Cvičení z matematické analýzy 3 Alternující rady, obor konvergence funkčních řad 6. 3. 2018 MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 1/11 Náplň cvičení O Alternující řady ■ Základní pojmy ■ Absolutní konvergence ■ Příklady B Obor konvergence funkčních řad ■ Základní pojmy ■ Zjišťování oboru konvergence ■ Příklady Literatura ■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Nekonečné rady. MU Brno, 1994. ■ Došlá, Z., Novák, V.; Nekonečné rady. MU Brno, 2013. MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 2 / 11 Alternující řady MA2BP.CAN3 3. cvičeni 6. 3. 2018 3 / 11 Základní pojmy MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 4 / 11 Základní pojmy Alternující řada Nekonečná řada YlT=i 3n se nazývá alternující, jestliže pro Vr? G N platí sgn a„+i = -sgn an MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 4 / 11 Základní pojmy Alternující řada Nekonečná řada YlT=i 3n se nazývá alternující, jestliže pro Vr? G N platí sgn a„+i = -sgn an Kritérium konvergence (Leibnizovo) Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující řada YlT=i (—1)" lan konverguje právě tehdy, když platí lim^oo an = 0. Věta má tvar ekvivalence, znamená to tedy (mimo jiné), že ■ je-li lim^oo an = 0, pak řada J2T=i {~^)n~lan konverguje; ■ vlastnost lim^oca^ = 0 je nutná i dostatečná podmínka konvergence řady Eľ=i(-ir^ n □ S1 ► < -E ► < = MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 4 / 11 Absolutní konvergence číselných řad MA2BP.CAN3 3. cvičeni 6. 3. 2018 5 / 11 Absolutní konvergence číselných řad Konverguje-li řada IanI» konverguje i řada Y^=ian j MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 5 / 11 Absolutní konvergence číselných řad Konverguje-li řada IanI» konverguje i řada Y^=ian j Absolutní/neabsolutní konvergence Říkáme, že řada Y^=i an konverguje absolutně, jestliže konverguje rada E£Li Říkáme, že řada J2n=i an konverguje neabsolutně, jestliže řada J27=i an konverguje a řada J27=i \an\ diverguje. MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 5 / 11 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady □ 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] sr^oo 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l 5n-2 [diverguje] □ 2^n=l (-1)" [diverguje] 2^n=l (-l)n 1 + A7 [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 6 / 11 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady Eoo n=l (-1) n-l 3n-l oo (-1) Eoo n=l n-l (2A7-1)3 ("I) n-l EOO _ n=l 5n-2 Voo (-1)" Eoo n=l n 1 + A7 Voo (-1)" [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] [diverguje] [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 6 / 11 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady □ 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] sr^oo 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l 5n-2 [diverguje] □ 2^n=l (-l)n [diverguje] 2^n=l (-1)" 1 + A7 [konverguje neabsolutně] □ 2^n=l (-ir n\fň [konverguje absolutně] MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 6 / 11 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady Z^n=l 3n-l [konverguje neabsolutně] l^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] l^n=l 5n-2 [diverguje] [diverguje] [konverguje neabsolutně] voo (-1)" [konverguje absolutně] sr^oo (-l)nlnn 2-^n=l n MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 6 / 11 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady H Z^n=l 3n-l [konverguje neabsolutně] l^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] l^n=l 5n-2 [diverguje] □ [diverguje] [konverguje neabsolutně] voo (-1)" [konverguje absolutně] Q sr^oo (-l)nlnn 2-^n=l n [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 3. cvičeni 6. 3. 2018 6 / 11 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady □ 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] sr^oo 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l [diverguje] 5n-2 □ 2^n=l (-l)n [diverguje] 2^n=l (-l)n 1 + A7 [konverguje neabsolutně] □ 2^n=l (-ir [konverguje absolutně] H sr^oo 2^n=l (-l)nlnn [konverguje neabsolutně] 2^n=l (-ír n—In r? MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 6 / 11 Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady □ 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] sr^oo 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l [diverguje] 5n-2 □ 2^n=l (-l)n [diverguje] 2^n=l (-l)n 1 + A7 [konverguje neabsolutně] □ 2^n=l (-ir [konverguje absolutně] H sr^oo 2^n=l (-l)nlnn [konverguje neabsolutně] 9 2^n=l (-ír n—In r? [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 6 / 11 Obor konvergence funkčních řad MA2BP.CAN3 3. cvičeni 6. 3. 