MA2BP_PKG: Konstrukční geometrie Poslední aktualizace: 9. května 2018, Vojtěch Žádník http://is.muni.cz/el/1441/j aro2018/MA2BP_PKG/um/prednaska.pdf Plán Celkově ► jaro 2018: konstrukční geometrie (syntetická) — pravítko, kružítko, trpělivost ► podzim 2018: počítací geometrie (analytická) — soustavy rovnic, matice, determinanty Jaro 2018 ► klasická konstrukční geometrie: Základy, dotykové úlohy ► geometrická zobrazení: shodná, podobná, další a další ► zobrazovací metody: myšleno 3D -> 2D Organizační věci Preference (1) celkový přehled (2) hlavní myšlenky a teoretické pozadí (3) konstrukce a technické záležitosti Materiály ► IS1: osnova, přednáška, GeoGebra, odkazy, staré písemky Zakončení ► zápočet ze cvičení -> písemka -> ústní Soutěž o nejpovedenější konstrukci/výkres/aplikaci použitelnou ve výuce ► vítěz získá vliv na další průběh kurzu, nehynoucí slávu a věcnou cenu 1 http://is.muni.cz/el/1441/j aro2018/MA2BP_PKG/um/ Základy 1 Úvod 2 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 11 Geometrická algebra a zlatý řez 14 Sestrojitelné a nesestrojitelné veličiny 17 Kosinová věta 23 O kružnicích 24 Pravidelný pětiúhelník a další 29 Teorie podobnosti 40 Trocha stereometrie 52 Pravidelné mnohostěny 56 Dotykové úlohy 64 Geometrická zobrazení 83 Zobrazovací metody 137 Závěrečné shrnutí 163 Základy 2 = základy eukleidovské geometrie = geometrie Eukleidových Základů,2 ovšem s Hilbertovými upřesněními.3 Základní pojmy: ► bod, přímka, rovina Základní vztahy/relace: ► incidence, uspořádání, (rovnoběžnost), shodnost, spojitost Základní definice: ► např. úhel, pravý úhel, resp. kolmost přímek, trojúhelník, čtverec, kružnice, rovnoběžnost přímek,... Základní tvrzení (axiómy/postuláty): ► několik ke každému ze základních vztahů... 2kolem -300, http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovy_Zaklady 3kolem +1900, http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms Eukleidovy geometrické axiómy (postuláty) 3 (I) Každé dva různé body spojuje přímka. (II) Každou přímku lze na každé straně libovolně prodloužit. (III) Lze vytvořit kružnici s libovolným daným středem procházející libovolným jiným bodem. (IV) Všechny pravé úhly jsou shodné. (V) Když přímka protínající dvě jiné přímky tvoří vnitřní úhly na jedné straně menší než dva pravé, pak tyto dvě přímky (dostatečně prodlouženy) setkají se na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. Eukleidův postulát (V): a +J3 < 2R ==> g a h se protínají. Konstrukce založené na postulátech (l)-(lll) jsou tzv. eukleidovské konstrukce. Eukleidovy všeobecné axiómy 4 ► Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou. ► Když se přidají rovné veličiny k rovným, i celky jsou rovny ► apod. Dnes čteme jako: ► k = / a m = / => k = m. ► k = / a m = n => /c + m = / + n. ► apod.4 https://mathcs.čiarku.edu/~djoyce/java/elements/bookl/cn.html Eukleidovy nevyslovené axiómy (Hilbertovo upřesnění) Několik axiómů, které nejsou v Eukleidově systému explicitně formulovány... Typický axióm uspořádání je např.: ► Pro tři různé body ležící na jedné přímce platí, že právě jeden z nich je mezi zbylými dvěma. Axiómy spojitosti je možné nahradit jediným, tzv. Dedekindovým axiómem. ► Body na přímce neobsahují (vzhledem k výše zmíněnému uspořádání) Dedekindovy řezy typu „skok" a „mezera". Poznámka V Hilbertově systému mezi axiómy incidence najdeme upřesnění, že ► dvěma body je určena právě jedna přímka. Mezi axiómy shodnosti je věta SUS. Axióm rovnobežnosti: ► každým bodem ke každé přímce prochází nejvýše jedna rovnoběžka. Co na postulátu (V) nezávisí 6 ► Věty SUS, SSS, USU, nerovnosti v trojúhelníku apod. ► Věta o vnějším úhlu trojúhelníku.5 7 > a a 7 > J3 ► Shodné střídavé úhly implikují rovnoběžnost přímek6 (odtud existence rovnoběžky). a = 7=> h\\g 5Zde jsou poprvé potřeba axiómy uspořádání. 6Nepřímo pomocí věty o vnějším úhlu trojúhelníku. Co na postulátu (V) závisí ► Věta o střídavých úhlech7 (odtud jednoznačnost rovnoběžky). 7 h\\g => a = y ► Věta o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku.8 A a+f3 + y = 2R ► Věty o rovnoběžnících a trojúhelnících a jejich obsazích. ► Pythagorova věta (a téměř vše co následuje...) 7Nepřímo: a±y ==> a + fi ž y + fi =^> 2R ž y + fi; odtud podle (V) plyne, že se přímky h, g protínají, tedy nejsou rovnoběžné. 8Přímo pomocí věty o střídavých úhlech. Detail k větě o součtu úhlů v trojúhelníku9 BOOK I. PROP. XXXII. THEO It. Kirt of a triangle he pro- FV*J \$3h dticed, the externa! angle { W body G,A,C leží na jedné přímce, a ta je rovnoběžná s FB. Odtud podle zákl. věty o obsazích, shodnosti trojúh. FBC a ABD a znovu podle zákl. věty o obsazích: obsah FBA = obsah FBC = obsah ABD = obsah PBD. Proto má čtverec FBAG stejný obsah jako obdélník PBDL...12 12http://www.youtube.com/watch?v=PoFMWJkY7r8 □ Kvadratura mnohoúhelníku Kombinací předchozích poznatků zjišťujeme, že libovolný mnohoúhelník lze geometricky kvadraturovat = sestrojit čtverec se stejným obsahem.13 Navíc každou dílčí konstrukci lze doplnit názorným rozstříháním. Věta (Wallaceova-Bolyaiova-Gerwienova) Dva mnohoúhelníky mají stejný obsah <^^> jeden lze rozstříhat na části, z nichž lze složit ten druhý. Kvadratura obecného trojúhelníku se stříháním 13http://ggbtu.be/mkripDpYd Geometrická algebra 14 1 ' ' K L i ►—H Obrázek 4.11: QQ H.G: Pokud je C stí cd úsečky AB a D je libovolný bod na téže přímce vpravo od B, potom vlatílAD - BĽ\+ C B2 = CD2 Poznámky Při značení \AB\ =: b a \DB\ =: x lze předchozí tvrzení psát jako (&+*)*+(!) =(^+x)' Uvedené úpravy známe jako tzv. doplnění do čtverce. neboli x^ + bx + |-l =l-+x Tyto úpravy jsou také prvním krokem k vyjádření kořenů obecné kvadratické rovnice... Speciálním případem je konstrukce zlatého řezu, viz s. 15. Zlatý řez 15 Definice Bod H dělí úsečku AB ve zlatém řezu, pokud poměr celé úsečky k delší části řezu je stejný jako poměr delší části ke kratší, tzn. pokud BA : AH = AH : HB, nebo AB : BH = BH : HA. Konstrukce (i) AC je kolmice k AB, přičemž AC = AB, (ii) E = středAC, (iii) F leží na polopřímce CA tak, že EF = EB, (iv) H leží na úsečce AB tak, že AH = AF. Potom AH je delší částí zlatého řezu úsečky AB. Důkaz a něco navíc 16 Zdůvodnění konstrukce plyne z předchozího (s. 14) a z Pythagorovy věty (s. 12): CF ■ FA + AE2 = EF2 = EB2 = AE2 + AB2, neboli CF ■ FA = AB2. Tzn. obdélník CFGK a čtverec ABDC mají stejný obsah. f Tyto však mají společnou část CKHA, takže taky čtverec AHGF a obdélník KDHB mají stejný obsah. a To můžeme zapsat jako E AH2 = AB ■ BH, neboli AH : BH = AB : AH. □ c Počítání Při označení |AB| =: b a |AH| =: x definice zlatého řezu zní: b : x = x : (b - x), neboli £>(£>-x) = x2, neboli x2 + bx - b2 = 0. Postupně sestrojené veličiny jsou: \AE\ = \EC\ = -b, \EB\ = -^-b, \AF\ = \AH\ = x = -L— b. Skutečně, x = ^^-b je kořenem kvadratické rovnice x2 + bx - b2 = 0... Sestrojitelné veličiny 17 Reálné veličiny — reprezentované úsečkami — umíme: ► sčítat a odčítat — pomocí přikládání a odebírání úseček na přímce, ► násobit a dělit — pomocí stejnoplochých rovnoběžníků, resp. podobných trojúhelníků,14 ► druhou odmocninu — pomocí Eukleidovy věty o odvěsně, resp. o výšce. Úplná charakterizace sestrojitelných veličin říká, že to je všechno: Věta Reálné číslo je sestrojitelné eukleidovským