122
1.6. Dynamika tuhého tělesa
1. Objasnit a diskutovat pojmy hmotný bod – soustava hmotných bodů –
těleso. Definovat tuhé těleso.
2. Charakterizovat postupný, otáčivý a složený pohyb tuhého tělesa.
3. Definovat těžiště tělesa.
4. Vědět, že moment síly je příčinou změny pohybového stavu tělesa z
hlediska rotačního pohybu, stejně jako síla je příčinou změny pohybového stavu tělesa při
posuvném pohybu.
5. Znát vztah pro moment síly a pro moment hybnosti ve vektorovém tvaru.
6. Složit síly působící na těleso v jednom bodě.
7. Umět graficky i početně složit různoběžné síly působící na těleso v různých bodech.
8. Vypočítat výslednici rovnoběžných sil stejné i opačné orientace působících v různých
bodech tělesa. Umět vypočítat polohu jejího působiště.
9. Definovat dvojici sil, uvést praktické příklady, vypočítat velikost momentu dvojice sil.
10. Umět definovat podmínky rovnováhy tuhého tělesa. Rozlišit stabilní, labilní a volnou
rovnováhu tělesa, uvést příklady.
11. Rozlišit kinetickou energii posuvného a otáčivého pohybu.
12. Znát vztah pro kinetickou energii posuvného pohybu tělesa.
13. Znát vztah pro kinetickou energii otáčivého pohybu tělesa.
14. Umět vysvětlit pojem moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení. Vypočítat
moment setrvačnosti těles.
15. Vědět, jak se vypočítá kinetická energie složeného pohybu.
16. Vysvětlit pojem pohybová rovnice rotujícího tělesa, znát základní vztah.
17. Definovat rotační impuls.
18. Umět vypočítat práci konanou při rotaci tělesa a stanovit výkon.
V předchozích kapitolách jsme se zabývali pohybem hmotného bodu
(kinematika) a jeho příčinou (dynamika). Často jsme nebyli příliš důslední.
Třeba jsme počítali dráhu, rychlost a zrychlení auta na silnici ale nebrali jsme
v úvahu, že velký autobus není hmotným bodem vzhledem třeba ke
stometrové dráze. Při řešení většiny praktických problémů je toto
zjednodušení přijatelné.
Ne však vždy. Co když autobus havaruje a začne se kutálet ze svahu. Teď už těžko popíšeme
jeho pohyb jednoduchou rovnicí dráhy. Autobus se jednak pohybuje vpřed, ale také se otáčí,
zkrátka koná složitý pohyb. Pokud si všimnete důkladně tohoto pohybu, zjistíte, že různé části
autobusu se pohybují různou rychlostí, po odlišných trajektoriích. Někdy musíme opustit
zjednodušení hmotného bodu a zabývat se tělesem s nezanedbatelnými rozměry a určitého
tvaru.
123
Každé těleso je více či méně uspořádaný soubor atomů, molekul nebo iontů. Rozměry těchto
stavebních prvků tělesa jsou ovšem malé v porovnání s rozměry tělesa, takže je můžeme
považovat za hmotné body. Těleso tak můžeme považovat za soustavu hmotných bodů.
Když vyšetřujeme pohyb tělesa vycházíme z předpokladu, že síly které jednotlivé částice drží
pohromadě (vnitřní síly) nemají na vzdálenost jednotlivých částic prakticky žádný vliv.
Takové těleso se působením vnějších sil nedeformuje – nazýváme jej dokonale tuhým
tělesem.
Tuhé těleso je ideální těleso, model tělesa. Jeho tvar ani objem se působením sil nemění.
1.6.1. Pohyb tuhého tělesa, těžiště tělesa
Tuhé těleso může konat dva základní druhy pohybů. Vlastně jsme si je ukázali na příkladu
havarovaného autobusu. Zaprvé může konat pohyb posuvný (autobus jede po silnici).
Zadruhé může konat pohyb otáčivý (převrací se). A samozřejmě může vykonávat pohyb
složený z těchto dvou pohybů (kutálí se, valí se).
• Posuvný pohyb, někdy označovaný jako translační, vykonává těleso, které se po
trajektorii posunuje jak je vidět na Obr.1.6.-1. Důležité je, že všechny body tělesa mají
v určitém čase stejně velkou rychlost. Také směr okamžité rychlostí je stejný. Pozor,
trajektorií může být zcela obecná křivka (nejen přímka) a má pro všechny body tělesa stejný
tvar. Obr.1.6.-1
Jak už bylo řečeno všechny body mají stejnou rychlost, rychlost k-tého bodu je stejná jako
rychlost j-tého bodu i těžiště tjk vvv == . Totiž platí i pro zrychlení jednotlivých bodů – jsou
stejná taaa == jk
Příkladem je náš autobus. Pokud se nedostane do smyku, karoserie, cestující i řidič se
pohybují stejnou rychlostí.
Důležité je, že translační pohyb homogenního tělesa můžeme nahradit pohybem jeho
těžiště ve kterém je soustředěna hmotnost tělesa a platí všechny dosud uvedené zákony
pro pohyb hmotného bodu.
• Otáčivý pohyb, neboli rotační, koná těleso při otáčení kolem pevné osy otáčení o.
Při tomto pohybu všechny body tělesa opisují kružnice se středem na ose otáčení jak je vidět
na Obr.1.6.-2. Z tohoto obrázku vidíte, že obvodové rychlosti různých bodů tělesa závisí na
vzdálenosti od osy otáčení (vztah z kinematiky v = ωr ). Přece však všechny body tělesa mají
124
něco společného, a to je úhlová rychlost ω a úhlové zrychlení ε. Ve stejném čase opíší také
stejnou úhlovou dráhu φ. Obr.1.6.-2
Zapíšeme-li si tento poznatek pro j-tý a k-tý bod dostaneme vztahy:
ωωωωωωωωωωωω
== jk , respektive
εεεεεεεεεεεε
== jk .
A zase jako příklad autobus. Rotačním pohybem se pohybují jeho kola je-li na zvedáku,
některé části jeho motoru atp.
Teď ale můžete namítnout, že kola autobusu se za jízdy jednak otáčejí, ale spolu s celým
autobusem se pohybují vpřed. Máte pravdu, kola za jízdy vykonávají složený pohyb.
• Složený pohyb je pohyb složený z posuvného a rotačního pohybu. Složený pohyb je
znázorněn na Obr.1.6.-3. Těleso se pohybuje posuvným pohybem rychlostí v a navíc se těleso
otáčí úhlovou rychlostí ω kolem okamžité osy otáčení (její poloha se v čase mění). U tohoto
pohybu nenajdeme žádnou veličinu, která by pro všechny body tělesa nabývala stejných
hodnot. Obr.1.6.-3
Nenajdeme sice žádnou společnou fyzikální veličinu, ale můžeme si označit jeden význačný
bod. Podívejte se na obrázek Obr.1.6.-4. Na obrázku jsou znázorněny jednotlivé fáze pohybu
cvičebního kužele (baseballové pálky chcete-li). Vidíte, že černý bod se pohybuje po
jednoduché trajektorii. Trajektorie ostatních bodů kužele jsou značně komplikovanější. Černý
125
bod se nazývá těžiště tělesa. Pohyb celého tělesa (kužele) si můžeme nahradit pohybem
těžiště T. Musíme si ale do těžiště soustředit veškerou hmotnost tělesa.
Obr.1.6.-4
Těžiště tělesa je bod, který se pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá
hmotnost tělesa.
Těžiště se častěji definuje poněkud jinak. Představte si , že tuhé těleso je složené z velkého
počtu hmotných bodů. Například přepravní paleta s cihlami, nebo jděte ve své představivosti
dále. Každé těleso je složeno z atomů či molekul což jsou skutečně pro nás hmotné body. Ale
vraťme se raději k cihlám.
Na všechny hmotné body tělesa (cihly) působí v tíhovém poli Země tíhové síly FG1, FG2,
FG3,… FGn viz Obr.1.6.-5. Tyto síly jsou rovnoběžné a mají stejný směr. Výslednicí všech
těchto tíhových sil působících na jednotlivé části tělesa je tíhová síla FG , kterou působí Země
na celé těleso (naloženou paletu). Působiště této síly je v těžišti tělesa.
Obr.1.6.-5
Těžiště tělesa je působiště výslednice všech tíhových sil působících na jednotlivé hmotné
body tvořící dané těleso.
