Cvičení z matematické analýzy 3 Nekonečné číselné řady, kritéria konvergence 20. 2. 2018 MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 1 / 12 Náplň cvičení Organizace predmetu Nekonečné číselné řady ■ Základní pojmy (opakovaní z přednášky) ■ Příklady Kritéria konvergence řad s kladnými členy ■ Základní pojmy ■ Příklady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 2 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu MA2BP.CAN3 1. cvičeni 20. 2. 2018 3 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast MA2BP.CAN3 1. cvičeni 20. 2. 2018 3 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 3 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 3 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 3 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (20. 3.) ■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (24. 4.) MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 3 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (20. 3.) ■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (24. 4.) ■ nutnost získat alespoň 50 % bodů z každé MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 3 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (20. 3.) ■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (24. 4.) ■ nutnost získat alespoň 50 % bodů z každé v první polovině zkouškového období možnost opravy MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 3 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (20. 3.) ■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (24. 4.) ■ nutnost získat alespoň 50 % bodů z každé v první polovině zkouškového období možnost opravy Poslední cvičení bude kvůli státním svátkům (1. 5. a 8. 5.) už 24. 4., předpokládá se proto, že studenti budou chodit na cvičení připraveni, ať se navzájem zbytečně nezdržujeme a ať nezbývá mnoho látky k samostudiu. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 3 / 12 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka v 5. cvičení (20. 3.) ■ 2. zápočtová písemka v 10. cvičení (24. 4.) ■ nutnost získat alespoň 50 % bodů z každé v první polovině zkouškového období možnost opravy Poslední cvičení bude kvůli státním svátkům (1. 5. a 8. 5.) už 24. 4., předpokládá se proto, že studenti budou chodit na cvičení připraveni, ať se navzájem zbytečně nezdržujeme a ať nezbývá mnoho látky k samostudiu. Pro úspěšné zvládnutí předmětu je domácí propočítávání příkladů I nezbytné. I MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 3 / 12 Nekonečné číselné řady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 4 / 12 Základní pojmy Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 5 / 12 Základní pojmy Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady Nechť {an}(^1 je posloupnost reálných čísel. Symbol Yl^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 5 / 12 Základní pojmy Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady Nechť {an}(^1 je posloupnost reálných čísel. Symbol Yl^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada. Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ + a^ + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i 3n- MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 5 / 12 Základní pojmy Definice: nekonečná číselná řada, posloupnost částečných součtů, součet řady Nechť {an}(^1 je posloupnost reálných čísel. Symbol Yl^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada. Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ + a^ + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i 3n- Jestliže existuje lim^oo sn = s, nazývá se součet řady Y^nLi an\ íada J27=i an konverguje. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 5 / 12 Základní pojmy Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady ■ Nechť {3n}^=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol Yl^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada. ■ Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ + + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i 3n- ■ Jestliže existuje lim^ooSn = s, nazývá se součet řady Y^nLi an\ íada J27=i an konverguje. ■ V opačném případě (li m n—sn neexistuje, nebo je lim^—^oo sn — ±00) řada YľnLi an součet nemá; říkáme, že sn diverguje. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 5 / 12 Příklady Určete součet řady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Příklady Určete součet řady 1_ I , I _ I , * 2 ' 4 8 ^ ' ' ' MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Příklady Určete součet řady 1_ I , I _ I , * 2 ' 4 8 ^ ' ' ' 2" 3. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Určete součet rady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Určete součet rady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Příklady Určete součet rady U ± 2 4 8 "2" .3. H 1 Vš + i 3V5 + - "3-VŠ" 2 n v^oo 3n+2n MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Příklady Určete součet rady U ± 2 4 8 "2" .3. H 1 Vš + i 3V5 + - "3-VŠ" 2 n v^oo 3n+2n "3" .2. