80
Úloha č. 6
MĚŘENÍ RYCHLOSTI ŠÍŘENÍ ZVUKU V PLYNECH
ÚKOL MĚŘENÍ:
1. V zapojení dvou RC generátorů nalezněte na obrazovce osciloskopu Lissajousovy obrazce
pro frekvence 1:1, 2:1, 3:1, 2:3 a 1:4 a zakreslete je při fázovém rozdílu ϕ = π/2.
Na jednom z generátorů mějte trvale nastavenou frekvenci 1 kHz.
2. Změřte vlnovou délku zvuku v rezonátoru rezonanční metodou a spočtěte rychlost šíření
zvuku a nejistotu této rychlosti.
3. Změřte vlnovou délku zvuku v rezonátoru metodou fázového posunutí a spočtěte rychlost
šíření zvuku a nejistotu této rychlosti.
4. Z rychlosti šíření zvuku určete Poissonovu konstantu pro vzduch.
1. TEORETICKÝ ÚVOD
1.1 Kmity a vlny
Pod vlivem lineární návratné síly Fy = - k y se hmotný bod pohybuje kmitavým
pohybem, při kterém nepřekročí určitou maximální vzdálenost od rovnovážné polohy
(tzv. amplitudu) a závislost jeho souřadnice na čase lze popsat vztahem
y = A cos (ω t + ϕ), (1)
kde je A - amplituda,
ω - kruhová frekvence (ω = 2 π f),
ϕ - fázové posunutí.
Tento pohyb je periodický s periodou T, jejíž převrácená hodnota je frekvence
f = 1 / T [Hz] = s -1.
Skládáním harmonických kmitů rozumíme skládání výchylek hmotného bodu, způsobených
současným působením dvou nebo více návratných sil. Pro skládání těchto pohybů
platí princip superpozice, tj. má-li hmotný bod v daném okamžiku vykazovat
současně dvě výchylky obecně ve směrech 1 2,u u
r r
, je jeho skutečná výchylka rovna vektorovému
součtu 1 2u u u= +
r r r
.
Při skládání dvou periodických pohybů bude periodický i výsledný pohyb pouze
v případě, že je splněna podmínka periodicity, tj. periody jsou v poměru celých čísel:
T1/ T 2 = n1/ n2 a výsledná perioda T = n1T1 = n2T2 .
1.2 Skládání stejnosměrných kmitů
Oba kmity probíhají v téže přímce a výsledná výchylka je rovna algebraickému
součtu výchylek y = y1 + y2 podle vztahu (1):
y = A1 cos (ω1 t + ϕ1) + A2 cos (ω2 t + ϕ2) . (2)
Pro nejjednodušší případ skládání dvou kmitů stejné amplitudy A, stejné frekvence
a nestejného fázového posunutí (ϕ1 = 0, ϕ2 = ϕ), dostaneme
81
y = 2 A cos
2
ϕ
cos
2
t
ϕ
ω
 