2018 7 / 11 Základní pojmy MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 8 / 11 Základní pojmy Bodová konvergence posloupnosti funkcí Necht {fn(x)}^Li je posloupnost funkcí na intervalu / a c G / je libovolné. Je-li číselná posloupnost {fn{c)}(^L1 konvergentní, říkáme, že posloupnost {fn{x)}^Li je konvergentní v bodě c. Řekneme, Ze posloupnost funkcí bodově konverguje k funkci f(x) na intervalu /, jestliže konverguje v každém bodě x G /, tj. ke každému x G / a každému e > 0 existuje r?o G N tak, že pro všechna n G N, n > r?,platí \ fn(x) f(x)\ < e- Píšeme lim fn(x) = f (x) pro x G / nebo fn —>> f na /. Největší množinu, na níž posloupnost funkcí bodově konverguje, nazýváme obor konvergence posloupnosti funkcí {fn(x)}. MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 8 / 11 Základní pojmy Bodová konvergence řad funkcí Nechť {fn(x)}^Li je posloupnost funkcí definovaných na intervalu / Symbol J2^Li ^»(x) nebo f\(x) + £(x) + /^(x) + ... nazýváme nekonečná řada funkcí. Posloupnost {sn(x)}£Li, kde s„(x) = f\{x) + £(x) H-----h fn(*), nazýváme posloupností částečných součtů řady J2^Li fn(*)- Jestliže posloupnost částečných součtů {sA?(x)}^1 konverguje pro všechna x £ /, řekneme, že řada ^»(x) bodově konverguje na intervalu / a funkci s(x) = limsn(x) nazýváme součtem řady Největší množinu, na níž řada funkcí bodově konverguje, nazýváme obor konvergence řady funkcí fn(x)- MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 9 / 11 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup při zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 10 / 11 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup při zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která xGl řada konverguje: MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 10 / 11 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup při zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje: vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 10 / 11 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup při zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje: vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) vyřešíme nerovnici /_(x) < 1 MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 10 / 11 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup pri zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje: Q vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) B vyřešíme nerovnici /_(x) < 1 vyšetříme chování v krajních bodech případného intervalu konvergence (tj. dosadíme ta x, pro něž je L(x) = ±1) MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 10 / 11 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup při zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje: Q vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) B vyřešíme nerovnici /_(x) < 1 El vyšetříme chování v krajních bodech případného intervalu konvergence (tj. dosadíme ta x, pro něž je L(x) = ±1) Poznámka: Vzpomenete si na Taylorovy polynomy (mat. analýza 1)? Mnohé o oboru konvergence řady funkcí naznačí tyto animace: http://cgi.math.muni.cz/kriz/cz/ MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 10 / 11 Příklady Určete obor konvergence řady MA2BP.CAN3 3. cvičeni 6. 3. 2018 11 / 11 Příklady Určete obor konvergence řady D Eľ=i "2x" MA2BP.CAN3 3. cvičeni 6. 3. 2018 11 / 11 Určete obor konvergence řady D Eľ=i "2x" [obor konvergence: (—1,1)] MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 11 / 11 Určete obor konvergence řady 2xn [obor konvergence: (—1,1)] tn — lxn — 1 ^n=l (2n-l)V3"-1 MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 11 / 11 Určete obor konvergence řady 2xn tn — lxn — l ^n=l (2n-l)V3"-1 [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: / — ^ MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 11 / 11 Určete obor konvergence řady 2xn v-^oo 2n-1xn~1 Eoo (nx)n n=l n\ [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: / — ^ MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 11 / 11 Určete obor konvergence řady 2xn v-^oo 2n-1xn~1 Eoo (nx)n n=l n\ [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: / — ^ obor konvergence: ( — ^, |) MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 11 / 11 Určete obor konvergence řady 2xn v-^oo 2n-1xn~1 l^n=l n\ U Z^n=l n \x+4J [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: / — ^ obor konvergence: ( —^, |) MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 11 / 11 Příklady Určete obor konvergence řady 2xn 2n-lxn-l v^oo ^"=1 (2n-l)V3"-1 El V oo (fix) n= 1 n! oo l( n= 1 n [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: ( — ^ obor konvergence: ( — ^, |) obor konvergence: ( —§,4) MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 11 / 11 Příklady Určete obor konvergence řady oo „2X„ £ľ=l" 2n-lxn-l ^n=l (2n-l)V3"-1 Eoo (nx)n n=l n\ Z^n=l n \x+4J [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: ( — ^ obor konvergence: ( — ^, |) obor konvergence: ( — 3,4) Eoo V(3^-2)2" MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 11 / 11 Určete obor konvergence řady oo „2X„ £ľ=l" v^oo 2n-1xn~1 sr^oo (nx)n Z^n=l n \x+4J Eoo n=l 3nxn [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: ( — ^ obor konvergence: ( —^, |) obor konvergence: ( — 3,4) obor konvergence: ^ — —, MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 11 / 11 Domácí úkol Do příští hodiny si zopakujte veškerou probranou látku a přichystejte si příklady, kterým jste (v předchozích cvičeních či při samostatné práci) nerozuměli. Na začátku 4. cvičení se jim budeme (po omezenou dobu) věnovat. MA2BP.CAN3 3. cvičení 6. 3. 2018 12 / 11