pravítkem a kružítkem <^^> jej lze vyjádřit pomocí konečného počtu 1 + - • = V ( ) Podobnostem se budeme věnovat záhy, viz s. 40. Důkaz Začneme s úsečkou představující jednotku. Další sestrojitelné veličiny vznikají konstrukcemi v rovině, a to výhradně jako (a) průnik dvou přímek ^ soustava dvou lineárních rovnic, (b) průnik přímky s kružnicí ^ soustava lineární a kvadratické rovnice, (c) průnik dvou kružnic ^ soustava dvou kvadratických rovnic. Eliminací jedné proměnné dostaneme jednu lineární, nebo kvadratickou rovnici; vyřešíme, dosadíme, ... Kořen(y) lib. lineární a kvadratické rovnice umíme vyjádřit z jejích koeficientů pomocí právě uvedených operací! Poznámka Algebraické vyjádření kořenů kvadratické rovnice x2 + bx + c = 0 vypadá takto: x2 + bx + f^j =||J -c, neboli (*+§) = ||J - c, což po odmocnění a úpravě vede k dobře známému vyjádření Slavné problémy starověku 19 (a) zdvojení krychle ^ x= ^2a, (b) rozvinutí kružnice ^ x = 2nr, (c) kvadratura kruhu ^ x = yjňr, (d) roztřetění úhlu ^ x3 - 3ax2 - 3x + a = 0, (e) pravidelné mnohoúhelníky ^ ...... (s. 37) Problémy (b) a (c) jsou ekvivalentní; problémy (d) a (e) spolu úzce souvisí. Díky J.H. Lambertovi, resp. F. Lindemannovi víme, že n není racionální, resp. algebraické číslo.15 Z předchozího (a trochu následujícího) víme, že ► problémy (a), (b) a (c) nejsou nikdy řešitelné, ► problémy (d) a (e) ve speciálních případech řešitelné jsou. 15r. 1767, resp. 1882 Mascheroniovské a steinerovské konstrukce Eukleidovské konstrukce = konstrukce s kružítkem a pravítkem. Mascheroniovské konstrukce = konstrukce pouze s kružítkem. Steinerovské konstrukce = konstrukce pouze s pravítkem a jednou kružnicí. Mascheroniovské a steinerovské konstrukce inverzního bodu A' k bodu A vzhledem ke kružnici se středem O. Poznámka Platí, že konstrukce je proveditelná eukleidovsky <^> je proveditelná mascheroniovsky <^> je proveditelná steinerovsky...16 16... ale jak? Konstrukce neusis 21 Konstrukce neusis = konstrukce s kružítkem a pravítkem se značkami (které se přikládají k přímkám, resp. kružnicím) a n & a n & Archimédés: Trisekce úhlu s označeným pravítkem... Poznámka Takto lze sestrojit (reálné) kořeny libovolné kubické rovnice, tedy vyřešit problémy (a), (d) a některé další (e) na s. 19...17 7http://en.wikipedia.org/wiki/Neusis_construction Užitek 22 Konstrukce elipsy pomocí neusis udělátka. Kosinová věta Jako důsledek (a zobecnění) Pythagorovy věty představujeme větu kosinovou Věta V obecném trojúhelníku ABC, kde D = pata výšky z vrcholu B, platí: BC2 = BA2 + AC2 + 2DA ■ AC, BC2 = BA2 + AC2 - 2DA ■ AC. Důkaz. Několikeré užití Pythagorovy věty (zde pro trojúh. BDC a BDA) a algebraická úprava... Poznámka Při obvyklém značení a = \BC\, b = \AC\, c = \AB\ aa = \iBAC\ můžeme obě části předchozí věty psát současně jako a2 = b2 + c2 - 2bc cos a. O kružnicích Jako důsledky věty o součtu úhlů v trojúhelníku (s. 7) uvádíme ► větu o středovém a obvodovém úhlu, ► spec. případ — Thaletovu větu, ► větu o úsekovém úhlu, ► apod. A jj = 2a = konst. a +p = 90° https://ggbm.at/MtseAe67 Pro libovolnou sečnu jdoucí bodem D platí: DC-DA = konst. Důkaz. Lze zdůvodnit několikerým užitím Pythagorovy věty (zde pro trojúh. DBE, DFE, CFE) a alg. úpravou...19 Alternativně (univerzálně a elegantně) pomocí podobnosti trojúhelníků (zde trojúh. DCB a DCA)... Zejména pro D vně kružnice (a B bod dotyku tečny) platí DC-DA = DB2 = DE2 - EB2. Definice Mocnost bodu D ke kružnici se středem E a poloměrem r je reálné číslo m := DB2 - r2. 19Třeba rozlišovat, zda je bod D uvnitř nebo vně kružnice. Chordála Odvozený pojem, na který se budeme občas odkazovat: Definice Množina všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke dvěma daným kružnicím, se nazývá chordála. 1 Chordála 27 Věta Chordála dvou nesoustředných kružnic je přímka, která je kolmá na spojnici jejich středů. Důkaz. X = lib. bod na chordále; P = pata kolmice z bodu X na spojnici středů. X má stejnou mocnost k oběma kružnicím: IXS, I2 (\XP\2 + \PSif) IPS1I2 - ň = \XSZ\2 - rf 2 ' - rf = (|XP|2 + \PS2\2) r2 '2' - r? = |PS2|2 - r| 2' tedy bod P taky leží na chordále! I Chordála má se spojnicí středů společný právě jeden bod, tj. právě P. Pata kolmice z každého bodu na chordále splývá s P, tedy chordála = kolmice ke spojnici středů jdoucí P. □ Užitek 28 Kotoulením kružnice uvnitř kružnice s dvojnásobným poloměrem se převádí pohyb otáčivý na přímočarý... Pravidelný pětiúhelník 29 Postřehy (1) AD\\BC a BE\\CD, takže BCDF je kosočtverec. (2) Obvodové úhly BAC, CAD, DAE atd. jsou všechny shodné, takže trojúhelník ABD má tu vlastnost, že je rovnoramenný a úhly u základny jsou dvojnásobky úhlu u vrcholu D, tzv. zlatý trojúhelník. (3) Trojúhelníky ADE a EAF jsou oba rovnoramenné a mají společný úhel u vrcholu A, takže jsou podobné. Zlatý trojúhelník Věta Nechť úsečka AK je delší částí zlatého řezu úsečky AB a bod L je takový, že AL = AB a BL = AK. Potom trojúhelník ABL je zlatý, tj. rovnoramenný a takový, že/3 = 2a. Důkaz. ► K = zlatý řez a AK = BL => AB : BL = BL : BK, neboli BA ■ BK = ► Toto je mocnost bodu B ke kružnici AKL => BL = tečna. ► Úsekový iBLK = obvodový iLAK = a => lALB = a + 5. ► aABL je rovnoramenný => = a + ô. ► zLKB je vnějším úhlem v aAKL => zLKB = a + což je = ► Odtud plyne, že aBLK' je rovnoramenný => KL = BL = AK. ► Proto také trojúhelník AKL je rovnoramenný => a = ^. ► Celkem tedy j3 = a + ô = 2a. □ Důsledek Věta Úhlopříčky v pravidelném 5-úhelníku se navzájem dělí v poměrech zlatého řezu, jejichž delší části jsou shodné se stranami 5-úhelníku. Jiný důkaz. ► Trojúhelníky ADE a EAF jsou rovnoramenné a mají společný úhel u vrcholu A => jsou podobné. ► Odpovídající si strany jsou úměrné => AD : DE = EA : AF. ► Současně však platí DE = EA = DF, tedy AD : DF = DF : FA. □ Výpočet a něco navíc 32 Středový úhel v pravidelném n-úhelníku je an = 360°/n. Velikost strany pravidelného n-úhelníku veps. do kružnice s poloměrem r je (podle kosinové věty) an = r 72 - 2cosan. Pro n = 10 je or10 = 36°, pro n = 5 je a5 = 72c Ale to jsou právě úhly ve zlatém trojúhelníku! Odtud aio= 2(VŠ-1) a (podle kosinové věty) cos 72° = 2m = Po dosazení dostáváme a5 = r\2- Vš-1 •• = ^>/10-2V5. Zkratka a něco navíc Na obr. je konstrukce zlatého řezu úsečky AB a zlatý trojúhelník ABL: Strana pravidelného 5-úhelníku vepsaného do kružnice je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku BAJ. Navíc, odvěsnami trojúhelníku BAJ jsou strany pravidelného 6-úhelníku, resp. 10-úhelníku vepsaného do téže kružnice. Důkaz. Z předchozího víme, že Podle Pythagorovy věty v trojúhelníku ABJ platí Věta a6 = r, BJ\ = r\ 1 + ( V5-lf r v 10-2V5 = a5. □ 2 2 MGZishrnutí (navazuje na s. 10, pokračování nas. 63) 34 Další pravidelné mnohoúhelníky 35 Pravidelný n-úhelník umíme sestrojit pro n = 3,4,5,6. Půlením úhlů lze sestrojit také např. pro n = 8,10,12,16,20,... Kombinací předchozího lze sestrojit také např. pro n = 15: A Věta Pokud lze sestrojit pravidelný k-úhelník a I-úhelník, potom lze sestrojit také pravidelný n-úhelník, kde n = nejmenší společný násobek kal. Pozor: n.s.n. nelze obecně nahradit součinem (viz např. 3-3 = 9)! Detail pro k = 3 a / = 5 36 144 BOOK IF. PROP. xrr. PROP. O infcribt an equilateral and equiangular quhtdecagm in a given circle. and be the fides of an equilateral pentagon inlcribed in the given circle, and the fide of an inscribed equilateral triangle. The arc fubtended by _and-—— of the whole circumference. The arc fubtended by } = : = , }f of the w " I circumfci hole fcrcncc. Their difference — T'r .