Cvičení z matematické analýzy 3 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty 17. 4. 2018 MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 Náplň 9. cvičení Q Opakování z minulé hodiny B LDR s pravou stranou (nehomogenní) ■ Řešení metodou variace konstant ■ Příklady ■ Řešení metodou neznámých koeficientů Literatura ■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, 1998. ■ Kuběn, J.; Obyčejné diferenciální rovnice. UP Olomouc, 1995. MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 2 /9 Opakovaní z minulého cvičení Při řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici aX2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny Ai, A2 ■ jsou-li Ai, A2 dva různé reálné kořeny, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = C\ eAlX +C2 eA2X ■ má-li charakteristická rovnice dvojnásobný kořen Ai = A2, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = C\ eAlX +C2xeAlX ■ je-li Ai52 = oĺ ± f3i, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = Q eax cos f3x + C2 eax sin f3x MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 3 /9 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant Platí: ORNLDR = ORHLDR + PRNLDR MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně: MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně: ■v najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant ■ Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR ■ Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně: □ najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledejme ve tvaru yp = C\(x)yi + C2(x)y2 MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 A i/9 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně: najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledejme ve tvaru yp = Ci(x)yi + C2(x)y2 vypočítáme y'p = C[(x)yi + Ci{x)y[ + C!1{x)y2 + C2{x)y!1 MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně: najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledejme ve tvaru yp = C\(x)yi + C2(x)y2 vypočítáme y'p = C[(x)y1 + Cľ(x)y[ + C!1(x)y2 + C2{x)y!1 klademe C[(x)yi + Ĺ2(x)y2 = 0 (abychom v y^ nepracovali s druhou derivací neznámých funkcí) MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně: najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledejme ve tvaru yp = C\(x)yi + C2(x)y2 vypočítáme y'p = C[(x)y1 + Cľ(x)y[ + C!1(x)y2 + C2{x)y!1 klademe C[(x)yi + Ĺ2(x)y2 = 0 (abychom v y^ nepracovali s druhou derivací neznámých funkcí) vypočítáme y£ = C[(x)y[ + Ci(x)yí' + C^(x)y^ + C2(x)y^ MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant dosadíme-li do původní rovnice yp,yfp a yfp, dostaneme po úpravě CÍ{xWi + C&x)/2 = f{x) MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 5 /9 LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní) Řešení metodou variace konstant Q dosadíme-li do původní rovnice yp,yfp a yfp, dostaneme po úpravě Cí(x)y[ + jestliže 0 není kořen charakteristické rovnice ■ Yp — xkQ(x), je-li 0 k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Q(x) je polynom stupně n, avšak s neznámými koeficienty (např. Axn + Bx"'1 + Cxn~2 + ...) MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 7 /9 Řešení metodou neznámých koeficientů Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu. Pravá strana ve tvaru polynomu MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 8 /9 Řešení metodou neznámých koeficientů Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu. Pravá strana ve tvaru polynomu vypočítáme y'p a y£ 3 dosadíme yp,yfp a y'p do původní rovnice a upravíme MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 8 /9 Řešení metodou neznámých koeficientů Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu. Pravá strana ve tvaru polynomu vypočítáme y'p a y£ dosadíme yp,yp a yp do původní rovnice a upravíme pokud jsme počítali správně, vyjde rovnice s polynomy na obou stranách MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 8 /9 Řešení metodou neznámých koeficientů Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu. Pravá strana ve tvaru polynomu vypočítáme y'p a y£ dosadíme yp,yp a yp do původní rovnice a upravíme pokud jsme počítali správně, vyjde rovnice s polynomy na obou stranách víme, že dva polynomy se rovnají právě tehdy, když ■ jsou stejného stupně ■ koeficienty u stejných mocnin jsou stejné MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 8 /9 Řešení metodou neznámých koeficientů Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu. Pravá strana ve tvaru polynomu vypočítáme y'p a y£ dosadíme yp,yp a yp do původní rovnice a upravíme pokud jsme počítali správně, vyjde rovnice s polynomy na obou stranách víme, že dva polynomy se rovnají právě tehdy, když ■ jsou stejného stupně ■ koeficienty u stejných mocnin jsou stejné OŘNLDR má tak tvar y = dyi + C2y2 + Q(x) (Q(x) má již dopočítané konkrétní koeficienty) MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 8 /9 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: MA2BP.CAN3 9. cvičeni 17. 4. 2018 9 /9 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: □ y" - ly' + 12y = 5 MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 9 /9 Určete obecné řešení diferenciální rovnice: y" - 7/ + 12y = 5 y = de3x+C2e4x+^ 12 J MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 9 /9 Příklady Určete obecné řešení diferenciální rovnice: g y» _ ly> + 12y = 5 B y" + 4/ + 5y = 5x2 - 32x + 5 y = Cie3x+C2e4x+^ MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 9 /9 Určete obecné řešení diferenciální rovnice: y" - 7/ + 12y = 5 12J y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5 y = Ci e 2x cos x + C2 e ^x sin x + xz — 8x + 7 -2x MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 9 /9 Určete obecné řešení diferenciální rovnice: y" - 7/ + 12y = 5 y = de3x+C2e4x+^ 12 J y" + 4ý + 5y = 5x2 - 32x + 5 y = Ci e 2x cos x + C2 e 2x sin x + xz — 8x + 7 -2x y" + 3/ = 9x MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 9 /9 Určete obecné řešení diferenciální rovnice: y" - 7/ + 12y = 5 12J y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5 y = Ci e 2x cos x + C2 e ^x sin x + x^ — 8x + 7 -2x y" + 3y; = 9x y = Ci + C2 e"3x +§x2 - x" MA2BP.CAN3 9. cvičení 17. 4. 2018 9 /9