Měření náboje elektronu Millikanovou metodou
1. Princip a historie metody
a) Vývoj metodiky měření náboje elektronu
Bezprostředně po objevu elektronu J. J. Thomsonem (1897) se jeho žáci a spolupracovníci
pokoušeli určit jeho náboj. C. T. R. Wilson studoval jev pozorovaný Helmholtzem již v roce
1887, který spočívá v kondenzaci přesycené vodní páry na nabitých částicích. J. S. E.
Townsend využil tuto metodu a elektrometrem změřil celkový náboj mlžného obláčku,
v němž stanovil počet kapek. Za předpokladu, že každá kapka vznikla na jednom
elementárním náboji, odhadl jeho řádovou velikost na 10-19
C. J. J. Thomson a H. A. Wilson
tuto metodu dále zdokonalovali. Především stanovili postup, jak z rychlosti 0v padání kapek
ve vzduchu určit jejich poloměr a tedy i hmotnost. Konečně C. T. R. Wilson vypracoval
postup, jak řízením expanze vodních par zajistit jejich kondenzaci pouze na záporně nabitých
částicích. Touto metodou byla pro náboj elektronu získána hodnota –1,1 . 10-19
C.
S prohlubováním znalostí o struktuře atomu vzrůstal význam pojmu elementárního náboje a
tedy i význam náboje elektronu jako univerzální fyzikální konstanty a byla naléhavě
pociťována potřeba znát co nejpřesněji jeho hodnotu. Tento úkol splnil americký fyzik R. A.
Millikan. Použil rovněž princip studia pohybu nabitých kapek v elektrickém a gravitačním
poli. Pečlivou analýzou dané problematiky našel v postupech svých předchůdců zdroje
různých chyb a systematicky je odstraňoval: místo vodních kapek, které se v průběhu měření
odpařují, použil kapek hodinářského oleje, přešel na sledování pohybu jediné kapky pomocí
mikroskopu, stabilizoval teplotu měřící komory neboť na teplotě závisí viskozita vzduchu,
zavedl korekci na vztlak a měřením při různých tlacích eliminoval odchylky od Stokesova
vzorce. V roce 1913 publikoval získanou hodnotu ( ) 19
1,591 0,003 .10 C.e −
= ± V letech 1936 –
1940 byla prováděna přesná měření viskozity vzduchu. Výsledky ukázaly, že hodnota kterou
měl Millikan k dispozici není zcela správná. Po provedení příslušné korekce dává
Millikanovo měření výsledek e = 1,603 . 10-19
C.
Millikanova práce je klasickým příkladem pečlivě provedeného experimentu, který sehrál
důležitou roli při rozvoji atomové fyziky; v roce 1923 byl odměněn Nobelovou cenou za
fyziku. Jinou, přesnější přímou metodu pro měření elementárního náboje se nepodařilo nalézt.
Současně používané přesnější hodnoty jsou vesměs získávány nepřímými metodami, kdy se
statisticky současně zpracovávají výsledky měření příbuzných veličin různými metodami.
V tomto procesu tzv. adjustace jsou pak stanoveny nejvěrohodnější hodnoty jednotlivých
veličin. Současně používaná hodnota elementárního náboje (podle adjustace z roku 1986 [1] )
činí
19
1,602177 3(49).10 C.e −
= (1)
2
b) Princip Millikanovy metody
Millikanova metoda měření náboje elektronu se zakládá na pozorování pohybu nabitých olejových
kapiček v elektrickém poli. Schematický nákres uspořádání experimentu je uveden na
obr. 1. Ústřední částí aparatury je rovinný kondenzátor (K), jehož desky jsou umístěny vodorovně.
Na kondenzátor lze ze zdroje (Z) vkládat napětí U různé velikosti a polarity. Olejové
kapičky z rozprašovače vstupují otvorem (O) v
horní desce kondenzátoru do mezielektrodového
prostoru. Zde je lze pozorovat mírně zvětšujícím
mikroskopem (M). Pro pozorování jsou kapičky
intensivně osvětleny ze strany světelným zdrojem
(na obr. 1 nezakreslen), takže je vidíme podobně
(jako v ultramikroskopu) jako svítící body na tmavém pozadí. V původním Millikanově uspořádání
lze mezielektrodový prostor vystavit působení rentgenových paprsků, čímž je ionizován
vzduch a náboje kapiček se mění. Kromě toho jsou v původním uspořádání další přístroje
pro udržování konstantní teploty, pro změnu tlaku vzduchu a pod. – viz například [2,3].
