IMAk02  Základy algebry - Samostatná zápočtová práce


1. Jsou dány množiny A = {a, b, c, d} a B = {1, 2, 3, 4}. Rozhodněte a zdůvodněte, zda následující
binární relace z množiny A do množiny B jsou zobrazení. Pokud ano, určete přesně typ zobrazení:

a) R[1] = {[b, 1], [c, 2], [d, 3]},

b) R[2] = {[a, 1], [b, 2], [a, 3]},

c) R[3] = {[a, 1], [b, 3], [c, 2], [d, 4]},

d) R[4] = {[a, 1], [b, 1], [c, 1], [d, 1]}.


2. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících množin je ekvivalentní s množinou všech
přirozených čísel N. Které z uvedených množin jsou nekonečné?

A = {1,  , }, B = {7, 6, 4, a, x}, D = {x Î N: x = 5^n  Ù  n Î N}.


3. Zjistěte, které z vlastností ND, A, K, EN, EI, ZR mají operace *, ∘, △ definované v množině M =
{a, b, c}:

*

 a

  b

   c

a

 b

  a

   c

b

 a

  b

   c

c

 c

  c

   c

∘

 a

  b

   c

a

 c

  c

   c

b

 c

  c

   c

c

 c

  c

   c

△

 a

  b

   c

a

 c


   a

b


  c

   b

c

 a

  b

   c





Dále určete neutrální a agresivní prvky, pokud existují. Stanovte přesně typ každé algebraické
struktury, kterou množina M spolu s jednotlivými operacemi tvoří.


4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z vlastností ND, A, K, EN, EI, ZR mají následující operace (C je
množina všech celých čísel):

a) ∘ = {[x, y. z]Î N^3: z = x + 2y} neboli x ∘ y = x + 2y,

b) * = {[x, y. z]Î C^3: z = x + y + 1} neboli x * y = x + y + 1.


5. Určete přesně typ algebraických struktur s jednou operací (Q je množina všech racionálních
čísel, Q[0]^+ je množina všech nezáporných racionálních čísel):

(N, +), (N, ·), (N, -), (Q[0]^+, +), (Q[0]^+, ·), (Q-{0}, +), (Q-{0}, ·).


6. Určete přesně typ algebraických struktur se dvěma operacemi:

(N, +, ·), (Q[0]^+, +, ·), (Q-{0}, +, ·).



7. Je dána množina M = {a, b,}. Určete přesně typ algebraických struktur

(P(M), È), (P(M), Ç), (P(M), -), (P(M), △), (P(M), È, Ç), (P(M), Ç, È),

kde P(M)  je potenční system množiny M. Platí uvedené závěry i pro všechny množiny M, které mají
nejméně dva prvky?