Sestavila Irena Budínová
Úlohy do semináře DM4
Sestavila Irena Budínová
1. Řešte následující úlohu, která typově odpovídá úloze z Matematické olympiády.
Vysvětlete postup řešení.
V lichoběžníku platí, že je delší základnou, průsečík úhlopříček dělí
úsečku v poměru 4 : 3 a obsah trojúhelníku je roven 12,5cm . Určete
obsah celého lichoběžníku.
2. Řešte následující úlohu, která typově odpovídá úloze z Matematické olympiády.
Vysvětlete postup řešení.
Klára nalila džus do skleničky a hrnku a obě nádoby doplnila vodou. Hrnek měl
třikrát větší objem než sklenička. Poměr džusu a vody ve skleničce byl 3: 2 a v
hrnku 1: 2. Poté přelila obsah skleničky i obsah hrnku do džbánu. Jaký byl poměr
džusu a vody ve džbánu?
3. Žák má problémy s výpočtem druhých mocnin dvojčlenů, např. ( + ) = +
. Jaké postupy navrhujte, aby učivo zvládl?
4. Zdůvodněte (pokud možno různými způsoby), proč platí následující pravidla:
a) Součin dvou záporných čísel je číslo kladné.
b) Dělit nulou nelze.
5. Ukažte induktivní a deduktivní přístup při dokazování následujícího tvrzení a dokažte
úplnou matematickou indukcí.
Číslo ( − 7) je dělitelné šesti pro libovolné přirozené číslo .
6. Řešte následující slovní úlohy a) experimentálně, b) kongruencemi.
Číslo y dává po dělení pěti zbytek 2 a po dělení sedmi zbytek 4. O jaké číslo se
jedná?
7. Dokažte, že √21 není racionální číslo. Znázorněte úsečku délky √21 cm
a) pomocí Pythagorovy věty,
b) pomocí Eukleidových vět.
8. Vyslovte větu o podílu dvou odmocnin a ověřte ji na úrovni ZŠ.
9. Na následující úloze vysvětlete problematické části procentového počtu.
Cena kabátu byla nejprve zvýšena o 20 % a potom byla tato nová cena snížena o
35 %. Nyní se kabát prodává za 3 990 Kč. Jaká byla jeho původní cena před
zdražením?
10. Andrea si půjčila 480 000 Kč. Bude splácet pět let s roční úrokovou sazbou 11,8 %.
Vypočítejte, kolik za půjčku zaplatí a) jednoduchým úrokováním, b) složeným
úrokováním.
11. Řešte následující slovní úlohu a ukažte různé přístupy k řešení:
Honza, David a Kája mají dohromady ušetřeno 4 070 Kč. Kája ušetřil o 180 Kč
méně než Honza, David dvakrát méně než Honza. Kolik korun ušetřil každý
z nich?
Sestavila Irena Budínová
12. Řešte metodou falešného předpokladu: Ke čtvrtině neznámého čísla jsme přičetli
třetinu tohoto čísla a od výsledku odečetli 5. Získali jsme 16. Jaké je neznámé číslo?
13. Ukažte induktivní a deduktivní přístupy při dokazování tvrzení:
Pro prvních lichých přirozených čísel platí 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2 − 1) = .
14. Vyslovte a dokažte větu o úhlopříčkách čtverce.
15. Řešte následující slovní úlohu i) pomocí rovnic, ii) pomocí funkcí (graficky):
Za chodcem jdoucím průměrnou rychlostí 4 km/h vyjel z téhož místa o 2
hodiny později cyklista průměrnou rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho a jak
daleko od výchozího místa dohoní cyklista chodce?
16. Řešte aritmeticky: Kolik litrů vody je třeba přilít k 7 litrům lihu o koncentraci 72 %,
abychom získali líh o koncentraci 44 %?
17. Nalezněte koeficienty a tvar kvadratického polynomu + + , jestliže víte, že
součin kořenů je roven − a součet kořenů − .
18. Řešte úlohu prostředky žáka ZŠ: Obdélník má obsah 96 čtverečních jednotek. Jeho
šířka je o 4 délkové jednotky větší než jeho délka. Určete rozměry obdélníku.
19. Řešte v oboru reálných čísel rovnici pouze ekvivalentními úpravami:
3
( − 2)( − 5)
=
+ 2
− 5
−
2
− 2
.
20. Zakreslete graf funkce = 3(5 − ) a na postupu vysvětlete transformace grafu.
21. Zakreslete grafy funkcí: = !
+ 1, = #!
22. Zakreslete grafy funkcí = − + 1, = 2 − 4 − 6. Určete vlastnosti druhé
funkce.
23. Racionální lomená funkce: Zakreslete graf funkce =
!&
!#
. Určete vlastnosti této
funkce.
24. Jak se změní tlak plynu, jestliže se při stejné teplotě změní jeho objem na
dvojnásobek? Zakreslete graf.
25. Goniometrické funkce: Zakreslete graf funkce = cos( −
*
). Určete vlastnosti.
26. Goniometrické funkce: Pomocí jednotkové kružnice definujte funkci = tg . Dále
pomocí jednotkové kružnice určete sin /.
27. Máme pravidelný trojboký jehlan o délce hrany základny 2 cm a výšce 4 cm. Určete
odchylku a) boční stěny od základy, b) boční hrany od základny.
28. Zjistěte bez kalkulačky za použití pravítka, kružítka a úhloměru úhel 0, je-li sin 0 =
0,73.
29. Planimetrie: Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny jsou
v poměru 3: 4, rameno je dlouhé 7 cm a výška je 4,5 cm.
30. Řešte konstrukční úlohu: Je dána úsečka AP, |AP| = 4 cm. Sestrojte všechny
trojúhelníky ABC, pro které je AP výškou ke straně BC a dále je dáno c = 5 cm, tb =
6 cm.
31. Geometrická zobrazení: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: strany , a těžnice ke
straně .
Sestavila Irena Budínová
32. Míry geometrických útvarů.
Vepište do kružnice o poloměru 2 postupně rovnostranný trojúhelník, čtverec,
pravidelný šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník. Vyjádřete jejich obvody a
obsahy pomocí 2.
33. Řešte kombinatorické úlohy. Postupujte způsobem odpovídajícím základní škole a
pomocí vzorce, který na příkladu osvětlíte.
Kolik přímek je určených 12 různými body v rovině, jestliže právě čtyři z nich
leží na jedné přímce a žádné tři další ze zadaných bodů již neleží na jedné
přímce?
34. Řešte úlohy z pravděpodobnosti a statistiky:
Z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 0 sestavte všechna šesticiferná čísla tak, aby se číslice
v zápisu čísla neopakovaly. Náhodně vybereme jedno číslo. Vypočítejte
pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo bude i) dělitelné pěti, ii) dělitelné
třemi.