Je-li na deskách kondenzátoru napětí U a mezi deskami vzdálenost d, je v prostoru
kondenzátoru intenzita elektrického pole E = U/d. Nehledíme-li na vztlak vzduchu podle
Archimedova zákona, působí na olejovou kapičku o hmotnosti m, nesoucí náboj q, jednak
gravitační síla Fg = mg (g je gravitační zrychlení) a jednak síla vyvolaná polem Fe = qE. Mezi
výslednou silou e g= +F F F a ustálenou rychlostí 0v pohybu kapičky lze v prvním přiblížení
předpokládat Stokesův vztah:
0=6πF rη v , (2)
kde η je viskosita vzduchu a r poloměr kapičky. Ze vztahu (2) lze snadno určit rychlost
klesání kapičky v nulovém elektrickém poli:
0 = .
6π
mg
rη
v (3)
Bude-li síla Fe působit směrem dolů, bude kapička klesat rychlostí
1 = .
6π
qE mg
rη
+
v (4)
V opačném případě , bude-li Fe > Fg, bude kapička stoupat rychlostí
2 = .
6π
qE mg
rη
−
v (5)
Považujeme-li hustotu oleje ρ za známou a uvážíme-li, že m = (4/3)πr3
ρ, zbývají v rovnicích
(3) až (5) kromě rychlostí v0, v1 a v2 dvě neznámé - náboj a poloměr kapičky. Jestliže tedy
změříme dvě z rychlostí, můžeme z příslušných vztahů poloměr i náboj vypočítat. Například
změříme-li v0, a v2, dostaneme z (3) a (5)
03
= ,
2
r
g
η
ρ
v
(6)
0 2
= 6π .q dr
U
η
+v v
(7)
Změříme-li naopak v1 a v2, lze poloměr a náboj vypočítat ze vztahů
( )1 23
= ,
2
r
g
η
ρ
−v v
(8)
1 2
= 3π .q dr
U
η
+v v
(9)
Z
O
K
M
Obr. 1: Princip Millikanovy aparatury
3
2. Použité experimentální uspořádání
V původním uspořádání Millikanově (viz například [2,3]) bylo použito kondenzátoru s kruhovými
deskami o průměru 220 mm ve vzdálenosti 16 mm. Kapičky se pozorovaly dalekohledem
a napětí na deskách kondenzátoru dosahovalo 10 kV.
Přístroj používaný v praktiku je školní demonstrační zařízení vyráběné firmou PHYWE Göttingen.
Ve snaze vystačit s napětími řádu stovek voltů je zde vzdálenost desek zmenšena na
2,5 mm. Kapičky mezi deskami se pozorují mikroskopem, který má v přední ohniskové rovině
okuláru skleněnou planparalelní destičku se dvěma vodorovnými vrypy. Při pozorování
mikroskopem vymezují tyto vrypy v předmětové rovině vzdálenost s. Změříme-li stopkami
dobu t, za kterou kapička prolétne vzdálenost s, můžeme určit její rychlost v = s/t.
Vzhledem k nižšímu napětí U a kratší dráze s je měření v našem případě omezeno na kapky o
podstatně menším průměru než tomu bylo v původní Millikanově úpravě. U menších kapek a
navíc při kratší dráze se výrazněji uplatní nežádoucí vliv Brownova pohybu kapky, což zhoršuje
přesnost měření.
