REVIZE 2007 MASARYKOVA UNIVERZITA fakulta pedagogická UK PDF Brno i c. ** "j 8 (t^ 32ßlß05l15 Cvičení z matematické analýzy Nekonečné řady Jiří Hájek Jiří Dula Brno 1994 Ú K PdF MU Brno Lokace (jjí- Masarykova univerzita, pedagogická fakulta, Brno 1987 ISBN 80-210-0385-5 - 3 - Předmluvo Předložené skriptum je určeno pro posluchače 3.ročníku interního studia i studia při zaměstnání učitelských kombinací s matematikou. Tématicky je rozvrženo do dvou částí, které jsou předmětem výkladu základního kursu z matematické analýzy. První z nich studuje nekonečné řady v oboru reálných čísel. Po uvedeni základních pojmů si podrobněji všímá číselných řad s kladnými členy a řad alternujících. Závěr kapitoly je věnován důležitému pojmu absolutní a neabsolutní konvergence řady čísel. Druhý tématický celek "Nekonečné řady funkcí v oboru reálných čísel" přirozeně navazuje (a v jistém smyslu zobecňuje) na celek předchozí. Po přehledném uvedení základních pojmů a vlastností posloupností a řad funkcí je pozornost věnována mocninným řadám, zvláště pak řadě Taylorově a Maclaurinově. Závěr kapitoly podává typické ukázky užití teorie mocninných řad - přibližný výpočet funkčních hodnot, možnosti integrace užitím mocninných řad. Poslední část aplikací uvádějící možnosti přibližného určování obecného případně partikulárního řešení diferenciálních rovnic navazuje a v jistém smyslu rozvíjí tématický celek o diferenciálních rovnicích, který je součástí učebního plánu matematické analýzy předchozího ročníku učitelského studia. Závěrečný tématický celek uvádí stručnou informaci o základních pojmech a metodách práce s nekonečnými řadami v oboru čísel komplexních. Text cvičení z matematické analýzy těsně navazuje na učební texty vydané uřírodovědeckou fakultou: V.Novák: "Nekonečné řady", V.Novák: "Analýza v komplexním oboru", v nichž je nodán systematický výklad základního kursu nekonečných řad. Odtud vyplynulo celkové pojetí tohoto skripta. Teoretické pasáže jsou napsány co nejstručněji, z vět jsou uváděny především ty, které se používají ve výpočtech. V textu jsme se pokusili předvést nejužívanější postupy řešení. Příklady jsou číslovány pro každou kapitolu průběžně, případné odkazy na jednotlivé části postupu řešení jsou provedeny pro každý příklad samostatně. V poznámkách v textu jsou stručně popsána jiná možné řešení případně naznačeny souvislosti s jinými částmi textu. Soubory cvičení, průběžně zařazované a číslované v textu, jsou výchozím materiálem pro samostatnou práci i k dalšímu procvičování. Příklady cvičení jsou řešeny od jednodušších k obtížnějším. U všech jsou uvedeny výsledky, obtížnější jsou opatřeny popisem dílčích kroků výpočtu. Teprve samostatným řešením - 4 - oříklndů se nosluchač r>řesv*dčí do jaké míry zvládl teorii a dovede ,ii -oouíít. Úlohy dnk^zového 8 problémového charakteru .isme do učebního textu nezařazovali, jsou součástí skriot V.Nováka. V zčv^ru vyslovujeme upřímné poděkování oběma recenzentům doc.RNDr.ing.Dr.tech.Josefu Březinovu, C3c, vědeckému pracovníkovi katedry matematiky strojní fakulty Vysokého učení technického v Brně a doc.RNDr.Janu Chvalinovi, 3Sc, vedoucímu katedry matematiky pedagogické fakulty UJEP v Brně, za pečlivé posouzení rukopisu i za cenné připomínky a náměty, jejichž realizace text obohatila. Brno, květen 1987 Autoři ÚVOD - 5. - Teorie nekonečných řad čísel i funkci v oboru reálných čísel vznikla v druhé polovino 17.století spolu s koncipováním základů infinite-zimálního počtu. Umožnila integrování funkcí, jejichž integrály nejsou elementární funkce, a stala se základním prostředkem pro výpočet tabulek důležitých elementárních funkcí (goniometrických, logaritmických, exponenciálních aj.). ftad bylo rovněž úspěšně použito k integrování diferenciálních rovnic hned v počáteční etapě jejich rozvoje.*Je však z historie známo, že i někteří významní matematikové se dopustili při počítání s řadami omylů. Proto je nezbytné dokonalé zvládnutí teorie nekonečných řad pro úspěšnou práci v různých oblastech matematiky. Dnes lz.e říci, že teorie nekonečných řad je silným matematickým prostředkem umožňujícím řešení nejrozraanitějších úloh, zejména numerické povahy. Neztrácí nic na své aktuálnosti ani třista let po svém vzniku, spíše n^onak. S použitím nejmodernější výpočetní techniky bude nepochybně její význam neustále vzrůstat. Systematický kurs nekonečných řad je předmětem vysokoškolských učebnic raptem??tické analýzy, například: Banach, S.: Differencialnoe i integralnoe isčislenie. Fichtengolc,G^M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, II, III. Grebenča, M.K.-Novoselov, S.I.: Učebnice matematické analýzy II. Jarník, V.: Diferenciální počet I, II. . Kluvánek, I.-Mišík, L.-Švec, M.: Matematika II. Knichal, V.-Bašta, A.- Pišl, M.-Rektorys, K.: Matematika II. šalát, T.: Nekonečné řady. ' Vilenkin, N.Ja.: Zadačnik po kursu matematičeskogo analiza. Tom 2. Vorobev, N.N.: Teorija řjadov. Skripta přírodovědecké fakulty UJEP: Novák, V.: Nekonečné řady. Brno, UJEP 1981. Novák, V.: Analýza v komplexním oboru. Praha, SPN 1984. Doporučené sbírky úloh: Berman, G.N.: Sboraik zadač po kursu matematičeskogo analiza. Demidovič, B.P.: Sbornik zadač i uoražnenij po matematičeskomu analizu. - 6 - NEKONEČNÉ R A D Y V OBORU REÁLNÝCH ČÍSEL 1. ZÁKLADNÍ POJMY Necht {an^ n=1 je posloupnost reálných čísel.Symbol oo ÍL! an tj. a, + a? + a-, +..... (l) n=l . nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Čísla a^, a2, a-j,.....nazýváme' členy řady (1). Posloupnost {sn} : ^ , kde s£ = alf s2 = ax + a2,..., sn = al + a2 + a3 * • * • "** an» * *' 'nazývéme posloupnost částečných součtů řady (1). Existuje-li vlastní limita lim s = s, nazveme ji n->» součtem řady (1). Také říkáme, že řada (1) konverguje.Piseme stručně an = s. Jestliže posloupnost {snl[ diverguje, (tj. lim s n=l - n-*«a • neexistuje, ořípadně lim a = +oo , lim s = -oo )f řada (1) je diver-gentni a součet nemá. Poznámka 1. Se symbolem (1) nelze zacházet jako 3e součtem konečného počtu sčítanců. Tak řada 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...diverguje, protože s, = 1, 3? = O, 8-, =1, s. = O, lim s neexistuje. Řfida 1 + £(-1) + lj + Q-l) + lj + ... konverguje; sn = 1, lim sn = 1, tedy s = 1. Řada fl + (-1)] + £l + (-1)3 + n-*<*» ....konverguje; sn = O, lim sn = O, tedy s = O. n-»oo Jedná se o různé řady. První řada má členy a^ = 1, a2 = -1, = 1, druhá řada mé členy a^ = 1, a2 = (-1) + 1, a-^ = (-1) + 1» ...., třetí řada má členy a^ = 1 + (-l)f a2 = 1 + (-1) ...... Mezi členy nekonečné řady nelze tedy libovolně rozmísťovat závorky -u některých řad septim mění jejich vlastnosti. Poznámka 2. Rada 2n_1 tj. 1 + 2 + 4 + ... zřejmě diverguje. n=l Kdybychom však předpokládali, že konverguje a tedy platí 1 +2 + 4 + + ... = s a při určení součtu postupovali takto: 1 - 7 - 3=1+2+4+... 8=1+2 (1+2+ ... ) s = 1 + 2 s 3 = -1 , dostali bychom nesprávný výsledek. Uvezme několik vět: Věta 1.1. Necht řada ^ an konverguje a má součet s. Necht {kn} n=l " tie rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak také řada J~ b_, kde b-, = an + a~ + ... + av , n=l n 1 1 á Kl b2 = ak1 41 + akx +2 + + ak2' b3 = ak2 +1 + ak2 +2 + + ... + a^ , .... mé týž součet s. oo 3 oo oo Věta 1.2. Nechí a^ ^ D^ jsou konvergentní řady, V an = s, oo n=l n=l n=l 21 b„ 9 S. Déle necht c, d jsou libovolná reálná čísla. n=l n oo oo Pak platí 2] cetn = cs, ^can + dDn) = cs + dS. n=l n=l oo oo Veta 1.3. Nechí k je přirozené číslo. Pak řady V_ an» /_ an n=l n=k+l budto obě konvergují nebo obě divergují. Jestliže an n=l konverguje, platí rovnost ^ Ž an = al + a2 + ••• + ak + Zl V n=l po n=k+l ^ Řada 2L Gl. se nazývá zbytek řady 2l a„ po k-tém členu. n=k+l n=l n oo cw co Věta 1.4. Nechí £ an, Y_ bn oo Obrácené věta k větě 1.5 neplatí jak ukazuje příklad 1. - 8 - Příklad 1. co Řada X ~ diverguje. n=l n > Bud m přirozené čísl», m = 2. P©t»m 1 2 otfm-D x/. . 2* sčítanců = 1 + ^ + (m-1) ^ = 1 + m ^ . je vidět, že lim sn = +C» . — oo n-yoo co Řada 21 ě diverguje. Řada 21 é se nazývá harmonické fada. n=l n n=l n -------------~ Příklad 2. oo Řada 21 aqn kde a f 0, tzv. nekonečná geometrické řada. n=l , (q je kvocient geometrické řady), konverguje pro Iqf^l. Je sn = a + aq + ... + aq11"1 (1) Po vynásobení rovnice (1) q f 0 q sn = aq + aq2 + ... ♦aq11"1 + aqn (2) Odečteme-li od rovnice (1) rovnici (2) s (1 - q) = a - aq11 (pro q f 1) i „n a = a 1 " 0 n s 1 - q s , ja---§Jin n 1 - q i - q 1 q 1 < 1 je lim q11 = 0, proto lim s = Pro 11 ^ " 1 * ^---"** ~n 11 u n-»oo n-*co 1 - q Pro q> 1 je lim qn = + 00 , pro q<* -1 limita q11 neexistuje. n->oo Souhrnně lze říci, že pro |q|^l geometrická řada součet nemá. T-.