I. Budínová: Vstup do algebry 1
VSTUP DO ALGEBRY. ALGEBRAICKÉ
VÝRAZY
Irena Budínová
POSTUPNÉ ROZVÍJENÍ ALGEBRAICKÉHO
MYŠLENÍ, ETAPA 1
Na 1. stupni ZŠ řeší žáci úlohy intuitivně.
Nejdříve volíme úlohy s malými čísly:
David a Michal měli dohromady 15 modelů autíček.
Michal měl dvakrát tolik a ještě o tři více než David.
Kolik autíček měl David?
Myslím si číslo. Když ho vynásobím třemi a přičtu
k němu 3, dostanu 15. Které číslo si myslím?
Žáci používají různé strategie řešení.
I. Budínová: Vstup do algebry 2
UKÁZKY ŽÁKOVSKÝCH ŘEŠENÍ
Na 1. stupni žáci nejčastěji volí metodu pokusu
a omylu
UKÁZKY ŽÁKOVSKÝCH ŘEŠENÍ
Sofistikovanější metodou je metoda od konce,
která se objevuje méně často. Žák řeší úlohu
„myslím si číslo…“
I. Budínová: Vstup do algebry 3
UKÁZKY ŽÁKOVSKÝCH ŘEŠENÍ
Již na 1. stupni se můžeme setkat s
algebraickým řešením. Všimněme si
nezvládnuté gramatiky zápisu. (Žák řeší
„myslím si číslo…“)
Úlohy s většími čísly:
Myslím si číslo. Když ho vynásobím dvěma a přičtu
k němu 45, dostanu 119. Které číslo si myslím?
Velká čísla pro mnoho dětí představují problém.
Děti se u těchto úloh mohou poprvé setkat s
písmenem jakožto neznámou veličinou (4. – 5.
ročník ZŠ):
I. Budínová: Vstup do algebry 4
ÚLOHY S VELKÝMI ČÍSLY NA 2. ST. ZŠ
Neexistuje transfer mezi metodou pokusu a
omylu a algebraickým způsobem myšlení.
Žákyně počítá úlohu: Když dvě čísla sečteš,
dostaneš 15, když odečteš od většího menší,
dostaneš 3, metodou pokusu a omylu.
Stejná žákyně (9. ročník) řeší analogickou
úlohu s velkými čísly – sestaví soustavu rovnic,
není ji schopna řešit.
I. Budínová: Vstup do algebry 5
Žák 9. ročníku řeší úlohu pomocí logické úvahy.
(Všimněme si implikačního způsobu zápisu.)
Stejný žák používá stejnou úvahu na velká
čísla, není schopen je odečíst a vydělit.
I. Budínová: Vstup do algebry 6
POMŮCKA BINOMICKÁ KRYCHLE
1. fáze – mateřská škola,
manipulace s kostkou.
Rozvíjí spíše prostorovou
představivost než
algebraické myšlení.
2. fáze – 5. ročník, pojmy
obsah rovinného obrazce
a objem tělesa.
Geometrické pojmy
čtverec, obdélník, krychle,
kvádr
FORMÁLNÍ (AVŠAK NÁZORNÉ) ZAVÁDĚNÍ
ALGEBRAICKÝCH VZORCŮ, ETAPA 2
Třetí fáze práce s binomickou krychlí: předchází
zavedení vzorců a v devátém
ročníku.
Žáci nejdříve pracují se stěnou krychle a
později s celou krychlí.
Výhodná je práce se čtverečkovaným papírem
I. Budínová: Vstup do algebry 7
ODVOZENÍ VZORCŮ POMOCÍ BINOMICKÉ
KRYCHLE
4 cm 6 cm
ODVOZOVÁNÍ DALŠÍCH ALGEBRAICKÝCH
VZORCŮ POMOCÍ ČTVEREČKOVANÉHO PAPÍRU
b
a a+b
a-b
I. Budínová: Vstup do algebry 8
Nejvíce náročné je vytvořit geometrickou
představu pro vzorec
b
a
ROZNÁSOBOVÁNÍ ZÁVOREK
3.(6+2)=3.6+3.2
Zobecnění: a(b+c)=ab+ac
(3+1).(6+2)=3.6+3.2+1.6+1.2
Zobecnění: (a+b)(c+d)=
=ac+ad+bc+bd
I. Budínová: Vstup do algebry 9
Po fázi modelování musí následovat fáze
zapamatování a fixace.
