Cvičení z matematické analýzy 3
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními
koeficienty
23. 4. 2018
MA2BP.CAN3
8. cvičení
□        i3i - =
23. 4. 2018
Náplň 8. cvičení
□ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
■ Trocha teorie (pro připomenutí)
■ Příklady
Literatura
■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, 1998.
MA2BP.CAN3 8. cvičeni 23. 4. 2018       2 /5
Trocha teorie pro pripomenutí
MA2BP.CAN3 8. cvičeni 23. 4. 2018       3 /5
Trocha teorie pro pripomenutí
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = d(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou
spojité v nějakém intervalu /.
MA2BP.CAN3
8. cvičení
□        i3i - =
23. 4. 2018       3 /5
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = d(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = ^(x), kde a, b,cGR,a^0.
MA2BP.CAN3
8. cvičení
□        i3i - =
23. 4. 2018       3 /5
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = d(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = ^(x), kde a, b,cGR,a^0.
■ Je-li r(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
MA2BP.CAN3
8. cvičení
□        i3i - =
23. 4. 2018       3 /5
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = d(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = ^(x), kde a, b,cGR,a^0.
■ Je-li r(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
■ Při řešení homogenní rovnice ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici a\2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny Ai,A2
MA2BP.CAN3
8. cvičení
□        i3i - =
23. 4. 2018       3 /5
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = c/(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = r(x), kde a, b,cGR,a^0.
■ Je-li r(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
■ Při řešení homogenní rovnice ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici a\2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny Ai,A2
■ jsou-li Ai, A2 dva různé reálné kořeny, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = Q eAlX +C2 eA2X
MA2BP.CAN3
8. cvičení
□        i3i - =
23. 4. 2018       3 /5
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = c/(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = r(x), kde a, b,cGR,a^0.
■ Je-li r(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
■ Při řešení homogenní rovnice ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici a\2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny Ai,A2
■ jsou-li Ai, A2 dva různé reálné kořeny, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = Q eAlX +C2 eA2X
■ má-li charakteristická rovnice dvojnásobný kořen Ai = A2, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = C\ eAlX +C2xeAlX
MA2BP.CAN3
8. cvičení
□        i3i - =
23. 4. 2018       3 /5
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b{x)yr + c(x)y = c/(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = r(x), kde a, b,cGR,a^0.
■ Je-li f(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
■ Při řešení homogenní rovnice ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici a\2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny Ai,A2
■ jsou-li Ai, A2 dva různé reálné kořeny, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = Q eAlX +C2 eA2X
■ má-li charakteristická rovnice dvojnásobný kořen Ai = A2, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = C\ eAlX + C2xeAlX
■ je-li Ai52 = Ol ±     má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar
y = Q eax cos fix + C2 eax sin fix
MA2BP.CAN3
8. cvičení
23. 4. 2018       3 /5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 A	\/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
Q   y» _ fyl + l2y = Q
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 4	t/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y = Ci e3x + C2 e
4x"
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 4	\/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0 y" - y' - 6y = 0
y = Ci e3x + C2 e
4x"
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 4	t/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0
y = cie3x+C2e4x' y = Cie-2x+C2e3x'