- -i -. • i ■ ~ ^ + oo pro a > O. Je-li q = 1, je sn = na, lim sn = lim na =<_0O Jro a£0# Je-li q = -1, mé geometrické řada tvar a + (-a) + a + (-a) + a pro n liché ^ lim neexistuje. Pro ]q.| = 1 geometrické sn = o pro n sudé n-»oo řada rovněž diverguje. - 9 - Příklad 3. Vyjádřete ve tvaru zlomku v základním tvaru číslo 0,215. Je 0,215 = In + < + ^\ + ... > xu 15ioJ 10p 0 21"T - _2 + 10? - I + .1,5 ... = 1 + i_ = JZ1 0,215 -10+i i - 5+io ^ ^ 5+66 10^ °'2"5 = ftó Soubor cvičení 1. ' Určete součet řady 'a, ! „| + 1 . 1 + ... * ' - Výsl.: f b. i - -i- + I--~+-" Výsl.: 3 -V3 \[3 3 3 VT 2- -1+(v/2-1)-(3-2n/2)+... Výsl. : 1 + V2 - 1 d. \ * ^ + + + iy + iy + ... ? Výsl. : | 2 3 2 3 V 3n 4- 2n 3 g# 2_ - Výal.: 4 Vyjádřete ve tvaru zlomku v základním tvaru _ ■ 4 h. - 0,12 Výsl.: - ^y i. 0,078 Výsl.: ^ j. 0,26325 V^s1' : M§oé - 10. - Příklad 4. oo Určete součet řady T^10* 2 • *V1«»1 2 Je en = ±2&JL + 1ok22+ ' + log log 2n n 2 • 22 2n"1 2n s = l£a-l + 2 log 2 + ■ + (n-1) log 2 ' nlog_2 "o 0n-l „n sn=(? + 7"+. +^T + -^r)log2 (1) Rovnici (1) násobme \ ■ Odečtením (2) od (l) I sn = I 1 " SI log 2 - 1 - 4 2n oo n Tedy 3 = lim s = 2 log 2 = log 4, T lo* 2 = log 4 n-»oo fr- 2n n=x Příklad 5. ^ Určete součet řady 21 ( Vn + 2 - 2 Vn + 1 + Vň~ ). n=l Platí an = ^3<- 2 \Í2 + 1 a~ ■ \/7 - 2 NVT + VÍ" a, » \T5-2 VT + \/T a„ 0 = Vn - 2 v/ n - 1 + \/n - 2 an_1 as \/ n + 1 - 2 >/n~ + V n-1 an = Vn + 2 - 2 \/n + 1 +ľ VrT s n = 1 - n/T- \/n + 1 + Vn + 2 8 = lim 3=1- V¥ + lim ( Vn + 2 - Vn + 1 ) = 1 - VT + n-»co n-»oo + lim 1 = 1 - VT. ^"VnTl ♦ Vn~TT 1 - 11 - Poznámka 3. Vzorec i>ro en bychom měli dokázat metodou matematické indukce. Ukažme v tomto případě podrobný postup -v dalších příkladech nebudeme tento důkaz provádět. Pro n = 1 je 81 = 1 - 2 SJ2 + = ax ..... platí Předpokládejme, že platí sk = 1 - VIT - Vk + 1 + Vk + 2, dokážeme, že platí sk+1 = 1 - >/2 - Vk + 2 + Vk + 3. Platí sk+1 = sk + ak+1 = (1 - V? - Vk + 1 + Vk + 2) + ( yk + 1 - - 2 Vk + £• + Vk + 3) = 1 - VT - /k + 2 + Vk + 3- Tedy pro každé přirozené číslo n "platí sn ■ 1 - V2**- V n + 1 + V n + 2 V ■ Příklad 6. oO Z Určete součet řady . UM n (n + 2) Položíme -Tí^^á + ;r-B7 Pak 1 = A(n + 2) + Bn 1 = (A + B)' ň + 2A Odtud A = \ , B = - 77 . Tedy sn = ä1 + a2 + ... + a^ + an = \ (l - \) ♦ J ( J - J )♦.-.. * 1 f 1 1 \ . 1 ŕ 1 1_V.l/i xl 1 1 \ 8 = i1™ 1(1" íttt - rri)= 4 00 7 i -1 n(n + 2) ~ 4 n=i Příklad 7. oo Určete součet řady 21 n(rí^+ k) * kde k ^e P^rozňn^ Číslo. n=l 1 A B v'-"''' Položíme nTTTTľ = n + n + k Odtud 1 = A(n + k) + Bn, tedy A + B = O Ak = 1 A _ 1 R - _ I A - k , B--k . - 12 - - + 1 1 , k 3 3 + k s « 1 (i _ 1 + 1 _ 1......_ + 1 1 , . 1 ^ sn k\x 1 + k * 2 2 + k 3 3 + k + • • + ň ~ n + k / a = 1 (i + I + + 1 _ 1 _ _ 1 . 1 ^ 8n I l1+i + r ,M + I řT+T ••• n + k- l" ITTT J Soubor cvičení 2. Určete součet řady oo •• I n=l b. I n=l n=l oo n 2n n 3n-l 2n Z 1 2n 2n - 1 2n-l a + n 2n f. 7L n(log 2) n=l n-1 g oo sin a; n-1 n=l oo ,n 4n- h. V -,• „, nJ + 2n + 3n n=i Výsl.: 2 Výsl.: | Výsl.: 3 Výsl.: 6 Výsl.: 2(a + 1) Výsl.: (1 - log 2Y Výsl.: -2-. (3 - sin a)' Výsl.: diverguje - 13 - Soubor cvičení 3« Určete součet řady oo a. £ i1 - ,v Výsl.: 1 f—, n(n + 1) n-i n=l In ♦ rfe t 4) n=l PO d'Z (2n-l) (žn^ 5) Výsl.:§ n=l -Z (in - 2)(3n * 1) VÍ3l-:I n=l oo f 4n" - 1 n=l n=l nJ + 3n + 2n h. I -Sa-i-l- Výši.: 1 n=1n2 (n + l)2 ^ Žl^ ) Výsl.: div. v T 2n +3 Výsl.: k* Z- n(n + 2) (n + 5) 900 iv* 1 - 14 - 2. ŘADY S KLADNÝMI ČLENY oo $aÄa Z- an» /!/» káe a >0 pra každé přirazené čísl* n je číselná n=l řada s kladnými členy. Říkáme, že řada 21 »n je majoranta (majorantní řada) řady 21 a , n=l n=l n platí pro každé přirazené číslo n: \»n = an. Některé věty o řadách s kladnými členy. L co ' Věta 2.1* Řada ZL an s kladnými členy konverguje, existuje-li k ní n=l co konvergentní majoranta. Je-li řada / ' a s kladnými členy n=l n divergentní, je divergentní i každá její majoranta. Poznámka. Neexistuje řada, která by sloužila jako univerzální majoranta či minorsnta pro libovolnou řadu. Majoranta případně minoranta se určuje zvláší pro každou řadu. Všta 2.2. Podílové kritérium konvergence - ďAlembertovo. Nechí (1) je řada s kladnými členy. Existu je-li číslo ql řada (1) diverguje. Věta 2.3. Odmocninové kritérium konvergence - Cauchyho. Necht (1) je řada s nezápornými členy. Existuje-li číslo > q< 1 a přirozené číslo k tak, že pro všechna n = k je *Ya^l řada diverguje. Pro q = 1 nelze o konvergenci řady (1) podle vět 2.2, 2.3 rozhodnout. - 15 - V^ta 2.4* Kritérium konvergence - iteabeovo. Necht (1) je řada s kladnými členy. Existuje-li číslo r>l a přirozené číslo k tak, že pro všechna n = k je / a \ y n (---li = r, je řada (1) konvergentní. Jestliže V n+1 ' > existuje přirozené číslo m tak, že pro všechna n = m je fa \ { nI --i j - i pak řada (1) diverguje. V8n+1 /■ /an \ Zejména existuje-li lim n ( - 1 ) = r, pak pro r>l n-»oo \an+l / řada (1) konverguje a pro r nQ, kde nQ ^e přirozené číslo. Existuje-li vlastní limita lira Jf(x) dx, pak řada (1) t t->oo K konverguje. Je-li lim ) f(x) dx = oo , pak řada (1) di- t-»oo£ veršuje. oo Poznámka. Ukažme například divergenci harmonické řady21 r • t n=l n Je f(x) = | , potom lim ^ dx = lim ln |x| J = x t->oo * x t-^oo 1 = lim (ln t - ln 1) = lim ln t = oo . t-í» sr-» oo v 1 Řada Z -7T konverguje, proto také řada £ —:f=-- konverguje, dle věty 2.1. - 16 - Příklad 9. " oo Rozhodněte o konvergenci řady X. jn ~vy s kladnými Cleny. n=l Vn 3 lim-ia = Um 4n j 1 . j£Z B lim . limT\/n3n '" n^ooan n-froo^fn+l) 3n x 4n 3 tv*«o 4n - 3 n-*ooV (n+1) 3n+1- = ■ < 1; řada konverguje. 1/3 Příklad 10. oo Vyšetřete, zda konverguje řada ^ -—Si s kladnými členy. lim !a±i , iu -.2n*:Vl>l . JjL * 2 lim Mr-f- 2 _1_ « n-*oo an n-*oo (n+l)n+1 2n ni n-Íoo \n+W, (EO* lim \ n / • n-*-©o = 2 ^-<1; řada konverguje. Příklad 11. Rozhodněte, zda konverguje řada Xíarctgn) * a> O je reálné číslo. Je lim V" = lim "Vf \ f = lim -f— - = ^a- n->oo n -n-^oo í^arctgnj x^arctgn jc x jet Rada diverguje pro a > -g- , konverguje pro O < a < -y . Pro a ■ -jj"- nelze podle odmocninového kritéria rozhodnout. Příklad 12. . oo Rozhodněte o konvergenci řady Z *ll ! iln-ij * 2n-l B kladrtfmi • Členy. ,. an+l _ 1.3. ..; . (2n-l) 1 2.4.....(2n-2) , - Íí« " «íl 2.4.....2n- * 2*ň+T * 1.3. ... . ■ 2n-3) # (2n-1' n -»00 n n-»-oo - lim (2n-l)2 _ lin 4n2 - 4n + 1 _ 1# _ 2n (2n+l) __,„2 0 Podílovým kritériem nelze o konvergenci rozhodnout. Použijeme-li větu „ ( an n ) _ _ 1 4n2 + 2n ,1 .„ 6n - 1___6n2 - n n I —-- - 1 / « n l —*5—■-—- - 1 / = n ———————— _ —5-- • \an+l / \4iT - 4n + 1 / Atí - 4n + 1 4n* - 4n * 1 6n — jj Ale —5——- > 1 pro skoro vSechna přirozené Čísla n, o čemž se 4n - 4n + 1 - 2 přesvědčíme výpočtem limity: lim —f2—^-B-» 4 > 1. Proto řada konverguje. ->v-+oo4n - 4n + 1 Příklad 13. Rozhodněte o konvergenci řad s kladnými členy: a. Z n 3 , b. Z. -i- , kde r > 1 je reálné čislo. n=l 1 + n n=l n* a. Funkce f (x) = —■ a splňuje v intervalu ^ 1, + oo ) podmínky 1 + x* 7 t f r -ifc ,: lim- f 2Ul2L„llim 2x_dx = I Um Kn Q + x2} I t-»oo ^ 1 + c t-*oo ^ 1 .+ x* * t-»oo L J1 \ lira [ln (1 + t2) - ln 2] * +00 . t-»oo 00 Řada Z. n diverguje. n=l 1 + n b. Funkce f (x) = ~- , r > 1 splňuje pro xé ^ 1» t 00 ) podmínky věty 2.5. t-* 00 J xr t-*00 L -*1 A rt-*«>Lxr A J4 1 r i 00 1 podle věty 2.5. Řada T -i— , r > 1, konverguje *~ n Soubor cvičení 4* Rozhodněte o konvergenci řady co ... I n=l \fn 00 n=l n Výsl.: pro každé přirozené . člalo n > 1 Výsl.: pro každé přirozené číslo n > 2 - 18 - oo n=2 co In n I i. I k. n=0 (n+1) 3 n co e. X n=l oo f. Z a n=0 2 oo g. Z n=l 5 oo n' ,n 21 2n+l n! n ,3n n=l (2n - 5)! oo n=l 2n(2n + 1) co n3 Í2n)! n=l oo Z ln(n + 1) n=l 3 .. ..... n Výsl.: pro každé přiroz.čislo n > 1 ' tJ-— > h div. in n ' n' Výsl.: pro každé přiroz.čislo n (n+1) 3n < ; konv. Výsl.: konv. Výsl.: div. Výsl.: div. Výsl.: konv. Výsl.: div. Výsl. konv. Výsl.: div. Soubor cvičení 5. Rozhodněte o konvergenci řady a. 00 „ 1 -M n=l \2n + 1 / b. Z n=l ,n oo , I n=l logn(n + 1) 00 d. Z n=l . n 1 arcsxn — Výsl.: konv. Výsl.: konv. Výsl.: konv. Výsl.: konv. - 19 - oo e. f. T 2 Z_ n sm n=l 00 1 2 n=l (n + 1)! I Ml2 ->n n»l (n+1) n.n oo h. i. n n=l (2 + i-)n 00 T 1 In2 n=l 2n n 1 )?