-, the arc fubtended by •■• the whole circumference. -• — -,'r difference of Hence if ftraight lines equat to be placed in the circle (B. 4. pr. 1), an equilateral ami equiangular quin-decagon will be thus inferibed in the circle. q. e, a Další sestrojitelné mnohoúhelníky 37 Z předchozího tušíme, že ne každý pravidelný mnohoúhelník je sestrojitelný: Věta (Gaussova-Wantzelova) Pravidelný n-úhelník lze sestrojit eukleidovským pravítkem a kružítkem <^^> n je součinem libovolné mocniny 2 a navzájem různých Fermatových prvočísel. Fermatovo prvočíslo je prvočíslo tvaru Fk = 22k + 1. K dnešnímu dni20 je známo pouze pět Fermatových prvočísel: F0 = 3, F-\ = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537. Tedy: lze 3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 nelze 7 9 11 13 14 18 19 21 22 9. května 2018 Pravidelný 17-úhelník Délku strany pravidelného 17-úhelníku vepsaného do kružnice s poloměrem r lze vyjádřit jako a17 = Ĺ ^34-2VT7-2V34-2VT7-4yi7 + 3VT7+ ^170 - 26 VTľ - 4 ^34 + 2 VTľ. Gaussova konstrukce pravidelného 17-úhelníku vypadá takto21 30. března 1796 Užitek 39 Konečně umíme rozeznat přesné konstrukce od přibližných. Teorie podobnosti Teorie podobnosti (kniha VI) je založena na pojmu úměrnosti, tedy rovnosti poměrů veličin (kniha V): Definice Veličiny a, b jsou ve stejném poměru jako veličiny c, d, a : b = c : d, pokud pro každá čísla m, n platí na | m b <^^> nc § md. Poznámky pro moderního čtenáře Veličiny a, b, c, d jsou reálná čísla, čísla m, n jsou čísla celá. Předchozí definici můžeme vyslovit taky takto:22 Reálná čísla r (= |) a s (= §) jsou si rovna, pokud pro každé racionální číslo q (= ^) platí r | q <=> s I q. 22Tady by se nám měla vybavovat konstrukce reálných čísel z racionálních pomocí tzv. Dedekindových řezů... Podobné trojúhelníky 41 Definice Trojúhelníky (obecněji, mnohoúhelníky) jsou podobné, pokud mají po dvou shodné vnitřní úhly a strany u shodných úhlů mají úměrné. Tedy: trojúhelníky jsou podobné, pokud (při obvyklém značení) a = ď, (3 = (3\ y = y\ b : C = b' : ď, C : a = ď : ď, a : b = ď : b'. Druhou sadu rovností obvykle přepisujeme takto a' : a = b' : b = ď : c = koeficient podobnosti. Základní tvrzení o poměrech obsahu Věta Poměr obsahů trojúhelníků (resp. rovnoběžníků) se stejnou výškou je stejný jako poměr délek jejich základen. E A F obsah ACB : obsah ACD = CB : CD Důkaz. Plyne přímo ze základní věty o rovnosti obsahů trojúhelníků (s. 11) a z definice rovnosti poměrů (s. 40)... □ Poznámka Odtud máme vzoreček pro výpočet obsahu trojúhelníku: kde S = obsah trojúhelníku, a = velikost strany, v = velikost výšky na stranu a. Základní tvrzení o poměrech ramen Věta Přímka je rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníku <^^> protíná zbylé dvě strany úměrně. SD' : SD = SE' : SE <=> D'E'\\DE Důkaz. Podle předchozí věty víme, že SD' : SD = obsah SD'E : obsah SDE, SE' : SE = obsah SE'D : obsah SED. Jmenovatelé na pravé straně jsou titíž a trojúhelníky SD'E a SE'D mají společný průnik SDE. Tedy: rovnost poměrů <^^> rovnost obsahů DD'E a EE'D <^^> rovnoběžnost D'E' a DE (s. 11). □ Ekvivalence v definici podobnosti Vlastnosti v definici podobných trojúhelníků (s. 41) jsou ekvivalentní: Trojúhelníky mají po dvou shodné vnitřní úhly <^^> strany u shodných úhlů jsou a = ď, p =/?', 7 = yf <^> b : C = b' : ď, C : a = ď : ar, a \ b = a' \ b'. Důkaz. Implikace zleva doprava je důsledkem předchozí věty (s. 43)... Pro opačné tvrzení uvažme pomocný trojúhelník ABD, který má shodné vnitřní úhly s trojúhelníkem A'B'C. Nyní strany u shodných úhlů jsou úměrné a současně trojúhelníky ABD a ABC mají společnou stranu, tedy jsou shodné... □ Věta umerne. Poznámky 45 Implikaci „=>" v předchozí větě s přezdívá věta UU. Mnoho předchozích úvah lze nahradit úspornějším argumentem s podobnými trojúhelníky, viz např.: ► věta o mocnosti bodu ke kružnicí (s. 25), ► věta o zlatém řezu v pravidelném pětiúhelníku (s. 31), ► Eukleidova věta o odvěsně/výšce (s. 12): Důkaz. Trojúhelníky ADC a ACB mají po dvou shodné vnitřní úhly =^> AC : AD = AB : AC =^> AC2 = AB ■ AD. Ostatní vztahy lze zdůvodnit podobně... > jsou podobné □ O obsazích podobných útvarů Věta Poměr obsahů podobných trojúhelníků (mnohoúhelníků) je stejný jako poměr druhých mocnin odpovídajících stran. Důkaz*3. Pomocný bod G e BC je takový, že EF : BG = BC : EF. Podle předpokladu je AB : DE = BC : EF = 1 : k. Tzn. AB: DE = EF : BG, odkud vyplývá, že obsah ABG = obsah DEF (s. 43). Odtud dostáváme obsah ABC : obsah DEF = obsah ABC : obsah ABG = A Je-li 1 : k poměr podobnosti, potom poměr obsahů je 1 : k2. BC: BG= {BC : EF) ■ (EF : BG) = 1 : k2. □ 23 ... bez infinitezimálních úvah pro obecné k e R! Zobecnění Pythagorovy věty 47 Věta Pokud jsou mnohoúhelníky nad stranami pravoúhlého trojúhelníku podobné, potom obsah mnohoúhelníku nad přeponou je roven součtu obsahů těch nad odvěsnami. Důkaz. Plyne z předchozího tvrzení (s. 46) a z Pythagorovy věty (s. 12). □ Výška stromu pomocí podobných trojúhelníků O obsazích kruhů U křivočarých útvarů se infinitezimálním úvahám nevyhneme...24 Věta Poměr obsahů kruhů je stejný jako poměr druhých mocnin jejich průměrů. G Idea důkazu. Každý kruh lze libovolně přesně aproximovat mnohoúhelníky. Každé dva kruhy jsou podobné; pokud jsou aproximovány analogicky, jsou odpovídající mnohoúhelníky taky podobné. Poměrům obsahů takových mnohoúhelníků rozumíme (s. 46)... Poznámka Při obvyklém značení můžeme předchozí tvrzení psát jako Si : S2 = /f : rf, neboli S\ : r2 = S2 : rf = konst. 24... v klasickém pojetí pomocí Eudoxovy metody. O obsahu kruhu a obvodu kružnice Věta (Archimedova) Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníku, jehož jedna odvěsna je shodná s poloměrem, druhá s obvodem kruhu. 50 G H A"* i Poznámka První část věty říká, že S = \r-o, kde r = poloměr kružnice a o — její obvod. To spolu s rovností na s. 49 dává S = -r• o = konst• r . 2 Tzn. stejná konstanta vystupuje ve vyjádření jak obsahu, tak obvodu! Tradičně se tato konstanta značí n, tudíž S = n ■ r2 a o = 2n • r. Poznámky ke kvadratuře Libovolný mnohoúhelník kvadráturovat umíme (s. 13), kruh neumíme (s. 19). Některé křivočaré útvary však kvadraturovat lze: Hippokratés: Vyznačené půlměsíce mají stejný obsah jako odpovídající pravoúhlý trojúhelník (s. 49 a s. 47). Q 9 Archimédés: Obsah parabolické úseče je roven | obsahu trojúhelníku PQq. Základní prostorové vztahy 52 Známe z roviny: ► Přímky jsou rovnoběžné, pokud nemají žádný společný bod. ► Pokud jsou vedlejší úhly vymezené dvěma protínajícími se přímkami shodné, pak každý z těchto úhlů se nazývá pravý a přímky se nazývají kolmé. Nově v prostoru: ► Neprotínající se přímky jsou kolmé, pokud rovnoběžka k jedné přímce protínající přímku druhou je k ní kolmá. ► Přímka je kolmá k rovině, pokud je kolmá ke všem přímkám, které v ní leží. ► Dvě roviny jsou kolmé, pokud jedna z rovin obsahuje přímku, která je kolmá ke druhé rovině. ► Přímky jsou rovnoběžné, pokud leží v téže rovině a nemají žádný společný bod. ► Roviny jsou rovnoběžné, pokud nemají žádný společný bod. ► Apod. O objemech rovnoběžnostěnů (a hranolů) K tvrzením o rovnoběžnících (s. 11, s. 42, s. 46) máme tyto 3D analogie: ► Rovnoběžnostěny se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný objem. ► Poměr objemů rovnoběžnostěnů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen. ► Poměr objemů podobných rovnoběžnostěnů je stejný jako poměr třetích mocnin odpovídajících stran. O objemech jehlanů K tvrzením o trojúhelnících uvádíme na ukázku jednu 3D analogii s naprosto neanalogickým důkazem: Věta Poměr objemů jehlanů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen. P Q Idea důkazu. Každý jehlan lze libovolně přesně aproximovat konečným počtem hranolů. Např. můžeme v obou jehlanech použít hranoly se stejnými výškami. Poměrům objemů takových hranolů rozumíme (s. 53)... □ Poznámky Limitní verze předchozí úvahy je známá jako tzv. Cavalieriho princip. 