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Příklady Určete součet řady 1_ I , I _ I , * 2 ' 4 8 ^ ' ' ' 1 _ JL i I 1 y/3 ^ 3 3^3 + 2 L3 3-V3 3 L2J Vyjádřete ve tvaru zlomku MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Příklady Určete součet řady 1_ I , I _ I , * 2 ' 4 8 ^ ' ' ' 1 _ JL i I 1 y/3 ^ 3 3^3 + v^oo 3n+2n 2 L3 3-VŠ 3 L2J Vyjádřete ve tvaru zlomku -0,12 MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Příklady Určete součet řady 1_ I , I _ I , * 2 ' 4 8 ^ ' ' ' 1 _ JL i I 1 y/3 ^ 3 3^3 + v^oo 3n+2n 2 L3 3-VŠ 3 L2 Vyjádřete ve tvaru zlomku -0,12 33 MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Příklady Určete součet řady 1_ I , I _ I , * 2 ' 4 8 ^ ' ' ' 1 _ JL i I 1 y/3 ^ 3 3^3 + v^oo 3n+2n 2 L3 3-V3 3 L2 Vyjádřete ve tvaru zlomku -0,12 0,078 33 MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 Určete součet rady 1 2^4 8 ' • • • VI + 3 3^1 v^oo 3"+2" 2^n=l 6" Vyjádřete ve tvaru zlomku -0,12 0,078 "2 .3 3-VŠ "3" .2. 33 J 71 ' 900. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 6 / 12 V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky Určete součet řady D En=l 2n iSn 2Sn) MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n [2] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n [2] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n (s„ - log 2s„) [2] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet řady Eoo n n=l 2n (s„ - log 2s„) [2] (l-/og2)2 MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n Eoo n(sin a)"-1 n=l 3" (s„ - log 2s„) [2] (l-/og2)2 MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady n v00 — (sn - 2S") [2] H E^i"(log2)n-1 (s„ - log 2s„) 1 L(l-/og-2)2j n "(sin a)"-1 sin a c \ 3 ^/ MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n Eoo n(sin a)"-1 n=l 3" (s„ - log 2s„) (s„ S3aSn) [2] (l-/og2)2 3 (3—sina)2 MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky Určete součet řady □ 2^n=l n 2" B sr^oo "(log 2) B sr^oo 2^n=l n(sin a)n~ 3" □ 2^n=l 1 n(n+l) n-1 {Sn ~ 2S") (s„ - log 2s„) sin a c \ 3 bnJ [2] (l-/cg2)2 3 (3—sina)2 MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady D n 2" B A7(l0g2) B n(sin a)n~ 3" □ 2^n=l 1 n(n+l) n-1 {sn - log2s„) 1 n(n+l) sin a 1 A7+1 [2] (l-/og"2)2 3 (3—si n a)2 MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Příklady V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady D n 2" B A7(l0g2) B n(sin a)n~ 3" □ 2^n=l 1 n(n+l) n-1 {sn - log2s„) 1 n(n+l) sin a 1 A7+1 [2] (l-/og"2)2 3 (3—si n a)2 [i] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet řady Eoo n n=l 2n Eoo n(sin a)"-1 n=l 3" Eoo 1 n=l Eoo 1 n=l n(n+3) (s„ - log2s„) [2] (l-/og2)2 3 (3—sina)2 [1] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n Eoo n(sin a)"-1 n=l 3" Eoo 1 n=l Eoo 1 n=l n(n+3) (s„ - log2s„) 1 n n{n+l) 1 n+1 n(n+3) 3n 3(n+3) [2] (l-/og2)2 3 (3—sina)2 [1] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n Eoo n(sin a)"-1 n=l 3" Eoo 1 n=l Eoo 1 n=l n(n+3) (s„ - log2s„) 1 n n{n+l) 1 n+1 n(n+3) 3n 3(n+3) [2] (i-/ogr2)2 3 (3—sina)2 [i] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n Eoo n(sin a)"-1 n=l 3" Eoo 1 n=l Eoo 1 n=l n(n+3) Eoo 1 n=l (n+l)(n+4) (s„ - log2s„) 1 n n{n+l) 1 n+1 n(n+3) 3n 3(n+3) [2] (i-/ogr2)2 3 (3—sina)2 [i] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky. Určete součet rady Eoo n n=l 2n Eoo n(sin a)"-1 n=l 3" Eoo 1 n=l Eoo 1 n=l n(n+3) Eoo 1 n=l (n+l)(n+4) (s„ - log2s„) 1 n n{n+l) 1 n(n+3) 1 n+1 3n 3(n+3) 1 [2] (i-/ogr2)2 3 (3—sina)2 [i] (n+l)(n+4) _ 3(n+l) 3(n+4) MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 V následujících příkladech využijeme ■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn); ■ rozklad výrazu an na parciální zlomky Určete součet řady Eoo n n=l 2n Eoo n(sin a)n_1 n=l 3" Eoo 1 n=l n(n+l) Eoo 1 n=l n(n+3) Eoo 1 n=l (n+l)(n+4) (s„ - log2s„) n(n+l) 1 n(n+3) 1 1 n+1 3/7 3(n+3) 1 [2] (n+l)(n+4) - 3(n+l) 3(n+4) (l-/og"2)2 3 (3—s/na)2 [i] "13" .36. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 7 / 12 Kritéria konvergence řad s kladnými členy Základní pojmy Kritéria konvergence MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 9 / 12 Základní pojmy Kritéria konvergence ■ Srovnávací: nechť an < bn platí pro Vr? G N, pak ■ Je_l' J2^Li an divergentní, je i Yl^Li bn divergentní; ■ Je_l' Yl^Li bn konvergentní, je i Yl^Li an konvergentní. MA2BP.CAN3 1. cvičení ^ ■» v. 20. 2. 2018 9 / 12 Základní pojmy Kritéria konvergence Srovnávací: nechť an < bn platí pro Vr? G N, pak ■ Je"'i J2^Li an divergentní, je i Yl^Li bn divergentní; ■ Je"'i Yl^Li bn konvergentní, je i Yl^Li an konvergentní. Podílové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o an+i 3n an+i < 1, pak Yl^=i 3n Je konvergentní; > 1, pak Yl^Li an Je divergentní. 'A7 MA2BP.CAN3 1. cvičení ^ ■» v. 20. 2. 2018 9 / 12 Základní pojmy Kritéria konvergence Srovnávací: nechť an < bn platí pro Vr? G N, pak ■ Je"'i J2^Li an divergentní, je i Yl^Li bn divergentní; ■ Je"'i Yl^Li bn konvergentní, je i Yl^Li an konvergentní. Podílové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o an+i 3n an+i < 1, pak Yl^=i 3n Je konvergentní; > 1, pak Yl^Li an Je divergentní. 