4 Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení Nechť (V, +, ·) a (W, +, ·) jsou vektorové prostory, g : V → W lineární zobrazení. Množina ker g = {x| x ∈ V, g(x) = o} se nazývá jádro zobrazení g. Dále označme Im g = {g(x)| x ∈ V } obor hodnot zobrazení g. Věta 3.6 Nechť (V, +, ·) a (W, +, ·) jsou vektorové prostory, g : V → W lineární zobrazení. Pak ker g je vektorový podprostor prostoru V . Důkaz. Nechť u, v ∈ ker g a α, β ∈ R (resp. α, β ∈ C). Pak g(αu + βv) = αg(u) + βg(v) = αo + βo = o, a tedy αu + βv ∈ ker g. Podle Věty 3.3 je ker g vektorovým podprostorem V . Věta 3.7 Nechť (V, +, ·) a (W, +, ·) jsou vektorové prostory, g : V → W lineární zobrazení. Pak Im g je vektorový podprostor prostoru W. Důkaz. Nechť u, v ∈ Im g a α, β ∈ R (resp. α, β ∈ C). Pak existují vektory x, y ∈ V takové, že g(x) = u a g(y) = v. Potom však platí g(αx + βy) = αg(x) + βg(y) = αu + βv, takže αu + βv ∈ Im g. Nyní můžeme opět využít Věty 3.3 k dokončení důkazu. Věta 3.8 Nechť (V, +, ·) a (W, +, ·) jsou konečně rozměrné vektorové prostory, g : V → W lineární zobrazení. Pak dim(ker g) + dim(Im g) = dim V . Maticový a tenzorový počet 90 Důkaz. Zvolme bázi b1, b2,. . . , bk v prostoru Im g. Existují vektory a1, a2, . . . , ak takové, že g(a1) = b1, g(a2) = b2, . . . , g(ak) = bk. Předpokládejme, že pro vhodné koeficienty α1, α2, . . . , αk, platí α1a1 + α2a2 + · · · + αkak = o. Pak ovšem α1b1 + α2b2 + · · · + αkbk = α1g(a1) + α2g(a2) + · · · + αkg(ak) = = g(α1a1 + α2a2 + · · · + αkak) = g(o) = o. Z lineární nezávislosti vektorů b1, b2,. . . , bk plyne α1 = α2 = · · · = αk = 0, takže i vektory a1, a2, . . . , ak jsou lineárně nezávislé. Položme H = {a1, a2, . . ., ak} . Pak H je vektorový podprostor V a platí dim H = k. Ukážeme, že ker g ∔ H = V. Buď x ∈ V libovolný vektor. Pak g(x) ∈ Im g a tedy existují koeficienty β1, β2, . . . , βk, že g(x) = β1b1 + β2b2 + · · · + βkbk. Položme y = β1a1 + β2a2 + · · · + βkak a z = x − y. Je zřejmé, že platí x = y + z, a y ∈ H. Pak g(z) = g(x) − g(y) = β1b1 + β2b2 + · · · + βkbk − β1g(a1) − β2g(a2) − · · · − βkg(ak) = o. Je tedy vidět, že z ∈ ker g, odkud plyne x ∈ ker g + H. Předpokládejme, že x ∈ ker g ∩ H. Pak existují koeficienty δ1, δ2, . . . , δk takové, že x = δ1a1 + δ2a2 + · · · + δkak, protože x ∈ H, takže také g(x) = δ1g(a1) + δ2g(a2) + · · · + δkg(ak) = δ1b1 + δ2b2 + · · · + δkbk = o, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 91 protože x ∈ ker g. Ovšem vektory b1, b2,. . . , bk jsou lineárně nezávislé a tedy δ1 = δ2 = · · · = δk = 0. Potom však x = o. Tedy ker g ∩ H = {o} a tedy součet ker g + H = V je přímý. Podle Věty 3.5 pak platí dim(ker g + H) + dim(ker g ∩ H) = dim(ker g) + dim H, odkud dim V = dim(ker g) + dim(Im g). Příklad 3.18 Jádrem lineárního zobrazení d : P2(x) → P2(x) z jsou polynomy konstantní, tedy ker d = P0(x). Oborem hodnot tohoto zobrazení jsou polynomy nejvýše prvního stupně, tedy Im d = P1(x). Platí dim(ker d) = 1, dim(Im d) = 2, dim P2(x) = 3. Příklad 3.19 Uvažujme zobrazení l : R3 → R3 dané vztahem l(¯x) =   1 0 −1 0 2 0 1 2 −1   ·   x1 x2 x3   . Naším úkolem je najít báze v prostorech ker l a Im l. V prvním případě prostě řešíme rovnici l(¯x) = 0, tedy   1 0 −1 0 0 2 0 0 1 2 −1 0   ∼   1 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0   (3.20) Označíme-li x3 = t, pak obecné řešení má tvar x1 = t x2 = 0 x3 = t, kde t ∈ R, což zapsáno vektorově dává ¯x = t ·   1 0 1   . Maticový a tenzorový počet 92 Báze v ker l je tedy tvořena jediným vektorem, například ¯a =   1 0 1   a platí dim(ker l) = 1. Pro nalezení báze v Im l je vhodné si uvědomit, že prostor Im l je generován obrazy generátorů definičního oboru, tedy v našem případě R3 . Je tedy Im l = {l(¯e1), l(¯e2), l(¯e3)} , kde ¯e1 =   1 0 0   , ¯e2 =   0 1 0   , ¯e3 =   0 0 1   . Pak l(¯e1) =   1 0 −1 0 2 0 1 2 −1   ·   1 0 0   =   1 0 1   . Analogicky l(¯e2) =   0 2 2   a l(¯e3) =   −1 0 −1   . Z redukovaného schodovitého tvaru (3.20) plyne, že například vektory l(¯e1) a l(¯e2) tvoří bázi v Im l (srov. Příklad 3.10). 3.5 Vektorové prostory se skalárním součinem Buď (V, +, ·) vektorový prostor nad R, resp. nad C. Skalárním součinem nad R, resp. nad C rozumíme zobrazení σ : V ×V → R, resp. σ : V ×V → C, které splňuje následující podmínky: (i) σ(u, u) > 0 pro libovolné u ∈ V , u = o; (ii) σ(u, v) = σ(v, u), resp. σ(u, v) = σ∗ (v, u) pro všechna u, v ∈ V ; (iii) σ(u + v, w) = σ(u, w) + σ(v, w) pro všechna u, v, w ∈ V ; (iv) σ(αu, v) = ασ(u, v) pro každé u, v ∈ V a α ∈ R, resp. α ∈ C. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 93 Pozornost si zaslouží zejména vytýkání konstanty z druhé složky skalárního součinu v případě, že se jedná o skalární součin ve vektorovém prostoru nad C. Pak totiž platí σ(u, βv) = σ(βv, u)∗ = (β · σ(v, u))∗ = β∗ · σ(v, u)∗ = β∗ · σ(u, v). Dále, skalární součin jakéhokoliv vektoru s nulovým vektorem je nulový σ(o, w) = σ(0 · w, w) = 0 · σ(w, w) = 0, a tedy pro libovolný vektor u je σ(u, u) = 0 právě když u = o. Příklad 3.20 Pro libovolné u, v ∈ R3 položme σ(u, v) = u1v1 + u2v2 + u3v3. Pak σ je tzv. standardní skalární součin na R3 . Příklad 3.21 Ve vektorovém prostoru (C 0,2π , +, ·) je skalárním součinem např. zobra- zení σ(u, v) = 2π 0 u(x)v(x)dx. Nechť (V, +, ·) je vektorový prostor se skalárním součinem σ. Pak normou (neboli velikostí, délkou) vektoru v ∈ V rozumíme nezáporné reálné číslo ||v|| = σ(v, v). Norma vektoru je vždy reálné nezáporné číslo nezávisle na tom, zda uvažujeme vektorový prostor se skalárním součinem nad R nebo nad C. Nulovou hodnotu má norma pouze v jediném případě, a to pro nulový vektor. Poznamenejme, že normu lze zavést i v obecnějších matematických strukturách, než jsou vektorové prostory, a to i bez skalárního součinu (např. axiomaticky). To však přesahuje značně rámec tohoto textu. Vektor v ∈ V se nazývá jednotkový (vzhledem k danému skalárnímu součinu či normě), je-li ||v|| = 1. Pokud pro dva vektory u, v ∈ V je σ(u, v) = 0, říkáme, že jsou vektory u, v navzájem ortogonální (neboli kolmé). Báze vektorového prostoru, jejíž všechny vektory jsou navzájem ortogonální, se nazývá ortogonální báze. Pokud jsou navíc všechny bázické vektory jednotkové, nazývá se taková báze ortonormální. Zpravidla bývá velmi výhodné takovou bázi ve vektorovém prostoru mít k dispozici a používat ji. Maticový a tenzorový počet 94 Příklad 3.22 Vektory ¯e1 =   1 0 0   , ¯e2 =   0 1 0   , ¯e3 =   0 0 1   tvoří ortonormální bázi v R3 vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. Nyní si ukážeme, jak můžeme libovolný vektorový prostor se skalárním součinem vybavit ortogonální a posléze ortonormální bází. Postup, který popíšeme, se nazývá GramSchmidtův ortogonalizační proces. Nechť (V, +, ·) je vektorový prostor dimenze n ∈ N se skalárním součinem σ, a nechť a1, a2, . . . , an jsou libovolné bázické vektory. Postupně klademe b1 = a1; b2 = a2 + β21b1, přičemž požadujeme, aby σ(b2, b1) = 0. Určíme koeficient β21. Chceme aby platilo σ(b2, b1) = σ(a2 + β21b1, b1) = σ(a2, b1) + β21σ(b1, b1) = 0, odkud β21 = − σ(a2, b1) σ(b1, b1) . Nyní provedeme tzv. indukční krok. Předpokládejme, že jsme již sestrojili navzájem ortogonální vektory b1, b2, . . . , bk−1. Položíme bk = ak + βk1b1 + βk2b2 + · · · + βk k−1bk−1. Požadavek, aby σ(bk, bj) = 0 pro j = 1, 2, . . ., k − 1 dává σ(bk, bj) = σ(ak + βk1b1 + βk2b2 + · · · + βk k−1bk−1, bj) = = σ(ak, bj) + βk1σ(b1, bj) + βk2σ(b2, bj) + · · · + βkjσ(bj, bj) + · · · + βk k−1σ(bk−1, bj) = = σ(ak, bj) + βkjσ(bj, bj) = 0, odkud βkj = − σ(ak, bj) σ(bj, bj) , kde j = 1, 2, . . ., k − 1. Tak pokračujeme pro k = 1, 2, . . ., n. Výsledkem jsou vektory b1, b2, . . . , bn, které jsou navzájem ortogonální. Nakonec položíme hi = bi ||bi|| , kde i = 1, 2, . . ., n. Vektory h1, h2, . . . , hn tvoří ortonormální bázi ve V . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 95 Příklad 3.23 Uvažujme vektorový prostor (P2(x), +, ·) všech polynomů stupně nejvýš 2 nad R v proměnné x se skalárním součinem σ(u, v) = 1 0 u(x)v(x)dx. Naším úkolem je najít v P2(x) ortonormální bázi. Mocninné funkce 1, x, x2 tvoří bázi v (P2(x), +, ·), která ovšem není ortogonální a tím méně ortonormální. Aplikujeme na ni Gram-Schmidtův ortogonalizační proces. Klademe b1 = 1, b2 = x + β21b1, kde β21 = − σ(x, b1) σ(b1, b1) = − 1 0 xdx 1 0 1dx = [x2 2 ] 1 0 [x]1 0 = − 1 2 , tedy b2 = x − 1 2 . Dále b3 = x2 + β31b1 + β32b2, kde β31 = − σ(x2 , b1) σ(b1, b1) = − 1 0 x2 dx 1 0 1dx = [x3 3 ] 1 0 [x]1 0 = − 1 3 , a β32 = − σ(x2 , b2) σ(b2, b2) = − 1 0 x2 (x − 1 2 )dx 1 0 (x − 1 2 )2dx = − 1 0 (x3 − 1 2 x2 )dx 1 0 (x − 1 2 )2dx = = [x4 4 − x3 6 ] 1 0 [1 3 (x − 1 2 )3]1 0 = − (1 4 − 1 6 ) 1 12 = −1. Pak b3 = x2 − 1 3 − (x − 1 2 ) = x2 − x + 1 6 . Vektory b1, b2, b3 jsou navzájem ortogonální, avšak ještě nejsou všechny jednotkové. Proto klademe e1 = b1 ||b1|| = b1 σ(b1, b1) = 1 1 = 1, e2 = b2 ||b2|| = b2 σ(b2, b2) = x − 1 2 1 12 = 2 √ 3 x − √ 3, e3 = b3 ||b3|| = b3 σ(b3, b3) = x2 − x + 1 6 1 180 = 6 √ 5 x2 − 6 √ 5 x + √ 5. Vektory e1, e2, e3 tvoří ortonormální bázi vektorového prostoru (P2(x), +, ·) vzhledem k zadanému skalárnímu součinu. Maticový a tenzorový počet 96 Ukážeme nyní, jak lze reprezentovat skalární součin pomocí matic. Nechť (V, +, ·) je vektorový prostor dimenze n ∈ N se skalárním součinem σ, a nechť e1, e2, . . . , en jsou vektory tvořící bázi ve V . Zvolme dva vektory u, v ∈ V . Jejich vyjádření v bázi e je u = e · ¯u = u1e1 + u2e2 + . . . unen = i uiei, v = e · ¯v = v1e1 + v2e2 + . . . vnen = j vjej. Pak σ(u, v) = σ( i uiei, j vjej) = i j uiv∗ j σ(ei, ej) = = u1 u2 . . . un ·      σ(e1, e1) σ(e1, e2) . . . σ(e1, en) σ(e2, e1) σ(e2, e2) . . . σ(e2, en) ... ... ... σ(en, e1) σ(en, e2) . . . σ(en, en)      ·      v∗ 1 v∗ 2 ... v∗ n      = = u · G · ¯v∗ , (3.21) kde G =      σ(e1, e1) σ(e1, e2) . . . σ(e1, en) σ(e2, e1) σ(e2, e2) . . . σ(e2, en) ... ... ... σ(en, e1) σ(en, e2) . . . σ(en, en)      je tzv. Gramova matice daného skalárního součinu v bázi e. Můžeme si všimnout, že Gramova matice spolu se zvolenou bází daný skalární součin plně definuje; je totiž určena skalárními součiny bázických vektorů. V případě, že je zvolená báze vzhledem k danému skalárnímu součinu ortonormální, je Gramova matice jednotková a platí zjednodušený vztah σ(u, v) = u · ¯v∗ . Je-li Gramova matice dána, nezáleží již na tom, jakým a jak abstraktním předpisem je skalární součin zadán – v takovém případě lze totiž skalární součin spočítat jako pouhé maticové násobení s využitím Gramovy matice a složek vektorů v dané bázi. Tato reprezentace skalárního součinu má ovšem nevýhodu závislosti na zvolené bázi. Ukažme tedy ještě, jak se Gramova matice změní, změníme-li bázi daného vektorového prostoru. Uvažujme ve V ještě jinou bázi, řekněme f = f1 f2 . . . fn = e · T, kde T je matice přechodu od báze e k bázi f . Nechť v této bázi mají vektory u, v vyjádření u = f · ¯u′, v = f · ¯v′. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 97 Souřadnice nebo-li složky vektorů se transformují podle vztahu (3.9), takže platí ¯u = T · ¯u′, ¯v = T · ¯v′. Odtud také plyne u = ¯uT = (T · ¯u′) T = ¯u′T · TT = u′ · TT . Můžeme tedy dosadit do vztahu (3.21) σ(u, v) = u · G · ¯v∗ = u′ · TT · G · T∗ · ¯v′∗ . Nová Gramova matice daného skalárního součinu, vyjádřeného vzhledem k bázi f tedy je G′ = TT GT∗ . (3.22) Důsledkem transformačního vztahu (3.22) mimo jiné je, že Gramova matice je vždy regulární. Lze totiž k danému skalárnímu součinu nalézt ortonormální bázi, jejíž Gramova matice je jednotková a tedy regulární. Jakákoli jiná Gramova matice je pak součinem vhodné matice přechodu a matice k ní transponované, které jsou obě regulární. Příklad 3.24 Uvažujme vektorový prostor (P2(x), +, ·) všech polynomů stupně nejvýš 2 nad R v proměnné x se skalárním součinem σ(u, v) = 1 0 u(x)v(x)dx. Máme nalézt Gramovu matici skalárního součinu σ vzhledem k bázi, tvořené mocninnými funkcemi x2 , x, 1 (v tomto pořadí). Platí σ(1, 1) = 1 0 1dx = 1, σ(1, x) = σ(x, 1) = 1 0 xdx = x2 2 1 0 = 1 2 , σ(1, x2 ) = σ(x, x) = σ(x2 , 1) = 1 0 x2 dx = x3 3 1 0 = 1 3 , σ(x, x2 ) = σ(x2 , x) = 1 0 x3 dx = x4 4 1 0 = 1 4 , σ(x2 , x2 ) = 1 0 x4 dx = x5 5 1 0 = 1 5 . Pak G =   σ(x2 , x2 ) σ(x2 , x) σ(x2 , 1) σ(x, x2 ) σ(x, x) σ(x, 1) σ(1, x2 ) σ(1, x) σ(1, 1)   =   1 5 1 4 1 3 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1   . Maticový a tenzorový počet 98 Příklad 3.25 Opět uvažujme vektorový prostor (P2(x), +, ·) všech polynomů stupně nejvýš 2 nad R v proměnné x se skalárním součinem σ(u, v) = 1 0 u(x)v(x)dx. Naším úkolem je spočítat skalární součin dvou vektorů (polynomů) x2 + 1 a x − 1. To můžeme udělat v zásadě dvojím způsobem. Nejprve přímo z definičního vztahu pro skalární součin σ(x2 + 1, x − 1) = 1 0 (x2 + 1)(x − 1)dx = 1 0 (x3 − x2 + x − 1)dx = 1 4 − 1 3 + 1 2 − 1 = = 1 4 − 1 3 − 1 2 = 3 − 4 − 6 12 = − 7 12 a potom také užitím Gramovy matice. Nejdříve vyjádříme příslušné polynomy jako vektory v bázi pomocí jejich složek x2 + 1 = x2 x 1 ·   1 0 1   , x − 1 = x2 x 1 ·   0 1 −1   , a pak využijeme vztahu (3.21), tedy σ(x2 + 1, x − 1) = 1 0 1 ·   1 5 1 4 1 3 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1     0 1 −1   = 8 15 3 4 4 3   0 1 −1   = = 3 4 − 4 3 = 9 − 16 12 = − 7 12 . Příklad 3.26 Nechť (V, +, ·) je vektorový prostor se skalárním součinem σ, jehož Gramova matice v bázi e je G =   1 5 1 4 1 3 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1   . Naším úkolem bude najít Gramovu matici skalárního součinu σ v bázi f , jestliže matice přechodu T od báze e k bázi f , tedy taková matice T, že f = e · T je T =   1 0 −1 0 1 0 1 0 1   . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 99 Podle vztahu (3.22) je G′ = TT · G · T =   1 0 1 0 1 0 −1 0 1   ·   1 5 1 4 1 3 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1   ·   1 0 −1 0 1 0 1 0 1   = =   8 15 3 4 4 3 1 4 1 3 1 2 2 15 1 4 2 3   ·   1 0 −1 0 1 0 1 0 1   =   28 15 3 4 4 5 3 4 1 3 1 4 4 5 1 4 8 15   . 3.5.1 Ortogonální průmět vektoru do podprostoru Buď (V, +, ·) vektorový prostor se skalárním součinem σ, L = {h1, h2, . . .hk} podprostor prostoru V , generovaný lineárně nezávislými vektory h1, h2, . . . , hk, u ∈ V libovolný vektor. Abychom nalezli průmět vektoru u do L, musíme nalézt vektory v, w ∈ V takové, že (i) u = v + w, (ii) v ∈ L, (iii) σ(w, x) = 0 pro každé x ∈ L. Z (ii) plyne, že musí existovat koeficienty α1, α2, . . . , αk takové, že v = α1h1 + α2h2 + · · · + αkhk = i αihi. Z (iii) plyne pro w = u − v, že σ(u − v, hj) = 0 pro každé j = 1, 2, . . ., k. Pak σ(u − i αihi, hj) = 0, odkud σ(u, hj) − i αi(hi, hj) = 0, takže i αiσ(hi, hj) = σ(u, hj). Maticově α · H = uh, Maticový a tenzorový počet 100 a po transponování HT · ¯α = ¯uh. (3.23) Matice H = (σ(hi, hj)) je vlastně Gramovou maticí skalárního součinu σ na L, takže je matice H regulární, a stejně tak matice HT . V případě reálného vektorového prostoru je navíc HT = H, v případě vektorového prostoru nad komplexními čísly je HT = H∗ . V každém případě soustava (3.23) má jediné řešení ¯α. Pak v = i αihi, w = u − i αihi. (3.24) Vektor v se nazývá ortogonální průmět vektoru u do podprostoru L. Jsou-li navíc vektory h1, h2, . . . , hk ortonormální, pak σ(hi, hj) = δij, a tedy αi = σ(u, hi). Potom v = i σ(u, hi)hi. (3.25) Nyní předpokládejme, že jsou vektory h1, h2, . . . , hk vyjádřeny v nějaké bázi ve V pomocí složek, platí tedy hi = e · ¯hi, kde i = 1, 2, . . .k. Pak také σ(u, hi) = u · G · ¯h∗ i = h∗ i · GT · ¯u = h∗ i · G∗ · ¯u, kde G = GT∗ je Gramova matice skalárního součinu σ v bázi e. Odtud v = i e · ¯hi · h∗ i · G∗ · ¯u = e( i ¯hi · h∗ i · G∗ )¯u = = e · ¯h1 ¯h2 . . . ¯hk ·      h∗ 1 h∗ 2 ... h∗ 3      · G∗ · ¯u = e · P · ¯u, kde P = ¯h1 ¯h2 . . . ¯hk ·      h∗ 1 h∗ 2 ... h∗ 3      · G∗ (3.26) je tzv. matice ortogonální projekce na L. V případě, že je báze e ortonormální (například, když V = Rn se standardním skalárním součinem a e je tvořena sloupci jednotkové Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 101 matice) je G = In a můžeme psát P = ¯h1 ¯h2 . . . ¯hk ·      h∗ 1 h∗ 2 ... h∗ 3      . (3.27) Poznamenejme, že k tomu, aby matici ortogonální projekce na podprostor L bylo možné vyjádřit právě popsaným způsobem, je skutečně nezbytné, aby zvolená báze h1, h2, . . . , hk v L byla ortonormální vzhledem k zadanému skalárnímu součinu. Příklad 3.27 Ve vektorovém prostoru (R4 , +, ·) se standardním skalárním součinem σ(¯u, ¯v) = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 = u · ¯v jsou dány vektory ¯v1 =     2 0 3 −2     , ¯v2 =     0 0 1 0     , ¯v3 =     1 0 4 2     , které generují vektorový podprostor L = {¯v1, ¯v2, ¯v3} ⊆ R4 prostoru (R4 , +, ·). Naším úkolem je najít ortogonální průmět vektoru ¯x =     1 2 −1 0     do L a vzdálenost ¯x od L. Vyjádříme ¯x ve tvaru ¯x = ¯y + ¯z, kde ¯y ∈ L a ¯z ⊥ L. Pak existují α1, α2, α3, že ¯y = α1¯v1 + α2¯v2 + α3¯v3 a také platí σ(¯z, ¯v1) = σ(¯z, ¯v2) = σ(¯z, ¯v3) = 0. Odtud již vyplývají rovnice σ(¯x, ¯vi) = α1σ(¯v1, ¯vi) + α2σ(¯v2, ¯vi) + α3σ(¯v3, ¯vi) pro i = 1, 2, 3. Konkrétně dostaneme soustavu 17α1 + 3α2 + 10α3 = −1 3α1 + α2 + 4α3 = −1 10α1 + 4α2 + 21α3 = −3, Maticový a tenzorový počet 102 jejíž rozšířená matice je   17 3 10 | −1 3 1 4 | −1 10 4 21 | −3   ∼   1 0 0 | 1 3 0 1 0 | −10 3 0 0 1 | 1 3   , odkud α1 = 1 3 , α2 = − 10 3 , α3 = 1 3 . Tedy ¯y = 1 3 ¯v1 − 10 3 ¯v2 + 1 3 ¯v3 =     1 0 −1 0     . Pak ¯z = ¯x − ¯y =     0 2 0 0     . Tedy ortogonální průmět vektoru ¯x do podprostoru L je vektor ¯y =     1 0 −1 0     a vzdálenost d tohoto vektoru od L je rovna délce vektoru ¯z. Tedy d = ||z|| = σ(¯z, ¯z) = √ 02 + 22 + 02 + 02 = 2. Následující příklad ukazuje, jak je možné podobnou úlohu řešit alternativně pomocí ortonormální báze v prostoru, do nějž promítáme. Pokud nemáme vhodnou ortonormální bázi k dispozici, můžeme ji sestrojit například Gram-Schmidtovým ortogonalizačním pro- cesem. Příklad 3.28 Ve vektorovém prostoru (R3 , +, ·) se standardním skalárním součinem jsou dány vektory ¯h1 =   2 3 1 3 −2 3   a ¯h2 =   1√ 2 0 1√ 2   . Úkolem je promítnout vektor u =   2 1 3   Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 103 ortogonálně do podprostoru L = {¯h1, ¯h2} a najít vzdálenost ¯u od L. Protože jsou vektory h1, h2 ortonormální, řešení je neobyčejně jednoduché. Položíme ¯u = ¯v + ¯w, kde ¯v ∈ L a ¯w ⊥ L. Podle (3.25) platí ¯v = σ(¯u, ¯h1)¯h1 + σ(¯u, ¯h2)¯h2 = (2 · 2 3 + 1 · 1 3 − 3 · 2 3 )¯h1 + (2 · 1 √ 2 + 1 · 0 + 3 · 1 √ 2 )¯h2 = = − 1 3 ¯h1 + 5 √ 2 ¯h2 =   −2 9 −1 9 2 9   +   5 2 0 5 2   =   41 18 −1 9 49 18   a ¯w = ¯u − ¯v =   − 5 18 10 9 5 18   . Vzdálenost vektoru ¯u od L je d = ||w|| = 5 18 2 + 10 9 2 + 5 18 2 = 450 324 = 5 √ 2 6 . = 1, 1785 . . . Příklad 3.29 Ve vektorovém prostoru (R3 , +, ·) se standardním skalárním součinem je naším úkolem najít matici ortogonální projekce na podprostor, zadaný v Příkladě 3.28. Využijeme vztahu (3.26), resp. speciálního vztahu (3.27). Bázi v e v R3 volíme standardní „nula-jedničkovou”, tj. takovou, jejíž vektory jsou tvořeny sloupci matice I3. Pak je každý vektor, zapsaný sloupcově, roven svým vlastním složkám v této bázi. Platí P = ¯h1 ¯h2 · h∗ 1 h∗ 2 =   2 3 1√ 2 1 3 0 −2 3 1√ 2   · 2 3 1 3 −2 3 1√ 2 0 1√ 2 =   17 18 2 9 1 18 2 9 1 9 −2 9 1 18 −2 9 17 18   Na zkoušku můžeme spočítat P · ¯u, měli bychom dostat vektor v z předchozího příkladu. Vskutku, P · ¯u =   17 18 2 9 1 18 2 9 1 9 −2 9 1 18 −2 9 17 18   ·   2 1 3   =   41 18 −1 9 49 18   . Podobně vyjde P · ¯w = 0, P · ¯h1 = ¯h1, P · ¯h2 = ¯h2 (ověřte a zdůvodněte, proč tomu tak je). Maticový a tenzorový počet 104 3.5.2 Ortogonální doplněk vektorového podprostoru Buď (V, +, ·) vektorový prostor se skalárním součinem σ, L ⊆ V jeho podprostor. Označme L⊥ = {x| x ∈ V, σ(x, y) = 0 pro každé y ∈ L}. Množina L⊥ se nazývá ortogonální doplněk podprostoru L ve V . Věta 3.9 Nechť (V, +, ·) je vektorový prostor se skalárním součinem σ, L ⊆ V podprostor prostoru V . Pak také L⊥ je vektorový podprostor V . Důkaz. Zvolme u, v ∈ L⊥ a koeficienty α, β a označme w = αu + βv. Nechť y ∈ L. Pak σ(w, y) = σ(αu + βv, y) = ασ(u, y) + βσ(v, y) = 0 + 0 = 0, takže také w ∈ L⊥ . Podle Věty 3.3 je L⊥ vektorový podprostor V . Věta 3.10 Buď (V, +, ·) vektorový prostor se skalárním součinem σ, L ⊆ V podprostor prostoru V . Pak platí (i) V = L ∔ L⊥ (ii) dim V = dim L + dim L⊥ Důkaz. Nejprve ukážeme, že L ∩ L⊥ = {o}. Je-li x ∈ L ∩ L⊥ , pak σ(x, x) = 0, odkud x = o. Tedy L∩L⊥ = {o}. Je-li nyní u ∈ V , podle (3.24) a předchozích výpočtů je možné rozložit vektor u tak, že u = v + w, kde v ∈ L, w ∈ L⊥ . Tedy V = L + L⊥ , přičemž tento součet je přímý. Tím je dokázáno (i). Tvrzení (ii) je pak jen speciálním případem (ii) ve Větě 3.5. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 105 Příklad 3.30 Ve vektorovém prostoru (R4 , +, ·) se standardním skalárním součinem je dán podprostor L jako množina všech řešení homogenní soustavy x1 + x2 + x4 = 0 2x1 − x2 = 0 x2 − x3 + x4 = 0 3x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0. (3.28) Zadaný vektor ¯u =     1 0 1 −1     máme rozložit na dvě složky v, w tak, že u = v + w, kde v ∈ L a w ⊥ L. Pochopitelně je možné nejdříve vyřešit soustavu (3.28) a najít tak generátory nebo bázi prostoru L. Potom bychom mohli pokračovat analogicky jako v Příkladě 3.27 nebo Příkladě 3.28. Avšak tento postup není nejlepší možný. Můžeme využít zvláštní shody okolností, že totiž zvolený skalární součin je standardní a jeho způsob výpočtu se shoduje se způsobem zápisu soustav lineárních rovnic. Soustavu (3.28) totiž můžeme číst také jako σ(¯x, ¯w1) = 0, σ(¯x, ¯w2) = 0, σ(¯x, ¯w3) = 0, σ(¯x, ¯w4) = 0, kde vektory ¯w1, ¯w2, ¯w3, ¯w4 získáme z koeficientů matice soustavy (3.28), čtených po řádcích: ¯w1 =     1 1 0 1     , ¯w2 =     2 −1 0 0     , ¯w3 =     0 1 −1 1     , ¯w4 =     3 1 −1 2     . Položme si otázku, jaký je vztah vektorů ¯w1, ¯w2, ¯w3, ¯w4 a prostorů L, L⊥ . Je zřejmé, že wi ∈ L⊥ pro i = 1, 2, 3, 4. Označíme-li tedy W = {¯w1, ¯w2, ¯w3, ¯w4} , vidíme, že W ⊆ L⊥ . Označíme-li matici soustavy (3.28) jako A, je AT = ¯w1 ¯w2 ¯w3 ¯w4 . Z vlastností soustav lineárních rovnic víme, že dim L + h(A) = n a z Věty 3.10 plyne také dim L + dim L⊥ = n. Tedy dim W = h(A) = dim L⊥ a tedy W = L⊥ . Tedy vektory ¯w1, ¯w2, ¯w3, ¯w4 jsou generátory L⊥ . S využitím vektorů ¯w1, ¯w2, ¯w3, ¯w4 můžeme prostě role prostorů L a L⊥ zaměnit a počítat dále analogicky jako v Příkladě 3.27, aniž bychom museli soustavu (3.28) řešit. Podobně jako v Příkladě 3.27 máme ¯w = α1 ¯w1 + α2 ¯w2 + α3 ¯w3 + α4 ¯w4 Maticový a tenzorový počet 106 a také platí σ(¯v, ¯w1) = σ(¯v, ¯w2) = σ(¯v, ¯w3) = σ(¯v, ¯w4) = 0. Odtud a ze vztahu ¯u = ¯v + ¯w již vyplývají rovnice σ(¯u, ¯wi) = α1σ(¯w1, ¯wi) + α2σ(¯w2, ¯wi) + α3σ(¯w3, ¯wi) + α3σ(¯w4, ¯wi) pro i = 1, 2, 3, 4. Po dosazení konkrétních hodnot máme 3α1 + α2 + 2α3 + 6α4 = 0 α1 + 5α2 − α3 + 5α4 = 2 2α1 − α2 + 3α3 + 4α4 = −2 6α1 + 5α2 + 4α3 + 15α4 = 0 Matice této soustavy je     3 1 2 6 | 0 1 5 −1 5 | 2 2 −1 3 4 | −2 6 5 4 15 | 0     ∼     1 0 0 1 | 4 5 0 1 0 1 | 0 0 0 1 1 | −6 5 0 0 0 0 | 0     Soustava má nekonečně mnoho řešení, lze totiž libovolně volit jeden koeficient, například (a nejvýhodněji) α4. Tento výsledek dostáváme proto, že vektory ¯w1, ¯w2, ¯w3, ¯w4 nejsou lineárně nezávislé (a tedy netvoří bázi v L⊥ , pouze tvoří množinu generátorů prostoru L⊥ ). Nejjednodušší je volit α4 = 0, vektor ¯w4 tím vůbec nepoužijeme. Pak odtud plyne α1 = 4 5 , , α2 = 0, , α3 = − 6 5 , α4 = 0 a tedy ¯w = 4 5 ¯w1 − 6 5 ¯w3 =     4 5 −2 5 6 5 −2 5     , ¯v = ¯u − ¯w =     1 5 2 5 −1 5 −3 5     . 3.5.3 Prvek nejlepší aproximace Položme si otázku, jak můžeme nejlépe aproximovat nejlépe vektor u ∈ V vektorem x ∈ L, aby odchylka (měřená skalárním součinem) ||u − x|| byla co nejmenší. Označme x = i xihi. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 107 Pak ||u − x||2 = σ(u − x, u − x) = σ(u, u) + σ(x, x) − 2σ(u, x) = = ||u||2 + i j xixjσ(hi, hj) − 2σ(u, i xihi). Můžeme předpokládat, že báze h1, h2, . . . , hk prostoru L je ortonormální. Pak σ(hi, hj) = δij, takže ||u − x||2 = ||u||2 + i xi 2 − 2 i xiσ(u, hi) = ||u||2 + i xi 2 − 2 i αixi = = ||u||2 + i xi 2 − 2 i αixi + i αi 2 − i αi 2 = ||u||2 + i (x2 i − 2xiαi + α2 i )− − i αi 2 = ||u||2 − i αi 2 + i (xi − αi)2 . (3.29) Z (3.29) vyplývá, že ||u − x|| se minimalizuje pro xi = αi = σ(u, hi). Nejlepší aproximace nastává pro x = i σ(u, hi)hi, což je právě ortogonální průmět vektoru u do L. Příklad 3.31 V prostoru (C 0,1 , +, ·) se skalárním součinem σ(u, v) = 1 0 u(x)v(x)dx aproximujme co nejlépe funkci ex polynomem druhého stupně. Promítneme ortogonálně funkci ex do podprostoru P2(x) ⊆ C 0,1 . Ortonormální báze v P2(x) je tvořena například vektory h1 = 1, h2 = 2 √ 3 x− √ 3, h3 = 6 √ 5 x2 −6 √ 5 x+ √ 5, jak se můžeme přesvědčit v Příkladě 3.23. Podle vztahu (3.25) platí pro ortogonální průmět f(x) f(x) = σ(ex , h1)h1 + σ(ex , h2)h2 + σ(ex , h3)h3. (3.30) Přitom σ(ex , h1) = 1 0 ex dx = e − 1, σ(ex , h2) = 1 0 ex (2 √ 3 x − √ 3)dx = − √ 3 e + 3 √ 3, σ(ex , h3) = 1 0 ex (6 √ 5 x2 − 6 √ 5 x + √ 5)dx = 7 √ 5 e − 19 √ 5. Dosazením do (3.30) dostaneme f(x) = (210e − 570)x2 + (−216e + 588)x + 39e − 105 . = . = 0, 8392 x2 + 0, 8511 x + 1, 0130. Maticový a tenzorový počet 108 3.6 Klíčové myšlenky kapitoly • Vektory z nějaké množiny jsou lineárně nezávislé, právě když je aspoň jeden z nich lineární kombinací ostatních. • Maximální lineárně nezávislý systém vektorů v daném vektorovém prostoru se nazývá báze. • Počet prvků báze (je-li konečný) se nazývá dimenze daného vektorového prostoru. • Každý vektor lze vyjádřit jednoznačně jako lineární kombinaci vektorů báze. • Báze můžeme vzájemně transformovat pomocí matic přechodu. • Pomocí matic přechodu se transformují i složky vektorů v různých bázích, ale jinak (opačným směrem) než báze samotné. • Matice přechodu jsou vždy regulární. • Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory je určeno maticí, která závisí na volbě bází v obou prostorech. • Při změně báze v některém z prostorů se i matice lineárního zobrazení transformuje pomocí matice přechodu. • Skalární součin dvou vektorů je reprezentován tzv. Gramovou maticí. Ta je pro ortonormální bázi jednotková. • Při změně báze se Gramova matice transformuje (jistým způsobem) pomocí matice přechodu. • K nalezení ortonormální báze slouží Gram-Schmidtův ortogonalizační proces. Získané ortogonální vektory je třeba ještě normovat. • Je-li báze vektorového podprostoru ortonormální, ortogonální průmět vektoru do tohoto podprostoru se spočítá zvlášť jednoduchým způsobem. • Ortogonální průmět daného vektoru aproximuje tento vektor nejlépe ze všech vektorů podprostoru, do něhož je daný vektor promítán. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 109 3.7 Cvičení N 1. Které z následujících vektorů ¯a =   1 1 1  , ¯b =   4 2 −6  , ¯c =   −2 −1 1  , ¯d =   −1 2 3   jsou lineárními kombinacemi vektorů ¯v1 =   4 2 −3  , ¯v2 =   2 1 −2  , ¯v3 =   −2 −1 0  ? Výsledek: ¯b, ¯c . 2. Které z následujících vektorů a = −1 4 2 2 , b = 1 2 0 1 , c = −1 1 4 3 , d = 0 1 1 0 jsou lineárními kombinacemi vektorů v1 = 1 0 0 1 , v2 = 1 −1 0 0 , v3 = 0 1 2 1 ? Výsledek: žádný ze zadaných vektorů . 3. Které z následujících vektorů a(t) = t2 + t + 2, b(t) = 2t2 + 2t + 3, c(t) = −t2 + t − 4, d(t) = −2t2 +3t+1 jsou lineárními kombinacemi vektorů p1(t) = t2 +2t+1, p2(t) = t2 +3, p3(t) = t − 1? Výsledek: a(t), c(t) . 4. Které z následujících množin vektorů generují R4 ? A = 1 0 0 1 , 0 1 0 0 , 1 1 1 1 , 1 1 1 0 , B = 1 2 1 0 , 1 1 −1 0 , 0 0 0 1 , 0 0 0 0 , C = 6 4 −2 4 , 2 0 0 1 , 3 2 −1 2 , 5 6 −3 2 , 0 4 −2 −1 , D = 1 1 0 0 , 1 2 −1 1 , 0 0 1 1 , 2 1 2 1 , Výsledek: A, D . 5. Které z následujících množin vektorů jsou lineárně závislé? Maticový a tenzorový počet 110 A = 1 1 2 1 , 1 0 0 2 , 4 6 8 6 , 0 3 2 1 , B = 1 −2 3 −1 , −2 4 −6 2 , C = 1 1 1 1 , 2 3 1 2 , 3 1 2 1 , 2 2 1 1 , D = 4 2 −1 3 , 6 5 −5 1 , 2 −1 3 5 , Výsledek: A, D . 6. Jsou dány vektory ¯v1 =   1 2 2   , ¯v2 =   3 2 1   , ¯v3 =   11 10 7   ¯v4 =   7 6 4   . Vyberte z těchto vektorů bázi vektorového podprostoru W = {¯v1, ¯v2, ¯v3, ¯v4} prostoru R3 a určete dim W. Výsledek: Například ¯v1 a ¯v2 tvoří bázi ve W, přičemž dim W = 2. . 7. Jsou dány polynomy p1(t) = t3 + t2 − 2t + 1, p2(t) = t2 + 1, p3(t) = t3 − 2t, p4(t) = 2t3 + 3t2 − 4t + 3. Mezi těmito polynomy vyberte bázi prostoru P = {p1, p2, p3, p4} . Výsledek: Například p1 a p2 tvoří bázi v P, přičemž dim P = 2. . 8. Ve vektorovém prostoru R6 jsou dány vektory: a1 = 2 1 1 0 0 1 , a2 = 2 2 1 1 0 0 , a3 = 2 −1 1 −2 0 3 , b1 = 0 1 0 1 0 −1 , b2 = 4 2 2 0 0 2 , b3 = 1 1 0 2 1 0 . Označme L1 = {a1, a2, a3} , L2 = {b1, b2, b3} . Stanovte dim L1, dim L2, dim L1 + L2, dim L1 ∩ L2 a ve všech vyjmenovaných prostorech najděte báze. Výsledek: dim L1 = 2, dim L2 = 3, dim L1 + L2 = 3, dim L1 ∩ L2 = 2. Platí (pouze v tomto konkrétním příkladě), že L1 + L2 = L2, kde bázi tvoří například b1, b2, b3, a L1 ∩ L2 = L1, kde báze je tvořena například vektory a1 a a2. . 9. Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány vektory a1 = 1 1 0 0 , a2 = 0 1 1 0 , a3 = 0 0 1 1 , b1 = 1 0 1 0 , b2 = 0 2 1 1 , b3 = 1 2 1 2 . Označme L1 = {a1, a2, a3} , L2 = {b1, b2, b3} . Najděte bázi v prostoru L1 ∩ L2 a určete jeho dimenzi. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 111 Výsledek: Bázickými vektory v L1 ∩ L2 jsou například vektory u1 = 0 1 1 0 a u2 = 1 1 1 1 , dim L1 ∩ L2 = 2. . 10. Ve vektorovém prostoru V = R3 jsou dány dvě báze e =     1 0 1   ,   −1 0 0   ,   0 1 2     a f =     −1 1 0   ,   1 2 −1   ,   0 1 0     . Nalezněte obě matice přechodu a složky vektoru ¯v =   1 3 8   v obou bázích. Přitom tyto složky počítejte nejprve přímo, potom také s využitím matic přechodu a již vypočítaných složek ve druhé bázi. Výsledky porovnejte. Výsledek: f = e · T, T =   −2 −5 −2 −1 −6 −2 1 2 1  ; e = s · S, S = T−1 =   −2 1 −2 −1 0 −2 4 −1 7  ; ¯v = e · ¯v′ = f · ¯v′′ , ¯v′ = T · ¯v′′ , ¯v′ =   2 1 3  , ¯v′′ =   −9 −8 28  . . 11. Zopakujte předchozí cvičení pro V = P2(t), e = (t2 + 1, t − 2, t + 3), f = (2t2 + t, t2 + 3, t), v = 8t2 − 4t + 6. Výsledek: T =   2 1 0 1 −2 5 3 5 0 2 5 2 5   , S = T−1 =   1 3 1 3 −1 2 1 3 −2 3 1 −1 3 2 3 3 2   , ¯v′ =   8 −2 −2   , ¯v′′ =   3 −2 7  . . 12. Nechť f : R2 → R2 je lineární zobrazení, pro které platí f 1 1 = 2 −3 a f 0 1 = 1 2 . Určete f a b a matici zobrazení f (vzhledem ke standardní kanonické bázi v R2 ). Výsledek: f a b = a + b −5a + 2b = 1 1 −5 2 · a b . 13. Nechť f : R2 → R3 je definováno vztahem f(x, y) = (x, x + y, y). Určete ker f. Maticový a tenzorový počet 112 Výsledek: ker f = {(0, 0)} . 14. Nechť f : R5 → R4 je definováno vztahem f             x1 x2 x3 x4 x5             =     1 0 −1 3 −1 1 0 0 2 −1 2 0 −1 5 −1 0 0 −1 1 0     ·       x1 x2 x3 x4 x5       . Najděte báze prostorů ker f a Im f. Výsledek: Bázi v ker f tvoří například vektory       −2 0 1 1 0       ,       0 1 0 0 0       ; bázi v Im f například vektory     1 0 0 1     ,     0 1 0 −1     ,     0 0 1 0     . 15. Nechť f : R4 → R3 je definováno vztahem f         x y z w         =   x + y y − z z − w   . Určete dim ker f. Výsledek: dim ker f = 1 . 16. Nechť f : R3 → R2 je definováno vztahem f     x y z     = x + y y − z . V R3 je dána standardní kanonická báze e a báze e′ =     1 1 0   ,   0 1 0   ,   −1 1 1    , v R2 je dána standardní kanonická báze f a jiná báze f ′ = −1 1 , 1 2 . Nalezněte matice zobrazení f pro všechny čtyři kombinace volby báze v R3 a R2 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 113 Výsledek: Pro e, f : 1 1 0 0 1 −1 ; pro e′ , f : 2 1 0 1 1 0 ; pro e, f ′ : −2 3 −1 3 −1 3 1 3 2 3 −1 3 ; pro e′ , f ′ : −1 −1 3 0 1 2 3 0 . 17. Použijte Gram-Schmidtův proces k nalezení ortonormální báze v podprostoru V ⊆ R3 generovaného vektory (1, −1, 0), (2, 0, 1). Výsledek: ( 1√ 2 , − 1√ 2 , 0), ( 1√ 3 , 1√ 3 , 1√ 3 ) . 18. Použijte Gram-Schmidtův proces k nalezení ortonormální báze v podprostoru V ⊆ R4 generovaného vektory (1, −1, 0, 1), (2, 0, 0, −1), (0, 0, 1, 0). Výsledek: ( 1√ 3 , − 1√ 3 , 0, 1√ 3 ), ( 5√ 42 , 1√ 42 , 0, − 4√ 42 ), (0, 0, 1, 0) . 19. Vyjádřete vektor u = (5, 2, −2, 2) ∈ R4 jako součet dvou vektorů u = v + w, kde v je lineární kombinací vektorů (2, 1, 1, −1) a (1, 1, 3, 0) a w je k těmto vektorům kolmý. Použijte standardní skalární součin. Výsledek: v = (3, 1, −1, −2), w = (2, 1, −1, 4) . 20. Najděte ortogonální průmět vektoru ¯v =     1 0 2 3     do podprostoru L ⊆ R4 , generovaného vektory     1√ 2 0 0 − 1√ 2     ,     0 0 1 0     ,     1√ 2 0 0 1√ 2     . Výsledek: V tomto případě je ¯v ∈ L, takže průmět vektoru ¯v je roven vektoru ¯v. . 21. Podprostor L ⊆ R3 je generován vektorem a = (1, −2, 1). V podprostoru L⊥ ⊆ R3 všech vektorů z R3 kolmých na L najděte ortonormální bázi. Výsledek: Ortonormální bázi v L⊥ tvoří např. vektory ( 1√ 3 , 1√ 3 , 1√ 3 ) a (− 1√ 2 , 0, 1√ 2 ). . 22. Podprostor L ⊆ R4 je generován vektory a = (1, 1, 1, 1) a b = (2, 1, −1, 1). V podprostoru L⊥ ⊆ R4 všech vektorů z R4 kolmých na L najděte (ne nutně ortonormální nebo ortogonální) bázi. Maticový a tenzorový počet 114 Výsledek: Báze v L⊥ je tvořena například vektory (0, −1, 0, 1) a (2, −3, 1, 0). . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 115 3.8 Cvičení M V následujících cvičeních použijte Matlab ke zjištění, zda je daný vektor v lineární kombinací množiny vektorů S. Pokud ano, najděte příslušné koeficienty této lineární kombinace a vektor v pomocí vektorů z S vyjádřete. 1. v = (0, 1, 1, 1), S = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}. 2. ¯v =   0 5 −2  , S =      1 2 −1   ,   2 −1 0   ,   −1 8 −3      . 3. v = 1 0 0 1 , S = 1 2 1 0 , 2 −1 1 2 , −3 1 0 1 . 4. v = t2 + 2t + 4, S = {t − 1, t + 1, t2 + t + 1}. V následujících cvičeních použijte Matlab ke zjištění, zda vektory z množiny S tvoří bázi ve vektorovém prostoru V . 5. S = {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (2, 2, 1)}, V = R3 . 6. S = {2t − 2, t2 − 3t + 1, 2t2 − 8t + 4}, V = P2(t). 7. S = {(1, 1, 0, 0), (2, 1, 1, −1), (0, 0, 1, 1), (1, 2, 1, 2)}, V = R4 . 8. S = {(1, 2, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (2, −2, 4, 2)}, V = S . 9. S = {(1, 2, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (2, 2, 1, 2)}, V = S . 10. S = {(0, 1, −1), (1, 1, 1)}, V = {(a, b, c) | a, b, c ∈ R, b + c = 2a}. V následujících cvičeních pomocí Matlabu určete složky vektorů a, b, c v bázi e vektorového prostoru V . 11. e =     1 2 1   ,   2 1 0   ,   1 0 2    , ¯a =   8 4 7  , ¯b =   2 0 −3  , ¯c =   4 3 3  . 12. e = ((1, 0, 1, 1), (1, 2, 1, 3), (0, 2, 1, 1), (0, 1, 0, 0)), a = (4, 12, 8, 14), b = (1 2 , 0, 0, 0), c = (1, 1, 1, 7 3 ). 13. e = 1 2 1 2 , 0 2 1 0 , 3 1 −1 0 , −1 0 0 0 , a = 1 0 0 1 , b = 2 10 3 7 6 2 , c = 1 1 1 1 . Maticový a tenzorový počet 116 V následujících cvičeních použijte Matlab k výpočtu matice přechodu T od báze e k bázi f a matice přechodu S od báze f k bázi e vektorového prostoru V . Ověřte, že TS = ST = In, kde n = dim V . 14. e =     1 1 0   ,   0 1 1   ,   1 0 1    , f =     2 1 1   ,   1 2 1   ,   1 1 2    . 15. e = ((1, 2, 3, 0), (0, 1, 2, 3), (3, 0, 1, 2), (2, 3, 0, 1)), f = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)). 16. e = (t − 1, t + 1, t2 + t, t3 − t), f = (t2 , 1 − t, 2 − t2 , t3 + t2 ). 17. Ve vektorovém prostoru V = R3 jsou dány tři báze e =     1 1 1   ,   1 2 1   ,   0 1 1     , f =     1 0 1   ,   1 1 0   ,   0 1 2     , g =     2 1 1   ,   −1 2 1   ,   1 −2 1     . Pomocí Matlabu sestrojte matici přechodu T od e k f , matici přechodu S od f ke g a matici přechodu U od g k e. Zjistěte, jaké vztahy platí mezi maticemi T, S, U. V následujících úlohách najděte pomocí Matlabu bázi v prostorech ker f a Im f lineárního zobrazení f(¯x) = A · ¯x. Určete dim ker f a dim Im f. 18. A = 1 2 5 5 −2 −3 −8 −7 . 19. A =   −3 2 −7 2 −1 4 2 −2 6   . 20. A =   3 3 −3 1 11 −4 −4 7 −2 −19 2 2 −3 1 9   . V následujících úlohách je dáno lineární zobrazení f : V → W, báze e prostoru V a báze f prostoru W. Najděte matici A zobrazení f, která reprezentuje zobrazení f vzhledem k těmto bázím. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 117 21. V = R3 , W = R2 , f     x y z     = 2x − y x + y − 3z , e =     1 1 1   ,   1 2 1   ,   0 1 −1    , f = 1 2 , 2 1 . 22. V = R3 , W = R4 , f(¯x) =     1 2 0 2 1 −1 3 1 0 −1 0 2     · ¯x, e =     1 0 1   ,   2 0 1   ,   0 1 2    , f =         1 1 1 2     ,     1 1 1 0     ,     0 1 1 −1     ,     0 0 1 0        . V následujících úlohách použijte proceduru gschmidt systému Matlab k získání ortonormálního systému vektorů ze zadaného systému vektorů S. 23. S =      1 1 0   ,   1 0 0   ,   0 1 1      . 24. S = {(1, 0, 1, 1), (1, 2, 1, 3), (0, 2, 1, 1), (0, 1, 0, 0)}. 25. Nechť W ⊆ R4 je podprostor prostoru R4 s bází e =         1 1 0 1     ,     2 −1 0 0     ,     0 1 0 1        . Najděte ortogonální projekci ¯w vektoru ¯v =     0 0 1 1     do W a vzdálenost ¯v od W. Návod: Vzdálenost v od W je definována jako ||¯v − ¯w||, tedy jako velikost vektoru ¯u kolmého k W a takového, že ¯v = ¯u + ¯w. Můžete použít procedury Matlabu dot a norm. Maticový a tenzorový počet 118 3.9 Kontrolní otázky 1. Uveďte přesnou definici vektorového prostoru. 2. Mohou mít dvě báze téhož vektorového prostoru různý počet prvků? Jak je to se systémy generátorů daného vektorového prostoru? 3. Pro dva vektorové podprostory L1, L2 ⊆ V platí dim L1 = 2, dim L2 = 3, dim L1 +L2 = 3. Co můžete říci o vztahu L1 a L2? Určete dim L1 ∩ L2. 4. Je v kontextu předchozí otázky množina L1 ∪ L2 vektorový podprostor V ? Jak je to v obecném případě? 5. Uveďte přesnou definici lineárního zobrazení. 6. Rozhodněte, zda zobrazení, které přiřadí reálnému číslu jeho absolutní hodnotu, je lineární. 7. Rozhodněte, zda každé zobrazení f : R → R, jehož grafem je přímka, je lineární. 8. Jaké je jádro prostého lineárního zobrazení? 9. Nechť f : R5 → R3 je lineární zobrazení, jehož oborem hodnot je celý prostor R3 . Určete dim ker f. 10. Dokažte, že ortogonální projekce vektoru na podprostor je lineární zobrazení, aniž byste vyjadřovali ortogonální projekci pomocí souřadnic. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 119 4 Vlastní hodnoty a vlastní vektory Vracíme se opět k maticím. Víme již, že lineární zobrazení je určeno vhodnou maticí. V této kapitole studujeme důležité charakteristiky lineárního zobrazení a matice, zvané vlastní čísla a vlastní vektory. Tyto charakteristiky umožní popsat chování matic jednodušším způsobem. Maticový a tenzorový počet 120 Nechť A je čtvercová matice řádu n. Hledáme vektor ¯x ∈ Rn takový, že A¯x = λ¯x, kde λ je vhodné (reálné nebo komplexní) číslo. Pak postupně dostáváme A¯x − λ¯x = 0, A¯x − λIn¯x = 0, (λIn − A)¯x = 0. (4.1) Rovnice (4.1) se nazývá charakteristická rovnice příslušná matici A. Jde v podstatě o homogenní soustavu lineárních rovnic vzhledem k neznámým x1, x2, . . . , xn, zapsanou maticově. Tato soustava má netriviální řešení, právě když je matice soustavy (4.1) singulární, což je právě tehdy, když je determinant této matice nulový; tedy det(λIn − A) = 0. (4.2) Výraz na levé straně rovnice (4.2) se nazývá charakteristický polynom matice A a jeho kořeny λ1, λ2, . . . , λn se nazývají charakteristické hodnoty (také vlastní hodnoty, po případě vlastní čísla) matice A. Řešení ¯x soustavy (λiIn − A)¯x = 0 se nazývá charakteristický, nebo také vlastní vektor matice A. Množina všech vlastních vektorů matice A se nazývá charakteristický nebo také vlastní podprostor matice A. Příklad 4.1 Nechť A =   1 2 −1 1 0 1 4 −4 5   . Pak det(λI3 − A) = λ − 1 −2 1 −1 λ − 0 −1 −4 4 λ − 5 = λ3 − 6λ2 + 11λ − 6. Za předpokladu, že charakteristický polynom má celočíselné kořeny, můžeme, například s použitím Hornerova schématu, provést rozklad na kořenové činitele λ3 − 6λ2 + 11λ − 6 = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3). Odtud již vyplývá, že λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3. Nejprve zvolíme λ = λ1 = 1 a řešíme rovnice (1I3 − A)¯x = 0, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 121 odkud   0 −2 1 −1 1 −1 −4 4 −4     x1 x2 x3   =   0 0 0   . (4.3) Pomocí Gaussovy eliminace, aplikované na rozšířenou matici soustavy (4.3) dostaneme   0 −2 1 | 0 −1 1 −1 | 0 −4 4 −4 | 0   ∼   1 0 1 2 | 0 0 1 −1 2 | 0 0 0 0 | 0   , odkud vyplývá x1 + 1 2 x3 = 0 x2 − 1 2 x3 = 0. Řešením soustavy (4.3) je tedy vektor   −r 2 r 2 r   pro libovolné (reálné nebo komplexní) číslo r. Tedy pro r = 2 je ¯v1 =   −1 1 2   vlastní vektor matice A příslušný vlastní hodnotě λ1 = 1. Zcela analogicky, dosazením λ = λ2 = 2, popřípadě λ = λ3 = 3 dostaneme vlastní vektory ¯v2 =   −2 1 4   a ¯v3 =   −1 1 4   . Můžeme se přesvědčit, že A · ¯v1 =   1 2 −1 1 0 1 4 −4 5     −1 1 2   =   −1 1 2   = ¯v1, A · ¯v2 =   1 2 −1 1 0 1 4 −4 5     −2 1 4   =   −4 2 8   = 2¯v2 a A · ¯v3 =   1 2 −1 1 0 1 4 −4 5     −1 1 4   =   −3 3 12   = 3¯v3. Maticový a tenzorový počet 122 Buďte A, B čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A, B jsou podobné, existuje-li čtvercová regulární matice P řádu n taková, že B = P−1 AP. Věta 4.1 Podobné matice mají stejné vlastní hodnoty. Důkaz. Nechť jsou matice A, B podobné. Pak existuje regulární matice P taková, že B = P−1 AP. Spočítáme charakteristický polynom matic A, B. Platí pλ(B) = det(λIn − B) = det(λIn − P−1 AP) = det(λP−1 InP − P−1 AP) = = det[P−1 (λInP − AP)] = det[P−1 (λIn − A)P] = = det P−1 · det(λIn − A) · det P = det P−1 · det P · det(λIn − A) = = det(P−1 · P) · det(λIn − A) = det(In) · det(λIn − A) = det(λIn − A) = pλ(A). Obě matice mají stejný charakteristický polynom, tedy stejné jsou i jeho kořeny, charakteristické hodnoty. Poznamenejme, že opak Věty 4.1 obecně neplatí. Mohou existovat matice se stejnými vlastními hodnotami i vektory, aniž by byly navzájem podobné. Věta 4.2 Vlastní vektory reálné symetrické matice a komplexní samoadjungované matice, které přísluší navzájem různým vlastním hodnotám, jsou navzájem ortogonální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. Důkaz. Nechť ¯x, ¯y ∈ Cn jsou vlastní vektory samoadjungované matice A = AT∗ , příslušné vlastním hodnotám λ1 = λ2. Pak platí A¯x = λ1¯x, A¯y = λ2¯y, odkud také xAT = λ1x. Potom xAT ¯y∗ = λ1x · ¯y∗ a také xAT ¯y∗ = x · (A∗ ¯y∗ ) = x · (A¯y)∗ = x · (λ2¯y)∗ = λ2x · ¯y∗ , odkud plyne λ1x · ¯y∗ = xAT ¯y∗ = λ2x · ¯y∗ . Tedy (λ1 − λ2) · x · ¯y∗ = 0 a protože λ1 = λ2, plyne odtud pro standardní skalární součin vektorů ¯x, ¯y i xiy∗ i = x · ¯y∗ = 0. Vektory ¯x, ¯y jsou tedy ortogonální. Protože je reálná symetrická matice zvláštním případem komplexní samoadjungované matice, tvrzení platí i pro reálnou symetrickou matici. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 123 Věta 4.3 Komplexní samoadjungovaná i reálná symetrická matice mají, včetně násobností, právě n reálných vlastních hodnot. Důkaz. Nechť je A samoadjungovaná matice. Pak AT∗ = A. Buď ¯x = 0 vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě λ ∈ C. Pak A¯x = λ¯x, což dává (A¯x)T∗ = λ ∗ x∗ , odkud x∗ AT∗ = λ∗ x∗ , a nakonec x∗ A = λ∗ x∗ . Pak ovšem λ∗ · x∗ · ¯x = x∗ A¯x = λ · x∗ · ¯x, a vzhledem k tomu, že ¯x = 0, je x∗ ¯x = i xix∗ i kladné číslo, a tedy λ∗ = λ. Proto λ ∈ R. Příklad 4.2 Nechť A =   0 0 −2 0 −2 0 −2 0 3   . Vlastní čísla matice A najdeme výpočtem det(λI3 − A) = λ 0 2 0 λ + 2 0 2 0 λ − 3 = λ(λ + 2)(λ − 3) − 4(λ + 2) = (λ + 2)(λ(λ − 3) − 4) = = (λ + 2)(λ2 − 3λ − 4) = (λ + 2)(λ + 1)(λ − 4). Pokud tedy má být det(λI3 − A) = 0, musí být λ = λ1 = −2, λ = λ2 = −1, nebo λ = λ3 = 4. Postupně tedy řešíme (λiI3 − A) · ¯x = 0 pro i = 1, 2, 3. Pro λ = λ1 = −2 máme   −2 0 2 | 0 0 0 0 | 0 2 0 −5 | 0   ∼   1 0 0 | 0 0 0 1 | 0 0 0 0 | 0   . Maticový a tenzorový počet 124 Této rozšířené matici a jejímu redukovanému schodovitému tvaru odpovídá řešení   0 r 0   , kde r je libovolně volené číslo. Můžeme například volit r = 1 a dostaneme ¯v1 =   0 1 0   . Podobně, pro λ = λ2 = −1 máme   −1 0 2 | 0 0 1 0 | 0 2 0 −4 | 0   ∼   1 0 −2 | 0 0 1 0 | 0 0 0 0 | 0   . Soustavě, kterou představuje tato rozšířená matice, vyhovuje například vektor ¯v2 =   2 0 1   . Nakonec, pro λ = λ3 = 4 dostáváme   4 0 2 | 0 0 6 0 | 0 2 0 1 | 0   ∼   1 0 1 2 | 0 0 1 0 | 0 0 0 0 | 0   . a ¯v3 =   −1 0 2   . Vektory ¯v1, ¯v2, ¯v3 jsou vlastními vektory matice A, příslušné vlastním hodnotám λ1 = −2, λ2 = −1, λ3 = 4. Můžeme si všimnout, že tyto vektory jsou navzájem ortogonální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. Položme ¯h1 = ¯v1 ||v1|| =   0 1 0   , ¯h2 = ¯v2 ||v2|| =   2√ 5 0 1√ 5   , ¯h3 = ¯v3 ||v3|| =   − 1√ 5 0 2√ 5   . Pak h = ¯h1 ¯h2 ¯h3 je ortonormální báze v R3 (případně v C3 ) tvořená vlastními vektory matice A. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 125 Věta 4.4 Buď A čtvercová samoadjungovaná matice, případně symetrická reálná matice řádu n. Pak v Cn , případně v Rn , existuje ortonormální báze, tvořená vlastními vektory matice A. Důkaz. Větu dokážeme pro obecnější případ komplexního n-rozměrného prostoru Cn , varianta důkazu s reálnými čísly je analogická. Také je zřejmé, že stačí ukázat existenci báze z vlastních vektorů. Vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám jsou ortogonální podle Věty 4.2, v rámci jednoho vlastního podprostoru lze použít například Gram-Schmidtův ortogonalizační proces. Nechť λ1, λ2,. . . , λr od sebe různé, podle Věty 4.3 však reálné vlastní hodnoty matice A; L1, L2, . . . , Lr ⊆ Cn k nim příslušné vlastní podprostory. Označme L = L1 + L2 + · · · + Lr, ukážeme, že L = Cn . Budeme postupovat sporem. Předpokládejme naopak, že L Cn . Pak existují v Cn vektory ortonormální k L, které tvoří ortogonální doplněk U = L⊥ podprostoru L v Cn . Potom platí Cn = L1 + L2 + · · · + Lr + U = L + U. (4.4) Buď ¯z ∈ U vektor. Ukážeme, že pak A¯z ∈ U. Protože A¯z ∈ Cn , podle (4.4) existují vektory ¯y1 ∈ L1, ¯y2 ∈ L2, . . . , ¯yr ∈ Lr, ¯u ∈ U, tak, že platí A¯z = ¯y1 + ¯y2 + · · · + ¯yr + ¯u. (4.5) Pak y∗ i A¯z = y∗ i · (¯y1 + ¯y2 + · · · + ¯yr + ¯u) = y∗ i ¯y1 + y∗ i ¯y2 + · · · + y∗ i ¯yi + · · · + y∗ i ¯yr + y∗ i ¯u = = y∗ i ¯yi, (4.6) protože pro i = j je y∗ i ¯yj = 0 standardní skalární součin vektorů yi, yj, které jsou podle Věty 4.2 ortogonální. Podobně také yi ¯u = 0, neboť prostor U je ortogonálním doplňkem prostoru L a platí ¯yi ∈ L, ¯u ∈ U. Ale také platí y∗ i A¯z = (A¯yi)T∗ ¯z = (λi¯yi)T∗ = λ∗ i y∗ i ¯z = λ∗ i · 0 = 0. (4.7) Kombinací (4.6) a (4.7) dostaneme, že ||¯yi||2 = y∗ i ¯yi = 0 a tedy ¯yi = 0. Ze vztahu (4.5) pak vyplývá, že A¯z = ¯u ∈ U. Nyní ukážeme, že rovnice A¯z = λ¯z (4.8) má řešení v U, což povede ke sporu s tím, že L je prostor všech vlastních vektorů matice A. Zvolme v U ortonormální bázi h = ¯h1 ¯h2 . . . ¯hk a shodně označme matici H = ¯h1 ¯h2 . . . ¯hk Maticový a tenzorový počet 126 tvořenou ze sloupcových vektorů této báze. Pro vektor ¯u ∈ U můžeme psát ¯u = h · ˜u = H · ˜u, což je vyjádření vektoru ¯u v bázi h prostoru U. Protože je báze h ortonormální, je nutně HT∗ H = Ik. Uvažujme rovnici HT∗ AH˜z = λ˜z. (4.9) Matice Q = HT∗ AH je samoadjungovaná (přesvědčte se o tom !), takže existuje reálná vlastní hodnota λ ∈ R a sloupcový vektor ˜z ∈ Ck , které rovnici (4.9) splňují. Položíme ¯z = H · ˜z. (4.10) Odtud mimo jiné plyne, že ¯z ∈ U jakožto lineární kombinace vektorů ¯h1, ¯h2, . . . , ¯hk ∈ U. Nyní rozšíříme matici H o dalších n − k sloupců, navzájem ortonormálních vektorů z L1, L2, . . . , Lr tak, aby vzniklá matice H′ byla čtvercová n-rozměrná matice. Vzhledem k ortonormálnosti vektorů, které tvoří sloupce matice H platí H′T∗ · H′ = In, a jak jsme ukázali v poznámce za Větou 1.15, také platí H′ · H′T∗ = In. Tedy matice H′ , H′T∗ jsou vzájemně inverzní. Nyní vyjádříme vektor ¯z pomocí matice H′ . Vezměme vektor ˜z a rozšiřme ho o dodatečných n − k složek, které jsou rovny nule tak, aby vznikl n-rozměrný vektor ˆz. Platí tedy ˆz =            ˜z1 ˜z2 ... ˜zk 0 ... 0            a pak ¯z = H′ · ˆz. (4.11) Z (4.10) a (4.11) plyne H′ ˆz = H˜z, takže dosazením do (4.9) dostáváme HT∗ AH′ ˆz = λ˜z. (4.12) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 127 Matice H′T∗ má oproti HT∗ navíc n − k řádků. Tyto řádky jsou tvaru h∗ j , kde j ∈ {n − k + 1, n − k + 2, . . . , n}, přičemž ¯hj ∈ Lij , kde ij ∈ {1, 2, . . .r} je vhodné číslo. Přitom h∗ j A = (A¯hj)T∗ = (λij ¯hj)T∗ = λij h∗ j , a tedy h∗ j A¯z = λij h∗ j ¯z = 0, neboť ¯hj, ¯z patří do navzájem ortogonálních prostorů, po řadě L, U. Pak ovšem (4.12) lze rozšířit na H′T∗ AH′ ˆz = λˆz. (4.13) Když vynásobíme (4.13) z leva maticí H′ , dostaneme AH′ ˆz = λH′ ˆz, odkud, s pomocí (4.11), plyne A¯z = λ¯z. Tedy ¯z je vlastní vektor matice A, příslušející hodnotě λ, který nepatří do žádného z vlastních podprostorů L1, L2,. . . Lr, což je spor. Během důkazu jsme se setkali s maticí H′ , k níž inverzní matici bylo možné získat velmi snadno, pouhým transponováním a náhradou všech prvků matice komplexně sdruženými čísly. Taková matice se nazývá unitární. Pokud pracujeme s reálnými maticemi, operace komplexního sdružení nemá na matici vliv. V takovém případě říkáme, že je daná matice maticí ortogonální. Věta 4.5 Nechť A je samoadjungovaná matice, případně reálná symetrická matice řádu n. Pak existuje unitární, případně ortogonální matice H taková, že D = H−1 AH je diagonální matice, která v diagonále obsahuje vlastní čísla matice A. Důkaz. Podle Věty 4.4 existuje v Cn , případně Rn , báze z vlastních vektorů. Vektory příslušné různým vlastním hodnotám jsou v případě samoadjungované komplexní matice nebo reálné symetrické matice automaticky ortogonální podle Věty 4.2, v rámci jednoho daného vlastního podprostoru najdeme navzájem ortogonální generátory GramSchmidtovým ortogonalizačním procesem. Nalezené vektory podělíme jejich normou, čímž dostaneme tedy celkem n navzájem ortogonálních a jednotkových vlastních vektorů, tj. ortonormální bázi, řekněme ¯h1, ¯h2, . . . , ¯hn. Těmto vektorům odpovídají vlastní hodnoty Maticový a tenzorový počet 128 (z nichž některé mohou být stejné) λ1, λ2, . . . , λn. Sloupcově zapsané vektory seřadíme do matice H = ¯h1 ¯h2 . . . ¯hn . Pak platí A · H = A¯h1 A¯h2 . . . A¯hn = λ1 ¯h1 λ2 ¯h2 . . . λn ¯hn = = ¯h1 ¯h2 . . . ¯hn ·      λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . λn      = H ·      λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . λn      . Tedy H−1 AH =      λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . λn      . Příklad 4.3 Uvažujme matici A =   0 0 −2 0 −2 0 −2 0 3   . Její normované a ortogonální vlastní vektory, příslušné vlastním číslům λ1 = −2, λ2 = −1, λ3 = 4 jsou po řadě ¯h1 =   0 1 0   , ¯h2 =   2√ 5 0 1√ 5   , ¯h3 =   − 1√ 5 0 2√ 5   , neboť tak jsme je určili v Příkladě 4.2. Pak H =   0 2√ 5 − 1√ 5 1 0 0 0 1√ 5 2√ 5   a také H−1 = HT =   0 1 0 2√ 5 0 1√ 5 − 1√ 5 0 2√ 5   . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 129 Můžeme ověřit, že H−1 AH =   0 1 0 2√ 5 0 1√ 5 − 1√ 5 0 2√ 5   ·   0 0 −2 0 −2 0 −2 0 3   ·   0 2√ 5 − 1√ 5 1 0 0 0 1√ 5 2√ 5   = =   0 −2 0 − 2√ 5 0 − 1√ 5 − 4√ 5 0 8√ 5   ·   0 2√ 5 − 1√ 5 1 0 0 0 1√ 5 2√ 5   =   −2 0 0 0 −1 0 0 0 4   . Maticový a tenzorový počet 130 4.1 Klíčové myšlenky kapitoly • Vlastní hodnoty matice získáme řešením tzv. charakteristické rovnice. • Vlastní vektory matice získáme řešením jisté homogenní soustavy lineárních rovnic. • Symetrická nebo samoadjungovaná matice má všechny vlastní hodnoty reálné. • Z vlastních vektorů symetrické nebo samoadjungované matice řádu n lze vytvořit bázi v Rn . • Pokud lze z vlastních vektorů čtvercové matice vytvořit bázi, lze tuto matici převést podobnostní transformací na diagonální tvar. • Vlastní vektory symetrické nebo samoadjungované matice příslušné různým vlastním hodnotám jsou navzájem ortogonální. • Symetrickou nebo samoadjungovanou matici lze převést podobnostní transformací na diagonální tvar pomocí ortogonální matice. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 131 4.2 Cvičení N 1. K dané matici najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory: A = 1 −1 2 4 . Výsledek: λ1 = 2, λ2 = 3, ¯v1 = 1 −1 , ¯v2 = 1 −2 . 2. K dané matici najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory: A =   1 0 0 −1 3 0 3 2 −2   Výsledek: λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = −2, ¯v1 =   6 3 8  , ¯v2 =   0 5 2  , ¯v3 =   0 0 1   . 