55 Z uvedeného např. vyvozujeme, že objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu hranolu se stejnou základnou a stejnou výškou: Teprve odtud máme vzorečky F V B A kde V = objem jehlanu, S = obsah podstavy a v = velikost odpovídající výšky. Pozor Ani v případě jehlanů se stejnými základnami a stejnými výškami (tedy se stejnými objemy) nelze úvahy v předchozím důkazu nahradit stříháním a přeskupováním částí jako u rovnoběžnostěnů, resp. hranolů!26 Tzn. 3D analogie Wallaceovy-Bolyaiovy-Gerwienovy věty (s. 13) obecně neplatí. 25http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle 26M. Dehn, 1900 Platónská tělesa 56 = pravidelné konvexní mnohostěny = konvexní mnohostěny, které mají stejný počet stěn kolem každého vrcholu a jejichž stěny jsou navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky27 Věta Platónských těles je právě pět druhů: čtyřstěn m h ychle osmistěn m dvanáctistěn /r-30, $~M 025) (203> dvacetistěn ls~20 * mají všechny stěnové úhly shodné, lze je vepsat do koule atd. Důkaz (1) Platónských těles není víc než pět druhů:28 součet úhlů kolem každého vrcholu musí být ostře menší než plný úhel: {3,3} Defect 1S0° {4.3} Defect 90° {3,4} Defect 120° {4,4} Defect 0° M AA w w {3.5} Defect 50° {5,3} Defect 36° {3.6} Defect 0° / {6.3} Defect 0° A vertex needs at least 3 faces, and an angle defect. A t>* angle defect will fill the Euclidean plane with a regular tiling. By Descartes' theorem, the number of vertices is 720°/defett. (2) Platónských těles je právě pět druhů: pro každou z pěti možností je třeba „složit" odpovídající těleso: ► čtyřstěn {3,3}, krychle {4,3}, osmistěn {3,4} jsou snadné, ► pro rozbor dvacetistěnu {3,5} a dvanáctistěnu {5,3} budeme potřebovat větu pravidelném 5-, 6- a 10-úhelníku vepsaném do téže kružnice (s. 33)... http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid Pravidelný dvacetistěn poprvé QL = QR = strana vepsaného 5-úhelníku, LE = strana vepsaného 10-úhelníku, LEQ = pravoúhlý trojúhelník. Proto EQ = strana vepsaného 6-úhelníku = poloměr kružnice (s. EQ = VE, tedy EVWQ je čtverec. Pravidelný dvacetistěn podruhé QWZ = pravoúhlý trojúhelník, QZ = QR = strana vepsaného 5-úhelníku, QW = strana vepsaného 6-úhelníku. Proto WZ = strana vepsaného 10-úhelníku = delší část zlatého řezu poloměru kružnice (s. 33). 2 WZ = delší část zlatého řezu úsečky WQ. Pravidelný dvacetistěn potřetí Pravidelný dvacetistěn je vepsán do koule. 60 viz konstrukci na s. 15 Pravidelný dvanáctistěn stručně 61 Nad každou stěnou krychle uvažme vrcholy U, V, W podle obr. Zájemci snadno zdůvodní, že: ► body UBCWV leží v jedné rovině, ► pětiúhelník UBCWV je pravidelný, ► vzdálenost středu krychle je od všech vrcholů stejná... RU = RP = delší část zlatého řezu úsečky PN. Circogonia icosahedra vlevo nahoře. Shrnutí (navazuje na s. 34) Základy 1 Dotykové úlohy 64 Úvod 65 Základní úlohy 67 Zobecnění 71 Obecná Apollóniova úloha 73 Geometrická zobrazení 83 Zobrazovací metody 137 Závěrečné shrnutí 163 Organizační věci 169 Zdroje 171 Dotykové úlohy = úlohy s body, přímkami, kružnicemi a jejich dotykem. Definice Přímka a kružnice, resp. dvě kružnice se dotýkají, pokud mají právě jeden společný bod. Věta Přímka se dotýká kružnice v bodě C <^^> je kolmá k průměru FC. Kružnice se dotýkají v bodě A <^^> spojnice jejich středů prochází bodem A. 30Důkazy zpravidla nepřímo, viz např. https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/booklll/proplllll.html Dotyk vs. orientovaný dotyk Často je výhodné (občas nutné) rozlišovat orientace: ► cyklus = orientovaná kružnice, ► paprsek = orientovaná přímka, ► orientovaný dotyk = dotyk ve shodě s orientacemi. Základní úlohy s tečnami (a) pomocí Thaletovy kružnice (b) pomocí souměrnosti Společné tečny ke dvěma kružnicím: (a) pomocí stejnolehlosti (b) pomocí dilatace Základní úlohy s kružnicemi Kružnice opsaná trojúhelníku, kružnice vepsaná mezi tři přímky: pomocí os úseček, os úhlů Základní úlohy s kružnicemi Kružnice procházející dvěma body a dotýkající se přímky, resp. kružnice: (a) pomocí mocnosti (b) ještě uvidíme... Základní úlohy s kružnicemi Kružnice procházející bodem a dotýkající se dvou přímek: ... redukováno na předchozí případ (s. 69). Mírné zobecnění Kružnice dotýkající se kružnice a dvou přímek: ť//t ... redukováno na předchozí případ (s. 70). (Další zobecnění) 72 Kružnice procházející bodem a dotýkající se dvou kružnic: Pomocí stejnolehlosti a mocnosti lze ukázat, že platí SKSA = SP-SQ'. Tím je bod K jednoznačně určen, umíme jej sestrojit, ... ... a tím redukováno na předchozí případ (s. 69). Obecná Apollóniova úloha 73 = dotyková úloha se třemi danými kružnicemi. Všechny předchozí úlohy (a mnoho dalších) chápeme jako mezní případy: lim(kružnice) = bod, lim (kružnice) = přímka. r—>0 r—>oo Obecná (neorientovaná) úloha má až 8 řešení; se zvolenými orientacemi dostáváme řešení po dvojicích: 34 Poznámky Zajímavá historie, mnoho rozličných řešení a řada aplikací. Viz např. van Roomenovo řešení, Newtonovu reformulaci a problém trilaterace. 74 Středy všech cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů, tvoří kuželosečku. 34http://en.wikipedia.org/wiki/Problem_o£_Apollonius Náš přístup 75 Z předchozích ukázek je patrné, že budeme protěžovat užití geometrických transformací k zjednodušení problému: ► souměrnosti, ► stejnolehlost, ► dilatace, ► kruhová inverze, ► apod. Podrobnosti k jednotlivým transformacím začínají na s. 84; ukázka typického použití na následující straně...35 http://ggbtu.be/mrFsNSnbN Orientovaná Apollóniova úloha 76 orientace je vyznačena typem čáry Orientovaná Apollóniova úloha 77 ra=27 rb = -6 rc= 10.8 d = -10.8 k • I • g • i • t1 (1) dilatace, 37 37 tím je sice redukováno na předchozí případ (s. 72), my teď pokračujeme jinak Orientovaná Apollóniova úloha 78 ... se středem v bodě C, Orientovaná Apollóniova úloha 79 .. .základní úloha (s. 67), Orientovaná Apollóniova úloha 80 ...snadné, Orientovaná Apollóniova úloha 81 ...snadné. Poznámka Specifická zadání nabízejí mnohá (a specifická) řešení: 82 Základy 1 Dotykové úlohy 64 Geometrická zobrazení 83 Souměrnosti a shodná zobrazení 84 Stejnolehlost a podobná zobrazení 89 Kruhová inverze a konformní zobrazení 97 Dilatace a kontaktní zobrazení 106 Osová afinita a afinní zobrazení 107 Osová kolineace a projektivní