Cvičení z matematické analýzy 3 Obor konvergence funkčních řad
19. 3. 2018
□        g ►  < -E ►  < =
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018 1/7
Náplň cvičení
Obor konvergence funkčních řad
■ Základní pojmy
■ Zjišťování oboru konvergence
■ Příklady
Literatura
Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Nekonečné rady. MU Brno, 1994.
Došlá, Z., Novák, V.; Nekonečné rady. MU Brno, 2013.
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       2 /7
Obor konvergence funkčních rad
MA2BP.CAN3 4. cvičeni 19. 3. 2018       3 /7
Základní pojmy
MA2BP.CAN3 4. cvičení 19. 3. 2018       4 /7
Základní pojmy
Bodová konvergence posloupnosti funkcí
Necht {fn(x)}^Li je posloupnost funkcí na intervalu / a c G / je libovolné. Je-li číselná posloupnost {fn(c)}(^=1 konvergentní, říkáme, že posloupnost {fn(x)}<^1 je konvergentní v bodě c.
Řekneme, Ze posloupnost funkcí bodově konverguje k funkci f (x)
na intervalu /, jestliže konverguje v každém bodě x G /, tj. ke každému x G / a každému e > 0 existuje r?o G N tak, že pro všechna n G N, n > r?,platí \ fn(x)    f(x)\ < e- Píšeme lim fn(x) = f (x) pro x G / nebo fn —>> ŕ na /.
Největší množinu, na níž posloupnost funkcí bodově konverguje, nazýváme obor konvergence posloupnosti funkcí {fn(x)}.
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       4 /7
Základní pojmy
Bodová konvergence řad funkcí
Nechť {fn(x)}^Li je posloupnost funkcí definovaných na intervalu / Symbol J2^Li ^»(x) nebo f\(x) + £(x) + /^(x) + ... nazýváme nekonečná řada funkcí.
Posloupnost {sn(x)}£Li, kde s„(x) = f\{x) + £(x) H-----h fn(x),
nazýváme posloupností částečných součtů řady J2^Li fn(*)-
Jestliže posloupnost částečných součtů {sA?(x)}^1 konverguje pro všechna x £ /, řekneme, že řada ^(x) bodově konverguje na
intervalu / a funkci s(x) = limsn(x) nazýváme součtem řady
Největší množinu, na níž řada funkcí bodově konverguje, nazýváme obor konvergence řady funkcí fn(x)-
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       5 /7
Zjišťování oboru konvergence řady funkcí
Postup při zjišťování oboru konvergence
proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       6 /7
Zjišťování oboru konvergence řady funkcí
Postup při zjišťování oboru konvergence
proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami)
□ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která xGl řada konverguje:
I
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       6 /7
Zjišťování oboru konvergence řady funkcí
Postup při zjišťování oboru konvergence
proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami)
□ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje:
vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x)
I
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       6 /7
Zjišťování oboru konvergence řady funkcí
Postup při zjišťování oboru konvergence
proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami)
□ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje:
vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) vyřešíme nerovnici /_(x) < 1
I
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       6 /7
Zjišťování oboru konvergence řady funkcí
Postup při zjišťování oboru konvergence
proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami)
□ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje:
O vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) B vyřešíme nerovnici /_(x) < 1
vyšetříme chování v krajních bodech případného intervalu konvergence (tj. dosadíme ta x, pro něž je L(x) = ±1)
I
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       6 /7
Zjišťování oboru konvergence řady funkcí
Postup při zjišťování oboru konvergence
proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami)
□ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje:
O vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) B vyřešíme nerovnici /_(x) < 1
El vyšetříme chování v krajních bodech případného intervalu konvergence (tj. dosadíme ta x, pro něž je L(x) = ±1)
Poznámka: Vzpomenete si na Taylorovy polynomy (mat. analýza 1)? Mnohé o oboru konvergence řady funkcí naznačí tyto animace: http://cgi.math.muni.cz/kriz/cz/
I
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       6 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
MA2BP.CAN3 4. cvičeni 19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
D Eľ=i "2x"
MA2BP.CAN3 4. cvičeni 19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
D Eľ=i "2x"
[obor konvergence: (—1,1)]
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
2xn
[obor konvergence: (—1,1)]
Eoo n=l
tn — lxn — l
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
Eoo n=l
2xn
tn — lxn — l
[obor konvergence: (—1,1)]
obor konvergence: / — ^
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
2xn
Eoo n=l
2n~1xn-1
Eoo (nx)n n=l n\
[obor konvergence: (—1,1)]
obor konvergence: / — ^
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
2xn
Eoo n=l
2n~1xn-1
Eoo (nx)n n=l n\
[obor konvergence: (—1,1)]
obor konvergence: / — ^
obor konvergence: ( — ^, |)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
Eoo n=l
2xn
tn — lxn — l
Eoo (nx)n n=l n\
U l^n=l n \x+4J
[obor konvergence: (—1,1)]
obor konvergence: / — ^
obor konvergence: ( —^, |)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
2„ n
Eoo n=l n X
2
Eoo n=l
n—l^n—l
oo		(fix)
n=	1	n\
oo		l(
n=	1	n
[obor konvergence: (—1,1)]
obor konvergence: ( — ^
obor konvergence: ( — ^, |) obor konvergence: ( —1,4)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
oo „2X„
£ľ=l"
Eoo n=l
2n~1xn-1
oo		(fix)
n=	1	n\
oo		l(
n=	1	n
[obor konvergence: (—1,1)]
obor konvergence: ( — ^
obor konvergence: ( — ^, |) obor konvergence: ( —1,4)
Eoo
3nxn
V(3^-2)2"
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       7 /7
Příklady
Určete obor konvergence řady
oo „2X„
£ľ=l"
Eoo n=l
2n~1xn-1
Eoo (nx)n n=l n\
Z^n=l n \x+4J
Eoo n=l
3nxn
V(3"-2)2"
[obor konvergence: (—1,1)]
obor konvergence: / — ^
obor konvergence: ( — ^, |) obor konvergence: ( —1,4)
obor konvergence: ^ —
MA2BP.CAN3
4. cvičení
19. 3. 2018       7 /7