Určení přesnosti výsledných hodnot náboje kapky a zejména pak rozhodnutí, který z obou
uvedených způsobů měření (měření v0, a v2 nebo měření v1 a v2) je z hlediska přesnosti
vhodnější, není jednoduchou záležitostí. První způsob je nepochybně vhodnější pro těžké
kapky, které i bez pole padají dosti rychle, takže více než dvojnásobná rychlost pádu v poli by
se již obtížně určovala. Při druhém způsobu používáme vlastně dvojnásobný rozdíl mezi použitými
hodnotami intenzity elektrického pole, takže by zlomek na pravé straně (9) mohl být
určen s poloviční relativní chybou než je tomu u podobného zlomku v (7), pokud bychom
ovšem měřili všechny rychlosti se stejnou absolutní chybou.Ve skutečnosti bude ale absolutní
chyba určení větších rychlostí větší, takže uvedený rozdíl přesností nebude příliš významný.
Ve vztazích (7), (9) ovšem vystupuje ještě poloměr kapky r, který počítáme podle vzorce (6),
resp. (8), a vidíme ihned, že výpočet rozdílu rychlostí ve vzorci (8) může být spojen se značnou
ztrátou přesnosti v případě, že rychlosti v1 a v2 se příliš neliší. Na tento problém narazíme
při měření kapek s malými poloměry, které bez pole padají velmi pomalu - s využitím pádu v
silnějším poli lze sice měření značně urychlit, ovšem pouze za cenu nesrovnatelně horší přesnosti
určení r a tedy i q. Měření je pak nepochybně vhodnější provést prvním způsobem, kde
se s touto potíží nesetkáme. Chceme-li přesto užít způsobu druhého, je třeba omezit možnou
ztrátu přesnosti zavedením vhodného kriteria, například tak, že vyloučíme ze zpracování
všechna měření, u nichž není rychlost v1 výrazně (kupříkladu alespoň o polovinu) větší než
v2. Nedbáme-li tohoto pravidla a naměřené hodnoty zpracujeme čistě formálně, může nepřesnost
dosáhnout i takové míry, že při vyhodnocení - které bude popsáno níže - body v obr. 2
vůbec nelze jednoznačně roztřídit do skupin podle násobků elementárního náboje a výsledky
měření jsou tedy bezcenné. Je zajisté nasnadě, že dostatečného rozdílu mezi rychlostmi v1 a
v2 můžeme dosáhnout, snížíme vhodně měřicí napětí U; pak ovšem budou rychlosti kapičky v
poli srovnatelné s rychlostí jejího pádu bez pole a druhý způsob měření opět nepřináší podstatné
výhody oproti prvnímu.
3. Postup a vyhodnocování měření
a) Postup měření
Z rozprašovače vstříkneme kapičky parafinového oleje do válcové nádobky v horní části přístroje.
V nádobce je umístěn slabý zářič alfa tvořený isotopem 241
Am s poločasem rozpadu
4
458 roků. Účinkem záření získají některé kapičky elektrický náboj. Úzkou kapilárou pak mohou
proniknout mezi desky kondensátoru a tam je lze pozorovat. Na rozdíl od původního Millikanova
uspořádání zde nelze měnit náboj kapiček během pozorování.
Napětí U z dostatečně stabilního zdroje se reguluje potenciometrem umístěným na podstavci
přístroje a měří se připojeným voltmetrem. Na desky kondensátoru je napětí přivedeno přes
třípolohový přepínač; v jeho střední poloze jsou desky zkratovány, v obou krajních polohách
je na ně přiváděno dané napětí s opačnými polaritami. Po vstříknutí oleje hledáme v zorném
poli kapičku, která reaguje na změny napětí při přepínání klíče. Na takovou kapičku zaostříme
mikroskop. Vhodnou manipulací přepínačem ji přivedeme k okraji oblasti zorného pole mezi
dvěma ryskami. Přepínáním přepínače pak necháme proběhnout kapičku dráhu mezi ryskami
v obou směrech a získáme tak doby t0, t2 respektive t1, t2 potřebné k výpočtu rychlostí . Měření
opakujeme s různými kapičkami. K dosažení dobrých výsledků je třeba proměřit několik
desítek (minimálně 20) různých kapiček. Kvůli korekci, která bude v dalším popsána, je účelné,
aby průměry kapiček ležely pokud možno v širokém rozmezí, zejména aby byly zastoupeny
též kapky větších průměrů. Kapky k měření je proto třeba vhodně vybírat, vodítkem může
být jejich rychlost pádu při nulovém napětí. Kapičky, které nepadají, nebo padají velmi pomalu,
je třeba vyloučit z důvodů výše uvedených.