Jak je to nyní s rychlostmi jednotlivých bodů. Vezměme si náš j-tý bod. Jeho rychlost je dána
vektorovým součtem translační rychlosti těžiště vt a okamžité obvodové rychlosti vo.
jtj rωvv
x
+= 1.6.-1
V případně vyšetřování rotačního pohybu tělesa musíme postupovat jak je ukázáno
v následujících kapitolách.
126
Podívejme se na pojem těžiště tělesa podrobněji – určeme si jak stanovíme jeho polohu vůči
zvolenému bodu O.
Vyjdeme z představy tělesa jako soustavy hmotných bodů o hmotnostech mj a hybnostech
mjvj. Polohu jednotlivých hmotných bodů si určíme pomocí jejich polohových vektorů rj jak
je znázorněno na Obr. 1.6.-6. Jak už jsme si řekli výše je těleso hmotný bod s hmotností
∑= jmm a celkovou hybností jjm vp ∑= . Hybnost celého tělesa je dána součtem
hybností jeho jednotlivých hmotných bodů. Soustředíme-li celkovou hmotnost tělesa do
těžiště, pak jeho hybnost můžeme vyjádřit jako součin celkové hmotnosti a rychlosti těžiště vt.
Musí tedy platit: Obr. 1.6.-6
jjt mm v∑=v .
Rychlosti si v tomto vztahu vyjádříme jako první časovou derivaci
td
dr
v = a po integraci
získaného vztahu přes čas dostaneme
jjt mm rr ∑= ,
kde symbolem rt jsme si označili polohový vektor těžiště. Z posledního vztahu si vyjádříme
tento polohový vektor
∑= jjt m
m
rr
1
1.6.-2
Vztah 1.6.-2 je vhodný pro určení polohy těžiště v případě soustavy hmotných bodů. Ale my
se zabýváme tělesem, u kterého předpokládáme spojitě rozloženou hmotnost. Celé těleso si
tedy rozložíme na malé objemové element dV , které považujeme za hmotné body hmotnosti
dm jejichž poloha je určena polohovým vektorem r. V tomto případě nahradíme sumaci ve
vztahu 1.6.-2 integrálem a dostaneme vztah
∫= m
m
t drr
1
. 1.6.-3
Pro praktický výpočet polohy těžiště tělesa je výhodné určit si souřadnice těžiště pomocí jeho
složek:
∫= mx
m
xt d
1
, ∫= my
m
yt d
1
, ∫= mz
m
zt d
1
1.6.-4
V případě homogenního tělesa je těžiště tělesa totožné s jeho geometrickým středem.
127
TO 1.6.-1 Jaké je zrychlení a různých bodů tělesa pohybujícího se posuvným pohybem?
TO 1.6.-2 U rotačního pohybu tělesa se některé body nepohybují. Které?
TO 1.6.-3 Z následujícího soupisu pohybů vyberte posuvné pohyby:
a) pohyb pístu v motoru auta,
b) pohyb řezného kotouče cirkulárky,
c) otevírání okna,
d) pohyb kola jedoucího automobilu
e) pohyb automobilu v zatáčce
f) pohyb Země kolem Slunce
TO 1.6.-4 Z následujícího soupisu pohybů vyberte otáčivé pohyby:
a) pohyb pístu v motoru auta,
b) pohyb řezného kotouče cirkulárky,
c) otevírání okna,
d) pohyb kola jedoucího automobilu
e) pohyb automobilu v zatáčce
f) pohyb Země kolem Slunce
TO 1.6.-5 Z následujícího soupisu pohybů vyberte složené pohyby:
a) pohyb pístu v motoru auta,
b) pohyb řezného kotouče cirkulárky,
c) otevírání okna,
d) pohyb kola jedoucího automobilu
e) pohyb automobilu v zatáčce
f) pohyb Země kolem Slunce
Válec poloměru R se valí po
vodorovné rovině . Jeho těžiště se
pohybuje dopředu rychlostí vT.
Úhlová rychlost rotace válce je ω.
Jaké jsou rychlosti obvodových
bodů A, B, C a D v Obr.1.6.-7? Řešte pouze
graficky.
Obr.1.6.-7
Zkuste si nejdříve vyřešit úlohu sami.
Vycházejte z toho, že skládáte pohyb posuvný
a pohyb rotační kolem osy procházející
těžištěm.
Teď si ověřte váš výsledek.
Valení je složený pohyb. Také rychlost
jednotlivých bodů se bude skládat. Translační pohyb přispěje rychlostí, která je rovna
128
rychlosti těžiště vT. Druhou složkou výsledné rychlostí v bude rychlost otáčivého pohybu vr =
ω R. Obě složky musíme složit vektorově. Výsledná rychlost bude obecně dána vztahem v =
vT + vr. A teď bude záležet ve kterém bodě budeme hledat výslednou rychlost. V každém
z bodů A, B, C a D bude jiný směr rychlosti otáčivého pohybu.
Zkuste si zakreslit složky výsledné rychlosti ve všech bodech sami. Pak si zkontrolujte svůj
výsledek na Obr.1.6.-8.
Obr.1.6-8
1.6.2. Otáčivé účinky síly, moment síly, moment hybnosti
Snad každý učitel začíná výklad momentu síly příkladem otevírání dveří. Tahá
za kliku ve směru ležícím v rovině dveří (F1 na Obr.1.6.-9) a demonstruje, že
takto sebe větší silou dveřmi
nepohne. Postupně působí
svou silou F2 ve směru více a
více odkloněném od roviny
dveří, až nakonec ukazuje ideální působení
ve směru kolmém na rovinu dveří F3. Při
pokračování pokusu se pak přibližuje
s působištěm síly k ose otáčení (ta prochází
panty dveří). Předvádí, že čím blíže je síla F4
ose otáčení, tím musí vynaložit větší sílu
k dosažení stejných otáčivých účinků. A
pokus zpravidla končí působení síly v ose
otáčení – opět dveřmi nepohne.
Obr.1.6.-9
Shrneme-li tento pokus pak dojdeme
k závěru:
Otáčivý účinek síly působící na těleso
závisí na velikosti síly, na jejím směru a orientaci a na poloze jejího působiště.
129
To, co jsme si vyslovili si nyní zapíšeme pomocí rovnice. Otáčivý účinek síly si vyjadřujeme
veličinou moment síly M vzhledem k ose otáčení o. Je to součin působící síly a ramena síly
d.
M = F d 1.6.-5
Rameno síly je kolmá vzdálenost vektorové přímky p síly od osy otáčení. To zní dosti
komplikovaně, raději se podívejte na vysvětlující obrázek Obr.1.6.-10.
Obr.1.6.-10
Pokud budeme působit na dveře silou v jiném směru než kolmém bude se vám těžko hledat a
odměřovat rameno síly. Proto je výhodnější vyjadřovat moment síly pomocí polohového
vektoru r působiště síly a úhlu φ. I tyto veličiny jsou na obrázku Obr.1.6.-10.
Zkráceně můžeme moment síly vyjádřit jako „míru otáčivého účinku síly“ na těleso.
M = F r sin φ. 1.6.-6
Z tohoto vztahu vyplývá, že jednotkou momentu síly je newtonmetr (N.m).
Ale již z obrázku je vidět, že se jedná o součin dvou vektorů a také moment síly je vektor.
Výraz sinφ napovídá, že půjde o vektorový součin. Můžeme tedy napsat obecnou rovnici pro
moment síly jako vektor:
M = r x F. [kg.m2
.s-2
] 1.6.-7
Vektor M bude kolmý na oba vektory r a F a jeho směr bude
dán pravidlem pravotočivého šroubu. Otáčíme-li šroubem
proti směru hodinových ručiček, šroub se zavrtává směrem
nahoru jak je vidět na Obr.1.6.-11.
Obr.1.6.-11
Na tuhé těleso otáčivé kolem pevné (nehybné) osy může
působit více sil s různými otáčivými účinky. Je zřejmé, že
momenty těchto sil se nějakým způsobem sčítají. Ale jakým?
Algebraickým nebo vektorovým? Protože moment síly je
vektor, musíme také působící momenty sil sčítat vektorově.
Výsledný moment sil současně působících na těleso je roven vektorovému součtu
momentů jednotlivých sil vzhledem k dané ose otáčení.
130
∑=
=
n
i
i
1
MM 1.6.-8
Prakticky mohou momenty jednotlivých sil působit ve směru se stejnou nebo opačnou
orientací. Může dojít k situaci, že se otáčivé účinky jednotlivých sil navzájem vyruší. To
vyjadřuje tzv. momentová věta.
Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso se navzájem ruší, je-li vektorový součet momentů
všech sil vzhledem k dané ose roven nule.
Na koncích tyče (Obr.1.6.-12) délky 80 cm působí kolmo k tyči dvě rovnoběžné
síly o velikostech 50 N a 30 N. Ve kterém místě musíte tyč podepřít, aby se
neotáčela? Jak velkou tlakovou silou působí tyč na podpěru? Hmotnost tyče
neuvažujte.
Obr.1.6.-12
Označíme si veličiny symboly: F1 = 50 N, F2 = 30 N, d = 0,8 m, F = ?, d2 = ?
Velikost tlakové síly působící na podpěru tyče je rovna výslednici daných rovnoběžných sil:
F = F1 + F2 = 50 + 30 = 80 N.
Aby se tyč neotáčela, musí být výsledný moment obou sil nulový:
F1 d1 = F2 d2.
Ale my známe délku tyč, bude výhodnější dosadit za d2 = d - d1, tedy:
F1 d1 = F2 (d - d1),
a odtud hledaná vzdálenost:
==
+
=
80
8,0.30
21
2
1
FF
dF
d 0,3 m.
Tyč musíme podepřít ve vzdálenosti 30 cm od působiště větší síly. Tyč působí na podpěru
tlakovou silou 80 N.
TO 1.6.-6 . Napište jednotku momentu síly v základních jednotkách soustavy SI.
TO 1.6.-7 Kotouč o poloměru r je otáčivý kolem nehybné osy jdoucí jeho
středem. Na kotouč působí síly F1, F2, F3, které mají stejný směr i velikost
(Obr.1.6.-13) . Která síla má na kotouč největší otáčivý účinek?
131
Obr.1.6.-13
a) F1 b) F2 c) F3 d) všechny stejný
TO 1.6.-8 Momentem síly F vzhledem k ose O nazýváme veličinu
a) M = r x F
b) M = r.F
c) M = r.F
d) M = r x F
TO 1.6.-9 Moment síly je
a) vektor, kolmý na rovinu určenou vektory r a F
b) skalár
c) vektor, ležící v rovině určené vektory r a F
TO 1.6.-10 Moment síly při dané velikosti vektorů r a F je
a) maximální, jsou-li oba vektory na sebe kolmé
b) maximální, leží-li oba vektory na jedné vektorové přímce
c) nezávislý na úhlu, který vektory r a F svírají
d) vektor, jehož velikost je určena vztahem M = F r cosφ
e) vektor, jehož velikost je určena vztahem M = F r sinφ
TO 1.6.-11 Rozměr jednotky momentu síly je stejný jako rozměr jednotky
a) práce
b) momentu hybnosti
c) výkonu
d) impulsu síly
U 1.6.-1 Čtvercová deska o straně
a = 2 m je otáčivá kolem pevné
osy o (Obr.1.6.-14). Ve vrcholech
A,B,D čtverce působí síly F1 = F2
= F3 = 10 N. V bodě P, který je středem úsečky
OB, je působiště síly F4 = 20 N. Jaké jsou
velikosti momentů sil F1 až F4 vzhledem k dané
ose? Obr.1.6.-14
132
U 1.6.-2 Čtvercová deska o straně a = 2 m je otáčivá kolem pevné osy o (Obr.1.6.-15). Ve
vrcholech B,D čtverce působí síly F2 = F3 = 10 N. Jaká
je velikost momentu dvojice sil F2, F3?
Obr.1.6.-15
Podobně jako jsme definovali vztahem
1.6.-7 moment síly M, obdobně můžeme
definovat i moment hybnosti b
vektorovým součinem polohového
vektoru r a vektoru hybnosti p:
b = r x p =r x mv = J ω. [kg.m2
.s-1
] 1.6.-9
Výraz Jω pro moment hybnosti je analogií s výrazem
pro hybnost mv translačního pohybu. Symbolem J je
označen moment setrvačnosti, veličina charakterizující
setrvačné vlastnosti tělesa u rotačního pohybu. Blíže se s ním seznámíte v kapitole 1.6.6.
U translačního pohybu jsme si vyjadřovali souvislost mezi působící silou F a hybností p
vztahem 1.3.-2
td
dp
F = - druhým Newtonovým zákonem. Analogicky existuje stejná
závislost mezi momentem síly M a momentem hybnosti b
td
db
M = 1.6.-10
1.6.3. Skládání sil působících na těleso
Skládání a rozkládání sil jsme již probírali v úvodu celé mechaniky v kapitole
o sčítání vektorů. Nezaškodí, když si pravidla zopakujete. Tyto znalosti si nyní
rozšíříme, síly nám totiž nepůsobí jen na jeden hmotný bod, ale na rozměrné
tuhé těleso.
Problematika se nám totiž u tělesa trochu zkomplikuje. Příklad: potřebuje
v bytě posunout úzkou vysokou knihovnu. Tlačíme-li na ni ve spodní části, knihovnu
posouváme. Zatlačíme-li však nahoře, můžeme ji převrhnout. V prvém případě knihovna koná
posuvný pohyb, v druhém pohyb rotační. Záleží tedy na místě působiště síly. Samozřejmě, jeli
knihovna těžká, musí nás být na její přemístění více, působíme více silami, které skládáme.
Skládat síly působící na těleso znamená nahradit je silou jedinou, která má na těleso stejný
pohybový účinek.
A teď k působišti skládaných sil. Mohou nastat dvě situace. Buď síly působí v jednom bodě
tělesa, nebo v bodech různých.
• Síly působící v jednom bodě tělesa.
Tyto síly skládáme stejným způsobem, se kterým jste se již seznámili v úvodu. Různé možné
situace jsou na obrázku Obr.1.6.-16. Na obrázku jsou zakresleny dvě působící síly. Na situaci
se nic nezmění, je-li působících sil více. Síly skládáme postupně po dvojicích.
133
Obr.1.6.-16
• Síly působí v různých bodech tělesa.
Nejjednodušeji se skládají dvě působící různoběžné síly F1 a F2 . Jak dostaneme jejich
výslednici F je znázorněno na Obr.1.6.-17. Každou z těchto sil posuneme po přímkách, na
kterých leží do společného působiště O. Tam je složíme podle pravidla o vektorovém součtu,
F = F1 + F2. Působiště výsledné síly můžeme libovolně posunou po přímce p. Nejlépe je
výslednici posunout do působiště P, do bodu, který je průsečíkem vektorových přímek sil F1 a
F2. Pak výslednice F v tomto bodě má stejný pohybový účinek na těleso jako složky F1 a F2
působící v bodech A a B.
Obr.1.6.-17
134
Když působí na těleso dvě rovnoběžné síly F1 a F2 stejné orientace pak jejich výslednice F
má stejnou orientaci jako působící síly. Její velikost je rovna součtu velikostí obou sil F = F1
+ F2. Pro polohu působiště výslednice platí F1 d1 = F2 d2 (momenty obou sil jsou stejné).
Situace je znázorněna na Obr.1.6.-18.
Obr.1.6.-18
A ještě poslední situace. Na těleso teď působí rovnoběžné sily F1 a F2 , ale opačného směru
(Obr.1.6.-19). Výslednice F má zase stejný směr jako působící síly. Její velikost je rovna
rozdílu velikostí obou sil F = F1 - F2. Pro polohu působiště výslednice platí stejně jako
v předešlém případě F1 d1 = F2 d2 .
Obr.1.6.-19
• Dvojice sil.
Zvláštním případem dvou rovnoběžných sil opačné orientace je dvojice sil. Jsou to například
síly rukou řidiče působící na volant (Obr.1.6.-20). Výsledkem působení těchto sil je otáčení se
tělesa, tedy volantu.
Dvojici sil tvoří dvě stejně velké rovnoběžné síly F a F´
opačné orientace, které působí ve dvou různých bodech
tělesa otáčivého kolem pevné osy.
Obr.1.6.-20
Určete výsledný moment dvojice sil působících
na volant. Řidič působí každou rukou silou 50
N, volant má průměr 40 cm.
Protože obě síly způsobují otáčení volantu ve stejném směru, bude výsledný
moment dvojice sil dán součtem momentů obou sil.
135
D = M1 + M2 = F r + F´ r.
Protože velikosti obou sil jsou stejné, můžeme napsat pro velikost momentu dvojice sil vztah
D = F d,
kde d je kolmá vzdálenost vektorových přímek obou sil označovaná jako rameno dvojice sil.
