Cvičení z matematické analýzy 3 Nekonečné číselné řady, kritéria konvergence
26. 2. 2018
□ [S1 ►   < -E ►   < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       1 /7
Náplň cvičení
Organizace predmetu
Nekonečné číselné řady
■ Základní pojmy (opakovaní z přednášky)
■ Příklady
□      g ► < -E ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       2 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
MA2BP.CAN3 1. cvičeni 26. 2. 2018       3 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
■ aktivní účast
MA2BP.CAN3 1. cvičeni 26. 2. 2018       3 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
■ aktivní účast
■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky)
MA2BP.CAN3
1. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
26. 2. 2018       3 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
■ aktivní účast
■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky)
■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence
MA2BP.CAN3 1. cvičeni 26. 2. 2018       3 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
aktivní účast
■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky)
■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence
úspěšně zvládnuté zápočtové testy
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       3 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
aktivní účast
■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky)
■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence
úspěšně zvládnuté zápočtové testy
■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (26. 3.)
■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (7. 5.)
□     g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       3 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
aktivní účast
■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky)
■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence
úspěšně zvládnuté zápočtové testy
■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (26. 3.)
■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (7. 5.)
■ nutnost získat alespoň 50 % bodů z každé
□     g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       3 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
aktivní účast
■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky)
■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence
úspěšně zvládnuté zápočtové testy
■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (26. 3.)
■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (7. 5.)
■ nutnost získat alespoň 50 % bodů z každé
v první polovině zkouškového období možnost opravy
□     g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       3 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
■ aktivní účast
■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky)
■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence
■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy
■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (26. 3.)
■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (7. 5.)
■ nutnost získat alespoň 50 % bodů z každé
v první polovině zkouškového období možnost opravy
Cvičení navíc nebude kvůli velikonočnímu pondělí (2. 4.), předpokládá se proto, že studenti budou chodit na cvičení připraveni, ať se navzájem zbytečně nezdržujeme a ať nezbývá mnoho látky k samostudiu.
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       3 /7
Podmínky pro udělení zápočtu
■ aktivní účast
■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky)
■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence
■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy
■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (26. 3.)
■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (7. 5.)
■ nutnost získat alespoň 50 % bodů z každé
v první polovině zkouškového období možnost opravy
Cvičení navíc nebude kvůli velikonočnímu pondělí (2. 4.), předpokládá se proto, že studenti budou chodit na cvičení připraveni, ať se navzájem zbytečně nezdržujeme a ať nezbývá mnoho látky k samostudiu.
Pro úspěšné zvládnutí předmětu je domácí propočítávání příkladů nezbytné.
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       3 /7
Nekonečné číselné rady
MA2BP.CAN3 1. cvičení 26. 2. 2018       4 /7
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       5 /7
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
■ Nechť {3n}^=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
MA2BP.CAN3
1. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
26. 2. 2018       5 /7
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
■ Nechť {3n}^=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
■ Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ +    + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i 3n-
MA2BP.CAN3
1. cvičení
□        g ►  < -š ►  < =
26. 2. 2018       5 /7
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
■ Nechť {3n}^=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
■ Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ +    + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i 3n-
■ Jestliže existuje lim^ooSn = s, nazývá se součet řady Y^nLi an\ íada J27=i an konverguje.
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       5 /7
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná řada, posloupnost částečných součtů, součet řady
Nechť {an}(^1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ + a^ + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i 3n-
Jestliže existuje lim^oo sn = s, nazývá se součet řady Y^nLi an\ íada J27=i an konverguje.
V opačném případě (li m n—sn neexistuje, nebo je lim^—^oo sn — ±00) řada an součet nemá; říkáme, že an diverguje.
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018
5 / 7
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
Nechť {an}(^1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ + a^ + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i an-
Jestliže existuje lim^oo sn = s, nazývá se součet řady Y^nLi an\ íada J27=i an konverguje.
V opačném případě (li m n—sn neexistuje, nebo je lim^—^oo sn — ±00) řada an součet nemá; říkáme, že an diverguje.
Věta (Nutná podmínka konvergence): Jestliže řada J2n=ian konverguje, pak lirrin^ooan = 0.
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       5 /7
Příklady
Určete součet řady
MA2BP.CAN3 1. cvičeni 26. 2. 2018       6 /7
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
□      g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       6 /7
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
2 L3
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       6 /7
Příklady
Určete součet řady
l
1 -
1 -
I i i _ i .
2^4      8 T ' ' '
V3 + 3      3V3 +
2 L3J
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       6 /7
Příklady
Určete součet řady
l
1 -
1 -
I i i _ i .
2^4      8 T ' ' '
V3 + 3      3V3 +
2 L3
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       6 /7
Příklady
Určete součet rady			
U      ±      2      4 8		■2_ .3.	
