Cvičení z matematické analýzy 3
Homogenní diferenciální rovnice, lineární diferenciální rovnice
16. 4. 2018
□        g ►  < -E ►  < =
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018 1/7
Náplň 7. cvičení
□ Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu
■ Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu
■ Příklady
■ Lineární diferenciální rovnice 1. řádu
■ Příklady
Literatura
■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, 1998.
■ Ráb, M.; Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MU Brno, 1998.
MA2BP.CAN3 7. cvičeni 16. 4. 2018       2 /7
Homogenní diferenciální rovnice 1. rádu
<0
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       3 /7
Homogenní diferenciální rovnice 1. rádu
Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu je diferenciální rovnice, kterou lze zapsat ve tvaru y1 — f (^).
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       3 /7
Homogenní diferenciální rovnice 1. rádu
Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu je diferenciální rovnice, kterou lze zapsat ve tvaru y1 — f (^).
Při řešení takové rovnice
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       3 /7
Homogenní diferenciální rovnice 1. rádu
Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu je diferenciální rovnice, kterou lze zapsat ve tvaru y1 — f (^).
Při řešení takové rovnice ■ využijeme substitucí u -
y
x
MA2BP.CAN3
7. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
<0
16. 4. 2018       3 /7
Homogenní diferenciální rovnice 1. rádu
Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu je diferenciální rovnice, kterou lze zapsat ve tvaru y1 — f (^).
Při řešení takové rovnice
■ využijeme substitucí u = ^,
■ odvodíme u' = -— -4
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       3 /7
Homogenní diferenciální rovnice 1. rádu
Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu je diferenciální rovnice, kterou lze zapsat ve tvaru y1 — f (^).
Při řešení takové rovnice
■ využijeme substitucí u = ^,
■ odvodíme u' = -— -4
■ po úpravě y' = u'x + u
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       3 /7
Homogenní diferenciální rovnice 1. rádu
■ Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu je diferenciální rovnice, kterou lze zapsat ve tvaru y1 — f (^).
■ Při řešení takové rovnice
■ využijeme substitucí u = ^,
■ odvodíme u' = -— -4
■ po úpravě y' = u'x + u
■ tím původní rovnici převedeme na rovnici u'x+ u = f (u)
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       3 /7
Homogenní diferenciální rovnice 1. rádu
■ Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu je diferenciální rovnice, kterou lze zapsat ve tvaru y1 — f (^).
■ Při řešení takové rovnice
■ využijeme substitucí u = ^,
■ odvodíme u' = -— -4
■ po úpravě y' = u'x + u
■ tím původní rovnici převedeme na rovnici u'x+ u = f (u)
■ můžeme separovat proměnné: uf = -(f(u) — u)
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       3 /7
Homogenní diferenciální rovnice 1. rádu
■ Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu je diferenciální rovnice, kterou lze zapsat ve tvaru y1 — f (^).
■ Při řešení takové rovnice
■ využijeme substitucí u = ^,
■ odvodíme u' = -— -4
■ po úpravě y' = u'x + u
■ tím původní rovnici převedeme na rovnici u'x+ u = f (u)
■ můžeme separovat proměnné: uf = ^(f(u) — u)
■ řešení u = h(x) vyjádříme v původních proměnných: y = g(x), případně g(x,y) = 0
MA2BP.CAN3 7. cvičeni 16. 4. 2018       3 /7
Příklady
Řešte diferenciální rovnice
MA2BP.CAN3 7. cvičeni 16. 4. 2018       4 /7
Příklady
Řešte diferenciální rovnice
■ / = £(! + '"£)
MA2BP.CAN3 7. cvičeni 16. 4. 2018       4 /7
Příklady
Řešte diferenciální rovnice
y = x • e
kx
MA2BP.CAN3
□        g ►  < -E ►  < =
7. cvičení
16. 4. 2018       4 /7
Příklady
Řešte diferenciální rovnice
y = x • e
kx
x
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018
4 / 7
Příklady
Řešte diferenciální rovnice
y = x • e
kx
x
sin - — cx = 0
X
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018
4 / 7
Příklady
Řešte diferenciální rovnice
H/ =		r /or y = x • eKX
l/ =		sin - — cx = 0 X
i/ =	4-2 X^	
MA2BP.CAN3 7. cvičeni 16. 4. 2018       4 /7
Příklady
Řešte diferenciální rovnice
y = x • e
/cx"
x
sin ^
X
y =
y-2-i
xz
y =
cx = o
2x+cx4 1 —cx3