Dosadíme-li numerické hodnoty dostaneme:
D = 50.0,4 = 20 N.m.
TO 1.6.-12 Na kotouč o poloměru r, který je otáčivý kolem nehybné osy jdoucí
jeho středem, působí dvě rovnoběžné síly. Čtyři různé případy působení těchto
sil jsou znázorněny na obrázku Obr.1.6.-21. Síly F1´ a F1 mají stejnou velikost
F, síla F2 má velikost 2F. Ve kterých případech se otáčivé účinky sil navzájem
ruší?
Obr.1.6.-21
a) v žádném případě b) jen v případě 2 c) v případech 2 a 3 d) jen v případě 4
TO 1.6.-13 Na kotouč o poloměru r, který je otáčivý kolem nehybné osy jdoucí jeho
středem, působí Obr.1.6.-21. Síly F1´ a F1 mají stejnou velikost F, síla F2 má velikost 2F. Ve
kterých případech tvoří síly dvojici sil?
a) ve všech případech b) jen v případě 2 c) v případech 2 a 4 d) jen v případě 4
U 1.6.-3 Jak velkou silou je tažen větroň na Obr.1.6.-22, jestliže síly napínající
dvě lana svírají úhel 60o
a každá z nich má velikost 1000 N?
136
Obr.1.6.-22
U 1.6.-4 Dělník zvedá za jeden konec trám o délce 4,0 m a hmotnosti 40 kg. Při určité
poloze, jak je vidět na obrázku Obr.1.6.-23,
svírá trám s vodorovným směrem úhel 30o
.
Určete velikost síly F1, kterou působí dělník
na trám v dané poloze. Síla F1 je kolmá k
trámu (g = 9,8 m.s-2
).
Obr.1.6.-23
1.6.4. Rovnováha tuhého tělesa
Řekneme-li, že těleso je v rovnovážné poloze (v rovnováze), znamená to, že
výslednice sil i výsledný moment sil na něj působících je nulový a těleso je
v klidu. Budou tedy platit vztahy
∑ = 0F , .0∑ =M 1.6.-11
Uveďme si příklady. V jedné televizní reklamě tlačí dvě party pivařů auto.
Jedna skupina zepředu a druhá zezadu. Pokud se auto nepohne, znamená to, že výslednice sil
jedné skupiny je stejně velká jako výsledná síla vyvinutá druhou skupinou. Říkáme, že auto je
v rovnovážné poloze.
Jiný příklad, tentokrát na výsledný moment síly. Chceme se dostat do pootevřených dveří.
Působíme na dveře momentem své síly. Člověk na druhé straně dveří nám brání vstoupit.
Pokud je moment jeho síly stejně velký jako je můj, dveře se nepohnou, jsou v rovnováze.
Vraťme se ještě k autu. Auto stojí v dolíku, je v klidu, je v rovnovážné poloze. Zatlačíme-li na
něj, posuneme jej nahoru. Když přestaneme působit silou, auto se vrátí do původní polohy.
Situace je vidět na obrázku Obr.1.6.-24, pro jednoduchost je auto nahrazeno kuličkou. Tuto
rovnovážnou polohu označujeme jako stálou nebo stabilní rovnovážnou polohu.
137
Obr.1.6.-24
Stabilní rovnovážnou polohu má těleso, které se po vychýlení
z této polohy opět do ní vrací.
Stabilní rovnovážnou polohu má také těleso, které je otáčivé
kolem osy umístěné nad svým těžištěm. Vychýlíme-li toto
těleso působením momentu síly, těleso se vrací zpátky do
stabilní polohy. Situaci máme znázorněnu na obrázku Obr.1.6.-
25.
Obr.1.6.-25
Naopak tlačíme-li auto stojící na vrcholu kopce, po vychýlení
z rovnovážné polohy se auto již pohybuje „samo“. V tomto
případě se auto nevrací do výchozí rovnovážné polohy. Na
obrázku Obr.1.6.-26 je zase znázorněna modelová situace kuličky.
Obr.1.6.-26
Podobně je to také s tělesem, které se může otáčet kolem osy
umístěné pod svým těžištěm jako je vidět na obrázku Obr.1.6.-
27. V obou posledních dvou případech těleso zaujímá tzv.
vratkou neboli labilní polohu.
Obr.1.6.-27
Labilní rovnovážnou polohu má těleso, které se po vychýlení
z této polohy do ní nevrací. Těleso po vychýlení přechází do
nové stabilní polohy.
A konečně může mít těleso rovnovážnou polohu, kterou
označujeme jako volnou neboli indiferentní rovnovážnou
polohu. Tu má naše kulička na vodorovné rovině na Obr.1.6.-
28 nebo kvádr, jehož osa otáčení prochází jeho těžištěm jako
na Obr.1.6.-29 .
138
Obr.1.6.-28
Obr.1.6.-29
Volnou rovnovážnou polohu má těleso, které po vychýlení zůstává v jakékoliv nové opět
stabilní poloze.
TO 1.6.-14 Jak daleko od osy otáčení houpačky musí sedět otec hmotnosti 90
kg, chce-li se houpat se synem „vážícím“ 15 kg? Dítě sedí ve vzdálenosti 3 m od
osy otáčení houpačky.
TO 1.6.-15 V jaké vzdálenosti musí dělník zvedající bednu o hmotnosti 200 kg
podložit páku? Páka má délku 2 m. Dělník je schopen zvednout přímo těleso hmotnosti 50
kg.
1.6.5. Kinetická energie tuhého tělesa
Pro kinetickou energii hmotného budu hmotnosti m pohybujícího se rychlostí
v jsme si uváděli vztah Ek = ½ m v2
. S kinetickou energií tuhého tělesa je to
poněkud složitější. Musíme se vrátit k začátku této kapitoly, kde jsme si
rozlišovali dva základní pohyby tělesa – posuvný a rotační.
• Kinetická energie posuvného pohybu.
Podívejte se ještě jednou na obrázek Obr.1.6.-1 znázorňující translační pohyb tělesa. Pro tento
pohyb je charakteristické, že všechny body tělesa se pohybují stejnou rychlostí v. Kinetickou
energii tělesa dostaneme, sečteme-li kinetické energie všech jednotlivých n hmotných bodů
tělesa mi.
139
Obr.1.6.-1
22
3
2
2
2
1
2
1
..........
2
1
2
1
2
1
vmvmvmvmE nk ++++= .
Na pravé rovnice vytkneme výraz 2
2
1
v .
.
2
1
)........(
2
1
1
2
321
2
∑=
=+++=
n
j
jnk mvmmmmvE
Součet hmotností jednotlivých bodů tělesa mj je celková hmotnost tělesa m.
Kinetická energie tělesa při posuvném pohybu se tedy vyjádří stejně jako kinetické energie
hmotného bodu. Vlastně nahrazujem naše tuhé těleso hmotným bodem celkové hmotnosti
tělesa umístěným do jeho těžiště.
2
2
1
mvEk = . 1.6.-12
• Kinetická energie otáčivého pohybu.
Při určování kinetické energie rotujícího tělesa budeme postupovat obdobně jako u pohybu
posuvného. To znamená, že si vyjádříme kinetické energie jednotlivých bodů tělesa a pak je
sečteme.
Vyjdeme z obrázku Obr.1.6.-30. Zde je nakresleno
rotující těleso ve tvaru kotouče otáčející se úhlovou
rychlosti ω kolem osy jdoucí středem. Na obrázku
jsou znázorněny hmotné body jejichž kinetická
energie se mění v závislosti na vzdálenosti od osy
otáčení. Důležité je, že všechny body mají stejnou
úhlovou rychlost ω. Energie j-tého hmotného bodu je
dána výrazem 222
2
1
2
1
jjjjkj rmvmE ω== . Opět
sečteme kinetické energie všech n -bodů tvořících
otáčející se těleso.
Obr.1.6.-30
140
222
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
................
2
1
2
1
2
1
nnk rmrmrmrmE ωωωω +++= .
Po vytknutí společného výrazu 2
2
1
ω dostaneme
∑=
=+++=
n
j
jjnnk rmrmrmrmrmE
1
2222
33
2
22
2
11
2
2
1
)............(
2
1
ωω .
Součet výrazů mj rj
2
se označuje jako moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení a
označuje se J. Takže kinetickou energii otáčejícího se tělesa vyjádříme vztahem:
2
2
1
ωJEk = . 1.6.-13
V další kapitole se naučíme moment setrvačnosti počítat.
