Cvičení z matematické analýzy 3 Kritéria konvergence
5. 3. 2018
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018 1/8
Náplň cvičení
□ Kritéria konvergence řad s kladnými členy
■ Základní pojmy
■ Příklady
Literatura
■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Nekonečné rady. MU Brno, 1994.
■ Došlá, Z., Novák, V.; Nekonečné rady. MU Brno, 2013.
MA2BP.CAN3 2. cvičení 5. 3. 2018       2 /8
Kritéria konvergence řad s kladnými členy
MA2BP.CAN3 2. cvičeni 5. 3. 2018       3 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence
MA2BP.CAN3 2. cvičení 5. 3. 2018       4 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence
Nutná podmínka konvergence: Jestliže řada J2^Li an konverguje, pak platí lim^oo an = 0.
Věta má tvar implikace, znamená to tedy, že
■ je-li lim^oo an ^ 0, pak řada J27=i an diverguje;
■ vlastnost lim^oo an = 0 obecně není dostatečná pro to, aby řada Yl^Li an konvergovala.
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       4 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence
Nutná podmínka konvergence: Jestliže řada J2^Li an konverguje, pak platí lim^oo an = 0.
Věta má tvar implikace, znamená to tedy, že
■ je-li lim^oo an ^ 0, pak řada J27=i an diverguje;
■ vlastnost lim^oo an = 0 obecně není dostatečná pro to, aby řada Yl^Li an konvergovala.
Srovnávací: nechť an < bn platí pro Vr? £ N, pak
■ Je_l' Z^A7=i an divergentní, je i 2_-,n=1 "n divergentní;
■ Je_l' J2^Li bn konvergentní, je i Yl^Li an konvergentní.
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       4 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence
Nutná podmínka konvergence: Jestliže řada J2^Li an konverguje, pak platí lim^oo an = 0.
Věta má tvar implikace, znamená to tedy, že
■ je-li lim^oo an ^ 0, pak řada J27=i an diverguje;
■ vlastnost lim^oo an = 0 obecně není dostatečná pro to, aby řada Yl^Li an konvergovala.
Srovnávací: nechť an < bn platí pro Vr? £ N, pak
■ Je_l' Z^A7=i an divergentní, je i 2_-,n=1 "n divergentní;
■ Je_l' J2^Li bn konvergentní, je i Yl^Li an konvergentní.
Podílové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o
än+l
3n 3n+l
3n
< 1, pak Yl^Li an Je konvergentní; > 1, pak Yl^Li an Je divergentní.
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       4 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence - pokračovaní
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       5 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence - pokračovaní
■ Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo       = q, pak
■ Yl^Li an Je konvergentní pro 0 < q < 1;
■ Yľ^Ĺi an Je divergentní pro q > 1;
■ je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout.
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       5 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence - pokračovaní
■ Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo       = q, pak
■ Yl^Li an Je konvergentní pro 0 < q < 1;
■ Yľ^Ĺi an Je divergentní pro q > 1;
■ je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout.
■ Odmocninové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o
■ ^fdTn < 1, pak Yl^Li 3n Je konvergentní;
■ <fan > 1. pak Yl^Li an Je divergentní.
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       5 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence - pokračovaní
■ Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo       = q, pak
■ Yľ^Ĺi an Je konvergentní pro 0 < q < 1;
■ J2^Li an je divergentní pro q > 1;
■ je-li q = 1, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout.
■ Odmocninové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o
■ <yä^ < 1, pak Yl^Li 3n Je konvergentní;
■ > 1, pak an je divergentní.
■ Limitní odmocninové: jestliže existuje lim^oo tfä~n — q, pak
■ J2^Li an je konvergentní pro 0 < q < 1;
■ a" Je divergentní pro q > 1;
■ je-li q = 1, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout.
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       5 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence - dokončení
□      g ► < -E ► < =
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       6 /8
Základní pojmy
Kritéria konvergence - dokončení
Integrálni kritérium: Necht pro řadu J2^Lian s kladnými členy existuje spojitá funkce f (x), pro kterou platí:
■ f (x) je nerostoucí na intervalu (K, oo) pro nějaké /(El;
■ od jistého a?o G N platí pro V a? <G N, n > no: f (n) = an
Existuje-li vlastní limita limt^oo f k f(x)dx, řada J2^Li an konverguje Je-li limt^oQ JlK f(x)dx = oo, řada J2T=i a" diverguje.