Pro efektivní fixaci mohou sloužit různé
didaktické hry, jako např. práce s kartičkami:
,
,
,
,
,
,
,
Děti mohou mít i přes názorný úvod do algebry
později problémy s interpretací algebraických
výrazů. Stávají se jim potom chyby typu
apod. Těmto chybám lze předcházet dvěma
způsoby:
opakovaně se vracet k dosazování číselných
hodnot, např.
algebraickým zápisům přisuzovat geometrický
význam, tj. a je úsečka, a2 je čtverec, ab je
obdélník, a3 je krychle.
I. Budínová: Vstup do algebry 10
PROČ POTŘEBUJEME POČÍTAT S OBECNÝM
VYJÁDŘENÍM A KDE SE S NÍM SETKÁME
Ve školské matematice – zobecňování vztahů:
Vztahy pro výpočty obsahů, obvodů, povrchů a
objemů geometrických útvarů;
V rovnicích;
Ve funkčních závislostech;
V ostatních předmětech – fyzika, biologie,
chemie;
V běžném životě.
POUŽÍVÁNÍ PÍSMEN VE VÝZNAMU ČÍSEL
Písmena mohou mít v matematice význam
proměnné veličiny, konstanty, neznámé
veličiny, nebo čísel, jejichž hodnotu
nedokážeme vyjádřit – π, e, i.
I. Budínová: Vstup do algebry 11
HISTORICKÁ POZNÁMKA
Zhruba od roku 2000 př. n. l. začíná
verbalistické období – vztahy mezi čísly byly
vyjadřovány slovně.
Úloha z tohoto období (Egypt, Rhindův papyrus,
1650 př. n. l.): Hromada a její čtvrtina dávají
dohromady 15. Jak velká je hromada? Úloha
byla řešena metodou falešného předpokladu.
HISTORICKÁ POZNÁMKA
Kolem roku 500 př. n. l. nastává geometrická
algebra Řeků.
Úloha z tohoto období: Obdélník, jehož jedna
strana je o jednotku kratší než druhá strana,
má obsah plochy 12 jednotek. Jak dlouhé
strany? Lze řešit aritmeticky, rozkladem na
součin.
I. Budínová: Vstup do algebry 12
HISTORICKÁ POZNÁMKA
250 př. n. l. Diofantos z Alexandrie –zahájil
synkopické období: některé vztahy byly zapisovány
větami, jiné speciálními symboly.
Diofantův epitaf: Zde tento náhrobek přikrývá
Diofanta – zázrak na pohled! Aritmetickým
uměním sděluje kámen jeho věk. Šestinu života
popřál mu Bůh být chlapcem, když pak dvanáctina
uplynula, nechal mu vyrašit vous. Ještě sedmina,
tu rozžehl mu svatební pochodeň, a pět let nato
mu dal synáčka. Běda nešťastné dítě! Dosáhlo
teprve poloviny otcova věku, když přijal ho Hádes,
ten strašný. Ještě čtyři roky snášel Diofantos
bolest, žije vědě. A nyní řekni věk, kterého dosáhl.
HISTORICKÁ POZNÁMKA
Nejvýznamnějším matematikem synkopického
období byl Al Chovarizmi (9. st. n. l.). Spis Aljabr
v‘almukabala obsahuje nauku o rovnicích.
13. st. – Leonardo Pisánský používal písmena k
označení čísel ve spisu Liber Abaci.
Od 15. století začíná období symbolické
Francois Viéte ve spisu Logistica speciosa navrhuje
označovat známé veličiny souhláskami, neznámé
samohláskami.
René Descartes (17. st.) – zdokonalení symboliky
I. Budínová: Vstup do algebry 13
LITERATURA
Balada, F. (1959). Z dějin elementární
matematiky. Praha: SPN
Bečvář, J., Bečvářová, M., Vymazalová, H.
(2003). Matematika ve starověku. Egypt a
Mezopotámie. Edice dějiny matematiky, 23.
svazek. Praha: Prometheus
Hejný, M. (1990). Teória vyučovania
matematiky2. Bratislava: SPN