Podívejme se ještě jinak na tento vztah a srovnejme ho se vztahem pro kinetickou energii
posuvného pohybu 2
2
1
mvEk = . Začněme od poslední veličiny v těchto vztazích . U
posuvného pohybu máme druhou mocninu rychlosti pohybu v2
. U rotačního pohybu je zase
druhá mocnina úhlové rychlosti ω2
. O úhlové rychlosti jsme si řekli, že charakterizuje
rychlost rotačního pohybu.
Jděme dál. Druhý člen ve vztahu pro kinetickou energii posuvného pohybu je hmotnost tělesa
m. Hmotnost nám určuje setrvačné vlastnosti tělesa při posuvném pohybu. Obdobný význam
by měl mít i moment setrvačnosti. A skutečně moment setrvačnosti J určuje setrvačné
vlastnosti tělesa při rotačním pohybu. Moment setrvačnosti je schopnost tělesa „setrvávat“
v rotačním pohybu.
Můžeme si vliv momentu setrvačnosti vyzkoušet sami. Zkuste zastavit lehké kolo jízdního
kola a těžké kolo náklaďáku o stejném poloměru. Když budou obě kola vykonávat stejný
počet otáček za minutu (mají stejnou úhlovou rychlost) asi podstatně snáze zastavíme jízdní
kolo.
• Kinetická energie složeného pohybu.
Vyřešit tento problém už nebude tak těžké, uvědomíme-li si, že tento pohyb vzniká složením
posuvného a rotačního pohybu. Protože kinetická energie je skalární veličina, jednoduše
sečteme kinetickou energii posuvného a rotačního pohybu.
22
2
1
2
1
ωJmvEk += . 1.6.-14
U 1.6.-5 Rotor elektromotoru s hmotností 110 kg má moment setrvačnosti 2
kg.m2
a koná 20 otáček za sekundu. Jak velkou má kinetickou energii?
U 1.6.-6 Válec o hmotnosti 2 kg se valí bez prokluzování po vodorovné
podložce stálou rychlostí velikosti 4 m/s. Určete kinetickou energii válce.
U 1.6.-7 Koule (JT = 2mr2
/5) o hmotnosti
0,25 kg a průměru 6 cm se valí bez klouzání po
vodorovné podložce, přičemž frekvence otáčení
je 4 Hz. Určete kinetickou energii koule.
141
Obr.1.6.-31
Po nakloněné rovině o délce 5 m se začne valit bez prokluzování válec tak, že
jeho těžiště sníží svoji polohu o 1 m (Obr.1.6.-31). Určete velikost rychlosti, s níž
se těleso pohybuje na konci daného úseku.
Označíme si veličiny: l = 5 m, h = 1 m, JT = mr2
/2, g = 9,8 m.s-2
, v = ?
Využijeme zákona zachování mechanické energie. Válec v horní poloze má
potenciální energii Ep1 = m g h, v dolní poloze Ep2 = 0. Kinetická energie v horní poloze je
nulová, Ek1 = 0 a v dolní poloze je dána kinetickou energií posuvného pohybu a kinetickou
energií rotačního pohybu












+=+= 2
2
2222
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
r
v
rmvmJvmE Tk ω
Vyjádříme-li si ze zákona zachování energie Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 velikost rychlosti,
dostáváme






=





= 1.8,9
3
4
3
4
hgv = 3,6 m/s
Velikost rychlosti válce ve spodní poloze je 3,6 m/s.
1.6.6. Moment setrvačnosti
Moment setrvačnosti J, veličina, která má u rotačního pohybu stejnou funkci
jako hmotnost m u pohybu translačního – charakterizuje setrvačné
vlastnosti rotujícího tělesa. Je to
veličina, která charakterizuje rozložení
hmotnosti tělesa vzhledem k ose rotace.
Podívejme se na Obr.1.6.-32. Je zde znázorněno těleso
hmotnosti m a z něj jsme vybrali objemový element dV
hmotnosti dm. Tento element hmotnosti je vzdálen od osy
otáčení o o r.
Obr.1.6.-32
Moment setrvačnosti tohoto elementu dm je dán výrazem
r2
dm. Moment setrvačnosti celého tělesa hmotnosti m
dostaneme integrováním tohoto vztahu.
[kg.m2
] 1.6.-15
Symbol m u integrálu nám říká, že integrujeme přes
celou hmotnost vyšetřovaného objektu m.
Stanovte moment setrvačnosti plošné
desky (zanedbáváme třetí rozměr) o
stranách a, b vzhledem k ose otáčení
procházející stranou a (Obr.1.6.-33).
mrJ
m
d∫= 2
142
Deska je vyrobena z materiálu plošné hustoty σ.
Vyjdeme z definičního vztahu
mrJ
m
d∫= 2
.
Teď je nejdůležitější si správně zvolit element hmotnosti dm.
Tento element si vyjádříme pomocí elementu plochy
dm = σ dS = σ dxdy a po dosazení
SrJ
S
d∫= 2
σ
Měli bychom tedy použít k integrování dvojitý integrál.
∫∫=
ba
yxyJ
0
2
0
ddσ .
Dvojitý integrál ale není nutný. Podívejme se pořádně na obrázek. Na něm je jako element
plochy dS použit obdélníček o straně a a výšce dy. Vyhovuje tato volba? Odpověď zní ano.
Takto zvolený element totiž vyhovuje podmínce aby každý bod elementu dm měl stejnou
vzdálenost od osy otáčení (my jsme si označili tuto vzdálenost ne jako r, ale jako y. Takže
použijeme upravený vztah a dostaneme
3
0
2
3
1
abyyaJ
b
σσ == ∫ d
Podívejte se ještě jednou na zápis
SrJ
S
d∫= 2
σ
Integrál Sr
S
d∫
2
představuje moment setrvačnosti desky vyrobené
z libovolného materiálu.
Často se pod pojmem moment setrvačnosti rozumí tento typ vyjádření a to
VrJ
V
V d∫= 2
pro objemový moment setrvačnosti
SrJ
S
S d∫= 2
pro plošný moment setrvačnosti a
lrJ
L
L d∫= 2
143
pro délkový moment setrvačnosti.
Momenty setrvačnosti vůči ose procházející těžištěm (označované jako JT) pro jednoduché
útvary můžete najít ve strojnických tabulkách. Moment setrvačnosti konkrétní součástky pak
dostanete vynásobením momentu uvedeného v tabulce její hustotou.
Často potřebujete stanovit moment setrvačnosti J vůči ose neprocházející těžištěm. Pokud
znáte nebo najdete moment setrvačnosti vůči ose jdoucí těžištěm JT pak vám pomůže
Steinerova věta.
Podívejte se na Obr.1.6.-34. Zde máte osu otáčení
jdoucí těžištěm oT a chcete stanovit moment
setrvačnosti vůči ose o, která je rovnoběžná s těžištní
osou a je ve vzdálenosti a.
Použijete Steinerovu větu, jejíž matematický zápis
je
J = JT + m a2
. 1.6.-16
Pozor, obě osy oT a o musí být rovnoběžné.
O
Obr.1.6.-34
TO 1.6.-16 Moment setrvačnosti tuhého tělesa je definován vztahem J = ∫ r
2
dm
kde r je
a) vzdálenost elementu dm od těžiště tělesa
b) vzdálenost elementu dm od osy rotace
c) velikost polohového vektoru elementu dm
TO 1.6.-17 Hmotný bod m = 3 kg rotuje kolem osy, která je ve vzdálenosti 2 m od
hmotného bodu. Určete moment setrvačnosti tohoto hmotného bodu. J =
TO 1.6.-18 Určete moment setrvačnosti soustavy dvou hmotných bodů hmotností m1
a m2
,
které jsou ve vzdálenosti r1
a r2
od osy rotace. J =
TO 1.6.-19 Moment setrvačnosti homogenní koule hmotnosti m a poloměru R vzhledem k
ose jdoucí těžištěm je 2/5 (m R
2
). Určete moment setrvačnosti této koule vzhledem k ose,
která se koule dotýká. J =
1.6.7. Pohybová rovnice rotujícího tělesa, rotační impuls
Také u otáčivého pohybu, podobně jako u translačního, používáme pohybovou
rovnici.
U translačního pohybu jsme nazývali pohybovou rovnicí rovnici
td
dp
F = , kde
na levé straně jsme uváděli součet všech působících sil.
U rotačního pohybu je obdobou matematického zápisu druhého Newtonova pohybového
zákona rovnice
144
td
db
M = . 1.6.-17
Moment síly M působící na těleso způsobí časovou změnu jeho momentu hybnosti
(točivosti).