B     1     1 + 1      1 +	"3-VŠ" 2		
„      V^oo 3n+2n 151      l^n=l 6"			
MA2BP.CAN3 1. cvičeni 26. 2. 2018       6 /7
Příklady
Určete součet rady			
U      ±      2      4 8		■2_ .3.	
B     1     1 + 1      1 +	"3-VŠ" 2		
„      V^oo 3n+2n 151      l^n=l 6"		3-.2.	
MA2BP.CAN3 1. cvičeni 26. 2. 2018       6 /7
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
1 _ JL i I
1        y/3 ^ 3
3\/3
+
2 L3
3 L2
Vyjádřete ve tvaru zlomku
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       6 /7
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
1 _ JL i I
1        y/3 ^ 3
3\/3
+
v^oo 3n+2n
2 L3
3 L2
Vyjádřete ve tvaru zlomku
-0,12
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       6 /7
Určete součet rady
1     2^4      8   '  • • •
VI + 3     3VI +
v^oo 3"+2" 2^n=l 6"
Vyjádřete ve tvaru zlomku
-0,12
I
"2 .3
3-VŠ
"3 .2
33 J
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       6 /7
Určete součet řady
1     2^4      8   '  • • •
VI + 3     3VI +
v^oo 3"+2" 2^n=l 6"
Vyjádřete ve tvaru zlomku
-0,12
0,078
I
"2 .3
3-VŠ
"3 .2
33 J
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       6 /7
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
1 _ JL i I
1        y/3 ^ 3
3\/3
+
v^oo 3n+2n
I
2 L3
3-VŠ
3 L2
Vyjádřete ve tvaru zlomku
-0,12
33 J
0,078
71 900 J
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       6 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
Eoo n n=l 2n
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
D      zCn=l 2n iSn 2Sn)
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
[2]
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady			
n    v00 —		2S")	[2]
	(s„ -	log 2s„)	
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady				
n    v00 —	{Sn ~	2Sn)	[2]	
		- log 2s„)	1 L(i-/ogr2)2j	
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
(s„ - log 2sn)
[2]
(l-log2)2
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
Eoo n n=l 2"
E^i«0og2)»-1
Eoo r?(sina)n_1 n=l ~
3"
(S/7 2^n)
(s„ - log 2s„)
(S" S33s")
[2]
(l-/og2)2
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2"
E^i«0og2)»-1
Eoo r?(sina)n_1 n=l ~
3"
(S/7 2^n)
(s„ - log 2s„)
(S" S33s")
[2]
(l-/og2)2 3
(3—sina)2
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
{Sn ~	2S")
{Sn ~	log 2s„)
{Sn ~	sin a c \ 3 bn)
[2]
(l-log2)2 3
(3—sina)2
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
(s„ - log 2sn)
[2]
(l-/o^2)2 3
(3—si na)2
n(n+l)       n n+1
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
□		n 2"
		"(log 2)
		r?(sin a)n~ 3"
□	2^n=l	1 n(n+l)
n-1
(s„ - log 2s„)
[2]
(l-/o^2)2 3
(3—s/na)2
[i]
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
Eoo 1 n=l n(n+3)
(s„ - log2s„)
n(n+l)       n n+1
[2]
(l-/oř2)2 3
(3—sina)2
[1]
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet řady
Eoo n
n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1
n=l n(n+l)
Eoo 1
n=l n(n+3)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
1 n
n+1
[2]
(l-/o^2)2 3
(3—s/na)2
[i]
n(n+3)       3n 3(n+3)
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
Eoo n
n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1
n=l n(n+l)
Eoo 1
n=l n(n+3)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
1 n
n+1
[2]
(l-/o^2)2 3
(3—s/na)2
[i]
n(n+3)       3n 3(n+3)
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
Eoo 1 n=l n(n+3)
Eoo 1 n=l (n+l)(n+4)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
1 n
n+1
n(n+3)       3n 3(n+3)
[2]
(l-log2)2 3
(3—sina)2
[i]
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
Eoo 1 n=l n(n+3)
Eoo 1 n=l (n+l)(n+4)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
1 n
n+1
n(n+3)       3n 3(n+3)
[2]
(l-/dff2)2 3
(3—sina)2
[i]
(n+l)(n+4) - 3(n+l) 3(n+4)
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet rady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
Eoo 1 n=l n(n+3)
Eoo 1 n=l (n+l)(n+4)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
n(n+3) 1
1 n
n+1
3n
3(n+3) 1
[2]
(1-/Qff2)2
3
(3—sina)2
[i]
(n+l)(n+4) - 3(n+l) 3(n+4)
	"13"
	.36.
MA2BP.CAN3
1. cvičení
26. 2. 2018       7 /7