Cvičení z matematické analýzy 3 Obor konvergence funkčních řad, integrace, derivace řad Diferenciální rovnice - úvod 27. 3. 2018 MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 1 /8 Náplň cvičení H Mocninné řady ■ Příklady B Diferenciální rovnice ■ Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu ■ Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými ■ Příklady Literatura ■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, 1998. ■ Ráb, M.; Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MU Brno, 1998. MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 2 /8 Mocninné řady Pro připomenutí: Mocninnou řadou se středem v bodě xq a koeficienty an rozumíme řadu funkcí tvaru an(x — > >SW = (* + *)ln (* + !)" *] E ľ=i(-i) n—l x 2n-l 2n-l [I = (-1,1) ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 4 /8 Určete součet mocninné řady / = (-l,l),s(x) = (T^F Eľ=i ľ = ("L !> >SW = (* + !)In (* + !)" *] Eľ=i("l) n—1 x 2n-l 2n-l [/ = (-1,1} ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady n=l 2ň^l 2n-l MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 4 /8 Určete součet mocninné řady / = (-l,l),s(x) = (T^F Eľ=i ľ = ("L !> >SW = (* + !)In (* + !)" *] Eľ=i("l) n—1 x 2n-l 2n-l [/ = (-1,1} ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady n=l 2ň^l 2n-l / = (-l,l),s(x) = i|n(i^I MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 4 /8 Určete součet mocninné řady / = (-l,l),s(x) = (T^F Eľ=i("l) n—1 x 2n-l 2n-l [/ = (-1,1} ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady n=l 2ň^l 2n-l / = (-l,l),s(x) = i|n(i^I 2 3 X i X i X 1-2 1 2-3 3-4 + ... MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 4 /8 Určete součet mocninné řady / = (-l,l),s(x) = (T^F Eľ=i("l) n—1 x 2n-l 2n-l [/ = (-1,1} ,s(x) = arctgx] Užitím derivování nebo integrování určete součet mocninné řady n=l 2n-l 2n-l / = (-l,l),s(x) = i|n(i^I 2 3 X i X i X 1-2 1 2-3 3-4 + ... [/ = (-l,l)\{0},s(x) = l + i^ln(l-x)] MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 4 /8 Diferenciální rovnice MA2BP.CAN3 6. cvičeni 27. 3. 2018 5 /8 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled J MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 6 /8 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled. ■ Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x,y,y') — 0, kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C K3. MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 6 /8 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x, y,y') kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C R . Řešením rovnice F(x,y,y') = 0 je funkce y = h(x), pro niž platí . [x, h(x), h'(x)] e G m F(x, h(x), h'(x)) = 0 = 0, MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 6 /8 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled. ■ Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x,y,yr) = 0, kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C K3. ■ Řešením rovnice F(x,y,y') — 0 je funkce y = h(x), pro niž platí . [x,h{x),h'{x)]eG m F(x,/7(x),/7/(x)) = 0 ■ Vyřešit diferenciální rovnici znamená najít množinu všech řešení - tzv. obecné řešení, které závisí na konstantě C jako na parametru. MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 6 /8 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled. ■ Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x,y,yr) = 0, kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C K3. ■ Řešením rovnice F(x,y,y') — 0 je funkce y = h(x), pro niž platí . [x,h{x),h'{x)]eG m F(x,/7(x),/7/(x)) = 0 ■ Vyřešit diferenciální rovnici znamená najít množinu všech řešení - tzv. obecné řešení, které závisí na konstantě C jako na parametru. ■ Dosazením konkrétní hodnoty za C získáme tzv. partikulární řešení. MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 6 /8 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Teorii je třeba načerpat z přednášek, zde jen stručný přehled. ■ Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu je rovnice tvaru F(x,y,y;) = 0, kde F je funkce tří proměnných, definovaná v G C IR3. ■ Řešením rovnice F(x,y,y;) = 0 je funkce y = h(x), pro niž platí . [x,h{x),h'{x)]eG m F(x,/7(x),//(x)) = 0 ■ Vyřešit diferenciální rovnici znamená najít množinu všech řešení - tzv. obecné řešení, které závisí na konstantě C jako na parametru. ■ Dosazením konkrétní hodnoty za C získáme tzv. partikulární řešení. ■ Často chceme, aby platila tzv. počáteční podmínka y (xq) = yo- MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 6 /8 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 7 /8 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru y' = P(x) ■ Q(y), případně Q(y) ■ y' = P(x). MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 7 /8 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x). Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto: MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 7 /8 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x). Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto: ■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace) MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 7 /8 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x). Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto: ■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace) ■ řešíme rovnici ^ = P(x) • Q(y) MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 7 /8 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými ■ Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x). ■ Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto: ■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace) ■ řešíme rovnici ^ = P(x) • Q(y) ■ upravíme ji do tvaru J = J P(x)dx MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 7 /8 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými ■ Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x). ■ Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto: ■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace) ■ řešíme rovnici ^ = P(x) • Q(y) ■ upravíme ji do tvaru J = J P(x)dx ■ vypočítáme příslušné integrály, nezapomeneme na konstantu MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 7 /8 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými ■ Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x). ■ Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto: ■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace) ■ řešíme rovnici ^ = P(x) • Q(y) ■ upravíme ji do tvaru J = J P(x)dx ■ vypočítáme příslušné integrály, nezapomeneme na konstantu ■ zohledníme případnou počáteční podmínku MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 7 /8 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými ■ Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru / = P(x) • Q(y), případně Q(y) • / = P(x). ■ Při řešení rovnice y' — P(x) • Q(y) postupujeme takto: ■ y' nahradíme výrazem ^ (vzpomeňte např. na definici derivace) ■ řešíme rovnici ^ = P(x) • Q(y) ■ upravíme ji do tvaru J = J P(x)dx ■ vypočítáme příslušné integrály, nezapomeneme na konstantu ■ zohledníme případnou počáteční podmínku ■ určíme i případná singulární řešení (která při použití předchozího postupu musíme vyloučit) 4 MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 7 /8 Příklady Separací proměnných určete obecné řešení rovnice □ iS1 MA2BP.CAN3 6. cvičeni 27. 3. 2018 8 /8 Příklady Separací proměnných určete obecné řešení rovnice □ x2 + 1 + yř cosy = 0 MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y1 cos y = 0 siny MA2BP.CAN3 6. cvičení □ iS1 27. 3. 2018 8 /8 Příklady Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cos y = 0 yy + X 2 Vl + x- = 0 siny MA2BP.CAN3 □ iS1 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cos y = 0 siny = -T-x+C yy + X = 0 VTT^ž + y/l + y2 = c MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cosy = 0 siny = -T-x+C yy + X 2 / i * y = l - y = o MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cos y = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x = 0 a/ITx2" + y/l+y2 = C y = 1 - C- e x MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cos y = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x- = 0 VTTx* + y/l + y2 = C y = 1 - C- e x Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cos y = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x- = 0 VTTx* + y/l + y2 = c y = 1 - C- e x Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku Q y-Xy' = a(l+X2/), y(l) = l MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cos y = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x- = 0 VTTx* + y/l + y2 = c y = 1 - C- e x Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku y-xy' = a(l + x2/), y(l) = 1 y = _ a+x ax+1 3^-1 MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cosy = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x = 0 a/ITx2 + y/l+y2 = C y = 1 - C- e x Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku y-xy' = a(l + xV), y(l) = 1 y' sin x • sin y = cos x • cosy, y (?) = 0 y = _ a+x ax+1 3^-1 MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cosy = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x- = 0 VTTx* + y/l + y2 = c y = 1 - C- e x Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku y-xy' = a(l + xV), y(l) = 1 y' sin x • sin y = cos x • cosy, y (?) = 0 y = _ a+x ax+1 y = arccos 0V. ^ 2smx MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cos y = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x- = 0 VTTx* + y/l + y2 = c y = 1 - C- e x Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku y-xy' = a(l + xV), y(l) = 1 y; sin x • sin y = cosx • cosy, y (^) = 0 y'sinx = y lny, y (f) = 1 y ax+l y = arccos ^ V2 ' sin x MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cosy = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x- = 0 VTTx2 + y/l + y2 = c y = 1 - C- e x Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku y-xy' = a(l + xV), y(l) = 1 y; sin x • sin y = cosx • cosy, y (^) = 0 y'sinx = y lny, y (f) = 1 V2 ' y ~~ ax+l' y = arccos ~ ^ 2smx [y = i] MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cosy = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x = 0 a/ITx2 + y/l+y2 = C y = 1 - C- e x Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku y-xy' = a(l + xV), y(l) = 1 y' sin x • sin y = cos x • cosy, y (?) = 0 y'sin x = y lny, y (f) = 1 (l + e*)yy' = e*, y(0) = 1 _ a+x a ^ _j_ V2 ' ~~ ax+1' y = arccos ~ ^ 2 si n x [y = i] MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8 Separací proměnných určete obecné řešení rovnice x2 + 1 + y' cos y = 0 siny = yy + X xzy = 1 - y y/l + x- = 0 VTTx* + y/l + y2 = C y = 1 - C- e x Určete partikulární řešení DR, které splňuje danou podmínku y-xy' = a(l + xV), y(l) = 1 y; sin x • sin y = cosx • cosy, y (^) = 0 y'sinx = y lny, y (f) = 1 y ax+l y = arccos ^ V2 ' sin x [y = i] (l + e*)yy' = e*, y(0) = 1 y = J2 (ln(l + e*) + ±-ln2) MA2BP.CAN3 6. cvičení 27. 3. 2018 8 /8