A jestli si pod pojmem moment síly představíme součet všech momentů sil, které na objekt
působí, opět hovoříme o pohybové rovnici tentokráte rotačního pohybu.
Pohybovou rovnici rotačního pohybu můžeme ještě zapsat jiným způsobem
ε
ω
JJM ==
td
d
1.6.-18
Tento vztah se v praxi často používá.
A ještě jedna analogie rotačního pohybu s pohybem posuvným. U posuvného pohybu jsme
definovali vztahem 1.3.-14 o
t
t
mmt
o
vvFI −== ∫ d veličinu impuls síly. Působením impulsu síly
dochází ke změně hybnosti.
Obdobně budeme definovat rotační impuls L vztahem
o
t
t
mmt
o
bbML −== ∫ d 1.6.-19
Působení rotačního impulsu vede ke změně momentu hybnosti – ke změně točivosti tělesa.
TO 1.6.-20 Na těleso, které se může otáčet kolem pevné osy, působí konstantní
moment síly. Jaký pohyb bude těleso vykonávat ?
a) bude v klidu
b) otáčivý pohyb rovnoměrně zrychlený
c) otáčivý pohyb rovnoměrný
d) otáčivý pohyb nerovnoměrný
TO 1.6.-21 Které z následujících rovnic představují pohybovou rovnici rotujícího tuhého
tělesa ?
a) b = J ω
b) M = m dω/dt
c) M = d(J ω)/dt
d) F = J ε
TO 1.6.-22 Na těleso jehož moment setrvačnosti je J působí moment síly M. Ten má za
následek změnu momentu hybnosti, pro kterou platí:
a) b1
- b2
= ∫ M dt
b) b1
- b2
= ∫ J
2
dt/M
c) b1
- b2
= J
2
M/2
145
U 1.6.-8 Těleso hmotnosti 80 kg a momentu setrvačnosti 3,2 kg.m2
se otáčí
rovnoměrně zpožděně tak, že počáteční frekvence 15 Hz klesne na nulu za 480
s. Určete velikost působícího momentu síly M =
U 1.6.-9 Na setrvačník, jehož moment setrvačnosti je 3 kg.m
2
působí moment
síly 6 N.m. Za jak dlouho nabude setrvačník úhlové rychlosti 12 s
-1
, jestliže jeho počáteční
úhlová rychlost byla nulová ? t =
U 1.6.-10 Na setrvačník, jehož moment setrvačnosti je 3 kg.m
2
působí moment síly 6t (
N.m,s). Za jak dlouho setrvačník zvětší svou úhlovou rychlost z hodnoty 3 rad/s na 12 rad/s. t
=
1.6.8. Práce a výkon při rotaci
V kapitole 1.4.1 jsme si definovali práci jako dráhový integrál síly výrazem
∫=
2
1
drF.2,1W . Vztah pro práci konanou při otáčivém pohybu si můžeme
odvodit z tohoto vztahu, ale také můžeme vyjít z analogie mezi translačním a
rotačním pohybem. Tato analogie nám říká že u rotačního pohybu
nahrazujeme translační dráhu danou polohovým vektorem r vektorem úhlové dráhy φ a
vektor síly F vektorem momentu síly M. Můžeme tedy práci konanou při rotačním pohybu
zapsat jako
∫=
2
1
dϕϕϕϕM.2,1W . 1.6.-20
Protože směry vektorů M a φ jsou totožné a pod integrálem máme skalární součin (cos0 = 1),
lze poslední rovnici zapsat následovně
∫=
2
1
2,1 ϕdMW . 1.6.-21
S výkonem to bude ještě jednodušší – jeho definiční vztah uvedený v kapitole 1.4.2 platí i pro
rotační pohyb.
t
W
P
d
d
=
Pouze praktický vztah pro výkon translačního pohybu P = F.v nahradíme se znalostí analogie
výrazem
P = M ω. 1.6.-22
U 1.6.-11 Těleso otáčivé kolem pevné osy se otáčí s úhlovou rychlostí 2 rad/s.
Moment setrvačnosti tělesa je 3 kg.m
2
. Při pootočení tělesa o 30o se vykoná
práce W =
U 1.6.-12 Plný válec poloměru 0,2 m a hmotnosti 2 kg se otáčí kolem své osy s
úhlovou rychlostí 20 rad/s. Moment setrvačnosti válce je m r
2
/2. Na zastavení tohoto válce
musíme vynaložit práci W =
U 1.6.-13 Na těleso otáčivé kolem pevné osy působí moment síly 1 N.m. Těleso rotuje s
úhlovým zrychlením 1 rad/s
2
. Vypočítejte výkon v 5.sekundě. P =
146
U 1.6.-14 Hnací hřídel automobilu se otočí 60 krát za sekundu a přenáší výkon 60 kW.
Otáčivý moment, který vyvíjí motor má velikost M =
Vřele doporučuji sednout si na chvíli nad následující tabulku, která provádí srovnání vztahů
používaných při posuvném (translačním) a otáčivém (rotačním) pohybu tělesa. Zamyslete se
nad ní a uvědomte si, že vztahy pro oba pohyby mají formálně stejná vyjádření, pouze se
poněkud mění obsah.
1.6.9. Struktura a deformace pevné látky
1. Znát způsob rozlišování pevných, kapalných a plynných látek podle změn
vyvolaných působením vnějších sil.
2. Umět definovat krystalickou a amorfní látku.
147
3. Rozlišovat a definovat pružnou a plastickou deformaci.
4. Znát různé druhy namáhání pevného tělesa.
5. Umět definovat normálové napětí, relativní a absolutní deformaci.
6. Vyslovit Hookův zákon, vědět oblast jeho aplikace.
7. Umět popsat jednotlivé význačné body křivky závislosti relativní deformace na napětí.
1.6.9.1. Struktura pevných látek
Tato kapitola je sice nazvána dynamika tuhého tělesa, ale teď připustíme, že se
těleso může deformovat. Základní vlastností pevných látek je to, že si
zachovávají svůj tvar, pokud na ně nepůsobí vnější síly. Tím se liší od
kapalných těles, které jsou tekuté a zachovávají svůj objem, ale ne tvar. A
zcela se liší plynná tělesa, která se rozpínají do okolního prostoru a mění tak
svůj tvar i objem.
V pevných látkách jsou molekuly případně
atomy nebo ionty pevně vázány na svá místa a
mohou vykonávat jen kmitavý pohyb kolem
svých rovnovážných poloh jak ukazuje
Obr.1.6.-35. Pevné látky dělíme do dvou
základních skupin - na látky krystalické a
amorfní.
Obr.1.6.-35
Krystalické látky jsou charakterizovány
pravidelným uspořádáním částic ze kterých se
skládají do prostorové geometrické mřížky – Obr.1.6.-36. Vytvářejí tak krystalickou mřížku,
která se periodicky opakuje v celém krystalu, hovoříme o dalekodosahovém uspořádání
(Obr.1.6.-37).
Obr.1.6.-36
Krystalické
látky mohou
být ve formě
monokrystal
u ať už
přírodního –
křemen,
ametyst
(barevná odrůda křemene), kamenná sůl, vápenec
nebo uměle vyrobeného (současné kameny ve
špercích – umělé drahokamy jako safír, rubín).
Také v polovodičové technice se používá uměle
vyrobených monokrystalů germania a křemíku.
Obr.1.6.-37
148
Většina krystalických látek je však tvořena velkým množstvím drobných krystalků
nazývaných zrna. Jejich velikost se pohybuje od 10 µm do několika mm. Hovoříme o
polykrystalech. Polykrystaly jsou kovy, různé zeminy atp. Uvnitř zrn jsou částice uspořádány
v mřížce, vzájemná poloha sousedních zrn je však zcela nahodilá.
Amorfní látky mají nepravidelné uspořádání částic, které se vyznačuje krátkodosahovým
uspořádáním (Obr.1.6.-38).
Obr.1.6.-38
To znamená že v malé oblasti jsou částice
přibližně pravidelně uspořádány, tato
uspořádanost se s rostoucí vzdáleností porušuje.
Amorfními látkami jsou například vosk, asfalt,
většina plastů, sklo atp.
Zvláštní skupinou amorfních látek jsou
polymery, látky organického původu tvořící
dlouhé makromolekuly často navzájem
propleteny, vytvářejí sítě, jsou stočeny do
klubek atd. Polymery jsou například celulóza,
bílkoviny, termoplasty jako PVC,
polyepoxidové pryskyřice.