+ 
 
. (3)
1.3 Skládání kmitů vzájemně kolmých
Výchylka bodu, který koná současně různosměrné kmity, je podle principu superpozice
vektorovým součtem jednotlivých výchylek. Jde-li o dva kmity vzájemně kolmé,
můžeme je interpretovat jako souřadnice bodu, kmitajícího současně v ose x a ose y. Musíme
ovšem respektovat, že obecně se tyto kmity mohou lišit kmitočtem, amplitudou a fází:
x = A cos ω1 t , y = B cos (ω2 t + ϕ). (4)
Skládáním těchto kmitů pak vzniká trajektorie
bodu jako rovinná křivka (její část vidíte na obr. 1)
a je-li splněna podmínka periodicity, pak tato křivka
bude uzavřená, protože se bod bude po proběhnutí
periody vracet opět do výchozí polohy. Tyto
uzavřené křivky se nazývají Lissajousovy ob-
razce.
Pro nejjednodušší případ skládání dvou kolmých
harmonických kmitů stejných amplitud a stejné
frekvence
x = A cos ω t , y = A cos (ω t + ϕ) (5)
dostaneme rovnici
x2 - 2 x y cos ϕ + y2 = A2 sin2 ϕ, (6)
jež je rovnicí elipsy v pravoúhlých souřadnicích a jejíž tvar závisí na fázovém rozdílu (ϕ).
Mají-li vzájemně kolmé kmity různé periody a amplitudy, pak jejich složením vzniknou křivky
složitějšího tvaru vyznačené na
obr. 2 pro některé poměry period T1:
T2 a některé hodnoty fázového rozdílu
(ϕ).
1.4 Vlnění
Udělíme-li hmotnému bodu,
konajícímu kmitavý pohyb, počáteční
rychlost v v některém směru, skládají
se oba pohyby (kmitavý i postupný)
a výsledným pohybem je vlnění.
Děje-li se postupný pohyb
rychlostí v ve směru kolmém na lineární
harmonické kmity periody T,
má vlnění sinusový průběh, je-li postupný
pohyb konán podél směru
kmitání, výchylky se dějí v bodové
řadě a dochází k zhušťování a zřeďování
bodů (obr. 3). Prvnímu vlnění říkáme příčné, druhému podélné. Postupná vzdálenost,
kterou vlnění urazí za dobu jedné periody T, se nazývá vlnová délka λ:
y
xA∆ x
∆ y
B
-B
-A
Obr. 1 Skládání vzájemně kolmých kmitů
Obr. 2 Lisssajousovy obrazce
82
λ = v T , v = λ f . (7) (7)
Tyto vztahy uvádějí do souvislosti periodičnost
časového průběhu s periodičností
postupného průběhu vlnění. Harmonické vlnění
s periodou T, šířící se rychlostí v bodovou
řadou v ose x, je popsáno vlnovou funkcí:
( )
2
, cos
x
u x t A t
T v
π  
= − 
 
. (8)
Vlnění se skládá podobně jako kmity.
Skládání (superpozice) vlnění probíhá obdobně
jako skládání kmitů a řídí se rovněž principem
superpozice. Superpozicí vlnění z koherentních
zdrojů označujeme jako interference
vlnění. Důležitý případ superpozice dvou stejných vlnění na bodové řadě nastává, šíří-li se
obě vlnění řadou v navzájem opačných směrech. Setkají-li se obě postupující vlnění v místě 0
tak, že mezi nimi není fázový posuv (obr. 4), popisují vlnění 1 a 2 vlnové funkce∗
:
1 cos 2
t x
u A
T
π
λ
 
= − 
 
,
2 cos 2
t x
u A
T
π
λ
 
= + 
 
(9)
a výsledné interferované vlnění je určeno
součtem u = u1 + u2:
2 cos2 cos2
x t
u A
T
π π
λ
= . (10)
Ve všech bodech řady vzniknou
jednoduché harmonické kmity se stejnou
fází, ale výsledná amplituda závisí
na poloze x prostřednictvím cos2
x
π
λ
.
Bez zřetele k znaménku bude amplituda
největší v místech:
cos2 1
x
π
λ
= ± (11)
tedy pro
2 3
0, , , , ...
2 2 2
x
λ λ λ
= ± ± ±
Těmto místům říkáme kmitny.
Mezi nimi leží uzly, místa v nichž jsou
body v klidu, protože pro ně je amplituda
stále nulová (cos2 0
x
π
λ
= ). Toto
vlnění se nazývá stojaté.
∗
Viz skriptum Hofmann J., Urbanová M.: Fyzika I., kap. 6.2.
Obr. 3 Postupné vlnění
Obr. 4 Vznik stojatého příčného vlnění
83
1.5 Zvuk
Zvuk je vlnění v oboru slyšitelných frekvencí 16 až 20 0000 Hz. Mají-li kmity a vlny,
jimi vzbuzené, v okolním prostředí nižší kmitočet než slyšitelné zvuky, mluvíme o infrazvuku.
Je-li frekvence vyšší než 20 kHz, nazýváme vlny ultrazvukovými. Podstatou akustických
vln všech frekvencí jsou elastické kmity látky, které se šíří od místa k místu rychlostí závislou
na mechanických vlastnostech prostředí. Kmity pevných těles se přenášejí na jiná tělesa,
na kapaliny i plyny, které je obklopují a tak vznikají elastické akustické vlny.
1.6 Šíření zvuku v plynech
Pro rychlost šíření zvuku v plynech platí Laplaceův vzorec:
p
v κ
ρ
= , (12)
kde je : κ - Poissonova konstanta; rovna poměru měrných tepelných kapacit plynu při
konstantním tlaku a konstantním objemu
p - tlak plynu,
ρ - hustota plynu.
Pro nepříliš vysoké tlaky plynu platí podle stavové rovnice ideálního plynu
0
0
(1 )
pp
tγ
ρ ρ
= + , (13)
takže pro rychlost šíření zvuku dostaneme vztah:
( )0 0
0 0
1
1 1 ,
2
p p
v t tκ γ κ γ
ρ ρ
 