±f n-1 n k. n n-1 oo Z. n=l (2^ + n + 1)T Výsl.: konv. Vý3l. : konv. Výsl.: konv. Výsl.: konv. Výsl.: konv. Výsl.: konv. Výsl.: konv. Sou:>or cvičení 6. Rozhodněte o konvergenci řady (O a T 1 , ii«2 (2n - 1T - 1 to b. L. n n=l (n + 1)-oo T 2n d. n=l rf + 1 00 1 n=2 V<2n ~ 3)^ 00 1 -i—7=r n=l (n+1) Vn oo f. n=l n ln n Výsl.: konv. Výsl. : konv. Výsl.: div. Výsl.: div. Výsl.: konv. Výsl.: div. oo oo n=l - 20 - „ T. -i_— Výsl.: konv. *" n=2 TtoFZ n< 21 _-—5- Výsl.: konT. n=l (n + 1) In2 (n + 1) 4 oo i J , . a_Výsl.: div. 4 21 i p— Výsl. : konv. n=3 n4 - 9 oo k* 21 x Výsl.: div. n=0 V4n + 1 - 21 - 3. ALTERNUJÍCÍ ŘADY Věta 3.1. Kritérium konvergence pro alternující řady - Leibnizovo Necht 1 an | je nerostoucí posloupnost kladných čísel. 00 Pak řada /L (-l)n-1 a konverguje, jestliže lim a = 0. ^ n=l li n-»oo oo vn-1 Řada £ í-l)n-J- an se nazývá alternující řada. n=l Příklad 14. Rozhodněte o konvergenci alternujících řad: oo -i 00 - co T (-l)"-1 h 7 (-l)"-1 „Tři ^-1 3n +1 n=l n-l n-± oo T ,,»11-1 f -,-) 00 a. Řada - konverguje, protože posloupnost | — j n=1 j< n=l n klesající a lim ~ = O. n-»co co . Z, ,\n-l ln(n + l) rovn^ konverguje, protože posloupnost n=l {ln(l í n) )n=l klesá'n^ ln(n í l) = °" oo c. Řada 21 (-l)11"1 2n - 3 ^e aiver£entní» protože nesplňuje nutnou n=l podmínku konvergence lim a = O. n-»ob Soubor cvičení 7. Rozhodněte o konvergenci alternující řady oo «• Ž-Zď" t Výsl.: konv. n=l jn - 1 co b> T —- Výsl.: konv. n=i oo d. I n=l 00 e. Z n=l oo t. I n=l oo ^ ■ ■ g. 1 5n - 2 'n i_2 u«1 TT Vyal.: div. Výsl.: konv. Výsl. : div. Vysl.: konv. - 23 - 4. ŘADY ABSOLUTNĚ A NEABSOLUTNĚ KONVERGENTNÍ co líějme nekonečnou číselnou řadu A. a„ . (1) n=l ■ Utv©řme nyní řadu sestavenou z absolutních hodnot členů řady (1) oo v temže pořadí 1 Jíl} (2) ( ' n=l Sada (1) se nazývá absolutně konvergentní.konverguje-li řada (2). V případě, že řada (1) konverguje, ale řada (2) diverguje, říkáme, že řada (1) konverguje neabsolutně. Příklad 15. Vyšetřete absolutní případně neabsolu.tní konvergenci řad: oo oo oo a. L (-í)11-1-^-, b.I (-i)*"1 a-J-i-, c. I (-i)11"1—i- n=l . n2n n=l n=l Vn oo co a. Řada 21 I (-l)11-"*" \, ■ 1 = Z —r— konverguje, protože má konverzi n2n * n=l n2n oo gentní majorantu Zl „ n=] oo ... _ i i je absolutně konvergentní. oo n=l 1 2n • n-1 1 n2n co = I n=l je řada s kladnými členy.. n + 1 Diverguje, protože lim a = lim —-— =1^0. _ n-*oo n->oo co Sada 21 (-l)n_1 --g-^ je alternující a diverguje, protože nespl-n=l ■ -..•i'' nuje nutnou podmínku konvergence lim a = 0. n-»oo oo ' v Závěr: Řada Z (-l)11"1 diverguje. n=l n oo oo !. Řada Z-k-l)11"1 — I = Z je řada s kladnými členy. Diverguje, n»l {n UM Vn nebol je majorantou harmonické řady Z. n • < ■ oo n=l , > oo Řada 21 (-l)n+1 ~= je alternující. Protože posloupnost \ —^- V n=l Vn t Vn Jn=l klesá a lim —= 0, je konvergentní. n-»oo wVn oo Závěr: Řada Z (-l)n_1 -7= je neabsolutně konvergentní. n=l vn - 24 - n=l je takové posloupnost přirozených čísel,-že se v ní každé přirozené číslo vyskytne právě jednou. Říkáme, že nekonečná oo oo číselné řada' 21 «k vznikla přerovnáním řady 21 a pomocí n=l n n=l n posloupnosti {kn| . Platí: Věta 4.1. Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní. oo oo Věta 4.2. Necht řada Z. a_ je absolutně konvergentní a Zl a = s. n=l n n=l n oo oo Potom řada H ak , která vznikla přerovnáním řady Z. a n=l *n ^ n=l n pomocí posloupnosti {k^} n=1 je konvergentní a platí I a. =s. n=l Kn Příklad 16. oo Přerovnejte řadu 7" ^ = Í + ^ + ^t + ^t + ^c+... pomocí posloupnosti 1 2 2 2 2 2 přirozených čísel { k^ n_j_» kde y. 2j - 1 pro n = 3j kn = — 4j - 2 pro n = 3j - 1, n je libovolné přirozené číslo. ^ 4j pro n = 3j - 2 M Určete její součet s. Řada H ~ je geometrické řada s kvocientem q = ^. Je absolutně konvergentní a má součet 3=1. Jejím přerovnáním pomocí dané posloup- 1-) oo -i -i 11 kn J n=1 vznikne řada | + -\- + -j- + -y- + + ... , které mé 2 2 2 2 týž součet s=l, podle věty 4.2. Věta 4.3. Kritérium Dirichletovo. oo Bu<3 \ Cy,l monotónní posloupnost, lira c = O. Necht t nj n-± n-»oo oo posloupnost í a } , částečných součtů řady21 a je oo n-J- ohraničené. Potom řadaZ. ca konverguje. n=l n - 25 - Věta 4.4. Kritérium Ábelovo. 00 v f \ oo Necht -jer , je monotónní a ohraničená posloupnost a *" 1 oo OO necht řada £, an konverguje. Potom řada £ ca konverguje n=l n=l Příklad 17. oo Ukažte, že řada JL.^ co^ Pa , n je přirozené číslo, konverguje pro libovolné reálné číslo a. , i Ukažme, že při volbě an = cos na, cn = ^ jsou splněny podmínky Diri-chletova kritéria; Platí: _ _ _ n+1 „ „• n „ COS 2 a • Sxn T a cos s + cos 2a + ... + cos na = -~---— , a * ' leos S+i a . sin n aJ ^ 1 sn 1 = I C03 8 + cos 2a + * * * + cos na » = -"""sTi--=,i —— i* lsin 2 I l8in l| f 1 1 00 1 Posloupnost j ~ V - je klesající, lim * = O. oo fc n-*oo konverguje podle věty 4.3. Řada I n tl*1 Příklad 18. oo --- , n je přirozené číslo, a je číslo reálné. „ i n r- , a = cos na . V příkladě 17 jsme dokázali, že řada Volme c_ = —v n » n n °° n v £_ iň, a-J— konverguje. Posloupnost je ohraničené, nebot lim ^Vn = 1. Zbývá dokázat, že posloupnost "í ^^/n } «-i je monotónní.. n-*oo ' n+1 _. + u Ale \/n+1 právě tehdy, když nn 1 > (n+l)n. Poslední nerov- nost je ekvivalentní s nerovností n y (1 + ^)n a ta je•splněna pro f 1 nl 00 každé přirozené číslo n ^ 3, nebot posloupnost \ (1 + —) jn=1 je toucí, lim (1 + ~)n = e < 3 Proto posloupnost ^^Vn] ^ je mono- ros r.-> oo tónní ^ Zn /— -V n cos na konverguje podle věty 4.4. n Ua1 - 26 - Soubor cvičení 8. Vyšetřete, které řady divergují, konvergují neabsolutně, konvergují absolutně: oo n fcl1 + n oo b.I n=l n "V n oo c. Z n=2 co d. Z n=2 e. L n~l CO f. I n=l 00 I oo h. I n=l oo • i. I n=l oo V* j. I Y2»1 (-l)n ln n -----n (-1) n n - In n )n-X n3 -.n (-l)""1 2n' ní Soubor cvičení 9. i VySetřete konvergenci řady oo Y sin nct. ■• L~— . 00 b. I ain n=l oo n sm n 12 n=l ln n Výsl, : konv-.neabsol. Výsl.: konv.absol. Výsl.; konv.neabsol. Výsl.: div. Výsl.: konv. neabsol. Výsl.: konv.absol. Výsl.: div. Výsl.: konv.absol. pro libovolné reálné oi Výsl.: konv. absol. Výsl.: konv.absol. Výsl.: konv. pro libovolné reálné oi Výsl.: konv. pro libovolné reálné oč , a to absol. Výsl.: konv. 00 A J~ sin n sin n* n n=l 00 , T cos no£ n=l n TO T sin * Z. 0n s > 0 27 -Výsl. Výsl. n«c Výsl. Soubor cvičení 10. a. Určete součet řady y-g- + "S^J + 3^4" + 00 b. Určete součet řady Z. Tn+o")^"Cň+2) n=l 00 c. Určete součet řady X (~Dn ^"(n+í) d. Zjistěte, je-li splněna nutná podmínka konvergence řady 3 + 9 27 81 + e. Rozhodněte o konvergenci řady 1 J>_ 9 13 (3 iz.ť \IT7yr V4.34 f. Rozhodněte o konvergenci řady 00 n=l „n n (7. Rozhodněte o konvergenci řady konv. konv. pro libovolné reálné ai % «L f 2kjc , k celé číslo, a libovolné s > O konv. pro libovolné reálné e£ Výsl.: 1 Výsl. : U Výsl.: -1 I 1 n=l Tň+1) ln (n+1) h. VySetřete, zda řada diverguje, konverguje neabsolutně, konverguje absolutně 00 vn+1 1 _ I (-1)1 Výsl.: ano Výsl.: konv. Výsl.: div. Výsl.: div. Výsl.: konv. abs. (2n-l)' Vyšetřete, zda řsdn diverguje, konverguje ne*»bsolutn*, konverguje absolutní oo Výsl.: konv.neabsol, Z n=l (-1) n+1 (n+1) lň (n+1) Vyšetřete, zda řada diverguje, konverguje neabsolutně, konverguje absolutně oo Y sin noi n=l n! Výsl.: konv.absol.' pro libovolné reólné oL - .29 - NEKONEČNÉ ŘADY FUNKCÍ V OBORU REÁLNÝ CH ČÍSEL 1. ZÁKLADNÍ POJMY Nejprve uvedeme definici tzv. bodové konvergence posloupnosti funkcí {fn} n=1 k limitní funkci f. Nechí {fn} n - je' posloupnost reálných funkcí definovaných na intervalu J. Pro libovolné pevně zvolené x€ J je {fn(x)} číselná posloupnost. Jestliže tato číselná posloupnost mé vlastní limitu, označíme ji f(x), tj. lim rn(x) - f(x). Množinu M všech x e J, pro něž ' n—►ŕto >--------_— existuje vlnstní limita posloupnosti ^fn(x)J ns^ nazveme oborem konvergence posloupnosti funkci { fn } Každému x€ M je přiřazena jednrt hodnote f (x) = lim fn(x). Je tak určena na množině 11 funkce f, kterou nazveme limitní funkci posloupnosti -^f j ,. Píšeme lim f = f, n-voo " přip. fn ~> f. oo Výraz £ f = f-, + ŕ~ + f3 + ... (1) •n=i • . nazýváme řadou funkci. Funkce f je n-tým členem řady (1). Posloupnost ierJ n=l' kde sl = fľ 32 = fl + f2» "*» an = fl + f2 + * *' + fn»---- nazýváme posloupnost částečných součtů řady (1). Limitní funkci s posloupnosti {sR} - nazýváme součet řady funkci (1), obor konvergence posloupnosti ■[ sn| nazýváme obor konvergence řady funkci (1).' Příklad 1. Určete obor konvergence řady funkcí Z. fn, kde í"n(x) = jj ( y2+ 4) * n=l ___, 00 ,^ Určíme, pro které reálná čísla x, x f -4, číselné řada £ £ (x +%) konverguje. Užijme nepř. podílové kritérium 1 /2xjf*1 n(x+4)n I _ 2 Ixl Ub _n _ 2 lx I n+1 (2x)n J |x+4j ^„H+IT jx+4j lim [an+l = lim an n->oo - 30 - Řada konverguje pro každé reálné číslo x, pro něž 2 UU <; x, tj. |x+4| 2 jx|<\x+4l . Řešení^ této nerovnice jsou xé C- 4 » - ---oo . .n Pro x = - ■? jde o číselnou řadu 2- "Hř4— » která konverguje, oo n=l Dro x ■ 4 dostáváme řadu Z. r , které diverguje. . n=»l n Je tedy obor konvergence řady B a^. i , 4). Příklad 2. 