Mezi částicemi pevné látky působí vazebné síly,
které jak napovídá název, vážou k sobě částice
ze kterých se skládá krystalová mřížka. Vazebné
síly dávají vzniknout různým způsobům vazeb,
ze kterých vyplývají typické vlastnosti daných krystalů.
1.6.9.2. Deformace pevného tělesa
Začnou-li působit na pevné těleso vnější síly, začne se pohybovat nebo dojde k jeho
deformaci. Pod pojmem deformace tělesa rozumíme změny jeho rozměrů, tvaru a objemu.
Deformace může být pružná (elastická) jestliže pevné těleso po ukončení působení vnější
deformační síly získá původní tvar. Tak gumový míček po stlačení rukou a následujícím
uvolnění působení ruky obnoví svoji velikost i tvar.
Při deformaci jsou částice tělesa působením vnějších sil vychylovány ze svých rovnovážných
poloh. Vychylování brání síly vzájemného působení mezi částicemi pevného tělesa, vznikají
síly pružnosti Fp. Schopnost tělesa obnovit své rozměry, tvar i objem po přerušení působení
deformačních sil se nazývá pružnost.
Deformace tělesa, která trvá po ukončení působnosti deformačních vnějších sil, se označuje
jako trvalá deformace (tvárná, plastická). Stlačíme-li rukou nyní kuličku z plastelíny, pak
uvolníme-li stisk plastelína zůstane v deformovaném stavu.
Pružná deformace tělesa může být výsledkem tahu, tlaku, ohybu, smyku nebo kroucení.
Při tahu působí na těleso dvě stejně veliké síly směrem ven jak je vidět z Obr.1.6.-39. Těleso
zvětší svou délku a svůj objem.
149
Obr.1.6.-39
Při tlaku působí na těleso dvě stejně veliké síly směrem dovnitř tělesa – Obr.1.6.-40. Těleso
se zkrátí a zmenší svůj objem.
Obr.1.6.-40
Při namáhání ohybem působí na upevněné (podepřené) těleso síla kolmá k jeho podélné ose
viz Obr.1.6.-41 a Obr.1.6.-42. Spodní vrstvy tělesa se při tomto ději zkracují (jsou namáhány
tlakem), horní vrstvy se prodlužují (namáhány tahem) a konečně střední vrstva svou délku
nemění – označujeme ji jako neutrální vrstvu.
Obr.1.6.-41 Obr.1.6.-42
Při smyku působí na protilehlé podstavy tělesa tečné
síly a těleso se zkosí (změní tvar), ale nezmění svůj
objem jak je znázorněno na Obr.1.6.-43.
Obr.1.6.-43
A konečně při namáhání kroucením působí na těleso dvě dvojice sil, jejich momenty jsou
stejně velké a opačného směru – Obr.1.6.-44. Těleso mění svůj tvar.
150
Obr.1.6.-44
1.6.9.3. Normálové napětí, Hookův zákon
V předchozí kapitole se mluvilo o silách pružnosti vyvolaných vnějšími silami. Podívejme se
na obrázek struny namáhané na tah silami F (Obr.1.6.-45). Vnější tahové síly F a F´ vyvolají
uvnitř struny síly pružnosti Fp a Fp´ působící kolmo na plochu S příčného řezu strunou. Podíl
velikosti síly pružnosti Fp a kolmé plochy S nazýváme normálové napětí
Obr.1.6.-45
S
Fp
n =σ , 1.6.-23
s jednotkou N.m-2
= Pa (pascal).
Zůstaňme ještě u naší struny. Působením tahových sil se její původní délka lo změní na délku l
jak je vidět na Obr.1.6.-46. Struna se prodlouží o ∆l = l – lo. Názornější je porovnávat
prodloužení tělesa s jeho původní délkou. Zavedeme tedy veličinu poměrné prodloužení ε
definované vztahem
Obr.1.6.-46
ol
l∆
=ε . 1.6.-24
Poměrné prodloužení je při tahovém namáhání závislé na mechanickém napětí. Křivka této
závislosti se zkoumá v technické praxi a je měřítkem vlastností zkoumaného materiálů. Často
151
se záznam této křivky označuje jako deformační diagram. Na obrázku Obr.1.6.-47 jsou
vyneseny tři křivky závislosti normálového napětí σn na poměrném prodloužení ε, každá pro
zcela odlišný materiál.
Obr.1.6.-47
Na křivkách jsou vidět a písmeny označeny význačné, charakteristické body.
Podívejme se nejdříve na křivku pro pružnou látku jako je např. ocel, železo apod. Až do
bodu A je závislost přímková, lineární odpovídající přímé úměrnosti mezi normálovým
napětím a poměrným prodloužením
εσ En = . 1.6.-25
Toto je tzv. Hookeův zákon pro pružnou deformaci tahem. Veličina E je látková konstanta,
nazývá se modul pružnosti v tahu a charakterizuje materiál z pohledu jeho deformace
tahem. Hookův zákon platí po tzv. mez pružnosti σE, tedy v oblasti kde dochází k pružné
deformaci - lineární část diagramu. Překročí-li normálové napětí mez pružnosti, pak dochází
k trvalé deformaci tělesa i po odstranění vnějších deformujících sil.
Pokračujeme-li ve sledování křivky pak vidíme, že mezi body A a B již křivka není přímková.
Po zmenšení vnější síly zůstane těleso trvale deformováno, dochází k plastické deformaci.
V následující části křivky mezi body B a C se projevují výrazné trvalé deformace. Důležitý je
bod C. Napětí v tomto bodě se označuje jako mez pevnosti σp. Při překročení tohoto napětí
poruší se soudržnost materiálů, při tahovém namáhání dochází k přetržení tělesa.
Druhá křivka je charakteristická pro křehkou látku. Takovou křehkou látkou je například
litina, sklo, porcelán atp. Na křivce je podstatné to, že lineární oblast je velmi rychle
následována mezí pevnosti, kdy dochází k porušení materiálu. Prakticky zde není oblast
plastické deformace.
Třetí křivka pak je typická pro plastickou látku jakou je plastelína, vosk atp. Při namáhání
tohoto materiálu dochází pouze k plastické deformaci.
Hookův zákon platí i pro pružnou deformaci tlakem. Také moduly pružnosti v tahu a tlaku
jsou pro většinu látek stejné. Výjimku tvoří látky jako beton, žula, litina.
152
TO 1.6.-23 Mezi krystalické látky nepatří:
a) jantar b) grafit c) modrá skalice d) rubín e) diamant f) kaučuk
TO 1.6.-24 U tyče z materiálu o modulu pružnosti v tahu E bylo při
normálovém napětí σn naměřeno relativní prodloužení 0,2 %. Jaké je relativní
prodloužení tyče při dvojnásobném normálovém napětí?
a) 0,1% b) 0,2% c) 0,4% d) 0,8%
TO 1.6.-25 U tyče z materiálu o modulu pružnosti v tahu E bylo při normálovém napětí σn
naměřeno relativní prodloužení 0,2 %. Jaké je relativní prodloužení této tyče při stejném
normálovém napětí, je-li délka tyče dvojnásobná?
a) 0,1% b) 0,2% c) 0,4% d) 0,8%
TO 1.6.-26 U tyče z materiálu o modulu pružnosti v tahu E bylo při normálovém napětí σn
naměřeno relativní prodloužení 0,2 %. Jaké je relativní prodloužení této tyče při stejném
normálovém napětí, je-li tyč o dvojnásobném modulu pružnosti v tahu?
a) 0,1% b) 0,2% c) 0,4% d) 0,8%
Kovová válcová trubka délky 1m s vnějším průměrem 20cm a s tloušťkou stěny
1cm byla stlačena normálovou silou o velikosti 16kN. Trubka je zhotovena
z materiálu modulu pružnosti 120GPa. Určete normálové napětí, poměrné
zkrácení trubky a zkrácení trubky.
Vyjdeme z definičního vztahu pro normálové napětí
S
Fp
n =σ a nejdříve
vypočteme obsah příčného řezu trubky, na který síla působí. Ten je dán plochou mezikruží
( )
4
2
2
2
1 dd
S
−
=
π
, kde d1 je vnější průměr a d2 vnitřní průměr trubky.
Normálové napětí tak bude vyjádřeno vztahem
( )2
2
2
1
4
dd
Fp
n
−
=
π
σ . Po dosazení získáme
normálové napětí velikosti
( ) MPa68,2
18,02,014,3
10.16.4
22
3
=
−
=nσ .