□      g ► < -E ► < =
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       6 /8
Rozhodněte o konvergenci rady
-'
MA2BP.CAN3 2. cvičeni 5. 3. 2018       7 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
n=l s/a
[dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)]
EOO 1 n=l nn
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
n=l s/a
Eoo 1 n=l nn
[dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)]
[konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
EOO 1 n=l nn
Eoo 1 n=l In n
[dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)]
[konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^r)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Rozhodněte o konvergenci řady
Eoo JL_ n=l s/a
Eoo 1 n=l nn
Eoo 1 n=l In n
[dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)]
[konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^r)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Rozhodněte o konvergenci rady
Eoo _1_ n=l x/7,
[dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)]
EOC 1 n=l nn
[konverguje (Podi
e srov. krit. s řado
EOO 1 n=l In n
Eoo 1 n=l (n+l)3"
[dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)]
□ S
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Rozhodněte o konvergenci řady
Eoo JL_ n=l s/a
Eoo 1 n=l nn
sr^oc 1
Z-^n=l In n
Eoo 1 n=l (n+l)3n
[dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)]
[konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 ^r)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Rozhodněte o konvergenci řady
Eoo JL_ n=l s/a
Eoo 1 n=l nn
sr^oc 1
Z-^n=l In n
Eoo 1 n=l (n+l)3n
Eoo n n=l 7P
[dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)]
[konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 ^r)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Rozhodněte o konvergenci řady
Eoo 1 n=l nn
v^oo 1
Z-^n=l In n
Eoo 1 n=l (n+l)3n
Eoo n n=l 7P
[dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)
[konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^r) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 ^r)
[konverguje (podle podílového krit.)
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
EOO _i_ n=l s/a
Eoo 1 n=l nn
v^oc 1
Z-^n=l In n
Eoo 1 n=l (n+l)3n
Eoo r?
v^oo 32n+1
[dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)
[konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou £ ^)
[konverguje (podle podílového krit.)
□ S1
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
EOO _i_ A7=l
EOO 1 n=l nn
sr^oo l
Z-^n=l In n
Eoo 1 n=l (n+l)3n
Eoo n n=l 7P
v^oo 32n+1
[dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)
[konverguje (podlesrov. krit. s řadou ±r) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 57f)
[konverguje (podle podílového krit.) [diverguje (podle podílového krit.)
□ S1
=       =    •0 0,0
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       7 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       8 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
(
n
n
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       8 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
(
n
n
[konverguje (Podie odm. krit.)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       8 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
Eoo     / n n=l \2n+l
Eoo _7P_ n=l
n
[konverguje (Podie odm. krit.)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       8 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
Eoo (_n_ \ n n=l \2n+l
Eoo _7P_ n=l
[konverguje (Podie odm. krit.)]
[konverguje (Podie odm. krit.)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       8 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
Eoo ( _n_ \ n n=l \2n+l
Eoo _7P_ n=l
oo
Sn=l n In n
[konverguje (Podie odm. krit.)]
[konverguje (Podie odm. krit.)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       8 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
Eoo (_n_ \ n n=l \2n+l
Eoo _7P_ n=l
oo
Sn=l n In n
[konverguje (Podie odm. krit.)]
[konverguje (Podie odm. krit.)]
[diverguje (Podi
e srovn. resp. integr
. krit.)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       8 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
Eoo ( _n_ \ n n=l \2n+l
Eoo n=l
2n
OO
Sn=l n In n
oo n
Sn=3 n4-9
[konverguje (Podie odm. krit.)]
[konverguje (Podie odm. krit.)]
[diverguje (Podi
e srovn. resP. integr
. krit.)]
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       8 /8
Příklady
Rozhodněte o konvergenci řady
n
n
Eoo n=l
2n
OO
Sn=l n In n
oo n
Sn=3 n4-9
[konverguje (Podie odm. krit.)]
[konverguje (Podie odm. krit.)]
[dlVergUje (Podlesrovn. resP. integr. krit.)]
[konverguje (oodle srovn. krit.)
MA2BP.CAN3
2. cvičení
5. 3. 2018       8 /8