Další aplikace diferenciálního počtu
Diferenciál
1. Pomocí diferenciálu určitě přibližnou hodnotu následujících výrazů.
𝑎) sin 29° 𝑏) √80 𝑐) log 11
𝑑) arctg1,1 𝑒) √70
3
𝑓) cos 151°
𝑔) 21,003
ℎ) ln 1,1
Taylorův polynom
2. Napište Taylorův (či Maclaurinův) polynom 3. řádu v bodě 𝑥0 pro funkci 𝑓(𝑥).
𝑎) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
, 𝑥0 = 1 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
, 𝑥0 = 1
𝑐) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 , 𝑥0 = 0 𝑑) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 , 𝑥0 = 0
𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑒−
𝑥2
2 , 𝑥0 = 0 𝑓) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
⋅ sin 𝑥 , 𝑥0 = 0
3. Vyjádřete polynom 𝑃(𝑥) jako polynom proměnné 𝑢.
𝑎) 𝑃(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 − 5, 𝑢 = 𝑥 − 2 𝑏) 𝑃(𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥2
+ 4𝑥 − 5, 𝑢 = 𝑥 − 2
𝑐) 𝑃(𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥 + 5, 𝑢 = 𝑥 − 1 𝑑) 𝑃(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 2, 𝑢 = 𝑥 − 2
4. Pomocí Taylorova či Maclaurinova polynomu vhodné funkce ve vhodném bodě určete přibližně
hodnotu výrazu
a) cos 33° s přesností na minimálně dvě desetinná místa
b) 𝑒 s chybou menší než 0,001
c) sin
𝜋
180
s chybou menší než 10−8
Optimalizace – slovní úlohy s využitím diferenciálního počtu
5a. Číslo 28 rozložte na 2 sčítance tak, aby jejich součin byl maximální.
5b. Číslo 16 rozložte na 2 sčítance tak, aby součet jejich druhých mocnin byl co nejmenší.
5c. Najděte vhodné kladné číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl minimální.
5d. Stanovte maximální a minimální hodnotu polynomu 𝑥3
− 3𝑥 + 2 na intervalu [−3, 2].
5e. Na parabole 2𝑥2
− 2𝑦 − 9 = 0 najděte bod, jehož vzdálenost od počátku je minimální.
5f. Z kartonu tvaru čtverce o straně délky 54 cm vyřízněte v každém rohu stejný čtverec o straně 𝑎 tak,
abyste mohli sestrojit krabici (bez víka) s co největším objemem. Jaká je hodnota 𝑎? Jaký je objem
takové krabice?
Výsledky
1. a) [0,484885], b) [8,9445], c) [1,0434294], d) [0,83539], e) [4,125], f) [−0,874752], g) [2,004],
h) [0,1]
2. a) [1 − (𝑥 − 1) + (𝑥 − 1)2
− (𝑥 − 1)3
],
b) [𝑒 + 𝑒(𝑥 − 1) +
𝑒
2
(𝑥 − 1)2
+
𝑒
6
(𝑥 − 1)3
],
c) [𝑥 −
𝑥3
3!
]
d) [1 −
𝑥2
2!
]
e) [1 −
𝑥2
2
]
f) [𝑥 + 𝑥2
+
𝑥3
3
]
3. a) [−9 + (𝑥 − 2)2],
b) [3 + 8(𝑥 − 2) + 4(𝑥 − 2)2
+ (𝑥 − 2)3]
c) [4 + (𝑥 − 1) + 3(𝑥 − 1)2
+ (𝑥 − 1)3
]
d) [4 + 9(𝑥 − 2) + 6(𝑥 − 2)2
+ (𝑥 − 2)3
]
4. a) [𝑇1(𝑥)], b) [𝑇6(𝑥)], c) [𝑇3(𝑥)]
5. a) [14, 14], b) [8, 8], c) [1], d) [min. hodnota: -16, max. hodnota: 4], e) [2, −
1
2
] , [−2, −
1
2
],
f) [𝑎 = 9, 𝑉 = 11663 cm3
]