Cvičení z matematické analýzy 3 Zápočtový test, obor konvergence funkčních řad, integrace, derivace řad 20. 3. 2018 MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 Náplň cvičení Literatura ■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Nekonečné rady. MU Brno, 1994. ■ Došlá, Z., Novák, V.; Nekonečné rady. MU Brno, 2013. MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 1. zápočtový test MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 1. zápočtový test MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 1. zápočtový test Zadání 1. Určete součet řady Y,T=i ~^+2) 2. Užitím vhodného kriteria rozhodněte o konvergenci či divergenci 3. Rozhodněte o (absolutní/neabsolutní) konvergenci či divergenci řady Voo (-1)" 2^n=l (n- (n+l)ln(n+l) 4. Určete interval konvergence řady Y^m=i Ič^*" MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 1. zápočtový test Řešení 1. Určete součet řady Y,T=i ~^+2) 2. Užitím vhodného kriteria rozhodněte o konvergenci či divergenci ^dy En=i \Ťny. 3. Rozhodněte o (absolutní/neabsolutní) konvergenci či divergenci řady Voo (-1)" 2^n=l (n- (n+l)ln(n+l) 4. Určete interval konvergence řady Y^m=i T^1*" MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 1. zápočtový test Řešení 1. Určete součet řady Yl™=i l^Fpřj [f. 2. Užitím vhodného kriteria rozhodněte o konvergenci či divergenci ^dy En=i \Ťny. 3. Rozhodněte o (absolutní/neabsolutní) konvergenci či divergenci řady Voo (-1)" 2^n=l (n- (n+l)ln(n+l) 4. Určete interval konvergence řady Y^m=i T^1*" MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 1. zápočtový test Řešení 1. Určete součet řady Y,T=i ~^+2) 3 L4 2. Užitím vhodného kriteria rozhodněte o konvergenci či divergenci řady J27=i J$y\ konverguje] 3. Rozhodněte o (absolutní/neabsolutní) konvergenci či divergenci řady Vc» (-1)" Z^n=l (n+1) ln(n+l) 4. Určete interval konvergence řady Y^m=i T^1*" □ rS1 ► < ► < = MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 1. zápočtový test Řešení 1. Určete součet řady Y,T=i ~^+2) 3 L4 2. Užitím vhodného kriteria rozhodněte o konvergenci či divergenci íac|y E^i jSy. [řada konverguje] 3. Rozhodněte o (absolutní/neabsolutní) konvergenci či divergenci řady (n+i^infn+i) tíada konverguje neabsolutně] 4. Určete interval konvergence řady Y^m=i T^1*" MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 1. zápočtový test Řešení 1. Určete součet řady Y,T=i ~^+2) 3 L4 2. Užitím vhodného kriteria rozhodněte o konvergenci či divergenci íac|y E^i jSy. [řada konverguje] 3. Rozhodněte o (absolutní/neabsolutní) konvergenci či divergenci řady (n+i^infn+i) [íada konverguje neabsolutně] 4. Určete interval konvergence řady Y^m=i T^1*" [(-2,2)] MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 ntegrace a derivace řad funkcí Následující vlastnosti platí pro řady stejnoměrně konvergentní (viz přednáška). MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 Integrace a derivace řad funkcí Následující vlastnosti platí pro řady stejnoměrně konvergentní (viz přednáška). Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu (a, b) a má součet s. Jestliže všechny funkce fn jsou integrovatelné na (a, b), je také funkce s integrovatelná na (a, b) a platí J s(x)dx = j (J2 f„(x)dx) = (/ U*)dx MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 6 / m Integrace a derivace řad funkcí Následující vlastnosti platí pro řady stejnoměrně konvergentní (viz přednáška). ■ Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu (a, b) a má součet s. Jestliže všechny funkce fn jsou integrovatelné na (a, b), je také funkce s integrovatelná na (a, b) a platí J s(x)dx = J (J2 f„(x)dx) = U*)dx ■ Buď {fn} posloupnost funkcí, které mají na otevřeném intervalu (a, b) derivaci. Nechť fn konverguje na (a, b) a má součet s a dále nechť f'n konverguje stejnoměrně na (a, b). Pak funkce s má na (a, b) derivaci a platí s/w = (E/"W)' = E/"nW MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 Mocninné řady Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled. MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 7 /1 Mocninné řady Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled. ■ Mocninnou řadou se středem v bodě xq a koeficienty an rozumíme řadu funkcí tvaru an(x — > >SW = (* + *)ln (* + !)" *] E ľ=i(-i) n—l x 2n-l 2n-l [I = (-1,1) ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 8 /1 Určete součet mocninné řady / = (-l,l),s(x) = (T^F Eľ=i("l) n—1 x 2n-l 2n-l [/ = (-1,1} ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady n=l 2ň^l 2n-l MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 8 /1 Určete součet mocninné řady / = (-l,l),s(x) = (T^F Eľ=i("l) n—1 x 2n-l 2n-l [/ = (-1,1} ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady n=l 2ň^l 2n-l / = (-l,l),s(x) = i|n(i^I MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 8 /1 Určete součet mocninné řady / = (-l,l),s(x) = (T^F Eľ=i ľ = ("L !> >SW = (* + !)In (* + !)" *] Eľ=i("l) n—1 x 2n-l 2n-l [/ = (-1,1} ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady n=l 2ň^l 2n-l / = (-l,l),s(x) = i|n(i^I 2 3 X i X i X 1-2 1 2-3 3-4 + ... MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 8 /1 Určete součet mocninné řady / = (-l,l),s(x) = (T^F Eľ=i("l) n—1 x 2n-l 2n-l [/ = (-1,1} ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady n=l 2n-l 2n-l / = (-l,l),s(x) = i|n(i^I 2 3 X i X i X 1-2 1 2-3 3-4 + ... [/ = (-l,l)\{0},s(x) = l + i^ln(l-x)] MA2BP.CAN3 5. cvičení 20. 3. 2018 8 /1