Cvičení z matematické analýzy 3 Diferenciální rovnice - úvod
9. 4. 2018
MA2BP.CAN3	6. cvičení	9. 4. 2018 ]	L/6
Náplň cvičení
□ Diferenciální rovnice
■ Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu
■ Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
■ Příklady
Literatura
■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy 3 - Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, 1998.
■ Ráb, M.; Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MU Brno, 1998.
MA2BP.CAN3 6. cvičeni 9. 4. 2018       2 /6
Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu
Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       3 /6
Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu
Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled.
■ Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x,y,y') — 0, kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C K3.
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       3 /6
Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu
Teorii je treba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled. j
■ Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x,y,yf) = 0, kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C K3.
■ Řešením rovnice /~(x,y,j/) — 0 je funkce y = h(x), pro niž platí
. [x,h{x),h'{x)]eG
m F(x,/i(x),/i'(x)) = 0
□     g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       3 /6
Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu
Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled.
■ Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x,y,yf) = 0, kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C K3.
■ Řešením rovnice /~(x,y,j/) — 0 je funkce y = h(x), pro niž platí
. [x,h{x),h'{x)]eG
m F(x,/i(x),/i'(x)) = 0
■ Vyřešit diferenciální rovnici znamená najít množinu všech řešení - tzv. obecné řešení, které závisí na konstantě C jako na parametru.
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       3 /6
Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu
Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled.
■ Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x,y,yf) = 0, kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C K3.
■ Řešením rovnice /~(x,y,j/) — 0 je funkce y = h(x), pro niž platí
. [x,h{x),h'{x)]eG
m F(x,/i(x),/i'(x)) = 0
■ Vyřešit diferenciální rovnici znamená najít množinu všech řešení - tzv. obecné řešení, které závisí na konstantě C jako na parametru.
■ Dosazením konkrétní hodnoty za C získáme tzv. partikulární řešení.
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       3 /6
Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu
Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled.
■ Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x,y,yf) = 0, kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C K3.
■ Řešením rovnice F(x,y,yf) — 0 je funkce y = h(x), pro niž platí
. [x,h{x),h'{x)]eG
m F(x,/i(x),/i'(x)) = 0
■ Vyřešit diferenciální rovnici znamená najít množinu všech řešení - tzv. obecné řešení, které závisí na konstantě C jako na parametru.
■ Dosazením konkrétní hodnoty za C získáme tzv. partikulární řešení.
■ Často chceme, aby platila tzv. počáteční podmínka y (xq) = yo-
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       3 /6
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru y' = P(x) ■ Q(y), případně Q(y) ■ y' = P(x).
□ g ►   < -E ►   < =
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x).
Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto:
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x).
Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto:
■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace)
□     g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x).
Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto:
■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace)
■ řešíme rovnici ^ = P(x) • Q(y)
□     g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x).
Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto:
■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace)
■ řešíme rovnici     = P(x) • Q(y)
upravíme ji do tvaru J       = J P(x)dx
□     g ► ^ -e ► < =
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x).
Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto:
■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace)
■ řešíme rovnici ^ = P(x) • Q(y)
■ upravíme ji do tvaru J       = J P(x)dx
■ vypočítáme příslušné integrály, nezapomeneme na konstantu
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x).
Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto:
■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace)
■ řešíme rovnici ^ = P(x) • Q(y)
■ upravíme ji do tvaru J       = J P(x)dx
■ vypočítáme příslušné integrály, nezapomeneme na konstantu
■ zohledníme případnou počáteční podmínku
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018
Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
■ Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x).
■ Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto:
■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace)
■ řešíme rovnici ^ = P(x) • Q(y)
■ upravíme ji do tvaru J       = J P(x)dx
■ vypočítáme příslušné integrály, nezapomeneme na konstantu
■ zohledníme případnou počáteční podmínku
■ určíme i případná singulární řešení (která při použití předchozího postupu musíme vyloučit)
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
□ S
MA2BP.CAN3 6. cvičeni 9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
O x2 + 1 + yřcosy = 0
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y1 cos y = 0
siny = —\— x + C
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cos y = 0
yy
+
x
2 V/1+x:
= 0
siny =
-^-x+C
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cos y = 0
yy
+
x
vTT^2"
= o
siny =
-t-*+C
a/ITx2" + Ji + y2 = c
MA2BP.CAN3
□        g ►  < -E ►  < =
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y1 cos y = 0
yy
+
x
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
siny =
-t-*+C
MA2BP.CAN3
□        g ►  < -E ►  < =
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y1 cos y = 0
yy
+
x
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
siny =
y
= 1 - C- e
x
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cos y = 0
siny =
yy
+
X
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
a/TTx2" +      + y2 = c
y
= 1 - C- e
x
Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cos y = 0
siny =
yy
+
X
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
a/TTx2" +      + y2 = c
y
= 1 - C- e
x
Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku
Q y-Xy' = a(l+X2/),     y(l) = l
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cos y = 0
siny =
yy
+
X
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
a/TTx2" +      + y2 = c
y
= 1 - C- e
x
Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku
y-xy' = a(l + x2/),   y(l) = 1
y =
_ a+x
ax+1
3^-1
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cosy = 0
siny =
yy
+
X
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
a/TTx2" +      + y2 = c
y
= 1 - C- e
x
Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku
y-xy' = a(l + xV),   y(l) = 1
y' sin x • sin y = cos x • cosy,   y (f) = 0
y =
_ a+x
ax+1
3^-1
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Příklady
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cosy = 0
siny =
yy
+
X
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
a/TTx2 +      + y2 = c
y
= 1 - C- e
x
Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku
y-xy' = a(l + xV),   y(l) = 1
y' sin x • sin y = cos x • cosy,   y (f) = 0
y =
_ a+x
ax+1
v = arccos 0V.
^ 2sinx
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cosy = 0
siny =
yy
+
X
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
a/TTx2 +      + y2 = c
y
= 1 - C- e
x
Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku
y-xy' = a(l + xV),   y(l) = 1
j/sinx • siny = cosx • cosy, y (^) = 0 y'sinx = y lny,   y (f) = 1
ax+1
y = arccos t>
V2 '
sin x
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cos y = 0
siny =
yy
+
X
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
a/TTx2" + ^1 + y2 = C
y
= 1 - C- e
x
Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku
y-xy' = a(l + xV),   y(l) = 1
j/sinx • siny = cosx • cosy, y (^) = 0 y'sinx = y lny,   y (f) = 1
ax+1
y = arccos ^
V2 '
sin x
[y = i]
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cosy = 0
siny =
yy
+
X
2  l i
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
VTTx2 + Jl + y2 = C
y
= 1 - C- e
x
Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku
y-xy' = a(l + xy),   y(l) = 1
j/sinx • siny = cosx • cosy, y (^) = 0 y'sinx = y lny,   y (f) = 1
(l + ex)y/ = ex,   y(0) = 1
ax+1
y = arccos 2
V2 '
sin x
[y = i]
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6
Separací proměnných určete obecné řešení rovnice
x2 + 1 + y' cos y = 0
siny =
yy
+
X
xzy = 1 - y
\/l + x:
= 0
a/TTx2" + ^1 + y2 = C
y
= 1 - C- e
x
Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku
y-xy' = a(l + xV),   y(l) = 1
j/sinx • siny = cosx • cosy, y (^) = 0 y'sinx = y lny,   y (f) = 1
ax+1
y = arccos ^
V2 '
sin x
[y = i]
(l + e*)yy' = e*,   y(0) = 1
y = J2 (ln(l + e*) + ±-ln2)
MA2BP.CAN3
6. cvičení
9. 4. 2018       5 /6