Výběr příkladů na derivace
A. Využití základních vzorců
Zderivujte následující funkce:
1. 𝑓(𝑥) =
𝑥2
⋅ √ 𝑥
3
√ 𝑥
2. 𝑓(𝑥) =
𝑥 + √ 𝑥 + 1
√ 𝑥
3. 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 ⋅ 𝑥2
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
⋅ ln 𝑥
5. 𝑓(𝑥) =
𝑥2
+ 1
𝑥2 − 1
6. 𝑓(𝑥) =
1 + sin 𝑥
cos 𝑥
B. Derivace složené funkce
Zderivujte následující funkce:
1. 𝑓(𝑥) = sin4
𝑥
2. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥2−2𝑥+1
3. 𝑓(𝑥) = ln3(𝑥2
− 1)
4. 𝑓(𝑥) = tg3
2𝑥
5. 𝑓(𝑥) = 5 𝑥2−1
+ 3
6. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
⋅ √1 + 𝑥2
7. 𝑓(𝑥) =
1
(5 − 2𝑥)2
8. 𝑓(𝑥) = ln √
1 − sin 𝑥
1 + sin 𝑥
9. 𝑓(𝑥) = arccos
1 − 𝑥
√2
10. 𝑓(𝑥) = arctg
1 + 𝑥
1 − 𝑥
C. Úprava funkce před stanovením derivace
Zderivujte následující funkce:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥ln 𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥sin 𝑥
D. Tečna a normála funkce
1. Napište rovnici tečny a normály grafu dané funkce v bodě 𝑇 = [𝑥0, 𝑦0].
𝑎) 𝑓(𝑥) =
3𝑥 − 1
2𝑥 + 3
, 𝑇 = [2, ? ]
𝑏) 𝑓(𝑥) =
2𝑥2
− 1
𝑥 + 1
, 𝑇 = [−
1
2
, ? ]
𝑐) 𝑓(𝑥) =
8
𝑥2 + 4
, 𝑇 = [2, ? ]
𝑑) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ ln 𝑥 , 𝑇 = [𝑒, ? ]
2. Napište rovnici tečny a normály
a) ke kružnici 𝑥2
+ 𝑦2
= 2 v jejím bodě [1, −1]
b) k parabole 𝑦2
= 𝑥 v jejím bodě [4, −2]
3. Napište rovnici tečny ke křivce 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 3, která svírá úhel 𝜑 = 45° s osou x.
4. Napište rovnici tečny ke křivce 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 + 3, je-li tečna rovnoběžná s přímkou
𝑝: 3𝑥 − 𝑦 + 5 = 0.
Výsledky
A. Využití základních vzorců
1. [
11
6
⋅ √𝑥56
] , 2. [
(𝑥−1)⋅√ 𝑥
2𝑥2 ] , 3. [
5
2
⋅ 𝑥
3
2] , 4. [𝑥 ⋅ (2 ln 𝑥 + 1)], 5. [−
4𝑥
(𝑥2−1)2], 6. [
1
1−sin 𝑥
]
B. Derivace složené funkce
1. [4 ⋅ sin3
𝑥 ⋅ cos 𝑥], 2. [2(𝑥 − 1) ⋅ 𝑒 𝑥2−2𝑥+1
], 3. [
6𝑥 ⋅ ln2(𝑥2
− 1)
𝑥2 − 1
] , 4. [
6 sin2
2𝑥
cos4 2𝑥
],
5. [2𝑥 ⋅ 5 𝑥2−1
⋅ ln 5], 6. [
𝑥(2 + 3𝑥2) ⋅ √1 + 𝑥2
𝑥2 + 1
] , 7. [
4
(5 − 2𝑥)3] , 8. [−
1
cos 𝑥
] , 9. [
1
√1 + 2𝑥 − 𝑥2
],
10. [
1
1 + 𝑥2]
C. Úprava funkce před stanovením derivace
1. [𝑥 𝑥
⋅ (ln 𝑥 + 1)], 2. [2 ⋅ ln 𝑥 ⋅ 𝑥ln 𝑥−1
], 3. [𝑥sin 𝑥
⋅ (cos 𝑥 ⋅ ln 𝑥 +
sin 𝑥
𝑥
)]
D. Tečna a normála funkce
1a. 𝑇 = [2,
5
7
], tečna: 𝑦 =
11
49
𝑥 +
13
49
, normála: 𝑦 = −
49
11
𝑥 +
741
77
1b. 𝑇 = [−
1
2
, −1], tečna: 𝑦 = −2𝑥 − 2, normála: 𝑦 =
1
2
𝑥 −
3
4
1c. 𝑇 = [2, 1], tečna: 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 2, normála: 𝑦 = 2𝑥 − 1
1d. 𝑇 = [𝑒, 𝑒], tečna: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑒, normála: 𝑦 = −
1
2
𝑥 +
3
2
𝑒
2a. Tečna: 𝑦 = 𝑥 − 2, normála: 𝑦 = −𝑥
2b. Tečna: 𝑦 = −
1
4
𝑥 − 1, normála: 𝑦 = 4𝑥 − 18
3. 𝑇 = [
3
2
, −
3
4
], tečna: 𝑦 = 𝑥 −
9
4
4. 𝑇 = [
5
2
,
17
4
], tečna: 𝑦 = 3𝑥 −
13
4