Cvičení z matematické analýzy 3 Obor konvergence funkčních řad, integrace, derivace řad 13. 3. 2018 MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 1/12 Náplň cvičení Obor konvergence funkčních řad ■ Základní pojmy ■ Zjišťování oboru konvergence ■ Příklady Integrace a derivace řad funkcí ■ Příklady Mocninné řady ■ Příklady D.Ú. Literatura ■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Nekonečné řady. MU Brno, 1994. ■ Došlá, Z., Novák, V.; Nekonečné řady MU Brno, 2013. □ s = 1 -o MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 2 / 12 Obor konvergence funkčních rad MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2018 3 / 12 Základní pojmy MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 4 / 12 Základní pojmy Bodová konvergence posloupnosti funkcí Necht {fn(x)}^Li je posloupnost funkcí na intervalu / a c G / je libovolné. Je-li číselná posloupnost {fn{c)}(^L1 konvergentní, říkáme, že posloupnost {fn{x)}^Li je konvergentní v bodě c. Řekneme, Ze posloupnost funkcí bodově konverguje k funkci f(x) na intervalu /, jestliže konverguje v každém bodě x G /, tj. ke každému x G / a každému e > 0 existuje r?o G N tak, že pro všechna n G N, n > r?,platí \ fn(x) f(x)\ < e- Píšeme lim fn(x) = f (x) pro x G / nebo fn —>> f na /. Největší množinu, na níž posloupnost funkcí bodově konverguje, nazýváme obor konvergence posloupnosti funkcí {fn(x)}. MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 4 / 12 Základní pojmy Bodová konvergence řad funkcí Nechť {fn(x)}^Li je posloupnost funkcí definovaných na intervalu / Symbol J2^Li ^»(x) nebo f\(x) + £(x) + /^(x) + ... nazýváme nekonečná řada funkcí. Posloupnost {sn(x)}£Li, kde s„(x) = f\{x) + £(x) H-----h fn(*), nazýváme posloupností částečných součtů řady J2^Li fn(*)- Jestliže posloupnost částečných součtů {sA?(x)}^1 konverguje pro všechna x £ /, řekneme, že řada ^»(x) bodově konverguje na intervalu / a funkci s(x) = limsn(x) nazýváme součtem řady Největší množinu, na níž řada funkcí bodově konverguje, nazýváme obor konvergence řady funkcí fn(x)- MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 5 / 12 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup pri zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 6 / 12 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup pri zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která xGl řada konverguje: MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 6 / 12 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup pri zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje: vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 6 / 12 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup při zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje: vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) vyřešíme nerovnici /_(x) < 1 MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 6 / 12 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup pri zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje: Q vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) B vyřešíme nerovnici /_(x) < 1 vyšetříme chování v krajních bodech případného intervalu konvergence (tj. dosadíme ta x, pro něž je L(x) = ±1) MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 6 / 12 Zjišťování oboru konvergence řady funkcí Postup při zjišťování oboru konvergence proměnnou x považujeme za parametr, pro nějž zjišťujeme konvergenci číselné řady (pracujeme tedy s abs. hodnotami) □ pomocí vhodného kritéria (zpravidla limitní podílové či odmocninové) zjistíme, pro která x £ IR řada konverguje: Q vypočteme příslušnou limitu L(x) pro n —>* oo (závislou na parametru x) B vyřešíme nerovnici /_(x) < 1 El vyšetříme chování v krajních bodech případného intervalu konvergence (tj. dosadíme ta x, pro něž je L(x) = ±1) Poznámka: Vzpomenete si na Taylorovy polynomy (mat. analýza 1)? Mnohé o oboru konvergence řady funkcí naznačí tyto animace: http://cgi.math.muni.cz/kriz/cz/ MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 6 / 12 Příklady Určete obor konvergence řady MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2018 7 / 12 Příklady