= + ≈ + 
 
tedy
0
1
1 ,
2
v v tγ
 
= + 
 
kde 0
0
0
p
v κ
ρ
= , (14)
kde je: v0 - rychlost šíření zvuku v plynu za normálních podmínek (p0 = 1,013 · 105
Pa,
t0 = 0 °C).
γ = 1/273 - teplotní koeficient objemové roztažnosti plynu,
t - teplota plynu.
Rychlost šíření zvuku v plynech závisí pouze na teplotě plynu.
K určení rychlosti šíření zvuku v plynech je třeba podle vztahu (7) určit vlnovou délku
zvukových vln známé frekvence nebo podle vztahu (14) změřit teplotu plynu a určit jeho hustotu
při normálním tlaku (Poissonovy konstanty plynů jsou tabelovány).
2. PRINCIP METODY
2.1 Vyhledávání Lissajousových obrazců
Na základě skládání vzájemně kolmých kmitů budeme sledovat Lissajousovy obrazce
na obrazovce osciloskopu, ke kterému připojíme podle schématu na obr. 5 dva RC generátory.
Ty budou sloužit jako dva zdroje kmitů různé frekvence, přiváděných na horizontální a
vertikální elektrody (destičky) osciloskopu a budou tak odpovídat kmitům v ose x a y na obrazovce.
Velikosti frekvencí a amplitud jednotlivých kmitů nastavujeme na stupnicích gene-
84
rátorů. Na ose x nastavíme trvale
frekvenci 1 kHz a postupně budeme
měnit frekvenci kmitů na ose y. Na
obrazovce se budou postupně objevovat
složité uzavřené i neuzavřené
křivky a vždy, když se budeme
blížit k poměru frekvencí vyjádřenému
celými čísly, se objeví
některý Lissajousův obrazec z obr.
2. Doladíme ho potom do co nejzřetelnější
podoby, zakreslíme jeho
tvar a zaznamenáme příslušnou
frekvenci RC generátoru.
2.2 Měření vlnové délky rezonanční metodou
Metoda spočívá v měření vlnové délky
stojatého vlnění, které se vytvoří v uzavřeném
rezonátoru (obr. 6). Jeden z uzávěrů
rezonátoru je tvořen pohyblivým pístem,
opatřeným otvorem, kterým vniká do rezonátoru
vlnění ze zdroje. Stojaté vlnění
vznikne interferencí vlnění ze zdroje a vlnění
odraženého na konci rezonátoru, postupujících
proti sobě (viz obr. 4). Vzniklé stojaté
vlnění má maximální amplitudu, je-li délka
vzduchového sloupce L, uzavřeného pístem
v trubici, rovna právě celistvému násobku
půlvlny:
, 1, 2, 3, ...
2
L k k
λ
= = (15)
a v trubici dojde k rezonanci. Pohybem pístu lze postupně realizovat jednotlivé rezonanční
délky (k = 1, 2, 3, ...) a vzdálenost po sobě následujících rezonančních poloh pístu je rovna
právě
2
λ
. K vlastnímu měření použijeme uspořádání podle obr. 7.
Obr. 7 Schéma zapojení pro rezonanční metodu
Zdrojem zvuku, vnikajícího do skleněného uzavřeného rezonátoru, je telefonní sluchátko,
napájené střídavým napětím známé frekvence z tónového RC generátoru. Elektrické kmity
z generátoru rozkmitají se stejnou frekvencí membránu sluchátka, která rozkmitá vzduchový
sloupec v trubici. Vytvořené stojaté vlnění v trubici indikujeme mikrofonem, v němž je
zvukové vlnění převedeno zpět ve střídavý elektrický signál, který pak přivádíme přes zesiloNormál
1 kHzRC Generátor
Obr. 5 Schéma zapojení pro skládání vzájemně kolmých kmitů
L
λ/2
Obr. 6 Uzavřený rezonátor
RC Generátor Rezonanční trubice Zesilovač NF milivoltmetr