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 A	\/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0 y" + 5y' = 0
y = c1e3x+C2e4x y = Cie-2x+C2e3x
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 4	
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0 y" + 5y' = 0
y = C1e3x+C2e4x y = Q e~2x + C2 e3x' [y = G + C2 e~5x'
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 A	\/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0 y" + 5y' = 0
y = C1e3x+C2e4x y = Q e~2x + C2 e3x' [y = G + C2 e~5x'
4Ž " 20$ + 25x
= 0
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 4	t/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - y' - 6y = 0 y" + 5y' = 0
d2,
4P " 20$ + 25x
= 0
y = Q e3x + C2 e4x y = Cie-2x+C2e3x y = Ci + C2 e~5x'
x = Ci eiŕ+C2ŕeiŕ
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 4	\/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7y' + 12y = 0 y" - y' - 6y = 0 y" + 5y' = 0
4$ - 20f + 25x 4y" - 8y' + 5y = 0
= 0
y = Q e3* + C2 e4x y = Cie-2x+C2e3x y = Ci + C2 e~5x'
x = Ci eiŕ+C2ŕeiŕ
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 A	\/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7y' + 12y = 0 y" - y' - 6y = 0 y" + 5y' = 0
4$ - 20f + 25x 4y" - 8y' + 5y = 0
= 0
y= Cie3x+C2e4x y = Cie-2x+C2e3x y = Q + C2 e-5x
x = Ci eir+C2relř y = ex(Cicosf+ C2sinf)]
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 4	
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - y' - 6y = 0 y" + 5y' = 0
d2
4y" - 8y' + 5y = 0 y" - 4ý + 13y = 0
= 0
y =
y = cie3x+C2e4x' y = Cie-2x+C2e3x' y = Ci + C2 e-5x;
5 5
x — C\ e2ŕ +C2ŕe2ŕ
L
ex(Ci cos f + C2 sin |)]
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 4	t/5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0 y" - / - 6y = 0 y" + 5y' = 0
d2
4y" - 8y' + 5y = 0 y" - 4ý + 13y = 0
= 0
y = de3x+C2e4x y = cie-2x+C2e3x y = Q + C2 e-5x
5 5
x — C\ e2ŕ +C2ŕe2ŕ
y = ex(Ci cos | + C2 sin |)] y = e2x(Ci cos3x + C2 sin 3x)]
MA2BP.CAN3	8. cvičení	23. 4. 2018 4	\/5
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
MA2BP.CAN3
8. cvičení
□        i3i - =
23. 4. 2018       5 /5
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
O y"-2y' + 5y = 0,   y(f) = 0, y'(f) = 1
MA2BP.CAN3
8. cvičení
23. 4. 2018       5 /5
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/+ 5y = 0,   y(f) = 0, y'(f) = 1
y = — \ ex — |- sin 2x
MA2BP.CAN3
8. cvičení
23. 4. 2018       5 /5
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2yf + 5y = 0, y(f) = 0, y'(§) = 1 [y = -\ ex -f sin 2x y" + 2V + /?2y = 0,   y(0) = a, y'(0) = C(a, CgR)
a1
MA2BP.CAN3
8. cvičení
=        5    -O c^o
23. 4. 2018       5 /5
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + 5y = 0, y(f) = 0, y'(f) = y" + 2V + h2y = 0,   y(0) = a, y'(0)
1      [y = -J ex-f sin2x" = C(a, Cel) [y = e-hx(a + (C + ah)x)]
9
MA2BP.CAN3
8. cvičení
=        š    -O c^o
23. 4. 2018       5 /5
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + 5y = 0, y(f) = 0, y'(§) = 1 [y = -\ex -f sin 2x y" + 2V + /72y = 0,   y(0) = a, /(O) = C(a, CgR)
[y = e-^ía + ÍC + a^x)]
cVfs c/t2
+ 2a% + 32s = 0,   s(0) = a, s'(0) = 0
dt
MA2BP.CAN3
8. cvičení
23. 4. 2018       5 /5
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y"-2y' + 5y = 0, y(f) = 0, y'(f) = y" + 2hy' + h2y = 0,   y(0) = a, /(O)
1 [y =-|ex-f sin2x = C(a, Cel)
[y = e-hx(a + (C + ah)x)]
d2s _,_ o-^ds _,_ „2 dt2
+ 2af + azs = 0,   s(0) = a, s'(0) = 0
s = a e aŕ +a2í e at
MA2BP.CAN3
8. cvičení
23. 4. 2018       5 /5
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + 5y = 0, y(f) = 0, y'(§) = 1 [y = -\ex -f sin 2x y" + 2V + /72y = 0,   y(0) = a, /(O) = C(a, CgR)
[y = e-^ía + ÍC + a^x)]
c/2s
+ 2af + a2s = 0,   s(0) = a, s'(0) = 0
s = ae aŕ +a2re at
dt2  1 ^adt
y" — y — 0,   integrální křivka se dotýká přímky y = x v bodě [0, 0]
MA2BP.CAN3
8. cvičení
23. 4. 2018       5 /5
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + 5y = 0, y(f) = 0, y'(§) = 1 [y = -\ex -f sin 2x y" + 2V + /72y = 0,   y(0) = a, /(O) = C(a, CgR)
c/2s
+ 2af + a2s = 0,   s(0) = a, s'(0) = 0
s = ae aŕ +a2re at
c/t2   1 ^adt
y" — y — 0,   integrální křivka se dotýká přímky y = x v bodě [0, 0]
y =
ex — e x
MA2BP.CAN3
8. cvičení
23. 4. 2018       5 /5