Určete obor konvergence řady D Eľ=i "2x" MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2018 7 / 12 Určete obor konvergence řady D Eľ=i "2x" [obor konvergence: (—1,1)] MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 7 / 12 Určete obor konvergence řady 2xn [obor konvergence: (—1,1)] tn — lxn — 1 ^n=l (2n-l)V3"-1 MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 7 / 12 Určete obor konvergence řady 2xn tn — lxn — l ^n=l (2n-l)V3"-1 [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: / — ^ MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 7 / 12 Určete obor konvergence řady 2xn v-^oo 2n-1xn~1 Eoo (nx)n n=l n\ [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: / — ^ MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 7 / 12 Určete obor konvergence řady 2xn v-^oo 2n-1xn~1 Eoo (nx)n n=l n\ [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: / — ^ obor konvergence: ( — ^, |) MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 7 / 12 Určete obor konvergence řady 2xn v-^oo 2n-1xn~1 l^n=l n\ U Z^n=l n \x+4J [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: / — ^ obor konvergence: ( —^, |) MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 7 / 12 Příklady Určete obor konvergence řady 2xn 2n-lxn-l v^oo ^"=1 (2n-l)V3"-1 El V oo (fix) n= 1 n! oo l( n= 1 n [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: ( — ^ obor konvergence: ( — ^, |) obor konvergence: ( —§,4) MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 7 / 12 Příklady Určete obor konvergence řady oo „2X„ £ľ=l" 2n-lxn-l ^n=l (2n-l)V3"-1 Eoo (nx)n n=l n\ Z^n=l n \x+4J [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: ( — ^ obor konvergence: ( — ^, |) obor konvergence: ( — 3,4) Eoo V(3^-2)2" MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 7 / 12 Určete obor konvergence řady oo „2X„ £ľ=l" v^oo 2n-1xn~1 sr^oo (nx)n Z^n=l n \x+4J Eoo n=l 3nxn [obor konvergence: (—1,1)] obor konvergence: ( — ^ obor konvergence: ( — ^, |) obor konvergence: ( — 3,4) obor konvergence: ^ — —, MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 7 / 12 Integrace a derivace řad funkcí Následující vlastnosti platí pro řady stejnoměrně konvergentní (viz přednáška). MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 8 / 12 Integrace a derivace řad funkcí Následující vlastnosti platí pro řady stejnoměrně konvergentní (viz přednáška). Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu (a, b) a má součet s. Jestliže všechny funkce fn jsou integrovatelné na (a, b), je také funkce s integrovatelná na (a, b) a platí J s(x)dx = j (J2 f„(x)dx) = (/ U*)dx MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 8 / 12 Integrace a derivace řad funkcí Následující vlastnosti platí pro řady stejnoměrně konvergentní (viz přednáška). Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu (a, b) a má součet s. Jestliže všechny funkce fn jsou integrovatelné na (a, b), je také funkce s integrovatelná na (a, b) a platí J s(x)dx = f (J2 f„(x)dx) = U*)dx Buď {fn} posloupnost funkcí, které mají na otevřeném intervalu (a, ti) derivaci. Nechť fn konverguje na (a, ti) a má součet s a dále nechť f'n konverguje stejnoměrně na (a, ti). Pak funkce s má na (a, ti) derivaci a platí s/w = (E/"W)' = E/"nW MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 8 / 12 Příklady Určete součet číselné řady MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2018 9 / 12 Příklady Určete součet číselné řady Z^n=l n-2n MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 9 / 12 Určete součet číselné řady Z^n=l n-2n [In 2] MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 9 / 12 Určete součet číselné řady Z^n=l n-2n Eoo n n=l 3n [In 2] MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 9 / 12 Určete součet číselné řady Z^n=l n-2n E00 n n=l 3n [In 2] MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 9 / 12 Mocninné řady Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled. MA2BP.CAN3 4. cvičení 13. 3. 2018 10 / 12 Mocninné řady Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled Mocninnou řadou se středem v bodě xq a koeficienty an rozumíme řadu funkcí tvaru an(x — >