zobrazení 115 Shrnutí 133 Zobrazovací metody 137 Závěrečné shrnutí 163 Organizační věci 169 Zdroje 171 Osová souměrnost 84 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Přímkou o.43 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A leží na kolmici k ose, a to tak, že AA0 = A0A , kde A0 = průsečík AAř s osou o. Jaké má vlastnosti? Involutivní transformace s přímkou samodružných bodů, základní shodnost v rovině, nepřímá transformace, ... tzv. osa Další shodnosti 85 Definice Shodné zobrazení zobrazuje každou úsečku na úsečku s ní shodnou. Tzn. pro libovolné body A, B a jejich obrazy A', B' platí \A'B'\ = \AB\. Věta Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností: ... proto je osová souměrnost základní shodností v rovině. Klasifikace v rovině Odtud klasifikace shodností v rovině: (a) identita = složení dvou os. soum. takových, že — o2, (b) posunutí = složení dvou os. soum. takových, že Oi||p2, (c) otáčení = složení dvou os. soum. takových, že o^ a o2 jsou různoběžné, (d) středová souměrnost = složení dvou os. soum. takových, že o^ _l o2, (e) osová souměrnost = jedna os. soum., (f) posunutá souměrnost = složení tří obecných os. soum. Poznámky Shodnost s přímkou samodružných bodů je právě osová souměrnost (e). Shodnosti (a)-(d) jsou přímé (zachovávají orientaci), shodnosti (e)-(f) jsou nepřímé (mění orientaci). Pojmenování (f) je odvozeno z možného rozkladu na osovou souměrnost a posunutí: Poznámky 87 Obdobné úvahy platí pro shodnosti v prostoru (dim 3), resp. na přímce (dim 1)... Např. 3-rozměrnou analogií osové souměrnosti je souměrnost podle roviny aneb zrcadlení. Každé shodné zobrazení: zachovává vzdálenosti bodů (definice), ► zobrazuje přímky na přímky, ► zachovává odchylky přímek, ► zachovává obsahy, resp. objemy, ► je prosté (tj. injektivní). Užitek 88 Souměrnosti jsou všude.. Stejnolehlost aneb škálování 89 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Bodem S a nenulovým reálným číslem k44 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A leží přímce SA, a to tak, že ŠA' = k-ŠÁ, neboli Af = S + k-ŠA. Jaké má vlastnosti? Transformace se samodružným bodem, základní podobnost, v rovině přímá transformace, ... tzv. střed a koeficient = poměr škálování Speciální a mezní případy Spec. pro koeficient |k| = 1 dostáváme shodnosti: ► identita, pokud k = 1, ► středová souměrnost, pokud k = -1. Pokud bychom připustili k = 0, dostaneme velmi degenerovaný případ: ► zobrazení do jednoho bodu. Základní vlastnosti a skládání stejnolehlostí Základní poznatek je na s. 43! Zejména, každá stejnolehlost je ► podobné zobrazení, které ► každou přímku zobrazuje na přímku s ní rovnoběžnou. Zobrazení s těmito vlastnostmi není mnoho, jmenovitě tři: Věta Složení dvou stejnolehlostí se středy S<\, resp. S2 a koeficienty k^, resp. k2 je: (a) identita, právě když k^ ■ k2 = 1 a Si = S2, (b) posunutí, právě když k^ • k2 = 1 aS^ ž S2,45 (c) obecná stejnolehlost, právě když kA-k2±\ .46 —> Vektor posunutí je pak násobkem vektoru Si S2. Pokud Si ž S2, potom střed výsledné stejnolehlosti nutně leží na přímce Si S2. Stejnolehlý obraz kružnice Mongeova věta 93 Mezi šesti středy stejnolehlostí tří kružnic jsou čtyři kolineární trojice. Obecná podobná zobrazení 94 Definice Podobné zobrazení zachová poměry vzdáleností. Tzn. pro libovolné body A, B a jejich obrazy A\B' platí \A'B'\ = konst |AB|. Tato konst. je tzv. koeficient podobnosti a je to kladné reálné číslo. Věta Každé podobné zobrazení je složením nějaké shodnosti a stejnolehlosti. ... proto je stejnolehlost základní podobností. Poznámky 95 Každé shodné zobrazení je podobné (s koeficientem k = 1). Každé podobné zobrazení: ► zachovává poměry vzdáleností (definice), ► zobrazuje přímky na přímky, ► zachovává odchylky přímek, ► obsahy se mění k2-krát, resp. objemy se mění k3-krát, ► je prosté (tj. injektivní). Užitek 96 Pantograf47 http://en.wikipedia.org/wiki/Pantograph Kruhová inverze 97 Co to je? Transformace roviny vyjma jednoho bodu, ozn. O.48 Čím je určena? Kružnicí se středem O a poloměrem r 49 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A ž O leží na polopřímce OA, a to tak, že \OA\-\OA'\ = r\ neboli \OA'\ = \OA\ Jaké má vlastnosti? Involutivní transformace s kružnicí samodružných bodů, základní konformní transformace v rovině, nepřímá, ... tzv. střed kruhové inverze tzv. řídící kružnice Zřejmé vlastnosti 98 (a) Kruhová inverze je involutivní transformace. (b) Všechny body na řídící kružnici jsou samodružné. (c) Všechno, co je vně řídící kružnice, se zobrazuje dovnitř, a naopak. (d) Každá přímka procházející středem inverze je samodružná; přitom jediné samodružné body jsou průsečíky s řídící kružnicí a lim X' = O, resp. lim X' = oo. https://ggbm.at/Zxal0Fay Další vlastnosti 99 (e) Kružnice procházející středem O se zobrazuje na přímku (neprocházející středem O), a naopak. Důkaz. Předp. OA _l £, A' = obraz A vzhledem ke l~, y = kružnice s průměrem OA'. Dokážeme, že y = ť, tj. pro B e í lib. a Bf = OB n y dokážeme, že 8 a B' jsou inverzního vzhledem ke l~: Thaletova věta =^> úhel OB'A' je pravý => trojúhelníky OAB a OyVET jsou podobné => OB' : OA = OAf : OB, neboli OBf ■ OB = OAf ■ OA. Body A a A' jsou inverzní vzhledem ke l~, takže 8a8' taky: OBf -OB = OAf ■ OA = ř. □ Další vlastnosti (f) Kružnice kolmá ke ľ se zobrazuje sama na sebe. Naopak, každá kružnice procházející dvojicí inverzních bodů je kolmá ke V. Důkaz. Kružnice y protíná řídící kružnici r kolmo51 <^> poloměr OP je tečnou ke kružnici y <^> pro libovolnou sečnu jdoucí bodem O platí52 OA ■ OAf = OP2 = r2 <^^> body AaA' jsou inverzní vzhledem ke l~. tzn. tečny ve společném bodě P jsou kolmé podle věty o mocnosti bodu ke kružnici (s. 25) Další vlastnosti (g) Obecná kružnice neprocházející středem O se zobrazuje do jiné kružnice neprocházející O. Důkaz. \_^ / Uvažme kružnici ŕ, která je soustředná s ľ a protíná kružnici y kolmo. Ukážeme, že složení kruhových inverzí Ť a ľ je stejnolehlost:53 Ozn. A i-> A' kruhovou inverzi vzhledem ke V a A i-> Ä kruhovou inverzi vzhledem ke Ť, tedy Odtud po úpravě OAř : OA = ŕ : ř2 = konst., neboli OÄ' = konst • OA. □ 53... zbytek je jasný: vzhledem ke Ť se 7 zobrazuje na sebe (s. 100), tedy na kružnici, a stejnolehlým obrazem kružnice je kružnice (s. 92). Proto i obraz 7 vzhledem ke V musí být kružnice. OA-OA = ř2 a OAOA' = ř. Pozor 102 Při stejnolehlosti ľ o r : A i-> A' se střed y zobrazuje na střed y'. Při kruhové inverzi l~: A i-> A' se střed y nezobrazuje na střed y'\ (Viz obraz středu y vzhledem ke kruhové inverzi V...) Další vlastnosti Důkaz. Odchylka dvou křivek v jejich společném bodě P = odchylka jejich tečen m a i. Místo dvou obecných křivek můžeme uvažovat lib. dvě kružnice, které prochází bodem P a mají přímky mať jako tečny. Místo obecných dvou kružnic můžeme uvažovat kružnice y\ ay2, které jsou kolmé k řídící kružnici ľ! Avšak kružnice j\ a y2 se zobrazují samy do sebe, obrazem bodu P je druhý společný bod P' kružnic a odchylka v bodě P je stejná jako odchylka v bodě P. Tzn. zachovává odchylky protínajících se křivek. Poznámky 104 Každé podobné zobrazení je konformní. Každé konformní zobrazení v rovině je složením shodných zobrazení a kruhových inverzí.55 ... proto je kruhová inverze základním konformním zobrazením v rovině. Limitním případem kruhové inverze je osová souměrnost (pro r —> oo). 