00 Určete obor konvergence řady funkcí 7* f_, kde f„(x) ■ —5r-*r~^— ^1 n» n n+I (3x2+4x+2)n Výraz 3x2 + 4x + 2 ■ 3(x + fr)2 + fr > O pro libovolné reálné x. Vytvoříme^konvergehci číselné řady (x je libovolné reálné číslo) L n 1 n=l ň+T" (3x2+4x+2)n Cl] Je lim = lim n / n 1 __1 n+1 ľTľľľľ^ = n-»oo 1)-»oo 3x +4x+2 3x +4x+2 Pro —5=- < 1 řada DO konverguje. '3x<:+4x+2 Řešíme nerovnici 3x2 + 4x + 2 > 1 3(x + \)Z - \ >0 (x + |)2 - (j)2>0 (x+1) (x+ h > O, tj. X4 (-00 ,-D U (- i , 00 ). Pro x = -1 i pro z ■ - i dostáváme číselnou řadu^ n+T" » které 11*1 diverguje. Má tedy řada funkcí obor konvergence M ■ (-00 , -1) \J (- 3 , 00 ). Příklad 3. Určete obor konvergence řady funkcí T fn, ■ —j sin ^c. _. n . » Pro každé x reálné je lim ■^Vl'Hil = 8 lsin x| lim n r~- = 8lsin *!• H-^oo n->os> -*y ^2 Řada bude konvergovat pro 8 ^sin^xj 0 existuje Číslo n > 0 tak, že pro všechna přirozené čísla n, n = nQ a každé x€ M, platí |f(x) - f (x)|< £ .Píšeme f f. Řokneme, že řada funktfi 2! konverguje na množině M stejnoměrně Hal /• *J OO k funkci e, jestliže posloupnost | 8„j částečných součtů této řady konverguje stejnoměrně na množině M k funkci s. Poznámka 1. Jestliže \fn) n-1 konverguje na množině M stejnoměrně k funkci f, konverguje také bodově k limitní funkci f. Obrácené tvrzené neplatí.. Příklad 4. Zjistíte, zda posloupnost funkcí {fn| n_^ , kde a. fjx) - 2nx n ~ l+n2x2 b. f (x) = —^ n 1+n konverguje na intervalu ^0,1^ stejnoměrně. i. Pro každé x € <0, 1> platí lim f (x) = lim 2njj x = 0. Je tedy n->oo " n-9-oo 1+n x limitní funkce f: y = 0, D(f) =-^0, 1> Pro každé x intervalu ^0,1> platí: 2nx _ 0 2 2 l+n^x* 2nx l+n2x2 ffn(x) - f(x) I = Pro x = i € (0, 1> je J fn(x) - f(x)| = g -y = 1. 2n » 1+n p n Proto pro £ 6 (0,1) nemůže platit | fn(x) - f(x)[<£ pro každé xé<0, 1> , tedy posloupnost { fn) ^1 nekonverguje k f stejno- - 32 - 2x n mírně na intervalu <0,1^ . b. Pro každé x6 <0,1> je lim f (x) = lim T = 0, n_>o>o " n-*oo i+x n f : y = 0, D(f) = <0,1> je limitní funkcí. Pro každé x intervalu <0,1> je | ffi(x) - f(x).| « = —"f"'?"" a Platí 1+n x 2x _ 1 2hx < 1 ■ 2nx <' , / . , , ,2 > --= - -y-y = - , protože -k~ô = 1 , ( je (nx - 1) =0 n 1+nV n l+n2x2 pro každé x reálné a každé n přirozené). Budeme-li proto k libovolnému £ > 0 volit n tak, že n = -~- , o ' o £ ' bude platit pro každé přirozené číslo n, n > n , a každé reálné číslo x intervalu ^ oq n 2n Rozhodněte, zda posloupnost J 1§ kde fn(x) = x - x konverguje stejnoměrně na množině ^0,1^ . Pro každé reálné x intervalu <" 0,1> je lim (xn - x2n) = n-*oo- ■ lim xn(l - xn) = 0, tedy f: y ■ 0 je limitní funkcí. Určíme lokélní maximum funkcí fn(x). Je f^(x) = nx51"1 - 2nx n" ■ = nx11"1 (l-2xn); f^(x) = 0 pro x1 - 0 a x2 = jj^— . Pro x2 - íjt * w -M Wn= 1" **1 •fn<0)=0> f (1) ■ o. - 33 - max Proto sup 1 ?n(x) - f(x)| = max j fn(x) - f(x)J = x£<0,l>, xe X6 <0,1> f. n (x) = h . Protože lim sup \ f (x) - f(x)| = lim ~ = i f 0, nekonverguje n->oo xe<0,l> n->oo * 4 {■» oo fnjn=l k funkci f stejnoměrně na množině <0,1> Soubor cvičení 1. . Určete, pro které reálné čísla konverguje řada: ca £ ň (£+1) v*si-: i> n=l--------- oo b. Z n2xn Výsl.: (-1, 1) n=l C* n=l (2n - l^YF11" Výsl.. A 2 > ~f > oo d. I ln(n + 1) ^n+1 výsl#: <^ l5 n=l oo Z oo í.^igfli- Vjřsl.t <-l, 1) oo 0 • Zx "*■'■ 1=1 (2n - l)(2n - 1)! V^s1': <" °° » 00 > oo n=l 3n_1 ^ co *• 21 ffe7Tx2n výsl-; C-co,oo) Výsl.: (-3, 3> 1- fei^Tr n=l n oO k. Z 102n (2x - 3)211"1 Výsl.: (1,45; 1,55) ■h»1 - 34 - Soubor cvičení 2. . Určete obor konvergence řady: 00 a. I 4" Výsl.Y^-l, 1> n=l n ©o " / ;/ b. Z lí^)* V*,!.: 4 > n=l co e * £ -JČ- Výsl.: (-2, 2) n=l 2n . n 00 d n=1 : V(3n - 2)2? 00 Z n=l Zl e~n2x Výsl.: (O, + oo) po f. Z x* tg -f- Výsl.: (-2, 2) n=l 2 co g. £ n . sinnx Výsl.: x/-^-+ k JE , k celé ~ číslo, x reálné číslo h. f5 (-l)""1 " 1 Výsl.: <-l, 1> 2n - 1 Soubor cvičení 3« Zjistěte, zda posloupnost {řn}n-i konverguje stejnoměrně k limitní funkci na daném intervalu J. a. fn(x) = xn oí. J - <0, |> Výsl.: ano fi. J « <0, 1> Výsl.: ne b. f (x) = xn - x11*1 J = <0, 1> Výsl.: ano Za c. fn(x) = l + n J = (O, oo.) • Výsl.: ano <5. fK(x) = i ;xn ; x J=<0, 1> Výsl.: ano - 35 - t. fn Výsl.: ano a j = <1 -£ ,1 +£> Vysl.: ne J m < 1 + & , 00 ) Výsl.: ano J = (- 00 , oO ) Výsl.: ano J = (-00,00 ) Výsl.: ano j s (-00,00) Výsl.:' ne j = (0, 00 ) Výsl.: ne J = (-m, m) m je lib.kladné číslo Výsl.: ano J = (- 00 , 00 ) Vysl.: ne < r - 36 - 2. VLASTNOSTI POSLOUPNOSTÍ A RAD FUNKCÍ Věta 2.1. Cauchy-Bolzanovo kritérium Posloupnost funkci { fn} n=1 konverguje stejnoměrně na množině M prévě tehdy, když ke každému £>0 existuje nQ takové, že pro každé n, m přirozené, n = n0, m = n a pro väechná x € tá piati lfm(x) - fn(x)j<£.' . Řada funkci T f Äi . n=l n konverguje stejnoměrně na množině U právě tehdy, když ke. každému £ > O existuje n0 takové, že pro každé n, m přirozené, n = n , m = n a pro všechna x č. M platí: I Vl(x> + fn+2(x) + + fn+m(x) U £ - oO- Řekneme, že řada funkci 2L ín konverguje absolutně.. n=l „o jestliže konverguje řada funkcí .21 \ fn | • n=l V4ta 2.2. Weierstrassovo kritérium Nechí T. fn je řada funkcí a necht platí jfn(x)| = an n=l \ , pro každé přirozené číslo n a všechna xč M. Jestliže oo oo číselné řada 21 a„ konverguje, pak řada funkcí 21 f„ n=l n ' n=l n konverguje absolutně a stejnoměrně na množině M. Příklad 6. oo Sada T f„ » kde f_(x) = xailL nx,: zřejmě konverguje pro x = k^C , kde k je celé číslo. Pro každé přirozené číslo n platí: lf„(x)l = j^g * ; , 1 í'y^-.-V proton x£ (-«.,« ). » g2 DO Jelikož číselná řadami-7--konverguje, konverguje řada funkcí X f„ n=ln I n=l absolutně a stejnoměrně na (-00 , 00 ). Základní význam mé věta - 37 - Věta 2.3. Necht { fQ} n=1 je posloupnost funkcí, která konverguje stejnoměrně k funkci f na intervalu (a, a + ô ), kde S>0 Nechí pro každé přiroz.číslo n existuje vlastní limita lim rn(x) = bn» x —> a+ Pak existují také vlastní limity lim f(x), lim b. a+ n- n a platí lim f(x) * lim b , t j. x -> a+ n-> lim tlím ^n^x0 = lim T lim x —>a+ n—»00 n->co x —> a+ Věta 2.5. n->co x Poznámka 2. Analogické tvrzení platí i pro limitu zleva a limitu v bodě a Věta 2.4. Necht { fn} n=i konverguje stejnoměrně k funkci f na intervalu J. Jsou-li všechny funkce fn spojité, na intervalu J, je také limitní funkce f spojitá na intervalu J. Necht řada funkcí 21 ^n konverguje stejnoměrně v intervalu n=l _________........______________ J. Jsou-li všechny funkce fn spojité v intervalu J, je součet řady funkcí s funkce spojitá na intervalu J. Necht posloupnost funkcí n=^ konverguje stejnoměrně k funkci í" na intervalu <^a, b>. Jestliže všechny funkce fn jsou integrabilní na intervalu ^a, b>» je také funkce f integrabilní na intervalu ^a, b ]> a platí Věta 2.6. b b, Tf(x)dx = lim / fn(x) ^Clim fn(x)] dx = lim ?fn(x J n-*oo n n+*J dx tj. b. ) dx oo Věta 2.7. Necht řada funkcí Z. fn konverguje stejnoměrně na intervalu n=l ■^a, b> a mé součet s. Jestliže všechny funkce fn jsou integrabilní na intervalu <"a, b> , je také funkce s integrabilní na intervalu <"a, b> a platí J s(x)dx=Z C í fn(x) dx ] tj. ajcŽl Vx>] ů*= IlU ^ndx3 - 38 - Větr> 2.P. Mecht všechny funkce fn mají derivaci f (x) pro každé x intervalu (n,b). Necht posloupnost {í"n(x)J konverguje pro alespoň jedno x e(a,b) a necht posloupnost funkcí \ ni n=l konver£uÓe stejnoměrně v intervalu (a,b). Pak platí: a. Posloupnost |fn^ n=1 konverguje stejnoměrně v intervalu (a,b) k funkci f = lim f . n-voo b. Funkce f má derivaci v intervalu (a,b) a platí f'(x) = lim f (x) pro všechna x £(a,b). n-»oo Věta 2.9. Kecht řada 21 fn(x ) konverguje pro alespoň jedno x 6 (a,b) a necht řada funkcí £T f* konverguje stejnoměrně v intervalu n=l n ~ (a,b). Pak také řada funkcí £_ f konverguje stejnoměrně n=l n v intervalu (a,b) a její součet 8 má derivaci v intervalu (a,b) a platí s'(x) = £1 f*n(x) pro všechna x €(a,b). Píšeme také £ fn(x)l = ^ f' (x). n=l J n=l Ukážeme užití těchto vět na příkladech. ?Mll«d 7. ^ V 1 Určíte součet číselné řady«i- -—- . n=l n . 