Z Hookova zákona vyplývá pro poměrné zkrácení výraz
E
nσ
ε = a po dosazení
5
11
6
10.2,2
10.2,1
10.68,2 −
==ε . Poměrné zkrácení trubky je 0,002%.
A konečně zkrácení trubky plyne z definičního vztahu relativní změny jako
65.
10.221.10.2,2 −
===∆ ll ε m.
U 1.6.-15 Železná tyč průřezu 2.10-4
m2
, délky 1m je namáhána v tahu silou
1,962.104
N. Vypočtěte napětí materiálu, absolutní a relativní prodloužení, je-li
modul pružnosti v tahu E = 1,962.1011
Pa.
U 1.6.-16 Tyč kruhového průřezu o průměru 2.10-2
m a délky 2 m se vlivem
síly 3,082.104
N prodloužila o 10-3
m. Určete modul pružnosti v tahu.
U 1.6.-17 Určete modul pružnosti v tahu zkušební tyče průměru 2.10-2
m, délky 0,2m,
jestliže při zatížení silou 3,92.103
N je absolutní prodloužení = 1,25.10-5
m.
153
U 1.6.-18 Dřevěný trámek délky 3m se zkrátil působením tlakové síly kolmé k průřezu o
4mm. Vypočtěte délku trámu po zatížení a jeho poměrné zkrácení .
U 1.6.-19 Jakou silou musí být napínáno gumové vlákno o průřezu 8 mm2
, aby se
prodloužilo na dvojnásobek původní délky? Modul pružnosti v tahu je 1 MPa.
U 1.6.-20 Zkušební vzorek z jehličnatého dřeva má tvar krychle s délkou hrany 40 mm.
Rozdrtí se silou 54,5 kN. Vypočítejte mez pevnosti zkoušeného dřeva.
1. Tuhé těleso může vykonávat:
• Posuvný (translační) pohyb, při kterém všechny body tělesa mají
v určitém čase rychlosti stejné velikosti, stejného směru i stejné orientace.
• Otáčivý (rotační) pohyb kolem osy otáčení. Při tomto pohybu mají všechny body tělesa
stejnou úhlovou rychlost.
• Složený (kombinovaný) pohyb složený z posuvného a otáčivého pohybu.
2. Pohyb celého tělesa si můžeme nahradit pohybem těžiště. Těžiště tělesa je bod, který se
pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna všechna hmotnost tělesa.
Těžiště tělesa je působiště výslednice všech tíhových sil působících na jednotlivé hmotné
body tvořící dané těleso. Polohu těžiště vypočítáme pomocí vztahu ∫= m
m
t drr
1
3. Otáčivý účinek síly je dán momentem síly vzhledem k ose otáčení: M = r x F
4. Moment hybnosti je definován vztahem b = r x p =r x mv = J ω.
5. Síly působící na těleso můžeme skládat. Při skládání sil využíváme pravidel vektorového
počtu. Je třeba přihlížet také k jejich působišti.
6. Dvojice sil působí na těleso momentem dvojice sil D = F d.
7. Těleso je v rovnovážné poloze, když výslednice sil i výsledný moment sil na něj
působících je nulový a těleso je v klidu, platí ∑ = 0F , .0∑ =M .
8. Rovnovážná poloha může být:
• Stabilní, tuto polohu má těleso, které se po vychýlení z této polohy opět do ní vrací.
• Labilní, kterou má těleso, které se po vychýlení z této polohy do ní nevrací. Těleso po
vychýlení přechází do nové stabilní polohy.
• Volnou polohu má těleso, které po vychýlení zůstává v jakékoliv nové poloze.
9. Kinetická energie posuvného pohybu tělesa je dána vztahem 2
2
1
mvEk = .
154
10. Kinetická energie otáčivého pohybu tělesa se vyjádří jako 2
2
1
ωJEk = . Fyzikální
veličina J je moment setrvačnosti vůči ose otáčení. Moment setrvačnosti vyjadřuje setrvačné
vlastnosti tělesa při rotačním pohybu a je dán vztahem mrJ
m
d∫= 2
.
11. Kinetická energie složeného pohybu je dána součtem kinetické energie rotačního a
translačního pohybu 22
2
1
2
1
ωJmvEk += .
12. Pohybová rovnice rotačního pohybu má tvar
td
db
M = . Výsledný moment sil působících
na těleso je roven časové změně točivosti.
13. Rotační impuls vede ke změně momentu hybnosti o
t
t
mmt
o
bbML −== ∫ d .
14. Práce sil při rotaci tělesa se vyjádří jako ∫=
2
1
2,1 ϕdMW .
15. Výkon při rotaci je dán výrazem
t
W
P
d
d
= .
16. Látky můžeme dělit na krystalické, polykrystalické a amorfní.
17. Hookův zákon pro pružnou deformaci je vyjádřen vztahem εσ En = , kde σn je
normálové napětí, E modul pružnosti v tahu a ε.
Klíč
TO 1.6.-1 Pokud se těleso pohybuje pohybem zrychleným, je zrychlení všech
bodů stejné.
TO 1.6.-2 Body, kterými prochází osa otáčení.
TO 1.6.-3 a, e
TO 1.6.-4 b, c
TO 1.6.-5 d, f
TO 1.6.-6 kg.m2
.s-2
TO 1.6.-7 F2
TO 1.6.-8 a)
TO 1.6.-9 a)
TO 1.6.-10 a), e)
155
TO 1.6.-11 a)
TO 1.6.-12 c
TO 1.6.-13 d
TO 1.6.-14 0,5 m. Chceme, aby houpačka byla ve stabilní poloze. Momenty síly otce a
dítěte vzhledem k ose otáčení musí být stejné.
TO 1.6.-15 0,5 m . Počítáme stejně jako v předešlé otázce.
TO 1.6.-16 b)
TO 1.6.-17 12 kg.m2
TO 1.6.-18 m1 r1
2
+ m2 r2
2
TO 1.6.-19 7/5 (m R2
)
TO 1.6.-20 b)
TO 1.6.-21 c)
TO 1.6.-22 a)
TO 1.6.-23 a, f
TO 1.6.-24 c)
TO 1.6.-25 a)
TO 1.6.-26 a)
U 1.6.-1 10 N.m, 14,1 N.m, 14,1 N.m, 7,07 N.m.
U 1.6.-2 28,3 N.m
U 1.6.-3 1700 N. Vektorově obě síly sečteme.
U 1.6.-4 170 N. Vycházíme z momentové věty. Moment síly dělníka F d
musí být roven momentu tíhy trámu m g cosα d/2 působící v těžišti (polovina délky trámu d).
U 1.6.-5 15,8 kJ. . ( ) ( )222
20.14,3.2.2.
2
1
2
2
1
2
1
=== fJJEk πω
U 1.6.-6 24 J. Kinetická energie bude složena z kinetické energie posuvného pohybu
těžiště pohybujícího se rychlostí v = 4 m.s-1
a z kinetické energie otáčivého pohybu se stejnou
obvodovou
rychlostí. 2
2
22
2
2222 4
..2
2
1
.
2
1
4.2
2
1
.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
r
r
r
v
mrmvJmvEk +=











+=+= ω . Všimněte
si, že energie válce nezávisí na jeho poloměru.
U 1.6.-7 0,1 J.
( ) ( ) ( ) ( )22222222
4.2.03,0.25,0
5
2
.
2
1
03,0.4.14,3.2.25,0
2
1
2.
5
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
πππω +=





+=+= fmrrfmJmvEk
Rychlost pohybu těžiště (je stejná jako obvodová rychlost povrchového bodu) se vypočítá
z otáčivého pohybu ze vztahu v = ω r = 2πf.r.
U 1.6.-8 - 0,63 N.m
U 1.6.-9 6 s
156
U 1.6.-10 3 s
U 1.6.-11 0 J
U 1.6.-12 8 J
U 1.6.-13 5 W
U 1.6.-14 159,15 N.m
U 1.6.-15 σ = 9,81.107
Pa, ε = 5.10-4
, ∆l = 5.10-4
m
U 1.6.-16 E = 1,96.1011
Pa
U 1.6.-17 Pa11
52
13
10.2
10.25,1.10.4.14,3
10.2.10.92,3
==
−
E
U 1.6.-18 2,996m, 0,13%
U 1.6.-19 8 N
U 1.6.-20 σp = 34 MPa