V elementárním uspořádání lze k měření dob průchodu kapiček použít stopky, jednotlivé časy
ručně zaznamenávat a použít při ručním zpracování podle výše uvedených vzorců. V současné
době se k měření dob průletu kapiček používá počítač, který naměřené hodnoty automaticky
registruje a speciálním měřícím programem značně usnadňuje zpracování výsledků, včetně
korekce na vliv Brownova pohybu. Dovoluje rovněž několikrát po sobě opakovat měření dob
průchodu jedné kapičky a tak měření zpřesnit.
b) Vyhodnocování výsledků při ručním zpracování
Z naměřených hodnot rychlostí lze vypočítat náboje jednotlivých kapiček podle vztahů (6),
(7), respektive (8), (9), jestliže známe všechny další veličiny s dostatečnou přesností. Tento
předpoklad je oprávněný u všech veličin s výjimkou viskosity vzduchu η, jejíž přesné určení
je poněkud obtížnější. Pro účely měření v praktiku můžeme vycházet z hodnoty η = 1,82⋅10-5
N⋅s/m2
při teplotě 23° C; při zvýšení teploty o jeden stupeň vzroste viskosita asi o 0,2%.
K určení hodnoty elementárního náboje je výhodné vynést do grafu náboje jednotlivých kapiček,
vypočítané podle (7) respektive (9), v závislosti na jejich poloměru
q = 4e
q = 3e
q = 2e
q = e
r
q
Obr. 3: Určení počtu elementárních nábojů kapičky
5
r určeném vztahem (6), resp. (8). Jednotlivé body v grafu se totiž rozpadnou do několika skupin
podle velikostí náboje, jak znázorňuje obr. 2. Tím je možno pro každou kapku určit, jaký
počet elementárních nábojů kapka nese. Vydělíme-li pak vypočítaný náboj q tímto počtem,
dostaneme z měření na každé kapičce hodnotu elementárního náboje e.
Hodnota elementárního náboje získaná právě popsaným způsobem bývá poněkud větší než
hodnota tabulková. Odchylka přitom roste s klesajícím poloměrem kapky a u kapiček s malými
poloměry může dosahovat i několika desítek procent. Příčinou této systematické chyby je
skutečnost, že pro kapičky, jejichž poloměr je stejného řádu jako střední volná dráha molekul
vzduchu λ nebo menší, neplatí již přesně Stokesův zákon ve tvaru (2). Namísto toho je třeba
použít vztah
6π
= ,
1 ( / )
r
F
A r
η
λ+
v
(10)
v němž A je empiricky zjištěná konstanta. Jelikož střední volná dráha je nepřímo úměrná tlaku
vzduchu p, je možno zavést novou konstantu B a korekci psát ve tvaru (1+B/(r⋅p)). Tuto korekci
můžeme chápat tak, jakoby pro malé kapičky viskosita vzduchu závisela na jejich poloměru
podle vztahu
1
= 1 .
B
r p
η η
−
 
′ + 
⋅ 
Vezmeme-li tuto skutečnost v úvahu, dostáváme pro korigované hodnoty elementárního náboje
ek vzorec
s
k 3 2
,
1
e
e
B
rp
=
 
+ 
 
(11)
v němž es jsou hodnoty elementárního náboje vypočítané podle vzorce (8), respektive (9) s
uvážením počtu elementárních nábojů stanoveného z obrázku 2. Poslední vztah můžeme
upravit také na tvar
2/3 2 / 3
= 1s k
B
e e
rp
 
+ 
 
(12)
Podle toho vzorce můžeme korekci provést jednoduše a názorně, i když ne zcela přesně, provést
tak, že hodnoty es
2/3
vyneseme do grafu v závislosti na veličině 1/(pr). Situace je kvalitativně
znázorněna na obr. 3.