2n UvfŤoviné řada zřejmě konverguje absolutně. Dále funkce í"n(x) = xn~* jscu integrabilní na intervalu ^0, pro každé n přirozené a platí Řada funkcí £T xn~ je nekonečná geometrické řada, které na intervalu n=l (O, ^ y konverguje stejnoměrně a mé součet s(x) = Proto je podle věty 2.7 i funkce s integrabilní na intervalu (o, i) a platí \ s(x) dx = £ \ xn_1 dx = *E —-—- . J o c n=l í n=l n . 2n Ale j e(x) dx = ) 5-—^ dx = [- ln [ 1 - x|J ' = - ln (1 - 0,5) + Po 0 + ln 1 = - ln 0,5 = ln 2 a nroto Z -= ln 2. . 0n n=l n . 2 - 39 - Příklad 8. o ' Určete součet řadv -~— . J OO oO Řada zřejmě konverguje absolutně. Pro řady T f • 2L ť * kde n=l n n=l n fn(x) = x , f£(x) = nx platí, že konvergují stejnoměrně v intervalu (0, 1 - £ ), kde 6>0. Proto podle věty 2.9 platí oo n/ oo oo 2~ xn ) a 21 (x11)* =21 n xn~'1" pro každé x intervalu n=l / n=l n=L (0, 1 - £ ), £>0. Ale ( £ xn )' u ( ^-S— )• * U - *> - fí=aj = -1 V UM / 1 - * (1 - x)2 ^ (1 - x)2 Tedy pro každé x intervalu (0, 1-6 ) platí Z nx11"1 = -~ -g~ - n=l (!-«> Volíme-li x = Ý , dostévérae Z n ~ ~ 4 = 3 Z = -2*-*- ^ n=l 3n_1 n=l 3n (1 - = ! a tedy 2 Tn~ = ~4 • Porovnejme s výpočtem n=l 3n J 3^ 3J I n=l 3" J 3 n 1 + 3 -,2 + ' * co 2 7 n__, 1 1 r __1 -~--x +. - + -~_ + ----- + .... _ —y~ n=l 3n i 3d 3J 1-3 00 Z -a-.-i £l 3n 4 - 40 - Soubor cvičení 4. Užitím V,'eierstrassova kritéria dokopte stejnoměrnou konvergenci řady funkcí na daném intervalu: oo a. T. ~2 2 x € (- oo , oo ) n=l x + n CX> n=l x + 2n oo c n=l 1 + n4 x2 oo d. Z -n* g x e (-00,00) n=l 1 + n^ x r>0 x č (-2, oo ) . £ -2L_ XÉ » a> 1 41 3. MOCNINNÉ ŘADY Bud" -^a^J n=Q posloupnost reálných čísel, xQ libovolné reálné číslo. Mocninnou (potenční) řadou o středu xQ a koeficientech an rozumíme , řadu funkcí tvaru an(x - xQ)n. . (1) Poznámka 1. Substitucí x - x y přejde řada /!/ v řadu ao + aiy + a2y2 + ' (2) která mé střed v počátku. Stačí tedy vySetřovat mocninné řady pouze v jednom z uvedených tvarů (1),. (2). Získané výsledky se již naznačenou transformací převedou" na případ druhý. Všimněte si, že na rozdíl od předchozího textu o řadách funkcí začínáme zpravidla indexem n = 0 - mocninné řady jsou jistým zobecněním mnohočlenů a mají-řadu analogických vlastností. Platí: Věta 3.1. Každá mocninné řada konverguje ve svém středu. Věta 3.2. Konverguje-li řada (1) v některém čísle jí xQ, konverguje absolutně pro všechna reálné čísla x z intervalu (- jxx - x0j , lx1 + x0| ). Důsledek věty 3.2. Diverguje-li řada (2) v některém čísle . y = x^, diverguje pro všechna |y| > Ix-J . Věta 3.3. Řada (1) konverguje ■ ' n I a/ jen v čísle xQ právě tehdy, je-li lim sup -\/|an[ n-i>oo b/ pro všechna reálná čísla právě tehdy, je-li lim sup -Ji i= 0, n-*<*> n' - 42 - c/ pro všechna reálná čísla intervalu (xc - R, xQ + R), kde ---——n , . ".■. t ,ie-li lim sup ja \ €. (0, +00). lim sup ^"y|aR| n-»»» R = n -* «° Reálné číslo R nazýváme poloměr konvergence řady (1), interval (xQ --R, xQ + R) je konvergenčni interval řady (1). Poznámka 3. V Číslech xQ - R, xQ + R může řada konvergovat i divergovat, takže konvergenčni interval mocninné řady se obecné nekryje a oborem konvergence této řady. Jsou-li koeficienty řady (1) takové, že existuje lim ^fla^l ~ q případně existuje lim n-»°o *n+l n = q, mé řada (1) poloměr konvergence R = —; (pokud q = 0, R s + 00 ; pokud q * +. op f je R = 0). Přiklad 9. Určete poloměr konvergence řady funkcí £~nn(x-5)R [ll Řada [l] mé střed xn = 5. Zabývejme se řadou 51 nft (x, - 5)n, o. n=l xx 5f která je hodnotou řady [ l] v číale x = x^. Posloupnost ^jsj nn \x± - 51" ^n=1 = £n |x1 - 5g n=1 není shora ohraničená, nebot skoro všechny její členy jsou větší než 1. Řada [ l} diverguje pro všechna reálná čísla x # 5; R ■= 0, Příklad 10. ■ . Určete poloměr konvergence mocninné řady 1 + 2(x - 1) + 3(x - l)2 + 22(x - l)3 + 32(x - l)4 + ... + 2n(x - l)2""1* + 3n(x - l)2lJ Všimněme si EU posloupnosti \*ri\^^ ~ - {z, i3. KS .... s^W. ä/Fí ■•••} • - Pro kaSdé oŕirozené ííslo n j.^/í^l í 2&-J~~r tj. " "* Proto lim oup {2\/|an\ }n=1 = v/T- Odtud H = —• n-->°o Příklad 11. Určete, pro které reálná čísla konverguje řada Platí: lim = lim 1 « i . q"; n-»<*> n-»<*> V n ' 3 n_4 n . j R = 3, konverpetiční interval (-3, 3). Situaci v číslech -3, 3 musíme vyšetřit zvléšt. Pro x = -3 dostá- váme řadu n-l n . 3n 1 n=l n . 3n 1 n=l n která je alternující a konverguje. Pro x = 3 dostáváme řadu —2—_ =}__ i která diverguje. n=l n . 3 n=l n Z4věr: Rada /._, -;r~T konverguje pro všechna reálné čísla n=l n . 3n"x intervalu <^-3, 3). Vť: ;c 3.4. Jsou-li koeficienty řady (.1) takové, že existuje lim en+l 8n = q , mé řada (1) poloměr konvergence R = * ; n ( pokud q = 0, je R = + oof pokud q = + , je R=0). Příklad 12. oo Určete, pro které reálná čísla konverguje řada v, ■ x - Tím 2n4"1(n+l)! (2n)l ,. 1_ " H*L (2n + 2)! -~ = lx" 2n + I " Platí: lim an+l an = 0 = q ; K = + oo , oo Z*v*r: Rada ZZ 2/?^\n! x2n konverguje pro každé reálné číslo. n=l N*které vlpstnosti mocninných řad. V*ta 3.5. Necht poloměr konvergence R mocninné řady /!/ je různý od nuly. Potom oro každé číslo x,, pro které platí lx, - x |< R, oo 0 řada XI an^xl ~ xo^n absolutně konverguje. n=o - 44 - Věta 3.6. ( o spojitosti součtu mocninné řady) Necht poloměr konvergence R řady (1) je kladný. Necht s(x) je součet řady (1). Pak funkce sx'(x) je spojitá na otevřeném intervalu (xQ - R, xQ + R). Věta 3.7. (o derivování příp.integrování mocninné řady člen po členu). Necht R je poloměr konvergence řady (1). Pak R je i poloměrem konvergence řad a-^ + 2a2(x - x0) + 3a-j(x - xQ) + ... + n an(x - x0) + ... ... = JZ na (x - x^11"1 (3) n=l aQ (x - xQ) + -Tp—(x - xQ)2 + -fpCx - xQ)3 + ... + ÍS- (yr - v )n+1 = V~ -n ■ (x - x )n+1 (4) ---- n+1 u xo; n+1 ^x xo; Říkáme, že řada (3) vznikne z řady (1) derivováním člen po členu, řada (4) vznikne z řady (1) integrováním člen po členu. Věta 3.6. Necht poloměr konvergence R mocninné řady (1) je kladný. Necht s(x) je součet řady (1). Pak platí: 5Z.nan(x - x0)n'1 = s'(x), x & (xQ - R, xQ + R). Věta 3.9. Necht r>olom*r konvergence R mocninné řady (1) je kladný. ■ Necht s(x) je jsoučet mocninné řady (1). Potom na intervalu (xQ - R, x0 + R) platí: £ {x " xo)n+1 = Js(x)dx " E/aíx)axJ x=xc • kde znamená hodnotu neurčitého integrálu [JsíxJdx] / x=xG s(x)dx v čísle xQ. Věta 3.10.Necht s(x) je součet mocninné řady (1), jejíž poloměr konvergence R je kladný. Necht a, b jsou libovolná čísla z intervalu íxQ - R, xQ + R). Potom platí : po b/i v\ oo *n+l F 7 an-v' n=0 a k n-o - (a - x0)n+1 J > 7 s(x)dx. - 45 - Věta 3,11. Mecht. poloměr konvergence R mocninné řady (1) je kladný. Potom r>ro každé přirozené číslo k je poloměr konvergence mocninné řady / " ia (x - xft) n=0 L n - )n o - (k) oo = L_ (nnl k), an (x - x0)n~k = s(k) (x), přičemž s(x) je součet mocninné řady. (1) Věta "í.12. Necht s(x) je součet mocninné řady (1), jejíž poloměr konvergence R je kladný. Potom pro koeficienty řady (1) platí: an = ~ 3^ (xQ) pro n = 0, 1, 2..... Věta 3.13. (o jednoznačnosti vyjádření funkce mocninnou řadou). Necht funkce s(x) je ne otevřeném intervalu J součtem mocninné řady (1) a mocninné řady Y~~ b (x - x )n. n=0 Necht x0 € J, pak pro n = 0, 1, 2, ... platí an = bn> Věta 3.14. Nechí. s(x) je součet mocninné řady (1), jejíž poloměr konvergence R je kladné číslo. Necht řada (1) konverguje i v čísle xQ + R (případně xQ - R). Potom existuje lim m s(x) (případně lim . s(x) ) a platí x —> (xÄ + R)~ x —» (x„ - R) s(: —n " ,(v0 tj. a(x) je v (xQ + R) spojitá zleva, oo s(xQ - R) = YL (-Dn anRn = lim s(x), 0 n=0 x _^ (xQ - R) tj. s(x) je v (x - R) spojité zprava. (x. + R) = 21 anRn = lim s(x), ° n=Ô n x (x + R) Příklad 13. oO Určete konverrenční interval řady a ,ie.ií součet. Plrtí: lim n+1 a„ n = lim 4j~| = 1 = q; R ■ 1, konvergenční interval n-»oo (-1, 1). <*> Řada [*l] vznikla integrováním člen po členu řady n=l jejíž poloměr konvergence je rovněž R = 1. Pro každé reálné číslo intervalu (-1, 1) je řada [2] geometrické s kvocientem q = x4 a mé součet - 4.6 - 8(x) = ■ 1 7 , tedy H x4n_4 = 1 , pro x € (-1, 1). 