3-rozměrnou analogií kruhové inverze je kulová inverze... Kruhová inverze (a obecné konformní zobrazení): ► nezachovává vzdálenosti ani poměry vzdáleností, ► nezobrazuje přímky na přímky, ► nezachovává obsahy, resp. objemy, ► ale zachovává odchylky protínajících se křivek, ► je prosté (tj. injektivní). 55V důkaze na s. 101 jsme se naučili, že složením dvou kruhových inverzí se společným středem je stejnolehlost, tedy základní podobnost. Peaucellierův-Lipkinův mechanizmus převádí přímočarý pohyb na otáčivý a naopak... http://en.wikipedia.org/wiki/Peaucellier%E2%80%93Lipkin_linkage Dilatace jakožto příklad kontaktního zobrazení 106 Co to je? Orientované kontaktní zobrazení v rovině. Čím je určena? Nenulovým reálným číslem p. Jak je určena? Obraz lib. orient, dotyk, elementu zastoupeného vektorem v je reprezentován vektorem v', který je posunut o vzdálenost p kolmo k v, a to na správnou stranu v závislosti na orientaci... Jaké má vlastnosti? Orientované kontaktní zobrazení! K čemu to je dobré? Zachovává orientovaný dotyk křivek (viz s. 67, s. 71, s. 77, ...)! 57Nemá smysl mluvit o obrazu bodu, pouze o (orientovaných) dotykových, neboli kontaktních elementech. Ty jsou reprezentovány přímkami (polopřímkami, resp. vektory)... 58Všechna ostatní zobrazení v tomto kurzu jsou bodová! Osová afinita aneb škálování v jednom směru 107 Co to je? Transformace eukleidovské roviny. Čím je určena? Přímkou o, směrem s a nenulovým reálným číslem m.59 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A leží na přímce se směrem s, a to tak, že A'A0 = m-AA0, kde A0 = průsečík AA' s osou o. Jaké má vlastnosti? Transformace s přímkou samodružných bodů, základní afinní transformace v rovině, přímá/nepřímá podle znaménka m, ... tzv. osa, směr škálování a modul = poměr škálování v daném směru Speciální a mezní případy 108 Speciálními, resp. mezními případy osové afinity jsou: ► osová souměrnost, pokud m = -1 a s _l o, ► šikmá souměrnost, pokud m = -1 a s / o, ► elace aneb naklonění, pokud s||o (=> m = 1), Pokud bychom připustili m = 0, dostaneme degenerovaný (neinjektivní) případ: ► rovnoběžné promítání do přímky o ve směru s. m = -1 <^=> involuce Základní vlastnosti Obecná osová afinita: (a) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (b) zachovává poměry vzdáleností trojic kolineárních bodů, (c) zachovává rovnoběžnost přímek. Důkaz. Variace na podobné trojúhelníky... tzv. dělicí poměry bodů Obecná afinní zobrazení 110 Definice Obecné afinní zobrazení je zobrazení s vlastnostmi (a)-(c) ze s. 109. Bijektivní afinní zobrazení se nazývá afinita (viz osová afinita).62 Afinita, která zachovává obsahy (resp. objemy), se nazývá ekviafinita (viz šikmá souměrnost nebo elace). Poznámka Za předpokladu (a) jsou vlastnosti (b) a (c) ekvivalentní... Afinní zobrazení nemusí být prosté (viz rovnoběžné promítání)\ Obecná afinní zobrazení Analogicky k tvrzení na s. 85 máme: Věta Každá afinita v rovině je složením nejvýše tří osových afinit ... proto je osová afinita základní afinitou v rovině. Stejnolehlost jako složení dvou osových afinit... Poznámky K vyjádření neinjektivních zobrazení potřebujeme také rovnoběžná promítání... Afinní zobrazení v rovině s přímkou samodružných bodů je právě osová afinita nebo rovnoběžné promítání do přímky. O určenosti afinního zobrazení 112 Afinní zobrazení mezi přímkami je zcela určeno podmínkou (b), tj. obrazy dvou různých bodů... Afinní zobrazení mezi rovinami je zcela určeno obrazy tří bodů v obecné poloze... Věta Prosté63 afinní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy n + 1 bodů v obecné poloze. Důkaz. Konstruktivní — pomocí rovnoběžek a přenášení dělicích poměrů...64 □ resp. „ne příliš degenerované"... https://ggbm.at/yWcCaQeA Poznámky 113 Každé podobné zobrazení je afinní. Každé shodné zobrazení je ekviafinní. 3-rozměrnou analogií osové afinity je afinita s rovinou samodružných bodů... 3-rozměrnou analogií rovnoběžného promítání do přímky je rovnoběžné promítání do roviny...65 Obecné afinní zobrazení: ► zobrazuje přímky na přímky, ► zachovává poměry vzdáleností trojic kolin. bodů, ► zachovává rovnoběžnost, ► nezachovává obsahy, resp. objemy, ► nezachovává odchylky, ► nemusí být prosté (tj. injektivní). ... viz dále! Užitek 114 Mezi změtí bodů v rovině můřeme vidět několik známých korespondencí: posunutí, osová afinita,... Ale 115 realitu vnímáme jinak! Středové promítání aneb projekce 116 Typické projektivní zobrazení je středové promítání... ... resp. se jedná o „body v nekonečnu"; o tyto prvky náš prostor rozšíříme... Projektivní rozšíření Projektivní přímka/rovina/prostor je eukleidovská přímka/rovina/prostor rozšířená o „body v nekonečnu". Body v nekonečnu jmenujeme nevlastní, ostatní pak vlastní. Přesnější vymezení pomocí následujícího základního projektivního triku: ► Projektivní rozšíření eukleidovské přímky má právě jeden nevlastní bod. ► Projektivní rozšíření eukleidovské roviny má přímku nevlastních bodů apod. ► Každé dvě přímky v projektivní rovině se protínají.67 67Rovnoběžky se protínají v nevlastním bodě, různoběžky ve vlastním. Uspořádání 118 ► Projektivní přímka je uzavřená. ► Projektivní přímka nerozděluje projektivní rovinu na dvě nesouvislé části. ► Uspořádání bodů na projektivní přímce nemá valného smyslu: z--f~ -H- C f Eukleidovská vs. projektivní přímka D Dělicí poměr a dvojpoměr 119 Definice Dělicí poměr trojice kolineárních bodů (A, B, C) je reálné číslo d takové, že platí —> —> AC = d-BC; značíme a zapisujeme takto: d={ABC) = ^. BC Dvojpoměr čtveřice kolineárních bodů (A, B, C, D) je poměr dělicích poměrů (AB C) : (AB D); značíme a zapisujeme takto: ,Ari„^ AC AD (AB CD) = — : - BC BD Poznámky Vzhledem k tomu, že lim (AB D) = 1, platí lim (AB CD) = (AB C); stručně D—>oo D—>oo (AB CDm) = (AB C). Známe Věta Při rovnoběžném promítání se zachovávají poměry trojic kolineárních bodů. Důkaz. (a) Spec. případ plyne z podobnosti trojúhelníků AAřC a BBřCř (s. 43). (b) Obecný případ plyne z (a) a shodností protilehlých stran v rovnoběžnících. ... pokud se různé body zobrazí na různé body. Nově Věta (Pappova) Při středovém promítání se zachovávají dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů. Důkaz. (a) Spec. případ plyne z podobností dvojic barevně rozlišených trojúhelníků, jedné úpravy a vztahu (AB C) = (AB CDoo)... (b) Obecný případ plyne z (a) a podobnosti dvojice žlutých trojúhelníků... ... pokud se různé body zobrazí na různé body. Základní vlastnosti Středové promítání mezi projektivními prostory: 122 1? , 8' (a) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (b) zachovává dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů.70 70 pokud se různé body zobrazí na různé body. Poslední zobecnění 123 Posledním zobecněním do sbírky základních transformací v rovině71 je tzv. osová kolineace: s. 84, 89, 107 Osová kolineace aneb nejzákladnější transformace v rovině Co to je? Transformace projektivní roviny. Čím je určena? Přímkou o, bodem S a nenulovým reálným číslem m.72 Jak je určena? Obraz A' lib. bodu A leží na přímce SA, a to tak, že (A'A A0S) = m, kde A0 = průsečík AAf s osou o a (A'A A0S) = dvojpoměr. 