Cvičení z matematické analýzy 3 Kritéria konvergence, alternující řady 27. 2. 2018 MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 1 / 13 Náplň cvičení O Kritéria konvergence řad s kladnými členy ■ Základní pojmy ■ Příklady B Alternující řady ■ Základní pojmy ■ Absolutní konvergence ■ Příklady B D.Ú. Literatura ■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Nekonečné řady. MU Brno, 1994. ■ Došlá, Z., Novák, V.; Nekonečné řady MU Brno, 2013. MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 2 / 13 Kritéria konvergence řad s kladnými členy Základní pojmy Kritéria konvergence MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 4 / 13 Základní pojmy Kritéria konvergence ■ Nutná podmínka konvergence: Jestliže řada Y^=i an konverguje, pak platí lim^oo an = 0. Věta má tvar implikace, znamená to tedy, že ■ je-li lim^oo an ^ 0, pak řada J27=i an diverguje; ■ vlastnost lim^oo an = 0 obecně není dostatečná pro to, aby řada Yl^Li an konvergovala. MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 4 / 13 Základní pojmy Kritéria konvergence ■ Nutná podmínka konvergence: Jestliže řada Y^=i an konverguje, pak platí lim^oo an = 0. Věta má tvar implikace, znamená to tedy, že ■ je-li lim^oo an ^ 0, pak řada J27=i an diverguje; ■ vlastnost lim^oo an = 0 obecně není dostatečná pro to, aby řada Yl^Li an konvergovala. ■ Srovnávací: nechť an < bn platí pro Vr? £ N, pak ■ Je_l' J2^Li an divergentní, je i Yl^Li bn divergentní; ■ Je_l' Yl^Li bn konvergentní, je i Yl^Li an konvergentní. MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 4 / 13 Základní pojmy Kritéria konvergence_1 ■ Nutná podmínka konvergence: Jestliže řada J2T=i 3n konverguje, pak platí lim^oo an = 0. Věta má tvar implikace, znamená to tedy, že ■ je-li lim^oo an ^ 0, pak řada J27=i an diverguje; ■ vlastnost lim^oo an = 0 obecně není dostatečná pro to aby řada Yl^-i an konvergovala. ■ Srovnávací: nechť an < bn platí pro Vr? £ N, pak ■ Je_l' an divergentní, je i bn divergentní; ■ Je_l' Yľ^-i bn konvergentní, je i Yľ^-i an konvergentní. ■ Podílové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n ■ 3(1+1 < 1, pak Yl^-i an Je konvergentní; ■ 3,1+1 > 1, pak Yľ^-i an Je divergentní. 3n MA2BP.CAN3 2. cvičeni 27. 2. 2018 4 / 13 Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 5 / 13 Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní ■ Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo = q, pak ■ Yl^Li an Je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ Yl^Li an Je divergentní pro q > 1; ■ je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 5 / 13 Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní ■ Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo = q, pak ■ Yl^Li an Je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ Yl^Li an Je divergentní pro q > 1; ■ je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. ■ Odmocninové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o ■ ý~a~n < 1, pak 5^^! 3n je konvergentní; ■ > 1, pak an je divergentní. MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 5 / 13 Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní ■ Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo = q, pak ■ Yl^Li an Je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ Yl^Li an Je divergentní pro q > 1; ■ je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. ■ Odmocninové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o ■ ý~a~n < 1, pak 5^^! 3n je konvergentní; ■ \/ä^ > 1, pak an je divergentní. ■ Limitní odmocninové: jestliže existuje lim^oo tfä~n = q, pak ■ J2^Li an je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ S^li an je divergentní pro q > 1; ■ je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 5 / 13 Základní pojmy Kritéria konvergence - dokončení MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 6 / 13 Základní pojmy Kritéria konvergence - dokončení Integrálni kritérium: Necht pro řadu Y^=ian s kladnými členy existuje spojitá funkce f (x), pro kterou platí: ■ f (x) je nerostoucí na intervalu (K, oo) pro nějaké /(El; ■ od jistého A?o G N platí pro V a? no: f (n) = an Existuje-li vlastní limita Hm^oQ f(x)dx, řada J2^Li an konverguje Je-li limt^oQ JlK f(x)dx = oo, řada J2T=i a" diverguje. MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 6 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci rady MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] EOO 1 n=l nn MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo 1 n=l nn [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady EOO _J^_ EOO 1 n=l nn Eoo 1 n=l In n [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo _1_ n=l y/h Eoo 1 n=l nn Eoo 1 n=l In n [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (p0di e srov. krit. s řado u ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] □ iS1 - 1 -O °nO MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady EOO _J^_ EOO 1 n=l nn oo 1 Sn=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo _J^_ Eoo 1 n=l nn oo 1 Sn=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (p0di e srov. krit. s řadou MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Rozhodněte o konvergenci řady EOO 1 n=l nn oo 1 Sn=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo n n=l 7P [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^r)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (p0di e srov. krit. s řadou MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo _J^_ Eoo 1 n=l nn oo 1 Sn=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo n n=l 7P [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^r) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 jň) [konverguje (podle podílového krit.) MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo _1_ n=l y/h Eoo 1 n=l nn v^oo 1 Z-^n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3" Eoo r? v-^oo 320+1 [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou £ ^) [konverguje (Podie podílového krit.) □ iS1 - 1 •O Q, O MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady EOO _1_ n=l y/h Eoo 1 v^oo 1 Z-^n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo n oo 32n+l [dlV6ľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podlesrov. krit. s řadou jjr) [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 £r) [konverguje (podle podílového krit.) [diverguje (podle podílového krit.) □ iS1 1 1 -O °nO MA2BP-CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 7 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 8 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 8 / 13 Rozhodněte o konvergenci řady ( n n Z-^n=l \2n+l [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 8 / 13 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo / n n=l \2n+l Eoo _7P_ n=l n [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 8 / 13 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo _7P_ n=l [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 8 / 13 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo _7P_ n=l v^oo Z-^n=2 n In n [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 8 / 13 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo _7P_ n=l [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] v^oo Z-^n=2 n In n [diverguje (Podi e srovn. resp. integr . krit.)] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 8 / 13 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo n=l 2n [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] v^oo Z-^n=2 n In n Eoo n n=3 n4-9 [diverguje (Podi e srovn. resp. integr . krit.)] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 8 / 13 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo í n \n n=l \2n+l Eoo n=l 2n v^oo Z-^n=2 n In n oo n Sn=3 n4-9 [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] [diverguje (Podi e srovn. resP. integr . krit.)] [konverguje (oodle srovn. krit.) MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 8 / 13 Alternující řady MA2BP.CAN3 2. cvičeni 27. 2. 2018 9 / 13 Základní pojmy MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 10 / 13 Základní pojmy Alternující řada Nekonečná řada YlT=i 3n se nazývá alternující, jestliže pro Vr? G N platí sgn a„+i = -sgn an MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 10 / 13 Základní pojmy Alternující řada Nekonečná řada YlT=i 3n se nazývá alternující, jestliže pro Vr? G N platí sgn a„+i = -sgn an Kritérium konvergence (Leibnizovo) Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující řada YlT=i (—1)" lan konverguje právě tehdy, když platí lim^oo an = 0. Věta má tvar ekvivalence, znamená to tedy (mimo jiné), že ■ je-li lim^oo an = 0, pak řada J2T=i {~^)n~lan konverguje; ■ vlastnost lim^oca^ = 0 je nutná i dostatečná podmínka konvergence řady Eľ=i(-ir^ n □ S1 ► < -E ► < = MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 10 / 13 Absolutní konvergence číselných řad MA2BP.CAN3 2. cvičeni 27. 2. 