3. K dané matici najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory: A =   2 2 3 1 2 1 2 −2 1   Výsledek: λ1 = −1, λ2 = 2, λ3 = 4, ¯v1 =   1 0 −1  , ¯v2 =   −2 −3 2  , ¯v3 =   8 5 2   . 4. K dané matici najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory: A =     1 2 3 4 0 −1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2     Maticový a tenzorový počet 132 Výsledek: λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 3, λ4 = −2, v1 =     1 0 0 0    , v2 =     1 −1 0 0    , v3 =     9 3 4 0    , v4 =     29 7 9 −3     . 5. K dané matici A =   1 2 3 0 1 0 2 1 2   najděte matici P takovou, že D = P−1 AP je diagonální matice. Výsledek: P =   1 −3 1 0 0 −6 1 2 4   . 6. K dané matici A =   3 −2 1 0 2 0 0 0 0   najděte matici P takovou, že D = P−1 AP je diagonální matice. Výsledek: P =   1 2 1 0 1 0 0 0 −3   . 7. K dané matici A = 2 2 2 2 najděte ortogonální matici Q takovou, že D = Q−1 AQ je diagonální matice. Výsledek: Q = 1√ 2 1√ 2 − 1√ 2 1√ 2 . 8. K dané matici A =   0 0 0 0 2 2 0 2 2   najděte ortogonální matici Q takovou, že D = Q−1 AQ je diagonální matice. Výsledek: Q =   1 0 0 0 − 1√ 2 1√ 2 0 1√ 2 1√ 2   . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 133 9. K dané matici A =   0 −1 −1 −1 0 −1 −1 −1 0   najděte ortogonální matici Q takovou, že D = Q−1 AQ je diagonální matice. Výsledek: Q =    1√ 3 − 1√ 2 − 1√ 6 1√ 3 1√ 2 − 1√ 6 1√ 3 0 2√ 6    . 10. Najděte báze v podprostorech vlastních vektorů, příslušných vlastním hodnotám ma- tice A =   0 0 1 0 2 0 0 0 2   . Výsledek: λ1 = 0, e1 =     1 0 0    ; λ2 = 2, e2 =     1 0 2   ,   0 1 0    . Báze v podprostoru vlastních vektorů není určena jednoznačně, tedy i jiné řešení může být správné. . Maticový a tenzorový počet 134 4.3 Cvičení M Příkaz eig v Matlabu vytvoří vlastní hodnoty a množinu ortonormálních vlastních vektorů symetrické matice A. Tento příkaz použijte ve tvaru [V, D] = eig(A). Matice V bude obsahovat ortonormální vlastní vektory matice A a D bude diagonální matice, v jejíž diagonále budou odpovídající vlastní hodnoty. V příkladech 1 až 3 použijte eig k nalezení vlastních hodnot matice A a ortogonální matice Q takové, že QT AQ je diagonální matice. 1. A = 6 6 6 6 . 2. A =   1 2 2 2 1 2 2 2 1  . 3. A =   4 1 0 1 4 1 0 1 4  . Příkaz eig může být aplikován na jakoukoli čtvercovou matici A, ale matice V vlastních vektorů nemusí být ortogonální. V následujících cvičeních 4 až 7 rozhodněte, jestli V je ortogonální. Pokud není, rozhodněte, zda může být pro konkrétní zadanou matici A matice V nahrazena ortogonální maticí. 4. A = 1 2 −1 4 . 5. A =   2 1 2 2 2 −2 3 1 1  . 6. A = 1 −3 3 −5 . 7. A =   1 0 0 0 1 1 0 1 1  . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 135 4.4 Kontrolní otázky 1. Definujte pojem vlastní hodnoty a vlastního vektoru. 2. O čtvercové matici A víte pouze, že je singulární. Uveďte aspoň jednu její vlastní hodnotu. 3. Uveďte příklad matice, která má reálné vlastní hodnoty, ale není symetrická. 4. Uveďte příklad regulární matice řádu 3, která má pouze jedinou vlastní hodnotu, které však přísluší tři nezávislé vlastní vektory. 5. Ukažte, že každá ortogonální matice má determinant, jehož absolutní hodnota je 1. 6. Uveďte příklad ortogonální matice řádu 3, jejíž determinant je −1. Maticový a tenzorový počet 136 5 Kvadratické formy V této kapitole aplikujeme naše získané poznatky o maticích na studium kvadratických forem. Kvadratické formy jsou důležitým nástrojem popisu chování některých fyzikálních veličin a slouží také k vyjádření jistých dvourozměrných ploch ve třírozměrném prostoru. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 137 Kvadratická forma řádu n je zobrazení K : Rn → R, které vektoru x ∈ Rn přiřadí číslo K(x) podle předpisu K(x) = a11x2 1 + a22x2 + · · · + annx2 n + 2a12x1x2 + · · · + 2a1nx1xn + · · · + 2an−1 nxn−1xn. Tento definiční vztah je možné psát maticově K(x) = xA¯x, kde A =      a11 a12 . . . a1n a12 a22 . . . a2n ... ... ... a1n a2n . . . ann      je reálná symetrická matice. Příklad 5.1 Je dána kvadratická forma K(x) = x1x2 + x1x3 + x2x3. Naším úkolem je určit, jakou plochu tvoří množina bodů v R3 , které vyhovují rovnici K(x) = 4. Maticově vyjádříme kvadratickou formu vztahem K(x) = x1 x2 x3   0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0     x1 x2 x3   . Změnou báze můžeme převést matici A =   0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0   na diagonální tvar. Tento tvar bude forma K(x) mít v ortonormální bázi, tvořené vlastními vektory matice A. Diagonální tvar matice A ovšem můžeme zjistit i bez toho, abychom počítali konkrétní vlastní vektory. Stačí znát vlastní čísla. Řešíme rovnici det(λI3 − A) =   λ −1 2 −1 2 −1 2 λ −1 2 −1 2 −1 2 λ   = 0. Po úpravě máme 4λ3 − 3λ − 1 = 0, odkud plyne λ1 = 1, λ2 = λ3 = −1 2 . V nových souřadnicích bude mít forma K(x) tvar K(x) = x′ D¯x′ , (5.1) Maticový a tenzorový počet 138 kde D =   1 0 0 0 −1 2 0 0 0 −1 2   Můžeme si položit přirozenou otázku, na čem závisí pořadí vlastních hodnot v diagonální matici D. Odpověď je taková, že pořadí určí to, v jakém pořadí jsou řazeny příslušné vlastní vektory do transformační matice H, která danou matici A na diagonální tvar převádí vztahem D = H−1 AH. Tedy daná matice A má více diagonálních tvarů, které se liší pořadím svých (diagonálních) prvků. Ale vraťme se k naší kvadratické formě. Z maticového vyjádření (5.1) získáme roznásobením K(x) = x′2 1 − 1 2 x′2 2 − 1 2 x′2 3 . Nyní se zaměříme na to, jaký typ plochy v R3 vytvoří množina všech řešení rovnice K(x) = 4, tedy x′2 1 − 1 2 x′2 2 − 1 2 x′2 3 = 4. Úpravou dostaneme x′2 1 4 − x′2 2 8 − x′2 3 8 = 1, odkud x′2 1 22 − x′2 2 (2 √ 2)2 − x′2 3 (2 √ 2)2 = 1. (5.2) Vztah (5.2) je tzv. kanonický tvar kvadratické plochy a ze střední školy bychom měli již znát příslušnou klasifikaci. Pokud si stále nejsme jisti, převedeme jednu ze souřadnic na druhou stranu, kde ji považujeme za konstantní. Tím vlastně provedeme řez dané kvadratické plochy rovinou rovnoběžnou s jednou ze tří souřadnicových rovin. Problém se převádí na klasifikaci křivek, které vzniknou příslušným řezem, a s tím bychom si už měli poradit, pokud si nepamatujeme příslušné kanonické tvary kvadratických ploch. Převedeme-li například souřadnici x′ 1 vpravo, dostaneme po úpravě x′2 2 (2 √ 2)2 + x′2 3 (2 √ 2)2 = x′2 1 4 − 1 Odtud je již vidět, že na řezu dostáváme kružnice, pokud je |x′ 1| > 1. Pro |x′ 1| ≤ 1 nemá rovnice řešení, plocha tedy bude dvoudílná, rotačně symetrická, osou rotace bude souřadnicová osa x′ 1. Provedeme-li podobnou úpravu se souřadnicí x′ 2, dostaneme x′2 1 22 − x′2 3 (2 √ 2)2 = 1 + x′2 2 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 139 a na řezu tedy vzniká hyperbola. Analogicky, hyperbolu dostaneme i ve třetím řezu s pevnou souřadnicí x′ 3. Plocha je tedy dvoudílný rotační hyperboloid. Na kvadratické formě z Příkladu 5.1 si můžeme všimnout, že dosazením různých hodnot vektoru x může být hodnota K(x) kladná, nulová nebo záporná. Také si můžeme všimnout toho, že výsledná hodnota závisí, kromě zvolené hodnoty x, také na formě samotné; v podstatě na vlastních číslech její matice. Tomuto jevu se souhrnně říká definitnost kvadratických forem. Tento pojem dále upřesníme, jedná se o důležitou charakteristiku kvadratických forem a protože jsou tyto formy reprezentovány zpravidla reálnými symetrickými maticemi, i o charakteristiku těchto matic. Buď K(x) = xA¯x kvadratická forma na Rn . Řekneme, že je K(x) (i) pozitivně definitní, jestliže K(x) > 0 pro všechna x ∈ Rn , x = o, (ii) pozitivně semidefinitní, jestliže K(x) ≥ 0 pro všechna x ∈ Rn , přičemž existuje x ∈ Rn , x = o, že K(x) = 0. (iii) negativně definitní, jestliže K(x) < 0 pro všechna x ∈ Rn , x = o, (iv) negativně semidefinitní, jestliže K(x) ≤ 0 pro všechna x ∈ Rn , přičemž existuje x ∈ Rn , x = o, že K(x) = 0. (v) indefinitní jinak, tj. ve všech ostatních případech. Buď A matice řádu n. Nechť B je matice, vzniklá z matice A odstraněním n−k řádků a stejného počtu sloupců, 1 ≤ k ≤ n. Pak det B se nazývá minor matice A řádu k. Minor det B se nazývá hlavní, jsou-li diagonální prvky matice B zároveň diagonálními prvky matice A. Hlavní minor se nazývá rohový, je-li matice B tvořena prvními k řádky a prvními k sloupci matice A. Věta 5.1 Kvadratická forma K(x) = xA¯x na Rn je (i) pozitivně definitní, právě když jsou všechny rohové hlavní minory matice A kladné, což nastává právě tehdy, když jsou všechna vlastní čísla matice A kladná; (ii) pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechny hlavní (nikoli pouze rohové) minory matice A nezáporné, což nastává právě tehdy, když jsou všechna vlastní čísla matice A nezáporná; (iii) negativně definitní, právě když jsou všechny rohové hlavní minory matice A nenulové, střídavých znamének, přičemž a11 < 0, což nastává právě tehdy, když jsou všechna vlastní čísla matice A záporná; Maticový a tenzorový počet 140 (iv) negativně semidefinitní, právě když jsou hlavní (nikoli pouze rohové) minory lichého řádu nekladné a sudého řádu nezáporné, což nastává právě tehdy, když jsou všechna vlastní čísla matice A nekladná. Důkaz. Důkaz vyplývá přímo z možnosti vyjádřit kvadratickou formu K(x) v diagonálním tvaru K(x) = x′ 1 x′ 2 . . . x′ n      λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . λn           x′ 1 x′ 2 ... x′ n      . Příklad 5.2 Je dána kvadratická forma K(x) = 6x2 1 − 6x1x2 − 2x1x3 + 5x2 2 + x2 3. Její matice je A =   6 −3 −1 −3 5 0 −1 0 1   . Pak a11 = 6 > 0, 6 −3 −3 5 = 21 > 0, 6 −3 −1 −3 5 0 −1 0 1 = det A = 30 − 5 − 9 = 16 > 0. Rohové hlavní minory matice A jsou tedy kladné, z čehož plyne, že forma K(x) je pozitivně definitní. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 141 5.1 Klíčové myšlenky kapitoly • Kvadratickou formu K(x) lze vyjádřit pomocí bilineárního zobrazení se symetrickou maticí, jehož první i druhý argument je stejný vektor x. • Ve vhodných souřadnicích má matice kvadratické formy diagonální tvar. • Definitnost kvadratické formy je určena jejími vlastními hodnotami. • Aniž bychom museli převádět kvadratickou formu na diagonální tvar a zjišťovat její vlastní hodnoty, můžeme definitnost kvadratické formy zjistit podle znamének jejích hlavních minorů. Maticový a tenzorový počet 142 5.2 Cvičení NM Kde je to možné a vhodné, použijte ke kontrole výpočtu MATLAB nebo jiný matematický software. 1. Najděte matici kvadratické formy K(x) = −3x2 1 + 5x1x2 − 2x2 2. Výsledek: A = −3 5 2 5 2 −2 . 2. Najděte matici kvadratické formy K(x) = 2x2 1 + 3x1x2 − 5x1x3 + 7x2x3. Výsledek: A =   2 3 2 −5 2 3 2 0 7 2 −5 2 7 2 0   . 3. Najděte matici kvadratické formy K(x) = 3x2 1 + x1x2 − 2x1x3 + x2 2 − 4x2x3 + 4x2 3. Výsledek: A =   3 1 2 −1 1 2 1 −2 −1 −2 −2   . 4. Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy s maticí A = 1 2 2 4 . Výsledek: pozitivně definitní . 5. Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy s maticí A = 1 −2 −2 1 . Výsledek: indefinitní . 6. Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy s maticí A = −1 −1 −1 3 . Výsledek: negativně definitní . 7. Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy K(x) = −6x2 1 − 6x1x2 + 2x1x3 − 5x2 2 − x2 3 + 4x2x3. Výsledek: negativně definitní . 8. Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy K(x) = 5x2 1 + 4x2 2 + 6x2 3 − 10x1x3 + 4x2x3. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 143 Výsledek: pozitivně semidefinitní . 9. Kvadratickou formu K(x) = x2 1 + x2 2 + x2 3 + 2x1x2 převeďte (ortogonální transformací souřadnic) na diagonální tvar a určete její definitnost. Výsledek: K(x) = x′2 1 + 2x′2 2 , pozitivně semidefinitní . 10. Kvadratickou formu K(x) = 2x2 1 + 2x2 2 + 2x2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 převeďte (ortogonální transformací souřadnic) na diagonální tvar a určete její definitnost. Výsledek: K(x) = x′2 1 + x′2 2 + 4x′2 3 , pozitivně definitní . 11. Určete typ kvadratické plochy v R3 dané rovnicí x2 + 2y2 + 2z2 + 2yz = 1. Výsledek: elipsoid . 12∗ . Určete typ kvadratické plochy v R3 dané rovnicí 2x2 + 2y2 + 4z2 − 4xy − 8xz − 8yz + 8x = 15. Návod: Použijte nejprve lineární transformaci souřadnic (vhodnou substituci), pomocí níž eliminujete lineární člen 8x. Výsledek: jednodílný hyperboloid . Maticový a tenzorový počet 144 5.3 Kontrolní otázky 1. Uveďte přesnou definici kvadratické formy. 2. Kvadratická forma K má matici s vlastními hodnotami λ1 = 2, λ2 = −3, λ3 = 1. Určete její definitnost. 3. Je možné, aby matice kvadratické formy měla vlastní číslo λ = −i? Odpověď zdůvod- něte. 4. Rozhodněte, zda zobrazení, které přiřadí vektoru x hodnotu skalárního součinu σ(x, x), je kvadratická forma. Pokud ano, jakou má definitnost? Záleží odpověď na předchozí otázku na tom, jakou má daný skalární součin Gramovu matici? Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 145 6 Tenzory na reálném vektorovém prostoru Zobecněním lineárních vztahů mezi veličinami jsou vztahy multilineární. Nástrojem vhodným k popisu takových vztahů jsou tenzory. Se speciálními případy tenzorů jsme se již setkali v předchozích kapitolách. Maticový a tenzorový počet 146 Tenzor je reálná funkce několika vektorových argumentů, která má určité speciální vlastnosti. Příkladem tenzoru je například skalární součin, který dvojici vektorů přiřadí reálné číslo. Jiným příkladem tenzoru je determinant čtvercové matice, který opět několika vektorům, které tvoří sloupce dané matice, přiřadí reálné číslo. V této kapitole budeme označovat V = Rm . Zobrazení ϕ : V k → R se nazývá k-lineární nebo také k-tenzor na V , jestliže je lineární v každém ze svých k vektorových argumentů při libovolných, avšak pevných hodnotách zbývajících k−1 argumentů. Speciálně, 1-tenzor se nazývá lineární formou na V . Podobně, 2-tenzor se nazývá bilineární formou na V . Množinu všech k-tenzorů na vektorovém prostoru V budeme značit Tk V . Můžeme si všimnout, že tato množina má strukturu reálného vektorového prostoru. Skutečně, pro libovolné dva tenzory ϕ, ψ ∈ Tk V a číslo c ∈ R položme (ϕ + ψ)(v1, v2, . . . , vk) = ϕ(v1, v2, . . . , vk) + ψ(v1, v2, . . . , vk) a (c · ϕ)(v1, v2, . . . , vk) = c · ϕ(v1, v2, . . . , vk). Snadno se prověří, že (Tk V, +, ·) je vektorový prostor nad R. Pokusme se zjistit, jak bude tenzor reprezentován v případě, že jeho vektorové argumenty vyjádříme v bázi. Nechť v1, v2, . . . , vk ∈ V jsou vektory, e = e1 e2 . . . em báze ve V . Každý vektor vi lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze, tedy vi = e¯v = vj i ej, kde jsme úmyslně vynechali sumační symbol i, neboť používáme v tenzorovém počtu běžnou tzv. Einsteinovu sumační symboliku. V této symbolice nebudeme vypisovat symbol sumy a budeme automaticky předpokládat, že opakování indexu znamená součet přes všechny jeho hodnoty. Je zřejmé, že sčítací index může být v průběhu výpočtu libovolně přejmenován, zatímco u volných indexů se musíme držet původního označení. Z linearity v každé složce dostaneme ϕ(v1, v2, . . . , vk) = ϕ(vj1 1 ej1 , vj2 2 ej2 , . . . , vjk k ejk ) = vj1 1 vj2 2 . . . vjk k ϕ(ej1 , ej2 , . . . , ejk ) a označíme-li ϕj1j2...jk = ϕ(ej1 , ej2 , . . . , ejk ), můžeme psát ϕ(v1, v2, . . . , vk) = vj1 1 vj2 2 . . . vjk k ϕj1j2...jk . O k-rozměrném poli čísel ϕj1j2...jk pak říkáme, že reprezentuje tenzor ϕ v bázi e. Vskutku, tato čísla nezávisí na volbě vektorů v1, v2,. . . , vk a naopak závisí pouze na zvoleném tenzoru ϕ a zvolené bázi e. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 147 Příklad 6.1 Tenzor ϕ ∈ T2 R3 je dán maticí (ϕij) =   1 −1 2 3 0 1 −1 2 1   která jej reprezentuje v standardní bázi na R3 . Určíme hodnotu ϕ(u, v) kde vektory u, v jsou dány složkami (ui ) =   1 0 1   a (vj ) =   1 0 −1   opět ve standardní bázi. Platí ϕ(u, v) = ui vj ϕij, takže sčítací index pro složky vektoru u bude řádkový index matice (ϕij), sčítací index pro složky vektoru v bude tedy druhý z indexů, tedy j. Pak ϕ(u, v) = u · (ϕij) · ¯v = 1 0 1 ·   1 −1 2 3 0 1 −1 2 1   ·   1 0 −1   = −3. 6.1 Duální prostor Jak již bylo řečeno, lineární formy, nebo-li 1-tenzory tvoří jednoduchý, ale významný příklad k-tenzorů a proto stojí za zvlášť pečlivé prozkoumání. Nechť vektor v ∈ V má vyjádření v bázi e dané vztahem v = vi ei. (6.1) Zvolme index i pevně a uvažujme o zobrazení ei : V → R, daném vztahem ei (v) = vi. Snadno se ověří, že zobrazení ei je lineární forma (proveďte jako cvičení) a také, že platí ei (ej) = δi j = 1 pro i = j 0 pro i = j. Je-li ω : V → R libovolná lineární forma, můžeme, na základě její linearity, psát ω(v) = ω(vi ei) = vi ω(ei) = ω(ei)ei (v) = ωiei (v), (6.2) Maticový a tenzorový počet 148 přičemž jsme označili ωi = ω(ei). Odtud plyne ω = ωiei . (6.3) Vidíme tedy, že jsme vyjádřili formu ω jako lineární kombinaci forem e1 , e2 ,. . . , em s koeficienty ωi = ω(ei). Snadno se prověří, že jsou formy e1 , e2 ,. . . , em lineárně nezávislé. Vskutku, nechť αiei = 0. (6.4) Pak 0 = αiei (ej) = αiei (ej) = αiδi j = αj. Koeficienty v lineární kombinaci (6.4) jsou nutně nulové, což znamená, že formy e1 , e2 ,. . . , em jsou lineárně nezávislé. Označme T1 V = V ∗ ; z předchozích úvah máme dim V ∗ = m. Prostor V ∗ lineárních forem na V má tedy dimenzi m. Nazývá se duální vektorový prostor k V . Příklad 6.2 Nechť V = R3 . Standardní báze ve V je tedy tvořena vektory e1 =   1 0 0   , e2 =   0 1 0   , e3 =   0 0 1   . Libovolný vektor v ∈ V se vyjádří jako lineární kombinace báze ve tvaru v = e · ¯v = e1 e2 e3 · ¯v = I3¯v = ¯v a je tedy roven sloupcovému vektoru svých vlastních složek. Lineární forma, jakožto každé lineární zobrazení musí být reprezentovatelná jistou maticí, jak jsme zjistili v Kapitole 3, odstavci 3.3. Aby výsledkem aplikace formy na vektor bylo jedno reálné číslo, musí být tato matice jednořádková. Lineární formy jsou tedy reprezentovány řádkovými vektory, mezi nimiž zvláštním případem jsou formy e1 = 1 0 0 , e2 = 0 1 0 , e3 = 0 0 1 , které tvoří tzv. duální bázi v prostoru lineárních forem V ∗ . Přitom aplikace formy na vektor spočívá v maticovém násobení. Můžeme si všimnout, že skutečně platí ei (ej) = ei · ej = δi j, kde tečka v prostředním výrazu zde znamená maticové násobení. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 149 Pokud si dále všimneme, jak se lineární forma aplikuje na vektor a jakou roli v tom hrají složky, vidíme, že platí ω(v) = ωivi , (6.5) což velmi neodbytně připomíná standardní skalární součin dvou reálných m-rozměrných vektorů. Abychom však mohli vztah (6.5) považovat za skalární součin, musíme pracovat s oběma vektory ze stejného vektorového prostoru, tedy buď se „základními” vektory z V , nebo s „odvozenými” formami z V ∗ . Potřebujeme tedy kanonické, bijektivní a lineární zobrazení h : V ∗ → V , které z lineární formy z V ∗ vyrobí vhodným způsobem vektor z V (popřípadě zobrazení, které vede přesně obráceně a je k h inverzní). Platí h(ω) = h(ωiei ) = ωih(ei ) = ωihj (ei )ej, (6.6) což je zatím pouze obecné vyjádření lineárního zobrazení h : V ∗ → V v příslušných bázích. Konkrétní kanonické zobrazení h dostaneme tím, jak předepíšeme chování h na bázických vektorech z V ∗ . Abychom dosáhli požadovaného cíle a mohli díky zobrazení h pracovat s lineárními formami, jako by to byly prvky „základního” prostoru V , předepíšeme h tím nejjednodušším možným způsobem, totiž h(ei ) = ei. Pak ei = h(ei ) = hj (ei )ej, odkud hj (ei ) = δij . Vztah (6.6) pak má tvar h(ω) = ωiδij ej (6.7) a zároveň platí h(ω) = ωj ej. Protože je vyjádření vektoru v bázi jednoznačné, máme ωj = ωiδij . (6.8) Ve vztazích (6.7) a (6.8) je pochopitelně ωi = ωi , funkce Kroneckerova delta δij je pouze a čistě formální – slouží pouze k „ zvednutí” indexu. Zobrazení h : V ∗ → V funguje prostě a jednoduše tak, že vezme složky lineární formy, vyjádřené jako lineární kombinace báze tvořené formami e1 , e2 ,. . . , em a použije je jako koeficienty lineární kombinace bázických vektorů e1, e2,. . . , em v „ základním” prostoru V . Tím určité formě ω = ω1e1 + ω2e2 + · · · + ωmem ∈ V ∗ odpovídá vektor h(ω) = ω1e1 + ω2e2 + · · · + ωmem ∈ V. Maticový a tenzorový počet 150 Příklad 6.3 V kontextu Příkladu 6.2 spočívá zobrazení h v operaci transponování lineární formy, reprezentované řádkovým vektorem, na vektor sloupcový. Například, h 2 −1 3 =   2 −1 3   . Situace se poněkud změní, jestliže přejdeme ve V k jiné bázi, tvořené vektory e′ 1, e′ 2,. . . , e′ m. Mezi oběma bázemi existují transformační vztahy, vyjádřené maticí přechodu. V této kapitole používané Einsteinově sumační symbolice mají tyto transformační vztahy tvar e′ i = tj i ej. (6.9) Vektor v ∈ V vyjádříme v „čárkované” bázi pomocí vztahu v = v′i e′ i = v′i tj i ej, což srovnáním s (6.1) dá vj = v′i tj i . (6.10) Pomocí stejného vztahu se transformují i složky ωi vektoru h(ω) ∈ V ; i tento vektor bychom mohli vyjádřit pomocí „čárkovaných” složek ω′i v „čárkované” bázi e′ i. Mezi složkami tedy platí transformační vztah ωj = ω′i tj i . (6.11) Nyní do (6.5) vložme „navíc” Kroneckerovo delta a postupně dosaďme z (6.8), (6.10) a (6.11). ω(v) = ωivi = ωiδij vj = ωj vj = ω′i tj i tj kv′k (6.12) Zaměřme se na rovnost posledních dvou výrazů v (6.12), a zapomeňme na chvíli na prostor lineárních forem a na cestu, po níž jsme k těmto výrazům dospěli. Člen ωj vj představuje z hlediska prostoru V standardní skalární součin dvou vektorů, jejichž složky v ortonormální bázi jsou ωi a vi . Jemu je roven výraz ω′i tj i tj kv′k , Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 151 který představuje tentýž skalární součin dvou stejných vektorů, jejichž složky ω′i a v′i jsou nyní vyjádřeny vzhledem k jiné, ne nutně ortonormální bázi ve V . Povšimněme si ještě výrazu gik = tj i tj k. Matice G = (gik) je Gramovou maticí standardního skalárního součinu ve V vzhledem k „čárkované” bázi tvořené vektory e′ 1, e′ 2,. . . , e′ m. Poznamenejme, že teoretičtí fyzikové tomuto skalárnímu součinu, který je podle definice symetrickým 2-tenzorem, říkají metrický tenzor. Z toho, co již víme o skalárním součinu můžeme vyvodit, že číslo gij (pro pevné indexy i, j) je rovno skalárnímu součinu vektorů e′ i a e′ j. V ve speciálním případě ortonormální báze je pak matice G jednotková a platí gij = δij. Vztah (6.12) můžeme pomocí metrického tenzoru přepsat na ω(v) = ω′i gijv′j . (6.13) Příklad 6.4 Budeme pokračovat v Příkladě 6.2 a 6.3. Nechť e′ 1 =   1 1 0   , e′ 2 =   0 −1 1   , e′ 3 =   −1 0 1   . Mezi bázemi e a e′ ve V je vztah e′ = e · T, a protože sloupce báze e tvoří jednotkovou matici, matice přechodu je T =   1 0 −1 1 −1 0 0 1 1   , matice k ní inverzní je S = T−1 =   1 2 1 2 1 2 1 2 −1 2 1 2 −1 2 1 2 1 2   . Duální báze k bázi e′ je tvořena řádky matice S, tedy e′1 = 1 2 1 2 1 2 , e′2 = 1 2 −1 2 1 2 , e′3 = −1 2 1 2 1 2 . Přitom platí ¯e′ = S · ¯e, Maticový a tenzorový počet 152 a tedy S je i maticí přechodu od duální báze ¯e =   e1 e2 e3   k duální bázi ¯e′ =   e′1 e′2 e′3  . Pro složky vektoru v ∈ V platí ¯v = T · ¯v′ , takže, je-li ω lineární forma reprezentovaná řádkovým vektorem ω vzhledem k bázi e, je ω(v) = ω · ¯v = ω · T · ¯v′ , takže ω′ = ω · T je řádkový vektor, který reprezentuje formu ω vzhledem k bázi e′ . Konkrétně, je-li napří- klad ω = 2 −1 3 , je také ω = 2 −1 3 a ω′ = 2 −1 3   1 0 −1 1 −1 0 0 1 1   = 1 4 1 , a tedy ω(v) = 1 4 1 ¯v. Můžeme si také všimnout, že ω′ jsou složky formy ω v duální bázi ¯e prostoru V ∗ . Platí totiž ω = ω · ¯e = ω · T · S · ¯e = ω′ · ¯e′ , a pro konkrétní výše uvedenou formu ω pak ω = 1 4 1 ·   e′1 e′2 e′3   = e′1 + 4 e′2 + e′3 . Standardní skalární součin, který má ve standardní bázi e prostoru V jednotkovou Gramovu matici a tedy vyjádření σ(u, v) = ui vi = u · ¯v, má vyjádření v „čárkované” bázi σ(u, v) = u′ · TT · T · ¯v′ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 153 a tedy jeho Gramova matice v této bázi je G = TT T =   2 −1 −1 −1 2 1 −1 1 2   . Jak jsme již ukázali v Příkladě 6.3, je h(ω) = (ω)T = ¯ω =   2 −1 3   . Tento sloupcový vektor můžeme vyjádřit v „čárkované” bázi h(ω) = e′ · ¯h′ (ω), kde ¯h′ (ω) = T−1 · ¯h(ω) =   1 2 1 2 1 2 1 2 −1 2 1 2 −1 2 1 2 1 2     2 −1 3   =   2 3 0   . Pak můžeme vyjádřit aplikaci formy ω na vektor v pomocí skalárního součinu (nebo-li metrického tenzoru)v prostoru V vzhledem k „čárkované” bázi. Výsledek musí být tentýž, jako jsme spočítali výše. A vskutku, ω(v) = σ(h(ω), v) = (¯h′ (ω))T G¯v′ = 2 3 0   2 −1 −1 −1 2 1 −1 1 2   ¯v′ = 1 4 1 ¯v′ . Ještě bychom mohli spočítat hodnotu formy ω na nějakém konkrétním vektoru, například v =   5 −3 4   . Jeho složky v bázi e jsou shodné se samotným vektorem v, tedy ¯v = v, složky v „čárkované” bázi e′ dostaneme ¯v′ = T−1 ¯v =   1 2 1 2 1 2 1 2 −1 2 1 2 −1 2 1 2 1 2     5 −3 4   =   3 6 −2   . V obou bázích pak shodně dostáváme, že ω(v) = 2 −1 3 ·   5 −3 4   = 1 4 1 ·   3 6 −2   = 25. Maticový a tenzorový počet 154 Myšlenka počítat skalární součin (nebo-li hodnotu metrického tenzoru) na dvou vektorech, aniž bychom potřebovali Gramovu matici (nebo-li soubor koeficientů gij) je poměrně svůdná a lákavá (pro některé matematiky a teoretické fyziky) a vedla ke vzniku následujících pojmů. Kdybychom označili v′′i = gijv′j , (6.14) můžeme čísla v′′i považovat za složky vektoru v ∈ V v jisté bázi e′′ 1, e′′ 2,. . . , e′′ m (obecně odlišné) od „čárkované” báze, kterou označíme za kovariantní bázi ve V a číslům vi budeme říkat kovariantní složky vektoru v ∈ V . Čárkované bázi budeme říkat kontravariantní báze ve V . Číslům v′i budeme říkat kontravariantní složky vektoru v ∈ V . Protože maticí přechodu od kovariantní báze ke kontravariantní bázi (báze se transformují opačně, tj. inverzní maticí, než složky) je Gramova matice G = (gij), v případě, že je jedna z obou bází ortonormální, obě báze splývají. Tak je tomu například v případě standardní báze (zde „nečárkované”) s vektory e1, e2,. . . , em. Ta je současně kontravariantní i kovariantní. Vztah (6.13) můžeme přepsat do tvaru ω(v) = ω′i v′′i . Příklad 6.5 Budeme pokračovat v našem Příkladu 6.4. Složky vektoru v =   5 −3 4   v kovariantní bázi e′′ jsou ¯v′′ = G · ¯v′ =   2 −1 −1 −1 2 1 −1 1 2   ·   3 6 −2   =   2 7 −1   , a pak ω(v) = (¯h′ (ω))T · ¯v′′ = 2 3 0 ·   2 7 −1   = 25. Samotné vektory kovariantní báze ve V pak dostaneme pomocí vztahu e′′ = e′ · G−1 = e′ · T−1 · (T−1 )T = e · (T−1 )T = e ·   1 2 1 2 −1 2 1 2 −1 2 1 2 1 2 1 2 1 2   , odkud e′′ 1 = ¯e′′ 1 =   1 2 1 2 1 2   , e′′ 2 = ¯e′′ 2 =   1 2 −1 2 1 2   , e′′ 3 = ¯e′′ 3 =   −1 2 1 2 1 2   . Zde jsme využili faktu, že ve standardní bázi e jsou vektory rovny sloupcovým vektorům svých vlastních složek. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 155 Matice přechodu od „nečárkované” báze e1, e2,. . . , em k čárkované bázi je, jak jsme již řekli a vyjádřili v (6.9), T = (tj i ), přičemž platí e′ i = tj i ej. Pomocí inverzní matice S = (sj i ) můžeme zapsat zpětnou transformaci ve tvaru ei = sj i e′ j. (6.15) Podle (6.2) platí ω(v) = ωiei (v) = ω(ei)ei (v), takže s využitím (6.15) máme ω(v) = ω(sj i e′ j)ei (v) = ω(e′ j)sj i ei (v). Vektor v ∈ V vystupuje na obou stranách rovnice jako argument a můžeme jej vypustit (neboť zobrazení si jsou rovna, právě když nabývají na stejných vstupních hodnotách stejných hodnot). Pak ω = ω(e′ j)sj i ei = ω′ isi jej = ω′ ie′i , kde jsme označili ω′ i = ω(e′ j) složky v nové bázi ve V ∗ , dané transformačním vztahem e′i = si jej . (6.16) Složky lineárních forem se transformují podle ωi = ω′ jsj i . (6.17) Nyní jsme v analogické situaci jako před vztahem (6.9), kdy jsme změnili bázi ve V . Aplikaci formy ω ∈ V ∗ na vektor v ∈ V můžeme chápat jako skalární součin ve V ∗ , který je v původní, „nečárkované” bázi e1 , e2 , . . . , em standardní, tj. má jednotkovou Gramovu matici. Vztah (6.5) můžeme upravit na ω(v) = ωivi = ωivi. (6.18) Zde vi jsou „nečárkované” složky lineární formy, která je vzorem vektoru v ∈ V v kanonickém zobrazení h : V ∗ → V a v tomto kanonickém zobrazení je vi = vi . Z (6.17) vyplývá, že také vi = v′ jsj i . Dosazením do (6.18) dostaneme ω(v) = ω′ isi ksj kv′ j, Maticový a tenzorový počet 156 a po označení gij = si ksj k máme nakonec ω(v) = ω′ igij v′ j, (6.19) což je vztah analogický a duální s (6.13). Povšimněme si vztahu mezi v′ i, tj. „čárkovanou” složkou lineární formy, která je vzorem vektoru v ∈ V , tj. formy h−1 (v) ∈ V ∗ , a složkou v′′i vektoru v v kovariantní „čárkované” bázi ve V . Platí v′′i = gijv′j = tk i tk j v′j = tk i vk = tk i vk = tk i v′ jsj k = tk i sj kv′ j = δj i v′ j = v′ i. Pojmy kontravariantní a kovariantní báze či složek můžeme analogicky definovat i v duálním prostoru V ∗ . Nyní vidíme, že máme-li v jednom z prostorů V , V ∗ vyjádřen prvek ve složkách báze jednoho typu, pomocí kanonického zobrazení h : V ∗ → V můžeme reprezentovat tento prvek i ve druhém z obou prostorů stejnou m-ticí čísel, považujeme-li tuto m-tici za složky v bázi druhého typu. Příklad 6.6 Pokračujme dále v Příkladu 6.4 a Příkladu 6.5. Duální bázi ¯e′ = S · ¯e z Příkladu 6.4 prohlásíme za kontravariantní ve V ∗ . Pak kovariantní bázi ve V ∗ dostaneme podle vztahu ¯e′′ = (G∗ )−1 ¯e′ = (S · ST )−1 · ¯e′ = (S−1 )T · S−1 · ¯e′ = TT · T · ¯e′ = G · ¯e′ = TT · ¯e, kde jsme symbolem G∗ označili Gramovu matici skalárního součinu ve V vzhledem k kontravariantní bázi ¯e′ ve V ∗ . Protože báze ¯e je tvořena řádky jednotkové matice, jsou vektory kovariantní báze ¯e′′ ve V ∗ tvořeny řádky matice TT , tedy e′′1 = 1 1 0 , e′′2 = 0 −1 1 , e′′3 = −1 0 1 . Vrátíme-li se k Příkladu 6.5, můžeme snadno ověřit, že tato báze splňuje s kovariantní bází e′′ ve V vztahy duality, tj. že e′′i (¯e′′ j ) = e′′i · ¯e′′ j = δi j. Forma ω, se složkami ve standardní bázi ω = 2 −1 3 ve V ∗ má v kovariantní bázi ve V ∗ složky dané vztahem ω′′ = ω · (TT )−1 = ω · (T−1 )T = ω · ST = 2 −1 3 ·   1 2 1 2 −1 2 1 2 −1 2 1 2 1 2 1 2 1 2   = 2 3 0 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 157 Vrátíme-li se k výsledkům předchozích příkladů, můžeme nyní zkontrolovat, že pro vektor ¯v =   5 −3 4   platí ω(v) = ω¯v = ω′ ¯v′ = ω′′ ¯v′′ = ω′′ G¯v′ = ω′ G−1 ¯v′′ = 25. (Proveďte jako cvičení.) Získané poznatky shrneme v následující větě. Věta 6.1 Následující objekty jsou dány: Ve vektorovém prostoru je dána tzv. standardní báze e1, e2, . . . , em, která je která je ortonormální vzhledem ke skalárnímu součinu σ : V × V → R a (obecně jiná) tzv. kontravariantní báze e′ 1, e′ 2, . . . , e′ m. Mezi těmito bázemi nechť existuje transformační vztah e′ i = tj i ej, (6.20) kde T = (tj i ) je matice přechodu od standardní báze ke kontravariantní bázi, vzhledem k níž má skalární součin σ Gramovu matici G = (gij) = (tk i tk j ) = σ(e′ i, e′ j) . Kromě toho uvažujeme ve V ještě tzv. kovariantní bázi e′′ 1, e′′ 2, . . . , e′′ m. V duálním prostoru lineárních forem je dána tzv. duální standardní báze e1 , e2 , . . . , em která je ortonormální vzhledem ke skalárnímu součinu σ∗ : V ∗ × V ∗ → R a (obecně jiná) tzv. duální kontravariantní báze e′1 , e′2 , . . . , e′m . Mezi těmito bázemi nechť existuje transformační vztah e′i = si jej , (6.21) kde S = (si j) je matice přechodu od duální standardní báze k duální kontravariantní bázi, vzhledem k níž má skalární součin σ∗ Gramovu matici G∗ = (gij ) = (si ksj k) = σ(e′i , e′j ) . Kromě toho uvažujeme ve V ∗ ještě tzv. duální kovariantní bázi e′′1 , e′′2 , . . . , e′′ m. Obě standardní báze i obě kontravariantní báze jsou vázány vztahy duality ej (ei) = δj i , e′j (e′ i) = δj i . (6.22) Vektor v ∈ V má vyjádření ve třech uvažovaných bázích na V v = vi ei = v′i e′ i = v′′i e′′ i , (6.23) přičemž po kovariantních složkách požadujeme, aby v′′i = gijv′j . (6.24) Maticový a tenzorový počet 158 Lineární forma ω ∈ V ∗ má vyjádření ve třech uvažovaných bázích na V ∗ ω = ωiei = ω′ ie′i = ω′′ i e′′i , (6.25) přičemž po duálních kovariantních složkách požadujeme, aby ω′′ i = gij ω′ j. (6.26) Mezi prostory V ∗ a V je definováno kanonické zobrazení h : V ∗ → V , jehož matice je při použití standardních bází v obou prostorech jednotková. Pak platí zejména: (i) Matice T a S jsou navzájem inverzní, tedy tk i sj k = δj i , sk i tj k = δj i . (ii) Matice G a G∗ jsou navzájem inverzní, tedy gik gkj = δj i , gik gkj = δi j. (iii) Pro vektory kovariantní báze ve V platí e′′ i = gij e′ j = si j ej. (iv) Pro vektory tzv. duální kovariantní báze ve V ∗ platí e′′i = gij e′j = tj i ej . (v) Obě kovariantní báze splňují vztahy duality e′′j (e′′ i ) = δj i . (vi) Obraz h(ω) formy ω ∈ V ∗ má vyjádření h(ω) = ωiei = ω′′ i e′ i = ω′ ie′′ i ∈ V. Zejména platí h(ei ) = ei, h(e′i ) = e′′ i , h(e′′i ) = e′ i. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 159 (vii) Obraz h−1 (v) ∈ V ∗ vektoru v ∈ V má vyjádření h−1 (v) = vi ei = v′′i e′i = v′i e′′i ∈ V ∗ . Zejména platí h−1 (ei) = ei , h−1 (e′ i) = e′′i , h−1 (e′′ i ) = e′i . (viii) Pro aplikaci formy ω ∈ V ∗ na vektor v ∈ V platí ω(v) = σ(h(ω), v) = σ∗ (ω, h−1 (v)) = ωivi = ω′ iv′i = ω′′ i v′′i . Kromě toho platí také: (ix) Pro transformaci složek vektoru v ∈ V platí vi = v′j ti j = v′′j sj i , v′i = vi si j = gij v′′j . (x) Pro transformaci složek lineární formy ω ∈ V ∗ platí ωi = ω′ jsj i = ω′′ j ti j, ω′ i = ωjti j = gijω′′ j . (xi) Pro aplikaci formy ω ∈ V ∗ na vektor v ∈ V platí ω(v) = ω′′ i gijv′j = ω′ igij v′′j . Důkaz. Všechna uvedená tvrzení nějakým způsobem vyplývají z úvah, které jsme prováděli již před formulováním této věty. Bude ale užitečné důkaz provést znovu, účelněji, jasněji a jednodušeji, což je možné především proto, že se už nemusíme zabývat vlastní výstavbou teorie. Dokažme (i). Aplikací (6.21) na (6.20) dostaneme, s využitím (6.22) δj i = e′j (e′ i) = (sj kek )(tl iel) = sj ktl iek (el) = sj ktl iδk l = tk i sj k, což znamená, že TS = Im. Druhá rovnost je již splněna automaticky, jak jsme ukázali v důkazu Věty 1.15 v Kapitole 1. Podobně, s využitím (i) dostaneme také gikgkj = tl itl ksk r sj r = tl iδl rsj r = tl isj l = δj i , takže GG∗ = Im. Druhá rovnost platí ze stejného důvodu, jako v případě (i). Tedy také (ii) je dokázáno. Maticový a tenzorový počet 160 Dokážeme (iii). Nechť v ∈ V . Podle (6.22) a (6.24) platí v = v′i e′ i = v′′i e′′ i = gijv′j e′′ i = v′i gjie′′ j = v′i gije′′ j , kde jsme také využili symetrie Gramovy matice G = (gij). Necháme-li vektor v probíhat postupně všechny vektory k kontravariantní báze, dostaneme e′ i = gije′′ j , odkud s pomocí (ii) dostáváme vynásobením obou stran rovnice inverzní maticí G = (gij ) e′′ i = δi je′′ j = gik gkje′′ j = gij e′ j, což jsme chtěli dokázat. Dále, dosazením z (6.20) dostaneme e′′ i = gij tk j ek = si lsj l tk j ek = si lδk l ek = si jej. Kromě toho, tvrzení (iii) plyne i z faktu, že složky a báze se transformují vzájemně inverzními maticemi (který jsme odvodili v Kapitole 3) a vztahu (6.24). Tvrzení (iv) je duální k (iii) a vzhledem k symetrii a záměnnosti prostorů V a V ∗ je není třeba dokazovat, nicméně důkaz by se vedl velmi podobně důkazu (iii). Lze doporučit, aby si čtenář provedl důkaz sám jako cvičení. Dokážeme (v). Z (iii) a (iv) plyne e′′j (e′′ i ) = (gjke′k )(gil e′ l) = gjkgil e′k (e′ l) = gjkgil δk l = gjkgik = gjkgkj = δj i . Využili jsme přitom symetrie matice G∗ = (gij ) a vztahu (6.22). Dokážeme (vi) a (x). Vztah h(ω) = ωiei plyne ze samotné definice zobrazení h, jehož konstrukci a vlastnosti jsme probírali ještě před formulací dokazované věty. Zbývající vztahy musíme odvodit z transformačních rovnic při změně báze. Forma ω ∈ V ∗ má podle (6.25) vyjádření ω = ωiei = ω′ ie′i . Do tohoto vztahu můžeme dosadit z (6.21), takže dostaneme ω = ω′ jsj i ei . (6.27) Máme tedy dvojí vyjádření formy ω ve stejné bázi, odkud plyne rovnost odpovídajících složek. Tedy ωi = ω′ jsj i . Tím jsme mimoděk dokázali (x), ovšem plyne odtud, z (iii), symetrie matice G∗ a ze vztahu (6.26) postupně také h(ω) = ω′ jsj i ei = ω′ je′′ j = ω′ jgji e′ i = gij ω′ je′ i = ω′′ i e′ i, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 161 což jsme chtěli dokázat pro (vi). Volíme-li postupně formu ω jako ei , e′i a e′′i , dostaneme příslušné speciální vztahy v (vi). Zbývající vztahy v (x) vyplývají z již dokázaných, nebo ve větě formulovaných tvrzení a vzájemných vztahů mezi maticemi T, S, G a G∗ . Dokážeme (vii) a (ix). Pro vektor v ∈ V platí podle (6.23) v = vi ei = v′i e′ i, a dosazením z (6.20) dostaneme v = v′j ti jei. (6.28) Vyjádření vektoru v bázi je ovšem jednoznačné, takže vi = v′j ti j. Tím jsme dokázali první vztah z (ix). Ovšem spolu s kombinací (iv) a (6.24) odtud získáme h−1 (v) = vi ei = v′j ti jei = v′j e′′j = v′j gjie′i = gijv′j e′i = v′′i e′i , což je vztah v (vii), který jsme chtěli dokázat. Postupnou volbou vektoru v jako ei, e′ i a e′′ i dostaneme odtud i zbývající speciální vztahy v (vii). Zbývající vztahy v (ix) opět vyplývají z již dokázaných, nebo ve větě formulovaných tvrzení a vzájemných vztahů mezi maticemi T, S, G a G∗ . Dokážeme (viii) a (xi). Vztah ω(v) = σ(h(ω), v) = σ∗ (ω, h−1 (v)) = ωivi vyplývá přímo ze zvoleného označení, definice skalárního součinu a definice kanonického zobrazení h. Ovšem dosazením z (ix) a (x) dostaneme ω(v) = ω′ ksk i v′j ti j = ω′ kv′j δk j = ω′ jv′j . a s využitím (6.24) a (6.26) získáme ω(v) = ω′ kv′j δk j = ω′ kv′j gjigik = gik ω′ kgijv′j = ω′′ i v′′i . Tento vztah dokazuje (viii) i (xi). Z výše uvedeného vyplývá, že není podstatný rozdíl mezi lineárními formami a vektory. Vektory lze považovat za „formy” na prostoru forem, tedy prvky prostoru V ∗∗ který je kanonicky identifikovatelný s V , tj. V = V ∗∗ . Aplikace formy na vektor či vektoru na formu je prakticky totéž a navíc lze tuto aplikaci reprezentovat plně ve V nebo ve V ∗ , když objekt z druhého, duálního prostoru reprezentujeme pomocí kanonického zobrazení h, resp. h−1 . Obraz našeho objektu dostaneme snadno výměnou kontravariantní báze daného prostoru, obvykle používané pro jeho původní objekty, za bázi kovariantní. V této kovariantní bázi je pak obraz objektu z duálního prostoru určen stejnými souřadnicemi, jako má tento objekt ve svém vlastním prostoru a kontravariantní bázi. Můžeme si tedy pamatovat: Maticový a tenzorový počet 162 • Přenášíme-li objekt z původního prostoru do duálního, nemusíme měnit souřadnice, ale dáme jim jiný význam – záměnou báze kontravariantní za bázi kovariantní v duálním prostoru (případně naopak, tj. báze kovariantní za bázi kontravariantní v duálním prostoru). • Aplikujeme-li dva objekty na sebe (tj. formu na vektor), můžeme použít jejich souřadnice v jejich „domovských” prostorech, v tom případě použijeme souřadnice stejného typu (kontravariantní s kontravariantními, kovariantní s kovariantními). Nebo jeden z objektů přeneseme do prostoru (pro něj) duálního; pak použijeme souřadnice různých typů (kontravariantní s kovariantními – v daném prostoru, v němž s prvním objektem a obrazem druhého objektu pracujeme). Pak výsledek aplikace je dán součtem součinů odpovídajících si složek a počítá se analogicky, jako skalární součin s jednotkovou Gramovou maticí. Řekli jsme již, že bázi, v níž ve V vyjadřujeme vektory, obvykle označujeme jako kontravariantní, kdežto formy (které jsou podobně ve V ∗ obvykle vyjádřeny v kontravariantní bázi), se reprezentují ve V stejnými složkami, ovšem ve speciální, nové bázi prostoru V , kterou nazýváme kovariantní. Začneme-li tedy složkami v′i vektoru v ∈ V v prostoru V , tyto složky mají ve V ∗ význam lineární formy, vyjádřené ovšem v kovariantní bázi prostoru V ∗ a přeneseny zpět do V , mají význam formy na prostoru forem V ∗ , tj. prvku z V ∗∗ = V , ovšem v kontravariantní bázi tohoto prostoru. Proto se někdy (zejména ve fyzice) říká, že vektor je „kontravariantní 1-tenzor”, nebo-li „kontravariantní lineární forma”. Podobně, začneme-li se složkami ω′ i formy ω v prostoru V ∗ , tyto složky reprezentují vektor ve V (který je jejím kanonickým obrazem), ovšem v kovariantní bázi prostoru V . Proto se také někdy říká (opět například v teoretické fyzice), že lineární forma, nebo-li 1-tenzor, je vlastně „kovariantní vektor”. Někdy se také v literatuře označují jako kovariantní ty tenzorové veličiny, jejichž složky bývají značeny pouze dolními indexy, naopak kontravariantní jsou ty tenzorové veličiny, které mají složky značeny horními indexy. Naše označení s tímto přístupem v podstatě souhlasí. Je třeba si ovšem uvědomit, že „domovským” prostorem kovariantních 1-tenzorů je prostor lineárních forem V ∗ a ve V pracujeme pouze s jejich kanonickými obrazy (kvůli čemuž právě zavádíme druhou, tzv. kovariantní bázi ve V ). 