1/(pr)
ek
2/3
es
2/3
Obr. 3: Korekce na vliv Brownova pohybu
6
Závislost je lineární a proložíme-li experimentálními body přímku, získáme z jejího průsečíku
se svislou osou korigovanou hodnotu elementárního náboje ek a z její směrnice můžeme určit
konstantu B a také A a porovnat ji s hodnotou A = 0,863 plynoucí z měření Millikanových. Pro
střední volnou dráhu molekul ve vzduchu přitom bereme hodnotu 95,3 nm při tlaku 100 kPa.
c) Vyhodnocování výsledků pomocí počítače
Jak bylo již uvedeno výše, je možné pro usnadnění měření a zpracování výsledků k měřícímu
přístroji Millikanova typu připojit počítač. Počítač jednak nahrazuje stopky, jednak automatizuje
v podstatě celou proceduru vyhodnocování měření, popsanou v předchozím odstavci,
včetně korekce na vliv Brownova pohybu. Naměřená a zpracovaná data a grafy je možné buď
vytisknout, nebo uložit na určeném datovém disku počítačové sítě fakulty. Práce s programem
je popsána v Dodatku 1, který je k disposici u úlohy.
4. Parametry aparatury a pokyny pro měření
Opakujeme, že pro úspěch je důležitý výběr kapek k měření. Proto zdůrazňujeme znovu tyto
zásady:
• K měření je třeba vybírat kapky, které bez elektrického pole, třeba ne příliš rychle, ale alespoň
pozorovatelně padají (mikroskop převrací obraz, takže pád kapek odpovídá v mikroskopu
pohybu směrem nahoru). Nedejte se zavést mylnou představou, že kapky, které bez pole nepadají,
by bylo možno změřit při stoupání či klesání v poli. Tak totiž dostanete prakticky
stejné rychlosti a pokud nebudou počítačem přímo vyřazeny, výsledná hodnota bude nepřesná
a pro vyhodnocení nepoužitelná.
• Snažte se získat pokud možno široké spektrum poloměrů kapiček. Proto je třeba ihned po
vstříknutí nové „dávky“ kapek nejdříve „chytit“ zvláště těžké kapky, které bez pole rychle
padají. Později, když tyto rychle se pohybující kapky již opustí zorné pole mikroskopu, lze
proměřit i kapky pomaleji padající.
• Měřené kapky pochopitelně musí reagovat na přepínání pole. Na druhé straně však nesmí
reagovat velmi silně; kapky silně reagující na pole totiž nesou velký náboj a mnohanásobek
elementárního náboje je obtížné rozdělit do skupin a určit o kolikanásobek elementárního náboje
se jedná. Počítač proto velké náboje nezobrazuje a nebere v úvahu.
• Abychom mohli získat praktické zkušenosti pro posouzení, zda je náboj kapky příliš velký,
je žádoucí při hledání kapek nastavit nejprve maximální hodnotu napětí. To je dobré také proto,
abychom poznali, zda kapku vůbec lze měřit. (Kapku, kterou ani nejsilnějším polem nelze„vytáhnout
nahoru“ a která stále padá jedním směrem, totiž měřit nelze.) Po vybrání vhodné
kapky lze napětí snížit tak, aby se kapka nepohybovala příliš rychle a případně aby se
rychlosti stoupání a pádu v poli (pokud se měří doby t1, t2) dostatečně lišily. Znovu připomínáme,
že jestliže je třeba napětí značně snížit, má kapka patrně veliký náboj a tím pro měření
není vhodná.
• Měření proveďte nejméně na dvaceti kapičkách.
• Pro ionizaci je použito záření α nuklidu 241
Am s poločasem rozpadu 458 roků.
Posluchačům není dovoleno manipulovat se zářičem!
Hodnoty některých používaných veličin
• Hustota parafinového oleje: ρ = 824 kg/m3
.
• Viskozita vzduchu při 23 °C: = 1,82⋅10-5
N⋅s/m2
.
• Vzdálenost desek kondensátoru: d = 2,50 mm.
7
• Dráha kapičky mezi ryskami v zorném poli mikroskopu s = 0,6 mm.
Literatura :
[1] E.C. Cohen, B. H. Taylor: Physics Today (1991)
[2]. J. Brož, V. Roskovec: Základní fyzikální konstanty, SPN, Praha 1987
[3]. J. Brož a kol.: Základy fyzikálních měření (I), SPN, Praha 1983