2018 11 / 13 Absolutní konvergence číselných řad Konverguje-li řada IanI» konverguje i řada Y^=ian j MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 11 / 13 Absolutní konvergence číselných řad Konverguje-li řada IanI» konverguje i řada Y^=ian j Absolutní/neabsolutní konvergence Říkáme, že řada Y^=i an konverguje absolutně, jestliže konverguje rada E£Li Říkáme, že řada J2n=i an konverguje neabsolutně, jestliže řada J27=i an konverguje a řada J27=i \an\ diverguje. MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 11 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady U 2^n=l 3n-l MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady Eoo n=l (-1) n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n=l (-1) n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] Voo (-l)""1 l^n=l (2n-l)3 MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) Z^n=l 3n-l [konverguje neabsolutně] l^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) Z^n=l 3n-l l^n=l (2n-l)3 [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] n-l sr^oo (-1) Z^n=l bn-2 n MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) Z^n=l 3n-l l^n=l (2n-l)3 [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] l^n=l 5n-2 [diverguje] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) Z^n=l 3n-l l^n=l (2n-l)3 l^n=l 5n-2 [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) Z^n=l 3n-l l^n=l (2n-l)3 l^n=l 5n-2 [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] oo (-1)" [diverguje] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n=l (-1) n-l 3n-l oo (-1) Eoo n=l n-l (2A7-1)3 ("I) n-l EOO _ n=l 5n-2 Voo (-1)" n [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] [diverguje] Eoo n=l (-1)" 1 + A7 MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady □ 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] sr^oo 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l 5n-2 [diverguje] □ 2^n=l (-1)" [diverguje] 2^n=l (-l)n 1 + A7 [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady Eoo n=l (-1) n-l 3n-l oo (-1) Eoo n=l n-l (2A7-1)3 ("I) n-l EOO _ n=l 5n-2 Voo (-1)" Eoo n=l n 1 + A7 Voo (-1)" [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] [diverguje] [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady □ 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] sr^oo 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l 5n-2 [diverguje] □ 2^n=l (-l)n [diverguje] 2^n=l (-1)" 1 + A7 [konverguje neabsolutně] □ 2^n=l (-ir n\fň [konverguje absolutně] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady Z^n=l 3n-l [konverguje neabsolutně] l^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] l^n=l 5n-2 [diverguje] [diverguje] [konverguje neabsolutně] voo (-1)" [konverguje absolutně] sr^oo (-l)nlnn 2-^n=l n MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady H Z^n=l 3n-l [konverguje neabsolutně] l^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] l^n=l 5n-2 [diverguje] □ [diverguje] [konverguje neabsolutně] voo (-1)" [konverguje absolutně] □ sr^oo (-l)nlnn 2-^n=l n [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 2. cvičeni 27. 2. 2018 12 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady □ 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] sr^oo 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l [diverguje] 5n-2 □ 2^n=l (-l)n [diverguje] 2^n=l (-l)n 1 + A7 [konverguje neabsolutně] □ 2^n=l (-ir [konverguje absolutně] H sr^oo 2^n=l (-l)nlnn [konverguje neabsolutně] 2^n=l (-ír n—In r? MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady □ 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] sr^oo 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l [diverguje] 5n-2 □ 2^n=l (-l)n [diverguje] 2^n=l (-l)n 1 + A7 [konverguje neabsolutně] □ 2^n=l (-ir [konverguje absolutně] H sr^oo 2^n=l (-l)nlnn [konverguje neabsolutně] 9 2^n=l (-ír n—In r? [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 12 / 13 Domácí úkol Vypracujte a do odevzdávárny v IS vložte nejpozději do 5. 3. do 23:59 1-2 ^ 2-3 ^ 3-4 ^ ^oo 4 Určete součet řady a) b) Z)n=l (7T+6)(a7+2) c) E^i(-iržíi) Zjistěte, je-li splněna nutná podmínka konvergence řady 2,4 + A + _8_ + 3 n- g -r 27 n- 81 -r • • • Rozhodněte o konvergenci řady a) + + + 13 VŠ V2^ VŠ^š v^š? oo 2n-n\ b) Eľ=i ^ X v^oo _ 1 L) 2^n=l (n (n+l)ln(n+l) Rozhodněte o (ne)absolutní konvergenci či divergenci řady EOO /_ 1 \/7+l 1 n=l V 1) (2n-l)2 MA2BP.CAN3 2. cvičení 27. 2. 2018 13 / 13