124 Jaké má vlastnosti? Transformace s přímkou samodružných bodů, základní projektivní transformace v rovině, ... tzv. osa, střed a modul Speciální a mezní případy 125 Speciálními, resp. mezními případy osové kolineace jsou: ► osová afinita, pokud S = nevlastní, ► stejnolehlost, pokud o = nevlastní, posunutí, pokud S i o jsou nevlastní. Pokud bychom připustili m = 0, dostaneme degenerovaný (neinjektivní) případy: ► středové promítání do přímky o z bodu S. ► rovnoběžné promítání do přímky o, pokud S = nevlastní. Základní vlastnosti 126 Obecná osová kolineace: f*. /x*___^2_±±*r. (a) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (b) zachovává dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů. Důkaz. Plyne z definice a z Pappovy věty. □ Další projektivní zobrazení 127 Definice Obecné projektivní zobrazení je zobrazení s vlastnostmi (a) a (b) ze s. 126, resp. 122. Bijektivní projektivní zobrazení se nazývá projektivita nebo kolineace (viz osová kolineace).73 Poznámky Z (a) a (b) plyne, že prosté projektivní zobrazení (c) zobrazuje projektivní přímky na projektivní přímky. Ve skutečnosti platí, že (c) => (b)...75 Projektivní zobrazení nemusí být prosté (viz středové promítání). ... tedy nikoli např. na úsečky nebo jiné části přímek. ... viz základní větu projektivní geometrie (příští semestr)! Další projektivní zobrazení 128 Analogicky k tvrzení na s. 111 máme: Věta Každá kolineace v (projektivní) rovině je složením nejvýše tří osových kolineací. ... proto je osová kolineace základní kolineací v rovině. Poznámky K vyjádření neinjektivních zobrazení potřebujeme také středová promítání... Projektivní zobrazení v rovině s přímkou samodružných bodů je právě osová kolineace nebo středové promítání do přímky...76 ... viz Desarguesovu větu Desarguesova věta Věta Pro libovolné dva trojúhelníky XYZ a X' Y'Z' v projektivní rovině platí: přímky XX', YY', ZZ'prochází jedním bodem průsečíky přímek XY aX'Y',YZa Y'Z', XZ a X'Z' leží na jedné přímce. Desarguesova věta a její trojrozměrná interpretace. Neboli Pro transformaci XkX', Vh V.Zh Z' v projektivní rovině platí: transformace má osu <^=^ má střed. O určenosti projektivního zobrazení 130 Projektivní zobrazení mezi přímkami je zcela určeno podmínkou (b), tj. obrazy tří různých bodů, tedy např. obrazy dvou různých vlastních bodů a jedním úběžníkem... Projektivní zobrazení mezi rovinami je zcela určeno obrazy čtyř bodů v „dostatečně obecné" poloze nebo obrazy tří vlastních bodů v obecné poloze a dvěma odpovídajími ubezniky... Věta Prosté77 projektivní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy n + 1 vlastních bodů v obecné poloze a n odpovídajícími úběžníky Důkaz. Konstruktivní — pomocí přenášení dvojpoměrů...78 □ resp. „ne příliš degenerované"... https://ggbm.at/yWcCaQeA Poznámky 131 Každé afinní zobrazení je projektivní. 3-rozměrnou analogií osové kolineace je kolineace s rovinou samodružných bodů... 3-rozměrnou analogií středového promítání do přímky je středové promítání do roviny...79 Obecné projektivní zobrazení: ► zobrazuje přímky na přímky, ► zachovává dvojpoměry vzdáleností čtveřic kolin. bodů, ► nezachovává poměry vzdáleností trojic kolin. bodů, ► nezachovává rovnoběžnost, ► nezachovává obsahy, resp. objemy, ► nezachovává odchylky, ► nemusí být prosté (tj. injektivní). ... viz dále! Užitek 132 80Mezi změtí bodů v rovině můřeme vidět několik známých korespondencí: osová kolineace, osová kolineace, osová kolineace,... Přehled základních transformací v rovině 133 Vše, co jsme kdy jmenovali základní transformací v rovině, mělo:8 ► osu = přímku samodružných bodů, ► střed = takový bod, že každá jím jdoucí přímka je samodružná. Z Desarguesovy věty (s. 129): transformace má osu <^^> má střed! http://tube.geogebra.org/student/ml073959 Přehled základních transformací v rovině 134 střed S osa o S e o modul druh vlastní vlastní ne 0 (středové promítání do přímky) ano 1 projektivní elace ne -1 harmonická souměrnost ne jinak osová kolineace nevlastní vlastní ne 0 (rovnoběžné promítání do přímky) ano 1 elace ne -1 šikmá, resp. osová souměrnost ne jinak osová afinita vlastní nevlastní ne 0 (promítání do bodu) ne 1 identita ne -1 středová souměrnost ne jinak stejnolehlost nevlastní nevlastní ano 1 posunutí Transformace je involutivní <^^> modul = -1. Degenerované případy <^^> modul = 0. Pro afinní transformace: ► přímá <^^> modul > 0, ► nepřímá <^^> modul < 0. Přehled typů zobrazení a jejich vlastností 135 kolin. vzdál. děl. porn. dvojpom. rovnob. obs. odch. projektivní + — — + — — — afinní + — + + + — — ekviafinní + — + + + + — podobná + — + + + — + shodná + + + + + + + konformní — — — — — — + ► Projektivní zobrazení, které zobrazuje všechny vlastní body na vlastní (ekvivalentně, nevlastní body na nevlastní), je afinní. ► Afinní zobrazení, které zachovává poměry vzdáleností jakýchkoli (tedy i nekolineárních) trojic bodů, je podobné. ► Konformní zobrazení, které je projektivní, je podobné. ► Podobné zobrazení, které je ekviafinní, je shodné. Hierarchie zobrazení / (K^Wa iovevie) pro i'e kti vru í , Základy 1 Dotykové úlohy 64 Geometrická zobrazení 83 Zobrazovací metody 137 Úvod 138 Známe: volné průměty 142 Nově: sdružené a vázané průměty 144 Vychytávky 158 Závěrečné shrnutí 163 Organizační věci 169 Zdroje 171 Úvodní přehled 138 Co chceme? Názorné a korektní 2D obrazy 3D objektů82 a rekonstrukce skutečných 3D vztahů z 2D obrazů. V jakém rámci? V rámci projektivních zobrazení: Jak dělíme? Podle způsobu promítání přímky i—> přímky, resp. body. středové rovnoběžné Podle způsobu zadání j volné 1 vázané Základní úlohy? Pro volné průměty: (1) přenášení poměrů/dvojpoměrů. Pro vázané průměty: (2) průnik přímky a roviny, (3) vzdálenost dvou bodů. 82... taková zobrazení jsou vždy degenerovaná (neprostá)! šikmé kolmé Motivace 139 Korespondence mezi obecným a kolmým průmětem (půdorysem) J7 ffl O ZZZ2 o, p Je všechno OK? Motivace 140 Korespondence mezi obecným a kolmým průmětem (půdorysem): t9 IP Nen/, a/e umíme napravit! v prostoru Bod v 3D prostoru je jednoznačně určen ► souřadnicemi A = (xA,yA,zA)83 ^ výpočty, ► půdorysem = (xA,yA) a kótou (= souřadnicí zA) ^ mapy, ► půdorysem A^ = (xA,yA) a cyklem (= kružnicí s poloměrem \zA \ a orientací podle znaménka zA) ^ cyklografie, půdorysem A^ = (xA,yA) a nárysem A2 = {xA,zA) ^ !!! ... vzhledem k nějaké kartézské souřadné soustavě Volný průmět (známe) Volné (rovnoběžné, resp středové) promítání je určeno obrazy několika málo bodů (viz s. 112, resp. s. 130)...84 https://ggbm.at/yWcCaQeA Poznámky Rovnoběžné, resp. středové promítání je speciální (základní) afinní, resp. projektivní zobrazení. Proto obrazy určujících bodů nemohou být úplně libovolné... V předchozím opakovaně potřebujeme základní konstrukci: (1) přenášení dělicího poměru, příp. dvojpoměru Základní slabina této metody: Jak sestrojit obraz bodu v souřadné rovině, která se zobrazuje do přímky?85 85(řešení na s. 148) (Mongeovy) sdružené průměty 144 = kolmé průměty do dvou souřadných rovin (půdorys a nárys jako na s. 142), avšak sdruženy vzhledem ke společné souřadnici (x) Bod 145 Bod v prostoru je určen sdruženými průměty. Přímka 146 https://ggbm.at/TxNch9AB Rovina 147 Vázaný průmět Vázané (rovnoběžné, resp středové) promítání je určeno přesným vymezením průmětny a směru, resp. středu promítání vzhledem k zobrazovanému objektu. http://ggbtu.be/mZvl063hi Velmi speciální případ 149 Průmětna kolmá k půdorysně, směr promítání rovnoběžný s půdorysnou: sr. s problémem na s. 143 Speciální případ Průmětna kolmá k půdorysně, střed promítání libovolně: 150 Další speciální případ Průmětnou je nárysna, směr promítání obecný tzv. kosoúhlé promítání Užitek 152 Obecný případ? 