1 - n=l l - x4 Proto rada [l] má součet / s(x)dx = / —~—7 . J J 1 - x4 Položíme —i—7 = -i-= ,-1— + - B + Cx + D 1 - x4 (1 - x)(l + x)(l + x2) 1 _ x 1 + x 1 + x2 Pak 1 = AU + x)(l + x2) + B(l - x)(l + x2) + (Cx + D)(l - x2). Odtud A = | , B ■ i , C■» 0, D » 1. + arctgx, x € (-1, 1). I í x 1 - x + arctgx. ^ea. 4n-3 n=x 1 + x 1 - x Příklad 14. _ Určete součet řady Y— n(n-l) ...(n-k+l)xn~k, [l"] n=k co Řada £l~J vznikla z řady } xn, [2~| , tak, že ji k-krát derivu- n=0^ jeme člen po členu. Protože / xn=l+x+x2+ ... +xn+ ...= n=0 co = y~Z * s(x), pro x € (-1, 1), je YZ n(n-l) ...(n-k+1) xn~k = n=k s(x) (k) _ , 1 %(k) _ ki WW| Téí , -i \ ( ^ J =--Tppr , pro x € (-1, 1). 1 x (1 - x)K+± PříklPd 15. Určete součet řady 1 - § + ^ - i + ... + (-l)n J + ... [ l] Řada ^ll je hodnotou mocninné řady x - f- + y- - ~ + ... + (-l)11"1 + .... - [2] v čísle x = 1. Studujme podrobněji řadu [2~] .Platí: lim "V I án I = lim ^\f\ = 1 = q ; S = 1. Derivováním řady [2] člen po členu dostaneme řadu 1 - x + x2 - x3 + ... ♦ í-l)11"1 x11"1 + ... , [3] která je geometrickou řadou s kvocientem q = -x. Pro všechna reálné čísla x splňující podmínku |x[|x| du si napíšeme ve tvaru n . xn = x ZZ n . x11"^" Od n=l n=l Výsl. : Yl n . xn =--—*■ , pro x 6 (-1, 1) n=l (1 - xr 00 n+1 b. Určete součet řady V (-l)n+1 jjrjj-y Návod. Pro |x| < 1 můžeme psét Ä n+l n=l n( c. Sete součet řady £ (-1)"' Výsl.: Z- l-lf x ~--T7= (x+1) . ln(x+l) - x, pro x € (-1,1> n=l n(n +1) ' ' _2n-l n=l 2n " 1 oO .2n-l Výsl (_1^n 1 2"n""- T = arct& x , pro x € <(-l, 1 ) oo d. Určete součet řady YL (-l)n (2n + 1) x2n n=0 2 Výsl.: 2_ (-Dn (2n + 1) x2n = 1 ~ x ? pro x € (-1, 1) «=o ^ (1 + x2)2 e. Určete součet řady YL n(n + 1) xn n=l Výsl.: XI n(n + 1) xn = -2-2L-T pro x € (-1, 1) n=l (l - x)3 oo oo f. Určete součet mocninných řad 2~ *n , Yl (t^ n^O n^S J -n^£• Z_ ' gn + 1- Výsl.: s(x) = are tg x, |xl = 1 c. <>o pn x -x ^2n7! Výsl.: s(x) = cosh x = -^- , x reálná číslo 2 3 T d* ľ 7""2 + 2 . 3 + 3 . 4 + V^sl*: s(x) = 1 + x ln (1 ~ x)» x € (-1,1), x / 0 e, x + 2 x + 2 ^ 4 x +2TT76 x + .... Výsl.: s(x) = , 1 f x€(-l,l) Vl - x - _2l:___íl_ f_iin+1 xn+1 f* 1 . 2 FTT **• 1 1; n(n + 1) Výsl.: s(x) = (x+1) ln(x+l) - x, x O, rovnice f(x) = aQ + ax(x - xQ) + a2(x - xQ)2 + ... , (1) říkéme, ře funkci f(x) lze v intervalu J rozvinout v mocninnou řadu. Řadu (1) nazýváme v tomto případě rozvojem funkce f(x) (v mocninnou řadu) v intervalu J. Věta 4.1. Plntí-li v intervalu J > (xQ - b, xQ + b), b > 0, rovnice (1), pak koeficienty an,n =0, 1, 2, ..., jsou jednoznačně určeny vztahy f»(xQ) f'^Xo) ao = f(xo>» al * 1! » a2 = 2l » .....an = f(n)<*0> « • • • n! ' Věta 4.2. Nechí f je funkce, která mé v čísle xQ první, druhou, n-tou derivaci. Necht Tn(x) je polynom nejvýše n-tého stupně, pro který ^ [Tn] = f(k)(xQ) pro k = O, 1, n. Potom platí: f'(x,J f"(xj ) r-S- f' O Tn(x) = f(xQ) + —YT— (x " xo J + 21 —(x " xo' + * f(n)(xn) n f(á)(xft) + n| 0 (x - xc)n = E jf 0 (x - x0K Polynom Tn(x) se nazývá Taylorftv polynom pro funkci f v čísle xQ. Je to polynom, jehož hodnota v čísle xQ se shoduje s f(xQ), první derivace v čísle x0 se shoduje s f'(x ), n-té derivace v čísle xQ se shoduje s f^n^(xQ). Rozdíl f - Tn(x) nazýváme zbytkem funkce f po Taylorově polynomu n-tého stupně a označíme ho I^+^(x)« Poznámka 5. Znalost zbytku Rn+i^x^ umožňuje zjistit, s jakou Dřesností aproximuje Taylorův polynom funkci f. Necht f je funkce, která má v reálném čÍ3le xQ derivace všech řádů. Taylorovou řadou funkce f v čísle x rozumí- - o . °° j,(n)/ > f (xo) n me mocninnou rodu / —- (x - x„) . 4—- n i o Je-li xQ = 0, mluvíme o řadě Maclaurinově. Poznámka 6. Taylorova řada funkce f v bodě xQ je tedy mocninnou řadou o středu xQ. Její n-tý částečný součet je totožný a Taylorovým polynomem Tn(x). Věta 4.3. Nechí. f je funkce, která má v nějakém reálném čísle xQ derivace všech řádů. Taylorova řada funkce f v čísle xQ konverguje na nějakém intervalu J /obsahujícím číslo x0 / k funkci f právě tehdy, když je posloupnost Taylorových zbytků fRn(x0^}n=l nulová- Věta 4.4. Necht funkce f mé na otevřeném intervalu J = (xQ - b, xQ + b), b>0, derivace všech řádů a necht posloupnost .q je na j stejnoměrně ohraničené. Pak Taylorova řada funkce f v libovolném bodě xQ £ j konverguje na intervalu j k funkci f. Poznámka 7. Posloupnost {f(n)}n-i Je ne J stejnoměrně ohraničená, existuje-li takové číslo k, že pro všechna x e j a pro všechna n = 1, 2, 3, je jf(n)(x)| = K. Věta 4-5. Taylorova věta. Necht x, xQ jsou dvě různá reálná čísla a necht f je funkce, které má derivace až do řádu n + 1 v uzavřeném intervalu j, jehož krajní body jsou čísla x, xQ. Pak platí fix) = Tn(x) + Rn+1(x), kde Rn+1(x) = T^yT- f(n+1)( ), 1* patří do Jt i* * x, xQ. - 51 - Poznámka. Zbytek je v tzv. Lagrangeově tvaru. Příklad 16. Rozviňte funkci f(x) = e , x reálné číslo, v Maclaurinovu řadu. Pro k = 0, 1, 2, ... (ex)(k) = ex, [(ex)(k) ] x=Q = 1 . e = 1 + yí + 2i_+ rv + nf *^ nT Příklad 17. Rozviňte funkci f(x) = cos x, x reálné číslo, 77" a. v Taylorovu řadu v čísle xQ = / b. v Maclaurinovu řadu. _ : ... (av) <■«,-»•••<« dttU . k - i. a, ... i. Sada (2) se nazývá binomická řada. Příklad' 1S[. Rozviňte funkci f(x) s* ln(l+x), x €(-1,1) v Maclaurinovu řadu. ■ Víme, že [ln(l+u>] * y~ ■ (l+u)"1, Pro každé reálné číslo u € (-1,1) rozvineme v binomickou řadu (1 + u)"1 = 1 - u + u2 - u3 + ... + (-l)n un + ... [l"] Integrováním flj člen po členu na intervalu ^0, x^ dostáváme JI+u" = fln(1 + u)]0 = ln(1 + x) - ln 1 = ln (1 •+ x) = 0 2 14 n = x . |_ + |í - |_ + ... + (-1)^-1 i-f x € (-i,!), ln(l + x) = x - j£ + 5~ ~ T" + + (-1)n"X n" » x € Příklad 20. ■ Napište Maclaurinav rozvoj funkce f (x) = -g- , x reálné číslo Víme, že ex=l+jjx+2~x2+ ...+njxn+ ... [l j Dosadíme-li do [ll (-x) za x, je írml.ljx^^ ... + -^x» [2] Řady fl3 » [ž] konvergují pro každé reálné číslo x absolutně. Sečteme-li [ ll a [2I a násobíme-li součet iř , dostaneme 2 4 2n I(ex + e"x) = 1 + fy + fy + ...> fsiDT + «*• » x re6lné Sí8l°* - 53 - Přiklad 21.' Rozviňte funkci f(x) = , l n , x €(-1,1) v Maclaurinovu řadu. 1 Položíme -x2 = t, potom . 1 . * , 1 ,„ » (1 + t) 2" VI - yT Vl + t Pro t € (-1,1) je d +1)" ? = i + li. t + t2 + rh rh CJ ) t3 + 11 21 31 -1-1 -Í _ .2n-l + ( 2) ( g ■) (-!-)...( tn ... ' -• " 1 . 1 . 3 +2 n! «• 2* t 21 - 1 'J tt ... + (>Dn 1 * 3 ' * • "'(2n-D-tn ♦...... 2J . 3! 2n . n! Vrátíme-^li se k původní ororaěnné, dostaneme = 1 ♦ i x2 Vl -■ x* 2 22 . 2! . 23 . 3! | 1 . 3 . Ž ... (2n-l) x2n ^. # x€(-l,l). 2n . n! Příklad 22. . Rozviňte funkci f(x) = arcsin x, x€(-l,l) v Maclaurinovu řadu. Pro každé reálné u e (-1,1) je (arcsin u)' = ,.'„ m m , Vl - ur Z předchozího příkladu víme, že = 1 + 1 u2 + 1 . 3 u4 + 1.3.? u6 + Vl - u* 2 22 . 2! 23 . 3! + 1 . 3 » 5 • ... (2n-l) u2n + . • [ i] 2n . n! Integrací řady [l] . člen po Sienu v intervalu ^0, x^ dostáváme du = £ arcsin \ij = arcsin x - arcsin 0 = arcsin x = = x+.i lu.^La.j^..... ^ J 2d . 2! 5 2J . 3! ' , 1.3. 5 ».. (2n-l) x2t1+^ . /- /_-• -. \ t-.--+ .... , x e ( i,i). £ . n! - 54 - Soubor cvičení 7. a. Rozložte v Taylorovu řadu funkci f(x) = ~ v čísle xQ = 2. i 1 1 r i x+2 A (x+2)2 i (x+2)3 . (x+2)n , | pro x € (-4, 0) b. Rozložte v Taylorovu řadu funkci f(x) * Čísle x„ - 4. Výsl.: \/x*» 2 [ 1 + K (x-4) - ^Ar (x-4)2 + i*W (x-4)3 - ... J u 2J 2,2t> 3!2y = 2 [ 1 +E (-l)11"1 (2n-3? {x_4)n J L n=l n! 2Jn pro x € (0, 8) c. Rozložte v Taylorovu řadu funkci f(x) = ex v čísle x = -2. , x -2 (", A x+2 . (x+2)2. (x+2)3 . (x+2)n J _ Výal.: e ■ e I 1 + ij-j— + 2| + f j * • * • Ha!- •■* • J " = e"2 [l + J . Pfo x reálné x d. Rozložte v Taylorovu řadu funkci f (x) = cos g" v čísle XQ = ~2 \ x" 4 (x~ t) (*- f-) (f-jr) 1 - - - o -> - • . • _ - x ^Í2 Výsl.: cos | = 4r- 7> -j «•» n 1!2 2! 2^ 3! 