'A7 Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo = q, pak ■ Yl^Li an Je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ Yľ^Ĺi an Je divergentní pro q > 1; je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 9 / 12 Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní ■ Odmocninové: necht od jistého r?o G N platí pro Vr? £ N, n > r?o ■ jfäit < 1, pak Yl^Li 3n Je konvergentní; ■ \fž~n > 1, pak Yl^Li an Je divergentní. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 10 / 12 Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní ■ Odmocninové: necht od jistého r?o G N platí pro Vr? £ N, n > r?o ■ jfäit < 1, pak Yl^Li 3n Je konvergentní; ■ \fž~n > 1, pak Yl^Li an Je divergentní. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 10 / 12 Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní ■ Odmocninové: necht od jistého r?o G N platí pro Vr? £ N, n > r?o ■ jfäit < 1, pak Yl^Li 3n Je konvergentní; ■ \fž~n > 1, pak Yl^Li an Je divergentní. ■ Limitní odmocninové: jestliže existuje lim^oo tfä~n — q, pak ■ Yl^Li an Je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ Yľ^Ĺi an Je divergentní pro q > 1; ■ je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 10 / 12 Příklady Rozhodněte o konvergenci rady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady □ rS1 ► < ► < = MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] EOO 1 n=l nn MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo 1 n=l nn [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^r)] ^ c^ o MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady EOO _J^_ EOO 1 n=l nn Eoo 1 n=l In n [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] MA2BP.CAN3 ^ c^ o 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Rozhodněte o konvergenci řady n=l y/h Eoo 1 n=l nn Eoo 1 n=l In n [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podle srov. krit. s řadou ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] □ iS1 1 1 -O °nO MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady Eoo 1 n=l nn oo 1 Sn=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo 1 n=l nn oo 1 Sn=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^r)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (p0di e srov. krit. s řadou MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo 1 n=l nn oo 1 Sn=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo n n=l 7P [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^r)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (p0di e srov. krit. s řadou MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo 1 n=l nn oo 1 Sn=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo n n=l 7P [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^r) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 jň) [konverguje (podle podílového krit.) MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Rozhodněte o konvergenci rady n=l y/h Eoo 1 n=l nn v^oo 1 Z^n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n EOO A7 V-^OO 32n+l [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou ^) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 £r) [konverguje (podle podílového krit.) □ iS1 1 1 -O °nO MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo _1_ "=1 */7i Eoo 1 n=l nn Eoo 1 n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo r? A7=l 2" v-^oo 32n+1 [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podlesrov. krit. s řadou [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 [konverguje (podle podílového krit.) [diverguje (podle podílového krit.) □ rš1 1 1 °nO MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 11 / 12 Příklady Rozhodněte o konvergenci rady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 12 / 12 Příklady Rozhodněte o konvergenci rady MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 12 / 12 Rozhodněte o konvergenci řady ( n n Z-^n=l \2n+l [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 12 / 12 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo / n n=l \2n+l Eoo _2P_ n=l n [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 12 / 12 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo _2P_ n=l [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 12 / 12 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo _2P_ n=l V^OO Z-^n=l n In n [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 12 / 12 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo _2P_ n=l [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] V^OO Z-^n=l n In n [diverguje (Podi e srovn. resP. integr . krit.)] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 12 / 12 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo n=l 2n [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] v^oo Z-^n=l n In n Eoo n n=3 n4-9 [diverguje (Podi e srovn. resP. integr . krit.)] MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 12 / 12 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo n=l 2n v^oo Z-^n=l n In n oo n Sn=3 n4-9 [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] [diverguje (Podi e srovn. resp. integr . krit.)] [konverguje (podle srovn. krit.) MA2BP.CAN3 1. cvičení 20. 2. 2018 12 / 12