153 V předchozím opakovaně potřebujeme základní konstrukce: (2) průnik přímky a roviny, (3) vzdálenost dvou bodů, avšak ve velmi speciální podobně. Jak se tyto úlohy řeší obecně? Základní konstrukce na s. 154 a 156, vychytávky od s. 158. Průnik přímky a roviny Průnik (resp. vzájemná poloha) přímky k a roviny a = ABC: 154 Průnik R := k n a je průnikem přímek k a / ležících v pomocné (svislé) rovině!91 Přesněji: (a) zvolíme pomocnou rovinu obsahující k, (b) / := průsečnice zadané a pomocné roviny, (c) R = k n /. Pokud náhodou k\\l, potom pokud k = /, potom kca. Průnik přímky a roviny Průnik (resp. vzájemná poloha) p = PQ a roviny p = KLM: Stejná myšlenka jako na s. 154, ovšem realizovaná pomocí stop roviny J3... https://ggbm.at/JgQu6PVN Vzdálenost dvou bodů 156 Vzdálenost bodů A a B\ r Úsečka se zobrazuje nezkresleně v náryse (resp. půdoryse) právě tehdy, když je rovnoběžná s půdorysnou (resp. nárysnou). Tedy: skutečná velikost úsečky AB je rovna velikosti přepony v pravoúhlém trojúhelníku, jehož odvěsny vidíme nezkresleně v náryse, resp. v půdoryse! Vzdálenost dvou bodů Vzdálenost bodů A a B: 157 Stejná myšlenka jako na s. 156... https://ggbm.at/vpnVx35C Otočení obecné roviny do průmětny 158 Při měření vztahů mezi více body v jedné rovině je výhodné otočit celou rovinu kolem stopy do průmětny: Konstrukčně úplně stačí: (1) otočit jeden bod: A i-> A0 (viz s. 156), (2) všimnout si a využít osové afinity A<\ i-> A0!94 Přesněji: (a) B0A) n B-i/A-i e stopě (= osa), (b) B0B-| \\AqA-\ (= směr, kolmý k ose). Otočení obecné roviny do průmětny Otočení roviny řezu do půdorysné průmětny Stejná myšlenka jako na s. 158... https://ggbm.at/BMchamKj Otočení průmětny do obecné roviny 160 Pro obecné vázané průměty lze předchozí myšlenku s otáčením použít také naopak. Např. při kolmém promítání do obecné roviny a otočení Mongeových průměten do této roviny pozorujeme... .. .tedy několik osových afinit (osa = stopa, směr _l ose)! Zářezová metoda 161 Tato pozorování jsou základem velice účinné metody... ..., bleskurychlé korespondence mezi Mongeovými „oddruženými" průměty a kolmým průmětem do obecné roviny.96 http://is.muni.cz/el/1441/j aro2018/MA2BP_PKG/um/dum_zarez.pdf Základy 1 Dotykové úlohy 64 Geometrická zobrazení 83 Zobrazovací metody 137 Závěrečné shrnutí 163 Klasická konstrukční geometrie 164 Zobrazení 166 Organizační věci 169 Zdroje 171 Klasická k. g. Úvod ► primitivní pojmy, vztahy (relace) a tvzení (axiómy, resp. postuláty) ► axiómy vyslovené, nevyslovené (spojitost, uspořádání) a problematické (rovnoběžnost) Planimetrie ► základní poznatky (např. o vnějším úhlu v 3úh.) ► důsledky postulátu o rovnoběžkách (např. o součtu úhlů v 3úh., Pythagorova věta) ► geometrická algebra (zlatý řez) ► o kružnicích (obvodové úhly, mocnost) ► pravidelné mnohoúhelníky (3, 4,5,6,15,...) ► teorie podobnosti (poměry a úměrnosti, základní ekvivalence) Sestrojitelné veličiny ► úplná chakterizace (H— • : y~) ► slavné problémy starověku (např. kvadratura kruhu) Klasická k. g. 165 Stereometrie ► rozšíření slovníku a možných 3D vztahů (kolmost, rovnoběžnost) ► analogie, resp. rozdíly k 2D (rovnoběžnostěny, resp. jehlany) ► pravidelné mnohostěny (4, 6, 8, 12, 20) Dotykové úlohy ► základní úlohy (tečny) ► základní nápady (mocnost, souměrnost, stejnolehlost, dilatace) ► základní motivace (obecná Apollóniova úloha) Užitek ► kvadratura mnohoúhelníku ► kvadratické rovnice a jejich řešení ► pravidelný 5úhelník apod. ► specifické dotykové úlohy Zobrazení 166 Taxonomie ► hlavní páteř (shodná, podobná, (ekvi)afinní, projektivní) ► další typy (konformní, kontaktní) ► příklady, obecné vlastnosti a hierarchie Obecný rámec ► projektivní rozšíření ► Pappovavěta ► věta o určenosti Základní transformace ► regulární: osová kolineace (a spec. případy), Desarguesova věta ► singulární: středové, resp. rovnoběžné promítání Zobrazení 167 Zobrazovací metody 3D -> 2D ► podle promítání: středové (=> projektivní), rovnoběžné (=> afinní) ► podle zadání: volné (obrazy několika bodů), vázané (střed/směr promítání a rovina) Zadání kartézské souřadnice vs. Mongeovy sdružené průměty (půdorys, nárys) Základní úlohy ► přenášení (dvoj)poměru kolin. bodů ► průnik přímky a roviny ► skutečná velikost úsečky Zobrazení 168 Vychytávky ► otočení roviny ► zářezová metoda Užitek ► obecná Apollóniova úloha ► obecné průměty pravidelných a jiných těles ► řezy hranolů, jehlanů a jejich skutečné velikosti Základy 1 Dotykové úlohy 64 Geometrická zobrazení 83 Zobrazovací metody 137 Závěrečné shrnutí 163 Organizační věci 169 Zdroje 171 Organizační věci 170 Preference (1) celkový přehled (2) hlavní myšlenky a teoretické pozadí (3) vlastní konstrukce a technické záležitosti Konzultace ► individuálně podle domluvy97 Zkouška ► písemka: požaduji aspoň poloviční úspěšnost (termíny vypsány v IS)98 ► ústní: probíhá nad písemkou (termíny budou vypisovány podle potřeby) od 4.6. do 8.6. nebudu k zastižení termíny lze využít i bez zápočtu ze cvičení; písemky opravím, až zápočet získáte Základy 1 Dotykové úlohy 64 Geometrická zobrazení 83 Zobrazovací metody 137 Závěrečné shrnutí 163 Organizační věci 169 Zdroje 171 Literatura 172 [A] B. Artmann, Euclid: The Creation of Mathematics, Springer, 1999 [EB] The Elements of Euclid, obrázkové vydání od O. Byrneho, http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html [EJ] Euclid's Elements, interaktivní edice D. Joyce podle překladu T.L. Heatha, http://alephO.čiarku.edu/~dj oyce/j ava/elements/elements.html [EV] Eukleidés, Základy, české vydání podle překladu E Servíta s komentářem P. Vopěnky, O.P.S., 2008-12, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Eukleides_Servit.pdf [H] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, 2000 [K] E Kuřina, Deset geometrických transformací, Prometheus, 2002 [K] F. Kuřina, Deset pohledů na geometrii, ČSAV, 1996 [M] V. Medek, Deskriptívna geometria, SNTL, 1962 [L] M. Lavička, Syntetická geometrie, Plzeň, 2007, http://horne.zcu.cz/~lavicka/subj ects/SG/texty/sg_text.pdf [P] J.l. Perelman, Zajímavá geometrie, Mladá Fronta, 1954 [Ř] O. Říha, Konstrukční geometrie I, II, Brno, 2002 [S] E. Simeonov, D. Mairinger, Ch. Schmid, Mathematische Fruherziehung, Lagen & Winkel, von Oemis, 2010 [U] A. Urban, Deskriptívni geometrie I, II, SNTL, 1965 Obrázky 173 [A], 1, 6, 9, 10, 17-19, 24, 27, 28, 32, 34, 44, 46, 47, 54, 61-64, 94 [EB], 11, 12, 39 [EJ], 26, 45, 49, 50, 52, 56, 58, 68, 71 [EV], 14, 15, 38 [H], 23, 33, 36, 41, 100, 102-106 [K], 85, 95, 110 [M], 148, 155, 157, 159, 161, 163 [P], 31 [S], 142, 143 http://caliban.mpipz.mpg.de/haeckel/kunstformen/, 65 http://divisbyzero.com, 42 http://etc.usf.edu/clipart/, 25, 51, 57, 69 http://mathworld.wolfram.com/, 76 http://wikipedia.org, 48, 60 http://www.daviddarling.info/encyclopedia/, 99 http://za.fotolia.com, 108 Mišejková, B., 165 Nedvědová, K., 16 Sekora, O., 91