Cvičení z matematické analýzy 3 2. vnitrosemestrální písemka, lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty 14. 5. 2018 MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 1/10 Náplň 10. cvičení □ 2. vnitrosemestrální písemka H Opakovaní z minulé hodiny ■ Řešení metodou neznámých koeficientů B Další typy pravé strany ■ exponenciální funkce (případně exponenciální funkce a polynom) ■ goniometrické funkce Literatura ■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, 1998. ■ Kuběn, J.; Obyčejné diferenciální rovnice. UP Olomouc, 1995. MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 2 / 10 2. vnitrosemestrální písemka, skupina A Řešte diferenciální rovnici H y2 • y' = cos x, y(f) H xy' = y - 3x = 2 [y = v/3sinx + 5 [y = -3x- In |Cx|, x 7^ 0, C / 0] y" - 6y' + 9y = 2x2 - x + 3 [y = Q e3x +C2xe3x +§x2 + ^x + §j y -y = e □ g ► < -E ► < = MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 3 / 10 2. vnitrosemestrální písemka, skupina B Řešte diferenciální rovnici H y2-y' = l-2x, y(2) = 3 El xy' = y + 2x B y' + 2y = 4x □ y" - 3/ + 2y = x2 y= ^/3(-x2 + x+ll) [y = 2x- In |Cx|, x ^ 0, C / 0] y = e2x • (2x - 1) + C y = Ci ex +C2 e2x +|x2 + |x + Jj MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 4 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů MA2BP.CAN3 10. cvičeni 14. 5. 2018 5 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru polynomu Rovnice s pravou stranou ve tvaru polynomu: ay" + by1 + cy = Pn(x), kde Pn{x) je polynom stupně n ■v najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C2y2 PŘNLDR hledáme ve tvaru ■ Yp — OnM. jestliže 0 není kořen charakteristické rovnice ■ Yp — xkQn(x)> j^-li 0 k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Q(x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty vypočítáme y'p a y^, dosadíme yp,yfp a y p do původní rovnice a upravíme pokud jsme počítali správně, vyjde rovnice s polynomy na obou stranách - odtud dopočítáme koeficienty polynomu Qn{x) OŘNLDR má tvar y = dyľ + C2y2 + (xk)Qn(x) MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 5 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x) MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 6 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru eqx - Pni*) ■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 6 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru eqx - Pni*) ■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n □ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 6 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x) ■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n □ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi B PŘNLDR hledáme ve tvaru ■ Yp — eQX Qn(x)> jestliže q není kořen charakteristické rovnice ■ Yp — xk eqx Qn(x), je-li q k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Qn{x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 6 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x) ■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n □ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi B PŘNLDR hledáme ve tvaru ■ Yp — eQX Qn(x)> jestliže q není kořen charakteristické rovnice ■ Yp — xk eqx Qn(x), je-li q k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Qn{x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty B vypočítáme y'p a y^, dosadíme yp,yfp a y p do původní rovnice a upravíme MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 6 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x) ■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n □ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi B PŘNLDR hledáme ve tvaru ■ Yp — eQX Qn(x)> jestliže q není kořen charakteristické rovnice ■ Yp — xk eqx Qn(x), je-li q k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Qn{x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty B vypočítáme y'p a y'p, dosadíme yp,y'p a y'p do původní rovnice a upravíme □ pokud jsme počítali správně, vyjde po úpravě a vykráčení výrazem eqx rovnice s polynomy na obou stranách, odkud dopočítáme neznáme koeficienty polynomu Qn{x) MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 6 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x) ■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn{x) je polynom stupně n □ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi B PŘNLDR hledáme ve tvaru ■ Yp — eQX Qn(x)> jestliže q není kořen charakteristické rovnice ■ Yp — xk eqx Qn(x), je-li q k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Qn{x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty B vypočítáme y'p a y^, dosadíme yp,yfp a y p do původní rovnice a upravíme □ pokud jsme počítali správně, vyjde po úpravě a vykráčení výrazem eqx rovnice s polynomy na obou stranách, odkud dopočítáme neznáme koeficienty polynomu Qn{x) m OŘNLDR má tvar y = Cľyľ + C2y2 + (xk) eqx Qn(x) MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 6 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: MA2BP.CAN3 10. cvičeni 14. 5. 2018 7 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: _ ^2x y"-2y'+y = e □ g ► < -E ► < = MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 7 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: _ ^2x y" - 2yř+y = e y = Ci ex +Ĺ2xex + e 2x MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 7 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: _ ^2x y"-2y'+y = e y = Q ex + C2X ex + e 2x y" + y' - 2y = 3x ex MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 7 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: _ ^2x y"-2y'+y = e y" + y'-2y = 3xe y = Q ex + C2X ex + e 2x y = Ci e"2x +C2 ex + (|x2 - ±x) ex" MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 7 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru mcospx + nsin px, m, n, p kx + B sin kx), jsou-li ±ki kořeny charakteristické rovnice □ g ► < -e ► < = MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 8 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru m cos px + n sin px, m, n, p G Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = m cos kx + n sin kx ■v najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledáme ve tvaru ■ Y p — ^cos kx + B sin kx, jestliže ±ki nejsou kořeny char. rovnice ■ Y p — x{Acos> kx + B sin kx), jsou-li ±ki kořeny charakteristické rovnice vypočítáme y'p a y'p, dosadíme yp,y'p a y'p do původní rovnice a upravíme □ g ► < -e ► < = MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 8 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru m cos px + n sin px, m, n, p G Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = m cos kx + n sin kx ■v najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledáme ve tvaru ■ Y p — ^cos kx + B sin kx, jestliže ±ki nejsou kořeny char. rovnice ■ Yp — x(Acos kx + B sin kx), jsou-li ±ki kořeny charakteristické rovnice vypočítáme y'p a yp, dosadíme yp,yfp a yp do původní rovnice a upravíme porovnáním obou stran rovnice dopočítáme koeficienty A, B □ g ► < -e ► < = MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 8 / 10 Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů Pravá strana ve tvaru m cos px + n sin px, m, n, p G Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = m cos kx + n sin kx ■v najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledáme ve tvaru ■ Y p — Acos kx + B sin kx, jestliže ±ki nejsou kořeny char. rovnice ■ Yp — *(/4cos kx + B sin kx), jsou-li ±ki kořeny charakteristické rovnice vypočítáme y'p a y'p, dosadíme yp,y'p a y'p do původní rovnice a upravíme porovnáním obou stran rovnice dopočítáme koeficienty A, B OŘNLDR má tvar y = dyi + C2y2 + (x)(Acoskx + B sin kx) MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 8 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: MA2BP.CAN3 10. cvičeni 14. 5. 2018 9 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: y" -Ay = 3sin2x □ g ► < -E ► < = MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 9 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: y" -Ay = 3sin2x y=Cie 2x +C2xe2x — | sin 2x 8 MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 9 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: y"-4y = 3sin2x y" _ 2yř + 10y = 37 cos3x y=Cie 2x +C2xe2x — | sin 2x 8 MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 9 / 10 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: y"-4y = 3sin2x y=Cie 2x +C2xe2x — | sin 2x 8 y" _ 2y; + 10y = 37 cos3x [y = Ci ex cos 3x + C2 ex sin 3x + cos 3x — 6 sin 3x] MA2BP.CAN3 10. cvičení 14. 5. 2018 9 / 10 To je vše přátelé! MA2BP.CAN3 10. cvičeni 14. 5. 2018 10 / 10