2J n! 2n pro každé x reálné 71 e. Nppi^te Taylorovu řadu funkce f(x) = sin 2x v čísle xQ = «rgr • ^~ o4""1 vT F 4n x4n+1 „ x4n+2 Výsl. : sin 2x = > ^(4n), [ x4n + 2 - 2 (4k+1) (2nfl) - „4n+3 "1 - 4 (4n+l)(2n+l)(4n+3) J » pr° kaŠdé * reélné - 55 - Soubor cvičení 8. Rozviňte v Maclaurinovu řadu funkce: -x2 a. f (x) '■ e * Výsl.: ex =1-x + 57 - ... + (-1) (n-1) ! + ••• » x reálné číslo b. f(x) = -i 1+x Výsl.: —3~ = 1 - x2 + x4 - ... + (-l)11"1 x2(n_1) +..... l+x^ ' x reálné číslo c. f(x) = In(l-x) Výsl.: ln(l-x) = -x - ~ x2 - ^ x3 - ,.. - i xn - ..... x €<-l,l) d. f (x)" = 10x Výsl.: 10x = i + x £}ln 10 + x2 In2 10 , _ ^ xn lnn 10 + ^ x reálné číslo e» f(x) = cos(x-l) Výsl.: cos(x-l) = ( " fj + f? ~ ...)sin 1 + <1 " fj + fy " f. f(x) = :y ...)cos 1 , x reálné číslo _ 1 - jrr N«?vod: D^nou funkci upravte na tvar í- = i —\z— J.l- fx Výsl.: ^ = | rl * § x + || x2+ ^ x3 + ... + p xn + ... ) g. f(x) = sinh x x x3 x5 x2*1"1 . Výsl.: sinh x = fy + J7 + §7 + "* + (2n-l) 1 + «•••! x reélné 2ísl«n h. f(x) = sin x2 Výsl.: sin x2 = x2 - x6 + ^ x10 + ... + (-1)11"1 ^n-l) 1 » x reálné číslo - 56 - i. Určete prVní dva členy Maclaurinova rozvoje pro funkci y, která splňuje rovnici 2 sin x + sin y = x - y. Výsl.: y = - § + 3f 4* .... Určete první tři členy Maclaurinova rozvoje pro funkci y, které splňuje rovnici: j. y3 + xy = 1 Výsl. : y = 1 - *• + f^- - k. ex - ey = xy Výsl.: y = x - x2 + 2x3 - ... 1. xy + ex = y Výsl.: y = 1 + 2x + § x2 + ... m. y = ln(l+x) - xy Výsl.: y = x - | x2 + ^ x3 - ... - 57 - 5. UŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD A. Přibližný výpočet funkčních hodnot* Příklad 23. Vypočtěte sin 18° s chybou menší než 10~^, Víme, že pro každé reálné číslo x je 5 JI - ..2n+l sin X = X — X-y + T^-jr £ 7! + (~1)n ifcíTT + xo = "jg" Jé [ll alternující číselnou Pro oevně zvolené reálné číslo řadou. Proto márae-li určit sin 18° = sin s chybou menší než 10~4, stačí vzít v rozvoji [l] první dva členy 7T . TC V^íT/ sin 10 7T 10 neboí chyba í = -/27 + 1 = V 27(1 + -i ) = 2 (1 + X28 > •fl •í 128 1 2.7 128" = 2 Ti + 0,00111 - 0,00000373 + ... J = 2, l/S = 2,0022 128n 0022 - 58 - Příklad 25. VyoočtrHe číslo ln 3 s chybou menší než 10 * užitím Maclaurinova 1+x rozvoje funkce ln • 2 3 w Víme, že ln(l+x) = x - §- + y- - ... + (-l)11"1 ~ + ... pro x €(-1,1), Dosadíme-li do [ lj (-x) za x, je .2 x3 x" ln ln(l-x) » -x - |--Ťj--... ----... pro x € (-1,1) . _3 _5 T2n+1 ±±| = ln(l+x) - In(l-x) = 2(x + 3- + |-+... + fn+1 • + ... ) Ale i±J =3 pro x = | takže ln 3 = 2 ( \ + 1 v + — ,f+~~... + --\ + ... [l] • ; 2 3 . 2J . 5 . 25 (2n+l) 2^n+x L J Pro řadu £ 1J je an+l 2n+l 22n+1 _ 2n+l 1.1 a„ " 2n+3 * 02n+3 ' 2n+T 4^4 n £ < 1 Proto zbytek = an 4_ t^ d < 1 1 ^ (2n+l) 22n+1 1 Podle zadání má být Rn < gbobó' » * J* čili ' 3.(2n+l) 22n+1 20000 3.(2n+l) 22n+1 > 20000 , což je splněno pro n = 5« Tedy ln 3 = 2 ( l + -^-r + -^-r + -^ijr + + -tt 2 3.23 . 5.25 7.27 9.2* 11.2XJ- - 59 - Soubor cvičení 9» Užitím mocninných řad vyčíslete s požadovanou přesností: a. VŕÔ" b. ^245 c. n/40" d. (I,!)1*2 e. Ve" A a přesností na setiny Výsl.: 4,12 na tisíciny Výsl.: 3,005 na setiny na setiny na setiny f. itye- g. In 1,2 h. arctg 0,8 i. arcsin 0,45 j. sin 36 k» arctg 1. In 2 JI Výsl.: 2,09 Výsl.: 1,12 Výsl.: 1,65 na tisíciny Výsl.: 0,778 na tisíciny Výsl.: 0,182 na setiny Výsl.: 0,67 na tisíciny Výsl.: 0,467 na tisíciny Výsl.: 0,588 na desetitisíciny Výsl.: 0,5263 na desetitisíciny Výsl.: 0,6931 - 60 - E• Integrace užitím mocninných řad. Příklad 26. Vyjádřete mocninnou řadou funkci / e dt. 0 2 n Víme, že pro každé x, ex = 1 + + *y + ... + *j + ... £ ij 2. *' Dosadíme-li do [ lj (-t )'za x máme -t2 t2 +4 t6 « +2« e - 1 "IT+ 2T-3T* <-l>n V* - i ,2 V +2 +4 +6 _ .2n / -t2 „♦ T m t2 t4 t6 o V -t2 x3 x5 x7 xn x2n+1 J e dt * x - 3ilJ + ~ y^jT t + (-D (2n+l)n! + x reálné číslo. Příklad 27. V -*2 Vynočtěte určitý integrál / e dx. Z předchozího příkladu je i o /e~x dx = 1 - yljy + 572-T " 773T + ♦ <-l>n (2n+l)ri! + */* t Xl Řada [ 1^] je alternující. Proto vezmeme-li v řadě [ lj např, první tři členy, dostaneme pro chybu cf odhad ^ ^ 7711" = 42" 07 e"x2 dx 41 - T + ro • Zadaný integrál je určen s chybou menší než \g . Poznámka 8. Integrál / e dt je významný v teorii chyb a v počtu pravděpodobnosti. Příklad 28. Vyjádřete mocninnou řadou primitivní funkci k funkci f(x) = sin x . Víme, že u3 u5 u7 . . . nn u2n+1 + fil sin vi = u- y7 + ^T-YJ + ... + (-1) T2n+TJT- *" LXJ - 61 - Dosazením u = t2 do ^lj dostáváme: 2 2 t6 t10 t14 « t2(2n+1) r- Integrováním £2} člen po členu v intervalu ^0, x^ je: f 2 |~t3 t7 t11 t15 n t4n+3 / sin t dt = [^3- - ^ + - + ... + .(-1) (4n+3)(2n+l)l ♦ + ... I X 3-7 ll 5 4n+3 y sin t2dt = §- - 775T ♦ 3X757 " I5TIT + ("1)n Un+3)(2n+l)l + " Příklad 29. Vypočtěte 'integrál '/ -y■ ■«p s přesností na tisíciny. 0J Vl+x^ . 1 (1 + x4) 2 = l+("i) x4+("f) x8 + ("f) x12- .. BlCi) 8 .(-*)H)(-*) — X J J X + — j j£ 4* 1 ^' j' " 11 . X^" + • • • • J^x4 + 4^-x8 -i^x12* .... = 1 - 7 (1. i x4 + 4a_x8 .i^xi2+dxs; 7 2 .21. 2J.3! - 1 x£ . 1.3 j£ 1.3.5 x13 , | = 0,5--^-r + —--2TT+ ••• = 0,5-0,003 + 0,000081 •»■ 10.2* 3.2lf 13.2XÍ + a • • • = 0,497 K5* - 62 - Soubor cvičení 10. Vyjádřete řadou integrál: x reálné číslo /x 2 ^2 dx . Výsl. :C-i+lnixl + 21x + + ...., x reálné číslo nenulové 73 5 7 &rttK * dt Výsl.: C + x - f- + - ^ + .... , x £ <-l, 1> o 2 3 4 d. jf lnCl+t) dt výsl#. c + x _ x_ + x_. _ x^ + ^<># ^ -2 £ x4 O' -34-^ x reálné číslo A •. „7 . / Ýl + x3 dx Výsl. : C + x + | - g~ íp + .... , x 6 <-l, 1^ e o Vyjádřete řadou a vypočtete s požadovanou přesností: °'2r -x f. / dx s přesností na tisíciny Výsl.: 32, 831 O &• / 8 přesností na tisíciny Výsl.: 0,494 h. / cos x dx s přesností na setiny Výsl.: 0,76 i. / - arctg j dx s přesností na setiny Výsl.: 0,12 Vyjádřete řadou a vypočtěte: j á. V ln = -4y'y« - 2y» y" ~ 2y y™ = ~ 6y' y" - 2yy,u Odtud po dosazení: y" (0) = 1, yvu (0) = -2, y(4)(0) = 4, ---- Partikulami řešení rovnice Ull hledejme napr. ve tvaru Maclaurinovy řř;dy y = y(0) + 2lí°i x + x2 + yJ^Ol £ ■ 1^1 x4 + .... Po 3osazení y=l+Jx2-ix3+^x4-..., což je partikulární řešení rovnice [ ll při dané podmínce. Příklad 33. Určete partikule^ní řešení rovnice xy(4) + 4yul- xy - 1 = 0 [l] při počátečních podmínkách y(l) = -1, y»(1) = 1, y" (1) ■ -2, yui(l) = 6. Řešení hledejme ve tvaru Taylorovy řady y . y(1) + 21111 (x-1) + lifU <*-!>* \ ^íl (,-1)3 ♦ <*-!)* . DO Dosazením oodmínek do rovnice [l] máme y(4)(l) + 4.6 - K-l) -1 = 0 čili y(4)(D = - 24. 66 - Po dosazení do [2] a úpravě 7 = "I + (X-l) + ^-(X-I)2 + fy (X-1)3 4- (X-l)4 + .... y = -1 + (x-l) - (x-l)2 + (x-l)3 - (x-l)4 + ... , což je partikulární řeSení rovnice [ 1^ při uvedených podmínkách. Soubor cvičení 11. o© a. Dokažte, že řada y(x) = Yl JJ^JJ vyhovuje rovnici yí4* = y. n.=0 ^22. n b. Dokažte, žé řada y(x) = >^ -»—vyhovuje rovnici xy" + y» - y = 0, n=<3 (n!) Vyjádřete řadou partikulární řešení diferenciální rovnice při daných počátečních podmínkách: 2 c' y' - y - x(x+l) = 0, při podmínce y(0) = 1« Výsl. :y = l + x + ^x2+-|x3 + .... d. y' + xy - 2 cos x = 0, při podmínce y(0) = 1. Výsl.: y = 1 + 2x - J x2 - ^ x3 + .... •*.y" + a2y = 0, oři podmínkách y(0) » 0, y»(0) = a. a3 -i -.5 c a7 7 Výsl.: y = ax - ^- r + |y ť - |y x' + ... f. y" " eXy = 0, při podmínkách y(0) = 2, y'(0) = 1. 2 x3 Výsl.: y=2+x+x+j-+.... g» y" - y cos x - x = 0, při podmínkách y(0) = 1, y*(0) = 0. „2 3 Výsl. :y = l+.Xrr+XT+.... ■ h. y" = x2y, při podmínkách y(0) = 0, y*(0) = 1. Vvsl • f*~ 2.3.6.7...(4n+2)(4n+3) „4n+l vysl.. L-Q Un+lÍ! x i. xy" + y* + xy = 0, při podmínkách y(0) = 1, y'(0) = 0. Výsl.: y « í H (~Dn fe7 ,2 n=l ■ 2^n(nlr - 67 - Soubor cvičení 12. Vyjádřete řadou obecné řešení diferenciální rovnice: a. (1-x2) y" - xy' -2=0 3 5 2 4 Výsl,: y = A + B(XT+XT + fp + ....) +2( + 4*- + + t + ,, • •) b. y" + xy' + y = O ^ 3 5. Výsl.: y = A(l - f- + |--...) + B(x - y- + - ... c. y" + xy = O Výsl.: y = A(l - x3 - 2<3.5.a x6 + ... ) + ♦ B(x - 3^ x4 + 3.4^.7 x ) o d. y" + ax y = O, a reálné číslo Výsl.: y = Ad -^ax4 + 1'|*?'6 a2x8 - ... ) * * Bx(l - ax4 + 2'l\6'f a2x8 - ... ) e. 4xy" + 2y* + y = O Výsl. : y = A cos \fx + B sin VšT , x > O - 68 - NEKONEČNÉ ŘADY V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL Pro podrobné studium řad v oboru komplexní proměnné jsou nezbytné znalosti z teorie funkcí komplexní proměnné. V této kapitole pouze nastíníme, jak je možné uvést základní pojmy pro řady komplexních čísel. 