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018
4 / 7
Příklady
Řešte diferenciální rovnice
H/ =			r /ŕx-i y = x • eKX
l/ =		sin	^-cx = 0]
i/ =	4-2 X^		_ 2x+cx4 y i-cx3
□ x2y'	= (x + y)y		
MA2BP.CAN3 7. cvičeni 16. 4. 2018       4 /7
Příklady
Řešte diferenciální rovnice
y = x • e
/cx"
x
y =
y-2-i
xz
x2y/ = (x + y)y
sin ^
X
y =
y =
cx = o
2x+cx4 1 —cx3
—x In |x|+c
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018
4 / 7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
□   g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
■ Je-li g(x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
■ Je-li g(x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu
■ LDR můžeme řešit např. metodou variace konstanty:
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
■ Je-li g(x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu
■ LDR můžeme řešit např. metodou variace konstanty:
■ nejprve vyřešíme přidruženou HLDR y' + f(x)y = 0
- DR se separovanými proměnnými a řešením y = C • e~ f f^
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
■ Je-li g(x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu
■ LDR můžeme řešit např. metodou variace konstanty:
■ nejprve vyřešíme přidruženou HLDR y' + f(x)y = 0
- DR se separovanými proměnnými a řešením y = C • e~ $ f^
■ řešení původní LDR hledáme ve tvaru y = C(x) e~ fWdx
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
■ Je-li g(x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu
■ LDR můžeme řešit např. metodou variace konstanty:
■ nejprve vyřešíme přidruženou HLDR y' + f(x)y = 0
- DR se separovanými proměnnými a řešením y = C • e~ f f^
■ řešení původní LDR hledáme ve tvaru y = C(x) e~ fWdx
■ derivací dostáváme y' = C'(x) e" f f{x)óx-C(x)f(x) e" / fWdx
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
■ Je-li g{x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu
■ LDR můžeme řešit např. metodou variace konstanty:
■ nejprve vyřešíme přidruženou HLDR y' + f(x)y = 0
- DR se separovanými proměnnými a řešením y = C • e- ff(x)dx
■ řešení původní LDR hledáme ve tvaru y = C(x) e~ fWdx
■ derivací dostáváme y' = C'(x) e" f ŕ(x)dx-C(x)f(x) e" f ŕ(x)dx
■ po dosazení do původní rovnice za y a y/ dostáváme:
C'(x) e" f f{x)dx -C(x) f(x) e" ^ ŕ(x)dx +f(x) C(x) e" f r(x)dx = g(x)
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
■ Je-li g(x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu
■ LDR můžeme řešit např. metodou variace konstanty:
■ nejprve vyřešíme přidruženou HLDR y' + f(x)y = 0
- DR se separovanými proměnnými a řešením y = C • e- ff(x)dx
■ řešení původní LDR hledáme ve tvaru y = C(x) e~ fWdx
■ derivací dostáváme y' = C'(x) e" f ŕ(x)dx-C(x)f(x) e" f ŕ(x)dx
■ po dosazení do původní rovnice za y a y/ dostáváme:
C'(x) e" f f{x)dx -C(x) f(x) e" f ŕ(x)dx +f(x) C(x) e" f r(x)dx = g(x)
■ po úpravě tak řešíme C(x)e~-ľ f(x)dx = g-(x)
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
LDR 1. řádu má tvar y' + f{x)y — g{x).
Je-li g(x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu LDR můžeme řešit např. metodou variace konstanty:
■ nejprve vyřešíme přidruženou HLDR y' + f(x)y = 0
- DR se separovanými proměnnými a řešením y = C • e- ff(x)dx
■ řešení původní LDR hledáme ve tvaru y = C(x) e~ fWdx
■ derivací dostáváme y' = C'(x) e" f ŕ(x)dx-C(x)f(x) e" f ŕ(x)dx
■ po dosazení do původní rovnice za y a y/ dostáváme:
C'(x) e" f f{x)dx -C(x)f(x) e" ^ ŕ(x)dx +f{x) C(x) e" ^ r(x)dx = g(x)
■ po úpravě tak řešíme C(x)e~-ľ f(x)dx = g-(x)
■ řešením je C(x) = J g{x) ef f(x)dx dx + C
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
■ Je-li g{x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu
■ LDR můžeme řešit např. metodou variace konstanty:
■ nejprve vyřešíme přidruženou HLDR y' + f(x)y = 0
- DR se separovanými proměnnými a řešením y = C • e- ff(x)dx
■ řešení původní LDR hledáme ve tvaru y = C(x) e~ fWdx
■ derivací dostáváme y' = C'(x) e" f ŕ(x)dx-C(x)f(x) e" f ŕ(x)dx
■ po dosazení do původní rovnice za y a y/ dostáváme:
C'(x) e" f f{x)dx -C(x) f(x) e" ^ ŕ(x)dx +f(x) C(x) e" f r(x)dx = g(x)
■ po úpravě tak řešíme C(x)e~-ľ f(x)dx = g-(x)
■ řešením je C(x) = J g{x) ef f(x)dx dx + C
■ toto řešení dosadíme do původní LDR
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu
■ LDR 1. řádu má tvar y' + f(x)y = g(x).