6.2 Tenzorový součin Tato část bude pojednávat o tom, jak z jednodušších tenzorů, jako jsou například lineární formy, můžeme vytvořit tenzory složitější. Nechť V1, V2 jsou vektorové prostory, ω ∈ Tk V1 a η ∈ Tl V2 tenzory. Definujeme nový k + l-tenzor vztahem (ω ⊗ η)(v1, v2, . . . vk+l) = ω(v1, v2 . . . , vk) · η(vk+1, vk+2, . . . , vk+l) (6.29) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 163 pro libovolné v1, v2, . . . vk ∈ V1 a vk+1, vk+2, . . . vk+l ∈ V2. Zobrazení ω ⊗ η : V k 1 × V l 2 → R je lineární v každé ze svých složek, tedy je to k + l-tenzor, který se nazývá tenzorovým součinem tenzorů ω a η. Množinu všech takových tenzorů označujeme Tk V1 ⊗ Tl V2 a nazýváme tenzorovým součinem prostorů Tk V1 a Tl V2. Věta 6.2 Nechť c ∈ R; ω, ω1, ω2 ∈ Tk V1; η, η1, η2 ∈ Tl V2 a ρ ∈ Tm V3. Pak platí (i) (ω1 + ω2) ⊗ η = ω1 ⊗ η + ω2 ⊗ η, (ii) ω ⊗ (η1 + η2) = ω ⊗ η1 + ω ⊗ η2, (iii) (c · ω) ⊗ η = ω ⊗ (c · η) = c · (ω ⊗ η), (iv) (ω ⊗ η) ⊗ ρ = ω ⊗ (η ⊗ ρ). Důkaz. Tvrzení plyne přímo z definice tenzorového součinu (6.29) a vlastností násobení reálných čísel. Po dosazení příslušných argumentů do všech tenzorů, které v těchto vztazích vystupují, vzniknou reálná čísla, pro něž platí asociativní i distributivní zákony. V důsledku asociativity tenzorového součinu vyjádřené vztahem (iv) píšeme ω ⊗ η ⊗ ρ namísto (ω ⊗ η) ⊗ ρ nebo ω ⊗ (η ⊗ ρ). Poznamenejme však, že tenzorový součin není komutativní, obecně totiž neplatí rovnost mezi tenzory ω⊗η a η⊗ω. Definiční obor tenzoru ω⊗η je V k 1 ×V l 2 , zatímco definiční obor tenzoru η ⊗ ω je V l 2 × V k 1 , což jsou různé množiny. Avšak i když V1 = V2 a oba kartézské součiny lze považovat za stejné (přesněji kanonicky izomorfní), rovnost obecně neplatí. Ačkoliv je násobení reálných čísel komutativní, dostávají tenzory ω ∈ Tk V1 a η ∈ Tl V2 v každém z obou součinů jiné argumenty, takže součiny mohou nabývat i různých hodnot na multivektorovém argumentu v1, v2, . . .vk+l. Věta 6.3 Buď e1, e2, . . . em ∈ V báze ve vektorovém prostoru V , e1 , e2 , . . . em ∈ V ∗ duální báze ve V ∗ . Pak tenzorové součiny ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik , kde i1, i2, . . ., ik ∈ {1, 2, . . ., m}, tvoří (tzv. kanonickou) bázi prostoru Tk V , přičemž dim Tk V = mk . Důkaz. Nechť ω ∈ Tk V a nechť v1, v2, . . . , vk ∈ V . Pak každý z vektorů v1, v2,. . . , vk lze vyjádřit jako lineární kombinaci báze a tedy platí vi = vj i ej. Zároveň však máme ej (vi) = e( vl iel) = vl iej (el) = vl iδj l = vj i , Maticový a tenzorový počet 164 takže vi = ej (vi) · ej. Potom ω(v1, v2, . . . , vk) = ω ej 1(v1)ej1 , ej 2(v2)ej2 , . . ., ej k(vk)ejk = = ej 1(v1) · ej 2(v2) · · · · · ej k(vk) · ω(ej1 , ej2 , . . . , ejk ) = = ω(ej1, ej2 , . . ., ejk ) · ej1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejk (v1, v2, . . . , vk). Když na obou stranách rovnice vynecháme multivektorové argumenty, dostaneme vyjádření tenzoru ω jako lineární kombinace k-tenzorů ej1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejk , tedy ω = ω(ej1, ej2 , . . ., ejk ) · ej1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejk . K dokončení důkazu nám zbývá ukázat, že k-tenzory ej1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejk jsou lineárně nezávislé. Předpokládejme tedy, že existují čísla Cj1j2...jk , že Cj1j2...jk ej1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejk = 0. (6.30) Pak platí 0 = Cj1j2...jk · ej1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejk (ei1 , ei2 , . . . , eik ) = Cj1j2...jk ej1 (ei1 ) ej2 (ei2 ) . . . ejk (eik ) = = Cj1j2...jk δj1 i1 δj2 i2 . . . δjk ik = Ci1i2...ik pro libovolné i1, i2, . . . , ik ∈ {1, 2, . . ., m}. Tedy všechny koeficienty v lineární kombinaci (6.30) jsou nutně nulové, což znamená, že k-tenzory ej1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejk jsou lineárně nezávislé. Protože indexy j1, j2, . . . , jk ∈ {1, 2, . . ., m} lze vybrat právě mk způsoby, existuje mk takových tenzorů a tedy dim Tk V = mk . Příklad 6.7 Skalární součin σ : V × V → R s Gramovou maticí G vzhledem k bázi e vyjádříme v bázi tenzorového součinu prostorů V ∗ ⊗ V ∗ . Pro libovolné vektory u, v ∈ V platí σ(u, v) = gijui vj = gij · ei (u) · ej (v) = (gij ei ⊗ ej )(u, v), odkud σ = gij ei ⊗ ej . Konkrétněji, je-li například V = R3 a G =   1 5 1 4 1 3 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1   , Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 165 máme σ = 1 5 e1 ⊗ e1 + 1 4 (e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1 ) + 1 3 (e1 ⊗ e3 + e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e1 )+ + 1 2 (e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2 ) + e3 ⊗ e3 . Zobrazení σ : V × V → R zřejmě je symetrický kovariantní 2-tenzor. Příklad 6.8 Vyjádříme aplikaci app : V ∗ ×V → R lineární formy na vektor pomocí báze tenzorového součinu prostorů V ⊗ V ∗ . Pro libovolné ω ∈ V ∗ a v ∈ V platí app(ω, v) = ω(v) = (ωiei )(v) = ωiei (v). Avšak také platí ω(ej) = ωkek (ej) = ωkδk j = ωj, odkud app(ω, v) = ω(ei)ei (v) = (ei ⊗ ei )(ω, v). Tedy app = ei ⊗ ei . Přitom jsme považovali vektor za lineární formu na V ∗ , tedy prvek prostoru V ∗∗ , který ztotožňujeme s V . Konkrétně, pro V = R4 máme app = e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3 + e4 ⊗ e4 . Přitom zobrazení app : V ∗ × V → R je v první složce kontravariantní a ve druhé složce kovariantní smíšený 2-tenzor. Důsledkem Věty 6.3 je, že Tk V = V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ , kde násobíme k stejných kopií prostoru lineárních forem V ∗ . Podobně také Tk V ∗ = V ⊗ V ⊗ · · · ⊗ V , kde vpravo od rovnítka je tenzorový součin k stejných kopií dvojnásobného duálu V ∗∗ prostoru V , který jsme ovšem v předchozí kapitole ztotožnili s V . Prvky prostoru Tk V se někdy nazývají kovariantními k-tenzory (a lineární formy na V jsou jejich speciálním případem). Naopak, prvky prostoru Tk V ∗ nazývají se kontravariantními k-tenzory (a za jejich speciální případ lze považovat vektory z V ). Maticový a tenzorový počet 166 Dále je užitečné si uvědomit, že na místě vektorových prostorů V1, V2 z definice tenzorového součinu mohou být jakékoli vektorové prostory, zejména však „základní” vektorový prostor V a nebo prostor lineárních forem na V . Můžeme tedy položit například V1 = V a V2 = V ∗ . Prvky prostoru Tk V ⊗ Tl V ∗ jsou tedy tenzory, které v prvních k argumentech akceptují vektory z V , a jsou v těchto k argumentech kovariantní, naopak v dalších l argumentech akceptují lineární formy a jsou v těchto l argumentech kontravariantní. Těmto tenzorům se pro k = 0 = l říká smíšené tenzory. Obecněji mohou smíšené tenzory vzniknout jako prvky tenzorového součinu více kopií T1 V = V ∗ a T1 V ∗ = V , přičemž oba navzájem duální typy multiplikantů musí být zastoupeny. Zároveň je zřejmé, že báze v různých prostorech smíšených tenzorů lze získat pomocí tenzorových součinů bázických vektorů ei z V ∗ a ej z V . Tedy například v prostoru T1 V ⊗T2 V ∗ ⊗T1 V = V ∗ ⊗V ⊗V ⊗V ∗ je báze tvořena smíšenými 4-tenzory ei ⊗ ej ⊗ ep ⊗ eq , kde i, j, p, q ∈ {1, 2, . . .m}. Pak také dim(T1 V ⊗ T2 V ∗ ⊗ T1 V ) = m4 . Důkaz těchto tvrzení by byl velmi podobný důkazu Věty (6.3) a čtenář si jej může provést sám jako cvičení. 6.3 Antisymetrické tenzory a vnější součin Tenzor ω ∈ Tk V se nazývá antisymetrický, jestliže změní znaménko při výměně jeho dvou vektorových argumentů, tedy, když ω(v1, v2, . . . , vi−1, vi, vi+1, . . . , vj−1, vj, vj+1, . . . , vk) = = −ω(v1, v2, . . . , vi−1, vj, vi+1, . . ., vj−1, vi, vj+1, . . ., vk). Snadno se ověří, že součet dvou antisymetrických k-tenzorů je opět antisymetrický k tenzor, podobně, jako se antisymetrie k-tenzoru zachovává při jeho vynásobení reálným číslem. Tedy množina všech antisymetrických k-tenzorů na V , kterou značíme Λk V , je vektorovým podprostorem prostoru Tk V . Pochopitelně nás zajímá dimenze prostoru Λk V , tu však určíme později, až k tomu budeme mít prostředky. Označme εi1i2...ik =    1, je-li (i1, i2, . . . , ik) sudá permutace množiny {1, 2, . . ., k}, −1, je-li (i1, i2, . . . , ik) lichá permutace množiny {1, 2, . . ., k}, 0, není-li (i1, i2, . . ., ik) permutace množiny {1, 2, . . ., k}. tzv. Levi-Civitův symbol v indexech i1, i2,. . . , ik. Pro libovolný k-tenzor ω ∈ Tk V a vektory v1, v2, . . . , vk ∈ V klademe (Alt ω)(v1, v2, . . ., vk) = 1 k ! εi1i2...ik ω(vi1 , vi2 , . . . , vik ). (6.31) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 167 Příklad 6.9 Je zřejmé (přímo z definice determinantu), že zobrazení, které m-tici mrozměrných vektorů přiřadí determinant matice, jejíž sloupce (nebo řádky) jsou tvořeny těmito vektory, je antisymetrický m-tenzor na Rm . Věta 6.4 Nechť ω ∈ Tk V je libovolný k-tenzor na V . Pak platí (i) Alt ω je antisymetrický k-tenzor. (ii) Je-li ω antisymetrický k-tenzor, pak Alt ω = ω. (iii) Alt(Alt ω) = Alt ω. Důkaz. Tvrzení (i) je zřejmé, je přímým důsledkem definice operace Alt a vlastností výše definovaného Levi-Civitova symbolu. Dokažme (ii). Je-li tenzor ω ∈ Tk V antisymetrický, platí ω(vi1 , vi2 , . . . , vik ) = εi1i2...ik ω(v1, v2, . . . , vk). Když odtud dosadíme do (6.31), dostaneme (Alt ω)(v1, v2, . . . , vk) = 1 k ! εi1i2...ik · εi1i2...ik ω(v1, v2, . . . , vk), kde vpravo od rovnítka máme, po vynásobení a vyrušení obou Levi-Civitových symbolů, právě k ! stejných sčítanců. Tedy vskutku, (Alt ω)(v1, v2, . . . , vk) = ω(v1, v2, . . . , vk). Tvrzení (iii) vyplývá přímo z (i) a (ii). V důsledku předchozí věty se operace Alt nazývá antisymetrizace tenzoru. S jejím použitím můžeme definovat nový typ tenzorového součinu, jehož výsledkem je vždy antisymetrický tenzor. Pro libovolné ω ∈ Tk V , η ∈ Tl V klademe ω ∧ η = (k + l)! k ! l ! Alt(ω ⊗ η). (6.32) a tento antisymetrický k + l-tenzor nazýváme vnějším součinem tenzorů ω a η. Ačkoliv je vnější součin definován pro libovolné tenzory, zpravidla jej aplikujeme na tenzory již antisymetrické. Základní vlastnosti vnějšího součinu shrnuje následující věta. Maticový a tenzorový počet 168 Věta 6.5 Nechť c ∈ R; ω, ω1, ω2 ∈ Λk V ; η, η1, η2 ∈ Λl V a ρ ∈ Λm V . Pak platí (i) (ω1 + ω2) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η, (ii) ω ∧ (η1 + η2) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2, (iii) (c · ω) ∧ η = ω ∧ (c · η) = c · (ω ∧ η), (iv) ω ∧ η = (−1)kl η ∧ ω, (v) (ω ∧ η) ∧ ρ = ω ∧ (η ∧ ρ). Důkaz. Důkaz (i) až (iv) je sice poněkud technický, avšak není obtížný a čtenář si jej může provést jako cvičení. Dokážeme pouze obtížnější tvrzení (v). Podle definičního vztahu (6.32) a Věty 6.4 platí (ω ∧ η) ∧ ρ = (k + l + m)! (k + l)! m! Alt(ω ∧ η) ⊗ ρ) = (k + l + m)! (k + l)! m! · (k + l) k! l! Alt(Alt(ω ⊗ η) ⊗ ρ) = = (k + l + m)! k! l! m! Alt(ω ⊗ η ⊗ ρ). Podobně se ukáže, že také ω ∧ (η ∧ ρ) = (k + l + m)! k! l! m! Alt(ω ⊗ η ⊗ ρ). V důsledku asociativity vnějšího součinu vyjádřené vztahem (v) píšeme ω ∧η ∧ρ namísto (ω ∧ η) ∧ ρ nebo ω ∧ (η ∧ ρ). Nyní se budeme zabývat určením dimenze prostoru Λk V a konstrukcí jeho báze. Věta 6.6 Buď e1, e2, . . . em ∈ V báze ve vektorovém prostoru V , e1 , e2 , . . . em ∈ V ∗ duální báze ve V ∗ . Pak vnější součiny ei1 ∧ ei2 ∧ · · · ∧ eik , kde 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ k, tvoří (tzv. kanonickou) bázi prostoru Λk V , přičemž dim Λk V = m k = m! k! (m−k)! . Důkaz. Nechť ω ∈ Λk V . Podle Věty 6.3 můžeme vyjádřit tenzor ω ve tvaru ω = ωi1i2...ik ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 169 Avšak podle Věty 6.4 je ω = Alt ω = ωi1i2...ik Alt(ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik ) = k! · ωi1i2...ik · ei1 ∧ ei2 ∧ · · · ∧ eik = = 1≤i1