1. ČÍSELNE* ŘADY V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL Buá posloupnost komplexních čísel. Symbol 3 r>«1 oO + oí2 + * + ... = YL °0 existuje přirozené číslo ne takové, že pro každé n přirozené, n > nc, platí | otn -oC j < £ . Poznámka 1. Je-li = en + bn* » = a + bi, je j n - o0, že platí |o^j = K pro všechna přirozené čísla n. Věta 1.1. Posloupnost [íin^ 1 , kde dn = an + bni, je ohraničená právě tehdy, když jsou ohraničené obě posloupnosti i a > ,, c xi j n—x r ^ 00 \bn ) reálných čísel. - 69 - Věta 1.2. Posloupnost {o6n J _=1 , kde = an + bn*"» ^e k°nvergentn* a má limitu oL = a + bi, existují-li lim an = at lím t>n = b. n-»oo n -» o° oo Věta 1.3. Řada / pí n. kde <*n = an + bni , je konvergentní právě tehdy, když jsou konvergentní řady a_, XI b_. _ n=l n n=l n oo_ oa_ oo Přitom, jestliže2_ a ■ s , 2_ b = S, je XI <*n = 8 + iS. n=l n=l n=l Je tedy vidět, že pro vyěetřování konvergence či divergence nekonečné řady s komplexními členy můžeme užít obdobné kritéria jako pro řady s reálnými členy. Tyto věty zde nebudeme znovu uvádět, ukážeme jejich použití na příkladech. Příklad 1. oo Rozhodněte o konvergenci řady £Z ^ *~ ■ • [ll n. 0 1+ vHn Obecný člen řady [l^J je komplexní číslo, jehož reálné část aR = ^_ oo oo. ^1+ \Tň' imaginární část b„ = ———. Obě řady 2_ a„ = /_ -, ^) h _ 1+ V"n n = 0 n nSQ 1+ v/n n^C n oo -<-— —11— jsou číselné řady s členy z oboru reálných čísel a divergují- stačí, srovnáme-li je s harmonickou řadou o níž víme, že diverguje. oo Proto ř»č[n y 3. ~. 2 i diverguje. n=0 1+ \Tn Příklad 2. Rozhodnete o konvergenci řady XZ ( 7 + i -7^)n • 3 n* 1 Je lim n/fän| = lim J + i | = ^ lim Vl2 + ( v/^)2 « 1 lim 2 = n-*>°° n -J>t>° n-*°° = g" < 1» proto řada konverguje podle odmocninového kritéria. f- jme nekonečnou řadu s komplexními členy oC n« (1) Utvořme nyní řadu sestavenou z absolutních hodnot členů řady (1) Mě v temže pořadí Z— i °C l . (2) n=l n - 70 - Řada (1) áe nazývá absolutně konvergentnír konverguje-li řada (2). V případě, že řada (1) konverguje, ale řada (2) diverguje, říkáme, že řada (1) konverguje neabsolutně. Věta 1.4. Sada £~ [oL^l K kde cL^ = an + bRi , konverguje právě tehdy, když konvergují řady ]K | anl . j*" I bn | . n=l vergují řadj Příklad 3. Vyšetřete absolutní případně neabsolutnl konvergenci řady f~ n (3i - l?n Ĺ— n * n=l 5 Použijeme podílové kritérium: -. n (3i - l)n , .. _ (n + l)(3i - l)n+1 an _ 5n » an+l " ?n+l Vyčíslíme: lim fn+l n-*oo i an = lim (n+l)(3i-l) 5n 5 n+oo n Závěr: Sada 5"* n^J-~l) absolutně konverguje. Příklad 4. • Vyšetřete absolutní případně neabsolutní konvergenci řady Obecný člen řady j]l"] je komplexní číslo s reálnou částí n n o° oo n an = 2n-í ' s iraaSinerní čé3tí ln+l~ * ^áy ^ Bn a 2n-l w « n , . ::. ,* / b, = 2— jsou alternující číselné řady a obě konvergují n-1 n-1 podle Leibnizova kritéria: Sada ]T_ 2n"^l"" konverguje, protože posloup- n=l á=T Jn=l áe klesaJící a .lita 2^1" = °*Sacla ^ Sr 00 n=x rovněž konverguje; posloupnost {^2n+T Jn=l kles^» ■^B^e 2n+T = °* Podle věty 1.3. řada konverguje. Všimneme si nyní řady |(-l)n + s^+ľ)! ' l2] Piatí z l<-i)n (W* ♦iř.) I ■ £ iPhT* -^—j" -£ 4^ • ^ I \2n-l Sn+I/I n=1V(2n-l)2 (2n+l)2 n=I4n2-l ' y ^8n^ • Vpn2 2 Ale pro každé přirozené Síslo. n je —5- >-s>r- tj. ——5—>—— -. 4n - 1 4^ 4n -1 n V2 00 °£ 1 ' -. Řada/Z ~— = ~— t— n diverguje a protože je minorantní řadou [2 J , n=l n -fŽ V~2 n=l _ řada \jf\ diverguje. Závěr: Sada XI (_1)n fžn^T + 2n+l) ^ neabsolutně konvergentní. n=1 2. MOCNINNÉ ŘADY V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL Uvedeme pouze základní pojmy pro mocninné řady v oboru komplexních čísel. Mocninnou řadou o středu zQ = xQ + iye a koeficientech <*n * a +b i oo n= kde zn » Xjj + yni. Opět se mažeme zabývat pouze řadami, kde zQ = O, nazýváme řadu / oL^ (z - zQ)n , (3) tj. řadami \" ©í zn . (4) n=0 00 Věta 2.1. Necht oín zn je mocninné řada v oboru komplexních čísel. Označme a = limsup |u. \- . Je-li a = 0, konverguje n-*<*» řada (4) pro libovolné komplexní číslo, je-li a = 00 f" konverguje řada (4) pouze pro z * 0. Pro 0 r . Číslo r se nazývá poloměr konvergence řady (4). Pro komplexní čísla, pro která |z| = r, je nutné konvergenci vyšetřit zvléšt. Poznámka 2.Je užitečné uvědomit si geometrickou interpretaci uvedených pojmů. Zobrazíme-li komplexní číslo eC= a + bi v Gaussově rovině komplexních čísel, pak množina komplexních čísel, v nichž mocninná řada (4) konverguje, vyplňuje vnitřek kruhu se středem.v počátku a s poloměrem r; r je poloměr konvergence řady (4). Je-li r = 0, konverguje řada' (4) pouze v počátku systému souřadnic, je-li ŕ = 00 , konverguje řada (4) ve všech bodech Gaussovy roviny. Obrazy komplexních čísel z, splňující podmínku Jz[ = r, vyplňuji kružnici se středem v počátku a poloměrem r. Na ní mohou ležet obrazy komplexních čísel, v nichž řada (4) konverguje, ale i obrazy komplexních čísel, v nichž řada (4) diverguje. Vyšetřování zde musíme provádět zvlášt. - 73 - Příklad 5. oo Určete poloměr konvergence řady^ z11 . n=0 Zde o6n = 1 pro každé přirozené číslo . n. a = lim sup |oín j = lim sup 1 = 1, tedy r ■ 1. ' n->oo n-> oo n->oo ni = 0. Pro z ■ x + O.i jde o řadu nT n=0 níž víme, že je Maclaurinovou řadou nro funkci y * e . Můžeme tedy definovat pro komplexní číslo z Pro z = 0 + y.i, y reálné číslo, dostáváme eiy = f~ (jy)n = i + úl . £ - i£ + ň + lx5- .... =! n=Ô nI 11 21 3! 41 51 ■1 - ?!+ Ír - i(ir-3i+ 57- •*•■)■ cosy+1 siny Dostáváme tak důležitý vztah e*y = cos y + i sin y , y reálné číslo. Analogicky dostaneme e""*y s cos y - i sin y, y reálné číslo a z rovností (5) a (6) plyne eiy - e-jy (5) (6) cos y = e*y + e-iy --s-2- * sin y = 2i - 74 - Je přirozené rozšířit definici funkci sinus a kosinus pro komplexní argument z takto: z2 z4 z6 V2- ^n cos . . 1 - fj- ♦ fj. - f,- ♦ ... - ^ (-i)n , 5-3 -7 v2 n-1 »2n+1 •*» ■ - ■.-fr*fr-fr* - ■£ <-1)n 1 tje+tit Můžeme ae snadno ořesvéděit, že pak «ÍZ j. «í-z -ÍZ e + e . • e — e cos z = ■■■ ■ 2 ' " f sin z = 2i * Vyšetřovat vlastnosti takto definovaných funkcí komplexní proměnné nemůžeme bez znalosti teorie funkcí komplexní proměnné. Nemůžeme proto ani podrobněji studovat rady v komplexním oboru. Poznámka 3* Je jistě překvapující, že např. cos i = --w-2-■ .-1 . _1 T - --i-2- á 1,543 > 1. Je tedy vidět, že vlastnosti funkci komplexní proměnné mohou být velmi zajímavé. - 75 - OBSAH Předmluva.........................•.......................... 3 Úvod ..............................................•.......... 5 nekonečné Sady v oboru reálných čísel 1. Základní pojmy............................• '•............6 Soubor cvičení 1..............9 Soubor cvičení 2..............12 Soubor cvičení 3.....*........13 2. Rady s kladnými členy...........................•..........14 Soubor cvičení 4..............17 Soubor cvičení 5..............18 Soubor cvičení 6..............19 3. Alternující řady ..........................................21 Soubor cvičení 7».......21 4. Rady absolutně a neabsolutně konvergentní......-...........23 Soubor cvičení 8..............26 Soubor cvičení 9..............26 Soubor cvičení 10.............27 nekonečné řady funkcí v oboru reálných ČÍSEL 1. Základní oojmy............................................29 Soubor cvičení 1...............33 Soubor cvičení 2..............34 Soubor cvičení 3..............34 2. Vlastnosti posloupností a řad funkcí ......................36 Soubor cvičení 4............,..40 3. Mocninné řady.............................................41 Soubor cvičení 5........■......47 Soubor cvičení C.............48 4. Taylorova a Maclaurinova řada..........»..................49 Soubor cvičení 7...............54 Soubor cvičení 8..............55 5. Užití mocninných řad......................................57 A. Přibližný výpočet funkčních hodnot.....................57 Soubor cvičení 9..............59 B. Integrace užitím mocninných řad......................*..60 Soubor cvičení 10.-..».........62 C. Přibližné řeSení diferenciálních rovnic.................63 Soubor cvičení 11.............66 Soubor cvičení 12.............67 - 76 - nekoneční řady v oboru komplexních čísel 1. Číselné řady v oboru komplexních čísel ....... 2. Mocninné řady v oboru komplexních čísel...... Obsah........................................... Cvičení z matematické analýzy Nekonečné řady doc. RNDr. Jiří Hájek, CSc, RNDr. Jiří Dula Vydavatelství Masarykovy univerzity pro posluchače Pedagogické fakulty MU Vedoucí katedry doc. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. 1. dotisk 2. vydání (1992), 1994 náklad 200 výtisků AA - 4,37 VA - 4,49 76 stran Tisk Vydavatelství MU, Brno - Kraví hora, ofsetový tisk Tematická skupina a podskupina 17/31 Pořadové číslo 2320 ISBN 80-210-0385-5 Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou v redakci vydavatele.