Sluchátko Mikrofon
85
vač na nízkofrekvenční milivoltmetr (NF). Posunem pístu se sluchátkem hledáme rezonanční
polohu, jež se projeví maximálním napětím na milivoltmetru. Jednotlivé po sobě jdoucí rezonanční
polohy pístu odečítáme na stupnici umístěné na tyči, která posuv pístu ovládá. Vzdálenost
sousedních poloh je rovna
2
λ
. Protože konec jednoho měření je počátkem měření následujícího,
zpracujeme naměřené hodnoty postupnou metodou (viz kapitola III, článek 2c).
2.3 Měření vlnové délky zvuku metodou fázového posunutí
Fázový posuv kmitů membrány sluchátka vůči kmitům registrovaných mikrofonem se
změní o hodnotu 2π, zvětší-li se délka zvukového sloupce L o vlnovou délku λ. Složíme-li
oba kmity, jež mají stejnou amplitudu i frekvenci ve směrech navzájem kolmých, dostaneme
rovnici křivky (6). V závislosti na fázovém posuvu vznikají křivky podle 1. řádku obr. 2.
K vlastnímu měření použijeme uspořádání podle obr. 8. Z tónového generátoru se přivádí
střídavé napětí známé frekvence jednak na sluchátko, jednak na horizontální destičky osciloskopu.
Na vertikální destičky osciloskopu přivedeme přes zesilovač napětí z mikrofonu. Na
obrazovce osciloskopu se objeví obecně elipsa. Posuvem pístu se mění délka vzduchového
sloupce a změnou délky se mění fázový posuv obou skládaných kmitů. Je-li ϕ = 0 a ϕ = π,
dostaneme podle 1. řádku obr. 2 na osciloskopu úsečky procházející (1. a 3.) a (2. a 4.) kvadrantem
a jednomu překlopení úsečky odpovídá posuv pístu o hodnotu λ/2. Posuvem pístu
hledáme polohy, v nichž se na osciloskopu objeví úsečka. Naměřené hodnoty opět zpracujeme
postupnou metodou.
Obr. 8 Schéma zapojení pro metodu fázového posuvu
3. POSTUP A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ
1. Zapojte přístroje podle obr. 5 a vyhledejte Lissajousovy obrazce pro poměry frekvencí
kmitů 1:1, 2:1, 3:1, 2:3 a 1:4. Tyto poměry lze určit z poměru počtu dotyků křivky se
stranami obdélníka, které jsou rovnoběžné s osami x a y. Nalezené tvary obrazců nakreslete
pro fázový posuv 90° do protokolu.
2. Zapojte úlohu podle obr. 7 a na RC generátoru nastavte frekvenci 2 kHz. Měřte rezonanční
metodou souřadnice jednotlivých maxim podle odstavce 2.2 a výsledky zpracujte postupnou
metodou. Rychlost šíření zvuku počítejte ze vztahu (7).
3. Zapojte úlohu podle obr. 8 a postupujte podle odstavce 2.3. Rychlost šíření zvuku i zde
počítejte podle vztahu (7).
RC Generátor Osciloskop
Rezonanční trubice Zesilovač
Sluchátko Mikrofon
H V
86
4. Spočtěte Poissonovu konstantu ze vztahu (14). Normální podmínky p0 = 101324,72 Pa,
ρ0 = 1,293 kg m-3, t je ve °C.
4. NEJISTOTY MĚŘENÍ
Pro nejistotu rychlosti zvuku šířeného ve vzduchu odvodíme ze vztahu (7):
22






+





=
f
uu
vu
f
v
λ
λ
.
Nejistotu vlnové délky λ určete na základě zpracování měření postupnou metodou.
Nejistotu frekvence uf vypočtěte ze vztahu
max
f
f
u
∆
=
Θ
,
kde ∆fmax je dána chybou čtení na stupnici RC generátoru a je rovna 0,02 kHz. Pro parametr
Θ volte rovnoměrné rozdělení.