■ Je-li g(x) — 0, hovoříme o homogenní LDR (HLDR) 1. řádu
■ LDR můžeme řešit např. metodou variace konstanty:
■ nejprve vyřešíme přidruženou HLDR y' + f(x)y = 0
- DR se separovanými proměnnými a řešením y = C • e- ff(x)dx
■ řešení původní LDR hledáme ve tvaru y = C(x) e~ fWdx
■ derivací dostáváme y' = C'(x) e" f ŕ(x)dx-C(x)f(x) e" f ŕ(x)dx
■ po dosazení do původní rovnice za y a y/ dostáváme:
C'(x) e" f f{x)dx -C(x) f(x) e" f ŕ(x)dx +f(x) C(x) e" f r(x)dx = g(x)
■ po úpravě tak řešíme C'(x)e~ f fWáx = g(x)
■ řešením je C(x) = J g{x) ef /rWdx dx + C
■ toto řešení dosadíme do původní LDR
■ Jestli jsme to zvládli až sem, odměníme se nějakou dobrotou ;-)
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       5 /7
Určete obecné řešení diferenciální rovnice metodou variace konstanty
MA2BP.CAN3
7. cvičení
4 ^ >■  <      ► 4
16. 4. 2018       6 /7
Určete obecné řešení diferenciální rovnice metodou variace konstanty
D (l+x2)y/-2xy = (l + x2)2
MA2BP.CAN3
7. cvičení
4 ^ >■  <      ► 4
16. 4. 2018       6 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice metodou variace konstanty
(l + x2)/-2xy = (l+x2)2
y = (C + x) (1 + x2);
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       6 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice metodou variace konstanty
(l + x2)/-2xy = (l+x2)2 (1 + x2) y' + 4xy = 3
y = (C + x) (1 + x2);
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       6 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice metodou variace konstanty
(l+x2)y'-2xy = (l+x2)2 (1 + x2) y' + 4xy = 3
y = (C + x) (1+x2);
_ x3+3x+C
y — (1+x2)2
MA2BP.CAN3
7. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
16. 4. 2018       6 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice metodou variace konstanty
(l + x2)y'-2xy = (l+x2)2 (1 + x2) y' + 4xy = 3
y = (C + x) (1 + x2);
.. _ x3+3x+C
y - (1+x2)2
y' +       = i
□      g ► < -E ► < =
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       6 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice metodou variace konstanty
(l + x2)/-2xy = (l+x2)2 (1 + x2) y' + 4xy = 3
y = (C + x) (1 + x2);
.. _ x3+3x+C
y - (1+x2)2
y' + ^y = i
y = Cx2 e>< +x4
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       6 /7
Určete obecné řešení diferenciální rovnice metodou variace konstanty
(l + x2)/-2xy = (l+x2)2 (1 + x2) / + 4xy = 3
y' + ^y = i
□ y' + 2xy = x e
—x'
y = (C + x) (1+x2);
_ x3+3x+C
y — (1+x2)2
y — Cxz e>< +x'
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       6 /7
Určete obecné řešení diferenciální rovnice metodou variace konstanty
(l + x2)/-2xy = (l+x2)2
y = (C + x) (1 + x2);
(1 + x2) y' + 4xy = 3
y' +       = i
yr + 2xy = x e
—x'
y =
_ x3+3x+C
y — (1+x2)2
y — Cxz e>< +x'
2 2 2
Ce"x +%e"x
MA2BP.CAN3
7. cvičení
16. 4. 2018       6 /7